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BROCHURE D'EXERCICES D'ANALYSEMATHEMATIQUE I

AVEC RAPPELS DE COURS, ENONCES D'EXERCICES

AVEC REPONSES ET CERTAINS CORRIGES DETAILLES

par

Pr. OSMANOV Hamid et KHELIFATI Saddek (M.C.A)

Année 2013

Brochure d’exercices d’analyse mathématique I parOSMANOV H et KHELIFATI S

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PREFACE.

Cette première partie d’une brochure est destinée aux étudiants de première année de tronccommun d’université qui servira de support pédagogique tant pour l’étudiant que pourl’enseignant chargé des T.D, et ne prétend pas remplacer la diversité des ouvrages existant en lamatière. Elle englobe les chapitres suivants d’analyse mathématique I:

1. Nombres réels.——————————————————–p 0062. Suites numériques.—————————————————p 0333. Fonctions réelles. Fonctions usuelles et élémentaires.———p 0744. Limites et continuité.————————————————p 1085. Fonctions dérivables.————————————————p 1636. Formule de Taylor. Développements limités.——————-p 2127. Etude des fonctions.————————————————-p 256

Le nombre d’exercices proposés couvre suffisamment le programme d’analyse I de premièreannée universitaire. Si le nombre d’exercices théoriques est plus restreint que ceux à caratèrecalculatoire, cela est dû à la nature du tronc commun de première année qui regroupe plusieursfilières, à savoir: sciences exactes, technologie et informatique; mais cela ne signifie pas que lathéorie n’est pas importante en technologie et en informatique. Seulement, nous pensons que lesétudiants peuvent apprendre à être rigoureux en argumentant les calculs à l’aide des résultatsthéoriques connus. Ceci d’une part. D’autre part , l’apparition de logiciels informatiques, pouvanteffectuer même le calcul symbolique, ne doit pas faire oublier que la connaissance des théoriesqui sont à la base des méthodes de calcul, est une nécessité pour permettre d’abord, de lescomprendre, ensuite de les améliorer; et, pourquoi pas, de les développer ou même d’enconcevoir de nouvelles.

Cependant ce n’est qu’en résolvant beaucoup d’exercices que l’étudiant pourra comprendreet assimiler la théorie. Ceux qui se limitent à la seule théorie ou à recopier les solutions desexercices ne retiendront pas grand chose et n’iront pas loin dans leurs études. Car lesmathématiques se sont avérées incontournables dans presque toutes les disciplines scientifiques.

Certains exercices sont plus techniques que théoriques et inversement. La plupart desexercices sont inspirés de certains manuels d’exercices, en français et en russe et de sériesd’exercices.

Chaque chapitre se divise en quatre parties:1) rappels du cours sur le chapitre en question,2) énoncés des exercices, généralement suivant le plan du cours,3) réponses aux exercices,4) corrigés détaillés de certains exercices.

Aussi, nous conseillons à l’étudiant :1o/ de réviser le cours en question,2o/ de lire attentivement les exercices,3o/ de revoir la ou les parties du cours en relation avec l’exercice,4o/ de résoudre les exercices avant de regarder les réponses ou les corrigés donnés, en

respectant les questions posées, c’est à dire respecter la démarche proposée dans l’énoncé,5o/ de ne pas se décourager à la première difficulté rencontrée,


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5o/ d’être rigoureux, c’est à dire justifier les calculs par les résultats théoriques connus,6o/ de simplifier si possible les calculs à chaque étape tout en respectant les règles de

simplification ( on a constaté que de nombreux étudiants ne simplifient pas les expressionsmathématiques obtenues, ce qui engendre souvent des erreurs),

7o/ d’être logique et ne pas abuser de l’utilisation des ”donc” sans justification,8o/ d’éviter de raisonner souvent par analogie ou par automatisme, tel que ”l’invention” de

nouvelles formules, comme par exemple arctgx arcsin xarccos x , qui est fausse evidemment,

9o/ d’essayer de trouver la méthode la plus simple et qui correspond à celle demandée.

P.S.1) Des erreurs, que se soit sur le plan du texte, des énoncés, des réponses ou des corrigés,

peuvent être relevées. Nous prions tout lecteur de les signaler aux auteurs pour une éventuellecorrection.

2) Toute suggestion ou remarque pour améliorer cette brochure sont les bienvenues.3) Nous remercions tous les collègues ayant contribué de près ou de loin à la confection de

cette brochure.

Symboles logiques et mathématiques.

1) : égalité, x y : x est égal à y2) : ou, a b : a ou b3) : et, a b : a et b4) : implication,

a b : a implique b ou a donc b;a : condition suffisante de b; pour que b, il suffit ab : condition nécessaire de a; pour que a, il faut ab

5) : équivalence, a b : a est équivalente à b :condition nécessaire et suffisante,pour que a, il faut et il suffit b,

a si et seulement b6) : appartenance, a A : a appartient à A7) : inclusion, A B : A est inclus dans B8) : Contenance, B A : B contient A9) : intersection, A B : A inter B10) : réunion, A B : A union B11) : vide12) , : inégalités larges, x y : x est inférieur ou égal à y13) y x : y est supérieur ou égal à x16) ,: inégalités strictes, x y : x est strictement inférieur à y

y y : y est strictement supérieur à x17) : infini;18) N : ensemble des nombres entiers naturels;19) Z : ensemble des nombres entiers relatifs,20) Q : ensemble des nombres rationnels;21) R : ensemble des nombres réels;22) R Q : ensemble des nombres irrationnels.


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Alphabet grec

: alpha : bêta; : gamma ; : phi; : delta : : Dzêta : epsilon : rho : tau; : têta ; : pi; : sigma : nû; : lambda : mû; : oméga ; : Ksi; : Psi : nû


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Types de raisonnement mathématique.

Les principaux types de raisonnement mathématiques sont les suivants:

1) Raisonnement déductif. Il se base sur le raisonnement logique suivant: si p est uneproposition vraie et si la proposition p q est vraie, alors q est vraie.

C’est le raisonnement le plus utilisé qui consiste à déduire un résultat à partir d’axiomes oude propositions déjà démontrées ou supposées vraies, par une suite finie d’implications logiquesde la forme suivante: supposons qu’on veut démontrer que la proposition q est vraie sachant quela proposition p, appelée hypothèse, est vraie, alors la chaîne des implications suivantes

p p1 p2 . . . pn q,

où p1,p2, . . . . ,pn sont des résultats vrais intermédiaires, implique en fin de compte que q estvraie.

2) Raisonnement par la contraposée. Il se base sur l’équivalence logique suivante:

p q q p.

Ainsi, si on veut démontrer que la relation p q est vraie, il faut et il suffit de démontrerla relation q p, appelée contraposée de la première.

3) Raisonnement par l’absurde. Il se base sur le principe de tiers exclu, c’est à dire qu’enmathématiques une proposition est soit vraie, soit fausse. Il consiste, pour démontrer qu’uneproposition p soit vraie, à supposer qu’elle est fausse, c’est à dire que p est vraie. Alors, par unraisonnement logique, on aboutit à une absurdité ou à une contradiction avec l’hypothèse ou avecun résultat établi comme vrai. Dans ce cas p est fausse, donc p est vraie.

4) Raisonnement par récurrence. Celui-ci permet de démontrer qu’une proprosition Pn,dépendant de l’entier n, soit vraie à partir de n0 fixé. Il constiste:

i) à démontrer que Pn0 est vraie,ii) à supposer que Pn, n n0 est vraie et démontrer que Pn 1 est vraie.

Alors, on conclut que Pn est vraie n n0.


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Chapitre I. Nombres réels. Eléments de topologie.Rappels de cours.

§1. Nombres réels et leurs propriétés.

I. 1. Développement décimal. On rappelle que l’ensemble des entiers naturels est noté parN 0,1,2, . . . ,n , . . . , l’ensemble des nombres entiers relatifs

par: Z . . . ,n, . . . ,2,1,0,1,2, . . . ,n, . . . 0,1,2, . . . ,n, . . . où n vérifiel’équation n a 0, n N, et l’ensemble des nombres rationnels est défini par

Q r pq , p,q Z , q 0 p

q , p Z , q N

qui, muni des lois somme et produit, est un corps commutatif dans lequel: x,y Z,l’équation by a x y 0 admet des solutions.

On démontre que tout nombre rationnelpq peut s’écrire, en plus de sa forme fractionnaire,

comme un développement décimal limité de la forme:pq 0,12 . . .n ou illimité périodique

de la forme :pq 0,12 . . .n12. . .m.12. . .m12. . .m. . . avec 0 N , k,j 0,1, . . . , 9

et 12. . .m étant la période.

Définition.1. On appelle nombre irrationnel tout développement décimal illimité non périodique.2. On appelle ensemble des nombres réels l’ensemble, noté R, formé des nombres

rationnels et irrationnels .

Ainsi, tout nombre réel s’écrit comme un développpement décimal illimité, périodique ounon :

x Rdéf. x 0,12 . . . , avec 0 N et k 0,1,2, . . . , 9, k 1,2, . . .

Voir exercices 1.1 à 1.5.Remarque. Il existe d’autres méthodes pour définir l’ensemble des nombres réels à partir de

l’ensemble des rationnels Q, à savoir la méthode des coupures ou sections de Dedekind, ainsique la méthode des suites fondamentales dans Q. On montre que ces définitions aboutissent aumême ensemble formel des nombres réels.

I.2. Définition axiomatique des nombres réels. L’ensemble des nombres réels est unensemble, noté R, muni de deux lois de composition internes: somme, notée ”" et produit, noté”.”, ainsi que d’une relation d’ordre, notée , satisfaisant aux axiomes suivants:

A1. x y y x, x, y R commutativité;A2. x y z x y z, x, y, z R associativité;A3 : e R, appelé élément neutre , noté e 0, vérifiant :

x 0 0 x x, x R;A4. x R ,x R, appelé élément symétrique de x, noté x x,

vérifiant: x x 0;A5. x.y y.x, x,y R ;A6. x. y. z x.y. z , x,y, z R;


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A7. x R,x 0, appelé élément unité et noté x 1, vérifiant:x. 1 1.x x, x R ;

A8. x R, x 0,x R, appelé élément inverse de x et notéx x1 ou x 1

x vérifiant: x.x1 1;A9. x. y z x.y x. z, x, y, z R distributivité;A10 x x , x R;A11. x y y x x y;A12. x z z y x y transitivité);A13. x,y R, on a soit x y, soit y x ordre totalA14. x y x z y z, z R ;A15. (x y et z 0 x. z y. z ;A16. axiome de coupure ou de continuité).

Si X, Y R tels que x X, y Y, x y, alors c R : x c yOn définit la relation d’ordre stricte par: x y x y et x y.A partir de l’axiomatique, on construit l’ensemble, N, des nombres dits naturels, l’ensemble,

Z, des nombres dits relatifs et l’ensemble, Q, des nombres dits rationnels avec N Z Q.Tout nombre réel qui n’est pas rationnel est dit irrationnel.

I.3. Puissance, exponentielle et logarithme d’un nombre réel. En plus des opérationssomme et produit, on définit la puissance entière d’un nombre réel x 0 par:

x0 1, xn xn1.x, n 1,et on démontre que la racine n-ième d’un nombre réel positif a, a 0, existe toujours dans

R et elle est unique, c’est à dire il existe un seul x 0 tel que xn a. On note dans ce cas

x n a ou x a1n .

De même, on démontre que:i) si a 0, a 1 et x R, alors il existe un seul nombre réel y, noté y ax, appelé

puissance de a avec exposant réel ou exponentielle de base a de x;ii) si a 0, a 1 et y 0, alors il existe un seul nombre réel x, noté x logay, appelé

logatithme de y de base a.En résumé, si a 0 et a 1 :

y ax, x R x logay, y 0.

Le nombre a R tel que logaa 1 est appelé nombre de Néper, désigné par a e(e 2,718281829. . . . Dans ce cas, on note l’exponentielle par ex ou expx

et logex logx ou ln x, appelé logarithme népérien.

Propriétés de l’exponentielle et du logarithme. a 0, a 1i) x,y R : axy axay;ii) x R : ax 1

ax ,

iii) x,y R : axy axy;iv) x R, b 0,b 1 : a

bx ax

bx ;

v) x,y 0 : logaxy logax logay;vi) x,y 0 : loga

xy logax logay;

vii) x 0 : logax logxloga

;

viii) si a 1, alors x x ax ax et logax logax .


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I.4. Valeur absolue d’un nombre réel.On définit la valeur absolue de x R par

|x| x si x 0,

x si x 0.

