BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

TRẦN THỊ THẮM

MỞ RỘNG PHƯƠNG TRÌNH

HÀM CAUCHY

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Mã số: 60.46.01.13

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

ĐÀ NẴNG - 2015

Công trình được hoàn thành tại

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: TS.CAO VĂN NUÔI

Phản biện 1: PGS. TSKH. Trần Quốc Chiến

Phản biện 2: TS. Hoàng Quang Tuyến

Luận văn đã được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn

tốt nghiệp Thạc sĩ khoa học tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 13

tháng 12 năm 2015

Có thể tìm hiểu luận văn tại:

- Trung tâm Thông tin – Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

1

MỞ ĐẦU

1. Tính cấp thiết của đề tài

Lý thuyết phương trình hàm là một trong những lĩnh vực

nghiên cứu quan trọng của giải tích toán học. Việc giải phương trình

hàm có lẽ là một trong những bài toán lâu đời của giải tích. Nhu cầu

giải phương trình hàm xuất hiện ngay khi bắt đầu có lý thuyết hàm

số, nhiều phương trình hàm xuất phát từ nhu cầu thực tế của toán học

hoặc của các ngành khoa học khác.

Phương trình hàm cũng là một chuyên đề quan trọng trong

chương trình toán ở các trường THPT chuyên. Trong các kì thi

olympic toán quốc gia và quốc tế, olympic khu vực, thường xuất hiện

các dạng toán khác nhau liên quan đến phương trình hàm. Để giải nó

ta không những cần nắm vững lý thuyết mà còn cần rất nhiều kỹ

năng. Tuy nhiên, cho đến nay, học sinh các lớp chuyên, các lớp chọn

còn biết rất ít các phương pháp đề giải các phương trình hàm. Đặc

biệt, chúng ta còn rất ít cuốn sách về chuyên đề phương trình hàm và

ứng dụng của chúng.

Các bài toán về phương trình hàm rất phong phú và đa dạng,

bao gồm các loại phương trình tuyến tính và phi tuyến tính, phương

trình hàm một ẩn hàm và phương trình nhiều ẩn hàm, phương trình

hàm một biến và phương trình hàm nhiều biến…

Phương trình hàm Cauchy có một vai trò quan trọng trong

mảng toán về phương trình hàm. Rất nhiều phương trình hàm được

giải quyết rất gọn gàng nhờ phép biến đổi đưa về phương trình hàm

Cauchy. Và khi xây dựng các công thức tính diện tích hình chữ nhật,

công thức Logarit, công thức lãi đơn, lãi kép…ta sẽ bắt gặp phương

trình hàm Cauchy.

2

Từ những vấn đề trên, tôi đã quyết định chọn đề tài nghiên

cứu: “Mở rộng phương trình hàm Cauchy”.

2. Mục tiêu nghiên cứu

Mục tiêu của đề tài nhằm nghiên cứu các mở rộng của

phương trình hàm Cauchy.

Nội dung của đề tài được chia thành 2 chương:

- Chương 1 giới thiệu về lịch sử phát triển và mở rộng

phương trình hàm Cauchy.

- Chương 2 giới thiệu về các ứng dụng của phương trình

hàm Cauchy.

3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của luận văn là phương trình hàm

Cauchy.

Phạm vi nghiên cứu của luận văn là xây dựng cơ sở lý thuyết

và hệ thống các mở rộng của phương trình hàm Cauchy và các ứng

dụng của phương trình hàm cauchy.

4. Phƣơng pháp nghiên cứu

a. Thu thập các bài báo khoa học và tài liệu của các tác giả

nghiên cứu liên quan đến phương trình hàm Cauchy và ứng dụng.

b. Tham gia các buổi seminar của thầy hướng dẫn để trao đổi

các kết quả đang nghiên cứu. Trao đổi qua email, blog, forum với các

chuyên gia về các ứng dụng của phương trình hàm.

3

CHƢƠNG 1

MỞ RỘNG CÁC PHƢƠNG TRÌNH HÀM CAUCHY

1.1. VÀI NÉT VỀ LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN PHƢƠNG

TRÌNH HÀM

Trong chương này, ta tóm lược đôi nét về lịch sử phát triển của

phương trình hàm trong sự phát triển chung của Toán học và mở rộng

các phương trình hàm Cauchy.

