Brøk FRA A TIL Å2.4 Utvide brøker B – 11 2.5 Forkorte brøker B - 11 2.6 Ekte og uekte brøker B – 12 3 Å legge sammen brøker B – 16 3.1 Brøker med samme nevner B – 17

Brøk FRA A TIL Å VEILEDER FOR FORELDRE MED BARN I 5. – 7. KLASSE

EMNER Side 1 Innledning til brøk B - 2

2 Grunnleggende om brøk B - 2

2.1 Teller, nevner og brøkstrek B - 6

2.2 Brøk som divisjon B - 8

2.3 Likeverdige brøker B – 8

2.4 Utvide brøker B – 11

2.5 Forkorte brøker B - 11

2.6 Ekte og uekte brøker B – 12

3 Å legge sammen brøker B – 16

3.1 Brøker med samme nevner B – 17

3.2 Hvis nevnerne ikke er like. B – 21

3.2.1 Å finne en felles nevner B – 22

3.3 Legge sammen en brøk med et blandet tall B - 30

3.4 Legge sammen blandede tall. B - 33

4 Å trekke en brøk fra et annet tall B - 34

4.1 Å trekke en brøk fra et helt tall B - 35

4.2 Å trekke en brøk fra et blandet tall B - 35

4.3 Når begge tallene er blandet tall B - 38

5 Ganging med brøk B - 39

5.1 Gange et helt tall med en brøk B - 40

5.2 Gange en brøk med en brøk B - 42

5.3 Gange en brøk med et blandet tall B - 44

5.4 Gange et blandet tall med et blandet tall B - 46

6. Deling med brøk B - 47

6.1 Dele et helt tall på en brøk B - 49

6.2 Dele en brøk på en brøk B - 52

6.3 Dele et blandet tall på en brøk B - 53

6.4 Dele et blandet tall på et blandet tall B - 55

7 Sammensatte operasjoner B - 56

7.1 Formler B - 61

8 Sammenhengen mellom brøk og desimaltall B - 61

8.1 ..og sammenhengen mellom brøk, desimaltall og prosent B - 64

Matematikk FRA A TIL Å

B - 2

Spørsmål? Kommentarer? Ta kontakt på

http://matteroar.wordpress.com/

1 INNLEDNING TIL BRØK

Ved siden av å beherske de fire regneartene (pluss, minus, ganging og deling)

er kanskje det å kunne forstå brøk det aller viktigste innenfor matematikken.

Særlig når man kommer høyere opp i skolesystemet, og man lærer å sette

ganske vanskelige regneoperasjoner opp på en brøkstrek, er det viktig å kunne

det grunnleggende om brøk.

Men brøk er ikke bare viktig for matematikkens skyld. I ganske mange

dagligdagse forhold vil forståelse av brøk komme godt med. Alltid når vi

snakker om halvparten, tredjedelen, fjerdedelen o.s.v., anvender vi brøk. Tenk

gjennom hvor ofte vi i grunnen bruker slike uttrykk.

Kapitlet om brøk er et stort kapittel. Ikke fordi det er spesielt vanskelig, men

fordi det er veldig omfattende. Så selv om dette kan se voldsomt ut, så skal du

ikke være bekymret. Vi skal gå gjennom dette stoffet sakte og forsiktig, og

begynne helt på begynnelse…

I skolen vil elevene ofte lære om desimaltall og brøk samtidig. Det går som

regel greit, men mange elever sliter med å se sammenhengen mellom

desimatall og brøk samtidig som de skal skille de to fra hverandre.

I denne boka har jeg derfor valgt å gi de to områdene hvert sitt kapittel. Men

for å også vise at det er en sammnheng avsluttes begge kapitlene temmelig likt,

med et kapittel som heter ”Sammenhengen mellom brøk og desimaltall”. I

kapitlet om desimaltall heter det ”Sammenhengen mellom desimaltall og brøk”

men ellers er de to avsnittene helt like.

2 GRUNNLEGGENDE OM BRØK

I utgangspunktet er en brøk en del av en hel. Vi er vant til å dele ulike mengder

i deler. Helt fra vi var små har vi snakket om halvparten av noe. Og de fleste

kjenner uttrykk som en halv og en kvart. Da snakker vi egentlig alltid om

brøker.

Grunn-

leggende

om brøk

Inn-

ledning

til brøk


B - 3



Når to skal dele en ting, tar de halvparten hver. Vi kan utvide dette til en

tredjedel, en firedel, en femdel o.s.v.

Med andre ord: Vi kan dele en ting i alle slags deler, på denne måten:

Når 2 skal dele en ting… ---får de halvparten hver.

Når 3 skal dele en ting… ---får de tredelen hver.

Når 4 skal dele en ting… ---får de firedelen hver.

Når 5 skal dele en ting… ---får de femdelen hver.

Når 6 skal dele en ting… ---får de seksdelen hver.

Når 7 skal dele en ting… ---får de sjudelen hver.

Når 8 skal dele en ting… ---får de åttedelen hver.

o.s.v. o.s.v.

Dette er selve utgangspunktet for å forstå hva brøk handler om.

Men så kommer dette med å forstå hvordan en brøk skrives.

Vi snakker altså om at 1 ting skal deles på 2. Skulle vi lage et regnestykke av

det, ville det bli

1 : 2 =

Hvis vil skal dele på 3, vil delestykket bli:

1 : 3 =

Men, altså, sier du kanskje, Det går jo ikke! Fra det vi så langt har lært om

deling, kan det gi mening å si 3 : 1, men ikke 1 : 3!

Helt riktig. Det er fordi vi så langt har lært om de hele tallene. Tall som 1, 2, 3,

4…..

Så er det altså enda en ting som er viktig å

vite for å forstå brøk, nemlig at det er tall

som ikke er hele.

En titt innom tallinjen kan kanskje forklare hva dette betyr:

Tallinjen er nærmere forklart i et eget kapittel.

En brøk er et tall som er mindre enn en hel.


B - 4



Her er tallinjen fra 0 til 10.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Som du ser, er det en avstand mellom tallene. Hvis jeg lar tallinjen gtå fra 0 til

5, så blir dette tydeligere:

0 1 2 3 4 5

Tenk deg at 1 ikke betyr det punktet som 1 står på, men hele mellomrommet

fra 0 til 1. La oss kalle dette mellomrommet for en ener.

0 1 2 3 4 5

Og at 2 betyr en ener fra 1, 3 betyr en ener fra 2 o.s.v. Slik:

0 1 2 3 4 5

Altså: For hver ener vi legger til på tallinjen, vil vi få et nytt tall. Det er jo slik

vi teller oss fremover på tallinjen, ikke sant, ved å øke med 1 for hvert tall?

En slik ener kan jo bety 1 av hva som helst. Det kan bety en sjokoladeplate, en

treplanke eller en firkant. Eller det kan bety en meter.

1

1 1 1 1 1


B - 5



Vi skal se litt nærmere på denne eneren. Vi har sett at en ting, for eksempel en

firkant som denne eneren jo er, kan deles. Hvis 2 skal dele denne firkanten, får

de halvparten hver.

Her er hele firkanten:

Og her er den delt i 2 halvparter:

Og nå ser vi at det faktisk er mulig å dele en ting på 2, altså 1 : 2 =

En halv er halvparten av en hel. Når vi skal skrive dette som en brøk, må vi

skrive det slik:

1

2

Og vi leser det som ”en halv” eller ”en todel”. Det betyr ”en av to deler”.

Men hvor på tallinjen er plassen til en halv? Jo, det må bli halvveis fra 0 til 1:

0 1 2 3 4 5

Og da ser man at 2

1 er halvparten av 1.

Går vi et lite skritt videre vil vi se at 12

1 plasserer seg slik på tallinjen:

0 1 2 3 4 5

1

1 2

1 2


B - 6



2.1 Teller, nevner og brøkstrek Dersom vi deler firkanten (den hele) i 3, snakker vi altså om delestykket:

1 : 3 =

Eller om brøken:

1

3

Vi må altså dele hele firkanten i tre like store deler:

Her er hele firkanten:

Og her er den delt i 3 tredeler:

Vi kan altså dele en hel i akkurat så mange

deler som vi vil, eller som vi trenger. Når

vi skriver en brøk, vil det nederste tallet

fortelle om hvor mange deler vi har delt

den hele i. Vi kaller det tallet for en

nevner.

Men vi må se litt på det tallet som står øverst, også. Da kan vi jo for eksempel

si at vi skal dele en hel på 8. La oss videre si at denne hele er en pizza, altså en

ting som har en rund form (Det kan like gjerne være en kake eller hva som

helst annet som har en rund form). Det kan se slik ut:

1

Nevner: Det nederste tallet i en brøk.

Forteller hvor mange deler en hel er delt i.

Brøk

som

divisjon


B - 7



La oss nå si at vi spiser 5 av disse pizzabitene.

Dette kan vi skrive som en brøk:

Vi sier at vi har spist 8

5 av pizzaen. Det betyr at pizzaen er delt i åtte biter, og

vi har spist 5 av disse åtte bitene.

Mens 8-tallet altså forteller hvor mange

deler den hele (i dette tilfellet: hele

pizzaen) er delt i, forteller 5-tallet hvor

mange deler vi har spist. Vi kan godt si at

det øverste tallet forteller noe om antall

deler vi bruker av hele tallet. Vi kaller

derfor det øverste tallet for en teller.