Voir exercices 1.11. à 1.17.

I.5. Intervalles de R. Une partie I R est un intervalle si et seulement si elle vérifie lapropriété suivante: x,y I, x y, alors z R : x z y z I.

On montre que les intervalles de R sont de la forme suivante:i. Intervalles bornés d’extrémités a et b a b :a) a,b x R : a x b, b) a,b x R : a x b,c) a,b x R : a x b ; d a,b x R : a x b,ii. Intervalles non bornés d’extrémité a R :a) a, x R : x a, b) a, x R : x a,c) , a x R : x a, d) , a x R : x a,e) , R x R x .f) , R x R x .

I.6. Bornes supérieure et inférieure d’un ensemble de R.Définition 1. On dit que l’ensemble X R est :1) majoré ou borné supérieurement s’il existe un nombre M R,

appelé majorant de X tel que x X, on ait x M ;2) minoré ou borné inférieurement s’il existe un nombre réel m R,

appelé minorant de X, tel que x X, on ait x m;3) borné s’il est à la fois majoré et minoré.S’il existe x0 X tel que M x0 ou m x0, alors on aM max X ou m min X.

Définition 2. On appelle borne supérieure (resp. borne inférieure) de l’ensemble X, le pluspetit des majorants, noté supX resp. le plus grand des minorants, noté infX.

Les deux théorèmes suivants sont vrais:Théorème 1.i) Les bornes supérieure et inférieure d’une partie de R, si elles existent, sont uniques.ii) Toute partie de R majorée (resp. minorée) possède une borne supérieure (resp.

inférieure).Remarque. La propriété ii) du théorème 1, appelée propriété de la borne supérieure, n’est

pas vraie dans l’ensemble des nombres rationnels Q. (Voir exercice 1.26).

Théorème 2.i). Si X est un ensemble majoré de R et M R, alors:

M supX 1 M est un majorant de X,

2 0,x X : M x M.

ii). Si X est un ensemble minoré de R et m R, alors:


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m infX 1 m est un minorant de X ,

2 0,x X : m x m .

Voir exercices 1.16 à 1.25.

I.7. Propriété d’Archimède et ses conséquences.On démontre que l’ensemble R vérifie le principe d’Archimède suivant:

x R,n N : n x.Cette propriété s’écrit aussi comme suit:

h 0, x R,n Z : nh x.

Comme première conséquence du principe d’Archimède, on montre quex R,n Z : n x n 1.

Défintion. Le nombre entier n Z vérifiant la relation précédente est appelépartie entière de x.

C’est le plus grands des entiers inférieurs à x.Par exemple: E0,21 0, E 2 1, E1,23 2.Voir exercice 1.28.Comme deuxième conséquence du principe d’Archimède, on peut démontrer le lemme

suivant:Lemme. (Propriété de densité):i) Pour tous nombres réels a,b a b, il existe un nombre rationnel r

tel que a r b.ii) Pour tous nombres réels a,b a b, il existe un nombre irrationnel s

tel que a s b.Voir exercice 1.27

I.8. Approximations d’un nombre réel. Soit x0 la valeur exacte d’une grandeur numériquequelconque et x une valeur approchée de x0. La quantité x x0 x est appelée erreur et|x| |x0 x|, erreur absolue.

On note alors x0 x. Le nombre x est dite valeur approchée par défaut si x x0 ou six 0 et valeur approchée par excès si x x0 ou x 0. Par exemple si x0 2 , alorsx 1,414 est une valeur approchée par défaut et x 1,415, par excès, car1,414 2 1,415.

On montre, (d’après le lemme précédent) qu’on peut toujours approcher un nombre réel parun nombre rationnel avec une précision aussi grande qu’on veut. En effet, soit le nombre réelpositif

x 0,12 . . .n . . . , où 0 N, 1,2, . . . 0,1,2, . . . , 9.Posons :

xn 0,12. . .n et yn 0,12. . . n 1 0,12. . .n 110n .

Dans ce cas, on a xn,yn Q et xn x yn. Le nombre rationnel xn est dite valeurapprochée par défaut de x, et yn, valeur approchée par excés. Comme |xn yn | 1

10n ,

alors on a:

|x xn | 110n et |x yn | 1

10n .

Définition. On appelle erreur relative absolue d’une valeur approchée le rapport de l’erreurabsolue sur le module de la valeur approchée, notée


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x |x0 x||x|

|x||x|

.

I.9. Raisonnement par récurrence. Le raisonnement par récurrence consiste en ce qui suit:soit pn une relation mathématique dépendant du nombre entier n N. Pour établir que cetterelation est vraie pour tout n n0, il suffit de montrer que:

1o pn0 est vraie;2o si pn est vraie pour n n0, alors pn 1 est vraie.Dans ces conditions, pn est vraie n n0.Voir exercices 1.30 à 1.36.

§ 2. Eléments de topologie dans R

I.10. Ensembles ouverts, fermés dans R. Comme généralisation de la notion d’intervalleouvert, on a celle d’ensemble ouvert.

Définition.i) Un ensemble O R est dit ouvert si pour tout x O, il existe un intervalle ouvert I R

contenu entièrement dans O et contenant lui-même le point x;ii) un ensemble F R est dit fermé si son complémentaire dans R est ouvert.Exemples.1) Les intervalles a,b, ,a, a,, , sont des ouverts.2) Les intervalles a,, ,a, , sont des fermés. Ainsi, R est à la fois ouvert et

fermé. De même pour l’ensemble vide . En fait, on montre que ce sont les seuls ensembles de Rà la fois ouverts et fermés.

I.11. Notion de voisinage d’un point. Après la notion d’ouvert, celle d’un voisinage est trèsimportante dans l’étude de la convergence ou de limite.

Définition Soit x R. On appelle voisinage du point x tout sous-ensemble V de Rcontenant un ouvert O contenant lui-même le point x.

Exemples.1) L’intervalle ouvert I a,b est un voisinage de tout x I et tout ensemble de la forme

x ,x , 0, est dit voisinage de x.2) L’intervalle fermé E a,b est un voisinage de tout point x a,b, mais il n’est pas un

voisinage des points a et b. En effet, x a,b, on a a,b E et x a,b, mais, d’après ladéfinition d’un intervalle, il n’existe aucun intervalle ouvert contenant a ou b et contenu dansa,b.

3) Les ensembles N, Z et Q ne sont des voisinages d’aucun de leurs points.

I.12. Points adhérents, points d’accumulation, points isolés. Certains points de R jouentun rôle particulier par rapport à certains sous-ensembles.

Définition. Soit E R. On dit que le point x0 R est :i) un point adhérent de E si tout intervalle ouvert contenant x0 rencontre E;ii) un point d’accumulation de E si tout intervalle ouvert contenant x0 rencontre E en un

point autre que x0;iii) un point isolé de E s’il est adhérent à E mais il n’est pas un point d’accumulation de E.L’ensemble des points adhérents de E est noté E, appelé adhérence de E, tandis que

l’ensemble des points d’accumulation de E est noté E , appelé ensemble dérivé de E.


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Exemples.1) Soit E 0,1 2. Dans ce cas, l’ensemble des points adhérents à E est l’ensemble

E 0,1 2. Tout point x 0,1 E est un point d’accumulation et l’ensemble despoints d’accumulation est E 0,1. Le point x0 2 E est un point adhérent à E, mais cen’est pas un point d’accumulation. C’est un point isolé. De même les points x 0, x 1 sontdes points d’accumulation, donc adhérents, mais ils n’appartiennent pas à E.

2) Soit E 0,1, 12

, . . . , 1n , . . . . Alors, dans ce cas, E E, c’est à dire que l’ensemble

des points adhérents à E est égal à E et l’ensemble des points d’accumulation est l’ensemble à unseul point 0, E 0.

3) Tous les points relatifs de Z sont isolés dans Z.Voir exercices 1.38 à 43.

I.13. Densité de Q dans R.Définition. On dit que l’ensemble A R est dense dans R si tout intervalle ouvert ( ou

ensemble ouvert) de R rencontre A, et on note A R.Cela signifie que: A R a,b R : a b a,bA .Lemme. L’ensemble des rationnels Q est dense dans R, Q R.

§ 3.Sous-ensembles de R.

I.14. Ensembles dénombrables. Une des propriétés des ensembles est la notion de"quantité" de ses éléments.

Définition 2. On dit que deux ensembles A et B sont équipotents s’il existe une bijection f deA sur B, c’est à dire: b B, !a A : b fa.

Définition 2. On dit qu’un ensemble A R est fini s’il existe un nombre n N tel que Asoit équipotent à l’ensemble 1,2, . . . ,n. A est dit infini s’il n’est pas fini.

Si A est fini, il s’écrit sous la forme A x1,x2, . . . ,xn et il est clair que le nombre de seséléments est égal à n. On note, alors CardA n. Les ensembles N, Z, Q, R sont infinis.

Parmi les ensembles infinis, les ensemles dénombrables jouent un rôle particulier.

Définition 3. Un ensemble A est dit dénombrable s’il est équipotent à l’ensemble desnombres naturels N.

Dans ce cas, tout ensemble dénombrable peut se mettre sous la forme d’un ensemblenuméroté ou indéxé par les nombres naturels, c’est à dire

A x1,x2, . . . ,xn,xn1, . . . .On dit aussi que A est un ensemble discret. On note dans ce cas, CardA CardN a.Par exemple, l’ensemble des nombres naturels pairs (resp. impairs) est dénombrable.

I.15. Ensembles de puissance continue. Le lemme suivant est vrai:Lemme. L’ensemble des points du segment 0,1 n’est pas dénombrable.Définition. Un ensemble A de R est dit de puissance continue s’il est équipotent au segment


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0,1. On note CardA Card0,1 c.On montre que tous les intervalles de R bornés ou non ont la puissance du continu.

Voir exercices 1.42 et 1.43.


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Enoncés des exercices du chapitre I.

Exercice 1.1.i) Démontrer que les nombres suivants ne sont pas rationnels:1 2 ; 2 3 ; 3 2 3; 4 n p p étant premier et n 1;5 log105; 6 2 3 ; 7 log3p pétant premier;8

2 n, n Z.

ii) Montrer que les nombres a 3 7 5 2 3 7 5 2

et b 313 5 17

2 3

13 5 172

sont rationnels.

Exercice 1.2. Trouver les développements décimaux des nombres réels suivants:1 15

4; 2 1; 3 13

7; 4 2 ; 5) 1000 ( pour ces deux derniers nombres,

donner quelques décimales); 6 3117

; 7 215

.

Exercice 1.3. Démontrer que tout nombre de la formep

2s5r admet un développement

décimal limité.

Exercice 1.4. Ecrire sous forme fractionnaire les développements décimaux suivants:1 1, 2; 2 0, 9; 3 3,003; 4 0,312; 5 2, 340.Généralisation: donner la formule générale permettant d’écrire un développement décimal

positif sous sa forme fractionnaire.

Exercice 1.5. Soient a et b deux entiers naturels premiers entre eux tels quea b. Démontrer qu’il existe des entiers naturels a0, a1, . . . ,an tels que:

ab a0 1

a1 1

a2 1. . .

. . . 1an1 1

an

.

Exercice 1.6. A partir du système d’axiomes, démontrer:i) que les éléments neutre, symétrique, unité et inverse sont uniques;ii) les propriétés suivantes de R: x, y, z, w R :1) l’équation x a y admet une solution unique a R;2) si x 0, alors l’équation x.a y admet une solution unique a R;3) x. 0 0.x 0;4) x 1x; xy xy x.y, 1x x, xx x.x;5) x.y 0 x 0 y 0 ;6) x y y z x z; 7) x y y z x z;8) x y x z y z;9) x y et z w x z y w même chose pour l’inégalité stricte);10) x y w z x w y z;11) x y y x en particulier x 0 x 0;


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12) x y y xen particulier x 0 x 0;13) x y z 0 xz yz;14) i) x 0 y 0 x.y 0, ii x 0 y 0 x.y 0,

iii) x 0 y 0 x.y 0, iv) x 0 y 0 x.y 0;15) x y z 0 x. z yz; 16) x 0 x2 x.x 0 ;17) x 0 x1 1

x 0 ; 18) 0 x y 0 1y

1x ;

19) 0 1;20) i) 0 x 1 0 xn xm 1 si n m n,m N;

ii) x 1 xn xm 1 si n m n,m N;21) 0 x y 0 xn yn, n N;

Exercice 1.7. Démontrer que les propositions suivantes sont vraies dans R:1) x y x x y

2 y;

2 a R : a y x a x y;3 ( 0, x y x y;4) si x1 y1, x2 y2, . . . ,xn yn, alors:

i)n

k1

xk n

k1

yk,

ii) x i 0, i 1,2, . . . ,n 0 n

k1

xk n

k1

yk. .

