EGY EGYSZERSTETT GLOBLIS SZN-DIOXID-MODELL S NUMERIKUS VIZSGLATA

Szakdolgozat

Fldtudomny alapszak Meteorolgia szakirny

Ksztette: Brajnovits Brigitta Tmavezet: Dr. Havasi gnes

Etvs Lornd Tudomnyegyetem Fldrajz- s Fldtudomnyi Intzet

Meteorolgiai Tanszk

Budapest, 2009

2

Tartalomjegyzk

1. Bevezets 3

2. A modell felptse 5

3. A felhasznlt numerikus mdszerek rvid lersa 13

4. Eredmnyeink 18

4.1. Az cen savasodsa 29

5. sszefoglals 32

6. Ksznetnyilvnts 33

7. Irodalomjegyzk 34

3

1. Bevezets Napjaink igen fontos krdse a klmavltozs. Sokakat tlt el jogos aggodalommal a

globlis felmelegeds. Az ipari forradalom ta az ember ltal a lgkrbe juttatott

klnbz szennyezanyagok befolysoljk Fldnk klmjnak alakulst.

Megvltoztatjk az veghzhats mrtkt, ill. bizonyos gzok roncsoljk az

zonrteget, ezzel egszen ms jelleg problmt generlva.

A klmakutatsban egyre tbb szempontot szeretnnk figyelembe venni, hogy

eredmnyeink a lehetsgekhez mrten a lehet legpontosabbak legyenek. Ez nagy

mennyisg adathalmaz feldolgozst ignyli, amit szmtgpes modellek futtatsval

hajtunk vgre. A szmtgpek kapacitsnak folyamatos nvekedsvel egyre

komplexebb modellek llthatk ssze. Azonban szmos esetben a termszetben

lejtszd folyamat megrtshez egyszerbb modell is elegend, mely csak a vizsglt

jelensgben szerepet jtsz nhny legfontosabbnak vlt mechanizmust foglalja

magba.

A klmavltozs esetben beszlhetnk a szn-dioxid (CO2) - mint legfbb veghzgz

mennyisgnek vltozsrl. Mivel az antropogn kibocsts kvetkeztben lgkri

mennyisge jelentsen megntt, ezrt a CO2 folyamatainak vizsglata sarkalatos krds.

A CO2 legfbb forrsa a fosszilis tzelanyagok a kolaj s fldgz getse, nyeli

kztt pedig risi szerep jut a bioszfra mellett az cennak. Az ceni hidroszfra

hatalmas mennyisg szn-dioxidot raktroz, s a lgkrbe juttatott CO2 jelents rszt

kpes elnyelni. gy azon tlmenen, hogy a CO2 mdostja a Fld ghajlatt, az ceni

koszisztmra is befolyssal van.

Az ghajlati rendszer egyes tartomnyai szoros kapcsolatban llnak egymssal, gy ha

az egyikben valamilyen vltozs zajlik le, az hatssal lesz az ghajlati rendszer ms

elemeire is. gy van ez a lgkr s az cen esetben is (Bacastow et al., 1972). Az

ember ltal a lgkrbe juttatott szn-dioxid-koncentrcijnak nvekedse egytt jr az

cen szn-dioxid-koncentrcijnak nvekedsvel. Az cenba jut CO2 felolddik a

vzben, ami az cen pH-jnak cskkensvel, azaz az cen savasodsval jr.

Munknk sorn egy angol-amerikai egyttmkdsben kszlt egyszerstett globlis

szn-dioxid-modellt tanulmnyoztunk (Griffiths et al., 2008, Brajnovits s Kelemen,

2009) s rtunk t, amely az antropogn szn-dioxid-kibocsts hossz tv hatsait

4

szimullja egy ht egyenletbl ll kznsges differencilegyenlet-rendszer

megoldsval. Ezt egy Matlabba beptett, nagy pontossg megoldmdszerrel teszi.

A modell klnbz idsklkon vgbemen folyamatokat r le, ezrt az egyenletek

enyhn merev (stiff) rendszert alkotnak. A merev rendszerek megoldsa a numerikus

mdszer krltekint megvlasztst ignyli.

A dolgozatban megvizsgljuk a modell mkdst, a benne lv egyszerstsek okt s

alkalmazhatsgt, valamint az eredmnyek kiszmtsnak mdjt. A kvetkezkben

bemutatjuk az ltalunk felhasznlt modell felptst, majd rviden ismertetjk az

alkalmazott numerikus mdszereket. A numerikus mdszerek mkdst s eredmnyt

egy egyszer pldn szemlltetjk. Megnzzk, hogy ez a feladat mirt nevezhet

enyhn stiffnek. Vgl kirtkeljk a hrom numerikus mdszerrel kapott

eredmnyeket, a modell viselkedst ngy klnbz emisszis fggvnyre, illetve

megnzzk, hogy hogyan viselkedik a rendszer hosszabb, 650 ves idtartamra,

mutatja-e a komoly egyszerstsek ellenre is a vrhat tendencit.

5

2. A modell felptse

A szn-dioxid koncentrcijnak vltozsa egy komplex s mg nem teljesen megrtett

problma. Ennek ellenre eleget tudunk a CO2 krforgsrl ahhoz, hogy kvantitatvan

lerhassuk azon legalapvetbb fizikai s kmiai folyamatokat, amelyek vgbemennek a

gzzal (Walker, 1991). gy elrejelezhetjk, hogyan fog nvekedni a jvben a szn-

dioxid-szint.

A modell, amellyel foglalkozunk, alapvet mechanizmusokat vesz csak figyelembe, s

ezek segtsgvel tanulmnyozza a CO2 mennyisgnek alakulst.

Hossztvra visszamenleg ssze tudjuk hasonltani a mai szn-dioxid-szintet a

mltbeli rtkekkel. Erre jgfurat-mintk analizlsval addik lehetsgnk. (Doney,

2006) A jgben tallhat lgbuborkokban elraktrozdott informcira ptnk, amikor

azt mondjuk, hogy antropogn hatsra ntt meg a lgkrben a CO2 mennyisge.

Ugyanis a mintk analizlsbl kiderlt, hogy a szn-dioxid-koncentrci

hozzvetleg vltozatlan volt az elmlt nhny ezer vben, s az iparosodssal az 1800-

as vektl gyors nvekedsnek indult a mennyisge. A CO2 ma mr 30%-kal gyakoribb

a lgkrben, mint alig nhny szz ve, s vrhatan az vszzad vgre megduplzza,

esetleg megtriplzza korbbi konstans rtkt (1. bra.).

6

1. bra. A CO2 koncentrcijnak vrhat alakulsa 2000 s 2100 kztt. Forrs: IPCC, Fourth Assessment.

