BÀI 2 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM SỐeldata3.neu.topica.vn/TXTOCB01/Giao trinh/03.NEU_TXTOCB01_Bai2_… · ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM SỐ ... trước hết bạn

Bài 2: Đạo hàm và vi phân của hàm số

16 TXTOCB01_Bai2_v1.0014105205

BÀI 2

ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM SỐ

Hướng dẫn học

Để học tốt bài này, sinh viên cần tham khảo các phương pháp học sau:

Học đúng lịch trình của môn học theo tuần, làm các bài luyện tập đầy đủ và tham gia thảo luận trên diễn đàn.

Đọc tài liệu:

1. BỘ MÔN TOÁN CƠ BẢN, 2009, Bài tập toán cao cấp cho các nhà kinh tế, NXB Thống kê.

2. NGUYỄN ĐÌNH TRÍ, TẠ VĂN ĐĨNH, NGUYỄN HỒ QUỲNH, 2008, Toán cao cấp 2, NXB Giáo dục.

3. NGUYỄN ĐÌNH TRÍ, TẠ VĂN ĐĨNH, NGUYỄN HỒ QUỲNH, 2008, Toán cao cấp 3, NXB Giáo dục.

4. ALPHA C. CHIANG,1995, Fundamental Methods of Mathematical Economics, Third edition, Mc. Graw–Hill, Inc.

5. MICHAEL HOY,JOHN LIVERNOIS, CHRIS MC KENNA, RAY REES, THANASIS STENGOS, 2001, Mathematics for Economics, The MIT Press Cambrige, Massachusetts, London, England.

Sinh viên làm việc theo nhóm và trao đổi với giảng viên trực tiếp tại lớp học hoặcqua email.

Tham khảo các thông tin từ trang Web môn học.

Nội dung

Khái niệm đạo hàm;

Đạo hàm của các hàm sơ cấp cơ bản;

Các quy tắc tính đạo hàm;

Vi phân của hàm số;

Đạo hàm cấp cao và vi phân cấp cao.

Mục tiêu

Trình bày khái niệm đạo hàm: đạo hàm tại 1 điểm, đạo hàm trên một miền;

Áp dụng được các quy tắc tính đạo hàm để tính được thành thạo đạo hàm của một hàm số cụ thể (quy tắc đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương và đạo hàm của hàm hợp);

Biết sử dụng phương pháp mũ hóa hoặc logarit hóa để tính đạo hàm của biểu thức lũy thừa mũ;

Nắm được khái niệm, cách tính vi phân tại 1 điểm, biểu thức vi phân;

Tính được đạo hàm và vi phân cấp cao (cấp 2).


TXTOCB01_Bai2_v1.0014105205 17

Tình huống dẫn nhập Giả sử lượng cung đối với một loại sản phẩm có dạng:

2SQ 500 p 2p

Trong đó QS là lượng cung, p là giá của sản phẩm.

Qua biểu thức quan hệ giữa lượng cung Q

S và giá p ta thấy rằng hàm cung là

hàm đơn điệu tăng – nghĩa là khi giá p tăng thì lượng cung QS cũng tăng theo,

bạn hãy ước lượng “tốc độ tăng tức thời” của lượng cung tại mức giá p0?


18 TXTOCB01_Bai2_v1.0014105205

2.1. Khái niệm đạo hàm

2.1.1. Đạo hàm của hàm số tại một điểm

Giả sử hàm số y = f(x) xác định trong khoảng (a; b). Nếu xuất phát từ điểm

0x (a;b) ta cho biến độc lập thay đổi giá trị đến điểm x (a;b) thì biến phụ thuộc y

sẽ thay đổi giá trị tư f(x0) đến f(x). Hiệu số Δx = x – x0 chỉ lượng thay đổi giá trị của biến độc lập, được gọi là số gia của đối số, còn hiệu số

Δy = Δf(x0) = f(x) – f(x0) = f(x0 + Δx) – f(x0)

Chỉ lượng thay đổi giá trị tương ứng của y, được gọi là số gia tương ứng của hàm số (ta sử dụng ký hiệu Δ để chỉ số gia, hay lượng thay đổi trị số của các biến số).