Exercice 1.8. Soit x R. Démontrer les relations suivantes::1 x,y R : x2 y2 2xy et en déduire que x R, x 1

x 2;

2 x,y, z R : x y2 4xy et en déduire la relation:

x yy zz x 8xyz;

3) x,y, z R : x y z 1 1x

1y

1z 9 .

Exercice 1.9. Dire si les propositions suivantes sont vraies ou fausses dans R :1 x,y : x y 3;2 y,x : x y 3;3 x,y : x y 3;4 x,y : x y 3;5 x,y : x y x y 0;6 x,y : x y z : x z y ;7 x,y : x2 2y2;8 x : x2 x x 1 x 0 ;9 x : x 2 x 3 2 x 3;10 x : x2 x;11 a,b,c : x : ax2 bx c 0 b2 4ac 0;12 b,a,x : x2 ax b 0;13 b,a,x : x2 ax b 0;14 a,b,x : x2 ax b 0 .

Exercice 1.10. Etablir le sens exact des propositions suivantes et les écrire à l’aide desymboles logiques, ainsi que leurs négations.:


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1 le nombre x0 est une solution de l’équation fx 0;2 le nombre x0 est la solution unique de l’équation fx 0;3 l’équation fx 0 admet une solution réelle;4 l’ensemble X R est majoré;5 le nombre m est le plus petit élément de X;6 l’ensemble X admet un plus petit élément;7 le nombre m Z est un diviseur du nombre n Z;8 si le nombre n Z est divisible par 2 et par 3, alors il est divisible par 6;9 le nombre p N est premier.

Exercice 1.11. Démontrer les relations suivantes: x,y R,

1 |x y| |x| |y|; en généraln

k1

x i n

k1

|x i |

2) ||x| |y|| |x y|;3) ||x a| |y b|| |x y| |a b|;4 |x| y y x y;5 x 0 1

x 1|x|

;

6 a x b et a y b |x y| b a;

7 |x y|1 |x y|

|x|1 |x|

|y|1 |y|

;

8 x2 y2 |x| |y|;9 |x y| |x| |y| ;

10) |ax by| a b2x y2 .11 |x y| |x| |y| x.y 0;12 x y z z y x |x y| |y z| |x z|;13) x2 y2 0 |x| |y| 0 x y 0;14) ( 0, |x| x 0.

Exercice 1.12 Résoudre dans R les équations suivantes:1 |3x 4| 1

2; 2 x2 x3 0; 3 |x2 2x 3| 1;

4 x 22 x 2; 5 2x 1x 1

1; 6 |x 1| |x 1| 2;

7) |x 1| |x 1| |x 3|.

Exercice 1.13. Résoudre dans R les inéquations suivantes:1 |x 1| 0,01; 2 |x 2| 5; 3 |x 2| |x|;4 |2x 1| |x 1|; 5 |x 1| |x 1| 10; 6||x 1| |x 1|| 1;7 |x1 x| 0,05; 8) |x 1| |x 1| |x 3|.

Exercice 1.14. Soient X x1,x2, . . . ,xn et Y y1,y2, . . . ,yn deux parties finies de R.Démontrer les inégalités suivantes:

1i1

n

x iy i

2

i1

n

x i2 .

i1

n

y12 (inégalité de Cauchy-Schwartz);

2i1

n

x i y i2 i1

n

x i2

i1

n

y i2 (inégalité de Minkowski).


——————————————————————————————————-16

Exercice 1.15. Soient x,y R. On appelle distance entre les points x et y le nombre,noté dx,y, défini par: dx,y |x y|.

Montrer que la distance vérifie les propriétés suivantes: x,y, z R,1 dx,y 0 et dx,y 0 x y; 2 dx,y dy,x;3 dx,y dx, z dz,y.Ces trois propriétés définissent en général une distance. Les nombres dx,y suivants

définissent-ils une distance? Sinon, quelles sont les propriétés non vérifiées:i dx,y max|x|, |y|; ii dx,y |x| |y|; iii dx,y x2 y2 .

Exercice 1.16. Soient x,y R. Démontrer les relations suivantes:1 maxx,y minx,y; 2 minx,y maxx,y;3 x y max|x|, |y| x y max|x|, |y|;4 minx,y 1

2x y |x y|; 5 maxx,y 1

2x y |x y|.

Exercice 1.17. Soient X x1,x2, . . . ,xn et Y y1,y2, . . . ,yn deuxsous-ensembles finis de R tels que y i 0, i 1,2, . . . ,n. On pose m min X et

M max X. Montrer que:

1 |max x i max y i | max|x i y i | n

i1

|x i y i |;

2) m x1y1 x2y2 . . .xnyny1 y2 . . .yn

M ;

3 en déduire que: inf x1y1

, x2y2

, . . . , xnyn

x1 x2 . . .xny1 y2 . . .yn

sup x1y1

, x2y2

, . . . , xnyn

.

Exercice 1.18. Soient X et Y deux parties non vides de R. Montrer que:1 si X Y et Y est majoré, alors supX existe et supX supY;2 si X Y et X est minoré, alors infY existe et infY infX.Donner des exemples où on a des égalités.3 Si X,Y sont bornées, alors X Y est bornée et on a :

i supX Y maxsupX, supY,ii infX Y mininfX, infY;

4 Si X et Y sont bornées, alors X Y est bornée et on a:i maxinfX, infY infX Y supX Y,ii supX Y minsupX, supY.

Exercice 1.19. Soient X,Y deux parties bornées non vides de R. On désigne par:X x,x X, X Y x y, x X, y Y ,X Y x y, x X, y Y et XY xy, x X, y Y .Montrer que:1 infX supX; 2 supX infX;3 infX Y infX infY; 4 supX Y supX supY;5 supX Y supX infY;6 X,Y R infXY infX. infY et supXY supX. supY.

Exercice 1.20. Soit x R. Posons x maxx, 0 et x minx, 0. Montrer alors que:x x x et |x| x x.


——————————————————————————————————-17

Exercice 1.21. Pour chacun des ensembles suivants, déterminer la borne supérieure, la borneinférieure, le plus grand élément et le plus petit élément s’ils existent:

1 E1 1, 12

, 13

, . . . , 1n , . . . ; 2 E2 2 1

n , n N ;

3 E3 1n 35n

, n N ; 4 E4 1 2n3 n

, n N ;

5 E5 1m

1n , m,n N ;

6 E6 12 n

2n 1, 1

2 n

2n 1, n N ;

7 E7 mn , m,n N, m n ;

8) E9 0,3; 9 E10 0,2;10 E11 a,b c c b a; 11 E12 1

x , 1 x 2 ;

12 E13 1x , 1 x 2 ; 13 E14 1

x , 1 x 2 .

Exercice 1.22. Soit X un ensemble non vide et borné de R etY y R : y2 X et y 0 . Montrer que:1 Y est borné; 2 supY supX ; 3 infY infX .

Exercice 1.23. Soit X un ensemble non vide et borné de R.On pose Y |x|, x X . Montrer que:1) Y est borné; 2) supY max|infX|, |supX|;3) 0 infY min|infX|, |supX|.

Exercice 1.24. Soient X et Y deux ensembles non vides et bornés de R tels que :i) x X, y Y : x y. Montrer que supX infY;ii) x X, y Y : x y. Montrer que supX supY;

Exercice 1.25. Soit X un ensemble non vide et borné de R.1) Montrer que sup|x y| : x,y X existe. On note dX ce nombre qu’on appelle

diamètre de X.2) Montrer que dX supX infX.3) Montrer que: 0, x,y X : |x y| supX infX .4) En déduire que: dX supX infX.

Exercice 1.26. Montrer que l’ensemble X r Q : r2 2 n’admet pas de borne

supérieure dans Q.Exercice 1.27. Montrer que a,b R, a b :1) r Q : a r b (ind. utiliser le principe d’Archimède);

2) s R Q : a s b ind. poser a2

, b2

et utiliser 1).

Exercice 1.28. Soient x, y R. Démontrer les résultats suivants:1) x 1 Ex x;2 Ex y Ex Ey avec 0 ou 1;3 Ex y Ex Ey avec 0 ou 1;4 Ex Ex 1

n Ex 2n . . .Ex

n 1n Enx;


——————————————————————————————————-18

5 EEnx

n Ex; 6) Résoudre l’équation x Ex.

7) A-t-on E2x 2Ex?

Dans la suite des exercices, on considère la définition suivante:Cn

k n!k!n k!

, 0 k n.

Exercice 1.29.i) Montrer que: 1 Cn

k Cnnk; 2 Cn

k Cnk1 Cn1

k .

ii) Calculern

k0

Cnk

k 1;

Exercice 1.30.i) Démontrer par récurrence la formule suivante, appelée binôme de Newton:

a,b R,n N,

a bn n

k0

Cnkankbk.

ii) En déduire les sommes suivantes:

10in

Cni ; 2

0in

1 iCni ; 3

0in

1 i

2i Cni .

Exercice 1.31. Calculer les expressions suivantes

1n

k1

1kk 1

; 2n

k1

1kk 1k 2

;

3n

k1

1 1k 12

; 4n

k1

1 2k 13 1

;

5n

k1

k 1Cnk ; 6

n

k1

k 1Cnk ;

7n

k1

C2n2k ; 8

n

k0

Cnk2; 9

n

k1

kCnk .

Exercice 1.32. Démontrer par récurrence sur n N les égalités suivantes:

1)n

k1

k nn 12

; 2 )n

k1

k2 nn 12n 16

;

3)n

k1

k3 n

k1

k

2

; 4)n1

k0

2k 2n 1;

5)n

k1

2k2 2nn 12n 1

3; 6)

n

k1

2k3 2n2n 12;

7)n

k1

k.k! n 1! 1;

8)n

k1

12k 12k 1

n2n 1

; 9)n

k1

2k 12 C2n13 ;


——————————————————————————————————-19

10)n

k1

kk 1 nn 1n 23

;

11)n

k1

k4 nn 12n 13n2 3n 130

;

12)n

k1

1k1k2 1n1 nn 12

.

Exercice 1.33.i Démontrer la formule suivante:

n

k1

kk 1. . . k m 1 1m 1

nn 1. . . n m

ii) En appliquant cette formule calculer les sommes suivantes:1 1.2 2.3 . . .n. n 1; 2) 1.2.3 2.3.4 . . .nn 1n 2;3) 1.2.3.4 2.3.4.5 . . .nn 1n 2n 3.

Exercice 1.34.i) Montrer que n Net x R : 1 xn 1 x1 x x2 . . .xn1

ii) En déduire que:1 1 1

2 1

4. . . 1

2n 2;

2 a R, b R : an bn a ban1 an2b an3b2 . . .abn2 bn1.iii) Montrer que n N, a 0 : 1 1 a1

n 1a 1 n a 1 a 1

n .

Exercice 1.35. Soient x1,x2. . . ,xn des nombres réels de même signe, supérieurs à -1.Démontrer l’inégalité suivante, appelée inégalité de Bernoulli:

1 x11 x2. . . 1 xn 1 x1 x2 . . .xn. En déduire l’inégalité: 1 xn 1 nx si x 1 et n N.

Exercice 1.36.. Démontrer par récurrence sur n N les inégalités suivantes:

1 n 2n; 2 n 2n 1

n1 2, n 0;

3 n! n 12

n, n 1, voir 2; 4 2! 4!. . . 2n! n 1!n, n 0;

5 12

34

. . . 2n 12n

12n 1

, n 0;

6 1 12 1

3. . . 1

n n , n 2;

7 nn1 n 1n, n 3; 8 2n! 22n. n!2;

92n1

k1

1n k

1; 10 2n! 4nn 1

n!2.

Exercice 1.37. Soit X x1,x2, . . . ,xn une partie finie de R. Les nombres réels suivants:

X x1 x2 . . .xnn , X 1

1x1 1

x2. . . 1

xn

et X n x1x2. . .xn

si x i 0, i 1,2, . . . ,n, sont appelées respectivement moyenne arithmétique, moyenne


——————————————————————————————————-20

harmonique et moyenne géométrique.Soient m min X, M max X.i Montrer que si m 0, alors:

1 m X M; 2 m X M; 3 m X M.Montrer qu’on a des égalités si et seulement si x1 x2 . . . xn.ii Désignons par logX logx1, logx2, . . . , logxn, 1

X 1

x1, 1

x2, . . . , 1

xn

Montrer que:1 1

X 1

X; 2 1

X 1

X; 3 logX logX.

iii Montrer que si Y y1,y2, . . . ,yn et x i, y i 0, i 1,2, . . . ,n, alors, on a:1 X Y X Y; 2 XY X.Y.

iv Démontrer les inégalités:

X X nX

, x i 0, i 1,2, . . . ,n.