A modell szksgszeren leegyszerstse a szn-dioxid-szintet meghatroz

folyamatoknak. Mindezek ellenre betekintst enged a gz dinamikjba, gy

tanulmnyozhatk rajta a szn-dioxid-szint idbeli vltozsban leginkbb szerepet

jtsz mechanizmusok. A paramterek vltoztatsval pedig elemezhet, hogy

mennyire rzkeny a bell szn-dioxid-egyensly az inputokra. Az inputok

varilsval ms-ms szint jelentkezik a jvben. Ezt az emisszis fggvnyek

megvltoztatsval vizsglhatjuk meg. A modell elnye mg, hogy mivel az egyetlen

forrstag az ember ltal kibocstott szn-dioxid-mennyisg, knny kiszmtani, hogy a

klnbz emisszis fggvnyeknek milyen a jvbeli hatsa.

A modell egy kznsges differencilegyenlet-rendszer numerikus megoldsn alapul,

amelyhez ismert mltbeli kezdeti rtkeket adunk meg. Alapbelltsban az 1850-es

vtl kezd integrlni - de a kezd vszm egyszeren megvltoztathat -, s 2100-ig

mutatja meg a gz mennyisgnek vrhat alakulst. Az integrls vgpontjt is

knnyedn megvltoztathatjuk, gy hosszabb idre elrejelezhetjk a gz

mennyisgnek vrhat alakulst. Tovbbi felttelek megadsval bvthet a

program. A megadott ngy emisszis fggvny mell beprogramozhatunk tovbbiakat

(Kelemen, 2009), vltoztathatjuk a vizsglt folyamat idintervallumt, s a lpskz

finomtsval pontosthatjuk eredmnyeinket.

Lg

kri

CO

2-ko

ncen

trc

i (p

pm)

7

A modell csak a szn-dioxiddal foglalkozik, nincs jvnk klmjt meghatroz

komponense, mely rmutatna esetleges hmrsklet- vagy klmavltozsra. Csak az

egyes trozkba trtn elkeveredssel foglalkozik, jelentsen leegyszerstett

egyenletekkel szmolva.

Mg a jelenlegi szn-dioxid-koncentrci szintjt meg tudjuk hatrozni mrsekkel,

annak tnyleges hatsa a Fld klmjra mg a mai napig sem teljesen tisztzott. A

modell nem magyarzza meg az eredmnyek ltal okozott, illetve mellettk

bekvetkezett ghajlatvltozst vagy ms kvetkezmnyeket. Egy kivtel azonban

mgis van, ugyanis a modell vgez szmtsokat az cen pH-jnak jvbeli

alakulsra. Habr ez a problma sem teljesen ismert, nhny dolog biztosan

elmondhat ezzel a folyamattal kapcsolatban:

Az cenok pH-rtke cskken, s ez mrhet.

A savasods hatsa megfigyelhet a korallokon s ms szilrd vzat kivlaszt

tengeri llnyeken, amelyek f alkoteleme a kalcium-karbont (Hoegh-

Guldberg, 2008). A kalcium-karbont kivlsnak nem kedvez a savas

krnyezet.

A fosszilis tzelanyagok getsvel keletkez CO2 mintegy harmada az cenba kerl.

A lejtszd reakcilnc a kvetkez:

3222 COHOHCO + {1}

+ + 332 HCOHCOH {2}

Ezek az egyenletek a folyamatot leegyszerstve rjk le. Valjban a lgkrbl az

cenba kerl CO2 felolddik a tengervzben, sznsavat kpezve. A sznsav disszocil

bikarbont- s hidrogn-ionra. A bikarbont-ion tovbb bomlik karbont- s hidrogn-

ionra, gy vgeredmnyben a CO2 vzbe kerlsvel kt hidrogn-ion keletkezik.

A pH rtkt pedig megkaphatjuk a kvetkez egyenletbl:

]lg[ += HpH {3}

Lthat, hogy az oldds sorn n az cenvzben a H+ - ion koncentrcija, ami

cskkenti a pH rtkt, azaz az cen elsavasodshoz vezet (Caldeira et al, 2003). A

8

H+ - ion koncentrcijnak vltozsval megvltozik a karbont s bikarbont ionok

egyenslya. Ez a folyamat veszlyezteti azokat a tengeri llnyeket, amelyek klcium-

karbontbl ptenek szilrd vzat. Mr most is kimutathat, hogy a dl-Atlanti-cen

fels nhny szz mterben magasabb az oldott szn-dioxid koncentrcija, mint a

nem is olyan tvoli mltban. Az elsavasods veszlyt jelent a klnbz planktonokra

(Iglesias-Rodriquez et al., 2008), valamint a korallztonyokra, amelyek az cen

biolgiailag legsszetettebb s legproduktvabb koszisztmi. Norml krlmnyek

kztt az cen mly s hideg vizei vannak annyira savasak, hogy feloldjk a tengeri

llnyek klcium-karbontbl ll vzt. Ennek a rtegnek a hatrt nevezik

teltettsgi horizontnak, mert az alatta lv rteg az llnyek vzt alkot

karbontvegyletekre (kalcit s aragonit) nzve teltetlen. A fels meleg ceni rteg

viszont teltett, gy kedvez krnyezetet jelent a meszes vzat kivlaszt llnyek

szmra. Az atmoszfrbl az cenba kerl nagy mennyisg CO2 hatsra a

teltettsgi horizont 50-200 mterrel feljebb toldott az 1800-as vekhez kpest. A

kutatk korbban azt gondoltk, hogy az cen savasodsa nem fogja veszlyeztetni a

vzi lvilgot, hiszen a felszni vz mindig is tlteltett marad majd, s az llnyeknek

csak erre van szksgk. Ezt cfolta meg az a kutatsi eredmny, amely kimutatta, hogy

a korallok klcium-karbont-kivlasztsa cskkent lland tlteltettsg, de cskken

pH-rtk mellett (Doney, 2006). Ebbl is ltszik, hogy az cen pH-vltozsnak

vizsglata is rendkvl fontos, s mivel szoros kapcsolatban van az antropogn szn-

dioxid-emisszival, vrhat rtknek kiszmtsa belekerlt a modellbe is.

2. bra. Az cen pH-rtke napjainkban. Forrs: Doney, 2006.

Savasabb

Az cen pH-ja Lgosabb

9

A modellben ht globlis szn-dioxid-trozban vizsgljuk a CO2 krforgalmt,

amelyek a kvetkezk:

Felslgkr (upper atmosphere - ua)

Alslgkr (lower atmosphere - la)

Rvid let llnyek (short-lived biota - sb)

Hossz let llnyek (long-lived biota - lb)

Fels ceni rteg (upper ocean layer - ul)

Mlyceni rteg (deep ocean layer - dl)

Tengeri lvilg (marine biota - mb)

Ez a ht rteg fontos rsztvevje a globlis szn-dioxid-rendszernek. Tovbbi trozk

helyezhetk a modellbe, illetve vehetk ki onnan. Ms modellekben megfigyelhet,

hogy a CO2 trozkat ms rendszer szerint vlasztjk szt, nem szmolnak esetleg kt

ceni rteggel, hanem egysgknt kezelik az cent (Caldeira et al., 2005; Kelemen,

2009).

