Embed Size (px)
Citation preview
Hidrolik/ INS-361 / KDN01-1
Hidrolik
Tanım: Pratik su mühendisliği uygulamalarını inceleyen uygulamalı bir bilim dalıdır.
Amaç : Suyun bir noktadan diğer bir noktaya iletimiyle ilgili mühendislik problemlerin
çözümleriyle ilgilenmek ve doğru projenlendirme esaslarına zemin hazırlamak.
Hidrolik mühendisliğinin ilgi alanına giren fiziksel olayların çözüm yöntemleri için,
1 Teorik yöntem
2 Deneysel yöntem
3 Yarı deneysel yöntem
4 Fiziksel yöntem
5 Matematik benzeştirme
(simulasyon) yöntemi
kullanılabilir.
Hareket, Boyut kavramı, Boyut Sistemleri
Newton’ un 2. Hareket Yasası ( Dinamik Denklem )
Temel boyut sisteminde;
Seçilen boyutlar; : Kütle boyutu : Uzunluk boyutu : Zaman boyutu Kuvvet boyutu türeyen boyut olmaktadır. : Kuvvet boyutu
[MLT] boyut sistemi, kuvvet boyutunun türetildiği sistemdir. [FLT] boyut sistemi, kütlen boyutunun türetildiği sistemdir.
Hidrolik/ INS-361 / KDN01-2
Fiziksel büyüklüklere örnekler
Sembol Büyüklük [MLT ] Boyut Sistemi [FLT ] boyut sistemi
A alan [L2] [L2]
a ivme [L.T-2] [L.T-2]
D boru çapı [L] [L]
E elastisite katsayısı [M.L-1.T-2] [F.L-2]
F kuvvet [M.L.T-2 [F]
g yerçekimi ivmesi [L.T-2] [L. T-2]
m kütle [M] [F. L-1.T –2]
N güç [M.L2. T-3] [F.L. T –1]
p basınç [M.L-1.T-2] [F.L-2]
Q debi [L3.T -1] [L3.T –1]
RH hidrolik yarıçap [L] [L]
V hız [L.T –1] [L.T –1]
dinamik viskozite [M. L-1.T –1] [F. L-2.T]
kinematik viskozite [L2.T –1] [L2.T –1]
özgül kütle [M. L-3] [F. L-4.T 2]
kayma gerilmesi [M. L-1.T –2] [F. L-2]
özgül ağırlık [M. L-2.T –2] F. L-3]
Birim Sistemleri Her ülke kültürel gelişimlerine bağlı olarak temel boyutlar için bir ölçü tanımlamıştır.
Birim Sistemi Boyutlar
CGS cm s g
MKfS m s
kgf
SI m s kg
Kuvvet Tanımları
1 kgf , 1 kg kütleye 9,81 m/s2 ivme kazandıran kuvvettir. 1 N , 1 kg kütleye 1 m/s2 ivme kazandıran kuvvettir.
1 kgf = 9,81 N
Hidrolik/ INS-361 / KDN01-3
Fiziksel Büyüklüklerin Boyutlarına Göre Sınıflandırılması:
A ; herhangi bir fiziksel büyüklük olmak üzere
Durum Fiziksel Büyüklük Örnek
1 = 0 = 0 = 0 BOYUTSUZ Reynolds Sayısı
2 = 0 0 = 0 GEOMETRİK Alan, Hacim
3 = 0 0 0 KİNEMATİK Hız, İvme
4 0 0 0 DİNAMİK Özgül ağırlık, Dinamik
viskozite
Doğada meydana gelen olaylar birim sistemlerinden bağımsızdır.
Hidrolikte kullanılan bazı boyutsuz sayılar
Adı Bağıntı Oranlanan Kuvvetler
Reynolds Sayısı
L.V Atalet Kuvvetleri / Viskoz Kuvvetler
Boyut Homojenliği
Tanım : Herhangi bir bağıntıda mevcut olabilecek katsayı veya katsayılar, boyutsuz ise bu tip
bağıntılara boyut bakımından HOMOJEN denir.
Toricelli Bağıntısı:
gh2V
L
T
L
T
L2
, = [-] olduğuna göre bağıntı boyut bakımından homojen !
hCV bağıntısı incelendiğinde C katsayısı boyutsuz değildir. [ C ] = [ L1/2.T-1]
Boyut Homojenliğini sağlamayan bir bağıntı !
Not : Hidrolikte kullanılan bazı ampirik denklemlerin boyut homojenliği yoktur. Bunlar ancak verildikleri birim sistemi için
geçerli olurlar. Bir denklem ; boyutlu katsayılar içeriyorsa boyut homojenliğinden bahsedilemez. Böyle bir denklemde katsayı
kullanılan birim sistemine bağlı değerler alır.