Montrer qu’on a des égalités si x1 x2 . . . xn.

Exercice 1.38. Soient a,b,c,d R, a b, c d. Etablir tous les cas possibles où laréunion et l’intersection de l’intervalle d’extrémités a et b avec l’intervalle d’extrémités c et dsont des intervalles en précisant leur nature topologique.

Exercice 1.39. Démontrer les propriétés suivantes:1) Toute réunion d’un nombre fini ou infini d’ouverts est un ouvert.2) Toute intersection d’un nombre fini d’ouverts est un ouvert.3) Toute intersection d’un nombre fini ou infini de fermés est un fermé.4) Toute réunion d’un nombre fini de fermés est un fermé.

Exercice 1.40. Donner un exemple:1) d’une intersection infinie d’ouverts qui ne soit pas un ouvert;2) d’une réunion infinie de fermés qui ne soit pas un fermé.

Exercice 1.41. Montrer l’ensemble F 0,1, 12

, 13

, . . . , 1n , . . .

1) est fermé;2) admet un seul point d’accumulation à savoir x0 0.

Exercice 1.42. Montrer que les ensembles suivants: l’ensemble des nombres pairs,l’ensemble des nombres impairs, l’ensemble Z et l’ensemble Q sont dénombrables.

Exercice 1.43. Montrer que le segment 0,1 n’est pas dénombrable. (Utiliser le théorèmedes segments emboîtés ou les développements décimaux).


——————————————————————————————————-21

Réponses aux exercices du chapitre I.

Exercice 1.1. ii) a 2, b 1.Exercice 1.2. 1 3,75; 2 0, 9; 3 1, 857142; 4 1,4142. . . ;5 31,623. . . ; 6 1, 8235294117647058; 7 4,2.Exercice 1.4. 1 11

9; 2 1; 3 901

300; 4 103

330; 5 2338

999.

Généralisation: 0,12. . .n12. . . 0 12. . .n12. . . 12. . .n

99. . . 9n

00. . . 0si

0.Exercice 1.9. 1 Vraie; 2 Fausse; 3 Vraie; 4 Fausse; 5 Vraie;6 Vraie; 7 Fausse; 8 Vraie; 9 Vraie; 10 Fausse;11 Vraie; 12 Fausse; 13 Vraie; 14 Fausse.Exercice 1.12. 1 3

2, 7

6; 2 1,0; 3 ; 4 1,2; 5 0,2; 6 0;

7) 1,5.Exercice 1.13. 1 1,01 x 0,99; 2 x 3 et x 7; 3 1 x;4 0 x 2

3; 5 5 x 5; 6 1

2 x 1

2;

75 30

10 x 5 20

10et

5 2010

x 5 3010

; 8) x 1,5.

Exercice 1.15. i oui; ii oui; iii oui.Exercice 1.21. 1 supE1 max E1 1, infE1 0, min E1 n’existe pas;2 supE2 2, max E2 n’existe pas, infE2 min E2 1 n 1;3 supE3 max E3 13

10n 2, infE3 1, min E3 n’existe pas;

4 supE4 2, max E4 n’existe pas, infE4 min E4 14n 1;

5 supE5 max E5 2 m n 1, infE5 0, min E5 n’existe pas;6 supE6 max E6 5

6, infE2 min E2 1

2n 1;

7 supE7 1, max E7 n’existe pas , infE7 0, min E7 n’existe pas;8) supE9 max E9 3, infE9 0, min E9 n’existe pas;9 supE10 max E10 2, infE10 min E10 0;10 supE11 max E11 c, infE11 min E11 a;11 supE12 max E12 1 x 1, infE12 min E12 1

2x 2;

12 supE13 1, max E13 n’existe pas, infE13 12

, min E13 n’existe pas;

13 supE14 max E14 12x 2, infE14 min E14 1 x 1.

Exercice 1.28. 6) x Z; 7 non. Exercice 1.29. ii) 1n 1

2n1 1.

Exercice 1.30. ii) 1) 2n; 2 0; 3 12n .

Exercice 131. 1 1 1n 1

; 2 12

12 1n 1n 2

; 3 12

n 2n 1

;

4 23

1 1n 1n 2

; 5n

k1

k 1Cnk n2n1 2n 1;

6n

k1

k 1Cnk n2n1 2n 1; 7 22n1; .8 C2n

n .

Exercice 1.33. ii) 1 13

nn 1n 2 m 2;


——————————————————————————————————-22

2) 14

nn 1n 2n 3 m 3;

3) 15

nn 1n 2n 3n 4 m 4.

Exercice 1.38 On a des intervalles si a c b d :1) ouvert: a,b c,d a,d; 2) semi-ouvert: a,b c,d a,d;3) semi-ouvert: a,bc,d a,d; 4) fermé: a,bc,d a,d.Exercice 1.40. 1) On 1

n , 1n , 2) Fn 1

n , 1 , n 1,2, . . .


——————————————————————————————————-23

Corrigés de certains exercices du chapitre I.

Exercice 1.1.1 2 Q? Montrons que si (a,b N N et a,b premiers entre-eux,

alors 2 ab

. Raisonnons par l’absurde, c’est à dire supposons que

2 ab Q, a Z, b Z avec a et b premiers entre-eux et trouvons une

contradiction. En élevant au carrée, on obtient l’égalité : 2b2 a2 , c’est à dire que a2 estun entier pair, et dans ce cas a est aussi pair. Soit alors a 2k. En remplaçant dans l’égalité (*)et après simplification, on obtient b2 2k2, c’est à dire que b2 est un entier pair, et dans ce cas,b est aussi pair. Ceci contredit le fait que a et b sont premiers entre-eux. Donc l’hypothèse que

2 Q est fausse, c’est à dire 2 Q.Remarque. On peut faire d’autres démonstrations.3 2 3 Q? Dans cet exercice, on utilise le résultat de 1). En effet, supposons que

2 3 r Q. D’après le fait que la somme est une opération interne dans et que 3 Q,alors on aurait 2 r 3 Q. Ce qui contredit le résultat de l’exercice 1). Donc 2 3 Q.

ii) En élevant l’égalité a 3 7 5 2 3 7 5 2 à la puissance 3, et après simplificationet arrangement des termes, on obtient l’équation suivante:

a3 3a 14 0, dont les solutions sont a 2, a 1 i 6 et a 1 i 6 . Commea R, alors a 2 Q.

Même démonstration pour b 313 5 17

2 3

13 5 172

1.

Exercice 1.2. 2 Première méthode à l’aide de la série géométrique. Sachant que1 q q2 . . .qn qn1 . . . 1

1 qsi 0 q 1, alors

0,999. . . 99. . . 910 9102

9103

. . . 910n

910n1

. . .

9 110 1102

1103

. . . 110n

110n1

. . . 9 11 1

10

1 1.

Deuxième méthode. Posons x 0,99. . . 9. . . . En supposant que la mutiplicaion par 10n

signifie déplacer la virgule de n places vers la droite, on obtient10x 9,99. . . 9. . . et, alors

9x 10x x 9,99. . . 9. . . 0,99. . . 9. . . 9 x 1.

Exercice 1.6. i)- Montrons que l’élément neutre est unique pour l’opération somme dans la définition

axiomatique. Soient 01 et 02 deux éléments neutres, mais alors, on auraient, en utilisant unepremière fois 01 comme élément neutre, ensuite 02, comme élément neutre: 02 01 02 et01 02 01, et comme 02 01 01 02, d’après la commutativité (axiome i), on conclut que01 02.

- Montrons que l’élément symétrique est unique pour l’opération somme dans la définitionaxiomatique. Soient x1 et x2 deux éléments symétriques de x R, mais alors, on auraient, enutilisant les axiomes A3, A4 et A2

x1 x1 0 x1 x x2 x1 x x2 0 x2 x2, c’est à dire x1 x2.

Pour l’unicité des éléments unité et inverse, les démonstrations sont analogues aux deux


——————————————————————————————————-24

précédentes.

ii) Démontrons pour l’exemple les propriétés 3), 10) et 20). 3) Soit x R. On a, d’après les axiomes A3, A7, et A9 .

x x. 0 x. 1 x. 0 x1 0 x. 1 x,donc x. 0 est un élément neutre pour la loi somme, comme celui-ci est unique, alors x. 0 0.6) Comme y z y z, alors par transitivité (axiome A12), on a

x y et y z x y et y z x z.

Si x z, alors on aurait, z y et y z, c’est à dire que z y, ce qui contredit la conditiony z. Donc x z.

11) Soit x y. D’après les axiomes A1, A2, A3,A4, et A14, on déduit les relations suivantes:

x y x x y x x x y y x y

0 y 0 x y x.

Si y 0, alors on a: x 0 0 x.19) Supposons que 1 0. D’après l’axiome A7 et la propriété 14) ii) (supposée

démontrée), on a 1 0 et

1 0 1 0 1 1.1 0,

c’est à dire 1 0. Ce qui contredit l’hypothèse. Donc 0 1.

Exercice 1.7. Démontrons les relations 1) et 2).1 On a, d’après la propriété 8 de l’exercice 1.6:

x y x x y x et x y y y 2x x y et x y 2y

2x x y 2y 2x2 x y

2 2y

2 x x y

2 y.

2 Utilisons le raisonnement par la contraposée, c’est à dire si p et q sont deux propositions,alors

p q q p .Considérons p a R : a y x a et q x y . Supposons que

q y x est vraie. Alors, d’après la relation 1) précédente, il existe a x y2

: y a x,

c’est à dire a R : a y et a x . Donc q p .

Exercice 1.8. Démontrons les relations 1) et 2):1 On a 0 x y2 x2 y2 2xy x2 y2 2xy.2 D’après 1), on a x2 y2 2xy x y2 x2 y2 2xy 4xy, on obtient alors, en

faisant le produit

x y2 4xy

y z2 4yz

z x2 4zx

x y2y z2z x2 64.x2y2z2.

Comme, x,y, z 0, en prenant la racine carrée, on obtient le résultat.

Exercice 1.11. Démontrons les relations 2) et 11).2) D’après la relation 1), on a

|x| |x y y| |x y| |y| |x| |y| |x y|.


——————————————————————————————————-25

De la même manière, en inversant les rôles entre x et y, on obtient|y| |x| |y x| |x y|, ces deux inégalités signifient que ||x| |y|| |x y|.

11 On a: |x y| |x| |y| x y2 |x| |y|2 xy |x|. |y| |xy| xy 0.

Exercice 1.14. 1 Pour tout R, on a

0 i1

n

x i y i2 i1

n

x i2 2

i1

n

x iy i

2

2

i1

n

y12

qui est une inéquation toujours 0, R. Commei1

n

y12 0, alors son discriminant doit

être 0, c’est à dire que i1

n

x iy i

2

i1

n

x i2

i1

n

y12 0.

Ce qui est équivalent à l’inégalité demandée.2 Indication: utiliser 1)

Exercice 1.16. Démontrons les relations 1) et 4).

1 Si x y, alors1 maxx,y y,

2 y x et minx,y y,,

et donc y maxx,y minx,y.2) Démonstration analogue.4) Supposons x y. Alors on a minx,y x et |x y| y x, par conséquent

minx,y x 12x y y x 1

2x y |x y|.

Exercice 1.17. 1 Il est facile de voir que

max|x i y i | n

k1

|x i y i | i 1,2, . . . ,n.

Démontrons que: |max x i max y i | max|x i y i | , i 1,2, . . . ,n. On ax i x i y i y i max|x i y i | max y i, 1 i n.

De cette inégalité, on déduit quemax x i max y i max|x i y i |, 1 i n 1

De la même façon, on montre que i i 1,2, . . . ,ny i y i x i x i max|x i y i | max|x i | max y i max x i max|x i y i | 2

En combinant 1 et 2 on obtientmax|x i y i | max x i max y i max|x i y i | , 1 i n.

Et donc |max x i max y i | max|x i y i |, 1 i n.

Exercice 1.18. Démontrons 1).1 Si Y est majoré alors M R, y Y, y M.Comme X Y, alors x X, x Y et x M.Donc l’ensemble X est majoré et supX existe d’après le théorème d’existence de la bornesupérieure. En particulier, commey Y, y supY, alors x X Y x supY,donc supY est un majorant de X, d’où supX supY.