Mindegyik troz fontos hatssal van a CO2 dinamikjra. A modell troznknt csak

egy koncentrcirtkkel szmol, mindegyik rtegben homogn szn-dioxid-eloszlst

felttelezve, vagyis nem vesz figyelembe loklis klnbsgeket. Ms szval

felttelezzk a trozkon belli teljes elkeveredst. A szn-dioxid-koncentrci minden

trozban csak az idtl fgg, gy a differencilegyenlet-rendszerben is az id az

egyetlen fggetlen vltoz.

Az idfggs a rendszerben azrt jn ltre, mert az antropogn szn-dioxid-kibocsts

inputknt megjelenik az als atmoszfrban. Innen a tbbi trozba is bekerl

elkevereds tjn.

Az egyenletekben szerepl, lnyegesen klnbz koncentrcirtkek knnyebb

kezelhetsge cljbl az sszes trozhoz tartoz rtket egy kzs sklra hoztk a

koncentrcik dimenzitlantsnak segtsgvel:

)1850dim()1850dim()dim(

)(=

==

tCtCtC

tC {4}

0)1850dim(

)1850dim()1850dim()1850( =

=

====

tCtCtC

tC {5}

10

gy az sszes kezdeti, 1850-es koncentrcirtk nullval lesz egyenl. Ezltal

grafikonon megjelentve jobban lthat az egyes trozk egymshoz kpesti

koncentrcivltozsa. Az eredmnyek termszetesen kifejezhetk dimenzis

mennyisgekknt is, ami segti az eredmnyek analizlst.

A trozkra felrt koncentrcivltozsok egyenletei a kvetkezk. Itt )21( azt az

tlagos n. tartzkodsi idt jelli, amg a CO2 a kettes trozbl az egyesbe jut.

dtdCla +

= )(

)(1

laua CCuala +

)(

)(1

lasb CCsbla +

)(

)(1

lalb CClbla

)()()(

1tQCC

ulla claul+

+

{6}

=dt

dCua )()(

1uala CClaua

{7}

=dt

dCsb )()(

1sbla CClasb

{8}

)()(

1lbla

lb CClalbdt

dC

=

{9}

)()(

1)(

)(1

)()(

1ulmbuldlulla

ul CCmbul

CCdlul

CClauldt

dC

+

+

=

{10}

)()(

1dlul

dl CCuldldt

dC

=

{11}

)()(

1mbul

mb CCulmbdt

dC

=

{12}

)exp()( 11 trctQc = . {13}

11

Az egyenletek megmutatjk, hogy az egyes trozkba honnan kerl be, illetve bellk

hova keveredik a CO2. Az els, legsszetettebb egyenletnk az alslgkrre vonatkozik.

Ez az a troz, amelyben a CO2 forrstagja megjelenik. Ebbl a rezervorbl a CO2

tkeveredik a felslgkrbe, a rvid s hossz let lvilgba, valamint az cen fels

rtegbe, az input tag pedig az emberi forrstag.

A modell egyenletei megfelelnek az elvrsainknak, mert kiolvashat a

koncentrcirtkek megvltozsbl, hogy melyik rtegben nvekszik a szn-dioxid-

mennyisg, s melyikben cskken.

A szn-dioxid-fluxus kt troz kztt le van egyszerstve egyetlen paramterre, a

tartzkodsi idre. Ez azrt tehet meg, mert a modell nem reagl rzkenyen a kis

vltozsaira.

Az egyenletekben az egyik legfontosabb tag az antropogn forrstag, hiszen a kezdeti

koncentrcirtkek csak az antropogn kibocsts hatsra nnek.

Az egyenletrendszer, mint mr emltettk, enyhn stiff. Stiff rendszerrl akkor

beszlnk, ha az egytthatmtrix sajtrtkei kztt tbb nagysgrendbeli eltrs van.

Ez knnyen elfordulhat akkor, ha az egyik sajtrtk a 0, mint ahogyan a mi

esetnkben is. Ilyen problmknl az explicit mdszerek csak igen kicsiny lpskz

esetn mkdnek, egybknt instabill vlnak, ill. oszcillcit mutatnak (Lambert,

1991).

Az ltalunk hasznlt modell felptse, szerkezete lehetv teszi a program knnyed

megrtst s hasznlatt.

A program Matlabban rdott, s egy frszbl ll, amely klnbz szubrutinokat hv

meg a bonyolultabb szmtsok elvgzshez. A vltozkat ezekben az alprogramokban

adjuk meg, s itt lehet megvltoztatni azok rtkeit is. A programban alaprtelmezsben

hasznlt kznsges differencilegyenlet-rendszert megold mdszer a Matlabba

beptett ode15s a fprogramban kerl meghvsra, s itt az eredmny pontossgt is

bellthatjuk. Munknk sorn ezt a numerikus mdszert helyettestettk ms

mdszerekkel, nevezetesen az explicit Euler-, az implicit Euler, illetve a kzpponti

mdszerrel, tovbb helyenknt nhny egyb modellparamtert mdostottunk. A

numerikus sma pontossgnak vizsglathoz lefuttattam a programot a paramter

ms rtkeivel is. Referenciamegoldsknt az ode15s programmal ellltott, nagy

pontossg numerikus megoldst hasznltuk.

12

A fprogramban csupn az idlpcs hosszt, a szmts kezdeti s vgpontjt, a szn-

dioxid-emisszi mrtkt s az egytthatmtrixot kellett megadnunk, a tbbi adatot s

szmtst a szubrutinok meghvsval ptettk be.

Mi a program gerincben s a meghvott programokban is jelents vltoztatsokat

vittnk vghez. trtuk a megoldmdszert, amihez tovbbi szubrutinokat kellett

alkalmaznunk, bizonyosakat pedig kihagynunk.

13

3. A felhasznlt numerikus mdszerek rvid lersa

Az explicit Euler-mdszer

Az explicit Euler-mdszer egy elsrend numerikus megoldmdszer kznsges

differencilegyenletekre. Tekintsk az

)()()(' tbtayty += {14}

lineris inhomogn differencilegyenletet, ahol a , s b adott fggvnye t-nek.

Jellje az n-edik idrteget tn, tovbb a megolds n-edik idlpcshz tartoz

approximcijt yn (yn y(t = tn)). Az idlpcs hossza h = tn tn-1 az egyszersg

kedvrt lland. Adott (tn, yn) rendezett prbl yn+1-et az explicit Euler-mdszer

segtsgvel gy kapjuk meg, hogy a (tn, yn) ponton tmen megoldsgrbe rintje

mentn lpnk a (tn+1, yn+1) pontba:

)(1 nnnn tbay

hyy

+=+ . {15}

Ebbl a keresett yn+1-et kifejezve az

)()1(1 nnn thbyhay ++=+ {16}

kpletet kapjuk. Ha elg kis lpsenknt haladunk, akkor vrhatan a pontos rtk

kzelben kapjuk meg az eredmnyt.