Với Δx ≠ 0, tỷ số

0 0 0

0

f (x x) f (x ) f (x) f (x )y

x x x x

(2.1)

Biểu diễn tốc độ biến thiên trung bình của biến số y khi biến số x thay đổi giá trị từ x0 đến x. Nếu tỷ số này có giới hạn hữu hạn khi Δx→0 thì con số giới hạn cho biết tốc độ biến thiên tức thời của hàm số tại điểm x0.

Định nghĩa: Nếu tỷ số (2.1) có giới hạn hữu hạn khi Δx→0

x 0

ylim k

x

Thì số k được gọi là đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0.

Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0 được biểu diễn bằng một trong các ký hiệu sau:

0 00 0

dy(x ) df (x )y '(x ), f '(x ), ,

dx dx

Theo định nghĩa ta có:

0

0 0 00 x 0 x 0

0

x x0

f (x ) f (x x) f (x )f '(x ) lim lim

x xf (x) f (x )

limx x

Ví dụ 1: Xét hàm số f(x) = x2 tại điểm x0 bất kỳ, ta có 2 2

0 0 0 00

f (x ) (x x) x (2x x) x2x x

x x x

Theo định nghĩa đạo hàm, ta có:

0 0 0x 0 x 0

yf '(x ) lim lim 2x x 2x

x

Ví dụ 2: Xét hàm số f(x) = sinx tại điểm x0 bất kỳ, ta có

0 0

0 0

0 0

00 x x x x

0 0

0

00x x x x

0

x x x x2cos sins inx sin x 2 2f '(x ) lim lim

x x x x

x xsinx x 2lim cos lim cos x

x x22


TXTOCB01_Bai2_v1.0014105205 19

Chú ý: Nếu giới hạn của tỷ số (2.1) khi Δx → 0 được tính riêng từng phía (Δx → 0+,

Δx → 0–) thì các giới hạn tương ứng được gọi là đạo hàm một phía (đạo hàm bên

phải, đạo hàm bên trái) của hàm số y = f(x) tại điểm x0. Các đạo hàm một phía được

ký hiệu như sau:

Đạo hàm bên phải: ' ' 00 x 0

f (x )y f (x ) lim

x

Đạo hàm bên trái: ' ' 00

x 0

f (x )y f (x ) lim

x

Hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm x0 khi và chỉ khi tại điểm đó đạo hàm bên phải

và đạo hàm bên trái cùng tồn tại và bằng nhau: ' '

0 0 0f '(x ) k f (x ) f (x ) k

Ví dụ: Xét hàm số f(x) = |x| tại điểm x0 = 0, ta có

0 x 0 xf (0)

x x x

+D - DD= =

D D D

Đạo hàm bên phải: '

x 0x 0x 0

xyf (0) lim lim 1

x x

Đạo hàm bên trái: '

x 0x 0x 0

xyf (0) lim lim 1

x x

Tại điểm 0 hàm số f(x) = |x| không có đạo hàm vì các đạo hàm một phía không

bằng nhau.

2.1.2. Tính liên tục của hàm số có đạo hàm

Định lý: Nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại điểm x0 thì nó liên tục tại điểm đó.

Chứng minh: Thật vậy, nếu tồn tại f’(x0) thì

0 0

00 0 0

x x x x0

f (x) f (x )lim[f (x) f (x )] lim (x x ) f '(x ).0 0

x x

Từ đây suy ra:

00

x xlim f (x) f (x )

Điều này chứng tỏ hàm số f(x) liên tục tại x0.