Hidrolik/ INS-361 / KDN01-4
Boyut Analizi (Buckingham) Teoremi,
Fiziksel bir olayı gözlenen n tane fiziksel büyüklük arasında, f(A1, A2,.., Ai,…, An) = 0 şeklinde
bir bağıntı yazılabilir.
r : Ai fiziksel büyüklüklerde görülen temel boyut sayısı 3 ) olmak üzere,
sözkonusu fiziksel olay m = n – r adet boyutsuz i büyüklüğü ile
f(1, 2 , ..,I,.., m ) = 0 olarak tanımlanabilir.
Boyutsuz sayılarının oluşturulması ;
.
.
Boyut analizinde dikkat edilmesi gereken kriterler :
Fiziksel olayı tanımlayan fiziksel büyüklükler ( Ai ) belirlenir.
Fiziksel büyüklüklerin n sayısı belirlenir.
Fiziksel büyüklüklerin boyutları MLT boyut sisteminde yazılır.
Fiziksel büyüklüklerde gözlenen boyut sayısı r boyut sayısı belirlenir.
Boyut sayısı kadar esas değişken seçilir.
Boyutsuz m=n-r tane ifadesi yazılır.
xi, yi, zi üsleri, ‘lerin boyutsuz ( [] = [ M0L0T0 ] ) olduğu gözönüne alınarak çözülür.
Boyutsuz ifadeleri oluşturulur.
Not : Gerekirse terimlerinden biri, 1 = ( 2 ) şeklinde diğerlerinin fonksiyonu olarak yazılabilir. Bu yapılırken bir
boyutsuz sayının bütün üslerinin ve bir boyutsuz sayı ile çarpımının da boyutsuz olduğu özelliğinden yararlanılabilir.
Esas Değişken Seçim Kriterleri
Ai büyüklükleri arasından r tanesi esas değişken olarak seçilir .
Esas değişkenler boyutsuz olmamalı ve kendi aralarında da boyutsuz sayı
oluşturmamalıdır.
Toplamda veya enaz bir tanesi, r tane boyutu içermelidir.
Not : Esas değişken seçilirken, bilinen fiziksel anlama sahip boyutsuz sayıların elde edilmesine özen gösterilmelidir.
Hidrolik/ INS-361 / KDN01-5
Konuyla İlgili Çözümlü Problemler
Boyut Homojenliği Kavramı
1. Soru : Açık kanal hidroliğinde kullanılan Manning bağıntısının boyut bakımından homojen olup olmadığını belirleyiniz.
Manning Bağıntısı
Bağıntıdaki fiziksel parametrelerin (büyüklüklerin) anlamları; V : Kesitsel ortalama akım hızını,
RH : Hidrolik Çap =
n : Manning katsayısı, J : Birim boyda meydana gelen enerji kaybı (Enerji izgisi Eğimi) a) ( n ) katsayısının boyutunu belitleyiniz.
b) Bu denklem boyut homojenliğini sağlar mı ?
Manning formülü boyut bakımından homojen değildir. Diğer birim sistemlerine katsayının
dönüşümü yapılarak kullanılmalıdır.
2. Soru : Boru akımı üzerinde yapılan deneyler sonucunda, borulardaki sürtünme yük kaybı için bağıntısı elde edilmiştir. Bu denklemde hk enerji kaybı, l boru uzunluğu, d boru çapı, f sürtünme katsayısı, U kesitsel ortalama hız olduğuna göre, bağıntının boyut homojenliğini sağlayıp sağlanmadığını bulunuz.
2
1 2
2 2
2
2k
k
l Uh f
d g
h L f l L d L U LT g LT
L TLL L L
L LT
Denklem boyut homojenliğini sağlamaktadır.
Hidrolik/ INS-361 / KDN01-6
3. Soru : Bir boru içerisindeki üniform-permanan laminer akım halinde, enerji çizgisi eğimi ( J ),
akışkanın özgül ağırlığı ( ) ile akışkanın dinamik viskozitesine ( ) , ortalama akım hızına ( V ) ve
boru çapına ( D ) bağlı olduğuna göre, boyutsuz fiziksel büyüklükleri boyut analiziyle elde ediniz.
Çözüm :
J = f ( µ, D , V ,ρ )
Olaya etki eden parametre sayısı ; n = 5
Parametrelerde gözlenen esas değişken sayısı ; r = 3
Elde edilebilecek boyutsuz sayısı ; m = n - r = 5 – 3 = 2
Parametre MLT boyut sistemi İlgili Bağıntı
J Hidrolik eğim [ - ] g2
V
D
fJ
2
Dinamik viskozite [ M L-1 T-1 ] dy
du
ρ Özgül ağırlık [ M L-2 T-2 ] g
V Ortalama hız [ L T-1 ]
D Boru çapı [ L ]
Esas değişken sayısı r tane olmalıdır.
Geriye kalan r kadar parametre , boyutsuz sayısı ifadesinde ayrı ayrı yazılmalıdır.
Olaya etki eden fiziksel büyüklüklerin boyutları MLT boyut sisteminde gösterilerek;
Esas değişkenler : , , D
Serbest değişkenler : J , V
Not: Esas değişkenin kendisi boyutsuz olmamalı, seçilenler kendi aralarında boyutsuz ifade oluşturmamalı ve enaz
birisi bütün boyutları ( “ r” tane boyutu ) içermelidir yada toplamda hepsinde “r” tane boyut gözlenmelidir.