——————————————————————————————————-26

Exercice 1.19. Démontrons 2), 4) et 5).2 On a

(x X, x X et x supX x X, supX x,donc supX infX, car supX est un minorant de X. Ce qui est équivalent

à supX infX. Inversement, on a :x X, infX x x X, x infX,

donc supX infX, car infX est un majorant de X. Les deux inégalités impliquentque supX infX.

4) On a x X, x supX et y Y, y supY et, alors

x X, y Y, x y supX supY,

c’est à dire que M supX supY est un majorant de X Y. Montrons que M est en fait leplus petit majorant de l’ensemble X Y. Supposons qu’il existe un majorant M1 de X Y telM1 M. Dans ce cas, on a M M1 0 et, d’après la définition de la borne supérieure pour

M M1

2 0, x X et y Y tels que:

x supX M M1

2, y supY M M1

2. Mais alors, en faisant la somme de ces deux

inégalités, on obtient x y X Y et x y supX supY M M1 M1. Celasignifie que M1 n’est pas un majorant de l’ensemble X Y. Ce qui contredit l’hypothèse sur M1.

5 On a, d’après 1) et 4) supX Y supX supY supX infY supX infY.

Exercice 1.21. 2) E2 2 1n , n N

On a E2 1, 32

, 53

, 74

, . . . . . Il est facile de voire que

1 2 1n 2 , n N.

C’est-à-dire l’ensemble E2 est borné et 2 est le majorant de cet ensemble . Montrons queSupE2 2.

Pour cela il faut montrer que 0, n , t.q. 2 1n 2 . D’où on obtient que

n 1 .

Alors 0, n N , par exemple premier naturel n verifiant l’inégalitén 1

n existe puisque

R est archimedien) t.q. 2 1n 2 . Ainsi , on trove que SupE2 2 et 2 E2. Cela

singfie que iln’existe pas max E2. Le plus petit élément de l’ensemble E2 est 1. Donc

min E2 infE2 1.4) E4 1 2n

3 n, n N

On représent l’ensemble E4 comme suit:E4 2 7

3 n, n N . Alors n N, 2 7

3 n 2, c.à.d. l’ensemble E2 est majoré

par 2.Montrons que supE4 2.

supE4 2 n N, 2 7

3 n 2

0,n N, t.q. 2 73 n

2

Nous allons choisir n à partir de l’inégalitée 2 73 n

2 . D’où on trouve que


——————————————————————————————————-27

n 7 3.

Alors au lieu de n , on peut prendre le premier naturel verifiant l’inégalitée n 7 3.

D’où il vient quesupE4 2. Il est facile de voire que n N, 1 2n

3 n 1

4et pour n 1,

1 2n3 n

14

.

Alors min E4 infE4 14

.

11). E12 1x , 1 x 2 .

D’où 1x

12

,1 . Alors max E12 supE12 1 et min E12 infE12 12

.

Exercice 1.26. Montrons que l’ensemble X x Q : x2 2 n’admet pas de bornesupérieure dans Q. En effet, on a X x Q : 2 x 2 et supposons quec supX existe dans Q. Considérons l’ensemble

Y y Q : y 2 .Il est clair que x X, y Y, on a x y et x c. Montrons que c X et c Y.

Supposons que c X, c’est à dire c 2 . Comme Q est archimédien, alors il existe n N tel

que 1n

2 c2

2c 1, et donc

c 1n

2 c2 2c

n 1n2 c2 2c 1

n 2,

ce qui signifie que c 1n X et c c 1

n , or ceci contredit le fait que x X, x c.Supposons maintenant que c Y, c’est à dire que c 2 . Il existe alors m N tel que

1m c2 2

2c, et donc

c 1m

2 c2 2c

m 1m2 c2 2c

m 2,

ce qui signifie que c 1m Y et c c 1

m , or ceci contredit le fait que y Y, c y.Ainsi les inégalités c 2 et c 2 sont impossibles, donc c 2 . Ceci montre aussil’existence de nombres irrationnels.

Exercice 1.27. 1) Comme a b, alors b a 0. D’après la propriété d’Archimède, ilexiste n N tel que 0 1

n b a. Soit h 1n . Pour x a, il existe, d’après la deuxième

forme du principe d’Archimède, m Z tel que: m 1 1n a m

n . Montrons quemn b. Supposons que m

n b, alors on aura m 1 1n a b m

n , qui implique que

b a 1n . Ceci contredit l’inégalité 1

n b a. Et l’on conclut que a mn b.

2) Soient , R, . Posons a 2

et b 2

. D’après 1), il existe un nombre

rationnel r vérifiant a r b. Ceci implique r 2 et le nombre r 2 est irrationnel,car le produit d’un nombre rationnel par un nombre irrationnel est irrationnel.

Exercice 1.28. Soient x, y R. Démontrons 1), 5) et 7).1) D’après la définition de la partie entière d’un nombre réel, on a Ex x Ex 1 et,

alors Ex x et Ex x 1. En combinant ces deux inégalités, on trouvex 1 Ex x.

5 D’une part, on a , par définition Ex x Ex 1. En multipliant par n l’inégalité de


——————————————————————————————————-28

gauche, on obtient nEx nx nEx Enx, car nEx Z. Donc

Ex Enxn Ex E

Enxn 1.

D’autre part, Enx nx Enx

n x EEnx

n Ex 2. Les inégalités (1) et

(2) impliquent que EEnx

n Ex.

7) L’égalité E2x 2Ex n’est pas vraie en général . Par exemple, si x 12

alors

E2. 12 E1 1 et 2.E 1

2 20 0.

Exercice 1.29. Démontrons 2). On aCn

k Cnk1 n!

k!. n k! n!k 1!. n k 1!

n!k 1!. n k!

1k 1

n k 1

n!k 1!. n k!

n 1kn k 1

n 1!k!. n k 1!

Cn1k .

Exercice 1.30.i) Démonstration par récurrence. Désigons la formule par Pn On trouve pour

n 1 : a b 1

m0

C1ma1mbm C1

0a1b0 C11a0b1 a b.

Donc la proposition P1 est vraie.Supposons que la proposition Pn est vraie et démontronsque Pn 1 est vraie aussi. Nous avons :

a bn1 a bna b n

m0

Cnmanmbm. a b

n

m0

Cnman1mbm

n

m0

Cnmanmbm1 Cn

0an1b0 n

m1

Cnman1mbm

n1

m0

Cnmanmbm1

Cnna0bn1 an1

n

m1

Cnm Cn

m1an1mbm bn1

an1 n

m1

Cn1m an1mbm bn1

n1

m0

Cn1m an1mbm.

Nous avons démontré que la proposition Pn 1 est vraie.Alors Pn est vraie pour n 1.ii) Démontrons 1). Pour cela posons x 1 dans la formule du binôme de Newton,

1 xn n

k0

Cnk1nkxk. On obtient alors 1 1n 2n

n

k0

Cnk1nk. 1k.

Exercice 1.31.. Calculons 1), 2) 4) et 9).

1) Application de la formule:n

k1

ak ak1 a1 an1. On a

n

k1

1kk 1

n

k1

1k 1

k 1


——————————————————————————————————-29

1 12 1

2 1

3 1

3 1

4. . . 1

n 1 1

n1n

1n 1

1 1n 1

,

car tous les autres termes se neutralisent ( en se ”téléscopant”).2) Même démonstration que dans 1). On a

n

k1

1kk 1k 2

12

n

k1

k 2 kkk 1k 2

12

n

k1

1kk 1

12

n

k1

1k 1k 2

12

n

k1

1k 1

k 1 1

2

n

k1

1k 1

1k 2

121 1

n 1 1

2 1

1 1 1

n 2

12 1

2 1n 1n 2

.

4) On a

P n

k1

1 2k 13 1

n

k1

k 13 1k 13 1

n

k1

kk 1k 2 1k 2k 1k 1

1. 2.3 1. 2. 3.4 1. 3. 4.5 1. . n 1nn 1 1n. n 1n 2 132.1 1. 43.2 1. 54.3 1. . . n 1nn 1 1n 2nn 1 1

1.2.3. . . n 2n 1nn 1n 2 1

3.3.4.5. . .n. n 1n 2

2n 1n 2 13n 1n 2

2n 1n 2

.n 1n 2 1

3.

9 On a:

kCnk k. n!

k!n k! n!k 1!n k!

nn 1!

k 1!n k! nCn1

k1 .

Alorsn

k1

kCnk

n

k1

nCn1k1 n. 2n1, car

n

k1

Cn1k1 2n1.

Exercice 1.32. Démontrons 2) et 8).

2 Désignons par Pn la proposition: 12 22 . . .n2 nn 12n 16

. Pour n 1 :

on a: 12 11 11 26

1. Alors la proposition P1 est vraie.

Supposons que Pn est vraie et démontrons Pn 1. Nous avons :

12 22 . . .n2 n 12 nn 12n 16

n 12

n 1n2n 1

6 n 1 n 1 2n2 7n 6

6 n 1n 22n 3

6.

Donc la proposition Pn est vraie n 1.7) Pour n 1 on trouve :1.1! 1 1! 1 1 1. Supposons que Pn est vraie et

démontrons Pn 1. On a:


——————————————————————————————————-30

n1

k1

k.k! n

k1

k.k! n 1. n 1! n 1! 1 n 1n 1!

n 1!1 n 1 1 n 2! 1,

donc pn 1 est vraie.

Exercice 1.33. Par récurrence. Désignons par Pn la proposition:n

k1

kk 1. . . k m 1 1m 1

nn 1. . . n m.

Pour n 1, on a:

1.2. . . 1 m 1 1m 1

.1.2. . . 1 m 11 m 1.2. . .m 1.2. . .m

Alors P1 est satisfaite. Supposons que Pn est vraie et démontrons que Pn 1 est vraieaussi. On a

n1

m1

kk 1. . . k m 1 n

m1

kk 1. . . k m 1 n 1n 2. . . n m

1m 1

nn 1. . . n m n 1n 2. . . n m

n 1n 2. . . n m nm 1

1 1m 1

n 1n 2. . . n mn m 1.

On a montré que Pn 1 est vraie. Alors Pn est vraie n 1.

Exercice 1.35. Soient x1,x2, . . . ,xn des nombres réels de même signe supérieure à -1.Démontrons l’inégalité 1 x11 x2. . . 1 xn 1 x1 x2 . . .xn par recurrence.Pour n 1, on trouve 1 x1 1 x1. Supposons vraie pour n , démontrons la pour n 1.On a, en utilisant la formule (*) et les facteurs sont 0, pourn 1. 1 x11 x2. . . 1 xn1 xn1 1 x1 x2 . . .xn1 xn1

1 x1 x2 . . .xn xn11 x1 x2 . . .xn 1 x1 x2 . . .xn xn1 xn1x1 x2 . . .xn 1 x1 x2 . . .xn xn1, car le dernier facteur est 0.

Donc l’inégalité de Bernoulli est vraie n N.En posant x1 x2 . . . xn x 1, ondéduit que 1 xn 1 nx.

Exercice 1.36. Démontrons les inégalités 5) et 9).5 Pour n 1, on a 1

2 1

3 3 2. Ce qui est vrai. Supposons l’inégalité vraie

pour n et démontrons la pour n 1. On a

12

34

. . . 2n 12n

.2n 1 1

2n 1 1

2n 1. 2n 1

2n 2 2n 1

2n 2

12n 3

2n 3 2n 12n 2

12n 3

,

car2n 3 2n 1

2n 2 1 ( qui est facile à démontrer). Donc l’inégalité est vraie n N.

9) Pour n 1, on a 11 1

11 2

11 3

1312 1. Supposons l’inégalité vraie pour


——————————————————————————————————-31

n et démontrons la pour n 1. On a,2n11

k1

1n 1 k

2n3

k1

1n 1 k

1n 2

1n 3

. . . 13n 1

13n 2

13n 3

13n 4

.

En ajoutant et en retranchant 1n 1

, on obtient

2n11

k1

1n 1 k

2n

k0

1n 1 k

1n 1

13n 2

13n 3

13n 4

1 13n 2

13n 3

13n 4

1n 1

1,

car on montre facilement que1

3n 2 1

3n 3 1

3n 4 1

n 1 2

33n 2n 13n 4 0

Exercice 1.39.1) Soit O O une réunion, finie ou infinie, d’ouverts et x0 O. Il

existe alors tel que x0 O. Comme O est un ouvert, il contient un intervalle ouvertcontenant x0 et Ix0 O O. Donc la réunion O est un ouvert.

