Breviar de Mecanica Navala

Dr.ing. Garabet Kmbetlian Dr.ing Timur Chis

BREVIAR DE MECANICA APLICAT

(Teorie i aplicaii)

Editura PIM

IAI, 2015

2

Referent tiinific:

Dr.Ing. Renata Radulescu

Universitatea Petrol-Gaze Ploiesti

3

PREFA

Cursul de fa pentru Navigatori, se adreseaz studenilor din anul II ai Facultii de

Navigaie i Transport Maritim i Fluvial.

Cursul de mecanic este prevzut n planul de nvmnt al Facultii n semestrul 1

(3) al anului II, cu 2 ore de curs i 1 or de seminar pe sptmn.

innd cont de timpul alocat, coninutul cursului a trebuit s fie redus la cunotinele

de mecanic strict necesare navigatorului.

Din acelai motiv, tratarea cunotinelor s-a fcut cu instrumentul matematic cel mai

potrivit unei prezentri clare i sistematice, aplicaiile fiind adaptate specificului meseriei de

marinar.

Sperm c sub aceast form, el este accesibil studenilor, ndeplinindu-i scopul de

suport al cursului predat direct studenilor.

Autorii,

4

OBSERVATIE

Cursul de fa a fost ntocmit pe baza programei din Standards of Training,

Certification and Watchkeeping for Seafares (STCW), Officer in charge of a navigational

watch, PHYSICAL SCIENCE, PART C, MODULE 16,

1.1.Mass, weight and force,

1.2.Distance, velocity and acceleration,

1.3.Circular motion and rotation,

1.4.Statics,

1.5.Work, energy and power,

1.6.Machines.

5

CUPRINS

Pag.

PREFATA......................................................................... 3

OBSERVATIE.................................................................. 4

CUPRINS.......................................................................... 5

1. INTRODUCERE.............................................................. 8

2. STATICA.......................................................................... 9

2.1. Mrimile fizice ale staticii.............................................. 9

2.2. Vectorii i versorii.......................................................... 9

2.3. Orientarea spaiului......................................................... 11

2.4. Operaii cu vectori.......................................................... 14

2.4.1. Amplificarea vectorilor cu un scalar............................... 14

2.4.2. Adunarea vectorilor coplanari si concurenti................... 14

2.4.3. Proiecia unui vector pe o ax......................................... 17

2.4.3.1. Expresia hipercomplex a unui vector n planul (x,y).... 17

2.4.3.2. Teorema proieciilor....................................................... 18

2.4.4. Produsul a doi vectori..................................................... 19

2.4.4.1. Produsul scalar a doi vectori........................................... 19

2.4.4.2. Produsul vectorial a doi vectori...................................... 21

2.4.5. Aplicaii.......................................................................... 24

2.5. Momentul unei fore n raport cu un punct.Teorema

momentelor ....................................................................

31

2.5.1. Momentul unei fore n raport cu un punct..................... 31

2.5.2. Teorema momentelor...................................................... 34

2.6. Cuplul de fore; momentul cuplului................................ 36

2.7. Operaii de echivalen n mecanic............................... 39

2.8. Reducerea sistemelor de fore coplanare, oarecare......... 40

2.9. Momente statice, centre de greutate............................... 46

2.10. Echilibrul corpului solid rigid, sub actiunea sistemelor

de forte coplanare..............................................................

50

6

2.10.1. Echilibrul corpului solid rigid liber................................ 50

2.10.2. Echilibrul corpului solid rigid cu legturi. Axioma

legaturilor. Tipuri de legaturi............................................

52

2.10.2.1. Axioma legturilor.......................................................... 52

2.10.2.2. Tipuri de legturi (in plan).Legatura prin fir.................. 52

2.10.3. Maini simple la bordul navelor..................................... 56

2.10.3.1. Parghia........................................................................... 56

2.10.3.2. Scripetele....................................................................... 57

2.10.3.3. Troliul............................................................................ 57

2.10.3.4. Planul inclinat fara frecare............................................. 58

2.10.3.5. Planul inclinat cu frecare............................................... 59

2.10.4. Instalaii de ridicare de la bordul navelor (Instalatii cu

biga si balansina)..............................................................

59

3. CINEMATICA PUNCTULUI MATERIAL.................... 62

3.1. Elementele micrii......................................................... 62

3.1.1. Traiectoria....................................................................... 62

3.1.2. Viteza.............................................................................. 62

3.1.3. Acceleratia...................................................................... 63

3.2. Micrile particulare ale punctului material................... 64

3.2.1. Micarea rectilinie uniform.......................................... 64

3.2.1.1. Micarea absolut, relativ i de transport rectilinie a

punctului material..........................................................

65

3.2.2. Micarea rectilinie variant............................................ 71

3.2.3. Micarea circular a punctului material......................... 73

3.2.3.1. Micarea absolut, relativ i de transport circular a

punctului material..........................................................

78

4. DINAMICA...................................................................... 83

4.1. Principile mecanicii clasice............................................ 83

4.1.1. Principiul inertiei (Legea I-a a lui Newton).................... 83

4.1.2. Principiul actiunii fortei (Legea a II-a a lui Newton)..... 83

4.1.3. Principiul actiunii si reactiunii (sau actiunilor

reciproce fortei) (Legea a III-a a lui Newton)..............

84

7

4.2. Fore i momente de inerie. Metoda cineto-static (a

lui dAlembert)...............................................................

84

4.2.1. Forte de inertie in miscarea rectilinie a punctului

material si in translatia corpului solid rigid...................

84

4.2.2. Forte de inertie in miscarea circulara a punctului

material ..........................................................................

86

4.2.3. Forte de inertie in rotatia corpului solid rigid................. 88

4.3. Lucrul mecanic, puterea i energia cinetic, n

micarea rectilinie a punctului material i translaia

corpului solid rigid..........................................................

93

4.3.1. Teorema energiei cinetice n translaie........................... 93

4.4. Lucrul mecanic, puterea i energia cinetic n rotaia

corpului solid rigid..........................................................

95

4.4.1. Teorema energiei cinetice n rotaia corpului solid rigid 97

4.5. Impulsul i teorema impulsului....................................... 100

4.5.1. Impulsul forei i impulsul punctului material n

micarea rectilinie...........................................................

100

4.5.2. Impulsul corpului solid rigid n translaie....................... 101

4.5.3. Teorema impulsului i teorema conservrii impulsului.. 102

4.6. Momentul cinetic i teorema momentului cinetic........... 105

4.6.1. Momentul cinetic al punctului material n micarea

circular..........................................................................

105

4.6.2. Momentul cinetic al solidului rigid n rotaie................. 106

4.6.3. Teorema momentului cinetic.......................................... 107

4.6.4. Teorema conservrii momentului cinetic....................... 108

4.7. Giroscopul i aplicaiile n navigaie.............................. 110

4.7.1. Generaliti...................................................................... 110

4.7.2. Efectul giroscopic n cazul navelor echipate cu turbine 111

4.7.3. Giroscopul ca stabilizator antiruliu pentru salile de

operatie de la bordul navelor .........................................

112

BIBLIOGRAFIE............................................................... 115

8

1.INTRODUCERE

Obiectul de studiu al mecanicii l constituie corpurile materiale. Corpurile

materiale pot fi considerate puncte materiale, dac dimensiunile lor sunt

relativ mici n raport cu mediul sau solide rigide (nedeformabile), dac

dimensiunile lor sunt comparabile cu cele ale mediului nconjurtor.

Mecanica studiaz micarea mecanic a corpurilor, cu viteze v mult

inferioare vitezei luminii c.

cv (1.1.)

Sistemele de referin n raport cu care se studiaz micarea sunt considerate n

mecanic ineriale (adic n micare rectilinie i uniform).

Prile mecanicii sunt STATICA, CINEMATICA i DINAMICA.

Statica studiaz starea de echilibru a corpurilor materiale.

Cinematica studiaz micarea mecanic, independent de cauzele care o produc.

Dinamica studiaz micarea mecanic, n strns dependen de cauzele care o

produc.

9

2.STATICA

2.1.Mrimile fizice ale staticii

Mrimile fizice care fac obiectul de studiu al staticii pot fi clasificate n mrimi

scalare sau vectoriale.

-Mrimile scalare sunt perfect definite printr-un singur numr, ca n cazul masei sau

volumului unui corp.

-Mrimile vectoriale sunt definite prin valoare, direcie i sens (ca n cazul vectorilor

alunectori aplicai asupra corpurilor solide rigide) sau valoare, direcie, sens i punct de

aplicaie (ca n cazul celor aplicai asupra punctelor materiale sau, asupra corpurilor solide

deformabile).

2.2.Vectorii i versorii

Vectorii pot fi legai, alunectori sau liberi.

-Vectorii legai sunt mrimi fizice caracteristice punctelor materiale sau solidelor

deformabile (figura 2.1.).

Fig.2.1.

n figura 2.1., viteza v

, impulsul vm

, acceleraia a

i fora F

acioneaz asupra punctului

material de mas m.

-Vectorii alunectori sunt caracterizai prin direcie, sens i valoare ca n cazul forei F

care acioneaz asupra navei din figura 2.2.

Fig.2.2.

m v

vm

a

F

F

10

Efectul lor asupra corpului solid rigid este acelai, indiferent de punctul de aplicaie

aparinnd direciei , iar valoarea forei este F.

-Vectorii liberi pot fi mutai n orice punct al planului (sau spaiului), fr ca efectul lor

s fie alterat, cu condiia pstrrii sensului i mrimii, (ca n cazul momentului M

al unui

cuplu ( FF

)) (figura 2.3.).

Fig.2.3.

Vectorii mai pot fi coliniari (ca n figura 2.4.), coplanari (ca n figura 2.5.) sau spaiali.

Versorii sunt vectori de mrime unitate (1). De exemplu n figura 2.6., vectorul u

este versor, dac mrimea lui este:

1uu

(2.1.)

n acest caz vectorul F

(de valoare F) orientat dup direcia (i n sensul) versorului u

poate fi notat sub forma:

uFF

(2.2.)

Fig.2.4.

3F

1F

2F

G

F

(M)

(M) M

O1 O O2 O1

F

11

Fig.2.5.

Fig.2.6.

2.3.Orientarea spaiului

Orientarea unei drepte (direcii), x

n figura 2.7. axa x devine orientat dac i se asociaz un versor I

=i=1

Fig.2.7.

n acest caz, expresiile forelor 1F

i 2F

vor ine cont de orientarea axei x.

I

I11 FF

O I22 FF

x

()

u

uFF

4F

1F

3F

G

2F

12

Astfel,

I11 FF

(2.3.)

I22 FF

(2.4.)

Orientarea planului este posibil cu ajutorul unui sistem de axe (x,y) orientate cu

ajutorul versorilor I

i J

. n acest caz o rotaie a planului va putea fi considerat

pozitiv, dac suprapunerea axei x peste y se face cu unghiul de cea mai mic

valoare (de 90), (figura 2.8.).

Aceleai considerente determin i rotaia pozitiv (sau negativ) a axelor, ca n figura

2.9.