1.1.1. Nicole Oresme (1323 – 1382)

Nicole Oresme là một nhà toán học người Pháp, ông là một

trong những nhà khoa học lớn thời Trung cổ, ông có những nghiên

cứu quan trọng cho khoa học thời Phục hưng. Năm 1348, Nicole

Oresme giành được học bổng của đại học Paris, cũng chính năm đó ở

Châu Âu đã xảy ra nạn dịch Cái chết đen làm chết hơn 1/3 dân số của

Châu Âu. Năm 1355, ông đã có bằng thạc sĩ và được bổ nhiệm làm

hiệu trưởng của trường Đại học Navarre của Pháp. Ông là nhà khoa

học lớn nhất ở thế kỉ XIV. Ở giai đoạn khó khăn, dịch bệnh như vậy

mà ông đã làm những điều quá sức phi thường, thật là một điều

không tưởng.

Phương trình hàm đã được các nhà khoa học nghiên cứu từ

rất sớm. Ngay từ thế kỉ XIV, nhà toán học Nicole Oresme đã xác

định hàm số bậc nhất như một nghiệm của phương trình hàm. Cụ thể

là, ông đã đặt bài toán tìm hàm số ( )f x thỏa mãn với mọi

, , ,x y z đôi một phân biệt, phương trình hàm như sau:

f y f xy x

z y f z f y

(1.1)

4

và Nicole Oresme đã tìm được nghiệm của phương trình (1.1) là:

f x ax b với ,a b là hằng số.

1.1.2. Gregory of Saint – Vincent (1584 – 1667)

Trong vài trăm năm tiếp theo, phương trình hàm đã được biết

đến nhiều hơn nhưng lại không có một lý thuyết chung nào cho các

phương trình hàm lúc đó. Trong số nhà toán học lớn có nhà toán học

Gregory of Saint – Vincent, người đi đầu về lý thuyết Logarithm và

đã tìm ra được hàm hypebol trong phương trình hàm:

( ) ( ) ( ).f xy f x f y

Ông đã xét bài toán diện tích phần mặt phẳng giới hạn bởi

các đường 1

; 1; ; ,y x x t x yx

ông đã kí hiệu diện tích đó là

( )f t và chứng tỏ ( )f t thỏa mãn phương trình hàm:

( ) ( ) ( ), , .f xy f x f y x y

Ngày nay thì ta đã biết đó là hàm logaf x x với

0, 1.a a

Tuy nhiên, việc giải và tìm ra nghiệm của phương trình hàm

( ) ( ) ( ), ,f xy f x f y x y thì phải đến 200 năm sau mới tìm

được nhờ công của Augustin – Louis Cauchy (1789 – 1885).

1.1.3. Augustin – Louis Cauchy (1789 – 1885)

Augustin – Louis Cauchy được sinh ra tại Paris năm 1789,

năm xảy ra cuộc cách mạng Pháp kéo dài đến 10 năm. Khi Cauchy

được 10 tuổi thì bố ông đã đem cả gia đình về quê sống ẩn dật cho

đến năm 1800. Năm 13 tuổi, Cauchy vào học trường trung tâm của

Parthenon. Ở đó vua Napoleon đã đặt ra nhiều giải thưởng và một kỳ

5

thi học sinh giỏi cho tất cả các trường của nước Pháp thuộc cùng một

lớp. Cauchy đứng đầu lớp và đạt nhiều giải nhất về các môn học

tiếng La Tinh, Hy Lạp và thơ La Tinh.

Năm 1805, khi 16 tuổi Cauchy đã gặp được một thầy dạy

Toán giỏi và đã thi đỗ thứ hai vào trường Đại học Bách Khoa. Năm

1807 ông vào học trường Đại học Cầu đường và tuy mới 18 tuổi

nhưng ông đã vượt qua các bạn học 20 tuổi, mặc dù các bạn này đã

học 2 năm ở trường này rồi. Năm 1813, ông dạy toán ở Trường Bách

Khoa và thành hội viên Hàn lâm viện Khoa học Pháp.

Bước vào tuổi 27, ông là nhà toán học xuất sắc thời bấy giờ,

ông nghiên cứu ở nhiều lĩnh vực. Tuy nhiên, ông chủ yếu được biết

đến trên lĩnh vực toán học và được công nhận là một trong những

người sáng lập nên toán học hiện đại.