2) Elle découle du fait que l’intersection d’un nombre fini d’intervalles ouverts contenant x0

est un intervalle ouvert contenant x0.3) Elle découle de la relation CR

F CRF, et de la propriété 1).

4) Elle découle de la relation CR

n

i1

F i n

i1

CRF i et de la propriété 2).

Exercice 1.40. 1) Exemple d’ouverts dont l’intersection infinie n’est pas un ouvert. Soientles ouverts On 1

n , 1n , n 1,2, . . . , alors leur intersection n’est pas un ouvert. En effet,

on a

n1

On

n1

1n , 1

n 0,

qui est un ensemble fermé.2) Exemple de fermés dont la réunion infinie n’est pas un fermé. Soient les fermés

Fn 1n , 1 , n 1,2, . . . , alors leur réunion n’est pas un fermé. En effet, on a

n1

Fn 0,1, qui n’est pas fermé. En effet, x 0,1,n N tel que 1n x, et alors

x 1n , 1 0,1

n1

Fn. Inversement, Fn 0,1

n1

Fn 0,1.

Exercice 1.41. Démontrons 1) On a CF , 01, 12 1

2, 1

3. . .1, qui est une

réunion d’intervalles ouverts, donc le complémentaire de F est, d’après l’exercice 1.40, 1),ouvert. Et, donc, F CCF est fermé.


——————————————————————————————————-32

Exercice 1.43. Supposons que 0,1 est dénombrable, donc il s’écrit sous la formex1, x2, x3, . . . ,xn, . . . . Partageons le segment 0,1 en trois parties égales par les points 1

3et 2

3. On obtient, alors trois segments 0, 1

3, 1

3, 2

3, 2

3,1 dont, au moins l’un d’eux

ne contient pas x1. Désignons par I1 ce segment et partageons le en trois parties égales, et,comme précédemment, l’un d’eux ne contient pas x2. Soit I2 ce segment. On répète la mêmeopération pour ce segment en le partageant en trois segments égaux dont l’un, qu’on désigne parI3, ne contient pas x3. En poursuivant indéfiniment ce processus, on obtient une suite desegments emboîtés I1 I2 I3 . . . In . . . tels que la longueur de chaque segment |In |vérifie |In | 1

3n , n 1,2,3, . . . et xn In an,bn , n 1,2,3, . . . D’après le théorème

des segments emboîtés, il existe un seul point c

n1

In, c’est à dire que c In, n 1,

donc c xn, n 1. Comme c 0,1, on conclut que 0,1 n’est pas dénombrable.Remarque. On peut démontrer cet exercice en utilisant les développements décimaux des

nombres réels. Supposons que 0,1 est dénombrable. Il s’écrit donc sous laforme 0,1 x1,x2, . . . ,xn, . . . avec

x1 0,112

1. . .n1. . . ;

x2 0,122

2. . .n2. . . ;

. . . . . . . . . . . . . . .

x2 0,1n2

n. . .nn. . . ; . . .

Cependant le nombre x 0,12. . .n. . . avec n N : 0 n 9 et n nn,

appartient à 0,1 mais x xn, n N.


——————————————————————————————————-33

Chapitre II. SUITES NUMERIQUES.

Rappels de cours.

II.1. Limite d’une suite numérique. On dit que la suite numérique u1,u2, . . . ,un, . . . admet lalimite R (ou converge vers ) si

0,n N,n : n n |un | .On note alors

nlim un .

II.2. Limite infinie.L’écriture symbolique

nlim un signifie que

A 0, nA N, n : n nA |un | A.

Plus particulièrement:

nlim un A 0, nA N, n : n nA un A;

nlim un A 0, nA N, n : n nA un A.

Définition 1. i) La suite un est dite infiniment grande sinlim un .

ii) La suite un est dite infiniment petite sinlim un 0.

Définition 2. La suite un est dite divergente si elle n’admet pas de limite finie.

Terminologie: on dit qu’une propriété Pn, dépendant de n N, est vraie pour n assezgrand ou à patir d’un certain rang s’il existe q N tal que n N : n q Pn estvraie).

II.3. Critères d’existence de la limite.Critère n 1: Toute suite croissante majorée (resp. décroissante minorée) admet une limite.Critère n 2: Critère de Cauchy. Pour qu’une suite numérique soit convergente, il faut et il

suffit qu’elle vérifie le critère de Cauchy suivant: 0,n N,p,q N : p n,q n |up uq | .

ou bien 0,n N,n : n n,p 1 |unp un | .

Critère 3: (théorème des trois suites). Soient xn, yn et zn trois suites vérifiant:i) yn xn zn, à partir d’un certain rang,ii)

nlim yn

nlim zn ,

alorsnlim xn

Critère n 4: (de comparaison). Soient xn et yn deux suites vérifiant:i) yn xn, à partir d’un certain rang,ii)

nlim yn resp.

nlim xn .


——————————————————————————————————-34

Alorsnlim xn , resp.

nlim yn .

II.4. Inégalités et opérations sur les limites. Si les suites xn et yn convergent, alors on ai) xn yn n n0

nlim xn

nlim yn;

ii)nlim xn yn

nlim xn

nlim yn;

iii)nlim xnyn

nlim xn.

nlim yn;

nlim xn

nlim xn R;

iv)nlim xn

yn n

lim xn

nlim yn

sinlim yn 0;

v)nlim |xn |

nlim xn ;

II.5. Limites remarquables. Les relations suivantes sont vraies:i) la limite

nlim 1 1

n n existe, notée e où la limite e est appelée

nombre de Néper avec 2 e 3.ii) suite géométrique

nlim qn

0 si |q| 1,

si |q| 1

1 si q 1,

n’existe pas si q 1.

Les théorèmes suivants sont vrais:Théorème 1. Si un 0 n 1 et

nlim un 0, alors R, on a

nlim un

nlim un

.

En particulier: m N, on a

nlim m un m

nlim un m

avec un 0 si m est pair et un quelconque si m est impair. (voir exercice 2.5).Théorème 2. Si a 0, a 1, un 0 n 1 et 0, alors on a

nlim logaun loga

nlim un loga.

Théorème 3. Si a 0 etnlim un , alors

nlim aun an

lim un a.

Remarque. On admettra les formules suivantes souvent utilisées dans le calcul des limites desuites:

i)nlim xn a 1,

nlim yn b

nlim xn

yn ab;

ii)nlim xn 1,

nlim yn ,

nlim xn

yn enlim ynxn1

.

II.6. Suites adjacentes. On dit que deux suites un et vn sont adjacentes si l’une est


——————————————————————————————————-35

croissante, l’autre décroissante etnlim un vn 0.

Proposition. Deux suites adjacentes sont convergentes et ont même limite.

II.7. Suites extraites. Soit un une suite numérique. La suite unk est une sous-suite ousuite extraite de un si la suite des indices nk est strictement croissante et unk un , c’est àdire que n1 n2 . . . nk . . . et unk un, n 1 . On note unk un.

Les théorèmes suivants sont vrais:

Théorème 1. Si un est convergente vers R, alors toute sous-suite de un convergeaussi vers .

Théorème 2. Si les deux sous-suites u2n et u2n1 de la suite un converge vers la mêmelimite , alors un converge aussi vers .

Voir exercices: 2.3 et 2.25. i), a).

II.8. Suites récurrentes. Soit f : D R D. On dit que la suite un est une suiterécurrente définie par f si u1 est donné et un1 fun, n 1.

Propriétés.i) Si f est croissante, alors:

a un est croissante si fu1 u1 0,

b un est décroissante si fu1 u1 0.

ii) Si f est décroissante, alors la quantité un1 un est alternativement positive et négative.

Théorème. Soit une suite récurrente un définie par f : D D.Si

nlim un R et si f est continue, alors la limite vérifie l’équation

f .

II.9. Limite inférieure et limite supérieure d’une suite. Soit un une suite numérique. Ondit que le nombre a R est une valeur d’adhérence de un s’il existe une sous-suiteunk un convergente vers a.

L’ensemble des valeurs d’adhérence de la suite un est noté Adun R.Définition. On appelle limite supérieure (resp. inférieure) de la suite un la borne supérieure

( resp. la borne inférieure) de Adun qu’on note limun (resp. limun.En fait, on a limun max Adun R et limun min Adun R.Exemple. Soit la suite un définie par

un

13

si n 3k,

1 1k

si n 3k 1,

2 si n 3k 2.

La suite un contient trois sous-suites convergentes, à savoir u3k, u3k1 et u3k2 quiconvergent respectivement vers 1

3, 1 et 2. Donc les nombres 1

3, 1 et 2 sont des valeurs

d’adhérences de la suite un qui est divergente.


——————————————————————————————————-36


——————————————————————————————————-37

Enoncés des exercices du chapitre II.Partie corrigée.

Exercice 2.1. En appliquant la définition de la limite d’une suite, démontrer que chacune dessuites un suivantes converge vers la limite indiquée:

i)

1 un 1n , 0; 2 un 1

n , 0; 3 un 1n1

n , 0;

4 un 2 1n

n , 0; 5 un 1 1n

n , 0(expliquer sur un dessin le sens de la convergence de chacune de ces cinq suites);ii)6 un 4n 1

2n 1, 2 ; 7) un 5n2 1

7n2 1, 5

7

8 un n2 n 22n2 3n 1

, 12

; 9 un n2 1

n , 1;

10 un n 2 n 1 , 0; 11) un n

k0

qn |q| 1 , 11 q

;

12) un loglogn, ; 13) un

n fois 1

0,11. . . 1, 19

;

14) un cos n3 3n 7

n2 5, 0; 15) un n!

nn , 0;

16) un n a a 1, 1; 17) un 2 n , .

Exercice 2.2. i) Soit la suite un donnée par la formule générale

un 2n 1n

2n , n N.

Montrer quenlim un 1. Pour quelles valeurs de n, l’écart entre un et sa limite est-il en

valeur absolue inférieur à 0 et inférieur à 104.

ii) Soit la suite un donnée par la formule générale un n2 a2

n , n N.Montrer que

nlim un 1. Pour quelle valeur de n, l’écart entre un et sa limite est-il en

valeur absolue inférieur à 0.

Exercice 2.3. Montrer que si les suites vn et wn convergent vers la même limite , alors lasuite alternée v1,w1,v2,w2, . . . ,vn,wn, . . . converge aussi vers .

Exercice 2.4. Soit une suite numérique un. Montrer que

i)nlim un

nlim 1

n

n

k1

uk .

ii) En déduire que si vn est une suite numérique tellenlim vn1 vn , alors

nlim vn

n .

iii) La réciproque de la question i) est-elle vraie?

Exercice 2.5. Soit une suite un telle que : un 0, n 1 etnlim un . Démontrer que

nlim p un p p N.


——————————————————————————————————-38

Exercice 2.6. En utilisant le théorème des trois suites, calculernlim un si:

1) un ncos n sinnn 12

; 2 un n n 1 n ;

3) un n 1k nk 0 k 1; 4) un n

k1

nn2 k

;

5 un n

k1

nn3 k

; 6) un n

k1

1k n2

;

7) un 1n2

n

k1

Ekx; 8) un n 3n 2 ;

9 un nan a 1; 10 un n 2n 3 ;

11) un an

1 a1 a2. . . 1 ana 0.

Exercice 2.7. Démontrer les égalités suivantes:

1nlim n

2n 0, (généralisation:nlim nk

an 0 a 1, k N;

2nlim 2n

n! 0, généralisation:

nlim an

n! 0 a R;

3nlim nqn 0 |q| 1;

4nlim n a 1 a 0, (généralisation:

nlim n ap 1, p N;

5nlim

logann 0 a 1 (généralisation

nlim

logann

0, 0;

6nlim n np 1 p N;

7nlim 1

n n! 0 indication: montrer que n! n

3

n;

8)nlim n!

nn 0.

Commenter ces résultats.

Exercice 2.8. Soit a1,a2, . . . ,am des nombres réels strictement positifs et A i1...mmax ai.

Montrer quenlim n a1

n a2n . . .am

n A.