A mdszer termszetes mdon ltalnosthat

)()()(' tbtyAtyrrr

+= {17}

alak lineris differencilegyenlet-rendszerre is, ahol A az egytthatmtrix, br

pedig

idfgg vektor. Ekkor az explicit-Euler mdszer kplete

)()(1 nnn tbhyAhIyrrr

++=+ , {18}

ahol I a megfelel rend identitsmtrix.

14

Az implicit Euler-mdszer

Az implicit Euler-mdszer annyiban klnbzik az explicittl, hogy itt a (tn+1,yn+1)

pontbl haladunk az rint mentn visszafel a (tn,yn) pontba. Mivel az n-edik lps

elejn az yn+1 mg nem ismert, ez a mdszer egy implicit egyenlet megoldshoz vezet:

)( 111

+++ +=

nnnn tbay

hyy

, {19}

azaz

))((1

111 ++ +

= nnn thbyah

y . {20}

Az implicit Euler-mdszernek az az elnye az explicittel szemben, hogy stiff

rendszerekre stabilabb, azaz nagyobb lpskz esetn is jl alkalmazhat. A mdszert

differencilegyenlet-rendszerre is alkalmazhatjuk, ekkor a fenti kplet a

kvetkezkppen mdosul:

))(()( 11

1 +

+ += nnn tbhyAhIyrrr

. {21}

Lthat, hogy az egyenletrendszer megoldshoz mtrixinvertls szksges, ezrt ez a

mdszer az explicit Euler-mdszernl tbb szmtst ignyel.

A -mdszer

A -mdszer a kt elbbi mdszer egyestsn alapul. Vlasztunk egy ]1,0[

slyparamtert, s az egyenletrendszer jobb oldaln (1- ) ill. szorzval slyozzuk az

n-edik s az n+1-edik idrtegbeli rtket:

))(())()(1( 111

+++ +++=

nnnnnn tbyAtbyA

hyy rrrrrr

. {22}

Ezt trendezve az

))()()1())1((()( 11

1 +

+ +++= nnnn tbhtbhyAhIAhIyrrrr

{23}

formulhoz jutunk. Lthat, hogy 0= esetn az explicit, 1= esetn pedig az

implicit Euler-mdszert kapjuk vissza. A -mdszert = 0,5 esetn kzpponti

mdszernek nevezzk. Belthat, hogy a kzpponti mdszer msodrend, s gy

pontosabban kzelti az megoldst, mint az explicit vagy az implicit Euler-mdszer

(Lambert, 1991).

15

A mdszerek bemutatsa egy konkrt pldn

A mdszereket teszteltk egy kt egyenletbl ll differencilegyenlet-rendszerre:

byAyrrr

+=' , {24}

ahol

=

2,05,0

1,01,0A ,

=

0

0br

,

=

1

10yr

.

Itt ismert a pontos megolds, amelynek alakja:

0)exp( ytAyrr

= . {25}

Az explicit Euler-mdszerrel kapott eredmnyeket a 3. brn mutatjuk be.

0 5 106

5

4

3

2

1

0

1

0 5 101

2

3

4

5

6

7

8

numerikuspontos

numerikuspontos

1y 2y

3. bra. Az explicit Euler-mdszerrel kapott numerikus megolds s a pontos megolds sszehasonltsa a vizsglt tesztfeladatban.

16

Az brkon ltszik, hogy a numerikus megolds vgig a pontos megolds felett halad.

Az implicit Euler-mdszernl ellenben a pontos megolds alatt halad a numerikus

megolds (4. bra).

0 5 106

5

4

3

2

1

0

1

numerikuspontos

0 5 101

2

3

4

5

6

7

8

numerikuspontos

1y 2y

4. bra. Az implicit Euler-mdszerrel kapott numerikus megolds s a pontos megolds sszehasonltsa a vizsglt tesztfeladatban.

Erre a pldra alkalmazva a kzpponti mdszert, a kzelt megolds a pontos

megoldssal egytt fut. Ahogy az 5. brn megfigyelhet, gyakorlatilag nem fedezhet

fel hiba ennl a mdszernl.

Ltszik, hogy a kzpponti mdszer slyozva veszi figyelembe az explicit, illetve az

implicit Euler-mdszert, hiszen az egyik fellrl, a msik pedig alulrl kzelti a pontos

megoldst. A kzpponti mdszer grbje gy a kett kztt, a pontos megolds mentn

halad. Ezzel magyarzhat, hogy az brn nem ltunk klnbsget a numerikus s a

pontos megolds kztt.

17

0 5 106

5

4

3

2

1

0

1

0 5 101

2

3

4

5

6

7

8

numerikuspontos

numerikuspontos

1y 2y

5. bra. A kzpponti mdszerrel kapott numerikus megolds s a pontos megolds sszehasonltsa a vizsglt tesztfeladatban.

18

4. Eredmnyeink Mint azt mr emltettk, a programban a paramtereket tetszs szerint lehet varilni. gy

az idlpcsket is vltoztathatjuk, ezzel vizsglva a hrom numerikus mdszer rendjt,

stabilitst s rzkenysgt az idlpcs nagysgra.

Elvrsainknak megfelelen, minl finomabb a feloszts, annl kzelebb kerl a

numerikus megolds a pontos megolds grbjhez. De ezt a hrom klnbz

mdszerrel ksztett grbe nem egyformn teszi a lpskz finomtsnak

fggvnyben. A kzpponti mdszer a legpontosabb, a sorban az implicit Euler-

mdszer kveti, mely stabilabb numerikus mdszer, mint az explicit Euler-mdszer.

A modell az 1850-es vtl szmol 2100-ig, s a kapott eredmnyeket tzvenknt

jelenti meg. A tovbbiakban n azt a paramtert jelli, amely meghatrozza, hogy a

numerikus mdszer hnyat lpjen egy ilyen tz ves idtartamon bell. rtelemszeren,

ha n-et nveljk, azaz az idlpcs hosszt cskkentjk, akkor egyre pontosabb

megoldsokat kapunk.

Az ltalunk vizsglt differencilegyenlet-rendszer stiff. A stiff rendszerekben az

egytthatmrtix sajtrtkei kztt tbb nagysgrendbeli klnbsg van, s az ilyen

problmkra az explicit mdszerek nem jl, illetve csak nagyon kis lpskz esetn

alkalmazhatk.

A tovbbiakban megvizsgljuk a hrom numerikus mdszer s a referenciamegolds

viselkedst hrom trozra vonatkozan. Ezek az alslgkr, az cen fels rtege s a

mlyceni rteg. Ezek a rtegek az tkevereds sorn kapcsolatban llnak egymssal;

az alslgkrbl a CO2 egy rsze tkerl az cen fels rtegbe, majd onnan megint

egy hnyada a mlycenba. gy mindhrom troz szn-dioxid-koncentrcii

vizsglhatk.