Fig.2.8.

I

G x

J

y

>0

0

13

Fig.2.9.

Orientarea spaiului poate fi definit similar celei a planului, dac prin rotaia axelor (x

peste y, y peste z i z peste x), unghiurile pozitive xy, yz i zx vor fi unghiuri de

90 (figurile 2.10. i 2.11.).

Fig.2.10.

Fig.2.11.

I

x

J

k

y

z

xy >0

zx >0

yz >0

I

x

J

k

y z

xy >0

zx >0 yz >0

14

2.4.Operaii cu vectori

n cele ce urmeaz vom considera ca fiind operaii cu vectori: Amplificarea vectorilor cu un

scalar, Adunarea vectorilor, Proiecia unui vector pe o ax i Produsul a doi vectori.

2.4.1.Amplificarea vectorilor cu un scalar

Vectorul F

, (de valoare F), amplificat cu un scalar , este un vector, 1F

:

1FF

(2.5.)

Direcia lui 1F

este cea a lui F

.

Sensul lui 1F

este cel al lui F

, dac >0.

Sensul lui 1F

este contrar lui F

, dac

15

Regula paralelogramului forelor

-Rezultanta R

a dou fore coplanare i concurente 1F

i 2F

este diagonala

paralelogramului construit pe cei doi vectori ca laturi (figura 2.12.).

Fig.2.12.

Se scrie:

RFF 21

(2.10.)

Regula triunghiului forelor

-dou fore 1F

i 2F

coplanare (i concurente) pot fi sumate (adunate) vectorial, adugnd

n continuarea vectorului 1F

un vector, avnd aceai sens i aceai valoare (la scara

desenului) cu fora (vectorul) 2F

(figura 2.13.).

Fig.2.13.

Rezultanta R

va avea i n acest caz punctul de aplicaie n cel al forelor 1F

i 2F

, fiind

paralel i egal cu suma vectorial a vectorilor 1F

i 2F

.

Generalizare pentru un sistem de n fore coplanare i concurente (Regula poligonului

forelor)

2F

1F

21 FFR

1F

2F

O O )a )b

( 2F

)

( 1F

)

2F

1F

O

R

16

Un numr de n fore coplanare i concurente se pot suma grafic, generaliznd regula

triunghiului (adunnd succesiv rezultantele a dou cte dou fore concurente), ca n

figura 2.14.b).

Fig.2.14.

jn12 RRR

(2.11.)

Rezultanta R

va avea i n acest caz punctul de aplicaie n cel al forelor 1F

, 2F

, ... nF

,

fiind paralel i egal cu vectorul ce rezult din construcia poligonului forelor, din

figura 2.14.b).

Dac poligonul forelor rmne deschis, atunci (evident) rezultanta este diferit de zero.

Dimpotriv, dac poligonul forelor se nchide, rezultanta forelor este nul i sistemul de

fore va fi n echilibru.

Proprietile adunrii vectorilor

Adunarea vectorilor este:

-comutativ, adic

1221 FFFF

, (2.12.)

-asociativ, adic

)FF(FF)FF( 321321

, (2.13.)

-i distributiv, n raport cu un scalar:

2121 FF)FF(

(2.14.)

nF

1F

R

1F

12R

2F

jF

2F

jF

nF

RR ,n,...,2,1

O O )a )b

j2,1R

jnR

17

2.4.3.Proiecia unui vector pe o ax

Proiecia vectorului F

pe axa x (figura 2.15.) ar putea fi considerat ca fiind tot de natur

vectorial, ntruct i se poate asocia o direcie i un sens (corespunztor axei x), precum i o

valoare Fx=X.

cosFFx (2.15.)

Proiecia se obine ducnd din punctul de aplicaie i vrful vectorului F

, perpendiculare pe

axa x. Vectorul proiectat pe axa x va fi pseudovectorul:

II )cosF(XFx

(2.16.)

Valoarea este cea a unghiului dintre axa x i suportul vectorului F

.

Analog, proiecia vectorului F

pe axa y, va fi pseudovectorul yF

,

JJJ )sinF()cosF(YFy

(2.17.)

Fig.2.15.

2.4.3.1.Expresia hipercomplex a unui vector n planul (x,y)

n conformitate cu cele de mai sus, valorile proieciilor vectorului F

i vectorului de

poziie, r

al forei F

n raport cu originea (O) a axelor, vor fi:

cosrxrx , sinryry , ,cosFXFx sinFYFy (2.18.)

Ca urmare rezult, c valorile vectorilor proiectai pe axele ortogonale x i y vor fi:

F

yF

x

I

y

J

Jyry

),Y(Fy

Ixrx

),X(Fx

18

,yxr 22 22 YXF , (2.19.)

iar expresiile vectoriale ale acestora (numite hipercomplexe) vor fi:

,yxrrr JIyx

JI YXFFF yx

(2.20.)

Cu notaiile din figur rezult, c:

F

Ycos,

F

Xcos , (2.21.)

i respectiv:

1F

YX

F

Y

F

Xcoscos

2

22

2

2

2

222

. (2.22.)

2.4.3.2.Teorema proieciilor

Dac se raporteaz adunarea vectorial,

RFF 21

(2.23.)

sistemului de axe (x,y) din figura 2.16. rezult (cu notaiile din figur), c:

,XXX 21 YYY 21 (2.24.)

Fig.2.16.

relaii care definesc terorema proieciilor i care poate fi enunat astfel: Suma proieciilor

unor fore care fac obiectul unei sumri vectoriale pe o ax, este egal cu proiecia rezultantei

lor pe aceeai ax.

1F

x

I

1

y

J

2F

I1X

I2X

1X 2X

X

J1Y

J2Y

Y 1Y

2Y

)Y,X(R

2

19

Prin generalizare, dac:

RFn

1j

j

, (2.25.)

atunci:

,XXn

1j

j

YYn

1j

j

. (2.26.)

2.4.4.Produsul a doi vectori

Produsul a doi vectori poate fi scalar sau vectorial.

2.4.4.1.Produsul scalar a doi vectori

Prin definiie, produsul scalar al vectorilor 1F

i 2F

(figura 2.17.) este expresia:

cosFFFF 2121

(2.27.)

Produsul scalar este:

Comutativ, n sensul c:

1221 FFFF (2.28.)

Asociativ n raport cu un scalar, adic:

212121 FFFF)FF(

(2.29.)

Fig.2.17.

Distributiv, n raport cu adunarea vectorilor:

F)FF(FFFF)FF(F 212121 (2.30.)

1F

2F

20

Cazuri particulare

Pentru 0 , (figura 2.18.),

Fig.2.18.

212121 FF0cosFFFF

. (2.31.)

Pentru FFF 21

,

22

21 FFFFFF

. (2.32.)

Ca urmare pentru versorii I

i J

,

1JJII

. (2.33.)

Pentru 2

, (figura 2.19.), obinem:

02

cosFFFF 2121

. (2.34.)

Ca urmare,

0IJJI

. (2.35.)

Fig.2.19.

Pentru 0

21

Fig.2.20.

;cosFX 111 ;cosFX 222 ;sinFY 111 222 sinFY , (2.36.)

,YXF JI 111

,YXF JI 222

(2.37.)

rezult:

212121 YYXXFF

sau cosFFFF 2121

. (2.38.)

2.4.4.2.Produsul vectorial a doi vectori

Se consider vectorii 1F

i 2F

, n planul (P), (figura 2.21.). Prin definiie, produsul

vectorial 21 FF

va fi expresia:

k)XYYX(

0YX

0YX

k

FF 2121

22

1121

JI

. (2.39.)

Sau:

k)sinFF(FF 2121

. (2.40.)

Produsul vectorial 21 FF

definit ca mai sus are caracteristicile unui vector rotitor

(rotor) n jurul axei z, cu sensul corespunztor triedrului ( 21 F,F

, 21 FF

).

x

2F

I

J

O

1F

y

1X 2X

1Y 2Y

1 2

22

Fig.2.21.

Rezult, c produsul vectorial 21 FF

, are:

Direcia axei z, perpendicular pe planul (P) al vectorilor 1F

, 2F

.

Sensul axei z, dac valoarea produsului este pozitiv i sensul contrar axei z, dac

valoarea produsului este negativ.

Valoarea )XYYX(FF 212121

sau sinFFFF 2121

.

Proprietile produsului vectorial

Produsul vectorial 21 FF

este:

Anticomutativ:

1221 FFFF

. (2.41.)

Asociativ, n raport cu un scalar:

212121 FFFF)FF(

. (2.42.)

Distributiv, n raport cu adunarea vectorilor:

2121 FFFF)FF(F

. (2.43.)

x

2F

I

J

O

1F

y

1X

2X

1Y 2Y

2

k

z

21 FF

)P(

1

23

Cazuri particulare

0 , (figura 2.22.),

Fig.2.22.

ntruct 0 , rezult c, n acest caz avem:

0FF 21

. (2.44.)

Ca urmare i:

0IJJI

. (2.45.)

Pentru 2

, (figura 2.23.), obinem:

kFFk)2

sinFF(FF 212121

, (2.46.)

cu valoarea:

2121 FFFF

. (2.47.)

Ca urmare:

kJI

, kIJ

(2.48.)

Fig.2.23.

1F

2F

2

I

J

O

1F

2F

I

O

24

2.4.5.Aplicaii

Aplicaia 1. Asupra unei nave acioneaz un remorcher i un mpingtor, cu forele de 4 kN i

3 kN ca n figura 2.24. Determinai direcia, sensul i valoarea rezultantei, R.

Rezolvare: Forele fiind coliniare, rezult c R=3 kN+4 kN=7 kN (figura 2.25.).

Fig.2.24.

Fig.2.25.

Direcia rezultantei este direcia forelor,

Sensul, corespunde forelor, care se adun.

Aplicaia 2. Asupra unei nave acioneaz dou remorchere, cu forele de 4 kN fiecare, ca n

figura 2.26.Determinai direcia, sensul i valoarea rezultantei lor.

Fig.2.26.a.

x

kN7R

G

x

kN4

G

kN4

45

45

y

x kN3F1

kN4F2

G

y

y

25

Rezolvare:

Soluia 1-a. ntruct forele au aceeai valoare i fac acelai unghi cu axa longitudinal

a navei, rezultanta lor va fi orientat n direcia axei x. n acest caz, rezultanta va fi diagonala

ptratului ale crui laturi sunt chiar forele. Ca urmare, 64,524R kN (figura 2.26.b.).

Soluia a 2-a. Conform teoremei proieciilor, 64,545cos42X kN i Y=0.

Rezult 64,5XR kN.

Fig.2.26.b.

Aplicaia 3. Rezolvai aceeai problem, dac unghiurile pe care le fac forele cu axa x

sunt de 30 (figura 2.27).

Fig.2.27.

Aplicaia 4. Dou remorchere acioneaz asupra unei nave cu fore de 3 i respectiv 4

kN, ca n figura 2.28.a. Determinai direcia, sensul i valoarea rezultantei lor.

x

kN4

G

kN4

30

30

y

x

kN4

G

kN4

45

45

y

R

26

Fig.2.28.a.

