e-skriptá: http://kf-lin.elf.stuba.sk/~ballo/STU_online/index.html

D. Olčák, Z. Gibová: Mechanický pohyb častice a telesa (2014), str. 48-61

J. Hlaváčová a kol.: Fyzika I (2005), str. 19 – 30

3 DYNAMIKA SÚSTAVY HMOTNÝCH

BODOV A TUHÉHO TELESA

D. Olčák, Z. Gibová: Mechanický pohyb častice a telesa (2014), str. 63-81

J. Hlaváčová a kol.: Fyzika I (2005), str. 31 – 43

4 MECHANICKÉ KMITY

Ciele

3 DYNAMIKA SÚSTAVY HMOTNÝCH BODOV A TUHÉHO TELESA

Kyvadlový pohyb

4 MECHANICKÉ KMITY

Netlmený harmonický kmitavý pohyb

Tlmený harmonický kmitavý pohyb

V roku 1610 pozoroval Galilei štyri mesiace

Jupitera. Podľa pozorovania sa každý

mesiac pohyboval po úsečke tam a späť.

Čo v skutočnosti Galilei videl?

Problémy

3

Zopakujte si

• Výslednica všetkých vonkajších síl pôsobiacich na izolovanú sústavu je

...................., výsledný moment všetkých vonkajších síl je ....................

• Pre izolovanú sústavu HB (telies) platia zákony zachovania ....................

a .............................

• Moment zotrvačnosti charakterizuje .........................................................

• Moment zotrvačnosti je definovaný vzťahom ............................

• Rýchlosť HB je definovaná ako prvá derivácia ....................... podľa ......

a zrýchlenie ako druhá derivácia ..................... podľa ........... .

• Pohybová rovnica (vyjadrenie sily pomocou 2. NPZ) pre súradnicu x

posuvného pohybu má tvar ............ .

nulová nulový

hybnosti

momentu hybnosti

schopnosť zotrvať v otáčavom pohybe

polohového

vektora časučasurýchlosti

𝐹 = 𝑚𝑎 = 𝑚𝑑2𝑥

𝑑𝑡2

1. PR – veta o hybnosti sústavy:

Výslednica všetkých vonkajších síl pôsobiacich na sústavu HB

(teleso) je rovná časovej zmene hybnosti sústavy HB (telesa).

používa sa pre posuvný pohyb

Pohybové rovnice sústavy HB a TT

Veta o pohybe ťažiska:

Ťažisko sústavy HB (telesa) sa pohybuje tak, ako by sa

pohyboval jeden HB, ktorého hmotnosť je rovná hmotnosti

sústavy (telesa), keby naň pôsobila sila rovná výslednici

všetkých vonkajších síl pôsobiacich na sústavu HB (teleso).

TT am

dt

rdmF

2

2

dt

pdF

2. PR– veta o momente hybnosti:

vektorový súčet momentov všetkých vonkajších síl

pôsobiacich na sústavu HB (teleso) je rovný časovej zmene

momentu hybnosti sústavy HB (telesa).

používa sa pre rotačný pohyb telesa, krivočiary pohyb HB

dt

LdM

POZOR NA VÝZNAM SYMBOLOV!

Zákony zachovania

Izolovaná sústava HB – výslednica všetkých vonkajších síl pôsobiacich na sústavu

je nulová, výsledný moment všetkých vonkajších síl je nulový

Zákon zachovania hybnosti: celková hybnosť izolovanej

sústavy HB sa zachováva

Zákon zachovania momentu hybnosti: celkový moment

hybnosti izolovanej sústavy HB ostáva konštantný

vzhľadom k ľubovoľnému vzťažnému bodu

Zákon zachovania mechanickej energie: súčet kinetickej a potenciálnej energie

sústavy HB (telesa) je rovnaký v každom bode konzervatívneho silového poľa

Moment zotrvačnosti

Schopnosť zotrvať v pohybovom stave charakterizuje veličina hmotnosť.