Chú ý: Định lý khẳng định rằng hàm số liên tục tại tất cả các điểm mà tại đó nó có đạo

hàm. Tuy nhiên, một hàm số liên tục tại một điểm chưa chắc có đạo hàm tại điểm đó.

Chẳng hạn, hàm số f(x) = |x| liên tục tại điểm x = 0, nhưng không có đạo hàm tại

điểm đó.

2.1.3. Đạo hàm và độ dốc của đường cong

Như ta đã biết, hệ số góc của một đường thẳng biểu thị độ dốc của đường thẳng đó so

với trục Ox. Độ dốc của đường cong y = f(x) tại điểm M0 được đo bởi hệ số góc của

tiếp tuyến kẻ tại điểm đó.


20 TXTOCB01_Bai2_v1.0014105205

Nếu thay đổi giá trị của biến độc lập từ x0 đến x0 + Δx thì điểm tương ứng trên đồ thị xê dịch từ vị trí M0 đến vị trí M. Số gia Δx có giá trị tuyệt đối càng nhỏ thì điểm M càng gần điểm M0. Gọi φ là góc nghiêng của đường thẳng M0M là α là góc nghiêng

của tiếp tuyến M0T với trục hoành, ta có:

0

NM ytg

M N x

(2.2)

Với x0 cố định và Δx→0 thì điểm M tiến dần đến vị trí M0 và đường thẳng M0M tiến

dần tới vị trí giới hạn là tiếp tuyến M0T, đồng thời φ → α. Từ đẳng thức (2.2) suy ra:

0x 0

ylim lim tg tg f '(x ) tg

x

Từ đây suy ra: Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M0 có hoành độ x = x0. Như vậy, đạo hàm f’(x0) là số đo độ dốc của đường cong y = f(x) tại điểm M0[x0, f(x0)].

2.1.4. Đạo hàm của hàm số trên một miền

Theo định nghĩa thì đạo hàm của hàm số y = f(x) tại một điểm x0 là một số thực xác định. Nếu hàm số có đạo hàm tại mọi điểm thuộc một miền X thì mỗi giá trị x X cho

tương ứng một giá trị xác định của đạo hàm y’, do đó ta có hàm số: y’ f’ x

Ta gọi hàm số này là đạo hàm của hàm số y = f(x) trên miền X

Ví dụ:

Đạo hàm của hàm số y = x2 là hàm số y’ = 2x (x R)

Đạo hàm của hàm số f(x) = sinx là hàm số f’(x) = cosx (x R)

2.2. Đạo hàm của các hàm sơ cấp cơ bản

Để thực hiện việc tính toán đạo hàm, trước hết bạn cần ghi nhớ các công thức đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản. Các công thức sau đây được thiết lập trực tiếp theo định nghĩa.

1. (C) ' 0

12. (x ) ' x ; (x) ' 1

x x x x3. (a ) ' a ln a; (e ) ' e

0 x0 x0+x x

y

M0

y = f(x) N

T

M


TXTOCB01_Bai2_v1.0014105205 21

a

1 14. (log x) ' ; (ln x) '

x ln a x

5. (sin x) ' cos x

6. (cos x) ' sin x

2

17. (tan x) '

cos x

2

18. (cot x) '

sin x

2.3. Các quy tắc tính đạo hàm

2.3.1. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương các hàm số

Định lý 1: Nếu các hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm tại điểm x0 thì tại điểm đó:

1. (u v) ' u ' v '

2. (ku) ' ku ' (k là hằng số bất kỳ)

3. (uv) ' u 'v uv '

'

2

u u 'v uv '4. (v 0)

v v

Ví dụ 1: Tính đạo hàm của hàm số 4 3 2y 2x 3x 5x 4x 3

Giải: Sử dụng các quy tắc 1 và 2 trong định lý 1, ta được 4 3 2 3 2y ' 2(x ) ' 3(x ) ' 5(x ) ' 4(x) ' 0 8x 9x 10x 4