Rezolvare:

Soluia 1-a. ntruct forele sunt perpendiculare, rezult c 543R 22 kN.

Direcia rezultantei este dat de unghiul (figura 2.28.b.),

"3,48'7533

4arctg .

Soluia a 2-a. Conform teoremei proieciilor, din 3X kN i Y=4 kN. Rezult

5YXR 22 kN.

"3,48'753X

Yarctg

Fig.2.28.b.

Aplicaia 5. Asupra unei nave acioneaz dou mpingtoare, cu forele de 3 kN i 4

kN, ca n figura 2.29.a. Determinai direcia, sensul i valoarea rezultantei lor.

Rezolvare. ntruct forele sunt vectori alunectori, putem s le deplasm astfel nct

s devin concurente n originea O a axelor, ca n figura 2.29.b.

Ca urmare, ntruct X=4 kN i Y=3 kN, rezult c: 534R 22 kN, iar :

"12'52364

3arctg .

x kN3

G

kN4

y R

x kN3 G

kN4

90 y

27

Fig.2.29.a.

Fig.2.29.b.

Aplicaia 6. Asupra unei nave acioneaz trei mpingtoare, cu forele de 3 kN i 4 kN,

ca n figura 2.30.a. Determinai direcia, sensul i valoarea rezultantei lor.

Rezolvare. ntruct forele pot fi considerate vectori alunectori, putem s le

deplasm pe suportul lor, astfel nct s devin concurente n originea O a axelor, ca n

figura 2.30.b.

Fig.2.30.a.

x O

y kN4

kN4

kN3 4545

x

kN3

O kN4

y

R

x

kN3

O

kN4

y

28

Fig.2.30.b.

n consecin, comform teoremei proieciilor 45cos423X kN= 64,864,53

i Y=0. Ca urmare: 64,8XR kN, i este orientat n direcia i sensul axei x.

Aplicaia 7. Asupra unei nave acioneaz un remorcher i dou mpingtoare, cu forele de 4

kN, 3 kN i 5 kN fiecare, ca n figura 2.31. Determinai direcia, sensul i valoarea rezultantei

lor.

Fig.2.31.

Rspuns:

R=8,602 kN i =35 3215.

Aplicaia 8. Asupra unei nave acioneaz un remorcher i dou mpingtoare, cu forele de 2

kN, 4 kN i respectiv 1 kN, ca n figura 2.32. Determinai direcia, sensul i valoarea

rezultantei lor.

x

kN5

G

kN4

y

kN3

x O

y kN4

kN4

kN3 45

45

29

Fig.2.32.

Aplicaia 9. Dup ce direcie trebuie s acioneze un mpingtor care dezvolt o for de 6 kN

ca n figura 2.33.a, pentru a se suprapune peste direcia rezultantei altor dou mpingtoare

care dezvolt fore de 3 respectiv 4 kN? Calculai valoarea rezultantei totale n acest caz.

Fig.2.33.a.

Rezolvare. Se deplaseaz prin alunecare forele de 3 i 4 kN, astfel nct s devin

concurente, ca n figura 2.33.b.

Fig.2.33.b.

x

kN4

kN6

y

kN3

4,3R

x

kN4

G

kN6

y

kN3 ?

?

x

kN1

G

kN2 y

kN4

30

Rezult R3,4 =5 kN i

"3,48'7533

4arctg ,

Rtot= R3,4 + 6 kN=5+6=11 kN.

Aplicaia 10. Asupra unei nave acioneaz dou remorchere, cu forele de 3 kN i respectiv 4

kN ca n figura 2.34.a. Determinai direcia, sensul i valoarea rezultantei lor.

Fig.2.34.a.

Rezolvare. (figura 2.34.b.).

Fig.2.34.b.

X=3 cos 30 + 4 cos 60=4,595 kN,

Y=3 sin 30 - 4 sin 60= - 1,96 kN,

5YXR 22 kN,

"48'7235

595,4arccos

R

Xarccos .

x

kN4

G

y

kN3

60

30

R

X

Y

x

kN4

G

y

kN3

60

30

31

Aplicaia 11. Asupra unei nave acioneaz dou mpingtoare, cu forele de 3 kN i respectiv

4 kN ca n figura 2.35. Determinai direcia, sensul i valoarea rezultantei lor.

Fig.2.35.

2.5.Momentul unei fore n raport cu un punct. Teorema momentelor

2.5.1.Momentul unei fore n raport cu un punct (figura 2.36)

S considerm n planul (P) o for F

aplicat n punctul O i vectorul de poziie r

al

punctului O, n raport cu un alt punct (O) din plan.

Prin definiie, momentul, 0M

al forei F

n raport cu punctul O, este produsul

vectorial:

k)FrFr(

0FF

0rr

k

FrM xyyx

yx

yx0

JI

, (2.49.)

Dac notm:

rx=x, ry=y, Fx=X, Fy=Y, (2.50.)

atunci:

kMk)yXxY(M 00

, (2.51.)

x

kN4

G

y kN3

45

45

32

Fig.2.36.

n care, valoarea scalar a momentului 0M

, este:

yXxYM0 , (2.52.)

pe de alt parte, n baza definiiei produsului vectorial, putem scrie:

FdsinrFsinrFM0 , (2.53)

n care:

sinrd , (2.54.)

este braul forei F n raport cu punctul O.

Aplicaii:

Aplicaia 1. Pentru nava din figura 2.37. calculai momentul pe care-l imprim navei

n raport cu centrul de greutate G, un mpingtor care acioneaz cu o for de 4 kN.

Rezolvare: M0=4 10=40 kNm.


n raport cu centrul de greutate G, un mpingtor care acioneaz cu o for de 14,1 kN.

Rezolvare:

rx=x=10 m,

k

0M

x

y z

(P)

F

r

ry

Fy

rx Fx

d

J

I

O

33

ry=y= - 4,5 m,

Fx=X=14,1 cos 45=14,1 2

2=10 kN,

Fy=Y=14,1 sin 45=14,1 2

2=10 kN,

M0=xY yX =10 10 (- 4,5) 10 = 145 kNm.

Fig.2.37.

Fig.2.38.

r

G x

y

4,5 m

4,5 m

10 m 10 m 10 m 10 m

45

rx=x

d

14,1 kN

r

G x

y

4,5 m

4,5 m

10 m 10 m 10 m 10 m

4kN

d=rx=x

34


n raport cu centrul de greutate G, un remorcher care acioneaz cu o for de 4 kN.

Fig.2.39.

Rezolvare:

rx=x=20 m,

ry=y= 0 m,

Fx=X=4 cos 30=4 2

3=3,46 kN,

Fy=Y=4 sin 30=4 2

1=2 kN,

M0=xY yX =20 2 0 3,46 = 40 kNm.

2.5.2.Teorema momentelor

Teorema momentelor pentru un sistem de fore concurente se enun astfel:

Pentru un sistem de fore concurente jF

care admit o rezultant R

,

n

1j

jFR

(2.55.)

momentul rezultantei n raport cu un punct O este egal cu suma momentelor

forelor, n raport cu acelai punct.

n

1j

j00 FMRM

, (2.56.)

G x

y

4,5 m

4,5 m

10 m 10 m 10 m 10 m

30

4kN

r

35

sau

n

1j

jFrRr

, (2.57.)

Relaia (2.57.) se mai poate scrie sub forma:

k)XyYx(

0YX

0yx

kji

RMn

1j

j

n

1j

j

jj

n

1j

0

, (2.58.)

sau:

k)]X...XX(y)Y...YY(x[RM n21n210

(2.59)

Aplicaii:

Aplicaia 1. Pentru nava acionat de dou remorchere, ca n figura 2.40., calculai

momentul rezultantei aciunii lor, n raport cu centrul de greutate G, al navei.

Rezolvare:

Soluia 1. M0=3 10 4 4,5 =12 kNm.

Soluia 2. x=10 m, y=4,5 m, X1=0, Y1=3 kN, X2=4 kN, Y2=0,

M0=x(Y1 + Y2) y(X1 + X2) =10 3 4,5 4=12 kNm.

Fig.2.40.

r

G

x

y

4,5 m

4,5 m

10 m 10 m 10 m 10 m

3 kN

4kN

36

Aplicaia 2. Pentru nava acionat de dou remorchere, ca n figura 2.41., calculai

momentul rezultantei aciunii lor, n raport cu centrul de greutate G, al navei.

Fig.2.41.

Rezolvare:

M0=(Y1+Y2)x=x Y1+x Y2.

M0=(3 sin 60) 20 + ( 4 sin 30) 20 = 91,9 kNm.

2.6. Cuplul de fore; momentul cuplului

S considerm n planul paginii (P), un cuplu de fore F

i F

( ca n figura 2.42.),

egale i opuse, la braul d ntre ele. Ne propunem s calculm momentul cuplului cM

, n

raport cu un punct O. n acest scop, punem n eviden vectorii de poziie 1r

i 2r

ai

punctelor de aplicaie ale celor dou fore, n raport cu O i

F)rr()F(rFrM 2121c

.

Dar rrr 21

, i ca urmare,

FrMc

, (2.55.)

indiferent de poziia punctului O.

n consecin, momentul cuplului este un vector liber, adic are aceeai valoare

indiferent de punctul de calcul al lui.

G x

y

4,5 m

4,5 m

10 m 10 m 10 m 10 m

30 r=x

60

3 kN

4 kN

37

Valoarea momentului cuplului este:

FdsinFRsinFrsinrFMc . (2.56.)

Dac lucrm cu proieciile pe axele x i y, ale vectorului r

i forei F

, adic cu rx=x,

ry=y, Fx=X, Fy=Y, atunci momentul cuplului va avea expresia:

k)yXxY(

0YX

0yx

kji

M c

(2.57.)

Fig.2.42.

Ca urmare:

Direcia momentului cM

este perpendicular pe planul forelor cuplului.

Sensul momentului cM

corespunde triedrului r

, F

, cM

.

Mrimea momentului cM

este

yXxYFdMc . (2.58.)

Dou cupluri sunt echivalente, dac:

2c1cMM

(2.59.)

n plan, cuplurile (coplanare) se sumeaz dup regula cunoscut,

n

1j

cjcR MM (2.60.)

i

j

1r

x

y

(P)

F

F

2r

r

d O

Mc

38

Aplicaii:

Aplicaia 1. Calculai momentul cuplului pe care-l exercit dou remorchere, asupra

navei din figura 2.43.

Fig.2.43.

Rezolvare:

Mc=4 20 =80 kNm.

Aplicaia 2. Calculai momentul cuplului pe care-l exercit dou remorchere, asupra

navei din figura 2.44.

Rezolvare:

Soluia 1. Mc=(4 sin 60) 40 =138,4 kNm.

Soluia 2. x=40 m, y=0, X=4 cos60=2 kN, Y=4 sin 60=3,46 kN.

Rezult:

Mc=xY yX =40 3,46=138,4 kNm.

r

O

x

y

4,5 m

4,5 m

10 m 10 m 10 m 10 m

4kN

4kN

39

Fig.2.44.