Schopnosť TT zotrvať v otáčavom pohybe – moment zotrvačnosti

Steinerova veta – moment zotrvačnosti I telesa vzhľadom

k ľubovoľnej osi je rovný súčtu momentu zotrvačnosti I0

vzhľadom k osi prechádzajúcej ťažiskom rovnobežnej

s uvažovanou osou a súčinu hmotnosti telesa a druhej

mocniny kolmej vzdialenosti obidvoch osí

m

dmrI 2

Moment zotrvačnosti – definovaný ako integrál zo

súčinu hmotného elementu dm a druhej mocniny jeho

vzdialenosti r od osi otáčania

2

0 maII

Moment zotrvačnosti

Moment hybnosti telesa rotujúceho okolo pevnej osi – určený

súčinom momentu zotrvačnosti telesa I vzhľadom k osi

rotácie a uhlovej rýchlosti w. Vektor L leží na osi rotácie a

jeho orientácia je určená smerom otáčania.

Pohybová rovnica pre rotačný pohyb telesa – moment

všetkých vonkajších síl otáčajúcich teleso okolo pevnej osi

je rovný súčinu momentu zotrvačnosti I vzhľadom k tejto

osi a uhlového zrýchlenia telesa

Kinetická energia rotačného pohybu – jedna polovica zo súčinu

momentu zotrvačnosti telesa a druhej mocniny uhlovej

rýchlosti

Kinetická energia zloženého pohybu – rovná súčtu kinetickej

energie rotačného pohybu telesa a kinetickej energie

translačného pohybu telesa (danej rýchlosťou pohybu

ťažiska)

w

IL

IM

2

21

, wIE rotk

2

212

21

,,

Tk

trkrotkk

mvIE

EEE

w

Translačný pohyb Rotačný pohyb

Dráha s Uhlová dráha

Rýchlosť v w Uhlová rýchlosť

Zrýchlenie a α Uhlové zrýchlenie

Rovnice pohybu

a = konšt.

Rovnice pohybu

α = konšt.

Rovnice pohybu

všeobecne

Rovnice pohybupevná os, všeob.

Hmotnosť m I Moment

zotrvačnosti

Hybnosť L = Iw Moment hybnosti

Sila M = Iα Moment sily

Práca sily Práca momentu

sily

Kinetická energia Kinetická energia

Výkon Mw Výkon

0

0

w

ww

dt

dt

0

0

rdtvr

vdtav

2

21

0

0

attvs

atvv

2

21

0

0

tt

t

w

ww

Kyvadlový pohyb

špeciálny prípad otáčavého pohybu, pri ktorom moment sily M má vždy opačný

smer ako je smer výchylky z rovnovážnej polohy a jeho hodnota je

priamoúmerná veľkosti výchylky

Kyvadlový pohyb

Fyzikálne kyvadlo – teleso ľubovoľného

tvaru, ktoré vplyvom tiažovej sily môže

vykonávať kyvadlový pohyb okolo

vodorovnej osi neprechádzajúcej ťažiskom

I – moment zotrvačnosti vzhľadom na os

otáčania

mga

I2T

g

l2T

Matematické kyvadlo – tvorí ho guľôčka

na niti zanedbateľnej hmotnosti

l – dĺžka nite

Perióda

Perióda

f – frekvencia

w – uhlová

frekvencia

Tf

1

T

w

2

Kyvadlový pohyb

Torzné kyvadlo môže byt’ realizované

pomocou dosky upevnenej v jej strede

na zvislom vlákne alebo tyči. Pohyb

torzného kyvadla spôsobujú pružné

sily, ktoré vznikajú pri skrúcaní vlákna

alebo tyče.

4 MECHANICKÉ KMITY

Oscilátor – zariadenie, ktoré vykonáva kmitavý

pohyb

Perióda – doba, za ktorú sa uskutoční jeden kmit

Frekvencia – počet kmitov za sekundu

Harmonický kmitavý pohyb – pohyb, ktorý sa dá

popísať funkciou sínus (kosínus), podobne ako

súradnice polohy pri rovnomernom pohybe po

kružnici

Periodický pohyb – pohyb, ktorý sa pravidelne opakuje (tlkot srdca, kyvadlá,

membrány v reproduktore, atómy v látke, ....)

Mechanické kmitanie (oscilácia) – taký mechanický pohyb HB, pri ktorom je

HB viazaný na rovnovážnu polohu (pri svojom pohybe neprekročí konečnú

vzdialenosť od tejto polohy), pohyb sa periodicky opakuje

Aplet-I.16.1

w

sin

cos 0

Ry

tRx

Pohyb mesiacov Jupitera – čo v skutočnosti

Galilei videl?

14

Perióda pohybu odčítaná

z grafu je 16,8 dní.