Mặc dù định nghĩa của Nicole Oresme về tuyến tính có thể

được hiểu như là một ví dụ đầu tiên về một phương trình hàm, nó

không đại diện cho một điểm khởi đầu cho lý thuyết về phương trình

hàm. Các chủ đề của phương trình hàm được đánh dấu một cách

chính xác hơn từ công việc của Augustin – Louis Cauchy. Một trong

những phương trình hàm nổi tiếng mà ta hay gọi là phương trình

Cauchy có dạng:

( ) ( ) ( ),f x y f x f y , .x y

(1.2)

Nghiệm của phương trình (1.2) có dạng: .f x ax

Phương trình (1.2) cũng đã được Carl Friedrich Gauss (1777

– 1855) và Legendre nghiên cứu khi tìm ra định lí cơ bản của hình

học xạ ảnh và khi nghiên cứu phân phối Gauss về phân bố xác suất.

G. Darbour cũng đã nghiên cứu phương trình (1.2) và chỉ ra rằng chỉ

6

cần f x hoặc liên tục tại một điểm, hoặc bị chặn trên (hoặc dưới)

trên một khoảng đủ nhỏ thì nghiệm của phương trình (1.2) vẫn là

.f x kx Sau đó các nhà toán học còn đưa ra nhiều hạn chế nữa,

nhưng việc chỉ ra hàm số không liên tục và thỏa điều kiện (1.2) mãi

đến năm 1905 mới được thực hiện bởi nhà toán học người Đức

Georg Hamel (1877 – 1954) với việc đưa ra hệ cở sở Hamel của tập

số thực .

Thật bất ngờ là một trong những phương trình hàm cơ bản

lại có liên quan chặt chẽ đến nhị thức Newton.

Từ hàng thế kỷ trước Newton, các nhà toán học đã biết đến công

thức

1 2 2 1 1(1 ) 1 ... n n n

n n n

nx C x C x C x x

(1.3)

đúng với mọi n và với mọi ,x trong đó các tổ hợp x

được xác định từ tam giác Pascal và được tính theo công thức:

( 1)( 2)...( 1)

!

n n n n iiCn i

(với i là số tự nhiên)

1.1.4. Jean d’Alembert (1717 – 1783)

Jean d'Alembert sinh năm 1717 ở Paris, ông là con ngoài giá

thú của một sĩ quan quân đội và một nhà văn. Ông được sinh ra khi

cha ông đang ở nước ngoài, vì sợ ảnh hưởng đến tiếng tăm của mình,

mẹ ông đã để ông trên bậc thang lối vào nhà thờ Saint – Jean –

leRond. Theo tục lệ, ông được đặt tên là Jean le Rond, sau đó nhà thờ

gởi ông vào trại trẻ mồ côi trông nom nhưng cũng sớm được nhận

nuôi bởi vợ của người thợ làm kính. Mặc dù, Destouches - cha ông

hỗ trợ tài chính và lo cho con trai của mình ăn học, ông đã không

công khai thừa nhận Jean d'Alembert là con trai mình. Năm 1738,

7

Jean le Rond vào trường luật, ông lấy tên Daremberg. Sau đó ông

đã đổi thành d'Alembert. Năm 1741, nhờ nỗ lực của mình,

d'Alembert vào Viện Hàn lâm Khoa học Pháp như trợ lý thiên văn

học, hai năm tiếp theo, ông đã thực hiện rất nhiều nghiên cứu về

cơ học và công bố nhiều bài báo và nhiều cuốn sách, năm 1746,

d'Alembert được thăng chức Phó Uỷ viên của Hội đồng toán học.

Trong lịch sử, Jean d'Alembert có thể được coi là tiền bối về

nghiên cứu phương trình Cauchy. Tuy nhiên, trong vấn đề về phương

trình hàm, nó có vẻ tự nhiên hơn khi xem xét đóng góp của ông sau

Cauchy.

Khi nghiên cứu định luật tổng hợp lực theo quy tắc hình bình

hành, ông đã xét phương trình:

2g x y g x y g x g y

(1.4)

với 0 .2

y x

Phương trình (1.4) bây giờ được gọi là phương trình

d'Alembert. Yêu cầu đặt ra là phải tìm ra tất cả các hàm :g

thỏa mãn phương trình (1.4), ở đây chúng ta đang gặp một khó khăn

lớn trong việc tìm nghiệm so với phương trình Cauchy.

Phương trình này làm ta liên tưởng đến các tính chất của các

hàm số lượng giác. Xét các hàm số lượng giác đơn giản ta thấy hàm

số ( ) cosg x x thỏa mãn nhưng hàm số ( ) sing x x thì lại không

thỏa mãn. Câu hỏi đặt ra là liệu có còn các nghiệm khác không? Và

người ta đã chỉ ra các nghiệm đó có dạng: .cos ,g x b ax với việc

chọn các hằng số ,a b phù hợp.