De to tallene i en brøk, telleren og

nevneren, skiller vi ved hjelp av en strek.

Denne streken kaller vi rett og slett for en

brøkstrek. Den er som regel vannrett, men

ofte kan den også være en skråstrek. For

eksempel: 5/8.

Teller: Det øverste tallet i en brøk.

Forteller hvor mange deler av en hel som brøken gir uttrykk

for.

Brøkstrek: En strek som skiller telleren og nevneren. Som

regel en vannrett strek, men kan også være en skråstrek.


B - 8



2.2 Brøk som divisjon En brøk kan betraktes som et divisjonstykke, der brøkstreken erstatter

deletegnet.

Du vil lett kunne oppdage dette, dersom du lager en divisjon av en brøk, altså

deler teller på nevner:

Her er noen eksempler:

2

1 = 1 : 2 = 0,5

4

3 = 3 : 4 = 0,75

10

1 = 1 : 10 = 0,1

Dersom man deler telleren på nevneren, vil svaret bli et desimaltall. Fra

desimaltallene kjenner vi igjen for eksempel 0,5. Det er jo det samme som en

halv.

En sammenligning mellom brøk og desimaltall finner du i kapittel 7

Sammenhengen mellom brøk og desimaltall.

Det er både nyttig og viktig å vite at brøkstreken er et deletegn. Både når det

gjelder å forstå hva brøk er, og når det gjelder å handtere litt vanskeligere

regnestykker som man møter høyere oppe i skolesystemet. Allerede i 7. skoleår

kommer det til nytte, men det blir for alvor et viktig verktøy på ungdomsskolen

og videre.

2.3 Likeverdige brøker I det praktiske livet snakker vi ganske ofte om halve og kvarte som om det var

en egen enhet. For eksempel er det vanlig å dele frukt, la oss ta epler, i to eller

fire før de legges på fat og serveres.

Sett nå at du har delt et eple i 2. Det betyr at du har 2 halve epler. Hele eplet

kan dermed skrives som en brøk, nemlig 2

2. Nevneren forteller at du har delt

eplet i 2, og telleren forteller at hele eplet består av 2 deler. Vi kan vise det ved

en tegning:

Brøk

som

divisjon

Like-

verdige

brøker


B - 9



Her ser vi ganske tydelig at 1 hel er det samme som 2 halve.

Forholdet blir det samme om vi deler eplet i 4:

Av dette kan vi se at 1 hel er det samme som 2

2,

4

4 eller

8

8.

Vi kan si at en brøk der teller og nevner er like store er alltid det samme som en

hel.

Et helt eple som

er delt i 2 deler.

Teller, nevner og

brøk-strek

Et helt eple som

er delt i 4 deler.

Teller, nevner og

brøk-strek

Et helt eple som

er delt i 8 deler.

Teller, nevner og

brøk-strek

REGEL

En brøk der teller er like stor som nevner, er alltid en hel.

Et helt eple.

Teller, nevner og

brøk-strek


B - 10



Av eksemplet med eplene kan vi også se et annet forhold. Vi delte først eplet i

2 deler. Da fikk vi 2

2. Deretter delte vi det i 4 deler. Da fikk vi

4

4.

Hvis du ser nøye etter, vil du se at siden det går 4 firedeler på en hel, så går det

2 firedeler på en halv!

Vi ser altså at 4

2 er det samme som

2

1.

Hvis vi går videre til eplet som er delt i 8, kan vi se at 2

1 er like mye som

8

4.

Dette er jo naturlig, siden både 2

1,

4

2 og

8

4 er brøker der telleren er halvparten

av nevneren. Vi sier at disse tre brøkene er

likeverdige. De har samme verdi. Det

finnes mange slike likeverdige brøker.

Oversikten nedenfor viser bare noe få eksempler:

2

1 =

4

2 =

6

3 =

8

4 =

10

5

3

1 =

6

2 =

9

3 =

12

4 =

15

5

4

1 =

8

2 =

12

3 =

16

4 =

20

5

5

1 =

10

2 =

15

3 =

20

4 =

25

5

REGEL

To brøker er like store når forholdet mellom teller og nevner er det samme i

begge brøker.

Likeverdige brøker: Brøker som har samme verdi.


B - 11



2.4 Utvide brøker At brøker kan være likeverdige kan vi bruke til vår fordel i mange

sammenhenger.

Hvis du ser nøye etter på tabellen på side B – 10, vil du se at telleren og

nevneren er ganget med det samme tallet. Ta brøken 5

1 som eksempel. I

tabellen ser det slik ut:

5

1 =

10

2 =

15

3 =

20

4 =

25

5

Hvis du ganger telleren (1) i 5

1 med 2, får du 2. Hvis du ganger nevneren (5)

med 2, får du 10. Vi skriver det slik:

25

21

=

10

2

Hvis du ganger både telleren og nevneren med 5, får du:

55

51

=

25

5

Dette handler om at du kan forandre en

brøk ved å gange både teller og nevner

med det samme tallet, uten at verdien av

brøken endres. Vi kaller det å utvide

brøken.

2.5 Forkorte brøker På samme måte kan vi forkorte en brøk ved

å dele teller og nevner med det samme

tallet. Vi skal se på hvordan det gjøres.

Utvide

og

forkorte

brøker

Utvide en brøk: Å gange både teller og nevner med det

samme tallet.

Utvide

og

forkorte

brøker

Forkorte en brøk: Å dele både teller og nevner med det

samme tallet.


B - 12



La oss ta brøken 4

2 som utgangspunkt. Ser vi på 2-tallet og 4-tallet, vil vi se at

begge tallene kan deles på 2. Da kan brøken forkortes. Forkorting handler

nemlig om å dele teller og nevner med det samme tallet.

Vi ser at 2 : 2 = 1 og 4 : 2 = 2.

2:4

2:2 =

2

1

Dette har vi jo sett før, at to firedeler er like mye som en halv.

Men, altså: Hvis vi kan dele både telleren og

nevneren med det samme tallet, så kan vi

forkorte brøken. Som du skjønner handler både

utviding av en brøk og forkorting av en brøk

mye om å lære seg gangetabellen!

Både forkorting og utviding av brøker kan vi gjøre fordi brøken har den

samme verdien når vi deler eller ganger telleren og nevneren med det

samme tallet. Vi kan ikke på samme måte addere eller subtrahere teller og

nevner med det samme tallet.

2.6 Ekte og uekte brøker La oss se på eksemplet med eplet som er delt en gang til. Tenk deg at du har 2

epler som du deler i to. Da får du dette bildet:

Ekte og

uekte

brøker

Det er lettere å se om en brøk kan utvides eller forkortes

hvis du lærer deg gangetabellen.


B - 13



Her ser du at vi har 4 halve epler. Hvis vi skriver brøken på hver av halvdelene

får vi:

Nå må vi være veldige presise. Hele mengden vi snakker om er 2 epler. Men et

halvt eple blir likevel bare halvdelen av

ett eple. Det er altså slik at vi har 4 halve

epler. Vi kan si at enheten vår er eple, og

mengden vår er to epler. Det blir viktig å

skille mellom enheter og mengder på

denne måten. Når vi deler enheten i to, får vi to halve. Men når mengden vår

består av to enheter, får vi fire halve.

Dette har stor betydning når det gjelder brøk. Tenker vi teller og nevner i dette

tilfellet, vil vi få2

4, altså fire halve epler.

Akkurat her skal vi gå tilbake til hvordan vi forstår en brøk. En brøk er et tall

som er mindre enn en hel, sa vi på side 3 i dette kapitlet. Men her har vi jo en

brøk som er større enn en hel! 2

4 er jo 2 hele!

Før vi forklarer dette nærmere, skal vi ta en titt på tallinjen igjen.

2

1

2

1

2

1

2

1

Enheter og mengder er to forskjellige ting.


B - 14



0 1 2 3 4 5

På denne tallinjen har vi merket av 2

1. Vi har jo tidligere sett at to slike halve

er det samme som 1.

0 1 2 3 4 5

Og til og med har vi sett at tre slike halve blir det samme som 12

1.

0 1 2 3 4 5

Vi kan se at dette blir 3 halve. Som brøk kan vi skrive det som 2

3.

Vi tar et eksempel til:

0 1 2 3 4 5

Her kan vi se at vi har 3 hele og en halv. De tre hele er delt i halve. Altså har vi

7 halve. Som brøk kan vi skrive det som 2

7.

1 2

1 2

1 2

1 2


B - 15



Faktisk er det jo slik at alle tall kan deles:

0 1 2 3 4 5

Her ser vi en tallinje der fem hele er delt opp i ti halve. Som brøk kan vi skrive

det som 2

10.

Tallet er altså større enn en hel, men vi kan likevel skrive det som en brøk.

Hvis du ser nærmere på denne tallinjen vil du oppdage dette:

2 halve er det samme som 1 hel.

4 halve er det samme som 2 hele




Skal vi skrive dette i et mer matematisk språk, blir det:

2

2 = 1

2

4 = 2

2

6 = 3

2

8 = 4

2

10 = 5

Men hvor ble det av dette med at en brøk er et tall som er mindre enn 1?

Vel, det holdt som en forklaring innledningsvis, men nå trenger vi en litt mer

nøyaktige bruk av ord:

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2


B - 16



Vi sa jo tidligere at en brøk der teller er like stor som nevner er det samme som

en hel.

