Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Side 1 af 42

Matematisk hjaeliglp 50 oslashre

Professoren er fortsat ledig

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

INDHOLDSFORTEGNELSE

EMNE SIDE

Forord til Sidstehjaeliglp4Forord til Allersidstehjaeliglp5Addition ndash at laeliggge sammen6Subtraktion ndash at traeligkke fra7Multiplikation ndash at gange8Division ndash at dele10Broslashker11Decimaltal12Procentregning13

Side 2 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Omregning mellem broslashk ndash decimaltal ndash procent14Koordinatsystemet16Geometri17Flytningsgeometri Spejling19Flytningsgeometri Drejning20Flytningsgeometri Parallelforskydning21Areal og arealberegning22(Omsaeligtning i) metersystemet23Masse rumfang og massefylde24Algebra25Formler27Loslashsning af ligninger28Loslashsning af uligheder29Potens30Kvadratrod32Perspektivtegning33Statistik36Kombinatorik38Sandsynlighedsregning40Regneark42

FORORD TIL SIDSTEHJAEligLPDe fleste er klar over at det med tiden bliver svaeligrere at foslashlge med i et fag som matematik hvis de forudgaringende emner eller rdquodisciplinerrdquo ikke er forstaringet eller laeligrt Her opstaringr saring problemet hvis man som foraeligldre ikke ved hvor hvornaringr eller hvordan eleverne har laeligrt det der nu maringtte traelignge til at blive samlet opUndervisningen i matematik er spiralt organiseret De enkelte emner rdquovender tilbagerdquo en del gange i skoleforloslashbet ndash hver gang paring et lidt hoslashjere niveau Dette er en svaghed og en styrke Af den grund er det nemlig ikke saring let at gennemskue (heller ikke altid for laeligreren) hvornaringr praeligcist er garinget galt med indlaeligringen af et eller andet elementaeligrt Omvendt er det aldrig helt for sent at hoppe paring vognen fordi det paringgaeligldende emne som konsekvens af rdquospiralenrdquo altid vender tilbage senest faktisk paring 8-9 klassetrinMen hvad goslashr man saring hvis man eksempelvis har brug for akut hjaeliglp til barnets besvaeligr med broslashker procenter geometrihellip Efter flere foraeligldrehenvendelser har jeg besluttet mig til selv at goslashre noget for at imoslashdekomme et saringdant behov Saring vidt som jeg kan skoslashnne er det nemlig ikke muligt her paring 6-7 klassetrin at finde det faeligrdige materiale der rammer elever (og foraeligldre) hvor de staringr lige nu Den

Side 3 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

autoriserede formelsamling som elever har med til folkeskolens afgangsproslashve er eksempelvis ikke dybtgaringende nok i sine forklaringer og instruktioner rdquoMatematisk Opslagsbog 7-10 klasserdquo af Susanne Damm (forlaget alinea) er derimod en fremragende bog til gengaeligld er den alt for omfattende og svaeligr for langt hovedparten af eleverne lige nu () En klar fordel ved selv at garing i gang er saring ogsaring at man som de paringgaeligldende klassers matematiklaeligrer alligevel maring have den bedste mulighed for at vide hvor skoen trykker Yderligere ville det vaeligre rart hvis et saringdant maringlrettet materiale kunne tilvejebringe en vis konsensus (i forklaringer i metoder i opstilling) mellem skole og hjem Jeg foslashler mig herunder overbevist om at eleverne vil kunne genkende mange af undertegnedes (ordrige) forklaringer i det nu foreliggende kompendiumOg hvilke emner behandles saring Helt elementaeligrt de fire regningsarter som elever (og ind imellem foraeligldre) saringmaelignd stadig kan have deres problemer med Herudover en raeligkke emner som jeg ved de senest afviklede tests har kunnet konstatere alvorlige rdquohullerrdquo i for de fleste (arealberegning ligninger omsaeligtning af maringleenheder geometri) Endelig har jeg medtaget et par emner som ikke var med i pensum dengang foraeligldrene selv sad paring skolebaelignken Perspektivtegning og sandsynlighedsregningMan vil undervejs bemaeligrke at det ikke er stribevis af opgaver som pladsen typisk er brugt paring Dette skyldes min forestilling om at kompendiet netop skal vaeligre til her-og-nu-brug ndash altsaring hvor man sidder med en opgave (fra bogen) og taelignker rdquohvordan var det nu ligehellip Hvis nogen alligevel foslashler behov for en grundig omgang traeligning af bestemte omraringder kan jeg til gengaeligld her henvise til wwwmatematikbogendk

Sankt Knuds Skole marts 2006 Steen Ehlers

FORORD TIL ALLERSIDSTEHJAEligLPDer er nu garinget to aringr siden 6yrsquos og 7xrsquos saringkaldte sidstehjaeliglpskompendium saring dagens lys for foslashrste gang I den forloslashbne tid har jeg haft den glaeligde at faring mange positive tilbagemeldinger paring materialet ndash fra foraeligldre elever og kolleger

Det er med et saringdant rygstoslashd jeg nu har besluttet at udarbejde efterfoslashlgeren der med fare for inflation i begreberne alligevel maring hedde Allersidstehjaeliglp 6y er blevet til 8y 7x er blevet til 9x ndash og i hvert fald for sidstnaeligvnte klasses vedkommende er der virkelig snart tale om rdquosidste udkaldrdquo hvis eleverne skal have mere matematik med fra Sankt Knuds Skole

Nye stofomraringder eller rdquodisciplinerrdquo er siden sidst blevet introduceretrepeteret ndash og har deacutet ikke ligefrem skabt nye huller i den elementaeligre viden er behovet for en mere samlet gengivelse af rdquohelerdquo pensum i hvert fald opstaringet hos mange Al respekt for FAKTORs begrebsbog for den officielle formelsamling og for Susanne Damms grundige fremstilling (se forrige side) ndash disse kan nok ikke helt erstatte et materiale som naeligrvaeligrende der i prioriteringen af stoffet i tilgangen til begreberne samt i ordvalg og forklaringer soslashger at laeliggge sig op ad den daglige rdquoklassepraksisrdquo Det betyder saring igen at graden af genkendelighed og dermed anvendelighed nok vil vaeligre stoslashrst for netop 8y og 9x idet ikke to laeligrere eller klasser formentlig forholder sig fuldstaeligndig ens til stoffet Det er dog mit haringb at

Side 4 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

INDHOLDSFORTEGNELSE

EMNE SIDE

Forord til Sidstehjaeliglp4Forord til Allersidstehjaeliglp5Addition ndash at laeliggge sammen6Subtraktion ndash at traeligkke fra7Multiplikation ndash at gange8Division ndash at dele10Broslashker11Decimaltal12Procentregning13

Side 2 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Omregning mellem broslashk ndash decimaltal ndash procent14Koordinatsystemet16Geometri17Flytningsgeometri Spejling19Flytningsgeometri Drejning20Flytningsgeometri Parallelforskydning21Areal og arealberegning22(Omsaeligtning i) metersystemet23Masse rumfang og massefylde24Algebra25Formler27Loslashsning af ligninger28Loslashsning af uligheder29Potens30Kvadratrod32Perspektivtegning33Statistik36Kombinatorik38Sandsynlighedsregning40Regneark42

FORORD TIL SIDSTEHJAEligLPDe fleste er klar over at det med tiden bliver svaeligrere at foslashlge med i et fag som matematik hvis de forudgaringende emner eller rdquodisciplinerrdquo ikke er forstaringet eller laeligrt Her opstaringr saring problemet hvis man som foraeligldre ikke ved hvor hvornaringr eller hvordan eleverne har laeligrt det der nu maringtte traelignge til at blive samlet opUndervisningen i matematik er spiralt organiseret De enkelte emner rdquovender tilbagerdquo en del gange i skoleforloslashbet ndash hver gang paring et lidt hoslashjere niveau Dette er en svaghed og en styrke Af den grund er det nemlig ikke saring let at gennemskue (heller ikke altid for laeligreren) hvornaringr praeligcist er garinget galt med indlaeligringen af et eller andet elementaeligrt Omvendt er det aldrig helt for sent at hoppe paring vognen fordi det paringgaeligldende emne som konsekvens af rdquospiralenrdquo altid vender tilbage senest faktisk paring 8-9 klassetrinMen hvad goslashr man saring hvis man eksempelvis har brug for akut hjaeliglp til barnets besvaeligr med broslashker procenter geometrihellip Efter flere foraeligldrehenvendelser har jeg besluttet mig til selv at goslashre noget for at imoslashdekomme et saringdant behov Saring vidt som jeg kan skoslashnne er det nemlig ikke muligt her paring 6-7 klassetrin at finde det faeligrdige materiale der rammer elever (og foraeligldre) hvor de staringr lige nu Den

Side 3 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

autoriserede formelsamling som elever har med til folkeskolens afgangsproslashve er eksempelvis ikke dybtgaringende nok i sine forklaringer og instruktioner rdquoMatematisk Opslagsbog 7-10 klasserdquo af Susanne Damm (forlaget alinea) er derimod en fremragende bog til gengaeligld er den alt for omfattende og svaeligr for langt hovedparten af eleverne lige nu () En klar fordel ved selv at garing i gang er saring ogsaring at man som de paringgaeligldende klassers matematiklaeligrer alligevel maring have den bedste mulighed for at vide hvor skoen trykker Yderligere ville det vaeligre rart hvis et saringdant maringlrettet materiale kunne tilvejebringe en vis konsensus (i forklaringer i metoder i opstilling) mellem skole og hjem Jeg foslashler mig herunder overbevist om at eleverne vil kunne genkende mange af undertegnedes (ordrige) forklaringer i det nu foreliggende kompendiumOg hvilke emner behandles saring Helt elementaeligrt de fire regningsarter som elever (og ind imellem foraeligldre) saringmaelignd stadig kan have deres problemer med Herudover en raeligkke emner som jeg ved de senest afviklede tests har kunnet konstatere alvorlige rdquohullerrdquo i for de fleste (arealberegning ligninger omsaeligtning af maringleenheder geometri) Endelig har jeg medtaget et par emner som ikke var med i pensum dengang foraeligldrene selv sad paring skolebaelignken Perspektivtegning og sandsynlighedsregningMan vil undervejs bemaeligrke at det ikke er stribevis af opgaver som pladsen typisk er brugt paring Dette skyldes min forestilling om at kompendiet netop skal vaeligre til her-og-nu-brug ndash altsaring hvor man sidder med en opgave (fra bogen) og taelignker rdquohvordan var det nu ligehellip Hvis nogen alligevel foslashler behov for en grundig omgang traeligning af bestemte omraringder kan jeg til gengaeligld her henvise til wwwmatematikbogendk

Sankt Knuds Skole marts 2006 Steen Ehlers

FORORD TIL ALLERSIDSTEHJAEligLPDer er nu garinget to aringr siden 6yrsquos og 7xrsquos saringkaldte sidstehjaeliglpskompendium saring dagens lys for foslashrste gang I den forloslashbne tid har jeg haft den glaeligde at faring mange positive tilbagemeldinger paring materialet ndash fra foraeligldre elever og kolleger

Det er med et saringdant rygstoslashd jeg nu har besluttet at udarbejde efterfoslashlgeren der med fare for inflation i begreberne alligevel maring hedde Allersidstehjaeliglp 6y er blevet til 8y 7x er blevet til 9x ndash og i hvert fald for sidstnaeligvnte klasses vedkommende er der virkelig snart tale om rdquosidste udkaldrdquo hvis eleverne skal have mere matematik med fra Sankt Knuds Skole

Nye stofomraringder eller rdquodisciplinerrdquo er siden sidst blevet introduceretrepeteret ndash og har deacutet ikke ligefrem skabt nye huller i den elementaeligre viden er behovet for en mere samlet gengivelse af rdquohelerdquo pensum i hvert fald opstaringet hos mange Al respekt for FAKTORs begrebsbog for den officielle formelsamling og for Susanne Damms grundige fremstilling (se forrige side) ndash disse kan nok ikke helt erstatte et materiale som naeligrvaeligrende der i prioriteringen af stoffet i tilgangen til begreberne samt i ordvalg og forklaringer soslashger at laeliggge sig op ad den daglige rdquoklassepraksisrdquo Det betyder saring igen at graden af genkendelighed og dermed anvendelighed nok vil vaeligre stoslashrst for netop 8y og 9x idet ikke to laeligrere eller klasser formentlig forholder sig fuldstaeligndig ens til stoffet Det er dog mit haringb at

Side 4 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Omregning mellem broslashk ndash decimaltal ndash procent14Koordinatsystemet16Geometri17Flytningsgeometri Spejling19Flytningsgeometri Drejning20Flytningsgeometri Parallelforskydning21Areal og arealberegning22(Omsaeligtning i) metersystemet23Masse rumfang og massefylde24Algebra25Formler27Loslashsning af ligninger28Loslashsning af uligheder29Potens30Kvadratrod32Perspektivtegning33Statistik36Kombinatorik38Sandsynlighedsregning40Regneark42

FORORD TIL SIDSTEHJAEligLPDe fleste er klar over at det med tiden bliver svaeligrere at foslashlge med i et fag som matematik hvis de forudgaringende emner eller rdquodisciplinerrdquo ikke er forstaringet eller laeligrt Her opstaringr saring problemet hvis man som foraeligldre ikke ved hvor hvornaringr eller hvordan eleverne har laeligrt det der nu maringtte traelignge til at blive samlet opUndervisningen i matematik er spiralt organiseret De enkelte emner rdquovender tilbagerdquo en del gange i skoleforloslashbet ndash hver gang paring et lidt hoslashjere niveau Dette er en svaghed og en styrke Af den grund er det nemlig ikke saring let at gennemskue (heller ikke altid for laeligreren) hvornaringr praeligcist er garinget galt med indlaeligringen af et eller andet elementaeligrt Omvendt er det aldrig helt for sent at hoppe paring vognen fordi det paringgaeligldende emne som konsekvens af rdquospiralenrdquo altid vender tilbage senest faktisk paring 8-9 klassetrinMen hvad goslashr man saring hvis man eksempelvis har brug for akut hjaeliglp til barnets besvaeligr med broslashker procenter geometrihellip Efter flere foraeligldrehenvendelser har jeg besluttet mig til selv at goslashre noget for at imoslashdekomme et saringdant behov Saring vidt som jeg kan skoslashnne er det nemlig ikke muligt her paring 6-7 klassetrin at finde det faeligrdige materiale der rammer elever (og foraeligldre) hvor de staringr lige nu Den

Side 3 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

autoriserede formelsamling som elever har med til folkeskolens afgangsproslashve er eksempelvis ikke dybtgaringende nok i sine forklaringer og instruktioner rdquoMatematisk Opslagsbog 7-10 klasserdquo af Susanne Damm (forlaget alinea) er derimod en fremragende bog til gengaeligld er den alt for omfattende og svaeligr for langt hovedparten af eleverne lige nu () En klar fordel ved selv at garing i gang er saring ogsaring at man som de paringgaeligldende klassers matematiklaeligrer alligevel maring have den bedste mulighed for at vide hvor skoen trykker Yderligere ville det vaeligre rart hvis et saringdant maringlrettet materiale kunne tilvejebringe en vis konsensus (i forklaringer i metoder i opstilling) mellem skole og hjem Jeg foslashler mig herunder overbevist om at eleverne vil kunne genkende mange af undertegnedes (ordrige) forklaringer i det nu foreliggende kompendiumOg hvilke emner behandles saring Helt elementaeligrt de fire regningsarter som elever (og ind imellem foraeligldre) saringmaelignd stadig kan have deres problemer med Herudover en raeligkke emner som jeg ved de senest afviklede tests har kunnet konstatere alvorlige rdquohullerrdquo i for de fleste (arealberegning ligninger omsaeligtning af maringleenheder geometri) Endelig har jeg medtaget et par emner som ikke var med i pensum dengang foraeligldrene selv sad paring skolebaelignken Perspektivtegning og sandsynlighedsregningMan vil undervejs bemaeligrke at det ikke er stribevis af opgaver som pladsen typisk er brugt paring Dette skyldes min forestilling om at kompendiet netop skal vaeligre til her-og-nu-brug ndash altsaring hvor man sidder med en opgave (fra bogen) og taelignker rdquohvordan var det nu ligehellip Hvis nogen alligevel foslashler behov for en grundig omgang traeligning af bestemte omraringder kan jeg til gengaeligld her henvise til wwwmatematikbogendk

Sankt Knuds Skole marts 2006 Steen Ehlers

FORORD TIL ALLERSIDSTEHJAEligLPDer er nu garinget to aringr siden 6yrsquos og 7xrsquos saringkaldte sidstehjaeliglpskompendium saring dagens lys for foslashrste gang I den forloslashbne tid har jeg haft den glaeligde at faring mange positive tilbagemeldinger paring materialet ndash fra foraeligldre elever og kolleger

Det er med et saringdant rygstoslashd jeg nu har besluttet at udarbejde efterfoslashlgeren der med fare for inflation i begreberne alligevel maring hedde Allersidstehjaeliglp 6y er blevet til 8y 7x er blevet til 9x ndash og i hvert fald for sidstnaeligvnte klasses vedkommende er der virkelig snart tale om rdquosidste udkaldrdquo hvis eleverne skal have mere matematik med fra Sankt Knuds Skole

Nye stofomraringder eller rdquodisciplinerrdquo er siden sidst blevet introduceretrepeteret ndash og har deacutet ikke ligefrem skabt nye huller i den elementaeligre viden er behovet for en mere samlet gengivelse af rdquohelerdquo pensum i hvert fald opstaringet hos mange Al respekt for FAKTORs begrebsbog for den officielle formelsamling og for Susanne Damms grundige fremstilling (se forrige side) ndash disse kan nok ikke helt erstatte et materiale som naeligrvaeligrende der i prioriteringen af stoffet i tilgangen til begreberne samt i ordvalg og forklaringer soslashger at laeliggge sig op ad den daglige rdquoklassepraksisrdquo Det betyder saring igen at graden af genkendelighed og dermed anvendelighed nok vil vaeligre stoslashrst for netop 8y og 9x idet ikke to laeligrere eller klasser formentlig forholder sig fuldstaeligndig ens til stoffet Det er dog mit haringb at

Side 4 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

autoriserede formelsamling som elever har med til folkeskolens afgangsproslashve er eksempelvis ikke dybtgaringende nok i sine forklaringer og instruktioner rdquoMatematisk Opslagsbog 7-10 klasserdquo af Susanne Damm (forlaget alinea) er derimod en fremragende bog til gengaeligld er den alt for omfattende og svaeligr for langt hovedparten af eleverne lige nu () En klar fordel ved selv at garing i gang er saring ogsaring at man som de paringgaeligldende klassers matematiklaeligrer alligevel maring have den bedste mulighed for at vide hvor skoen trykker Yderligere ville det vaeligre rart hvis et saringdant maringlrettet materiale kunne tilvejebringe en vis konsensus (i forklaringer i metoder i opstilling) mellem skole og hjem Jeg foslashler mig herunder overbevist om at eleverne vil kunne genkende mange af undertegnedes (ordrige) forklaringer i det nu foreliggende kompendiumOg hvilke emner behandles saring Helt elementaeligrt de fire regningsarter som elever (og ind imellem foraeligldre) saringmaelignd stadig kan have deres problemer med Herudover en raeligkke emner som jeg ved de senest afviklede tests har kunnet konstatere alvorlige rdquohullerrdquo i for de fleste (arealberegning ligninger omsaeligtning af maringleenheder geometri) Endelig har jeg medtaget et par emner som ikke var med i pensum dengang foraeligldrene selv sad paring skolebaelignken Perspektivtegning og sandsynlighedsregningMan vil undervejs bemaeligrke at det ikke er stribevis af opgaver som pladsen typisk er brugt paring Dette skyldes min forestilling om at kompendiet netop skal vaeligre til her-og-nu-brug ndash altsaring hvor man sidder med en opgave (fra bogen) og taelignker rdquohvordan var det nu ligehellip Hvis nogen alligevel foslashler behov for en grundig omgang traeligning af bestemte omraringder kan jeg til gengaeligld her henvise til wwwmatematikbogendk

Sankt Knuds Skole marts 2006 Steen Ehlers

FORORD TIL ALLERSIDSTEHJAEligLPDer er nu garinget to aringr siden 6yrsquos og 7xrsquos saringkaldte sidstehjaeliglpskompendium saring dagens lys for foslashrste gang I den forloslashbne tid har jeg haft den glaeligde at faring mange positive tilbagemeldinger paring materialet ndash fra foraeligldre elever og kolleger

Det er med et saringdant rygstoslashd jeg nu har besluttet at udarbejde efterfoslashlgeren der med fare for inflation i begreberne alligevel maring hedde Allersidstehjaeliglp 6y er blevet til 8y 7x er blevet til 9x ndash og i hvert fald for sidstnaeligvnte klasses vedkommende er der virkelig snart tale om rdquosidste udkaldrdquo hvis eleverne skal have mere matematik med fra Sankt Knuds Skole

Nye stofomraringder eller rdquodisciplinerrdquo er siden sidst blevet introduceretrepeteret ndash og har deacutet ikke ligefrem skabt nye huller i den elementaeligre viden er behovet for en mere samlet gengivelse af rdquohelerdquo pensum i hvert fald opstaringet hos mange Al respekt for FAKTORs begrebsbog for den officielle formelsamling og for Susanne Damms grundige fremstilling (se forrige side) ndash disse kan nok ikke helt erstatte et materiale som naeligrvaeligrende der i prioriteringen af stoffet i tilgangen til begreberne samt i ordvalg og forklaringer soslashger at laeliggge sig op ad den daglige rdquoklassepraksisrdquo Det betyder saring igen at graden af genkendelighed og dermed anvendelighed nok vil vaeligre stoslashrst for netop 8y og 9x idet ikke to laeligrere eller klasser formentlig forholder sig fuldstaeligndig ens til stoffet Det er dog mit haringb at

Side 4 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

elever i andre klasser samt deres laeligrere ogsaring vil kunne faring glaeligde af rdquovores maringderdquo at arbejde med matematikken paring

I Allersidstehjaeliglp der er taelignkt som en - staeligrkt foroslashget - afloslashser til Sidstehjaeliglp er allerede eksisterende emner blevet udvidet Dette gaeliglder for eksempel geometrien hvor der nu er mere at rdquohenterdquo om liniestykker ved trekanter ndash og for perspektiv-tegningen hvor der introduceres et nyt begreb som i det mindste jeg ikke er stoslashdt paring andre steder overhovedet Herme haringber jeg at kunne imoslashdegaring kommentarer fra de unge foraeligldre der rigtignok har arbejdet med emnet i deres egen folkeskoletid Endelig kan ogsaring kompendiets tilkomne sider omhandlende statistik og kombinatorik ses som en slags udvidelse af det hermed relaterede emne sandsynlighedsregning

Afsnittene om algebra potens og kvadratrod fremstaringr ndash noslashdvendigvis ndash som nye herudover behandles for foslashrste gang (og i al beskedenhed grundigere end andetsteds) emnet massefylde rdquoFormlerrdquo er ikke blot nyt i naeligrvaeligrende sammenhaeligng ndash her systematiseres desuden opstillinger og beregninger ikke mindst i forbindelse med aktier obligationer og fremmed valuta Paring kompendiets sidste side arbejdes ligeledes med formler denne gang i regneark Om ikke foslashr skulle det her for alvor vaeligre tydeligt at indholdet af Allersidstehjaeliglp som helhed afspejler flere klassers matematik-dagligdag

Sankt Knuds Skole april 2008 Steen Ehlers

ADDITION ndash AT LAEligGGE SAMMENNaringr to eller flere tal skal laeliggges sammen (adderes) skal man foslashrst og fremmest stille tallene op saring enere staringr over enere tiere over tiere hundreder over hundreder etc Vi starter fra hoslashjre med ener-soslashjlen og tager dernaeligst tier-soslashjlen hundreder-soslashjlen etc indtil vi er faeligrdigeNedskrevet rdquomed blyant og papirrdquo kan det tage sig saringledes ud

Laeligg cifrene sammen i hoslashjre kolonneHvis summen er stoslashrre end 10 overfoslashres mententil naeligste kolonne hvor den siden hen laeliggges til

Laeligg cifrene sammen i den naeligste kolonneHusk at medregne menten ndash hvis der var en

Laeligg cifrene sammen i den sidste kolonne

Side 5 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Oslashvelse Opstil og udregn foslashlgende additionsstykkera 4968 + 380 + 76 + 61 b 55 + 832 + 563 + 196 c 10419 + 36324 + 53257d 609 + 1365 + 21 + 42 e 9998 + 7983 + 6 + 88 f 71101 + 68133 + 59758 g 39009 + 96198 + 14793 h 41666 + 37125 + 21222 i 4135 + 960 + 11433 Tip Taelignk gerne paring talhuset naringr cifrene skal anbringes paring de rigtige pladser

SUBTRAKTION ndash AT TRAEligKKE FRAI det daglige taler vi tit om at rdquotraeligkke to tal fra hinandenrdquo Dette er imidlertid ikke helt korrekt idet vi naturligvis altid traeligkker det ene tal fra det andet Det er heller ikke ligegyldigt i hvilken raeligkkefoslashlge tallene naeligvnes 100 ndash 7 er for eksempel ikke det samme som 7 ndash 100 Naringr vi benytter en opstillingalgoritme som den herunder foreslaringede er det i oslashvrigt ogsaring det tal vi traeligkker fra der skal staring nederst

Eksempel paring subtraktion uden tierovergang 3798 - 1452

Tallene stilles op under hinanden Enere staringr under enere tiere under tierehellip og ved decimaltal desuden tiendedele under tiendedele hundrededele under hundrededele etcVi arbejder rdquofra hoslashjre mod venstrerdquo og traeligkker enere fra enere tiere fra tiere etc Dette garingr helt uproblematisk saring laelignge det nederste ciffer ikke er stoslashrre end det oslashverste Her faringr vi saringledes 8 ndash 2 = 6 9 ndash 5 = 4 7 ndash 4 = 3 3 ndash 1 = 2 Resultat 2346Eksempel paring subtraktion med tierovergang 4832 ndash 2954

Side 6 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Vi arbejder igen rdquofra hoslashjre mod venstrerdquo og traeligkker enere fra enere tiere fra tiere 2 minus 4 Det kan man ikke saring maring vi ndash rdquolaringnerdquo plejede vi at sige Imidlertid indebaeligrer et laringn at man betaler tilbage derfor foretraeligkker vi nu betegnelsen rdquoat vekslerdquo 1 tier veksles til 10 enere og den nu manglende tier symboliseres ved en streg hen over cifferet (her et 3-tal) Vi faringr heraf (10 + 2) ndash 4 = 82 minus 5 Vi veksler 1 hundreder til 10 tiere idet vi husker at saeligtte en streg over 8-tallet Vi faringr hermed (10 + 2) ndash 5 = 77 minus 9 Vi veksler 1 tusinder til 10 hundreder (streg over 4-tallet) og faringr 17 ndash 9 = 83 minus 2 3 ndash 2 = 1 Vi faringr alt i alt som resultat 4832 ndash 2954 = 1878Oslashvelse Faeligrdiggoslashr nedenstaringende subtraktioner

MULTIPLIKATION - AT GANGEFor at kunne operere fornuftigt naringr man rdquomed blyant og papirrdquo skal gange to tal med hinanden skal man vaeligre helt sikkert hjemme i den lille tabel Ikke bare paring remse men saringdan at et hvilket som helst produkt af to tal - op til 10 gange 10 - sidder paring rygmarven Opstillingen af den lille tabel kender vi fra bagsiden af regnehaeligftet

OslashvelseAlle produkter i 2-tabellen oslashves i tilfaeligldig raeligkkefoslashlge for eksempel7middot2 = 4middot2 = 6middot2 = 3middot2 = 2middot2 = 5middot2 = 8middot2 = 1middot2 = 9middot2 = 6middot2 = 7middot2 = 6middot2 =

OslashvelseAlle produkter i 3-tabellen oslashves i tilfaeligldig raeligkkefoslashlge for eksempel7middot3 = 4middot3 = 6middot3 = 3middot3 = 2middot3 = 5middot3 = 8middot3 = 1middot3 = 9middot3 = 6middot3 = 7middot3 = 6middot3 =

Oslashvelse

Side 7 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Alle produkter i 4- 5- 6- 7- 8- 9- og 10-tabellerne oslashves paring samme vis ndash mere end eacuten gang

OslashvelseAlle produkter af to tal ndash op til 10 gange 10 ndash oslashves i tilfaeligldig raeligkkefoslashlge ndash mange gange3middot2 = 5middot7 = 8middot4 = 6middot8 = 5middot2 = 4middot5 = 8middot7 = 3middot5 = 9middot3 = 7middot6 = 3middot8 = 4middot9 = TIP 1 Brug (en kopi af) ovenstaringende opstilling og kryds af efterharingnden ndash saring er der lynhurtigt overblik over 100-200 multiplikationsopgaverTIP 2 Der oslashves baringde rdquoforlaelignsrdquo og rdquobaglaelignsrdquo 8middot7 = 7middot8 = 4middot9 = 9middot4 = etcTIP 3 Som udbygning kan startes man regne rdquoindefra og udrdquo saring de tilsvarende divisions-stykker fremkommer 728 = 369 = 637 = 273 486 = 497 = 568 = etc

Paring naeligste side skal saring vi have fat i blyant og papir

Mange operationer i regning og matematik udfoslashres efter en saringkaldt algoritme ndash altsaring en slags opskrift eller koslashreplan for hvordan man skridt for skridt bevaeligger sig gennem loslashsningen af en stillet opgaveEleverne kan have tilegnet sig forskellige algoritmer ogsaring naringr det drejer sig om multi-plikation Som ofte naeligvnt for eleverne maring kravet til en algoritme vaeligre at Den paringgaeligldende elev er tryg ved algoritmen og fortrolig med at bruge den Den valgte algoritme foslashrer eleven til det rigtige resultat ndash hver gang Algoritmen skal vaeligre universel ndash det vil sige den skal kunne bruges paring alle

opgaver (indeholdende alle rdquoslagsrdquo tal) af den paringgaeligldende artHvis en elev paring nuvaeligrende tidspunkt ikke har tilegnet sig en multiplikationsalgoritme der opfylder kriterierne kan nedenstaringende anbefales ndash proslashv den paring opgaverne til hoslashjre

Side 8 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

TIP 1 Regn eventuelt nogle stykker ad gangen (for eksempel en rdquososlashjlerdquo) i stedet for at se dig overvundet af alle stykker paring eacuten gangTIP 2 Hvis der er behov for flere opgaver kan man sagtens selv finde paring ndash husk blot at komme rundt om alle tallene i den lille tabel ligesom herover

DIVISION ndash AT DELEFor at kunne operere fornuftigt naringr man rdquomed blyant og papirrdquo skal udfoslashre en division skal man ogsaring vaeligre helt sikkert hjemme i den lille tabel Traeligningen af denne faeligrdighed foregaringr paring samme maringde som beskrevet i afsnittet rdquomultiplikationrdquoDivision kan med fordel foregaring efter foslashlgende algoritme1) Dele 2) Gange 3) Traeligkke fra 4) Traeligkke ned

TIP 1 Bemaeligrk den foreslaringede opstilling der rummer alle udregninger ndash og goslashr opgaven mere overskuelig ved at regne paring ternet papir

Side 9 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

TIP 2 Regn eventuelt nogle stykker ad gangen (for eksempel en rdquososlashjlerdquo) i stedet for at se dig overvundet af alle stykker paring eacuten gangTIP 3 Hvis der er behov for lidt svaeligrere opgaver kan man bare tage multiplikations-stykkerne paring foregaringende side og rdquovende dem omrdquo 21 middot 146 = 3066 bliver til 3066 21 =

BROslashKEROgsaring i forbindelse med broslashker er der brug for nogle rdquofagudtrykrdquo som ses herunder

HuskereglerTaeligller i Toppen Naeligvner er NedenunderTaeliglleren taeligller op altsaring Hvor mange er derNaeligvneren benaeligvner altsaring Hvilken rdquoslagsrdquo er detHeraf farings at broslashken til venstre skal laeligses rdquoto femtedelerdquoEndelig er en broslashkstreg det samme som et divisionstegn Det man faringr besked paring er altsaring at udfoslashre divisionen 2 5

Ved regning med broslashker foslashlger af ovenstaringende en raeligkke regler som det godt kan vaeligre en fordel ogsaring at kende den sproglige formulering afTo eller flere ensbenaeligvnte broslashker (broslashker med samme naeligvner) adderes (laeliggges sammen) ved at addere taeligllerne og beholde naeligvneren14 + 24 = 34 15 + 25 + 15 = 45 27 + 47 = 67 39 + 29 + 29 = 79 To eller flere ensbenaeligvnte broslashker (broslashker med samme naeligvner) subtraheres (traeligkkes fra) ved at subtrahere taeligllerne og beholde naeligvneren67 ndash 37 ndash 17 = 27 34 ndash 14 = 24 58 ndash 28 ndash 18 = 28 89 ndash 39 = 59Man forlaelignger en broslashk ved at gange den med samme tal i taeligller og naeligvner34 = 34 middot 22 = 68 38 = 38 middot 33 = 924 27 = 27 middot 44 = 828Ovenstaringende operation aeligndrer ikke paring broslashkens vaeligrdi men alene paring dens rdquoudseenderdquoMan forkorter en broslashk ved at dividere den med samme tal i taeligller og naeligvner612 = 612 66 = 12 39 = 39 33 = 13 68 = 68 22 = 34 Ovenstaringende operation aeligndrer ikke paring broslashkens vaeligrdi men alene paring dens rdquoudseenderdquoHar man ved addition og subtraktion ikke samme naeligvner i broslashkerne maring denne fremskaffes ved at forlaelignge eller forkorte den ene eller begge broslashker12 + 14 = 24 + 14 = 34 34 - 18 = 68 ndash 18 = 58 28 ndash 16 = 624 ndash 424 = 224 25 + 27 = 1435 + 1035 = 2435 35 ndash 315 = 35 ndash 15 = 25 Man ganger en broslashk med et tal ved at gange taeligller med tallet og beholde naeligvner2 middot37 = 67 4middot29 = 89 3middot45 = 125 = 2 25 (idet facit angives som blandet tal)

Side 10 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Man dividerer en broslashk med et tal ved at dividere taeligller med tallet og beholde naeligvner68 2 = (62)8 = 38 67 2 = (62)7 = 37 34 2 = 68 2 = (6 2)8 = 38 I det sidste eksempel maringtte broslashken foslashrst forlaelignges saring taeliglleren kunne deles med 2 Alternativt kan man i saringdanne tilfaeliglde udregne 34 2 = 3(4 middot 2) = 38 Begge veje er farbare i alle opgaver hvor det tal der divideres med ikke umiddelbart garingr op i broslashkens naeligvner ndash nu som foslashr drejer det sig om at goslashre det man er tryg vedMan dividerer en broslashk med en broslashk ved at gange med rdquoden omvendterdquo16 12 = 16 middot 21 = 26 = 13 13 58 = 13 middot 85 = 815 17 15 = 17 middot 51 = 57

DECIMALTALKommatal kaldes ogsaring decimaltal Cifrene efter kommaet hedder decimalerFoslashrste decimal (altsaring foslashrste plads efter kommaet) viser antal tiendedele Anden decimal (anden plads efter kommaet) viser antal hundrededele etcI et rdquoudvidet talhusrdquo som nedenstaringende (flere gange anvendt i FAKTOR) kan man ud over placeringen af de hele tal (enere ndash tiere ndash hundreder etc) ogsaring se hvor decima-lerne skal staring Modellen kan naturligvis udvides saring man paring tredje plads efter kommaet finder tusindedelene paring fjerde plads titusinde-delene etc

I ovenstaringende talhus har vi altsaring foslashlgende tal illustreret 750 ndash 2425 ndash 7605 ndash 10510OslashvelseHvor mange tiendedele hundrededele og tusindedele er der i tallene 785 ndash 560 ndash 55521 ndash 2309 ndash 349 ndash 4598 ndash 9125 ndash 8845 ndash 1502 ndash 34004 ndash 001 ndash 25OslashvelseParing hvilken plads staringr 7-tallet i tallene1735 ndash 207 ndash 7081 ndash 0257 ndash 467 ndash 6478 ndash 087 ndash 34721 ndash 65791 ndash 8007 ndash 267 ndash 70 OslashvelseOmskriv til eacutet decimaltal a 2 tiere + 7 enere + 3 tiendedele + 1 hundrededel b 5 tiere + 1 ener + to tiendedele + 3 hundrededele + 7 tusindedelec 6 hundreder + 2 enere + 4 tiendedele + 1 tusindedel

Side 11 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Naringr decimaltal skal adderes eller subtraheres skal man huske at stille komma over komma ndash og dernaeligst tiere over tiere enere over enere tiendedele over tiendedele etc Ved division skal der komma i facit naringr man i udregningen traeligkker tiendedelen nedVed multiplikation kan man stille op og regne ud som saeligdvanligt og saeligtte komma til sidst Samlet antal decimaler i de to faktorer giver antal decimaler i facit

PROCENTREGNINGOrdet procent kommer af latin pro centum ndash for hver hundrede Procent betyder saringledes 1100 eller 1 ud af 100 For procent benyttes symbolet 50 procent = 50

Eksempel paring rdquoberegn procentdelrdquo 40 af 250Idet vi udnytter at procent betyder hundrededel farings 1 procent ved at dividere med 100 40 procent findes ved at gange det fundne tal med 40 I eacuten opstilling giver dette40 af 250 = (250100)40 = 100Da 40 hundrededele imidlertid ogsaring kan skrives som 040 (se positionssystemet) farings40 af 250 = 040250 = 100Maringske er det til at gennemskue at de udfoslashrte regneoperationer i de to tilfaeliglde dybest set er de samme ndash men det kan altsaring goslashre en forskel for den enkelte elev ndash igen ndash at vaeliglge den algoritme vedkommende er mest tryg ved

Eksempel paring rdquolaeliggge procentdel tilrdquo 25 moms paring en vare til 250 krPris uden moms 25000 krMoms 025250 = 6250 krPris med moms 25000 + 6250 = 31250 krMan kan ogsaring betragte prisen med moms som (100 + 25) af beloslashbet uden moms Deraf farings prisen med moms ved blot eacuten udregningPris med moms 250115 = 31250 kr

Eksempel paring rdquotraeligkke procentdel frardquo 20 moms paring en vare til 200 krRabatpris 08200 = 160 kr(Idet 20 rabat maring betyde at der er 80 tilbage af varens oprindelige pris)

Eksempel paring rdquoberegning af procentdelrdquo Stigning fra 120 til 150 kr

Eksempel paring rdquoberegning af procentdelrdquo Fald fra 150 til 120 kr

Eksempel paring rdquoberegn hele beloslashbetrdquo 15 svarer til 750 kr 1 750 15 = 50

Side 12 af 42

Procentvis stigning stigningdet oprindelige beloslashb

= 150 minus 120120

lowast 100= 25

Procentvist fald falddet oprindelige beloslashb

= 150minus 120150

lowast 100= 20

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

100 50 100 = 5000

I eacuten (generelt anvendelig) opstilling

OMREGNING MELLEM BROslashK ndash DECIMALTAL ndash PROCENT15 = 020 = 20 Saringdan staringr der i FAKTOR for sjette under overskriften rdquoEr decimaltal bedre end broslashkerrdquo Der kan ikke gives en eacutentydigt svar paring dette idet de tre maringder at angive et tal paring har hver deres fordele ndash og de er da ogsaring alle nyttige at kende For at faring det fulde udbytte af dette kendskab skal man imidlertid frit kunne omregne mellem de tre skrivemaringder ndash og ikke bare i et tilfaeliglde som ovenstaringende hvor sammenhaeligngen er saring kendt at man naeligsten kan den udenad og altsaring ikke behoslashver at regne noget ud Foslashlgende regler gaeliglder ved omregning

Broslashk til decimaltalVi udnytter at broslashkstregen er det samme som et divisionstegn og udfoslashrer blot divisionen hvad enten det nu er i hovedet med blyantpapir paring lommeregner35 = 3 5 = 06 18 = 1 8 = 0125 24 = 2 4 = 05 14 = 1 4 = 025 13 = 1 3 asymp 033 27 = 2 7 asymp 029 19 = 1 9 asymp 011 111 = 1 11 asymp 009

Decimaltal til broslashkHer omskriver vi decimaltallet til tiendedele eller hundrededele og forkorter herefter06 = 610 = 25 0125 = 1251000 = 25200 = 540 = 18 025 = 25100 = 520 = 14

Broslashk til procent Nogle gange garingr det an at forlaelignge broslashken saring naeligvneren bliver til hundrededele 25 = 40100 = 40 34 = 75100 = 75 710 = 70100 = 70 325 = 12100 = 12Ellers siger den generelle regel rdquoomskriv til procent ved at gange med 100rdquo78 = (7middot1008) = 700 8 = 875 315 = (3middot10015) = 300 15 = 20 Procent til broslashkProcenten omskrives til hundrededele hvorefter der forkortes 40 = 40100 = 410 = 25 75 = 75100 = 1520 = 34 12 = 12100 = 650 = 325

Decimaltal til procentrdquoOmskriv til procent ved at gange med 100rdquo I et decimaltal realiseres dette ved at flytte kommaet to pladser til hoslashjre031 = 031 middot 100 = 31 007 = 007 middot 100 = 7 0375 = 0375 middot 100 = 375 Procent til decimaltalHer divideres med 100 hvorved kommaet flyttes to pladser til venstre

Side 13 af 42

100=75015

lowast 100 = 5000

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

31 = 31 100 = 031 7 = 7 100 = 007 375 = 375 100 = 0375

OslashvelseParing naeligste side findes et skema til omregning mellem broslashk decimaltal og procent ndash mere omfattende end det der findes i FAKTOR for sjette paring side 100Udfyld skemaet ved hjaeliglp af de metoder der er gennemgaringet herover ndash herefter vil man goslashre sig selv en tjeneste hvis man laeligrer hele herligheden udenad

OMREGNING MELLEM BROslashK ndash DECIMALTAL ndash PROCENT

Broslashk Decimaltal Procent

110

18

210 = 15

28 = 14

31013

(afrundet) (angives evt som blandet tal)38

410 = 25

510 = 48 = 12

610 = 35

5823

(afrundet) (angives evt som blandet tal)710

68 = 34

810 = 45

78

910

Side 14 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

1010 = 88 = 11

EkstraopgaveHvilke tyvendedele mangler (og hvor) i skemaet Hvad bliver disse tyvendedele til ved omregning til decimaltal og procent

KOORDINATSYSTEMETEt koordinatsystem dannes saeligdvanligvis af to tallinier der staringr vinkelret paring hinanden Paring denne maringde deles rdquoplanenrdquo eller papiret i fire dele Hver af delene kalder vi en kvadrant som benaeligvnes med romertalI = 1 kvadrant II = 2 kvadrant III = 3 kvadrant IV = 4 kvadrant

II I

III IV

Den vandrette tallinie kaldes x-aksen eller foslashrste-aksen Den lodrette tallinie kaldes y-aksen eller anden-aksen Hvert punkt i koordinatsystemet kan angives med et koordinatsaeligt hvor det foslashrste tal aflaeligses paring x-aksen og det andet tal aflaeligses paring y-aksen (det er her vi har indfoslashrt den fjollede huskeregel med rdquohen ad gaden op ad trappenrdquo) Eksempelvis er koordinaterne til de tre afmaeligrkede punkter i systemet herover til hoslashjre (30) (-24) og (-2-2) Generelt gaeliglder om koordinaternes fortegn1 kvadrant (++) 2 kvadrant (-+) 3 kvadrant (--) 4 kvadrant (+-)I koordinatsystemet kan man ud over at afsaeligtte enkeltpunkter (typisk i kvadrant I) afbilde sammenhaelignge mellem to forskellige stoslashrrelser som herunder

Side 15 af 42

Befolkningstilvaeligkst i Japan

126012651270127512801285

1999

2000

2001

2002

2003

2004

2005

2006

Aringrstal

Mio

ind

bygg

ere

Samlet torskefangst i 1979 og 2000

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

Janu

ar

Febr

uar

Mar

ts

Apr

il

Maj

Juni

Juli

Aug

ust

Sep

tem

ber

Okt

ober

Nov

embe

r

Dec

embe

r

Anta

l ton

2000 1979

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

GEOMETRIVinklers stoslashrrelse

En vinkel der er stoslashrre end 90ordm kaldes en stump vinkelEn vinkel der er lig med 90ordm kaldes en ret vinkelEn vinkel der er mindre end 90ordm kaldes en spids vinkel

Tegning af vinkel

Vinklens toppunkt skal ligge midt i vinkelmaringleren Det ene vinkelben skal garing gennem 0 det andet ben viser vinklen

VinkelsumVinkelsummen i en tilfaeligldig trekant vil

saltid altid vaeligre 180ordmTegn en trekant og klip den udDel trekanten i tre efter de stiplede

linier linier som paring tegningen til venstreLaeligg de tre vinkler ved siden af

hinanden De De vil nu til sammen danne en lige vinkel det vil sige det vil netop sige en vinkel paring 180ordm

Hvad mon vinkelsummen er i en firkant Tegn og klip som Tegn og klip som foslashr ndash eller

Side 16 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Vinkelstoslashrrelser i trekanterAlt efter vinkelstoslashrrelser deles trekanter efter omstaringende ind i tre hovedtyperSpidsvinklede trekanter Den stoslashrste vinkel er mindre end 90 ordm Retvinklede trekanter Den stoslashrste vinkel er netop lig 90 ordmStumpvinklede trekanter Den stoslashrste vinkel er stoslashrre end 90 ordm

rdquoSpeciellerdquo trekanterTrekanter der har to lige lange sider kaldes ligebenede trekanter Saringdanne trekanter har ogsaring to lige store vinkler (vinklerne ved grundlinien) Trekanter der har tre lige lange sider kaldes ligesidede trekanter Alle tre vinkler i saringdanne trekanter har samme stoslashrrelse nemlig 60 ordm

HoslashjdeHoslashjden i en trekant er liniestykket fra en vinkelspids vinkelret paring den modstaringende sideAlle trekanter har saringledes tre hoslashjder og de skaeligrer hinanden i eacutet og samme punktI retvinklede trekanter falder to af hoslashjderne sammen med trekantens korte siderI stumpvinklede trekanter falder to af hoslashjderne uden for trekanten

Median

MedianMedianen er liniestykket fra en vinkelspids til midtpunktet af modstaringende sideAlle trekanter har naturligvis tre medianer og de skaeligrer hinanden i eacutet og samme punktBemaeligrk I ligesidede trekanter er hoslashjder medianer (foruden vinkelhalveringslinier og sidernes midtnormaler) i alle tilfaeliglde sammenfaldende

FLYTNINGSGEOMETRI SPEJLING

Side 17 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

1 Figuren (en trekant) skal spejles i den viste linie

2 Tegnetrekanten laeliggges paring saring dens lange side staringr vinkelret paring spejlingsaksen Maringl fra A paring trekanten afstanden ned til aksen og afsaeligt saring spejlbilledet af A lige saring langt paring den anden side (dette kan ogsaring goslashres praeligcist med en passer)

3 Gentag proceduren fra 2 med saring mange punkter som noslashdvendigt som noslashdvendigt ndash i dette tilfaeliglde trekantens tre vinkelspidser

4 Billedpunkterne (her trekantens vinkelspidser) forbindes og hele spejlbilledet tegnes

Vi bemaeligrker at figuren og dens spejlbillede ligger symmetrisk om spejlingsaksen Paring billede 4 herover ser vi at den rdquosamlede figurrdquo ved spejling i en saringdan symmetriakse netop foslashres over i sig selv (halvdelene rdquobytter pladsrdquo)

FLYTNINGSGEOMETRI DREJING

1 Figuren (en trekant) skal drejes 100ordm med uret omkring punktet F

Side 18 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

2 En cirkelbue tegnes med F som centrum og FA som radius Drejningsvinklen 100ordm afsaeligttes med F som top-punkt og FA paring vinkelmaringlerens 0-streg

3 Afsaeligt Arsquos billedpunkt og gentag herefter proceduren med saring mange punkter som noslashdvendigt ndash her trekantens tre vinkelspidser

4 Billedpunkterne (her trekantens vinkelspidser)

forbindes og hele drejebilledet tegnes

Vi bemaeligrker at det kun er omdrejningspunktet F der ikke flytter sig ved en drejning Et saringdant punkt kalder man et fixpunkt

FLYTNINGSGEOMETRI PARALLELFORSKYDNINGFor fuldstaeligndighedens skyld skal herunder beskrives metoden naringr man paring et rdquoblanktrdquo stykke papir skal foretage en parallelforskydning ndash en flytning hvor alle figurens punkter skubbes lige langt og i samme retning Det er dog en disciplin der hoslashrer hoslashjere klassetrin til naringr man saeligdvanligvis udfoslashrer parallelforskydning er der nemlig et kvadratnet eller et koordinatsystem at stoslashtte sig til ndash som vist nederst paring siden

Parallelforskydning af linie

Side 19 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Parallelforskydning af plan figur

Parallelforskydning af figur i kvadratnetOpgaven vil typisk vaeligre at forskyde den paringgaeligldende figur (her en firkant) i pilens laeligngde og retningVi ser at hele figuren hermed skal flyttes rdquoto tern hen fire tern oprdquo Imidlertid er det nok at flytte de fire vinkelspidser idet de jo tilsammen rdquodefinererrdquo den paringgaeligldende firkantEndnu nemmere vil det vaeligre naringr man udnytter at figur og billedfigur er kongruente Saring kan man noslashjes med at flytte eacutet punkt og herudfra tegne en ny figur magen til den gamle

AREAL OG AREALBEREGNINGAreal angiver stoslashrrelsen af en flade og maringles i antal kvadrater med sidelaeligngden 1 For eksempel cm2 (kvadratcentimeter) m2 (kvadratmeter) eller km2

(kvadratkilometer)Herunder en raeligkke eksempler paring formler til udregning af areal naringr der dels er tale om elementaeligre geometriske figurer dels om sammensatte figurer Laeligg ikke mindst maeligrke til hvad det er for egenskaber der definerer de forskellige typer firkanter

Side 20 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Sammensatte figurerArealet findes ved at opdele figuren i to eller flere kendte figurer og finde de enkelte figureres arealer hver for sig Specielt kan man finde arealet af trekanter tegnet i kvadratnet ved at finde de to retvinklede trekanters arealer og laeliggge dem sammen Oslashvelser

Find arealet af hver af trekanterne a ndash f ved at bruge metoden ovenfor 1 tern svarer til 1 cm2a ____ + ____ = ____ cm2

b ____ + ____ = ____ cm2

c ____ + ____ = ____ cm2

d ____ + ____ = ____ cm2

e ____ + ____ = ____ cm2

f ____ + ____ = ____ cm2

(OMSAEligTNING I) METERSYSTEMETForrdquonavnrdquo

Kilo Hekto Deka Enhed

Deci Centi Milli

Betyder 1000 100 10 1 110 = 01

1100 = 001

11000 = 0001

Forkortes

k h da d c m

Laeligngde km hm dam m dm cm mmMasse kg hg dag g dg cg mgRumfang

kl hl dal l dl cl ml

Ovenstaringende betyder for metersystemets laeligngdemaringl foslashlgende omsaeligtninger1m = 10 dm 1 dm = 10 cm

Side 21 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

1 m2 = 102 dm2 = 100 dm2 1 dm2 = 102 cm2 = 100 cm2

1m3 = 103 dm3 = 1000 dm3 1 dm3 = 103 cm3 = 1000 cm3

1m = 100 cm 1 cm = 10 mm1m2 = 1002 cm2 = 10000 cm2 1 cm2 = 102 mm2 =

100 mm2

1 m3 = 1003 cm3 = 1000000 cm3 1 cm3 = 103 mm3 = 1000 mm3

Omsaeligtning bliver endnu nemmere hvis man laeligrer denne remse udenadkilo ndash hekto ndash deka ndash (bum) ndash deci ndash centi ndash milli(um)Find den benaeligvnelse der skal omsaeligttes fra samt den benaeligvnelse der skal omsaeligttes til (rdquoBumrdquo svarer til henholdsvis meter gram og liter)Taeligl det antal pladser der er imellem de to benaeligvnelser og flyt kommaet samme antal pladser i samme retningHvis der er tale om flade- (for eksempel m2) eller rummaringl (for eksempel m3) skal man huske at gange antallet af pladser med 2 henholdsvis 3 foslashr kommaet flyttes det tilsvarende antal pladserEksempel 5 m2 skal omsaeligttes til cm2I tabellen herover findes rdquoenhedrdquo og der taeliglles hvor mange pladser der er hen til rdquocentirdquo 2 pladser til hoslashjre Da det er et flademaringl (areal) skal antallet af pladser ganges med 2 (2 middot 2 = 4) Kommaet flyttes 4 pladser til hoslashjre og altsaring 5m 2 = 50000 cm 2 Eksempel 100 dm3 skal omsaeligttes til m3I tabellen herover findes rdquodecirdquo og der taeliglles hvor mange pladser der er hen til rdquoenhedrdquo 1 plads til venstre Da det er et rummaringl skal antallet af pladser ganges med 3 (3 middot 1 = 3) Kommaet flyttes 3 pladser til venstre og altsaring 100 dm 3 = 01 m 3

MASSE RUMFANG OG MASSEFYLDEMed begrebet massefylde tangerer vi faget fysik Maringske vil enkelte kunne huske at vi med udgangspunkt i FAKTOR i syvendersquos rdquoHvad kan du maringlerdquo da ogsaring arbejdede tvaeligrfagligt med emnet ndash blandt andet med nedenstaringende opstillingsystematik

ILLUSTRATION METODE rdquoGENSTANDErdquo

Side 22 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Finde dimensioner +)

(rdquolaeligngde bredde hoslashjderdquo)Udregne med formler

rdquoRegulaeligrerdquo legemerTerninger kasser cylindre kugler

Finde genstandens opdrift ved nedsaelignkning i vandBenytte Arkimedesrsquo lov ++)

Mindre (uregelmaeligssige)legemerCementklump jernlod

Nedsaelignke i maringleglas (mm) med vandMaringle stigningen i vandstand

Smaring (uregelmaeligssige)legemer Bolte soslashm sten

+) FidusBrug den laeligngdemaringlsenhed der direkte giver facit i den oslashnskede rumfangsenhed

Laeligngdemaringl i Rummaringlvolumen i

Spri

ng

paring 1

0

m (meter) 1000 l (tusind liter) = 1 m3 (kubikmeter)

Spri

ng

paring 1

000

dm (decimeter) 1 l (liter) = 1 dm3 (kubikdecimeter)

cm (centimeter) 1 ml (milliliter) = 1cm3 (kubikcentimeter)

++) Arkimedesrsquo lovEn genstand der nedsaelignkes i vand taber lige saring meget i vaeliggt som massen af det vand genstanden fortraeligngerNaringr vi efter ovenstaringende rumfangsbestemmelser ogsaring har fundet den paringgaeligldende genstands masse er vi klar til at arbejde med

Massefylde (vaeliggtfylde) = masse rumfang (volumen)Massefylde angives i gcm3 kgdm3 eller tm3 Sammenhaeligngen mellem de tre variable kan opstilles i en formeltrekant (side 27) Hvis masse eller volumen er den ukendte stoslashrrelse faringr man imidlertid brug for en tabel over forskellige stoffers massefylde

ALGEBRAAlgebra er rdquobogstavregningrdquo Vi bruger algebra naringr vi skal vise at udregninger af og sammenhaelignge mellem forskellige stoslashrrelser gaeliglder for alle talvaeligrdier For algebra ndash men altsaring ogsaring for regnearbejdet med rdquoalmindeligerdquo tal - gaeliglder en raeligkke regler som det er noslashdvendigt at kende naringr vi reducerer ndash skriver paring kortere formRegne-hierarkiFoslashrst potenser og roslashdder saring parenteser saring gange og dividere ndash til sidst plus og minus

Side 23 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Eksempel 4 (3 + 2)2 10 + 8 = 4 52 10 + 8 = 4 25 10 + 8 = 100 10 + 8 = 10 + 8 = 18

Plusparentes- kan haeligves og saeligttes uden at leddene inde i parentesen skifter fortegnEksempel med bogstaver a + (b + c ndash d) = a + b + c ndashdEksempel med tal 9 + (2 + 4 ndash 3) = 9 + 2 + 4 ndash 3 = 12 (9 + 3 = 12)Minusparentes- naringr minusparentesen haeligves skifter leddene inde i parentesen fortegnEksempel med bogstaver a ndash (b + c ndash d) = a ndash b ndash c + dEksempel med tal 9 ndash (2 + 4 ndash 3) = 9 ndash 2 ndash 4 + 3 = 6 (9 ndash 3 = 6)

Flerleddede stoslashrrelserMan ganger en flerleddet stoslashrrelse med et tal ved at gange hvert af leddene med tallet Dette kalder vi den distributive lov (Distribuere ndash dele ud)Eksempel med bogstaver a middot (b + c) = ab + acEksempel med tal 2 middot (4 + 2) = 2 middot 4 + 2 middot 2 = 8 + 4 = 12 (2 middot 6 = 12)Man ganger ndash selvfoslashlgelig - to flerleddede stoslashrrelser med hinanden ved atEksempel med bogstaver (a + b) middot (c + d) = ac + ad + bc + bdEksempel med tal (2 + 3) middot (5 + 4) = 2 middot 5 + 2 middot 4 + 3 middot 5 + 3 middot 4 =

10 + 8 + 15 + 12 = 45 (5 middot 9 = 45)Man dividerer en flerleddet stoslashrrelse med et tal ved at dividere hvert af leddeneEksempel med bogstaver (a + b) c = a c + b cEksempel med tal (6 + 2) 2 = 6 2 + 2 2 = 3 + 1 = 4 (8 2 = 4)Specielle tilfaeliglde hvis begge parenteser rummer de samme tal ndash bortset fra fortegnrdquoKvadratet paring en toleddet sumrdquo (a + b)2 = a2 + b2 + 2abVis selv hvordan _________________________________________________________________rdquoKvadratet paring en toleddet diffferensrdquo (a - b)2 = a2 + b2 - 2abVis selv hvordan _________________________________________________________________rdquoTo tals sum gange de samme to tals differensrdquo (a + b)(a ndash b) = a2 - b2 Vis selv hvordan _________________________________________________________________

En praktisk anvendelse af ovenstaringende ndash hovedregning () i rdquoden store tabelrdquo19 middot 19 = (20 ndash 1)2 = 202 + 12 ndash 2 middot 20 middot 1 = 400 + 1 ndash 40 = 36123 middot 23 = (20 + 3)2 = 202 + 32 + 2 middot 20 middot 3 = 400 + 9 + 120 = 529

Hvis man ikke netop bliver bedt om at reducere bogstavudtryk kan arbejdet med algebra bestaring i at finde det paringgaeligldende udtryks stoslashrrelse naringr de indsaeligttes forskellige vaeligrdier i stedet for de rdquoubekendterdquo bogstaver Udfyld saringledes

x 3x x + 4 10 ndash x 2x + 4 -x + 34

Side 24 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

-4-125frac12-20

x y y 2 2x ndash 3y 3 104 148 250 15

Flere klasser har haft glaeligde af at udarbejde saringdanne opgaver i regneark Her gaeliglder det netop om at finde den almene formel som talvaeligrdierne bagefter kan indsaeligttes i

Opgaver Find selv de tilsvarende formler og indsaeligt dem i cellerne A2 B2 C2 D2 E2

og F2 rdquoTraeligk nedrdquo og laeligg maeligrke til om du faringr de samme resultater som vist i

dumprsquoet Indret endnu et regneark og opstil tabel plus formler ogsaring til det andet skema Regn nedenstaringende opgaver Deacutet er reduktion stil gerne op i Word som vist12a ndash 6(3 ndash a) + 8 = 12a ndash 18 + 6a + 8 = 18a ndash 1040 + 3(9 ndash x) + 6x =___________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________________________________

3a + 4(9 ndash 2a) ndash 6 + a =______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2(x + 4) ndash (x + 5) =______________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________

___________________________________________________________5(7y + 5) ndash frac12(50 + 10y)_________________________________________________________=

______________________________________________________________________________________________________________________

FORMLERSide 25 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Specielt finder vi ndash som allerede naeligvnt - en meget nyttig anvendelse af algebra ved opstilling af formler Her garingr opgaven jo netop ud paring at fastlaeliggge en sammenhaeligng mellem forskellige variable stoslashrrelser - ved hjaeliglp af alt andet end konkrete talvaeligrdier Forharingbentlig vil nedenstaringende eksempler vaeligkke en vis genkendelseSammenhaeligngen mellem vejlaeligngde hastighed og tid s = v middot tSammenhaeligngen mellem spaelignding modstand og stroslashmstyrke U = R middot ISammenhaeligngen mellem masse rumfang og massefylde (se ogsaring side 22) m = V middot dEn saringdan sammenhaeligng mellem tre stoslashrrelser kan med fordel illustreres ved hjaeliglp af nedenstaringende trekanter Man laeliggger fingeren over den variable man oslashnsker at finde ndash og den aktuelle omformning af formlen vil umiddelbart fremgaring Lodret linie betyder multiplikation vandret linie (broslashkstreg) betyder division

s m v t V d Vi kan ved algebraens hjaeliglp faktisk selv opstille formler som vi er kommet i tvivl om Hvad er formlen for udregning af hastighed Jo hastighed angives som meter per sekund (ms) eller kilometer per time (kmt) Den skraringstreg der erstatter rdquoperrdquo betyder egentlig division - og dermed har vi den generelle formelHastighed = vejlaeligngde divideret med tid Med ovenstaringende betegnelser v = s t Andre formlerDe fleste formler (og vi bruger dem ofte) kan slarings op i forskellige formelsamlinger Hvis man ikke vil noslashjes med den udgave der er aftrykt i FAKTOR kan den rdquoofficiellerdquo formelsamling til brug for afgangsproslashverne nedlades () fra wwwuvmdk ndash eller man kan (eventuelt paring klassebasis) investere i forlaget degne-distribs tilsvarende rdquomatematiske formler og tabellerrdquo Den koster ikke meget ndash og saring har man lov til at goslashre notater To saeligt formler som vist nok ikke findes andetsteds og som flere klasser har arbejdet en del med skal imidlertid anfoslashres til slut Det drejer sig om

Fremmed valuta Aktier og obligationerDKK = (Valuta 100) middot Kurs Pris = (Paringlydende 100) middot Kurs

(kr) Valuta = (DKK Kurs) middot 100 Paringlydende = (Pris Kurs) middot 100

(kr)Kurs = (DKK Valuta) middot 100 Kurs = (Pris Paringlydende) middot 100 Opgavera) Kurs 120 Paringlydende 100 kroner Hvor mange aktier kan du koslashbe for 60000 kronerb) Hvor mange norske kroner kan du faring for 2000 danske kroner naringr kursen er 8378c) Hvor meget koster 1700 Euro til kurs 74492

LOslashSNING AF LIGNINGERSide 26 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Oslashvelse Opstil og udregn foslashlgende additionsstykkera 4968 + 380 + 76 + 61 b 55 + 832 + 563 + 196 c 10419 + 36324 + 53257d 609 + 1365 + 21 + 42 e 9998 + 7983 + 6 + 88 f 71101 + 68133 + 59758 g 39009 + 96198 + 14793 h 41666 + 37125 + 21222 i 4135 + 960 + 11433 Tip Taelignk gerne paring talhuset naringr cifrene skal anbringes paring de rigtige pladser

SUBTRAKTION ndash AT TRAEligKKE FRAI det daglige taler vi tit om at rdquotraeligkke to tal fra hinandenrdquo Dette er imidlertid ikke helt korrekt idet vi naturligvis altid traeligkker det ene tal fra det andet Det er heller ikke ligegyldigt i hvilken raeligkkefoslashlge tallene naeligvnes 100 ndash 7 er for eksempel ikke det samme som 7 ndash 100 Naringr vi benytter en opstillingalgoritme som den herunder foreslaringede er det i oslashvrigt ogsaring det tal vi traeligkker fra der skal staring nederst

Eksempel paring subtraktion uden tierovergang 3798 - 1452

Tallene stilles op under hinanden Enere staringr under enere tiere under tierehellip og ved decimaltal desuden tiendedele under tiendedele hundrededele under hundrededele etcVi arbejder rdquofra hoslashjre mod venstrerdquo og traeligkker enere fra enere tiere fra tiere etc Dette garingr helt uproblematisk saring laelignge det nederste ciffer ikke er stoslashrre end det oslashverste Her faringr vi saringledes 8 ndash 2 = 6 9 ndash 5 = 4 7 ndash 4 = 3 3 ndash 1 = 2 Resultat 2346Eksempel paring subtraktion med tierovergang 4832 ndash 2954

Side 6 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Vi arbejder igen rdquofra hoslashjre mod venstrerdquo og traeligkker enere fra enere tiere fra tiere 2 minus 4 Det kan man ikke saring maring vi ndash rdquolaringnerdquo plejede vi at sige Imidlertid indebaeligrer et laringn at man betaler tilbage derfor foretraeligkker vi nu betegnelsen rdquoat vekslerdquo 1 tier veksles til 10 enere og den nu manglende tier symboliseres ved en streg hen over cifferet (her et 3-tal) Vi faringr heraf (10 + 2) ndash 4 = 82 minus 5 Vi veksler 1 hundreder til 10 tiere idet vi husker at saeligtte en streg over 8-tallet Vi faringr hermed (10 + 2) ndash 5 = 77 minus 9 Vi veksler 1 tusinder til 10 hundreder (streg over 4-tallet) og faringr 17 ndash 9 = 83 minus 2 3 ndash 2 = 1 Vi faringr alt i alt som resultat 4832 ndash 2954 = 1878Oslashvelse Faeligrdiggoslashr nedenstaringende subtraktioner

MULTIPLIKATION - AT GANGEFor at kunne operere fornuftigt naringr man rdquomed blyant og papirrdquo skal gange to tal med hinanden skal man vaeligre helt sikkert hjemme i den lille tabel Ikke bare paring remse men saringdan at et hvilket som helst produkt af to tal - op til 10 gange 10 - sidder paring rygmarven Opstillingen af den lille tabel kender vi fra bagsiden af regnehaeligftet

OslashvelseAlle produkter i 2-tabellen oslashves i tilfaeligldig raeligkkefoslashlge for eksempel7middot2 = 4middot2 = 6middot2 = 3middot2 = 2middot2 = 5middot2 = 8middot2 = 1middot2 = 9middot2 = 6middot2 = 7middot2 = 6middot2 =

OslashvelseAlle produkter i 3-tabellen oslashves i tilfaeligldig raeligkkefoslashlge for eksempel7middot3 = 4middot3 = 6middot3 = 3middot3 = 2middot3 = 5middot3 = 8middot3 = 1middot3 = 9middot3 = 6middot3 = 7middot3 = 6middot3 =

Oslashvelse

Side 7 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Alle produkter i 4- 5- 6- 7- 8- 9- og 10-tabellerne oslashves paring samme vis ndash mere end eacuten gang

OslashvelseAlle produkter af to tal ndash op til 10 gange 10 ndash oslashves i tilfaeligldig raeligkkefoslashlge ndash mange gange3middot2 = 5middot7 = 8middot4 = 6middot8 = 5middot2 = 4middot5 = 8middot7 = 3middot5 = 9middot3 = 7middot6 = 3middot8 = 4middot9 = TIP 1 Brug (en kopi af) ovenstaringende opstilling og kryds af efterharingnden ndash saring er der lynhurtigt overblik over 100-200 multiplikationsopgaverTIP 2 Der oslashves baringde rdquoforlaelignsrdquo og rdquobaglaelignsrdquo 8middot7 = 7middot8 = 4middot9 = 9middot4 = etcTIP 3 Som udbygning kan startes man regne rdquoindefra og udrdquo saring de tilsvarende divisions-stykker fremkommer 728 = 369 = 637 = 273 486 = 497 = 568 = etc

Paring naeligste side skal saring vi have fat i blyant og papir

Mange operationer i regning og matematik udfoslashres efter en saringkaldt algoritme ndash altsaring en slags opskrift eller koslashreplan for hvordan man skridt for skridt bevaeligger sig gennem loslashsningen af en stillet opgaveEleverne kan have tilegnet sig forskellige algoritmer ogsaring naringr det drejer sig om multi-plikation Som ofte naeligvnt for eleverne maring kravet til en algoritme vaeligre at Den paringgaeligldende elev er tryg ved algoritmen og fortrolig med at bruge den Den valgte algoritme foslashrer eleven til det rigtige resultat ndash hver gang Algoritmen skal vaeligre universel ndash det vil sige den skal kunne bruges paring alle

opgaver (indeholdende alle rdquoslagsrdquo tal) af den paringgaeligldende artHvis en elev paring nuvaeligrende tidspunkt ikke har tilegnet sig en multiplikationsalgoritme der opfylder kriterierne kan nedenstaringende anbefales ndash proslashv den paring opgaverne til hoslashjre

Side 8 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

TIP 1 Regn eventuelt nogle stykker ad gangen (for eksempel en rdquososlashjlerdquo) i stedet for at se dig overvundet af alle stykker paring eacuten gangTIP 2 Hvis der er behov for flere opgaver kan man sagtens selv finde paring ndash husk blot at komme rundt om alle tallene i den lille tabel ligesom herover

DIVISION ndash AT DELEFor at kunne operere fornuftigt naringr man rdquomed blyant og papirrdquo skal udfoslashre en division skal man ogsaring vaeligre helt sikkert hjemme i den lille tabel Traeligningen af denne faeligrdighed foregaringr paring samme maringde som beskrevet i afsnittet rdquomultiplikationrdquoDivision kan med fordel foregaring efter foslashlgende algoritme1) Dele 2) Gange 3) Traeligkke fra 4) Traeligkke ned

TIP 1 Bemaeligrk den foreslaringede opstilling der rummer alle udregninger ndash og goslashr opgaven mere overskuelig ved at regne paring ternet papir

Side 9 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

TIP 2 Regn eventuelt nogle stykker ad gangen (for eksempel en rdquososlashjlerdquo) i stedet for at se dig overvundet af alle stykker paring eacuten gangTIP 3 Hvis der er behov for lidt svaeligrere opgaver kan man bare tage multiplikations-stykkerne paring foregaringende side og rdquovende dem omrdquo 21 middot 146 = 3066 bliver til 3066 21 =

BROslashKEROgsaring i forbindelse med broslashker er der brug for nogle rdquofagudtrykrdquo som ses herunder

HuskereglerTaeligller i Toppen Naeligvner er NedenunderTaeliglleren taeligller op altsaring Hvor mange er derNaeligvneren benaeligvner altsaring Hvilken rdquoslagsrdquo er detHeraf farings at broslashken til venstre skal laeligses rdquoto femtedelerdquoEndelig er en broslashkstreg det samme som et divisionstegn Det man faringr besked paring er altsaring at udfoslashre divisionen 2 5

Ved regning med broslashker foslashlger af ovenstaringende en raeligkke regler som det godt kan vaeligre en fordel ogsaring at kende den sproglige formulering afTo eller flere ensbenaeligvnte broslashker (broslashker med samme naeligvner) adderes (laeliggges sammen) ved at addere taeligllerne og beholde naeligvneren14 + 24 = 34 15 + 25 + 15 = 45 27 + 47 = 67 39 + 29 + 29 = 79 To eller flere ensbenaeligvnte broslashker (broslashker med samme naeligvner) subtraheres (traeligkkes fra) ved at subtrahere taeligllerne og beholde naeligvneren67 ndash 37 ndash 17 = 27 34 ndash 14 = 24 58 ndash 28 ndash 18 = 28 89 ndash 39 = 59Man forlaelignger en broslashk ved at gange den med samme tal i taeligller og naeligvner34 = 34 middot 22 = 68 38 = 38 middot 33 = 924 27 = 27 middot 44 = 828Ovenstaringende operation aeligndrer ikke paring broslashkens vaeligrdi men alene paring dens rdquoudseenderdquoMan forkorter en broslashk ved at dividere den med samme tal i taeligller og naeligvner612 = 612 66 = 12 39 = 39 33 = 13 68 = 68 22 = 34 Ovenstaringende operation aeligndrer ikke paring broslashkens vaeligrdi men alene paring dens rdquoudseenderdquoHar man ved addition og subtraktion ikke samme naeligvner i broslashkerne maring denne fremskaffes ved at forlaelignge eller forkorte den ene eller begge broslashker12 + 14 = 24 + 14 = 34 34 - 18 = 68 ndash 18 = 58 28 ndash 16 = 624 ndash 424 = 224 25 + 27 = 1435 + 1035 = 2435 35 ndash 315 = 35 ndash 15 = 25 Man ganger en broslashk med et tal ved at gange taeligller med tallet og beholde naeligvner2 middot37 = 67 4middot29 = 89 3middot45 = 125 = 2 25 (idet facit angives som blandet tal)

Side 10 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Man dividerer en broslashk med et tal ved at dividere taeligller med tallet og beholde naeligvner68 2 = (62)8 = 38 67 2 = (62)7 = 37 34 2 = 68 2 = (6 2)8 = 38 I det sidste eksempel maringtte broslashken foslashrst forlaelignges saring taeliglleren kunne deles med 2 Alternativt kan man i saringdanne tilfaeliglde udregne 34 2 = 3(4 middot 2) = 38 Begge veje er farbare i alle opgaver hvor det tal der divideres med ikke umiddelbart garingr op i broslashkens naeligvner ndash nu som foslashr drejer det sig om at goslashre det man er tryg vedMan dividerer en broslashk med en broslashk ved at gange med rdquoden omvendterdquo16 12 = 16 middot 21 = 26 = 13 13 58 = 13 middot 85 = 815 17 15 = 17 middot 51 = 57

DECIMALTALKommatal kaldes ogsaring decimaltal Cifrene efter kommaet hedder decimalerFoslashrste decimal (altsaring foslashrste plads efter kommaet) viser antal tiendedele Anden decimal (anden plads efter kommaet) viser antal hundrededele etcI et rdquoudvidet talhusrdquo som nedenstaringende (flere gange anvendt i FAKTOR) kan man ud over placeringen af de hele tal (enere ndash tiere ndash hundreder etc) ogsaring se hvor decima-lerne skal staring Modellen kan naturligvis udvides saring man paring tredje plads efter kommaet finder tusindedelene paring fjerde plads titusinde-delene etc

I ovenstaringende talhus har vi altsaring foslashlgende tal illustreret 750 ndash 2425 ndash 7605 ndash 10510OslashvelseHvor mange tiendedele hundrededele og tusindedele er der i tallene 785 ndash 560 ndash 55521 ndash 2309 ndash 349 ndash 4598 ndash 9125 ndash 8845 ndash 1502 ndash 34004 ndash 001 ndash 25OslashvelseParing hvilken plads staringr 7-tallet i tallene1735 ndash 207 ndash 7081 ndash 0257 ndash 467 ndash 6478 ndash 087 ndash 34721 ndash 65791 ndash 8007 ndash 267 ndash 70 OslashvelseOmskriv til eacutet decimaltal a 2 tiere + 7 enere + 3 tiendedele + 1 hundrededel b 5 tiere + 1 ener + to tiendedele + 3 hundrededele + 7 tusindedelec 6 hundreder + 2 enere + 4 tiendedele + 1 tusindedel

Side 11 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Naringr decimaltal skal adderes eller subtraheres skal man huske at stille komma over komma ndash og dernaeligst tiere over tiere enere over enere tiendedele over tiendedele etc Ved division skal der komma i facit naringr man i udregningen traeligkker tiendedelen nedVed multiplikation kan man stille op og regne ud som saeligdvanligt og saeligtte komma til sidst Samlet antal decimaler i de to faktorer giver antal decimaler i facit

PROCENTREGNINGOrdet procent kommer af latin pro centum ndash for hver hundrede Procent betyder saringledes 1100 eller 1 ud af 100 For procent benyttes symbolet 50 procent = 50

Eksempel paring rdquoberegn procentdelrdquo 40 af 250Idet vi udnytter at procent betyder hundrededel farings 1 procent ved at dividere med 100 40 procent findes ved at gange det fundne tal med 40 I eacuten opstilling giver dette40 af 250 = (250100)40 = 100Da 40 hundrededele imidlertid ogsaring kan skrives som 040 (se positionssystemet) farings40 af 250 = 040250 = 100Maringske er det til at gennemskue at de udfoslashrte regneoperationer i de to tilfaeliglde dybest set er de samme ndash men det kan altsaring goslashre en forskel for den enkelte elev ndash igen ndash at vaeliglge den algoritme vedkommende er mest tryg ved

Eksempel paring rdquolaeliggge procentdel tilrdquo 25 moms paring en vare til 250 krPris uden moms 25000 krMoms 025250 = 6250 krPris med moms 25000 + 6250 = 31250 krMan kan ogsaring betragte prisen med moms som (100 + 25) af beloslashbet uden moms Deraf farings prisen med moms ved blot eacuten udregningPris med moms 250115 = 31250 kr