8

Tuy nhiên, khi thay 0x y vào phương trình (1.4) ta

được 2(0) (0),g g suy ra (0) 0g hoặc (0) 1g lần lượt tương ứng

với trường hợp 0b và 1.b Với a là một hằng số tùy ý, nếu

( )g x là một nghiệm bất kì của phương trình (1.4) thì ( )g ax cũng là

một nghiệm.

Như vậy, nghiệm ban đầu có thể mở rộng thành ( ) 0g x hoặc

( ) cos .g x x

Người ta lại tự hỏi, ngoài các nghiệm trên thì có nghiệm nào

khác không? Câu trả lời là có. Và một lần nữa, vào năm 1821,

Cauchy đã giải được phương trình hàm trên với điều kiện ( )g x là

hàm liên tục và được nghiệm là: ( ) 0,g x ( ) cosg x ax hoặc

( ) ( 0).2

x xb bg x b

Sau đó người ta nghiên cứu và đã viết lại nghiệm trên thành:

( ) 0,g x ( ) cosg x ax hoặc ( ) .2

ax axe eg x

1.2. ĐỊNH NGHĨA

1.2.1. Định nghĩa phƣơng trình hàm

Phương trình hàm là phương trình mà ẩn của nó là các hàm

số, giải phương trình hàm là việc tìm tất cả các hàm số thỏa mãn

phương trình hàm đã cho và một số điều kiện cho trước.

Cấu trúc cơ bản của một phương trình hàm gồm ba phần

chính:

- Miền xác định và miền giá trị.

- Phương trình hàm.

9

- Một số điều kiện bổ sung (tăng, giảm, đơn điệu, bị chặn,

liên tục, khả vi,…).

1.2.2. Định nghĩa phƣơng trình hàm Cauchy

Phương trình hàm Cauchy là phương trình hàm có dạng

(x + y)= (x)+ (y) f f f (1.17)

Nghiệm liên tục của bài toán phương trình hàm Cauchy là

, , f x ax x với a tùy ý.

Hàm f thỏa mãn tính chất (1.17) được gọi là hàm cộng tính.

Để có thể xác định hoàn toàn hàm cộng tính f trên , ta có thể

thay giả thiết f liên tục trên , bằng một trong các giả thiết: f chỉ

liên tục tại một điểm, hay f là hàm đơn điệu trên ;

( ) 0, 0f x x , hay f bị chặn trên một đoạn nào đó.

1.3. MỞ RỘNG CỦA HÀM CỘNG TÍNH

1.3.1. Giới thiệu

Tập hợp tất cả các giá trị của các biến mà phương trình hàm

tồn tại được gọi là tập xác định của phương trình hàm. Ví dụ, tập xác

định của phương trình hàm

(x + y)= (x)+ (y) , (0; )f f f x y (1.23)

là 2

. Một hàm thỏa mãn một phương trình hàm trên một tập xác

định cho trước thì được gọi là 1 nghiệm trên tập xác định đó. Trong

mục này chúng ta chỉ xem xét bài toán mở rộng phương trình hàm

Cauchy cộng tính từ một miền nhỏ hơn đến một miền lớn hơn. Ba

phương trình hàm Cauchy còn lại có thể được mở rộng tương tự.

10

1.3.2. Mở rộng của hàm cộng tính

Cho ,a b là một đoạn trong ,và cho : ,f a b là

hàm cộng tính trên đoạn ,a b với , , [ ] ,x y x y a b . Liệu có tồn

tại hàm cộng tính :A sao cho [a,b] A xx x ( nghĩa

là [a,b]|

A f ) ?

Định lí sau đây đã được chứng minh bởi Aczél và Erdos (1965)

Định lí 1.1. Cho 0 , và cho  : ,f là một hàm

cộng tính trên , . Khi đó tồn tại 1 hàm cộng tính :A

sao cho

, , xA x f x

Lƣu ý 1.1.

Chú ý rằng miền , không bị chặn và nếu , ,x y

thì

[ , )x y

Tuy nhiên, nếu , ,x y và ,a b là khoảng bị chặn thì

x y không nhất thiết thuộc ,a b .

Do đó, cách chứng minh định lí ở trên không áp dụng được

cho khoảng bị chặn.