Nå kan vi gå litt videre og si at vi kan snakke om to forskjellige brøker: Ekte

og uekte brøker.

I en ekte brøk er telleren mindre enn

nevneren. Som for eksempel 4

3.

I en uekte brøk er telleren større enn

nevneren. Da ser vi at tallinjen at tallet er

større enn en hel.

Og når vi først er kommet så langt, er det

ett uttrykk til som vi trenger å nevne:

Blandet tall. Et blandet tall består av både

hele og en ekte brøk.

Vi så jo tidligere at 3 hele og en halv kunne skrives som en uekte brøk

(2

7), men det er jo ofte mer hensiktsmessig å skrive det som 3

2

1. Dette leses

”Tre og en halv”.

3 Å LEGGE SAMMEN BRØKER

Vi vet at to halve epler til sammen blir et helt eple. Når vi skal skrive dette som

et regnestykke, blir det:

2

1 +

2

1 = 1

Ekte brøk: Teller er mindre enn nevner

Uekte brøk: Teller er større enn nevner

Blandet tall: Et heltall og en ekte brøk.

Å legge

sammen

brøker


B - 17



Dette vet vi jo er riktig. Samtidig vet vi at en hel er det samme som 2 halve.

Det skriver vi slik:

1 = 2

2

Når vi legger sammen 2 halve får vi altså…2 halve:

2

1 +

2

1 =

2

2

Dette er greit å forstå. Vi skal se på litt andre brøker for å gjøre det tydeligere

hva som skjer når vi legger sammen brøker. For oversiktens skyld deler jeg det

opp i 3 avsnitt: Brøker med samme nevner, brøker med forskjellige nevnere og

blandede tall.

3.1 Brøker med samme nevner Addisjon med 2 halve er oversiktelig og greit. Men la oss nå se på litt andre

brøker. Som første eksempel bruker jeg firedeler – altså brøker der en hel er

delt i 4:

Eksempel: 4

1 +

4

2 =

Vi kan gjøre regnestykket tydelig ved å tegne det:

+ =

4

1 + 4

2 =

Brøker

med

samme

nevner

Eksempel 1: Trinn a


B - 18



Svaret er lett å se:

Når vi ikke tar med tegningene ser vi regnestykket:

4

1 +

4

2 =

4

3

Fra før vet vi at 1 + 2 = 3. Vi vet også at 1 eple + 2 epler = 3 epler.

Nå ser vi at 1 firedel + 2 firedeler = 3 firedeler.

Vi kan på en måte si at nevneren i en brøk ligner mye på en benevning. De to

ordene er jo ganske like også.

Men er det så enkelt å legge sammen brøker? La oss sjekke med et annet

eksempel, der vi bruker litt større brøker:

+ =

4

1 + 4

2 =

4

3

Eksempel 1: Trinn b


B - 19



Vi kan bruke flere metoder for å legge sammen 4 nideler og 3 nideler. En

sikker metode når det gjelder så små tall er å telle. Da ser vi at svaret blir 7

nideler.

Disse to enkle eksemplene viser altså at man kan betrakte nevneren som en

form for benevning, og at man i grunnen bare trenger å tenke på tellerne. Av

dette kan man lage en enkel regel:

+ =

+ =

9

4 + 9

3 =

9

4 + 9

3 =

9

7

Eksempel 2: Trinn a

Eksempel 2: Trinn b


B - 20



Men da må vi samtidig huske på at vi i begge de to eksemplene har lagt

sammen brøker som har hatt den samme nevneren.

Henter vi frem sammenhengen mellom nevner og benevning, kan vi utdype

dette litt:

Vi hadde ikke klart å legge sammen 2 tall dersom de hadde ulike benevninger.

Hvor mye er 2 kg + 3 meter? Eller Hvor mye er 7 baller + 6 hoppetau? Ser du

at det blir umulige regnestykker?

Det er på samme måte med brøk. Vi kan ikke legge sammen 2 firedeler + 6

nideler!

Altså kan vi lage enda en viktig regel:

REGEL

Man kan bare addere brøker med like nevnere.

REGEL

Når vi adderer brøker, legger vi sammen tellerne og

beholder nevnerne.


B - 21



3.2 Hvis nevnerne ikke er like Men hva gjør vi da hvis vi skal legge sammen to brøker som ikke har den

sammen nevneren?

Da må vi gjøre om en eller begge av de to brøkene slik at nevnerne blir like.

Før jeg viser eksempler på hvordan det gjøres, må jeg minne om det som er

sagt tidligere. Det finnes noe som heter ensartede brøker. Altså brøker som er

forskjellige fordi de har ulike nevnere, men som har like stor verdi. (Se tabell

på side B – 10).

Hvis du studerer tabellen på side B – 10, vil du blant annet se dette:

2

1 =

4

2 =

6

3 =

8

4 =

10

5

4

1 =

8

2 =

12

3 =

16

4 =

20

5

La oss nå si at vi skal legge sammen to brøker der den ene brøken er todeler og

den andre brøken er firedeler. La oss ta 2

1 +

4

1.

I tabellen ser vi at 2

1 =

4

2.

Dette kan vi benytte oss av. Vi kan bytte ut 2

1 med

4

2. Det kaller vi altså å

utvide brøken. Da får vi dette regnestykket:

4

2 +

4

1 =

4

3

Det er altså likevel mulig å legge sammen brøker med forskjellige nevnere.

Men bare dersom vi klarer å gjøre om brøkene slik at de har en felles nevner.

Vi kaller det å finne fellesnevneren.

Hvis

nevnerne

ikke er

like


B - 22



3.2.1 Å finne en felles nevner Regelen om at vi bare kan legge sammen brøker der nevneren er like holder

fortsatt. Så hvis vi har brøker som ikke har samme nevner, må vi gjøre noe med

dem, slik at de får like nevnere før vi kan legge dem sammen.

Vi trenger en metode for å gjøre om brøkene slik at nevnerne blir like. Den

metoden kaller vi å finne fellesnevneren. Vel, det er ikke bare en, men flere

metoder vi kan bruke. La oss se på tre av dem:

Metode 1:

Vi har sett at vi kan forandre nevneren i den ene brøken slik at den får den

samme nevneren som den andre. Eksemplet vi brukte for å se at det kunne

være mulig var 2

1 +

4

1, som ble til

4

2 +

4

1 =

4

3. Her har vi altså utvidet den

første brøken med 2, slik at todeler ble til firedeler.

Nå skal vi se på hvordan denne utvidelsen av den ene brøken utføres i et

regnestykke. Vi skal bruke et annet eksempel, nemlig

5

2 +

15

3 =

Når vi ser på de to nevnerne, ser vi at den ene er tre ganger den andre (15 er tre

ganger 5). Altså må vi utvide brøken med 5 i nevneren med 3. Det gjør vi slik:

REGEL

For å legge sammen to brøker som ikke har samme

nevner, må du finne fellesnevneren.

Å finne

en

felles

nevner


B - 23



Vi ganger både teller og nevner med 3:

5

2 +

15

3 =

35

32

+

15

3 =

Deretter regner vi ut den nye telleren og den nye nevneren:

5

2 +

15

3 =

35

32

+

15

3 =

15

6 +

15

3 =

Nå har vi fått en addisjon med to brøker med samme nevner, nemlig 15:

5

2 +

15

3 =

35

32

+

15

3 =

15

6 +

15

3 =

15

9

Metode 2:

Metode 1 kan vi bare bruke dersom forholdet mellom de to nevnerne gir

mulighet for det. Vanligvis vil dette bety at de to nevnerne befinner seg i den

samme gangetabellen. For eksempel: 2 -4 – 6 – 8 – 10 o.s.v. finner vi i 2-

gangen. 3 – 6 – 9 – 12 o.s.v. finner vi i 3-gangen. Men mange tall gjør jo ikke

det. Ta for eksempel 3 og 7. De to tallene finner vi jo ikke i den samme

gangen. Da må vi ha en annen metode. Da tenker vi slik:

Det er fortsatt mulig å utvide brøkene. Vi vet jo at 3 7 = 21. Samtidig vet vi at

7 3 = 21. Med andre ord: Hvis vi kan utvide begge brøkene slik at begge

nevnerne blir 21, så har vi oppfylt regelen om at bare brøker med samme

nevner kan legges sammen. La oss prøve:

REGEL

Å finne fellesnevner 1: Gange (eller dele) både teller

og nevner i den ene brøken med det samme tallet.

Eksempel 3


B - 24



3

1 +

7

3 =

Det første vi gjør er altså å utvide brøkene. Den første brøken med 7, fordi det

er nevneren i den andre brøken:

3

1 +

7

3 =

73

71

+

7

3 =

Og så den andre brøken. Den utvider vi med 3, fordi nevneren i den første

brøken er 3:

3

1 +

7

3 =

73

71

+

37

33

=

Sånn. Nå kan vi regne ut de to nye brøkene:

3

1 +

7

3 =

73

71

+

37

33

=

21

7 +

21

9 =

Og nå skal det gå ganske greit å legge sammen de to brøkene:

3

1 +

7

3 =

73

71

+

37

33

=

21

7 +

21

9 =

21

16

Og dermed har vi skaffet oss en regel for metode 2, også:

REGEL

Å finne fellesnevner 2: Gange både teller og nevner

med nevneren i den andre brøken.

Eksempel 4


B - 25



Metode 3:

Metode 2 kan vi alltid bruke. Men er du god på gangetabellen, vil det jo lønne

seg å bruke metode 1 der den kan passe.