Eksempel paring rdquotraeligkke procentdel frardquo 20 moms paring en vare til 200 krRabatpris 08200 = 160 kr(Idet 20 rabat maring betyde at der er 80 tilbage af varens oprindelige pris)

Eksempel paring rdquoberegning af procentdelrdquo Stigning fra 120 til 150 kr

Eksempel paring rdquoberegning af procentdelrdquo Fald fra 150 til 120 kr

Eksempel paring rdquoberegn hele beloslashbetrdquo 15 svarer til 750 kr 1 750 15 = 50

Side 12 af 42

Procentvis stigning stigningdet oprindelige beloslashb

= 150 minus 120120

lowast 100= 25

Procentvist fald falddet oprindelige beloslashb

= 150minus 120150

lowast 100= 20

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

100 50 100 = 5000

I eacuten (generelt anvendelig) opstilling

OMREGNING MELLEM BROslashK ndash DECIMALTAL ndash PROCENT15 = 020 = 20 Saringdan staringr der i FAKTOR for sjette under overskriften rdquoEr decimaltal bedre end broslashkerrdquo Der kan ikke gives en eacutentydigt svar paring dette idet de tre maringder at angive et tal paring har hver deres fordele ndash og de er da ogsaring alle nyttige at kende For at faring det fulde udbytte af dette kendskab skal man imidlertid frit kunne omregne mellem de tre skrivemaringder ndash og ikke bare i et tilfaeliglde som ovenstaringende hvor sammenhaeligngen er saring kendt at man naeligsten kan den udenad og altsaring ikke behoslashver at regne noget ud Foslashlgende regler gaeliglder ved omregning

Broslashk til decimaltalVi udnytter at broslashkstregen er det samme som et divisionstegn og udfoslashrer blot divisionen hvad enten det nu er i hovedet med blyantpapir paring lommeregner35 = 3 5 = 06 18 = 1 8 = 0125 24 = 2 4 = 05 14 = 1 4 = 025 13 = 1 3 asymp 033 27 = 2 7 asymp 029 19 = 1 9 asymp 011 111 = 1 11 asymp 009

Decimaltal til broslashkHer omskriver vi decimaltallet til tiendedele eller hundrededele og forkorter herefter06 = 610 = 25 0125 = 1251000 = 25200 = 540 = 18 025 = 25100 = 520 = 14

Broslashk til procent Nogle gange garingr det an at forlaelignge broslashken saring naeligvneren bliver til hundrededele 25 = 40100 = 40 34 = 75100 = 75 710 = 70100 = 70 325 = 12100 = 12Ellers siger den generelle regel rdquoomskriv til procent ved at gange med 100rdquo78 = (7middot1008) = 700 8 = 875 315 = (3middot10015) = 300 15 = 20 Procent til broslashkProcenten omskrives til hundrededele hvorefter der forkortes 40 = 40100 = 410 = 25 75 = 75100 = 1520 = 34 12 = 12100 = 650 = 325

Decimaltal til procentrdquoOmskriv til procent ved at gange med 100rdquo I et decimaltal realiseres dette ved at flytte kommaet to pladser til hoslashjre031 = 031 middot 100 = 31 007 = 007 middot 100 = 7 0375 = 0375 middot 100 = 375 Procent til decimaltalHer divideres med 100 hvorved kommaet flyttes to pladser til venstre

Side 13 af 42

100=75015

lowast 100 = 5000

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

31 = 31 100 = 031 7 = 7 100 = 007 375 = 375 100 = 0375

OslashvelseParing naeligste side findes et skema til omregning mellem broslashk decimaltal og procent ndash mere omfattende end det der findes i FAKTOR for sjette paring side 100Udfyld skemaet ved hjaeliglp af de metoder der er gennemgaringet herover ndash herefter vil man goslashre sig selv en tjeneste hvis man laeligrer hele herligheden udenad

OMREGNING MELLEM BROslashK ndash DECIMALTAL ndash PROCENT

Broslashk Decimaltal Procent

110

18

210 = 15

28 = 14

31013

(afrundet) (angives evt som blandet tal)38

410 = 25

510 = 48 = 12

610 = 35

5823

(afrundet) (angives evt som blandet tal)710

68 = 34

810 = 45

78

910

Side 14 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

1010 = 88 = 11

EkstraopgaveHvilke tyvendedele mangler (og hvor) i skemaet Hvad bliver disse tyvendedele til ved omregning til decimaltal og procent

KOORDINATSYSTEMETEt koordinatsystem dannes saeligdvanligvis af to tallinier der staringr vinkelret paring hinanden Paring denne maringde deles rdquoplanenrdquo eller papiret i fire dele Hver af delene kalder vi en kvadrant som benaeligvnes med romertalI = 1 kvadrant II = 2 kvadrant III = 3 kvadrant IV = 4 kvadrant

II I

III IV

Den vandrette tallinie kaldes x-aksen eller foslashrste-aksen Den lodrette tallinie kaldes y-aksen eller anden-aksen Hvert punkt i koordinatsystemet kan angives med et koordinatsaeligt hvor det foslashrste tal aflaeligses paring x-aksen og det andet tal aflaeligses paring y-aksen (det er her vi har indfoslashrt den fjollede huskeregel med rdquohen ad gaden op ad trappenrdquo) Eksempelvis er koordinaterne til de tre afmaeligrkede punkter i systemet herover til hoslashjre (30) (-24) og (-2-2) Generelt gaeliglder om koordinaternes fortegn1 kvadrant (++) 2 kvadrant (-+) 3 kvadrant (--) 4 kvadrant (+-)I koordinatsystemet kan man ud over at afsaeligtte enkeltpunkter (typisk i kvadrant I) afbilde sammenhaelignge mellem to forskellige stoslashrrelser som herunder

Side 15 af 42

Befolkningstilvaeligkst i Japan

126012651270127512801285

1999

2000

2001

2002

2003

2004

2005

2006

Aringrstal

Mio

ind

bygg

ere

Samlet torskefangst i 1979 og 2000

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

Janu

ar

Febr

uar

Mar

ts

Apr

il

Maj

Juni

Juli

Aug

ust

Sep

tem

ber

Okt

ober

Nov

embe

r

Dec

embe

r

Anta

l ton

2000 1979

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

GEOMETRIVinklers stoslashrrelse

En vinkel der er stoslashrre end 90ordm kaldes en stump vinkelEn vinkel der er lig med 90ordm kaldes en ret vinkelEn vinkel der er mindre end 90ordm kaldes en spids vinkel

Tegning af vinkel

Vinklens toppunkt skal ligge midt i vinkelmaringleren Det ene vinkelben skal garing gennem 0 det andet ben viser vinklen

VinkelsumVinkelsummen i en tilfaeligldig trekant vil

saltid altid vaeligre 180ordmTegn en trekant og klip den udDel trekanten i tre efter de stiplede

linier linier som paring tegningen til venstreLaeligg de tre vinkler ved siden af

hinanden De De vil nu til sammen danne en lige vinkel det vil sige det vil netop sige en vinkel paring 180ordm

Hvad mon vinkelsummen er i en firkant Tegn og klip som Tegn og klip som foslashr ndash eller

Side 16 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Vinkelstoslashrrelser i trekanterAlt efter vinkelstoslashrrelser deles trekanter efter omstaringende ind i tre hovedtyperSpidsvinklede trekanter Den stoslashrste vinkel er mindre end 90 ordm Retvinklede trekanter Den stoslashrste vinkel er netop lig 90 ordmStumpvinklede trekanter Den stoslashrste vinkel er stoslashrre end 90 ordm

rdquoSpeciellerdquo trekanterTrekanter der har to lige lange sider kaldes ligebenede trekanter Saringdanne trekanter har ogsaring to lige store vinkler (vinklerne ved grundlinien) Trekanter der har tre lige lange sider kaldes ligesidede trekanter Alle tre vinkler i saringdanne trekanter har samme stoslashrrelse nemlig 60 ordm

HoslashjdeHoslashjden i en trekant er liniestykket fra en vinkelspids vinkelret paring den modstaringende sideAlle trekanter har saringledes tre hoslashjder og de skaeligrer hinanden i eacutet og samme punktI retvinklede trekanter falder to af hoslashjderne sammen med trekantens korte siderI stumpvinklede trekanter falder to af hoslashjderne uden for trekanten

Median

MedianMedianen er liniestykket fra en vinkelspids til midtpunktet af modstaringende sideAlle trekanter har naturligvis tre medianer og de skaeligrer hinanden i eacutet og samme punktBemaeligrk I ligesidede trekanter er hoslashjder medianer (foruden vinkelhalveringslinier og sidernes midtnormaler) i alle tilfaeliglde sammenfaldende

FLYTNINGSGEOMETRI SPEJLING

Side 17 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

1 Figuren (en trekant) skal spejles i den viste linie

2 Tegnetrekanten laeliggges paring saring dens lange side staringr vinkelret paring spejlingsaksen Maringl fra A paring trekanten afstanden ned til aksen og afsaeligt saring spejlbilledet af A lige saring langt paring den anden side (dette kan ogsaring goslashres praeligcist med en passer)

3 Gentag proceduren fra 2 med saring mange punkter som noslashdvendigt som noslashdvendigt ndash i dette tilfaeliglde trekantens tre vinkelspidser

4 Billedpunkterne (her trekantens vinkelspidser) forbindes og hele spejlbilledet tegnes

Vi bemaeligrker at figuren og dens spejlbillede ligger symmetrisk om spejlingsaksen Paring billede 4 herover ser vi at den rdquosamlede figurrdquo ved spejling i en saringdan symmetriakse netop foslashres over i sig selv (halvdelene rdquobytter pladsrdquo)

FLYTNINGSGEOMETRI DREJING

1 Figuren (en trekant) skal drejes 100ordm med uret omkring punktet F

Side 18 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

2 En cirkelbue tegnes med F som centrum og FA som radius Drejningsvinklen 100ordm afsaeligttes med F som top-punkt og FA paring vinkelmaringlerens 0-streg

3 Afsaeligt Arsquos billedpunkt og gentag herefter proceduren med saring mange punkter som noslashdvendigt ndash her trekantens tre vinkelspidser

4 Billedpunkterne (her trekantens vinkelspidser)

forbindes og hele drejebilledet tegnes

Vi bemaeligrker at det kun er omdrejningspunktet F der ikke flytter sig ved en drejning Et saringdant punkt kalder man et fixpunkt

FLYTNINGSGEOMETRI PARALLELFORSKYDNINGFor fuldstaeligndighedens skyld skal herunder beskrives metoden naringr man paring et rdquoblanktrdquo stykke papir skal foretage en parallelforskydning ndash en flytning hvor alle figurens punkter skubbes lige langt og i samme retning Det er dog en disciplin der hoslashrer hoslashjere klassetrin til naringr man saeligdvanligvis udfoslashrer parallelforskydning er der nemlig et kvadratnet eller et koordinatsystem at stoslashtte sig til ndash som vist nederst paring siden

Parallelforskydning af linie

Side 19 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Parallelforskydning af plan figur

Parallelforskydning af figur i kvadratnetOpgaven vil typisk vaeligre at forskyde den paringgaeligldende figur (her en firkant) i pilens laeligngde og retningVi ser at hele figuren hermed skal flyttes rdquoto tern hen fire tern oprdquo Imidlertid er det nok at flytte de fire vinkelspidser idet de jo tilsammen rdquodefinererrdquo den paringgaeligldende firkantEndnu nemmere vil det vaeligre naringr man udnytter at figur og billedfigur er kongruente Saring kan man noslashjes med at flytte eacutet punkt og herudfra tegne en ny figur magen til den gamle

AREAL OG AREALBEREGNINGAreal angiver stoslashrrelsen af en flade og maringles i antal kvadrater med sidelaeligngden 1 For eksempel cm2 (kvadratcentimeter) m2 (kvadratmeter) eller km2

(kvadratkilometer)Herunder en raeligkke eksempler paring formler til udregning af areal naringr der dels er tale om elementaeligre geometriske figurer dels om sammensatte figurer Laeligg ikke mindst maeligrke til hvad det er for egenskaber der definerer de forskellige typer firkanter

Side 20 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Sammensatte figurerArealet findes ved at opdele figuren i to eller flere kendte figurer og finde de enkelte figureres arealer hver for sig Specielt kan man finde arealet af trekanter tegnet i kvadratnet ved at finde de to retvinklede trekanters arealer og laeliggge dem sammen Oslashvelser

Find arealet af hver af trekanterne a ndash f ved at bruge metoden ovenfor 1 tern svarer til 1 cm2a ____ + ____ = ____ cm2

b ____ + ____ = ____ cm2

c ____ + ____ = ____ cm2

d ____ + ____ = ____ cm2

e ____ + ____ = ____ cm2

f ____ + ____ = ____ cm2

(OMSAEligTNING I) METERSYSTEMETForrdquonavnrdquo

Kilo Hekto Deka Enhed

Deci Centi Milli

Betyder 1000 100 10 1 110 = 01

1100 = 001

11000 = 0001

Forkortes

k h da d c m

Laeligngde km hm dam m dm cm mmMasse kg hg dag g dg cg mgRumfang

kl hl dal l dl cl ml

Ovenstaringende betyder for metersystemets laeligngdemaringl foslashlgende omsaeligtninger1m = 10 dm 1 dm = 10 cm

Side 21 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

1 m2 = 102 dm2 = 100 dm2 1 dm2 = 102 cm2 = 100 cm2

1m3 = 103 dm3 = 1000 dm3 1 dm3 = 103 cm3 = 1000 cm3

1m = 100 cm 1 cm = 10 mm1m2 = 1002 cm2 = 10000 cm2 1 cm2 = 102 mm2 =

100 mm2

1 m3 = 1003 cm3 = 1000000 cm3 1 cm3 = 103 mm3 = 1000 mm3

Omsaeligtning bliver endnu nemmere hvis man laeligrer denne remse udenadkilo ndash hekto ndash deka ndash (bum) ndash deci ndash centi ndash milli(um)Find den benaeligvnelse der skal omsaeligttes fra samt den benaeligvnelse der skal omsaeligttes til (rdquoBumrdquo svarer til henholdsvis meter gram og liter)Taeligl det antal pladser der er imellem de to benaeligvnelser og flyt kommaet samme antal pladser i samme retningHvis der er tale om flade- (for eksempel m2) eller rummaringl (for eksempel m3) skal man huske at gange antallet af pladser med 2 henholdsvis 3 foslashr kommaet flyttes det tilsvarende antal pladserEksempel 5 m2 skal omsaeligttes til cm2I tabellen herover findes rdquoenhedrdquo og der taeliglles hvor mange pladser der er hen til rdquocentirdquo 2 pladser til hoslashjre Da det er et flademaringl (areal) skal antallet af pladser ganges med 2 (2 middot 2 = 4) Kommaet flyttes 4 pladser til hoslashjre og altsaring 5m 2 = 50000 cm 2 Eksempel 100 dm3 skal omsaeligttes til m3I tabellen herover findes rdquodecirdquo og der taeliglles hvor mange pladser der er hen til rdquoenhedrdquo 1 plads til venstre Da det er et rummaringl skal antallet af pladser ganges med 3 (3 middot 1 = 3) Kommaet flyttes 3 pladser til venstre og altsaring 100 dm 3 = 01 m 3

MASSE RUMFANG OG MASSEFYLDEMed begrebet massefylde tangerer vi faget fysik Maringske vil enkelte kunne huske at vi med udgangspunkt i FAKTOR i syvendersquos rdquoHvad kan du maringlerdquo da ogsaring arbejdede tvaeligrfagligt med emnet ndash blandt andet med nedenstaringende opstillingsystematik

ILLUSTRATION METODE rdquoGENSTANDErdquo

Side 22 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Finde dimensioner +)

(rdquolaeligngde bredde hoslashjderdquo)Udregne med formler

rdquoRegulaeligrerdquo legemerTerninger kasser cylindre kugler

Finde genstandens opdrift ved nedsaelignkning i vandBenytte Arkimedesrsquo lov ++)

Mindre (uregelmaeligssige)legemerCementklump jernlod

Nedsaelignke i maringleglas (mm) med vandMaringle stigningen i vandstand

Smaring (uregelmaeligssige)legemer Bolte soslashm sten

+) FidusBrug den laeligngdemaringlsenhed der direkte giver facit i den oslashnskede rumfangsenhed

Laeligngdemaringl i Rummaringlvolumen i

Spri

ng

paring 1

0

m (meter) 1000 l (tusind liter) = 1 m3 (kubikmeter)

Spri

ng

paring 1

000

dm (decimeter) 1 l (liter) = 1 dm3 (kubikdecimeter)

cm (centimeter) 1 ml (milliliter) = 1cm3 (kubikcentimeter)

++) Arkimedesrsquo lovEn genstand der nedsaelignkes i vand taber lige saring meget i vaeliggt som massen af det vand genstanden fortraeligngerNaringr vi efter ovenstaringende rumfangsbestemmelser ogsaring har fundet den paringgaeligldende genstands masse er vi klar til at arbejde med

Massefylde (vaeliggtfylde) = masse rumfang (volumen)Massefylde angives i gcm3 kgdm3 eller tm3 Sammenhaeligngen mellem de tre variable kan opstilles i en formeltrekant (side 27) Hvis masse eller volumen er den ukendte stoslashrrelse faringr man imidlertid brug for en tabel over forskellige stoffers massefylde

ALGEBRAAlgebra er rdquobogstavregningrdquo Vi bruger algebra naringr vi skal vise at udregninger af og sammenhaelignge mellem forskellige stoslashrrelser gaeliglder for alle talvaeligrdier For algebra ndash men altsaring ogsaring for regnearbejdet med rdquoalmindeligerdquo tal - gaeliglder en raeligkke regler som det er noslashdvendigt at kende naringr vi reducerer ndash skriver paring kortere formRegne-hierarkiFoslashrst potenser og roslashdder saring parenteser saring gange og dividere ndash til sidst plus og minus

Side 23 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Eksempel 4 (3 + 2)2 10 + 8 = 4 52 10 + 8 = 4 25 10 + 8 = 100 10 + 8 = 10 + 8 = 18

Plusparentes- kan haeligves og saeligttes uden at leddene inde i parentesen skifter fortegnEksempel med bogstaver a + (b + c ndash d) = a + b + c ndashdEksempel med tal 9 + (2 + 4 ndash 3) = 9 + 2 + 4 ndash 3 = 12 (9 + 3 = 12)Minusparentes- naringr minusparentesen haeligves skifter leddene inde i parentesen fortegnEksempel med bogstaver a ndash (b + c ndash d) = a ndash b ndash c + dEksempel med tal 9 ndash (2 + 4 ndash 3) = 9 ndash 2 ndash 4 + 3 = 6 (9 ndash 3 = 6)

Flerleddede stoslashrrelserMan ganger en flerleddet stoslashrrelse med et tal ved at gange hvert af leddene med tallet Dette kalder vi den distributive lov (Distribuere ndash dele ud)Eksempel med bogstaver a middot (b + c) = ab + acEksempel med tal 2 middot (4 + 2) = 2 middot 4 + 2 middot 2 = 8 + 4 = 12 (2 middot 6 = 12)Man ganger ndash selvfoslashlgelig - to flerleddede stoslashrrelser med hinanden ved atEksempel med bogstaver (a + b) middot (c + d) = ac + ad + bc + bdEksempel med tal (2 + 3) middot (5 + 4) = 2 middot 5 + 2 middot 4 + 3 middot 5 + 3 middot 4 =

10 + 8 + 15 + 12 = 45 (5 middot 9 = 45)Man dividerer en flerleddet stoslashrrelse med et tal ved at dividere hvert af leddeneEksempel med bogstaver (a + b) c = a c + b cEksempel med tal (6 + 2) 2 = 6 2 + 2 2 = 3 + 1 = 4 (8 2 = 4)Specielle tilfaeliglde hvis begge parenteser rummer de samme tal ndash bortset fra fortegnrdquoKvadratet paring en toleddet sumrdquo (a + b)2 = a2 + b2 + 2abVis selv hvordan _________________________________________________________________rdquoKvadratet paring en toleddet diffferensrdquo (a - b)2 = a2 + b2 - 2abVis selv hvordan _________________________________________________________________rdquoTo tals sum gange de samme to tals differensrdquo (a + b)(a ndash b) = a2 - b2 Vis selv hvordan _________________________________________________________________

En praktisk anvendelse af ovenstaringende ndash hovedregning () i rdquoden store tabelrdquo19 middot 19 = (20 ndash 1)2 = 202 + 12 ndash 2 middot 20 middot 1 = 400 + 1 ndash 40 = 36123 middot 23 = (20 + 3)2 = 202 + 32 + 2 middot 20 middot 3 = 400 + 9 + 120 = 529

Hvis man ikke netop bliver bedt om at reducere bogstavudtryk kan arbejdet med algebra bestaring i at finde det paringgaeligldende udtryks stoslashrrelse naringr de indsaeligttes forskellige vaeligrdier i stedet for de rdquoubekendterdquo bogstaver Udfyld saringledes

x 3x x + 4 10 ndash x 2x + 4 -x + 34

Side 24 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

-4-125frac12-20

x y y 2 2x ndash 3y 3 104 148 250 15

Flere klasser har haft glaeligde af at udarbejde saringdanne opgaver i regneark Her gaeliglder det netop om at finde den almene formel som talvaeligrdierne bagefter kan indsaeligttes i

Opgaver Find selv de tilsvarende formler og indsaeligt dem i cellerne A2 B2 C2 D2 E2

og F2 rdquoTraeligk nedrdquo og laeligg maeligrke til om du faringr de samme resultater som vist i

dumprsquoet Indret endnu et regneark og opstil tabel plus formler ogsaring til det andet skema Regn nedenstaringende opgaver Deacutet er reduktion stil gerne op i Word som vist12a ndash 6(3 ndash a) + 8 = 12a ndash 18 + 6a + 8 = 18a ndash 1040 + 3(9 ndash x) + 6x =___________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________________________________

3a + 4(9 ndash 2a) ndash 6 + a =______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2(x + 4) ndash (x + 5) =______________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________

___________________________________________________________5(7y + 5) ndash frac12(50 + 10y)_________________________________________________________=

______________________________________________________________________________________________________________________

FORMLERSide 25 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Specielt finder vi ndash som allerede naeligvnt - en meget nyttig anvendelse af algebra ved opstilling af formler Her garingr opgaven jo netop ud paring at fastlaeliggge en sammenhaeligng mellem forskellige variable stoslashrrelser - ved hjaeliglp af alt andet end konkrete talvaeligrdier Forharingbentlig vil nedenstaringende eksempler vaeligkke en vis genkendelseSammenhaeligngen mellem vejlaeligngde hastighed og tid s = v middot tSammenhaeligngen mellem spaelignding modstand og stroslashmstyrke U = R middot ISammenhaeligngen mellem masse rumfang og massefylde (se ogsaring side 22) m = V middot dEn saringdan sammenhaeligng mellem tre stoslashrrelser kan med fordel illustreres ved hjaeliglp af nedenstaringende trekanter Man laeliggger fingeren over den variable man oslashnsker at finde ndash og den aktuelle omformning af formlen vil umiddelbart fremgaring Lodret linie betyder multiplikation vandret linie (broslashkstreg) betyder division

s m v t V d Vi kan ved algebraens hjaeliglp faktisk selv opstille formler som vi er kommet i tvivl om Hvad er formlen for udregning af hastighed Jo hastighed angives som meter per sekund (ms) eller kilometer per time (kmt) Den skraringstreg der erstatter rdquoperrdquo betyder egentlig division - og dermed har vi den generelle formelHastighed = vejlaeligngde divideret med tid Med ovenstaringende betegnelser v = s t Andre formlerDe fleste formler (og vi bruger dem ofte) kan slarings op i forskellige formelsamlinger Hvis man ikke vil noslashjes med den udgave der er aftrykt i FAKTOR kan den rdquoofficiellerdquo formelsamling til brug for afgangsproslashverne nedlades () fra wwwuvmdk ndash eller man kan (eventuelt paring klassebasis) investere i forlaget degne-distribs tilsvarende rdquomatematiske formler og tabellerrdquo Den koster ikke meget ndash og saring har man lov til at goslashre notater To saeligt formler som vist nok ikke findes andetsteds og som flere klasser har arbejdet en del med skal imidlertid anfoslashres til slut Det drejer sig om

Fremmed valuta Aktier og obligationerDKK = (Valuta 100) middot Kurs Pris = (Paringlydende 100) middot Kurs

(kr) Valuta = (DKK Kurs) middot 100 Paringlydende = (Pris Kurs) middot 100

(kr)Kurs = (DKK Valuta) middot 100 Kurs = (Pris Paringlydende) middot 100 Opgavera) Kurs 120 Paringlydende 100 kroner Hvor mange aktier kan du koslashbe for 60000 kronerb) Hvor mange norske kroner kan du faring for 2000 danske kroner naringr kursen er 8378c) Hvor meget koster 1700 Euro til kurs 74492

LOslashSNING AF LIGNINGERSide 26 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Vi arbejder igen rdquofra hoslashjre mod venstrerdquo og traeligkker enere fra enere tiere fra tiere 2 minus 4 Det kan man ikke saring maring vi ndash rdquolaringnerdquo plejede vi at sige Imidlertid indebaeligrer et laringn at man betaler tilbage derfor foretraeligkker vi nu betegnelsen rdquoat vekslerdquo 1 tier veksles til 10 enere og den nu manglende tier symboliseres ved en streg hen over cifferet (her et 3-tal) Vi faringr heraf (10 + 2) ndash 4 = 82 minus 5 Vi veksler 1 hundreder til 10 tiere idet vi husker at saeligtte en streg over 8-tallet Vi faringr hermed (10 + 2) ndash 5 = 77 minus 9 Vi veksler 1 tusinder til 10 hundreder (streg over 4-tallet) og faringr 17 ndash 9 = 83 minus 2 3 ndash 2 = 1 Vi faringr alt i alt som resultat 4832 ndash 2954 = 1878Oslashvelse Faeligrdiggoslashr nedenstaringende subtraktioner

MULTIPLIKATION - AT GANGEFor at kunne operere fornuftigt naringr man rdquomed blyant og papirrdquo skal gange to tal med hinanden skal man vaeligre helt sikkert hjemme i den lille tabel Ikke bare paring remse men saringdan at et hvilket som helst produkt af to tal - op til 10 gange 10 - sidder paring rygmarven Opstillingen af den lille tabel kender vi fra bagsiden af regnehaeligftet

OslashvelseAlle produkter i 2-tabellen oslashves i tilfaeligldig raeligkkefoslashlge for eksempel7middot2 = 4middot2 = 6middot2 = 3middot2 = 2middot2 = 5middot2 = 8middot2 = 1middot2 = 9middot2 = 6middot2 = 7middot2 = 6middot2 =

OslashvelseAlle produkter i 3-tabellen oslashves i tilfaeligldig raeligkkefoslashlge for eksempel7middot3 = 4middot3 = 6middot3 = 3middot3 = 2middot3 = 5middot3 = 8middot3 = 1middot3 = 9middot3 = 6middot3 = 7middot3 = 6middot3 =

Oslashvelse

Side 7 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Alle produkter i 4- 5- 6- 7- 8- 9- og 10-tabellerne oslashves paring samme vis ndash mere end eacuten gang

OslashvelseAlle produkter af to tal ndash op til 10 gange 10 ndash oslashves i tilfaeligldig raeligkkefoslashlge ndash mange gange3middot2 = 5middot7 = 8middot4 = 6middot8 = 5middot2 = 4middot5 = 8middot7 = 3middot5 = 9middot3 = 7middot6 = 3middot8 = 4middot9 = TIP 1 Brug (en kopi af) ovenstaringende opstilling og kryds af efterharingnden ndash saring er der lynhurtigt overblik over 100-200 multiplikationsopgaverTIP 2 Der oslashves baringde rdquoforlaelignsrdquo og rdquobaglaelignsrdquo 8middot7 = 7middot8 = 4middot9 = 9middot4 = etcTIP 3 Som udbygning kan startes man regne rdquoindefra og udrdquo saring de tilsvarende divisions-stykker fremkommer 728 = 369 = 637 = 273 486 = 497 = 568 = etc

Paring naeligste side skal saring vi have fat i blyant og papir

Mange operationer i regning og matematik udfoslashres efter en saringkaldt algoritme ndash altsaring en slags opskrift eller koslashreplan for hvordan man skridt for skridt bevaeligger sig gennem loslashsningen af en stillet opgaveEleverne kan have tilegnet sig forskellige algoritmer ogsaring naringr det drejer sig om multi-plikation Som ofte naeligvnt for eleverne maring kravet til en algoritme vaeligre at Den paringgaeligldende elev er tryg ved algoritmen og fortrolig med at bruge den Den valgte algoritme foslashrer eleven til det rigtige resultat ndash hver gang Algoritmen skal vaeligre universel ndash det vil sige den skal kunne bruges paring alle

opgaver (indeholdende alle rdquoslagsrdquo tal) af den paringgaeligldende artHvis en elev paring nuvaeligrende tidspunkt ikke har tilegnet sig en multiplikationsalgoritme der opfylder kriterierne kan nedenstaringende anbefales ndash proslashv den paring opgaverne til hoslashjre

Side 8 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

TIP 1 Regn eventuelt nogle stykker ad gangen (for eksempel en rdquososlashjlerdquo) i stedet for at se dig overvundet af alle stykker paring eacuten gangTIP 2 Hvis der er behov for flere opgaver kan man sagtens selv finde paring ndash husk blot at komme rundt om alle tallene i den lille tabel ligesom herover

DIVISION ndash AT DELEFor at kunne operere fornuftigt naringr man rdquomed blyant og papirrdquo skal udfoslashre en division skal man ogsaring vaeligre helt sikkert hjemme i den lille tabel Traeligningen af denne faeligrdighed foregaringr paring samme maringde som beskrevet i afsnittet rdquomultiplikationrdquoDivision kan med fordel foregaring efter foslashlgende algoritme1) Dele 2) Gange 3) Traeligkke fra 4) Traeligkke ned

TIP 1 Bemaeligrk den foreslaringede opstilling der rummer alle udregninger ndash og goslashr opgaven mere overskuelig ved at regne paring ternet papir

Side 9 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

TIP 2 Regn eventuelt nogle stykker ad gangen (for eksempel en rdquososlashjlerdquo) i stedet for at se dig overvundet af alle stykker paring eacuten gangTIP 3 Hvis der er behov for lidt svaeligrere opgaver kan man bare tage multiplikations-stykkerne paring foregaringende side og rdquovende dem omrdquo 21 middot 146 = 3066 bliver til 3066 21 =

BROslashKEROgsaring i forbindelse med broslashker er der brug for nogle rdquofagudtrykrdquo som ses herunder

HuskereglerTaeligller i Toppen Naeligvner er NedenunderTaeliglleren taeligller op altsaring Hvor mange er derNaeligvneren benaeligvner altsaring Hvilken rdquoslagsrdquo er detHeraf farings at broslashken til venstre skal laeligses rdquoto femtedelerdquoEndelig er en broslashkstreg det samme som et divisionstegn Det man faringr besked paring er altsaring at udfoslashre divisionen 2 5

Ved regning med broslashker foslashlger af ovenstaringende en raeligkke regler som det godt kan vaeligre en fordel ogsaring at kende den sproglige formulering afTo eller flere ensbenaeligvnte broslashker (broslashker med samme naeligvner) adderes (laeliggges sammen) ved at addere taeligllerne og beholde naeligvneren14 + 24 = 34 15 + 25 + 15 = 45 27 + 47 = 67 39 + 29 + 29 = 79 To eller flere ensbenaeligvnte broslashker (broslashker med samme naeligvner) subtraheres (traeligkkes fra) ved at subtrahere taeligllerne og beholde naeligvneren67 ndash 37 ndash 17 = 27 34 ndash 14 = 24 58 ndash 28 ndash 18 = 28 89 ndash 39 = 59Man forlaelignger en broslashk ved at gange den med samme tal i taeligller og naeligvner34 = 34 middot 22 = 68 38 = 38 middot 33 = 924 27 = 27 middot 44 = 828Ovenstaringende operation aeligndrer ikke paring broslashkens vaeligrdi men alene paring dens rdquoudseenderdquoMan forkorter en broslashk ved at dividere den med samme tal i taeligller og naeligvner612 = 612 66 = 12 39 = 39 33 = 13 68 = 68 22 = 34 Ovenstaringende operation aeligndrer ikke paring broslashkens vaeligrdi men alene paring dens rdquoudseenderdquoHar man ved addition og subtraktion ikke samme naeligvner i broslashkerne maring denne fremskaffes ved at forlaelignge eller forkorte den ene eller begge broslashker12 + 14 = 24 + 14 = 34 34 - 18 = 68 ndash 18 = 58 28 ndash 16 = 624 ndash 424 = 224 25 + 27 = 1435 + 1035 = 2435 35 ndash 315 = 35 ndash 15 = 25 Man ganger en broslashk med et tal ved at gange taeligller med tallet og beholde naeligvner2 middot37 = 67 4middot29 = 89 3middot45 = 125 = 2 25 (idet facit angives som blandet tal)

Side 10 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Man dividerer en broslashk med et tal ved at dividere taeligller med tallet og beholde naeligvner68 2 = (62)8 = 38 67 2 = (62)7 = 37 34 2 = 68 2 = (6 2)8 = 38 I det sidste eksempel maringtte broslashken foslashrst forlaelignges saring taeliglleren kunne deles med 2 Alternativt kan man i saringdanne tilfaeliglde udregne 34 2 = 3(4 middot 2) = 38 Begge veje er farbare i alle opgaver hvor det tal der divideres med ikke umiddelbart garingr op i broslashkens naeligvner ndash nu som foslashr drejer det sig om at goslashre det man er tryg vedMan dividerer en broslashk med en broslashk ved at gange med rdquoden omvendterdquo16 12 = 16 middot 21 = 26 = 13 13 58 = 13 middot 85 = 815 17 15 = 17 middot 51 = 57

DECIMALTALKommatal kaldes ogsaring decimaltal Cifrene efter kommaet hedder decimalerFoslashrste decimal (altsaring foslashrste plads efter kommaet) viser antal tiendedele Anden decimal (anden plads efter kommaet) viser antal hundrededele etcI et rdquoudvidet talhusrdquo som nedenstaringende (flere gange anvendt i FAKTOR) kan man ud over placeringen af de hele tal (enere ndash tiere ndash hundreder etc) ogsaring se hvor decima-lerne skal staring Modellen kan naturligvis udvides saring man paring tredje plads efter kommaet finder tusindedelene paring fjerde plads titusinde-delene etc

I ovenstaringende talhus har vi altsaring foslashlgende tal illustreret 750 ndash 2425 ndash 7605 ndash 10510OslashvelseHvor mange tiendedele hundrededele og tusindedele er der i tallene 785 ndash 560 ndash 55521 ndash 2309 ndash 349 ndash 4598 ndash 9125 ndash 8845 ndash 1502 ndash 34004 ndash 001 ndash 25OslashvelseParing hvilken plads staringr 7-tallet i tallene1735 ndash 207 ndash 7081 ndash 0257 ndash 467 ndash 6478 ndash 087 ndash 34721 ndash 65791 ndash 8007 ndash 267 ndash 70 OslashvelseOmskriv til eacutet decimaltal a 2 tiere + 7 enere + 3 tiendedele + 1 hundrededel b 5 tiere + 1 ener + to tiendedele + 3 hundrededele + 7 tusindedelec 6 hundreder + 2 enere + 4 tiendedele + 1 tusindedel

Side 11 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Naringr decimaltal skal adderes eller subtraheres skal man huske at stille komma over komma ndash og dernaeligst tiere over tiere enere over enere tiendedele over tiendedele etc Ved division skal der komma i facit naringr man i udregningen traeligkker tiendedelen nedVed multiplikation kan man stille op og regne ud som saeligdvanligt og saeligtte komma til sidst Samlet antal decimaler i de to faktorer giver antal decimaler i facit

PROCENTREGNINGOrdet procent kommer af latin pro centum ndash for hver hundrede Procent betyder saringledes 1100 eller 1 ud af 100 For procent benyttes symbolet 50 procent = 50

Eksempel paring rdquoberegn procentdelrdquo 40 af 250Idet vi udnytter at procent betyder hundrededel farings 1 procent ved at dividere med 100 40 procent findes ved at gange det fundne tal med 40 I eacuten opstilling giver dette40 af 250 = (250100)40 = 100Da 40 hundrededele imidlertid ogsaring kan skrives som 040 (se positionssystemet) farings40 af 250 = 040250 = 100Maringske er det til at gennemskue at de udfoslashrte regneoperationer i de to tilfaeliglde dybest set er de samme ndash men det kan altsaring goslashre en forskel for den enkelte elev ndash igen ndash at vaeliglge den algoritme vedkommende er mest tryg ved

Eksempel paring rdquolaeliggge procentdel tilrdquo 25 moms paring en vare til 250 krPris uden moms 25000 krMoms 025250 = 6250 krPris med moms 25000 + 6250 = 31250 krMan kan ogsaring betragte prisen med moms som (100 + 25) af beloslashbet uden moms Deraf farings prisen med moms ved blot eacuten udregningPris med moms 250115 = 31250 kr

Eksempel paring rdquotraeligkke procentdel frardquo 20 moms paring en vare til 200 krRabatpris 08200 = 160 kr(Idet 20 rabat maring betyde at der er 80 tilbage af varens oprindelige pris)

Eksempel paring rdquoberegning af procentdelrdquo Stigning fra 120 til 150 kr

Eksempel paring rdquoberegning af procentdelrdquo Fald fra 150 til 120 kr

Eksempel paring rdquoberegn hele beloslashbetrdquo 15 svarer til 750 kr 1 750 15 = 50

Side 12 af 42

Procentvis stigning stigningdet oprindelige beloslashb

= 150 minus 120120

lowast 100= 25

Procentvist fald falddet oprindelige beloslashb

= 150minus 120150

lowast 100= 20

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

100 50 100 = 5000

I eacuten (generelt anvendelig) opstilling

OMREGNING MELLEM BROslashK ndash DECIMALTAL ndash PROCENT15 = 020 = 20 Saringdan staringr der i FAKTOR for sjette under overskriften rdquoEr decimaltal bedre end broslashkerrdquo Der kan ikke gives en eacutentydigt svar paring dette idet de tre maringder at angive et tal paring har hver deres fordele ndash og de er da ogsaring alle nyttige at kende For at faring det fulde udbytte af dette kendskab skal man imidlertid frit kunne omregne mellem de tre skrivemaringder ndash og ikke bare i et tilfaeliglde som ovenstaringende hvor sammenhaeligngen er saring kendt at man naeligsten kan den udenad og altsaring ikke behoslashver at regne noget ud Foslashlgende regler gaeliglder ved omregning

Broslashk til decimaltalVi udnytter at broslashkstregen er det samme som et divisionstegn og udfoslashrer blot divisionen hvad enten det nu er i hovedet med blyantpapir paring lommeregner35 = 3 5 = 06 18 = 1 8 = 0125 24 = 2 4 = 05 14 = 1 4 = 025 13 = 1 3 asymp 033 27 = 2 7 asymp 029 19 = 1 9 asymp 011 111 = 1 11 asymp 009

Decimaltal til broslashkHer omskriver vi decimaltallet til tiendedele eller hundrededele og forkorter herefter06 = 610 = 25 0125 = 1251000 = 25200 = 540 = 18 025 = 25100 = 520 = 14

Broslashk til procent Nogle gange garingr det an at forlaelignge broslashken saring naeligvneren bliver til hundrededele 25 = 40100 = 40 34 = 75100 = 75 710 = 70100 = 70 325 = 12100 = 12Ellers siger den generelle regel rdquoomskriv til procent ved at gange med 100rdquo78 = (7middot1008) = 700 8 = 875 315 = (3middot10015) = 300 15 = 20 Procent til broslashkProcenten omskrives til hundrededele hvorefter der forkortes 40 = 40100 = 410 = 25 75 = 75100 = 1520 = 34 12 = 12100 = 650 = 325

Decimaltal til procentrdquoOmskriv til procent ved at gange med 100rdquo I et decimaltal realiseres dette ved at flytte kommaet to pladser til hoslashjre031 = 031 middot 100 = 31 007 = 007 middot 100 = 7 0375 = 0375 middot 100 = 375 Procent til decimaltalHer divideres med 100 hvorved kommaet flyttes to pladser til venstre

Side 13 af 42

100=75015

lowast 100 = 5000

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

31 = 31 100 = 031 7 = 7 100 = 007 375 = 375 100 = 0375

OslashvelseParing naeligste side findes et skema til omregning mellem broslashk decimaltal og procent ndash mere omfattende end det der findes i FAKTOR for sjette paring side 100Udfyld skemaet ved hjaeliglp af de metoder der er gennemgaringet herover ndash herefter vil man goslashre sig selv en tjeneste hvis man laeligrer hele herligheden udenad

OMREGNING MELLEM BROslashK ndash DECIMALTAL ndash PROCENT

Broslashk Decimaltal Procent

110

18

210 = 15

28 = 14

31013

(afrundet) (angives evt som blandet tal)38

410 = 25

510 = 48 = 12

610 = 35

5823

(afrundet) (angives evt som blandet tal)710

68 = 34

810 = 45

78

910

Side 14 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

1010 = 88 = 11

EkstraopgaveHvilke tyvendedele mangler (og hvor) i skemaet Hvad bliver disse tyvendedele til ved omregning til decimaltal og procent

KOORDINATSYSTEMETEt koordinatsystem dannes saeligdvanligvis af to tallinier der staringr vinkelret paring hinanden Paring denne maringde deles rdquoplanenrdquo eller papiret i fire dele Hver af delene kalder vi en kvadrant som benaeligvnes med romertalI = 1 kvadrant II = 2 kvadrant III = 3 kvadrant IV = 4 kvadrant

II I

III IV

Den vandrette tallinie kaldes x-aksen eller foslashrste-aksen Den lodrette tallinie kaldes y-aksen eller anden-aksen Hvert punkt i koordinatsystemet kan angives med et koordinatsaeligt hvor det foslashrste tal aflaeligses paring x-aksen og det andet tal aflaeligses paring y-aksen (det er her vi har indfoslashrt den fjollede huskeregel med rdquohen ad gaden op ad trappenrdquo) Eksempelvis er koordinaterne til de tre afmaeligrkede punkter i systemet herover til hoslashjre (30) (-24) og (-2-2) Generelt gaeliglder om koordinaternes fortegn1 kvadrant (++) 2 kvadrant (-+) 3 kvadrant (--) 4 kvadrant (+-)I koordinatsystemet kan man ud over at afsaeligtte enkeltpunkter (typisk i kvadrant I) afbilde sammenhaelignge mellem to forskellige stoslashrrelser som herunder

Side 15 af 42

Befolkningstilvaeligkst i Japan

126012651270127512801285

1999

2000

2001

2002

2003

2004

2005

2006

Aringrstal

Mio

ind

bygg

ere

Samlet torskefangst i 1979 og 2000

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

Janu

ar

Febr

uar

Mar

ts

Apr

il

Maj

Juni

Juli

Aug

ust

Sep

tem

ber

Okt

ober

Nov

embe

r

Dec

embe

r

Anta

l ton

2000 1979

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

GEOMETRIVinklers stoslashrrelse

En vinkel der er stoslashrre end 90ordm kaldes en stump vinkelEn vinkel der er lig med 90ordm kaldes en ret vinkelEn vinkel der er mindre end 90ordm kaldes en spids vinkel

Tegning af vinkel

Vinklens toppunkt skal ligge midt i vinkelmaringleren Det ene vinkelben skal garing gennem 0 det andet ben viser vinklen

VinkelsumVinkelsummen i en tilfaeligldig trekant vil

saltid altid vaeligre 180ordmTegn en trekant og klip den udDel trekanten i tre efter de stiplede

linier linier som paring tegningen til venstreLaeligg de tre vinkler ved siden af

hinanden De De vil nu til sammen danne en lige vinkel det vil sige det vil netop sige en vinkel paring 180ordm

Hvad mon vinkelsummen er i en firkant Tegn og klip som Tegn og klip som foslashr ndash eller

Side 16 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Vinkelstoslashrrelser i trekanterAlt efter vinkelstoslashrrelser deles trekanter efter omstaringende ind i tre hovedtyperSpidsvinklede trekanter Den stoslashrste vinkel er mindre end 90 ordm Retvinklede trekanter Den stoslashrste vinkel er netop lig 90 ordmStumpvinklede trekanter Den stoslashrste vinkel er stoslashrre end 90 ordm

rdquoSpeciellerdquo trekanterTrekanter der har to lige lange sider kaldes ligebenede trekanter Saringdanne trekanter har ogsaring to lige store vinkler (vinklerne ved grundlinien) Trekanter der har tre lige lange sider kaldes ligesidede trekanter Alle tre vinkler i saringdanne trekanter har samme stoslashrrelse nemlig 60 ordm

HoslashjdeHoslashjden i en trekant er liniestykket fra en vinkelspids vinkelret paring den modstaringende sideAlle trekanter har saringledes tre hoslashjder og de skaeligrer hinanden i eacutet og samme punktI retvinklede trekanter falder to af hoslashjderne sammen med trekantens korte siderI stumpvinklede trekanter falder to af hoslashjderne uden for trekanten

Median

MedianMedianen er liniestykket fra en vinkelspids til midtpunktet af modstaringende sideAlle trekanter har naturligvis tre medianer og de skaeligrer hinanden i eacutet og samme punktBemaeligrk I ligesidede trekanter er hoslashjder medianer (foruden vinkelhalveringslinier og sidernes midtnormaler) i alle tilfaeliglde sammenfaldende

FLYTNINGSGEOMETRI SPEJLING

Side 17 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

1 Figuren (en trekant) skal spejles i den viste linie

2 Tegnetrekanten laeliggges paring saring dens lange side staringr vinkelret paring spejlingsaksen Maringl fra A paring trekanten afstanden ned til aksen og afsaeligt saring spejlbilledet af A lige saring langt paring den anden side (dette kan ogsaring goslashres praeligcist med en passer)

3 Gentag proceduren fra 2 med saring mange punkter som noslashdvendigt som noslashdvendigt ndash i dette tilfaeliglde trekantens tre vinkelspidser

4 Billedpunkterne (her trekantens vinkelspidser) forbindes og hele spejlbilledet tegnes

Vi bemaeligrker at figuren og dens spejlbillede ligger symmetrisk om spejlingsaksen Paring billede 4 herover ser vi at den rdquosamlede figurrdquo ved spejling i en saringdan symmetriakse netop foslashres over i sig selv (halvdelene rdquobytter pladsrdquo)

FLYTNINGSGEOMETRI DREJING

1 Figuren (en trekant) skal drejes 100ordm med uret omkring punktet F

Side 18 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

2 En cirkelbue tegnes med F som centrum og FA som radius Drejningsvinklen 100ordm afsaeligttes med F som top-punkt og FA paring vinkelmaringlerens 0-streg

3 Afsaeligt Arsquos billedpunkt og gentag herefter proceduren med saring mange punkter som noslashdvendigt ndash her trekantens tre vinkelspidser

4 Billedpunkterne (her trekantens vinkelspidser)

forbindes og hele drejebilledet tegnes

Vi bemaeligrker at det kun er omdrejningspunktet F der ikke flytter sig ved en drejning Et saringdant punkt kalder man et fixpunkt

FLYTNINGSGEOMETRI PARALLELFORSKYDNINGFor fuldstaeligndighedens skyld skal herunder beskrives metoden naringr man paring et rdquoblanktrdquo stykke papir skal foretage en parallelforskydning ndash en flytning hvor alle figurens punkter skubbes lige langt og i samme retning Det er dog en disciplin der hoslashrer hoslashjere klassetrin til naringr man saeligdvanligvis udfoslashrer parallelforskydning er der nemlig et kvadratnet eller et koordinatsystem at stoslashtte sig til ndash som vist nederst paring siden

Parallelforskydning af linie

Side 19 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Parallelforskydning af plan figur

Parallelforskydning af figur i kvadratnetOpgaven vil typisk vaeligre at forskyde den paringgaeligldende figur (her en firkant) i pilens laeligngde og retningVi ser at hele figuren hermed skal flyttes rdquoto tern hen fire tern oprdquo Imidlertid er det nok at flytte de fire vinkelspidser idet de jo tilsammen rdquodefinererrdquo den paringgaeligldende firkantEndnu nemmere vil det vaeligre naringr man udnytter at figur og billedfigur er kongruente Saring kan man noslashjes med at flytte eacutet punkt og herudfra tegne en ny figur magen til den gamle

AREAL OG AREALBEREGNINGAreal angiver stoslashrrelsen af en flade og maringles i antal kvadrater med sidelaeligngden 1 For eksempel cm2 (kvadratcentimeter) m2 (kvadratmeter) eller km2

(kvadratkilometer)Herunder en raeligkke eksempler paring formler til udregning af areal naringr der dels er tale om elementaeligre geometriske figurer dels om sammensatte figurer Laeligg ikke mindst maeligrke til hvad det er for egenskaber der definerer de forskellige typer firkanter

Side 20 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Sammensatte figurerArealet findes ved at opdele figuren i to eller flere kendte figurer og finde de enkelte figureres arealer hver for sig Specielt kan man finde arealet af trekanter tegnet i kvadratnet ved at finde de to retvinklede trekanters arealer og laeliggge dem sammen Oslashvelser

Find arealet af hver af trekanterne a ndash f ved at bruge metoden ovenfor 1 tern svarer til 1 cm2a ____ + ____ = ____ cm2

b ____ + ____ = ____ cm2

c ____ + ____ = ____ cm2

d ____ + ____ = ____ cm2

e ____ + ____ = ____ cm2

f ____ + ____ = ____ cm2

(OMSAEligTNING I) METERSYSTEMETForrdquonavnrdquo

Kilo Hekto Deka Enhed

Deci Centi Milli

Betyder 1000 100 10 1 110 = 01

1100 = 001

11000 = 0001

Forkortes

k h da d c m

Laeligngde km hm dam m dm cm mmMasse kg hg dag g dg cg mgRumfang

kl hl dal l dl cl ml

Ovenstaringende betyder for metersystemets laeligngdemaringl foslashlgende omsaeligtninger1m = 10 dm 1 dm = 10 cm

Side 21 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

1 m2 = 102 dm2 = 100 dm2 1 dm2 = 102 cm2 = 100 cm2

1m3 = 103 dm3 = 1000 dm3 1 dm3 = 103 cm3 = 1000 cm3

1m = 100 cm 1 cm = 10 mm1m2 = 1002 cm2 = 10000 cm2 1 cm2 = 102 mm2 =

100 mm2

1 m3 = 1003 cm3 = 1000000 cm3 1 cm3 = 103 mm3 = 1000 mm3

Omsaeligtning bliver endnu nemmere hvis man laeligrer denne remse udenadkilo ndash hekto ndash deka ndash (bum) ndash deci ndash centi ndash milli(um)Find den benaeligvnelse der skal omsaeligttes fra samt den benaeligvnelse der skal omsaeligttes til (rdquoBumrdquo svarer til henholdsvis meter gram og liter)Taeligl det antal pladser der er imellem de to benaeligvnelser og flyt kommaet samme antal pladser i samme retningHvis der er tale om flade- (for eksempel m2) eller rummaringl (for eksempel m3) skal man huske at gange antallet af pladser med 2 henholdsvis 3 foslashr kommaet flyttes det tilsvarende antal pladserEksempel 5 m2 skal omsaeligttes til cm2I tabellen herover findes rdquoenhedrdquo og der taeliglles hvor mange pladser der er hen til rdquocentirdquo 2 pladser til hoslashjre Da det er et flademaringl (areal) skal antallet af pladser ganges med 2 (2 middot 2 = 4) Kommaet flyttes 4 pladser til hoslashjre og altsaring 5m 2 = 50000 cm 2 Eksempel 100 dm3 skal omsaeligttes til m3I tabellen herover findes rdquodecirdquo og der taeliglles hvor mange pladser der er hen til rdquoenhedrdquo 1 plads til venstre Da det er et rummaringl skal antallet af pladser ganges med 3 (3 middot 1 = 3) Kommaet flyttes 3 pladser til venstre og altsaring 100 dm 3 = 01 m 3

MASSE RUMFANG OG MASSEFYLDEMed begrebet massefylde tangerer vi faget fysik Maringske vil enkelte kunne huske at vi med udgangspunkt i FAKTOR i syvendersquos rdquoHvad kan du maringlerdquo da ogsaring arbejdede tvaeligrfagligt med emnet ndash blandt andet med nedenstaringende opstillingsystematik

ILLUSTRATION METODE rdquoGENSTANDErdquo

Side 22 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Finde dimensioner +)

(rdquolaeligngde bredde hoslashjderdquo)Udregne med formler

rdquoRegulaeligrerdquo legemerTerninger kasser cylindre kugler

Finde genstandens opdrift ved nedsaelignkning i vandBenytte Arkimedesrsquo lov ++)

Mindre (uregelmaeligssige)legemerCementklump jernlod

Nedsaelignke i maringleglas (mm) med vandMaringle stigningen i vandstand

Smaring (uregelmaeligssige)legemer Bolte soslashm sten

+) FidusBrug den laeligngdemaringlsenhed der direkte giver facit i den oslashnskede rumfangsenhed

Laeligngdemaringl i Rummaringlvolumen i

Spri

ng

paring 1

0

m (meter) 1000 l (tusind liter) = 1 m3 (kubikmeter)

Spri

ng

paring 1

000

dm (decimeter) 1 l (liter) = 1 dm3 (kubikdecimeter)

cm (centimeter) 1 ml (milliliter) = 1cm3 (kubikcentimeter)

++) Arkimedesrsquo lovEn genstand der nedsaelignkes i vand taber lige saring meget i vaeliggt som massen af det vand genstanden fortraeligngerNaringr vi efter ovenstaringende rumfangsbestemmelser ogsaring har fundet den paringgaeligldende genstands masse er vi klar til at arbejde med

Massefylde (vaeliggtfylde) = masse rumfang (volumen)Massefylde angives i gcm3 kgdm3 eller tm3 Sammenhaeligngen mellem de tre variable kan opstilles i en formeltrekant (side 27) Hvis masse eller volumen er den ukendte stoslashrrelse faringr man imidlertid brug for en tabel over forskellige stoffers massefylde

ALGEBRAAlgebra er rdquobogstavregningrdquo Vi bruger algebra naringr vi skal vise at udregninger af og sammenhaelignge mellem forskellige stoslashrrelser gaeliglder for alle talvaeligrdier For algebra ndash men altsaring ogsaring for regnearbejdet med rdquoalmindeligerdquo tal - gaeliglder en raeligkke regler som det er noslashdvendigt at kende naringr vi reducerer ndash skriver paring kortere formRegne-hierarkiFoslashrst potenser og roslashdder saring parenteser saring gange og dividere ndash til sidst plus og minus

Side 23 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Eksempel 4 (3 + 2)2 10 + 8 = 4 52 10 + 8 = 4 25 10 + 8 = 100 10 + 8 = 10 + 8 = 18

Plusparentes- kan haeligves og saeligttes uden at leddene inde i parentesen skifter fortegnEksempel med bogstaver a + (b + c ndash d) = a + b + c ndashdEksempel med tal 9 + (2 + 4 ndash 3) = 9 + 2 + 4 ndash 3 = 12 (9 + 3 = 12)Minusparentes- naringr minusparentesen haeligves skifter leddene inde i parentesen fortegnEksempel med bogstaver a ndash (b + c ndash d) = a ndash b ndash c + dEksempel med tal 9 ndash (2 + 4 ndash 3) = 9 ndash 2 ndash 4 + 3 = 6 (9 ndash 3 = 6)

Flerleddede stoslashrrelserMan ganger en flerleddet stoslashrrelse med et tal ved at gange hvert af leddene med tallet Dette kalder vi den distributive lov (Distribuere ndash dele ud)Eksempel med bogstaver a middot (b + c) = ab + acEksempel med tal 2 middot (4 + 2) = 2 middot 4 + 2 middot 2 = 8 + 4 = 12 (2 middot 6 = 12)Man ganger ndash selvfoslashlgelig - to flerleddede stoslashrrelser med hinanden ved atEksempel med bogstaver (a + b) middot (c + d) = ac + ad + bc + bdEksempel med tal (2 + 3) middot (5 + 4) = 2 middot 5 + 2 middot 4 + 3 middot 5 + 3 middot 4 =

10 + 8 + 15 + 12 = 45 (5 middot 9 = 45)Man dividerer en flerleddet stoslashrrelse med et tal ved at dividere hvert af leddeneEksempel med bogstaver (a + b) c = a c + b cEksempel med tal (6 + 2) 2 = 6 2 + 2 2 = 3 + 1 = 4 (8 2 = 4)Specielle tilfaeliglde hvis begge parenteser rummer de samme tal ndash bortset fra fortegnrdquoKvadratet paring en toleddet sumrdquo (a + b)2 = a2 + b2 + 2abVis selv hvordan _________________________________________________________________rdquoKvadratet paring en toleddet diffferensrdquo (a - b)2 = a2 + b2 - 2abVis selv hvordan _________________________________________________________________rdquoTo tals sum gange de samme to tals differensrdquo (a + b)(a ndash b) = a2 - b2 Vis selv hvordan _________________________________________________________________

En praktisk anvendelse af ovenstaringende ndash hovedregning () i rdquoden store tabelrdquo19 middot 19 = (20 ndash 1)2 = 202 + 12 ndash 2 middot 20 middot 1 = 400 + 1 ndash 40 = 36123 middot 23 = (20 + 3)2 = 202 + 32 + 2 middot 20 middot 3 = 400 + 9 + 120 = 529

Hvis man ikke netop bliver bedt om at reducere bogstavudtryk kan arbejdet med algebra bestaring i at finde det paringgaeligldende udtryks stoslashrrelse naringr de indsaeligttes forskellige vaeligrdier i stedet for de rdquoubekendterdquo bogstaver Udfyld saringledes

x 3x x + 4 10 ndash x 2x + 4 -x + 34

Side 24 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

-4-125frac12-20

x y y 2 2x ndash 3y 3 104 148 250 15

Flere klasser har haft glaeligde af at udarbejde saringdanne opgaver i regneark Her gaeliglder det netop om at finde den almene formel som talvaeligrdierne bagefter kan indsaeligttes i

Opgaver Find selv de tilsvarende formler og indsaeligt dem i cellerne A2 B2 C2 D2 E2

og F2 rdquoTraeligk nedrdquo og laeligg maeligrke til om du faringr de samme resultater som vist i

dumprsquoet Indret endnu et regneark og opstil tabel plus formler ogsaring til det andet skema Regn nedenstaringende opgaver Deacutet er reduktion stil gerne op i Word som vist12a ndash 6(3 ndash a) + 8 = 12a ndash 18 + 6a + 8 = 18a ndash 1040 + 3(9 ndash x) + 6x =___________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________________________________

3a + 4(9 ndash 2a) ndash 6 + a =______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2(x + 4) ndash (x + 5) =______________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________

___________________________________________________________5(7y + 5) ndash frac12(50 + 10y)_________________________________________________________=

______________________________________________________________________________________________________________________

FORMLERSide 25 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Specielt finder vi ndash som allerede naeligvnt - en meget nyttig anvendelse af algebra ved opstilling af formler Her garingr opgaven jo netop ud paring at fastlaeliggge en sammenhaeligng mellem forskellige variable stoslashrrelser - ved hjaeliglp af alt andet end konkrete talvaeligrdier Forharingbentlig vil nedenstaringende eksempler vaeligkke en vis genkendelseSammenhaeligngen mellem vejlaeligngde hastighed og tid s = v middot tSammenhaeligngen mellem spaelignding modstand og stroslashmstyrke U = R middot ISammenhaeligngen mellem masse rumfang og massefylde (se ogsaring side 22) m = V middot dEn saringdan sammenhaeligng mellem tre stoslashrrelser kan med fordel illustreres ved hjaeliglp af nedenstaringende trekanter Man laeliggger fingeren over den variable man oslashnsker at finde ndash og den aktuelle omformning af formlen vil umiddelbart fremgaring Lodret linie betyder multiplikation vandret linie (broslashkstreg) betyder division

s m v t V d Vi kan ved algebraens hjaeliglp faktisk selv opstille formler som vi er kommet i tvivl om Hvad er formlen for udregning af hastighed Jo hastighed angives som meter per sekund (ms) eller kilometer per time (kmt) Den skraringstreg der erstatter rdquoperrdquo betyder egentlig division - og dermed har vi den generelle formelHastighed = vejlaeligngde divideret med tid Med ovenstaringende betegnelser v = s t Andre formlerDe fleste formler (og vi bruger dem ofte) kan slarings op i forskellige formelsamlinger Hvis man ikke vil noslashjes med den udgave der er aftrykt i FAKTOR kan den rdquoofficiellerdquo formelsamling til brug for afgangsproslashverne nedlades () fra wwwuvmdk ndash eller man kan (eventuelt paring klassebasis) investere i forlaget degne-distribs tilsvarende rdquomatematiske formler og tabellerrdquo Den koster ikke meget ndash og saring har man lov til at goslashre notater To saeligt formler som vist nok ikke findes andetsteds og som flere klasser har arbejdet en del med skal imidlertid anfoslashres til slut Det drejer sig om

Fremmed valuta Aktier og obligationerDKK = (Valuta 100) middot Kurs Pris = (Paringlydende 100) middot Kurs

(kr) Valuta = (DKK Kurs) middot 100 Paringlydende = (Pris Kurs) middot 100

(kr)Kurs = (DKK Valuta) middot 100 Kurs = (Pris Paringlydende) middot 100 Opgavera) Kurs 120 Paringlydende 100 kroner Hvor mange aktier kan du koslashbe for 60000 kronerb) Hvor mange norske kroner kan du faring for 2000 danske kroner naringr kursen er 8378c) Hvor meget koster 1700 Euro til kurs 74492

LOslashSNING AF LIGNINGERSide 26 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Alle produkter i 4- 5- 6- 7- 8- 9- og 10-tabellerne oslashves paring samme vis ndash mere end eacuten gang

OslashvelseAlle produkter af to tal ndash op til 10 gange 10 ndash oslashves i tilfaeligldig raeligkkefoslashlge ndash mange gange3middot2 = 5middot7 = 8middot4 = 6middot8 = 5middot2 = 4middot5 = 8middot7 = 3middot5 = 9middot3 = 7middot6 = 3middot8 = 4middot9 = TIP 1 Brug (en kopi af) ovenstaringende opstilling og kryds af efterharingnden ndash saring er der lynhurtigt overblik over 100-200 multiplikationsopgaverTIP 2 Der oslashves baringde rdquoforlaelignsrdquo og rdquobaglaelignsrdquo 8middot7 = 7middot8 = 4middot9 = 9middot4 = etcTIP 3 Som udbygning kan startes man regne rdquoindefra og udrdquo saring de tilsvarende divisions-stykker fremkommer 728 = 369 = 637 = 273 486 = 497 = 568 = etc

Paring naeligste side skal saring vi have fat i blyant og papir

Mange operationer i regning og matematik udfoslashres efter en saringkaldt algoritme ndash altsaring en slags opskrift eller koslashreplan for hvordan man skridt for skridt bevaeligger sig gennem loslashsningen af en stillet opgaveEleverne kan have tilegnet sig forskellige algoritmer ogsaring naringr det drejer sig om multi-plikation Som ofte naeligvnt for eleverne maring kravet til en algoritme vaeligre at Den paringgaeligldende elev er tryg ved algoritmen og fortrolig med at bruge den Den valgte algoritme foslashrer eleven til det rigtige resultat ndash hver gang Algoritmen skal vaeligre universel ndash det vil sige den skal kunne bruges paring alle

opgaver (indeholdende alle rdquoslagsrdquo tal) af den paringgaeligldende artHvis en elev paring nuvaeligrende tidspunkt ikke har tilegnet sig en multiplikationsalgoritme der opfylder kriterierne kan nedenstaringende anbefales ndash proslashv den paring opgaverne til hoslashjre

Side 8 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

TIP 1 Regn eventuelt nogle stykker ad gangen (for eksempel en rdquososlashjlerdquo) i stedet for at se dig overvundet af alle stykker paring eacuten gangTIP 2 Hvis der er behov for flere opgaver kan man sagtens selv finde paring ndash husk blot at komme rundt om alle tallene i den lille tabel ligesom herover

DIVISION ndash AT DELEFor at kunne operere fornuftigt naringr man rdquomed blyant og papirrdquo skal udfoslashre en division skal man ogsaring vaeligre helt sikkert hjemme i den lille tabel Traeligningen af denne faeligrdighed foregaringr paring samme maringde som beskrevet i afsnittet rdquomultiplikationrdquoDivision kan med fordel foregaring efter foslashlgende algoritme1) Dele 2) Gange 3) Traeligkke fra 4) Traeligkke ned

TIP 1 Bemaeligrk den foreslaringede opstilling der rummer alle udregninger ndash og goslashr opgaven mere overskuelig ved at regne paring ternet papir

Side 9 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

TIP 2 Regn eventuelt nogle stykker ad gangen (for eksempel en rdquososlashjlerdquo) i stedet for at se dig overvundet af alle stykker paring eacuten gangTIP 3 Hvis der er behov for lidt svaeligrere opgaver kan man bare tage multiplikations-stykkerne paring foregaringende side og rdquovende dem omrdquo 21 middot 146 = 3066 bliver til 3066 21 =

BROslashKEROgsaring i forbindelse med broslashker er der brug for nogle rdquofagudtrykrdquo som ses herunder

HuskereglerTaeligller i Toppen Naeligvner er NedenunderTaeliglleren taeligller op altsaring Hvor mange er derNaeligvneren benaeligvner altsaring Hvilken rdquoslagsrdquo er detHeraf farings at broslashken til venstre skal laeligses rdquoto femtedelerdquoEndelig er en broslashkstreg det samme som et divisionstegn Det man faringr besked paring er altsaring at udfoslashre divisionen 2 5

Ved regning med broslashker foslashlger af ovenstaringende en raeligkke regler som det godt kan vaeligre en fordel ogsaring at kende den sproglige formulering afTo eller flere ensbenaeligvnte broslashker (broslashker med samme naeligvner) adderes (laeliggges sammen) ved at addere taeligllerne og beholde naeligvneren14 + 24 = 34 15 + 25 + 15 = 45 27 + 47 = 67 39 + 29 + 29 = 79 To eller flere ensbenaeligvnte broslashker (broslashker med samme naeligvner) subtraheres (traeligkkes fra) ved at subtrahere taeligllerne og beholde naeligvneren67 ndash 37 ndash 17 = 27 34 ndash 14 = 24 58 ndash 28 ndash 18 = 28 89 ndash 39 = 59Man forlaelignger en broslashk ved at gange den med samme tal i taeligller og naeligvner34 = 34 middot 22 = 68 38 = 38 middot 33 = 924 27 = 27 middot 44 = 828Ovenstaringende operation aeligndrer ikke paring broslashkens vaeligrdi men alene paring dens rdquoudseenderdquoMan forkorter en broslashk ved at dividere den med samme tal i taeligller og naeligvner612 = 612 66 = 12 39 = 39 33 = 13 68 = 68 22 = 34 Ovenstaringende operation aeligndrer ikke paring broslashkens vaeligrdi men alene paring dens rdquoudseenderdquoHar man ved addition og subtraktion ikke samme naeligvner i broslashkerne maring denne fremskaffes ved at forlaelignge eller forkorte den ene eller begge broslashker12 + 14 = 24 + 14 = 34 34 - 18 = 68 ndash 18 = 58 28 ndash 16 = 624 ndash 424 = 224 25 + 27 = 1435 + 1035 = 2435 35 ndash 315 = 35 ndash 15 = 25 Man ganger en broslashk med et tal ved at gange taeligller med tallet og beholde naeligvner2 middot37 = 67 4middot29 = 89 3middot45 = 125 = 2 25 (idet facit angives som blandet tal)

Side 10 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Man dividerer en broslashk med et tal ved at dividere taeligller med tallet og beholde naeligvner68 2 = (62)8 = 38 67 2 = (62)7 = 37 34 2 = 68 2 = (6 2)8 = 38 I det sidste eksempel maringtte broslashken foslashrst forlaelignges saring taeliglleren kunne deles med 2 Alternativt kan man i saringdanne tilfaeliglde udregne 34 2 = 3(4 middot 2) = 38 Begge veje er farbare i alle opgaver hvor det tal der divideres med ikke umiddelbart garingr op i broslashkens naeligvner ndash nu som foslashr drejer det sig om at goslashre det man er tryg vedMan dividerer en broslashk med en broslashk ved at gange med rdquoden omvendterdquo16 12 = 16 middot 21 = 26 = 13 13 58 = 13 middot 85 = 815 17 15 = 17 middot 51 = 57

DECIMALTALKommatal kaldes ogsaring decimaltal Cifrene efter kommaet hedder decimalerFoslashrste decimal (altsaring foslashrste plads efter kommaet) viser antal tiendedele Anden decimal (anden plads efter kommaet) viser antal hundrededele etcI et rdquoudvidet talhusrdquo som nedenstaringende (flere gange anvendt i FAKTOR) kan man ud over placeringen af de hele tal (enere ndash tiere ndash hundreder etc) ogsaring se hvor decima-lerne skal staring Modellen kan naturligvis udvides saring man paring tredje plads efter kommaet finder tusindedelene paring fjerde plads titusinde-delene etc

I ovenstaringende talhus har vi altsaring foslashlgende tal illustreret 750 ndash 2425 ndash 7605 ndash 10510OslashvelseHvor mange tiendedele hundrededele og tusindedele er der i tallene 785 ndash 560 ndash 55521 ndash 2309 ndash 349 ndash 4598 ndash 9125 ndash 8845 ndash 1502 ndash 34004 ndash 001 ndash 25OslashvelseParing hvilken plads staringr 7-tallet i tallene1735 ndash 207 ndash 7081 ndash 0257 ndash 467 ndash 6478 ndash 087 ndash 34721 ndash 65791 ndash 8007 ndash 267 ndash 70 OslashvelseOmskriv til eacutet decimaltal a 2 tiere + 7 enere + 3 tiendedele + 1 hundrededel b 5 tiere + 1 ener + to tiendedele + 3 hundrededele + 7 tusindedelec 6 hundreder + 2 enere + 4 tiendedele + 1 tusindedel

Side 11 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Naringr decimaltal skal adderes eller subtraheres skal man huske at stille komma over komma ndash og dernaeligst tiere over tiere enere over enere tiendedele over tiendedele etc Ved division skal der komma i facit naringr man i udregningen traeligkker tiendedelen nedVed multiplikation kan man stille op og regne ud som saeligdvanligt og saeligtte komma til sidst Samlet antal decimaler i de to faktorer giver antal decimaler i facit

PROCENTREGNINGOrdet procent kommer af latin pro centum ndash for hver hundrede Procent betyder saringledes 1100 eller 1 ud af 100 For procent benyttes symbolet 50 procent = 50

Eksempel paring rdquoberegn procentdelrdquo 40 af 250Idet vi udnytter at procent betyder hundrededel farings 1 procent ved at dividere med 100 40 procent findes ved at gange det fundne tal med 40 I eacuten opstilling giver dette40 af 250 = (250100)40 = 100Da 40 hundrededele imidlertid ogsaring kan skrives som 040 (se positionssystemet) farings40 af 250 = 040250 = 100Maringske er det til at gennemskue at de udfoslashrte regneoperationer i de to tilfaeliglde dybest set er de samme ndash men det kan altsaring goslashre en forskel for den enkelte elev ndash igen ndash at vaeliglge den algoritme vedkommende er mest tryg ved

Eksempel paring rdquolaeliggge procentdel tilrdquo 25 moms paring en vare til 250 krPris uden moms 25000 krMoms 025250 = 6250 krPris med moms 25000 + 6250 = 31250 krMan kan ogsaring betragte prisen med moms som (100 + 25) af beloslashbet uden moms Deraf farings prisen med moms ved blot eacuten udregningPris med moms 250115 = 31250 kr

Eksempel paring rdquotraeligkke procentdel frardquo 20 moms paring en vare til 200 krRabatpris 08200 = 160 kr(Idet 20 rabat maring betyde at der er 80 tilbage af varens oprindelige pris)

Eksempel paring rdquoberegning af procentdelrdquo Stigning fra 120 til 150 kr

Eksempel paring rdquoberegning af procentdelrdquo Fald fra 150 til 120 kr

Eksempel paring rdquoberegn hele beloslashbetrdquo 15 svarer til 750 kr 1 750 15 = 50

Side 12 af 42

Procentvis stigning stigningdet oprindelige beloslashb

= 150 minus 120120

lowast 100= 25

Procentvist fald falddet oprindelige beloslashb

= 150minus 120150

lowast 100= 20

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

100 50 100 = 5000

I eacuten (generelt anvendelig) opstilling

OMREGNING MELLEM BROslashK ndash DECIMALTAL ndash PROCENT15 = 020 = 20 Saringdan staringr der i FAKTOR for sjette under overskriften rdquoEr decimaltal bedre end broslashkerrdquo Der kan ikke gives en eacutentydigt svar paring dette idet de tre maringder at angive et tal paring har hver deres fordele ndash og de er da ogsaring alle nyttige at kende For at faring det fulde udbytte af dette kendskab skal man imidlertid frit kunne omregne mellem de tre skrivemaringder ndash og ikke bare i et tilfaeliglde som ovenstaringende hvor sammenhaeligngen er saring kendt at man naeligsten kan den udenad og altsaring ikke behoslashver at regne noget ud Foslashlgende regler gaeliglder ved omregning

Broslashk til decimaltalVi udnytter at broslashkstregen er det samme som et divisionstegn og udfoslashrer blot divisionen hvad enten det nu er i hovedet med blyantpapir paring lommeregner35 = 3 5 = 06 18 = 1 8 = 0125 24 = 2 4 = 05 14 = 1 4 = 025 13 = 1 3 asymp 033 27 = 2 7 asymp 029 19 = 1 9 asymp 011 111 = 1 11 asymp 009

Decimaltal til broslashkHer omskriver vi decimaltallet til tiendedele eller hundrededele og forkorter herefter06 = 610 = 25 0125 = 1251000 = 25200 = 540 = 18 025 = 25100 = 520 = 14

Broslashk til procent Nogle gange garingr det an at forlaelignge broslashken saring naeligvneren bliver til hundrededele 25 = 40100 = 40 34 = 75100 = 75 710 = 70100 = 70 325 = 12100 = 12Ellers siger den generelle regel rdquoomskriv til procent ved at gange med 100rdquo78 = (7middot1008) = 700 8 = 875 315 = (3middot10015) = 300 15 = 20 Procent til broslashkProcenten omskrives til hundrededele hvorefter der forkortes 40 = 40100 = 410 = 25 75 = 75100 = 1520 = 34 12 = 12100 = 650 = 325

Decimaltal til procentrdquoOmskriv til procent ved at gange med 100rdquo I et decimaltal realiseres dette ved at flytte kommaet to pladser til hoslashjre031 = 031 middot 100 = 31 007 = 007 middot 100 = 7 0375 = 0375 middot 100 = 375 Procent til decimaltalHer divideres med 100 hvorved kommaet flyttes to pladser til venstre

Side 13 af 42

100=75015

lowast 100 = 5000

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

31 = 31 100 = 031 7 = 7 100 = 007 375 = 375 100 = 0375

OslashvelseParing naeligste side findes et skema til omregning mellem broslashk decimaltal og procent ndash mere omfattende end det der findes i FAKTOR for sjette paring side 100Udfyld skemaet ved hjaeliglp af de metoder der er gennemgaringet herover ndash herefter vil man goslashre sig selv en tjeneste hvis man laeligrer hele herligheden udenad

OMREGNING MELLEM BROslashK ndash DECIMALTAL ndash PROCENT

Broslashk Decimaltal Procent

110

18

210 = 15

28 = 14

31013

(afrundet) (angives evt som blandet tal)38

410 = 25

510 = 48 = 12

610 = 35

5823

(afrundet) (angives evt som blandet tal)710

68 = 34

810 = 45

78

910

Side 14 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

1010 = 88 = 11

EkstraopgaveHvilke tyvendedele mangler (og hvor) i skemaet Hvad bliver disse tyvendedele til ved omregning til decimaltal og procent

KOORDINATSYSTEMETEt koordinatsystem dannes saeligdvanligvis af to tallinier der staringr vinkelret paring hinanden Paring denne maringde deles rdquoplanenrdquo eller papiret i fire dele Hver af delene kalder vi en kvadrant som benaeligvnes med romertalI = 1 kvadrant II = 2 kvadrant III = 3 kvadrant IV = 4 kvadrant