Định lí sau đây là của Daróczy và Losonczi (1967)

Định lí 1.2. Cho : 0,1f thỏa mãn phương trình hàm

Cauchy f x y f x f y với mọi , , [0,1]x y x y . Thì tồn

tại 1 hàm cộng tính :A sao cho:

,    0,1A x f x x

11

CHƢƠNG 2

CÁC ỨNG DỤNG CỦA PHƢƠNG TRÌNH HÀM CAUCHY

2.1. GIỚI THIỆU CHUNG

Nhiều phương trình hàm bắt nguồn từ các ứng dụng. Hiện

tại, bài toán trong khoa học và kỹ thuật thông thường là mô hình hóa

bằng phương trình vi phân thường (ODE) hay là phương trình đạo

hàm riêng (PDE). Trước khi ODE và PDE phát triển, các quá trình

vật lý đã được phân tích bằng cách sử dụng hàm. Khi quá trình vật lý

được mô hình hóa bằng hàm, chẳng hạn như, f , nó dùng biến số vào

x (hay là vài biến số vào) và biến số ra tương ứng . f x f x biến

số ra thoả mãn một số quan hệ tương ứng với một vài tính chất của

quá trình vật lý thường đã được biết đến bằng cách quan sát. Điều

này dẫn đến phương trình hàm cho hàm  f . Khi phương trình hàm

được dùng cho mô hình hóa, nó chẳng cần phải giả định tính khả vi

của hàm và vì vậy, phương trình hàm thường đưa đến kết quả nhiều

nghiệm hơn so với ODE và PDE. Các giải pháp khác có thể phù hợp

với khoa học và công nghệ. Trong chương này, chúng ta trình bày

một vài ứng dụng phương trình hàm Cauchy. Trong mục 2, chúng ta

sẽ xây dựng công thức hình chữ nhật theo Legendre (1971). Trong

khi xây dựng công thức này, chúng ta sẽ bắt gặp phương trình hàm

Cauchy cộng tính 2 biến. Trong mục 3, dùng tính chất cộng tính của

tích phân xác định, chúng ta thấy rằng

1

1ln( )

x

dt xt

12

với 0,x . Khi suy ra công thức này, chúng ta dùng hàm Cauchy

logarit. Trong nhiều cuốn sách tích phân còn được sử dụng để xác

định các logarit tự nhiên. Mục 4 thoả thuận với phép lấy đạo hàm của

công thức lãi đơn và lãi kép từ phương trình hàm. Vì chất phóng xạ

phân rã theo thời gian, thật hữu ích để có công thức tính toán lượng

chất phóng xạ có mặt vào thời gian t. Bằng cách sử dụng phương

trình hàm mũ Cauchy, ta đã xây dựng nên công thức phân rã phóng

xạ. Từ mục 6 đến mục 8 sẽ trình bày 3 ứng dụng của phương trình

hàm trong lý thuyết xác suất. Trong mục 6, ta hình thành các đặc tính

của xác suất phân phối bội theo thuật ngữ tính chất không nhớ. Trong

mục 7, ta sẽ tìm hiểu các đặc tính của xác suất phân phối chuẩn rời

rạc. Mục 8, một trong các đặc tính đầu tiên của xác suất phân phối

chuẩn. Chúng ta kết thúc chương này với một số nhận xét về các ứng

dụng khác của phương trình hàm.

2.2. DIỆN TÍCH HÌNH CHỮ NHẬT

Năm 1791, Legendre đã đưa ra công thức tính diện tích hình chữ nhật

bằng cách sử dụng phương trình hàm Cauchy cộng tính. Để đi đến

được công thức tính diện tích hình chữ nhật, chúng ta cần các định lí

sau:

Định lí 2.1. Hàm :[0, ) [0, )f thỏa mãn phương trình Cauchy

cộng tính

( ) ( ) ( ) , [0, )f x y f x f y x y

Khi và chỉ khi ( )f x cx , trong đó c là một hằng số thực không âm.

2.3. XÁC ĐỊNH LOGARIT

13

Trong một giáo trình tính toán sơ cấp, logarit được xác định thông

qua công thức tích phân Anton (H. Anton 1992, p.469) định nghĩa

logarit tự nhiên như sau:

1

1ln

x

x dtt

(2.7)

với 0,x . Ta thấy rằng 1

1x

dtt

thực sự là lnx và ta không phải

công nhận nó như một định nghĩa. Nó chỉ là một tính chất của tích

phân. Ta chỉ ra rằng tích phân trên là một hàm của x thỏa mãn

phương trình hàm logarit Cauchy.

Cho

1

:

1 ( ) , 0

x

x dt xt

Do đó, trường hợp , (1, )x y , ta có

1 1

1

1

1 1( ) ( )

1 1 ( )

1

( )

yx

xyx

x

xy

x y dt dtt t

dt dz z txt z

d

xy

Các trường hợp khác được làm tương tự nên ta có

( ) ( ) ( )xy x y (2.8)

14

, x y . Trong Giải tích toán học ta đã biết là hàm khả vi

nên liên tục.