Exercice 2.9. Calculernlim un où:

1) un n 53 nn 72

n2 ; 2 un n2 12n 1

3n2 16n 1

;

3) un n 14 n 14

n2 12 n2 12;

4 un n 1m n 2m . . .n km

nm1 kn k,m N;

5) un 1 2 . . .nn2 ; 6) un n2 2n 5 n;

7) un n2 n n; 8 un 2n2 n 1

3n 1n n 4;

9) un 3 n3 2n2 n; 10 un n2

3 1 2n 1 ;


——————————————————————————————————-39

11) un n2 1 n3 n2 n n

; 12 un n3

3 3 1 3n3 1 ;

13) un 3 n2 nn 2

; 14 un n2 3 n5 2n

n2 n5 1;

15) un 3 n 1 3 n ; 16) un n

k1

1kk 1

;

17) un 11.3 1

3.5. . . 1

2n 12n 1; 18) un

n

k1

1kk 1k 2

;

19) un 12 22 . . .n2

n3 ; 20) un n

k1

2k 1n 1

2n 12

;

21) un n3/2 n3 1 n3 1 ; 22 un 2n5n 1

cos n3n 1

;

23) un 1 2 3 . . .nn 2

n2

; 24) un 1n 1

n1n2 1

n;

25) un 1 13 1

32 . . .1n

3n ; 26) un 12n

32n . . .

2n 12n ;

27) un 1n

2n

3n . . .1

n1 nn ; 28) un 1 2 3 4 5 . . .2n

n2 1 4n2 1;

29) un 12

n3 32

n3 . . .2n 12

n3 ;

30) un 1 a a2 . . .an

1 b b2 . . .bn |a| 1, |b| 1;

31) un a 1n 1a 1n 1

a 1; 32) un 2n 1n

3n n;

33) un 2n2 3n3

2n 3n ; 34) un 1n6n 5n1

5n 1n16n1 ;

35) un n3 3n

n 3n1 ; 36) un 2n 3n

2n1 3n1 ;

37) un 21n 1

21n 1

; 38) un 2n

n 2!;

39) un 5n n 1!3n n 2!

; 40) un 4n n22n 1n4 n!2

;

41) un 10,3n.n!

; 42) un 3n2n

n3!;

43) un 2

n2 n 1!n3n n!

; 44) un n3n 1n! 1

;

45) un 10n n!2n n 1!

; 46) un 0,

n fois 3

233. . . 3;

47) un n 2! n 1!

n 3!, 48) un 3

n 1!2

2n 1!;

49) un 2 4 2 8 2 . . . 2n 2 ;50) un n n an b a,b 0;

51) un n4 2n 1 n2 2n 1.

Exercice 2.10. Parmi les suites suivantes, montrer celles qui sont bornées


——————————————————————————————————-40

1 un n1n; 2 un

2 1n2

1n ;

3) un n 1n cos2 n

4; 4) un 100 n3

n2 1;

5) un n

k0

1k!

; 6) un n 1n

3n 1;

7) un ncosn; 8) un n 1n;

9) un n

k0

1kk 1

; 10 un nqn |q| 1;

11) un 1nn 25

n2 4; 12) un n2 1 n ;

13) un 25 n3

n2 10; 14 un

n

k1

1k n

.

Exercice 2.11.i) Soit une suite un et un réel k 1. On suppose qu’il existe n0 Ntel que un1 kun, n n0. Montrer que

nlim un .

ii) Soit un une suite de réels strictement positifs telle que

nlim un1

un 1. Montrer que

nlim un .

Exercice 2.12. Considérons les suites un 3n 3n

3n et

vn 3n 3n

5n , n 1. Montrer que la suite un ne possède pas de limite tandis que la

suite vn converge et préciser sa limite.

Exercice 2.13. Etudier la nature de la suite définie par un n2

k1

nn2 2k

.

Exercice 2.14 . Etudier la monotonie des suites suivantes et en déduire eventuellement leurnature:

1) un 1n 1n ; 2 un n3 1

n4 ;

3) un n

k1

1n k

; 4) un n

k1

1k n

;

5) un 12 22 . . . n2

n2 ; 6) un n

k1

1kp , p 2,3, . . . ;

7) un n

k1

1k n2

; 8) un n2

k1

1n2 2k

;

9) un n

k1

1k

; 10) un n

k1

1k!

;

11) un n!1.3.5. . . 2n 1

; 12) un 1.3.5. . . 2n 1

2.4.6. . . 2n.


——————————————————————————————————-41

13 un n 1!

1 1 1 2 . . . 1 n ; 14) un 1n n;

15) un 10n

2n 1!; 16) un n2 kn en fonction de k.

Exercice 2.15. Soient les suites:

un 1 1n

net vn 1 1

nn1

, n 1,2, . . . .

i Démontrer que la suite un est strictement croissante , majorée et quela suite yn est décroissante, minorée.

ii En déduire quenlim un

nlim vn .

Cette limite est désignée par e , appelée nombre de Néper, c.à.d. que:

nlim 1 1

nn e.

Exercice 2.16. Démontrer les inégalités suivantes:

1 ne

n n! e n

2

n; 2) 1 1

nn e 1 1

nn1

;

3 en déduire que 1n 1

log 1 1n 1

n n N;

Exercice 2.17. Sachant quenlim 1 1

nn e,

i) montrer quenlim 1 1

1! 1

2!. . . 1

n! e.

ii) En déduire la formule:e 2 12! 1

3!. . . 1

n! n

n!.navec 0 n 1 et que le

nombre e est irrationnel.iii) Calculer le nombre e à 105 prés.

Exercice 2.18 Généralisation de la formulenlim 1 1

nn e.

Soient un et vn deux suites arbitraires telles quenlim un ,

nlim vn et un,vn n’appartiennent pas à l’intervalle 1,0.

Montrer alors que

nlim 1 1

un

un

nlim 1 1

vn

vn e.

Remarque. On supposera dans la suite que la proposition suivante est vraie: sinlim xn

etnlim yn R, alors

nlim 1 1

xn

xnyn e.

Exercice 2.19. Calculernlim un si:

1) un 1 1n k

n; 2) un 1 k

nnk N;

3) un 1 1n

2n; 4) un n 1

n 3

n2;

5) un 2n 12n

2n

; 6) un 2n 32n 1

n2

;

7) un n2 1n2 2

n2

; 8) un 1 1nn 1

n

;


——————————————————————————————————-42

9) un n2 nn2 2n 2

n

; 10) un n2 n 1n2 n 1

n

.

Exercice 2.20. En appliquant le critère de Cauchy étudier la nature des suites suivantesdéfinies par:

1) un n

k1

cos kak

a R, 2; (indication: 1n2

1n 1

1n ;

2) un n

k1

akk || 1, |ak | M k N;

3) un n

k1

1k!

; 4) un n

k1

1k 2, N; 5) un cos 1

n ;

6) un n

k1

1k

; 7) un n

k1

1k

; 8) un n

k2

1logk

;

9) un 1 12

1 14

. . . 1 12n .

Exercice 2.21. Soit la suite xn vérifiant la condition:|xn1 xn | an 0 a 1 .Montrer que xn est une suite de Cauchy.

Exercice 2.22.i) a) Soit un une suite telle que les deux sous-suites u2n et u2n1 soient

convergentes vers la même limite . Montrer que la suite un converge aussi vers .b) Soit un une suite telle que les trois sous-suites (u2n1, u2n et u3n soient

convergentes. Montrer que:nlim u2n

nlim u2n1. Conclure.

ii) a) On considère la suite un définie par:un 1 1

2! 1

4! . . . 1n 1

2n!, n 1.

Montrer que les deux sous-suites u2n1 et u2n sont adjacentes . Conclure.b) On considère la suite un définie par:

u1 2, un1 2 un n 1.1) Etudier la monotonie de un, n 2.2) Etudier ensuite les deux sous-suites u2n1 et u2n. Conclure.

Exercice 2.23.

a) Soient les suites un et vn définies par: un n

k1

1k!

et vn un 1n.n!

.

i) Montrer que un et vn sont adjacentes.ii) En déduire que n N, on a un e vn.iii) En prenant n 5 trouver une valeur approché de e, puis évaluer l’erreur commise.b) Montrer que les suites un et vn sont adjacentes si:

1) un n

k1

1k2k 12

et vn un 13n2 , n 2;

2) un n

k1

1kp et vn un 1

np1 , p 2, n 2.


——————————————————————————————————-43

Exercice 2.24. Trouver le terme général de chacune des suites suivantes:1 xn nxn1 et x1 1;2 xn est définie comme suit : x2n nn 1x2n1, x2n1 1

2n x2n et x1 x2 1.

Exercice 2.25. Soit la suite un définie par:

un 1 12 1

3 1

4. . . 1

n1

n , n 1.

iMontrer que les suites u2k et u2k1 sont adjacentes.ii En déduire la nature de un.

Exercice 2.26. Soit la suite un définie paru1 a,

un1 6 un , n 1.

i) Montrer que la suite un est strictement croissante dans le cas a 0 et strictementdécroissante dans le cas a 4.

ii) En déduire sa nature pour a 0 et si elle converge, alors calculer sa limite.

Exercice 2.27. Soit la suite un définie paru1 0,

un1 un 1un

, n 1.

Montrer quenlim un . (Raisonner par l’absurde).

Exercice 2.28. Etudier la nature de la suite définie paru1 1,

un1 1 1un

, n 1.

et calculer sa limite si elle existe. (Utiliser l’exercice 2.25 i a)).

Exercice 2.29. Soit la suite récurrenteu1 a, a 1,

un1 un2 1

2n , n 1.

i) Montrer que n 1, un 1.ii) Montrer que un est convergente.

iii) Calculer de deux manières différentesn

k1

uk12 uk

2.

iv)En déduire que un converge et calculer sa limite.v) Soit E un, n 1 . Déterminer supE et infE.

Exercice 2.30. ( autre formulation de l’exercice 2.29). Soit la suite récurrente

u1 a, a 1,

un1 un2 1

2n , n 1.

i) Montrer que n 1, un1 un 12n1 . Déduire que un est convergente (utiliser le

critère de Cauchy).


——————————————————————————————————-44

ii) Etudier la suite un2. En déduire la limite de un.

Exercice 2.31.. On considère une suite un de nombres réels telle que

|un1 un | k|un un1 |, n n0 n N, 0 k 1.

i) Monter que n 1, |un1 un | kn|u2 u1 |.ii) Montrer que pour tous entiers p,q vérifiant 0 q p, on a

|up uq | kq

1 k|u2 u1 |.

iii) En déduire la nature de un.iv) Démontrer d’une autre manière que la suite un est convergente ( utiliser le critère de

Cauchy).v) Application: quelle est la nature de la suite un définie par

u1 b R,

un1 a sinun b, n 1 a,b R, 0 a 1.

(Ind. On admettra que |sinx| |x|,x R.

Exercice 2.32. Soit la suite récurrente

u1 a , a 0,

un1 unun

2 3a3un

2 a, n 1.

i) Montrer que n 2, un a .ii) Montrer que un converge et calculer sa limite.

Exercice 2.33. Soit la suite récurrente définie paru1 1

2,

un1 un2 3

16, n 1.

i) Montrer que n 1, 14 un 3

4.

ii) Etudier la nature de la suite un et calculer sa limite si elle est convergente.iii) Soit E un, n 1 . Déterminer supE et infE.

Exercice 2.34. Soit la suite numérique définie par0 u1 1,

un1 1 un

2 un, n 1.

i) Montrer que n 1, 0 un 1.ii) Montrer que un est monotone en précisant les valeurs de u1 pour lesquelles un est

croissante, respectivement décroissante.iii) Montrer que la suite un est convergente. Sa limite dépend-elle de u1?

Exercice 2.35. Soient un la suite définie paru1 0,

un1 12

un 1, n 1.

et vn la suite définie par: vn un a, n 1, a R.


——————————————————————————————————-45

i) Déterminer a pour que la suite vn soit une suite géométrique de raison 12

.

ii) Calculer la limite de un, ainsi que celle de vn.

Exercice 2.36.

1) Soit la suite numérique définie paru1 ,

un1 2 un , n 1.

Etudier la nature de la suite un dans les cas suivants:i) 1, ii 2, iii 3 et calculer sa limite si elle existe. Tracer son graphe.

2) Mêmes questions si un est définie paru1 ,

un1 43

un un2, n 1,

dans les cas: i) 16

, ii 12

, iii 76

.

Tracer leurs graphes.

Exercice 2.37. Soit la suite numérique définie paru1 0,

un1 11 un

, n 1.

i) Montrer que n 1, un 0.ii) Trouver la limite éventuelle de un qu’on désignera par .iii) Montrer que n 1, |un1 | 1

2|un |.

iv) En déduire que un converge vers .

Exercice 2.38. Soit la suite numérique définie paru1 R,

un1 8 un2

2, n 1.

i) En posant vn un2 16, n 1, montrer que la suite vn est une suite géométrique dont

on déterminera la raison.ii) En déduire la nature de un.