II I

III IV

Den vandrette tallinie kaldes x-aksen eller foslashrste-aksen Den lodrette tallinie kaldes y-aksen eller anden-aksen Hvert punkt i koordinatsystemet kan angives med et koordinatsaeligt hvor det foslashrste tal aflaeligses paring x-aksen og det andet tal aflaeligses paring y-aksen (det er her vi har indfoslashrt den fjollede huskeregel med rdquohen ad gaden op ad trappenrdquo) Eksempelvis er koordinaterne til de tre afmaeligrkede punkter i systemet herover til hoslashjre (30) (-24) og (-2-2) Generelt gaeliglder om koordinaternes fortegn1 kvadrant (++) 2 kvadrant (-+) 3 kvadrant (--) 4 kvadrant (+-)I koordinatsystemet kan man ud over at afsaeligtte enkeltpunkter (typisk i kvadrant I) afbilde sammenhaelignge mellem to forskellige stoslashrrelser som herunder

Side 15 af 42

Befolkningstilvaeligkst i Japan

126012651270127512801285

1999

2000

2001

2002

2003

2004

2005

2006

Aringrstal

Mio

ind

bygg

ere

Samlet torskefangst i 1979 og 2000

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

Janu

ar

Febr

uar

Mar

ts

Apr

il

Maj

Juni

Juli

Aug

ust

Sep

tem

ber

Okt

ober

Nov

embe

r

Dec

embe

r

Anta

l ton

2000 1979

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

GEOMETRIVinklers stoslashrrelse

En vinkel der er stoslashrre end 90ordm kaldes en stump vinkelEn vinkel der er lig med 90ordm kaldes en ret vinkelEn vinkel der er mindre end 90ordm kaldes en spids vinkel

Tegning af vinkel

Vinklens toppunkt skal ligge midt i vinkelmaringleren Det ene vinkelben skal garing gennem 0 det andet ben viser vinklen

VinkelsumVinkelsummen i en tilfaeligldig trekant vil

saltid altid vaeligre 180ordmTegn en trekant og klip den udDel trekanten i tre efter de stiplede

linier linier som paring tegningen til venstreLaeligg de tre vinkler ved siden af

hinanden De De vil nu til sammen danne en lige vinkel det vil sige det vil netop sige en vinkel paring 180ordm

Hvad mon vinkelsummen er i en firkant Tegn og klip som Tegn og klip som foslashr ndash eller

Side 16 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Vinkelstoslashrrelser i trekanterAlt efter vinkelstoslashrrelser deles trekanter efter omstaringende ind i tre hovedtyperSpidsvinklede trekanter Den stoslashrste vinkel er mindre end 90 ordm Retvinklede trekanter Den stoslashrste vinkel er netop lig 90 ordmStumpvinklede trekanter Den stoslashrste vinkel er stoslashrre end 90 ordm

rdquoSpeciellerdquo trekanterTrekanter der har to lige lange sider kaldes ligebenede trekanter Saringdanne trekanter har ogsaring to lige store vinkler (vinklerne ved grundlinien) Trekanter der har tre lige lange sider kaldes ligesidede trekanter Alle tre vinkler i saringdanne trekanter har samme stoslashrrelse nemlig 60 ordm

HoslashjdeHoslashjden i en trekant er liniestykket fra en vinkelspids vinkelret paring den modstaringende sideAlle trekanter har saringledes tre hoslashjder og de skaeligrer hinanden i eacutet og samme punktI retvinklede trekanter falder to af hoslashjderne sammen med trekantens korte siderI stumpvinklede trekanter falder to af hoslashjderne uden for trekanten

Median

MedianMedianen er liniestykket fra en vinkelspids til midtpunktet af modstaringende sideAlle trekanter har naturligvis tre medianer og de skaeligrer hinanden i eacutet og samme punktBemaeligrk I ligesidede trekanter er hoslashjder medianer (foruden vinkelhalveringslinier og sidernes midtnormaler) i alle tilfaeliglde sammenfaldende

FLYTNINGSGEOMETRI SPEJLING

Side 17 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

1 Figuren (en trekant) skal spejles i den viste linie

2 Tegnetrekanten laeliggges paring saring dens lange side staringr vinkelret paring spejlingsaksen Maringl fra A paring trekanten afstanden ned til aksen og afsaeligt saring spejlbilledet af A lige saring langt paring den anden side (dette kan ogsaring goslashres praeligcist med en passer)

3 Gentag proceduren fra 2 med saring mange punkter som noslashdvendigt som noslashdvendigt ndash i dette tilfaeliglde trekantens tre vinkelspidser

4 Billedpunkterne (her trekantens vinkelspidser) forbindes og hele spejlbilledet tegnes

Vi bemaeligrker at figuren og dens spejlbillede ligger symmetrisk om spejlingsaksen Paring billede 4 herover ser vi at den rdquosamlede figurrdquo ved spejling i en saringdan symmetriakse netop foslashres over i sig selv (halvdelene rdquobytter pladsrdquo)

FLYTNINGSGEOMETRI DREJING

1 Figuren (en trekant) skal drejes 100ordm med uret omkring punktet F

Side 18 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

2 En cirkelbue tegnes med F som centrum og FA som radius Drejningsvinklen 100ordm afsaeligttes med F som top-punkt og FA paring vinkelmaringlerens 0-streg

3 Afsaeligt Arsquos billedpunkt og gentag herefter proceduren med saring mange punkter som noslashdvendigt ndash her trekantens tre vinkelspidser

4 Billedpunkterne (her trekantens vinkelspidser)

forbindes og hele drejebilledet tegnes

Vi bemaeligrker at det kun er omdrejningspunktet F der ikke flytter sig ved en drejning Et saringdant punkt kalder man et fixpunkt

FLYTNINGSGEOMETRI PARALLELFORSKYDNINGFor fuldstaeligndighedens skyld skal herunder beskrives metoden naringr man paring et rdquoblanktrdquo stykke papir skal foretage en parallelforskydning ndash en flytning hvor alle figurens punkter skubbes lige langt og i samme retning Det er dog en disciplin der hoslashrer hoslashjere klassetrin til naringr man saeligdvanligvis udfoslashrer parallelforskydning er der nemlig et kvadratnet eller et koordinatsystem at stoslashtte sig til ndash som vist nederst paring siden

Parallelforskydning af linie

Side 19 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Parallelforskydning af plan figur

Parallelforskydning af figur i kvadratnetOpgaven vil typisk vaeligre at forskyde den paringgaeligldende figur (her en firkant) i pilens laeligngde og retningVi ser at hele figuren hermed skal flyttes rdquoto tern hen fire tern oprdquo Imidlertid er det nok at flytte de fire vinkelspidser idet de jo tilsammen rdquodefinererrdquo den paringgaeligldende firkantEndnu nemmere vil det vaeligre naringr man udnytter at figur og billedfigur er kongruente Saring kan man noslashjes med at flytte eacutet punkt og herudfra tegne en ny figur magen til den gamle

AREAL OG AREALBEREGNINGAreal angiver stoslashrrelsen af en flade og maringles i antal kvadrater med sidelaeligngden 1 For eksempel cm2 (kvadratcentimeter) m2 (kvadratmeter) eller km2

(kvadratkilometer)Herunder en raeligkke eksempler paring formler til udregning af areal naringr der dels er tale om elementaeligre geometriske figurer dels om sammensatte figurer Laeligg ikke mindst maeligrke til hvad det er for egenskaber der definerer de forskellige typer firkanter

Side 20 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Sammensatte figurerArealet findes ved at opdele figuren i to eller flere kendte figurer og finde de enkelte figureres arealer hver for sig Specielt kan man finde arealet af trekanter tegnet i kvadratnet ved at finde de to retvinklede trekanters arealer og laeliggge dem sammen Oslashvelser

Find arealet af hver af trekanterne a ndash f ved at bruge metoden ovenfor 1 tern svarer til 1 cm2a ____ + ____ = ____ cm2

b ____ + ____ = ____ cm2

c ____ + ____ = ____ cm2

d ____ + ____ = ____ cm2

e ____ + ____ = ____ cm2

f ____ + ____ = ____ cm2

(OMSAEligTNING I) METERSYSTEMETForrdquonavnrdquo

Kilo Hekto Deka Enhed

Deci Centi Milli

Betyder 1000 100 10 1 110 = 01

1100 = 001

11000 = 0001

Forkortes

k h da d c m

Laeligngde km hm dam m dm cm mmMasse kg hg dag g dg cg mgRumfang

kl hl dal l dl cl ml

Ovenstaringende betyder for metersystemets laeligngdemaringl foslashlgende omsaeligtninger1m = 10 dm 1 dm = 10 cm

Side 21 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

1 m2 = 102 dm2 = 100 dm2 1 dm2 = 102 cm2 = 100 cm2

1m3 = 103 dm3 = 1000 dm3 1 dm3 = 103 cm3 = 1000 cm3

1m = 100 cm 1 cm = 10 mm1m2 = 1002 cm2 = 10000 cm2 1 cm2 = 102 mm2 =

100 mm2

1 m3 = 1003 cm3 = 1000000 cm3 1 cm3 = 103 mm3 = 1000 mm3

Omsaeligtning bliver endnu nemmere hvis man laeligrer denne remse udenadkilo ndash hekto ndash deka ndash (bum) ndash deci ndash centi ndash milli(um)Find den benaeligvnelse der skal omsaeligttes fra samt den benaeligvnelse der skal omsaeligttes til (rdquoBumrdquo svarer til henholdsvis meter gram og liter)Taeligl det antal pladser der er imellem de to benaeligvnelser og flyt kommaet samme antal pladser i samme retningHvis der er tale om flade- (for eksempel m2) eller rummaringl (for eksempel m3) skal man huske at gange antallet af pladser med 2 henholdsvis 3 foslashr kommaet flyttes det tilsvarende antal pladserEksempel 5 m2 skal omsaeligttes til cm2I tabellen herover findes rdquoenhedrdquo og der taeliglles hvor mange pladser der er hen til rdquocentirdquo 2 pladser til hoslashjre Da det er et flademaringl (areal) skal antallet af pladser ganges med 2 (2 middot 2 = 4) Kommaet flyttes 4 pladser til hoslashjre og altsaring 5m 2 = 50000 cm 2 Eksempel 100 dm3 skal omsaeligttes til m3I tabellen herover findes rdquodecirdquo og der taeliglles hvor mange pladser der er hen til rdquoenhedrdquo 1 plads til venstre Da det er et rummaringl skal antallet af pladser ganges med 3 (3 middot 1 = 3) Kommaet flyttes 3 pladser til venstre og altsaring 100 dm 3 = 01 m 3

MASSE RUMFANG OG MASSEFYLDEMed begrebet massefylde tangerer vi faget fysik Maringske vil enkelte kunne huske at vi med udgangspunkt i FAKTOR i syvendersquos rdquoHvad kan du maringlerdquo da ogsaring arbejdede tvaeligrfagligt med emnet ndash blandt andet med nedenstaringende opstillingsystematik

ILLUSTRATION METODE rdquoGENSTANDErdquo

Side 22 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Finde dimensioner +)

(rdquolaeligngde bredde hoslashjderdquo)Udregne med formler

rdquoRegulaeligrerdquo legemerTerninger kasser cylindre kugler

Finde genstandens opdrift ved nedsaelignkning i vandBenytte Arkimedesrsquo lov ++)

Mindre (uregelmaeligssige)legemerCementklump jernlod

Nedsaelignke i maringleglas (mm) med vandMaringle stigningen i vandstand

Smaring (uregelmaeligssige)legemer Bolte soslashm sten

+) FidusBrug den laeligngdemaringlsenhed der direkte giver facit i den oslashnskede rumfangsenhed

Laeligngdemaringl i Rummaringlvolumen i

Spri

ng

paring 1

0

m (meter) 1000 l (tusind liter) = 1 m3 (kubikmeter)

Spri

ng

paring 1

000

dm (decimeter) 1 l (liter) = 1 dm3 (kubikdecimeter)

cm (centimeter) 1 ml (milliliter) = 1cm3 (kubikcentimeter)

++) Arkimedesrsquo lovEn genstand der nedsaelignkes i vand taber lige saring meget i vaeliggt som massen af det vand genstanden fortraeligngerNaringr vi efter ovenstaringende rumfangsbestemmelser ogsaring har fundet den paringgaeligldende genstands masse er vi klar til at arbejde med

Massefylde (vaeliggtfylde) = masse rumfang (volumen)Massefylde angives i gcm3 kgdm3 eller tm3 Sammenhaeligngen mellem de tre variable kan opstilles i en formeltrekant (side 27) Hvis masse eller volumen er den ukendte stoslashrrelse faringr man imidlertid brug for en tabel over forskellige stoffers massefylde

ALGEBRAAlgebra er rdquobogstavregningrdquo Vi bruger algebra naringr vi skal vise at udregninger af og sammenhaelignge mellem forskellige stoslashrrelser gaeliglder for alle talvaeligrdier For algebra ndash men altsaring ogsaring for regnearbejdet med rdquoalmindeligerdquo tal - gaeliglder en raeligkke regler som det er noslashdvendigt at kende naringr vi reducerer ndash skriver paring kortere formRegne-hierarkiFoslashrst potenser og roslashdder saring parenteser saring gange og dividere ndash til sidst plus og minus

Side 23 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Eksempel 4 (3 + 2)2 10 + 8 = 4 52 10 + 8 = 4 25 10 + 8 = 100 10 + 8 = 10 + 8 = 18

Plusparentes- kan haeligves og saeligttes uden at leddene inde i parentesen skifter fortegnEksempel med bogstaver a + (b + c ndash d) = a + b + c ndashdEksempel med tal 9 + (2 + 4 ndash 3) = 9 + 2 + 4 ndash 3 = 12 (9 + 3 = 12)Minusparentes- naringr minusparentesen haeligves skifter leddene inde i parentesen fortegnEksempel med bogstaver a ndash (b + c ndash d) = a ndash b ndash c + dEksempel med tal 9 ndash (2 + 4 ndash 3) = 9 ndash 2 ndash 4 + 3 = 6 (9 ndash 3 = 6)

Flerleddede stoslashrrelserMan ganger en flerleddet stoslashrrelse med et tal ved at gange hvert af leddene med tallet Dette kalder vi den distributive lov (Distribuere ndash dele ud)Eksempel med bogstaver a middot (b + c) = ab + acEksempel med tal 2 middot (4 + 2) = 2 middot 4 + 2 middot 2 = 8 + 4 = 12 (2 middot 6 = 12)Man ganger ndash selvfoslashlgelig - to flerleddede stoslashrrelser med hinanden ved atEksempel med bogstaver (a + b) middot (c + d) = ac + ad + bc + bdEksempel med tal (2 + 3) middot (5 + 4) = 2 middot 5 + 2 middot 4 + 3 middot 5 + 3 middot 4 =

10 + 8 + 15 + 12 = 45 (5 middot 9 = 45)Man dividerer en flerleddet stoslashrrelse med et tal ved at dividere hvert af leddeneEksempel med bogstaver (a + b) c = a c + b cEksempel med tal (6 + 2) 2 = 6 2 + 2 2 = 3 + 1 = 4 (8 2 = 4)Specielle tilfaeliglde hvis begge parenteser rummer de samme tal ndash bortset fra fortegnrdquoKvadratet paring en toleddet sumrdquo (a + b)2 = a2 + b2 + 2abVis selv hvordan _________________________________________________________________rdquoKvadratet paring en toleddet diffferensrdquo (a - b)2 = a2 + b2 - 2abVis selv hvordan _________________________________________________________________rdquoTo tals sum gange de samme to tals differensrdquo (a + b)(a ndash b) = a2 - b2 Vis selv hvordan _________________________________________________________________

En praktisk anvendelse af ovenstaringende ndash hovedregning () i rdquoden store tabelrdquo19 middot 19 = (20 ndash 1)2 = 202 + 12 ndash 2 middot 20 middot 1 = 400 + 1 ndash 40 = 36123 middot 23 = (20 + 3)2 = 202 + 32 + 2 middot 20 middot 3 = 400 + 9 + 120 = 529

Hvis man ikke netop bliver bedt om at reducere bogstavudtryk kan arbejdet med algebra bestaring i at finde det paringgaeligldende udtryks stoslashrrelse naringr de indsaeligttes forskellige vaeligrdier i stedet for de rdquoubekendterdquo bogstaver Udfyld saringledes

x 3x x + 4 10 ndash x 2x + 4 -x + 34

Side 24 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

-4-125frac12-20

x y y 2 2x ndash 3y 3 104 148 250 15

Flere klasser har haft glaeligde af at udarbejde saringdanne opgaver i regneark Her gaeliglder det netop om at finde den almene formel som talvaeligrdierne bagefter kan indsaeligttes i

Opgaver Find selv de tilsvarende formler og indsaeligt dem i cellerne A2 B2 C2 D2 E2

og F2 rdquoTraeligk nedrdquo og laeligg maeligrke til om du faringr de samme resultater som vist i

dumprsquoet Indret endnu et regneark og opstil tabel plus formler ogsaring til det andet skema Regn nedenstaringende opgaver Deacutet er reduktion stil gerne op i Word som vist12a ndash 6(3 ndash a) + 8 = 12a ndash 18 + 6a + 8 = 18a ndash 1040 + 3(9 ndash x) + 6x =___________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________________________________

3a + 4(9 ndash 2a) ndash 6 + a =______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2(x + 4) ndash (x + 5) =______________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________

___________________________________________________________5(7y + 5) ndash frac12(50 + 10y)_________________________________________________________=

______________________________________________________________________________________________________________________

FORMLERSide 25 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Specielt finder vi ndash som allerede naeligvnt - en meget nyttig anvendelse af algebra ved opstilling af formler Her garingr opgaven jo netop ud paring at fastlaeliggge en sammenhaeligng mellem forskellige variable stoslashrrelser - ved hjaeliglp af alt andet end konkrete talvaeligrdier Forharingbentlig vil nedenstaringende eksempler vaeligkke en vis genkendelseSammenhaeligngen mellem vejlaeligngde hastighed og tid s = v middot tSammenhaeligngen mellem spaelignding modstand og stroslashmstyrke U = R middot ISammenhaeligngen mellem masse rumfang og massefylde (se ogsaring side 22) m = V middot dEn saringdan sammenhaeligng mellem tre stoslashrrelser kan med fordel illustreres ved hjaeliglp af nedenstaringende trekanter Man laeliggger fingeren over den variable man oslashnsker at finde ndash og den aktuelle omformning af formlen vil umiddelbart fremgaring Lodret linie betyder multiplikation vandret linie (broslashkstreg) betyder division

s m v t V d Vi kan ved algebraens hjaeliglp faktisk selv opstille formler som vi er kommet i tvivl om Hvad er formlen for udregning af hastighed Jo hastighed angives som meter per sekund (ms) eller kilometer per time (kmt) Den skraringstreg der erstatter rdquoperrdquo betyder egentlig division - og dermed har vi den generelle formelHastighed = vejlaeligngde divideret med tid Med ovenstaringende betegnelser v = s t Andre formlerDe fleste formler (og vi bruger dem ofte) kan slarings op i forskellige formelsamlinger Hvis man ikke vil noslashjes med den udgave der er aftrykt i FAKTOR kan den rdquoofficiellerdquo formelsamling til brug for afgangsproslashverne nedlades () fra wwwuvmdk ndash eller man kan (eventuelt paring klassebasis) investere i forlaget degne-distribs tilsvarende rdquomatematiske formler og tabellerrdquo Den koster ikke meget ndash og saring har man lov til at goslashre notater To saeligt formler som vist nok ikke findes andetsteds og som flere klasser har arbejdet en del med skal imidlertid anfoslashres til slut Det drejer sig om

Fremmed valuta Aktier og obligationerDKK = (Valuta 100) middot Kurs Pris = (Paringlydende 100) middot Kurs

(kr) Valuta = (DKK Kurs) middot 100 Paringlydende = (Pris Kurs) middot 100

(kr)Kurs = (DKK Valuta) middot 100 Kurs = (Pris Paringlydende) middot 100 Opgavera) Kurs 120 Paringlydende 100 kroner Hvor mange aktier kan du koslashbe for 60000 kronerb) Hvor mange norske kroner kan du faring for 2000 danske kroner naringr kursen er 8378c) Hvor meget koster 1700 Euro til kurs 74492

LOslashSNING AF LIGNINGERSide 26 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

TIP 1 Regn eventuelt nogle stykker ad gangen (for eksempel en rdquososlashjlerdquo) i stedet for at se dig overvundet af alle stykker paring eacuten gangTIP 2 Hvis der er behov for flere opgaver kan man sagtens selv finde paring ndash husk blot at komme rundt om alle tallene i den lille tabel ligesom herover

DIVISION ndash AT DELEFor at kunne operere fornuftigt naringr man rdquomed blyant og papirrdquo skal udfoslashre en division skal man ogsaring vaeligre helt sikkert hjemme i den lille tabel Traeligningen af denne faeligrdighed foregaringr paring samme maringde som beskrevet i afsnittet rdquomultiplikationrdquoDivision kan med fordel foregaring efter foslashlgende algoritme1) Dele 2) Gange 3) Traeligkke fra 4) Traeligkke ned

TIP 1 Bemaeligrk den foreslaringede opstilling der rummer alle udregninger ndash og goslashr opgaven mere overskuelig ved at regne paring ternet papir

Side 9 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

TIP 2 Regn eventuelt nogle stykker ad gangen (for eksempel en rdquososlashjlerdquo) i stedet for at se dig overvundet af alle stykker paring eacuten gangTIP 3 Hvis der er behov for lidt svaeligrere opgaver kan man bare tage multiplikations-stykkerne paring foregaringende side og rdquovende dem omrdquo 21 middot 146 = 3066 bliver til 3066 21 =

BROslashKEROgsaring i forbindelse med broslashker er der brug for nogle rdquofagudtrykrdquo som ses herunder

HuskereglerTaeligller i Toppen Naeligvner er NedenunderTaeliglleren taeligller op altsaring Hvor mange er derNaeligvneren benaeligvner altsaring Hvilken rdquoslagsrdquo er detHeraf farings at broslashken til venstre skal laeligses rdquoto femtedelerdquoEndelig er en broslashkstreg det samme som et divisionstegn Det man faringr besked paring er altsaring at udfoslashre divisionen 2 5

Ved regning med broslashker foslashlger af ovenstaringende en raeligkke regler som det godt kan vaeligre en fordel ogsaring at kende den sproglige formulering afTo eller flere ensbenaeligvnte broslashker (broslashker med samme naeligvner) adderes (laeliggges sammen) ved at addere taeligllerne og beholde naeligvneren14 + 24 = 34 15 + 25 + 15 = 45 27 + 47 = 67 39 + 29 + 29 = 79 To eller flere ensbenaeligvnte broslashker (broslashker med samme naeligvner) subtraheres (traeligkkes fra) ved at subtrahere taeligllerne og beholde naeligvneren67 ndash 37 ndash 17 = 27 34 ndash 14 = 24 58 ndash 28 ndash 18 = 28 89 ndash 39 = 59Man forlaelignger en broslashk ved at gange den med samme tal i taeligller og naeligvner34 = 34 middot 22 = 68 38 = 38 middot 33 = 924 27 = 27 middot 44 = 828Ovenstaringende operation aeligndrer ikke paring broslashkens vaeligrdi men alene paring dens rdquoudseenderdquoMan forkorter en broslashk ved at dividere den med samme tal i taeligller og naeligvner612 = 612 66 = 12 39 = 39 33 = 13 68 = 68 22 = 34 Ovenstaringende operation aeligndrer ikke paring broslashkens vaeligrdi men alene paring dens rdquoudseenderdquoHar man ved addition og subtraktion ikke samme naeligvner i broslashkerne maring denne fremskaffes ved at forlaelignge eller forkorte den ene eller begge broslashker12 + 14 = 24 + 14 = 34 34 - 18 = 68 ndash 18 = 58 28 ndash 16 = 624 ndash 424 = 224 25 + 27 = 1435 + 1035 = 2435 35 ndash 315 = 35 ndash 15 = 25 Man ganger en broslashk med et tal ved at gange taeligller med tallet og beholde naeligvner2 middot37 = 67 4middot29 = 89 3middot45 = 125 = 2 25 (idet facit angives som blandet tal)

Side 10 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Man dividerer en broslashk med et tal ved at dividere taeligller med tallet og beholde naeligvner68 2 = (62)8 = 38 67 2 = (62)7 = 37 34 2 = 68 2 = (6 2)8 = 38 I det sidste eksempel maringtte broslashken foslashrst forlaelignges saring taeliglleren kunne deles med 2 Alternativt kan man i saringdanne tilfaeliglde udregne 34 2 = 3(4 middot 2) = 38 Begge veje er farbare i alle opgaver hvor det tal der divideres med ikke umiddelbart garingr op i broslashkens naeligvner ndash nu som foslashr drejer det sig om at goslashre det man er tryg vedMan dividerer en broslashk med en broslashk ved at gange med rdquoden omvendterdquo16 12 = 16 middot 21 = 26 = 13 13 58 = 13 middot 85 = 815 17 15 = 17 middot 51 = 57

DECIMALTALKommatal kaldes ogsaring decimaltal Cifrene efter kommaet hedder decimalerFoslashrste decimal (altsaring foslashrste plads efter kommaet) viser antal tiendedele Anden decimal (anden plads efter kommaet) viser antal hundrededele etcI et rdquoudvidet talhusrdquo som nedenstaringende (flere gange anvendt i FAKTOR) kan man ud over placeringen af de hele tal (enere ndash tiere ndash hundreder etc) ogsaring se hvor decima-lerne skal staring Modellen kan naturligvis udvides saring man paring tredje plads efter kommaet finder tusindedelene paring fjerde plads titusinde-delene etc

I ovenstaringende talhus har vi altsaring foslashlgende tal illustreret 750 ndash 2425 ndash 7605 ndash 10510OslashvelseHvor mange tiendedele hundrededele og tusindedele er der i tallene 785 ndash 560 ndash 55521 ndash 2309 ndash 349 ndash 4598 ndash 9125 ndash 8845 ndash 1502 ndash 34004 ndash 001 ndash 25OslashvelseParing hvilken plads staringr 7-tallet i tallene1735 ndash 207 ndash 7081 ndash 0257 ndash 467 ndash 6478 ndash 087 ndash 34721 ndash 65791 ndash 8007 ndash 267 ndash 70 OslashvelseOmskriv til eacutet decimaltal a 2 tiere + 7 enere + 3 tiendedele + 1 hundrededel b 5 tiere + 1 ener + to tiendedele + 3 hundrededele + 7 tusindedelec 6 hundreder + 2 enere + 4 tiendedele + 1 tusindedel

Side 11 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Naringr decimaltal skal adderes eller subtraheres skal man huske at stille komma over komma ndash og dernaeligst tiere over tiere enere over enere tiendedele over tiendedele etc Ved division skal der komma i facit naringr man i udregningen traeligkker tiendedelen nedVed multiplikation kan man stille op og regne ud som saeligdvanligt og saeligtte komma til sidst Samlet antal decimaler i de to faktorer giver antal decimaler i facit

PROCENTREGNINGOrdet procent kommer af latin pro centum ndash for hver hundrede Procent betyder saringledes 1100 eller 1 ud af 100 For procent benyttes symbolet 50 procent = 50

Eksempel paring rdquoberegn procentdelrdquo 40 af 250Idet vi udnytter at procent betyder hundrededel farings 1 procent ved at dividere med 100 40 procent findes ved at gange det fundne tal med 40 I eacuten opstilling giver dette40 af 250 = (250100)40 = 100Da 40 hundrededele imidlertid ogsaring kan skrives som 040 (se positionssystemet) farings40 af 250 = 040250 = 100Maringske er det til at gennemskue at de udfoslashrte regneoperationer i de to tilfaeliglde dybest set er de samme ndash men det kan altsaring goslashre en forskel for den enkelte elev ndash igen ndash at vaeliglge den algoritme vedkommende er mest tryg ved

Eksempel paring rdquolaeliggge procentdel tilrdquo 25 moms paring en vare til 250 krPris uden moms 25000 krMoms 025250 = 6250 krPris med moms 25000 + 6250 = 31250 krMan kan ogsaring betragte prisen med moms som (100 + 25) af beloslashbet uden moms Deraf farings prisen med moms ved blot eacuten udregningPris med moms 250115 = 31250 kr

Eksempel paring rdquotraeligkke procentdel frardquo 20 moms paring en vare til 200 krRabatpris 08200 = 160 kr(Idet 20 rabat maring betyde at der er 80 tilbage af varens oprindelige pris)

Eksempel paring rdquoberegning af procentdelrdquo Stigning fra 120 til 150 kr

Eksempel paring rdquoberegning af procentdelrdquo Fald fra 150 til 120 kr

Eksempel paring rdquoberegn hele beloslashbetrdquo 15 svarer til 750 kr 1 750 15 = 50

Side 12 af 42

Procentvis stigning stigningdet oprindelige beloslashb

= 150 minus 120120

lowast 100= 25

Procentvist fald falddet oprindelige beloslashb

= 150minus 120150

lowast 100= 20

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

100 50 100 = 5000

I eacuten (generelt anvendelig) opstilling

OMREGNING MELLEM BROslashK ndash DECIMALTAL ndash PROCENT15 = 020 = 20 Saringdan staringr der i FAKTOR for sjette under overskriften rdquoEr decimaltal bedre end broslashkerrdquo Der kan ikke gives en eacutentydigt svar paring dette idet de tre maringder at angive et tal paring har hver deres fordele ndash og de er da ogsaring alle nyttige at kende For at faring det fulde udbytte af dette kendskab skal man imidlertid frit kunne omregne mellem de tre skrivemaringder ndash og ikke bare i et tilfaeliglde som ovenstaringende hvor sammenhaeligngen er saring kendt at man naeligsten kan den udenad og altsaring ikke behoslashver at regne noget ud Foslashlgende regler gaeliglder ved omregning

Broslashk til decimaltalVi udnytter at broslashkstregen er det samme som et divisionstegn og udfoslashrer blot divisionen hvad enten det nu er i hovedet med blyantpapir paring lommeregner35 = 3 5 = 06 18 = 1 8 = 0125 24 = 2 4 = 05 14 = 1 4 = 025 13 = 1 3 asymp 033 27 = 2 7 asymp 029 19 = 1 9 asymp 011 111 = 1 11 asymp 009

Decimaltal til broslashkHer omskriver vi decimaltallet til tiendedele eller hundrededele og forkorter herefter06 = 610 = 25 0125 = 1251000 = 25200 = 540 = 18 025 = 25100 = 520 = 14

Broslashk til procent Nogle gange garingr det an at forlaelignge broslashken saring naeligvneren bliver til hundrededele 25 = 40100 = 40 34 = 75100 = 75 710 = 70100 = 70 325 = 12100 = 12Ellers siger den generelle regel rdquoomskriv til procent ved at gange med 100rdquo78 = (7middot1008) = 700 8 = 875 315 = (3middot10015) = 300 15 = 20 Procent til broslashkProcenten omskrives til hundrededele hvorefter der forkortes 40 = 40100 = 410 = 25 75 = 75100 = 1520 = 34 12 = 12100 = 650 = 325

Decimaltal til procentrdquoOmskriv til procent ved at gange med 100rdquo I et decimaltal realiseres dette ved at flytte kommaet to pladser til hoslashjre031 = 031 middot 100 = 31 007 = 007 middot 100 = 7 0375 = 0375 middot 100 = 375 Procent til decimaltalHer divideres med 100 hvorved kommaet flyttes to pladser til venstre

Side 13 af 42

100=75015

lowast 100 = 5000

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

31 = 31 100 = 031 7 = 7 100 = 007 375 = 375 100 = 0375

OslashvelseParing naeligste side findes et skema til omregning mellem broslashk decimaltal og procent ndash mere omfattende end det der findes i FAKTOR for sjette paring side 100Udfyld skemaet ved hjaeliglp af de metoder der er gennemgaringet herover ndash herefter vil man goslashre sig selv en tjeneste hvis man laeligrer hele herligheden udenad

OMREGNING MELLEM BROslashK ndash DECIMALTAL ndash PROCENT

Broslashk Decimaltal Procent

110

18

210 = 15

28 = 14

31013

(afrundet) (angives evt som blandet tal)38

410 = 25

510 = 48 = 12

610 = 35

5823

(afrundet) (angives evt som blandet tal)710

68 = 34

810 = 45

78

910

Side 14 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

1010 = 88 = 11

EkstraopgaveHvilke tyvendedele mangler (og hvor) i skemaet Hvad bliver disse tyvendedele til ved omregning til decimaltal og procent

KOORDINATSYSTEMETEt koordinatsystem dannes saeligdvanligvis af to tallinier der staringr vinkelret paring hinanden Paring denne maringde deles rdquoplanenrdquo eller papiret i fire dele Hver af delene kalder vi en kvadrant som benaeligvnes med romertalI = 1 kvadrant II = 2 kvadrant III = 3 kvadrant IV = 4 kvadrant

II I

III IV

Den vandrette tallinie kaldes x-aksen eller foslashrste-aksen Den lodrette tallinie kaldes y-aksen eller anden-aksen Hvert punkt i koordinatsystemet kan angives med et koordinatsaeligt hvor det foslashrste tal aflaeligses paring x-aksen og det andet tal aflaeligses paring y-aksen (det er her vi har indfoslashrt den fjollede huskeregel med rdquohen ad gaden op ad trappenrdquo) Eksempelvis er koordinaterne til de tre afmaeligrkede punkter i systemet herover til hoslashjre (30) (-24) og (-2-2) Generelt gaeliglder om koordinaternes fortegn1 kvadrant (++) 2 kvadrant (-+) 3 kvadrant (--) 4 kvadrant (+-)I koordinatsystemet kan man ud over at afsaeligtte enkeltpunkter (typisk i kvadrant I) afbilde sammenhaelignge mellem to forskellige stoslashrrelser som herunder

Side 15 af 42

Befolkningstilvaeligkst i Japan

126012651270127512801285

1999

2000

2001

2002

2003

2004

2005

2006

Aringrstal

Mio

ind

bygg

ere

Samlet torskefangst i 1979 og 2000

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

Janu

ar

Febr

uar

Mar

ts

Apr

il

Maj

Juni

Juli

Aug

ust

Sep

tem

ber

Okt

ober

Nov

embe

r

Dec

embe

r

Anta

l ton

2000 1979

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

GEOMETRIVinklers stoslashrrelse

En vinkel der er stoslashrre end 90ordm kaldes en stump vinkelEn vinkel der er lig med 90ordm kaldes en ret vinkelEn vinkel der er mindre end 90ordm kaldes en spids vinkel

Tegning af vinkel

Vinklens toppunkt skal ligge midt i vinkelmaringleren Det ene vinkelben skal garing gennem 0 det andet ben viser vinklen

VinkelsumVinkelsummen i en tilfaeligldig trekant vil

saltid altid vaeligre 180ordmTegn en trekant og klip den udDel trekanten i tre efter de stiplede

linier linier som paring tegningen til venstreLaeligg de tre vinkler ved siden af

hinanden De De vil nu til sammen danne en lige vinkel det vil sige det vil netop sige en vinkel paring 180ordm

Hvad mon vinkelsummen er i en firkant Tegn og klip som Tegn og klip som foslashr ndash eller

Side 16 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Vinkelstoslashrrelser i trekanterAlt efter vinkelstoslashrrelser deles trekanter efter omstaringende ind i tre hovedtyperSpidsvinklede trekanter Den stoslashrste vinkel er mindre end 90 ordm Retvinklede trekanter Den stoslashrste vinkel er netop lig 90 ordmStumpvinklede trekanter Den stoslashrste vinkel er stoslashrre end 90 ordm

rdquoSpeciellerdquo trekanterTrekanter der har to lige lange sider kaldes ligebenede trekanter Saringdanne trekanter har ogsaring to lige store vinkler (vinklerne ved grundlinien) Trekanter der har tre lige lange sider kaldes ligesidede trekanter Alle tre vinkler i saringdanne trekanter har samme stoslashrrelse nemlig 60 ordm

HoslashjdeHoslashjden i en trekant er liniestykket fra en vinkelspids vinkelret paring den modstaringende sideAlle trekanter har saringledes tre hoslashjder og de skaeligrer hinanden i eacutet og samme punktI retvinklede trekanter falder to af hoslashjderne sammen med trekantens korte siderI stumpvinklede trekanter falder to af hoslashjderne uden for trekanten

Median

MedianMedianen er liniestykket fra en vinkelspids til midtpunktet af modstaringende sideAlle trekanter har naturligvis tre medianer og de skaeligrer hinanden i eacutet og samme punktBemaeligrk I ligesidede trekanter er hoslashjder medianer (foruden vinkelhalveringslinier og sidernes midtnormaler) i alle tilfaeliglde sammenfaldende

FLYTNINGSGEOMETRI SPEJLING

Side 17 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

1 Figuren (en trekant) skal spejles i den viste linie

2 Tegnetrekanten laeliggges paring saring dens lange side staringr vinkelret paring spejlingsaksen Maringl fra A paring trekanten afstanden ned til aksen og afsaeligt saring spejlbilledet af A lige saring langt paring den anden side (dette kan ogsaring goslashres praeligcist med en passer)

3 Gentag proceduren fra 2 med saring mange punkter som noslashdvendigt som noslashdvendigt ndash i dette tilfaeliglde trekantens tre vinkelspidser

4 Billedpunkterne (her trekantens vinkelspidser) forbindes og hele spejlbilledet tegnes

Vi bemaeligrker at figuren og dens spejlbillede ligger symmetrisk om spejlingsaksen Paring billede 4 herover ser vi at den rdquosamlede figurrdquo ved spejling i en saringdan symmetriakse netop foslashres over i sig selv (halvdelene rdquobytter pladsrdquo)

FLYTNINGSGEOMETRI DREJING

1 Figuren (en trekant) skal drejes 100ordm med uret omkring punktet F

Side 18 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

2 En cirkelbue tegnes med F som centrum og FA som radius Drejningsvinklen 100ordm afsaeligttes med F som top-punkt og FA paring vinkelmaringlerens 0-streg

3 Afsaeligt Arsquos billedpunkt og gentag herefter proceduren med saring mange punkter som noslashdvendigt ndash her trekantens tre vinkelspidser

4 Billedpunkterne (her trekantens vinkelspidser)

forbindes og hele drejebilledet tegnes

Vi bemaeligrker at det kun er omdrejningspunktet F der ikke flytter sig ved en drejning Et saringdant punkt kalder man et fixpunkt

FLYTNINGSGEOMETRI PARALLELFORSKYDNINGFor fuldstaeligndighedens skyld skal herunder beskrives metoden naringr man paring et rdquoblanktrdquo stykke papir skal foretage en parallelforskydning ndash en flytning hvor alle figurens punkter skubbes lige langt og i samme retning Det er dog en disciplin der hoslashrer hoslashjere klassetrin til naringr man saeligdvanligvis udfoslashrer parallelforskydning er der nemlig et kvadratnet eller et koordinatsystem at stoslashtte sig til ndash som vist nederst paring siden

Parallelforskydning af linie

Side 19 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Parallelforskydning af plan figur

Parallelforskydning af figur i kvadratnetOpgaven vil typisk vaeligre at forskyde den paringgaeligldende figur (her en firkant) i pilens laeligngde og retningVi ser at hele figuren hermed skal flyttes rdquoto tern hen fire tern oprdquo Imidlertid er det nok at flytte de fire vinkelspidser idet de jo tilsammen rdquodefinererrdquo den paringgaeligldende firkantEndnu nemmere vil det vaeligre naringr man udnytter at figur og billedfigur er kongruente Saring kan man noslashjes med at flytte eacutet punkt og herudfra tegne en ny figur magen til den gamle

AREAL OG AREALBEREGNINGAreal angiver stoslashrrelsen af en flade og maringles i antal kvadrater med sidelaeligngden 1 For eksempel cm2 (kvadratcentimeter) m2 (kvadratmeter) eller km2

(kvadratkilometer)Herunder en raeligkke eksempler paring formler til udregning af areal naringr der dels er tale om elementaeligre geometriske figurer dels om sammensatte figurer Laeligg ikke mindst maeligrke til hvad det er for egenskaber der definerer de forskellige typer firkanter

Side 20 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Sammensatte figurerArealet findes ved at opdele figuren i to eller flere kendte figurer og finde de enkelte figureres arealer hver for sig Specielt kan man finde arealet af trekanter tegnet i kvadratnet ved at finde de to retvinklede trekanters arealer og laeliggge dem sammen Oslashvelser

Find arealet af hver af trekanterne a ndash f ved at bruge metoden ovenfor 1 tern svarer til 1 cm2a ____ + ____ = ____ cm2

b ____ + ____ = ____ cm2

c ____ + ____ = ____ cm2

d ____ + ____ = ____ cm2

e ____ + ____ = ____ cm2

f ____ + ____ = ____ cm2

(OMSAEligTNING I) METERSYSTEMETForrdquonavnrdquo

Kilo Hekto Deka Enhed

Deci Centi Milli

Betyder 1000 100 10 1 110 = 01

1100 = 001

11000 = 0001

Forkortes

k h da d c m

Laeligngde km hm dam m dm cm mmMasse kg hg dag g dg cg mgRumfang

kl hl dal l dl cl ml

Ovenstaringende betyder for metersystemets laeligngdemaringl foslashlgende omsaeligtninger1m = 10 dm 1 dm = 10 cm

Side 21 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

1 m2 = 102 dm2 = 100 dm2 1 dm2 = 102 cm2 = 100 cm2

1m3 = 103 dm3 = 1000 dm3 1 dm3 = 103 cm3 = 1000 cm3

1m = 100 cm 1 cm = 10 mm1m2 = 1002 cm2 = 10000 cm2 1 cm2 = 102 mm2 =

100 mm2

1 m3 = 1003 cm3 = 1000000 cm3 1 cm3 = 103 mm3 = 1000 mm3

Omsaeligtning bliver endnu nemmere hvis man laeligrer denne remse udenadkilo ndash hekto ndash deka ndash (bum) ndash deci ndash centi ndash milli(um)Find den benaeligvnelse der skal omsaeligttes fra samt den benaeligvnelse der skal omsaeligttes til (rdquoBumrdquo svarer til henholdsvis meter gram og liter)Taeligl det antal pladser der er imellem de to benaeligvnelser og flyt kommaet samme antal pladser i samme retningHvis der er tale om flade- (for eksempel m2) eller rummaringl (for eksempel m3) skal man huske at gange antallet af pladser med 2 henholdsvis 3 foslashr kommaet flyttes det tilsvarende antal pladserEksempel 5 m2 skal omsaeligttes til cm2I tabellen herover findes rdquoenhedrdquo og der taeliglles hvor mange pladser der er hen til rdquocentirdquo 2 pladser til hoslashjre Da det er et flademaringl (areal) skal antallet af pladser ganges med 2 (2 middot 2 = 4) Kommaet flyttes 4 pladser til hoslashjre og altsaring 5m 2 = 50000 cm 2 Eksempel 100 dm3 skal omsaeligttes til m3I tabellen herover findes rdquodecirdquo og der taeliglles hvor mange pladser der er hen til rdquoenhedrdquo 1 plads til venstre Da det er et rummaringl skal antallet af pladser ganges med 3 (3 middot 1 = 3) Kommaet flyttes 3 pladser til venstre og altsaring 100 dm 3 = 01 m 3

MASSE RUMFANG OG MASSEFYLDEMed begrebet massefylde tangerer vi faget fysik Maringske vil enkelte kunne huske at vi med udgangspunkt i FAKTOR i syvendersquos rdquoHvad kan du maringlerdquo da ogsaring arbejdede tvaeligrfagligt med emnet ndash blandt andet med nedenstaringende opstillingsystematik

ILLUSTRATION METODE rdquoGENSTANDErdquo

Side 22 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Finde dimensioner +)

(rdquolaeligngde bredde hoslashjderdquo)Udregne med formler

rdquoRegulaeligrerdquo legemerTerninger kasser cylindre kugler

Finde genstandens opdrift ved nedsaelignkning i vandBenytte Arkimedesrsquo lov ++)

Mindre (uregelmaeligssige)legemerCementklump jernlod

Nedsaelignke i maringleglas (mm) med vandMaringle stigningen i vandstand

Smaring (uregelmaeligssige)legemer Bolte soslashm sten

+) FidusBrug den laeligngdemaringlsenhed der direkte giver facit i den oslashnskede rumfangsenhed

Laeligngdemaringl i Rummaringlvolumen i

Spri

ng

paring 1

0

m (meter) 1000 l (tusind liter) = 1 m3 (kubikmeter)

Spri

ng

paring 1

000

dm (decimeter) 1 l (liter) = 1 dm3 (kubikdecimeter)

cm (centimeter) 1 ml (milliliter) = 1cm3 (kubikcentimeter)

++) Arkimedesrsquo lovEn genstand der nedsaelignkes i vand taber lige saring meget i vaeliggt som massen af det vand genstanden fortraeligngerNaringr vi efter ovenstaringende rumfangsbestemmelser ogsaring har fundet den paringgaeligldende genstands masse er vi klar til at arbejde med

Massefylde (vaeliggtfylde) = masse rumfang (volumen)Massefylde angives i gcm3 kgdm3 eller tm3 Sammenhaeligngen mellem de tre variable kan opstilles i en formeltrekant (side 27) Hvis masse eller volumen er den ukendte stoslashrrelse faringr man imidlertid brug for en tabel over forskellige stoffers massefylde

ALGEBRAAlgebra er rdquobogstavregningrdquo Vi bruger algebra naringr vi skal vise at udregninger af og sammenhaelignge mellem forskellige stoslashrrelser gaeliglder for alle talvaeligrdier For algebra ndash men altsaring ogsaring for regnearbejdet med rdquoalmindeligerdquo tal - gaeliglder en raeligkke regler som det er noslashdvendigt at kende naringr vi reducerer ndash skriver paring kortere formRegne-hierarkiFoslashrst potenser og roslashdder saring parenteser saring gange og dividere ndash til sidst plus og minus

Side 23 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Eksempel 4 (3 + 2)2 10 + 8 = 4 52 10 + 8 = 4 25 10 + 8 = 100 10 + 8 = 10 + 8 = 18

Plusparentes- kan haeligves og saeligttes uden at leddene inde i parentesen skifter fortegnEksempel med bogstaver a + (b + c ndash d) = a + b + c ndashdEksempel med tal 9 + (2 + 4 ndash 3) = 9 + 2 + 4 ndash 3 = 12 (9 + 3 = 12)Minusparentes- naringr minusparentesen haeligves skifter leddene inde i parentesen fortegnEksempel med bogstaver a ndash (b + c ndash d) = a ndash b ndash c + dEksempel med tal 9 ndash (2 + 4 ndash 3) = 9 ndash 2 ndash 4 + 3 = 6 (9 ndash 3 = 6)

Flerleddede stoslashrrelserMan ganger en flerleddet stoslashrrelse med et tal ved at gange hvert af leddene med tallet Dette kalder vi den distributive lov (Distribuere ndash dele ud)Eksempel med bogstaver a middot (b + c) = ab + acEksempel med tal 2 middot (4 + 2) = 2 middot 4 + 2 middot 2 = 8 + 4 = 12 (2 middot 6 = 12)Man ganger ndash selvfoslashlgelig - to flerleddede stoslashrrelser med hinanden ved atEksempel med bogstaver (a + b) middot (c + d) = ac + ad + bc + bdEksempel med tal (2 + 3) middot (5 + 4) = 2 middot 5 + 2 middot 4 + 3 middot 5 + 3 middot 4 =

10 + 8 + 15 + 12 = 45 (5 middot 9 = 45)Man dividerer en flerleddet stoslashrrelse med et tal ved at dividere hvert af leddeneEksempel med bogstaver (a + b) c = a c + b cEksempel med tal (6 + 2) 2 = 6 2 + 2 2 = 3 + 1 = 4 (8 2 = 4)Specielle tilfaeliglde hvis begge parenteser rummer de samme tal ndash bortset fra fortegnrdquoKvadratet paring en toleddet sumrdquo (a + b)2 = a2 + b2 + 2abVis selv hvordan _________________________________________________________________rdquoKvadratet paring en toleddet diffferensrdquo (a - b)2 = a2 + b2 - 2abVis selv hvordan _________________________________________________________________rdquoTo tals sum gange de samme to tals differensrdquo (a + b)(a ndash b) = a2 - b2 Vis selv hvordan _________________________________________________________________

En praktisk anvendelse af ovenstaringende ndash hovedregning () i rdquoden store tabelrdquo19 middot 19 = (20 ndash 1)2 = 202 + 12 ndash 2 middot 20 middot 1 = 400 + 1 ndash 40 = 36123 middot 23 = (20 + 3)2 = 202 + 32 + 2 middot 20 middot 3 = 400 + 9 + 120 = 529

Hvis man ikke netop bliver bedt om at reducere bogstavudtryk kan arbejdet med algebra bestaring i at finde det paringgaeligldende udtryks stoslashrrelse naringr de indsaeligttes forskellige vaeligrdier i stedet for de rdquoubekendterdquo bogstaver Udfyld saringledes

x 3x x + 4 10 ndash x 2x + 4 -x + 34

Side 24 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

-4-125frac12-20

x y y 2 2x ndash 3y 3 104 148 250 15

Flere klasser har haft glaeligde af at udarbejde saringdanne opgaver i regneark Her gaeliglder det netop om at finde den almene formel som talvaeligrdierne bagefter kan indsaeligttes i

Opgaver Find selv de tilsvarende formler og indsaeligt dem i cellerne A2 B2 C2 D2 E2

og F2 rdquoTraeligk nedrdquo og laeligg maeligrke til om du faringr de samme resultater som vist i

dumprsquoet Indret endnu et regneark og opstil tabel plus formler ogsaring til det andet skema Regn nedenstaringende opgaver Deacutet er reduktion stil gerne op i Word som vist12a ndash 6(3 ndash a) + 8 = 12a ndash 18 + 6a + 8 = 18a ndash 1040 + 3(9 ndash x) + 6x =___________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________________________________

3a + 4(9 ndash 2a) ndash 6 + a =______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2(x + 4) ndash (x + 5) =______________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________

___________________________________________________________5(7y + 5) ndash frac12(50 + 10y)_________________________________________________________=

______________________________________________________________________________________________________________________

FORMLERSide 25 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Specielt finder vi ndash som allerede naeligvnt - en meget nyttig anvendelse af algebra ved opstilling af formler Her garingr opgaven jo netop ud paring at fastlaeliggge en sammenhaeligng mellem forskellige variable stoslashrrelser - ved hjaeliglp af alt andet end konkrete talvaeligrdier Forharingbentlig vil nedenstaringende eksempler vaeligkke en vis genkendelseSammenhaeligngen mellem vejlaeligngde hastighed og tid s = v middot tSammenhaeligngen mellem spaelignding modstand og stroslashmstyrke U = R middot ISammenhaeligngen mellem masse rumfang og massefylde (se ogsaring side 22) m = V middot dEn saringdan sammenhaeligng mellem tre stoslashrrelser kan med fordel illustreres ved hjaeliglp af nedenstaringende trekanter Man laeliggger fingeren over den variable man oslashnsker at finde ndash og den aktuelle omformning af formlen vil umiddelbart fremgaring Lodret linie betyder multiplikation vandret linie (broslashkstreg) betyder division

s m v t V d Vi kan ved algebraens hjaeliglp faktisk selv opstille formler som vi er kommet i tvivl om Hvad er formlen for udregning af hastighed Jo hastighed angives som meter per sekund (ms) eller kilometer per time (kmt) Den skraringstreg der erstatter rdquoperrdquo betyder egentlig division - og dermed har vi den generelle formelHastighed = vejlaeligngde divideret med tid Med ovenstaringende betegnelser v = s t Andre formlerDe fleste formler (og vi bruger dem ofte) kan slarings op i forskellige formelsamlinger Hvis man ikke vil noslashjes med den udgave der er aftrykt i FAKTOR kan den rdquoofficiellerdquo formelsamling til brug for afgangsproslashverne nedlades () fra wwwuvmdk ndash eller man kan (eventuelt paring klassebasis) investere i forlaget degne-distribs tilsvarende rdquomatematiske formler og tabellerrdquo Den koster ikke meget ndash og saring har man lov til at goslashre notater To saeligt formler som vist nok ikke findes andetsteds og som flere klasser har arbejdet en del med skal imidlertid anfoslashres til slut Det drejer sig om

Fremmed valuta Aktier og obligationerDKK = (Valuta 100) middot Kurs Pris = (Paringlydende 100) middot Kurs

(kr) Valuta = (DKK Kurs) middot 100 Paringlydende = (Pris Kurs) middot 100

(kr)Kurs = (DKK Valuta) middot 100 Kurs = (Pris Paringlydende) middot 100 Opgavera) Kurs 120 Paringlydende 100 kroner Hvor mange aktier kan du koslashbe for 60000 kronerb) Hvor mange norske kroner kan du faring for 2000 danske kroner naringr kursen er 8378c) Hvor meget koster 1700 Euro til kurs 74492

LOslashSNING AF LIGNINGERSide 26 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

TIP 2 Regn eventuelt nogle stykker ad gangen (for eksempel en rdquososlashjlerdquo) i stedet for at se dig overvundet af alle stykker paring eacuten gangTIP 3 Hvis der er behov for lidt svaeligrere opgaver kan man bare tage multiplikations-stykkerne paring foregaringende side og rdquovende dem omrdquo 21 middot 146 = 3066 bliver til 3066 21 =

BROslashKEROgsaring i forbindelse med broslashker er der brug for nogle rdquofagudtrykrdquo som ses herunder

HuskereglerTaeligller i Toppen Naeligvner er NedenunderTaeliglleren taeligller op altsaring Hvor mange er derNaeligvneren benaeligvner altsaring Hvilken rdquoslagsrdquo er detHeraf farings at broslashken til venstre skal laeligses rdquoto femtedelerdquoEndelig er en broslashkstreg det samme som et divisionstegn Det man faringr besked paring er altsaring at udfoslashre divisionen 2 5

Ved regning med broslashker foslashlger af ovenstaringende en raeligkke regler som det godt kan vaeligre en fordel ogsaring at kende den sproglige formulering afTo eller flere ensbenaeligvnte broslashker (broslashker med samme naeligvner) adderes (laeliggges sammen) ved at addere taeligllerne og beholde naeligvneren14 + 24 = 34 15 + 25 + 15 = 45 27 + 47 = 67 39 + 29 + 29 = 79 To eller flere ensbenaeligvnte broslashker (broslashker med samme naeligvner) subtraheres (traeligkkes fra) ved at subtrahere taeligllerne og beholde naeligvneren67 ndash 37 ndash 17 = 27 34 ndash 14 = 24 58 ndash 28 ndash 18 = 28 89 ndash 39 = 59Man forlaelignger en broslashk ved at gange den med samme tal i taeligller og naeligvner34 = 34 middot 22 = 68 38 = 38 middot 33 = 924 27 = 27 middot 44 = 828Ovenstaringende operation aeligndrer ikke paring broslashkens vaeligrdi men alene paring dens rdquoudseenderdquoMan forkorter en broslashk ved at dividere den med samme tal i taeligller og naeligvner612 = 612 66 = 12 39 = 39 33 = 13 68 = 68 22 = 34 Ovenstaringende operation aeligndrer ikke paring broslashkens vaeligrdi men alene paring dens rdquoudseenderdquoHar man ved addition og subtraktion ikke samme naeligvner i broslashkerne maring denne fremskaffes ved at forlaelignge eller forkorte den ene eller begge broslashker12 + 14 = 24 + 14 = 34 34 - 18 = 68 ndash 18 = 58 28 ndash 16 = 624 ndash 424 = 224 25 + 27 = 1435 + 1035 = 2435 35 ndash 315 = 35 ndash 15 = 25 Man ganger en broslashk med et tal ved at gange taeligller med tallet og beholde naeligvner2 middot37 = 67 4middot29 = 89 3middot45 = 125 = 2 25 (idet facit angives som blandet tal)

Side 10 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Man dividerer en broslashk med et tal ved at dividere taeligller med tallet og beholde naeligvner68 2 = (62)8 = 38 67 2 = (62)7 = 37 34 2 = 68 2 = (6 2)8 = 38 I det sidste eksempel maringtte broslashken foslashrst forlaelignges saring taeliglleren kunne deles med 2 Alternativt kan man i saringdanne tilfaeliglde udregne 34 2 = 3(4 middot 2) = 38 Begge veje er farbare i alle opgaver hvor det tal der divideres med ikke umiddelbart garingr op i broslashkens naeligvner ndash nu som foslashr drejer det sig om at goslashre det man er tryg vedMan dividerer en broslashk med en broslashk ved at gange med rdquoden omvendterdquo16 12 = 16 middot 21 = 26 = 13 13 58 = 13 middot 85 = 815 17 15 = 17 middot 51 = 57

DECIMALTALKommatal kaldes ogsaring decimaltal Cifrene efter kommaet hedder decimalerFoslashrste decimal (altsaring foslashrste plads efter kommaet) viser antal tiendedele Anden decimal (anden plads efter kommaet) viser antal hundrededele etcI et rdquoudvidet talhusrdquo som nedenstaringende (flere gange anvendt i FAKTOR) kan man ud over placeringen af de hele tal (enere ndash tiere ndash hundreder etc) ogsaring se hvor decima-lerne skal staring Modellen kan naturligvis udvides saring man paring tredje plads efter kommaet finder tusindedelene paring fjerde plads titusinde-delene etc

I ovenstaringende talhus har vi altsaring foslashlgende tal illustreret 750 ndash 2425 ndash 7605 ndash 10510OslashvelseHvor mange tiendedele hundrededele og tusindedele er der i tallene 785 ndash 560 ndash 55521 ndash 2309 ndash 349 ndash 4598 ndash 9125 ndash 8845 ndash 1502 ndash 34004 ndash 001 ndash 25OslashvelseParing hvilken plads staringr 7-tallet i tallene1735 ndash 207 ndash 7081 ndash 0257 ndash 467 ndash 6478 ndash 087 ndash 34721 ndash 65791 ndash 8007 ndash 267 ndash 70 OslashvelseOmskriv til eacutet decimaltal a 2 tiere + 7 enere + 3 tiendedele + 1 hundrededel b 5 tiere + 1 ener + to tiendedele + 3 hundrededele + 7 tusindedelec 6 hundreder + 2 enere + 4 tiendedele + 1 tusindedel

Side 11 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Naringr decimaltal skal adderes eller subtraheres skal man huske at stille komma over komma ndash og dernaeligst tiere over tiere enere over enere tiendedele over tiendedele etc Ved division skal der komma i facit naringr man i udregningen traeligkker tiendedelen nedVed multiplikation kan man stille op og regne ud som saeligdvanligt og saeligtte komma til sidst Samlet antal decimaler i de to faktorer giver antal decimaler i facit

PROCENTREGNINGOrdet procent kommer af latin pro centum ndash for hver hundrede Procent betyder saringledes 1100 eller 1 ud af 100 For procent benyttes symbolet 50 procent = 50

Eksempel paring rdquoberegn procentdelrdquo 40 af 250Idet vi udnytter at procent betyder hundrededel farings 1 procent ved at dividere med 100 40 procent findes ved at gange det fundne tal med 40 I eacuten opstilling giver dette40 af 250 = (250100)40 = 100Da 40 hundrededele imidlertid ogsaring kan skrives som 040 (se positionssystemet) farings40 af 250 = 040250 = 100Maringske er det til at gennemskue at de udfoslashrte regneoperationer i de to tilfaeliglde dybest set er de samme ndash men det kan altsaring goslashre en forskel for den enkelte elev ndash igen ndash at vaeliglge den algoritme vedkommende er mest tryg ved

Eksempel paring rdquolaeliggge procentdel tilrdquo 25 moms paring en vare til 250 krPris uden moms 25000 krMoms 025250 = 6250 krPris med moms 25000 + 6250 = 31250 krMan kan ogsaring betragte prisen med moms som (100 + 25) af beloslashbet uden moms Deraf farings prisen med moms ved blot eacuten udregningPris med moms 250115 = 31250 kr

Eksempel paring rdquotraeligkke procentdel frardquo 20 moms paring en vare til 200 krRabatpris 08200 = 160 kr(Idet 20 rabat maring betyde at der er 80 tilbage af varens oprindelige pris)

Eksempel paring rdquoberegning af procentdelrdquo Stigning fra 120 til 150 kr

Eksempel paring rdquoberegning af procentdelrdquo Fald fra 150 til 120 kr

Eksempel paring rdquoberegn hele beloslashbetrdquo 15 svarer til 750 kr 1 750 15 = 50

Side 12 af 42

Procentvis stigning stigningdet oprindelige beloslashb

= 150 minus 120120

lowast 100= 25

Procentvist fald falddet oprindelige beloslashb

= 150minus 120150

lowast 100= 20

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

100 50 100 = 5000

I eacuten (generelt anvendelig) opstilling

OMREGNING MELLEM BROslashK ndash DECIMALTAL ndash PROCENT15 = 020 = 20 Saringdan staringr der i FAKTOR for sjette under overskriften rdquoEr decimaltal bedre end broslashkerrdquo Der kan ikke gives en eacutentydigt svar paring dette idet de tre maringder at angive et tal paring har hver deres fordele ndash og de er da ogsaring alle nyttige at kende For at faring det fulde udbytte af dette kendskab skal man imidlertid frit kunne omregne mellem de tre skrivemaringder ndash og ikke bare i et tilfaeliglde som ovenstaringende hvor sammenhaeligngen er saring kendt at man naeligsten kan den udenad og altsaring ikke behoslashver at regne noget ud Foslashlgende regler gaeliglder ved omregning

Broslashk til decimaltalVi udnytter at broslashkstregen er det samme som et divisionstegn og udfoslashrer blot divisionen hvad enten det nu er i hovedet med blyantpapir paring lommeregner35 = 3 5 = 06 18 = 1 8 = 0125 24 = 2 4 = 05 14 = 1 4 = 025 13 = 1 3 asymp 033 27 = 2 7 asymp 029 19 = 1 9 asymp 011 111 = 1 11 asymp 009

Decimaltal til broslashkHer omskriver vi decimaltallet til tiendedele eller hundrededele og forkorter herefter06 = 610 = 25 0125 = 1251000 = 25200 = 540 = 18 025 = 25100 = 520 = 14

Broslashk til procent Nogle gange garingr det an at forlaelignge broslashken saring naeligvneren bliver til hundrededele 25 = 40100 = 40 34 = 75100 = 75 710 = 70100 = 70 325 = 12100 = 12Ellers siger den generelle regel rdquoomskriv til procent ved at gange med 100rdquo78 = (7middot1008) = 700 8 = 875 315 = (3middot10015) = 300 15 = 20 Procent til broslashkProcenten omskrives til hundrededele hvorefter der forkortes 40 = 40100 = 410 = 25 75 = 75100 = 1520 = 34 12 = 12100 = 650 = 325

Decimaltal til procentrdquoOmskriv til procent ved at gange med 100rdquo I et decimaltal realiseres dette ved at flytte kommaet to pladser til hoslashjre031 = 031 middot 100 = 31 007 = 007 middot 100 = 7 0375 = 0375 middot 100 = 375 Procent til decimaltalHer divideres med 100 hvorved kommaet flyttes to pladser til venstre

Side 13 af 42

100=75015

lowast 100 = 5000

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

31 = 31 100 = 031 7 = 7 100 = 007 375 = 375 100 = 0375

OslashvelseParing naeligste side findes et skema til omregning mellem broslashk decimaltal og procent ndash mere omfattende end det der findes i FAKTOR for sjette paring side 100Udfyld skemaet ved hjaeliglp af de metoder der er gennemgaringet herover ndash herefter vil man goslashre sig selv en tjeneste hvis man laeligrer hele herligheden udenad

OMREGNING MELLEM BROslashK ndash DECIMALTAL ndash PROCENT

Broslashk Decimaltal Procent

110

18

210 = 15

28 = 14

31013

(afrundet) (angives evt som blandet tal)38

410 = 25

510 = 48 = 12

610 = 35

5823

(afrundet) (angives evt som blandet tal)710

68 = 34

810 = 45

78

910

Side 14 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

1010 = 88 = 11

EkstraopgaveHvilke tyvendedele mangler (og hvor) i skemaet Hvad bliver disse tyvendedele til ved omregning til decimaltal og procent

KOORDINATSYSTEMETEt koordinatsystem dannes saeligdvanligvis af to tallinier der staringr vinkelret paring hinanden Paring denne maringde deles rdquoplanenrdquo eller papiret i fire dele Hver af delene kalder vi en kvadrant som benaeligvnes med romertalI = 1 kvadrant II = 2 kvadrant III = 3 kvadrant IV = 4 kvadrant

II I

III IV

Den vandrette tallinie kaldes x-aksen eller foslashrste-aksen Den lodrette tallinie kaldes y-aksen eller anden-aksen Hvert punkt i koordinatsystemet kan angives med et koordinatsaeligt hvor det foslashrste tal aflaeligses paring x-aksen og det andet tal aflaeligses paring y-aksen (det er her vi har indfoslashrt den fjollede huskeregel med rdquohen ad gaden op ad trappenrdquo) Eksempelvis er koordinaterne til de tre afmaeligrkede punkter i systemet herover til hoslashjre (30) (-24) og (-2-2) Generelt gaeliglder om koordinaternes fortegn1 kvadrant (++) 2 kvadrant (-+) 3 kvadrant (--) 4 kvadrant (+-)I koordinatsystemet kan man ud over at afsaeligtte enkeltpunkter (typisk i kvadrant I) afbilde sammenhaelignge mellem to forskellige stoslashrrelser som herunder

Side 15 af 42

Befolkningstilvaeligkst i Japan

126012651270127512801285

1999

2000

2001

2002

2003

2004

2005

2006

Aringrstal

Mio

ind

bygg

ere

Samlet torskefangst i 1979 og 2000

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

Janu

ar

Febr

uar

Mar

ts

Apr

il

Maj

Juni

Juli

Aug

ust

Sep

tem

ber

Okt

ober

Nov

embe

r

Dec

embe

r

Anta

l ton

2000 1979

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

GEOMETRIVinklers stoslashrrelse

En vinkel der er stoslashrre end 90ordm kaldes en stump vinkelEn vinkel der er lig med 90ordm kaldes en ret vinkelEn vinkel der er mindre end 90ordm kaldes en spids vinkel

Tegning af vinkel

Vinklens toppunkt skal ligge midt i vinkelmaringleren Det ene vinkelben skal garing gennem 0 det andet ben viser vinklen

VinkelsumVinkelsummen i en tilfaeligldig trekant vil

saltid altid vaeligre 180ordmTegn en trekant og klip den udDel trekanten i tre efter de stiplede

linier linier som paring tegningen til venstreLaeligg de tre vinkler ved siden af

hinanden De De vil nu til sammen danne en lige vinkel det vil sige det vil netop sige en vinkel paring 180ordm

Hvad mon vinkelsummen er i en firkant Tegn og klip som Tegn og klip som foslashr ndash eller

Side 16 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Vinkelstoslashrrelser i trekanterAlt efter vinkelstoslashrrelser deles trekanter efter omstaringende ind i tre hovedtyperSpidsvinklede trekanter Den stoslashrste vinkel er mindre end 90 ordm Retvinklede trekanter Den stoslashrste vinkel er netop lig 90 ordmStumpvinklede trekanter Den stoslashrste vinkel er stoslashrre end 90 ordm

rdquoSpeciellerdquo trekanterTrekanter der har to lige lange sider kaldes ligebenede trekanter Saringdanne trekanter har ogsaring to lige store vinkler (vinklerne ved grundlinien) Trekanter der har tre lige lange sider kaldes ligesidede trekanter Alle tre vinkler i saringdanne trekanter har samme stoslashrrelse nemlig 60 ordm

HoslashjdeHoslashjden i en trekant er liniestykket fra en vinkelspids vinkelret paring den modstaringende sideAlle trekanter har saringledes tre hoslashjder og de skaeligrer hinanden i eacutet og samme punktI retvinklede trekanter falder to af hoslashjderne sammen med trekantens korte siderI stumpvinklede trekanter falder to af hoslashjderne uden for trekanten

Median

MedianMedianen er liniestykket fra en vinkelspids til midtpunktet af modstaringende sideAlle trekanter har naturligvis tre medianer og de skaeligrer hinanden i eacutet og samme punktBemaeligrk I ligesidede trekanter er hoslashjder medianer (foruden vinkelhalveringslinier og sidernes midtnormaler) i alle tilfaeliglde sammenfaldende

FLYTNINGSGEOMETRI SPEJLING

Side 17 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

1 Figuren (en trekant) skal spejles i den viste linie

2 Tegnetrekanten laeliggges paring saring dens lange side staringr vinkelret paring spejlingsaksen Maringl fra A paring trekanten afstanden ned til aksen og afsaeligt saring spejlbilledet af A lige saring langt paring den anden side (dette kan ogsaring goslashres praeligcist med en passer)

3 Gentag proceduren fra 2 med saring mange punkter som noslashdvendigt som noslashdvendigt ndash i dette tilfaeliglde trekantens tre vinkelspidser

4 Billedpunkterne (her trekantens vinkelspidser) forbindes og hele spejlbilledet tegnes

Vi bemaeligrker at figuren og dens spejlbillede ligger symmetrisk om spejlingsaksen Paring billede 4 herover ser vi at den rdquosamlede figurrdquo ved spejling i en saringdan symmetriakse netop foslashres over i sig selv (halvdelene rdquobytter pladsrdquo)

FLYTNINGSGEOMETRI DREJING

1 Figuren (en trekant) skal drejes 100ordm med uret omkring punktet F

Side 18 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

2 En cirkelbue tegnes med F som centrum og FA som radius Drejningsvinklen 100ordm afsaeligttes med F som top-punkt og FA paring vinkelmaringlerens 0-streg

3 Afsaeligt Arsquos billedpunkt og gentag herefter proceduren med saring mange punkter som noslashdvendigt ndash her trekantens tre vinkelspidser

4 Billedpunkterne (her trekantens vinkelspidser)

forbindes og hele drejebilledet tegnes

Vi bemaeligrker at det kun er omdrejningspunktet F der ikke flytter sig ved en drejning Et saringdant punkt kalder man et fixpunkt

FLYTNINGSGEOMETRI PARALLELFORSKYDNINGFor fuldstaeligndighedens skyld skal herunder beskrives metoden naringr man paring et rdquoblanktrdquo stykke papir skal foretage en parallelforskydning ndash en flytning hvor alle figurens punkter skubbes lige langt og i samme retning Det er dog en disciplin der hoslashrer hoslashjere klassetrin til naringr man saeligdvanligvis udfoslashrer parallelforskydning er der nemlig et kvadratnet eller et koordinatsystem at stoslashtte sig til ndash som vist nederst paring siden

Parallelforskydning af linie

Side 19 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Parallelforskydning af plan figur

Parallelforskydning af figur i kvadratnetOpgaven vil typisk vaeligre at forskyde den paringgaeligldende figur (her en firkant) i pilens laeligngde og retningVi ser at hele figuren hermed skal flyttes rdquoto tern hen fire tern oprdquo Imidlertid er det nok at flytte de fire vinkelspidser idet de jo tilsammen rdquodefinererrdquo den paringgaeligldende firkantEndnu nemmere vil det vaeligre naringr man udnytter at figur og billedfigur er kongruente Saring kan man noslashjes med at flytte eacutet punkt og herudfra tegne en ny figur magen til den gamle

AREAL OG AREALBEREGNINGAreal angiver stoslashrrelsen af en flade og maringles i antal kvadrater med sidelaeligngden 1 For eksempel cm2 (kvadratcentimeter) m2 (kvadratmeter) eller km2

(kvadratkilometer)Herunder en raeligkke eksempler paring formler til udregning af areal naringr der dels er tale om elementaeligre geometriske figurer dels om sammensatte figurer Laeligg ikke mindst maeligrke til hvad det er for egenskaber der definerer de forskellige typer firkanter

Side 20 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Sammensatte figurerArealet findes ved at opdele figuren i to eller flere kendte figurer og finde de enkelte figureres arealer hver for sig Specielt kan man finde arealet af trekanter tegnet i kvadratnet ved at finde de to retvinklede trekanters arealer og laeliggge dem sammen Oslashvelser

Find arealet af hver af trekanterne a ndash f ved at bruge metoden ovenfor 1 tern svarer til 1 cm2a ____ + ____ = ____ cm2

b ____ + ____ = ____ cm2

c ____ + ____ = ____ cm2

d ____ + ____ = ____ cm2

e ____ + ____ = ____ cm2

f ____ + ____ = ____ cm2

(OMSAEligTNING I) METERSYSTEMETForrdquonavnrdquo

Kilo Hekto Deka Enhed

Deci Centi Milli

Betyder 1000 100 10 1 110 = 01

1100 = 001

11000 = 0001

Forkortes

k h da d c m

Laeligngde km hm dam m dm cm mmMasse kg hg dag g dg cg mgRumfang

kl hl dal l dl cl ml

Ovenstaringende betyder for metersystemets laeligngdemaringl foslashlgende omsaeligtninger1m = 10 dm 1 dm = 10 cm

Side 21 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

1 m2 = 102 dm2 = 100 dm2 1 dm2 = 102 cm2 = 100 cm2

1m3 = 103 dm3 = 1000 dm3 1 dm3 = 103 cm3 = 1000 cm3

1m = 100 cm 1 cm = 10 mm1m2 = 1002 cm2 = 10000 cm2 1 cm2 = 102 mm2 =

100 mm2

1 m3 = 1003 cm3 = 1000000 cm3 1 cm3 = 103 mm3 = 1000 mm3

Omsaeligtning bliver endnu nemmere hvis man laeligrer denne remse udenadkilo ndash hekto ndash deka ndash (bum) ndash deci ndash centi ndash milli(um)Find den benaeligvnelse der skal omsaeligttes fra samt den benaeligvnelse der skal omsaeligttes til (rdquoBumrdquo svarer til henholdsvis meter gram og liter)Taeligl det antal pladser der er imellem de to benaeligvnelser og flyt kommaet samme antal pladser i samme retningHvis der er tale om flade- (for eksempel m2) eller rummaringl (for eksempel m3) skal man huske at gange antallet af pladser med 2 henholdsvis 3 foslashr kommaet flyttes det tilsvarende antal pladserEksempel 5 m2 skal omsaeligttes til cm2I tabellen herover findes rdquoenhedrdquo og der taeliglles hvor mange pladser der er hen til rdquocentirdquo 2 pladser til hoslashjre Da det er et flademaringl (areal) skal antallet af pladser ganges med 2 (2 middot 2 = 4) Kommaet flyttes 4 pladser til hoslashjre og altsaring 5m 2 = 50000 cm 2 Eksempel 100 dm3 skal omsaeligttes til m3I tabellen herover findes rdquodecirdquo og der taeliglles hvor mange pladser der er hen til rdquoenhedrdquo 1 plads til venstre Da det er et rummaringl skal antallet af pladser ganges med 3 (3 middot 1 = 3) Kommaet flyttes 3 pladser til venstre og altsaring 100 dm 3 = 01 m 3

MASSE RUMFANG OG MASSEFYLDEMed begrebet massefylde tangerer vi faget fysik Maringske vil enkelte kunne huske at vi med udgangspunkt i FAKTOR i syvendersquos rdquoHvad kan du maringlerdquo da ogsaring arbejdede tvaeligrfagligt med emnet ndash blandt andet med nedenstaringende opstillingsystematik

ILLUSTRATION METODE rdquoGENSTANDErdquo

Side 22 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Finde dimensioner +)

(rdquolaeligngde bredde hoslashjderdquo)Udregne med formler

rdquoRegulaeligrerdquo legemerTerninger kasser cylindre kugler

Finde genstandens opdrift ved nedsaelignkning i vandBenytte Arkimedesrsquo lov ++)

Mindre (uregelmaeligssige)legemerCementklump jernlod

Nedsaelignke i maringleglas (mm) med vandMaringle stigningen i vandstand

Smaring (uregelmaeligssige)legemer Bolte soslashm sten

+) FidusBrug den laeligngdemaringlsenhed der direkte giver facit i den oslashnskede rumfangsenhed

Laeligngdemaringl i Rummaringlvolumen i

Spri

ng

paring 1

0

m (meter) 1000 l (tusind liter) = 1 m3 (kubikmeter)

Spri

ng

paring 1

000

dm (decimeter) 1 l (liter) = 1 dm3 (kubikdecimeter)

cm (centimeter) 1 ml (milliliter) = 1cm3 (kubikcentimeter)

++) Arkimedesrsquo lovEn genstand der nedsaelignkes i vand taber lige saring meget i vaeliggt som massen af det vand genstanden fortraeligngerNaringr vi efter ovenstaringende rumfangsbestemmelser ogsaring har fundet den paringgaeligldende genstands masse er vi klar til at arbejde med

Massefylde (vaeliggtfylde) = masse rumfang (volumen)Massefylde angives i gcm3 kgdm3 eller tm3 Sammenhaeligngen mellem de tre variable kan opstilles i en formeltrekant (side 27) Hvis masse eller volumen er den ukendte stoslashrrelse faringr man imidlertid brug for en tabel over forskellige stoffers massefylde