1111
ZYXD V
MoLoTo = )LT()L()TML()TML( 1ZY11X22 111 = 1YX21ZYX2YX TTTLLLLMM 1111111
M 0 = x1 + y1 x1 = -y1
L 0 = -2 x1 - y1 + z1 + 1 z1 = -2
T 0 = -2x1 - y1 – 1 y1 = 1 ve x1 = -1
211
1D V=
2D
V
ve
2 = J olarak elde edilir.
Hidrolik/ INS-361 / KDN01-7
1_Çalışma Sorusu
Kan damarı içerisinde birisi kısmen tıkanmış iki kesit arasındaki basınç farkı p , yaklaşık olarak aşağıdaki denklem ile verilmektedir.
2
2
1
0uv ρV1A
AK
D
μVKΔp
Bağıntıda ; V kanın hızı, kanın dinamik viskozitesi, kanın özgül kütlesi, D kan damarının çapı , A0 tıkanmamış kesitteki kan damarının alanı ve A1 kısmen tıkanmış damarın enkesit alanını göstermektedir. KV ve KU denklemin katsayıları olduğuna göre;
a) Bu denklemin boyut bakımından homojen olup-olmadığını kontrol ediniz. b) Denklem farklı birim sistemlerinde kullanılabilir mi ? Açıklayınız. Sonuç a) Homojendir. b) Kv ve Ku katsayıları boyutsuz oldukları için, bu katsayılar değiştirilmeden, denklem herhangi bir birim sisteminde kullanılabilir.
2_Çalışma Sorusu
Açık denizde meydana gelen dalga yüksekliği (H); yerçekimi ivmesine (g), rüzgar hızına (Uw), açık denizdeki ortalama su derinliğine (d) ve rüzgarın estiği yöndeki feç uzunluğuna ( f ) bağlı olduğu bilindiğinmektedir. Buna göre sözkonusu fiziksel olayı ifade edebilecek boyutsuz sayıları ( MLT ) boyut sistemini ve Buckingham teoremi kullanarak elde ediniz.
Çözüm aşamaları ; a) Fiziksel olaya etki eden fiziksel büyüklüklerin sayısını bulunuz (n= ?) b) Fiziksel parametrelerde gözlenen temel boyut sayısını bulunuz (r= ?).
c) Kaç tane boyutsuz i sayısı yazılabileceğini bulunuz (m= ?). d) Kaç tane esas değişken seçilebileceğini hesaplayınız.
e) Esas değişkenleri seçiniz ve boyutsuz i sayılarını oluşturunuz.
f) Boyutsuz i sayılarını belirleyiniz.
Hidrolik/ INS-361 / KDN01-8
3_Çalışma Sorusu
En genel halde akışkanlar mekaniği ve hidrolik problemlerine etkiyen parametreler;
Akışkan özelliği ile ilgili parametreler özgül kütle (), özgül ağırlık (), dinamik viskozite (), elastiklik
modulü (E) , yüzey gerilmesi () ,
Akım özelliği ile ilgili parametreler, ortalama akım hızı (V), basınç farkı (p)
Cidar özelliği ile ilgili olanlar ise, boru uzunluğu (ℓ), boru çapı (D), boru pürüz yüksekliği (e),
olduğuna göre ;
Froude Sayısı :
, Reynolds Sayısı :
, Cauchy Sayısı :
,
Weber Sayısı :
, Euler Sayısı :
ve Rölatif Pürüz yüksekliği
olarak bilinen
boyutsuz fiziksel büyüklükleri ( MLT ) boyut sistemini ve Buckingham teoremi kullanarak elde
ediniz.
Not : Esas değişkenlerin V, ve ℓ alınabileceğini göstererek, çözümü bu fiziksel büyüklüklere göre yapınız.
Çözüm:
Fiziksel Büyüklük Sembol Boyut Sistemi [MLT] Özgül Kütle ρ [ M.L-3 ]
Özgül Ağırlık γ [ L-3.M.L.T-2 ] = [ M.L-2.T-2 ] Dinamik Viskozite μ [ M.L.T-2L-2.T ]= [ M.L-1T-1] Elastiklik Modulü E [ M.L.T-2L-2 ] = [ M.L-1.T-2 ] Yüzey Gerilmesi σ [ M.T-2 ]
Ortlama Akım Hızı V [ L.T-1 ] Basınç Farkı ∆þ [ M.L.T-2L-2 ] = [ M.L-1.T-2 ]
Boru Uzunluğu ℓ [L] Boru Çapı D [L]
Cidar Pürüzlülüğü e [L]
Çözüm Sonuçları
Fiziksel Olayı tanımlayan fiziksel büyüklük sayısı , n =10 Gözlene Temel boyut sayısı : r =3 Olayı ifade edebilecek boyutsuz fizisel büyüklük sayısı, m = n – r = 7 Seçilen esas değişkenler : A1= V, A2 = ρ, A3 = ℓ