Men så hender det når du bruker metode 2 at fellesnevneren blir veldig stor, og

utregningen av den grunn blir lite oversiktelig. Særlig skjer dette hvis du skal

legge sammen 3 eller flere brøker. Se på dette eksemplet:

8

1 +

6

3 +

9

2 = Her må du gange inn alle de tre nevnerne.

Fellesnevneren blir derfor 8 6 9 = 432. Og det er jo ganske vanskelig å regne

med en slik nevner.

Da bruker vi metode 3. Da trenger du å forstå faktorisering.

Faktorisering er nøye forklart i et eget kapittel.

Hele metoden går ut på å finne frem til de faktorene som trengs for å finne

igjen alle tre nevnerne i en fellesnevner. Vi kaller det ”minste felles

multiplum”. Det betyr det minste tallet som alle de tre nevnerne går opp i.

For å forstå dette trenger vi et eksempel før vi går videre:

Se på tallet 12. Deler vi 12 opp i sine faktorer får vi:

12 = 2 2 3

Når vi ser på disse faktorene, vil vi se at det er flere tall som kan ha disse

faktorene:

4 = 2 2

6 = 2 3

I tillegg har vi de primtallene som inngår i faktoriseringen.

Dette betyr igjen at alle disse tallene – 2, 3, 4 og 6 kan inngå i fellesnevneren

12.


B - 26



La oss nå si at vi har 4 brøker som har hver sin nevner. Disse nevnerne er 2, 3,

4 og 6.

Skulle vi finne fellesnevneren etter metode 2, ville det altså blitt:

2 3 4 6 = 144

I stedet kan vi altså klare oss med 12 som fellesnevneren, fordi alle de fire

nevnerne finner sine faktorer i tallet 12.

Metode 3 går altså ut på å finne det minste tallet som alle de aktuelle nevnerne

går opp i. Det finner vi ved å være sikre på at nevnernes faktorer finnes i

fellesnevneren.

Fremgangsmåten blir slik:

Vi begynner med å faktorisere de tre nevnerne:

8 = 2 2 2

6 = 3 2

9 = 3 3

Så setter vi inn de faktorene som trengs for å finne igjen 8. Det er 3 totall:

8 = 2 2 2

6 = 3 2

9 = 3 3

FN: 2 2 2

Deretter setter vi inn de faktorene som mangler for å finne igjen 6. 6 er jo 3 2,

men siden vi allerede har faktoren 2, trenger vi bare et 3-tall:

8 = 2 2 2

6 = 3 2

9 = 3 3

FN: 2 2 2 3

Nå mangler vi bare 9. 9 faktoriseres i 3 3. Siden vi allerede har ett 3-tall,

trenger vi bare ett 3-tall til:


B - 27



8 = 2 2 2

6 = 3 2

9 = 3 3

FN: 2 2 2 3 3

Før vi regner ut fellesnevneren skal vi se litt nøyere på de faktorene som

fellesnevneren består av.

8-tallet, som er faktorisert i 2 2 2 kan vi finne igjen.

6-tallet, som er faktorisert i 2 3 kan vi finne igjen.

9-tallet, som er faktorisert i 3 3 kan vi finne igjen.

Altså kan vi finne igjen alle de tre nevnerne. Da kan vi regne ut

fellesnevneren:

8 = 2 2 2

6 = 3 2

9 = 3 3

FN: 2 2 2 3 3 = 72

Dermed fikk vi en fellesnevner som er mye enklere å handtere enn 432.

Men så skal dette brukes i brøkstykket vårt.

8

1 +

6

3 +

9

2 =

Da ser vi først på 8

1

Hvis vi ser på faktorene i fellesnevneren, dekker vi 8-tallet med de tre

totallene. For å få 72, må vi altså gange 8 med resten – de to 3-tallene.

FN: 2 2 2 3 3 = 72

Eksempel 5 trinn a


B - 28



Vi må altså gange 8-tallet med 3 3. 9 8 = 72

Så ser vi på 6

3. 6 tallet dekkes av 2 3. Altså står vi igjen med to 2-tall og et 3-

tall.

FN: 2 2 2 3 3 = 72

Derfor må vi gange 6-tallet med 2 2 3. 12 6 = 72

Til slutt ser vi på 9

2. 9-tallet dekkes av 3 3. Dermed står vi igjen med de tre 2-

tallene.

FN: 2 2 2 3 3 = 72

Derfor må vi gange 9-tallet med 2 2 2. 8 9 = 72

Nå vet vi hva hver enkelt nevner må ganges med for å få fellesnevneren 72. Da

er det bare å sette i gang.

Først utvider vi de tre brøkene:

Eksempel 5 trinn a forts.

Eksempel 5 trinn b

Eksempel 5 trinn c


B - 29



8

1 +

6

3 +

9

2 =

98

91

+

126

123

+

89

82

=

Så regner vi ut de tre nye brøkene:

8

1 +

6

3 +

9

2 =

98

91

+

126

123

+

89

82

=

72

9 +

72

36 +

72

16 =

Og til slutt regner vi ut svaret:

8

1 +

6

3 +

9

2 =

98

91

+

126

123

+

89

82

=

72

9 +

72

36 +

72

16 =

72

61

Den tredje metoden kan vi også lage en regel for:

REGEL

Å finne fellesnevner 3: Finne felles faktorer i de to

nevnerne.

Eksempel 5 trinn d

Eksempel 5 trinn e

Eksempel 5 trinn f


B - 30



3.3 Legge sammen en brøk med et blandet tall Det går greit for de fleste å legge sammen et helt tall med en brøk. Det blir på

en måte å lage et blandet tall. For eksempel:

5

3 + 4 = 4

5

3

Litt annerledes blir det dersom du skal legge sammen et blandet tall og en brøk.

Det skal vi se på nå.

Vi kan ta som eksempel:

6

2+ 4

6

1 =

Her har de to brøkene den samme nevneren. Da kan vi kort og godt legge

sammen de to brøkene og beholde det hele tallet:

6

2+ 4

6

1 = 4

6

3

Dersom det skulle vise seg at brøken blir en uekte brøk, gjør vi denne om til

blandet tall, og legger de to heltallene sammen. Her er et eksempel på det:

6

5+ 4

6

3 =

Legger sammen brøkene:

6

5+ 4

6

3 = 4

6

8

Legge

sammen

en brøk

med et

blandet

tall

Eksempel 6 trinn a

Eksempel 7 trinn a


B - 31



Gjør brøken om til blandet tall:

6

5+ 4

6

3 = 4

6

8= 4 + 1

6

2

Legger sammen heltallene:

6

5+ 4

6

3 = 4

6

8= 4 + 1

6

2 = 5

6

2

I dette svaret ser vi at brøken kan forkortes, fordi både teller og nevner kan

deles på 2. Altså blir svaret:

56

2 = 5

2:6

2:2 = 5

3

1

Dersom brøken og det blandede tallet har forskjellige nevnere, må vi finne

fellesnevneren. Vi tar med et eksempel på hvordan det kan gjøres:

Eksempel 7 trinn b

Eksempel 7 trinn c

Eksempel 7 trinn d


B - 32



Eksempel: 43

2 +

5

2 =

Her ser vi at fellesnevneren blir 15. Da må vi regne om brøkene:

43

2 +

5

2 = 4

53

52

+

35

32

=

Så må vi regne ut de nye brøkene:

43

2 +

5

2 = 4

53

52

+

35

32

= 4

15

10 +

15

6 =

Og nå kan vi legge sammen de to tallene:

43

2 +

5

2 = 4

53

52

+

35

32

= 4

15

10 +

15

6 = 4

15

16 =

Vi ser at brøken i svaret blir en uekte brøk. Altså gjør vi den om til blandet tall:

43

2 +

5

2 = 4

53

52

+

35

32

= 4

15

10 +

15

6 = 4

15

16= 4 + 1

15

1 =

Eksempel 8 trinn a

Eksempel 8 trinn b

Eksempel 8 trinn c

Eksempel 8 trinn d


B - 33



Og til slutt legger vi sammen de hele tallene:

43

2 +

5

2 = 4

53

52

+

35

32

= 4

15

10 +

15

6 = 4

15

16= 4 + 1

15

1 = 5

15

1

3.4 Legge sammen blandede tall Hvis du vet hvordan du skal legge sammen en brøk med et blandet tall, er det

ingen stor kunst å legge sammen to eller flere blandede tall. Fremgangsmåten

blir akkurat den samme:

1. Dersom brøkene har ulike nevnere finner du fellesnevneren

2. Du regner ut de nye brøkene

3. Du legger sammen heltallene hver for seg

4. Dersom brøken i svaret blir en uekte brøk gjør du denne om til et blandet

tall og legger heltallet til de andre hele i svaret.

