Bonyolultságelmélet

Monday 26th September, 2016, 19:17

Bonyolultságelmélet

Az NP osztály

Az NP osztályba mindazok a problémák tartoznak, melyekeldönthetők polinom időigényű nemdeterminisztikus programmal.

Azaz, L ∈ NP, ha van olyan M polinom időkorlátosnemdeterminisztikus program, melyre

ha x ∈ L, akkor M -nek létezik elfogadó futása x-en, ésha x /∈ L, akkor M -nek minden futása elutasítja x-et.

PéldaHamilton-Út, Sat és 3− Színezés NP-beli problémák.

Mivel minden f (n) időigényű program felfogható f (n) időigényűnemdeterminisztikus programként is, így nyilván P ⊆ NP.

Bonyolultságelmélet

Az NP osztály

Az NP osztályba mindazok a problémák tartoznak, melyekeldönthetők polinom időigényű nemdeterminisztikus programmal.

Azaz, L ∈ NP, ha van olyan M polinom időkorlátosnemdeterminisztikus program, melyre

ha x ∈ L, akkor M -nek létezik elfogadó futása x-en, ésha x /∈ L, akkor M -nek minden futása elutasítja x-et.

PéldaHamilton-Út, Sat és 3− Színezés NP-beli problémák.

Mivel minden f (n) időigényű program felfogható f (n) időigényűnemdeterminisztikus programként is, így nyilván P ⊆ NP.

Bonyolultságelmélet

Az NP osztály

Az NP osztályba mindazok a problémák tartoznak, melyekeldönthetők polinom időigényű nemdeterminisztikus programmal.

Azaz, L ∈ NP, ha van olyan M polinom időkorlátosnemdeterminisztikus program, melyre

ha x ∈ L, akkor M -nek létezik elfogadó futása x-en, és

ha x /∈ L, akkor M -nek minden futása elutasítja x-et.

PéldaHamilton-Út, Sat és 3− Színezés NP-beli problémák.

Mivel minden f (n) időigényű program felfogható f (n) időigényűnemdeterminisztikus programként is, így nyilván P ⊆ NP.

Bonyolultságelmélet

Az NP osztály

Az NP osztályba mindazok a problémák tartoznak, melyekeldönthetők polinom időigényű nemdeterminisztikus programmal.

Azaz, L ∈ NP, ha van olyan M polinom időkorlátosnemdeterminisztikus program, melyre

ha x ∈ L, akkor M -nek létezik elfogadó futása x-en, ésha x /∈ L, akkor M -nek minden futása elutasítja x-et.

PéldaHamilton-Út, Sat és 3− Színezés NP-beli problémák.

Mivel minden f (n) időigényű program felfogható f (n) időigényűnemdeterminisztikus programként is, így nyilván P ⊆ NP.

Bonyolultságelmélet

Az NP osztály

Az NP osztályba mindazok a problémák tartoznak, melyekeldönthetők polinom időigényű nemdeterminisztikus programmal.

Azaz, L ∈ NP, ha van olyan M polinom időkorlátosnemdeterminisztikus program, melyre

ha x ∈ L, akkor M -nek létezik elfogadó futása x-en, ésha x /∈ L, akkor M -nek minden futása elutasítja x-et.

PéldaHamilton-Út, Sat és 3− Színezés NP-beli problémák.

Mivel minden f (n) időigényű program felfogható f (n) időigényűnemdeterminisztikus programként is, így nyilván P ⊆ NP.

Bonyolultságelmélet

Az NP osztály

Az NP osztályba mindazok a problémák tartoznak, melyekeldönthetők polinom időigényű nemdeterminisztikus programmal.

Azaz, L ∈ NP, ha van olyan M polinom időkorlátosnemdeterminisztikus program, melyre

ha x ∈ L, akkor M -nek létezik elfogadó futása x-en, ésha x /∈ L, akkor M -nek minden futása elutasítja x-et.

PéldaHamilton-Út, Sat és 3− Színezés NP-beli problémák.

Mivel minden f (n) időigényű program felfogható f (n) időigényűnemdeterminisztikus programként is, így nyilván P ⊆ NP.

Bonyolultságelmélet

Polinomidőben verifikálhatóság

Az előző példákban az algoritmusok mind a következő sémáraépültek fel:

nemdeterminisztikusan generáltak valami „bizonyítékot” arra,hogy az input a problémának egy igen példánya, majddeterminisztikusan ellenőrizték, hogy tényleg jó bizonyítékotsikerült-e generálni.

Ez a séma pontosan karakterizálja az NP osztályt!

Bonyolultságelmélet

Polinomidőben verifikálhatóság

Az előző példákban az algoritmusok mind a következő sémáraépültek fel:

nemdeterminisztikusan generáltak valami „bizonyítékot” arra,hogy az input a problémának egy igen példánya, majd

determinisztikusan ellenőrizték, hogy tényleg jó bizonyítékotsikerült-e generálni.

Ez a séma pontosan karakterizálja az NP osztályt!

Bonyolultságelmélet

Polinomidőben verifikálhatóság

Az előző példákban az algoritmusok mind a következő sémáraépültek fel:

nemdeterminisztikusan generáltak valami „bizonyítékot” arra,hogy az input a problémának egy igen példánya, majddeterminisztikusan ellenőrizték, hogy tényleg jó bizonyítékotsikerült-e generálni.

Ez a séma pontosan karakterizálja az NP osztályt!

Bonyolultságelmélet

Polinomidőben verifikálhatóság

Az előző példákban az algoritmusok mind a következő sémáraépültek fel:

nemdeterminisztikusan generáltak valami „bizonyítékot” arra,hogy az input a problémának egy igen példánya, majddeterminisztikusan ellenőrizték, hogy tényleg jó bizonyítékotsikerült-e generálni.

Ez a séma pontosan karakterizálja az NP osztályt!

Bonyolultságelmélet

Polinomidőben verifikálhatóság

TételEgy L probléma pontosan akkor van az NP osztályban, ha létezikegy olyan K ⊆ N∗ × N∗ reláció „inputok” és „tanúk” közt, melyrea következők fennállnak:

létezik olyan k konstans, melyre ha (x, y) ∈ K , akkor|y| ≤ |x|k (azaz az egyes inputokhoz tartozó tanúk „rövidek”);K polinom időben eldönthető (azaz van hatékony algoritmus,mely az x, y párra eldönti, hogy y az x-hez tartozó tanú-e);x ∈ L pontosan akkor, ha ∃y : (x, y) ∈ K (azok az inputok aprobléma igen példányai, melyekre van tanú).

A Hamilton-Út problémánál egy gráfhoz tartozó tanú pl. magaegy Hamilton-út: lineáris méretű és könnyű ellenőrizni, hogytényleg Hamilton-út vagy sem, és – nyilván – pontosan az igenpéldányokra van ilyen tanú.

Bonyolultságelmélet

Polinomidőben verifikálhatóság

TételEgy L probléma pontosan akkor van az NP osztályban, ha létezikegy olyan K ⊆ N∗ × N∗ reláció „inputok” és „tanúk” közt, melyrea következők fennállnak:

létezik olyan k konstans, melyre ha (x, y) ∈ K , akkor|y| ≤ |x|k (azaz az egyes inputokhoz tartozó tanúk „rövidek”);

K polinom időben eldönthető (azaz van hatékony algoritmus,mely az x, y párra eldönti, hogy y az x-hez tartozó tanú-e);x ∈ L pontosan akkor, ha ∃y : (x, y) ∈ K (azok az inputok aprobléma igen példányai, melyekre van tanú).

A Hamilton-Út problémánál egy gráfhoz tartozó tanú pl. magaegy Hamilton-út: lineáris méretű és könnyű ellenőrizni, hogytényleg Hamilton-út vagy sem, és – nyilván – pontosan az igenpéldányokra van ilyen tanú.

Bonyolultságelmélet

Polinomidőben verifikálhatóság

TételEgy L probléma pontosan akkor van az NP osztályban, ha létezikegy olyan K ⊆ N∗ × N∗ reláció „inputok” és „tanúk” közt, melyrea következők fennállnak:

létezik olyan k konstans, melyre ha (x, y) ∈ K , akkor|y| ≤ |x|k (azaz az egyes inputokhoz tartozó tanúk „rövidek”);K polinom időben eldönthető (azaz van hatékony algoritmus,mely az x, y párra eldönti, hogy y az x-hez tartozó tanú-e);

x ∈ L pontosan akkor, ha ∃y : (x, y) ∈ K (azok az inputok aprobléma igen példányai, melyekre van tanú).

A Hamilton-Út problémánál egy gráfhoz tartozó tanú pl. magaegy Hamilton-út: lineáris méretű és könnyű ellenőrizni, hogytényleg Hamilton-út vagy sem, és – nyilván – pontosan az igenpéldányokra van ilyen tanú.

Bonyolultságelmélet

Polinomidőben verifikálhatóság

TételEgy L probléma pontosan akkor van az NP osztályban, ha létezikegy olyan K ⊆ N∗ × N∗ reláció „inputok” és „tanúk” közt, melyrea következők fennállnak:

létezik olyan k konstans, melyre ha (x, y) ∈ K , akkor|y| ≤ |x|k (azaz az egyes inputokhoz tartozó tanúk „rövidek”);K polinom időben eldönthető (azaz van hatékony algoritmus,mely az x, y párra eldönti, hogy y az x-hez tartozó tanú-e);x ∈ L pontosan akkor, ha ∃y : (x, y) ∈ K (azok az inputok aprobléma igen példányai, melyekre van tanú).