Na grafe je zobrazená časová

závislosť polohy Callista podľa

Galilleiho záznamov (krúžky) z roku

1610, krivka bola zostrojená v

súčasnosti. Podobá sa na krivku

harmonického pohybu.

Galilei pozoroval pohyb mesiacov Jupitera v jednej rovine –

z boku, teda videl priemety ich rovnomerných pohybov po

kružnici do úsečiek.

V skutočnosti Callisto obieha okolo

Jupitera s konštantnou rýchlosťou po

takmer kruhovej trajektórii.

Netlmený harmonický kmitavý pohyb

Netlmený harmonický kmitavý pohyb –

pohyb oscilátora vplyvom pružných síl

po priamke okolo rovnovážnej polohy

pružná sila

PR:

Výchylka

Perióda

kde A – amplitúda, w0 – uhlová frekvencia netlmeného harmonického pohybu,

– počiatočná fáza, T0 – perióda netlmeného harmonického pohybu

Aplet-I.17.2

animácia1

animácia2

animácia3

Netlmený harmonický kmitavý pohyb

KONTROLKA: Častica vykonáva harmonický kmitavý pohyb s periódou T0.

V čase t = 0 s sa nachádzala v polohe x = - A. Rozhodnite, či sa v čase

a) t = 2T0,

b) t = 1,5 T0,

c) t = 1/4 T0,

bude nachádzať v bode so súradnicou: x = A, x = - A, x = 0 alebo x

bude z intervalu (-A, 0) alebo z intervalu (0,A).

Trochu matematiky - Derivácie

Netlmený harmonický kmitavý pohyb

Výchylka

Rýchlosť

Zrýchlenie

)sin( 0 w tAx Aplet

Netlmený harmonický kmitavý pohyb

KONTROLKA: V ktorej polohe bude mať oscilátor max. rýchlosť a akým

vzťahom ju môžeme vyjadriť?

Netlmený harmonický kmitavý pohyb

Mechanická energia

Kinetická energia

Potenciálna energia

Mechanická energia

Aplet-I.16.3

Netlmený harmonický kmitavý pohyb

KONTROLKA: Vyberte správnu odpoveď: Kinetická energia NHKP pri prechode

rovnovážnou polohou je

a) najmenšia,

b) najväčšia,

c) polovicou celkovej mechanickej energie. Aplet

Netlmený harmonický kmitavý pohyb

Príklad 5.14: Teleso hmotnosti 5 g vykonáva harmonický kmitavý pohyb opísaný

rovnicou (cm).

Určte amplitúdu, uhlovú frekvenciu, periódu, fázovú konštantu, maximálnu

rýchlosť, maximálne zrýchlenie a celkovú energiu telesa pri tomto kmitavom

pohybe.

Príklad 5.15: Teleso vykonáva harmonický kmitavý pohyb opísaný rovnicou

s frekvenciou 150 kmitov za minútu. Vypočítajte fázovú

konštantu tohto pohybu, ak teleso dosiahlo amplitúdu výchylky po uplynutí

0,3 s od začiatku pohybu.

Príklad 5.36: Akú časť celkovej energie netlmeného lineárneho harmonického

oscilátora tvorí kinetická energia v čase t = T/3, keď fázová konštanta je /6?

2

8

π2sin4 tx

ωtAx sin

Čo sme sa naučili?

- Definovať pojmy mechanické kmitanie, oscilátor, periodický pohyb, harmonický pohyb, perióda, frekvencia. Porovnať harmonický kmitavý pohyb mechanického oscilátora s rovnomerným pohybom po kružnici.- Definovať netlmený kmitavý pohyb z hľadiska dynamiky. Zostaviť pohybovú rovnicu kmitavého pohybu, upraviť ju na diferenciálnu rovnicu bez pravej strany, uviesť jej riešenie – výchylku, popísať a vysvetliť zmysel všetkých veličín v riešení.- Nakresliť grafickú závislosť výchylky od času pre tento netlmený kmitavý pohyb. - Napísať vzťah pre uhlovú frekvenciu a periódu. - Odvodiť rýchlosť a zrýchlenie, znázorniť ich grafickú závislosti od času. Vedieť určiť maximálne hodnoty rýchlosti a zrýchlenia v závislosti od výchylky.- Odvodiť mechanickú energiu pre NHKP a graficky znázorniť, vysvetliť proces premeny energie v oscilátoroch..