Ví dụ 2: Tính đạo hàm của hàm số

52 3 32y x x 5 x x

x x

Giải: Để dễ sử dụng công thức đạo hàm của hàm lũy thừa, ta viết biểu thức hàm số dưới dạng

7 43

3 152y x 2x 5x

Sử dụng các quy tắc 1 và 2 trong định lý 1, ta được 4 115

3 152

3 154 11

5

7 3 4y ' x 2 x 5 x

3 2 15

7 3 4x x

3 3x

Ví dụ 3: Tính đạo hàm của hàm số 3 xf (x) x e

Giải: Sử dụng quy tắc 3 về đạo hàm của tích (với u = x3, v = lnx), ta có 3 x 3 x 2 x 3 x 2 xf '(x) (x ) 'e x .(e ) ' 3x e x e x (3 x)e

Ví dụ 4: Tính đạo hàm của hàm số 4

ln xy

x


22 TXTOCB01_Bai2_v1.0014105205

Sử dụng quy tắc 4 về đạo hàm của thương (với u = lnx, v = x4), ta có

4 34 4

8 8 5

1x (ln x)4x(ln x) 'x (ln x)(x ) ' 1 4ln xxy '

x x x

Ví dụ 5: Tính đạo hàm của hàm số

x sin x cos xy

x cos x sin x

Giải: Đặt u = xsinx + cosx, v = xcosx – sinx, ta có u’ sinx xcosx – sinx xcosx

v’ cosx – xsinx – cosx xsinx’

2

2

2

2

u 'v uv 'y '

vx cos x(x cos x sin x) (x sin x cos x)( x sin x)

(x cos x sin x)

x

(x cos x sin x)

2.3.2. Đạo hàm của hàm hợp

Định lý 2: Nếu hàm số u = φ(x) có đạo hàm tại điểm x0 và hàm số y = f(u) có đạo hàm tại điểm tương ứng u0 = φ(x0) thì hàm hợp y = g(x) = f[φ(x)] có đạo hàm tại điểm x0 và đạo hàm của hàm hợp (đạo hàm của y theo x) được tính theo công thức:

0 0 0y’ x g’ x f’ u . ' x φ (2.3)

Công thức (2.3) có thể viết dưới dạng: ' ' 'x u xy y .u (2.3’)

Ví dụ 1: Hàm số y = sin5x là hàm hợp của hai hàm cơ bản y = u5 và u = sinx. Theo quy tắc nói trên ta có

5 ' 4 4uy ' (u ) (sin x) ' 5u .cos x 5sin x.cos x

Chú ý: Áp dụng quy tắc đạo hàm của hàm hợp, nếu u = φ(x) là một hàm số có đạo hàm thì các công thức đạo hàm cơ bản được sử dụng như sau:

11. (u ) ' u u '

u1'. ( u ) ' '

2 u

u u2. (a ) ' (a ln a).u '

u u2 '. (e ) ' e .u '

a

u '3. (log u) '

u ln a

u '3'. (ln u) '

u

4. (sin u) ' (cos u).u '

5. (cos u) ' ( sin u).u '

2

u '6. (tan u) '

cos u

2

u '7. (cot u) '

sin x


TXTOCB01_Bai2_v1.0014105205 23

Ví dụ 2: Sử dụng các công thức 2’, 4, 5 với u = kx ta có:

' ' 'kx kxe k.e ; sin kx k.cos kx : cos kx k.sin kx

Ví dụ 3: Tính đạo hàm của hàm số 10y (3x 2)

Giải: Sử dụng công thức 1 với u = 3x + 2, ta có 9 9y ' 10(3x 2) (3x 2) ' 30(3x 2)

Ví dụ 4: Tính đạo hàm của hàm số y = etan x

Giải: Sử dụng công thức 2’, với u = tan x, ta có tan x

tgx2

ey ' e (tan x) '

cos x

Ví dụ 5: Tính đạo hàm của hàm số 2y x m

Giải: Sử dụng công thức 1’ với u = x2 + m, ta có 2

2

2 2

(x m) ' xy ' ( x m)