A Hamilton-Út problémánál egy gráfhoz tartozó tanú pl. magaegy Hamilton-út: lineáris méretű és könnyű ellenőrizni, hogytényleg Hamilton-út vagy sem, és – nyilván – pontosan az igenpéldányokra van ilyen tanú.

Bonyolultságelmélet

Polinomidőben verifikálhatóság

TételEgy L probléma pontosan akkor van az NP osztályban, ha létezikegy olyan K ⊆ N∗ × N∗ reláció „inputok” és „tanúk” közt, melyrea következők fennállnak:

létezik olyan k konstans, melyre ha (x, y) ∈ K , akkor|y| ≤ |x|k (azaz az egyes inputokhoz tartozó tanúk „rövidek”);K polinom időben eldönthető (azaz van hatékony algoritmus,mely az x, y párra eldönti, hogy y az x-hez tartozó tanú-e);x ∈ L pontosan akkor, ha ∃y : (x, y) ∈ K (azok az inputok aprobléma igen példányai, melyekre van tanú).

A Hamilton-Út problémánál egy gráfhoz tartozó tanú pl. magaegy Hamilton-út: lineáris méretű és könnyű ellenőrizni, hogytényleg Hamilton-út vagy sem, és – nyilván – pontosan az igenpéldányokra van ilyen tanú.

Bonyolultságelmélet

Hatékonyság

Hatékonyak ezek a „polinomidejű” algoritmusok?

Bonyolultságelmélet

Hatékonyság

Hatékonyak ezek a „polinomidejű” algoritmusok?

Bonyolultságelmélet

Nehézség, teljesség

Legyen C (eldöntési) problémák egy osztálya.

Az A probléma C-nehéz, ha C minden eleme visszavezethetőrá.Ha még A ∈ C is, akkor A C-teljes.

ÉszrevételHa egy NP-teljes probléma polinomidőben eldönthető, akkor (éscsak akkor) P = NP.(Hiszen akkor NP bármelyik problémája eldönthető egypolinomidejű visszavezetés és egy, a fenti problémát eldöntőpolinomidejű algoritmus kompozíciójával, tehát polinomidőben.)

Bonyolultságelmélet

Nehézség, teljesség

Legyen C (eldöntési) problémák egy osztálya.Az A probléma C-nehéz, ha C minden eleme visszavezethetőrá.

Ha még A ∈ C is, akkor A C-teljes.

ÉszrevételHa egy NP-teljes probléma polinomidőben eldönthető, akkor (éscsak akkor) P = NP.(Hiszen akkor NP bármelyik problémája eldönthető egypolinomidejű visszavezetés és egy, a fenti problémát eldöntőpolinomidejű algoritmus kompozíciójával, tehát polinomidőben.)

Bonyolultságelmélet

Nehézség, teljesség

Legyen C (eldöntési) problémák egy osztálya.Az A probléma C-nehéz, ha C minden eleme visszavezethetőrá.Ha még A ∈ C is, akkor A C-teljes.

ÉszrevételHa egy NP-teljes probléma polinomidőben eldönthető, akkor (éscsak akkor) P = NP.(Hiszen akkor NP bármelyik problémája eldönthető egypolinomidejű visszavezetés és egy, a fenti problémát eldöntőpolinomidejű algoritmus kompozíciójával, tehát polinomidőben.)

Bonyolultságelmélet

Nehézség, teljesség

Legyen C (eldöntési) problémák egy osztálya.Az A probléma C-nehéz, ha C minden eleme visszavezethetőrá.Ha még A ∈ C is, akkor A C-teljes.

ÉszrevételHa egy NP-teljes probléma polinomidőben eldönthető, akkor (éscsak akkor) P = NP.

(Hiszen akkor NP bármelyik problémája eldönthető egypolinomidejű visszavezetés és egy, a fenti problémát eldöntőpolinomidejű algoritmus kompozíciójával, tehát polinomidőben.)

Bonyolultságelmélet

Nehézség, teljesség

Legyen C (eldöntési) problémák egy osztálya.Az A probléma C-nehéz, ha C minden eleme visszavezethetőrá.Ha még A ∈ C is, akkor A C-teljes.

ÉszrevételHa egy NP-teljes probléma polinomidőben eldönthető, akkor (éscsak akkor) P = NP.(Hiszen akkor NP bármelyik problémája eldönthető egypolinomidejű visszavezetés és egy, a fenti problémát eldöntőpolinomidejű algoritmus kompozíciójával, tehát polinomidőben.)

Bonyolultságelmélet

C-nehéz problémák keresése

ÉszrevételA hatékony visszavezetés tranzitív.

Ezért hogy megmutassuk egy A probléma C-nehézségét, mindösszevissza kell rá vezetnünk egy másik, ismerten C-nehéz B problémát.Hisz ekkor

minden C-beli visszavezethető B-re,B visszavezethető A-ra,

ezért (tranzitivitás!) minden C-beli is visszavezethető A-ra.

Csakhogy. . .. . . az első C-nehéz problémát hogy kapjuk?

Bonyolultságelmélet

C-nehéz problémák keresése

ÉszrevételA hatékony visszavezetés tranzitív.

Ezért hogy megmutassuk egy A probléma C-nehézségét, mindösszevissza kell rá vezetnünk egy másik, ismerten C-nehéz B problémát.Hisz ekkor

minden C-beli visszavezethető B-re,B visszavezethető A-ra,

ezért (tranzitivitás!) minden C-beli is visszavezethető A-ra.

Csakhogy. . .. . . az első C-nehéz problémát hogy kapjuk?

Bonyolultságelmélet

C-nehéz problémák keresése

ÉszrevételA hatékony visszavezetés tranzitív.

Ezért hogy megmutassuk egy A probléma C-nehézségét, mindösszevissza kell rá vezetnünk egy másik, ismerten C-nehéz B problémát.Hisz ekkor

minden C-beli visszavezethető B-re,B visszavezethető A-ra,

ezért (tranzitivitás!) minden C-beli is visszavezethető A-ra.

Csakhogy. . .. . . az első C-nehéz problémát hogy kapjuk?

Bonyolultságelmélet

C-nehéz problémák keresése

ÉszrevételA hatékony visszavezetés tranzitív.

Ezért hogy megmutassuk egy A probléma C-nehézségét, mindösszevissza kell rá vezetnünk egy másik, ismerten C-nehéz B problémát.Hisz ekkor

minden C-beli visszavezethető B-re,

B visszavezethető A-ra,ezért (tranzitivitás!) minden C-beli is visszavezethető A-ra.

Csakhogy. . .. . . az első C-nehéz problémát hogy kapjuk?

Bonyolultságelmélet

C-nehéz problémák keresése

ÉszrevételA hatékony visszavezetés tranzitív.

Ezért hogy megmutassuk egy A probléma C-nehézségét, mindösszevissza kell rá vezetnünk egy másik, ismerten C-nehéz B problémát.Hisz ekkor

minden C-beli visszavezethető B-re,B visszavezethető A-ra,

ezért (tranzitivitás!) minden C-beli is visszavezethető A-ra.

Csakhogy. . .. . . az első C-nehéz problémát hogy kapjuk?

Bonyolultságelmélet

C-nehéz problémák keresése

ÉszrevételA hatékony visszavezetés tranzitív.

Ezért hogy megmutassuk egy A probléma C-nehézségét, mindösszevissza kell rá vezetnünk egy másik, ismerten C-nehéz B problémát.Hisz ekkor

minden C-beli visszavezethető B-re,B visszavezethető A-ra,

ezért (tranzitivitás!) minden C-beli is visszavezethető A-ra.

Csakhogy. . .

. . . az első C-nehéz problémát hogy kapjuk?

Bonyolultságelmélet

C-nehéz problémák keresése

ÉszrevételA hatékony visszavezetés tranzitív.

Ezért hogy megmutassuk egy A probléma C-nehézségét, mindösszevissza kell rá vezetnünk egy másik, ismerten C-nehéz B problémát.Hisz ekkor

minden C-beli visszavezethető B-re,B visszavezethető A-ra,

ezért (tranzitivitás!) minden C-beli is visszavezethető A-ra.

Csakhogy. . .. . . az első C-nehéz problémát hogy kapjuk?

Bonyolultságelmélet

Visszavezetésre való zártság

DefinícióAzt mondjuk, hogy egy C bonyolultsági osztály zárt avisszavezetésre, ha valahányszor A ≤P B és B ∈ C, mindig teljesülA ∈ C is.

ÁllításAz eddig látott bonyolultsági osztályok (P, NP, R, RE) zártak avisszavezetésre.

Ha C zárt a visszavezetésre és A egy C-teljes probléma, akkorC-ben pontosan az A-ra visszavezethető problémák vannak(C = {B : B ≤P A}). Tehát A reprezentálja az egész osztályt!

MegjegyzésP bármely két nemtriviális A, B elemére igaz, hogy A ≤P B.