2.7. Operaii de echivalen n mecanic

Mecanica (Statica), admite urmtoarele ase operaii de echivalen.

1. Alunecarea unui vector (alunector) pe suportul lui, (figura 2.45.).

Fig.2.45.

2. Adugarea a dou fore egale i opuse (figura 2.46.), fr a se modifica starea iniial a

corpului.

Fig.2.46.

3. Suprimarea a dou fore egale i opuse (figura 2.47.), fr a se modifica starea iniial

a corpului.

Fig.2.47.

F

F

F

F

F

F

O

x

y

4,5 m

4,5 m

10 m 10 m 10 m 10 m

60 r

60

4kN

4kN

40

4. nlocuirea a dou fore concurente, prin rezultanta lor (figura 2.48.).

Fig.2.48.

5. nlocuirea unei fore R

, cu componentele ei, 1F

i 2F

, dup dou direcii 1 i 2

cunoscute, concurente ntre ele ntr-un punct aparinnd suportului forei R

(figura

2.49.).

Fig.2.49.

6. nlocuirea unui cuplu cu momentul lui, Mc. (figura 2.50.).

Fig.2.50.

2.8. Reducerea sistemelor de fore coplanare (oarecare)

S considerm o nav asupra creia acioneaz mai multe remorchere i mpingtoare,

cu forele jF

, care fac cu axa longitudinal (X) a navei, unghiuri j (figura 2.51.a.).

Ne propunem s reducem forele jF

n centrul (de greutate), G al navei. n acest scop,

se reduce fiecare for jF

n punctul G, la ea nsi i la momentul ei, j0FM

, n raport cu

punctul G.

F

cM

F

1F

2F

R

1F

)( 1

)( 2

1F

2F

R

41

Fig.2.51.a.

jjj0 dFFM

. (2.61.)

n ecuaia (2.61.), jd sunt braele forelor n raport cu punctul O (figura 2.51.b.).

Forele jF

devenite concurente n punctul G se reduc la rndul lor, la o rezultant unic, R

(figura 2.51.c.).

Fig.2.51.b.

1F

jF

nF

j jx

jy

1G11 FMdF

jGjj FMdF

G

nGnn FMdF

y

x

G

x

y

n

jF

1F

1

nF

j d1

dn

dj

42

Fig.2.51.c.

n

1j

jFR

, (2.62.)

n care:

22 YXR (2.63.)

i care este independent de poziia punctului de reducere (O):

nj2

n

1j

1j

n

1j

jx X...X...XXXFprX

, (2.64.)

n care:

jjj cosFX (2.65.)

nj2

n

1j

1j

n

1j

jy Y...Y...YYYFprY

, (2.66.)

n care:

jjj sinFY . (2.67.)

Momentele j0FM

se reduc i ele la un moment rezultant, M0,

n

1j

jjjj

n

1j

jj

n

1j

j00 )XyYx(dFFMM

(2.68.)

1F

nF

)x( G

n

1j

GnG MFM

n

1j

jFR

)y(

x

y

jF

nF

43

Cazuri posibile de reducere

1. Dac 0R

i 0M0 , sistemul de fore se reduce la o rezultant i un moment,

al cror efect asupra navei este de translaie i rotaie n jurul punctului G.

2. Dac 0R

i 0M0 , sistemul de fore se reduce la o rezultant unic.

3. Dac 0R

i 0M0 , sistemul de fore se reduce la un moment unic,

i.

4. Dac 0R

i 0M0 , nava se va afla n echilibru sau micare rectilinie i

uniform.

Aplicaii

1.Asupra unei nave acioneaz dou mpingtoare i dou remorchere, cu forele ndicate n

figura 2.52. Se cere s se calculeze valoarea, i nclinarea rezultantei R a forelor fa de axa x

i momentul rezultant M0 al forelor, reduse n centrul de greutate (G) al navei.

Rezolvare:

Varianta I-a:

kN422

241,11X

kN42

241,13Y

Rezult:

kN64,544R 22

14

4

X

Ytg R 45R

Pentru calculul momentului M0 avem dou posibiliti:

Soluia 1-a: d41,1)41,1(MM 00

kNm5,42

25,4245cos5,42M0 .

44

Soluia 2-a:

jjjj0 XyYxM , n care

0x j i 5,4y j .

Ca urmare:

kNm5,42

241,15,4XyM jj0 .

Fig.2.52.

Varianta II-a: cu ajutorul calculului tabelar.

Se constituie tabelul:

Nr.

Crt

]m[x j ]m[y j ]kN[X j ]kN[Yj ]kNm[Yx jj ]kNm[Xy jj jjjj XyYx

1 -20 0 1 0 0 0 0

2 0 -4,5 0 3 0 0 0

3 0 4,5 1 1 0 4,5 -4,5

4 20 0 2 0 0 0 0

/ / 4 4 0 4,5 -4,5

Rezult kN64,544R 22 , i kNm5,4M0 .

G

x

y

4,5 m

4,5 m

10 m 10 m 10 m 10 m

45

d 2 kN

4kN

1 kN

3 kN

1,41 kN

4

1

2

3

45

2.Asupra unei nave acioneaz dou mpingtoare i un remorcher, cu forele de 1 kN,2 kN i

4 kN ca n figura 2.53. Se cere s se calculeze rezultanta forelor reduse n centrul de greutate

G al navei, i valoarea momentului rezultant, M0 .

Fig.2.53.

Rspuns: X=6,28 kN, Y=2,82 kN, R=6,88 kN.

"55'1024R , i kNm40M0

3.Asupra unei nave acioneaz trei mpingtoare i un remorcher, ca n figura 2.54. Se cere s

se calculeze rezultanta forelor reduse n centrul de greutate G al navei, i valoarea

momentului rezultant, M0 .

Fig.2.54.

G

x

y

4,5 m

4,5 m

10 m 10 m 10 m 10 m

30

4 kN

4kN

1 kN

2 kN

3 kN

G

x

y

4,5 m

4,5 m

10 m 10 m 10 m 10 m

30

4 kN

4kN

1 kN

2 kN

1

2

3

R

46

2.9.Momente statice i centre de greutate

Se consider o suprafa de arie (plin) A, ca n figura 2.55., raportat la axele centrale

y i z, care se intersecteaz n centrul de greutate G al suprafeei.

Aria A poate fi considerat ca fiind format din o mulime de suprafee elementare,

dA, i n acest caz, putem scrie:

dA A (2.69.)

Prin definiie, momentul static al suprafeei A n raport cu o ax y0 paralel cu y, este

integrala:

dA0)( 0 zS y (2.70.)

Coordonata zG a centrului de greutate G al suprafeei A n raport cu axa y0, este

zG(y0):

dA

dAz

A

Sz

y

yG

0)(

)(

0

0 (2.71.)

Evident, coordonata zG a centrului de greutate G al suprafeei A n raport cu axa y, va

fi nul:

0)(

)(

dA

zdA

A

Sz

y

yG (2.72.)

Din ecuaia (2.72.), rezult c momentul static al suprafeei n raport cu o ax central

este nul.

n cazul nostru:

0)( zdAS y (2.73.)

47

Fig. 2.55.

n cazul suprafeelor compuse constituite dintr-un numr finit de n suprafee

componente, relaia (2.71.) se scrie sub forma:

2

1j

j

n

1j

Gjj

G

A

zA

z (2.74.)

Evident, dac z este ax de simetrie, centrul de greutate se afl pe axa z:

zG (2.75.)

Aplicaii

1.n cazul unei nave avnd seciunea din figura 2.56., centrul de greutate se va afla n punctul

de intersecie al axelor de simetrie, y i z.

G y

(A)

z

z

zG

z0

O

(dA)

zo

y0

48

Fig.2.56.

2.n cazul seciunii din dreptul unei guri de magazii a unei nave (ca n figura 2.57),

centrul de greutate G al seciunii se va afla pe axa de simetrie z (din planul diametral al

navei), dar ntr-o poziie oarecare pe vertical. Dac alegem ca ax de referin conturul

median al nveliului punii, poziia centrului de greutate G al seciunii poate fi definit prin

coordonata zG n raport cu axa de referin aleas.

Pentru calculul coordonatei zG cu relaia (2.74.), se procedeaz n felul urmator:

a.se descompune seciunea n suprafee componente, dup cum urmeaz:

1.nveliul punii cu centrele de greutate G1 (pentru fiecare suprafa component) prin

care trece axa central y1.

2.nveliul bordurilor, cu centre de greutate G2 prin care trece axa central y2.

3.nveliul fundului, cu centrul de greutate G3 prin care trece axa central y3.

G

y

z

B=9 m

D=6 m

t=2 X 10-2 m

z

49

Fig.2.57.

b.se constituie tabelul de mai jos, n care se trec datele necesare calculului.

Nr. Crt. Aj [m2] zGj [m] Aj zGj [m

3]

1 8 10-2 0 0

2 24 10-2 3 72 10-2

3 18 10-2 6 108 10-2

50 10-2

/ 180 10-2

Rezult: 6,350

180

A

zA

z3

1j

j

3

1j

Gjj

G

m.

3.Calculai n raport cu axa de referin, care coincide cu conturul median al nveliului punii,

pentru seciunea din fig.2.58., coordonata zG, a centrului de greutate, G al seciunii.

G y

4,5 m

6 m

4,5 m

y2

G2 G2

G3

1 1

2

2

3

3 m ZG=3,6 m G1 G1

X X

X

X

z

ZG2=3 m

ZG3=6 m

2 m 2 m

2 10-2 2 10-2

1 m 1 m

50

Fig.2.58.

2.10.Echilibrul corpului solid rigid, sub aciunea sistemelor de fore

coplanare

2.10.1.Echilibrul corpului solid rigid liber

Un corp solid rigid liber, asupra cruia acioneaz un sistem de fore coplanare Fj se

afl n echilibru, dac rezultanta (vectorial) R

a forelor jF

i momentul rezultant M0 al

forelor jF

sunt nule (fig.2.59.a) i b)).

Fig.2.59.

1F

x O

a)

O

Ry

y

M0

jF

nF

Rx

R

b)

4,5 m

2 m

4,5 m

y1

G2 G2

G3

1 2 2

4

4 m

G1 X

X

z

ZG2

ZG4 2 10-2

X X X

G4

3

ZG3

y2

y3

y4

3 m

51

0)F(MM

0FR

n

1j

j00

n

1j

j

(2.75.)

sau:

0)F(MM

0YFYR

0XFXR

n

1j

j00

n

1j

j

n

1j

jyy

n

1j

j

n

1j

jxx

(2.76.)

Dac forele jF

sunt i concurente, atunci condiia de echilibru a corpului se reduce la:

0FRn

1j

j

sau

0YY

0XX

n

1j

j

n

1j

j

. (2.77.)