ALGEBRAAlgebra er rdquobogstavregningrdquo Vi bruger algebra naringr vi skal vise at udregninger af og sammenhaelignge mellem forskellige stoslashrrelser gaeliglder for alle talvaeligrdier For algebra ndash men altsaring ogsaring for regnearbejdet med rdquoalmindeligerdquo tal - gaeliglder en raeligkke regler som det er noslashdvendigt at kende naringr vi reducerer ndash skriver paring kortere formRegne-hierarkiFoslashrst potenser og roslashdder saring parenteser saring gange og dividere ndash til sidst plus og minus

Side 23 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Eksempel 4 (3 + 2)2 10 + 8 = 4 52 10 + 8 = 4 25 10 + 8 = 100 10 + 8 = 10 + 8 = 18

Plusparentes- kan haeligves og saeligttes uden at leddene inde i parentesen skifter fortegnEksempel med bogstaver a + (b + c ndash d) = a + b + c ndashdEksempel med tal 9 + (2 + 4 ndash 3) = 9 + 2 + 4 ndash 3 = 12 (9 + 3 = 12)Minusparentes- naringr minusparentesen haeligves skifter leddene inde i parentesen fortegnEksempel med bogstaver a ndash (b + c ndash d) = a ndash b ndash c + dEksempel med tal 9 ndash (2 + 4 ndash 3) = 9 ndash 2 ndash 4 + 3 = 6 (9 ndash 3 = 6)

Flerleddede stoslashrrelserMan ganger en flerleddet stoslashrrelse med et tal ved at gange hvert af leddene med tallet Dette kalder vi den distributive lov (Distribuere ndash dele ud)Eksempel med bogstaver a middot (b + c) = ab + acEksempel med tal 2 middot (4 + 2) = 2 middot 4 + 2 middot 2 = 8 + 4 = 12 (2 middot 6 = 12)Man ganger ndash selvfoslashlgelig - to flerleddede stoslashrrelser med hinanden ved atEksempel med bogstaver (a + b) middot (c + d) = ac + ad + bc + bdEksempel med tal (2 + 3) middot (5 + 4) = 2 middot 5 + 2 middot 4 + 3 middot 5 + 3 middot 4 =

10 + 8 + 15 + 12 = 45 (5 middot 9 = 45)Man dividerer en flerleddet stoslashrrelse med et tal ved at dividere hvert af leddeneEksempel med bogstaver (a + b) c = a c + b cEksempel med tal (6 + 2) 2 = 6 2 + 2 2 = 3 + 1 = 4 (8 2 = 4)Specielle tilfaeliglde hvis begge parenteser rummer de samme tal ndash bortset fra fortegnrdquoKvadratet paring en toleddet sumrdquo (a + b)2 = a2 + b2 + 2abVis selv hvordan _________________________________________________________________rdquoKvadratet paring en toleddet diffferensrdquo (a - b)2 = a2 + b2 - 2abVis selv hvordan _________________________________________________________________rdquoTo tals sum gange de samme to tals differensrdquo (a + b)(a ndash b) = a2 - b2 Vis selv hvordan _________________________________________________________________

En praktisk anvendelse af ovenstaringende ndash hovedregning () i rdquoden store tabelrdquo19 middot 19 = (20 ndash 1)2 = 202 + 12 ndash 2 middot 20 middot 1 = 400 + 1 ndash 40 = 36123 middot 23 = (20 + 3)2 = 202 + 32 + 2 middot 20 middot 3 = 400 + 9 + 120 = 529

Hvis man ikke netop bliver bedt om at reducere bogstavudtryk kan arbejdet med algebra bestaring i at finde det paringgaeligldende udtryks stoslashrrelse naringr de indsaeligttes forskellige vaeligrdier i stedet for de rdquoubekendterdquo bogstaver Udfyld saringledes

x 3x x + 4 10 ndash x 2x + 4 -x + 34

Side 24 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

-4-125frac12-20

x y y 2 2x ndash 3y 3 104 148 250 15

Flere klasser har haft glaeligde af at udarbejde saringdanne opgaver i regneark Her gaeliglder det netop om at finde den almene formel som talvaeligrdierne bagefter kan indsaeligttes i

Opgaver Find selv de tilsvarende formler og indsaeligt dem i cellerne A2 B2 C2 D2 E2

og F2 rdquoTraeligk nedrdquo og laeligg maeligrke til om du faringr de samme resultater som vist i

dumprsquoet Indret endnu et regneark og opstil tabel plus formler ogsaring til det andet skema Regn nedenstaringende opgaver Deacutet er reduktion stil gerne op i Word som vist12a ndash 6(3 ndash a) + 8 = 12a ndash 18 + 6a + 8 = 18a ndash 1040 + 3(9 ndash x) + 6x =___________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________________________________

3a + 4(9 ndash 2a) ndash 6 + a =______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2(x + 4) ndash (x + 5) =______________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________

___________________________________________________________5(7y + 5) ndash frac12(50 + 10y)_________________________________________________________=

______________________________________________________________________________________________________________________

FORMLERSide 25 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Specielt finder vi ndash som allerede naeligvnt - en meget nyttig anvendelse af algebra ved opstilling af formler Her garingr opgaven jo netop ud paring at fastlaeliggge en sammenhaeligng mellem forskellige variable stoslashrrelser - ved hjaeliglp af alt andet end konkrete talvaeligrdier Forharingbentlig vil nedenstaringende eksempler vaeligkke en vis genkendelseSammenhaeligngen mellem vejlaeligngde hastighed og tid s = v middot tSammenhaeligngen mellem spaelignding modstand og stroslashmstyrke U = R middot ISammenhaeligngen mellem masse rumfang og massefylde (se ogsaring side 22) m = V middot dEn saringdan sammenhaeligng mellem tre stoslashrrelser kan med fordel illustreres ved hjaeliglp af nedenstaringende trekanter Man laeliggger fingeren over den variable man oslashnsker at finde ndash og den aktuelle omformning af formlen vil umiddelbart fremgaring Lodret linie betyder multiplikation vandret linie (broslashkstreg) betyder division

s m v t V d Vi kan ved algebraens hjaeliglp faktisk selv opstille formler som vi er kommet i tvivl om Hvad er formlen for udregning af hastighed Jo hastighed angives som meter per sekund (ms) eller kilometer per time (kmt) Den skraringstreg der erstatter rdquoperrdquo betyder egentlig division - og dermed har vi den generelle formelHastighed = vejlaeligngde divideret med tid Med ovenstaringende betegnelser v = s t Andre formlerDe fleste formler (og vi bruger dem ofte) kan slarings op i forskellige formelsamlinger Hvis man ikke vil noslashjes med den udgave der er aftrykt i FAKTOR kan den rdquoofficiellerdquo formelsamling til brug for afgangsproslashverne nedlades () fra wwwuvmdk ndash eller man kan (eventuelt paring klassebasis) investere i forlaget degne-distribs tilsvarende rdquomatematiske formler og tabellerrdquo Den koster ikke meget ndash og saring har man lov til at goslashre notater To saeligt formler som vist nok ikke findes andetsteds og som flere klasser har arbejdet en del med skal imidlertid anfoslashres til slut Det drejer sig om

Fremmed valuta Aktier og obligationerDKK = (Valuta 100) middot Kurs Pris = (Paringlydende 100) middot Kurs

(kr) Valuta = (DKK Kurs) middot 100 Paringlydende = (Pris Kurs) middot 100

(kr)Kurs = (DKK Valuta) middot 100 Kurs = (Pris Paringlydende) middot 100 Opgavera) Kurs 120 Paringlydende 100 kroner Hvor mange aktier kan du koslashbe for 60000 kronerb) Hvor mange norske kroner kan du faring for 2000 danske kroner naringr kursen er 8378c) Hvor meget koster 1700 Euro til kurs 74492

LOslashSNING AF LIGNINGERSide 26 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Man dividerer en broslashk med et tal ved at dividere taeligller med tallet og beholde naeligvner68 2 = (62)8 = 38 67 2 = (62)7 = 37 34 2 = 68 2 = (6 2)8 = 38 I det sidste eksempel maringtte broslashken foslashrst forlaelignges saring taeliglleren kunne deles med 2 Alternativt kan man i saringdanne tilfaeliglde udregne 34 2 = 3(4 middot 2) = 38 Begge veje er farbare i alle opgaver hvor det tal der divideres med ikke umiddelbart garingr op i broslashkens naeligvner ndash nu som foslashr drejer det sig om at goslashre det man er tryg vedMan dividerer en broslashk med en broslashk ved at gange med rdquoden omvendterdquo16 12 = 16 middot 21 = 26 = 13 13 58 = 13 middot 85 = 815 17 15 = 17 middot 51 = 57

DECIMALTALKommatal kaldes ogsaring decimaltal Cifrene efter kommaet hedder decimalerFoslashrste decimal (altsaring foslashrste plads efter kommaet) viser antal tiendedele Anden decimal (anden plads efter kommaet) viser antal hundrededele etcI et rdquoudvidet talhusrdquo som nedenstaringende (flere gange anvendt i FAKTOR) kan man ud over placeringen af de hele tal (enere ndash tiere ndash hundreder etc) ogsaring se hvor decima-lerne skal staring Modellen kan naturligvis udvides saring man paring tredje plads efter kommaet finder tusindedelene paring fjerde plads titusinde-delene etc

I ovenstaringende talhus har vi altsaring foslashlgende tal illustreret 750 ndash 2425 ndash 7605 ndash 10510OslashvelseHvor mange tiendedele hundrededele og tusindedele er der i tallene 785 ndash 560 ndash 55521 ndash 2309 ndash 349 ndash 4598 ndash 9125 ndash 8845 ndash 1502 ndash 34004 ndash 001 ndash 25OslashvelseParing hvilken plads staringr 7-tallet i tallene1735 ndash 207 ndash 7081 ndash 0257 ndash 467 ndash 6478 ndash 087 ndash 34721 ndash 65791 ndash 8007 ndash 267 ndash 70 OslashvelseOmskriv til eacutet decimaltal a 2 tiere + 7 enere + 3 tiendedele + 1 hundrededel b 5 tiere + 1 ener + to tiendedele + 3 hundrededele + 7 tusindedelec 6 hundreder + 2 enere + 4 tiendedele + 1 tusindedel

Side 11 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Naringr decimaltal skal adderes eller subtraheres skal man huske at stille komma over komma ndash og dernaeligst tiere over tiere enere over enere tiendedele over tiendedele etc Ved division skal der komma i facit naringr man i udregningen traeligkker tiendedelen nedVed multiplikation kan man stille op og regne ud som saeligdvanligt og saeligtte komma til sidst Samlet antal decimaler i de to faktorer giver antal decimaler i facit

PROCENTREGNINGOrdet procent kommer af latin pro centum ndash for hver hundrede Procent betyder saringledes 1100 eller 1 ud af 100 For procent benyttes symbolet 50 procent = 50

Eksempel paring rdquoberegn procentdelrdquo 40 af 250Idet vi udnytter at procent betyder hundrededel farings 1 procent ved at dividere med 100 40 procent findes ved at gange det fundne tal med 40 I eacuten opstilling giver dette40 af 250 = (250100)40 = 100Da 40 hundrededele imidlertid ogsaring kan skrives som 040 (se positionssystemet) farings40 af 250 = 040250 = 100Maringske er det til at gennemskue at de udfoslashrte regneoperationer i de to tilfaeliglde dybest set er de samme ndash men det kan altsaring goslashre en forskel for den enkelte elev ndash igen ndash at vaeliglge den algoritme vedkommende er mest tryg ved

Eksempel paring rdquolaeliggge procentdel tilrdquo 25 moms paring en vare til 250 krPris uden moms 25000 krMoms 025250 = 6250 krPris med moms 25000 + 6250 = 31250 krMan kan ogsaring betragte prisen med moms som (100 + 25) af beloslashbet uden moms Deraf farings prisen med moms ved blot eacuten udregningPris med moms 250115 = 31250 kr

Eksempel paring rdquotraeligkke procentdel frardquo 20 moms paring en vare til 200 krRabatpris 08200 = 160 kr(Idet 20 rabat maring betyde at der er 80 tilbage af varens oprindelige pris)

Eksempel paring rdquoberegning af procentdelrdquo Stigning fra 120 til 150 kr

Eksempel paring rdquoberegning af procentdelrdquo Fald fra 150 til 120 kr

Eksempel paring rdquoberegn hele beloslashbetrdquo 15 svarer til 750 kr 1 750 15 = 50

Side 12 af 42

Procentvis stigning stigningdet oprindelige beloslashb

= 150 minus 120120

lowast 100= 25

Procentvist fald falddet oprindelige beloslashb

= 150minus 120150

lowast 100= 20

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

100 50 100 = 5000

I eacuten (generelt anvendelig) opstilling

OMREGNING MELLEM BROslashK ndash DECIMALTAL ndash PROCENT15 = 020 = 20 Saringdan staringr der i FAKTOR for sjette under overskriften rdquoEr decimaltal bedre end broslashkerrdquo Der kan ikke gives en eacutentydigt svar paring dette idet de tre maringder at angive et tal paring har hver deres fordele ndash og de er da ogsaring alle nyttige at kende For at faring det fulde udbytte af dette kendskab skal man imidlertid frit kunne omregne mellem de tre skrivemaringder ndash og ikke bare i et tilfaeliglde som ovenstaringende hvor sammenhaeligngen er saring kendt at man naeligsten kan den udenad og altsaring ikke behoslashver at regne noget ud Foslashlgende regler gaeliglder ved omregning

Broslashk til decimaltalVi udnytter at broslashkstregen er det samme som et divisionstegn og udfoslashrer blot divisionen hvad enten det nu er i hovedet med blyantpapir paring lommeregner35 = 3 5 = 06 18 = 1 8 = 0125 24 = 2 4 = 05 14 = 1 4 = 025 13 = 1 3 asymp 033 27 = 2 7 asymp 029 19 = 1 9 asymp 011 111 = 1 11 asymp 009

Decimaltal til broslashkHer omskriver vi decimaltallet til tiendedele eller hundrededele og forkorter herefter06 = 610 = 25 0125 = 1251000 = 25200 = 540 = 18 025 = 25100 = 520 = 14

Broslashk til procent Nogle gange garingr det an at forlaelignge broslashken saring naeligvneren bliver til hundrededele 25 = 40100 = 40 34 = 75100 = 75 710 = 70100 = 70 325 = 12100 = 12Ellers siger den generelle regel rdquoomskriv til procent ved at gange med 100rdquo78 = (7middot1008) = 700 8 = 875 315 = (3middot10015) = 300 15 = 20 Procent til broslashkProcenten omskrives til hundrededele hvorefter der forkortes 40 = 40100 = 410 = 25 75 = 75100 = 1520 = 34 12 = 12100 = 650 = 325

Decimaltal til procentrdquoOmskriv til procent ved at gange med 100rdquo I et decimaltal realiseres dette ved at flytte kommaet to pladser til hoslashjre031 = 031 middot 100 = 31 007 = 007 middot 100 = 7 0375 = 0375 middot 100 = 375 Procent til decimaltalHer divideres med 100 hvorved kommaet flyttes to pladser til venstre

Side 13 af 42

100=75015

lowast 100 = 5000

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

31 = 31 100 = 031 7 = 7 100 = 007 375 = 375 100 = 0375

OslashvelseParing naeligste side findes et skema til omregning mellem broslashk decimaltal og procent ndash mere omfattende end det der findes i FAKTOR for sjette paring side 100Udfyld skemaet ved hjaeliglp af de metoder der er gennemgaringet herover ndash herefter vil man goslashre sig selv en tjeneste hvis man laeligrer hele herligheden udenad

OMREGNING MELLEM BROslashK ndash DECIMALTAL ndash PROCENT

Broslashk Decimaltal Procent

110

18

210 = 15

28 = 14

31013

(afrundet) (angives evt som blandet tal)38

410 = 25

510 = 48 = 12

610 = 35

5823

(afrundet) (angives evt som blandet tal)710

68 = 34

810 = 45

78

910

Side 14 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

1010 = 88 = 11

EkstraopgaveHvilke tyvendedele mangler (og hvor) i skemaet Hvad bliver disse tyvendedele til ved omregning til decimaltal og procent

KOORDINATSYSTEMETEt koordinatsystem dannes saeligdvanligvis af to tallinier der staringr vinkelret paring hinanden Paring denne maringde deles rdquoplanenrdquo eller papiret i fire dele Hver af delene kalder vi en kvadrant som benaeligvnes med romertalI = 1 kvadrant II = 2 kvadrant III = 3 kvadrant IV = 4 kvadrant

II I

III IV

Den vandrette tallinie kaldes x-aksen eller foslashrste-aksen Den lodrette tallinie kaldes y-aksen eller anden-aksen Hvert punkt i koordinatsystemet kan angives med et koordinatsaeligt hvor det foslashrste tal aflaeligses paring x-aksen og det andet tal aflaeligses paring y-aksen (det er her vi har indfoslashrt den fjollede huskeregel med rdquohen ad gaden op ad trappenrdquo) Eksempelvis er koordinaterne til de tre afmaeligrkede punkter i systemet herover til hoslashjre (30) (-24) og (-2-2) Generelt gaeliglder om koordinaternes fortegn1 kvadrant (++) 2 kvadrant (-+) 3 kvadrant (--) 4 kvadrant (+-)I koordinatsystemet kan man ud over at afsaeligtte enkeltpunkter (typisk i kvadrant I) afbilde sammenhaelignge mellem to forskellige stoslashrrelser som herunder

Side 15 af 42

Befolkningstilvaeligkst i Japan

126012651270127512801285

1999

2000

2001

2002

2003

2004

2005

2006

Aringrstal

Mio

ind

bygg

ere

Samlet torskefangst i 1979 og 2000

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

Janu

ar

Febr

uar

Mar

ts

Apr

il

Maj

Juni

Juli

Aug

ust

Sep

tem

ber

Okt

ober

Nov

embe

r

Dec

embe

r

Anta

l ton

2000 1979

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

GEOMETRIVinklers stoslashrrelse

En vinkel der er stoslashrre end 90ordm kaldes en stump vinkelEn vinkel der er lig med 90ordm kaldes en ret vinkelEn vinkel der er mindre end 90ordm kaldes en spids vinkel

Tegning af vinkel

Vinklens toppunkt skal ligge midt i vinkelmaringleren Det ene vinkelben skal garing gennem 0 det andet ben viser vinklen

VinkelsumVinkelsummen i en tilfaeligldig trekant vil

saltid altid vaeligre 180ordmTegn en trekant og klip den udDel trekanten i tre efter de stiplede

linier linier som paring tegningen til venstreLaeligg de tre vinkler ved siden af

hinanden De De vil nu til sammen danne en lige vinkel det vil sige det vil netop sige en vinkel paring 180ordm

Hvad mon vinkelsummen er i en firkant Tegn og klip som Tegn og klip som foslashr ndash eller

Side 16 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Vinkelstoslashrrelser i trekanterAlt efter vinkelstoslashrrelser deles trekanter efter omstaringende ind i tre hovedtyperSpidsvinklede trekanter Den stoslashrste vinkel er mindre end 90 ordm Retvinklede trekanter Den stoslashrste vinkel er netop lig 90 ordmStumpvinklede trekanter Den stoslashrste vinkel er stoslashrre end 90 ordm

rdquoSpeciellerdquo trekanterTrekanter der har to lige lange sider kaldes ligebenede trekanter Saringdanne trekanter har ogsaring to lige store vinkler (vinklerne ved grundlinien) Trekanter der har tre lige lange sider kaldes ligesidede trekanter Alle tre vinkler i saringdanne trekanter har samme stoslashrrelse nemlig 60 ordm

HoslashjdeHoslashjden i en trekant er liniestykket fra en vinkelspids vinkelret paring den modstaringende sideAlle trekanter har saringledes tre hoslashjder og de skaeligrer hinanden i eacutet og samme punktI retvinklede trekanter falder to af hoslashjderne sammen med trekantens korte siderI stumpvinklede trekanter falder to af hoslashjderne uden for trekanten

Median

MedianMedianen er liniestykket fra en vinkelspids til midtpunktet af modstaringende sideAlle trekanter har naturligvis tre medianer og de skaeligrer hinanden i eacutet og samme punktBemaeligrk I ligesidede trekanter er hoslashjder medianer (foruden vinkelhalveringslinier og sidernes midtnormaler) i alle tilfaeliglde sammenfaldende

FLYTNINGSGEOMETRI SPEJLING

Side 17 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

1 Figuren (en trekant) skal spejles i den viste linie

2 Tegnetrekanten laeliggges paring saring dens lange side staringr vinkelret paring spejlingsaksen Maringl fra A paring trekanten afstanden ned til aksen og afsaeligt saring spejlbilledet af A lige saring langt paring den anden side (dette kan ogsaring goslashres praeligcist med en passer)

3 Gentag proceduren fra 2 med saring mange punkter som noslashdvendigt som noslashdvendigt ndash i dette tilfaeliglde trekantens tre vinkelspidser

4 Billedpunkterne (her trekantens vinkelspidser) forbindes og hele spejlbilledet tegnes

Vi bemaeligrker at figuren og dens spejlbillede ligger symmetrisk om spejlingsaksen Paring billede 4 herover ser vi at den rdquosamlede figurrdquo ved spejling i en saringdan symmetriakse netop foslashres over i sig selv (halvdelene rdquobytter pladsrdquo)

FLYTNINGSGEOMETRI DREJING

1 Figuren (en trekant) skal drejes 100ordm med uret omkring punktet F

Side 18 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

2 En cirkelbue tegnes med F som centrum og FA som radius Drejningsvinklen 100ordm afsaeligttes med F som top-punkt og FA paring vinkelmaringlerens 0-streg

3 Afsaeligt Arsquos billedpunkt og gentag herefter proceduren med saring mange punkter som noslashdvendigt ndash her trekantens tre vinkelspidser

4 Billedpunkterne (her trekantens vinkelspidser)

forbindes og hele drejebilledet tegnes

Vi bemaeligrker at det kun er omdrejningspunktet F der ikke flytter sig ved en drejning Et saringdant punkt kalder man et fixpunkt

FLYTNINGSGEOMETRI PARALLELFORSKYDNINGFor fuldstaeligndighedens skyld skal herunder beskrives metoden naringr man paring et rdquoblanktrdquo stykke papir skal foretage en parallelforskydning ndash en flytning hvor alle figurens punkter skubbes lige langt og i samme retning Det er dog en disciplin der hoslashrer hoslashjere klassetrin til naringr man saeligdvanligvis udfoslashrer parallelforskydning er der nemlig et kvadratnet eller et koordinatsystem at stoslashtte sig til ndash som vist nederst paring siden

Parallelforskydning af linie

Side 19 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Parallelforskydning af plan figur

Parallelforskydning af figur i kvadratnetOpgaven vil typisk vaeligre at forskyde den paringgaeligldende figur (her en firkant) i pilens laeligngde og retningVi ser at hele figuren hermed skal flyttes rdquoto tern hen fire tern oprdquo Imidlertid er det nok at flytte de fire vinkelspidser idet de jo tilsammen rdquodefinererrdquo den paringgaeligldende firkantEndnu nemmere vil det vaeligre naringr man udnytter at figur og billedfigur er kongruente Saring kan man noslashjes med at flytte eacutet punkt og herudfra tegne en ny figur magen til den gamle

AREAL OG AREALBEREGNINGAreal angiver stoslashrrelsen af en flade og maringles i antal kvadrater med sidelaeligngden 1 For eksempel cm2 (kvadratcentimeter) m2 (kvadratmeter) eller km2

(kvadratkilometer)Herunder en raeligkke eksempler paring formler til udregning af areal naringr der dels er tale om elementaeligre geometriske figurer dels om sammensatte figurer Laeligg ikke mindst maeligrke til hvad det er for egenskaber der definerer de forskellige typer firkanter

Side 20 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Sammensatte figurerArealet findes ved at opdele figuren i to eller flere kendte figurer og finde de enkelte figureres arealer hver for sig Specielt kan man finde arealet af trekanter tegnet i kvadratnet ved at finde de to retvinklede trekanters arealer og laeliggge dem sammen Oslashvelser

Find arealet af hver af trekanterne a ndash f ved at bruge metoden ovenfor 1 tern svarer til 1 cm2a ____ + ____ = ____ cm2

b ____ + ____ = ____ cm2

c ____ + ____ = ____ cm2

d ____ + ____ = ____ cm2

e ____ + ____ = ____ cm2

f ____ + ____ = ____ cm2

(OMSAEligTNING I) METERSYSTEMETForrdquonavnrdquo

Kilo Hekto Deka Enhed

Deci Centi Milli

Betyder 1000 100 10 1 110 = 01

1100 = 001

11000 = 0001

Forkortes

k h da d c m

Laeligngde km hm dam m dm cm mmMasse kg hg dag g dg cg mgRumfang

kl hl dal l dl cl ml

Ovenstaringende betyder for metersystemets laeligngdemaringl foslashlgende omsaeligtninger1m = 10 dm 1 dm = 10 cm

Side 21 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

1 m2 = 102 dm2 = 100 dm2 1 dm2 = 102 cm2 = 100 cm2

1m3 = 103 dm3 = 1000 dm3 1 dm3 = 103 cm3 = 1000 cm3

1m = 100 cm 1 cm = 10 mm1m2 = 1002 cm2 = 10000 cm2 1 cm2 = 102 mm2 =

100 mm2

1 m3 = 1003 cm3 = 1000000 cm3 1 cm3 = 103 mm3 = 1000 mm3

Omsaeligtning bliver endnu nemmere hvis man laeligrer denne remse udenadkilo ndash hekto ndash deka ndash (bum) ndash deci ndash centi ndash milli(um)Find den benaeligvnelse der skal omsaeligttes fra samt den benaeligvnelse der skal omsaeligttes til (rdquoBumrdquo svarer til henholdsvis meter gram og liter)Taeligl det antal pladser der er imellem de to benaeligvnelser og flyt kommaet samme antal pladser i samme retningHvis der er tale om flade- (for eksempel m2) eller rummaringl (for eksempel m3) skal man huske at gange antallet af pladser med 2 henholdsvis 3 foslashr kommaet flyttes det tilsvarende antal pladserEksempel 5 m2 skal omsaeligttes til cm2I tabellen herover findes rdquoenhedrdquo og der taeliglles hvor mange pladser der er hen til rdquocentirdquo 2 pladser til hoslashjre Da det er et flademaringl (areal) skal antallet af pladser ganges med 2 (2 middot 2 = 4) Kommaet flyttes 4 pladser til hoslashjre og altsaring 5m 2 = 50000 cm 2 Eksempel 100 dm3 skal omsaeligttes til m3I tabellen herover findes rdquodecirdquo og der taeliglles hvor mange pladser der er hen til rdquoenhedrdquo 1 plads til venstre Da det er et rummaringl skal antallet af pladser ganges med 3 (3 middot 1 = 3) Kommaet flyttes 3 pladser til venstre og altsaring 100 dm 3 = 01 m 3

MASSE RUMFANG OG MASSEFYLDEMed begrebet massefylde tangerer vi faget fysik Maringske vil enkelte kunne huske at vi med udgangspunkt i FAKTOR i syvendersquos rdquoHvad kan du maringlerdquo da ogsaring arbejdede tvaeligrfagligt med emnet ndash blandt andet med nedenstaringende opstillingsystematik

ILLUSTRATION METODE rdquoGENSTANDErdquo

Side 22 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Finde dimensioner +)

(rdquolaeligngde bredde hoslashjderdquo)Udregne med formler

rdquoRegulaeligrerdquo legemerTerninger kasser cylindre kugler

Finde genstandens opdrift ved nedsaelignkning i vandBenytte Arkimedesrsquo lov ++)

Mindre (uregelmaeligssige)legemerCementklump jernlod

Nedsaelignke i maringleglas (mm) med vandMaringle stigningen i vandstand

Smaring (uregelmaeligssige)legemer Bolte soslashm sten

+) FidusBrug den laeligngdemaringlsenhed der direkte giver facit i den oslashnskede rumfangsenhed

Laeligngdemaringl i Rummaringlvolumen i

Spri

ng

paring 1

0

m (meter) 1000 l (tusind liter) = 1 m3 (kubikmeter)

Spri

ng

paring 1

000

dm (decimeter) 1 l (liter) = 1 dm3 (kubikdecimeter)

cm (centimeter) 1 ml (milliliter) = 1cm3 (kubikcentimeter)

++) Arkimedesrsquo lovEn genstand der nedsaelignkes i vand taber lige saring meget i vaeliggt som massen af det vand genstanden fortraeligngerNaringr vi efter ovenstaringende rumfangsbestemmelser ogsaring har fundet den paringgaeligldende genstands masse er vi klar til at arbejde med

Massefylde (vaeliggtfylde) = masse rumfang (volumen)Massefylde angives i gcm3 kgdm3 eller tm3 Sammenhaeligngen mellem de tre variable kan opstilles i en formeltrekant (side 27) Hvis masse eller volumen er den ukendte stoslashrrelse faringr man imidlertid brug for en tabel over forskellige stoffers massefylde

ALGEBRAAlgebra er rdquobogstavregningrdquo Vi bruger algebra naringr vi skal vise at udregninger af og sammenhaelignge mellem forskellige stoslashrrelser gaeliglder for alle talvaeligrdier For algebra ndash men altsaring ogsaring for regnearbejdet med rdquoalmindeligerdquo tal - gaeliglder en raeligkke regler som det er noslashdvendigt at kende naringr vi reducerer ndash skriver paring kortere formRegne-hierarkiFoslashrst potenser og roslashdder saring parenteser saring gange og dividere ndash til sidst plus og minus

Side 23 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Eksempel 4 (3 + 2)2 10 + 8 = 4 52 10 + 8 = 4 25 10 + 8 = 100 10 + 8 = 10 + 8 = 18

Plusparentes- kan haeligves og saeligttes uden at leddene inde i parentesen skifter fortegnEksempel med bogstaver a + (b + c ndash d) = a + b + c ndashdEksempel med tal 9 + (2 + 4 ndash 3) = 9 + 2 + 4 ndash 3 = 12 (9 + 3 = 12)Minusparentes- naringr minusparentesen haeligves skifter leddene inde i parentesen fortegnEksempel med bogstaver a ndash (b + c ndash d) = a ndash b ndash c + dEksempel med tal 9 ndash (2 + 4 ndash 3) = 9 ndash 2 ndash 4 + 3 = 6 (9 ndash 3 = 6)

Flerleddede stoslashrrelserMan ganger en flerleddet stoslashrrelse med et tal ved at gange hvert af leddene med tallet Dette kalder vi den distributive lov (Distribuere ndash dele ud)Eksempel med bogstaver a middot (b + c) = ab + acEksempel med tal 2 middot (4 + 2) = 2 middot 4 + 2 middot 2 = 8 + 4 = 12 (2 middot 6 = 12)Man ganger ndash selvfoslashlgelig - to flerleddede stoslashrrelser med hinanden ved atEksempel med bogstaver (a + b) middot (c + d) = ac + ad + bc + bdEksempel med tal (2 + 3) middot (5 + 4) = 2 middot 5 + 2 middot 4 + 3 middot 5 + 3 middot 4 =

10 + 8 + 15 + 12 = 45 (5 middot 9 = 45)Man dividerer en flerleddet stoslashrrelse med et tal ved at dividere hvert af leddeneEksempel med bogstaver (a + b) c = a c + b cEksempel med tal (6 + 2) 2 = 6 2 + 2 2 = 3 + 1 = 4 (8 2 = 4)Specielle tilfaeliglde hvis begge parenteser rummer de samme tal ndash bortset fra fortegnrdquoKvadratet paring en toleddet sumrdquo (a + b)2 = a2 + b2 + 2abVis selv hvordan _________________________________________________________________rdquoKvadratet paring en toleddet diffferensrdquo (a - b)2 = a2 + b2 - 2abVis selv hvordan _________________________________________________________________rdquoTo tals sum gange de samme to tals differensrdquo (a + b)(a ndash b) = a2 - b2 Vis selv hvordan _________________________________________________________________

En praktisk anvendelse af ovenstaringende ndash hovedregning () i rdquoden store tabelrdquo19 middot 19 = (20 ndash 1)2 = 202 + 12 ndash 2 middot 20 middot 1 = 400 + 1 ndash 40 = 36123 middot 23 = (20 + 3)2 = 202 + 32 + 2 middot 20 middot 3 = 400 + 9 + 120 = 529

Hvis man ikke netop bliver bedt om at reducere bogstavudtryk kan arbejdet med algebra bestaring i at finde det paringgaeligldende udtryks stoslashrrelse naringr de indsaeligttes forskellige vaeligrdier i stedet for de rdquoubekendterdquo bogstaver Udfyld saringledes

x 3x x + 4 10 ndash x 2x + 4 -x + 34

Side 24 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

-4-125frac12-20

x y y 2 2x ndash 3y 3 104 148 250 15

Flere klasser har haft glaeligde af at udarbejde saringdanne opgaver i regneark Her gaeliglder det netop om at finde den almene formel som talvaeligrdierne bagefter kan indsaeligttes i

Opgaver Find selv de tilsvarende formler og indsaeligt dem i cellerne A2 B2 C2 D2 E2

og F2 rdquoTraeligk nedrdquo og laeligg maeligrke til om du faringr de samme resultater som vist i

dumprsquoet Indret endnu et regneark og opstil tabel plus formler ogsaring til det andet skema Regn nedenstaringende opgaver Deacutet er reduktion stil gerne op i Word som vist12a ndash 6(3 ndash a) + 8 = 12a ndash 18 + 6a + 8 = 18a ndash 1040 + 3(9 ndash x) + 6x =___________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________________________________

3a + 4(9 ndash 2a) ndash 6 + a =______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2(x + 4) ndash (x + 5) =______________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________

___________________________________________________________5(7y + 5) ndash frac12(50 + 10y)_________________________________________________________=

______________________________________________________________________________________________________________________

FORMLERSide 25 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Specielt finder vi ndash som allerede naeligvnt - en meget nyttig anvendelse af algebra ved opstilling af formler Her garingr opgaven jo netop ud paring at fastlaeliggge en sammenhaeligng mellem forskellige variable stoslashrrelser - ved hjaeliglp af alt andet end konkrete talvaeligrdier Forharingbentlig vil nedenstaringende eksempler vaeligkke en vis genkendelseSammenhaeligngen mellem vejlaeligngde hastighed og tid s = v middot tSammenhaeligngen mellem spaelignding modstand og stroslashmstyrke U = R middot ISammenhaeligngen mellem masse rumfang og massefylde (se ogsaring side 22) m = V middot dEn saringdan sammenhaeligng mellem tre stoslashrrelser kan med fordel illustreres ved hjaeliglp af nedenstaringende trekanter Man laeliggger fingeren over den variable man oslashnsker at finde ndash og den aktuelle omformning af formlen vil umiddelbart fremgaring Lodret linie betyder multiplikation vandret linie (broslashkstreg) betyder division

s m v t V d Vi kan ved algebraens hjaeliglp faktisk selv opstille formler som vi er kommet i tvivl om Hvad er formlen for udregning af hastighed Jo hastighed angives som meter per sekund (ms) eller kilometer per time (kmt) Den skraringstreg der erstatter rdquoperrdquo betyder egentlig division - og dermed har vi den generelle formelHastighed = vejlaeligngde divideret med tid Med ovenstaringende betegnelser v = s t Andre formlerDe fleste formler (og vi bruger dem ofte) kan slarings op i forskellige formelsamlinger Hvis man ikke vil noslashjes med den udgave der er aftrykt i FAKTOR kan den rdquoofficiellerdquo formelsamling til brug for afgangsproslashverne nedlades () fra wwwuvmdk ndash eller man kan (eventuelt paring klassebasis) investere i forlaget degne-distribs tilsvarende rdquomatematiske formler og tabellerrdquo Den koster ikke meget ndash og saring har man lov til at goslashre notater To saeligt formler som vist nok ikke findes andetsteds og som flere klasser har arbejdet en del med skal imidlertid anfoslashres til slut Det drejer sig om

Fremmed valuta Aktier og obligationerDKK = (Valuta 100) middot Kurs Pris = (Paringlydende 100) middot Kurs

(kr) Valuta = (DKK Kurs) middot 100 Paringlydende = (Pris Kurs) middot 100

(kr)Kurs = (DKK Valuta) middot 100 Kurs = (Pris Paringlydende) middot 100 Opgavera) Kurs 120 Paringlydende 100 kroner Hvor mange aktier kan du koslashbe for 60000 kronerb) Hvor mange norske kroner kan du faring for 2000 danske kroner naringr kursen er 8378c) Hvor meget koster 1700 Euro til kurs 74492

LOslashSNING AF LIGNINGERSide 26 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Naringr decimaltal skal adderes eller subtraheres skal man huske at stille komma over komma ndash og dernaeligst tiere over tiere enere over enere tiendedele over tiendedele etc Ved division skal der komma i facit naringr man i udregningen traeligkker tiendedelen nedVed multiplikation kan man stille op og regne ud som saeligdvanligt og saeligtte komma til sidst Samlet antal decimaler i de to faktorer giver antal decimaler i facit

PROCENTREGNINGOrdet procent kommer af latin pro centum ndash for hver hundrede Procent betyder saringledes 1100 eller 1 ud af 100 For procent benyttes symbolet 50 procent = 50

Eksempel paring rdquoberegn procentdelrdquo 40 af 250Idet vi udnytter at procent betyder hundrededel farings 1 procent ved at dividere med 100 40 procent findes ved at gange det fundne tal med 40 I eacuten opstilling giver dette40 af 250 = (250100)40 = 100Da 40 hundrededele imidlertid ogsaring kan skrives som 040 (se positionssystemet) farings40 af 250 = 040250 = 100Maringske er det til at gennemskue at de udfoslashrte regneoperationer i de to tilfaeliglde dybest set er de samme ndash men det kan altsaring goslashre en forskel for den enkelte elev ndash igen ndash at vaeliglge den algoritme vedkommende er mest tryg ved

Eksempel paring rdquolaeliggge procentdel tilrdquo 25 moms paring en vare til 250 krPris uden moms 25000 krMoms 025250 = 6250 krPris med moms 25000 + 6250 = 31250 krMan kan ogsaring betragte prisen med moms som (100 + 25) af beloslashbet uden moms Deraf farings prisen med moms ved blot eacuten udregningPris med moms 250115 = 31250 kr

Eksempel paring rdquotraeligkke procentdel frardquo 20 moms paring en vare til 200 krRabatpris 08200 = 160 kr(Idet 20 rabat maring betyde at der er 80 tilbage af varens oprindelige pris)

Eksempel paring rdquoberegning af procentdelrdquo Stigning fra 120 til 150 kr

Eksempel paring rdquoberegning af procentdelrdquo Fald fra 150 til 120 kr

Eksempel paring rdquoberegn hele beloslashbetrdquo 15 svarer til 750 kr 1 750 15 = 50

Side 12 af 42

Procentvis stigning stigningdet oprindelige beloslashb

= 150 minus 120120

lowast 100= 25

Procentvist fald falddet oprindelige beloslashb

= 150minus 120150

lowast 100= 20

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

100 50 100 = 5000

I eacuten (generelt anvendelig) opstilling

OMREGNING MELLEM BROslashK ndash DECIMALTAL ndash PROCENT15 = 020 = 20 Saringdan staringr der i FAKTOR for sjette under overskriften rdquoEr decimaltal bedre end broslashkerrdquo Der kan ikke gives en eacutentydigt svar paring dette idet de tre maringder at angive et tal paring har hver deres fordele ndash og de er da ogsaring alle nyttige at kende For at faring det fulde udbytte af dette kendskab skal man imidlertid frit kunne omregne mellem de tre skrivemaringder ndash og ikke bare i et tilfaeliglde som ovenstaringende hvor sammenhaeligngen er saring kendt at man naeligsten kan den udenad og altsaring ikke behoslashver at regne noget ud Foslashlgende regler gaeliglder ved omregning

Broslashk til decimaltalVi udnytter at broslashkstregen er det samme som et divisionstegn og udfoslashrer blot divisionen hvad enten det nu er i hovedet med blyantpapir paring lommeregner35 = 3 5 = 06 18 = 1 8 = 0125 24 = 2 4 = 05 14 = 1 4 = 025 13 = 1 3 asymp 033 27 = 2 7 asymp 029 19 = 1 9 asymp 011 111 = 1 11 asymp 009

Decimaltal til broslashkHer omskriver vi decimaltallet til tiendedele eller hundrededele og forkorter herefter06 = 610 = 25 0125 = 1251000 = 25200 = 540 = 18 025 = 25100 = 520 = 14

Broslashk til procent Nogle gange garingr det an at forlaelignge broslashken saring naeligvneren bliver til hundrededele 25 = 40100 = 40 34 = 75100 = 75 710 = 70100 = 70 325 = 12100 = 12Ellers siger den generelle regel rdquoomskriv til procent ved at gange med 100rdquo78 = (7middot1008) = 700 8 = 875 315 = (3middot10015) = 300 15 = 20 Procent til broslashkProcenten omskrives til hundrededele hvorefter der forkortes 40 = 40100 = 410 = 25 75 = 75100 = 1520 = 34 12 = 12100 = 650 = 325

Decimaltal til procentrdquoOmskriv til procent ved at gange med 100rdquo I et decimaltal realiseres dette ved at flytte kommaet to pladser til hoslashjre031 = 031 middot 100 = 31 007 = 007 middot 100 = 7 0375 = 0375 middot 100 = 375 Procent til decimaltalHer divideres med 100 hvorved kommaet flyttes to pladser til venstre

Side 13 af 42

100=75015

lowast 100 = 5000

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

31 = 31 100 = 031 7 = 7 100 = 007 375 = 375 100 = 0375

OslashvelseParing naeligste side findes et skema til omregning mellem broslashk decimaltal og procent ndash mere omfattende end det der findes i FAKTOR for sjette paring side 100Udfyld skemaet ved hjaeliglp af de metoder der er gennemgaringet herover ndash herefter vil man goslashre sig selv en tjeneste hvis man laeligrer hele herligheden udenad

OMREGNING MELLEM BROslashK ndash DECIMALTAL ndash PROCENT

Broslashk Decimaltal Procent

110

18

210 = 15

28 = 14

31013

(afrundet) (angives evt som blandet tal)38

410 = 25

510 = 48 = 12

610 = 35

5823

(afrundet) (angives evt som blandet tal)710

68 = 34

810 = 45

78

910

Side 14 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

1010 = 88 = 11

EkstraopgaveHvilke tyvendedele mangler (og hvor) i skemaet Hvad bliver disse tyvendedele til ved omregning til decimaltal og procent

KOORDINATSYSTEMETEt koordinatsystem dannes saeligdvanligvis af to tallinier der staringr vinkelret paring hinanden Paring denne maringde deles rdquoplanenrdquo eller papiret i fire dele Hver af delene kalder vi en kvadrant som benaeligvnes med romertalI = 1 kvadrant II = 2 kvadrant III = 3 kvadrant IV = 4 kvadrant

II I

III IV

Den vandrette tallinie kaldes x-aksen eller foslashrste-aksen Den lodrette tallinie kaldes y-aksen eller anden-aksen Hvert punkt i koordinatsystemet kan angives med et koordinatsaeligt hvor det foslashrste tal aflaeligses paring x-aksen og det andet tal aflaeligses paring y-aksen (det er her vi har indfoslashrt den fjollede huskeregel med rdquohen ad gaden op ad trappenrdquo) Eksempelvis er koordinaterne til de tre afmaeligrkede punkter i systemet herover til hoslashjre (30) (-24) og (-2-2) Generelt gaeliglder om koordinaternes fortegn1 kvadrant (++) 2 kvadrant (-+) 3 kvadrant (--) 4 kvadrant (+-)I koordinatsystemet kan man ud over at afsaeligtte enkeltpunkter (typisk i kvadrant I) afbilde sammenhaelignge mellem to forskellige stoslashrrelser som herunder

Side 15 af 42

Befolkningstilvaeligkst i Japan

126012651270127512801285

1999

2000

2001

2002

2003

2004

2005

2006

Aringrstal

Mio

ind

bygg

ere

Samlet torskefangst i 1979 og 2000

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

Janu

ar

Febr

uar

Mar

ts

Apr

il

Maj

Juni

Juli

Aug

ust

Sep

tem

ber

Okt

ober

Nov

embe

r

Dec

embe

r

Anta

l ton

2000 1979

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

GEOMETRIVinklers stoslashrrelse

En vinkel der er stoslashrre end 90ordm kaldes en stump vinkelEn vinkel der er lig med 90ordm kaldes en ret vinkelEn vinkel der er mindre end 90ordm kaldes en spids vinkel

Tegning af vinkel

Vinklens toppunkt skal ligge midt i vinkelmaringleren Det ene vinkelben skal garing gennem 0 det andet ben viser vinklen

VinkelsumVinkelsummen i en tilfaeligldig trekant vil

saltid altid vaeligre 180ordmTegn en trekant og klip den udDel trekanten i tre efter de stiplede

linier linier som paring tegningen til venstreLaeligg de tre vinkler ved siden af

hinanden De De vil nu til sammen danne en lige vinkel det vil sige det vil netop sige en vinkel paring 180ordm

Hvad mon vinkelsummen er i en firkant Tegn og klip som Tegn og klip som foslashr ndash eller

Side 16 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Vinkelstoslashrrelser i trekanterAlt efter vinkelstoslashrrelser deles trekanter efter omstaringende ind i tre hovedtyperSpidsvinklede trekanter Den stoslashrste vinkel er mindre end 90 ordm Retvinklede trekanter Den stoslashrste vinkel er netop lig 90 ordmStumpvinklede trekanter Den stoslashrste vinkel er stoslashrre end 90 ordm

rdquoSpeciellerdquo trekanterTrekanter der har to lige lange sider kaldes ligebenede trekanter Saringdanne trekanter har ogsaring to lige store vinkler (vinklerne ved grundlinien) Trekanter der har tre lige lange sider kaldes ligesidede trekanter Alle tre vinkler i saringdanne trekanter har samme stoslashrrelse nemlig 60 ordm

HoslashjdeHoslashjden i en trekant er liniestykket fra en vinkelspids vinkelret paring den modstaringende sideAlle trekanter har saringledes tre hoslashjder og de skaeligrer hinanden i eacutet og samme punktI retvinklede trekanter falder to af hoslashjderne sammen med trekantens korte siderI stumpvinklede trekanter falder to af hoslashjderne uden for trekanten

Median

MedianMedianen er liniestykket fra en vinkelspids til midtpunktet af modstaringende sideAlle trekanter har naturligvis tre medianer og de skaeligrer hinanden i eacutet og samme punktBemaeligrk I ligesidede trekanter er hoslashjder medianer (foruden vinkelhalveringslinier og sidernes midtnormaler) i alle tilfaeliglde sammenfaldende

FLYTNINGSGEOMETRI SPEJLING

Side 17 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

1 Figuren (en trekant) skal spejles i den viste linie

2 Tegnetrekanten laeliggges paring saring dens lange side staringr vinkelret paring spejlingsaksen Maringl fra A paring trekanten afstanden ned til aksen og afsaeligt saring spejlbilledet af A lige saring langt paring den anden side (dette kan ogsaring goslashres praeligcist med en passer)

3 Gentag proceduren fra 2 med saring mange punkter som noslashdvendigt som noslashdvendigt ndash i dette tilfaeliglde trekantens tre vinkelspidser

4 Billedpunkterne (her trekantens vinkelspidser) forbindes og hele spejlbilledet tegnes

Vi bemaeligrker at figuren og dens spejlbillede ligger symmetrisk om spejlingsaksen Paring billede 4 herover ser vi at den rdquosamlede figurrdquo ved spejling i en saringdan symmetriakse netop foslashres over i sig selv (halvdelene rdquobytter pladsrdquo)

FLYTNINGSGEOMETRI DREJING

1 Figuren (en trekant) skal drejes 100ordm med uret omkring punktet F

Side 18 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

2 En cirkelbue tegnes med F som centrum og FA som radius Drejningsvinklen 100ordm afsaeligttes med F som top-punkt og FA paring vinkelmaringlerens 0-streg

3 Afsaeligt Arsquos billedpunkt og gentag herefter proceduren med saring mange punkter som noslashdvendigt ndash her trekantens tre vinkelspidser

4 Billedpunkterne (her trekantens vinkelspidser)

forbindes og hele drejebilledet tegnes

Vi bemaeligrker at det kun er omdrejningspunktet F der ikke flytter sig ved en drejning Et saringdant punkt kalder man et fixpunkt

FLYTNINGSGEOMETRI PARALLELFORSKYDNINGFor fuldstaeligndighedens skyld skal herunder beskrives metoden naringr man paring et rdquoblanktrdquo stykke papir skal foretage en parallelforskydning ndash en flytning hvor alle figurens punkter skubbes lige langt og i samme retning Det er dog en disciplin der hoslashrer hoslashjere klassetrin til naringr man saeligdvanligvis udfoslashrer parallelforskydning er der nemlig et kvadratnet eller et koordinatsystem at stoslashtte sig til ndash som vist nederst paring siden

Parallelforskydning af linie

Side 19 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Parallelforskydning af plan figur

Parallelforskydning af figur i kvadratnetOpgaven vil typisk vaeligre at forskyde den paringgaeligldende figur (her en firkant) i pilens laeligngde og retningVi ser at hele figuren hermed skal flyttes rdquoto tern hen fire tern oprdquo Imidlertid er det nok at flytte de fire vinkelspidser idet de jo tilsammen rdquodefinererrdquo den paringgaeligldende firkantEndnu nemmere vil det vaeligre naringr man udnytter at figur og billedfigur er kongruente Saring kan man noslashjes med at flytte eacutet punkt og herudfra tegne en ny figur magen til den gamle

AREAL OG AREALBEREGNINGAreal angiver stoslashrrelsen af en flade og maringles i antal kvadrater med sidelaeligngden 1 For eksempel cm2 (kvadratcentimeter) m2 (kvadratmeter) eller km2

(kvadratkilometer)Herunder en raeligkke eksempler paring formler til udregning af areal naringr der dels er tale om elementaeligre geometriske figurer dels om sammensatte figurer Laeligg ikke mindst maeligrke til hvad det er for egenskaber der definerer de forskellige typer firkanter

Side 20 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Sammensatte figurerArealet findes ved at opdele figuren i to eller flere kendte figurer og finde de enkelte figureres arealer hver for sig Specielt kan man finde arealet af trekanter tegnet i kvadratnet ved at finde de to retvinklede trekanters arealer og laeliggge dem sammen Oslashvelser

Find arealet af hver af trekanterne a ndash f ved at bruge metoden ovenfor 1 tern svarer til 1 cm2a ____ + ____ = ____ cm2

b ____ + ____ = ____ cm2

c ____ + ____ = ____ cm2

d ____ + ____ = ____ cm2

e ____ + ____ = ____ cm2

f ____ + ____ = ____ cm2

(OMSAEligTNING I) METERSYSTEMETForrdquonavnrdquo

Kilo Hekto Deka Enhed

Deci Centi Milli

Betyder 1000 100 10 1 110 = 01

1100 = 001

11000 = 0001

Forkortes

k h da d c m

Laeligngde km hm dam m dm cm mmMasse kg hg dag g dg cg mgRumfang

kl hl dal l dl cl ml

Ovenstaringende betyder for metersystemets laeligngdemaringl foslashlgende omsaeligtninger1m = 10 dm 1 dm = 10 cm

Side 21 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

1 m2 = 102 dm2 = 100 dm2 1 dm2 = 102 cm2 = 100 cm2

1m3 = 103 dm3 = 1000 dm3 1 dm3 = 103 cm3 = 1000 cm3

1m = 100 cm 1 cm = 10 mm1m2 = 1002 cm2 = 10000 cm2 1 cm2 = 102 mm2 =

100 mm2

1 m3 = 1003 cm3 = 1000000 cm3 1 cm3 = 103 mm3 = 1000 mm3

Omsaeligtning bliver endnu nemmere hvis man laeligrer denne remse udenadkilo ndash hekto ndash deka ndash (bum) ndash deci ndash centi ndash milli(um)Find den benaeligvnelse der skal omsaeligttes fra samt den benaeligvnelse der skal omsaeligttes til (rdquoBumrdquo svarer til henholdsvis meter gram og liter)Taeligl det antal pladser der er imellem de to benaeligvnelser og flyt kommaet samme antal pladser i samme retningHvis der er tale om flade- (for eksempel m2) eller rummaringl (for eksempel m3) skal man huske at gange antallet af pladser med 2 henholdsvis 3 foslashr kommaet flyttes det tilsvarende antal pladserEksempel 5 m2 skal omsaeligttes til cm2I tabellen herover findes rdquoenhedrdquo og der taeliglles hvor mange pladser der er hen til rdquocentirdquo 2 pladser til hoslashjre Da det er et flademaringl (areal) skal antallet af pladser ganges med 2 (2 middot 2 = 4) Kommaet flyttes 4 pladser til hoslashjre og altsaring 5m 2 = 50000 cm 2 Eksempel 100 dm3 skal omsaeligttes til m3I tabellen herover findes rdquodecirdquo og der taeliglles hvor mange pladser der er hen til rdquoenhedrdquo 1 plads til venstre Da det er et rummaringl skal antallet af pladser ganges med 3 (3 middot 1 = 3) Kommaet flyttes 3 pladser til venstre og altsaring 100 dm 3 = 01 m 3

MASSE RUMFANG OG MASSEFYLDEMed begrebet massefylde tangerer vi faget fysik Maringske vil enkelte kunne huske at vi med udgangspunkt i FAKTOR i syvendersquos rdquoHvad kan du maringlerdquo da ogsaring arbejdede tvaeligrfagligt med emnet ndash blandt andet med nedenstaringende opstillingsystematik

ILLUSTRATION METODE rdquoGENSTANDErdquo

Side 22 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Finde dimensioner +)

(rdquolaeligngde bredde hoslashjderdquo)Udregne med formler

rdquoRegulaeligrerdquo legemerTerninger kasser cylindre kugler

Finde genstandens opdrift ved nedsaelignkning i vandBenytte Arkimedesrsquo lov ++)

Mindre (uregelmaeligssige)legemerCementklump jernlod

Nedsaelignke i maringleglas (mm) med vandMaringle stigningen i vandstand

Smaring (uregelmaeligssige)legemer Bolte soslashm sten

+) FidusBrug den laeligngdemaringlsenhed der direkte giver facit i den oslashnskede rumfangsenhed

Laeligngdemaringl i Rummaringlvolumen i

Spri

ng

paring 1

0

m (meter) 1000 l (tusind liter) = 1 m3 (kubikmeter)

Spri

ng

paring 1

000

dm (decimeter) 1 l (liter) = 1 dm3 (kubikdecimeter)

cm (centimeter) 1 ml (milliliter) = 1cm3 (kubikcentimeter)

++) Arkimedesrsquo lovEn genstand der nedsaelignkes i vand taber lige saring meget i vaeliggt som massen af det vand genstanden fortraeligngerNaringr vi efter ovenstaringende rumfangsbestemmelser ogsaring har fundet den paringgaeligldende genstands masse er vi klar til at arbejde med

Massefylde (vaeliggtfylde) = masse rumfang (volumen)Massefylde angives i gcm3 kgdm3 eller tm3 Sammenhaeligngen mellem de tre variable kan opstilles i en formeltrekant (side 27) Hvis masse eller volumen er den ukendte stoslashrrelse faringr man imidlertid brug for en tabel over forskellige stoffers massefylde

ALGEBRAAlgebra er rdquobogstavregningrdquo Vi bruger algebra naringr vi skal vise at udregninger af og sammenhaelignge mellem forskellige stoslashrrelser gaeliglder for alle talvaeligrdier For algebra ndash men altsaring ogsaring for regnearbejdet med rdquoalmindeligerdquo tal - gaeliglder en raeligkke regler som det er noslashdvendigt at kende naringr vi reducerer ndash skriver paring kortere formRegne-hierarkiFoslashrst potenser og roslashdder saring parenteser saring gange og dividere ndash til sidst plus og minus

Side 23 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Eksempel 4 (3 + 2)2 10 + 8 = 4 52 10 + 8 = 4 25 10 + 8 = 100 10 + 8 = 10 + 8 = 18

Plusparentes- kan haeligves og saeligttes uden at leddene inde i parentesen skifter fortegnEksempel med bogstaver a + (b + c ndash d) = a + b + c ndashdEksempel med tal 9 + (2 + 4 ndash 3) = 9 + 2 + 4 ndash 3 = 12 (9 + 3 = 12)Minusparentes- naringr minusparentesen haeligves skifter leddene inde i parentesen fortegnEksempel med bogstaver a ndash (b + c ndash d) = a ndash b ndash c + dEksempel med tal 9 ndash (2 + 4 ndash 3) = 9 ndash 2 ndash 4 + 3 = 6 (9 ndash 3 = 6)

Flerleddede stoslashrrelserMan ganger en flerleddet stoslashrrelse med et tal ved at gange hvert af leddene med tallet Dette kalder vi den distributive lov (Distribuere ndash dele ud)Eksempel med bogstaver a middot (b + c) = ab + acEksempel med tal 2 middot (4 + 2) = 2 middot 4 + 2 middot 2 = 8 + 4 = 12 (2 middot 6 = 12)Man ganger ndash selvfoslashlgelig - to flerleddede stoslashrrelser med hinanden ved atEksempel med bogstaver (a + b) middot (c + d) = ac + ad + bc + bdEksempel med tal (2 + 3) middot (5 + 4) = 2 middot 5 + 2 middot 4 + 3 middot 5 + 3 middot 4 =

10 + 8 + 15 + 12 = 45 (5 middot 9 = 45)Man dividerer en flerleddet stoslashrrelse med et tal ved at dividere hvert af leddeneEksempel med bogstaver (a + b) c = a c + b cEksempel med tal (6 + 2) 2 = 6 2 + 2 2 = 3 + 1 = 4 (8 2 = 4)Specielle tilfaeliglde hvis begge parenteser rummer de samme tal ndash bortset fra fortegnrdquoKvadratet paring en toleddet sumrdquo (a + b)2 = a2 + b2 + 2abVis selv hvordan _________________________________________________________________rdquoKvadratet paring en toleddet diffferensrdquo (a - b)2 = a2 + b2 - 2abVis selv hvordan _________________________________________________________________rdquoTo tals sum gange de samme to tals differensrdquo (a + b)(a ndash b) = a2 - b2 Vis selv hvordan _________________________________________________________________

En praktisk anvendelse af ovenstaringende ndash hovedregning () i rdquoden store tabelrdquo19 middot 19 = (20 ndash 1)2 = 202 + 12 ndash 2 middot 20 middot 1 = 400 + 1 ndash 40 = 36123 middot 23 = (20 + 3)2 = 202 + 32 + 2 middot 20 middot 3 = 400 + 9 + 120 = 529

Hvis man ikke netop bliver bedt om at reducere bogstavudtryk kan arbejdet med algebra bestaring i at finde det paringgaeligldende udtryks stoslashrrelse naringr de indsaeligttes forskellige vaeligrdier i stedet for de rdquoubekendterdquo bogstaver Udfyld saringledes

x 3x x + 4 10 ndash x 2x + 4 -x + 34

Side 24 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

-4-125frac12-20

x y y 2 2x ndash 3y 3 104 148 250 15

Flere klasser har haft glaeligde af at udarbejde saringdanne opgaver i regneark Her gaeliglder det netop om at finde den almene formel som talvaeligrdierne bagefter kan indsaeligttes i

Opgaver Find selv de tilsvarende formler og indsaeligt dem i cellerne A2 B2 C2 D2 E2

og F2 rdquoTraeligk nedrdquo og laeligg maeligrke til om du faringr de samme resultater som vist i

dumprsquoet Indret endnu et regneark og opstil tabel plus formler ogsaring til det andet skema Regn nedenstaringende opgaver Deacutet er reduktion stil gerne op i Word som vist12a ndash 6(3 ndash a) + 8 = 12a ndash 18 + 6a + 8 = 18a ndash 1040 + 3(9 ndash x) + 6x =___________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________________________________

3a + 4(9 ndash 2a) ndash 6 + a =______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2(x + 4) ndash (x + 5) =______________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________

___________________________________________________________5(7y + 5) ndash frac12(50 + 10y)_________________________________________________________=

______________________________________________________________________________________________________________________

FORMLERSide 25 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Specielt finder vi ndash som allerede naeligvnt - en meget nyttig anvendelse af algebra ved opstilling af formler Her garingr opgaven jo netop ud paring at fastlaeliggge en sammenhaeligng mellem forskellige variable stoslashrrelser - ved hjaeliglp af alt andet end konkrete talvaeligrdier Forharingbentlig vil nedenstaringende eksempler vaeligkke en vis genkendelseSammenhaeligngen mellem vejlaeligngde hastighed og tid s = v middot tSammenhaeligngen mellem spaelignding modstand og stroslashmstyrke U = R middot ISammenhaeligngen mellem masse rumfang og massefylde (se ogsaring side 22) m = V middot dEn saringdan sammenhaeligng mellem tre stoslashrrelser kan med fordel illustreres ved hjaeliglp af nedenstaringende trekanter Man laeliggger fingeren over den variable man oslashnsker at finde ndash og den aktuelle omformning af formlen vil umiddelbart fremgaring Lodret linie betyder multiplikation vandret linie (broslashkstreg) betyder division

s m v t V d Vi kan ved algebraens hjaeliglp faktisk selv opstille formler som vi er kommet i tvivl om Hvad er formlen for udregning af hastighed Jo hastighed angives som meter per sekund (ms) eller kilometer per time (kmt) Den skraringstreg der erstatter rdquoperrdquo betyder egentlig division - og dermed har vi den generelle formelHastighed = vejlaeligngde divideret med tid Med ovenstaringende betegnelser v = s t Andre formlerDe fleste formler (og vi bruger dem ofte) kan slarings op i forskellige formelsamlinger Hvis man ikke vil noslashjes med den udgave der er aftrykt i FAKTOR kan den rdquoofficiellerdquo formelsamling til brug for afgangsproslashverne nedlades () fra wwwuvmdk ndash eller man kan (eventuelt paring klassebasis) investere i forlaget degne-distribs tilsvarende rdquomatematiske formler og tabellerrdquo Den koster ikke meget ndash og saring har man lov til at goslashre notater To saeligt formler som vist nok ikke findes andetsteds og som flere klasser har arbejdet en del med skal imidlertid anfoslashres til slut Det drejer sig om

Fremmed valuta Aktier og obligationerDKK = (Valuta 100) middot Kurs Pris = (Paringlydende 100) middot Kurs

(kr) Valuta = (DKK Kurs) middot 100 Paringlydende = (Pris Kurs) middot 100

(kr)Kurs = (DKK Valuta) middot 100 Kurs = (Pris Paringlydende) middot 100 Opgavera) Kurs 120 Paringlydende 100 kroner Hvor mange aktier kan du koslashbe for 60000 kronerb) Hvor mange norske kroner kan du faring for 2000 danske kroner naringr kursen er 8378c) Hvor meget koster 1700 Euro til kurs 74492

LOslashSNING AF LIGNINGERSide 26 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

100 50 100 = 5000

I eacuten (generelt anvendelig) opstilling

OMREGNING MELLEM BROslashK ndash DECIMALTAL ndash PROCENT15 = 020 = 20 Saringdan staringr der i FAKTOR for sjette under overskriften rdquoEr decimaltal bedre end broslashkerrdquo Der kan ikke gives en eacutentydigt svar paring dette idet de tre maringder at angive et tal paring har hver deres fordele ndash og de er da ogsaring alle nyttige at kende For at faring det fulde udbytte af dette kendskab skal man imidlertid frit kunne omregne mellem de tre skrivemaringder ndash og ikke bare i et tilfaeliglde som ovenstaringende hvor sammenhaeligngen er saring kendt at man naeligsten kan den udenad og altsaring ikke behoslashver at regne noget ud Foslashlgende regler gaeliglder ved omregning

Broslashk til decimaltalVi udnytter at broslashkstregen er det samme som et divisionstegn og udfoslashrer blot divisionen hvad enten det nu er i hovedet med blyantpapir paring lommeregner35 = 3 5 = 06 18 = 1 8 = 0125 24 = 2 4 = 05 14 = 1 4 = 025 13 = 1 3 asymp 033 27 = 2 7 asymp 029 19 = 1 9 asymp 011 111 = 1 11 asymp 009

Decimaltal til broslashkHer omskriver vi decimaltallet til tiendedele eller hundrededele og forkorter herefter06 = 610 = 25 0125 = 1251000 = 25200 = 540 = 18 025 = 25100 = 520 = 14

Broslashk til procent Nogle gange garingr det an at forlaelignge broslashken saring naeligvneren bliver til hundrededele 25 = 40100 = 40 34 = 75100 = 75 710 = 70100 = 70 325 = 12100 = 12Ellers siger den generelle regel rdquoomskriv til procent ved at gange med 100rdquo78 = (7middot1008) = 700 8 = 875 315 = (3middot10015) = 300 15 = 20 Procent til broslashkProcenten omskrives til hundrededele hvorefter der forkortes 40 = 40100 = 410 = 25 75 = 75100 = 1520 = 34 12 = 12100 = 650 = 325

Decimaltal til procentrdquoOmskriv til procent ved at gange med 100rdquo I et decimaltal realiseres dette ved at flytte kommaet to pladser til hoslashjre031 = 031 middot 100 = 31 007 = 007 middot 100 = 7 0375 = 0375 middot 100 = 375 Procent til decimaltalHer divideres med 100 hvorved kommaet flyttes to pladser til venstre

Side 13 af 42

100=75015

lowast 100 = 5000

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

31 = 31 100 = 031 7 = 7 100 = 007 375 = 375 100 = 0375

OslashvelseParing naeligste side findes et skema til omregning mellem broslashk decimaltal og procent ndash mere omfattende end det der findes i FAKTOR for sjette paring side 100Udfyld skemaet ved hjaeliglp af de metoder der er gennemgaringet herover ndash herefter vil man goslashre sig selv en tjeneste hvis man laeligrer hele herligheden udenad

OMREGNING MELLEM BROslashK ndash DECIMALTAL ndash PROCENT

Broslashk Decimaltal Procent

110

18

210 = 15

28 = 14

31013

(afrundet) (angives evt som blandet tal)38

410 = 25

510 = 48 = 12

610 = 35

5823

(afrundet) (angives evt som blandet tal)710

68 = 34

810 = 45

78

910

Side 14 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

1010 = 88 = 11

EkstraopgaveHvilke tyvendedele mangler (og hvor) i skemaet Hvad bliver disse tyvendedele til ved omregning til decimaltal og procent

KOORDINATSYSTEMETEt koordinatsystem dannes saeligdvanligvis af to tallinier der staringr vinkelret paring hinanden Paring denne maringde deles rdquoplanenrdquo eller papiret i fire dele Hver af delene kalder vi en kvadrant som benaeligvnes med romertalI = 1 kvadrant II = 2 kvadrant III = 3 kvadrant IV = 4 kvadrant

II I

III IV

Den vandrette tallinie kaldes x-aksen eller foslashrste-aksen Den lodrette tallinie kaldes y-aksen eller anden-aksen Hvert punkt i koordinatsystemet kan angives med et koordinatsaeligt hvor det foslashrste tal aflaeligses paring x-aksen og det andet tal aflaeligses paring y-aksen (det er her vi har indfoslashrt den fjollede huskeregel med rdquohen ad gaden op ad trappenrdquo) Eksempelvis er koordinaterne til de tre afmaeligrkede punkter i systemet herover til hoslashjre (30) (-24) og (-2-2) Generelt gaeliglder om koordinaternes fortegn1 kvadrant (++) 2 kvadrant (-+) 3 kvadrant (--) 4 kvadrant (+-)I koordinatsystemet kan man ud over at afsaeligtte enkeltpunkter (typisk i kvadrant I) afbilde sammenhaelignge mellem to forskellige stoslashrrelser som herunder

Side 15 af 42

Befolkningstilvaeligkst i Japan

126012651270127512801285

1999

2000

2001

2002

2003

2004

2005

2006

Aringrstal

Mio

ind

bygg

ere

Samlet torskefangst i 1979 og 2000

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

Janu

ar

Febr

uar

Mar

ts

Apr

il

Maj

Juni

Juli

Aug

ust

Sep

tem

ber

Okt

ober

Nov

embe

r

Dec

embe

r

Anta

l ton

2000 1979

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

GEOMETRIVinklers stoslashrrelse

En vinkel der er stoslashrre end 90ordm kaldes en stump vinkelEn vinkel der er lig med 90ordm kaldes en ret vinkelEn vinkel der er mindre end 90ordm kaldes en spids vinkel

Tegning af vinkel

Vinklens toppunkt skal ligge midt i vinkelmaringleren Det ene vinkelben skal garing gennem 0 det andet ben viser vinklen

VinkelsumVinkelsummen i en tilfaeligldig trekant vil

saltid altid vaeligre 180ordmTegn en trekant og klip den udDel trekanten i tre efter de stiplede

linier linier som paring tegningen til venstreLaeligg de tre vinkler ved siden af

hinanden De De vil nu til sammen danne en lige vinkel det vil sige det vil netop sige en vinkel paring 180ordm

Hvad mon vinkelsummen er i en firkant Tegn og klip som Tegn og klip som foslashr ndash eller

Side 16 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Vinkelstoslashrrelser i trekanterAlt efter vinkelstoslashrrelser deles trekanter efter omstaringende ind i tre hovedtyperSpidsvinklede trekanter Den stoslashrste vinkel er mindre end 90 ordm Retvinklede trekanter Den stoslashrste vinkel er netop lig 90 ordmStumpvinklede trekanter Den stoslashrste vinkel er stoslashrre end 90 ordm

rdquoSpeciellerdquo trekanterTrekanter der har to lige lange sider kaldes ligebenede trekanter Saringdanne trekanter har ogsaring to lige store vinkler (vinklerne ved grundlinien) Trekanter der har tre lige lange sider kaldes ligesidede trekanter Alle tre vinkler i saringdanne trekanter har samme stoslashrrelse nemlig 60 ordm

HoslashjdeHoslashjden i en trekant er liniestykket fra en vinkelspids vinkelret paring den modstaringende sideAlle trekanter har saringledes tre hoslashjder og de skaeligrer hinanden i eacutet og samme punktI retvinklede trekanter falder to af hoslashjderne sammen med trekantens korte siderI stumpvinklede trekanter falder to af hoslashjderne uden for trekanten

Median

MedianMedianen er liniestykket fra en vinkelspids til midtpunktet af modstaringende sideAlle trekanter har naturligvis tre medianer og de skaeligrer hinanden i eacutet og samme punktBemaeligrk I ligesidede trekanter er hoslashjder medianer (foruden vinkelhalveringslinier og sidernes midtnormaler) i alle tilfaeliglde sammenfaldende

FLYTNINGSGEOMETRI SPEJLING

Side 17 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

1 Figuren (en trekant) skal spejles i den viste linie

2 Tegnetrekanten laeliggges paring saring dens lange side staringr vinkelret paring spejlingsaksen Maringl fra A paring trekanten afstanden ned til aksen og afsaeligt saring spejlbilledet af A lige saring langt paring den anden side (dette kan ogsaring goslashres praeligcist med en passer)

3 Gentag proceduren fra 2 med saring mange punkter som noslashdvendigt som noslashdvendigt ndash i dette tilfaeliglde trekantens tre vinkelspidser

4 Billedpunkterne (her trekantens vinkelspidser) forbindes og hele spejlbilledet tegnes

Vi bemaeligrker at figuren og dens spejlbillede ligger symmetrisk om spejlingsaksen Paring billede 4 herover ser vi at den rdquosamlede figurrdquo ved spejling i en saringdan symmetriakse netop foslashres over i sig selv (halvdelene rdquobytter pladsrdquo)

FLYTNINGSGEOMETRI DREJING

1 Figuren (en trekant) skal drejes 100ordm med uret omkring punktet F

Side 18 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

2 En cirkelbue tegnes med F som centrum og FA som radius Drejningsvinklen 100ordm afsaeligttes med F som top-punkt og FA paring vinkelmaringlerens 0-streg

3 Afsaeligt Arsquos billedpunkt og gentag herefter proceduren med saring mange punkter som noslashdvendigt ndash her trekantens tre vinkelspidser

4 Billedpunkterne (her trekantens vinkelspidser)

forbindes og hele drejebilledet tegnes

Vi bemaeligrker at det kun er omdrejningspunktet F der ikke flytter sig ved en drejning Et saringdant punkt kalder man et fixpunkt

FLYTNINGSGEOMETRI PARALLELFORSKYDNINGFor fuldstaeligndighedens skyld skal herunder beskrives metoden naringr man paring et rdquoblanktrdquo stykke papir skal foretage en parallelforskydning ndash en flytning hvor alle figurens punkter skubbes lige langt og i samme retning Det er dog en disciplin der hoslashrer hoslashjere klassetrin til naringr man saeligdvanligvis udfoslashrer parallelforskydning er der nemlig et kvadratnet eller et koordinatsystem at stoslashtte sig til ndash som vist nederst paring siden

Parallelforskydning af linie

Side 19 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Parallelforskydning af plan figur

Parallelforskydning af figur i kvadratnetOpgaven vil typisk vaeligre at forskyde den paringgaeligldende figur (her en firkant) i pilens laeligngde og retningVi ser at hele figuren hermed skal flyttes rdquoto tern hen fire tern oprdquo Imidlertid er det nok at flytte de fire vinkelspidser idet de jo tilsammen rdquodefinererrdquo den paringgaeligldende firkantEndnu nemmere vil det vaeligre naringr man udnytter at figur og billedfigur er kongruente Saring kan man noslashjes med at flytte eacutet punkt og herudfra tegne en ny figur magen til den gamle

AREAL OG AREALBEREGNINGAreal angiver stoslashrrelsen af en flade og maringles i antal kvadrater med sidelaeligngden 1 For eksempel cm2 (kvadratcentimeter) m2 (kvadratmeter) eller km2

(kvadratkilometer)Herunder en raeligkke eksempler paring formler til udregning af areal naringr der dels er tale om elementaeligre geometriske figurer dels om sammensatte figurer Laeligg ikke mindst maeligrke til hvad det er for egenskaber der definerer de forskellige typer firkanter

Side 20 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Sammensatte figurerArealet findes ved at opdele figuren i to eller flere kendte figurer og finde de enkelte figureres arealer hver for sig Specielt kan man finde arealet af trekanter tegnet i kvadratnet ved at finde de to retvinklede trekanters arealer og laeliggge dem sammen Oslashvelser

Find arealet af hver af trekanterne a ndash f ved at bruge metoden ovenfor 1 tern svarer til 1 cm2a ____ + ____ = ____ cm2

b ____ + ____ = ____ cm2

c ____ + ____ = ____ cm2

d ____ + ____ = ____ cm2

e ____ + ____ = ____ cm2

f ____ + ____ = ____ cm2

(OMSAEligTNING I) METERSYSTEMETForrdquonavnrdquo

Kilo Hekto Deka Enhed

Deci Centi Milli

Betyder 1000 100 10 1 110 = 01

1100 = 001

11000 = 0001

Forkortes

k h da d c m

Laeligngde km hm dam m dm cm mmMasse kg hg dag g dg cg mgRumfang

kl hl dal l dl cl ml

Ovenstaringende betyder for metersystemets laeligngdemaringl foslashlgende omsaeligtninger1m = 10 dm 1 dm = 10 cm

Side 21 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

1 m2 = 102 dm2 = 100 dm2 1 dm2 = 102 cm2 = 100 cm2

1m3 = 103 dm3 = 1000 dm3 1 dm3 = 103 cm3 = 1000 cm3

1m = 100 cm 1 cm = 10 mm1m2 = 1002 cm2 = 10000 cm2 1 cm2 = 102 mm2 =

100 mm2

1 m3 = 1003 cm3 = 1000000 cm3 1 cm3 = 103 mm3 = 1000 mm3

Omsaeligtning bliver endnu nemmere hvis man laeligrer denne remse udenadkilo ndash hekto ndash deka ndash (bum) ndash deci ndash centi ndash milli(um)Find den benaeligvnelse der skal omsaeligttes fra samt den benaeligvnelse der skal omsaeligttes til (rdquoBumrdquo svarer til henholdsvis meter gram og liter)Taeligl det antal pladser der er imellem de to benaeligvnelser og flyt kommaet samme antal pladser i samme retningHvis der er tale om flade- (for eksempel m2) eller rummaringl (for eksempel m3) skal man huske at gange antallet af pladser med 2 henholdsvis 3 foslashr kommaet flyttes det tilsvarende antal pladserEksempel 5 m2 skal omsaeligttes til cm2I tabellen herover findes rdquoenhedrdquo og der taeliglles hvor mange pladser der er hen til rdquocentirdquo 2 pladser til hoslashjre Da det er et flademaringl (areal) skal antallet af pladser ganges med 2 (2 middot 2 = 4) Kommaet flyttes 4 pladser til hoslashjre og altsaring 5m 2 = 50000 cm 2 Eksempel 100 dm3 skal omsaeligttes til m3I tabellen herover findes rdquodecirdquo og der taeliglles hvor mange pladser der er hen til rdquoenhedrdquo 1 plads til venstre Da det er et rummaringl skal antallet af pladser ganges med 3 (3 middot 1 = 3) Kommaet flyttes 3 pladser til venstre og altsaring 100 dm 3 = 01 m 3