Bonyolultságelmélet

Visszavezetésre való zártság

DefinícióAzt mondjuk, hogy egy C bonyolultsági osztály zárt avisszavezetésre, ha valahányszor A ≤P B és B ∈ C, mindig teljesülA ∈ C is.

ÁllításAz eddig látott bonyolultsági osztályok (P, NP, R, RE) zártak avisszavezetésre.

Ha C zárt a visszavezetésre és A egy C-teljes probléma, akkorC-ben pontosan az A-ra visszavezethető problémák vannak(C = {B : B ≤P A}). Tehát A reprezentálja az egész osztályt!

MegjegyzésP bármely két nemtriviális A, B elemére igaz, hogy A ≤P B.

Bonyolultságelmélet

Visszavezetésre való zártság

DefinícióAzt mondjuk, hogy egy C bonyolultsági osztály zárt avisszavezetésre, ha valahányszor A ≤P B és B ∈ C, mindig teljesülA ∈ C is.

ÁllításAz eddig látott bonyolultsági osztályok (P, NP, R, RE) zártak avisszavezetésre.

Ha C zárt a visszavezetésre és A egy C-teljes probléma,

akkorC-ben pontosan az A-ra visszavezethető problémák vannak(C = {B : B ≤P A}). Tehát A reprezentálja az egész osztályt!

MegjegyzésP bármely két nemtriviális A, B elemére igaz, hogy A ≤P B.

Bonyolultságelmélet

Visszavezetésre való zártság

DefinícióAzt mondjuk, hogy egy C bonyolultsági osztály zárt avisszavezetésre, ha valahányszor A ≤P B és B ∈ C, mindig teljesülA ∈ C is.

ÁllításAz eddig látott bonyolultsági osztályok (P, NP, R, RE) zártak avisszavezetésre.

Ha C zárt a visszavezetésre és A egy C-teljes probléma, akkorC-ben pontosan az A-ra visszavezethető problémák vannak(C = {B : B ≤P A}).

Tehát A reprezentálja az egész osztályt!

MegjegyzésP bármely két nemtriviális A, B elemére igaz, hogy A ≤P B.

Bonyolultságelmélet

Visszavezetésre való zártság

DefinícióAzt mondjuk, hogy egy C bonyolultsági osztály zárt avisszavezetésre, ha valahányszor A ≤P B és B ∈ C, mindig teljesülA ∈ C is.

ÁllításAz eddig látott bonyolultsági osztályok (P, NP, R, RE) zártak avisszavezetésre.

Ha C zárt a visszavezetésre és A egy C-teljes probléma, akkorC-ben pontosan az A-ra visszavezethető problémák vannak(C = {B : B ≤P A}). Tehát A reprezentálja az egész osztályt!

MegjegyzésP bármely két nemtriviális A, B elemére igaz, hogy A ≤P B.

Bonyolultságelmélet

Első RE-teljes problémánk

Megállás RE-teljes.

Legyen A ∈ RE egy tetszőleges probléma, amit felismer az MRam-program. Akkor tetszőleges x inputra

x ∈ A ⇔ (M ; x) ∈Megállás,hiszen ha M az A problémát ismeri fel, akkor pontosan az Igenpéldányain áll meg (Accept választ adva), így az x 7→ (M ; x)leképezés egy (hatékony) visszavezetése A-nak a Megállásproblémára.

Így ha Megállás ≤ A valamely A problémára, akkor A isRE-nehéz:

Mindenen MegállásÜres Inputon MegállásEkvivalencia. . .

Bonyolultságelmélet

Első RE-teljes problémánk

Megállás RE-teljes.

Legyen A ∈ RE egy tetszőleges probléma, amit felismer az MRam-program. Akkor tetszőleges x inputra

x ∈ A ⇔ (M ; x) ∈Megállás,hiszen ha M az A problémát ismeri fel, akkor pontosan az Igenpéldányain áll meg (Accept választ adva), így az x 7→ (M ; x)leképezés egy (hatékony) visszavezetése A-nak a Megállásproblémára.

Így ha Megállás ≤ A valamely A problémára, akkor A isRE-nehéz:

Mindenen MegállásÜres Inputon MegállásEkvivalencia. . .

Bonyolultságelmélet

Első RE-teljes problémánk

Megállás RE-teljes.

Legyen A ∈ RE egy tetszőleges probléma, amit felismer az MRam-program. Akkor tetszőleges x inputra

x ∈ A ⇔ (M ; x) ∈Megállás,hiszen ha M az A problémát ismeri fel, akkor pontosan az Igenpéldányain áll meg (Accept választ adva), így az x 7→ (M ; x)leképezés egy (hatékony) visszavezetése A-nak a Megállásproblémára.

Így ha Megállás ≤ A valamely A problémára, akkor A isRE-nehéz:

Mindenen MegállásÜres Inputon MegállásEkvivalencia. . .

Bonyolultságelmélet

RE-n kívül

Ha C, C′ zártak a visszavezetésre, A pedig egy C-nehéz és C′-beliprobléma, akkor C ⊆ C′.

Láttuk, hogy Megállás ≤ Ekvivalencia.Az is igaz, hogy Megállás ≤ Ekvivalencia, tehátEkvivalencia RE-nehéz és coRE-nehéz is egyszerre.Mivel RE 6= coRE (emiatt persze egyikük sem lehet része amásiknak, hisz ha pl. RE ⊆ coRE, akkorcoRE ⊆ cocoRE = RE, mely esetben egyenlőek), ez azt jelenti,hogy Ekvivalencia nem RE ∪ coRE-beli probléma!Azaz sem olyan algoritmus nincs, mely felismeri, ha két programekvivalens, sem olyan, mely felismeri, ha két program nemekvivalens.

Bonyolultságelmélet

RE-n kívül

Ha C, C′ zártak a visszavezetésre, A pedig egy C-nehéz és C′-beliprobléma, akkor C ⊆ C′.

Láttuk, hogy Megállás ≤ Ekvivalencia.Az is igaz, hogy Megállás ≤ Ekvivalencia, tehátEkvivalencia RE-nehéz és coRE-nehéz is egyszerre.Mivel RE 6= coRE (emiatt persze egyikük sem lehet része amásiknak, hisz ha pl. RE ⊆ coRE, akkorcoRE ⊆ cocoRE = RE, mely esetben egyenlőek), ez azt jelenti,hogy Ekvivalencia nem RE ∪ coRE-beli probléma!Azaz sem olyan algoritmus nincs, mely felismeri, ha két programekvivalens, sem olyan, mely felismeri, ha két program nemekvivalens.

Bonyolultságelmélet

Logikai hálózatok

DefinícióHálózat: körmentes irányított gráf,a csúcsok címkézettek: ∧, ∨, ¬, igaz, hamis, xi

∧, ∨ címke esetén a csúcs befoka 2,¬ címke esetén a csúcs befoka 1,igaz, hamis, xi címke esetén a csúcs befoka 0.

Általában megköveteljük még, hogy pontosan egy csúcs kifokalegyen 0.

Amennyiben a változók közül az x1, . . . , xn fordulnak elő ahálózatban (legfeljebb), akkor a hálózat kiszámít egy{igaz,hamis}n → {igaz, hamis} Boole-függvényt.

Bonyolultságelmélet

Logikai hálózatok

DefinícióHálózat: körmentes irányított gráf,a csúcsok címkézettek: ∧, ∨, ¬, igaz, hamis, xi∧, ∨ címke esetén a csúcs befoka 2,

¬ címke esetén a csúcs befoka 1,igaz, hamis, xi címke esetén a csúcs befoka 0.

Általában megköveteljük még, hogy pontosan egy csúcs kifokalegyen 0.

Amennyiben a változók közül az x1, . . . , xn fordulnak elő ahálózatban (legfeljebb), akkor a hálózat kiszámít egy{igaz,hamis}n → {igaz, hamis} Boole-függvényt.

Bonyolultságelmélet

Logikai hálózatok

DefinícióHálózat: körmentes irányított gráf,a csúcsok címkézettek: ∧, ∨, ¬, igaz, hamis, xi∧, ∨ címke esetén a csúcs befoka 2,¬ címke esetén a csúcs befoka 1,

igaz, hamis, xi címke esetén a csúcs befoka 0.

Általában megköveteljük még, hogy pontosan egy csúcs kifokalegyen 0.

Amennyiben a változók közül az x1, . . . , xn fordulnak elő ahálózatban (legfeljebb), akkor a hálózat kiszámít egy{igaz,hamis}n → {igaz, hamis} Boole-függvényt.

Bonyolultságelmélet

Logikai hálózatok

DefinícióHálózat: körmentes irányított gráf,a csúcsok címkézettek: ∧, ∨, ¬, igaz, hamis, xi∧, ∨ címke esetén a csúcs befoka 2,¬ címke esetén a csúcs befoka 1,igaz, hamis, xi címke esetén a csúcs befoka 0.

Általában megköveteljük még, hogy pontosan egy csúcs kifokalegyen 0.

Amennyiben a változók közül az x1, . . . , xn fordulnak elő ahálózatban (legfeljebb), akkor a hálózat kiszámít egy{igaz,hamis}n → {igaz, hamis} Boole-függvényt.