Vizsgldsaink sorn lefutattuk a modellt n = 10, 20, 40, 80 s 160 esetn is. Mivel az

egyenleteket pontosan nem tudjuk megoldani, az eredmnyeket egy nagy pontossggal

ellltott numerikus megoldssal, az n. referenciamegoldssal vetettk ssze. Ennek

kiszmtsra az ode15s programot hasznltuk, amely egy stiff rendszerek megoldsra

alkalmazhat tbblpses mdszerrel oldja meg az egyenleteket. Az ode15 pontossgt

10-9-enre lltottuk be. A 4. bra a referenciamegoldst s az ltalunk hasznlt hrom

msik numerikus mdszer eredmnyt mutatja n = 10 esetn.

19

1850 1900 1950 2000 2050 21000

0.5

1

1.5

2A referenciamegolds

t

c(fr

ac)

Alslgkrcen fels rtegeMlycen

1850 1900 1950 2000 2050 21000

0.5

1

1.5

2Explicit Eulermdszer

t

c(fr

ac)

Alslgkrcen fels rtegeMlycen

1850 1900 1950 2000 2050 21000

0.5

1

1.5

2Implicit Eulermdszer

t

c(fr

ac)

Alslgkrcen fels rtegeMlycen

1850 1900 1950 2000 2050 21000

0.5

1

1.5

2Kzpponti mdszer

t

c(fr

ac)

Alslgkrcen fels rtegeMlycen

6. bra. A klnbz mdszerekkel kapott numerikus megoldsok sszehasonltsa a

referenciamegoldssal hrom kivlasztott CO2-trozra, n = 10 esetn.

Az brn szembetn a klnbsg az explicit Euler- s a tbbi mdszer kztt. Mg a

msik kt ltalunk kiprblt numerikus mdszer stabil, s a pontos megolds mentn

halad, addig az explicit Euler-mdszer mindhrom troz koncentrcirtkeire kin a

vgtelenbe. Ilyen nagy lpskz esetn teht ez a mdszer instabil.

A kvetkez esetben n = 20-ra szmtottuk ki a megoldsokat, s ekkor mr az explicit

Euler-mdszer is megfelelen pontosnak bizonyult. Ez altmasztja azt, hogy a vizsglt

differencilegyenlet-rendszer stiff, de csak enyhn. Ezt abbl is sejtettk, hogy az

egytthatmtrix legkisebb s legnagyobb sajtrtke kztt ugyan ngy

nagysgrendnyi klnbsg van, de a sajtrtkek viszonylag kis abszolt rtk

szmok.

20

A kvetkez brn az n = 160-as bellts eredmnyei lthatk. Itt mr mindegyik

mdszer megfelelen kzelti a referenciamegoldst, olyannyira, hogy az brn nem is

ltszik kzttk klnbsg.

1850 1900 1950 2000 2050 21000

0.5

1

1.5

2A referenciamegolds

t

c(fr

ac)

Alslgkrcen fels rtegeMlycen

1850 1900 1950 2000 2050 21000

0.5

1

1.5

2Explicit Eulermdszer

t

c(fr

ac)

Alslgkrcen fels rtegeMlycen

1850 1900 1950 2000 2050 21000

0.5

1

1.5

2Implicit Eulermdszer

t

c(fr

ac)

Alslgkrcen fels rtegeMlycen

1850 1900 1950 2000 2050 21000

0.5

1

1.5

2Kzpponti mdszer

t

c(fr

ac)

Alslgkrcen fels rtegeMlycen

7. bra. A klnbz mdszerekkel kapott numerikus megoldsok sszehasonltsa a

referenciamegoldssal hrom kivlasztott CO2-trozra, n = 160 esetn.

Megvizsgltuk azt is, hogy az idlpcs hossznak cskkentsvel hogyan vltozik a

mdszerek abszolt hibja az idintervallum vgn. Az alslgkr szn-dioxid-

koncentrciinak abszolt hibja nagysgrendekkel eltr egymstl az ltalunk

alkalmazott hrom numerikus mdszer esetn. A legpontosabb a kzpponti mdszer, a

legkevsb pontos pedig az explicit Euler-mdszer. Ez az 1. tblzatbl egyrtelmen

kitnik.

21

1. tblzat. Az ltalunk vizsglt mdszerek abszolt hibi.

A tblzatban Cla az alslgkr koncentrcirtkeinek hibjt jelli az egyes

esetekben.

Lthat, hogy az idlpseket cskkentve a hibk mindegyre cskkenek, ill. hogy a

kzpponti mdszer mindig legalbb kt nagysgrenddel pontosabb a msik kt

mdszernl. Ugyanez igaz a vizsglt msik kt rteg esetben kapott hibkra is.

brzolva a fenti tblzat adatait szemlletesebben ltszanak az eltrsek (8. bra).

cla

1,0000E-11

1,0000E-08

1,0000E-05

1,0000E-02

1,0000E+01

1,0000E+04

1,0000E+07

1,0000E+10

0 50 100 150 200

n

abszolt hiba

cla EEcla IEcla teta=0,5

8. bra. Abszolt hibk az alslgkrre. EE: explicit Euler-mdszer, IE: implicit Euler-mdszer,

teta=0,5: kzpponti mdszer.

Lthatjuk, hogy n = 40-tl az explicit s az implicit Euler-mdszer abszolt hibi egytt

futnak.

n Cla EE-mdszer Cla IE-mdszer Cla kzpponti-mdszer

10 2,4011E+11 5,7584E-04 4,3005E-06

20 2,9109E-04 2,8898E-04 1,0707E-06

40 1,4528E-04 1,4476E-04 2,6323E-07

80 7,2570E-05 7,2449E-05 6,1369E-08

160 3,6265E-05 3,6244E-05 1,0905E-08

22

Szembetn, hogy a kzpponti mdszer abszolt hibja nemcsak jelentsebb

mrtkben cskken az idlpcs vltoztatsval, hanem rtke is kt-hrom

nagysgrenddel kisebb, mint a msik kt mdszer hibja.

Megnztk mindhrom mdszerre az egyes esetekben, hogy az idlpcs

cskkentsvel hogyan cskkenek az abszolt hibk. Ezzel vizsgltuk a numerikus

smk konvergenciarendjt. Azt tapasztaltuk, hogy ha az idlpcst felre rvidtettk,

akkor a hiba az explicit s az implicit Euler-mdszernl is nagyjbl a felre, a

kzpponti mdszernl pedig a negyedre cskkent. Ezt az als atmoszfra adataira be

is mutatjuk a 2. tblzatban.

n Cla EE-mdszer Cla IE-mdszer Cla kzpponti-mdszer

10

20 0,0000 0,5018 0,2490

40 0,4991 0,5009 0,2458

80 0,4995 0,5005 0,2331

160 0,4997 0,5003 0,1777

2. tblzat. Az abszolt hibk cskkensnek mrtke. A szmok azt mutatjk, hogy az abszolt hiba hnyszorosra vltozott a ktszer hosszabb idlpcsvel kapott rtkhez

kpest.