Do đó phương trình (2.8) có

( ) lnx c x (c là hằng số)

Sử dụng tổng Riemann, ta có

1

1( ) 1

e

e dtt

Vì 1c nên ( ) lnx x

Do đó 1

1ln

x

dt xt

2.4. CÔNG THỨC LÃI ĐƠN VÀ LÃI KÉP

Tiếp theo ta xây dựng công thức lãi đơn bằng cách sử dụng hàm

Cauchy cộng tính. Cho ,f x t là giá trị tương lai của vốn x đã

được đầu tư với một khoảng chu kỳ lãi t . Thì theo công thức lãi

đơn, hàm ,f x t thỏa mãn

( , ) ( , ) ( , )f x y t f x t f y t

Và ( , ) ( , ) ( , )f x t s f x t f x s

, , ,x y t s .

Do đó ( , )f x t kxt

với k là một hằng số dương tùy ý có đơn vị.

Bây giờ ta hình thành công thức lãi kép. Cho ,f x t là giá trị tương

lai của vốn x đã được đầu tư với một khoảng chu kỳ thời gian. Thì

theo công thức lãi kép, hàm ,f x t thỏa mãn phương trình

( , ) ( , ) ( , )f x y t f x t f y t (2.9)

15

Và ( , ) ( ( , ), )f x t s f f x t s (2.10)

, , ,x y t s . Phương trình thứ nhất cho ta giá trị tương lai của

vốn x y sau khi đã được đầu tư trong một khoảng chu kỳ t và y

vốn sau khi đã được đầu tư với chu kỳ lãi t. Phương trình thứ hai cho

ta giá trị tương lai của vốn x đầu tư với chu kỳ lãi t s tương đương

với giá trị tương lai của vốn ,f x t đầu tư với chu kỳ lãi s. Một cách

tự nhiên ta có ,f x t liên tục trên mỗi biến. Vì thế, hàm (2.9) được

cho bởi:

( , ) ( )f x t c t x (2.11)

trong đó :c .

Sử dụng f trong (2.10), ta có được

( ) ( ) ( )c t s x c t c s x (2.12)

Do đó ta có

( ) ( ) ( )c t s c t c s (2.13)

,s t . Tính liên tục của (2.13) được cho bởi ( ) tc t e , trong

đó λ là một hằng số tùy ý. Từ ln(1 )r ta có được

( , ) (1 ) (r 0)tf x t x r

Đó là công thức nổi tiếng về lãi kép.

2.5. SỰ PHÂN RÃ CỦA PHÓNG XẠ

16

Cho 0m g là khối lượng ban đầu của một nguyên tố phóng xạ.

Cho m t là khối lượng hiện tại ở thời điểm t. Ta giả định rằng tốc

độ thay đổi của m t tỉ lệ thuận với m t .

Từ giả định này, ta có

'( ) ( )m t m t

Do đó ( ) tm t e

Hoặc 0( ) tm t m e (2.14)

Do đó (2.14) đưa ra được công thức cho việc tìm kiếm khối lượng

hiện tại ở thời điểm t về khối lượng m0 ban đầu và khoảng thời gian t.

Ở đây λ là hằng số phân rã.

Bây giờ ta hình thành công thức (2.14) bằng cách sử dụng phương

trình hàm. Cho f t biểu thị mối quan hệ giữa khối lượng hiện tại ở

thời điểm t và khối lượng ban đầu 0m ,vì vậy

0( ) ( )m t m f t

Lượng chất phóng xạ tại thời điểm t + h có thể được thể hiện bằng

hai cách khác nhau (xem hình dưới):

0

0

( ) ( )

( ) ( ) ( )

m t h m f t h

m t h m f t f h

Do đó

17

0 0( ) ( ) ( ) ,m f t h m f t f h t h

Do đó ( ) ( ) ( )f t h f t f h

Từ áp dụng tại một điểm ta có thể xem như f là liên tục. Thì tính

liên tục của phương trình hàm trên được cho bởi:

( ) tf t e ,

trong đó α là hằng số thực.

Do đó

0

0

( ) ( )

t

m t m f t

m e

Vì m t giảm theo thời gian t, hằng số α phải là âm và

Với λ > 0, ta có 0( ) tf t m e

Hằng số α được gọi là hằng số phân rã.

2.6. ĐẶC TÍNH CỦA PHÂN PHỐI BỘI

Trong phần này bằng cách sử dụng phương trình hàm mũ Cauchy ta

hình thành các đặc tính của phân phối bội theo thuật ngữ tính chất

không nhớ.