5. Dersom brøken i svaret kan forkortes gjør du det.

I eksemplet velger jeg to blandede tall med forskjellige nevnere: 36

4 + 5

5

2 =

1. Jeg ser at fellesnevneren blir 30:

36

4 + 5

5

2 = 3

56

54

+ 5

65

62

=

2. Jeg regner ut de nye brøkene

36

4 + 5

5

2 = 3

56

54

+ 5

65

62

= 3

30

20 + 5

30

12 =

3. Jeg regner ut heltallene og brøkene hver for seg:

Å legge

sammen

blandede

tall

Eksempel 8 trinn e

Eksempel 9


B - 34



36

4 + 5

5

2 = 3

56

54

+ 5

65

62

= 3

30

20 + 5

30

12 = 8

30

32 =

4. Jeg gjør den uekte brøken i svaret om til blandet tall

36

4 + 5

5

2 = 3

56

54

+ 5

65

62

= 3

30

20 + 5

30

12 = 8

30

32 = 8 + 1

30

2 =

Og legger de hele tallene sammen:

36

4 + 5

5

2 = 3

56

54

+ 5

65

62

= 3

30

20 + 5

30

12 = 8

30

32 = 8 + 1

30

2 = 9

30

2 =

5. Brøken kan forkortes ved å dele teller og nevner på 2:

36

4 + 5

5

2 = 3

56

54

+ 5

65

62

= 3

30

20 + 5

30

12 = 8

30

32 = 8 + 1

30

2 = 9

30

2 = 9

15

1

4 Å TREKKE EN BRØK FRA ET ANNET

TALL

Hvis du vet hvordan du skal legge sammen to brøker, har du også grunnlaget

for å kunne trekke en brøk fra en annen brøk. Hovedregelen er den samme:

Brøkene må ha samme nevner.

Det blir også den samme fremgangsmåten dersom brøkene i et minusstykke har

ulike nevnere: Du må finne fellesnevneren.

Du finner en liten utfordring når vi snakker om hele tall og blandede tall. Vi

skal derfor se på disse to nye utfordringene.

Å

trekke

en brøk

fra et

annet

tall

Eksempel 9 forts.


B - 35



4.1 Å trekke en brøk fra et helt tall

Se på dette regnestykket: 4 - 7

3 =

Det er ikke uten videre greit å se hvordan dette kan regnes ut. Vel – i et slikt

tilfelle er det greit å huske på at 4 = 3 + 1.

For å regne ut eksemplet kan du derfor gjøre den ene av de fire om til brøk. Når

du gjør det vil det være klokt å bruke den samme nevneren som du allerede har.

I dette tilfelle er det sjudeler. Da får du:

4 - 7

3 = 3

7

7 -

7

3 =

Nå har du et heltall, nemlig 3, som du kan føre direkte over til svaret, fordi det

ikke er noe annet heltall som skal trekkes fra. Og så har du 7 sjudeler – 3

sjudeler. Altså:

4 - 7

3 = 3

7

7 -

7

3 = 3

7

4

Og mer er det i grunnen ikke….

4.2 Å trekke en brøk fra et blandet tall Her kan det dukke opp ulike utfordringer:

1. Tallene kan ha ulike nevnere

2. Brøken i det blandede tallet kan være mindre enn den andre brøken.

Her skal jeg gi eksempler på begge disse utfordringene. Først: Brøkene har

ulike nevnere.

Å

trekke

en brøk

fra et

helt tall

Å

trekke

en brøk

fra et

blandet

tall


B - 36



Vi bruker små og oversiktelige tall i det første eksemplet:

43

1 -

4

1 =

Her ser vi at fellesnevneren blir 12:

43

1 -

4

1 = 4

43

41

-

34

31

=

Når vi regner ut, får vi:

43

1 -

4

1 = 4

43

41

-

34

31

= 4

12

4 -

12

3 =

Og svaret blir:

43

1 -

4

1 = 4

43

41

-

34

31

= 4

12

4 -

12

3 = 4

12

1

I utfordring nr. 2, der den første brøken viser seg å være mindre enn den andre,

må vi legge inn den samme teknikken som vi brukte i kap. 4.1, nemlig å gjøre

en del av heltallet om til brøk.

Eksempel: 54

1 -

4

3 =

Eksempel 10 trinn a

Eksempel 10 trinn b

Eksempel 10 trinn c


B - 37



Vi tar den ene av de 5 hele og gjør om til en brøk:

5 hele = 44

4

Nå har vi brøken 4

4 i tillegg til brøken

4

1.

Det blir til sammen 4

5.

Altså er 54

1 = 4

4

5.

Dette kan vi sette inn i regneeksemplet vårt.

54

1 -

4

3 = 4

4

5 -

4

3 =

Og nå kan det regnes ut på vanlig måte:

54

1 -

4

3 = 4

4

5 -

4

3 = 4

4

2

I dette svaret har vi fått en brøk der teller og nevner kan deles på 2. Altså

forkorter vi:

54

1 -

4

3 = 4

4

5 -

4

3 = 4

2:4

2:2 = 4

2

1

Eksempel 11 trinn a

Eksempel 11 trinn b

Eksempel 11 trinn c


B - 38



4.3 Når begge tallene er blandet tall Det siste forholdet jeg skal vise når det gjelder subtraksjon og brøk er når

begge tallene er blandede tall. Det blir for så vidt en kombinasjon av hva som

tidligere er vist, så i dette eksemplet setter jeg opp et regnestykke der vi tar

med så mange utfordringer som mulig. Det betyr:

1. Ulike nevnere

2. Den første brøken er mindre enn den andre

3. Svaret må forkortes.

Eksemplet jeg vil bruke er dette: 54

2 - 2

3

2 =

Vi ser at fellesnevneren må bli 12. Altså gjør vi først om de to brøkene. Legg

merke til at jeg hele tiden beholder de hele tallene:

54

2 - 2

3

2 = 5

34

32

- 2

43

42

=

Så regner jeg ut de nye brøkene:

54

2 - 2

3

2 = 5

34

32

- 2

43

42

= 5

12

6 - 2

12

8 =

Her ser vi at brøken i det første tallet er mindre enn den andre brøken. Altså må

jeg gjøre om en av de fem hele til brøk og legge denne brøken til:

54

2 - 2

3

2 = 5

34

32

- 2

43

42

= 5

12

6 - 2

12

8 = 4

12

18 - 2

12

8 =

Når

begge

tallene

er

blandet

tall

Eksempel 12 trinn a

Eksempel 12 trinn b

Eksempel 12 trinn c


B - 39



Og så er det i grunnen bare å regne ut:

54

2 - 2

3

2 = 5

34

32

- 2

43

42

= 5

12

6 - 2

12

8 = 4

12

18 - 2

12

8 = 4

12

10

Vi ser at brøken i svaret kan forkortes med 2:

54

2 - 2

3

2 = 5

34

32

- 2

43

42

= 5

12

6 - 2

12

8 = 4

12

18 - 2

12

8 = 4

12

10 = 4

6

5

5 GANGING MED BRØK

Når vi kommer til ganging og deling med brøk, nærmer vi oss grensen for hva

elevene lærer på barnetrinnet. De fleste er nok inne på noe ganging, men svært

sjelden blir deling av brøk noe tema før ungdomsskolen.

Når jeg likevel tar det med her, er det av to grunner:

1. Mange elever vil komme så langt, og av hensyn til dem vil det være nyttig

å gå litt lenger enn hva lærebøkene har tatt med.

2. Det er nyttig for den store sammenhengen å se på hvordan man behandler

brøk med alle de fire regneartene (pluss, minus, gange og dele).

Mye av dette stoffet er ganske teoretisk, for ikke å si abstrakt. Mange har for

eksempel den forestilling at når du ganger, så vil svaret bli større, og når du

deler blir svaret mindre. Det er ikke alltid riktig, og det vil være en utfordring

for mange å forstå dette, og følge med på tenkemåten. Jeg forsøker derfor å

bruke praktiske og håndfaste eksempler i starten av hver av disse to kapitlenes

underkapitler.

Ganging

med

brøk

Eksempel 12 trinn a

Eksempel 12 trinn a


B - 40



5.1 Gange et helt tall med en brøk Tenk deg at du har et halvt eple.

Hvor mange epler vil du ha hvis du ganger det med 1?

Svar: Hvis du ganger et halvt eple med 1, vil du fortsatt ha et halvt eple!

Hovedregelen er at å gange et tall med 1 ikke vil gi noen forandring. Tenk litt

på det: Hva skjer med 4 1? Det blir fortsatt 4. Slik er det også når det gjelder

brøk.

Men hva skjer hvis du har et halvt eple og ganger det med 2?

Da vil du ha 2 halve epler, og det er jo 1.

Regneeksemplet blir slik:

2

1 2 = 1

Vel, i virkeligheten vil du vel egentlig ha 2 halve epler, ikke sant? Så

regnestykket vårt vil faktisk se slik ut:

2

1 2 =

2

2

Men så vet vi jo fra før at en brøk der teller og nevner er like, har verdien 1.

Altså får vi til slutt dette regnestykket:

2

1 2 =

2

2 = 1

Eksempel 13 trinn a

Eksempel 13 trinn b

Eksempel 13 trinn c

Gange et

helt tall

med

brøk


B - 41



Hva hvis du har et halvt eple og ganger det med 4?

Vel, da har du jo fire halve, og hvor mye er egentlig det?

Nettopp! Da får du 2 hele. Slik blir regnestykket:

2

1 4 =

2

4 = 2

Hva er det som skjer, rent teknisk her? Jo hvis du studerer de to eksemplene,

vil du kunne se at vi har ganget telleren med det hele tallet, mens nevneren blir

den samme. Og det er hele teknikken når det gjelder å gange en brøk med et

helt tall. Det er så pass greit at vi kan lage en regel om det:

Det er en vanlig oppfatning at svaret blir større når vi ganger, og mindre når vi

deler. I de to eksemplene (Eksempel 13 og 14) har vi sett det motsatte: Hvis vi

ganger 4 med en halv, blir svaret 2 – altså mindre!