Dac forele jF

sunt paralele n plan, (de exemplu orientate dup direcia axei y),

atunci condiiile de echilibru se reduc la:

0FMM

0YY

n

1j

j00

n

1j

j

(2.78.)

sau:

0)F(MM

0)F(MM

n

1j

j0202

n

1j

j0101

, (2.79.)

n care O1 i O2 sunt dou puncte oarecare aparinnd corpului solid rigid liber. n acest

caz, prima ecuaie (2.78.) poate fi folosit ca o ecuaie de verificare (suplimentar) a condiiei

de echilibru.

52

2.10.2.Echilibrul corpului solid rigid cu legturi. Axioma legturilor.

Tipuri de legturi

2.10.2.1. Axioma legturilor

Un corp solid rigid care este legat de un mediu printr-o legtur poate fi eliberat de ea,

dac se nlocuiete legtura cu torsorul forelor care acioneaz n legtur, asupra corpului

considerat. Ca urmare, n urma acestei operaii corpul iniial legat poate fi considerat liber,

sub aciunea sistemului iniial de fore jF

active i forelor de legtur, jlegF

.

n acest caz, condiia de echilibru (2.75.) devine:

0)FF(MM

0)FF(R

n

1j

jlegj00

jleg

n

1j

j

, (2.80.)

iar, celelalte condiii de echilibru, (2.76.), (2.77.), (2.78.) i (2.79), se modific,

completndu-se corespunztor, innd cont inclusiv de prezena forelor de legtur, jlegF

.

2.10.2.2. Tipuri de legturi (n plan). Legtura prin fir

O legtur prin fir (cablu, lan, etc.), (figura 2.60 a) i b)), se nlocuiete printr-o for

de legtur (sau efort), orientat n lungul firului, n sensul corespunztor ntinderii lui.

Valoarea efortului din fir se calculeaz cu ajutorul ecuaiilor de echilibru. Firul introduce deci

o singur necunoscut.

Reazemul simplu (fr frecare).

Legtura unui corp printr-un reazem simplu, se reprezint ca n figura 2.61.a).

Reazemul permite deplasarea (translaia) corpului paralel cu suprafaa de reazem i rotirea lui

n jurul punctului de reazem, mpiedecnd deplasarea corpului perpendicular pe suprafaa

de reazem (figura 2.61.b)).

n consecin reazemul simplu se nlocuiete cu o reaciune (for) R, perpendicular

pe suprafaa de reazem (figura 2.61.c)).

53

Mrimea (necunoscut a) reaciunii poate fi determinat din condiia de echilibru a

corpului rezemat, cu ajutorul ecuaiilor de echilibru. Reazemul introduce deci o singur

necunoscut.

Fig.2.60.

Fig.2.61.

Articulaia.

Articulaia poate fi considerat ca fiind un reazem fix (imobil) i se reprezint ca n

figura 2.62.a).

1F

a)

jF

nF

b)

jF

nF

1F

R

c)

O

G=mg

N=G

b)

m

a)

G=mg

54

Articulaia permite rotirea corpului n jurul punctului de articulaie i se opune

deplasrii corpului dup orice direcie (figura 2.62.b). Ca urmare, articulaia se poate nlocui

cu o reaciune (for), R

, avnd direcia () i mrimea (R) necunoscute, sau prin dou

componente (Rx i Ry) ortogonale ale reaciunii R

, de direcii cunoscute dar mrimi

necunoscute.

Cele dou necunoscute introduse prin nlocuirea articulaiei (valoarea R, direcia

sau valorile Rx i Ry ale componentelor reaciunii R

) se pot determina cu ajutorul ecuaiilor

de echilibru, din condiia de echilibru a corpului eliberat de legtura prin articulaie.

Articulaia introduce deci ntr-o problem dou necunoscute: R i sau Rx i Ry.

Fig.2.62.

ncastrarea.

Este legtura rigid, care rpete corpului toate gradele de libertate (figura 2.63.a).

Ca urmare ncastrarea, (n plan) se nlocuiete cu o reaciune R

, de valoare (R) i de

direcie () necunoscute (sau de componente ortogonale Rx i Ry, dup direcii cunoscute, dar

de mrimi necunoscute) i un moment M (n planul forelor) de mrime necunoscut.

ncastrarea introduce deci ntr-o problem trei necunoscute (R, i M sau Rx , Ry i

M).

1F

a)

jF

nF

b)

jF

nF

1F

c) R

Ry

Rx

55

Acestea pot fi determinate din condiia de echilibru a corpului eliberat de ncastrare,

cu ajutorul ecuaiilor de echilibru.

n situaii concrete reale, corpurile pot fi prevzute simultan cu dou sau chiar mai

multe legturi.

Fig.2.63.

Acestea introduc-prin eliberarea corpului de legturi-una sau mai multe necunoscute

iniiale n funcie de natura legturilor nlocuite. Cum necunoscutele pot fi determinate cu

ajutorul ecuaiilor de echilibru, rezult c, n rezolvarea problemelor care implic corpuri

solide rigide sub aciunea sistemelor de fore coplanare oarecare, pot fi ntlnite urmtoarele

trei situaii:

a.numrul necunoscutelor (n) este mai mic ca numrul ecuaiilor de echilibru (3):

n < 3.

n acest caz, corpul are grade de libertate suplimentare i se comport ca un

mecanism.

b.numrul necunoscutelor (n) este egal cu cel al numrului de ecuaii de echilibru (3)

disponibile:

n = 3.

n acest caz, libertatea de micare a corpului este mpiedicat i valorile

necunoscutelor introduse prin nlocuirea legturilor cu reaciuni sau/i parametri geometrici

pot fi determinate cu ajutorul ecuaiilor de echilibru disponibile.

c.numrul necunoscutelor (n) este mai mare dect cel al ecuaiilor de echilibru (3):

1F

a)

jF

nF

b)

jF

nF

1F

c)

R

Ry

Rx

M

56

n > 3.

n acest caz, problema este static nedeterminat, iar rezolvarea ei impune folosirea

suplimentar a unor ecuaii care s aib n vedere comportarea real, sub sarcini, a corpului

real (deformabil).

2.10.3.Maini simple de la bordul navelor

2.10.3.1.Prghia

Scopul prghiei este de a facilita ridicarea unor greuti (G) mari, cu ajutorul unor

fore (F) mici (figura 2.64.).

Dac considerm prghia - - - n echilibru sub

aciunea greutii G i forei aplicae P, i scriem una din ecuaiile de echilibru i

anume ecuaia de momente n jurul punctului de reazem (2), vom obine relaia ntre fora

activ F i greutatea ridicat, G.

Fb-Ga=0 sau b

aGF .

Din relaia obinut se deduce c, cu ct raportul a/b pentru o greutate dat G este mai

mic, cu att i fora F folosit pentru ridicarea greutii G va fi proporional mai mic.

Fig.2.64.

G=mg

b

m

a

P

1 2 3

1 2 3

57

2.10.3.2.Scripetele

Dezavantajul prghiei const n faptul c fora activ P trebuie aplicat n jos.

Scripetele din figura 2.65. nltur acest dezavantaj, dar din ecuaia de momente n raport cu

axul scripetului (O) rezult c:

F=G,

de unde se deduce, c scripetele (simplu) nu economisete fora activ necesar

ridicrii greutii G (anuleaz avantajul prghiei).

Fig.2.65.

2.10.3.3.Troliul

Troliul (figura 2.66.) reunete ntr-un singur dispozitiv avantajele prghiei i

scripetelui. Din ecuaia de echilibru (de momente) n raport cu axul troliului, obinem:

FR-Gr=0 sau R

rGF ,

de unde se observ c, cu ct rapotul r/R este mai mic pentru o greutate G dat, cu att

i valoarea forei active, F, va fi una mai mic.

m

F

G=mg

r r

58

Fig.2.66.

2.10.3.4.Planul nclinat fr frecare

Greutatea G (figura 2.67.) se poate descompune n componentele G sin (paralel

cu planul nclinat) i G cos (perpendicular pe planul nclinat). Din ecuaia de echilibru (de

proiecii pe direcia firului paralel cu planul nclinat), rezult relaia dintre fora activ (F), de

ridicare i greutatea G:

P=F sin ,

de unde se deduce c, cu ct pentru o greutate G, dat unghiul este mai mic, cu att

i valoarea forei F ar trebui s fie mai mic (dac se neglijeaz efectul frecrii dintre corpul

ridicat i planul nclinat).

n cele ce urmeaz se consider problema frecrii cunoscut de la cursul de fizic.

Fig.2.67.

m F

G=mg

(F)

(F)

Gcos G sin

m

F

G=mg

r R

59

2.10.3.5.Planul nclinat cu frecare

n cazul n care corpul de greutate G (figura 2.68.) se deplaseaz cu frecare pe planul

nclinat, ntre corp i plan se dezvolt o for de frecare Ff.

Ff=N.

Fig.2.68.

n ecuaia de mai sus, N este reaciunea normal a planului asupra corpului:

N=G cos .

Ca urmare, rezult c:

Ff= G cos ,

i din ecuaia de proiecii a forelor pe direcia planului, obinem:

F=G(sin + cos ).

Cu ct nclinarea () i coeficientul de frecare () vor fi mai mici cu att (pentru o

greutate G dat), i fora activ F va fi mai mic.

2.10.4.Instalaii de ridicare de la bordul navelor (Instalaii cu big i

balansin)

La bordul navelor exist instalaii de ridicare ale cror elemente principale sunt biga

(care asigur orientarea instalaiei) i balansinele (cablurile care susin biga). ntr-o prim

aproximaie se poate considera, c biga este un solid rigid (nedeformabil), iar balansinele ar

putea fi asimilate firelor deformabile.

m P

G=mg

(P)

(P)

Gcos G sin

Ff=N

60

n acest context biga poate fi considerat articulat la captul inferior (dinspre stlpul

de susinere sau catarg), balansinele putnd fi secionate imaginar i nlocuite cu efortul N pe

care-l trasmit asupra bigii. n cele ce urmeaz ne propunem s studiem cteva instalaii foarte

simple cu big i o singur balansin, scopul studiului fiind determinarea efortului din

balansin pentru o greutate ridicat G, dat. Alegerea tipului de cablu pentru balansin se face

n funcie de valoarea acestui efort axial, N.

Aplicaii

1. Pentru instalaia cu big i balansin din figura 2.69., se cere s se determine valoarea

efortului N din balansin, n funcie de valoarea greutii ridicate G, braul ei (X) n

raport cu articulaia bigii i unghiul () de nclinare a balansinei fa de orizontal (axa

bigii).

Fig.2.69.

Rezolvare:

Lund n considerare c (dup secionarea imaginar a balansinei i nlocuirea ei cu

efortul axial N) biga se afl n echilibru, putem scrie o ecuaie de echilibru (de momente) a

forelor ce acioneaz asupra bigii, n raport cu articulaia bigii. Ca urmare, vom obine

ecuaia:

Nd=Gx,

n care d este braul efortului N n raport cu articulaia bigii, d=l sin .

(d)

G=mg

N

l

m

x

N

61

Rezult:

sinl

xG

d

xGN .


efortului N din balansin, n funcie de valoarea greutii ridicate, G=40 kN.