MASSE RUMFANG OG MASSEFYLDEMed begrebet massefylde tangerer vi faget fysik Maringske vil enkelte kunne huske at vi med udgangspunkt i FAKTOR i syvendersquos rdquoHvad kan du maringlerdquo da ogsaring arbejdede tvaeligrfagligt med emnet ndash blandt andet med nedenstaringende opstillingsystematik

ILLUSTRATION METODE rdquoGENSTANDErdquo

Side 22 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Finde dimensioner +)

(rdquolaeligngde bredde hoslashjderdquo)Udregne med formler

rdquoRegulaeligrerdquo legemerTerninger kasser cylindre kugler

Finde genstandens opdrift ved nedsaelignkning i vandBenytte Arkimedesrsquo lov ++)

Mindre (uregelmaeligssige)legemerCementklump jernlod

Nedsaelignke i maringleglas (mm) med vandMaringle stigningen i vandstand

Smaring (uregelmaeligssige)legemer Bolte soslashm sten

+) FidusBrug den laeligngdemaringlsenhed der direkte giver facit i den oslashnskede rumfangsenhed

Laeligngdemaringl i Rummaringlvolumen i

Spri

ng

paring 1

0

m (meter) 1000 l (tusind liter) = 1 m3 (kubikmeter)

Spri

ng

paring 1

000

dm (decimeter) 1 l (liter) = 1 dm3 (kubikdecimeter)

cm (centimeter) 1 ml (milliliter) = 1cm3 (kubikcentimeter)

++) Arkimedesrsquo lovEn genstand der nedsaelignkes i vand taber lige saring meget i vaeliggt som massen af det vand genstanden fortraeligngerNaringr vi efter ovenstaringende rumfangsbestemmelser ogsaring har fundet den paringgaeligldende genstands masse er vi klar til at arbejde med

Massefylde (vaeliggtfylde) = masse rumfang (volumen)Massefylde angives i gcm3 kgdm3 eller tm3 Sammenhaeligngen mellem de tre variable kan opstilles i en formeltrekant (side 27) Hvis masse eller volumen er den ukendte stoslashrrelse faringr man imidlertid brug for en tabel over forskellige stoffers massefylde

ALGEBRAAlgebra er rdquobogstavregningrdquo Vi bruger algebra naringr vi skal vise at udregninger af og sammenhaelignge mellem forskellige stoslashrrelser gaeliglder for alle talvaeligrdier For algebra ndash men altsaring ogsaring for regnearbejdet med rdquoalmindeligerdquo tal - gaeliglder en raeligkke regler som det er noslashdvendigt at kende naringr vi reducerer ndash skriver paring kortere formRegne-hierarkiFoslashrst potenser og roslashdder saring parenteser saring gange og dividere ndash til sidst plus og minus

Side 23 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Eksempel 4 (3 + 2)2 10 + 8 = 4 52 10 + 8 = 4 25 10 + 8 = 100 10 + 8 = 10 + 8 = 18

Plusparentes- kan haeligves og saeligttes uden at leddene inde i parentesen skifter fortegnEksempel med bogstaver a + (b + c ndash d) = a + b + c ndashdEksempel med tal 9 + (2 + 4 ndash 3) = 9 + 2 + 4 ndash 3 = 12 (9 + 3 = 12)Minusparentes- naringr minusparentesen haeligves skifter leddene inde i parentesen fortegnEksempel med bogstaver a ndash (b + c ndash d) = a ndash b ndash c + dEksempel med tal 9 ndash (2 + 4 ndash 3) = 9 ndash 2 ndash 4 + 3 = 6 (9 ndash 3 = 6)

Flerleddede stoslashrrelserMan ganger en flerleddet stoslashrrelse med et tal ved at gange hvert af leddene med tallet Dette kalder vi den distributive lov (Distribuere ndash dele ud)Eksempel med bogstaver a middot (b + c) = ab + acEksempel med tal 2 middot (4 + 2) = 2 middot 4 + 2 middot 2 = 8 + 4 = 12 (2 middot 6 = 12)Man ganger ndash selvfoslashlgelig - to flerleddede stoslashrrelser med hinanden ved atEksempel med bogstaver (a + b) middot (c + d) = ac + ad + bc + bdEksempel med tal (2 + 3) middot (5 + 4) = 2 middot 5 + 2 middot 4 + 3 middot 5 + 3 middot 4 =

10 + 8 + 15 + 12 = 45 (5 middot 9 = 45)Man dividerer en flerleddet stoslashrrelse med et tal ved at dividere hvert af leddeneEksempel med bogstaver (a + b) c = a c + b cEksempel med tal (6 + 2) 2 = 6 2 + 2 2 = 3 + 1 = 4 (8 2 = 4)Specielle tilfaeliglde hvis begge parenteser rummer de samme tal ndash bortset fra fortegnrdquoKvadratet paring en toleddet sumrdquo (a + b)2 = a2 + b2 + 2abVis selv hvordan _________________________________________________________________rdquoKvadratet paring en toleddet diffferensrdquo (a - b)2 = a2 + b2 - 2abVis selv hvordan _________________________________________________________________rdquoTo tals sum gange de samme to tals differensrdquo (a + b)(a ndash b) = a2 - b2 Vis selv hvordan _________________________________________________________________

En praktisk anvendelse af ovenstaringende ndash hovedregning () i rdquoden store tabelrdquo19 middot 19 = (20 ndash 1)2 = 202 + 12 ndash 2 middot 20 middot 1 = 400 + 1 ndash 40 = 36123 middot 23 = (20 + 3)2 = 202 + 32 + 2 middot 20 middot 3 = 400 + 9 + 120 = 529

Hvis man ikke netop bliver bedt om at reducere bogstavudtryk kan arbejdet med algebra bestaring i at finde det paringgaeligldende udtryks stoslashrrelse naringr de indsaeligttes forskellige vaeligrdier i stedet for de rdquoubekendterdquo bogstaver Udfyld saringledes

x 3x x + 4 10 ndash x 2x + 4 -x + 34

Side 24 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

-4-125frac12-20

x y y 2 2x ndash 3y 3 104 148 250 15

Flere klasser har haft glaeligde af at udarbejde saringdanne opgaver i regneark Her gaeliglder det netop om at finde den almene formel som talvaeligrdierne bagefter kan indsaeligttes i

Opgaver Find selv de tilsvarende formler og indsaeligt dem i cellerne A2 B2 C2 D2 E2

og F2 rdquoTraeligk nedrdquo og laeligg maeligrke til om du faringr de samme resultater som vist i

dumprsquoet Indret endnu et regneark og opstil tabel plus formler ogsaring til det andet skema Regn nedenstaringende opgaver Deacutet er reduktion stil gerne op i Word som vist12a ndash 6(3 ndash a) + 8 = 12a ndash 18 + 6a + 8 = 18a ndash 1040 + 3(9 ndash x) + 6x =___________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________________________________

3a + 4(9 ndash 2a) ndash 6 + a =______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2(x + 4) ndash (x + 5) =______________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________

___________________________________________________________5(7y + 5) ndash frac12(50 + 10y)_________________________________________________________=

______________________________________________________________________________________________________________________

FORMLERSide 25 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Specielt finder vi ndash som allerede naeligvnt - en meget nyttig anvendelse af algebra ved opstilling af formler Her garingr opgaven jo netop ud paring at fastlaeliggge en sammenhaeligng mellem forskellige variable stoslashrrelser - ved hjaeliglp af alt andet end konkrete talvaeligrdier Forharingbentlig vil nedenstaringende eksempler vaeligkke en vis genkendelseSammenhaeligngen mellem vejlaeligngde hastighed og tid s = v middot tSammenhaeligngen mellem spaelignding modstand og stroslashmstyrke U = R middot ISammenhaeligngen mellem masse rumfang og massefylde (se ogsaring side 22) m = V middot dEn saringdan sammenhaeligng mellem tre stoslashrrelser kan med fordel illustreres ved hjaeliglp af nedenstaringende trekanter Man laeliggger fingeren over den variable man oslashnsker at finde ndash og den aktuelle omformning af formlen vil umiddelbart fremgaring Lodret linie betyder multiplikation vandret linie (broslashkstreg) betyder division

s m v t V d Vi kan ved algebraens hjaeliglp faktisk selv opstille formler som vi er kommet i tvivl om Hvad er formlen for udregning af hastighed Jo hastighed angives som meter per sekund (ms) eller kilometer per time (kmt) Den skraringstreg der erstatter rdquoperrdquo betyder egentlig division - og dermed har vi den generelle formelHastighed = vejlaeligngde divideret med tid Med ovenstaringende betegnelser v = s t Andre formlerDe fleste formler (og vi bruger dem ofte) kan slarings op i forskellige formelsamlinger Hvis man ikke vil noslashjes med den udgave der er aftrykt i FAKTOR kan den rdquoofficiellerdquo formelsamling til brug for afgangsproslashverne nedlades () fra wwwuvmdk ndash eller man kan (eventuelt paring klassebasis) investere i forlaget degne-distribs tilsvarende rdquomatematiske formler og tabellerrdquo Den koster ikke meget ndash og saring har man lov til at goslashre notater To saeligt formler som vist nok ikke findes andetsteds og som flere klasser har arbejdet en del med skal imidlertid anfoslashres til slut Det drejer sig om

Fremmed valuta Aktier og obligationerDKK = (Valuta 100) middot Kurs Pris = (Paringlydende 100) middot Kurs

(kr) Valuta = (DKK Kurs) middot 100 Paringlydende = (Pris Kurs) middot 100

(kr)Kurs = (DKK Valuta) middot 100 Kurs = (Pris Paringlydende) middot 100 Opgavera) Kurs 120 Paringlydende 100 kroner Hvor mange aktier kan du koslashbe for 60000 kronerb) Hvor mange norske kroner kan du faring for 2000 danske kroner naringr kursen er 8378c) Hvor meget koster 1700 Euro til kurs 74492

LOslashSNING AF LIGNINGERSide 26 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

31 = 31 100 = 031 7 = 7 100 = 007 375 = 375 100 = 0375

OslashvelseParing naeligste side findes et skema til omregning mellem broslashk decimaltal og procent ndash mere omfattende end det der findes i FAKTOR for sjette paring side 100Udfyld skemaet ved hjaeliglp af de metoder der er gennemgaringet herover ndash herefter vil man goslashre sig selv en tjeneste hvis man laeligrer hele herligheden udenad

OMREGNING MELLEM BROslashK ndash DECIMALTAL ndash PROCENT

Broslashk Decimaltal Procent

110

18

210 = 15

28 = 14

31013

(afrundet) (angives evt som blandet tal)38

410 = 25

510 = 48 = 12

610 = 35

5823

(afrundet) (angives evt som blandet tal)710

68 = 34

810 = 45

78

910

Side 14 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

1010 = 88 = 11

EkstraopgaveHvilke tyvendedele mangler (og hvor) i skemaet Hvad bliver disse tyvendedele til ved omregning til decimaltal og procent

KOORDINATSYSTEMETEt koordinatsystem dannes saeligdvanligvis af to tallinier der staringr vinkelret paring hinanden Paring denne maringde deles rdquoplanenrdquo eller papiret i fire dele Hver af delene kalder vi en kvadrant som benaeligvnes med romertalI = 1 kvadrant II = 2 kvadrant III = 3 kvadrant IV = 4 kvadrant

II I

III IV

Den vandrette tallinie kaldes x-aksen eller foslashrste-aksen Den lodrette tallinie kaldes y-aksen eller anden-aksen Hvert punkt i koordinatsystemet kan angives med et koordinatsaeligt hvor det foslashrste tal aflaeligses paring x-aksen og det andet tal aflaeligses paring y-aksen (det er her vi har indfoslashrt den fjollede huskeregel med rdquohen ad gaden op ad trappenrdquo) Eksempelvis er koordinaterne til de tre afmaeligrkede punkter i systemet herover til hoslashjre (30) (-24) og (-2-2) Generelt gaeliglder om koordinaternes fortegn1 kvadrant (++) 2 kvadrant (-+) 3 kvadrant (--) 4 kvadrant (+-)I koordinatsystemet kan man ud over at afsaeligtte enkeltpunkter (typisk i kvadrant I) afbilde sammenhaelignge mellem to forskellige stoslashrrelser som herunder

Side 15 af 42

Befolkningstilvaeligkst i Japan

126012651270127512801285

1999

2000

2001

2002

2003

2004

2005

2006

Aringrstal

Mio

ind

bygg

ere

Samlet torskefangst i 1979 og 2000

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

Janu

ar

Febr

uar

Mar

ts

Apr

il

Maj

Juni

Juli

Aug

ust

Sep

tem

ber

Okt

ober

Nov

embe

r

Dec

embe

r

Anta

l ton

2000 1979

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

GEOMETRIVinklers stoslashrrelse

En vinkel der er stoslashrre end 90ordm kaldes en stump vinkelEn vinkel der er lig med 90ordm kaldes en ret vinkelEn vinkel der er mindre end 90ordm kaldes en spids vinkel

Tegning af vinkel

Vinklens toppunkt skal ligge midt i vinkelmaringleren Det ene vinkelben skal garing gennem 0 det andet ben viser vinklen

VinkelsumVinkelsummen i en tilfaeligldig trekant vil

saltid altid vaeligre 180ordmTegn en trekant og klip den udDel trekanten i tre efter de stiplede

linier linier som paring tegningen til venstreLaeligg de tre vinkler ved siden af

hinanden De De vil nu til sammen danne en lige vinkel det vil sige det vil netop sige en vinkel paring 180ordm

Hvad mon vinkelsummen er i en firkant Tegn og klip som Tegn og klip som foslashr ndash eller

Side 16 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Vinkelstoslashrrelser i trekanterAlt efter vinkelstoslashrrelser deles trekanter efter omstaringende ind i tre hovedtyperSpidsvinklede trekanter Den stoslashrste vinkel er mindre end 90 ordm Retvinklede trekanter Den stoslashrste vinkel er netop lig 90 ordmStumpvinklede trekanter Den stoslashrste vinkel er stoslashrre end 90 ordm

rdquoSpeciellerdquo trekanterTrekanter der har to lige lange sider kaldes ligebenede trekanter Saringdanne trekanter har ogsaring to lige store vinkler (vinklerne ved grundlinien) Trekanter der har tre lige lange sider kaldes ligesidede trekanter Alle tre vinkler i saringdanne trekanter har samme stoslashrrelse nemlig 60 ordm

HoslashjdeHoslashjden i en trekant er liniestykket fra en vinkelspids vinkelret paring den modstaringende sideAlle trekanter har saringledes tre hoslashjder og de skaeligrer hinanden i eacutet og samme punktI retvinklede trekanter falder to af hoslashjderne sammen med trekantens korte siderI stumpvinklede trekanter falder to af hoslashjderne uden for trekanten

Median

MedianMedianen er liniestykket fra en vinkelspids til midtpunktet af modstaringende sideAlle trekanter har naturligvis tre medianer og de skaeligrer hinanden i eacutet og samme punktBemaeligrk I ligesidede trekanter er hoslashjder medianer (foruden vinkelhalveringslinier og sidernes midtnormaler) i alle tilfaeliglde sammenfaldende

FLYTNINGSGEOMETRI SPEJLING

Side 17 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

1 Figuren (en trekant) skal spejles i den viste linie

2 Tegnetrekanten laeliggges paring saring dens lange side staringr vinkelret paring spejlingsaksen Maringl fra A paring trekanten afstanden ned til aksen og afsaeligt saring spejlbilledet af A lige saring langt paring den anden side (dette kan ogsaring goslashres praeligcist med en passer)

3 Gentag proceduren fra 2 med saring mange punkter som noslashdvendigt som noslashdvendigt ndash i dette tilfaeliglde trekantens tre vinkelspidser

4 Billedpunkterne (her trekantens vinkelspidser) forbindes og hele spejlbilledet tegnes

Vi bemaeligrker at figuren og dens spejlbillede ligger symmetrisk om spejlingsaksen Paring billede 4 herover ser vi at den rdquosamlede figurrdquo ved spejling i en saringdan symmetriakse netop foslashres over i sig selv (halvdelene rdquobytter pladsrdquo)

FLYTNINGSGEOMETRI DREJING

1 Figuren (en trekant) skal drejes 100ordm med uret omkring punktet F

Side 18 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

2 En cirkelbue tegnes med F som centrum og FA som radius Drejningsvinklen 100ordm afsaeligttes med F som top-punkt og FA paring vinkelmaringlerens 0-streg

3 Afsaeligt Arsquos billedpunkt og gentag herefter proceduren med saring mange punkter som noslashdvendigt ndash her trekantens tre vinkelspidser

4 Billedpunkterne (her trekantens vinkelspidser)

forbindes og hele drejebilledet tegnes

Vi bemaeligrker at det kun er omdrejningspunktet F der ikke flytter sig ved en drejning Et saringdant punkt kalder man et fixpunkt

FLYTNINGSGEOMETRI PARALLELFORSKYDNINGFor fuldstaeligndighedens skyld skal herunder beskrives metoden naringr man paring et rdquoblanktrdquo stykke papir skal foretage en parallelforskydning ndash en flytning hvor alle figurens punkter skubbes lige langt og i samme retning Det er dog en disciplin der hoslashrer hoslashjere klassetrin til naringr man saeligdvanligvis udfoslashrer parallelforskydning er der nemlig et kvadratnet eller et koordinatsystem at stoslashtte sig til ndash som vist nederst paring siden

Parallelforskydning af linie

Side 19 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Parallelforskydning af plan figur

Parallelforskydning af figur i kvadratnetOpgaven vil typisk vaeligre at forskyde den paringgaeligldende figur (her en firkant) i pilens laeligngde og retningVi ser at hele figuren hermed skal flyttes rdquoto tern hen fire tern oprdquo Imidlertid er det nok at flytte de fire vinkelspidser idet de jo tilsammen rdquodefinererrdquo den paringgaeligldende firkantEndnu nemmere vil det vaeligre naringr man udnytter at figur og billedfigur er kongruente Saring kan man noslashjes med at flytte eacutet punkt og herudfra tegne en ny figur magen til den gamle

AREAL OG AREALBEREGNINGAreal angiver stoslashrrelsen af en flade og maringles i antal kvadrater med sidelaeligngden 1 For eksempel cm2 (kvadratcentimeter) m2 (kvadratmeter) eller km2

(kvadratkilometer)Herunder en raeligkke eksempler paring formler til udregning af areal naringr der dels er tale om elementaeligre geometriske figurer dels om sammensatte figurer Laeligg ikke mindst maeligrke til hvad det er for egenskaber der definerer de forskellige typer firkanter

Side 20 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Sammensatte figurerArealet findes ved at opdele figuren i to eller flere kendte figurer og finde de enkelte figureres arealer hver for sig Specielt kan man finde arealet af trekanter tegnet i kvadratnet ved at finde de to retvinklede trekanters arealer og laeliggge dem sammen Oslashvelser

Find arealet af hver af trekanterne a ndash f ved at bruge metoden ovenfor 1 tern svarer til 1 cm2a ____ + ____ = ____ cm2

b ____ + ____ = ____ cm2

c ____ + ____ = ____ cm2

d ____ + ____ = ____ cm2

e ____ + ____ = ____ cm2

f ____ + ____ = ____ cm2

(OMSAEligTNING I) METERSYSTEMETForrdquonavnrdquo

Kilo Hekto Deka Enhed

Deci Centi Milli

Betyder 1000 100 10 1 110 = 01

1100 = 001

11000 = 0001

Forkortes

k h da d c m

Laeligngde km hm dam m dm cm mmMasse kg hg dag g dg cg mgRumfang

kl hl dal l dl cl ml

Ovenstaringende betyder for metersystemets laeligngdemaringl foslashlgende omsaeligtninger1m = 10 dm 1 dm = 10 cm

Side 21 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

1 m2 = 102 dm2 = 100 dm2 1 dm2 = 102 cm2 = 100 cm2

1m3 = 103 dm3 = 1000 dm3 1 dm3 = 103 cm3 = 1000 cm3

1m = 100 cm 1 cm = 10 mm1m2 = 1002 cm2 = 10000 cm2 1 cm2 = 102 mm2 =

100 mm2

1 m3 = 1003 cm3 = 1000000 cm3 1 cm3 = 103 mm3 = 1000 mm3

Omsaeligtning bliver endnu nemmere hvis man laeligrer denne remse udenadkilo ndash hekto ndash deka ndash (bum) ndash deci ndash centi ndash milli(um)Find den benaeligvnelse der skal omsaeligttes fra samt den benaeligvnelse der skal omsaeligttes til (rdquoBumrdquo svarer til henholdsvis meter gram og liter)Taeligl det antal pladser der er imellem de to benaeligvnelser og flyt kommaet samme antal pladser i samme retningHvis der er tale om flade- (for eksempel m2) eller rummaringl (for eksempel m3) skal man huske at gange antallet af pladser med 2 henholdsvis 3 foslashr kommaet flyttes det tilsvarende antal pladserEksempel 5 m2 skal omsaeligttes til cm2I tabellen herover findes rdquoenhedrdquo og der taeliglles hvor mange pladser der er hen til rdquocentirdquo 2 pladser til hoslashjre Da det er et flademaringl (areal) skal antallet af pladser ganges med 2 (2 middot 2 = 4) Kommaet flyttes 4 pladser til hoslashjre og altsaring 5m 2 = 50000 cm 2 Eksempel 100 dm3 skal omsaeligttes til m3I tabellen herover findes rdquodecirdquo og der taeliglles hvor mange pladser der er hen til rdquoenhedrdquo 1 plads til venstre Da det er et rummaringl skal antallet af pladser ganges med 3 (3 middot 1 = 3) Kommaet flyttes 3 pladser til venstre og altsaring 100 dm 3 = 01 m 3

MASSE RUMFANG OG MASSEFYLDEMed begrebet massefylde tangerer vi faget fysik Maringske vil enkelte kunne huske at vi med udgangspunkt i FAKTOR i syvendersquos rdquoHvad kan du maringlerdquo da ogsaring arbejdede tvaeligrfagligt med emnet ndash blandt andet med nedenstaringende opstillingsystematik

ILLUSTRATION METODE rdquoGENSTANDErdquo

Side 22 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Finde dimensioner +)

(rdquolaeligngde bredde hoslashjderdquo)Udregne med formler

rdquoRegulaeligrerdquo legemerTerninger kasser cylindre kugler

Finde genstandens opdrift ved nedsaelignkning i vandBenytte Arkimedesrsquo lov ++)

Mindre (uregelmaeligssige)legemerCementklump jernlod

Nedsaelignke i maringleglas (mm) med vandMaringle stigningen i vandstand

Smaring (uregelmaeligssige)legemer Bolte soslashm sten

+) FidusBrug den laeligngdemaringlsenhed der direkte giver facit i den oslashnskede rumfangsenhed

Laeligngdemaringl i Rummaringlvolumen i

Spri

ng

paring 1

0

m (meter) 1000 l (tusind liter) = 1 m3 (kubikmeter)

Spri

ng

paring 1

000

dm (decimeter) 1 l (liter) = 1 dm3 (kubikdecimeter)

cm (centimeter) 1 ml (milliliter) = 1cm3 (kubikcentimeter)

++) Arkimedesrsquo lovEn genstand der nedsaelignkes i vand taber lige saring meget i vaeliggt som massen af det vand genstanden fortraeligngerNaringr vi efter ovenstaringende rumfangsbestemmelser ogsaring har fundet den paringgaeligldende genstands masse er vi klar til at arbejde med

Massefylde (vaeliggtfylde) = masse rumfang (volumen)Massefylde angives i gcm3 kgdm3 eller tm3 Sammenhaeligngen mellem de tre variable kan opstilles i en formeltrekant (side 27) Hvis masse eller volumen er den ukendte stoslashrrelse faringr man imidlertid brug for en tabel over forskellige stoffers massefylde

ALGEBRAAlgebra er rdquobogstavregningrdquo Vi bruger algebra naringr vi skal vise at udregninger af og sammenhaelignge mellem forskellige stoslashrrelser gaeliglder for alle talvaeligrdier For algebra ndash men altsaring ogsaring for regnearbejdet med rdquoalmindeligerdquo tal - gaeliglder en raeligkke regler som det er noslashdvendigt at kende naringr vi reducerer ndash skriver paring kortere formRegne-hierarkiFoslashrst potenser og roslashdder saring parenteser saring gange og dividere ndash til sidst plus og minus

Side 23 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Eksempel 4 (3 + 2)2 10 + 8 = 4 52 10 + 8 = 4 25 10 + 8 = 100 10 + 8 = 10 + 8 = 18

Plusparentes- kan haeligves og saeligttes uden at leddene inde i parentesen skifter fortegnEksempel med bogstaver a + (b + c ndash d) = a + b + c ndashdEksempel med tal 9 + (2 + 4 ndash 3) = 9 + 2 + 4 ndash 3 = 12 (9 + 3 = 12)Minusparentes- naringr minusparentesen haeligves skifter leddene inde i parentesen fortegnEksempel med bogstaver a ndash (b + c ndash d) = a ndash b ndash c + dEksempel med tal 9 ndash (2 + 4 ndash 3) = 9 ndash 2 ndash 4 + 3 = 6 (9 ndash 3 = 6)

Flerleddede stoslashrrelserMan ganger en flerleddet stoslashrrelse med et tal ved at gange hvert af leddene med tallet Dette kalder vi den distributive lov (Distribuere ndash dele ud)Eksempel med bogstaver a middot (b + c) = ab + acEksempel med tal 2 middot (4 + 2) = 2 middot 4 + 2 middot 2 = 8 + 4 = 12 (2 middot 6 = 12)Man ganger ndash selvfoslashlgelig - to flerleddede stoslashrrelser med hinanden ved atEksempel med bogstaver (a + b) middot (c + d) = ac + ad + bc + bdEksempel med tal (2 + 3) middot (5 + 4) = 2 middot 5 + 2 middot 4 + 3 middot 5 + 3 middot 4 =

10 + 8 + 15 + 12 = 45 (5 middot 9 = 45)Man dividerer en flerleddet stoslashrrelse med et tal ved at dividere hvert af leddeneEksempel med bogstaver (a + b) c = a c + b cEksempel med tal (6 + 2) 2 = 6 2 + 2 2 = 3 + 1 = 4 (8 2 = 4)Specielle tilfaeliglde hvis begge parenteser rummer de samme tal ndash bortset fra fortegnrdquoKvadratet paring en toleddet sumrdquo (a + b)2 = a2 + b2 + 2abVis selv hvordan _________________________________________________________________rdquoKvadratet paring en toleddet diffferensrdquo (a - b)2 = a2 + b2 - 2abVis selv hvordan _________________________________________________________________rdquoTo tals sum gange de samme to tals differensrdquo (a + b)(a ndash b) = a2 - b2 Vis selv hvordan _________________________________________________________________

En praktisk anvendelse af ovenstaringende ndash hovedregning () i rdquoden store tabelrdquo19 middot 19 = (20 ndash 1)2 = 202 + 12 ndash 2 middot 20 middot 1 = 400 + 1 ndash 40 = 36123 middot 23 = (20 + 3)2 = 202 + 32 + 2 middot 20 middot 3 = 400 + 9 + 120 = 529

Hvis man ikke netop bliver bedt om at reducere bogstavudtryk kan arbejdet med algebra bestaring i at finde det paringgaeligldende udtryks stoslashrrelse naringr de indsaeligttes forskellige vaeligrdier i stedet for de rdquoubekendterdquo bogstaver Udfyld saringledes

x 3x x + 4 10 ndash x 2x + 4 -x + 34

Side 24 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

-4-125frac12-20

x y y 2 2x ndash 3y 3 104 148 250 15

Flere klasser har haft glaeligde af at udarbejde saringdanne opgaver i regneark Her gaeliglder det netop om at finde den almene formel som talvaeligrdierne bagefter kan indsaeligttes i

Opgaver Find selv de tilsvarende formler og indsaeligt dem i cellerne A2 B2 C2 D2 E2

og F2 rdquoTraeligk nedrdquo og laeligg maeligrke til om du faringr de samme resultater som vist i

dumprsquoet Indret endnu et regneark og opstil tabel plus formler ogsaring til det andet skema Regn nedenstaringende opgaver Deacutet er reduktion stil gerne op i Word som vist12a ndash 6(3 ndash a) + 8 = 12a ndash 18 + 6a + 8 = 18a ndash 1040 + 3(9 ndash x) + 6x =___________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________________________________

3a + 4(9 ndash 2a) ndash 6 + a =______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2(x + 4) ndash (x + 5) =______________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________

___________________________________________________________5(7y + 5) ndash frac12(50 + 10y)_________________________________________________________=

______________________________________________________________________________________________________________________

FORMLERSide 25 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Specielt finder vi ndash som allerede naeligvnt - en meget nyttig anvendelse af algebra ved opstilling af formler Her garingr opgaven jo netop ud paring at fastlaeliggge en sammenhaeligng mellem forskellige variable stoslashrrelser - ved hjaeliglp af alt andet end konkrete talvaeligrdier Forharingbentlig vil nedenstaringende eksempler vaeligkke en vis genkendelseSammenhaeligngen mellem vejlaeligngde hastighed og tid s = v middot tSammenhaeligngen mellem spaelignding modstand og stroslashmstyrke U = R middot ISammenhaeligngen mellem masse rumfang og massefylde (se ogsaring side 22) m = V middot dEn saringdan sammenhaeligng mellem tre stoslashrrelser kan med fordel illustreres ved hjaeliglp af nedenstaringende trekanter Man laeliggger fingeren over den variable man oslashnsker at finde ndash og den aktuelle omformning af formlen vil umiddelbart fremgaring Lodret linie betyder multiplikation vandret linie (broslashkstreg) betyder division

s m v t V d Vi kan ved algebraens hjaeliglp faktisk selv opstille formler som vi er kommet i tvivl om Hvad er formlen for udregning af hastighed Jo hastighed angives som meter per sekund (ms) eller kilometer per time (kmt) Den skraringstreg der erstatter rdquoperrdquo betyder egentlig division - og dermed har vi den generelle formelHastighed = vejlaeligngde divideret med tid Med ovenstaringende betegnelser v = s t Andre formlerDe fleste formler (og vi bruger dem ofte) kan slarings op i forskellige formelsamlinger Hvis man ikke vil noslashjes med den udgave der er aftrykt i FAKTOR kan den rdquoofficiellerdquo formelsamling til brug for afgangsproslashverne nedlades () fra wwwuvmdk ndash eller man kan (eventuelt paring klassebasis) investere i forlaget degne-distribs tilsvarende rdquomatematiske formler og tabellerrdquo Den koster ikke meget ndash og saring har man lov til at goslashre notater To saeligt formler som vist nok ikke findes andetsteds og som flere klasser har arbejdet en del med skal imidlertid anfoslashres til slut Det drejer sig om

Fremmed valuta Aktier og obligationerDKK = (Valuta 100) middot Kurs Pris = (Paringlydende 100) middot Kurs

(kr) Valuta = (DKK Kurs) middot 100 Paringlydende = (Pris Kurs) middot 100

(kr)Kurs = (DKK Valuta) middot 100 Kurs = (Pris Paringlydende) middot 100 Opgavera) Kurs 120 Paringlydende 100 kroner Hvor mange aktier kan du koslashbe for 60000 kronerb) Hvor mange norske kroner kan du faring for 2000 danske kroner naringr kursen er 8378c) Hvor meget koster 1700 Euro til kurs 74492

LOslashSNING AF LIGNINGERSide 26 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

1010 = 88 = 11

EkstraopgaveHvilke tyvendedele mangler (og hvor) i skemaet Hvad bliver disse tyvendedele til ved omregning til decimaltal og procent

KOORDINATSYSTEMETEt koordinatsystem dannes saeligdvanligvis af to tallinier der staringr vinkelret paring hinanden Paring denne maringde deles rdquoplanenrdquo eller papiret i fire dele Hver af delene kalder vi en kvadrant som benaeligvnes med romertalI = 1 kvadrant II = 2 kvadrant III = 3 kvadrant IV = 4 kvadrant

II I

III IV

Den vandrette tallinie kaldes x-aksen eller foslashrste-aksen Den lodrette tallinie kaldes y-aksen eller anden-aksen Hvert punkt i koordinatsystemet kan angives med et koordinatsaeligt hvor det foslashrste tal aflaeligses paring x-aksen og det andet tal aflaeligses paring y-aksen (det er her vi har indfoslashrt den fjollede huskeregel med rdquohen ad gaden op ad trappenrdquo) Eksempelvis er koordinaterne til de tre afmaeligrkede punkter i systemet herover til hoslashjre (30) (-24) og (-2-2) Generelt gaeliglder om koordinaternes fortegn1 kvadrant (++) 2 kvadrant (-+) 3 kvadrant (--) 4 kvadrant (+-)I koordinatsystemet kan man ud over at afsaeligtte enkeltpunkter (typisk i kvadrant I) afbilde sammenhaelignge mellem to forskellige stoslashrrelser som herunder

Side 15 af 42

Befolkningstilvaeligkst i Japan

126012651270127512801285

1999

2000

2001

2002

2003

2004

2005

2006

Aringrstal

Mio

ind

bygg

ere

Samlet torskefangst i 1979 og 2000

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

Janu

ar

Febr

uar

Mar

ts

Apr

il

Maj

Juni

Juli

Aug

ust

Sep

tem

ber

Okt

ober

Nov

embe

r

Dec

embe

r

Anta

l ton

2000 1979

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

GEOMETRIVinklers stoslashrrelse

En vinkel der er stoslashrre end 90ordm kaldes en stump vinkelEn vinkel der er lig med 90ordm kaldes en ret vinkelEn vinkel der er mindre end 90ordm kaldes en spids vinkel

Tegning af vinkel

Vinklens toppunkt skal ligge midt i vinkelmaringleren Det ene vinkelben skal garing gennem 0 det andet ben viser vinklen

VinkelsumVinkelsummen i en tilfaeligldig trekant vil

saltid altid vaeligre 180ordmTegn en trekant og klip den udDel trekanten i tre efter de stiplede

linier linier som paring tegningen til venstreLaeligg de tre vinkler ved siden af

hinanden De De vil nu til sammen danne en lige vinkel det vil sige det vil netop sige en vinkel paring 180ordm

Hvad mon vinkelsummen er i en firkant Tegn og klip som Tegn og klip som foslashr ndash eller

Side 16 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Vinkelstoslashrrelser i trekanterAlt efter vinkelstoslashrrelser deles trekanter efter omstaringende ind i tre hovedtyperSpidsvinklede trekanter Den stoslashrste vinkel er mindre end 90 ordm Retvinklede trekanter Den stoslashrste vinkel er netop lig 90 ordmStumpvinklede trekanter Den stoslashrste vinkel er stoslashrre end 90 ordm

rdquoSpeciellerdquo trekanterTrekanter der har to lige lange sider kaldes ligebenede trekanter Saringdanne trekanter har ogsaring to lige store vinkler (vinklerne ved grundlinien) Trekanter der har tre lige lange sider kaldes ligesidede trekanter Alle tre vinkler i saringdanne trekanter har samme stoslashrrelse nemlig 60 ordm

HoslashjdeHoslashjden i en trekant er liniestykket fra en vinkelspids vinkelret paring den modstaringende sideAlle trekanter har saringledes tre hoslashjder og de skaeligrer hinanden i eacutet og samme punktI retvinklede trekanter falder to af hoslashjderne sammen med trekantens korte siderI stumpvinklede trekanter falder to af hoslashjderne uden for trekanten

Median

MedianMedianen er liniestykket fra en vinkelspids til midtpunktet af modstaringende sideAlle trekanter har naturligvis tre medianer og de skaeligrer hinanden i eacutet og samme punktBemaeligrk I ligesidede trekanter er hoslashjder medianer (foruden vinkelhalveringslinier og sidernes midtnormaler) i alle tilfaeliglde sammenfaldende

FLYTNINGSGEOMETRI SPEJLING

Side 17 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

1 Figuren (en trekant) skal spejles i den viste linie

2 Tegnetrekanten laeliggges paring saring dens lange side staringr vinkelret paring spejlingsaksen Maringl fra A paring trekanten afstanden ned til aksen og afsaeligt saring spejlbilledet af A lige saring langt paring den anden side (dette kan ogsaring goslashres praeligcist med en passer)

3 Gentag proceduren fra 2 med saring mange punkter som noslashdvendigt som noslashdvendigt ndash i dette tilfaeliglde trekantens tre vinkelspidser

4 Billedpunkterne (her trekantens vinkelspidser) forbindes og hele spejlbilledet tegnes

Vi bemaeligrker at figuren og dens spejlbillede ligger symmetrisk om spejlingsaksen Paring billede 4 herover ser vi at den rdquosamlede figurrdquo ved spejling i en saringdan symmetriakse netop foslashres over i sig selv (halvdelene rdquobytter pladsrdquo)

FLYTNINGSGEOMETRI DREJING

1 Figuren (en trekant) skal drejes 100ordm med uret omkring punktet F

Side 18 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

2 En cirkelbue tegnes med F som centrum og FA som radius Drejningsvinklen 100ordm afsaeligttes med F som top-punkt og FA paring vinkelmaringlerens 0-streg

3 Afsaeligt Arsquos billedpunkt og gentag herefter proceduren med saring mange punkter som noslashdvendigt ndash her trekantens tre vinkelspidser

4 Billedpunkterne (her trekantens vinkelspidser)

forbindes og hele drejebilledet tegnes

Vi bemaeligrker at det kun er omdrejningspunktet F der ikke flytter sig ved en drejning Et saringdant punkt kalder man et fixpunkt

FLYTNINGSGEOMETRI PARALLELFORSKYDNINGFor fuldstaeligndighedens skyld skal herunder beskrives metoden naringr man paring et rdquoblanktrdquo stykke papir skal foretage en parallelforskydning ndash en flytning hvor alle figurens punkter skubbes lige langt og i samme retning Det er dog en disciplin der hoslashrer hoslashjere klassetrin til naringr man saeligdvanligvis udfoslashrer parallelforskydning er der nemlig et kvadratnet eller et koordinatsystem at stoslashtte sig til ndash som vist nederst paring siden

Parallelforskydning af linie

Side 19 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Parallelforskydning af plan figur

Parallelforskydning af figur i kvadratnetOpgaven vil typisk vaeligre at forskyde den paringgaeligldende figur (her en firkant) i pilens laeligngde og retningVi ser at hele figuren hermed skal flyttes rdquoto tern hen fire tern oprdquo Imidlertid er det nok at flytte de fire vinkelspidser idet de jo tilsammen rdquodefinererrdquo den paringgaeligldende firkantEndnu nemmere vil det vaeligre naringr man udnytter at figur og billedfigur er kongruente Saring kan man noslashjes med at flytte eacutet punkt og herudfra tegne en ny figur magen til den gamle

AREAL OG AREALBEREGNINGAreal angiver stoslashrrelsen af en flade og maringles i antal kvadrater med sidelaeligngden 1 For eksempel cm2 (kvadratcentimeter) m2 (kvadratmeter) eller km2

(kvadratkilometer)Herunder en raeligkke eksempler paring formler til udregning af areal naringr der dels er tale om elementaeligre geometriske figurer dels om sammensatte figurer Laeligg ikke mindst maeligrke til hvad det er for egenskaber der definerer de forskellige typer firkanter

Side 20 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Sammensatte figurerArealet findes ved at opdele figuren i to eller flere kendte figurer og finde de enkelte figureres arealer hver for sig Specielt kan man finde arealet af trekanter tegnet i kvadratnet ved at finde de to retvinklede trekanters arealer og laeliggge dem sammen Oslashvelser

Find arealet af hver af trekanterne a ndash f ved at bruge metoden ovenfor 1 tern svarer til 1 cm2a ____ + ____ = ____ cm2

b ____ + ____ = ____ cm2

c ____ + ____ = ____ cm2

d ____ + ____ = ____ cm2

e ____ + ____ = ____ cm2

f ____ + ____ = ____ cm2

(OMSAEligTNING I) METERSYSTEMETForrdquonavnrdquo

Kilo Hekto Deka Enhed

Deci Centi Milli

Betyder 1000 100 10 1 110 = 01

1100 = 001

11000 = 0001

Forkortes

k h da d c m

Laeligngde km hm dam m dm cm mmMasse kg hg dag g dg cg mgRumfang

kl hl dal l dl cl ml

Ovenstaringende betyder for metersystemets laeligngdemaringl foslashlgende omsaeligtninger1m = 10 dm 1 dm = 10 cm

Side 21 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

1 m2 = 102 dm2 = 100 dm2 1 dm2 = 102 cm2 = 100 cm2

1m3 = 103 dm3 = 1000 dm3 1 dm3 = 103 cm3 = 1000 cm3

1m = 100 cm 1 cm = 10 mm1m2 = 1002 cm2 = 10000 cm2 1 cm2 = 102 mm2 =

100 mm2

1 m3 = 1003 cm3 = 1000000 cm3 1 cm3 = 103 mm3 = 1000 mm3

Omsaeligtning bliver endnu nemmere hvis man laeligrer denne remse udenadkilo ndash hekto ndash deka ndash (bum) ndash deci ndash centi ndash milli(um)Find den benaeligvnelse der skal omsaeligttes fra samt den benaeligvnelse der skal omsaeligttes til (rdquoBumrdquo svarer til henholdsvis meter gram og liter)Taeligl det antal pladser der er imellem de to benaeligvnelser og flyt kommaet samme antal pladser i samme retningHvis der er tale om flade- (for eksempel m2) eller rummaringl (for eksempel m3) skal man huske at gange antallet af pladser med 2 henholdsvis 3 foslashr kommaet flyttes det tilsvarende antal pladserEksempel 5 m2 skal omsaeligttes til cm2I tabellen herover findes rdquoenhedrdquo og der taeliglles hvor mange pladser der er hen til rdquocentirdquo 2 pladser til hoslashjre Da det er et flademaringl (areal) skal antallet af pladser ganges med 2 (2 middot 2 = 4) Kommaet flyttes 4 pladser til hoslashjre og altsaring 5m 2 = 50000 cm 2 Eksempel 100 dm3 skal omsaeligttes til m3I tabellen herover findes rdquodecirdquo og der taeliglles hvor mange pladser der er hen til rdquoenhedrdquo 1 plads til venstre Da det er et rummaringl skal antallet af pladser ganges med 3 (3 middot 1 = 3) Kommaet flyttes 3 pladser til venstre og altsaring 100 dm 3 = 01 m 3

MASSE RUMFANG OG MASSEFYLDEMed begrebet massefylde tangerer vi faget fysik Maringske vil enkelte kunne huske at vi med udgangspunkt i FAKTOR i syvendersquos rdquoHvad kan du maringlerdquo da ogsaring arbejdede tvaeligrfagligt med emnet ndash blandt andet med nedenstaringende opstillingsystematik

ILLUSTRATION METODE rdquoGENSTANDErdquo

Side 22 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Finde dimensioner +)

(rdquolaeligngde bredde hoslashjderdquo)Udregne med formler

rdquoRegulaeligrerdquo legemerTerninger kasser cylindre kugler

Finde genstandens opdrift ved nedsaelignkning i vandBenytte Arkimedesrsquo lov ++)

Mindre (uregelmaeligssige)legemerCementklump jernlod

Nedsaelignke i maringleglas (mm) med vandMaringle stigningen i vandstand

Smaring (uregelmaeligssige)legemer Bolte soslashm sten

+) FidusBrug den laeligngdemaringlsenhed der direkte giver facit i den oslashnskede rumfangsenhed

Laeligngdemaringl i Rummaringlvolumen i

Spri

ng

paring 1

0

m (meter) 1000 l (tusind liter) = 1 m3 (kubikmeter)

Spri

ng

paring 1

000

dm (decimeter) 1 l (liter) = 1 dm3 (kubikdecimeter)

cm (centimeter) 1 ml (milliliter) = 1cm3 (kubikcentimeter)

++) Arkimedesrsquo lovEn genstand der nedsaelignkes i vand taber lige saring meget i vaeliggt som massen af det vand genstanden fortraeligngerNaringr vi efter ovenstaringende rumfangsbestemmelser ogsaring har fundet den paringgaeligldende genstands masse er vi klar til at arbejde med

Massefylde (vaeliggtfylde) = masse rumfang (volumen)Massefylde angives i gcm3 kgdm3 eller tm3 Sammenhaeligngen mellem de tre variable kan opstilles i en formeltrekant (side 27) Hvis masse eller volumen er den ukendte stoslashrrelse faringr man imidlertid brug for en tabel over forskellige stoffers massefylde

ALGEBRAAlgebra er rdquobogstavregningrdquo Vi bruger algebra naringr vi skal vise at udregninger af og sammenhaelignge mellem forskellige stoslashrrelser gaeliglder for alle talvaeligrdier For algebra ndash men altsaring ogsaring for regnearbejdet med rdquoalmindeligerdquo tal - gaeliglder en raeligkke regler som det er noslashdvendigt at kende naringr vi reducerer ndash skriver paring kortere formRegne-hierarkiFoslashrst potenser og roslashdder saring parenteser saring gange og dividere ndash til sidst plus og minus

Side 23 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Eksempel 4 (3 + 2)2 10 + 8 = 4 52 10 + 8 = 4 25 10 + 8 = 100 10 + 8 = 10 + 8 = 18

Plusparentes- kan haeligves og saeligttes uden at leddene inde i parentesen skifter fortegnEksempel med bogstaver a + (b + c ndash d) = a + b + c ndashdEksempel med tal 9 + (2 + 4 ndash 3) = 9 + 2 + 4 ndash 3 = 12 (9 + 3 = 12)Minusparentes- naringr minusparentesen haeligves skifter leddene inde i parentesen fortegnEksempel med bogstaver a ndash (b + c ndash d) = a ndash b ndash c + dEksempel med tal 9 ndash (2 + 4 ndash 3) = 9 ndash 2 ndash 4 + 3 = 6 (9 ndash 3 = 6)

Flerleddede stoslashrrelserMan ganger en flerleddet stoslashrrelse med et tal ved at gange hvert af leddene med tallet Dette kalder vi den distributive lov (Distribuere ndash dele ud)Eksempel med bogstaver a middot (b + c) = ab + acEksempel med tal 2 middot (4 + 2) = 2 middot 4 + 2 middot 2 = 8 + 4 = 12 (2 middot 6 = 12)Man ganger ndash selvfoslashlgelig - to flerleddede stoslashrrelser med hinanden ved atEksempel med bogstaver (a + b) middot (c + d) = ac + ad + bc + bdEksempel med tal (2 + 3) middot (5 + 4) = 2 middot 5 + 2 middot 4 + 3 middot 5 + 3 middot 4 =

10 + 8 + 15 + 12 = 45 (5 middot 9 = 45)Man dividerer en flerleddet stoslashrrelse med et tal ved at dividere hvert af leddeneEksempel med bogstaver (a + b) c = a c + b cEksempel med tal (6 + 2) 2 = 6 2 + 2 2 = 3 + 1 = 4 (8 2 = 4)Specielle tilfaeliglde hvis begge parenteser rummer de samme tal ndash bortset fra fortegnrdquoKvadratet paring en toleddet sumrdquo (a + b)2 = a2 + b2 + 2abVis selv hvordan _________________________________________________________________rdquoKvadratet paring en toleddet diffferensrdquo (a - b)2 = a2 + b2 - 2abVis selv hvordan _________________________________________________________________rdquoTo tals sum gange de samme to tals differensrdquo (a + b)(a ndash b) = a2 - b2 Vis selv hvordan _________________________________________________________________

En praktisk anvendelse af ovenstaringende ndash hovedregning () i rdquoden store tabelrdquo19 middot 19 = (20 ndash 1)2 = 202 + 12 ndash 2 middot 20 middot 1 = 400 + 1 ndash 40 = 36123 middot 23 = (20 + 3)2 = 202 + 32 + 2 middot 20 middot 3 = 400 + 9 + 120 = 529

Hvis man ikke netop bliver bedt om at reducere bogstavudtryk kan arbejdet med algebra bestaring i at finde det paringgaeligldende udtryks stoslashrrelse naringr de indsaeligttes forskellige vaeligrdier i stedet for de rdquoubekendterdquo bogstaver Udfyld saringledes

x 3x x + 4 10 ndash x 2x + 4 -x + 34

Side 24 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

-4-125frac12-20

x y y 2 2x ndash 3y 3 104 148 250 15

Flere klasser har haft glaeligde af at udarbejde saringdanne opgaver i regneark Her gaeliglder det netop om at finde den almene formel som talvaeligrdierne bagefter kan indsaeligttes i

Opgaver Find selv de tilsvarende formler og indsaeligt dem i cellerne A2 B2 C2 D2 E2

og F2 rdquoTraeligk nedrdquo og laeligg maeligrke til om du faringr de samme resultater som vist i

dumprsquoet Indret endnu et regneark og opstil tabel plus formler ogsaring til det andet skema Regn nedenstaringende opgaver Deacutet er reduktion stil gerne op i Word som vist12a ndash 6(3 ndash a) + 8 = 12a ndash 18 + 6a + 8 = 18a ndash 1040 + 3(9 ndash x) + 6x =___________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________________________________

3a + 4(9 ndash 2a) ndash 6 + a =______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2(x + 4) ndash (x + 5) =______________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________

___________________________________________________________5(7y + 5) ndash frac12(50 + 10y)_________________________________________________________=

______________________________________________________________________________________________________________________

FORMLERSide 25 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Specielt finder vi ndash som allerede naeligvnt - en meget nyttig anvendelse af algebra ved opstilling af formler Her garingr opgaven jo netop ud paring at fastlaeliggge en sammenhaeligng mellem forskellige variable stoslashrrelser - ved hjaeliglp af alt andet end konkrete talvaeligrdier Forharingbentlig vil nedenstaringende eksempler vaeligkke en vis genkendelseSammenhaeligngen mellem vejlaeligngde hastighed og tid s = v middot tSammenhaeligngen mellem spaelignding modstand og stroslashmstyrke U = R middot ISammenhaeligngen mellem masse rumfang og massefylde (se ogsaring side 22) m = V middot dEn saringdan sammenhaeligng mellem tre stoslashrrelser kan med fordel illustreres ved hjaeliglp af nedenstaringende trekanter Man laeliggger fingeren over den variable man oslashnsker at finde ndash og den aktuelle omformning af formlen vil umiddelbart fremgaring Lodret linie betyder multiplikation vandret linie (broslashkstreg) betyder division

s m v t V d Vi kan ved algebraens hjaeliglp faktisk selv opstille formler som vi er kommet i tvivl om Hvad er formlen for udregning af hastighed Jo hastighed angives som meter per sekund (ms) eller kilometer per time (kmt) Den skraringstreg der erstatter rdquoperrdquo betyder egentlig division - og dermed har vi den generelle formelHastighed = vejlaeligngde divideret med tid Med ovenstaringende betegnelser v = s t Andre formlerDe fleste formler (og vi bruger dem ofte) kan slarings op i forskellige formelsamlinger Hvis man ikke vil noslashjes med den udgave der er aftrykt i FAKTOR kan den rdquoofficiellerdquo formelsamling til brug for afgangsproslashverne nedlades () fra wwwuvmdk ndash eller man kan (eventuelt paring klassebasis) investere i forlaget degne-distribs tilsvarende rdquomatematiske formler og tabellerrdquo Den koster ikke meget ndash og saring har man lov til at goslashre notater To saeligt formler som vist nok ikke findes andetsteds og som flere klasser har arbejdet en del med skal imidlertid anfoslashres til slut Det drejer sig om

Fremmed valuta Aktier og obligationerDKK = (Valuta 100) middot Kurs Pris = (Paringlydende 100) middot Kurs

(kr) Valuta = (DKK Kurs) middot 100 Paringlydende = (Pris Kurs) middot 100

(kr)Kurs = (DKK Valuta) middot 100 Kurs = (Pris Paringlydende) middot 100 Opgavera) Kurs 120 Paringlydende 100 kroner Hvor mange aktier kan du koslashbe for 60000 kronerb) Hvor mange norske kroner kan du faring for 2000 danske kroner naringr kursen er 8378c) Hvor meget koster 1700 Euro til kurs 74492

LOslashSNING AF LIGNINGERSide 26 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

GEOMETRIVinklers stoslashrrelse

En vinkel der er stoslashrre end 90ordm kaldes en stump vinkelEn vinkel der er lig med 90ordm kaldes en ret vinkelEn vinkel der er mindre end 90ordm kaldes en spids vinkel

Tegning af vinkel

Vinklens toppunkt skal ligge midt i vinkelmaringleren Det ene vinkelben skal garing gennem 0 det andet ben viser vinklen

VinkelsumVinkelsummen i en tilfaeligldig trekant vil

saltid altid vaeligre 180ordmTegn en trekant og klip den udDel trekanten i tre efter de stiplede

linier linier som paring tegningen til venstreLaeligg de tre vinkler ved siden af

hinanden De De vil nu til sammen danne en lige vinkel det vil sige det vil netop sige en vinkel paring 180ordm

Hvad mon vinkelsummen er i en firkant Tegn og klip som Tegn og klip som foslashr ndash eller

Side 16 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Vinkelstoslashrrelser i trekanterAlt efter vinkelstoslashrrelser deles trekanter efter omstaringende ind i tre hovedtyperSpidsvinklede trekanter Den stoslashrste vinkel er mindre end 90 ordm Retvinklede trekanter Den stoslashrste vinkel er netop lig 90 ordmStumpvinklede trekanter Den stoslashrste vinkel er stoslashrre end 90 ordm

rdquoSpeciellerdquo trekanterTrekanter der har to lige lange sider kaldes ligebenede trekanter Saringdanne trekanter har ogsaring to lige store vinkler (vinklerne ved grundlinien) Trekanter der har tre lige lange sider kaldes ligesidede trekanter Alle tre vinkler i saringdanne trekanter har samme stoslashrrelse nemlig 60 ordm

HoslashjdeHoslashjden i en trekant er liniestykket fra en vinkelspids vinkelret paring den modstaringende sideAlle trekanter har saringledes tre hoslashjder og de skaeligrer hinanden i eacutet og samme punktI retvinklede trekanter falder to af hoslashjderne sammen med trekantens korte siderI stumpvinklede trekanter falder to af hoslashjderne uden for trekanten

Median

MedianMedianen er liniestykket fra en vinkelspids til midtpunktet af modstaringende sideAlle trekanter har naturligvis tre medianer og de skaeligrer hinanden i eacutet og samme punktBemaeligrk I ligesidede trekanter er hoslashjder medianer (foruden vinkelhalveringslinier og sidernes midtnormaler) i alle tilfaeliglde sammenfaldende

FLYTNINGSGEOMETRI SPEJLING

Side 17 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

1 Figuren (en trekant) skal spejles i den viste linie

2 Tegnetrekanten laeliggges paring saring dens lange side staringr vinkelret paring spejlingsaksen Maringl fra A paring trekanten afstanden ned til aksen og afsaeligt saring spejlbilledet af A lige saring langt paring den anden side (dette kan ogsaring goslashres praeligcist med en passer)

3 Gentag proceduren fra 2 med saring mange punkter som noslashdvendigt som noslashdvendigt ndash i dette tilfaeliglde trekantens tre vinkelspidser

4 Billedpunkterne (her trekantens vinkelspidser) forbindes og hele spejlbilledet tegnes

Vi bemaeligrker at figuren og dens spejlbillede ligger symmetrisk om spejlingsaksen Paring billede 4 herover ser vi at den rdquosamlede figurrdquo ved spejling i en saringdan symmetriakse netop foslashres over i sig selv (halvdelene rdquobytter pladsrdquo)

FLYTNINGSGEOMETRI DREJING

1 Figuren (en trekant) skal drejes 100ordm med uret omkring punktet F

Side 18 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

2 En cirkelbue tegnes med F som centrum og FA som radius Drejningsvinklen 100ordm afsaeligttes med F som top-punkt og FA paring vinkelmaringlerens 0-streg

3 Afsaeligt Arsquos billedpunkt og gentag herefter proceduren med saring mange punkter som noslashdvendigt ndash her trekantens tre vinkelspidser

4 Billedpunkterne (her trekantens vinkelspidser)

forbindes og hele drejebilledet tegnes

Vi bemaeligrker at det kun er omdrejningspunktet F der ikke flytter sig ved en drejning Et saringdant punkt kalder man et fixpunkt

FLYTNINGSGEOMETRI PARALLELFORSKYDNINGFor fuldstaeligndighedens skyld skal herunder beskrives metoden naringr man paring et rdquoblanktrdquo stykke papir skal foretage en parallelforskydning ndash en flytning hvor alle figurens punkter skubbes lige langt og i samme retning Det er dog en disciplin der hoslashrer hoslashjere klassetrin til naringr man saeligdvanligvis udfoslashrer parallelforskydning er der nemlig et kvadratnet eller et koordinatsystem at stoslashtte sig til ndash som vist nederst paring siden

Parallelforskydning af linie

Side 19 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Parallelforskydning af plan figur

Parallelforskydning af figur i kvadratnetOpgaven vil typisk vaeligre at forskyde den paringgaeligldende figur (her en firkant) i pilens laeligngde og retningVi ser at hele figuren hermed skal flyttes rdquoto tern hen fire tern oprdquo Imidlertid er det nok at flytte de fire vinkelspidser idet de jo tilsammen rdquodefinererrdquo den paringgaeligldende firkantEndnu nemmere vil det vaeligre naringr man udnytter at figur og billedfigur er kongruente Saring kan man noslashjes med at flytte eacutet punkt og herudfra tegne en ny figur magen til den gamle

AREAL OG AREALBEREGNINGAreal angiver stoslashrrelsen af en flade og maringles i antal kvadrater med sidelaeligngden 1 For eksempel cm2 (kvadratcentimeter) m2 (kvadratmeter) eller km2

(kvadratkilometer)Herunder en raeligkke eksempler paring formler til udregning af areal naringr der dels er tale om elementaeligre geometriske figurer dels om sammensatte figurer Laeligg ikke mindst maeligrke til hvad det er for egenskaber der definerer de forskellige typer firkanter

Side 20 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Sammensatte figurerArealet findes ved at opdele figuren i to eller flere kendte figurer og finde de enkelte figureres arealer hver for sig Specielt kan man finde arealet af trekanter tegnet i kvadratnet ved at finde de to retvinklede trekanters arealer og laeliggge dem sammen Oslashvelser

Find arealet af hver af trekanterne a ndash f ved at bruge metoden ovenfor 1 tern svarer til 1 cm2a ____ + ____ = ____ cm2

b ____ + ____ = ____ cm2

c ____ + ____ = ____ cm2

d ____ + ____ = ____ cm2

e ____ + ____ = ____ cm2

f ____ + ____ = ____ cm2

(OMSAEligTNING I) METERSYSTEMETForrdquonavnrdquo

Kilo Hekto Deka Enhed

Deci Centi Milli

Betyder 1000 100 10 1 110 = 01

1100 = 001

11000 = 0001

Forkortes

k h da d c m

Laeligngde km hm dam m dm cm mmMasse kg hg dag g dg cg mgRumfang

kl hl dal l dl cl ml

Ovenstaringende betyder for metersystemets laeligngdemaringl foslashlgende omsaeligtninger1m = 10 dm 1 dm = 10 cm

Side 21 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

1 m2 = 102 dm2 = 100 dm2 1 dm2 = 102 cm2 = 100 cm2

1m3 = 103 dm3 = 1000 dm3 1 dm3 = 103 cm3 = 1000 cm3

1m = 100 cm 1 cm = 10 mm1m2 = 1002 cm2 = 10000 cm2 1 cm2 = 102 mm2 =

100 mm2

1 m3 = 1003 cm3 = 1000000 cm3 1 cm3 = 103 mm3 = 1000 mm3

Omsaeligtning bliver endnu nemmere hvis man laeligrer denne remse udenadkilo ndash hekto ndash deka ndash (bum) ndash deci ndash centi ndash milli(um)Find den benaeligvnelse der skal omsaeligttes fra samt den benaeligvnelse der skal omsaeligttes til (rdquoBumrdquo svarer til henholdsvis meter gram og liter)Taeligl det antal pladser der er imellem de to benaeligvnelser og flyt kommaet samme antal pladser i samme retningHvis der er tale om flade- (for eksempel m2) eller rummaringl (for eksempel m3) skal man huske at gange antallet af pladser med 2 henholdsvis 3 foslashr kommaet flyttes det tilsvarende antal pladserEksempel 5 m2 skal omsaeligttes til cm2I tabellen herover findes rdquoenhedrdquo og der taeliglles hvor mange pladser der er hen til rdquocentirdquo 2 pladser til hoslashjre Da det er et flademaringl (areal) skal antallet af pladser ganges med 2 (2 middot 2 = 4) Kommaet flyttes 4 pladser til hoslashjre og altsaring 5m 2 = 50000 cm 2 Eksempel 100 dm3 skal omsaeligttes til m3I tabellen herover findes rdquodecirdquo og der taeliglles hvor mange pladser der er hen til rdquoenhedrdquo 1 plads til venstre Da det er et rummaringl skal antallet af pladser ganges med 3 (3 middot 1 = 3) Kommaet flyttes 3 pladser til venstre og altsaring 100 dm 3 = 01 m 3

MASSE RUMFANG OG MASSEFYLDEMed begrebet massefylde tangerer vi faget fysik Maringske vil enkelte kunne huske at vi med udgangspunkt i FAKTOR i syvendersquos rdquoHvad kan du maringlerdquo da ogsaring arbejdede tvaeligrfagligt med emnet ndash blandt andet med nedenstaringende opstillingsystematik

ILLUSTRATION METODE rdquoGENSTANDErdquo

Side 22 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Finde dimensioner +)

(rdquolaeligngde bredde hoslashjderdquo)Udregne med formler

rdquoRegulaeligrerdquo legemerTerninger kasser cylindre kugler

Finde genstandens opdrift ved nedsaelignkning i vandBenytte Arkimedesrsquo lov ++)

Mindre (uregelmaeligssige)legemerCementklump jernlod

Nedsaelignke i maringleglas (mm) med vandMaringle stigningen i vandstand

Smaring (uregelmaeligssige)legemer Bolte soslashm sten

+) FidusBrug den laeligngdemaringlsenhed der direkte giver facit i den oslashnskede rumfangsenhed

Laeligngdemaringl i Rummaringlvolumen i

Spri

ng

paring 1

0

m (meter) 1000 l (tusind liter) = 1 m3 (kubikmeter)

Spri

ng

paring 1

000

dm (decimeter) 1 l (liter) = 1 dm3 (kubikdecimeter)

cm (centimeter) 1 ml (milliliter) = 1cm3 (kubikcentimeter)

++) Arkimedesrsquo lovEn genstand der nedsaelignkes i vand taber lige saring meget i vaeliggt som massen af det vand genstanden fortraeligngerNaringr vi efter ovenstaringende rumfangsbestemmelser ogsaring har fundet den paringgaeligldende genstands masse er vi klar til at arbejde med

Massefylde (vaeliggtfylde) = masse rumfang (volumen)Massefylde angives i gcm3 kgdm3 eller tm3 Sammenhaeligngen mellem de tre variable kan opstilles i en formeltrekant (side 27) Hvis masse eller volumen er den ukendte stoslashrrelse faringr man imidlertid brug for en tabel over forskellige stoffers massefylde

ALGEBRAAlgebra er rdquobogstavregningrdquo Vi bruger algebra naringr vi skal vise at udregninger af og sammenhaelignge mellem forskellige stoslashrrelser gaeliglder for alle talvaeligrdier For algebra ndash men altsaring ogsaring for regnearbejdet med rdquoalmindeligerdquo tal - gaeliglder en raeligkke regler som det er noslashdvendigt at kende naringr vi reducerer ndash skriver paring kortere formRegne-hierarkiFoslashrst potenser og roslashdder saring parenteser saring gange og dividere ndash til sidst plus og minus

Side 23 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Eksempel 4 (3 + 2)2 10 + 8 = 4 52 10 + 8 = 4 25 10 + 8 = 100 10 + 8 = 10 + 8 = 18

Plusparentes- kan haeligves og saeligttes uden at leddene inde i parentesen skifter fortegnEksempel med bogstaver a + (b + c ndash d) = a + b + c ndashdEksempel med tal 9 + (2 + 4 ndash 3) = 9 + 2 + 4 ndash 3 = 12 (9 + 3 = 12)Minusparentes- naringr minusparentesen haeligves skifter leddene inde i parentesen fortegnEksempel med bogstaver a ndash (b + c ndash d) = a ndash b ndash c + dEksempel med tal 9 ndash (2 + 4 ndash 3) = 9 ndash 2 ndash 4 + 3 = 6 (9 ndash 3 = 6)

Flerleddede stoslashrrelserMan ganger en flerleddet stoslashrrelse med et tal ved at gange hvert af leddene med tallet Dette kalder vi den distributive lov (Distribuere ndash dele ud)Eksempel med bogstaver a middot (b + c) = ab + acEksempel med tal 2 middot (4 + 2) = 2 middot 4 + 2 middot 2 = 8 + 4 = 12 (2 middot 6 = 12)Man ganger ndash selvfoslashlgelig - to flerleddede stoslashrrelser med hinanden ved atEksempel med bogstaver (a + b) middot (c + d) = ac + ad + bc + bdEksempel med tal (2 + 3) middot (5 + 4) = 2 middot 5 + 2 middot 4 + 3 middot 5 + 3 middot 4 =

10 + 8 + 15 + 12 = 45 (5 middot 9 = 45)Man dividerer en flerleddet stoslashrrelse med et tal ved at dividere hvert af leddeneEksempel med bogstaver (a + b) c = a c + b cEksempel med tal (6 + 2) 2 = 6 2 + 2 2 = 3 + 1 = 4 (8 2 = 4)Specielle tilfaeliglde hvis begge parenteser rummer de samme tal ndash bortset fra fortegnrdquoKvadratet paring en toleddet sumrdquo (a + b)2 = a2 + b2 + 2abVis selv hvordan _________________________________________________________________rdquoKvadratet paring en toleddet diffferensrdquo (a - b)2 = a2 + b2 - 2abVis selv hvordan _________________________________________________________________rdquoTo tals sum gange de samme to tals differensrdquo (a + b)(a ndash b) = a2 - b2 Vis selv hvordan _________________________________________________________________

En praktisk anvendelse af ovenstaringende ndash hovedregning () i rdquoden store tabelrdquo19 middot 19 = (20 ndash 1)2 = 202 + 12 ndash 2 middot 20 middot 1 = 400 + 1 ndash 40 = 36123 middot 23 = (20 + 3)2 = 202 + 32 + 2 middot 20 middot 3 = 400 + 9 + 120 = 529

Hvis man ikke netop bliver bedt om at reducere bogstavudtryk kan arbejdet med algebra bestaring i at finde det paringgaeligldende udtryks stoslashrrelse naringr de indsaeligttes forskellige vaeligrdier i stedet for de rdquoubekendterdquo bogstaver Udfyld saringledes

x 3x x + 4 10 ndash x 2x + 4 -x + 34

Side 24 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

-4-125frac12-20

x y y 2 2x ndash 3y 3 104 148 250 15

Flere klasser har haft glaeligde af at udarbejde saringdanne opgaver i regneark Her gaeliglder det netop om at finde den almene formel som talvaeligrdierne bagefter kan indsaeligttes i

Opgaver Find selv de tilsvarende formler og indsaeligt dem i cellerne A2 B2 C2 D2 E2

og F2 rdquoTraeligk nedrdquo og laeligg maeligrke til om du faringr de samme resultater som vist i

dumprsquoet Indret endnu et regneark og opstil tabel plus formler ogsaring til det andet skema Regn nedenstaringende opgaver Deacutet er reduktion stil gerne op i Word som vist12a ndash 6(3 ndash a) + 8 = 12a ndash 18 + 6a + 8 = 18a ndash 1040 + 3(9 ndash x) + 6x =___________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________________________________

3a + 4(9 ndash 2a) ndash 6 + a =______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2(x + 4) ndash (x + 5) =______________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________

___________________________________________________________5(7y + 5) ndash frac12(50 + 10y)_________________________________________________________=

______________________________________________________________________________________________________________________

FORMLERSide 25 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Specielt finder vi ndash som allerede naeligvnt - en meget nyttig anvendelse af algebra ved opstilling af formler Her garingr opgaven jo netop ud paring at fastlaeliggge en sammenhaeligng mellem forskellige variable stoslashrrelser - ved hjaeliglp af alt andet end konkrete talvaeligrdier Forharingbentlig vil nedenstaringende eksempler vaeligkke en vis genkendelseSammenhaeligngen mellem vejlaeligngde hastighed og tid s = v middot tSammenhaeligngen mellem spaelignding modstand og stroslashmstyrke U = R middot ISammenhaeligngen mellem masse rumfang og massefylde (se ogsaring side 22) m = V middot dEn saringdan sammenhaeligng mellem tre stoslashrrelser kan med fordel illustreres ved hjaeliglp af nedenstaringende trekanter Man laeliggger fingeren over den variable man oslashnsker at finde ndash og den aktuelle omformning af formlen vil umiddelbart fremgaring Lodret linie betyder multiplikation vandret linie (broslashkstreg) betyder division

s m v t V d Vi kan ved algebraens hjaeliglp faktisk selv opstille formler som vi er kommet i tvivl om Hvad er formlen for udregning af hastighed Jo hastighed angives som meter per sekund (ms) eller kilometer per time (kmt) Den skraringstreg der erstatter rdquoperrdquo betyder egentlig division - og dermed har vi den generelle formelHastighed = vejlaeligngde divideret med tid Med ovenstaringende betegnelser v = s t Andre formlerDe fleste formler (og vi bruger dem ofte) kan slarings op i forskellige formelsamlinger Hvis man ikke vil noslashjes med den udgave der er aftrykt i FAKTOR kan den rdquoofficiellerdquo formelsamling til brug for afgangsproslashverne nedlades () fra wwwuvmdk ndash eller man kan (eventuelt paring klassebasis) investere i forlaget degne-distribs tilsvarende rdquomatematiske formler og tabellerrdquo Den koster ikke meget ndash og saring har man lov til at goslashre notater To saeligt formler som vist nok ikke findes andetsteds og som flere klasser har arbejdet en del med skal imidlertid anfoslashres til slut Det drejer sig om

Fremmed valuta Aktier og obligationerDKK = (Valuta 100) middot Kurs Pris = (Paringlydende 100) middot Kurs

(kr) Valuta = (DKK Kurs) middot 100 Paringlydende = (Pris Kurs) middot 100

(kr)Kurs = (DKK Valuta) middot 100 Kurs = (Pris Paringlydende) middot 100 Opgavera) Kurs 120 Paringlydende 100 kroner Hvor mange aktier kan du koslashbe for 60000 kronerb) Hvor mange norske kroner kan du faring for 2000 danske kroner naringr kursen er 8378c) Hvor meget koster 1700 Euro til kurs 74492

LOslashSNING AF LIGNINGERSide 26 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Vinkelstoslashrrelser i trekanterAlt efter vinkelstoslashrrelser deles trekanter efter omstaringende ind i tre hovedtyperSpidsvinklede trekanter Den stoslashrste vinkel er mindre end 90 ordm Retvinklede trekanter Den stoslashrste vinkel er netop lig 90 ordmStumpvinklede trekanter Den stoslashrste vinkel er stoslashrre end 90 ordm

rdquoSpeciellerdquo trekanterTrekanter der har to lige lange sider kaldes ligebenede trekanter Saringdanne trekanter har ogsaring to lige store vinkler (vinklerne ved grundlinien) Trekanter der har tre lige lange sider kaldes ligesidede trekanter Alle tre vinkler i saringdanne trekanter har samme stoslashrrelse nemlig 60 ordm

HoslashjdeHoslashjden i en trekant er liniestykket fra en vinkelspids vinkelret paring den modstaringende sideAlle trekanter har saringledes tre hoslashjder og de skaeligrer hinanden i eacutet og samme punktI retvinklede trekanter falder to af hoslashjderne sammen med trekantens korte siderI stumpvinklede trekanter falder to af hoslashjderne uden for trekanten

Median

MedianMedianen er liniestykket fra en vinkelspids til midtpunktet af modstaringende sideAlle trekanter har naturligvis tre medianer og de skaeligrer hinanden i eacutet og samme punktBemaeligrk I ligesidede trekanter er hoslashjder medianer (foruden vinkelhalveringslinier og sidernes midtnormaler) i alle tilfaeliglde sammenfaldende

FLYTNINGSGEOMETRI SPEJLING

Side 17 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

1 Figuren (en trekant) skal spejles i den viste linie

2 Tegnetrekanten laeliggges paring saring dens lange side staringr vinkelret paring spejlingsaksen Maringl fra A paring trekanten afstanden ned til aksen og afsaeligt saring spejlbilledet af A lige saring langt paring den anden side (dette kan ogsaring goslashres praeligcist med en passer)

3 Gentag proceduren fra 2 med saring mange punkter som noslashdvendigt som noslashdvendigt ndash i dette tilfaeliglde trekantens tre vinkelspidser

4 Billedpunkterne (her trekantens vinkelspidser) forbindes og hele spejlbilledet tegnes

Vi bemaeligrker at figuren og dens spejlbillede ligger symmetrisk om spejlingsaksen Paring billede 4 herover ser vi at den rdquosamlede figurrdquo ved spejling i en saringdan symmetriakse netop foslashres over i sig selv (halvdelene rdquobytter pladsrdquo)

FLYTNINGSGEOMETRI DREJING

1 Figuren (en trekant) skal drejes 100ordm med uret omkring punktet F

Side 18 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

2 En cirkelbue tegnes med F som centrum og FA som radius Drejningsvinklen 100ordm afsaeligttes med F som top-punkt og FA paring vinkelmaringlerens 0-streg

3 Afsaeligt Arsquos billedpunkt og gentag herefter proceduren med saring mange punkter som noslashdvendigt ndash her trekantens tre vinkelspidser

4 Billedpunkterne (her trekantens vinkelspidser)

forbindes og hele drejebilledet tegnes

Vi bemaeligrker at det kun er omdrejningspunktet F der ikke flytter sig ved en drejning Et saringdant punkt kalder man et fixpunkt

FLYTNINGSGEOMETRI PARALLELFORSKYDNINGFor fuldstaeligndighedens skyld skal herunder beskrives metoden naringr man paring et rdquoblanktrdquo stykke papir skal foretage en parallelforskydning ndash en flytning hvor alle figurens punkter skubbes lige langt og i samme retning Det er dog en disciplin der hoslashrer hoslashjere klassetrin til naringr man saeligdvanligvis udfoslashrer parallelforskydning er der nemlig et kvadratnet eller et koordinatsystem at stoslashtte sig til ndash som vist nederst paring siden

Parallelforskydning af linie

Side 19 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Parallelforskydning af plan figur

Parallelforskydning af figur i kvadratnetOpgaven vil typisk vaeligre at forskyde den paringgaeligldende figur (her en firkant) i pilens laeligngde og retningVi ser at hele figuren hermed skal flyttes rdquoto tern hen fire tern oprdquo Imidlertid er det nok at flytte de fire vinkelspidser idet de jo tilsammen rdquodefinererrdquo den paringgaeligldende firkantEndnu nemmere vil det vaeligre naringr man udnytter at figur og billedfigur er kongruente Saring kan man noslashjes med at flytte eacutet punkt og herudfra tegne en ny figur magen til den gamle

AREAL OG AREALBEREGNINGAreal angiver stoslashrrelsen af en flade og maringles i antal kvadrater med sidelaeligngden 1 For eksempel cm2 (kvadratcentimeter) m2 (kvadratmeter) eller km2

(kvadratkilometer)Herunder en raeligkke eksempler paring formler til udregning af areal naringr der dels er tale om elementaeligre geometriske figurer dels om sammensatte figurer Laeligg ikke mindst maeligrke til hvad det er for egenskaber der definerer de forskellige typer firkanter

Side 20 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Sammensatte figurerArealet findes ved at opdele figuren i to eller flere kendte figurer og finde de enkelte figureres arealer hver for sig Specielt kan man finde arealet af trekanter tegnet i kvadratnet ved at finde de to retvinklede trekanters arealer og laeliggge dem sammen Oslashvelser

Find arealet af hver af trekanterne a ndash f ved at bruge metoden ovenfor 1 tern svarer til 1 cm2a ____ + ____ = ____ cm2

b ____ + ____ = ____ cm2

c ____ + ____ = ____ cm2

d ____ + ____ = ____ cm2

e ____ + ____ = ____ cm2

f ____ + ____ = ____ cm2

(OMSAEligTNING I) METERSYSTEMETForrdquonavnrdquo

Kilo Hekto Deka Enhed

Deci Centi Milli

Betyder 1000 100 10 1 110 = 01

1100 = 001

11000 = 0001

Forkortes

k h da d c m

Laeligngde km hm dam m dm cm mmMasse kg hg dag g dg cg mgRumfang

kl hl dal l dl cl ml

Ovenstaringende betyder for metersystemets laeligngdemaringl foslashlgende omsaeligtninger1m = 10 dm 1 dm = 10 cm