Một biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối bội (hay biến ngẫu

nhiên bội) nếu hàm mật độ xác suất của nó được cho bởi

1( ) (1 ) , 1,2,3,...,xf x p p x

Trong đó [0,1]p là một tham số. Ở đây, p được hiểu là xác suất

thành công. Nếu X là một biến ngẫu nhiên bội, thì nó biểu diễn cho

số thử nghiệm thành công đầu tiên xảy ra.

18

Một biến ngẫu nhiên X được gọi là có tính chất không nhớ nếu nó

thỏa mãn

( | ) ( )P X m n X n P X m ( ),m n

Bây giờ ta chứng minh rằng biến ngẫu nhiên X là phép ngẫu nhiên

bội khi và chỉ khi nó thỏa mãn tính chất không nhớ

( | ) ( )P X m n X n P X m

Vì

(( ) ( ))(( ) | ( ))

( )

P X m n X nP X m n X n

P x n

Ta có

(( ) ( )) ( ) ( )P X m n X n P X m P X n

Mà

( ) ( ) ( ) ,P X m n P X m P X n m n

Nếu X là biến ngẫu nhiên bội, thì

1(1 )xX p p

Thì

1

1

( ) (1 )

(1 )

x

x m n

n m

P X m n p p

p

(1 ) (1 )

( ) ( )

n mp p

P X n P x m

Do đó phân phối bội có tính chất không nhớ.

Tiếp theo, cho X là biến ngẫu nhiên bất kỳ thỏa mãn tính chất không

nhớ.

( ) ( ) ( ) ,P X m n P X m P X n m n

19

Ta sẽ chỉ ra rằng X là biến ngẫu nhiên bội.

Xác định :g thì

( ) ( )g n P X n

Do đó, ta có

( ) ( ) ( ) ,g m n g m g n m n

Nghiệm tổng quát (ngay cả trường hợp không liên tục) được cho bởi

( ) ng n a , với α là hằng số. Vì vậy

( ) nP X n a

Hoặc 1 ( ) nF n a

Trong đó F n là hàm phân phối xác suất. Vì vậy:

( ) 1 nF n a

Do F n là hàm phân phối xác suất, ta có

1 lim ( )n

F n

Hoặc 1 lim(1 )n

na

Từ trên, ta kết luận rằng 0 < a < 1. Ta thay a bằng 1– p , ta có

1 1n

F n p

Hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên X được cho bởi

20

2

3 2

2

(1) (1)

(2) (2) (1)

1 (1 )

(1 )

(3) (3) (2)

1 (1 ) 1 (1 )

(1 )

f F p

f F F

p p

p p

f F F

p p

p p

Vì vậy, bằng quy tắc quy nạp, ta có:

1( ) (1 ) (x=1, 2, 3,..., )xf x p p

Vì thế ( )X Geo p (đpcm)

2.7. ĐẶC TÍNH CỦA PHÂN PHỐI CHUẨN RỜI RẠC

Trong phần này, ta xét một phương trình hàm liên quan đến các đặc

trưng của phân phối chuẩn rời rạc. Phương trình hàm ta quan tâm

như sau:

2 2 2 2 2 2

1 2 1 2 1 2( ... ) ( ) ( ) ... ( ) , ,...,n n nf x x x f x f x f x x x x

(là tập các số nguyên)

Nếu 2n , thì phương trình hàm trên trở thành

2 2 2 2

1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) x ,xf x x f x f x (2.15)

Một nghiệm của phương trình là:

( ) f x kx x (2.16)

Tuy nhiên (2.16) không phải là nghiệm duy nhất. Ví dụ

21

0

( ) 1

2

f x

Cũng là 1 nghiệm của (2.15). Tương tự như vậy, phương trình hàm

2 2 2 2 2 2

1 2 3 1 2 3( ) ( ) ( ) ( )f x x x f x f x f x (2.17)

Cũng có nghiệm phi tuyến (xem Dasgupta (1993))

0

1( )

2

3

f x

Bên cạnh các nghiệm tuyến tính f x kx

Nếu n ≥ 4, thì ta chỉ ra rằng mỗi nghiệm của phương trình hàm

2 2 2 2 2 2

1 2 1 2( ... ) ( ) ( ) ... ( )

n nf x x x f x f x f x

(2.18)

1 2, ,...,

nx x x là tuyến tính.

Chúng ta dùng các định lí Lagrange để tìm ra nghiệm tổng quát.