Fig.2.70.


efortului N din balansin, pentru o greutate G=60 kN.

Fig.2.71.

N

=30

m

N

G=40 kN

d=4 m

d

=60

N

=45

m

N

G=40 kN

6 m

62

3.CINEMATICA PUNCTULUI MATERIAL

3.1. Elementele micrii

Elementele micrii punctului material sunt: traiectoria, viteza i acceleraia.

3.1.1. Traiectoria

Traiectoria unui punct material (n figura 3.1.) este reprezentat prin curba din planul

(P) pe care o descrie punctul n micarea sa (presupus ca desfurndu-se n acelai plan, P).

Poziia punctului la un moment dat (t) este marcat prin punctul M(t), al crui vector de

poziie n raport cu originea O a unui sistem de axe xOy, este (t)r

. M(t+t) indic poziia

punctului material la un interval de timp t fa de M(t), .a.m.d. Cu alte cuvinte, traiectoria

este definit prinvectorul de poziie r

,

(t)rr

. (3.1.)

3.1.2. Viteza

Viteza medie, mv

(figura 3.1.) la momentul M(t) este definit de raportul:

t

rvm

, (3.2.)

iar limita spre care tinde acest raport cnd t tinde spre zero, este viteza (instantanee)

a punctului material n punctul M.

rdt

rd

t

rM

vmvv limlim0t0t

(3.3.)

sau:

rv

(3.4.)

n care r

este derivata vectorului de poziie r

, n raport cu timpul.

63

Fig. 3.1.

3.1.3. Acceleraia

Dac poziiile unui punct material (fig.3.2.) n dou momente extrem de apropiate (la un

interval de timp t) sunt M i M , caracterizate prin vitezele instantanee v

i v

,

vvv

, (3.5.)

variaia vitezei ntre cele dou puncte va fi v

,

vvv

(3.6.)

Fig. 3.2.

x

v

)P(

v

v

M

M vvv

ma

)t(

)tt(

a

x O

v

)P(

r

y

r

)t(M

)tt(M

mv

r

aTraiectori

64

Raportul dintre v

si t se numete acceleraie medie, ma

,

t

va m

. (3.7.)

Limita spre care tinde ma

, cnd t tinde spre zero, se numete acceleraie (instantanee

a) micrii, n punctul M .

rvdt

vd

t

vaaa limlim

0t)M(m

0t

(3.8.)

Cu alte cuvinte, acceleraia ( a

) este derivata vitezei ( v

) n raport cu timpul sau

derivata doua a vectorului de poziie ( r

), n raport cu timpul.

rva (3.9.)

3.2.Micrile particulare ale punctului material

3.2.1. Micarea rectilinie uniform

S considerm c o nav (M) se deplaseaz pe direcia Ox (de versor I

), cu viteza v

,

constant.

Distana d parcurs n timpul t va fi:

tvd , (3.10.)

i se msoar n metri (m), kilometri (km),

1000km 1 m (3.11.)

sau mile marine (Mm),

852,1Mm 1 km 1852 m. (3.12.)

Din relaia (3.10) putem obine expresia vitezei n funcie de distan i timp,

t

dv . (3.13.)

Viteza se msoar n metri pe secund (m/s), kilometri pe or (km/h),

1000hkm 1 m/3600 s=0,277 m/s (3.14.)

sau noduri (Nd),

65

1 Nd= 1 MM/h=1,852 km/h. (3.15.)

1 Nd= 1,8520,277 m/s=0,513 m/s. (3.16.)

Aplicaie:

O nav prsete un port cu viteza de 20 Nd, iar dup o or, pleac din acelai port o

alt nav, cu viteza de 30 Nd (fig.3.3). Dup ct timp se vor ntlni i la ce distan de port ?

a. Din condiia d1=d2, rezult:

20 t=30 (t-1),

din care obinem:

t=3 ore.

b.Distana parcurs de cele dou nave pn la punctul de ntlnire, va fi:

d=v1t=203=60 MM=601,852=111,12 km.

Fig. 3.3.

3.2.1.1. Micarea absolut, relativ i de transport (rectilinie), a

punctului material

S considerm o nav care se deplaseaz cu viteza relativ rv

n raport cu un fluviu, a

crui ap curge cu viteza de transport tv

, fa de mal (figura 3.4.).

Care va fi viteza absolut av

a navei, fa de mal?

Rezolvare

Viteza absolut a navei ( av

) va fi rezultanta vectorial a vitezelor relativ ( rv

) i de

transport ( tv

).

d=d1=d2

(t) v1=20 Nd

v1=30 Nd

(t-1)

66

tra vvv

, (3.17.)

Fig. 3.4.

Cazuri particulare

1.a. Dac vitezele relativ rv

i de de transport tv

, sunt colinare i de acelai sens

(figura 3.5.), atunci:

tra vvv

, (3.18.)

i

tra vvv (3.19.)

Fig. 3.5.

1.b. Dac vitezele relativ rv


, sunt colinare i opuse (figura

3.6.), atunci:

tra vvv

, (3.20.)

i

av

rv

tv

rv

tv

tra vvv

tv

67

tra vvv (3.21.)

Fig. 3.6.

2.a. Dac vitezele relativ rv


, sunt octogonale (figura 3.7.),

atunci:

Fig. 3.7.

tra vvv

, (3.22.)

i

2

t

2

ra vvv (3.23.)

2.b. Dac vitezele de de transport tv

i direcia vitezei absolute, av

, sunt octogonale

(figura 3.8.), atunci:

tra vvv

, (3.22.)

i

2

t

2

ra vvv (3.23.)

av

rv

tv

av

rv

tv

68

Fig. 3.8.

Aplicaii:

1. O nav se deplaseaz cu viteza vr=20 km/h n sensul curentului unui fluviu, a crui

vitez vt este de 1,5 m/s. n ct timp va parcurge o distan d=40 km? Dar dac se

deplaseaz n sens opus?

Rezolvare:

a. a

1v

dt ; tra vvv ,

h

km4,5

s

m5,1v t

deci:

h

km4,254,520va 574,1

4,25

40t1 h adic 1 h 34.

b. a

2v

dt ;

h

km6,144,520vvv tra ,

deci:

739,26,14

40t 2 h adic 2 h 44.

av

rv

tv

(rv

)

69

Fig. 3.9.a.

Fig. 3.9.b.

2. O nav parcurge distana d=216 km n sensul de curgere a unui fluviu n timpul

t1=10 ore i n sens contrar, n t2=15 ore.

Determinai vitezele relativ (vr) a navei i de transport (vt) a fluviului.

Rspuns: vr=18 km/h i vt= 3,6 km/h.

3. O nav traverseaz un fluviu (care curge cu viteza vt=0,5 m/s), cu viteza vr=2 m/s.

Sub ce unghi fa de mal trebuie s porneasc nava pentru a traversa fluviul

perpendicuar pe axa enalului? Ct va fi n acest caz viteza absolut, va i n ct timp

traverseaz fluviul.

rv

tv

d=40 km

rv

tv

d=40 km

70

Fig. 3.10.

25,02

5,0

v

vcos

r

t deci '3075

s

m936,125,04vvv 2t

2

ra

79,24936,1

48

v

lt

a

s.

4. O nav traverseaz un fluviu (care curge cu o vitez vt=0,6 m/s), perpendicular pe

axul enalului. Determinai unghiul dintre axa longitudinala a navei (a crei viteza

relativ este vr=2,4 m/s) i direcia deplasrii, viteza absolut va i timpul parcurs.

Fig. 3.11.

Rspuns: =1429; va=2,32 m/s ; t=20,8 s.

5. O nav traverseaz un fluviu (a crui vitez de curgere este vt=0,6 m/s) pornind

perpendicular pe axa enalului lui, cu viteza vr=2,4 m/s. Determinai abaterea ( i

BB) fa de direcia iniial, valoarea drumului parcurs AB, viteza absolut a navei

(va) i timpul necesar traversrii (tAB). (figura 3.12.).

rv

tv

av

l=48 m

A

B

rv

tv

av

l=48 m

71

Fig. 3.12.

3.2.2. Micarea rectilinie variat

n micarea rectilinie variat, punctul material se deplaseaz accelerat, cu acceleraia a

(figura 3.13.).

n timpul t, viteza crete de la v1 la:

atvv 12 . (3.24.)

Fig. 3.13.

ntre poziiile i , punctul material parcurge distana d, cu viteza medie:

2

vvv 21m

. (3.25.)

Rezult c:

t2

vvtvd 21m

. (3.26.)

d(t)

a[m/s] 1v

tavv 12

t2

vvtvd 21m

1 2

rv

tv

av

l=48 m

A

B B

1 2

72

Dar din expresia vitezei v2, putem nlocui timpul:

a

vvt 12

, (3.27.)

i obinem:

a2

vv

a

vv

2

vvd

2

1

2

21221

, (3.28.)

de unde:

ad2vv 212

2 , (3.29.)

sau:

ad2vv 212

2 . (3.30.)

Aplicaie:

O nav se deplaseaz (pornind din repaus), cu acceleraia a=0,05 m/s2.Determinai timpul

necesar atingerii unei viteze de 10 Nd (figura 3.14.).

Fig. 3.14.

Rezolvare:

a

v

a

vvt 12

,

v=10 Nd=103600

1852=5,14 m/s.

8,10205,0

14,5t s 1 minut i 42,8 secunde.

x

t=?

0v1 10vv2 Nd a

73

3.2.3. Micarea circular a punctului material

S considerm micarea circular a unui punct material n planul orizontal (P), ca n figura

3.15., legea micrii:

)t(

, (3.31.)

fiind cunoscut.

Viteza unghiular

va fi derivata n raport cu timpul a unghiului descris de raza vectoare

ntr-un timp t 0 ,

Fig. 3.15.

dt

d, (3.32.)

iar acceleraia unghiular , derivata n raport cu timpul a vitezei unghiulare

, sau

derivata a doua a lui

n raport cu timpul.

. (3.33.)

Dac cunoatem legea de variaie a vectorului de poziie r

a punctului O (n raport cu

timpul):

)t(rr

, (3.34.)

(P)

v

ta

na

r

(O)

a

(M)

s

74

atunci viteza (tangenial) a punctului O va fi:

rrv , (3.35.)

iar valoarea ei va fi:

r90sinrv . (3.36.)

Dac cunoatem legea de variaie a arcului (s) descris de punctul O,

)t(ss sau rs (3.37.)

atunci viteza tangenial va fi:

rrsv , (3.38.)

ca n relaia (3.36.).

Viteza unghiular va fi:

r

vs 1 , (3.39.)

sau n funcie de turaia n min/rot ,

min/rot30

n

60

n2

. (3.40.)

Acceleraia punctului O este:

rr)r(va , (3.41.)

sau:

)r(ra

. (3.42.)

Primul termen al relaiei (3.42.) este acceleraia tangenial,

ra t

sau ra t , (3.43)

la care se poate ajunge i cu ajutorul vitezei tangeniale:

75

rrva t

, (3.44.)

n care:

rsv sau rrv . (3.45.)

n concluzie putem scrie:

. (3.46.)