Side 21 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

1 m2 = 102 dm2 = 100 dm2 1 dm2 = 102 cm2 = 100 cm2

1m3 = 103 dm3 = 1000 dm3 1 dm3 = 103 cm3 = 1000 cm3

1m = 100 cm 1 cm = 10 mm1m2 = 1002 cm2 = 10000 cm2 1 cm2 = 102 mm2 =

100 mm2

1 m3 = 1003 cm3 = 1000000 cm3 1 cm3 = 103 mm3 = 1000 mm3

Omsaeligtning bliver endnu nemmere hvis man laeligrer denne remse udenadkilo ndash hekto ndash deka ndash (bum) ndash deci ndash centi ndash milli(um)Find den benaeligvnelse der skal omsaeligttes fra samt den benaeligvnelse der skal omsaeligttes til (rdquoBumrdquo svarer til henholdsvis meter gram og liter)Taeligl det antal pladser der er imellem de to benaeligvnelser og flyt kommaet samme antal pladser i samme retningHvis der er tale om flade- (for eksempel m2) eller rummaringl (for eksempel m3) skal man huske at gange antallet af pladser med 2 henholdsvis 3 foslashr kommaet flyttes det tilsvarende antal pladserEksempel 5 m2 skal omsaeligttes til cm2I tabellen herover findes rdquoenhedrdquo og der taeliglles hvor mange pladser der er hen til rdquocentirdquo 2 pladser til hoslashjre Da det er et flademaringl (areal) skal antallet af pladser ganges med 2 (2 middot 2 = 4) Kommaet flyttes 4 pladser til hoslashjre og altsaring 5m 2 = 50000 cm 2 Eksempel 100 dm3 skal omsaeligttes til m3I tabellen herover findes rdquodecirdquo og der taeliglles hvor mange pladser der er hen til rdquoenhedrdquo 1 plads til venstre Da det er et rummaringl skal antallet af pladser ganges med 3 (3 middot 1 = 3) Kommaet flyttes 3 pladser til venstre og altsaring 100 dm 3 = 01 m 3

MASSE RUMFANG OG MASSEFYLDEMed begrebet massefylde tangerer vi faget fysik Maringske vil enkelte kunne huske at vi med udgangspunkt i FAKTOR i syvendersquos rdquoHvad kan du maringlerdquo da ogsaring arbejdede tvaeligrfagligt med emnet ndash blandt andet med nedenstaringende opstillingsystematik

ILLUSTRATION METODE rdquoGENSTANDErdquo

Side 22 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Finde dimensioner +)

(rdquolaeligngde bredde hoslashjderdquo)Udregne med formler

rdquoRegulaeligrerdquo legemerTerninger kasser cylindre kugler

Finde genstandens opdrift ved nedsaelignkning i vandBenytte Arkimedesrsquo lov ++)

Mindre (uregelmaeligssige)legemerCementklump jernlod

Nedsaelignke i maringleglas (mm) med vandMaringle stigningen i vandstand

Smaring (uregelmaeligssige)legemer Bolte soslashm sten

+) FidusBrug den laeligngdemaringlsenhed der direkte giver facit i den oslashnskede rumfangsenhed

Laeligngdemaringl i Rummaringlvolumen i

Spri

ng

paring 1

0

m (meter) 1000 l (tusind liter) = 1 m3 (kubikmeter)

Spri

ng

paring 1

000

dm (decimeter) 1 l (liter) = 1 dm3 (kubikdecimeter)

cm (centimeter) 1 ml (milliliter) = 1cm3 (kubikcentimeter)

++) Arkimedesrsquo lovEn genstand der nedsaelignkes i vand taber lige saring meget i vaeliggt som massen af det vand genstanden fortraeligngerNaringr vi efter ovenstaringende rumfangsbestemmelser ogsaring har fundet den paringgaeligldende genstands masse er vi klar til at arbejde med

Massefylde (vaeliggtfylde) = masse rumfang (volumen)Massefylde angives i gcm3 kgdm3 eller tm3 Sammenhaeligngen mellem de tre variable kan opstilles i en formeltrekant (side 27) Hvis masse eller volumen er den ukendte stoslashrrelse faringr man imidlertid brug for en tabel over forskellige stoffers massefylde

ALGEBRAAlgebra er rdquobogstavregningrdquo Vi bruger algebra naringr vi skal vise at udregninger af og sammenhaelignge mellem forskellige stoslashrrelser gaeliglder for alle talvaeligrdier For algebra ndash men altsaring ogsaring for regnearbejdet med rdquoalmindeligerdquo tal - gaeliglder en raeligkke regler som det er noslashdvendigt at kende naringr vi reducerer ndash skriver paring kortere formRegne-hierarkiFoslashrst potenser og roslashdder saring parenteser saring gange og dividere ndash til sidst plus og minus

Side 23 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Eksempel 4 (3 + 2)2 10 + 8 = 4 52 10 + 8 = 4 25 10 + 8 = 100 10 + 8 = 10 + 8 = 18

Plusparentes- kan haeligves og saeligttes uden at leddene inde i parentesen skifter fortegnEksempel med bogstaver a + (b + c ndash d) = a + b + c ndashdEksempel med tal 9 + (2 + 4 ndash 3) = 9 + 2 + 4 ndash 3 = 12 (9 + 3 = 12)Minusparentes- naringr minusparentesen haeligves skifter leddene inde i parentesen fortegnEksempel med bogstaver a ndash (b + c ndash d) = a ndash b ndash c + dEksempel med tal 9 ndash (2 + 4 ndash 3) = 9 ndash 2 ndash 4 + 3 = 6 (9 ndash 3 = 6)

Flerleddede stoslashrrelserMan ganger en flerleddet stoslashrrelse med et tal ved at gange hvert af leddene med tallet Dette kalder vi den distributive lov (Distribuere ndash dele ud)Eksempel med bogstaver a middot (b + c) = ab + acEksempel med tal 2 middot (4 + 2) = 2 middot 4 + 2 middot 2 = 8 + 4 = 12 (2 middot 6 = 12)Man ganger ndash selvfoslashlgelig - to flerleddede stoslashrrelser med hinanden ved atEksempel med bogstaver (a + b) middot (c + d) = ac + ad + bc + bdEksempel med tal (2 + 3) middot (5 + 4) = 2 middot 5 + 2 middot 4 + 3 middot 5 + 3 middot 4 =

10 + 8 + 15 + 12 = 45 (5 middot 9 = 45)Man dividerer en flerleddet stoslashrrelse med et tal ved at dividere hvert af leddeneEksempel med bogstaver (a + b) c = a c + b cEksempel med tal (6 + 2) 2 = 6 2 + 2 2 = 3 + 1 = 4 (8 2 = 4)Specielle tilfaeliglde hvis begge parenteser rummer de samme tal ndash bortset fra fortegnrdquoKvadratet paring en toleddet sumrdquo (a + b)2 = a2 + b2 + 2abVis selv hvordan _________________________________________________________________rdquoKvadratet paring en toleddet diffferensrdquo (a - b)2 = a2 + b2 - 2abVis selv hvordan _________________________________________________________________rdquoTo tals sum gange de samme to tals differensrdquo (a + b)(a ndash b) = a2 - b2 Vis selv hvordan _________________________________________________________________

En praktisk anvendelse af ovenstaringende ndash hovedregning () i rdquoden store tabelrdquo19 middot 19 = (20 ndash 1)2 = 202 + 12 ndash 2 middot 20 middot 1 = 400 + 1 ndash 40 = 36123 middot 23 = (20 + 3)2 = 202 + 32 + 2 middot 20 middot 3 = 400 + 9 + 120 = 529

Hvis man ikke netop bliver bedt om at reducere bogstavudtryk kan arbejdet med algebra bestaring i at finde det paringgaeligldende udtryks stoslashrrelse naringr de indsaeligttes forskellige vaeligrdier i stedet for de rdquoubekendterdquo bogstaver Udfyld saringledes

x 3x x + 4 10 ndash x 2x + 4 -x + 34

Side 24 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

-4-125frac12-20

x y y 2 2x ndash 3y 3 104 148 250 15

Flere klasser har haft glaeligde af at udarbejde saringdanne opgaver i regneark Her gaeliglder det netop om at finde den almene formel som talvaeligrdierne bagefter kan indsaeligttes i

Opgaver Find selv de tilsvarende formler og indsaeligt dem i cellerne A2 B2 C2 D2 E2

og F2 rdquoTraeligk nedrdquo og laeligg maeligrke til om du faringr de samme resultater som vist i

dumprsquoet Indret endnu et regneark og opstil tabel plus formler ogsaring til det andet skema Regn nedenstaringende opgaver Deacutet er reduktion stil gerne op i Word som vist12a ndash 6(3 ndash a) + 8 = 12a ndash 18 + 6a + 8 = 18a ndash 1040 + 3(9 ndash x) + 6x =___________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________________________________

3a + 4(9 ndash 2a) ndash 6 + a =______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2(x + 4) ndash (x + 5) =______________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________

___________________________________________________________5(7y + 5) ndash frac12(50 + 10y)_________________________________________________________=

______________________________________________________________________________________________________________________

FORMLERSide 25 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Specielt finder vi ndash som allerede naeligvnt - en meget nyttig anvendelse af algebra ved opstilling af formler Her garingr opgaven jo netop ud paring at fastlaeliggge en sammenhaeligng mellem forskellige variable stoslashrrelser - ved hjaeliglp af alt andet end konkrete talvaeligrdier Forharingbentlig vil nedenstaringende eksempler vaeligkke en vis genkendelseSammenhaeligngen mellem vejlaeligngde hastighed og tid s = v middot tSammenhaeligngen mellem spaelignding modstand og stroslashmstyrke U = R middot ISammenhaeligngen mellem masse rumfang og massefylde (se ogsaring side 22) m = V middot dEn saringdan sammenhaeligng mellem tre stoslashrrelser kan med fordel illustreres ved hjaeliglp af nedenstaringende trekanter Man laeliggger fingeren over den variable man oslashnsker at finde ndash og den aktuelle omformning af formlen vil umiddelbart fremgaring Lodret linie betyder multiplikation vandret linie (broslashkstreg) betyder division

s m v t V d Vi kan ved algebraens hjaeliglp faktisk selv opstille formler som vi er kommet i tvivl om Hvad er formlen for udregning af hastighed Jo hastighed angives som meter per sekund (ms) eller kilometer per time (kmt) Den skraringstreg der erstatter rdquoperrdquo betyder egentlig division - og dermed har vi den generelle formelHastighed = vejlaeligngde divideret med tid Med ovenstaringende betegnelser v = s t Andre formlerDe fleste formler (og vi bruger dem ofte) kan slarings op i forskellige formelsamlinger Hvis man ikke vil noslashjes med den udgave der er aftrykt i FAKTOR kan den rdquoofficiellerdquo formelsamling til brug for afgangsproslashverne nedlades () fra wwwuvmdk ndash eller man kan (eventuelt paring klassebasis) investere i forlaget degne-distribs tilsvarende rdquomatematiske formler og tabellerrdquo Den koster ikke meget ndash og saring har man lov til at goslashre notater To saeligt formler som vist nok ikke findes andetsteds og som flere klasser har arbejdet en del med skal imidlertid anfoslashres til slut Det drejer sig om

Fremmed valuta Aktier og obligationerDKK = (Valuta 100) middot Kurs Pris = (Paringlydende 100) middot Kurs

(kr) Valuta = (DKK Kurs) middot 100 Paringlydende = (Pris Kurs) middot 100

(kr)Kurs = (DKK Valuta) middot 100 Kurs = (Pris Paringlydende) middot 100 Opgavera) Kurs 120 Paringlydende 100 kroner Hvor mange aktier kan du koslashbe for 60000 kronerb) Hvor mange norske kroner kan du faring for 2000 danske kroner naringr kursen er 8378c) Hvor meget koster 1700 Euro til kurs 74492

LOslashSNING AF LIGNINGERSide 26 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

1 Figuren (en trekant) skal spejles i den viste linie

2 Tegnetrekanten laeliggges paring saring dens lange side staringr vinkelret paring spejlingsaksen Maringl fra A paring trekanten afstanden ned til aksen og afsaeligt saring spejlbilledet af A lige saring langt paring den anden side (dette kan ogsaring goslashres praeligcist med en passer)

3 Gentag proceduren fra 2 med saring mange punkter som noslashdvendigt som noslashdvendigt ndash i dette tilfaeliglde trekantens tre vinkelspidser

4 Billedpunkterne (her trekantens vinkelspidser) forbindes og hele spejlbilledet tegnes

Vi bemaeligrker at figuren og dens spejlbillede ligger symmetrisk om spejlingsaksen Paring billede 4 herover ser vi at den rdquosamlede figurrdquo ved spejling i en saringdan symmetriakse netop foslashres over i sig selv (halvdelene rdquobytter pladsrdquo)

FLYTNINGSGEOMETRI DREJING

1 Figuren (en trekant) skal drejes 100ordm med uret omkring punktet F

Side 18 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

2 En cirkelbue tegnes med F som centrum og FA som radius Drejningsvinklen 100ordm afsaeligttes med F som top-punkt og FA paring vinkelmaringlerens 0-streg

3 Afsaeligt Arsquos billedpunkt og gentag herefter proceduren med saring mange punkter som noslashdvendigt ndash her trekantens tre vinkelspidser

4 Billedpunkterne (her trekantens vinkelspidser)

forbindes og hele drejebilledet tegnes

Vi bemaeligrker at det kun er omdrejningspunktet F der ikke flytter sig ved en drejning Et saringdant punkt kalder man et fixpunkt

FLYTNINGSGEOMETRI PARALLELFORSKYDNINGFor fuldstaeligndighedens skyld skal herunder beskrives metoden naringr man paring et rdquoblanktrdquo stykke papir skal foretage en parallelforskydning ndash en flytning hvor alle figurens punkter skubbes lige langt og i samme retning Det er dog en disciplin der hoslashrer hoslashjere klassetrin til naringr man saeligdvanligvis udfoslashrer parallelforskydning er der nemlig et kvadratnet eller et koordinatsystem at stoslashtte sig til ndash som vist nederst paring siden

Parallelforskydning af linie

Side 19 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Parallelforskydning af plan figur

Parallelforskydning af figur i kvadratnetOpgaven vil typisk vaeligre at forskyde den paringgaeligldende figur (her en firkant) i pilens laeligngde og retningVi ser at hele figuren hermed skal flyttes rdquoto tern hen fire tern oprdquo Imidlertid er det nok at flytte de fire vinkelspidser idet de jo tilsammen rdquodefinererrdquo den paringgaeligldende firkantEndnu nemmere vil det vaeligre naringr man udnytter at figur og billedfigur er kongruente Saring kan man noslashjes med at flytte eacutet punkt og herudfra tegne en ny figur magen til den gamle

AREAL OG AREALBEREGNINGAreal angiver stoslashrrelsen af en flade og maringles i antal kvadrater med sidelaeligngden 1 For eksempel cm2 (kvadratcentimeter) m2 (kvadratmeter) eller km2

(kvadratkilometer)Herunder en raeligkke eksempler paring formler til udregning af areal naringr der dels er tale om elementaeligre geometriske figurer dels om sammensatte figurer Laeligg ikke mindst maeligrke til hvad det er for egenskaber der definerer de forskellige typer firkanter

Side 20 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Sammensatte figurerArealet findes ved at opdele figuren i to eller flere kendte figurer og finde de enkelte figureres arealer hver for sig Specielt kan man finde arealet af trekanter tegnet i kvadratnet ved at finde de to retvinklede trekanters arealer og laeliggge dem sammen Oslashvelser

Find arealet af hver af trekanterne a ndash f ved at bruge metoden ovenfor 1 tern svarer til 1 cm2a ____ + ____ = ____ cm2

b ____ + ____ = ____ cm2

c ____ + ____ = ____ cm2

d ____ + ____ = ____ cm2

e ____ + ____ = ____ cm2

f ____ + ____ = ____ cm2

(OMSAEligTNING I) METERSYSTEMETForrdquonavnrdquo

Kilo Hekto Deka Enhed

Deci Centi Milli

Betyder 1000 100 10 1 110 = 01

1100 = 001

11000 = 0001

Forkortes

k h da d c m

Laeligngde km hm dam m dm cm mmMasse kg hg dag g dg cg mgRumfang

kl hl dal l dl cl ml

Ovenstaringende betyder for metersystemets laeligngdemaringl foslashlgende omsaeligtninger1m = 10 dm 1 dm = 10 cm

Side 21 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

1 m2 = 102 dm2 = 100 dm2 1 dm2 = 102 cm2 = 100 cm2

1m3 = 103 dm3 = 1000 dm3 1 dm3 = 103 cm3 = 1000 cm3

1m = 100 cm 1 cm = 10 mm1m2 = 1002 cm2 = 10000 cm2 1 cm2 = 102 mm2 =

100 mm2

1 m3 = 1003 cm3 = 1000000 cm3 1 cm3 = 103 mm3 = 1000 mm3

Omsaeligtning bliver endnu nemmere hvis man laeligrer denne remse udenadkilo ndash hekto ndash deka ndash (bum) ndash deci ndash centi ndash milli(um)Find den benaeligvnelse der skal omsaeligttes fra samt den benaeligvnelse der skal omsaeligttes til (rdquoBumrdquo svarer til henholdsvis meter gram og liter)Taeligl det antal pladser der er imellem de to benaeligvnelser og flyt kommaet samme antal pladser i samme retningHvis der er tale om flade- (for eksempel m2) eller rummaringl (for eksempel m3) skal man huske at gange antallet af pladser med 2 henholdsvis 3 foslashr kommaet flyttes det tilsvarende antal pladserEksempel 5 m2 skal omsaeligttes til cm2I tabellen herover findes rdquoenhedrdquo og der taeliglles hvor mange pladser der er hen til rdquocentirdquo 2 pladser til hoslashjre Da det er et flademaringl (areal) skal antallet af pladser ganges med 2 (2 middot 2 = 4) Kommaet flyttes 4 pladser til hoslashjre og altsaring 5m 2 = 50000 cm 2 Eksempel 100 dm3 skal omsaeligttes til m3I tabellen herover findes rdquodecirdquo og der taeliglles hvor mange pladser der er hen til rdquoenhedrdquo 1 plads til venstre Da det er et rummaringl skal antallet af pladser ganges med 3 (3 middot 1 = 3) Kommaet flyttes 3 pladser til venstre og altsaring 100 dm 3 = 01 m 3

MASSE RUMFANG OG MASSEFYLDEMed begrebet massefylde tangerer vi faget fysik Maringske vil enkelte kunne huske at vi med udgangspunkt i FAKTOR i syvendersquos rdquoHvad kan du maringlerdquo da ogsaring arbejdede tvaeligrfagligt med emnet ndash blandt andet med nedenstaringende opstillingsystematik

ILLUSTRATION METODE rdquoGENSTANDErdquo

Side 22 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Finde dimensioner +)

(rdquolaeligngde bredde hoslashjderdquo)Udregne med formler

rdquoRegulaeligrerdquo legemerTerninger kasser cylindre kugler

Finde genstandens opdrift ved nedsaelignkning i vandBenytte Arkimedesrsquo lov ++)

Mindre (uregelmaeligssige)legemerCementklump jernlod

Nedsaelignke i maringleglas (mm) med vandMaringle stigningen i vandstand

Smaring (uregelmaeligssige)legemer Bolte soslashm sten

+) FidusBrug den laeligngdemaringlsenhed der direkte giver facit i den oslashnskede rumfangsenhed

Laeligngdemaringl i Rummaringlvolumen i

Spri

ng

paring 1

0

m (meter) 1000 l (tusind liter) = 1 m3 (kubikmeter)

Spri

ng

paring 1

000

dm (decimeter) 1 l (liter) = 1 dm3 (kubikdecimeter)

cm (centimeter) 1 ml (milliliter) = 1cm3 (kubikcentimeter)

++) Arkimedesrsquo lovEn genstand der nedsaelignkes i vand taber lige saring meget i vaeliggt som massen af det vand genstanden fortraeligngerNaringr vi efter ovenstaringende rumfangsbestemmelser ogsaring har fundet den paringgaeligldende genstands masse er vi klar til at arbejde med

Massefylde (vaeliggtfylde) = masse rumfang (volumen)Massefylde angives i gcm3 kgdm3 eller tm3 Sammenhaeligngen mellem de tre variable kan opstilles i en formeltrekant (side 27) Hvis masse eller volumen er den ukendte stoslashrrelse faringr man imidlertid brug for en tabel over forskellige stoffers massefylde

ALGEBRAAlgebra er rdquobogstavregningrdquo Vi bruger algebra naringr vi skal vise at udregninger af og sammenhaelignge mellem forskellige stoslashrrelser gaeliglder for alle talvaeligrdier For algebra ndash men altsaring ogsaring for regnearbejdet med rdquoalmindeligerdquo tal - gaeliglder en raeligkke regler som det er noslashdvendigt at kende naringr vi reducerer ndash skriver paring kortere formRegne-hierarkiFoslashrst potenser og roslashdder saring parenteser saring gange og dividere ndash til sidst plus og minus

Side 23 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Eksempel 4 (3 + 2)2 10 + 8 = 4 52 10 + 8 = 4 25 10 + 8 = 100 10 + 8 = 10 + 8 = 18

Plusparentes- kan haeligves og saeligttes uden at leddene inde i parentesen skifter fortegnEksempel med bogstaver a + (b + c ndash d) = a + b + c ndashdEksempel med tal 9 + (2 + 4 ndash 3) = 9 + 2 + 4 ndash 3 = 12 (9 + 3 = 12)Minusparentes- naringr minusparentesen haeligves skifter leddene inde i parentesen fortegnEksempel med bogstaver a ndash (b + c ndash d) = a ndash b ndash c + dEksempel med tal 9 ndash (2 + 4 ndash 3) = 9 ndash 2 ndash 4 + 3 = 6 (9 ndash 3 = 6)

Flerleddede stoslashrrelserMan ganger en flerleddet stoslashrrelse med et tal ved at gange hvert af leddene med tallet Dette kalder vi den distributive lov (Distribuere ndash dele ud)Eksempel med bogstaver a middot (b + c) = ab + acEksempel med tal 2 middot (4 + 2) = 2 middot 4 + 2 middot 2 = 8 + 4 = 12 (2 middot 6 = 12)Man ganger ndash selvfoslashlgelig - to flerleddede stoslashrrelser med hinanden ved atEksempel med bogstaver (a + b) middot (c + d) = ac + ad + bc + bdEksempel med tal (2 + 3) middot (5 + 4) = 2 middot 5 + 2 middot 4 + 3 middot 5 + 3 middot 4 =

10 + 8 + 15 + 12 = 45 (5 middot 9 = 45)Man dividerer en flerleddet stoslashrrelse med et tal ved at dividere hvert af leddeneEksempel med bogstaver (a + b) c = a c + b cEksempel med tal (6 + 2) 2 = 6 2 + 2 2 = 3 + 1 = 4 (8 2 = 4)Specielle tilfaeliglde hvis begge parenteser rummer de samme tal ndash bortset fra fortegnrdquoKvadratet paring en toleddet sumrdquo (a + b)2 = a2 + b2 + 2abVis selv hvordan _________________________________________________________________rdquoKvadratet paring en toleddet diffferensrdquo (a - b)2 = a2 + b2 - 2abVis selv hvordan _________________________________________________________________rdquoTo tals sum gange de samme to tals differensrdquo (a + b)(a ndash b) = a2 - b2 Vis selv hvordan _________________________________________________________________

En praktisk anvendelse af ovenstaringende ndash hovedregning () i rdquoden store tabelrdquo19 middot 19 = (20 ndash 1)2 = 202 + 12 ndash 2 middot 20 middot 1 = 400 + 1 ndash 40 = 36123 middot 23 = (20 + 3)2 = 202 + 32 + 2 middot 20 middot 3 = 400 + 9 + 120 = 529

Hvis man ikke netop bliver bedt om at reducere bogstavudtryk kan arbejdet med algebra bestaring i at finde det paringgaeligldende udtryks stoslashrrelse naringr de indsaeligttes forskellige vaeligrdier i stedet for de rdquoubekendterdquo bogstaver Udfyld saringledes

x 3x x + 4 10 ndash x 2x + 4 -x + 34

Side 24 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

-4-125frac12-20

x y y 2 2x ndash 3y 3 104 148 250 15

Flere klasser har haft glaeligde af at udarbejde saringdanne opgaver i regneark Her gaeliglder det netop om at finde den almene formel som talvaeligrdierne bagefter kan indsaeligttes i

Opgaver Find selv de tilsvarende formler og indsaeligt dem i cellerne A2 B2 C2 D2 E2

og F2 rdquoTraeligk nedrdquo og laeligg maeligrke til om du faringr de samme resultater som vist i

dumprsquoet Indret endnu et regneark og opstil tabel plus formler ogsaring til det andet skema Regn nedenstaringende opgaver Deacutet er reduktion stil gerne op i Word som vist12a ndash 6(3 ndash a) + 8 = 12a ndash 18 + 6a + 8 = 18a ndash 1040 + 3(9 ndash x) + 6x =___________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________________________________

3a + 4(9 ndash 2a) ndash 6 + a =______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2(x + 4) ndash (x + 5) =______________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________

___________________________________________________________5(7y + 5) ndash frac12(50 + 10y)_________________________________________________________=

______________________________________________________________________________________________________________________

FORMLERSide 25 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Specielt finder vi ndash som allerede naeligvnt - en meget nyttig anvendelse af algebra ved opstilling af formler Her garingr opgaven jo netop ud paring at fastlaeliggge en sammenhaeligng mellem forskellige variable stoslashrrelser - ved hjaeliglp af alt andet end konkrete talvaeligrdier Forharingbentlig vil nedenstaringende eksempler vaeligkke en vis genkendelseSammenhaeligngen mellem vejlaeligngde hastighed og tid s = v middot tSammenhaeligngen mellem spaelignding modstand og stroslashmstyrke U = R middot ISammenhaeligngen mellem masse rumfang og massefylde (se ogsaring side 22) m = V middot dEn saringdan sammenhaeligng mellem tre stoslashrrelser kan med fordel illustreres ved hjaeliglp af nedenstaringende trekanter Man laeliggger fingeren over den variable man oslashnsker at finde ndash og den aktuelle omformning af formlen vil umiddelbart fremgaring Lodret linie betyder multiplikation vandret linie (broslashkstreg) betyder division

s m v t V d Vi kan ved algebraens hjaeliglp faktisk selv opstille formler som vi er kommet i tvivl om Hvad er formlen for udregning af hastighed Jo hastighed angives som meter per sekund (ms) eller kilometer per time (kmt) Den skraringstreg der erstatter rdquoperrdquo betyder egentlig division - og dermed har vi den generelle formelHastighed = vejlaeligngde divideret med tid Med ovenstaringende betegnelser v = s t Andre formlerDe fleste formler (og vi bruger dem ofte) kan slarings op i forskellige formelsamlinger Hvis man ikke vil noslashjes med den udgave der er aftrykt i FAKTOR kan den rdquoofficiellerdquo formelsamling til brug for afgangsproslashverne nedlades () fra wwwuvmdk ndash eller man kan (eventuelt paring klassebasis) investere i forlaget degne-distribs tilsvarende rdquomatematiske formler og tabellerrdquo Den koster ikke meget ndash og saring har man lov til at goslashre notater To saeligt formler som vist nok ikke findes andetsteds og som flere klasser har arbejdet en del med skal imidlertid anfoslashres til slut Det drejer sig om

Fremmed valuta Aktier og obligationerDKK = (Valuta 100) middot Kurs Pris = (Paringlydende 100) middot Kurs

(kr) Valuta = (DKK Kurs) middot 100 Paringlydende = (Pris Kurs) middot 100

(kr)Kurs = (DKK Valuta) middot 100 Kurs = (Pris Paringlydende) middot 100 Opgavera) Kurs 120 Paringlydende 100 kroner Hvor mange aktier kan du koslashbe for 60000 kronerb) Hvor mange norske kroner kan du faring for 2000 danske kroner naringr kursen er 8378c) Hvor meget koster 1700 Euro til kurs 74492

LOslashSNING AF LIGNINGERSide 26 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

2 En cirkelbue tegnes med F som centrum og FA som radius Drejningsvinklen 100ordm afsaeligttes med F som top-punkt og FA paring vinkelmaringlerens 0-streg

3 Afsaeligt Arsquos billedpunkt og gentag herefter proceduren med saring mange punkter som noslashdvendigt ndash her trekantens tre vinkelspidser

4 Billedpunkterne (her trekantens vinkelspidser)

forbindes og hele drejebilledet tegnes

Vi bemaeligrker at det kun er omdrejningspunktet F der ikke flytter sig ved en drejning Et saringdant punkt kalder man et fixpunkt

FLYTNINGSGEOMETRI PARALLELFORSKYDNINGFor fuldstaeligndighedens skyld skal herunder beskrives metoden naringr man paring et rdquoblanktrdquo stykke papir skal foretage en parallelforskydning ndash en flytning hvor alle figurens punkter skubbes lige langt og i samme retning Det er dog en disciplin der hoslashrer hoslashjere klassetrin til naringr man saeligdvanligvis udfoslashrer parallelforskydning er der nemlig et kvadratnet eller et koordinatsystem at stoslashtte sig til ndash som vist nederst paring siden

Parallelforskydning af linie

Side 19 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Parallelforskydning af plan figur

Parallelforskydning af figur i kvadratnetOpgaven vil typisk vaeligre at forskyde den paringgaeligldende figur (her en firkant) i pilens laeligngde og retningVi ser at hele figuren hermed skal flyttes rdquoto tern hen fire tern oprdquo Imidlertid er det nok at flytte de fire vinkelspidser idet de jo tilsammen rdquodefinererrdquo den paringgaeligldende firkantEndnu nemmere vil det vaeligre naringr man udnytter at figur og billedfigur er kongruente Saring kan man noslashjes med at flytte eacutet punkt og herudfra tegne en ny figur magen til den gamle

AREAL OG AREALBEREGNINGAreal angiver stoslashrrelsen af en flade og maringles i antal kvadrater med sidelaeligngden 1 For eksempel cm2 (kvadratcentimeter) m2 (kvadratmeter) eller km2

(kvadratkilometer)Herunder en raeligkke eksempler paring formler til udregning af areal naringr der dels er tale om elementaeligre geometriske figurer dels om sammensatte figurer Laeligg ikke mindst maeligrke til hvad det er for egenskaber der definerer de forskellige typer firkanter

Side 20 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Sammensatte figurerArealet findes ved at opdele figuren i to eller flere kendte figurer og finde de enkelte figureres arealer hver for sig Specielt kan man finde arealet af trekanter tegnet i kvadratnet ved at finde de to retvinklede trekanters arealer og laeliggge dem sammen Oslashvelser

Find arealet af hver af trekanterne a ndash f ved at bruge metoden ovenfor 1 tern svarer til 1 cm2a ____ + ____ = ____ cm2

b ____ + ____ = ____ cm2

c ____ + ____ = ____ cm2

d ____ + ____ = ____ cm2

e ____ + ____ = ____ cm2

f ____ + ____ = ____ cm2

(OMSAEligTNING I) METERSYSTEMETForrdquonavnrdquo

Kilo Hekto Deka Enhed

Deci Centi Milli

Betyder 1000 100 10 1 110 = 01

1100 = 001

11000 = 0001

Forkortes

k h da d c m

Laeligngde km hm dam m dm cm mmMasse kg hg dag g dg cg mgRumfang

kl hl dal l dl cl ml

Ovenstaringende betyder for metersystemets laeligngdemaringl foslashlgende omsaeligtninger1m = 10 dm 1 dm = 10 cm

Side 21 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

1 m2 = 102 dm2 = 100 dm2 1 dm2 = 102 cm2 = 100 cm2

1m3 = 103 dm3 = 1000 dm3 1 dm3 = 103 cm3 = 1000 cm3

1m = 100 cm 1 cm = 10 mm1m2 = 1002 cm2 = 10000 cm2 1 cm2 = 102 mm2 =

100 mm2

1 m3 = 1003 cm3 = 1000000 cm3 1 cm3 = 103 mm3 = 1000 mm3

Omsaeligtning bliver endnu nemmere hvis man laeligrer denne remse udenadkilo ndash hekto ndash deka ndash (bum) ndash deci ndash centi ndash milli(um)Find den benaeligvnelse der skal omsaeligttes fra samt den benaeligvnelse der skal omsaeligttes til (rdquoBumrdquo svarer til henholdsvis meter gram og liter)Taeligl det antal pladser der er imellem de to benaeligvnelser og flyt kommaet samme antal pladser i samme retningHvis der er tale om flade- (for eksempel m2) eller rummaringl (for eksempel m3) skal man huske at gange antallet af pladser med 2 henholdsvis 3 foslashr kommaet flyttes det tilsvarende antal pladserEksempel 5 m2 skal omsaeligttes til cm2I tabellen herover findes rdquoenhedrdquo og der taeliglles hvor mange pladser der er hen til rdquocentirdquo 2 pladser til hoslashjre Da det er et flademaringl (areal) skal antallet af pladser ganges med 2 (2 middot 2 = 4) Kommaet flyttes 4 pladser til hoslashjre og altsaring 5m 2 = 50000 cm 2 Eksempel 100 dm3 skal omsaeligttes til m3I tabellen herover findes rdquodecirdquo og der taeliglles hvor mange pladser der er hen til rdquoenhedrdquo 1 plads til venstre Da det er et rummaringl skal antallet af pladser ganges med 3 (3 middot 1 = 3) Kommaet flyttes 3 pladser til venstre og altsaring 100 dm 3 = 01 m 3

MASSE RUMFANG OG MASSEFYLDEMed begrebet massefylde tangerer vi faget fysik Maringske vil enkelte kunne huske at vi med udgangspunkt i FAKTOR i syvendersquos rdquoHvad kan du maringlerdquo da ogsaring arbejdede tvaeligrfagligt med emnet ndash blandt andet med nedenstaringende opstillingsystematik

ILLUSTRATION METODE rdquoGENSTANDErdquo

Side 22 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Finde dimensioner +)

(rdquolaeligngde bredde hoslashjderdquo)Udregne med formler

rdquoRegulaeligrerdquo legemerTerninger kasser cylindre kugler

Finde genstandens opdrift ved nedsaelignkning i vandBenytte Arkimedesrsquo lov ++)

Mindre (uregelmaeligssige)legemerCementklump jernlod

Nedsaelignke i maringleglas (mm) med vandMaringle stigningen i vandstand

Smaring (uregelmaeligssige)legemer Bolte soslashm sten

+) FidusBrug den laeligngdemaringlsenhed der direkte giver facit i den oslashnskede rumfangsenhed

Laeligngdemaringl i Rummaringlvolumen i

Spri

ng

paring 1

0

m (meter) 1000 l (tusind liter) = 1 m3 (kubikmeter)

Spri

ng

paring 1

000

dm (decimeter) 1 l (liter) = 1 dm3 (kubikdecimeter)

cm (centimeter) 1 ml (milliliter) = 1cm3 (kubikcentimeter)

++) Arkimedesrsquo lovEn genstand der nedsaelignkes i vand taber lige saring meget i vaeliggt som massen af det vand genstanden fortraeligngerNaringr vi efter ovenstaringende rumfangsbestemmelser ogsaring har fundet den paringgaeligldende genstands masse er vi klar til at arbejde med

Massefylde (vaeliggtfylde) = masse rumfang (volumen)Massefylde angives i gcm3 kgdm3 eller tm3 Sammenhaeligngen mellem de tre variable kan opstilles i en formeltrekant (side 27) Hvis masse eller volumen er den ukendte stoslashrrelse faringr man imidlertid brug for en tabel over forskellige stoffers massefylde

ALGEBRAAlgebra er rdquobogstavregningrdquo Vi bruger algebra naringr vi skal vise at udregninger af og sammenhaelignge mellem forskellige stoslashrrelser gaeliglder for alle talvaeligrdier For algebra ndash men altsaring ogsaring for regnearbejdet med rdquoalmindeligerdquo tal - gaeliglder en raeligkke regler som det er noslashdvendigt at kende naringr vi reducerer ndash skriver paring kortere formRegne-hierarkiFoslashrst potenser og roslashdder saring parenteser saring gange og dividere ndash til sidst plus og minus

Side 23 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Eksempel 4 (3 + 2)2 10 + 8 = 4 52 10 + 8 = 4 25 10 + 8 = 100 10 + 8 = 10 + 8 = 18

Plusparentes- kan haeligves og saeligttes uden at leddene inde i parentesen skifter fortegnEksempel med bogstaver a + (b + c ndash d) = a + b + c ndashdEksempel med tal 9 + (2 + 4 ndash 3) = 9 + 2 + 4 ndash 3 = 12 (9 + 3 = 12)Minusparentes- naringr minusparentesen haeligves skifter leddene inde i parentesen fortegnEksempel med bogstaver a ndash (b + c ndash d) = a ndash b ndash c + dEksempel med tal 9 ndash (2 + 4 ndash 3) = 9 ndash 2 ndash 4 + 3 = 6 (9 ndash 3 = 6)

Flerleddede stoslashrrelserMan ganger en flerleddet stoslashrrelse med et tal ved at gange hvert af leddene med tallet Dette kalder vi den distributive lov (Distribuere ndash dele ud)Eksempel med bogstaver a middot (b + c) = ab + acEksempel med tal 2 middot (4 + 2) = 2 middot 4 + 2 middot 2 = 8 + 4 = 12 (2 middot 6 = 12)Man ganger ndash selvfoslashlgelig - to flerleddede stoslashrrelser med hinanden ved atEksempel med bogstaver (a + b) middot (c + d) = ac + ad + bc + bdEksempel med tal (2 + 3) middot (5 + 4) = 2 middot 5 + 2 middot 4 + 3 middot 5 + 3 middot 4 =

10 + 8 + 15 + 12 = 45 (5 middot 9 = 45)Man dividerer en flerleddet stoslashrrelse med et tal ved at dividere hvert af leddeneEksempel med bogstaver (a + b) c = a c + b cEksempel med tal (6 + 2) 2 = 6 2 + 2 2 = 3 + 1 = 4 (8 2 = 4)Specielle tilfaeliglde hvis begge parenteser rummer de samme tal ndash bortset fra fortegnrdquoKvadratet paring en toleddet sumrdquo (a + b)2 = a2 + b2 + 2abVis selv hvordan _________________________________________________________________rdquoKvadratet paring en toleddet diffferensrdquo (a - b)2 = a2 + b2 - 2abVis selv hvordan _________________________________________________________________rdquoTo tals sum gange de samme to tals differensrdquo (a + b)(a ndash b) = a2 - b2 Vis selv hvordan _________________________________________________________________

En praktisk anvendelse af ovenstaringende ndash hovedregning () i rdquoden store tabelrdquo19 middot 19 = (20 ndash 1)2 = 202 + 12 ndash 2 middot 20 middot 1 = 400 + 1 ndash 40 = 36123 middot 23 = (20 + 3)2 = 202 + 32 + 2 middot 20 middot 3 = 400 + 9 + 120 = 529

Hvis man ikke netop bliver bedt om at reducere bogstavudtryk kan arbejdet med algebra bestaring i at finde det paringgaeligldende udtryks stoslashrrelse naringr de indsaeligttes forskellige vaeligrdier i stedet for de rdquoubekendterdquo bogstaver Udfyld saringledes

x 3x x + 4 10 ndash x 2x + 4 -x + 34

Side 24 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

-4-125frac12-20

x y y 2 2x ndash 3y 3 104 148 250 15

Flere klasser har haft glaeligde af at udarbejde saringdanne opgaver i regneark Her gaeliglder det netop om at finde den almene formel som talvaeligrdierne bagefter kan indsaeligttes i

Opgaver Find selv de tilsvarende formler og indsaeligt dem i cellerne A2 B2 C2 D2 E2

og F2 rdquoTraeligk nedrdquo og laeligg maeligrke til om du faringr de samme resultater som vist i

dumprsquoet Indret endnu et regneark og opstil tabel plus formler ogsaring til det andet skema Regn nedenstaringende opgaver Deacutet er reduktion stil gerne op i Word som vist12a ndash 6(3 ndash a) + 8 = 12a ndash 18 + 6a + 8 = 18a ndash 1040 + 3(9 ndash x) + 6x =___________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________________________________

3a + 4(9 ndash 2a) ndash 6 + a =______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2(x + 4) ndash (x + 5) =______________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________

___________________________________________________________5(7y + 5) ndash frac12(50 + 10y)_________________________________________________________=

______________________________________________________________________________________________________________________

FORMLERSide 25 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Specielt finder vi ndash som allerede naeligvnt - en meget nyttig anvendelse af algebra ved opstilling af formler Her garingr opgaven jo netop ud paring at fastlaeliggge en sammenhaeligng mellem forskellige variable stoslashrrelser - ved hjaeliglp af alt andet end konkrete talvaeligrdier Forharingbentlig vil nedenstaringende eksempler vaeligkke en vis genkendelseSammenhaeligngen mellem vejlaeligngde hastighed og tid s = v middot tSammenhaeligngen mellem spaelignding modstand og stroslashmstyrke U = R middot ISammenhaeligngen mellem masse rumfang og massefylde (se ogsaring side 22) m = V middot dEn saringdan sammenhaeligng mellem tre stoslashrrelser kan med fordel illustreres ved hjaeliglp af nedenstaringende trekanter Man laeliggger fingeren over den variable man oslashnsker at finde ndash og den aktuelle omformning af formlen vil umiddelbart fremgaring Lodret linie betyder multiplikation vandret linie (broslashkstreg) betyder division

s m v t V d Vi kan ved algebraens hjaeliglp faktisk selv opstille formler som vi er kommet i tvivl om Hvad er formlen for udregning af hastighed Jo hastighed angives som meter per sekund (ms) eller kilometer per time (kmt) Den skraringstreg der erstatter rdquoperrdquo betyder egentlig division - og dermed har vi den generelle formelHastighed = vejlaeligngde divideret med tid Med ovenstaringende betegnelser v = s t Andre formlerDe fleste formler (og vi bruger dem ofte) kan slarings op i forskellige formelsamlinger Hvis man ikke vil noslashjes med den udgave der er aftrykt i FAKTOR kan den rdquoofficiellerdquo formelsamling til brug for afgangsproslashverne nedlades () fra wwwuvmdk ndash eller man kan (eventuelt paring klassebasis) investere i forlaget degne-distribs tilsvarende rdquomatematiske formler og tabellerrdquo Den koster ikke meget ndash og saring har man lov til at goslashre notater To saeligt formler som vist nok ikke findes andetsteds og som flere klasser har arbejdet en del med skal imidlertid anfoslashres til slut Det drejer sig om

Fremmed valuta Aktier og obligationerDKK = (Valuta 100) middot Kurs Pris = (Paringlydende 100) middot Kurs

(kr) Valuta = (DKK Kurs) middot 100 Paringlydende = (Pris Kurs) middot 100

(kr)Kurs = (DKK Valuta) middot 100 Kurs = (Pris Paringlydende) middot 100 Opgavera) Kurs 120 Paringlydende 100 kroner Hvor mange aktier kan du koslashbe for 60000 kronerb) Hvor mange norske kroner kan du faring for 2000 danske kroner naringr kursen er 8378c) Hvor meget koster 1700 Euro til kurs 74492

LOslashSNING AF LIGNINGERSide 26 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Parallelforskydning af plan figur

Parallelforskydning af figur i kvadratnetOpgaven vil typisk vaeligre at forskyde den paringgaeligldende figur (her en firkant) i pilens laeligngde og retningVi ser at hele figuren hermed skal flyttes rdquoto tern hen fire tern oprdquo Imidlertid er det nok at flytte de fire vinkelspidser idet de jo tilsammen rdquodefinererrdquo den paringgaeligldende firkantEndnu nemmere vil det vaeligre naringr man udnytter at figur og billedfigur er kongruente Saring kan man noslashjes med at flytte eacutet punkt og herudfra tegne en ny figur magen til den gamle

AREAL OG AREALBEREGNINGAreal angiver stoslashrrelsen af en flade og maringles i antal kvadrater med sidelaeligngden 1 For eksempel cm2 (kvadratcentimeter) m2 (kvadratmeter) eller km2

(kvadratkilometer)Herunder en raeligkke eksempler paring formler til udregning af areal naringr der dels er tale om elementaeligre geometriske figurer dels om sammensatte figurer Laeligg ikke mindst maeligrke til hvad det er for egenskaber der definerer de forskellige typer firkanter

Side 20 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Sammensatte figurerArealet findes ved at opdele figuren i to eller flere kendte figurer og finde de enkelte figureres arealer hver for sig Specielt kan man finde arealet af trekanter tegnet i kvadratnet ved at finde de to retvinklede trekanters arealer og laeliggge dem sammen Oslashvelser

Find arealet af hver af trekanterne a ndash f ved at bruge metoden ovenfor 1 tern svarer til 1 cm2a ____ + ____ = ____ cm2

b ____ + ____ = ____ cm2

c ____ + ____ = ____ cm2

d ____ + ____ = ____ cm2

e ____ + ____ = ____ cm2

f ____ + ____ = ____ cm2

(OMSAEligTNING I) METERSYSTEMETForrdquonavnrdquo

Kilo Hekto Deka Enhed

Deci Centi Milli

Betyder 1000 100 10 1 110 = 01

1100 = 001

11000 = 0001

Forkortes

k h da d c m

Laeligngde km hm dam m dm cm mmMasse kg hg dag g dg cg mgRumfang

kl hl dal l dl cl ml

Ovenstaringende betyder for metersystemets laeligngdemaringl foslashlgende omsaeligtninger1m = 10 dm 1 dm = 10 cm

Side 21 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

1 m2 = 102 dm2 = 100 dm2 1 dm2 = 102 cm2 = 100 cm2

1m3 = 103 dm3 = 1000 dm3 1 dm3 = 103 cm3 = 1000 cm3

1m = 100 cm 1 cm = 10 mm1m2 = 1002 cm2 = 10000 cm2 1 cm2 = 102 mm2 =

100 mm2

1 m3 = 1003 cm3 = 1000000 cm3 1 cm3 = 103 mm3 = 1000 mm3

Omsaeligtning bliver endnu nemmere hvis man laeligrer denne remse udenadkilo ndash hekto ndash deka ndash (bum) ndash deci ndash centi ndash milli(um)Find den benaeligvnelse der skal omsaeligttes fra samt den benaeligvnelse der skal omsaeligttes til (rdquoBumrdquo svarer til henholdsvis meter gram og liter)Taeligl det antal pladser der er imellem de to benaeligvnelser og flyt kommaet samme antal pladser i samme retningHvis der er tale om flade- (for eksempel m2) eller rummaringl (for eksempel m3) skal man huske at gange antallet af pladser med 2 henholdsvis 3 foslashr kommaet flyttes det tilsvarende antal pladserEksempel 5 m2 skal omsaeligttes til cm2I tabellen herover findes rdquoenhedrdquo og der taeliglles hvor mange pladser der er hen til rdquocentirdquo 2 pladser til hoslashjre Da det er et flademaringl (areal) skal antallet af pladser ganges med 2 (2 middot 2 = 4) Kommaet flyttes 4 pladser til hoslashjre og altsaring 5m 2 = 50000 cm 2 Eksempel 100 dm3 skal omsaeligttes til m3I tabellen herover findes rdquodecirdquo og der taeliglles hvor mange pladser der er hen til rdquoenhedrdquo 1 plads til venstre Da det er et rummaringl skal antallet af pladser ganges med 3 (3 middot 1 = 3) Kommaet flyttes 3 pladser til venstre og altsaring 100 dm 3 = 01 m 3

MASSE RUMFANG OG MASSEFYLDEMed begrebet massefylde tangerer vi faget fysik Maringske vil enkelte kunne huske at vi med udgangspunkt i FAKTOR i syvendersquos rdquoHvad kan du maringlerdquo da ogsaring arbejdede tvaeligrfagligt med emnet ndash blandt andet med nedenstaringende opstillingsystematik

ILLUSTRATION METODE rdquoGENSTANDErdquo

Side 22 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Finde dimensioner +)

(rdquolaeligngde bredde hoslashjderdquo)Udregne med formler

rdquoRegulaeligrerdquo legemerTerninger kasser cylindre kugler

Finde genstandens opdrift ved nedsaelignkning i vandBenytte Arkimedesrsquo lov ++)

Mindre (uregelmaeligssige)legemerCementklump jernlod

Nedsaelignke i maringleglas (mm) med vandMaringle stigningen i vandstand

Smaring (uregelmaeligssige)legemer Bolte soslashm sten

+) FidusBrug den laeligngdemaringlsenhed der direkte giver facit i den oslashnskede rumfangsenhed

Laeligngdemaringl i Rummaringlvolumen i

Spri

ng

paring 1

0

m (meter) 1000 l (tusind liter) = 1 m3 (kubikmeter)

Spri

ng

paring 1

000

dm (decimeter) 1 l (liter) = 1 dm3 (kubikdecimeter)

cm (centimeter) 1 ml (milliliter) = 1cm3 (kubikcentimeter)

++) Arkimedesrsquo lovEn genstand der nedsaelignkes i vand taber lige saring meget i vaeliggt som massen af det vand genstanden fortraeligngerNaringr vi efter ovenstaringende rumfangsbestemmelser ogsaring har fundet den paringgaeligldende genstands masse er vi klar til at arbejde med

Massefylde (vaeliggtfylde) = masse rumfang (volumen)Massefylde angives i gcm3 kgdm3 eller tm3 Sammenhaeligngen mellem de tre variable kan opstilles i en formeltrekant (side 27) Hvis masse eller volumen er den ukendte stoslashrrelse faringr man imidlertid brug for en tabel over forskellige stoffers massefylde

ALGEBRAAlgebra er rdquobogstavregningrdquo Vi bruger algebra naringr vi skal vise at udregninger af og sammenhaelignge mellem forskellige stoslashrrelser gaeliglder for alle talvaeligrdier For algebra ndash men altsaring ogsaring for regnearbejdet med rdquoalmindeligerdquo tal - gaeliglder en raeligkke regler som det er noslashdvendigt at kende naringr vi reducerer ndash skriver paring kortere formRegne-hierarkiFoslashrst potenser og roslashdder saring parenteser saring gange og dividere ndash til sidst plus og minus

Side 23 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Eksempel 4 (3 + 2)2 10 + 8 = 4 52 10 + 8 = 4 25 10 + 8 = 100 10 + 8 = 10 + 8 = 18

Plusparentes- kan haeligves og saeligttes uden at leddene inde i parentesen skifter fortegnEksempel med bogstaver a + (b + c ndash d) = a + b + c ndashdEksempel med tal 9 + (2 + 4 ndash 3) = 9 + 2 + 4 ndash 3 = 12 (9 + 3 = 12)Minusparentes- naringr minusparentesen haeligves skifter leddene inde i parentesen fortegnEksempel med bogstaver a ndash (b + c ndash d) = a ndash b ndash c + dEksempel med tal 9 ndash (2 + 4 ndash 3) = 9 ndash 2 ndash 4 + 3 = 6 (9 ndash 3 = 6)

Flerleddede stoslashrrelserMan ganger en flerleddet stoslashrrelse med et tal ved at gange hvert af leddene med tallet Dette kalder vi den distributive lov (Distribuere ndash dele ud)Eksempel med bogstaver a middot (b + c) = ab + acEksempel med tal 2 middot (4 + 2) = 2 middot 4 + 2 middot 2 = 8 + 4 = 12 (2 middot 6 = 12)Man ganger ndash selvfoslashlgelig - to flerleddede stoslashrrelser med hinanden ved atEksempel med bogstaver (a + b) middot (c + d) = ac + ad + bc + bdEksempel med tal (2 + 3) middot (5 + 4) = 2 middot 5 + 2 middot 4 + 3 middot 5 + 3 middot 4 =

10 + 8 + 15 + 12 = 45 (5 middot 9 = 45)Man dividerer en flerleddet stoslashrrelse med et tal ved at dividere hvert af leddeneEksempel med bogstaver (a + b) c = a c + b cEksempel med tal (6 + 2) 2 = 6 2 + 2 2 = 3 + 1 = 4 (8 2 = 4)Specielle tilfaeliglde hvis begge parenteser rummer de samme tal ndash bortset fra fortegnrdquoKvadratet paring en toleddet sumrdquo (a + b)2 = a2 + b2 + 2abVis selv hvordan _________________________________________________________________rdquoKvadratet paring en toleddet diffferensrdquo (a - b)2 = a2 + b2 - 2abVis selv hvordan _________________________________________________________________rdquoTo tals sum gange de samme to tals differensrdquo (a + b)(a ndash b) = a2 - b2 Vis selv hvordan _________________________________________________________________

En praktisk anvendelse af ovenstaringende ndash hovedregning () i rdquoden store tabelrdquo19 middot 19 = (20 ndash 1)2 = 202 + 12 ndash 2 middot 20 middot 1 = 400 + 1 ndash 40 = 36123 middot 23 = (20 + 3)2 = 202 + 32 + 2 middot 20 middot 3 = 400 + 9 + 120 = 529

Hvis man ikke netop bliver bedt om at reducere bogstavudtryk kan arbejdet med algebra bestaring i at finde det paringgaeligldende udtryks stoslashrrelse naringr de indsaeligttes forskellige vaeligrdier i stedet for de rdquoubekendterdquo bogstaver Udfyld saringledes

x 3x x + 4 10 ndash x 2x + 4 -x + 34

Side 24 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

-4-125frac12-20

x y y 2 2x ndash 3y 3 104 148 250 15

Flere klasser har haft glaeligde af at udarbejde saringdanne opgaver i regneark Her gaeliglder det netop om at finde den almene formel som talvaeligrdierne bagefter kan indsaeligttes i

Opgaver Find selv de tilsvarende formler og indsaeligt dem i cellerne A2 B2 C2 D2 E2

og F2 rdquoTraeligk nedrdquo og laeligg maeligrke til om du faringr de samme resultater som vist i

dumprsquoet Indret endnu et regneark og opstil tabel plus formler ogsaring til det andet skema Regn nedenstaringende opgaver Deacutet er reduktion stil gerne op i Word som vist12a ndash 6(3 ndash a) + 8 = 12a ndash 18 + 6a + 8 = 18a ndash 1040 + 3(9 ndash x) + 6x =___________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________________________________

3a + 4(9 ndash 2a) ndash 6 + a =______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2(x + 4) ndash (x + 5) =______________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________

___________________________________________________________5(7y + 5) ndash frac12(50 + 10y)_________________________________________________________=

______________________________________________________________________________________________________________________

FORMLERSide 25 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Specielt finder vi ndash som allerede naeligvnt - en meget nyttig anvendelse af algebra ved opstilling af formler Her garingr opgaven jo netop ud paring at fastlaeliggge en sammenhaeligng mellem forskellige variable stoslashrrelser - ved hjaeliglp af alt andet end konkrete talvaeligrdier Forharingbentlig vil nedenstaringende eksempler vaeligkke en vis genkendelseSammenhaeligngen mellem vejlaeligngde hastighed og tid s = v middot tSammenhaeligngen mellem spaelignding modstand og stroslashmstyrke U = R middot ISammenhaeligngen mellem masse rumfang og massefylde (se ogsaring side 22) m = V middot dEn saringdan sammenhaeligng mellem tre stoslashrrelser kan med fordel illustreres ved hjaeliglp af nedenstaringende trekanter Man laeliggger fingeren over den variable man oslashnsker at finde ndash og den aktuelle omformning af formlen vil umiddelbart fremgaring Lodret linie betyder multiplikation vandret linie (broslashkstreg) betyder division

s m v t V d Vi kan ved algebraens hjaeliglp faktisk selv opstille formler som vi er kommet i tvivl om Hvad er formlen for udregning af hastighed Jo hastighed angives som meter per sekund (ms) eller kilometer per time (kmt) Den skraringstreg der erstatter rdquoperrdquo betyder egentlig division - og dermed har vi den generelle formelHastighed = vejlaeligngde divideret med tid Med ovenstaringende betegnelser v = s t Andre formlerDe fleste formler (og vi bruger dem ofte) kan slarings op i forskellige formelsamlinger Hvis man ikke vil noslashjes med den udgave der er aftrykt i FAKTOR kan den rdquoofficiellerdquo formelsamling til brug for afgangsproslashverne nedlades () fra wwwuvmdk ndash eller man kan (eventuelt paring klassebasis) investere i forlaget degne-distribs tilsvarende rdquomatematiske formler og tabellerrdquo Den koster ikke meget ndash og saring har man lov til at goslashre notater To saeligt formler som vist nok ikke findes andetsteds og som flere klasser har arbejdet en del med skal imidlertid anfoslashres til slut Det drejer sig om

Fremmed valuta Aktier og obligationerDKK = (Valuta 100) middot Kurs Pris = (Paringlydende 100) middot Kurs

(kr) Valuta = (DKK Kurs) middot 100 Paringlydende = (Pris Kurs) middot 100

(kr)Kurs = (DKK Valuta) middot 100 Kurs = (Pris Paringlydende) middot 100 Opgavera) Kurs 120 Paringlydende 100 kroner Hvor mange aktier kan du koslashbe for 60000 kronerb) Hvor mange norske kroner kan du faring for 2000 danske kroner naringr kursen er 8378c) Hvor meget koster 1700 Euro til kurs 74492

LOslashSNING AF LIGNINGERSide 26 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Sammensatte figurerArealet findes ved at opdele figuren i to eller flere kendte figurer og finde de enkelte figureres arealer hver for sig Specielt kan man finde arealet af trekanter tegnet i kvadratnet ved at finde de to retvinklede trekanters arealer og laeliggge dem sammen Oslashvelser

Find arealet af hver af trekanterne a ndash f ved at bruge metoden ovenfor 1 tern svarer til 1 cm2a ____ + ____ = ____ cm2

b ____ + ____ = ____ cm2

c ____ + ____ = ____ cm2

d ____ + ____ = ____ cm2

e ____ + ____ = ____ cm2

f ____ + ____ = ____ cm2

(OMSAEligTNING I) METERSYSTEMETForrdquonavnrdquo

Kilo Hekto Deka Enhed

Deci Centi Milli

Betyder 1000 100 10 1 110 = 01

1100 = 001

11000 = 0001

Forkortes

k h da d c m

Laeligngde km hm dam m dm cm mmMasse kg hg dag g dg cg mgRumfang

kl hl dal l dl cl ml

Ovenstaringende betyder for metersystemets laeligngdemaringl foslashlgende omsaeligtninger1m = 10 dm 1 dm = 10 cm

Side 21 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

1 m2 = 102 dm2 = 100 dm2 1 dm2 = 102 cm2 = 100 cm2

1m3 = 103 dm3 = 1000 dm3 1 dm3 = 103 cm3 = 1000 cm3

1m = 100 cm 1 cm = 10 mm1m2 = 1002 cm2 = 10000 cm2 1 cm2 = 102 mm2 =

100 mm2

1 m3 = 1003 cm3 = 1000000 cm3 1 cm3 = 103 mm3 = 1000 mm3

Omsaeligtning bliver endnu nemmere hvis man laeligrer denne remse udenadkilo ndash hekto ndash deka ndash (bum) ndash deci ndash centi ndash milli(um)Find den benaeligvnelse der skal omsaeligttes fra samt den benaeligvnelse der skal omsaeligttes til (rdquoBumrdquo svarer til henholdsvis meter gram og liter)Taeligl det antal pladser der er imellem de to benaeligvnelser og flyt kommaet samme antal pladser i samme retningHvis der er tale om flade- (for eksempel m2) eller rummaringl (for eksempel m3) skal man huske at gange antallet af pladser med 2 henholdsvis 3 foslashr kommaet flyttes det tilsvarende antal pladserEksempel 5 m2 skal omsaeligttes til cm2I tabellen herover findes rdquoenhedrdquo og der taeliglles hvor mange pladser der er hen til rdquocentirdquo 2 pladser til hoslashjre Da det er et flademaringl (areal) skal antallet af pladser ganges med 2 (2 middot 2 = 4) Kommaet flyttes 4 pladser til hoslashjre og altsaring 5m 2 = 50000 cm 2 Eksempel 100 dm3 skal omsaeligttes til m3I tabellen herover findes rdquodecirdquo og der taeliglles hvor mange pladser der er hen til rdquoenhedrdquo 1 plads til venstre Da det er et rummaringl skal antallet af pladser ganges med 3 (3 middot 1 = 3) Kommaet flyttes 3 pladser til venstre og altsaring 100 dm 3 = 01 m 3

MASSE RUMFANG OG MASSEFYLDEMed begrebet massefylde tangerer vi faget fysik Maringske vil enkelte kunne huske at vi med udgangspunkt i FAKTOR i syvendersquos rdquoHvad kan du maringlerdquo da ogsaring arbejdede tvaeligrfagligt med emnet ndash blandt andet med nedenstaringende opstillingsystematik

ILLUSTRATION METODE rdquoGENSTANDErdquo

Side 22 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Finde dimensioner +)

(rdquolaeligngde bredde hoslashjderdquo)Udregne med formler

rdquoRegulaeligrerdquo legemerTerninger kasser cylindre kugler

Finde genstandens opdrift ved nedsaelignkning i vandBenytte Arkimedesrsquo lov ++)

Mindre (uregelmaeligssige)legemerCementklump jernlod

Nedsaelignke i maringleglas (mm) med vandMaringle stigningen i vandstand

Smaring (uregelmaeligssige)legemer Bolte soslashm sten

+) FidusBrug den laeligngdemaringlsenhed der direkte giver facit i den oslashnskede rumfangsenhed

Laeligngdemaringl i Rummaringlvolumen i

Spri

ng

paring 1

0

m (meter) 1000 l (tusind liter) = 1 m3 (kubikmeter)

Spri

ng

paring 1

000

dm (decimeter) 1 l (liter) = 1 dm3 (kubikdecimeter)

cm (centimeter) 1 ml (milliliter) = 1cm3 (kubikcentimeter)

++) Arkimedesrsquo lovEn genstand der nedsaelignkes i vand taber lige saring meget i vaeliggt som massen af det vand genstanden fortraeligngerNaringr vi efter ovenstaringende rumfangsbestemmelser ogsaring har fundet den paringgaeligldende genstands masse er vi klar til at arbejde med

Massefylde (vaeliggtfylde) = masse rumfang (volumen)Massefylde angives i gcm3 kgdm3 eller tm3 Sammenhaeligngen mellem de tre variable kan opstilles i en formeltrekant (side 27) Hvis masse eller volumen er den ukendte stoslashrrelse faringr man imidlertid brug for en tabel over forskellige stoffers massefylde

ALGEBRAAlgebra er rdquobogstavregningrdquo Vi bruger algebra naringr vi skal vise at udregninger af og sammenhaelignge mellem forskellige stoslashrrelser gaeliglder for alle talvaeligrdier For algebra ndash men altsaring ogsaring for regnearbejdet med rdquoalmindeligerdquo tal - gaeliglder en raeligkke regler som det er noslashdvendigt at kende naringr vi reducerer ndash skriver paring kortere formRegne-hierarkiFoslashrst potenser og roslashdder saring parenteser saring gange og dividere ndash til sidst plus og minus

Side 23 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Eksempel 4 (3 + 2)2 10 + 8 = 4 52 10 + 8 = 4 25 10 + 8 = 100 10 + 8 = 10 + 8 = 18

Plusparentes- kan haeligves og saeligttes uden at leddene inde i parentesen skifter fortegnEksempel med bogstaver a + (b + c ndash d) = a + b + c ndashdEksempel med tal 9 + (2 + 4 ndash 3) = 9 + 2 + 4 ndash 3 = 12 (9 + 3 = 12)Minusparentes- naringr minusparentesen haeligves skifter leddene inde i parentesen fortegnEksempel med bogstaver a ndash (b + c ndash d) = a ndash b ndash c + dEksempel med tal 9 ndash (2 + 4 ndash 3) = 9 ndash 2 ndash 4 + 3 = 6 (9 ndash 3 = 6)

Flerleddede stoslashrrelserMan ganger en flerleddet stoslashrrelse med et tal ved at gange hvert af leddene med tallet Dette kalder vi den distributive lov (Distribuere ndash dele ud)Eksempel med bogstaver a middot (b + c) = ab + acEksempel med tal 2 middot (4 + 2) = 2 middot 4 + 2 middot 2 = 8 + 4 = 12 (2 middot 6 = 12)Man ganger ndash selvfoslashlgelig - to flerleddede stoslashrrelser med hinanden ved atEksempel med bogstaver (a + b) middot (c + d) = ac + ad + bc + bdEksempel med tal (2 + 3) middot (5 + 4) = 2 middot 5 + 2 middot 4 + 3 middot 5 + 3 middot 4 =

10 + 8 + 15 + 12 = 45 (5 middot 9 = 45)Man dividerer en flerleddet stoslashrrelse med et tal ved at dividere hvert af leddeneEksempel med bogstaver (a + b) c = a c + b cEksempel med tal (6 + 2) 2 = 6 2 + 2 2 = 3 + 1 = 4 (8 2 = 4)Specielle tilfaeliglde hvis begge parenteser rummer de samme tal ndash bortset fra fortegnrdquoKvadratet paring en toleddet sumrdquo (a + b)2 = a2 + b2 + 2abVis selv hvordan _________________________________________________________________rdquoKvadratet paring en toleddet diffferensrdquo (a - b)2 = a2 + b2 - 2abVis selv hvordan _________________________________________________________________rdquoTo tals sum gange de samme to tals differensrdquo (a + b)(a ndash b) = a2 - b2 Vis selv hvordan _________________________________________________________________

En praktisk anvendelse af ovenstaringende ndash hovedregning () i rdquoden store tabelrdquo19 middot 19 = (20 ndash 1)2 = 202 + 12 ndash 2 middot 20 middot 1 = 400 + 1 ndash 40 = 36123 middot 23 = (20 + 3)2 = 202 + 32 + 2 middot 20 middot 3 = 400 + 9 + 120 = 529

Hvis man ikke netop bliver bedt om at reducere bogstavudtryk kan arbejdet med algebra bestaring i at finde det paringgaeligldende udtryks stoslashrrelse naringr de indsaeligttes forskellige vaeligrdier i stedet for de rdquoubekendterdquo bogstaver Udfyld saringledes

x 3x x + 4 10 ndash x 2x + 4 -x + 34

Side 24 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

-4-125frac12-20

x y y 2 2x ndash 3y 3 104 148 250 15

Flere klasser har haft glaeligde af at udarbejde saringdanne opgaver i regneark Her gaeliglder det netop om at finde den almene formel som talvaeligrdierne bagefter kan indsaeligttes i

Opgaver Find selv de tilsvarende formler og indsaeligt dem i cellerne A2 B2 C2 D2 E2

og F2 rdquoTraeligk nedrdquo og laeligg maeligrke til om du faringr de samme resultater som vist i

dumprsquoet Indret endnu et regneark og opstil tabel plus formler ogsaring til det andet skema Regn nedenstaringende opgaver Deacutet er reduktion stil gerne op i Word som vist12a ndash 6(3 ndash a) + 8 = 12a ndash 18 + 6a + 8 = 18a ndash 1040 + 3(9 ndash x) + 6x =___________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________________________________

3a + 4(9 ndash 2a) ndash 6 + a =______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2(x + 4) ndash (x + 5) =______________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________

___________________________________________________________5(7y + 5) ndash frac12(50 + 10y)_________________________________________________________=

______________________________________________________________________________________________________________________

FORMLERSide 25 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Specielt finder vi ndash som allerede naeligvnt - en meget nyttig anvendelse af algebra ved opstilling af formler Her garingr opgaven jo netop ud paring at fastlaeliggge en sammenhaeligng mellem forskellige variable stoslashrrelser - ved hjaeliglp af alt andet end konkrete talvaeligrdier Forharingbentlig vil nedenstaringende eksempler vaeligkke en vis genkendelseSammenhaeligngen mellem vejlaeligngde hastighed og tid s = v middot tSammenhaeligngen mellem spaelignding modstand og stroslashmstyrke U = R middot ISammenhaeligngen mellem masse rumfang og massefylde (se ogsaring side 22) m = V middot dEn saringdan sammenhaeligng mellem tre stoslashrrelser kan med fordel illustreres ved hjaeliglp af nedenstaringende trekanter Man laeliggger fingeren over den variable man oslashnsker at finde ndash og den aktuelle omformning af formlen vil umiddelbart fremgaring Lodret linie betyder multiplikation vandret linie (broslashkstreg) betyder division

s m v t V d Vi kan ved algebraens hjaeliglp faktisk selv opstille formler som vi er kommet i tvivl om Hvad er formlen for udregning af hastighed Jo hastighed angives som meter per sekund (ms) eller kilometer per time (kmt) Den skraringstreg der erstatter rdquoperrdquo betyder egentlig division - og dermed har vi den generelle formelHastighed = vejlaeligngde divideret med tid Med ovenstaringende betegnelser v = s t Andre formlerDe fleste formler (og vi bruger dem ofte) kan slarings op i forskellige formelsamlinger Hvis man ikke vil noslashjes med den udgave der er aftrykt i FAKTOR kan den rdquoofficiellerdquo formelsamling til brug for afgangsproslashverne nedlades () fra wwwuvmdk ndash eller man kan (eventuelt paring klassebasis) investere i forlaget degne-distribs tilsvarende rdquomatematiske formler og tabellerrdquo Den koster ikke meget ndash og saring har man lov til at goslashre notater To saeligt formler som vist nok ikke findes andetsteds og som flere klasser har arbejdet en del med skal imidlertid anfoslashres til slut Det drejer sig om

Fremmed valuta Aktier og obligationerDKK = (Valuta 100) middot Kurs Pris = (Paringlydende 100) middot Kurs

(kr) Valuta = (DKK Kurs) middot 100 Paringlydende = (Pris Kurs) middot 100

(kr)Kurs = (DKK Valuta) middot 100 Kurs = (Pris Paringlydende) middot 100 Opgavera) Kurs 120 Paringlydende 100 kroner Hvor mange aktier kan du koslashbe for 60000 kronerb) Hvor mange norske kroner kan du faring for 2000 danske kroner naringr kursen er 8378c) Hvor meget koster 1700 Euro til kurs 74492

LOslashSNING AF LIGNINGERSide 26 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

1 m2 = 102 dm2 = 100 dm2 1 dm2 = 102 cm2 = 100 cm2

1m3 = 103 dm3 = 1000 dm3 1 dm3 = 103 cm3 = 1000 cm3

1m = 100 cm 1 cm = 10 mm1m2 = 1002 cm2 = 10000 cm2 1 cm2 = 102 mm2 =

100 mm2

1 m3 = 1003 cm3 = 1000000 cm3 1 cm3 = 103 mm3 = 1000 mm3

Omsaeligtning bliver endnu nemmere hvis man laeligrer denne remse udenadkilo ndash hekto ndash deka ndash (bum) ndash deci ndash centi ndash milli(um)Find den benaeligvnelse der skal omsaeligttes fra samt den benaeligvnelse der skal omsaeligttes til (rdquoBumrdquo svarer til henholdsvis meter gram og liter)Taeligl det antal pladser der er imellem de to benaeligvnelser og flyt kommaet samme antal pladser i samme retningHvis der er tale om flade- (for eksempel m2) eller rummaringl (for eksempel m3) skal man huske at gange antallet af pladser med 2 henholdsvis 3 foslashr kommaet flyttes det tilsvarende antal pladserEksempel 5 m2 skal omsaeligttes til cm2I tabellen herover findes rdquoenhedrdquo og der taeliglles hvor mange pladser der er hen til rdquocentirdquo 2 pladser til hoslashjre Da det er et flademaringl (areal) skal antallet af pladser ganges med 2 (2 middot 2 = 4) Kommaet flyttes 4 pladser til hoslashjre og altsaring 5m 2 = 50000 cm 2 Eksempel 100 dm3 skal omsaeligttes til m3I tabellen herover findes rdquodecirdquo og der taeliglles hvor mange pladser der er hen til rdquoenhedrdquo 1 plads til venstre Da det er et rummaringl skal antallet af pladser ganges med 3 (3 middot 1 = 3) Kommaet flyttes 3 pladser til venstre og altsaring 100 dm 3 = 01 m 3

MASSE RUMFANG OG MASSEFYLDEMed begrebet massefylde tangerer vi faget fysik Maringske vil enkelte kunne huske at vi med udgangspunkt i FAKTOR i syvendersquos rdquoHvad kan du maringlerdquo da ogsaring arbejdede tvaeligrfagligt med emnet ndash blandt andet med nedenstaringende opstillingsystematik

ILLUSTRATION METODE rdquoGENSTANDErdquo

Side 22 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Finde dimensioner +)

(rdquolaeligngde bredde hoslashjderdquo)Udregne med formler

rdquoRegulaeligrerdquo legemerTerninger kasser cylindre kugler

Finde genstandens opdrift ved nedsaelignkning i vandBenytte Arkimedesrsquo lov ++)

Mindre (uregelmaeligssige)legemerCementklump jernlod

Nedsaelignke i maringleglas (mm) med vandMaringle stigningen i vandstand

Smaring (uregelmaeligssige)legemer Bolte soslashm sten

+) FidusBrug den laeligngdemaringlsenhed der direkte giver facit i den oslashnskede rumfangsenhed

Laeligngdemaringl i Rummaringlvolumen i

Spri

ng

paring 1

0

m (meter) 1000 l (tusind liter) = 1 m3 (kubikmeter)

Spri

ng

paring 1

000

dm (decimeter) 1 l (liter) = 1 dm3 (kubikdecimeter)

cm (centimeter) 1 ml (milliliter) = 1cm3 (kubikcentimeter)

++) Arkimedesrsquo lovEn genstand der nedsaelignkes i vand taber lige saring meget i vaeliggt som massen af det vand genstanden fortraeligngerNaringr vi efter ovenstaringende rumfangsbestemmelser ogsaring har fundet den paringgaeligldende genstands masse er vi klar til at arbejde med

Massefylde (vaeliggtfylde) = masse rumfang (volumen)Massefylde angives i gcm3 kgdm3 eller tm3 Sammenhaeligngen mellem de tre variable kan opstilles i en formeltrekant (side 27) Hvis masse eller volumen er den ukendte stoslashrrelse faringr man imidlertid brug for en tabel over forskellige stoffers massefylde

ALGEBRAAlgebra er rdquobogstavregningrdquo Vi bruger algebra naringr vi skal vise at udregninger af og sammenhaelignge mellem forskellige stoslashrrelser gaeliglder for alle talvaeligrdier For algebra ndash men altsaring ogsaring for regnearbejdet med rdquoalmindeligerdquo tal - gaeliglder en raeligkke regler som det er noslashdvendigt at kende naringr vi reducerer ndash skriver paring kortere formRegne-hierarkiFoslashrst potenser og roslashdder saring parenteser saring gange og dividere ndash til sidst plus og minus

Side 23 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Eksempel 4 (3 + 2)2 10 + 8 = 4 52 10 + 8 = 4 25 10 + 8 = 100 10 + 8 = 10 + 8 = 18

Plusparentes- kan haeligves og saeligttes uden at leddene inde i parentesen skifter fortegnEksempel med bogstaver a + (b + c ndash d) = a + b + c ndashdEksempel med tal 9 + (2 + 4 ndash 3) = 9 + 2 + 4 ndash 3 = 12 (9 + 3 = 12)Minusparentes- naringr minusparentesen haeligves skifter leddene inde i parentesen fortegnEksempel med bogstaver a ndash (b + c ndash d) = a ndash b ndash c + dEksempel med tal 9 ndash (2 + 4 ndash 3) = 9 ndash 2 ndash 4 + 3 = 6 (9 ndash 3 = 6)

Flerleddede stoslashrrelserMan ganger en flerleddet stoslashrrelse med et tal ved at gange hvert af leddene med tallet Dette kalder vi den distributive lov (Distribuere ndash dele ud)Eksempel med bogstaver a middot (b + c) = ab + acEksempel med tal 2 middot (4 + 2) = 2 middot 4 + 2 middot 2 = 8 + 4 = 12 (2 middot 6 = 12)Man ganger ndash selvfoslashlgelig - to flerleddede stoslashrrelser med hinanden ved atEksempel med bogstaver (a + b) middot (c + d) = ac + ad + bc + bdEksempel med tal (2 + 3) middot (5 + 4) = 2 middot 5 + 2 middot 4 + 3 middot 5 + 3 middot 4 =