Teht erre a problmra az explicit s az implicit Euler-mdszer elsrend, a kzpponti mdszer pedig msodrend mdszerknt viselkedik.

A modellt ms rtkeire lefuttatva azt tapasztaljuk, hogy a numerikus megolds a (0 ,

0.5) intervallumon az explicit, a (0.5 , 1) intervallumon pedig az implicit Euler-

mdszerrel kapott eredmnyhez ll kzelebb a hibk tekintetben. Ez abbl fakad, hogy

a -mdszer slyozva veszi figyelembe az explicit s implicit Euler-mdszert, gy

amelyiket nagyobb szmmal slyozzuk, az a mdszer lesz dominns a numerikus

megoldsban. Ebbl ltszik, hogy =0.5 igen kicsiny krnyezetben mg msodrend,

egybknt pedig elsrend mdszereket kapunk mind a kt irnyban a 0.5 rtktl

tvolodva.

Ezen tulajdonsgok alapjn elmondhatjuk, hogy a problma megoldsra a hrom

ltalunk vizsglt mdszer kzl legjobban a kzpponti mdszer, a legkevsb pedig az

explicit Euler-mdszer alkalmazhat.

23

Eddig csak az alslgkrre szmtott abszolt hibkkal foglalkoztunk, de

sszehasonltskppen nzzk meg az explicit Euler- s a kzpponti mdszer

viselkedst hrom kivlasztott rtegre, nevezetesen az alslgkrre, a fels ceni

rtegre s a mlycenra. A kapott megoldsokat az idlpcs fggvnyben a 9. bra

mutatja be.

Explicit Euler-mdszer

1,0000E-11

1,0000E-08

1,0000E-05

1,0000E-02

1,0000E+01

1,0000E+04

1,0000E+07

1,0000E+10

0 50 100 150 200

n

Abszolt hiba

Cla EE Cul EE Cdl EE

9. bra. Az explicit Euler-mdszer hibja az idlpcs fggvnyben hrom kivlasztott

trozra.

Az explicit Euler-mdszer hibi az alslgkr, a fels ceni rteg s a mlycen

koncentrciit nzve szinte teljesen egytt futnak, nincs szmottev eltrs kztk.

Teht az explicit Euler-mdszer nagysgrendileg ugyanolyan hibval dolgozik az egyes

idlpcsk esetn mindhrom rtegre vonatkozan.

24

Kzpponti mdszer

1,0000E-11

1,0000E-08

1,0000E-05

1,0000E-02

1,0000E+01

1,0000E+04

1,0000E+07

1,0000E+10

0 50 100 150 200

n

Abszolt hiba

Cla teta=0,5 Cul teta=0,5 Cdl teta=0,5

10. bra. A kzpponti mdszer hibja az idlpcs fggvnyben hrom kivlasztott trozra.

A kzpponti mdszer hibinak sszehasonltsnl viszont szembetn, hogy a

mlyceni rteg hibja 2-5 nagysgrenddel a msik kt trozra szmtott hibk alatt

tallhat. Ennek kt oka lehet:

a mlyceni rtegben eleve kisebb koncentrcirtkek vannak,

az erre a trozra felrt differencilegyenlet egyszerbb, egyetlen tagbl ll, mg a

msik kt rtegre felrt egyenlet tbb taggal rhat fel.

Az eddig bemutatott eredmnyeket egy adott emisszis fggvnnyel kaptuk. Mint mr

emltettk, a programban szmos bemen adatot meg lehet vltoztatni, gy a szmts

vgt s az antropogn szn-dioxid-emisszi mrtkt is.

Az eddig bemutatott adatokat a legoptimistbb emisszis fggvny alkalmazsval

kaptuk. Ez felttelezi, hogy az antropogn emisszi nvekedsnek mrtke 2010-tl

kezdve cskken, 2100-ra elri a 0-t, teht 2100-tl konstans kibocstssal szmol. Az

antropogn forrstagot a

)exp()( 11 trctQc = {26}

fggvny rja le a modellben. A 1c konstans 2007-es rtke 4,4*10-3, az 1r szorz pedig

kt tagbl ll. Az els tag

01,01 =br . {27}

25

A msik tag, cr1 , vltoztathat a programban, s csak 2010-tl ad nemnulla jrulkot

br1 rtkhez. 2010-ig mind a ngy emisszis fggvny egytt fut. Kt esetben

nvekszik az antropogn kibocsts, egy esetben stagnl, s a legoptimistbb verzi

szerint 2010-tl cskken a kibocsts mrtke. Az egyes esetekre:

0050,01 =cr (1)

0025,01 =cr (2)

0000,01 =cr (3)

010,01 =cr (4).

Az 1r rtkt 2010 s 2100 kztt lineris interpolcival kapjuk meg:

)20102100/()2010(11)(1 += tcrbrtr . {28}

Az gy kapott 1r s 1c egytthatk kerlnek az emisszis fggvnybe.

A modell megbzhatsgnak s stabilitsnak tesztelsre teht ngy klnbz szn-

dioxid-szcenrit futtatunk le. Mind a ngy esetben r1 = 0,01 volt a 2010-es vig, majd

az els esetben (1) az r1 rtkt 2010-tl linerisan megnveltk 0.0050-del, teht 2100-

ban r1 = 0,015 lett. Ez azt jelenti, hogy a szn-dioxid-kibocsts mrtke 50%-kal n

majd a 21. szzad vgre, s ennek eredmnyeknt az alslgkrben a szn-dioxid-

koncentrci 828,7 ppm lenne (11. bra).

1850 1900 1950 2000 2050 21000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2c(frac) vs t

t

c(fr

ac)

Alslgkrcen fels rtegeMlycen

11. bra. A szn-dioxid-koncentrcik elrejelzse az (1) emisszis szcenrira.

26

A msodik esetben (2) mr csak 25%-os nvekedssel szmolunk a szn-dioxid-

kibocstsban, azaz 2010-tl 2100-ig r1 0,01-rl 0,0125-re n. Ekkor az als lgkrben

a szn-dioxid-koncentrcija 2100-ben 667,8 ppm lenne (12. bra).

1850 1900 1950 2000 2050 21000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2c(frac) vs t

t

c(fra

c)

Alslgkrcen fels rtegeMlycen

12. bra. A szn-dioxid-koncentrcik elrejelzse a (2) emisszis szcenrira.