Bonyolultságelmélet

Logikai hálózatok

DefinícióHálózat: körmentes irányított gráf,a csúcsok címkézettek: ∧, ∨, ¬, igaz, hamis, xi∧, ∨ címke esetén a csúcs befoka 2,¬ címke esetén a csúcs befoka 1,igaz, hamis, xi címke esetén a csúcs befoka 0.

Általában megköveteljük még, hogy pontosan egy csúcs kifokalegyen 0.

Amennyiben a változók közül az x1, . . . , xn fordulnak elő ahálózatban (legfeljebb), akkor a hálózat kiszámít egy{igaz,hamis}n → {igaz, hamis} Boole-függvényt.

Bonyolultságelmélet

Logikai hálózatok

DefinícióHálózat: körmentes irányított gráf,a csúcsok címkézettek: ∧, ∨, ¬, igaz, hamis, xi∧, ∨ címke esetén a csúcs befoka 2,¬ címke esetén a csúcs befoka 1,igaz, hamis, xi címke esetén a csúcs befoka 0.

Általában megköveteljük még, hogy pontosan egy csúcs kifokalegyen 0.

Amennyiben a változók közül az x1, . . . , xn fordulnak elő ahálózatban (legfeljebb), akkor a hálózat kiszámít egy{igaz,hamis}n → {igaz, hamis} Boole-függvényt.

Bonyolultságelmélet

Hálózat-Kiértékelés

Adott: változómentes hálózat.Kérdés: igaz-e az értéke?

Hálózat-KielégíthetőségAdott: hálózat.Kérdés: a változóknak lehet-e úgy értéket adni, hogy ahálózat értéke igaz legyen?

SatAdott: egy konjunktív normálformájú (ítéletkalkulus-beli)formula.Kérdés: kielégíthető-e?

Állítás

Hálózat-Kielégíthetőség ≤P Sat.

Bonyolultságelmélet

Hálózat-KiértékelésAdott: változómentes hálózat.

Kérdés: igaz-e az értéke?

Hálózat-KielégíthetőségAdott: hálózat.Kérdés: a változóknak lehet-e úgy értéket adni, hogy ahálózat értéke igaz legyen?

SatAdott: egy konjunktív normálformájú (ítéletkalkulus-beli)formula.Kérdés: kielégíthető-e?

Állítás

Hálózat-Kielégíthetőség ≤P Sat.

Bonyolultságelmélet

Hálózat-KiértékelésAdott: változómentes hálózat.Kérdés: igaz-e az értéke?

Hálózat-KielégíthetőségAdott: hálózat.Kérdés: a változóknak lehet-e úgy értéket adni, hogy ahálózat értéke igaz legyen?

SatAdott: egy konjunktív normálformájú (ítéletkalkulus-beli)formula.Kérdés: kielégíthető-e?

Állítás

Hálózat-Kielégíthetőség ≤P Sat.

Bonyolultságelmélet

Hálózat-KiértékelésAdott: változómentes hálózat.Kérdés: igaz-e az értéke?

Hálózat-Kielégíthetőség

Adott: hálózat.Kérdés: a változóknak lehet-e úgy értéket adni, hogy ahálózat értéke igaz legyen?

SatAdott: egy konjunktív normálformájú (ítéletkalkulus-beli)formula.Kérdés: kielégíthető-e?

Állítás

Hálózat-Kielégíthetőség ≤P Sat.

Bonyolultságelmélet

Hálózat-KiértékelésAdott: változómentes hálózat.Kérdés: igaz-e az értéke?

Hálózat-KielégíthetőségAdott: hálózat.

Kérdés: a változóknak lehet-e úgy értéket adni, hogy ahálózat értéke igaz legyen?

SatAdott: egy konjunktív normálformájú (ítéletkalkulus-beli)formula.Kérdés: kielégíthető-e?

Állítás

Hálózat-Kielégíthetőség ≤P Sat.

Bonyolultságelmélet

Hálózat-KiértékelésAdott: változómentes hálózat.Kérdés: igaz-e az értéke?

Hálózat-KielégíthetőségAdott: hálózat.Kérdés: a változóknak lehet-e úgy értéket adni, hogy ahálózat értéke igaz legyen?

SatAdott: egy konjunktív normálformájú (ítéletkalkulus-beli)formula.Kérdés: kielégíthető-e?

Állítás

Hálózat-Kielégíthetőség ≤P Sat.

Bonyolultságelmélet

Hálózat-KiértékelésAdott: változómentes hálózat.Kérdés: igaz-e az értéke?

Hálózat-KielégíthetőségAdott: hálózat.Kérdés: a változóknak lehet-e úgy értéket adni, hogy ahálózat értéke igaz legyen?

Sat

Adott: egy konjunktív normálformájú (ítéletkalkulus-beli)formula.Kérdés: kielégíthető-e?

Állítás

Hálózat-Kielégíthetőség ≤P Sat.

Bonyolultságelmélet

Hálózat-KiértékelésAdott: változómentes hálózat.Kérdés: igaz-e az értéke?

Hálózat-KielégíthetőségAdott: hálózat.Kérdés: a változóknak lehet-e úgy értéket adni, hogy ahálózat értéke igaz legyen?

SatAdott: egy konjunktív normálformájú (ítéletkalkulus-beli)formula.

Kérdés: kielégíthető-e?

Állítás

Hálózat-Kielégíthetőség ≤P Sat.

Bonyolultságelmélet

Hálózat-KiértékelésAdott: változómentes hálózat.Kérdés: igaz-e az értéke?

Hálózat-KielégíthetőségAdott: hálózat.Kérdés: a változóknak lehet-e úgy értéket adni, hogy ahálózat értéke igaz legyen?

SatAdott: egy konjunktív normálformájú (ítéletkalkulus-beli)formula.Kérdés: kielégíthető-e?

Állítás

Hálózat-Kielégíthetőség ≤P Sat.

Bonyolultságelmélet

Hálózat-KiértékelésAdott: változómentes hálózat.Kérdés: igaz-e az értéke?

Hálózat-KielégíthetőségAdott: hálózat.Kérdés: a változóknak lehet-e úgy értéket adni, hogy ahálózat értéke igaz legyen?

SatAdott: egy konjunktív normálformájú (ítéletkalkulus-beli)formula.Kérdés: kielégíthető-e?

Állítás

Hálózat-Kielégíthetőség ≤P Sat.

Bonyolultságelmélet

A visszavezetésMinden g csúcsnak feleljen meg a g változó.

g címkéje x 7→ x ↔ g, azaz (¬x ∨ g) ∧ (x ∨ ¬g)g címkéje igaz 7→ gg címkéje hamis 7→ ¬gg címkéje ∨:

g↗ ↖

g1 g2

7→ g ↔ (g1 ∨ g2), azaz(¬g ∨ g1 ∨ g2) ∧ (¬g1 ∨ g) ∧ (¬g2 ∨ g)

g címkéje ∧:g↗ ↖

g1 g2

7→ g ↔ (g1 ∧ g2), azaz(¬g ∨ g1) ∧ (¬g ∨ g2) ∧ (¬g1 ∨ ¬g2 ∨ g)

g címkéje ¬:g↑g1

7→ g ↔ (¬g1), azaz(¬g ∨ ¬g1) ∧ (g1 ∨ g)

g kimenő kapu 7→ g

Bonyolultságelmélet

A visszavezetésMinden g csúcsnak feleljen meg a g változó.g címkéje x 7→ x ↔ g, azaz (¬x ∨ g) ∧ (x ∨ ¬g)

g címkéje igaz 7→ gg címkéje hamis 7→ ¬gg címkéje ∨:

g↗ ↖

g1 g2

7→ g ↔ (g1 ∨ g2), azaz(¬g ∨ g1 ∨ g2) ∧ (¬g1 ∨ g) ∧ (¬g2 ∨ g)

g címkéje ∧:g↗ ↖

g1 g2

7→ g ↔ (g1 ∧ g2), azaz(¬g ∨ g1) ∧ (¬g ∨ g2) ∧ (¬g1 ∨ ¬g2 ∨ g)

g címkéje ¬:g↑g1

7→ g ↔ (¬g1), azaz(¬g ∨ ¬g1) ∧ (g1 ∨ g)

g kimenő kapu 7→ g

Bonyolultságelmélet

A visszavezetésMinden g csúcsnak feleljen meg a g változó.g címkéje x 7→ x ↔ g, azaz (¬x ∨ g) ∧ (x ∨ ¬g)g címkéje igaz 7→ g

g címkéje hamis 7→ ¬gg címkéje ∨:

g↗ ↖

g1 g2

7→ g ↔ (g1 ∨ g2), azaz(¬g ∨ g1 ∨ g2) ∧ (¬g1 ∨ g) ∧ (¬g2 ∨ g)

g címkéje ∧:g↗ ↖

g1 g2

7→ g ↔ (g1 ∧ g2), azaz(¬g ∨ g1) ∧ (¬g ∨ g2) ∧ (¬g1 ∨ ¬g2 ∨ g)

g címkéje ¬:g↑g1

7→ g ↔ (¬g1), azaz(¬g ∨ ¬g1) ∧ (g1 ∨ g)

g kimenő kapu 7→ g

Bonyolultságelmélet

A visszavezetésMinden g csúcsnak feleljen meg a g változó.g címkéje x 7→ x ↔ g, azaz (¬x ∨ g) ∧ (x ∨ ¬g)g címkéje igaz 7→ gg címkéje hamis 7→ ¬g