Men så har vi jo også sett eksempel på at tallet ikke endrer seg! Det er hvis vi

ganger et tall med 1.

Hvis svaret skal blir større må vi gange med et tall som er større enn 1. Men

hva skjer hvis vi ganger med et tall som er mindre enn 1, altså en brøk? Jo, da

blir det som vi så i de to eksemplene: Da blir svaret mindre. Dette kan vi også

lage en huskeregel på:

REGEL

Når vi ganger en brøk med et helt tall, ganger vi

telleren med tallet og beholder nevneren.

Eksempel 14 trinn e

REGEL

..et tall som er større enn 1, blir svaret større.

..1, blir svaret det samme.

..et tall som er mindre enn1 (en brøk), blir svaret mindre.

Hvis vi ganger med:


B - 42



5.2 Gange en brøk med en brøk Men ikke før har vi lært en ny regel, så dukker det opp noe som skaper

problemer. La oss først se på et eksempel der vi ganger en brøk med en brøk:

Og vi kan godt holde oss til hele og halve epler:

Hva skjer hvis du ganger et helt eple med en halv?

1 2

1 =

2

1

Nettopp! Svaret blir en halv. I vanlig norsk er dette greit å forstå. Hvis du

spiser et eple i to omganger – først et halvt og så senere et halvt, så har du i

første omgang spist et helt eple en halv gang. Altså har du spist et halvt eple.

Men hva skjer hvis du også spiser det halve eplet i to omganger – først

halvparten, og senere den andre halvparten?

Da har du faktisk spist det første halve eplet i to omganger, ikke sant?

Når du da har spist den halvparten av det første halve eplet, så har du spist:

2

1

2

1 =

La oss tegne det før vi går videre:

Her er eplet som vi først har delt i to halve.

Gange

en brøk

med

brøk

2

1

2

1


B - 43



Men så skal vi altså dele den første halvparten i to halve:

Da er det gjort. Og så spiser vi halvparten av det første halve eplet:

Sånn! Der er det spist.

Nå er altså spørsmålet: Hvor mye av eplet har vi nå spist. Vi har delt eplet i to

deler, og spist halvparten av den første delen.

Regnestykket vårt var:

2

1

2

1 =

Og på tegningen kan vi se svaret, nemlig at vi har spist en firedel av eplet.

Så hvordan kommer vi matematisk frem til at svaret skal bli en firedel, altså

2

1

2

1 =

4

1

Vel, svaret på det spørsmålet blir at vi ganger telleren i den første brøken med

telleren i den andre brøken. Og vi ganger nevnerne med hverandre.

2

1

2

1


B - 44



Av dette kan vi lage en regel for hvordan vi ganger en brøk med en brøk:

5.3 Gange en brøk med et blandet tall Vi vet fra før at et blandet tall består av et heltall og en ekte brøk. Vi vet også

at et heltall kan skrives som en uekte brøk, nemlig slik at telleren er større enn

nevneren.

Det er denne kunnskapen vi benytter oss av når vi skal gange en brøk med et

blandet tall. Se på dette eksemplet:

25

3

6

2 =

Tar vi i bruk det vi vet, forstår vi at 2 hele er det samme som ti femdeler:

Vi gjør altså de hele om til uekte brøk:

25

3

6

2 =

5

10 +

5

3

6

2 =

Og så kan vi legge sammen den ekte og den uekte brøken i det første tallet:

25

3

6

2 =

5

13

6

2 =

Gange

en brøk

med et

blandet

tall

REGEL

Når vi ganger en brøk med en brøk, ganger vi

tellerne med teller, og nevnerne med nevner.

Eksempel 15 trinn a

Eksempel 15 trinn b

Eksempel 15 trinn c


B - 45



Og nå har vi jo to brøker som skal ganges med hverandre. Da bruker vi regelen

vi har lært, nemlig å gange tellerne med hverandre og nevnerne med hverandre:

25

3

6

2 =

5

13

6

2 =

65

213

=

Og så kan vi regne ut svaret:

25

3

6

2 =

5

13

6

2 =

65

213

=

30

26

Vi ser at både teller og nevner i svaret kan deles på 2. Altså forkorter vi:

25

3

6

2 =

5

13

6

2 =

65

213

=

30

26 =

2:30

2:26 =

15

13

Nå er nok dette en litt unødvendig tungvint fremgangsmåte. Jeg har vist den for

å vise frem tenkingen fra trinn til trinn. Men det går altså an å gjøre dette litt

enklere.

Men før jeg viser det, skal vi se litt på hvordan vi gjør om et blandet tall til en

uekte brøk. Det er nemlig her hemmeligheten bak forenklingen ligger!

Et blandet tall består av et heltall og en ekte brøk. Når vi gjør heltallet om til

brøk, ser vi først på nevneren i den ekte brøken. I eksempel 15 er nevneren 5.

Da vet vi at en hel består av 5 femdeler. Dermed vet vi også at 2 hele = 10

femdeler. Og 3 hele = 15 femdeler.

Ser du hva som skjer? Vi ganger rett og slett heltallet med nevneren!!

Når vi gjør heltallet om til en uekte brøk er det altså den ekte brøken som

bestemmer nevneren. Og for å finne telleren, ganger vi nevneren med heltallet!

Eksempel 15 trinn d

Eksempel 15 trinn e

Eksempel 15 trinn f


B - 46



Men så var det den ekte brøken, da. Den må vi også få med.

Hvis du studerer trinn b i eksempel 15, vil du se at vi legger den til den uekte

brøken. Altså får vi et plusstykke av den uekte og den ekte brøken.

Når vi legger sammen to brøker med samme nevner, legger vi sammen tellerne

og beholder nevneren. I eksempel 15 blir tellerne 10 + 3 = 13, og nevneren blir

5.

Alt dette kan vi gjøre i én operasjon:

Gange nevneren med heltallet og legge til telleren.

5.4 Gange et blandet tall med et blandet tall Nå skal jeg vise dette i et eksempel, men jeg har lyst til å utvide utfordringen

litt. Jeg vil nemlig vise hvordan man ganger to blandede tall med hverandre!

Det blir nøyaktig den samme fremgangsmåten. Den eneste forskjellen er at vi

må tenke på begge tallene samtidig. Så pass på!

Her er eksemplet: 43

2 3

5

3 =

Det første vi gjør er altså å gjøre blandede tall om til uekte brøker:

For den første brøken tenker vi altså: 3 4 = 12, og så legger vi til 2, og for den

andre brøken tenker vi 5 3 = 15, og så legger vi til 3. Slik:

43

2 3

5

3 =

3

14

5

18 =

Og så ganger vi teller med teller og nevner med nevner:

43

2 3

5

3 =

3

14

5

18 =

15

252 =

Eksempel 16 trinn a

Eksempel 16 trinn b

Gange et

blandet

tall med

et

blandet

tall


B - 47



Vi ser at dette er en uekte brøk. Vi må finne ut hvor mange hele dette er. Siden

brøkstreken er et deletegn så regner vi ut brøken:

Men før vi regner ut, er det klokt å se om brøken kan gjøres litt enklere, om

den kan forkortes. Det er flere måter å betrakte tallene på. En måte er å

faktorisere dem. En annen måte er å se om de to tallene kan deles på det

samme primtallet. Akkurat her kan begge tallene deles på 3

Hvordan man kan se det er beskrevet i kapitlet om Hoderegning.

Så vi deler teller og nevner på 3:

43

2 3

5

3 =

3

14

5

18 =

15

252 =

5

84 =

Dermed har vi fått tall som er mye enklere å finne ut av:

43

2 3

5

3 =

3

14

5

18 =

15

252 =

5

84 = 16

5

4

Og der er vi i mål!

6 DELING MED BRØK

På samme måte som når det gjelder å gange med brøk, utfordres vi i forhold til

vante forestillinger når det gjelder deling med brøk. Vi er vant til at et tall blir

mindre når vi deler. Akkurat på samme måte som for ganging vil det handle

om at vi deler på tall som er større enn, er lik eller er mindre enn 1. Husker du

regelen nederst på side 41? Siden ganging og deling er motsatte

regneoperasjoner, vil regelen bli nøyaktig motsatt av den vi hadde for ganging:

Deling

med

brøk

Eksempel 16 trinn c

Eksempel 16 trinn d


B - 48



La oss se på dette ved hjelp av et eksempel:

La os si at du har 3 liter saft. De skal helles over på flasker. Vi har ulike

størrelser av flasker. En flaskestørrelse tar 1 liter, en annen tar 3 liter og en

tredje tar en halv liter. Spørsmålet er hvor mange flasker vi får når vi deler 3

liter saft på de ulike flaskestørrelsene.

…skal deles på flasker som rommer

Da får vi tre ulike delestykker:

REGEL

..et tall som er større enn 1, blir svaret mindre.

..1, blir svaret det samme.

..et tall som er mindre enn1 (en brøk), blir svaret større.

Hvis vi deler med:

3 L

2

1

3 L 1 L


B - 49



Når vi skal helle saften over på den store 3-liters flasken får vi:

3 : 3 = 1 Svar: Vi trenger 1 flaske for å helle 3 liter saft over på en 3-

liters flaske

Når vi skal helle saften over på litersflasker, blir regnestykket:

3 : 3 = 3 Svar: Vi trenger 3 flasker for å helle 3 liter saft over på liters

flasker

Når vi skal helle saften over på halvlitersflasken, blir regnestykket:

3 : 2

1 = 6 Svar: Vi trenger 6 flasker for å helle 3 liter saft over på

halvliters flasker.