A harmadik forgatknyvben (3) az r1 rtke 2010 utn sem vltozik. Ez azt jelenti,

hogy a szn-dioxid-kibocsts mrtke ugyanolyan temben folytatdik, mint 1850 s

2010 kztt. Ekkor 567,9 ppm-es szn-dioxid-koncentrcira szmthatunk 2100-ban

(13. bra).

1850 1900 1950 2000 2050 21000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2c(frac) vs t

t

c(fr

ac)

Alslgkrcen fels rtegeMlycen

13. bra. A szn-dioxid-koncentrcik elrejelzse a (3) emisszis szcenrira.

27

A legoptimistbb szcenriban (4) azzal szmolunk, hogy a fosszilis tzelanyagokkal

termelt energit globlisan helyettesteni tudjk majd ms energiaforrsokkal, gy a

szn-dioxid-kibocsts mrtke, azaz jelen esetben az r1 paramter rtke 2010 utn

2100-ra linerisan lecskken nullra. Ekkor 11 )0exp()2100( ccQc == s 6,418=lac

ppm (14. bra).

1850 1900 1950 2000 2050 21000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2c(frac) vs t

t

c(fr

ac)

Alslgkrcen fels rtegeMlycen

14. bra. A szn-dioxid-koncentrcik elrejelzse az (4) emisszis szcenrira.

Itt mr jl ltszik a kibocsts-cskkents eredmnye, ugyanis 2010 utn az

alslgkrben megllt a szn-dioxid-koncentrci nvekedse.

Az els hrom esetben eltr mrtk exponencilis nvekeds figyelhet meg

mindhrom troz esetn. Jl lthat, hogy ahogy cskken a vltoz paramter rtke,

gy a fggvnyrtkek is cskkennek az egyes brkon mindhrom trozra. Ha

cskken emisszit feltteleznk, akkor lthatjuk, hogy 2100-ra az alslgkr szn-

dioxid-koncentrcii cskkenni kezdenek. Itt azonban azt is rdemes megjegyezni, hogy

a msik kt troz koncentrcirtkei tovbb nvekednek, jelezve az egsz rendszer

tehetetlensgt. Klnskppen az cen fels rtegben n a szn-dioxid-koncentrci,

ami jl mutatja, hogy a CO2 lassan, de folyamatosan keveredik t ms trozkba. Ezt a

folyamatot mg jobban szemllteti a 15. bra, amelyen az elbbi, azaz a negyedik szn-

dioxid-szcenrira adott eredmnyek lthatk 1850-tl 2500-ig.

28

1900 2000 2100 2200 2300 2400 25000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2c(frac) vs t

t

c(fr

ac)

Alslgkrcen fels rtegeMlycen

15. bra. A szn-dioxid-koncentrcik elrejelzse a 2500-as vig a (4) emisszis

szcenrira.

Az rtkek az alslgkrt s az cen fels rtegt tekintve cskkennek krlbell

2080-tl, de a mlyceni rteg koncentrcirtkei tovbb emelkednek, jelezvn

szmunkra, hogy milyen visszafordthatatlan kvetkezmnyekkel jr folyamatot

idztnk el. Mg abban az esetben is belthatatlanok a kvetkezmnyek, amikor 2010-

tl jelentsen mrskeljk az ltalunk kibocstott szn-dioxid mennyisgt. rdekes

viszont a mlyceni rteg szn-dioxid-koncentrcijnak alakulsa, amely

folyamatosan emelkedik. A lgkrbe bejuttatott antropogn szn-dioxidot teht vgl az

cen veszi fel. A mlycen egy risi troz, a fels ceni rtegbl csak lassan,

mintegy ezer v alatt keveredik be ide a CO2.

Az cenban lv CO2 mennyisge, mint azt mr korbban emltettk, hatssal van az

cen pH-jra.

29

4.1. Az cen savasodsa

Mint azt mr emltettk, az cen savasodsa veszlyezteti a benne l meszes vzat

kivlaszt llnyeket.

Az cenba kerl CO2 f forrsa a fosszilis tzelanyagok getse sorn keletkezik.

Ezt onnan tudjuk megllaptani, hogy a sznhidrognek alig, vagy egyltaln nem

tartalmazzk az l szervezetekben elfordul, radioaktv szn 14-es izotpot, mely az

tlagosnl 2-vel tbb neutront tartalmaz. gy a fosszilis tzelanyagok getse egy

izotpokban kimutathat nyomot hagy. A kibocstott CO2 majdnem fele az cenba

kerl, ott sznsavat, majd karbont- s hidrogn-ionokat kpezve. Ezzel minden egyes

CO2 molekula, mely az cenba kerl, kt hidrogn-ionnal gyaraptja az cen amgy

termszetesen lgos krnyezett.

Ha az cen pH-ja 0.1-del cskken, az azt jelenti, hogy a hidrognion koncentrcija

megtzszerezdik. A semleges 7-es pH helyett az cen pH-ja 8-8.3 rtk. A CO2

abszorpcija mr 0.1-del cskkentette a felszni vizek pH-jt, s ha nem vltozik a

kibocstsi trend, akkor az vszzad vgre tovbbi 0.3-del cskkenni fog (Doney,

2006), s nhny vszzad mlva alacsonyabb lesz, mint az elmlt 300 milli vben

valaha volt.

16. bra. Az cen savasodsnak vrhat mrtke a kvetkez 1000 vben, a mlysg

fggvnyben. Forrs: Doney, 2006.

Ez veszlyt jelent a korallokra is, melyek az cenok seklyebb vizeiben lnek, s az

cenok legproduktvabb, legsszetettebb koszisztmi. gy vgs soron a veszly

Ten

gers

zint

ala

tti m

lys

g (k

m)

v

pH-cskkens

0

30

nem csak a kagylkat, korallokat s az egyb mszvz llnyeket fenyegeti, hanem

egy egsz biolgiai trsulsban okoz komoly vltozsokat. s ezt olyan gyors temben

teszi, hogy a fajoknak nem lesz eslyk alkalmazkodni a megvltozott krlmnyekhez,

gy bizonyos fajok eltnhetnek a Fld sznrl.

A mi modellfuttatsunk sorn is ltszik ez a cskken trend az cen pH-rtkben. Ezt

lthatjuk a kvetkez brn, 650 ves peridusra brzolva.

1900 2000 2100 2200 2300 2400 25008.14

8.16

8.18

8.2

8.22

8.24

8.26

8.28

8.3

8.32pH vs t

t

pH

17. bra. Az cenvz pH-rtknek elrejelzse a 2500-as vig a (4) emisszis

szcenrira.