g címkéje ∨:g↗ ↖

g1 g2

7→ g ↔ (g1 ∨ g2), azaz(¬g ∨ g1 ∨ g2) ∧ (¬g1 ∨ g) ∧ (¬g2 ∨ g)

g címkéje ∧:g↗ ↖

g1 g2

7→ g ↔ (g1 ∧ g2), azaz(¬g ∨ g1) ∧ (¬g ∨ g2) ∧ (¬g1 ∨ ¬g2 ∨ g)

g címkéje ¬:g↑g1

7→ g ↔ (¬g1), azaz(¬g ∨ ¬g1) ∧ (g1 ∨ g)

g kimenő kapu 7→ g

Bonyolultságelmélet

A visszavezetésMinden g csúcsnak feleljen meg a g változó.g címkéje x 7→ x ↔ g, azaz (¬x ∨ g) ∧ (x ∨ ¬g)g címkéje igaz 7→ gg címkéje hamis 7→ ¬gg címkéje ∨:

g↗ ↖

g1 g2

7→ g ↔ (g1 ∨ g2), azaz(¬g ∨ g1 ∨ g2) ∧ (¬g1 ∨ g) ∧ (¬g2 ∨ g)

g címkéje ∧:g↗ ↖

g1 g2

7→ g ↔ (g1 ∧ g2), azaz(¬g ∨ g1) ∧ (¬g ∨ g2) ∧ (¬g1 ∨ ¬g2 ∨ g)

g címkéje ¬:g↑g1

7→ g ↔ (¬g1), azaz(¬g ∨ ¬g1) ∧ (g1 ∨ g)

g kimenő kapu 7→ g

Bonyolultságelmélet

A visszavezetésMinden g csúcsnak feleljen meg a g változó.g címkéje x 7→ x ↔ g, azaz (¬x ∨ g) ∧ (x ∨ ¬g)g címkéje igaz 7→ gg címkéje hamis 7→ ¬gg címkéje ∨:

g↗ ↖

g1 g2

7→ g ↔ (g1 ∨ g2), azaz(¬g ∨ g1 ∨ g2) ∧ (¬g1 ∨ g) ∧ (¬g2 ∨ g)

g címkéje ∧:g↗ ↖

g1 g2

7→ g ↔ (g1 ∧ g2), azaz(¬g ∨ g1) ∧ (¬g ∨ g2) ∧ (¬g1 ∨ ¬g2 ∨ g)

g címkéje ¬:g↑g1

7→ g ↔ (¬g1), azaz(¬g ∨ ¬g1) ∧ (g1 ∨ g)

g kimenő kapu 7→ g

Bonyolultságelmélet

A visszavezetésMinden g csúcsnak feleljen meg a g változó.g címkéje x 7→ x ↔ g, azaz (¬x ∨ g) ∧ (x ∨ ¬g)g címkéje igaz 7→ gg címkéje hamis 7→ ¬gg címkéje ∨:

g↗ ↖

g1 g2

7→ g ↔ (g1 ∨ g2), azaz(¬g ∨ g1 ∨ g2) ∧ (¬g1 ∨ g) ∧ (¬g2 ∨ g)

g címkéje ∧:g↗ ↖

g1 g2

7→ g ↔ (g1 ∧ g2), azaz(¬g ∨ g1) ∧ (¬g ∨ g2) ∧ (¬g1 ∨ ¬g2 ∨ g)

g címkéje ¬:g↑g1

7→ g ↔ (¬g1), azaz(¬g ∨ ¬g1) ∧ (g1 ∨ g)

g kimenő kapu 7→ g

Bonyolultságelmélet

A visszavezetésMinden g csúcsnak feleljen meg a g változó.g címkéje x 7→ x ↔ g, azaz (¬x ∨ g) ∧ (x ∨ ¬g)g címkéje igaz 7→ gg címkéje hamis 7→ ¬gg címkéje ∨:

g↗ ↖

g1 g2

7→ g ↔ (g1 ∨ g2), azaz(¬g ∨ g1 ∨ g2) ∧ (¬g1 ∨ g) ∧ (¬g2 ∨ g)

g címkéje ∧:g↗ ↖

g1 g2

7→ g ↔ (g1 ∧ g2), azaz(¬g ∨ g1) ∧ (¬g ∨ g2) ∧ (¬g1 ∨ ¬g2 ∨ g)

g címkéje ¬:g↑g1

7→ g ↔ (¬g1), azaz(¬g ∨ ¬g1) ∧ (g1 ∨ g)

g kimenő kapu 7→ g

Bonyolultságelmélet

Hálózat-Kielégíthetőség ≤P Sat

A keresett formula: a fenti formulák konjunkciója.

Adott hálózathoz a formula elkészíthető lineáris időben.Továbbá a hálózat akkor és csak akkor kielégíthető, ha a formulaaz.

Bonyolultságelmélet

Hálózat-Kielégíthetőség ≤P Sat

A keresett formula: a fenti formulák konjunkciója.

Adott hálózathoz a formula elkészíthető lineáris időben.Továbbá a hálózat akkor és csak akkor kielégíthető, ha a formulaaz.

Bonyolultságelmélet

Hálózat-Kielégíthetőség ≤P Sat példa

Példa(g1 ↔ x1)

∧ (g2 ↔ x2) ∧ (g3 ↔ x3)∧ (g4 ↔ (g1 ∧ g2)) ∧ (g5 ↔ (g2 ∨g3)) ∧ (g6 ↔ (¬g4)) ∧ (g7 ↔ (g5 ∧g6)) ∧ g7.CNF alakban:(¬g1 ∨ x1) ∧ (g1 ∨ ¬x1) ∧ (¬g2 ∨x2)∧ (g2 ∨¬x2)∧ (¬g3 ∨ x3)∧ (g3 ∨¬x3) ∧ (¬g4∨g1)∧(¬g4∨g2)∧(g4∨¬g1∨¬g2) ∧ (¬g5∨ g2∨ g3)∧ (g5∨¬g2) ∧ (g5 ∨ ¬g3) ∧ (¬g6 ∨ ¬g4) ∧(g6∨g4) ∧ (¬g7∨g5)∧ (¬g7∨g6)∧(g7 ∨ ¬g5 ∨ ¬g6) ∧ g7.

Bonyolultságelmélet

Hálózat-Kielégíthetőség ≤P Sat példa

Példa(g1 ↔ x1) ∧ (g2 ↔ x2)

∧ (g3 ↔ x3)∧ (g4 ↔ (g1 ∧ g2)) ∧ (g5 ↔ (g2 ∨g3)) ∧ (g6 ↔ (¬g4)) ∧ (g7 ↔ (g5 ∧g6)) ∧ g7.CNF alakban:(¬g1 ∨ x1) ∧ (g1 ∨ ¬x1) ∧ (¬g2 ∨x2)∧ (g2 ∨¬x2)∧ (¬g3 ∨ x3)∧ (g3 ∨¬x3) ∧ (¬g4∨g1)∧(¬g4∨g2)∧(g4∨¬g1∨¬g2) ∧ (¬g5∨ g2∨ g3)∧ (g5∨¬g2) ∧ (g5 ∨ ¬g3) ∧ (¬g6 ∨ ¬g4) ∧(g6∨g4) ∧ (¬g7∨g5)∧ (¬g7∨g6)∧(g7 ∨ ¬g5 ∨ ¬g6) ∧ g7.

Bonyolultságelmélet

Hálózat-Kielégíthetőség ≤P Sat példa

Példa(g1 ↔ x1) ∧ (g2 ↔ x2) ∧ (g3 ↔ x3)∧

(g4 ↔ (g1 ∧ g2)) ∧ (g5 ↔ (g2 ∨g3)) ∧ (g6 ↔ (¬g4)) ∧ (g7 ↔ (g5 ∧g6)) ∧ g7.CNF alakban:(¬g1 ∨ x1) ∧ (g1 ∨ ¬x1) ∧ (¬g2 ∨x2)∧ (g2 ∨¬x2)∧ (¬g3 ∨ x3)∧ (g3 ∨¬x3) ∧ (¬g4∨g1)∧(¬g4∨g2)∧(g4∨¬g1∨¬g2) ∧ (¬g5∨ g2∨ g3)∧ (g5∨¬g2) ∧ (g5 ∨ ¬g3) ∧ (¬g6 ∨ ¬g4) ∧(g6∨g4) ∧ (¬g7∨g5)∧ (¬g7∨g6)∧(g7 ∨ ¬g5 ∨ ¬g6) ∧ g7.

Bonyolultságelmélet

Hálózat-Kielégíthetőség ≤P Sat példa

Példa(g1 ↔ x1) ∧ (g2 ↔ x2) ∧ (g3 ↔ x3)∧ (g4 ↔

(g1 ∧ g2)) ∧ (g5 ↔ (g2 ∨g3)) ∧ (g6 ↔ (¬g4)) ∧ (g7 ↔ (g5 ∧g6)) ∧ g7.CNF alakban:(¬g1 ∨ x1) ∧ (g1 ∨ ¬x1) ∧ (¬g2 ∨x2)∧ (g2 ∨¬x2)∧ (¬g3 ∨ x3)∧ (g3 ∨¬x3) ∧ (¬g4∨g1)∧(¬g4∨g2)∧(g4∨¬g1∨¬g2) ∧ (¬g5∨ g2∨ g3)∧ (g5∨¬g2) ∧ (g5 ∨ ¬g3) ∧ (¬g6 ∨ ¬g4) ∧(g6∨g4) ∧ (¬g7∨g5)∧ (¬g7∨g6)∧(g7 ∨ ¬g5 ∨ ¬g6) ∧ g7.