Eksemplet med de tre flaskestørrelsene bekrefter med andre ord regelen.

Også når det gjelder deling med brøk må vi se på tre ulike forhold:

1. Når vi skal dele et helt tall på en brøk

2. Når vi skal dele en brøk på en brøk

3. Når vi skal dele et blandet tall på en brøk.

Vi skal se om det går an å lage regler for alle disse tre forholdene.

6.1 Dele et helt tall på en brøk Vi har jo gjennom eksempel sett at svaret blir større enn tallet, dersom vi deler

et heltall på en brøk. La oss se litt nærmere på eksemplet vi brukte

3 : 2

1 = 6

Se på de ulike sifrene som er med i dette delestykket. Du finner et 3-tall, et 1-

tall (telleren), et 2-tall (nevneren) og et 6-tall.

Dele et

helt tall

på en

brøk

Eksempel 17 trinn a


B - 50



Det er en lang og vanskelig vei å gå for å bevise fremgangsmåte matematisk.

Det ligger langt utenfor barneskolens pensum å forstå dette. Jeg nøyer meg

med å fortelle hva resultatet av beviset er:

3 : 2

1 = 3

1

2 =

Her er deletegnet byttet ut med gangetegn. Samtidig har telleren og nevneren

byttet plass. Vi kaller det ”å gange med den omvendte brøken”. Så bruker vi

regelen midt på side 41: Når vi ganger et helt tall med en brøk, ganger vi tallet

med telleren og beholder nevneren:

3 : 2

1 = 3

1

2 =

1

6 =

1

6 er en uekte brøk, så vi gjør dette svaret om til et helt tall:

3 : 2

1 = 3

1

2 =

1

6 = 6

Av dette eksemplet forstår vi at vi kan lage en regel:

Eksempel 17 trinn b

Eksempel 17 trinn c

Eksempel 17 trinn d

REGEL

Når vi deler et heltall med en brøk, ganger vi tallet

med den omvendte brøken.


B - 51



La oss prøve dette med en brøk der telleren ikke er 1:

5 : 7

4 =

Vi ganger med den omvendte brøken:

5 : 7

4 = 5

4

7 =

Og så kan vi regne ut:

5 : 7

4 = 5

4

7 =

4

35

Dette svaret er en uekte brøk, så vi gjør det om til blandet tall:

5 : 7

4 = 5

4

7 =

4

35 = 8

4

3

Når vi skal dele på en brøk, er altså hovedregelen at vi ganger med den

omvendte regelen. Men så må vi se på fremgangsmåten når vi bytter ut heltallet

med en brøk, og når en eller begge tallene er blandet tall:

Men før vi gjør det, vil jeg gjøre det litt enklere å følge med i forklaringene ved

å innføre noen nye ord:

Eksempel 18 trinn a

Eksempel 18 trinn b

Eksempel 18 trinn c

Eksempel 18 trinn d


B - 52



Det er nemlig slik at de ulike leddene i et delestykke har ulike navn (i

matematikken er det ofte slik).

Det tallet som skal deles, kalles dividend, mens det tallet vi skal dele på kalles

divisor. Svaret i et delestykke kalles kvotient (uttales: kvosient). Dette kan vi

sette opp slik:

Dividend : divisor = kvotient

Smak på denne setningen: Du tar altså telleren i den første brøken og ganger

med telleren i den andre brøken.

Og så smaker du på denne setningen: Du ganger telleren i dividenden med

telleren i divisoren.

Jeg håper at du synes den siste setningen smakte best. Det er nemlig fort gjort å

gå litt i surr når det blir ”den første brøken” og ”den siste brøken” for mange

ganger.

Så jeg vil bruke ordene dividend og divisor heretter.

6.2 Dele en brøk på en brøk Nå skal vi bruke divisjonsregelen i en oppgave der heltallet er byttet ut med en

brøk. La oss se gå rett på et eksempel:

4

3 :

3

2 =

Vi skal altså gange med den omvendte brøken:

4

3 :

3

2 =

4

3

2

3 =

Dele en

brøk på

en brøk

Eksempel 19 trinn a

Eksempel 19 trinn b


B - 53



Legg merke til at det er divisoren vi skal snu på. Dividenden gjør vi ingenting

med.

Vi har lært fra regelen øverst på side 44 at vi skal gange tellerne med hverandre

og nevnerne med hverandre. Da får vi

4

3 :

3

2 =

4

3

2

3 =

24

33

=

Og dette kan vi regne ut:

4

3 :

3

2 =

4

3

2

3 =

24

33

=

8

9

Vi ser at svaret blir en uekte brøk. Den gjør vi om til blandet tall:

4

3 :

3

2 =

4

3

2

3 =

24

33

=

8

9 = 1

8

1

6.3 Dele et blandet tall på en brøk Vi bruker den samme regelen, men her må vi først gjøre om dividenden til en

uekte brøk. Her går vi også rett løs på eksemplet:

46

2 :

5

2 =

Dele et

blandet

tall på

en brøk

Eksempel 19 trinn c

Eksempel 19 trinn d

Eksempel 19 trinn e

Eksempel 20 trinn a


B - 54



Vi gjør om dividenden til uekte brøk. Fremgangsmåten er beskrevet i eksempel

15 og forklart på side B - 45:

46

2 :

5

2 =

6

26 :

5

2 =

Nå kan vi gange med den omvendte brøken (divisoren):

46

2 :

5

2 =

6

26 :

5

2 =

6

26

2

5 =

…og så regner vi ut:

46

2 :

5

2 =

6

26 :

5

2 =

6

26

2

5 =

26

526

46

2 :

5

2 =

6

26 :

5

2 =

6

26

2

5 =

12

130

Svaret er en uekte brøk, så den gjør vi om til blandet tall:

46

2 :

5

2 =

6

26 :

5

2 =

6

26

2

5 =

12

130 = 10

12

10

Eksempel 20 trinn b

Eksempel 20 trinn c

Eksempel 20 trinn d

Eksempel 20 trinn f

Eksempel 20 trinn e


B - 55



Til slutt forkorter vi svaret, siden både teller og nevner kan deles på 2:

46

2 :

5

2 =

6

26 :

5

2 =

6

26

2

5 =

12

130 = 10

12

10 = 10

6

5

6.4 Dele et blandet tall på et blandet tall Det er fortsatt den samme regelen som gjelder. Forskjellen er bare at nå må

både dividend og divisor gjøres om til uekte brøker.

57

2 : 3

6

4 =

Vi gjør først tallene om til uekte brøker:

57

2 : 3

6

4 =

7

37 :

6

22 =

Og så bytter vi til gangetegn og snur på divisor:

57

2 : 3

6

4 =

7

37 :

6

22 =

7

37

22

6 =

Nå er vi klar til å regne ut:

57

2 : 3

6

4 =

7

37 :

6

22 =

7

37

22

6 =

227

637

=

Dele et

blandet

tall på

en brøk

Eksempel 20 trinn g

Eksempel 21 trinn a

Eksempel 21 trinn b

Eksempel 21 trinn c

Eksempel 21 trinn d


B - 56



57

2 : 3

6

4 =

7

37 :

6

22 =

7

37

22

6 =

227

637

=

154

222

Vi gjør den uekte brøken om til blandet tall:

57

2 : 3

6

4 =

7

37 :

6

22 =

7

37

22

6 =

227

637

=

154

222 = 1

154

68

…og til slutt forkorter vi brøken i svaret.

57

2 : 3

6

4 =

7

37 :

6

22 =

7

37

22

6 =

227

637

=

154

222 = 1

154

68 = 1

77

34

7 SAMMENSATTE OPERASJONER

Dersom man skal løse oppgaver som krever flere regneoperasjoner, vil der

svært ofte være hensiktsmessig å sette alt opp på en brøkstrek. Det vil si at at

man kan gjøre flere arbeidsoppgaver samtidig. Ofte kan man også forenkle

arbeidet ved hjelp av forkortinger eller forenklinger av et matematisk uttrykk,

og slik gjøre selve utregningen både enklere og raskere.

Dette er hensiktsmessig for eksempel når man kommer til prosentregning,

renteberegninger, funksjoner og formler.

Funksjoner vil falle utenfor rammen av barneskolens matematikkpensum, og

behandles ikke videre i denne boken.

Sammen-

satte

opera-

sjoner

Eksempel 21 trinn e

Eksempel 21 trinn f

Eksempel 21 trinn g


B - 57



Når det gjelder prosentregning og formler, er disse behandlet i særskilte

kapitler.

Formler har også fått en omtale i kapittel 7.1.

Jeg vil derfor vise noe av hensiktsmessigheten ved å regne ut sammensatte

operasjoner, ved å vise to eksempler på hvordan man kan beregne renter ved

hjelp av brøkstrek.

Eksempeloppgavene kan være disse:

1. Hvis du setter inn 4000 kroner i banken og ved starten av året, og banken

gir deg 4% rente. Hvor mye penger vil du da ha i banken ved utgangen av

året?

2. Hva hvis du setter inn de 4000 kronene 1. april? Hvor mye vil du da ha ved

utgangen av året med den samme renten?