Ez az eredmny sem megnyugtat (17. bra). Az cen pH-ja a sok felvett CO2 miatt

cskken, a minimumot 2070 s 2080 kztt ri el, ekkor a pH = 8,1414. Ezutn, azaz

gyakorlatilag miutn az cen fels rtegben a CO2-koncentrci cskkenni kezd, a pH

elkezd emelkedni, s 2500-ban elri az 1990-es szintet (pH = 8,1923). Ez azrt rdekes,

mert 2500-ban az cenokban jval tbb oldott CO2 lesz, mint amennyi 1990-ben volt

bennk, a pH mgis megegyezik mindkt esetben. Ebbl arra kvetkeztethetnk, hogy

olyan visszacsatolsi mechanizmusok zajlanak le az cenban, amik a pH

emelkedsvel jrnak. Itt azonban rdemes megemltennk, hogy a modellnk

nagymrtkben egyszerstett, gy szmos folyamatot figyelmen kvl hagy. Az

azonban ettl fggetlenl biztos, hogy el fognak indulni visszacsatolsi

31

mechanizmusok, melyek egy j egyensly belltsra trekednek, azonban ezek

lehetnek msmilyen mrtkek, mint amit a mi eredmnynk mutat.

Itt ismt ki kell hangslyozni, hogy ez a legoptimistbb kzelts, s mg ebben az

esetben is akkora krt okozunk a krnyezetnkben, amelynek a helyrehozshoz nem

elg egy vezred. Valsznsthetjk tovbb, hogy nem ez a forgatknyv rja majd le

a jvnk szn-dioxid-koncentrcijnak alakulst. Ugyanis ehhez el kne rnie az

emberisgnek, hogy a jv vtl cskkentse a CO2 kibocstsa nvekedsnek

mrtkt. Ez sajnos a jelen lls szerint teljesen kizrt.

32

5. sszefoglals

Munknkban egy angol-amerikai egyttmkdsben kszlt egyszerstett globlis

szn-dioxid-modellt tanulmnyoztunk. A meglv Matlab-programot trtuk, ms

numerikus mdszereket alkalmaztunk benne. Megvizsgltuk, hogy a mdszerek hogyan

viselkednek klnbz hosszsg idlpcskre, s mennyire alkalmazhatk a szban

forg modellfeladatra.

Megnztk a mdszerek hibit, illetve megvizsgltuk, hogy ms paramterrtkekre a

megolds hibja hogyan vltozik.

Arra a kvetkeztetsre jutottunk, hogy az ltalunk vizsglt jelensg lersra a

kzpponti mdszer a legmegfelelbb. Mivel az egyenletek stiff rendszert alkotnak, az

explicit Euler-mdszer csak kellen rvid lpskzzel hasznlhat: tlsgosan nagy

lpskz vlasztsa esetn a megolds rvid idn bell kin a vgtelenbe. A stiffsg

enyhesgt mutatja azonban, hogy a lpskzt az explicit mdszernl sem kellett a

vgtelensgig finomtani, elg volt flvente egyet lpnnk, hogy kellen pontos

eredmnyt kapjunk. Ez azrt volt lehetsges, mert az egytthatmtrixunk sajtrtkei

kis abszolt rtk szmok.

Mindezek mellett tanulmnyoztuk a modellbe beptett ngy klnbz emisszis

fggvny szerkezett s viselkedst az id elrehaladtval. Tovbb a modell

paramtereinek megvltoztatsval megvizsgltuk a rendszer tehetetlensgt. Lthattuk,

hogy habr a legoptimistbb esetben az alslgkrben nhny vszzad elteltvel mr

cskkenni kezd a szn-dioxid-koncentrci, a mlycenban az tkevereds

idignyessge miatt folyamatos a nvekeds. Bemutattam, hogy ez mirt befolysolja

az cen pH-jt, s ez a pH cskkens milyen hatssal van az lvilgra. A mlycen

tehetetlensge miatt a pH cskkens akkor is folytatdik, amikor esetlegesen a szn-

dioxid-koncentrci mr nem emelkedik tovbb.

Sajnos be kell ltnunk, hogy a nagy mennyisg CO2 lgkrbe juttatsval olyan

folyamatot idznk el, amelynek hatsait vszzadokig rezni fogjuk. Ha most azonnal

felhagyna az emberisg a gz kibocstsval, akkor is vezredekre lenne szksg az

eredeti llapot visszanyershez.

33

6. Ksznetnyilvnts Szeretnk ksznetet mondani legfkppen tmavezetmnek, dr. Havasi gnesnek a

rengeteg segtsgrt s alapos munkjrt, s dr. Farag Istvnnak a tancsokrt,

javaslatokrt. Tovbb szeretnm megksznni Kelemen Fanninak az egyttmkdst a

TDK dolgozat megrsban, mely egsz dolgozatom alapjul szolglt.

34

7. Irodalomjegyzk R. Bacastow, and C. D. Keeling, Atmospheric Carbon Dioxide and Radiocarbon int he Natural Carbon Cycle: Changes from A.D. 1700 to 2070 as Deduced from a Geochemical Model, in Carbon in the Atmosphere (G. W. Woodwell and E. V. Pecan, eds.), Proceedings of the 24th Brookhaven Symposium in Biology, Upton, NY, May 16-18, 1972; published by the Technical Information Center, Office of Information Services, United State Atomic Energy Commission. Brajnovits, B., s Kelemen, F., Egy egyszerstett globlis szn-dioxid-modell numerikus vizsglata, Tudomnyos Dikkri Dolgozat (tmavezet: Havasi gnes), 2009. G.W. Griffiths, A.J. McHugh, W.E. Schiesser, An Introductory Global CO2 Model, Internal report, City University, London, UK, Lehigh University, USA, University of Pennsylvania, 2008. J.C.G. Walker, Numerical Adventures with Geochemical Cycles, Oxford University Press, 1991. O. Hoegh-Guldberg, Coral Reefs under Climate Change and Ocean Acidification, Science, vol. 319, 28 MAECH, 2008, p1729. K. Caldeira, M.E. Wickett, Anthropogenic Carbon and Ocean pH, Nature, vol. 425, September 25, 2003, p 365. M.D. Iglesias-Rodriquez, P.R. Halloran, R.E.M. Rickaby, I.R. Hall, E. ColmeneroHidalgo, J.R. Gittins, D.R.H. Green,T. Tyrrell, S.J. Gibbs, P. von Dassow, E. Rehm, E.V. Armbrust, K.P. Boessenkool, Phytoplankton Calcification in High-CO2 World, Science, vol. 320, 18 APRIL 2008, pp 336-340. S.C. Doney, The Dangers of Ocean Acidification, Scientific American, pp. 58-65, 2006. J. D. Lambert, Numerical Methods for Ordinary Differential Equations, Wiley, New York 1991. IPCC, Fourth Assessment (winner of Nobel prize), Working Group I Report, The Physical Science Basis, Chapter 10, Global Climate Projections, available at http://www.ipcc.ch/ipccreports/ar4-wg1.htm (CD file IPCC 4th chap10.pdf)

Budapest, 2009Tartalomjegyzk1. Bevezets2. A modell felptse

3. A felhasznlt numerikus mdszerek rvid lersa4. Eredmnyeink4.1. Az cen savasodsa

5. sszefoglals