Định lí 2.2. Mỗi số nguyên dương n là tổng của nhiều nhất là bốn

bình phương số nguyên dương, tức là

2 2 2 2 , , , ,n a b c d a b c d

Định lí 2.3. Cho 4n là một số nguyên. Hàm :f thỏa

mãn phương trình

2 2 2 2 2 2

1 2 1 2( ... ) ( ) ( ) ... ( )n nf x x x f x f x f x

(2.20)

khi x = 0

khi x=1

khi x=2

nếu

khi x = 0

khi x = 1

khi x = 2

khi x = 3

nếu

22

với mọi 1 2, ,..., nx x x

khi và chỉ khi f x kx ,trong đó k là hằng số tùy ý.

2.8. ĐẶC TÍNH CỦA PHÂN PHỐI CHUẨN

Biết rõ rằng, nếu 1 2 3, , ,... nx x x x là một biến ngẫu nhiên từ một phân

phối chuẩn với trung bình µ và phương sai σ2 , thì ước lượng hợp lý

cực đại (MLE) của tham số vị trí µ được cho bởi giá trị trung bình

mẫu 1

/n

i

i

x x n

. Nếu ước lượng hợp lý cực đại của một tham số vị

trí cho một tổng thể được tính bằng cách lấy giá trị trung bình mẫu,

có thật là phân phối cho tổng thể đó là chuẩn? Câu trả lời cho điều

này đã được kiểm chứng và việc chứng minh đã được thực hiện bởi

Gaus (1809). Trong phần này, với việc sử dụng hàm Cauchy cộng

tính, chúng tôi trình bày những đặc tính đầu tiên của phân phối

chuẩn. Teicher (1961) đã đặc trưng hóa phân phối chuẩn dựa vào

MLE bằng cách làm giảm đi điều kiện được yêu cầu bởi Gauss

(1809). Marshall và Olkin (1993) mở rộng kết quả của Teicher đến

phân phối chuẩn đa chiều. Stadje (1993) cũng đã nghiên cứu vấn đề

đặc tính, nhưng ngoài những điều kiện khác ví dụ cỡ mẫu n = 2,3,4

cùng một lúc. Chúng tôi đã phỏng theo một chứng minh gần đây bởi

Azzalini và Gento (2007) chỉ sử dụng một giá trị của kích thước mẫu

n, với 3n .

Định lý 2.4. Xét một tập hợp vị trí hàm cho một biến ngẫu nhiên liên

tục trên không gian một chiều, sao cho với bất kỳ lựa chon ,

hàm mật độ xác suất tuông ứng tại điểm x là f x µ . Giả sử

23

rằng một mẫu ngẫu nhiên với kích thước 3n được lấy từ một đơn

vị của tập hợp hàm này, và với những điều kiện sau:

1. F(x) là hàm vi phân của x và đạo hàm cuả nó 'f x là liên

tục ở ít nhất một điểm x

2. Với mỗi tập hợp giá trị của biến, 1 2 3, , ,... nx x x x , giá trị trung

bình của biến 1

/n

iix x n

là một nghiệm của phương

trình hợp lý cho tham số vị trí µ.

thì hàm mật độ xác suất f x µ là hàm mật độ chuẩn một

chiều được cho bởi

21

2

2

1

2

x

f x µ e

Với vài giá trị dương của 2 .

24

KẾT LUẬN

Luận văn đã trình bày một cách khái quát lịch sử phát triển

của phương trình hàm nói riêng trong sự phát triển chung của Toán

học, định nghĩa và các ví dụ về phương trình hàm.

Luận văn trình bày hệ thống các kiến thức về phương trình

hàm Cauchy và mở rộng và ứng dụng của phương trình hàm Cauchy,

cụ thể:

- Trình bày định nghĩa và các ví dụ về phương trình hàm

Cauchy

- Xem xét bài toán mở rộng phương trình hàm Cauchy cộng

tính từ một miền nhỏ hơn đến một miền lớn hơn, trong đó trình bày

các định lí, chứng minh.

- Trình bày các ứng dụng của phương trình hàm Cauchy,

bắt gặp phương trình hàm Cauchy trong công thức tính diện tích hình

chữ nhật, xác định Logarit, công thức lãi đơn, lãi kép, sự phân rã của

phóng xạ, đặc tính phân phối bội, đặc tính của tính phân phối chuẩn

rời rạc

Tôi mong muốn luận văn của mình đã góp phần cho chúng ta

nhận thấy rằng hàm Cauchy xuất hiện trong việc định tính các công

thức toán học.