Al doilea termen al relaiei (3.42.) este acceleraia normal, i se dezvolt dup regula de

calcul a dublului produs vectorial:

r)()r()r(an (3.47.)

sau

ra 2n

(3.48.)

i este opus vectorului de poziie r

. Valoarea acceleraiei normale an, este:

ra 2n , sau r

vr

r

va

2

2

2

n (3.49.)

Mai putem scrie:

222

n

2

t raaa

m /s2 . (3.50.)

Aplicaii

1. O nav pornete de la mal, ntr-o micare circular de raz R=250 m, cu viteza v0=10

Nd i acceleraia tangenial vt=0,08 m/s2. Determinai valorile acceleraiilor normal

(an) i total (a) precum i unghiul dintre ele (figura 3.16.).

Rezolvare:

R

va

2

0n ; 10v0 14,5Nd

s

m.

106,0250

)14,5(a

2

n m/s2 .

76

1328,0)106,0()08,0(a 22 m/s2 .

1338,0

106,0arccos

a

aarccos n '237 "6,31 .

Fig. 3.16

n tabelul de mai jos se prezint o analogie ntre elementele de baz ale micrii rectilinii i

celei circulare, dup cum urmeaz:

Mrimea Micarea

rectilinie

Micarea circular

Elemente unghiulare Elemente curbilini

Legea micrii

d m d(t)

rad (t)

s m r

Viteza

v m/s 1 s

v m/s r

Acceleraia

v m/s2 2 s

at m /s2 r

r

vrs/ma

222

n

Spaiul parcurs

2

attvd

2

m 2

tt

2

1

Spaiul parcurs t

2

vvtvd 21m

t2

t 21m

Legea de

variaie a

vitezei

ad2vv 212

2 22

1

2

2

R=250 m

a=?

=?

v=10 Nd

a=0,08 m/s2

an=?

77

2. Tamburul unui vinci de ancor de raz r=15 cm lanseaz o ancor cu o turaie n=120

rot/min., constant n timp. Determinai viteza unghiular a tamburului i viteza i

acceleraia ancorei (figura 3.17.).

Fig. 3.17.

Rezolvare

56,02530

12014,3

30

n

rad/s.

884,156,1215,0rv m/s.

884,156,1215,0rv

0a t

66,23)56,12(15,0raa 22n m/s2.

(=a)

at=0

v

an R=15 cm

n

78

3. Stabilii relaiile ntre elementele cinematice (h,v,a i respectiv h1,v1, i a1) ale

troliului din figura 3.18.

Fig. 3.18.

Rezolvare

Rh rh1 R

hr

h1 R

rhh1

Rv rv1

R

v

r

v1 R

rvv1

Ra ra1

R

a

r

a1 R

raa1

3.2.3.1. Micarea abolut, relativ i de transport (circular), a

punctului material

S considerm o nav, n micare circular ca n figura 3.19., cu viteza unghiular,

.

Viteza tangenial (de transport), va fi:

rv t

, sau rv t . (3.50.)

Dac pe punte se afl un container care se deplaseaz n lungul navei cu viteza relativ rv

,

atunci viteza absolut a containerului va fi (figura 3.20.):

rta vvv

sau rrta vrvvv . (3.51.)

m

F

G=mg

r R

h a

79

Se demostreaz c pentru =constant i vt i vr constante, acceleraia absolut a containerului

va fi:

cnctra aaaaa

(3.52.)

n care acceleraia normal ( na

) este:

rr)()r()r(a 2n

, (3.53.)

sau:

rr

va

2

2

tn

, sau

r

vr

r

va

2

t

2

2

tn , (3.54.)

Fig. 3.19.

iar acceleraia Coriolis, ca

are expresia:

rc v2a

sau r

vr

r

v2a

2

t

2

tc . (3.55.)

Acceleraia Coriolis este perpendicular pe planul vectorilor

i rv

i are sensul celei de-a

treia axe a triedului drept

, rv

, ca

(conform regulii urubului drept).

Aplicaii

1. Dac raza de giraie a traiectoriei unei nave este r=0,1 km=100 m (vezi figura 3.20),

viteza de transport a navei 10vv ttr Nd i viteza relativ a containerului este

1vr m/s. Calculai viteza absolut a containerului (va), acceleraia normal (de

transport), (an=atr), acceleraia Coriolis (ac) i acceleraia absolut (aa) a containerului.

(P)

rv t

r

(C)

.const

80

Rezolvare:

vtr=vt=10 Nd=19 (1852/3600)=5,14 m/s,va=vtr + vr= vt + vr =5,14+1=6,14 m/s,

atr=an= 264,0100

)14,5(

r

v 22t m/s2,ac= 103,0

100

114,52

r

vv2 rt

m/s

2,

aa=an+ac=0,264+0,103=0,367 m/s2,

Fig. 3.20.

2. Dac raza de giraie a traiectoriei unei nave este r=0,1 km (vezi figura 3.21.) viteza de

transport a navei vtr=vt=10 Nd i viteza relativ a containerului este vr=1 m/s, calculai

viteza absolut s containerului (va), acceleraia normal-de transport (an=atr),

acceleraia Coriolis (ac) i acceleraia absolut (aa) a containerului.

Fig. 3.21.

av

rv

r

tv

ntr aa

ca

aa

O (fix)

av

rv

r

ttr vv

na

ca

aa

O (fix)

81

Rezolvare:

14,4114,5vvv rta m/s,

264,0r

vaa

2

tntr m/s

2,

103,0100/114,52r/vv2a rtc m/s2,

161,0103,0264,0aaa cna m/s2,

3. Pentru aceeai nav i aceleai valori pentru r,vt i vr dar pentru sensul vitezei relative

(vr) din figura 3.22., calculai va,an,ac i aa.

Rezolvare:

236,51)14,5(vvv 222r2

ta m/s,

an=0,264 m/s2,

ac=0,103 m/s2,

283,0)103,0()264,0(aaa 222c2

na m/s2,

Fig. 3.22.

4. Pentru aceeai nav i aceleai valori pentru r,vt i vr dar pentru sensul vitezei relative

(vr) din figura 3.23., calculai va,an,ac i aa.

Rezolvare:

236,5va m/s,

av

rv

r

tv

ntr aa

ca

aa

O (fix)

82

an=0,264 m/s2,

ac=0,103 m/s2,

283,0aa m/s2,

Fig. 3.23.

av

rv

r

tv

ntr aa

ca

aa

O (fix)

83

4.DINAMICA

4.1.Principile mecanicii clasice

Principiile mecancii clasice au fost definite de ctre Isaac Newton n anul 1687 i sunt

urmtoarele:

4.1.1.Principiul ineriei (Legea I-a a lui Newton)

Un corp asupra cruia nu acioneaz fore, se afl n repaus sau n micare rectilinie i

uniform n raport cu un reper (sau sistem de referin) inerial. Msura ineriei corpului n

micare rectilinie (sau translaie) este masa (m). Unitatea de msur pentru mas n SI

este kg.

4.1.2.Principiul aciunii forei (Legea II-a a lui Newton)

Dac asupra unui corp de mas m acioneaz o for F

(Figura 4.1.) aceast imprim

corpului o acceleraie a

.

Relaia dintre masa m [kg], acceleraia a [m/s2] i fora F[NNewton], este:

Fam

(4.1.)

Sau, n cazul punctului material,

N

s

kgmF

s

makgm

22 (4.2.)

Fig. 4.1.

F

m

84

4.1.3.Principiul aciunii i reaciunii (sau aciunilor reciproce forei)

(Legea III-a a lui Newton)

Dac dou corpuri (1) i (2) interacioneaz reciproc cu forele 12F

i 21F

(Figura 4.2.), atunci;

1221 FF

sau 1221 FF (4.3.)

4.2.Fore i momente de inerie. Metoda cineto-static (a lui dAlembert)

4.2.1.Fore de inerie n micarea rectilinie a punctului material i n

translaia corpului solid rigid

S-a artat mai sus, c dac asupra unui punct material acioneaz o for F

, aceasta

imprim corpului o acceleraie, a

i punctul material se va afla n raport cu un sistem inerial

ntr-o micare rectilinie variat. Dac raportm ns punctul material unui sistem de referin

neinerial, legat de punct, atunci putem considera corpul n repaus, sub aciunea forei F

de

mai sus i a unei fore egale, de sens contrar, proporional cu masa i acceleraia lui (ca n

Figura 4.3.).

Fig. 4.2.

Fig. 4.3.

Fora:

amFin

(4.4.)

21F

12F

F

m amFin

a

85

se va numi for de inerie i n conformitate cu raionamentul de mai sus,

0FFin

. (4.5.)

Din ecuaia (4.5.) rezult c:

0)am(F

(4.6.)

sau,

amF

, (4.7.)

ceea ce corespunde celui de-al doilea principiu al dinamicii.

n cazul unui corp solid rigid n translaie, (Figura 4.4.), fora de inerie este proporional

cu masa i acceleraia centrului de greutate al corpului,

Gin amF

. (4.8.)

Fig. 4.4.

Aplicaie

O ancor de mas m=1 t este ridicat cu o acceleraie a=0,3 m/s2 ca n figura 4.5. Se cere

s se determine greutatea ancorei (G), fora de inerie (Fin) i efortul (N) din lanul de ancor.

Fig. 4.5.

Rezolvare:

m=1 t = 1000 kg.

G=mg= 1000 9,81 =9810 N

m

a

F

m

amFin

a

G

86

Fin= ma= 1000 0,3 =300 N

N=G+ Fin=9810+300=10110 N=10,11 kN.

Fig. 4.6.

4.2.2.Fore de inerie n micarea circular a punctului material

n cele ce urmeaz vom considera un punct material n rotaie n jurul unui centru O, cu

viteza unghiular i acceleraia unghiular (Figura 4.7.).

Fora f care imprim corpului micarea de rotaie determin i acceleraiile tangeniale

ra n (4.8.)

i normal:

r

vra

22

n (4.9.)

Ca urmare, ntr-un sistem de referin legat de corp, am putea considera c asupra acestuia, n

repaus s-ar aplica forele de inerie tangenial, fin(t),

mrmaf t)t(in (4.10.)

i normal (sau centrifug), fincf :

r

vmmrmaf

22

n)cf(in (4.11.)

Ca urmare, fora de inerie total, rezultant ar fi:

2222 )cf(in2

)t(inin )mr()mr(fff (4.12.)

sau:

m

a

G

Fin

N

87

42

in mrf (4.13.)

Aplicaie:

O barc cu motor, de mas m=200 kg., se deplaseaz dup o traiectorie circular de raz

r=20 m, cu viteza de v=10 Nd. Se cere valoarea acceleraiei normale (an) i forei de inerie

centrifuge (f in(cf)), care tinde s devieze barca de la traiectoria pe care o urmeaz (figura 4.8.).

Rezolvare:

v=10 Nd= 10 (1852/3600)=5,14 m/s.

an=v2/r=(5,14)

2/20=1,32 m/s

2.

(f in(cf))=m an=200 1,32=254 N=0,264 kN.