2 x m x m

Ví dụ 6: Tính đạo hàm của hàm số 2y ln(x x m)

Giải:

'2

2

2 2 2

x1x x m 1x my '

x x m x x m x m

Ví dụ 7: Tính đạo hàm của hàm số 2 2 2

xy

a x a

Giải: Sử dụng phối hợp các quy tắc tính đạo hàm, ta có

2 2

2 2

22 2 2 2 22 2

x1. x a x

1 1x ay 'a (x a ) x ax a

2.3.3. Đạo hàm của biểu thức lũy thừa mũ và phương pháp logarit hóa

Biểu thức lũy thừa mũ là biểu thức dạng y = uv, trong đó u = u(x), v = v(x) là các hàm số đối số x và u(x) > 0. Do cả cơ số u và lũy thừa v đều phụ thuộc x, khi tính đạo hàm của biểu thức loại này ta không thể áp dụng trực tiếp các công thức đạo hàm của hàm số mũ và hàm lũy thừa. Để tính đạo hàm, ta viết lại biểu thức hàm số dưới dạng:

ln y vln uy e e

Với giả thiết các hàm số u = u(x), v = v(x) có đạo hàm, ta có

vln u ' v v.u 'y ' e (v ln u) u v 'ln u

u

Ta cũng có thể tính đạo hàm của hàm số y = uv bằng phương pháp logarit hóa

như sau:

Lấy logarit của y (cơ số e): lny = vlnu;


24 TXTOCB01_Bai2_v1.0014105205

Lấy đạo hàm hai vế ta được y ' u '

v 'ln u vy u , từ đây suy ra:

vu ' u 'y ' y v ' ln u v u v 'ln u v

u u

Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số sin x2y 1 x

Giải: Ta có

2 2 '

2 '2

2

2 sin x 22

ln y sin x 1 x (ln y) ' [sin x.ln(1 x )]

y ' (1 x )cos x ln(1 x ) sin x

y 1 x

2x sin xy ' (1 x ) cos x.ln(1 x )

1 x

2.4. Vi phân của hàm số

2.4.1. Khái niệm hàm khả vi và vi phân

Định nghĩa: Hàm số f(x) được gọi là hàm khả vi tại điểm x0 chỉ khi nó có đạo hàm tại điểm đó. Tích của đạo hàm f’(x0) với số gia Δx của biến độc lập được gọi là vi phân của hàm số f(x) tại điểm x0 và được ký hiệu là df(x0):

0 0df x f’ x . x

Ví dụ: Hàm số f(x) = x3 khả vi tại điểm x bất kỳ vì nó có đạo hàm tại mọi điểm

2f’ x 3x , x R

Vi phân của hàm số này tại điểm x0 bất kỳ là:

20 0 0df x f’ x x 3x . x

2.4.2. Biểu thức vi phân

Nếu hàm số y = f(x) khả vi tại mọi điểm thuộc khoảng X thì biểu thức vi phân df(x) = f’(x).Δx là một hàm số đối số x, xác định trên khoảng X (Δx là số gia bất kỳ, không phụ thuộc vào x):

df x f’ x . x (2.4)

Áp dụng công thức trên cho hàm số f(x) = x ta có

dx x ’ x x

Như vậy, vi phân của biến độc lập x bằng số gia của nó, do đó trong biểu thức (2.4) người ta thường viết dx thay vì Δx. Biểu thức vi phân của hàm số y = f(x) thường được viết dưới dạng:

df x f’ x .dx

Hoặc:

xdy y’ dx (2.5)

Để tính vi phân của một hàm số ta tính đạo hàm của nó, sau đó nhân với vi phân của biến độc lập