10 + 8 + 15 + 12 = 45 (5 middot 9 = 45)Man dividerer en flerleddet stoslashrrelse med et tal ved at dividere hvert af leddeneEksempel med bogstaver (a + b) c = a c + b cEksempel med tal (6 + 2) 2 = 6 2 + 2 2 = 3 + 1 = 4 (8 2 = 4)Specielle tilfaeliglde hvis begge parenteser rummer de samme tal ndash bortset fra fortegnrdquoKvadratet paring en toleddet sumrdquo (a + b)2 = a2 + b2 + 2abVis selv hvordan _________________________________________________________________rdquoKvadratet paring en toleddet diffferensrdquo (a - b)2 = a2 + b2 - 2abVis selv hvordan _________________________________________________________________rdquoTo tals sum gange de samme to tals differensrdquo (a + b)(a ndash b) = a2 - b2 Vis selv hvordan _________________________________________________________________

En praktisk anvendelse af ovenstaringende ndash hovedregning () i rdquoden store tabelrdquo19 middot 19 = (20 ndash 1)2 = 202 + 12 ndash 2 middot 20 middot 1 = 400 + 1 ndash 40 = 36123 middot 23 = (20 + 3)2 = 202 + 32 + 2 middot 20 middot 3 = 400 + 9 + 120 = 529

Hvis man ikke netop bliver bedt om at reducere bogstavudtryk kan arbejdet med algebra bestaring i at finde det paringgaeligldende udtryks stoslashrrelse naringr de indsaeligttes forskellige vaeligrdier i stedet for de rdquoubekendterdquo bogstaver Udfyld saringledes

x 3x x + 4 10 ndash x 2x + 4 -x + 34

Side 24 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

-4-125frac12-20

x y y 2 2x ndash 3y 3 104 148 250 15

Flere klasser har haft glaeligde af at udarbejde saringdanne opgaver i regneark Her gaeliglder det netop om at finde den almene formel som talvaeligrdierne bagefter kan indsaeligttes i

Opgaver Find selv de tilsvarende formler og indsaeligt dem i cellerne A2 B2 C2 D2 E2

og F2 rdquoTraeligk nedrdquo og laeligg maeligrke til om du faringr de samme resultater som vist i

dumprsquoet Indret endnu et regneark og opstil tabel plus formler ogsaring til det andet skema Regn nedenstaringende opgaver Deacutet er reduktion stil gerne op i Word som vist12a ndash 6(3 ndash a) + 8 = 12a ndash 18 + 6a + 8 = 18a ndash 1040 + 3(9 ndash x) + 6x =___________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________________________________

3a + 4(9 ndash 2a) ndash 6 + a =______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2(x + 4) ndash (x + 5) =______________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________

___________________________________________________________5(7y + 5) ndash frac12(50 + 10y)_________________________________________________________=

______________________________________________________________________________________________________________________

FORMLERSide 25 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Specielt finder vi ndash som allerede naeligvnt - en meget nyttig anvendelse af algebra ved opstilling af formler Her garingr opgaven jo netop ud paring at fastlaeliggge en sammenhaeligng mellem forskellige variable stoslashrrelser - ved hjaeliglp af alt andet end konkrete talvaeligrdier Forharingbentlig vil nedenstaringende eksempler vaeligkke en vis genkendelseSammenhaeligngen mellem vejlaeligngde hastighed og tid s = v middot tSammenhaeligngen mellem spaelignding modstand og stroslashmstyrke U = R middot ISammenhaeligngen mellem masse rumfang og massefylde (se ogsaring side 22) m = V middot dEn saringdan sammenhaeligng mellem tre stoslashrrelser kan med fordel illustreres ved hjaeliglp af nedenstaringende trekanter Man laeliggger fingeren over den variable man oslashnsker at finde ndash og den aktuelle omformning af formlen vil umiddelbart fremgaring Lodret linie betyder multiplikation vandret linie (broslashkstreg) betyder division

s m v t V d Vi kan ved algebraens hjaeliglp faktisk selv opstille formler som vi er kommet i tvivl om Hvad er formlen for udregning af hastighed Jo hastighed angives som meter per sekund (ms) eller kilometer per time (kmt) Den skraringstreg der erstatter rdquoperrdquo betyder egentlig division - og dermed har vi den generelle formelHastighed = vejlaeligngde divideret med tid Med ovenstaringende betegnelser v = s t Andre formlerDe fleste formler (og vi bruger dem ofte) kan slarings op i forskellige formelsamlinger Hvis man ikke vil noslashjes med den udgave der er aftrykt i FAKTOR kan den rdquoofficiellerdquo formelsamling til brug for afgangsproslashverne nedlades () fra wwwuvmdk ndash eller man kan (eventuelt paring klassebasis) investere i forlaget degne-distribs tilsvarende rdquomatematiske formler og tabellerrdquo Den koster ikke meget ndash og saring har man lov til at goslashre notater To saeligt formler som vist nok ikke findes andetsteds og som flere klasser har arbejdet en del med skal imidlertid anfoslashres til slut Det drejer sig om

Fremmed valuta Aktier og obligationerDKK = (Valuta 100) middot Kurs Pris = (Paringlydende 100) middot Kurs

(kr) Valuta = (DKK Kurs) middot 100 Paringlydende = (Pris Kurs) middot 100

(kr)Kurs = (DKK Valuta) middot 100 Kurs = (Pris Paringlydende) middot 100 Opgavera) Kurs 120 Paringlydende 100 kroner Hvor mange aktier kan du koslashbe for 60000 kronerb) Hvor mange norske kroner kan du faring for 2000 danske kroner naringr kursen er 8378c) Hvor meget koster 1700 Euro til kurs 74492

LOslashSNING AF LIGNINGERSide 26 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Finde dimensioner +)

(rdquolaeligngde bredde hoslashjderdquo)Udregne med formler

rdquoRegulaeligrerdquo legemerTerninger kasser cylindre kugler

Finde genstandens opdrift ved nedsaelignkning i vandBenytte Arkimedesrsquo lov ++)

Mindre (uregelmaeligssige)legemerCementklump jernlod

Nedsaelignke i maringleglas (mm) med vandMaringle stigningen i vandstand

Smaring (uregelmaeligssige)legemer Bolte soslashm sten

+) FidusBrug den laeligngdemaringlsenhed der direkte giver facit i den oslashnskede rumfangsenhed

Laeligngdemaringl i Rummaringlvolumen i

Spri

ng

paring 1

0

m (meter) 1000 l (tusind liter) = 1 m3 (kubikmeter)

Spri

ng

paring 1

000

dm (decimeter) 1 l (liter) = 1 dm3 (kubikdecimeter)

cm (centimeter) 1 ml (milliliter) = 1cm3 (kubikcentimeter)

++) Arkimedesrsquo lovEn genstand der nedsaelignkes i vand taber lige saring meget i vaeliggt som massen af det vand genstanden fortraeligngerNaringr vi efter ovenstaringende rumfangsbestemmelser ogsaring har fundet den paringgaeligldende genstands masse er vi klar til at arbejde med

Massefylde (vaeliggtfylde) = masse rumfang (volumen)Massefylde angives i gcm3 kgdm3 eller tm3 Sammenhaeligngen mellem de tre variable kan opstilles i en formeltrekant (side 27) Hvis masse eller volumen er den ukendte stoslashrrelse faringr man imidlertid brug for en tabel over forskellige stoffers massefylde

ALGEBRAAlgebra er rdquobogstavregningrdquo Vi bruger algebra naringr vi skal vise at udregninger af og sammenhaelignge mellem forskellige stoslashrrelser gaeliglder for alle talvaeligrdier For algebra ndash men altsaring ogsaring for regnearbejdet med rdquoalmindeligerdquo tal - gaeliglder en raeligkke regler som det er noslashdvendigt at kende naringr vi reducerer ndash skriver paring kortere formRegne-hierarkiFoslashrst potenser og roslashdder saring parenteser saring gange og dividere ndash til sidst plus og minus

Side 23 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Eksempel 4 (3 + 2)2 10 + 8 = 4 52 10 + 8 = 4 25 10 + 8 = 100 10 + 8 = 10 + 8 = 18

Plusparentes- kan haeligves og saeligttes uden at leddene inde i parentesen skifter fortegnEksempel med bogstaver a + (b + c ndash d) = a + b + c ndashdEksempel med tal 9 + (2 + 4 ndash 3) = 9 + 2 + 4 ndash 3 = 12 (9 + 3 = 12)Minusparentes- naringr minusparentesen haeligves skifter leddene inde i parentesen fortegnEksempel med bogstaver a ndash (b + c ndash d) = a ndash b ndash c + dEksempel med tal 9 ndash (2 + 4 ndash 3) = 9 ndash 2 ndash 4 + 3 = 6 (9 ndash 3 = 6)

Flerleddede stoslashrrelserMan ganger en flerleddet stoslashrrelse med et tal ved at gange hvert af leddene med tallet Dette kalder vi den distributive lov (Distribuere ndash dele ud)Eksempel med bogstaver a middot (b + c) = ab + acEksempel med tal 2 middot (4 + 2) = 2 middot 4 + 2 middot 2 = 8 + 4 = 12 (2 middot 6 = 12)Man ganger ndash selvfoslashlgelig - to flerleddede stoslashrrelser med hinanden ved atEksempel med bogstaver (a + b) middot (c + d) = ac + ad + bc + bdEksempel med tal (2 + 3) middot (5 + 4) = 2 middot 5 + 2 middot 4 + 3 middot 5 + 3 middot 4 =

10 + 8 + 15 + 12 = 45 (5 middot 9 = 45)Man dividerer en flerleddet stoslashrrelse med et tal ved at dividere hvert af leddeneEksempel med bogstaver (a + b) c = a c + b cEksempel med tal (6 + 2) 2 = 6 2 + 2 2 = 3 + 1 = 4 (8 2 = 4)Specielle tilfaeliglde hvis begge parenteser rummer de samme tal ndash bortset fra fortegnrdquoKvadratet paring en toleddet sumrdquo (a + b)2 = a2 + b2 + 2abVis selv hvordan _________________________________________________________________rdquoKvadratet paring en toleddet diffferensrdquo (a - b)2 = a2 + b2 - 2abVis selv hvordan _________________________________________________________________rdquoTo tals sum gange de samme to tals differensrdquo (a + b)(a ndash b) = a2 - b2 Vis selv hvordan _________________________________________________________________

En praktisk anvendelse af ovenstaringende ndash hovedregning () i rdquoden store tabelrdquo19 middot 19 = (20 ndash 1)2 = 202 + 12 ndash 2 middot 20 middot 1 = 400 + 1 ndash 40 = 36123 middot 23 = (20 + 3)2 = 202 + 32 + 2 middot 20 middot 3 = 400 + 9 + 120 = 529

Hvis man ikke netop bliver bedt om at reducere bogstavudtryk kan arbejdet med algebra bestaring i at finde det paringgaeligldende udtryks stoslashrrelse naringr de indsaeligttes forskellige vaeligrdier i stedet for de rdquoubekendterdquo bogstaver Udfyld saringledes

x 3x x + 4 10 ndash x 2x + 4 -x + 34

Side 24 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

-4-125frac12-20

x y y 2 2x ndash 3y 3 104 148 250 15

Flere klasser har haft glaeligde af at udarbejde saringdanne opgaver i regneark Her gaeliglder det netop om at finde den almene formel som talvaeligrdierne bagefter kan indsaeligttes i

Opgaver Find selv de tilsvarende formler og indsaeligt dem i cellerne A2 B2 C2 D2 E2

og F2 rdquoTraeligk nedrdquo og laeligg maeligrke til om du faringr de samme resultater som vist i

dumprsquoet Indret endnu et regneark og opstil tabel plus formler ogsaring til det andet skema Regn nedenstaringende opgaver Deacutet er reduktion stil gerne op i Word som vist12a ndash 6(3 ndash a) + 8 = 12a ndash 18 + 6a + 8 = 18a ndash 1040 + 3(9 ndash x) + 6x =___________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________________________________

3a + 4(9 ndash 2a) ndash 6 + a =______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2(x + 4) ndash (x + 5) =______________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________

___________________________________________________________5(7y + 5) ndash frac12(50 + 10y)_________________________________________________________=

______________________________________________________________________________________________________________________

FORMLERSide 25 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Specielt finder vi ndash som allerede naeligvnt - en meget nyttig anvendelse af algebra ved opstilling af formler Her garingr opgaven jo netop ud paring at fastlaeliggge en sammenhaeligng mellem forskellige variable stoslashrrelser - ved hjaeliglp af alt andet end konkrete talvaeligrdier Forharingbentlig vil nedenstaringende eksempler vaeligkke en vis genkendelseSammenhaeligngen mellem vejlaeligngde hastighed og tid s = v middot tSammenhaeligngen mellem spaelignding modstand og stroslashmstyrke U = R middot ISammenhaeligngen mellem masse rumfang og massefylde (se ogsaring side 22) m = V middot dEn saringdan sammenhaeligng mellem tre stoslashrrelser kan med fordel illustreres ved hjaeliglp af nedenstaringende trekanter Man laeliggger fingeren over den variable man oslashnsker at finde ndash og den aktuelle omformning af formlen vil umiddelbart fremgaring Lodret linie betyder multiplikation vandret linie (broslashkstreg) betyder division

s m v t V d Vi kan ved algebraens hjaeliglp faktisk selv opstille formler som vi er kommet i tvivl om Hvad er formlen for udregning af hastighed Jo hastighed angives som meter per sekund (ms) eller kilometer per time (kmt) Den skraringstreg der erstatter rdquoperrdquo betyder egentlig division - og dermed har vi den generelle formelHastighed = vejlaeligngde divideret med tid Med ovenstaringende betegnelser v = s t Andre formlerDe fleste formler (og vi bruger dem ofte) kan slarings op i forskellige formelsamlinger Hvis man ikke vil noslashjes med den udgave der er aftrykt i FAKTOR kan den rdquoofficiellerdquo formelsamling til brug for afgangsproslashverne nedlades () fra wwwuvmdk ndash eller man kan (eventuelt paring klassebasis) investere i forlaget degne-distribs tilsvarende rdquomatematiske formler og tabellerrdquo Den koster ikke meget ndash og saring har man lov til at goslashre notater To saeligt formler som vist nok ikke findes andetsteds og som flere klasser har arbejdet en del med skal imidlertid anfoslashres til slut Det drejer sig om

Fremmed valuta Aktier og obligationerDKK = (Valuta 100) middot Kurs Pris = (Paringlydende 100) middot Kurs

(kr) Valuta = (DKK Kurs) middot 100 Paringlydende = (Pris Kurs) middot 100

(kr)Kurs = (DKK Valuta) middot 100 Kurs = (Pris Paringlydende) middot 100 Opgavera) Kurs 120 Paringlydende 100 kroner Hvor mange aktier kan du koslashbe for 60000 kronerb) Hvor mange norske kroner kan du faring for 2000 danske kroner naringr kursen er 8378c) Hvor meget koster 1700 Euro til kurs 74492

LOslashSNING AF LIGNINGERSide 26 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Eksempel 4 (3 + 2)2 10 + 8 = 4 52 10 + 8 = 4 25 10 + 8 = 100 10 + 8 = 10 + 8 = 18

Plusparentes- kan haeligves og saeligttes uden at leddene inde i parentesen skifter fortegnEksempel med bogstaver a + (b + c ndash d) = a + b + c ndashdEksempel med tal 9 + (2 + 4 ndash 3) = 9 + 2 + 4 ndash 3 = 12 (9 + 3 = 12)Minusparentes- naringr minusparentesen haeligves skifter leddene inde i parentesen fortegnEksempel med bogstaver a ndash (b + c ndash d) = a ndash b ndash c + dEksempel med tal 9 ndash (2 + 4 ndash 3) = 9 ndash 2 ndash 4 + 3 = 6 (9 ndash 3 = 6)

Flerleddede stoslashrrelserMan ganger en flerleddet stoslashrrelse med et tal ved at gange hvert af leddene med tallet Dette kalder vi den distributive lov (Distribuere ndash dele ud)Eksempel med bogstaver a middot (b + c) = ab + acEksempel med tal 2 middot (4 + 2) = 2 middot 4 + 2 middot 2 = 8 + 4 = 12 (2 middot 6 = 12)Man ganger ndash selvfoslashlgelig - to flerleddede stoslashrrelser med hinanden ved atEksempel med bogstaver (a + b) middot (c + d) = ac + ad + bc + bdEksempel med tal (2 + 3) middot (5 + 4) = 2 middot 5 + 2 middot 4 + 3 middot 5 + 3 middot 4 =

10 + 8 + 15 + 12 = 45 (5 middot 9 = 45)Man dividerer en flerleddet stoslashrrelse med et tal ved at dividere hvert af leddeneEksempel med bogstaver (a + b) c = a c + b cEksempel med tal (6 + 2) 2 = 6 2 + 2 2 = 3 + 1 = 4 (8 2 = 4)Specielle tilfaeliglde hvis begge parenteser rummer de samme tal ndash bortset fra fortegnrdquoKvadratet paring en toleddet sumrdquo (a + b)2 = a2 + b2 + 2abVis selv hvordan _________________________________________________________________rdquoKvadratet paring en toleddet diffferensrdquo (a - b)2 = a2 + b2 - 2abVis selv hvordan _________________________________________________________________rdquoTo tals sum gange de samme to tals differensrdquo (a + b)(a ndash b) = a2 - b2 Vis selv hvordan _________________________________________________________________

En praktisk anvendelse af ovenstaringende ndash hovedregning () i rdquoden store tabelrdquo19 middot 19 = (20 ndash 1)2 = 202 + 12 ndash 2 middot 20 middot 1 = 400 + 1 ndash 40 = 36123 middot 23 = (20 + 3)2 = 202 + 32 + 2 middot 20 middot 3 = 400 + 9 + 120 = 529

Hvis man ikke netop bliver bedt om at reducere bogstavudtryk kan arbejdet med algebra bestaring i at finde det paringgaeligldende udtryks stoslashrrelse naringr de indsaeligttes forskellige vaeligrdier i stedet for de rdquoubekendterdquo bogstaver Udfyld saringledes

x 3x x + 4 10 ndash x 2x + 4 -x + 34

Side 24 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

-4-125frac12-20

x y y 2 2x ndash 3y 3 104 148 250 15

Flere klasser har haft glaeligde af at udarbejde saringdanne opgaver i regneark Her gaeliglder det netop om at finde den almene formel som talvaeligrdierne bagefter kan indsaeligttes i

Opgaver Find selv de tilsvarende formler og indsaeligt dem i cellerne A2 B2 C2 D2 E2

og F2 rdquoTraeligk nedrdquo og laeligg maeligrke til om du faringr de samme resultater som vist i

dumprsquoet Indret endnu et regneark og opstil tabel plus formler ogsaring til det andet skema Regn nedenstaringende opgaver Deacutet er reduktion stil gerne op i Word som vist12a ndash 6(3 ndash a) + 8 = 12a ndash 18 + 6a + 8 = 18a ndash 1040 + 3(9 ndash x) + 6x =___________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________________________________

3a + 4(9 ndash 2a) ndash 6 + a =______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2(x + 4) ndash (x + 5) =______________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________

___________________________________________________________5(7y + 5) ndash frac12(50 + 10y)_________________________________________________________=

______________________________________________________________________________________________________________________

FORMLERSide 25 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Specielt finder vi ndash som allerede naeligvnt - en meget nyttig anvendelse af algebra ved opstilling af formler Her garingr opgaven jo netop ud paring at fastlaeliggge en sammenhaeligng mellem forskellige variable stoslashrrelser - ved hjaeliglp af alt andet end konkrete talvaeligrdier Forharingbentlig vil nedenstaringende eksempler vaeligkke en vis genkendelseSammenhaeligngen mellem vejlaeligngde hastighed og tid s = v middot tSammenhaeligngen mellem spaelignding modstand og stroslashmstyrke U = R middot ISammenhaeligngen mellem masse rumfang og massefylde (se ogsaring side 22) m = V middot dEn saringdan sammenhaeligng mellem tre stoslashrrelser kan med fordel illustreres ved hjaeliglp af nedenstaringende trekanter Man laeliggger fingeren over den variable man oslashnsker at finde ndash og den aktuelle omformning af formlen vil umiddelbart fremgaring Lodret linie betyder multiplikation vandret linie (broslashkstreg) betyder division

s m v t V d Vi kan ved algebraens hjaeliglp faktisk selv opstille formler som vi er kommet i tvivl om Hvad er formlen for udregning af hastighed Jo hastighed angives som meter per sekund (ms) eller kilometer per time (kmt) Den skraringstreg der erstatter rdquoperrdquo betyder egentlig division - og dermed har vi den generelle formelHastighed = vejlaeligngde divideret med tid Med ovenstaringende betegnelser v = s t Andre formlerDe fleste formler (og vi bruger dem ofte) kan slarings op i forskellige formelsamlinger Hvis man ikke vil noslashjes med den udgave der er aftrykt i FAKTOR kan den rdquoofficiellerdquo formelsamling til brug for afgangsproslashverne nedlades () fra wwwuvmdk ndash eller man kan (eventuelt paring klassebasis) investere i forlaget degne-distribs tilsvarende rdquomatematiske formler og tabellerrdquo Den koster ikke meget ndash og saring har man lov til at goslashre notater To saeligt formler som vist nok ikke findes andetsteds og som flere klasser har arbejdet en del med skal imidlertid anfoslashres til slut Det drejer sig om

Fremmed valuta Aktier og obligationerDKK = (Valuta 100) middot Kurs Pris = (Paringlydende 100) middot Kurs

(kr) Valuta = (DKK Kurs) middot 100 Paringlydende = (Pris Kurs) middot 100

(kr)Kurs = (DKK Valuta) middot 100 Kurs = (Pris Paringlydende) middot 100 Opgavera) Kurs 120 Paringlydende 100 kroner Hvor mange aktier kan du koslashbe for 60000 kronerb) Hvor mange norske kroner kan du faring for 2000 danske kroner naringr kursen er 8378c) Hvor meget koster 1700 Euro til kurs 74492

LOslashSNING AF LIGNINGERSide 26 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

-4-125frac12-20

x y y 2 2x ndash 3y 3 104 148 250 15

Flere klasser har haft glaeligde af at udarbejde saringdanne opgaver i regneark Her gaeliglder det netop om at finde den almene formel som talvaeligrdierne bagefter kan indsaeligttes i

Opgaver Find selv de tilsvarende formler og indsaeligt dem i cellerne A2 B2 C2 D2 E2

og F2 rdquoTraeligk nedrdquo og laeligg maeligrke til om du faringr de samme resultater som vist i

dumprsquoet Indret endnu et regneark og opstil tabel plus formler ogsaring til det andet skema Regn nedenstaringende opgaver Deacutet er reduktion stil gerne op i Word som vist12a ndash 6(3 ndash a) + 8 = 12a ndash 18 + 6a + 8 = 18a ndash 1040 + 3(9 ndash x) + 6x =___________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________________________________

3a + 4(9 ndash 2a) ndash 6 + a =______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2(x + 4) ndash (x + 5) =______________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________

___________________________________________________________5(7y + 5) ndash frac12(50 + 10y)_________________________________________________________=

______________________________________________________________________________________________________________________

FORMLERSide 25 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Specielt finder vi ndash som allerede naeligvnt - en meget nyttig anvendelse af algebra ved opstilling af formler Her garingr opgaven jo netop ud paring at fastlaeliggge en sammenhaeligng mellem forskellige variable stoslashrrelser - ved hjaeliglp af alt andet end konkrete talvaeligrdier Forharingbentlig vil nedenstaringende eksempler vaeligkke en vis genkendelseSammenhaeligngen mellem vejlaeligngde hastighed og tid s = v middot tSammenhaeligngen mellem spaelignding modstand og stroslashmstyrke U = R middot ISammenhaeligngen mellem masse rumfang og massefylde (se ogsaring side 22) m = V middot dEn saringdan sammenhaeligng mellem tre stoslashrrelser kan med fordel illustreres ved hjaeliglp af nedenstaringende trekanter Man laeliggger fingeren over den variable man oslashnsker at finde ndash og den aktuelle omformning af formlen vil umiddelbart fremgaring Lodret linie betyder multiplikation vandret linie (broslashkstreg) betyder division

s m v t V d Vi kan ved algebraens hjaeliglp faktisk selv opstille formler som vi er kommet i tvivl om Hvad er formlen for udregning af hastighed Jo hastighed angives som meter per sekund (ms) eller kilometer per time (kmt) Den skraringstreg der erstatter rdquoperrdquo betyder egentlig division - og dermed har vi den generelle formelHastighed = vejlaeligngde divideret med tid Med ovenstaringende betegnelser v = s t Andre formlerDe fleste formler (og vi bruger dem ofte) kan slarings op i forskellige formelsamlinger Hvis man ikke vil noslashjes med den udgave der er aftrykt i FAKTOR kan den rdquoofficiellerdquo formelsamling til brug for afgangsproslashverne nedlades () fra wwwuvmdk ndash eller man kan (eventuelt paring klassebasis) investere i forlaget degne-distribs tilsvarende rdquomatematiske formler og tabellerrdquo Den koster ikke meget ndash og saring har man lov til at goslashre notater To saeligt formler som vist nok ikke findes andetsteds og som flere klasser har arbejdet en del med skal imidlertid anfoslashres til slut Det drejer sig om

Fremmed valuta Aktier og obligationerDKK = (Valuta 100) middot Kurs Pris = (Paringlydende 100) middot Kurs

(kr) Valuta = (DKK Kurs) middot 100 Paringlydende = (Pris Kurs) middot 100

(kr)Kurs = (DKK Valuta) middot 100 Kurs = (Pris Paringlydende) middot 100 Opgavera) Kurs 120 Paringlydende 100 kroner Hvor mange aktier kan du koslashbe for 60000 kronerb) Hvor mange norske kroner kan du faring for 2000 danske kroner naringr kursen er 8378c) Hvor meget koster 1700 Euro til kurs 74492

LOslashSNING AF LIGNINGERSide 26 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Specielt finder vi ndash som allerede naeligvnt - en meget nyttig anvendelse af algebra ved opstilling af formler Her garingr opgaven jo netop ud paring at fastlaeliggge en sammenhaeligng mellem forskellige variable stoslashrrelser - ved hjaeliglp af alt andet end konkrete talvaeligrdier Forharingbentlig vil nedenstaringende eksempler vaeligkke en vis genkendelseSammenhaeligngen mellem vejlaeligngde hastighed og tid s = v middot tSammenhaeligngen mellem spaelignding modstand og stroslashmstyrke U = R middot ISammenhaeligngen mellem masse rumfang og massefylde (se ogsaring side 22) m = V middot dEn saringdan sammenhaeligng mellem tre stoslashrrelser kan med fordel illustreres ved hjaeliglp af nedenstaringende trekanter Man laeliggger fingeren over den variable man oslashnsker at finde ndash og den aktuelle omformning af formlen vil umiddelbart fremgaring Lodret linie betyder multiplikation vandret linie (broslashkstreg) betyder division

s m v t V d Vi kan ved algebraens hjaeliglp faktisk selv opstille formler som vi er kommet i tvivl om Hvad er formlen for udregning af hastighed Jo hastighed angives som meter per sekund (ms) eller kilometer per time (kmt) Den skraringstreg der erstatter rdquoperrdquo betyder egentlig division - og dermed har vi den generelle formelHastighed = vejlaeligngde divideret med tid Med ovenstaringende betegnelser v = s t Andre formlerDe fleste formler (og vi bruger dem ofte) kan slarings op i forskellige formelsamlinger Hvis man ikke vil noslashjes med den udgave der er aftrykt i FAKTOR kan den rdquoofficiellerdquo formelsamling til brug for afgangsproslashverne nedlades () fra wwwuvmdk ndash eller man kan (eventuelt paring klassebasis) investere i forlaget degne-distribs tilsvarende rdquomatematiske formler og tabellerrdquo Den koster ikke meget ndash og saring har man lov til at goslashre notater To saeligt formler som vist nok ikke findes andetsteds og som flere klasser har arbejdet en del med skal imidlertid anfoslashres til slut Det drejer sig om

Fremmed valuta Aktier og obligationerDKK = (Valuta 100) middot Kurs Pris = (Paringlydende 100) middot Kurs

(kr) Valuta = (DKK Kurs) middot 100 Paringlydende = (Pris Kurs) middot 100

(kr)Kurs = (DKK Valuta) middot 100 Kurs = (Pris Paringlydende) middot 100 Opgavera) Kurs 120 Paringlydende 100 kroner Hvor mange aktier kan du koslashbe for 60000 kronerb) Hvor mange norske kroner kan du faring for 2000 danske kroner naringr kursen er 8378c) Hvor meget koster 1700 Euro til kurs 74492

LOslashSNING AF LIGNINGERSide 26 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Den mest rdquoholdbarerdquo metode ved ligningsloslashsning bygger paring den rdquoligevaeliggtrdquo som lighedstegnet jo udsiger ndash og som vi tit illustrerer i en figur som nedenstaringende

Paring en saringdan gammeldags skaringlvaeliggt bevares ligevaeliggten ved hele tiden at laeliggge samme vaeliggt paring eller fjerne samme vaeliggt paring begge skaringleI rdquotal og bogstaverrdquo svarer dette til at vi undervejs i ligningsloslashsningen (hvor det handler om at rdquoisolererdquo den ubekendte) bevarer venstre side af lighedstegnet lig med hoslashjre side af lighedstegnet ved kun at foretage de samme regneoperationer paring begge sider Dette giver os fire regneregler1) Man maring laeliggge samme tal til paring begge sider af lighedstegnet2) Man maring traeligkke samme tal fra paring begge sider af lighedstegnet3) Man maring gange med det samme tal (bortset fra 0) paring begge sider af

lighedstegnet4) Man maring dividere med det samme tal (bortset fra 0) paring begge sider af

lighedstegnetOslashvelseLoslashs foslashlgende ligninger (find x) under anvendelse af regel 1x ndash 3 = 5 x ndash 7 = 4 x ndash 2 = 1 x ndash 1 = -2 x ndash 3 = -1 -7 + x = 4 -1 + x = -2 8 ndash x = 0 Loslashs foslashlgende ligninger (find x) under anvendelse af regel 2x + 3 = 5 x + 7 = 4 x + 2 = 1 x + 1 = -2 x + 3 = -1 7 + x = 4 1 + x = -2 8 + x = 2x Loslashs foslashlgende ligninger under anvendelse af regel 3x 4 = 1 x 3 = 2 x 5 = 3 x 2 = -4 x 4 = -2 x -2 = 2 x -4 = -1 x 1 = 0Loslashs foslashlgende ligninger under anvendelse af regel 42x = 12 5x = 10 4x = 2 3x = 6 2x = -8 9 = 3x -2x = 14 ndashx = 4 4x = 2 4x = 1 Oslashvelse Skriv i skemaet hvad der sker undervejs i ligningsloslashsningen3x +12 = 24

x 7 + 1 = 2

3x + 24 = 12

3x = 12

x 7 = 1

3x = -12

x = 4

x = 7

x = -4

LOslashSNING AF ULIGHEDERSide 27 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Skaringlvaeliggten paring foregaringende side illustrerer at lighedstegnet i en ligning er udtryk for en ligevaeliggt der undervejs i loslashsningen skal bevares Paring samme maringde kan man maringske taelignke sig at hvis der paring en skaringlvaeliggt eacuten gang er etableret uligevaeliggt - ja saring skal der ogsaring holdes fast i denne indtil vi har isoleret den ubekendte paring hoslashjre eller venstre side og dermed loslashst uligheden Dette kan ndash igen ndash goslashres ved hele tiden at operere med samme tal paring begge sider uanset om vi laeliggger til traeligkker fra ganger eller dividerer Altsaring1) Man maring laeliggge samme tal til paring begge sider af ulighedstegnet2) Man maring traeligkke samme tal fra paring begge sider af ulighedstegnet3) Man maring gange med det samme positive tal paring begge sider af

ulighedstegnet4) Man maring dividere med det samme positive tal paring begge sider af

ulighedstegnetBemaeligrk dog en indskraelignkning i gyldigheden af ovenstaringende (markeret med fede typer) Naringr vi loslashser uligheder gaeliglder nemlig specielt5) Man maring gange med samme negative tal paring begge sider af ulighedstegnet

hvis man samtidig vender ulighedstegnet6) Man maring dividere med samme negative tal paring begge sider af ulighedstegnet

hvis man samtidig vender ulighedstegnet

Ovenstaringende specielle regler kan dog rdquoomgaringsrdquo ved hjaeliglp af et lille fif Hvis de ubekendte (x-erne) samles paring den side hvor der i forvejen er flest undgaringr man helt at skulle gange eller dividere med negative tal

Eksemplerx + 4 lt 6 lt=gt x + 4 ndash 4 lt 6 ndash 4 lt=gt x lt 2 Her trak vi 4 fra paring begge sider af ulighedstegnet x ndash 2 lt 8 lt=gt x ndash 2 + 2 lt 8 + 2 lt=gt x lt 10 Her lagde vi 2 til paring begge siderfrac12x gt 4 lt=gt 2 bull frac12x gt 2 bull 4 lt=gt x gt 8 Her gangede vi med samme positive tal paring begge sider 3x gt 12 lt=gt 3x 3 gt 12 3 lt=gt x gt 4 Her dividerede vi med samme positive tal-4x gt 20 lt=gt -4x (-4) lt 20 (-4) lt=gt x lt (-5)Her dividerede vi med (-4) og maringtte altsaring vende ulighedstegnet Alternativ metode-4x gt 20 lt=gt -4x + 4x ndash 20 gt 20 ndash 20 + 4x lt=gt -20 gt 4x lt=gt -5 gt xHer lagde vi 4x til og trak 20 fra paring begge sider af ulighedstegnet Her udgik at skulle vende ulighedstegnet men facit er jo det samme bare laeligst fra den anden side Notation der bygger paring angivelse af ulighederHvis man vil illustrere bestemt talintervaller kan dette foregaring paring forskellig vis Notation med parenteser Notation med

ulighedstegnInterval

]-1 2[ -1 lt x lt 2 Aringbent]-1 2] -1 lt x le 2 Halvaringbent (fra venstre)[-1 2[ -1 le x lt 2 Halvaringbent (fra hoslashjre)[-1 2] -1 le x le 2 Lukket

Side 28 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

POTENSVi bruger potens og de regneregler der knytter sig hertil for nemheds og overskueligheds skyld Notation med potenser er nemlig foslashrst og fremmest en kortere maringde at skrive bestemte (meget store eller meget smaring) tal paring Hvis man yderligere kender potensregnereglerne kan man slippe lettere og sikrere om ved ikke saring faring trivielle udregninger For at kunne haringndtere saringdanne regler er det ogsaring her noslashdvendigt at kende et vist maringl af rdquofagudtrykrdquo

- og 84 betyder altsaring 8 ganget med sig selv 4 gange 84 = 8bull8bull8bull8 Regnereglerne for potenser kan saeligttes i vaeligrk naringr der er tale om multiplikation eller divisionan bull am = am + n Formuleret i ordMan ganger to potenser med samme rod ved at beholde roden og addere eksponenterneEksempel 23 bull 24 = 23 + 4 = 27 = 128 Kontrol 8 bull 16 = 128an am = am - n Formuleret i ordMan dividerer to potenser med samme rod ved at beholde roden og subtrahere eksponenterneEksempel 35 33 = 35 ndash 3 = 32 = 9 Kontrol 243 27 = 9an bn = (a b)n Formuleret i ordMan dividerer to potenser med samme eksponent ved at dividere roslashdderne og beholde eksponentenEksempel 43 23 = (4 2)3 = 23 = 8 Kontrol 64 8 = 8an bull bn = (a bull b)n Formuleret i ordMan ganger to potenser med samme eksponent ved at gange roslashdderne og beholde eksponentenEksempel 52 bull 42 = (5 bull4)2 = 202 = 400 Kontrol 25 bull 16 = 400NB De to sidste regneregler vil i de fleste formelsamlinger vaeligre formuleret rdquofra hoslashjre mod venstrerdquo Se selv efter hvordan det skal forstarings (an)m = anbullm Formuleret i ordMan oploslashfter en potens til en ny potens ved at beholde roden og gange eksponenterneEksempel (32)2 = 32bull2 = 34 = 81 Kontrol 9 bull 9 = 81

Definitioner og skrivemaringderTallet a0 vil altid vaeligre lig 1 Denne skrivemaringde kan underbygges logisk ud fra vort kendskab til potensregnereglerne paring foregaringende side

Side 29 af 42

PotensEksponent

84Rod

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

a4 a4 = a4 ndash 4 = a0 Men da et tal divideret med sig selv (a4 a4) er lig 1 faringr vi a0

= 1 Bemaeligrk Med ovenstaringende rdquobevisrdquo er der eacutet tal der ikke kan give resultatet 1 ved oploslashftning til rdquonulrsquote potensrdquo Hvilket tal er detBevaeligger vi os videre ad ovenstaringende spor faringr vi hereftera4 a6 = a4 ndash 6 = a-2 Betragtes a4 a6 som en broslashk kan resultatet skrives 1 a2 Altsaring faringr vi at a-2 = 1 a2 hvilket generelt kan formuleres som a-n = 1 an TierpotenserDet er specielt ved anvendelse af potenser af tallet 10 at meget talmateriale kan bringes paring en overskuelig form og blive lettere at regne (videre) medAfstanden fra Jorden til Solen er cirka 150 millioner kilometer Skrevet paring normal vis ser dette tal saringdan ud 150000000 km Vi har her allerede at goslashre med et tal hvor det kan vaeligre svaeligrt at aflaeligse det korrekte antal nuller Hvis man ikke vaeliglger at benytte en anden laeligngdeenhed (1 astronomisk enhed er netop lig 150 mio km) kan tallet skrives paring kortere form saringledes 15 bull 108km idet eksponenten 8 angiver det antal pladser kommaet er rykket til venstreI atomfysikken opereres tilsvarende med meget smaring tal Elever i baringde 8 og 9 klasse ved () at massen af en kernepartikel er 0000 000 000 000 000 000 000 0017 gram Her har man valgt at bruge en meget lille masse-enhed kaldet u som er en forkortelse af unit (enhed) Skrevet som tal gange tierpotens faringr vi 1 u 17 10-24 gram Her angiver den negative eksponent at kommaet er rykket 24 pladser til hoslashjreDer gaeliglder (naturligvis) samme regneregler for (tal gange) tierpotenser som for potenser i oslashvrigt Vi kan altsaring operere med multipikation og division - som for eksempel5000 bull 120000 = 5 bull 103 bull 12 bull 104 = 5 bull 12 bull 103+4 = 60 bull 107 = 6 bull 108

00007 bull 000006 = 7 bull 10-4 bull 6 bull 10-5 = 7 bull 6 bull 10-4-5 = 42 bull 10-9 = 42 bull 10-8

6000000 300 = 6 bull 106 3 bull 102 = (6 3) bull 106-2 = 2 bull 104 0000002 004 = 2 bull 10-6 4 bull 10 -2 = (2 4) bull 10-6-(-2) = 05 bull 10-4 = 5 bull 10-5

- anderledes med addition og subtraktion104 + 102 + 101 = 10000 + 100 + 10 = 10110 105 ndash 102 = 100000 ndash 100 = 99900 Afslutningsvis en tabel over tierpotenser og rdquoalmindelige talrdquo Efter den gennemgaringede systematik og skrivemaringde kan tabellen udvides i begge retninger Tal 1000 100 10 1 01 001 0001Potens

103 102 101 100 10-1 10-2 10-3

(Broslashk)

11 110 1100 11000

KVADRATRODEn gang imellem viser det sig paring laeligngere sigt at vaeligre til mere skade end gavn hvis man rdquofor nemheds skyldrdquo laeligrer noget der enten er mindre korrekt ndash eller at man eksempelvis tilegner sig en metodealgoritme der saring viser sig ikke at rdquoholderdquo hele vejen Vi vil i tilfaeligldet kvadratrod derfor anvende den rigtige definition straks fra starten()

Side 30 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Definition For a ge 0 gaeliglderradica = b lt=gt b ge 0 iquest b2 = aAt kvadratroden af et ikke-negativt tal a er lig med tallet b er ensbetydende med at b er ikke-negativt og b oploslashftet til anden potens giver aEksempler radic9 = 3 da 3 ge 0 og 32 = 9radic0 01 = 01 da 01 ge 0 og 012 = 001radic14 = 12 da 12 ge 0 og 122 = 14

For regning med kvadratroslashdder gaeliglder foslashlgende regler (beskrevet ved taleksempler)

Kvadratrod ganget med kvadratrod radic2 bull radic8 = radic2sdot8 = radic16 = 4

Kvadratrod divideret med kvadratrod radic12radic3 = radic123 = radic4 = 2

Reduktion af kvadrat plus (eller minus) kvadratrod ndash kan kun lade sig goslashre hvis vi ved hjaeliglp af primfaktoroploslashsning fremskaffer det samme tal under begge kvadratrodstegn

radic175 + radic252 = radic5sdot5sdot7 + radic2sdot2sdot3sdot3sdot7 = 5radic7 + 2 3radic7 = 5radic7 + 6radic7 = 11radic7For retvinklede trekanter gaeliglder Pythagorasrsquo saeligtning a2 + b2 = c2

Her betegner a og b kateterne og c betegner hypotenusen i en retvinklet trekant

B

c a

C b AHvis man ikke kender en katetes laeligngde maring regelen formuleres saringledes a2 = c2

- b2

Laeligngden af hypotenusen farings som c = radica2+ b2 Katetens laeligngde farings som a = radicc2 minus b2Som man maringske husker er det ogsaring ved hjaeliglp af Pythagoras vi indser at et tal som radic2 eksisterer (er reelt) idet et kvadrat med sidelaeligngden 1 jo netop maring have en diagonallaeligngde paring radic2 Da vi ikke i vores decimalsystem kan angive tal som radic2 med 100 procents noslashjagtighed kalder vi saringdanne tal for irrationale (NB Dette betyder ikke rdquoufornuftige talrdquo)

PERSPEKTIVTEGNINGRegler

Side 31 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

1) Vandrette parallelle linier som fjerner sig fra iagttageren loslashber sammen i et punkt forsvindingspunktet

2) Forsvindingspunktet-punkterne ligger paring horisontlinien der er i samme hoslashjde som iagttagerens oslashjenhoslashjde

Med 1 forsvindingspunkt Horisontlinie Forsvindingspunkt

Vandret frontlinie

Med 2 forsvindingspunkter

Forsvindingspunkt Forsvindingspunkt

Normalperspektiv Horisontlinie rdquogennemrdquo figuren

Forsvindingspunkt ForsvindingspunktFroslashperspektiv Horisontlinie under figuren

Med 2 forsvindingspunkter fortsatForsvindingspunkt Forsvindingspunkt

Side 32 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Midtpunkt AB

Fugleperspektiv Horisontlinie over figurenBemaeligrk at man ved tegning med 1 forsvindingspunkt kigger ind i en flade Naringr tegningen har 2 forsvindingspunkter kigger man derimod ind mod et hjoslashrneTIP Paring en tegning med 2 forsvindingspunkter placeres figuren saringledes i forhold til disse at ovennaeligvnte hjoslashrnevinkel (paring tegningen herover ved A) bliver stoslashrre end 90ordm Saringledes sikrer man at tegningen ikke bare er korrekt udfoslashrt men ogsaring ser rdquorigtigrdquo udMed 3 forsvindingspunkter(aktuelt ved tegning af meget hoslashje objekter for eksempel skyskrabere) Forsvindingspunkt

Forsvindingspunkt Forsvindingspunkt

Perspektivtegning ndash introduktion af nyt() begrebI andre fremstillinger1 af perspektivtegningens grundbegreber beskrives en ganske kompliceret fremgangsmaringde til konstruktion af den rdquobagerste tagkantrdquo (angivet med pil) Konstruktion af husets rdquousynligerdquo ydervaeliggge ndash tegning af diagonaler til bestemmelse af bagerste gavls midtpunkt ndash tegning af en lodret linje gennem midtpunktet ndash denne linjes skaeligring med tagrygningen forbindes med tagrandens hoslashjre endepunktHerunder et forslag til en nemmere fremgangsmaringde Fra venstre forsvindingspunkt (FP) tegnes en lodret halvlinje der i mangel af bedre betegnelse kaldes en forsvindingsakse Denne akses skaeligringspunkt med forreste tagkants forlaeligngelse forbindes dernaeligst med tagrandens hoslashjre endepunkt

1 Se for eksempel Opgaveforlagets rdquoFAEligRDIGHEDSREGNING - amp perspektivtegningrdquo 8 klasseSide 33 af 42

Fors

vind

ings

rdquoaks

erdquo

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Hermed er den perspektivisk korrekte haeligldning af bagerste tagkant allerede fastlagt

STATISTIK OG DIAGRAMMER

Herunder er der plads til dit forsoslashg Tegn for afvekslingens skyld et hus med hoslashjre gavl synlig ndash ogeller vaeliglg for eksempel fugleperspektiv frem for normalperspektiv

STATISTIKHerunder foslashlger en praeligsentation af forskellige diagramtyper der vil vaeligre velegnede til at illustrere bestemte data-sammenhaelignge De anvendte eksempler vil forharingbentlig vaeligkke genkendelse hos nogle af dette kompendiums laeligsere

Stolper eller soslashjlerI modsaeligtning til hvad man kan laeligse sig til i andre fremstillinger kaldes nedenstaringende for pindediagrammer eventuelt stolpediagrammer Betegnelsen soslashjlediagrammer vil vi (selv om altsaring Excel og FAKTOR mener noget andet) fortsat reservere til illustration i forbindelse med grupperede observationer

Side 34 af 42

Aldersprofil i Danmark 1999

0

500000

1000000

1500000

2000000

0-14 15-66 67-Aldersintervaller

Anta

l per

sone

r

Drengemaelignd

Pigerkvinder

Trespring kvinder OL 2000

130135140145150

1 3 5 7 9 11 13 15

Laeligng

de i

met

er

Bedste forsoslashg Gennemsnit

Fors

vind

ings

rdquoaks

erdquo

Horisontlinje

Fors

vind

ings

pun

kt

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Bemaeligrk at diagrammet til venstre illustrerer hyppighed ndash men at en tilsvarende afbildning af frekvensen havde taget sig ud paring samme maringde Hoslashjeste stolpe angiver typetal (eller her typeinterval) ndash den observation der forekommer flest gangeDiagrammet til hoslashjre afbilder sportsresultater ndash deltagernumre langs x-aksen laeligngden af de paringgaeligldendes spring paring op ad y-aksen Her er yderligere indtegnet gennemsnittet der ogsaring kaldes middeltallet Sum af observationer divideret med antal observationer

ProcentfordelingCirkeldiagrammet og den rdquostablederdquo procentsoslashjle har begge deres fordele Bruger man regnearkets faciliteter vil det vaeligre let at faring cirkeldiagrammet til at udregne og vise ikke bare rdquolagkagestykkernerdquo men ogsaring de tilhoslashrende procenter

Udvikling over tidHvis det paringgaeligldende data-materiale beskriver variationen af de maringlte stoslashrrelser inden for et bestemt tidsrum vil det vaeligre oplagt i stedet for omstaringende at illustrere dette ved hjaeliglp af en kurve Her skal ndash uden undtagelse ndash tiden afbildes hen ad x-aksen mens paringgaeligldende maringleresultater afsaeligttes op ad y-aksen Kurven kan vise simple sammenhaelignge mellem tid og vejlaeligngde (enheder paring x-aksen sekunder minutter eller timer) ndash eller som herunder udvikling over maringneder og hele aringr

Andre diagramtyper ndash paring computer

Side 35 af 42

Ungdomsblade

23

2017

15

1312

Chili Tjeck NatampDag Vi Unge Mix Gaffa 15 16 17 18 19

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

53693

55612

56028

60266

61971

Unges aldersfordeling

Samlet torskefangst i 1979 og 2000

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

Janu

ar

Febr

uar

Mar

ts

Apr

il

Maj

Juni

Juli

Aug

ust

Sep

tem

ber

Okt

ober

Nov

embe

r

Dec

embe

r

Anta

l ton

2000 1979

15-aringrige 1997-2001

26000

26500

27000

27500

28000

28500

29000

29500

1997

1998

1999

2000

2001

Maelignd Kvinder

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Det vil vaeligre kendt for nogle at Excel i det mindste ved arbejde med trappediagram soslashjlediagram og sumkurve viser sig at vaeligre utilstraeligkkeligt som rdquotegneredskabrdquo Herunder en antydning af hvordan det kan goslashres i et rdquorigtigtrdquo program til deskriptiv statistik Saeligrligt interesserede kan hente en demo-version til videre beskaeligftigelse med emnet paring nedenstaringende internet-adresse

wwweh-matdkstatistikhtml

KOMBINATORIKInden man ndash som det bliver gennemgaringet i det foslashlgende afsnit - kan arbejde med beregning af sandsynligheder skal man kende visse principper for antalsbestemmelse

rdquoEnten ellerrdquoDet klassiske eksempel handler om mad Hvis jeg maring vaeliglge eacuten ret og har 5 hovedretter og 4 forretter at vaeliglge imellem staringr valget mellem en forret eller en hovedret Dermed har jeg 5 + 4 = 9 valgmuligheder rdquoEnten ellerrdquo haelignger altsaring sammen med rdquoplusrdquo

rdquoBaringde ogrdquoHvis jeg paring det samme menukort derimod maring vaeliglge baringde en forret og en hovedret har jeg 4 middot 5 = 20 valgmuligheder rdquoBaringde ogrdquo haelignger altsaring sammen med gange

TaeliglletraeligMan kan i ovenstaringende tilfaeliglde ndash faring valgprocesser faring valgmuligheder ndash skabe sig et overblik ved hjaeliglp af taeliglletraeliget 4 valgmuligheder i foslashrste valg kombineres med 5 muligheder i andet valg ndash i alt 4 gange 5 = 20 rdquoforgreningerrdquo Tegn selv faeligrdig

Stikproslashver

Side 36 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Skaringlvaeliggten paring foregaringende side illustrerer at lighedstegnet i en ligning er udtryk for en ligevaeliggt der undervejs i loslashsningen skal bevares Paring samme maringde kan man maringske taelignke sig at hvis der paring en skaringlvaeliggt eacuten gang er etableret uligevaeliggt - ja saring skal der ogsaring holdes fast i denne indtil vi har isoleret den ubekendte paring hoslashjre eller venstre side og dermed loslashst uligheden Dette kan ndash igen ndash goslashres ved hele tiden at operere med samme tal paring begge sider uanset om vi laeliggger til traeligkker fra ganger eller dividerer Altsaring1) Man maring laeliggge samme tal til paring begge sider af ulighedstegnet2) Man maring traeligkke samme tal fra paring begge sider af ulighedstegnet3) Man maring gange med det samme positive tal paring begge sider af

ulighedstegnet4) Man maring dividere med det samme positive tal paring begge sider af

ulighedstegnetBemaeligrk dog en indskraelignkning i gyldigheden af ovenstaringende (markeret med fede typer) Naringr vi loslashser uligheder gaeliglder nemlig specielt5) Man maring gange med samme negative tal paring begge sider af ulighedstegnet

hvis man samtidig vender ulighedstegnet6) Man maring dividere med samme negative tal paring begge sider af ulighedstegnet

hvis man samtidig vender ulighedstegnet

Ovenstaringende specielle regler kan dog rdquoomgaringsrdquo ved hjaeliglp af et lille fif Hvis de ubekendte (x-erne) samles paring den side hvor der i forvejen er flest undgaringr man helt at skulle gange eller dividere med negative tal

Eksemplerx + 4 lt 6 lt=gt x + 4 ndash 4 lt 6 ndash 4 lt=gt x lt 2 Her trak vi 4 fra paring begge sider af ulighedstegnet x ndash 2 lt 8 lt=gt x ndash 2 + 2 lt 8 + 2 lt=gt x lt 10 Her lagde vi 2 til paring begge siderfrac12x gt 4 lt=gt 2 bull frac12x gt 2 bull 4 lt=gt x gt 8 Her gangede vi med samme positive tal paring begge sider 3x gt 12 lt=gt 3x 3 gt 12 3 lt=gt x gt 4 Her dividerede vi med samme positive tal-4x gt 20 lt=gt -4x (-4) lt 20 (-4) lt=gt x lt (-5)Her dividerede vi med (-4) og maringtte altsaring vende ulighedstegnet Alternativ metode-4x gt 20 lt=gt -4x + 4x ndash 20 gt 20 ndash 20 + 4x lt=gt -20 gt 4x lt=gt -5 gt xHer lagde vi 4x til og trak 20 fra paring begge sider af ulighedstegnet Her udgik at skulle vende ulighedstegnet men facit er jo det samme bare laeligst fra den anden side Notation der bygger paring angivelse af ulighederHvis man vil illustrere bestemt talintervaller kan dette foregaring paring forskellig vis Notation med parenteser Notation med

ulighedstegnInterval

]-1 2[ -1 lt x lt 2 Aringbent]-1 2] -1 lt x le 2 Halvaringbent (fra venstre)[-1 2[ -1 le x lt 2 Halvaringbent (fra hoslashjre)[-1 2] -1 le x le 2 Lukket

Side 28 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

POTENSVi bruger potens og de regneregler der knytter sig hertil for nemheds og overskueligheds skyld Notation med potenser er nemlig foslashrst og fremmest en kortere maringde at skrive bestemte (meget store eller meget smaring) tal paring Hvis man yderligere kender potensregnereglerne kan man slippe lettere og sikrere om ved ikke saring faring trivielle udregninger For at kunne haringndtere saringdanne regler er det ogsaring her noslashdvendigt at kende et vist maringl af rdquofagudtrykrdquo

- og 84 betyder altsaring 8 ganget med sig selv 4 gange 84 = 8bull8bull8bull8 Regnereglerne for potenser kan saeligttes i vaeligrk naringr der er tale om multiplikation eller divisionan bull am = am + n Formuleret i ordMan ganger to potenser med samme rod ved at beholde roden og addere eksponenterneEksempel 23 bull 24 = 23 + 4 = 27 = 128 Kontrol 8 bull 16 = 128an am = am - n Formuleret i ordMan dividerer to potenser med samme rod ved at beholde roden og subtrahere eksponenterneEksempel 35 33 = 35 ndash 3 = 32 = 9 Kontrol 243 27 = 9an bn = (a b)n Formuleret i ordMan dividerer to potenser med samme eksponent ved at dividere roslashdderne og beholde eksponentenEksempel 43 23 = (4 2)3 = 23 = 8 Kontrol 64 8 = 8an bull bn = (a bull b)n Formuleret i ordMan ganger to potenser med samme eksponent ved at gange roslashdderne og beholde eksponentenEksempel 52 bull 42 = (5 bull4)2 = 202 = 400 Kontrol 25 bull 16 = 400NB De to sidste regneregler vil i de fleste formelsamlinger vaeligre formuleret rdquofra hoslashjre mod venstrerdquo Se selv efter hvordan det skal forstarings (an)m = anbullm Formuleret i ordMan oploslashfter en potens til en ny potens ved at beholde roden og gange eksponenterneEksempel (32)2 = 32bull2 = 34 = 81 Kontrol 9 bull 9 = 81

Definitioner og skrivemaringderTallet a0 vil altid vaeligre lig 1 Denne skrivemaringde kan underbygges logisk ud fra vort kendskab til potensregnereglerne paring foregaringende side

Side 29 af 42

PotensEksponent

84Rod

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

a4 a4 = a4 ndash 4 = a0 Men da et tal divideret med sig selv (a4 a4) er lig 1 faringr vi a0

= 1 Bemaeligrk Med ovenstaringende rdquobevisrdquo er der eacutet tal der ikke kan give resultatet 1 ved oploslashftning til rdquonulrsquote potensrdquo Hvilket tal er detBevaeligger vi os videre ad ovenstaringende spor faringr vi hereftera4 a6 = a4 ndash 6 = a-2 Betragtes a4 a6 som en broslashk kan resultatet skrives 1 a2 Altsaring faringr vi at a-2 = 1 a2 hvilket generelt kan formuleres som a-n = 1 an TierpotenserDet er specielt ved anvendelse af potenser af tallet 10 at meget talmateriale kan bringes paring en overskuelig form og blive lettere at regne (videre) medAfstanden fra Jorden til Solen er cirka 150 millioner kilometer Skrevet paring normal vis ser dette tal saringdan ud 150000000 km Vi har her allerede at goslashre med et tal hvor det kan vaeligre svaeligrt at aflaeligse det korrekte antal nuller Hvis man ikke vaeliglger at benytte en anden laeligngdeenhed (1 astronomisk enhed er netop lig 150 mio km) kan tallet skrives paring kortere form saringledes 15 bull 108km idet eksponenten 8 angiver det antal pladser kommaet er rykket til venstreI atomfysikken opereres tilsvarende med meget smaring tal Elever i baringde 8 og 9 klasse ved () at massen af en kernepartikel er 0000 000 000 000 000 000 000 0017 gram Her har man valgt at bruge en meget lille masse-enhed kaldet u som er en forkortelse af unit (enhed) Skrevet som tal gange tierpotens faringr vi 1 u 17 10-24 gram Her angiver den negative eksponent at kommaet er rykket 24 pladser til hoslashjreDer gaeliglder (naturligvis) samme regneregler for (tal gange) tierpotenser som for potenser i oslashvrigt Vi kan altsaring operere med multipikation og division - som for eksempel5000 bull 120000 = 5 bull 103 bull 12 bull 104 = 5 bull 12 bull 103+4 = 60 bull 107 = 6 bull 108

00007 bull 000006 = 7 bull 10-4 bull 6 bull 10-5 = 7 bull 6 bull 10-4-5 = 42 bull 10-9 = 42 bull 10-8

6000000 300 = 6 bull 106 3 bull 102 = (6 3) bull 106-2 = 2 bull 104 0000002 004 = 2 bull 10-6 4 bull 10 -2 = (2 4) bull 10-6-(-2) = 05 bull 10-4 = 5 bull 10-5

- anderledes med addition og subtraktion104 + 102 + 101 = 10000 + 100 + 10 = 10110 105 ndash 102 = 100000 ndash 100 = 99900 Afslutningsvis en tabel over tierpotenser og rdquoalmindelige talrdquo Efter den gennemgaringede systematik og skrivemaringde kan tabellen udvides i begge retninger Tal 1000 100 10 1 01 001 0001Potens

103 102 101 100 10-1 10-2 10-3

(Broslashk)

11 110 1100 11000

KVADRATRODEn gang imellem viser det sig paring laeligngere sigt at vaeligre til mere skade end gavn hvis man rdquofor nemheds skyldrdquo laeligrer noget der enten er mindre korrekt ndash eller at man eksempelvis tilegner sig en metodealgoritme der saring viser sig ikke at rdquoholderdquo hele vejen Vi vil i tilfaeligldet kvadratrod derfor anvende den rigtige definition straks fra starten()

Side 30 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Definition For a ge 0 gaeliglderradica = b lt=gt b ge 0 iquest b2 = aAt kvadratroden af et ikke-negativt tal a er lig med tallet b er ensbetydende med at b er ikke-negativt og b oploslashftet til anden potens giver aEksempler radic9 = 3 da 3 ge 0 og 32 = 9radic0 01 = 01 da 01 ge 0 og 012 = 001radic14 = 12 da 12 ge 0 og 122 = 14

For regning med kvadratroslashdder gaeliglder foslashlgende regler (beskrevet ved taleksempler)

Kvadratrod ganget med kvadratrod radic2 bull radic8 = radic2sdot8 = radic16 = 4

Kvadratrod divideret med kvadratrod radic12radic3 = radic123 = radic4 = 2

Reduktion af kvadrat plus (eller minus) kvadratrod ndash kan kun lade sig goslashre hvis vi ved hjaeliglp af primfaktoroploslashsning fremskaffer det samme tal under begge kvadratrodstegn

radic175 + radic252 = radic5sdot5sdot7 + radic2sdot2sdot3sdot3sdot7 = 5radic7 + 2 3radic7 = 5radic7 + 6radic7 = 11radic7For retvinklede trekanter gaeliglder Pythagorasrsquo saeligtning a2 + b2 = c2

Her betegner a og b kateterne og c betegner hypotenusen i en retvinklet trekant

B

c a

C b AHvis man ikke kender en katetes laeligngde maring regelen formuleres saringledes a2 = c2

- b2

Laeligngden af hypotenusen farings som c = radica2+ b2 Katetens laeligngde farings som a = radicc2 minus b2Som man maringske husker er det ogsaring ved hjaeliglp af Pythagoras vi indser at et tal som radic2 eksisterer (er reelt) idet et kvadrat med sidelaeligngden 1 jo netop maring have en diagonallaeligngde paring radic2 Da vi ikke i vores decimalsystem kan angive tal som radic2 med 100 procents noslashjagtighed kalder vi saringdanne tal for irrationale (NB Dette betyder ikke rdquoufornuftige talrdquo)

PERSPEKTIVTEGNINGRegler

Side 31 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

1) Vandrette parallelle linier som fjerner sig fra iagttageren loslashber sammen i et punkt forsvindingspunktet

2) Forsvindingspunktet-punkterne ligger paring horisontlinien der er i samme hoslashjde som iagttagerens oslashjenhoslashjde

Med 1 forsvindingspunkt Horisontlinie Forsvindingspunkt

Vandret frontlinie

Med 2 forsvindingspunkter

Forsvindingspunkt Forsvindingspunkt

Normalperspektiv Horisontlinie rdquogennemrdquo figuren

Forsvindingspunkt ForsvindingspunktFroslashperspektiv Horisontlinie under figuren

Med 2 forsvindingspunkter fortsatForsvindingspunkt Forsvindingspunkt

Side 32 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Midtpunkt AB

Fugleperspektiv Horisontlinie over figurenBemaeligrk at man ved tegning med 1 forsvindingspunkt kigger ind i en flade Naringr tegningen har 2 forsvindingspunkter kigger man derimod ind mod et hjoslashrneTIP Paring en tegning med 2 forsvindingspunkter placeres figuren saringledes i forhold til disse at ovennaeligvnte hjoslashrnevinkel (paring tegningen herover ved A) bliver stoslashrre end 90ordm Saringledes sikrer man at tegningen ikke bare er korrekt udfoslashrt men ogsaring ser rdquorigtigrdquo udMed 3 forsvindingspunkter(aktuelt ved tegning af meget hoslashje objekter for eksempel skyskrabere) Forsvindingspunkt

Forsvindingspunkt Forsvindingspunkt

Perspektivtegning ndash introduktion af nyt() begrebI andre fremstillinger1 af perspektivtegningens grundbegreber beskrives en ganske kompliceret fremgangsmaringde til konstruktion af den rdquobagerste tagkantrdquo (angivet med pil) Konstruktion af husets rdquousynligerdquo ydervaeliggge ndash tegning af diagonaler til bestemmelse af bagerste gavls midtpunkt ndash tegning af en lodret linje gennem midtpunktet ndash denne linjes skaeligring med tagrygningen forbindes med tagrandens hoslashjre endepunktHerunder et forslag til en nemmere fremgangsmaringde Fra venstre forsvindingspunkt (FP) tegnes en lodret halvlinje der i mangel af bedre betegnelse kaldes en forsvindingsakse Denne akses skaeligringspunkt med forreste tagkants forlaeligngelse forbindes dernaeligst med tagrandens hoslashjre endepunkt

1 Se for eksempel Opgaveforlagets rdquoFAEligRDIGHEDSREGNING - amp perspektivtegningrdquo 8 klasseSide 33 af 42

Fors

vind

ings

rdquoaks

erdquo

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Hermed er den perspektivisk korrekte haeligldning af bagerste tagkant allerede fastlagt

STATISTIK OG DIAGRAMMER

Herunder er der plads til dit forsoslashg Tegn for afvekslingens skyld et hus med hoslashjre gavl synlig ndash ogeller vaeliglg for eksempel fugleperspektiv frem for normalperspektiv

STATISTIKHerunder foslashlger en praeligsentation af forskellige diagramtyper der vil vaeligre velegnede til at illustrere bestemte data-sammenhaelignge De anvendte eksempler vil forharingbentlig vaeligkke genkendelse hos nogle af dette kompendiums laeligsere

Stolper eller soslashjlerI modsaeligtning til hvad man kan laeligse sig til i andre fremstillinger kaldes nedenstaringende for pindediagrammer eventuelt stolpediagrammer Betegnelsen soslashjlediagrammer vil vi (selv om altsaring Excel og FAKTOR mener noget andet) fortsat reservere til illustration i forbindelse med grupperede observationer

Side 34 af 42

Aldersprofil i Danmark 1999

0

500000

1000000

1500000

2000000

0-14 15-66 67-Aldersintervaller

Anta

l per

sone

r

Drengemaelignd

Pigerkvinder

Trespring kvinder OL 2000

130135140145150

1 3 5 7 9 11 13 15

Laeligng

de i

met

er

Bedste forsoslashg Gennemsnit

Fors

vind

ings

rdquoaks

erdquo

Horisontlinje

Fors

vind

ings

pun

kt

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Bemaeligrk at diagrammet til venstre illustrerer hyppighed ndash men at en tilsvarende afbildning af frekvensen havde taget sig ud paring samme maringde Hoslashjeste stolpe angiver typetal (eller her typeinterval) ndash den observation der forekommer flest gangeDiagrammet til hoslashjre afbilder sportsresultater ndash deltagernumre langs x-aksen laeligngden af de paringgaeligldendes spring paring op ad y-aksen Her er yderligere indtegnet gennemsnittet der ogsaring kaldes middeltallet Sum af observationer divideret med antal observationer

ProcentfordelingCirkeldiagrammet og den rdquostablederdquo procentsoslashjle har begge deres fordele Bruger man regnearkets faciliteter vil det vaeligre let at faring cirkeldiagrammet til at udregne og vise ikke bare rdquolagkagestykkernerdquo men ogsaring de tilhoslashrende procenter

Udvikling over tidHvis det paringgaeligldende data-materiale beskriver variationen af de maringlte stoslashrrelser inden for et bestemt tidsrum vil det vaeligre oplagt i stedet for omstaringende at illustrere dette ved hjaeliglp af en kurve Her skal ndash uden undtagelse ndash tiden afbildes hen ad x-aksen mens paringgaeligldende maringleresultater afsaeligttes op ad y-aksen Kurven kan vise simple sammenhaelignge mellem tid og vejlaeligngde (enheder paring x-aksen sekunder minutter eller timer) ndash eller som herunder udvikling over maringneder og hele aringr

Andre diagramtyper ndash paring computer

Side 35 af 42

Ungdomsblade

23

2017

15

1312

Chili Tjeck NatampDag Vi Unge Mix Gaffa 15 16 17 18 19

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

53693

55612

56028

60266

61971

Unges aldersfordeling

Samlet torskefangst i 1979 og 2000

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

Janu

ar

Febr

uar

Mar

ts

Apr

il

Maj

Juni

Juli

Aug

ust

Sep

tem

ber

Okt

ober

Nov

embe

r

Dec

embe

r

Anta

l ton

2000 1979

15-aringrige 1997-2001

26000

26500

27000

27500

28000

28500

29000

29500

1997

1998

1999

2000

2001

Maelignd Kvinder

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Det vil vaeligre kendt for nogle at Excel i det mindste ved arbejde med trappediagram soslashjlediagram og sumkurve viser sig at vaeligre utilstraeligkkeligt som rdquotegneredskabrdquo Herunder en antydning af hvordan det kan goslashres i et rdquorigtigtrdquo program til deskriptiv statistik Saeligrligt interesserede kan hente en demo-version til videre beskaeligftigelse med emnet paring nedenstaringende internet-adresse

wwweh-matdkstatistikhtml

KOMBINATORIKInden man ndash som det bliver gennemgaringet i det foslashlgende afsnit - kan arbejde med beregning af sandsynligheder skal man kende visse principper for antalsbestemmelse

rdquoEnten ellerrdquoDet klassiske eksempel handler om mad Hvis jeg maring vaeliglge eacuten ret og har 5 hovedretter og 4 forretter at vaeliglge imellem staringr valget mellem en forret eller en hovedret Dermed har jeg 5 + 4 = 9 valgmuligheder rdquoEnten ellerrdquo haelignger altsaring sammen med rdquoplusrdquo

rdquoBaringde ogrdquoHvis jeg paring det samme menukort derimod maring vaeliglge baringde en forret og en hovedret har jeg 4 middot 5 = 20 valgmuligheder rdquoBaringde ogrdquo haelignger altsaring sammen med gange

TaeliglletraeligMan kan i ovenstaringende tilfaeliglde ndash faring valgprocesser faring valgmuligheder ndash skabe sig et overblik ved hjaeliglp af taeliglletraeliget 4 valgmuligheder i foslashrste valg kombineres med 5 muligheder i andet valg ndash i alt 4 gange 5 = 20 rdquoforgreningerrdquo Tegn selv faeligrdig

Stikproslashver

Side 36 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

POTENSVi bruger potens og de regneregler der knytter sig hertil for nemheds og overskueligheds skyld Notation med potenser er nemlig foslashrst og fremmest en kortere maringde at skrive bestemte (meget store eller meget smaring) tal paring Hvis man yderligere kender potensregnereglerne kan man slippe lettere og sikrere om ved ikke saring faring trivielle udregninger For at kunne haringndtere saringdanne regler er det ogsaring her noslashdvendigt at kende et vist maringl af rdquofagudtrykrdquo

- og 84 betyder altsaring 8 ganget med sig selv 4 gange 84 = 8bull8bull8bull8 Regnereglerne for potenser kan saeligttes i vaeligrk naringr der er tale om multiplikation eller divisionan bull am = am + n Formuleret i ordMan ganger to potenser med samme rod ved at beholde roden og addere eksponenterneEksempel 23 bull 24 = 23 + 4 = 27 = 128 Kontrol 8 bull 16 = 128an am = am - n Formuleret i ordMan dividerer to potenser med samme rod ved at beholde roden og subtrahere eksponenterneEksempel 35 33 = 35 ndash 3 = 32 = 9 Kontrol 243 27 = 9an bn = (a b)n Formuleret i ordMan dividerer to potenser med samme eksponent ved at dividere roslashdderne og beholde eksponentenEksempel 43 23 = (4 2)3 = 23 = 8 Kontrol 64 8 = 8an bull bn = (a bull b)n Formuleret i ordMan ganger to potenser med samme eksponent ved at gange roslashdderne og beholde eksponentenEksempel 52 bull 42 = (5 bull4)2 = 202 = 400 Kontrol 25 bull 16 = 400NB De to sidste regneregler vil i de fleste formelsamlinger vaeligre formuleret rdquofra hoslashjre mod venstrerdquo Se selv efter hvordan det skal forstarings (an)m = anbullm Formuleret i ordMan oploslashfter en potens til en ny potens ved at beholde roden og gange eksponenterneEksempel (32)2 = 32bull2 = 34 = 81 Kontrol 9 bull 9 = 81

Definitioner og skrivemaringderTallet a0 vil altid vaeligre lig 1 Denne skrivemaringde kan underbygges logisk ud fra vort kendskab til potensregnereglerne paring foregaringende side

Side 29 af 42

PotensEksponent

84Rod

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

a4 a4 = a4 ndash 4 = a0 Men da et tal divideret med sig selv (a4 a4) er lig 1 faringr vi a0

= 1 Bemaeligrk Med ovenstaringende rdquobevisrdquo er der eacutet tal der ikke kan give resultatet 1 ved oploslashftning til rdquonulrsquote potensrdquo Hvilket tal er detBevaeligger vi os videre ad ovenstaringende spor faringr vi hereftera4 a6 = a4 ndash 6 = a-2 Betragtes a4 a6 som en broslashk kan resultatet skrives 1 a2 Altsaring faringr vi at a-2 = 1 a2 hvilket generelt kan formuleres som a-n = 1 an TierpotenserDet er specielt ved anvendelse af potenser af tallet 10 at meget talmateriale kan bringes paring en overskuelig form og blive lettere at regne (videre) medAfstanden fra Jorden til Solen er cirka 150 millioner kilometer Skrevet paring normal vis ser dette tal saringdan ud 150000000 km Vi har her allerede at goslashre med et tal hvor det kan vaeligre svaeligrt at aflaeligse det korrekte antal nuller Hvis man ikke vaeliglger at benytte en anden laeligngdeenhed (1 astronomisk enhed er netop lig 150 mio km) kan tallet skrives paring kortere form saringledes 15 bull 108km idet eksponenten 8 angiver det antal pladser kommaet er rykket til venstreI atomfysikken opereres tilsvarende med meget smaring tal Elever i baringde 8 og 9 klasse ved () at massen af en kernepartikel er 0000 000 000 000 000 000 000 0017 gram Her har man valgt at bruge en meget lille masse-enhed kaldet u som er en forkortelse af unit (enhed) Skrevet som tal gange tierpotens faringr vi 1 u 17 10-24 gram Her angiver den negative eksponent at kommaet er rykket 24 pladser til hoslashjreDer gaeliglder (naturligvis) samme regneregler for (tal gange) tierpotenser som for potenser i oslashvrigt Vi kan altsaring operere med multipikation og division - som for eksempel5000 bull 120000 = 5 bull 103 bull 12 bull 104 = 5 bull 12 bull 103+4 = 60 bull 107 = 6 bull 108

00007 bull 000006 = 7 bull 10-4 bull 6 bull 10-5 = 7 bull 6 bull 10-4-5 = 42 bull 10-9 = 42 bull 10-8

6000000 300 = 6 bull 106 3 bull 102 = (6 3) bull 106-2 = 2 bull 104 0000002 004 = 2 bull 10-6 4 bull 10 -2 = (2 4) bull 10-6-(-2) = 05 bull 10-4 = 5 bull 10-5

- anderledes med addition og subtraktion104 + 102 + 101 = 10000 + 100 + 10 = 10110 105 ndash 102 = 100000 ndash 100 = 99900 Afslutningsvis en tabel over tierpotenser og rdquoalmindelige talrdquo Efter den gennemgaringede systematik og skrivemaringde kan tabellen udvides i begge retninger Tal 1000 100 10 1 01 001 0001Potens

103 102 101 100 10-1 10-2 10-3

(Broslashk)

11 110 1100 11000

KVADRATRODEn gang imellem viser det sig paring laeligngere sigt at vaeligre til mere skade end gavn hvis man rdquofor nemheds skyldrdquo laeligrer noget der enten er mindre korrekt ndash eller at man eksempelvis tilegner sig en metodealgoritme der saring viser sig ikke at rdquoholderdquo hele vejen Vi vil i tilfaeligldet kvadratrod derfor anvende den rigtige definition straks fra starten()

Side 30 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Definition For a ge 0 gaeliglderradica = b lt=gt b ge 0 iquest b2 = aAt kvadratroden af et ikke-negativt tal a er lig med tallet b er ensbetydende med at b er ikke-negativt og b oploslashftet til anden potens giver aEksempler radic9 = 3 da 3 ge 0 og 32 = 9radic0 01 = 01 da 01 ge 0 og 012 = 001radic14 = 12 da 12 ge 0 og 122 = 14

For regning med kvadratroslashdder gaeliglder foslashlgende regler (beskrevet ved taleksempler)

Kvadratrod ganget med kvadratrod radic2 bull radic8 = radic2sdot8 = radic16 = 4

Kvadratrod divideret med kvadratrod radic12radic3 = radic123 = radic4 = 2

Reduktion af kvadrat plus (eller minus) kvadratrod ndash kan kun lade sig goslashre hvis vi ved hjaeliglp af primfaktoroploslashsning fremskaffer det samme tal under begge kvadratrodstegn

radic175 + radic252 = radic5sdot5sdot7 + radic2sdot2sdot3sdot3sdot7 = 5radic7 + 2 3radic7 = 5radic7 + 6radic7 = 11radic7For retvinklede trekanter gaeliglder Pythagorasrsquo saeligtning a2 + b2 = c2

Her betegner a og b kateterne og c betegner hypotenusen i en retvinklet trekant

B

c a

C b AHvis man ikke kender en katetes laeligngde maring regelen formuleres saringledes a2 = c2

- b2

Laeligngden af hypotenusen farings som c = radica2+ b2 Katetens laeligngde farings som a = radicc2 minus b2Som man maringske husker er det ogsaring ved hjaeliglp af Pythagoras vi indser at et tal som radic2 eksisterer (er reelt) idet et kvadrat med sidelaeligngden 1 jo netop maring have en diagonallaeligngde paring radic2 Da vi ikke i vores decimalsystem kan angive tal som radic2 med 100 procents noslashjagtighed kalder vi saringdanne tal for irrationale (NB Dette betyder ikke rdquoufornuftige talrdquo)

PERSPEKTIVTEGNINGRegler

Side 31 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

1) Vandrette parallelle linier som fjerner sig fra iagttageren loslashber sammen i et punkt forsvindingspunktet

2) Forsvindingspunktet-punkterne ligger paring horisontlinien der er i samme hoslashjde som iagttagerens oslashjenhoslashjde

Med 1 forsvindingspunkt Horisontlinie Forsvindingspunkt

Vandret frontlinie

Med 2 forsvindingspunkter

Forsvindingspunkt Forsvindingspunkt

Normalperspektiv Horisontlinie rdquogennemrdquo figuren

Forsvindingspunkt ForsvindingspunktFroslashperspektiv Horisontlinie under figuren

