UNIVERSIDAD FERMIN

TORO

BRAYAN BRICEÑO

La Integral:

• En pocas palabras la Integral es la

operación inversa a la Derivada

• Tiene muchas formas de trabajar y

variadas aplicaciones

Tipos:

• Integral definida

• Integral indefinida

Integral definida

• Sirve para calcular el área de debajo de

una curva lineal en un intervalo

• Dada una función continua en un intervalo [a,b]

se define la integral definida entre a y b de la función f como el

área S limitada por las rectas x=a, x=b, el eje de abscisas y la

curva definida por la representación gráfica de f. Se denota por:

• Por ejemplo, si f es la función constante f(x)=3, entonces la integral de

f entre 0 y 10 es el área del rectangulo limitado por las rectas x=0,

x=10, y=0 y y=3. El área corresponde al producto de la anchura del

rectángulo por su altura, por lo que aquí el valor de la integral es 30.

• Si se tiene una primitiva (integral indefinida) de la función f:

• entonces, y según la Regla de Barrow

• Siempre y cuando ni la integral ni la función integrada no presenten

singularidades en el intervalo de integración.

• A esta relación entre la integral indefinida y la superficie bajo la

función se le denominaTeorema fundamental del calculo integral

• *tipos

Integral Indefinida:• Dada una función F(x) tal que su derivada es F'(x) = f(x), entonces

decimos que F es la integral o primitiva de f, definiendo así la

integración como la inversa de la derivación. Simbólicamente, se

denota por

• Una función dada no tiene una única integral indefinida. Por ejemplo,

para la función f(x) = x + 2, las siguientes funciones son todas

primitivas de la misma:

• En general, si F(x) es una primitiva de f(x), entonces cualquier función

de la forma F(x)+c, siendo c una constante cualquiera, es también una

primitiva de f(x). *tipos

Teorema fundamental del calculo• Teorema: Si una función f es continua en el intervalo [a,b], entonces

• donde F es cualquier función tal que F’(x) = f(x) para todo x en [a,b].

La función f se llama el integrando y las constantes a y b son los

límites de integración. El proceso de hallar el valor de una integración

definida se llama evaluar el integral.

*precursores

Resumiendo

Teorema:

-cuando c es una constante.

Propiedades de integración

• donde k es una constante

• donde a<c<b

Aplicaciones

• A) Cálculo de Áreas

• B) Cálculo de volúmenes

A)1.-Area de una región comprendida entre dos curvas

• Si f y g son funciones continuas en el intervalo [a,b] y

• para todo x en [a,b], entonces el área de la región limitada por y = f(x),

y = g(x),

x = a y x = b. es:

• Donde f(x) representa la curva de arriba y g(x) representa

la curva de abajo. En la ilustración a continuación, f(x) es

la parábola que abre hacia abajo (observa que es la curva

de arriba en la región limitada por ambas funciones) y g(x)

es la parábola que abre hacia arriba (esta es la curva de

abajo en la región limitada por ambas funciones).

Pasos para hallar el área de una región comprendida

por una curva arriba y otra abajo:

1) Dibuja las gráficas. Esto permite visualizar qué curva está

arriba y cuál está abajo.

• 2) Halla los límites de integración, los cuales se leen en el eje x.

• 3) Halla:

A)2.-Región limitada por curva derecha y curva

izquierda

• El proceso para calcular el área de una región limitada por una

curva a la derecha y otra a la izquierda es similar al anterior. Se

recomienda dibujar las gráficas para visualizar qué curva está a la

derecha y cuál a la izquierda. Los límites de integración se leen en

el eje y, y se halla de la forma:

• Donde en esta ocasión f(y) representa la curva de la

derecha y g(y) la curva de la izquierda.

*aplicaciones

B).-Volúmenes de cuerpos de revolución

• Los sólidos de revolución son sólidos que se generan al girar una región

plana alrededor de ejes. Por ejemplo: el cono es un sólido que resulta al

girar un triángulo recto alrededor de uno de sus catetos, el cilindro surge al

girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados.

• El volumen de un cono y de un cilindro se puede calcular por medio de

fórmulas geométricas. Pero existen otros sólidos de revolución como la

paraboloide donde no se dispone de una fórmula para hallar su volumen.

La paraboloide surge al girar una región parabólica alrededor de una recta.

Cono paraboloide

B)1.-Volumen de un sólido de revolución cuya rotación

es alrededor del eje x por el método de discos:

• El volumen de un sólido que se genera al

girar la región entre la gráfica de una

función continua y = f(x) y el eje x de x = a

a x = b alrededor del eje x es:

B)2.-Volumen de un sólido de revolución cuya rotación es

alrededor del eje y por el método de discos:

• El volumen de un sólido que se genera al

girar la región entre la gráfica de una

función continua y el eje y de y = c a y =

d alrededor del eje y es:

B)3.-Volumen de un sólido de revolución que no tiene

borde en el eje de rotación por el método de arandelas:

• Si la región que se gira para generar un sólido no tiene borde

en el eje de rotación, entonces el sólido tiene un agujero. El

volumen se determina por:

• donde R es el radio exterior y r es radio interior.

B)4.-Volumen de un sólido de revolución por el método de capas

(cascarones cilíndricos)

• Se conoce como el método de capas o cascarones cilíndricos

porque utiliza capas cilíndricas. Un cascarón cilíndrico es un

sólido acotado por dos cilindros circulares rectos concétricos.

Para hallar el volumen de un sólido de revolución por el método

de capas se utilizan las siguientes fórmulas:

• I.- Si el eje de rotación es horizontal, entonces:

• Donde y representa el radio de la capa cilíndrica y g(y) la altura

de la misma. El intervalo de integración se lee en el eje de y.

• II.-Si el eje de rotación es vertical, entonces:

• Donde x representa el radio de la capa cilíndrica y f(x) la

altura de la misma. El intervalo de integración se lee en el

eje de x

*aplicaciones

Precursores:

• Isaac Barrow, Isaac Newton y Gottfried

Leibniz, fueron los que dieron forma al

Teorema fundamental del calculo

• Isaac Barrow formulo reglas sobre la

integral y se llamaron: reglas de Barrow

Teorema de Barrow

• Dada una funcion f continua en el intervalo [a; b]

y sea F(x) cualquier función primitiva de f, es

decir F' = f

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• Francisco Fernández Robles 4ºC 2007