TXTOCB01_Bai2_v1.0014105205 25

Ví dụ:

3 3 2d x 3x x 3x ’dx 3x 3 dx

d sin 2x sin 2x ’dx 2cos 2x.dx

'2 2

2

xdxd 1 x 1 x dx

1 x

2.4.3. Các quy tắc tính vi phân

Vi phân của tổng, hiệu, tích, thương các hàm số:

Định lý: Nếu các hàm số u = u(x) và v = v(x) khả vi tại điểm x thì tại điểm đó ta có:

1. d(u v) du dv

2. d(ku) kdu (k là hằng số bất kỳ)

3. d(uv) vdu udv

2

u vdu udv4. d (v 0)

v v

Các quy tắc trên suy ra trực tiếp từ các quy tắc tính đạo hàm. Chẳng hạn, quy tắc tính vi phân của tích được chứng minh như sau:

d uv uv ’dx u’v uv’ dx u’dx v u v’dx vdu udv

Tính bất biến của biểu thức vi phân:

Nếu y = f(x) là hàm số khả vi của biến độc lập x thì vi phân của nó được tính theo công thức (2.5). Ta hãy xét trường hợp x là hàm số khả vi của một biến độc lập t nào đó: x = φ(t). Khi đó y là hàm số của biến độc lập t:

y f t

Theo công thức tính vi phân và theo quy tắc tính đạo hàm của hàm hợp, ta có: ' ' ' ' ' 't x t x t xdy y dt (y x )dt y (x dt) y dx

Như vậy: Biểu thức vi phân (2.5) vẫn giữ nguyên dạng trong trường hợp biểu thức x không phải là biến độc lập, mà phụ thuộc vào biến độc lập khác. Nói cách khác, biểu thức vi phân (2.5) bất biến đổi với phép biến đổibiến số x= φ(t).

Chú ý: Trong trường hợp x là biến phụ thuộc, dx trong biểu thức vi phân 'xdy y dx

không còn là gia số Δx, mà là vi phân của hàm số x= φ(t): 'tdx x dt

2.5. Đạo hàm và vi phân cấp cao

2.5.1. Đạo hàm cấp cao

Như ta đã biết, nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại mọi điểm thuộc miền thì đạo hàm y; = f’(x) là một hàm số đối số x, xác định trong miền X, do đó ta có thể lấy đạo hàm của hàm số y’ = f’(x). Đạo hàm của đạo hàm của hàm số y = f(x) được gọi là đạo hàm cấp hai của hàm số đó. Tiếp theo ta lại có thể xét đạo hàm cấp hai của hàm số y = f(x) như một hàm số đối số x và lấy đạo hàm của nó.

Định nghĩa: Đạo hàm của đạo hàm cấp n – 1 của hàm số y = f(x) được gọi là đạo hàm cấp n của hàm số đó.


26 TXTOCB01_Bai2_v1.0014105205

Các đạo hàm cấp cao của hàm số y = f(x) được ký hiệu như sau:

Đạo hàm cấp 2: y" f "(x) hoặc 2 2

2 2

d y d f (x)

dx dx

Đạo hàm cấp 3: y ''' f '''(x) hoặc 3 3

3 3

d y d f (x)

dx dx

…

Đạo hàm cấp n: (n) (n)y f (x) hoặc n n

n n

d y d f (x)

dx dx

Đạo hàm cấp cao của hàm số còn được gọi là đạo hàm lặp. Để tính đạo hàm cấp n của hàm số y = f(x), ta thực hiện phép toán đạo hàm liên tiếp n lần:

(n) (n 1)y ' f '(x), y" (y ') ', y ''' (y") ', , y [y ]'

Ví dụ 1: Tính đạo hàm cấp 2 của hàm số y = tan x

Giải:

22

1y ' cos x

cos x

33

2sin xy" (y ') ' 2cos x.(cos x) '

cos x

Ví dụ 2: Tính đạo hàm cấp 3 của hàm số: f(x) = ln(1 + x2)