Bonyolultságelmélet

Hálózat-Kielégíthetőség ≤P Sat példa

Példa(g1 ↔ x1) ∧ (g2 ↔ x2) ∧ (g3 ↔ x3)∧ (g4 ↔ (g1 ∧ g2)) ∧

(g5 ↔ (g2 ∨g3)) ∧ (g6 ↔ (¬g4)) ∧ (g7 ↔ (g5 ∧g6)) ∧ g7.CNF alakban:(¬g1 ∨ x1) ∧ (g1 ∨ ¬x1) ∧ (¬g2 ∨x2)∧ (g2 ∨¬x2)∧ (¬g3 ∨ x3)∧ (g3 ∨¬x3) ∧ (¬g4∨g1)∧(¬g4∨g2)∧(g4∨¬g1∨¬g2) ∧ (¬g5∨ g2∨ g3)∧ (g5∨¬g2) ∧ (g5 ∨ ¬g3) ∧ (¬g6 ∨ ¬g4) ∧(g6∨g4) ∧ (¬g7∨g5)∧ (¬g7∨g6)∧(g7 ∨ ¬g5 ∨ ¬g6) ∧ g7.

Bonyolultságelmélet

Hálózat-Kielégíthetőség ≤P Sat példa

Példa(g1 ↔ x1) ∧ (g2 ↔ x2) ∧ (g3 ↔ x3)∧ (g4 ↔ (g1 ∧ g2)) ∧ (g5 ↔

(g2 ∨g3)) ∧ (g6 ↔ (¬g4)) ∧ (g7 ↔ (g5 ∧g6)) ∧ g7.CNF alakban:(¬g1 ∨ x1) ∧ (g1 ∨ ¬x1) ∧ (¬g2 ∨x2)∧ (g2 ∨¬x2)∧ (¬g3 ∨ x3)∧ (g3 ∨¬x3) ∧ (¬g4∨g1)∧(¬g4∨g2)∧(g4∨¬g1∨¬g2) ∧ (¬g5∨ g2∨ g3)∧ (g5∨¬g2) ∧ (g5 ∨ ¬g3) ∧ (¬g6 ∨ ¬g4) ∧(g6∨g4) ∧ (¬g7∨g5)∧ (¬g7∨g6)∧(g7 ∨ ¬g5 ∨ ¬g6) ∧ g7.

Bonyolultságelmélet

Hálózat-Kielégíthetőség ≤P Sat példa

Példa(g1 ↔ x1) ∧ (g2 ↔ x2) ∧ (g3 ↔ x3)∧ (g4 ↔ (g1 ∧ g2)) ∧ (g5 ↔ (g2 ∨g3)) ∧

(g6 ↔ (¬g4)) ∧ (g7 ↔ (g5 ∧g6)) ∧ g7.CNF alakban:(¬g1 ∨ x1) ∧ (g1 ∨ ¬x1) ∧ (¬g2 ∨x2)∧ (g2 ∨¬x2)∧ (¬g3 ∨ x3)∧ (g3 ∨¬x3) ∧ (¬g4∨g1)∧(¬g4∨g2)∧(g4∨¬g1∨¬g2) ∧ (¬g5∨ g2∨ g3)∧ (g5∨¬g2) ∧ (g5 ∨ ¬g3) ∧ (¬g6 ∨ ¬g4) ∧(g6∨g4) ∧ (¬g7∨g5)∧ (¬g7∨g6)∧(g7 ∨ ¬g5 ∨ ¬g6) ∧ g7.

Bonyolultságelmélet

Hálózat-Kielégíthetőség ≤P Sat példa

Példa(g1 ↔ x1) ∧ (g2 ↔ x2) ∧ (g3 ↔ x3)∧ (g4 ↔ (g1 ∧ g2)) ∧ (g5 ↔ (g2 ∨g3)) ∧ (g6 ↔

(¬g4)) ∧ (g7 ↔ (g5 ∧g6)) ∧ g7.CNF alakban:(¬g1 ∨ x1) ∧ (g1 ∨ ¬x1) ∧ (¬g2 ∨x2)∧ (g2 ∨¬x2)∧ (¬g3 ∨ x3)∧ (g3 ∨¬x3) ∧ (¬g4∨g1)∧(¬g4∨g2)∧(g4∨¬g1∨¬g2) ∧ (¬g5∨ g2∨ g3)∧ (g5∨¬g2) ∧ (g5 ∨ ¬g3) ∧ (¬g6 ∨ ¬g4) ∧(g6∨g4) ∧ (¬g7∨g5)∧ (¬g7∨g6)∧(g7 ∨ ¬g5 ∨ ¬g6) ∧ g7.

Bonyolultságelmélet

Hálózat-Kielégíthetőség ≤P Sat példa

Példa(g1 ↔ x1) ∧ (g2 ↔ x2) ∧ (g3 ↔ x3)∧ (g4 ↔ (g1 ∧ g2)) ∧ (g5 ↔ (g2 ∨g3)) ∧ (g6 ↔ (¬g4)) ∧

(g7 ↔ (g5 ∧g6)) ∧ g7.CNF alakban:(¬g1 ∨ x1) ∧ (g1 ∨ ¬x1) ∧ (¬g2 ∨x2)∧ (g2 ∨¬x2)∧ (¬g3 ∨ x3)∧ (g3 ∨¬x3) ∧ (¬g4∨g1)∧(¬g4∨g2)∧(g4∨¬g1∨¬g2) ∧ (¬g5∨ g2∨ g3)∧ (g5∨¬g2) ∧ (g5 ∨ ¬g3) ∧ (¬g6 ∨ ¬g4) ∧(g6∨g4) ∧ (¬g7∨g5)∧ (¬g7∨g6)∧(g7 ∨ ¬g5 ∨ ¬g6) ∧ g7.

Bonyolultságelmélet

Hálózat-Kielégíthetőség ≤P Sat példa

Példa(g1 ↔ x1) ∧ (g2 ↔ x2) ∧ (g3 ↔ x3)∧ (g4 ↔ (g1 ∧ g2)) ∧ (g5 ↔ (g2 ∨g3)) ∧ (g6 ↔ (¬g4)) ∧ (g7 ↔ (g5 ∧g6)) ∧

g7.CNF alakban:(¬g1 ∨ x1) ∧ (g1 ∨ ¬x1) ∧ (¬g2 ∨x2)∧ (g2 ∨¬x2)∧ (¬g3 ∨ x3)∧ (g3 ∨¬x3) ∧ (¬g4∨g1)∧(¬g4∨g2)∧(g4∨¬g1∨¬g2) ∧ (¬g5∨ g2∨ g3)∧ (g5∨¬g2) ∧ (g5 ∨ ¬g3) ∧ (¬g6 ∨ ¬g4) ∧(g6∨g4) ∧ (¬g7∨g5)∧ (¬g7∨g6)∧(g7 ∨ ¬g5 ∨ ¬g6) ∧ g7.

Bonyolultságelmélet

Hálózat-Kielégíthetőség ≤P Sat példa

Példa(g1 ↔ x1) ∧ (g2 ↔ x2) ∧ (g3 ↔ x3)∧ (g4 ↔ (g1 ∧ g2)) ∧ (g5 ↔ (g2 ∨g3)) ∧ (g6 ↔ (¬g4)) ∧ (g7 ↔ (g5 ∧g6)) ∧ g7.

CNF alakban:(¬g1 ∨ x1) ∧ (g1 ∨ ¬x1) ∧ (¬g2 ∨x2)∧ (g2 ∨¬x2)∧ (¬g3 ∨ x3)∧ (g3 ∨¬x3) ∧ (¬g4∨g1)∧(¬g4∨g2)∧(g4∨¬g1∨¬g2) ∧ (¬g5∨ g2∨ g3)∧ (g5∨¬g2) ∧ (g5 ∨ ¬g3) ∧ (¬g6 ∨ ¬g4) ∧(g6∨g4) ∧ (¬g7∨g5)∧ (¬g7∨g6)∧(g7 ∨ ¬g5 ∨ ¬g6) ∧ g7.

Bonyolultságelmélet

Hálózat-Kielégíthetőség ≤P Sat példa

Példa(g1 ↔ x1) ∧ (g2 ↔ x2) ∧ (g3 ↔ x3)∧ (g4 ↔ (g1 ∧ g2)) ∧ (g5 ↔ (g2 ∨g3)) ∧ (g6 ↔ (¬g4)) ∧ (g7 ↔ (g5 ∧g6)) ∧ g7.CNF alakban:(¬g1 ∨ x1) ∧ (g1 ∨ ¬x1)

∧ (¬g2 ∨x2)∧ (g2 ∨¬x2)∧ (¬g3 ∨ x3)∧ (g3 ∨¬x3) ∧ (¬g4∨g1)∧(¬g4∨g2)∧(g4∨¬g1∨¬g2) ∧ (¬g5∨ g2∨ g3)∧ (g5∨¬g2) ∧ (g5 ∨ ¬g3) ∧ (¬g6 ∨ ¬g4) ∧(g6∨g4) ∧ (¬g7∨g5)∧ (¬g7∨g6)∧(g7 ∨ ¬g5 ∨ ¬g6) ∧ g7.