Oppgave 1: Først må man regne ut renten (Se kapitlet om prosent for en

grundig innføring i prosentregning). Den er på 4%. Da må man altså først finne

ut hvor mye 1% av 4000 kroner er ved å dele på 100:

1% = 4000 : 100 = 40

Så må man finne ut hvor mye 4% er:

4% = 40 4 = 160

Og til slutt må man legge rentene til innskuddet:

Ny kapital = 4000 + 160 = 4160


B - 58



Vi finner altså ut ved hjelp av 3 regneoperasjoner at du vil ha 4140 kroner i

banken ved utgangen av året.

Vi kan regne ut renten ved hjelp av en brøkstrek. Det gir oss 2 regnestykker i

stedet for 3:

Renteinntekt i løpet av et år med 4% rente: 100

44000 =

Hvis du kikker litt nærmere på tallene i dette regnestykket, vil du se at her er

store muligheter for å forkorte. Vi kan dele både 4000 og 100 på 100. Ofte sier

vi at vi kan stryke like mange nuller over og under brøkstreken:


44000 =

1

440 =

Dermed står vi igjen med 40 4 som skal deles på 1. Det blir 160


44000 =

1

440 = 160

Dette er altså renteinntektene, som skal legges sammen med kapitalen på 4000

kroner.

Kapital ved årets utgang: 4000 kroner + 160 kroner = 4160 kroner

Eksempel 22 trinn a

Eksempel 22 trinn b

Eksempel 22 trinn c

Eksempel 22 trinn d


B - 59



Nå har vi altså redusert antall regnestykker fra 3 til 2. Det er mulig å gjøre det

enda enklere, ved å sette opp hele regnestykket i én operasjon. Det kan man

gjøre slik:

Kaptial + renter = ny kapital

Kapitalen er jo på 4000 kroner. Rentene beregner vi ved hjelp av en brøkstrek

som tidligere. Da blir utregningen slik:

Ny kapital: 4000 + 100

44000 =

Og så regner vi ut:


44000 = 4000 +

1

440 =

Og finner svaret med det samme:


44000 = 4000 +

1

440 = 4000 + 160 = 4160

Denne teknikken skal vi benytte oss av når det gjelder oppgave 2.

Utgangspunktet er det samme, men her står ikke pengene i banken gjennom

hele året. 4% rente gjelder jo hvis pengene står et helt år. Vi må altså ta hensyn

til hvor lenge pengene står i banken.

Eksempel 23 trinn a

Eksempel 23 trinn b

Eksempel 23 trinn c


B - 60



Siden pengene settes inn 1 april får vi bare renter fra april til desember. Det

betyr at pengene står i banken i 9 måneder. Slik vi regnet ut rentene i eksempel

23, fant vi ut hvor mye 4% blir gjennom et helt år, altså 12 måneder. Dersom vi

deler disse rentene på 12, vil vi med andre ord finne ut hvor mye renter man får

i løpet av 1 måned. Ganger vi så med 9 finner vi hvor mye renter man får i 9

måneder.

Vi setter alt dette opp på rentebrøkstreken:

Ny kapital: 4000 + 12100

944000

=

Her ser vi at det er flere tall vi kan forkorte. Vi kan først og fremst stryke 2

nuller. Men vi ser også at både 9 og 12 kan deles på 3. Da blir det slik:

4000 + 12100

944000

= 4000 +

41

3440

=

Ved hjelp av denne forkortingen, ser vi at vi kan forkorte enda mer. Det står 4

både over og under brøkstreken. La oss dele begge 4-tallene på 4:

4000 + 12100

944000

= 4000 +

41

3440

= 4000 +

11

3140

=

Altså får vi til slutt:

4000 + 12100

944000

= 4000 +

41

3440

= 4000 +

11

3140

= 4000 + 120 = 4120

Eksempel 24 trinn a

Eksempel 24 trinn b

Eksempel 24 trinn c

Eksempel 24 trinn d


B - 61



Som du ser er det mye arbeid å spare på å bruke brøkstreken ved slike

anledninger. Ikke minst fordi muligheten for å forkorte sparer oss for mange og

ofte vanskelige utregninger.

7.1 Formler Ved eksempel 23 og 24 brukte vi egentlig formler. En formel er en modell for

ulike typer regneoppgaver.

Formler er nærmere forklart i eget kapittel.

Svært ofte vil formler ha brøkstrek som viktig element. Det vil derfor være

klokt å sette seg inn i hvordan vi går frem når vi skal lage en egen formel. Det

er også klokt å lære seg de mest vanlige formlene, og reglene som gjelder for å

bruke en formel.

8 SAMMENHENGEN MELLOM BRØK OG

DESIMALTALL

Både brøk og desimaler er tallsymboler som uttrykker mengder som er mindre

enn 1. Det er den store likheten mellom de to uttrykkene.

Den store forskjellen er at desimaler følger posisjonsystemet, mens brøk gjør

det ikke. Derfor skrives brøk på en helt annen måte enn heltallene, mens

desimaler skrives som en forlengelse av heltallet men adskilt fra dette med et

komma.

Jeg skal vise denne forskjellen litt tydeligere.

I systemet med desimaltall er en hel delt i 10 deler, og desimalen uttrykkes som

et antall 10-deler av en hel. Derfor heter den første desimalposisjonen tideler.

Sammen-

hengen

mellom

brøk og

desimal-

tall

Formler


B - 62



Dette kan vises ved hjelp av tallinjen:

Den videre oppbygningen av desimaltall er nærmere forklart i eget kapittel

Når det gjelder brøk blir heltallene delt inn i så mange deler som vi for

anledningen har bruk for. Det er ikke alltid at det er hensiktsmessig å dele en

hel i 10 deler.

Den samme tallinjen vil se slik ut, dersom vi bruker brøk:

Det som er verdt å merke seg er at mange brøkstørrelser har sitt motsvar i et

desimaltall. Sammenligner man brøker og desimaltall vil man kunne se dette.

Et tydelig eksempel er desimaltallet 0,5 og brøken 2

1, som begge er uttrykk for

mengden en halv.

Sammenhengen kommer enda tydeligere frem dersom man bruker brøkstreken

som et deletegn, og regner ut delestykket som brøken uttrykker.

Hvis man for eksempel regner ut 2

1, vil delestykket bli: 1 : 2 =

0,0 1,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

0 1 10

1

10

2

10

3

10

4

10

5

10

6

10

7

10

8

10

9


B - 63



La oss regne det ut:

1 : 2 = 0,5

0

10

10

0

Hvis man på samme måte regner ut 4

3, vil regnestykket bli:

3 : 4 = 0,75

0

30

28

20

20

0

Det finnes en lang rekke brøker som har sitt tallpar i et desimaltall. Her er en

oversikt over noen av de mest vanlige:

brøk Des.tall brøk Des.tall brøk Des.tall

2

1 = 0,5

5

1 = 0,2

8

1 = 0,125

4

1 = 0,25

5

2 = 0,4

8

2 = 0,25

4

2 = 0,5

5

3 = 0,6

8

3 = 0,375

4

3 = 0,75

5

4 = 0,8

8

4 = 0,5

10

1 = 0,1

10

2 = 0,2

10

3 = 0,3

Du ser at det er enkelte brøker som ikke er med i denne tabellen. De gjelder

brøker med nevnere som 3, 6 og 7. Det kommer av at divisjonen aldri vil gå

opp. Svaret blir en uendelig rekke med desimaler, eller det vil bli en rest.


B - 64



Ta for eksempel 6

2. Der vil delestykket bli 2 : 6 =

Vi kan prøve å regne det ut:

2 : 6 = 0,333

0

20

18

20

18

20

18

o.s.v.

Dette er en divisjon som aldri går opp. Selv om svaret blir mer og mer nøyaktig

jo flere desimaler vi regner med, blir det aldri helt presist. Av dette kan vi lære

at mens en brøk alltid er nøyaktig og presis, vil et desimaltall ofte kunne være

tilnærmet og upresist.

8.1 Sammenhengen mellom brøk, desimaltall og

prosent Prosent er på mange måter det samme som brøk og desimaler. Det som i brøk

og desimaltall kaller en hel, blir kalt 100% når det kommer til prosent.

Prosent betyr ”av 100” eller ”pr 100”. Mens desimalene i et desimaltall står på

tidels- eller hundredelsplassen, blir altså 1% det samme som en hundredel.

Som desimaltall: 0,01 og som brøk 100

1.

Prosent er nærmere omtalt i eget kapittel

Dermed blir 2

1 eller 0,5 beskrevet som 50% i prosentregning.

Sammen-

hengen

mellom

brøk,

desimal-

tall og

prosent


B - 65



Noen flere sammenligninger vil få frem sammenhengen:

Brøk D.mal % Brøk D.mal %

2

1 = 0,5 = 50%

5

1 = 0,2 = 20%

4

1 = 0,25 = 25%

10

1 = 0,1 = 10%

4

2 = 0,5 = 50%

20

1 = 0,05 = 5%

Det kan være lurt å lære seg slike sammenhenger mellom brøk, desimaltall og

prosent. For det første kan det være nyttig i det daglige. For det andre bidrar

det til å øke og forbedre forståelsen av tall. Dermed blir man også dyktigere til

å handtere tall.

Documents

Brøk FRA A TIL Å2.4 Utvide brøker B – 11 2.5 Forkorte brøker B - 11 2.6 Ekte og uekte brøker B – 12 3 Å legge sammen brøker B – 16 3.1 Brøker med samme nevner B – 17