Med 2 forsvindingspunkter fortsatForsvindingspunkt Forsvindingspunkt

Side 32 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Midtpunkt AB

Fugleperspektiv Horisontlinie over figurenBemaeligrk at man ved tegning med 1 forsvindingspunkt kigger ind i en flade Naringr tegningen har 2 forsvindingspunkter kigger man derimod ind mod et hjoslashrneTIP Paring en tegning med 2 forsvindingspunkter placeres figuren saringledes i forhold til disse at ovennaeligvnte hjoslashrnevinkel (paring tegningen herover ved A) bliver stoslashrre end 90ordm Saringledes sikrer man at tegningen ikke bare er korrekt udfoslashrt men ogsaring ser rdquorigtigrdquo udMed 3 forsvindingspunkter(aktuelt ved tegning af meget hoslashje objekter for eksempel skyskrabere) Forsvindingspunkt

Forsvindingspunkt Forsvindingspunkt

Perspektivtegning ndash introduktion af nyt() begrebI andre fremstillinger1 af perspektivtegningens grundbegreber beskrives en ganske kompliceret fremgangsmaringde til konstruktion af den rdquobagerste tagkantrdquo (angivet med pil) Konstruktion af husets rdquousynligerdquo ydervaeliggge ndash tegning af diagonaler til bestemmelse af bagerste gavls midtpunkt ndash tegning af en lodret linje gennem midtpunktet ndash denne linjes skaeligring med tagrygningen forbindes med tagrandens hoslashjre endepunktHerunder et forslag til en nemmere fremgangsmaringde Fra venstre forsvindingspunkt (FP) tegnes en lodret halvlinje der i mangel af bedre betegnelse kaldes en forsvindingsakse Denne akses skaeligringspunkt med forreste tagkants forlaeligngelse forbindes dernaeligst med tagrandens hoslashjre endepunkt

1 Se for eksempel Opgaveforlagets rdquoFAEligRDIGHEDSREGNING - amp perspektivtegningrdquo 8 klasseSide 33 af 42

Fors

vind

ings

rdquoaks

erdquo

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Hermed er den perspektivisk korrekte haeligldning af bagerste tagkant allerede fastlagt

STATISTIK OG DIAGRAMMER

Herunder er der plads til dit forsoslashg Tegn for afvekslingens skyld et hus med hoslashjre gavl synlig ndash ogeller vaeliglg for eksempel fugleperspektiv frem for normalperspektiv

STATISTIKHerunder foslashlger en praeligsentation af forskellige diagramtyper der vil vaeligre velegnede til at illustrere bestemte data-sammenhaelignge De anvendte eksempler vil forharingbentlig vaeligkke genkendelse hos nogle af dette kompendiums laeligsere

Stolper eller soslashjlerI modsaeligtning til hvad man kan laeligse sig til i andre fremstillinger kaldes nedenstaringende for pindediagrammer eventuelt stolpediagrammer Betegnelsen soslashjlediagrammer vil vi (selv om altsaring Excel og FAKTOR mener noget andet) fortsat reservere til illustration i forbindelse med grupperede observationer

Side 34 af 42

Aldersprofil i Danmark 1999

0

500000

1000000

1500000

2000000

0-14 15-66 67-Aldersintervaller

Anta

l per

sone

r

Drengemaelignd

Pigerkvinder

Trespring kvinder OL 2000

130135140145150

1 3 5 7 9 11 13 15

Laeligng

de i

met

er

Bedste forsoslashg Gennemsnit

Fors

vind

ings

rdquoaks

erdquo

Horisontlinje

Fors

vind

ings

pun

kt

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Bemaeligrk at diagrammet til venstre illustrerer hyppighed ndash men at en tilsvarende afbildning af frekvensen havde taget sig ud paring samme maringde Hoslashjeste stolpe angiver typetal (eller her typeinterval) ndash den observation der forekommer flest gangeDiagrammet til hoslashjre afbilder sportsresultater ndash deltagernumre langs x-aksen laeligngden af de paringgaeligldendes spring paring op ad y-aksen Her er yderligere indtegnet gennemsnittet der ogsaring kaldes middeltallet Sum af observationer divideret med antal observationer

ProcentfordelingCirkeldiagrammet og den rdquostablederdquo procentsoslashjle har begge deres fordele Bruger man regnearkets faciliteter vil det vaeligre let at faring cirkeldiagrammet til at udregne og vise ikke bare rdquolagkagestykkernerdquo men ogsaring de tilhoslashrende procenter

Udvikling over tidHvis det paringgaeligldende data-materiale beskriver variationen af de maringlte stoslashrrelser inden for et bestemt tidsrum vil det vaeligre oplagt i stedet for omstaringende at illustrere dette ved hjaeliglp af en kurve Her skal ndash uden undtagelse ndash tiden afbildes hen ad x-aksen mens paringgaeligldende maringleresultater afsaeligttes op ad y-aksen Kurven kan vise simple sammenhaelignge mellem tid og vejlaeligngde (enheder paring x-aksen sekunder minutter eller timer) ndash eller som herunder udvikling over maringneder og hele aringr

Andre diagramtyper ndash paring computer

Side 35 af 42

Ungdomsblade

23

2017

15

1312

Chili Tjeck NatampDag Vi Unge Mix Gaffa 15 16 17 18 19

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

53693

55612

56028

60266

61971

Unges aldersfordeling

Samlet torskefangst i 1979 og 2000

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

Janu

ar

Febr

uar

Mar

ts

Apr

il

Maj

Juni

Juli

Aug

ust

Sep

tem

ber

Okt

ober

Nov

embe

r

Dec

embe

r

Anta

l ton

2000 1979

15-aringrige 1997-2001

26000

26500

27000

27500

28000

28500

29000

29500

1997

1998

1999

2000

2001

Maelignd Kvinder

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Det vil vaeligre kendt for nogle at Excel i det mindste ved arbejde med trappediagram soslashjlediagram og sumkurve viser sig at vaeligre utilstraeligkkeligt som rdquotegneredskabrdquo Herunder en antydning af hvordan det kan goslashres i et rdquorigtigtrdquo program til deskriptiv statistik Saeligrligt interesserede kan hente en demo-version til videre beskaeligftigelse med emnet paring nedenstaringende internet-adresse

wwweh-matdkstatistikhtml

KOMBINATORIKInden man ndash som det bliver gennemgaringet i det foslashlgende afsnit - kan arbejde med beregning af sandsynligheder skal man kende visse principper for antalsbestemmelse

rdquoEnten ellerrdquoDet klassiske eksempel handler om mad Hvis jeg maring vaeliglge eacuten ret og har 5 hovedretter og 4 forretter at vaeliglge imellem staringr valget mellem en forret eller en hovedret Dermed har jeg 5 + 4 = 9 valgmuligheder rdquoEnten ellerrdquo haelignger altsaring sammen med rdquoplusrdquo

rdquoBaringde ogrdquoHvis jeg paring det samme menukort derimod maring vaeliglge baringde en forret og en hovedret har jeg 4 middot 5 = 20 valgmuligheder rdquoBaringde ogrdquo haelignger altsaring sammen med gange

TaeliglletraeligMan kan i ovenstaringende tilfaeliglde ndash faring valgprocesser faring valgmuligheder ndash skabe sig et overblik ved hjaeliglp af taeliglletraeliget 4 valgmuligheder i foslashrste valg kombineres med 5 muligheder i andet valg ndash i alt 4 gange 5 = 20 rdquoforgreningerrdquo Tegn selv faeligrdig

Stikproslashver

Side 36 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

a4 a4 = a4 ndash 4 = a0 Men da et tal divideret med sig selv (a4 a4) er lig 1 faringr vi a0

= 1 Bemaeligrk Med ovenstaringende rdquobevisrdquo er der eacutet tal der ikke kan give resultatet 1 ved oploslashftning til rdquonulrsquote potensrdquo Hvilket tal er detBevaeligger vi os videre ad ovenstaringende spor faringr vi hereftera4 a6 = a4 ndash 6 = a-2 Betragtes a4 a6 som en broslashk kan resultatet skrives 1 a2 Altsaring faringr vi at a-2 = 1 a2 hvilket generelt kan formuleres som a-n = 1 an TierpotenserDet er specielt ved anvendelse af potenser af tallet 10 at meget talmateriale kan bringes paring en overskuelig form og blive lettere at regne (videre) medAfstanden fra Jorden til Solen er cirka 150 millioner kilometer Skrevet paring normal vis ser dette tal saringdan ud 150000000 km Vi har her allerede at goslashre med et tal hvor det kan vaeligre svaeligrt at aflaeligse det korrekte antal nuller Hvis man ikke vaeliglger at benytte en anden laeligngdeenhed (1 astronomisk enhed er netop lig 150 mio km) kan tallet skrives paring kortere form saringledes 15 bull 108km idet eksponenten 8 angiver det antal pladser kommaet er rykket til venstreI atomfysikken opereres tilsvarende med meget smaring tal Elever i baringde 8 og 9 klasse ved () at massen af en kernepartikel er 0000 000 000 000 000 000 000 0017 gram Her har man valgt at bruge en meget lille masse-enhed kaldet u som er en forkortelse af unit (enhed) Skrevet som tal gange tierpotens faringr vi 1 u 17 10-24 gram Her angiver den negative eksponent at kommaet er rykket 24 pladser til hoslashjreDer gaeliglder (naturligvis) samme regneregler for (tal gange) tierpotenser som for potenser i oslashvrigt Vi kan altsaring operere med multipikation og division - som for eksempel5000 bull 120000 = 5 bull 103 bull 12 bull 104 = 5 bull 12 bull 103+4 = 60 bull 107 = 6 bull 108

00007 bull 000006 = 7 bull 10-4 bull 6 bull 10-5 = 7 bull 6 bull 10-4-5 = 42 bull 10-9 = 42 bull 10-8

6000000 300 = 6 bull 106 3 bull 102 = (6 3) bull 106-2 = 2 bull 104 0000002 004 = 2 bull 10-6 4 bull 10 -2 = (2 4) bull 10-6-(-2) = 05 bull 10-4 = 5 bull 10-5

- anderledes med addition og subtraktion104 + 102 + 101 = 10000 + 100 + 10 = 10110 105 ndash 102 = 100000 ndash 100 = 99900 Afslutningsvis en tabel over tierpotenser og rdquoalmindelige talrdquo Efter den gennemgaringede systematik og skrivemaringde kan tabellen udvides i begge retninger Tal 1000 100 10 1 01 001 0001Potens

103 102 101 100 10-1 10-2 10-3

(Broslashk)

11 110 1100 11000

KVADRATRODEn gang imellem viser det sig paring laeligngere sigt at vaeligre til mere skade end gavn hvis man rdquofor nemheds skyldrdquo laeligrer noget der enten er mindre korrekt ndash eller at man eksempelvis tilegner sig en metodealgoritme der saring viser sig ikke at rdquoholderdquo hele vejen Vi vil i tilfaeligldet kvadratrod derfor anvende den rigtige definition straks fra starten()

Side 30 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Definition For a ge 0 gaeliglderradica = b lt=gt b ge 0 iquest b2 = aAt kvadratroden af et ikke-negativt tal a er lig med tallet b er ensbetydende med at b er ikke-negativt og b oploslashftet til anden potens giver aEksempler radic9 = 3 da 3 ge 0 og 32 = 9radic0 01 = 01 da 01 ge 0 og 012 = 001radic14 = 12 da 12 ge 0 og 122 = 14

For regning med kvadratroslashdder gaeliglder foslashlgende regler (beskrevet ved taleksempler)

Kvadratrod ganget med kvadratrod radic2 bull radic8 = radic2sdot8 = radic16 = 4

Kvadratrod divideret med kvadratrod radic12radic3 = radic123 = radic4 = 2

Reduktion af kvadrat plus (eller minus) kvadratrod ndash kan kun lade sig goslashre hvis vi ved hjaeliglp af primfaktoroploslashsning fremskaffer det samme tal under begge kvadratrodstegn

radic175 + radic252 = radic5sdot5sdot7 + radic2sdot2sdot3sdot3sdot7 = 5radic7 + 2 3radic7 = 5radic7 + 6radic7 = 11radic7For retvinklede trekanter gaeliglder Pythagorasrsquo saeligtning a2 + b2 = c2

Her betegner a og b kateterne og c betegner hypotenusen i en retvinklet trekant

B

c a

C b AHvis man ikke kender en katetes laeligngde maring regelen formuleres saringledes a2 = c2

- b2

Laeligngden af hypotenusen farings som c = radica2+ b2 Katetens laeligngde farings som a = radicc2 minus b2Som man maringske husker er det ogsaring ved hjaeliglp af Pythagoras vi indser at et tal som radic2 eksisterer (er reelt) idet et kvadrat med sidelaeligngden 1 jo netop maring have en diagonallaeligngde paring radic2 Da vi ikke i vores decimalsystem kan angive tal som radic2 med 100 procents noslashjagtighed kalder vi saringdanne tal for irrationale (NB Dette betyder ikke rdquoufornuftige talrdquo)

PERSPEKTIVTEGNINGRegler

Side 31 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

1) Vandrette parallelle linier som fjerner sig fra iagttageren loslashber sammen i et punkt forsvindingspunktet

2) Forsvindingspunktet-punkterne ligger paring horisontlinien der er i samme hoslashjde som iagttagerens oslashjenhoslashjde

Med 1 forsvindingspunkt Horisontlinie Forsvindingspunkt

Vandret frontlinie

Med 2 forsvindingspunkter

Forsvindingspunkt Forsvindingspunkt

Normalperspektiv Horisontlinie rdquogennemrdquo figuren

Forsvindingspunkt ForsvindingspunktFroslashperspektiv Horisontlinie under figuren

Med 2 forsvindingspunkter fortsatForsvindingspunkt Forsvindingspunkt

Side 32 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Midtpunkt AB

Fugleperspektiv Horisontlinie over figurenBemaeligrk at man ved tegning med 1 forsvindingspunkt kigger ind i en flade Naringr tegningen har 2 forsvindingspunkter kigger man derimod ind mod et hjoslashrneTIP Paring en tegning med 2 forsvindingspunkter placeres figuren saringledes i forhold til disse at ovennaeligvnte hjoslashrnevinkel (paring tegningen herover ved A) bliver stoslashrre end 90ordm Saringledes sikrer man at tegningen ikke bare er korrekt udfoslashrt men ogsaring ser rdquorigtigrdquo udMed 3 forsvindingspunkter(aktuelt ved tegning af meget hoslashje objekter for eksempel skyskrabere) Forsvindingspunkt

Forsvindingspunkt Forsvindingspunkt

Perspektivtegning ndash introduktion af nyt() begrebI andre fremstillinger1 af perspektivtegningens grundbegreber beskrives en ganske kompliceret fremgangsmaringde til konstruktion af den rdquobagerste tagkantrdquo (angivet med pil) Konstruktion af husets rdquousynligerdquo ydervaeliggge ndash tegning af diagonaler til bestemmelse af bagerste gavls midtpunkt ndash tegning af en lodret linje gennem midtpunktet ndash denne linjes skaeligring med tagrygningen forbindes med tagrandens hoslashjre endepunktHerunder et forslag til en nemmere fremgangsmaringde Fra venstre forsvindingspunkt (FP) tegnes en lodret halvlinje der i mangel af bedre betegnelse kaldes en forsvindingsakse Denne akses skaeligringspunkt med forreste tagkants forlaeligngelse forbindes dernaeligst med tagrandens hoslashjre endepunkt

1 Se for eksempel Opgaveforlagets rdquoFAEligRDIGHEDSREGNING - amp perspektivtegningrdquo 8 klasseSide 33 af 42

Fors

vind

ings

rdquoaks

erdquo

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Hermed er den perspektivisk korrekte haeligldning af bagerste tagkant allerede fastlagt

STATISTIK OG DIAGRAMMER

Herunder er der plads til dit forsoslashg Tegn for afvekslingens skyld et hus med hoslashjre gavl synlig ndash ogeller vaeliglg for eksempel fugleperspektiv frem for normalperspektiv

STATISTIKHerunder foslashlger en praeligsentation af forskellige diagramtyper der vil vaeligre velegnede til at illustrere bestemte data-sammenhaelignge De anvendte eksempler vil forharingbentlig vaeligkke genkendelse hos nogle af dette kompendiums laeligsere

Stolper eller soslashjlerI modsaeligtning til hvad man kan laeligse sig til i andre fremstillinger kaldes nedenstaringende for pindediagrammer eventuelt stolpediagrammer Betegnelsen soslashjlediagrammer vil vi (selv om altsaring Excel og FAKTOR mener noget andet) fortsat reservere til illustration i forbindelse med grupperede observationer

Side 34 af 42

Aldersprofil i Danmark 1999

0

500000

1000000

1500000

2000000

0-14 15-66 67-Aldersintervaller

Anta

l per

sone

r

Drengemaelignd

Pigerkvinder

Trespring kvinder OL 2000

130135140145150

1 3 5 7 9 11 13 15

Laeligng

de i

met

er

Bedste forsoslashg Gennemsnit

Fors

vind

ings

rdquoaks

erdquo

Horisontlinje

Fors

vind

ings

pun

kt

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Bemaeligrk at diagrammet til venstre illustrerer hyppighed ndash men at en tilsvarende afbildning af frekvensen havde taget sig ud paring samme maringde Hoslashjeste stolpe angiver typetal (eller her typeinterval) ndash den observation der forekommer flest gangeDiagrammet til hoslashjre afbilder sportsresultater ndash deltagernumre langs x-aksen laeligngden af de paringgaeligldendes spring paring op ad y-aksen Her er yderligere indtegnet gennemsnittet der ogsaring kaldes middeltallet Sum af observationer divideret med antal observationer

ProcentfordelingCirkeldiagrammet og den rdquostablederdquo procentsoslashjle har begge deres fordele Bruger man regnearkets faciliteter vil det vaeligre let at faring cirkeldiagrammet til at udregne og vise ikke bare rdquolagkagestykkernerdquo men ogsaring de tilhoslashrende procenter

Udvikling over tidHvis det paringgaeligldende data-materiale beskriver variationen af de maringlte stoslashrrelser inden for et bestemt tidsrum vil det vaeligre oplagt i stedet for omstaringende at illustrere dette ved hjaeliglp af en kurve Her skal ndash uden undtagelse ndash tiden afbildes hen ad x-aksen mens paringgaeligldende maringleresultater afsaeligttes op ad y-aksen Kurven kan vise simple sammenhaelignge mellem tid og vejlaeligngde (enheder paring x-aksen sekunder minutter eller timer) ndash eller som herunder udvikling over maringneder og hele aringr

Andre diagramtyper ndash paring computer

Side 35 af 42

Ungdomsblade

23

2017

15

1312

Chili Tjeck NatampDag Vi Unge Mix Gaffa 15 16 17 18 19

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

53693

55612

56028

60266

61971

Unges aldersfordeling

Samlet torskefangst i 1979 og 2000

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

Janu

ar

Febr

uar

Mar

ts

Apr

il

Maj

Juni

Juli

Aug

ust

Sep

tem

ber

Okt

ober

Nov

embe

r

Dec

embe

r

Anta

l ton

2000 1979

15-aringrige 1997-2001

26000

26500

27000

27500

28000

28500

29000

29500

1997

1998

1999

2000

2001

Maelignd Kvinder

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Det vil vaeligre kendt for nogle at Excel i det mindste ved arbejde med trappediagram soslashjlediagram og sumkurve viser sig at vaeligre utilstraeligkkeligt som rdquotegneredskabrdquo Herunder en antydning af hvordan det kan goslashres i et rdquorigtigtrdquo program til deskriptiv statistik Saeligrligt interesserede kan hente en demo-version til videre beskaeligftigelse med emnet paring nedenstaringende internet-adresse

wwweh-matdkstatistikhtml

KOMBINATORIKInden man ndash som det bliver gennemgaringet i det foslashlgende afsnit - kan arbejde med beregning af sandsynligheder skal man kende visse principper for antalsbestemmelse

rdquoEnten ellerrdquoDet klassiske eksempel handler om mad Hvis jeg maring vaeliglge eacuten ret og har 5 hovedretter og 4 forretter at vaeliglge imellem staringr valget mellem en forret eller en hovedret Dermed har jeg 5 + 4 = 9 valgmuligheder rdquoEnten ellerrdquo haelignger altsaring sammen med rdquoplusrdquo

rdquoBaringde ogrdquoHvis jeg paring det samme menukort derimod maring vaeliglge baringde en forret og en hovedret har jeg 4 middot 5 = 20 valgmuligheder rdquoBaringde ogrdquo haelignger altsaring sammen med gange

TaeliglletraeligMan kan i ovenstaringende tilfaeliglde ndash faring valgprocesser faring valgmuligheder ndash skabe sig et overblik ved hjaeliglp af taeliglletraeliget 4 valgmuligheder i foslashrste valg kombineres med 5 muligheder i andet valg ndash i alt 4 gange 5 = 20 rdquoforgreningerrdquo Tegn selv faeligrdig

Stikproslashver

Side 36 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Definition For a ge 0 gaeliglderradica = b lt=gt b ge 0 iquest b2 = aAt kvadratroden af et ikke-negativt tal a er lig med tallet b er ensbetydende med at b er ikke-negativt og b oploslashftet til anden potens giver aEksempler radic9 = 3 da 3 ge 0 og 32 = 9radic0 01 = 01 da 01 ge 0 og 012 = 001radic14 = 12 da 12 ge 0 og 122 = 14

For regning med kvadratroslashdder gaeliglder foslashlgende regler (beskrevet ved taleksempler)

Kvadratrod ganget med kvadratrod radic2 bull radic8 = radic2sdot8 = radic16 = 4

Kvadratrod divideret med kvadratrod radic12radic3 = radic123 = radic4 = 2

Reduktion af kvadrat plus (eller minus) kvadratrod ndash kan kun lade sig goslashre hvis vi ved hjaeliglp af primfaktoroploslashsning fremskaffer det samme tal under begge kvadratrodstegn

radic175 + radic252 = radic5sdot5sdot7 + radic2sdot2sdot3sdot3sdot7 = 5radic7 + 2 3radic7 = 5radic7 + 6radic7 = 11radic7For retvinklede trekanter gaeliglder Pythagorasrsquo saeligtning a2 + b2 = c2

Her betegner a og b kateterne og c betegner hypotenusen i en retvinklet trekant

B

c a

C b AHvis man ikke kender en katetes laeligngde maring regelen formuleres saringledes a2 = c2

- b2

Laeligngden af hypotenusen farings som c = radica2+ b2 Katetens laeligngde farings som a = radicc2 minus b2Som man maringske husker er det ogsaring ved hjaeliglp af Pythagoras vi indser at et tal som radic2 eksisterer (er reelt) idet et kvadrat med sidelaeligngden 1 jo netop maring have en diagonallaeligngde paring radic2 Da vi ikke i vores decimalsystem kan angive tal som radic2 med 100 procents noslashjagtighed kalder vi saringdanne tal for irrationale (NB Dette betyder ikke rdquoufornuftige talrdquo)

PERSPEKTIVTEGNINGRegler

Side 31 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

1) Vandrette parallelle linier som fjerner sig fra iagttageren loslashber sammen i et punkt forsvindingspunktet

2) Forsvindingspunktet-punkterne ligger paring horisontlinien der er i samme hoslashjde som iagttagerens oslashjenhoslashjde

Med 1 forsvindingspunkt Horisontlinie Forsvindingspunkt

Vandret frontlinie

Med 2 forsvindingspunkter

Forsvindingspunkt Forsvindingspunkt

Normalperspektiv Horisontlinie rdquogennemrdquo figuren

Forsvindingspunkt ForsvindingspunktFroslashperspektiv Horisontlinie under figuren

Med 2 forsvindingspunkter fortsatForsvindingspunkt Forsvindingspunkt

Side 32 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Midtpunkt AB

Fugleperspektiv Horisontlinie over figurenBemaeligrk at man ved tegning med 1 forsvindingspunkt kigger ind i en flade Naringr tegningen har 2 forsvindingspunkter kigger man derimod ind mod et hjoslashrneTIP Paring en tegning med 2 forsvindingspunkter placeres figuren saringledes i forhold til disse at ovennaeligvnte hjoslashrnevinkel (paring tegningen herover ved A) bliver stoslashrre end 90ordm Saringledes sikrer man at tegningen ikke bare er korrekt udfoslashrt men ogsaring ser rdquorigtigrdquo udMed 3 forsvindingspunkter(aktuelt ved tegning af meget hoslashje objekter for eksempel skyskrabere) Forsvindingspunkt

Forsvindingspunkt Forsvindingspunkt

Perspektivtegning ndash introduktion af nyt() begrebI andre fremstillinger1 af perspektivtegningens grundbegreber beskrives en ganske kompliceret fremgangsmaringde til konstruktion af den rdquobagerste tagkantrdquo (angivet med pil) Konstruktion af husets rdquousynligerdquo ydervaeliggge ndash tegning af diagonaler til bestemmelse af bagerste gavls midtpunkt ndash tegning af en lodret linje gennem midtpunktet ndash denne linjes skaeligring med tagrygningen forbindes med tagrandens hoslashjre endepunktHerunder et forslag til en nemmere fremgangsmaringde Fra venstre forsvindingspunkt (FP) tegnes en lodret halvlinje der i mangel af bedre betegnelse kaldes en forsvindingsakse Denne akses skaeligringspunkt med forreste tagkants forlaeligngelse forbindes dernaeligst med tagrandens hoslashjre endepunkt

1 Se for eksempel Opgaveforlagets rdquoFAEligRDIGHEDSREGNING - amp perspektivtegningrdquo 8 klasseSide 33 af 42

Fors

vind

ings

rdquoaks

erdquo

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Hermed er den perspektivisk korrekte haeligldning af bagerste tagkant allerede fastlagt

STATISTIK OG DIAGRAMMER

Herunder er der plads til dit forsoslashg Tegn for afvekslingens skyld et hus med hoslashjre gavl synlig ndash ogeller vaeliglg for eksempel fugleperspektiv frem for normalperspektiv

STATISTIKHerunder foslashlger en praeligsentation af forskellige diagramtyper der vil vaeligre velegnede til at illustrere bestemte data-sammenhaelignge De anvendte eksempler vil forharingbentlig vaeligkke genkendelse hos nogle af dette kompendiums laeligsere

Stolper eller soslashjlerI modsaeligtning til hvad man kan laeligse sig til i andre fremstillinger kaldes nedenstaringende for pindediagrammer eventuelt stolpediagrammer Betegnelsen soslashjlediagrammer vil vi (selv om altsaring Excel og FAKTOR mener noget andet) fortsat reservere til illustration i forbindelse med grupperede observationer

Side 34 af 42

Aldersprofil i Danmark 1999

0

500000

1000000

1500000

2000000

0-14 15-66 67-Aldersintervaller

Anta

l per

sone

r

Drengemaelignd

Pigerkvinder

Trespring kvinder OL 2000

130135140145150

1 3 5 7 9 11 13 15

Laeligng

de i

met

er

Bedste forsoslashg Gennemsnit

Fors

vind

ings

rdquoaks

erdquo

Horisontlinje

Fors

vind

ings

pun

kt

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Bemaeligrk at diagrammet til venstre illustrerer hyppighed ndash men at en tilsvarende afbildning af frekvensen havde taget sig ud paring samme maringde Hoslashjeste stolpe angiver typetal (eller her typeinterval) ndash den observation der forekommer flest gangeDiagrammet til hoslashjre afbilder sportsresultater ndash deltagernumre langs x-aksen laeligngden af de paringgaeligldendes spring paring op ad y-aksen Her er yderligere indtegnet gennemsnittet der ogsaring kaldes middeltallet Sum af observationer divideret med antal observationer

ProcentfordelingCirkeldiagrammet og den rdquostablederdquo procentsoslashjle har begge deres fordele Bruger man regnearkets faciliteter vil det vaeligre let at faring cirkeldiagrammet til at udregne og vise ikke bare rdquolagkagestykkernerdquo men ogsaring de tilhoslashrende procenter

Udvikling over tidHvis det paringgaeligldende data-materiale beskriver variationen af de maringlte stoslashrrelser inden for et bestemt tidsrum vil det vaeligre oplagt i stedet for omstaringende at illustrere dette ved hjaeliglp af en kurve Her skal ndash uden undtagelse ndash tiden afbildes hen ad x-aksen mens paringgaeligldende maringleresultater afsaeligttes op ad y-aksen Kurven kan vise simple sammenhaelignge mellem tid og vejlaeligngde (enheder paring x-aksen sekunder minutter eller timer) ndash eller som herunder udvikling over maringneder og hele aringr

Andre diagramtyper ndash paring computer

Side 35 af 42

Ungdomsblade

23

2017

15

1312

Chili Tjeck NatampDag Vi Unge Mix Gaffa 15 16 17 18 19

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

53693

55612

56028

60266

61971

Unges aldersfordeling

Samlet torskefangst i 1979 og 2000

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

Janu

ar

Febr

uar

Mar

ts

Apr

il

Maj

Juni

Juli

Aug

ust

Sep

tem

ber

Okt

ober

Nov

embe

r

Dec

embe

r

Anta

l ton

2000 1979

15-aringrige 1997-2001

26000

26500

27000

27500

28000

28500

29000

29500

1997

1998

1999

2000

2001

Maelignd Kvinder

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Det vil vaeligre kendt for nogle at Excel i det mindste ved arbejde med trappediagram soslashjlediagram og sumkurve viser sig at vaeligre utilstraeligkkeligt som rdquotegneredskabrdquo Herunder en antydning af hvordan det kan goslashres i et rdquorigtigtrdquo program til deskriptiv statistik Saeligrligt interesserede kan hente en demo-version til videre beskaeligftigelse med emnet paring nedenstaringende internet-adresse

wwweh-matdkstatistikhtml

KOMBINATORIKInden man ndash som det bliver gennemgaringet i det foslashlgende afsnit - kan arbejde med beregning af sandsynligheder skal man kende visse principper for antalsbestemmelse

rdquoEnten ellerrdquoDet klassiske eksempel handler om mad Hvis jeg maring vaeliglge eacuten ret og har 5 hovedretter og 4 forretter at vaeliglge imellem staringr valget mellem en forret eller en hovedret Dermed har jeg 5 + 4 = 9 valgmuligheder rdquoEnten ellerrdquo haelignger altsaring sammen med rdquoplusrdquo

rdquoBaringde ogrdquoHvis jeg paring det samme menukort derimod maring vaeliglge baringde en forret og en hovedret har jeg 4 middot 5 = 20 valgmuligheder rdquoBaringde ogrdquo haelignger altsaring sammen med gange

TaeliglletraeligMan kan i ovenstaringende tilfaeliglde ndash faring valgprocesser faring valgmuligheder ndash skabe sig et overblik ved hjaeliglp af taeliglletraeliget 4 valgmuligheder i foslashrste valg kombineres med 5 muligheder i andet valg ndash i alt 4 gange 5 = 20 rdquoforgreningerrdquo Tegn selv faeligrdig

Stikproslashver

Side 36 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

1) Vandrette parallelle linier som fjerner sig fra iagttageren loslashber sammen i et punkt forsvindingspunktet

2) Forsvindingspunktet-punkterne ligger paring horisontlinien der er i samme hoslashjde som iagttagerens oslashjenhoslashjde

Med 1 forsvindingspunkt Horisontlinie Forsvindingspunkt

Vandret frontlinie

Med 2 forsvindingspunkter

Forsvindingspunkt Forsvindingspunkt

Normalperspektiv Horisontlinie rdquogennemrdquo figuren

Forsvindingspunkt ForsvindingspunktFroslashperspektiv Horisontlinie under figuren

Med 2 forsvindingspunkter fortsatForsvindingspunkt Forsvindingspunkt

Side 32 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Midtpunkt AB

Fugleperspektiv Horisontlinie over figurenBemaeligrk at man ved tegning med 1 forsvindingspunkt kigger ind i en flade Naringr tegningen har 2 forsvindingspunkter kigger man derimod ind mod et hjoslashrneTIP Paring en tegning med 2 forsvindingspunkter placeres figuren saringledes i forhold til disse at ovennaeligvnte hjoslashrnevinkel (paring tegningen herover ved A) bliver stoslashrre end 90ordm Saringledes sikrer man at tegningen ikke bare er korrekt udfoslashrt men ogsaring ser rdquorigtigrdquo udMed 3 forsvindingspunkter(aktuelt ved tegning af meget hoslashje objekter for eksempel skyskrabere) Forsvindingspunkt

Forsvindingspunkt Forsvindingspunkt

Perspektivtegning ndash introduktion af nyt() begrebI andre fremstillinger1 af perspektivtegningens grundbegreber beskrives en ganske kompliceret fremgangsmaringde til konstruktion af den rdquobagerste tagkantrdquo (angivet med pil) Konstruktion af husets rdquousynligerdquo ydervaeliggge ndash tegning af diagonaler til bestemmelse af bagerste gavls midtpunkt ndash tegning af en lodret linje gennem midtpunktet ndash denne linjes skaeligring med tagrygningen forbindes med tagrandens hoslashjre endepunktHerunder et forslag til en nemmere fremgangsmaringde Fra venstre forsvindingspunkt (FP) tegnes en lodret halvlinje der i mangel af bedre betegnelse kaldes en forsvindingsakse Denne akses skaeligringspunkt med forreste tagkants forlaeligngelse forbindes dernaeligst med tagrandens hoslashjre endepunkt

1 Se for eksempel Opgaveforlagets rdquoFAEligRDIGHEDSREGNING - amp perspektivtegningrdquo 8 klasseSide 33 af 42

Fors

vind

ings

rdquoaks

erdquo

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Hermed er den perspektivisk korrekte haeligldning af bagerste tagkant allerede fastlagt

STATISTIK OG DIAGRAMMER

Herunder er der plads til dit forsoslashg Tegn for afvekslingens skyld et hus med hoslashjre gavl synlig ndash ogeller vaeliglg for eksempel fugleperspektiv frem for normalperspektiv

STATISTIKHerunder foslashlger en praeligsentation af forskellige diagramtyper der vil vaeligre velegnede til at illustrere bestemte data-sammenhaelignge De anvendte eksempler vil forharingbentlig vaeligkke genkendelse hos nogle af dette kompendiums laeligsere

Stolper eller soslashjlerI modsaeligtning til hvad man kan laeligse sig til i andre fremstillinger kaldes nedenstaringende for pindediagrammer eventuelt stolpediagrammer Betegnelsen soslashjlediagrammer vil vi (selv om altsaring Excel og FAKTOR mener noget andet) fortsat reservere til illustration i forbindelse med grupperede observationer

Side 34 af 42

Aldersprofil i Danmark 1999

0

500000

1000000

1500000

2000000

0-14 15-66 67-Aldersintervaller

Anta

l per

sone

r

Drengemaelignd

Pigerkvinder

Trespring kvinder OL 2000

130135140145150

1 3 5 7 9 11 13 15

Laeligng

de i

met

er

Bedste forsoslashg Gennemsnit

Fors

vind

ings

rdquoaks

erdquo

Horisontlinje

Fors

vind

ings

pun

kt

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Bemaeligrk at diagrammet til venstre illustrerer hyppighed ndash men at en tilsvarende afbildning af frekvensen havde taget sig ud paring samme maringde Hoslashjeste stolpe angiver typetal (eller her typeinterval) ndash den observation der forekommer flest gangeDiagrammet til hoslashjre afbilder sportsresultater ndash deltagernumre langs x-aksen laeligngden af de paringgaeligldendes spring paring op ad y-aksen Her er yderligere indtegnet gennemsnittet der ogsaring kaldes middeltallet Sum af observationer divideret med antal observationer

ProcentfordelingCirkeldiagrammet og den rdquostablederdquo procentsoslashjle har begge deres fordele Bruger man regnearkets faciliteter vil det vaeligre let at faring cirkeldiagrammet til at udregne og vise ikke bare rdquolagkagestykkernerdquo men ogsaring de tilhoslashrende procenter

Udvikling over tidHvis det paringgaeligldende data-materiale beskriver variationen af de maringlte stoslashrrelser inden for et bestemt tidsrum vil det vaeligre oplagt i stedet for omstaringende at illustrere dette ved hjaeliglp af en kurve Her skal ndash uden undtagelse ndash tiden afbildes hen ad x-aksen mens paringgaeligldende maringleresultater afsaeligttes op ad y-aksen Kurven kan vise simple sammenhaelignge mellem tid og vejlaeligngde (enheder paring x-aksen sekunder minutter eller timer) ndash eller som herunder udvikling over maringneder og hele aringr

Andre diagramtyper ndash paring computer

Side 35 af 42

Ungdomsblade

23

2017

15

1312

Chili Tjeck NatampDag Vi Unge Mix Gaffa 15 16 17 18 19

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

53693

55612

56028

60266

61971

Unges aldersfordeling

Samlet torskefangst i 1979 og 2000

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

Janu

ar

Febr

uar

Mar

ts

Apr

il

Maj

Juni

Juli

Aug

ust

Sep

tem

ber

Okt

ober

Nov

embe

r

Dec

embe

r

Anta

l ton

2000 1979

15-aringrige 1997-2001

26000

26500

27000

27500

28000

28500

29000

29500

1997

1998

1999

2000

2001

Maelignd Kvinder

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Det vil vaeligre kendt for nogle at Excel i det mindste ved arbejde med trappediagram soslashjlediagram og sumkurve viser sig at vaeligre utilstraeligkkeligt som rdquotegneredskabrdquo Herunder en antydning af hvordan det kan goslashres i et rdquorigtigtrdquo program til deskriptiv statistik Saeligrligt interesserede kan hente en demo-version til videre beskaeligftigelse med emnet paring nedenstaringende internet-adresse

wwweh-matdkstatistikhtml

KOMBINATORIKInden man ndash som det bliver gennemgaringet i det foslashlgende afsnit - kan arbejde med beregning af sandsynligheder skal man kende visse principper for antalsbestemmelse

rdquoEnten ellerrdquoDet klassiske eksempel handler om mad Hvis jeg maring vaeliglge eacuten ret og har 5 hovedretter og 4 forretter at vaeliglge imellem staringr valget mellem en forret eller en hovedret Dermed har jeg 5 + 4 = 9 valgmuligheder rdquoEnten ellerrdquo haelignger altsaring sammen med rdquoplusrdquo

rdquoBaringde ogrdquoHvis jeg paring det samme menukort derimod maring vaeliglge baringde en forret og en hovedret har jeg 4 middot 5 = 20 valgmuligheder rdquoBaringde ogrdquo haelignger altsaring sammen med gange

TaeliglletraeligMan kan i ovenstaringende tilfaeliglde ndash faring valgprocesser faring valgmuligheder ndash skabe sig et overblik ved hjaeliglp af taeliglletraeliget 4 valgmuligheder i foslashrste valg kombineres med 5 muligheder i andet valg ndash i alt 4 gange 5 = 20 rdquoforgreningerrdquo Tegn selv faeligrdig

Stikproslashver

Side 36 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Midtpunkt AB

Fugleperspektiv Horisontlinie over figurenBemaeligrk at man ved tegning med 1 forsvindingspunkt kigger ind i en flade Naringr tegningen har 2 forsvindingspunkter kigger man derimod ind mod et hjoslashrneTIP Paring en tegning med 2 forsvindingspunkter placeres figuren saringledes i forhold til disse at ovennaeligvnte hjoslashrnevinkel (paring tegningen herover ved A) bliver stoslashrre end 90ordm Saringledes sikrer man at tegningen ikke bare er korrekt udfoslashrt men ogsaring ser rdquorigtigrdquo udMed 3 forsvindingspunkter(aktuelt ved tegning af meget hoslashje objekter for eksempel skyskrabere) Forsvindingspunkt

Forsvindingspunkt Forsvindingspunkt

Perspektivtegning ndash introduktion af nyt() begrebI andre fremstillinger1 af perspektivtegningens grundbegreber beskrives en ganske kompliceret fremgangsmaringde til konstruktion af den rdquobagerste tagkantrdquo (angivet med pil) Konstruktion af husets rdquousynligerdquo ydervaeliggge ndash tegning af diagonaler til bestemmelse af bagerste gavls midtpunkt ndash tegning af en lodret linje gennem midtpunktet ndash denne linjes skaeligring med tagrygningen forbindes med tagrandens hoslashjre endepunktHerunder et forslag til en nemmere fremgangsmaringde Fra venstre forsvindingspunkt (FP) tegnes en lodret halvlinje der i mangel af bedre betegnelse kaldes en forsvindingsakse Denne akses skaeligringspunkt med forreste tagkants forlaeligngelse forbindes dernaeligst med tagrandens hoslashjre endepunkt

1 Se for eksempel Opgaveforlagets rdquoFAEligRDIGHEDSREGNING - amp perspektivtegningrdquo 8 klasseSide 33 af 42

Fors

vind

ings

rdquoaks

erdquo

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Hermed er den perspektivisk korrekte haeligldning af bagerste tagkant allerede fastlagt

STATISTIK OG DIAGRAMMER

Herunder er der plads til dit forsoslashg Tegn for afvekslingens skyld et hus med hoslashjre gavl synlig ndash ogeller vaeliglg for eksempel fugleperspektiv frem for normalperspektiv

STATISTIKHerunder foslashlger en praeligsentation af forskellige diagramtyper der vil vaeligre velegnede til at illustrere bestemte data-sammenhaelignge De anvendte eksempler vil forharingbentlig vaeligkke genkendelse hos nogle af dette kompendiums laeligsere

Stolper eller soslashjlerI modsaeligtning til hvad man kan laeligse sig til i andre fremstillinger kaldes nedenstaringende for pindediagrammer eventuelt stolpediagrammer Betegnelsen soslashjlediagrammer vil vi (selv om altsaring Excel og FAKTOR mener noget andet) fortsat reservere til illustration i forbindelse med grupperede observationer

Side 34 af 42

Aldersprofil i Danmark 1999

0

500000

1000000

1500000

2000000

0-14 15-66 67-Aldersintervaller

Anta

l per

sone

r

Drengemaelignd

Pigerkvinder

Trespring kvinder OL 2000

130135140145150

1 3 5 7 9 11 13 15

Laeligng

de i

met

er

Bedste forsoslashg Gennemsnit

Fors

vind

ings

rdquoaks

erdquo

Horisontlinje

Fors

vind

ings

pun

kt

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Bemaeligrk at diagrammet til venstre illustrerer hyppighed ndash men at en tilsvarende afbildning af frekvensen havde taget sig ud paring samme maringde Hoslashjeste stolpe angiver typetal (eller her typeinterval) ndash den observation der forekommer flest gangeDiagrammet til hoslashjre afbilder sportsresultater ndash deltagernumre langs x-aksen laeligngden af de paringgaeligldendes spring paring op ad y-aksen Her er yderligere indtegnet gennemsnittet der ogsaring kaldes middeltallet Sum af observationer divideret med antal observationer

ProcentfordelingCirkeldiagrammet og den rdquostablederdquo procentsoslashjle har begge deres fordele Bruger man regnearkets faciliteter vil det vaeligre let at faring cirkeldiagrammet til at udregne og vise ikke bare rdquolagkagestykkernerdquo men ogsaring de tilhoslashrende procenter

Udvikling over tidHvis det paringgaeligldende data-materiale beskriver variationen af de maringlte stoslashrrelser inden for et bestemt tidsrum vil det vaeligre oplagt i stedet for omstaringende at illustrere dette ved hjaeliglp af en kurve Her skal ndash uden undtagelse ndash tiden afbildes hen ad x-aksen mens paringgaeligldende maringleresultater afsaeligttes op ad y-aksen Kurven kan vise simple sammenhaelignge mellem tid og vejlaeligngde (enheder paring x-aksen sekunder minutter eller timer) ndash eller som herunder udvikling over maringneder og hele aringr

Andre diagramtyper ndash paring computer

Side 35 af 42

Ungdomsblade

23

2017

15

1312

Chili Tjeck NatampDag Vi Unge Mix Gaffa 15 16 17 18 19

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

53693

55612

56028

60266

61971

Unges aldersfordeling

Samlet torskefangst i 1979 og 2000

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

Janu

ar

Febr

uar

Mar

ts

Apr

il

Maj

Juni

Juli

Aug

ust

Sep

tem

ber

Okt

ober

Nov

embe

r

Dec

embe

r

Anta

l ton

2000 1979

15-aringrige 1997-2001

26000

26500

27000

27500

28000

28500

29000

29500

1997

1998

1999

2000

2001

Maelignd Kvinder

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Det vil vaeligre kendt for nogle at Excel i det mindste ved arbejde med trappediagram soslashjlediagram og sumkurve viser sig at vaeligre utilstraeligkkeligt som rdquotegneredskabrdquo Herunder en antydning af hvordan det kan goslashres i et rdquorigtigtrdquo program til deskriptiv statistik Saeligrligt interesserede kan hente en demo-version til videre beskaeligftigelse med emnet paring nedenstaringende internet-adresse

wwweh-matdkstatistikhtml

KOMBINATORIKInden man ndash som det bliver gennemgaringet i det foslashlgende afsnit - kan arbejde med beregning af sandsynligheder skal man kende visse principper for antalsbestemmelse

rdquoEnten ellerrdquoDet klassiske eksempel handler om mad Hvis jeg maring vaeliglge eacuten ret og har 5 hovedretter og 4 forretter at vaeliglge imellem staringr valget mellem en forret eller en hovedret Dermed har jeg 5 + 4 = 9 valgmuligheder rdquoEnten ellerrdquo haelignger altsaring sammen med rdquoplusrdquo

rdquoBaringde ogrdquoHvis jeg paring det samme menukort derimod maring vaeliglge baringde en forret og en hovedret har jeg 4 middot 5 = 20 valgmuligheder rdquoBaringde ogrdquo haelignger altsaring sammen med gange

TaeliglletraeligMan kan i ovenstaringende tilfaeliglde ndash faring valgprocesser faring valgmuligheder ndash skabe sig et overblik ved hjaeliglp af taeliglletraeliget 4 valgmuligheder i foslashrste valg kombineres med 5 muligheder i andet valg ndash i alt 4 gange 5 = 20 rdquoforgreningerrdquo Tegn selv faeligrdig

Stikproslashver

Side 36 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Hermed er den perspektivisk korrekte haeligldning af bagerste tagkant allerede fastlagt

STATISTIK OG DIAGRAMMER

Herunder er der plads til dit forsoslashg Tegn for afvekslingens skyld et hus med hoslashjre gavl synlig ndash ogeller vaeliglg for eksempel fugleperspektiv frem for normalperspektiv

STATISTIKHerunder foslashlger en praeligsentation af forskellige diagramtyper der vil vaeligre velegnede til at illustrere bestemte data-sammenhaelignge De anvendte eksempler vil forharingbentlig vaeligkke genkendelse hos nogle af dette kompendiums laeligsere

Stolper eller soslashjlerI modsaeligtning til hvad man kan laeligse sig til i andre fremstillinger kaldes nedenstaringende for pindediagrammer eventuelt stolpediagrammer Betegnelsen soslashjlediagrammer vil vi (selv om altsaring Excel og FAKTOR mener noget andet) fortsat reservere til illustration i forbindelse med grupperede observationer

Side 34 af 42

Aldersprofil i Danmark 1999

0

500000

1000000

1500000

2000000

0-14 15-66 67-Aldersintervaller

Anta

l per

sone

r

Drengemaelignd

Pigerkvinder

Trespring kvinder OL 2000

130135140145150

1 3 5 7 9 11 13 15

Laeligng

de i

met

er

Bedste forsoslashg Gennemsnit

Fors

vind

ings

rdquoaks

erdquo

Horisontlinje

Fors

vind

ings

pun

kt

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Bemaeligrk at diagrammet til venstre illustrerer hyppighed ndash men at en tilsvarende afbildning af frekvensen havde taget sig ud paring samme maringde Hoslashjeste stolpe angiver typetal (eller her typeinterval) ndash den observation der forekommer flest gangeDiagrammet til hoslashjre afbilder sportsresultater ndash deltagernumre langs x-aksen laeligngden af de paringgaeligldendes spring paring op ad y-aksen Her er yderligere indtegnet gennemsnittet der ogsaring kaldes middeltallet Sum af observationer divideret med antal observationer

ProcentfordelingCirkeldiagrammet og den rdquostablederdquo procentsoslashjle har begge deres fordele Bruger man regnearkets faciliteter vil det vaeligre let at faring cirkeldiagrammet til at udregne og vise ikke bare rdquolagkagestykkernerdquo men ogsaring de tilhoslashrende procenter

Udvikling over tidHvis det paringgaeligldende data-materiale beskriver variationen af de maringlte stoslashrrelser inden for et bestemt tidsrum vil det vaeligre oplagt i stedet for omstaringende at illustrere dette ved hjaeliglp af en kurve Her skal ndash uden undtagelse ndash tiden afbildes hen ad x-aksen mens paringgaeligldende maringleresultater afsaeligttes op ad y-aksen Kurven kan vise simple sammenhaelignge mellem tid og vejlaeligngde (enheder paring x-aksen sekunder minutter eller timer) ndash eller som herunder udvikling over maringneder og hele aringr

Andre diagramtyper ndash paring computer

Side 35 af 42

Ungdomsblade

23

2017

15

1312

Chili Tjeck NatampDag Vi Unge Mix Gaffa 15 16 17 18 19

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

53693

55612

56028

60266

61971

Unges aldersfordeling

Samlet torskefangst i 1979 og 2000

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

Janu

ar

Febr

uar

Mar

ts

Apr

il

Maj

Juni

Juli

Aug

ust

Sep

tem

ber

Okt

ober

Nov

embe

r

Dec

embe

r

Anta

l ton

2000 1979

15-aringrige 1997-2001

26000

26500

27000

27500

28000

28500

29000

29500

1997

1998

1999

2000

2001

Maelignd Kvinder

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Det vil vaeligre kendt for nogle at Excel i det mindste ved arbejde med trappediagram soslashjlediagram og sumkurve viser sig at vaeligre utilstraeligkkeligt som rdquotegneredskabrdquo Herunder en antydning af hvordan det kan goslashres i et rdquorigtigtrdquo program til deskriptiv statistik Saeligrligt interesserede kan hente en demo-version til videre beskaeligftigelse med emnet paring nedenstaringende internet-adresse

wwweh-matdkstatistikhtml

KOMBINATORIKInden man ndash som det bliver gennemgaringet i det foslashlgende afsnit - kan arbejde med beregning af sandsynligheder skal man kende visse principper for antalsbestemmelse

rdquoEnten ellerrdquoDet klassiske eksempel handler om mad Hvis jeg maring vaeliglge eacuten ret og har 5 hovedretter og 4 forretter at vaeliglge imellem staringr valget mellem en forret eller en hovedret Dermed har jeg 5 + 4 = 9 valgmuligheder rdquoEnten ellerrdquo haelignger altsaring sammen med rdquoplusrdquo

rdquoBaringde ogrdquoHvis jeg paring det samme menukort derimod maring vaeliglge baringde en forret og en hovedret har jeg 4 middot 5 = 20 valgmuligheder rdquoBaringde ogrdquo haelignger altsaring sammen med gange

TaeliglletraeligMan kan i ovenstaringende tilfaeliglde ndash faring valgprocesser faring valgmuligheder ndash skabe sig et overblik ved hjaeliglp af taeliglletraeliget 4 valgmuligheder i foslashrste valg kombineres med 5 muligheder i andet valg ndash i alt 4 gange 5 = 20 rdquoforgreningerrdquo Tegn selv faeligrdig

Stikproslashver

Side 36 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Bemaeligrk at diagrammet til venstre illustrerer hyppighed ndash men at en tilsvarende afbildning af frekvensen havde taget sig ud paring samme maringde Hoslashjeste stolpe angiver typetal (eller her typeinterval) ndash den observation der forekommer flest gangeDiagrammet til hoslashjre afbilder sportsresultater ndash deltagernumre langs x-aksen laeligngden af de paringgaeligldendes spring paring op ad y-aksen Her er yderligere indtegnet gennemsnittet der ogsaring kaldes middeltallet Sum af observationer divideret med antal observationer

ProcentfordelingCirkeldiagrammet og den rdquostablederdquo procentsoslashjle har begge deres fordele Bruger man regnearkets faciliteter vil det vaeligre let at faring cirkeldiagrammet til at udregne og vise ikke bare rdquolagkagestykkernerdquo men ogsaring de tilhoslashrende procenter

Udvikling over tidHvis det paringgaeligldende data-materiale beskriver variationen af de maringlte stoslashrrelser inden for et bestemt tidsrum vil det vaeligre oplagt i stedet for omstaringende at illustrere dette ved hjaeliglp af en kurve Her skal ndash uden undtagelse ndash tiden afbildes hen ad x-aksen mens paringgaeligldende maringleresultater afsaeligttes op ad y-aksen Kurven kan vise simple sammenhaelignge mellem tid og vejlaeligngde (enheder paring x-aksen sekunder minutter eller timer) ndash eller som herunder udvikling over maringneder og hele aringr

Andre diagramtyper ndash paring computer

Side 35 af 42

Ungdomsblade

23

2017

15

1312

Chili Tjeck NatampDag Vi Unge Mix Gaffa 15 16 17 18 19

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

53693

55612

56028

60266

61971

Unges aldersfordeling

Samlet torskefangst i 1979 og 2000

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

Janu

ar

Febr

uar

Mar

ts

Apr

il

Maj

Juni

Juli

Aug

ust

Sep

tem

ber

Okt

ober

Nov

embe

r

Dec

embe

r

Anta

l ton

2000 1979

15-aringrige 1997-2001

26000

26500

27000

27500

28000

28500

29000

29500

1997

1998

1999

2000

2001

Maelignd Kvinder

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Det vil vaeligre kendt for nogle at Excel i det mindste ved arbejde med trappediagram soslashjlediagram og sumkurve viser sig at vaeligre utilstraeligkkeligt som rdquotegneredskabrdquo Herunder en antydning af hvordan det kan goslashres i et rdquorigtigtrdquo program til deskriptiv statistik Saeligrligt interesserede kan hente en demo-version til videre beskaeligftigelse med emnet paring nedenstaringende internet-adresse

wwweh-matdkstatistikhtml

KOMBINATORIKInden man ndash som det bliver gennemgaringet i det foslashlgende afsnit - kan arbejde med beregning af sandsynligheder skal man kende visse principper for antalsbestemmelse

rdquoEnten ellerrdquoDet klassiske eksempel handler om mad Hvis jeg maring vaeliglge eacuten ret og har 5 hovedretter og 4 forretter at vaeliglge imellem staringr valget mellem en forret eller en hovedret Dermed har jeg 5 + 4 = 9 valgmuligheder rdquoEnten ellerrdquo haelignger altsaring sammen med rdquoplusrdquo

rdquoBaringde ogrdquoHvis jeg paring det samme menukort derimod maring vaeliglge baringde en forret og en hovedret har jeg 4 middot 5 = 20 valgmuligheder rdquoBaringde ogrdquo haelignger altsaring sammen med gange

TaeliglletraeligMan kan i ovenstaringende tilfaeliglde ndash faring valgprocesser faring valgmuligheder ndash skabe sig et overblik ved hjaeliglp af taeliglletraeliget 4 valgmuligheder i foslashrste valg kombineres med 5 muligheder i andet valg ndash i alt 4 gange 5 = 20 rdquoforgreningerrdquo Tegn selv faeligrdig

Stikproslashver

Side 36 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Det vil vaeligre kendt for nogle at Excel i det mindste ved arbejde med trappediagram soslashjlediagram og sumkurve viser sig at vaeligre utilstraeligkkeligt som rdquotegneredskabrdquo Herunder en antydning af hvordan det kan goslashres i et rdquorigtigtrdquo program til deskriptiv statistik Saeligrligt interesserede kan hente en demo-version til videre beskaeligftigelse med emnet paring nedenstaringende internet-adresse

wwweh-matdkstatistikhtml

KOMBINATORIKInden man ndash som det bliver gennemgaringet i det foslashlgende afsnit - kan arbejde med beregning af sandsynligheder skal man kende visse principper for antalsbestemmelse

rdquoEnten ellerrdquoDet klassiske eksempel handler om mad Hvis jeg maring vaeliglge eacuten ret og har 5 hovedretter og 4 forretter at vaeliglge imellem staringr valget mellem en forret eller en hovedret Dermed har jeg 5 + 4 = 9 valgmuligheder rdquoEnten ellerrdquo haelignger altsaring sammen med rdquoplusrdquo

rdquoBaringde ogrdquoHvis jeg paring det samme menukort derimod maring vaeliglge baringde en forret og en hovedret har jeg 4 middot 5 = 20 valgmuligheder rdquoBaringde ogrdquo haelignger altsaring sammen med gange

TaeliglletraeligMan kan i ovenstaringende tilfaeliglde ndash faring valgprocesser faring valgmuligheder ndash skabe sig et overblik ved hjaeliglp af taeliglletraeliget 4 valgmuligheder i foslashrste valg kombineres med 5 muligheder i andet valg ndash i alt 4 gange 5 = 20 rdquoforgreningerrdquo Tegn selv faeligrdig

Stikproslashver

Side 36 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

- betyder udtagelse af tilfaeligldigt valgte delmaeligngder af en maeligngde Man skelner imellem rdquoordnederdquo og rdquouordnederdquo stikproslashver rdquomedrdquo og rdquoudenrdquo tilbagelaeliggning hvilket alt sammen har indflydelse paring det paringgaeligldende antal muligheder for forskellige udtag

rdquoOrdnet medrdquo Hvor mange forskellige trecifrede tal kan skrives med cifrene 56789rdquoOrdnetrdquo betyder at raeligkkefoslashlgen ikke er ligegyldig 567 er eksempelvis ikke det samme tal som 765 selv om cifrene er ens rdquoMed tilbagelaeliggningrdquo indebaeligrer at samme ciffer desuden maring bruges flere gange eksempelvis 557 eller 888 I dette tilfaeliglde vil der i alt kunne dannes 53 = 125 forskellige tal Et taeliglletraelig til illustration vil ligeledes have 5 gange 5 gange 5 = 125 rdquoforgreningerrdquo (Tegn ikke dette)

rdquoOrdnet udenrdquo Hvor mange bestyrelser aacute 3 personer kan der sammensaeligttes ud af en forsamling paring 20 rdquoOrdnetrdquo betyder igen at raeligkkefoslashlgen ikke er ligegyldig Den foslashrst valgte bliver nemlig formand nummer to bliver kasserer ndash mens den sidste er sekretaeligr rdquoUden tilbagelaeliggningrdquo medfoslashrer at hver person (selvfoslashlgelig) kun kan vaeliglges eacuten gangI dette tilfaeliglde vil der i alt kunne sammensaeligttes 20 middot 19 middot 18 = 6840 bestyrelser Taeliglletraeliget vil denne gang svulme tilsvarende op 20 gange 19 gange 18 rdquoforgreningerrdquo

rdquoUordnet udenrdquo Gyldendals Bogklub tilbyder nye medlemmer 3 boslashger til en fordelagtig pris Hvis boslashgerne vaeliglges fra et katalog med 45 titler kan valget i foslashrste omgang foretages paring 45 middot 44 middot 43 = 85140 maringder Men da det her er ligegyldigt i hvilken raeligkkefoslashlge boslashgerne vaeliglges maring der herefter divideres med 3 middot 2 middot 1 = 6 ndash det antal raeligkkefoslashlger som hvert enkelt udvalg kan stilles op i (ABC ACB BAC BCA CAB CBA) Vi faringr altsaring 85140 6 = 14190 forskellige sammensaeligtninger af velkomstbogpakkenrdquoUordnet medrdquo Denne stikproslashvetype er noget svaeligrere at faring hold paring idet den i de fleste tilfaeliglde kraeligver en kompliceret formel Hardhittere henvises dog til afsnittet herunderFor specielt interesserede Skema med dobbelt indgangVed udtag af 2-stikproslashver kan man have god nytte af et saringdant skema der i nogle fremstillinger kaldes et taeligllerektangel Det gammelkendte eksperiment to kast med en terning kan illustreres saringledes

Side 37 af 42

1 2 3 4 5 6

1 (11) (12) (13) (14) (15) (16)

2 (21) (22) (23) (24) (25) (26)

3 (31) (32) (33) (34) (35) (36)

4 (41) (42) (43) (44) (45) (46)

5 (51) (52) (53) (54) (55) (56)

6 (61) (62) (63) (64) (65) (66)

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Skemaets i alt 62 = 36 udfald illustrerer rdquoordnet medrdquo Raeligkkefoslashlgen har betydning (12) er forskellig fra (21) og alle oslashjental kan forekomme to gange (markeret diagonal)rdquoOrdnet udenrdquo illustreres af de ordnede talpar minus diagonalen da hvert oslashjental her kun kan forekomme eacuten gang Antal P (65) = 6 middot 5 = 30 rdquoPrdquo betyder permutation (latin for raeligkkefoslashlge) og kan netop huskes som rdquoParing raeligkkerdquoHvis vi betragter de to rdquohalvdelerdquo paring hver side af diagonalen illustrerer de hver isaeligr rdquouordnet udenrdquo ndash bortset fra raeligkkefoslashlgen er det jo de samme oslashjental 12 er lig med 21 Antal K(65) = 6 middot 5 2 middot 1 = 15 rdquoKrdquo betyder kombination og kan huskes som rdquoKlumprdquo (altsaring hvor raeligkkefoslashlgen er ligegyldig) NB 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15 Hvorfor monEacuten skemahalvdel plus diagonalen kunne i et givet terningespil illustrere antal forskellige muligheder for parkombinationer Antal 6 middot 5 2 middot 1 + 6 = 21 Dette er rdquouordnet medrdquo

SANDSYNLIGHEDSREGNINGNaeligsten alt hvad man helt op til og med 9 klasse skal kunne inden for dette emne kan faktisk praeligsenteres ved gennemgang af et enkelt eksperimentTegningen herunder forestiller et lykkehjul med tallene 1-12 der er indrettet saringledes at felterne med lige tal er hvide mens felterne med ulige tal er sorte Eksperimentet bestaringr i det ganske enkle Drej lykkehjulet og se hvilket talfelt det standser paring

Da alle felter er lige store kan man sikkert hurtigt indse at alle tal er lige sandsynlige rdquovindertalrdquo Man taler her om jaeligvnt fordelt sandsynlighed Ligeledes per intuition kan man sikkert indse at denne sandsynlighed for et hvilket som helst af tallene maring vaeligre eacuten ud af tolv altsaring 112De tolv tal udgoslashr tilsammen den maeligngde vi kalder for eksperimentets udfaldsrum Dette angives med maeligngdelaeligrens skrivemaringde saringledes U = 123456789101112En haeligndelse defineres som en delmaeligngde af udfaldsrummet Eksempelvis vil haeligndelsen Hjulet standser paring et hvidt felt med et tal stoslashrre end 5 bestaring af

Side 38 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

elementerne 681012 Paring samme maringde vil haeligndelsen Tallet garingr op i 12 og feltet er sort bestaring af elementerne 13Sandsynligheden (P for rdquoProbabilityrdquo) for en bestemt haeligndelse finder man af broslashken

gunstigemulige

P(hvidt felt tal stoslashrre end 5) = 412 = 13 asymp 33

P(sort felt tal garingr op i 12) = 212 = 16 asymp17

Den sikre haeligndelseP(hjulet standser paring et tal fra 1-12) = 1212 = 1 = 100 Den umulige haeligndelseP(hjulet standser paring tallet 13) = 012 = 0 =

0 Komplementaeligr sandsynlighedP(hjulet standser ikke paring et tocifret tal) = 1 ndash (312) = 912 =

75

Eksempel kombinatorikkens antalsbestemmelse inddraget i sandsynlighedsberegning

Et tilfaeligldigt eksperiment bestaringr i fra et almindeligt spil kort (52 stk altsaring 4 rdquofarverrdquo aacute 13 kort ingen jokere) at udtage to korta) Paring hvor mange maringder kan dette valg foretages

(dvs Hvor mange mulige udfald har eksperimentet rdquoUordnet udenrdquo ndash rdquoklumprdquo)

b) Beregn sandsynligheden for foslashlgende haeligndelse Der udvaeliglges 2 billedkort(find foslashrst Hvor mange gunstige udfald er der her af eksperimentet)

c) Sandsynligheden for at de to valgte kort er et rdquonummerkortrdquo og et billedkort

d) Find sandsynligheden for at ingen af de valgte kort er ottere

Side 39 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

e) Find et eksempel paring en umulig haeligndelse ved udfoslashrelse af eksperimentet -

f) - og et eksempel paring en sikker haeligndelse -

g) Sandsynligheden i e) og f)

REGNEARKIntet emne uden en afsluttende behandling i computerlokalet ndash det har i hvert fald vaeligret flittigt besoslashgt i matematiktimerne hvor megen anstrengelse er udfoldet for at fremstille ndash isaeligr ndash diagrammer som omstaringende sider da ogsaring giver smagsproslashver paringSom afrunding af kompendiet maring det vaeligre passende at stille et par repetitionsopgaver hvor det netop ikke er de fine figurer der er i fokus Det er derimod FORMLERNEDe fire regningsarterOpstil i kolonne E de formler der lader et aktivt regneark foretage udregningerneBroslashkerDer skal formateres (kolonne CD og E) ndash og opstilles formel (kolonne E)OmregningHvordan formateres til broslashk decimaltal og procent Og hvilke formler i kolonne D og EPotensVarierende formatering af kolonne D og E Hvor kan der bruges formler ndash og hvilkeKvadratrodPythagorasHvilke formler bruges i kolonne E for at udregne laeligngden af hypotenusenkateten

Side 40 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Side 41 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Side 42 af 42

• At kvadratroden af et ikke-negativt tal a er lig med tallet b er ensbetydende med at b er ikke-negativt og b oploslashftet til anden potens giver a
• Eksempler
• = 3 da 3 ge 0 og 32 = 9
• = 01 da 01 ge 0 og 012 = 001
• = 12 da 12 ge 0 og 122 = 14

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Skemaets i alt 62 = 36 udfald illustrerer rdquoordnet medrdquo Raeligkkefoslashlgen har betydning (12) er forskellig fra (21) og alle oslashjental kan forekomme to gange (markeret diagonal)rdquoOrdnet udenrdquo illustreres af de ordnede talpar minus diagonalen da hvert oslashjental her kun kan forekomme eacuten gang Antal P (65) = 6 middot 5 = 30 rdquoPrdquo betyder permutation (latin for raeligkkefoslashlge) og kan netop huskes som rdquoParing raeligkkerdquoHvis vi betragter de to rdquohalvdelerdquo paring hver side af diagonalen illustrerer de hver isaeligr rdquouordnet udenrdquo ndash bortset fra raeligkkefoslashlgen er det jo de samme oslashjental 12 er lig med 21 Antal K(65) = 6 middot 5 2 middot 1 = 15 rdquoKrdquo betyder kombination og kan huskes som rdquoKlumprdquo (altsaring hvor raeligkkefoslashlgen er ligegyldig) NB 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15 Hvorfor monEacuten skemahalvdel plus diagonalen kunne i et givet terningespil illustrere antal forskellige muligheder for parkombinationer Antal 6 middot 5 2 middot 1 + 6 = 21 Dette er rdquouordnet medrdquo

SANDSYNLIGHEDSREGNINGNaeligsten alt hvad man helt op til og med 9 klasse skal kunne inden for dette emne kan faktisk praeligsenteres ved gennemgang af et enkelt eksperimentTegningen herunder forestiller et lykkehjul med tallene 1-12 der er indrettet saringledes at felterne med lige tal er hvide mens felterne med ulige tal er sorte Eksperimentet bestaringr i det ganske enkle Drej lykkehjulet og se hvilket talfelt det standser paring

Da alle felter er lige store kan man sikkert hurtigt indse at alle tal er lige sandsynlige rdquovindertalrdquo Man taler her om jaeligvnt fordelt sandsynlighed Ligeledes per intuition kan man sikkert indse at denne sandsynlighed for et hvilket som helst af tallene maring vaeligre eacuten ud af tolv altsaring 112De tolv tal udgoslashr tilsammen den maeligngde vi kalder for eksperimentets udfaldsrum Dette angives med maeligngdelaeligrens skrivemaringde saringledes U = 123456789101112En haeligndelse defineres som en delmaeligngde af udfaldsrummet Eksempelvis vil haeligndelsen Hjulet standser paring et hvidt felt med et tal stoslashrre end 5 bestaring af

Side 38 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

elementerne 681012 Paring samme maringde vil haeligndelsen Tallet garingr op i 12 og feltet er sort bestaring af elementerne 13Sandsynligheden (P for rdquoProbabilityrdquo) for en bestemt haeligndelse finder man af broslashken

gunstigemulige

P(hvidt felt tal stoslashrre end 5) = 412 = 13 asymp 33

P(sort felt tal garingr op i 12) = 212 = 16 asymp17

Den sikre haeligndelseP(hjulet standser paring et tal fra 1-12) = 1212 = 1 = 100 Den umulige haeligndelseP(hjulet standser paring tallet 13) = 012 = 0 =

0 Komplementaeligr sandsynlighedP(hjulet standser ikke paring et tocifret tal) = 1 ndash (312) = 912 =

75

Eksempel kombinatorikkens antalsbestemmelse inddraget i sandsynlighedsberegning

Et tilfaeligldigt eksperiment bestaringr i fra et almindeligt spil kort (52 stk altsaring 4 rdquofarverrdquo aacute 13 kort ingen jokere) at udtage to korta) Paring hvor mange maringder kan dette valg foretages

(dvs Hvor mange mulige udfald har eksperimentet rdquoUordnet udenrdquo ndash rdquoklumprdquo)

b) Beregn sandsynligheden for foslashlgende haeligndelse Der udvaeliglges 2 billedkort(find foslashrst Hvor mange gunstige udfald er der her af eksperimentet)

c) Sandsynligheden for at de to valgte kort er et rdquonummerkortrdquo og et billedkort

d) Find sandsynligheden for at ingen af de valgte kort er ottere

Side 39 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

e) Find et eksempel paring en umulig haeligndelse ved udfoslashrelse af eksperimentet -

f) - og et eksempel paring en sikker haeligndelse -

g) Sandsynligheden i e) og f)

REGNEARKIntet emne uden en afsluttende behandling i computerlokalet ndash det har i hvert fald vaeligret flittigt besoslashgt i matematiktimerne hvor megen anstrengelse er udfoldet for at fremstille ndash isaeligr ndash diagrammer som omstaringende sider da ogsaring giver smagsproslashver paringSom afrunding af kompendiet maring det vaeligre passende at stille et par repetitionsopgaver hvor det netop ikke er de fine figurer der er i fokus Det er derimod FORMLERNEDe fire regningsarterOpstil i kolonne E de formler der lader et aktivt regneark foretage udregningerneBroslashkerDer skal formateres (kolonne CD og E) ndash og opstilles formel (kolonne E)OmregningHvordan formateres til broslashk decimaltal og procent Og hvilke formler i kolonne D og EPotensVarierende formatering af kolonne D og E Hvor kan der bruges formler ndash og hvilkeKvadratrodPythagorasHvilke formler bruges i kolonne E for at udregne laeligngden af hypotenusenkateten

Side 40 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Side 41 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Side 42 af 42

• At kvadratroden af et ikke-negativt tal a er lig med tallet b er ensbetydende med at b er ikke-negativt og b oploslashftet til anden potens giver a
• Eksempler
• = 3 da 3 ge 0 og 32 = 9
• = 01 da 01 ge 0 og 012 = 001
• = 12 da 12 ge 0 og 122 = 14

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

elementerne 681012 Paring samme maringde vil haeligndelsen Tallet garingr op i 12 og feltet er sort bestaring af elementerne 13Sandsynligheden (P for rdquoProbabilityrdquo) for en bestemt haeligndelse finder man af broslashken

gunstigemulige

P(hvidt felt tal stoslashrre end 5) = 412 = 13 asymp 33

P(sort felt tal garingr op i 12) = 212 = 16 asymp17

Den sikre haeligndelseP(hjulet standser paring et tal fra 1-12) = 1212 = 1 = 100 Den umulige haeligndelseP(hjulet standser paring tallet 13) = 012 = 0 =

0 Komplementaeligr sandsynlighedP(hjulet standser ikke paring et tocifret tal) = 1 ndash (312) = 912 =

75

Eksempel kombinatorikkens antalsbestemmelse inddraget i sandsynlighedsberegning

Et tilfaeligldigt eksperiment bestaringr i fra et almindeligt spil kort (52 stk altsaring 4 rdquofarverrdquo aacute 13 kort ingen jokere) at udtage to korta) Paring hvor mange maringder kan dette valg foretages

(dvs Hvor mange mulige udfald har eksperimentet rdquoUordnet udenrdquo ndash rdquoklumprdquo)

b) Beregn sandsynligheden for foslashlgende haeligndelse Der udvaeliglges 2 billedkort(find foslashrst Hvor mange gunstige udfald er der her af eksperimentet)

c) Sandsynligheden for at de to valgte kort er et rdquonummerkortrdquo og et billedkort

d) Find sandsynligheden for at ingen af de valgte kort er ottere

Side 39 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

e) Find et eksempel paring en umulig haeligndelse ved udfoslashrelse af eksperimentet -

f) - og et eksempel paring en sikker haeligndelse -

g) Sandsynligheden i e) og f)

REGNEARKIntet emne uden en afsluttende behandling i computerlokalet ndash det har i hvert fald vaeligret flittigt besoslashgt i matematiktimerne hvor megen anstrengelse er udfoldet for at fremstille ndash isaeligr ndash diagrammer som omstaringende sider da ogsaring giver smagsproslashver paringSom afrunding af kompendiet maring det vaeligre passende at stille et par repetitionsopgaver hvor det netop ikke er de fine figurer der er i fokus Det er derimod FORMLERNEDe fire regningsarterOpstil i kolonne E de formler der lader et aktivt regneark foretage udregningerneBroslashkerDer skal formateres (kolonne CD og E) ndash og opstilles formel (kolonne E)OmregningHvordan formateres til broslashk decimaltal og procent Og hvilke formler i kolonne D og EPotensVarierende formatering af kolonne D og E Hvor kan der bruges formler ndash og hvilkeKvadratrodPythagorasHvilke formler bruges i kolonne E for at udregne laeligngden af hypotenusenkateten

Side 40 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Side 41 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Side 42 af 42

• At kvadratroden af et ikke-negativt tal a er lig med tallet b er ensbetydende med at b er ikke-negativt og b oploslashftet til anden potens giver a
• Eksempler
• = 3 da 3 ge 0 og 32 = 9
• = 01 da 01 ge 0 og 012 = 001
• = 12 da 12 ge 0 og 122 = 14

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

e) Find et eksempel paring en umulig haeligndelse ved udfoslashrelse af eksperimentet -

f) - og et eksempel paring en sikker haeligndelse -

g) Sandsynligheden i e) og f)

REGNEARKIntet emne uden en afsluttende behandling i computerlokalet ndash det har i hvert fald vaeligret flittigt besoslashgt i matematiktimerne hvor megen anstrengelse er udfoldet for at fremstille ndash isaeligr ndash diagrammer som omstaringende sider da ogsaring giver smagsproslashver paringSom afrunding af kompendiet maring det vaeligre passende at stille et par repetitionsopgaver hvor det netop ikke er de fine figurer der er i fokus Det er derimod FORMLERNEDe fire regningsarterOpstil i kolonne E de formler der lader et aktivt regneark foretage udregningerneBroslashkerDer skal formateres (kolonne CD og E) ndash og opstilles formel (kolonne E)OmregningHvordan formateres til broslashk decimaltal og procent Og hvilke formler i kolonne D og EPotensVarierende formatering af kolonne D og E Hvor kan der bruges formler ndash og hvilkeKvadratrodPythagorasHvilke formler bruges i kolonne E for at udregne laeligngden af hypotenusenkateten

Side 40 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Side 41 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Side 42 af 42

• At kvadratroden af et ikke-negativt tal a er lig med tallet b er ensbetydende med at b er ikke-negativt og b oploslashftet til anden potens giver a
• Eksempler
• = 3 da 3 ge 0 og 32 = 9
• = 01 da 01 ge 0 og 012 = 001
• = 12 da 12 ge 0 og 122 = 14

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Side 41 af 42

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Side 42 af 42

• At kvadratroden af et ikke-negativt tal a er lig med tallet b er ensbetydende med at b er ikke-negativt og b oploslashftet til anden potens giver a
• Eksempler
• = 3 da 3 ge 0 og 32 = 9
• = 01 da 01 ge 0 og 012 = 001
• = 12 da 12 ge 0 og 122 = 14

Allersidstehjaeliglp i matematik 6y-8y og 7x-9x 2005-08 Steen Ehlers

Side 42 af 42

• At kvadratroden af et ikke-negativt tal a er lig med tallet b er ensbetydende med at b er ikke-negativt og b oploslashftet til anden potens giver a
• Eksempler
• = 3 da 3 ge 0 og 32 = 9
• = 01 da 01 ge 0 og 012 = 001
• = 12 da 12 ge 0 og 122 = 14