Bonyolultságelmélet

Hálózat-Kielégíthetőség ≤P Sat példa

Példa(g1 ↔ x1) ∧ (g2 ↔ x2) ∧ (g3 ↔ x3)∧ (g4 ↔ (g1 ∧ g2)) ∧ (g5 ↔ (g2 ∨g3)) ∧ (g6 ↔ (¬g4)) ∧ (g7 ↔ (g5 ∧g6)) ∧ g7.CNF alakban:(¬g1 ∨ x1) ∧ (g1 ∨ ¬x1) ∧ (¬g2 ∨x2)∧ (g2 ∨¬x2)∧ (¬g3 ∨ x3)∧ (g3 ∨¬x3)

∧ (¬g4∨g1)∧(¬g4∨g2)∧(g4∨¬g1∨¬g2) ∧ (¬g5∨ g2∨ g3)∧ (g5∨¬g2) ∧ (g5 ∨ ¬g3) ∧ (¬g6 ∨ ¬g4) ∧(g6∨g4) ∧ (¬g7∨g5)∧ (¬g7∨g6)∧(g7 ∨ ¬g5 ∨ ¬g6) ∧ g7.

Bonyolultságelmélet

Hálózat-Kielégíthetőség ≤P Sat példa

Példa(g1 ↔ x1) ∧ (g2 ↔ x2) ∧ (g3 ↔ x3)∧ (g4 ↔ (g1 ∧ g2)) ∧ (g5 ↔ (g2 ∨g3)) ∧ (g6 ↔ (¬g4)) ∧ (g7 ↔ (g5 ∧g6)) ∧ g7.CNF alakban:(¬g1 ∨ x1) ∧ (g1 ∨ ¬x1) ∧ (¬g2 ∨x2)∧ (g2 ∨¬x2)∧ (¬g3 ∨ x3)∧ (g3 ∨¬x3) ∧ (¬g4∨g1)∧(¬g4∨g2)∧(g4∨¬g1∨¬g2)

∧ (¬g5∨ g2∨ g3)∧ (g5∨¬g2) ∧ (g5 ∨ ¬g3) ∧ (¬g6 ∨ ¬g4) ∧(g6∨g4) ∧ (¬g7∨g5)∧ (¬g7∨g6)∧(g7 ∨ ¬g5 ∨ ¬g6) ∧ g7.

Bonyolultságelmélet

Hálózat-Kielégíthetőség ≤P Sat példa

Példa(g1 ↔ x1) ∧ (g2 ↔ x2) ∧ (g3 ↔ x3)∧ (g4 ↔ (g1 ∧ g2)) ∧ (g5 ↔ (g2 ∨g3)) ∧ (g6 ↔ (¬g4)) ∧ (g7 ↔ (g5 ∧g6)) ∧ g7.CNF alakban:(¬g1 ∨ x1) ∧ (g1 ∨ ¬x1) ∧ (¬g2 ∨x2)∧ (g2 ∨¬x2)∧ (¬g3 ∨ x3)∧ (g3 ∨¬x3) ∧ (¬g4∨g1)∧(¬g4∨g2)∧(g4∨¬g1∨¬g2) ∧ (¬g5∨ g2∨ g3)∧ (g5∨¬g2) ∧ (g5 ∨ ¬g3)

∧ (¬g6 ∨ ¬g4) ∧(g6∨g4) ∧ (¬g7∨g5)∧ (¬g7∨g6)∧(g7 ∨ ¬g5 ∨ ¬g6) ∧ g7.

Bonyolultságelmélet

Hálózat-Kielégíthetőség ≤P Sat példa

Példa(g1 ↔ x1) ∧ (g2 ↔ x2) ∧ (g3 ↔ x3)∧ (g4 ↔ (g1 ∧ g2)) ∧ (g5 ↔ (g2 ∨g3)) ∧ (g6 ↔ (¬g4)) ∧ (g7 ↔ (g5 ∧g6)) ∧ g7.CNF alakban:(¬g1 ∨ x1) ∧ (g1 ∨ ¬x1) ∧ (¬g2 ∨x2)∧ (g2 ∨¬x2)∧ (¬g3 ∨ x3)∧ (g3 ∨¬x3) ∧ (¬g4∨g1)∧(¬g4∨g2)∧(g4∨¬g1∨¬g2) ∧ (¬g5∨ g2∨ g3)∧ (g5∨¬g2) ∧ (g5 ∨ ¬g3) ∧ (¬g6 ∨ ¬g4) ∧(g6∨g4)

∧ (¬g7∨g5)∧ (¬g7∨g6)∧(g7 ∨ ¬g5 ∨ ¬g6) ∧ g7.

Bonyolultságelmélet

Hálózat-Kielégíthetőség ≤P Sat példa

Példa(g1 ↔ x1) ∧ (g2 ↔ x2) ∧ (g3 ↔ x3)∧ (g4 ↔ (g1 ∧ g2)) ∧ (g5 ↔ (g2 ∨g3)) ∧ (g6 ↔ (¬g4)) ∧ (g7 ↔ (g5 ∧g6)) ∧ g7.CNF alakban:(¬g1 ∨ x1) ∧ (g1 ∨ ¬x1) ∧ (¬g2 ∨x2)∧ (g2 ∨¬x2)∧ (¬g3 ∨ x3)∧ (g3 ∨¬x3) ∧ (¬g4∨g1)∧(¬g4∨g2)∧(g4∨¬g1∨¬g2) ∧ (¬g5∨ g2∨ g3)∧ (g5∨¬g2) ∧ (g5 ∨ ¬g3) ∧ (¬g6 ∨ ¬g4) ∧(g6∨g4) ∧ (¬g7∨g5)∧ (¬g7∨g6)∧(g7 ∨ ¬g5 ∨ ¬g6)

∧ g7.

Bonyolultságelmélet

Hálózat-Kielégíthetőség ≤P Sat példa

Példa(g1 ↔ x1) ∧ (g2 ↔ x2) ∧ (g3 ↔ x3)∧ (g4 ↔ (g1 ∧ g2)) ∧ (g5 ↔ (g2 ∨g3)) ∧ (g6 ↔ (¬g4)) ∧ (g7 ↔ (g5 ∧g6)) ∧ g7.CNF alakban:(¬g1 ∨ x1) ∧ (g1 ∨ ¬x1) ∧ (¬g2 ∨x2)∧ (g2 ∨¬x2)∧ (¬g3 ∨ x3)∧ (g3 ∨¬x3) ∧ (¬g4∨g1)∧(¬g4∨g2)∧(g4∨¬g1∨¬g2) ∧ (¬g5∨ g2∨ g3)∧ (g5∨¬g2) ∧ (g5 ∨ ¬g3) ∧ (¬g6 ∨ ¬g4) ∧(g6∨g4) ∧ (¬g7∨g5)∧ (¬g7∨g6)∧(g7 ∨ ¬g5 ∨ ¬g6) ∧ g7.

Bonyolultságelmélet

Első kiszámítható teljes problémáink

Emlékezzünk: egy C-beli probléma C-teljes, ha minden C-beliprobléma visszavezethető rá.

Eddig még csak eldönthetetlen, RE-teljes problémákkaltalálkoztunk: a Megállás ilyen volt.

A Hálózat-Kiértékelés probléma P-beli.

TételA Hálózat-Kielégíthetőség probléma NP-teljes.

Következmény (Cook tétele)A Sat probléma is NP-teljes.

Bonyolultságelmélet

Első kiszámítható teljes problémáink

Emlékezzünk: egy C-beli probléma C-teljes, ha minden C-beliprobléma visszavezethető rá.

Eddig még csak eldönthetetlen, RE-teljes problémákkaltalálkoztunk: a Megállás ilyen volt.

A Hálózat-Kiértékelés probléma P-beli.

TételA Hálózat-Kielégíthetőség probléma NP-teljes.

Következmény (Cook tétele)A Sat probléma is NP-teljes.

Bonyolultságelmélet

Első kiszámítható teljes problémáink

Emlékezzünk: egy C-beli probléma C-teljes, ha minden C-beliprobléma visszavezethető rá.

Eddig még csak eldönthetetlen, RE-teljes problémákkaltalálkoztunk: a Megállás ilyen volt.

A Hálózat-Kiértékelés probléma P-beli.

TételA Hálózat-Kielégíthetőség probléma NP-teljes.

Következmény (Cook tétele)A Sat probléma is NP-teljes.

Bonyolultságelmélet

Első kiszámítható teljes problémáink

Emlékezzünk: egy C-beli probléma C-teljes, ha minden C-beliprobléma visszavezethető rá.

Eddig még csak eldönthetetlen, RE-teljes problémákkaltalálkoztunk: a Megállás ilyen volt.

A Hálózat-Kiértékelés probléma P-beli.

TételA Hálózat-Kielégíthetőség probléma NP-teljes.