Fig. 4.7.

amfin

O

n)cf(in maf t)t(in maf

ra t

rv

m 2

n ra

a

88

Fig. 4.8.

4.2.3.Fore de inerie n rotaia corpului solid rigid

S considerm un corp solid rigid (ca de exemplu tamburul unui vinci de ancor), n

rotaie n jurul axei sale, cu viteza unghiular i acceleraia unghiular (figura 4.9.), sub

aciunea unui moment, M.

Asupra fiecrei particule de mas mj i distan rj de centrul tamburului, va aciona o

acceleraie tangenial atj.

ra jtj (4.14.)

Ca urmare, fiecrei particule de mas mj, i se poate asocia (atribui) o for de inerie

(tangenial), ftj, opus acceleraiei atj, de valoare:

rmamf jjtjjtj (4.15.)

Suma momentelor acestor fore (de inerie) n raport cu centrul de rotaie, se va numi

moment de inerie, Min, a crui expresie matematic, conform definiiei, va fi:

n

1j

2

jjtjj

n

1j

j

n

1j

n

1j

jtjinjin rmamrrfM-M (4.16.)

v

r

na

O (fix)

89

Fig. 4.9.

Ecuaia (4.16.) se mai poate scrie i sub forma:

n

1j

2

jjin )rm-(M (4.17.)

Expresia 2jj rm , care depinde doar de masele particulelor (mj), (particule care compun

corpul) i de distribuia lor (rj) se numete moment de inerie masic i se noteaz cu J [kg

m2].

n

1j

2

jj rmJ (4.18.)

Momentul de inerie masic este o caracteristic masic a corpului n rotaie (asemntoare cu

masa (m) n translaia corpului).

Se poate spune deci, c momentul de inerie masic , J , este msura ineriei corpului

material n rotaie. Ca urmare, momentul de inerie (Min) a corpului n rotaie, va fi:

JMin (4.19.)

Pentru un corp solid rigid, omogen si izotrop de grosime constant i densitate superficial ,

A [kg/m2],

dArdmrJ2

A

2 (4.20.)

Expresia:

dArI2

p [m4] (4.21.)

Se numete moment de inerie polar. Ca urmare, ntre momentul de inerie masic i

momentul de inerie polar exist relaia:

O

tjf

R

tja

M

Min

90

pAIJ . (4.22.)

Pentru un volant (sau tambur) de form circular, de raz R i grosime constant, se

demostrez c:

2

RI

4

p i 2

mRJ

2

(4.23.)

Aplicaii:

1.Pentru troliul din figura 4.10., sub aciunea greutilor F i Q, corespunztoare maselor mF

i mQ, se cere s se calculeze, n funcie de datele problemei (F, Q, R, r i J), acceleraiile a i

a1, vitezele v i v1 cu care se deplaseaz masele, precum i distanele h i h1 parcurse de ele.

Rezolvare:

Odat introduse forele (greutile F i Q), forele de inerie (Fin(F) i Fin(Q)), precum i

momentul de inerie (Min), sistemul poate fi considerat in repaus, fa de un sistem de

referin neinerial, problema devenind una de static, secionnd (imaginar) cablurile i

ntroducnd n seciuni eforturile (egale i opuse) N i N1 , putem scrie ecuaiile de

echilibru:

-pentru troliu : 0JrNNR 1 ,

-pentru masa mF: ag

FFFFN in(F) ,

-pentru masa mQ: 1in(Q)1 ag

QQFQN ,

91

Fig. 4.10.

Dar ntruct R

ra

R

arra1 , rezult a

R

r

g

QQN1 .

ntroducnd N i N1 n prima relaie, obinem:

0R

aJa

R

r

g

Q-Qr-a

g

FRFR

2

,

Din care rezult valorile:

R

raa1 , atv , at

R

r

2

ath

2

i 22

11 at

2R

r

2

tah .

2. Pentru vinciul de ancor din figura 4.11., acionat de momentul cunoscut R1, se cere s se

determine acceleraia a, viteza v i legea micrii ancorei (h), dac se cunosc greutatea ancorei

(Q), razele R i r ale tamburului vinciului de ancor i rolei de ghidaj a lanului de ancor,

precum i valorile momentelor de inerie masice J i J1 ale lor.

O

R

Min=J

r

F=mF g

Fin(Q)=mQ a1=(Q/g) a1

Q=mQ g

mQ

mF a

a1

(N)

(N) (N1)

(N1)

92

Fig. 4.11.

Din condiia de echilibru a tamburului, rezult:

0NRMM in sau 0NRJM .

Pentru R

a , rezult

2R

Ja-MRN .

Din condiia de echilibru a rolei de ghidare a lanului de ancor, obinem:

0J-rNNr 111 i pentru r

a1 rezult:

0aJ-rNNr 12

1

2 .

Din condiia de echilibru a ancorei obinem:

0ag

Q-QN1 sau

g

QaQgN1

.

ntroducnd pe N din prima relaie i N1 din a treia condiie de echilibru, n relaia din a

doua condiie de echilibru, rezult efectund calculele, valoarea acceleraiei:

2

1

222

2

gRJrQRJgr

gRrQR-Ma

.

i apoi v=at i 2

ath

2

.

O

R

Min=J

Fin(Q)=(Q/g) a

Q

a

M=!

(N1)

(N1)

NIVEL AP

(N) (N)

93

4.3.Lucrul mecanic, puterea i energia cinetic, n micarea rectilinie a

punctului material i n translaia corpului solid rigid

S considerm un corp solid, rigid (sau un punct material) n translaie (sau respectiv n

micare rectilinie) ca n figura 4.12.

Dac n poziia 1 viteza corpului este v1, n poziia 2 viteza va fi v2.

atvv 12 (4.24.)

Produsul dintre valoarea forei (F) i distana (d) parcurs pe direcia forei se numete

lucru mecanic (L).

Fig. 4.12.

FdL (4.25.)

Unitatea de msur pentru lucrul mecanic este Joule.

Dac fora este orientat n sensul distanei parcurse (d), lucrul mecanic se numete

lucrul mecanic motor.

Dac fora F este opus sensului distanei parcurse (d), lucrul mecanic se numete lucru

mecanic rezistent.

Dac fora F face un unghi cu direcia distanei parcurse (ca n figura 4.13.), lucrul

mecanic este:

FdcosL (4.26.)

d(t)

a[m/s]

1v

tavv 12

t2

vvtvd 21m

1 2

F

F

94

Raportul dintre lucrul mecanic i timpul n care a fost efectuat se numete putere (P).

Fvt

Fd

t

LP (4.27.)

Unitatea de msur pentru putere este Watt-ul.

W

s

J

s

NmP . (4.28.)

Teorema energiei cinetice n translaie

ntre poziiile 1 i 2 din figura 4.12., lucrul mecanic efectuat este L12:

tvmaFdL m12 . (4.29.)

Dac nlocuim acceleraia cu expresia ei n funcie de vitezele v2, v1 i timpul t n care a

fost parcurs spaiul d,

t

vva 12

, (4.30.)

obinem:

)v(v2

mt

2

vv

t

vvmL 21

2

22121

12

, (4.31.)

sau:

)mv(mv2

1L 21

2

212 . (4.32.)

Expresia 2mv se numete energie cinetic i se msoar n Joule:

2mv2

1Ec . (4.33.)

Ca urmare:

1212 EcEcL , (4.34.)

Ecuaia (4.34.) reprezint teorema energiei cinetice.

Pentru v1 =0,

Ec1 0, si teorema energiei cinetice devine:

L12 Ec2. (4.35.)

95

Aplicatie:

O nava care a pornit din repaus, a parcurs o distanta d in drum drept, ajungand la o viteza

de v=10 Nd. Daca masa navei este m=100 t, calculati energia cinetica si lucrul mecanic

efectuat.

Rezolvare: m=100 t=100.000 kg,

v1 0;

v2 v 10 Nd =10 1852

3600 5,14

m

s,

Ec2 Ec mv2

2

2

100.000 (5,14)2

21.320.980 J

L12 Ec2 1.320,98 kJ 1,32098 MJ

4.4.Lucrul mecanic, puterea i energia cinetic, n rotatia corpului solid

rigid

Sa consideram in cele ce urmeaza un corp solid rigid, de tipul unui troliu, scripete sau

tambur al unui vinci de ancora in rotatie cu viteza unghiulara (figura 4.13.) sub actiunea

unui moment, M.

Daca momentul de inertie masic al corpului in rotatie este J, atunci in conformitate cu cele

studiate anterior, avem relatia:

JeM (4.36.)

Pentru un unghi de rotatie [rad], produsul M este Lucrul mecanic efectuat:

MqL [J] (4.37.)

si care poate fi la randul lui Lucrul mecanic motor (pentru

L 0 ), sau Lucrul mecanic

rezistent (pentru

L 0 ).

Raportul L/t este Puterea

[W], Pt

L (4.38.)

de unde:

P Mq

t Mw. (4.39.)

96

Din cele de mai sus rezulta ca momentul se defineste in functie de putere (P) si viteza

unghiulara sub forma:

[Nm] sw

WP=M

1 (4.40.)

Fig. 4.13.

Daca exprimam viteza unghiulara in functie de turatia n [rot/min],

[s1] =2n

60n

30, (4.41.)

rezulta:

M = [Nm] =P[W]

n

30

30P [W]

n[rot/min] (4.42.)

sau:

M = [kNm] =30

P[W]

n, (4.43.)

si respectiv:

e M

J[s2]. (4.44.)

M

Min Je

1(1)

2(2)

97

Aplicatie.

Determinati momentul de actionare, acceleratia unghiulara , viteza unghilara si legea

de variatie a spatiului unghiular pentru un tambur de vinci cu masa m=200 kg si de raza

R=0,5 m, daca transmite o putere P=314 kW sub o turatie n=3000 rot/minut.

Rezolvare:

M = [kNm] =30

3,14

314

30001 kNm =1000 Nm.

J = mR2

2

200 (0,5)2

2 25 kgm2.

e =M

J

1000

25 40 s-2 .

=40t 2

2 20t 2 [rad].

4.4.1. Teorema energiei cinetice, in rotatia corpului solid rigid

Daca la momentul t1 (si spatiul unghiular 1), viteza unghiulara este 1 , la momentul t2 (si

spatiul unghiular 2), ea va fi:

2 1 t , (4.45.)

de unde:

2 1

t.

Lucrul mecanic efectuat de momentul M corespunzator spatiului unghiular va fi ,

L12 M J med t . (4.46.)

Dar cum:

med 1 2

2, (4.47.)

rezulta ca:

L12 J2 1t

1 2

2 t =

1

2J(2

2 12), (4.48.)

98

sau:

L12 1

2J2

2 1

2J1

2 (4.49.)

Expresia:

1

2J 2 Ec , (4.50.)

si ca urmare:

L12 Ec2 Ec1 (4.51.)

Expresia (4.51.) reprezinta teoria energiei cinetice.

Daca Ec1=0, 1=0 atunci si L12=Ec2.

Documents

Breviar de Mecanica Navala