Giải: 2

2 2 2

2x 2(1 x ) 2x.2xf '(x) ; f "(x) [f '(x)]'

1 x (1 x )

Ví dụ 3: Tính đạo hàm cấp n của hàm số y = ekx

Giải:

Ta có: y’ = kekx, y’’ = k2ekx, y’’’=k3ekx,…

Bằng phương pháp quy nạp bạn có thể chứng minh được rằng (n) n kxy k e

2.5.2. Vi phân cấp cao

Nếu hàm số y = f(x) khả vi tại mọi điểm thuộc một miền X thì vi phân dy là một hàm số của biến x:

dy f’ x dx

trong đó vi phân dx của biến độc lập x là số gia Δx, không phụ thuộc x. Khái niệm vi phân cấp cao được định nghĩa tương tự như đạo hàm cấp cao:

Định nghĩa: Vi phân cấp n của hàm số y = f(x) là vi phân của vi phân cấp n–1 của hàm số đó (ta gọi vi phân dy là vi phân cấp 1).

Vi phân cấp n của hàm số y = f(x) được ký hiệu là dny, dnf(x):

n n 1d y d d y

Trong công thức vi phân dy = y’dx đạo hàm y’ phụ thuộc x, còn dx = Δx là số gia bất kỳ của biến độc lập x, không phụ thuộc x. Do đó, khi xem dy như một hàm số của x thì dx được xem như hằng số.


TXTOCB01_Bai2_v1.0014105205 27

Ta có: 2

2

d y d(dy) d[y'(x)dx] dx.d[y'(x)]

dx.[y'(x)']dx y”(x)(dx)

Bằng phương pháp quy nạp ta có thể chứng minh công thức tính vi phân cấp n của một hàm số theo đạohàm cấp n của nó:

nn (n)d y y dx

Hoặc

nn (n)d f x f x . dx

Chú ý rằng biểu thức vi phân cấp cao không có tính bất biến như biểu thức vi phân cấp một, tức là với n > 1 công thức này chỉ đúng khi x là biến độc lập.


28 TXTOCB01_Bai2_v1.0014105205

Tóm lược cuối bài

Đạo hàm tại 1 điểm: ' 0 00

x 0

f (x x) f (x )f (x ) lim k R

x

Hàm số đạo hàm (đạo hàm trên một miền): ' '0 0f : x f (x )

Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương:

(u ± v)’ = u’ ± v’

(u.v)’ = u’.v + u.v’ → (k.v)’ = k.v’ ' ' '

2

u u .v u.v

v v

Đạo hàm của hàm hợp: y’x = y’

u.u’

x

Vi phân tại 1 điểm: df(x0) = f ’(x

0).Δx

Biểu thức vi phân: df(x) = f ’(x).dx


TXTOCB01_Bai2_v1.0014105205 29

Câu hỏi ôn tập

1. Nêu định nghĩa đạo hàm tại một điểm.

2. Nêu công thức đạo hàm của các hàm cơ bản.

3. Nêu công thức đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương.

4. Nêu công thức đạo hàm của hàm hợp.

5. Nêu công thức tính vi phân.

6. Tính đạo hàm của: 3 2y 2x 5x 7 tan x

7. Tính đạo hàm của:

xy 2x 5 .e


24 5x 7xy

3x 1


2 4xy 2x 7x 2 .e


3x 1y

4 5x

11. Viết biểu thức vi phân của hàm số: tan3xy e

12. Tính đạo hàm cấp 2 của:

y ln 2x 3

13. Tính đạo hàm cấp 2 của:

2 sin 2xy x 3x 1 e

Documents

BÀI 2 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM SỐeldata3.neu.topica.vn/TXTOCB01/Giao trinh/03.NEU_TXTOCB01_Bai2_… · ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM SỐ ... trước hết bạn