Következmény (Cook tétele)A Sat probléma is NP-teljes.

Bonyolultságelmélet

Első kiszámítható teljes problémáink

Emlékezzünk: egy C-beli probléma C-teljes, ha minden C-beliprobléma visszavezethető rá.

Eddig még csak eldönthetetlen, RE-teljes problémákkaltalálkoztunk: a Megállás ilyen volt.

A Hálózat-Kiértékelés probléma P-beli.

TételA Hálózat-Kielégíthetőség probléma NP-teljes.

Következmény (Cook tétele)A Sat probléma is NP-teljes.

Bonyolultságelmélet

Sat NP-teljességéről

Mivel a Sat probléma NP-teljes,

ha polinomidőben megoldható lenne, akkor P = NP.(Ebben persze lehet hinni. De eddig még senki nem oldottameg polinomidőben. . . )Nem ismert rá szubexponenciális algoritmus.Ilyenkor bevethetők (a teljesség igénye nélkül):

heurisztikákrandomizált algoritmusok alkalmazásaa követelmények relaxálása. . . (pl. nem az összes, de minéltöbb klóz egyszerre történő kielégítése). . . majd a relaxált követelmények approximálásavagy olyan speciális esetek keresése, melyre van hatékonyalgoritmus.

Bonyolultságelmélet

Sat NP-teljességéről

Mivel a Sat probléma NP-teljes,ha polinomidőben megoldható lenne, akkor P = NP.

(Ebben persze lehet hinni. De eddig még senki nem oldottameg polinomidőben. . . )Nem ismert rá szubexponenciális algoritmus.Ilyenkor bevethetők (a teljesség igénye nélkül):

heurisztikákrandomizált algoritmusok alkalmazásaa követelmények relaxálása. . . (pl. nem az összes, de minéltöbb klóz egyszerre történő kielégítése). . . majd a relaxált követelmények approximálásavagy olyan speciális esetek keresése, melyre van hatékonyalgoritmus.

Bonyolultságelmélet

Sat NP-teljességéről

Mivel a Sat probléma NP-teljes,ha polinomidőben megoldható lenne, akkor P = NP.(Ebben persze lehet hinni. De eddig még senki nem oldottameg polinomidőben. . . )

Nem ismert rá szubexponenciális algoritmus.Ilyenkor bevethetők (a teljesség igénye nélkül):

heurisztikákrandomizált algoritmusok alkalmazásaa követelmények relaxálása. . . (pl. nem az összes, de minéltöbb klóz egyszerre történő kielégítése). . . majd a relaxált követelmények approximálásavagy olyan speciális esetek keresése, melyre van hatékonyalgoritmus.

Bonyolultságelmélet

Sat NP-teljességéről

Mivel a Sat probléma NP-teljes,ha polinomidőben megoldható lenne, akkor P = NP.(Ebben persze lehet hinni. De eddig még senki nem oldottameg polinomidőben. . . )Nem ismert rá szubexponenciális algoritmus.

Ilyenkor bevethetők (a teljesség igénye nélkül):heurisztikákrandomizált algoritmusok alkalmazásaa követelmények relaxálása. . . (pl. nem az összes, de minéltöbb klóz egyszerre történő kielégítése). . . majd a relaxált követelmények approximálásavagy olyan speciális esetek keresése, melyre van hatékonyalgoritmus.

Bonyolultságelmélet

Sat NP-teljességéről

Mivel a Sat probléma NP-teljes,ha polinomidőben megoldható lenne, akkor P = NP.(Ebben persze lehet hinni. De eddig még senki nem oldottameg polinomidőben. . . )Nem ismert rá szubexponenciális algoritmus.Ilyenkor bevethetők (a teljesség igénye nélkül):

heurisztikákrandomizált algoritmusok alkalmazásaa követelmények relaxálása. . . (pl. nem az összes, de minéltöbb klóz egyszerre történő kielégítése). . . majd a relaxált követelmények approximálásavagy olyan speciális esetek keresése, melyre van hatékonyalgoritmus.

Bonyolultságelmélet

Sat NP-teljességéről

Mivel a Sat probléma NP-teljes,ha polinomidőben megoldható lenne, akkor P = NP.(Ebben persze lehet hinni. De eddig még senki nem oldottameg polinomidőben. . . )Nem ismert rá szubexponenciális algoritmus.Ilyenkor bevethetők (a teljesség igénye nélkül):

heurisztikák

randomizált algoritmusok alkalmazásaa követelmények relaxálása. . . (pl. nem az összes, de minéltöbb klóz egyszerre történő kielégítése). . . majd a relaxált követelmények approximálásavagy olyan speciális esetek keresése, melyre van hatékonyalgoritmus.

Bonyolultságelmélet

Sat NP-teljességéről

Mivel a Sat probléma NP-teljes,ha polinomidőben megoldható lenne, akkor P = NP.(Ebben persze lehet hinni. De eddig még senki nem oldottameg polinomidőben. . . )Nem ismert rá szubexponenciális algoritmus.Ilyenkor bevethetők (a teljesség igénye nélkül):

heurisztikákrandomizált algoritmusok alkalmazása

a követelmények relaxálása. . . (pl. nem az összes, de minéltöbb klóz egyszerre történő kielégítése). . . majd a relaxált követelmények approximálásavagy olyan speciális esetek keresése, melyre van hatékonyalgoritmus.

Bonyolultságelmélet

Sat NP-teljességéről

Mivel a Sat probléma NP-teljes,ha polinomidőben megoldható lenne, akkor P = NP.(Ebben persze lehet hinni. De eddig még senki nem oldottameg polinomidőben. . . )Nem ismert rá szubexponenciális algoritmus.Ilyenkor bevethetők (a teljesség igénye nélkül):

heurisztikákrandomizált algoritmusok alkalmazásaa követelmények relaxálása. . .

(pl. nem az összes, de minéltöbb klóz egyszerre történő kielégítése). . . majd a relaxált követelmények approximálásavagy olyan speciális esetek keresése, melyre van hatékonyalgoritmus.

Bonyolultságelmélet

Sat NP-teljességéről

Mivel a Sat probléma NP-teljes,ha polinomidőben megoldható lenne, akkor P = NP.(Ebben persze lehet hinni. De eddig még senki nem oldottameg polinomidőben. . . )Nem ismert rá szubexponenciális algoritmus.Ilyenkor bevethetők (a teljesség igénye nélkül):

heurisztikákrandomizált algoritmusok alkalmazásaa követelmények relaxálása. . . (pl. nem az összes, de minéltöbb klóz egyszerre történő kielégítése)

. . . majd a relaxált követelmények approximálásavagy olyan speciális esetek keresése, melyre van hatékonyalgoritmus.

Bonyolultságelmélet

Sat NP-teljességéről

Mivel a Sat probléma NP-teljes,ha polinomidőben megoldható lenne, akkor P = NP.(Ebben persze lehet hinni. De eddig még senki nem oldottameg polinomidőben. . . )Nem ismert rá szubexponenciális algoritmus.Ilyenkor bevethetők (a teljesség igénye nélkül):

heurisztikákrandomizált algoritmusok alkalmazásaa követelmények relaxálása. . . (pl. nem az összes, de minéltöbb klóz egyszerre történő kielégítése). . . majd a relaxált követelmények approximálása

vagy olyan speciális esetek keresése, melyre van hatékonyalgoritmus.

Bonyolultságelmélet

Sat NP-teljességéről

Mivel a Sat probléma NP-teljes,ha polinomidőben megoldható lenne, akkor P = NP.(Ebben persze lehet hinni. De eddig még senki nem oldottameg polinomidőben. . . )Nem ismert rá szubexponenciális algoritmus.Ilyenkor bevethetők (a teljesség igénye nélkül):

heurisztikákrandomizált algoritmusok alkalmazásaa követelmények relaxálása. . . (pl. nem az összes, de minéltöbb klóz egyszerre történő kielégítése). . . majd a relaxált követelmények approximálásavagy olyan speciális esetek keresése, melyre van hatékonyalgoritmus.

Bonyolultságelmélet

ÖsszefoglalásMegismertük a polinomidőben verifikálhatóságot és láttuk, hogy pontosan azNP-beli problémák ilyenek.Megismertük a C-nehézség és C-teljesség fogalmát.Láttuk, hogy P = NP pontosan akkor igaz, ha valamelyik NP-teljes problémamegoldható polinomidőben.Láttuk, hogy a hatékony visszavezetés tranzitív.Megismertük a visszavezetésre való zártságot és láttuk, hogy az eddigiosztályaink zártak a visszavezetésre.Láttuk, hogy egy visszavezetésre zárt osztályt karakterizálnak a teljes problémái.Láttuk, hogy a megállási probléma RE-teljes.Láttuk, hogy a programok ekvivalenciája nehezebb: nincs RE ∪ coRE-ben sem.Megismertük a logikai hálózatokat, a Hálózat-Kiértékelés,Hálózat-kielégíthetőség és Sat :P problémákat.Láttuk, hogy Hálózat-Kiértékelés P-ben van.Cook tétele: Hálózat-Kielégíthetőség NP-teljes.Láttuk, hogy Hálózat-Kielégíthetőség ≤ Sat. Így Sat is NP-teljes.

Bonyolultságelmélet