Exercice 2.39. Soit a 0. On construit la suite suivante:

u1 a , u2 a a , u3 a a a , . . . ,un

n fois

a a . . . a , . . .

i Ecrire la formule récurrente de un1 en fonction de un, n 1.ii Calculer

nlim un.

Exercice 2.40. Soit a 0. On définit la suite un par:

u1 0 et un1 12

un aun

, n 1.

i Montrer que cette suite est minorée par a et est décroissante.ii En déduire la limite de cette suite.iii Quel est le sens à donner à cette limite?


——————————————————————————————————-46

Exercice 2.41 Soit la suite récurrenteu1 1

un1 un

2 3

2un, n 1.

i) Montrer que n 2, un 3 . ii) Etudier la monotonie de la suite un.iii) En déduire que un converge et calculer sa limite.iv) Soit E un, n 1 . Déterminer supE et infE.

Exercice 2.42. Soit la suite récurrenteu1 0,

un1 7un 43un 3

, n 1.

i) Montrer que n 1, 0 un 2 et que un est monotone.ii) En déduire que un converge. Calculer sa limite.

Exercice 2.43. Etudier les suites suivantes définies par:1 u1 2

3, un 2 un ,n 1 ; 2) u1 13, un1 12 un ;

3) u1 1, un1 2 un2 ; 4) u1 7

6, un1 4 3

un;

5 u1 1, un1 log1 un; 6 0 u1 1, un1 un2 un;7 u1 1, un1 1

3 un; 8) u1 3, un1 1 6

un;

9) u1 817

, un1 1un 3

2.

Exercice 2.44. A l’aide des suites récurrentes, calculer la limite suivante:

nlim an

n! a 1 .

Exercice 2.45. Soit la suite vn définie à l’aide de la suite un par:

v1 u1, vn1 un1 un, n 2,

avec || 1. Calculernlim un si

nlim vn b.

Exercice 2.46. Calculer la limite de la suite un définie par les formules:

u1 a, u2 b,

un un2 un1

2, n 3.

Exercice 2.47. Soient les suites récurrentes définies par

u1 a R,

un1 unvn , n 1.,

v1 b R,

vn1 12un vn, n 1.

Montrer quei) n 1, un et vn sont à termes positifs; ii) n 1,un vn;iii) un et vn sont monotones; iv) vn un 1

2

nv1 u1.

v) Conclure.


——————————————————————————————————-47

Exercice 2.48. Soient a,b,u1,u2 R avec 0 a b. Pour tout n N, on définit

un1 aun bvn

a b, vn1

avn bun

a b, n 1.

i) Montrer que n 1, un vn.ii) Etudier la monotonie des suites un et vn.iii) Exprimer vn un en fonction de v1 u1. Déduire que un et vn sont adjacentes.iv) Exprimer vn un en fonction de v1 u1. Déterminer la limite de chacune des suites un

et vn.

Exercice 2.49. Soit un une suite monotone. Montrer que si un admet une sous-suiteconvergente vers , alors

nlim un .

Exercice 2.50. Soit un une suite telle que un 0 etnlim un1

un .

i) Montrer que si: 1) || 1, alorsnlim un 0; 2) || 1, alors un est divergente.

ii) Montrer que si un 0, n 1, alorsnlim n un .

iii) En déduire les limites des suites suivantes définies par:1) un n

n n!; 2 un 1

n n n 1n 2. . . 2n 1 ;

3 un nn!2

2n 1!.

Exercice 2.51.i) Soit la suite un vérifiant la relation:

0 umn um un, m,n 1,2, . . . .Montrer que

nlim un

n existe.

ii). Montrer que sinlim un a,

nlim vn b, alors

nlim maxun,vn maxa,b.

Exercice 2.52. Etudier la nature de la suite suivante et calculer sa limite

un 1n 1

1n 2

. . . 1n n .

Exercice 2.53. Trouver infun, supun,n

limun etn

lim un si:

1) un 1 1n ; 2 un

1nn 1 1n

2;

3) un 1n1 2 3n ; 4) un 1 n

n 1cos n

2;

5) un n1n; 6) un 1nn;

7) un 1 n sin n2

; 8) un n2 1n;

9) un 1n 10,2

; 10) un n 1n 1

cos 2n3

;

11) un 1 1nn

n ; 12) un 1 21n1 31nn1

2 .

Exercice 2.54. Calculern

limun etn

lim un si:


——————————————————————————————————-48

1) un n2

1 n2 cos 2n3

; 2) un nn 1

sin2 n4

; 3) un 1n sin n

3;

4) un 1 1n2n 1

2n 3; 5) un 1 1

n n1n sin n

4(indication: étudier les sous suites u8nj, j 0,1,2, . . . , 7.

Exercice 2.55. Calculer les valeurs d’adhérence des suites suivantes:1) 1

2, 1

2, 1

4, 3

4, 1

8, 7

8, . . . ;

2) 1, 12

,1 12

, 13

,1 13

, 12 1

3, 1

4,1 1

4, 1

2 1

4, 1

3 1

4, 1

5, . . .

3) un 3 1 1n 1n2; 4) un 1

2a b 1na b.

Exerice 2.56. Démontrer que les suites un et vn un n n admettent les mêmes valeursd’adhérence.

Exercice 2.57. Démontrer que si un 0, n 1 etsi lim supun. lim sup 1

un 1, alors la suite un converge.

Exercice 2.58. Indiquer, en justifiant vos réponses, si les affirmations suivantes sont vraiesou fausses:

1) unn bornée unn converge;2) unn converge unn bornée;3) n un 0 et unn décroissante

nlim un 0;

4) n un 0 etnlim un 0 unn décroissante;

5) n un 0 et unn strictement croissante nlim un ;

6) unn non majoréenlim un ;

7) n u2n 0 et u2n1 0 unn diverge;8) unn converge vers sup un, n 1 ;9) unn converge vers un , à partir d’un certain rang;

10)nlim un et unn décroissante n un ;

11)nlim un et unn croissante n un ;

12)nlim un1 un 0 unn est de Cauchy;

13) u2n et (u2n1 sont adjacentes unn converge;14) un et vn divergent un vnn diverge;15) un et vn majorées un vnn majorée;16) un et vn majorées un.vnn majorée;17) un et vn croissantes un.vnn croissantes;18) un converge et vn diverge un vn converge;19) un) converge et vn) diverge un.vn diverge;20) un) et vn) divergent un.vn diverge;21) un) et vn) divergent un vn diverge;22) Si

nlim un 0 et vn une suite arbitraire, alors

nlim un.vn 0.


——————————————————————————————————-49

Réponses aux exercices du chapitre II.

Exercice 2.1. 1) E 1 1; 2 E 1

1; 3) E 1 1;

4 E 3 1; 5 E 2

1; 6) E 12

3 1 1, ;

7) E 17

12 7 1; 8) E 7

4 1; 9) E 1

2 1;

10) E 12 1 1; 11) E

log|1 q|log|q|

1 1; 12) A 0, EeeA 1;

13) E log1019

1; 14) E 1 1; 15) E 1

1 ;

16) Eloga

log1 1; 17) A 0, E

logAlog2

2

1.

Exercice 2.2. i) si 104, n Elog2104 1 14; ii) n E a2 1.

Exercice 2.4. iii) Non, car la suite un 1n n’est pas convergente, alors que

xn 1n

n

k1

1k 1n

1 1n2 n

0.

Exercice 2.6. 1) 0; 2) 12

; 3) 0; 4) 1; 5) 0;

6) 1; 7) x2

; 8) 1; 9) 0; 10) 1; 11 0.

Exercice 2.9. 1) 1; 2) 16

; 3) ; 4) mkk 1

2;

5) 12

; 6) 1; 7) 12

; 8) 23

; 9) 23

; 10) 13

;

11) 1; 12) 13

; 13) 0; 14) 0; 15) 0;

16) 1; 17) 12

; 18) 14

; 19) 13

; 20) 32

;

21) 1; 22) 25

; 23) 12

; 24) 1; 25) 34

;

26) 3; 27) 12

; 28) 13

; 29) 43

; 30) 1 b1 a

;

31) 1 si |a 1| 1, 0 si a 0, 1 si |a 1| 1;32) 2

3; 33) 27; 34) 1

6; 35 1

3; 36 1

3; 37) 0; 38) 0;

39) 0; 40) 0; 41) 0; 42) 0; 43) 1;44) 0; 45) 0; 46) 7

30; 47) 0; 48) ;

Exercice 2.10.1) non bornée ; 2) bornée ; 3) bornée; 4) non bornée ; 5) bornée ; 6) bornée ;7) non bornée; 8) non bornée; 9) bornée ; 10) non bornée; 11) bornée ;12) non bornée; 13) non bornée; 14) bornée.Exercice 2.12.

nlim vn 0. Exercice 2.13. Diverge: .

Exercice 2.14. 1) non monotone (div.); 2) décroissante (conv.);3) strictement croissante (conv.); 4) croissante (convergente);5) croissante (div.); 6) strictement croissante (conv); 7) croissante ( conv.);8) croissante ( conv.); 9) croissante (div.); 10) croissante (conv.); 11) décroissante ( conv.);12) décroissante (convergente); 13) décroissante (convergente);14) non monotone; 15) décroissante (conv.);16) croissante pour n E k 1

2 (conv.).


——————————————————————————————————-50

Exercice 2.17. ii) e 2,71828.Exercice 2.19. 1) e; 2) ek; 3 e2; 4 e4;5 e; 6) 1; 7) e3; 8 1; 9 e1; 10 e2.Exercice 2.20. 1) converge; 2) converge; 3) converge; 4) converge;5) converge; 6) diverge; 7) diverge; 8) diverge; 9) converge;Exercice 2.23. a) iii) e 2, 71828.

Exercice 2.24. 1) xn n! 2 x2n n!n 1!

2nn1

2

, x2n1 n!n 1!

2nn1

2

.

Exercice2.25.ii) unconverge. Exercice 2.26. ii) 3.

Exercice 2.28. 1 52

. Exercice 2.29. iv) a2 1 ,

v supE a2 1 , infE a.Exercice 2.31. iii) converge. Exercice 2.32. ii) a .Exercice 2.33. ii) 1

4. iii) supEn max En u1 1

2et infEn 1

4.

Exercice 2.34. iii) non. Exercice 2.35. i) a 1; ii lim un 2, lim vn 4.Exercice 2.36. 1) i) 1 2, ii) 2 2 ,

iii) 3 2. 2) i-iii) 13

.

Exercice 2.37. ii) 5 12

. Exercice 2.38. ii) 4.

Exercice 2.39. ii) 12

1 1 4a . Exercice 2.40. ii) a .

Exercice 2.41. iii) 3 . iv) supE max E 2, infE min E 1.Exercice 2.42. ii) 2.Exercice 2.43 1 2; 2 4; 3 div. ; 4 conv; 5 0; 6 1;

7 div. ; 8 conv; 9 conv.

Exercice 2.44. 0. Exercice 2.45.

1 .

Exercice 2.46. a 2b3

. Exercice 2.47. v)n

lim un n

lim vn.

Exercice 2.50. ii) Applications. 1. e 2. 4e ; 3 1

4.

Exercice 2.52. log2.Exercice 2.53. 1) 0; 1; 1; 1; 2) 1; 1,5; 0; 1; 3) 3,5; 5; 2; 2; 4) 0; 2; 0; 2;5) 0; ; 0;; 6) ; ; ; ; 7) ; ; ; ;8) ; 1; ; ; 9) 5; 1,25; 0; 0; 10) 0,5; 1; 0,5; 111) 2

3; 1,5 ; 1;1; 12) 4; 6; 4; 6.

Exercice 2.54. 1) 0,5; 1; 2) 0; 1 3) 32

;32

; 4) 0; 2 ;

5) e 22; e 1.

Exercice 2.55. 1) Adun 0,1; 2) Adun 0,1, 12

, 13

, . . . ;

3) Adun 1,5; 4) Adun a,b. Exercice 2.58. 1) Fausse; 2) vraie, 3) Fausse, 4) Fausse, 5) Fausse, 6) Fausse,7) Fausse, 8) Fausse, 9) Fausse, 10) Vraie, 11) Vraie, 12) Fausse, 13) Vraie,14) Fausse, 15) Vraie, 16) Vraie, 17) Fause18) Fausse; 19) Fausse, 20) Fausse; 21) Fausse; 22) Fausse.


——————————————————————————————————-51

Corrigés détaillés de certains exercices du chapitre II.

Exercice 2.1. Soit 0 donné. Cherchons un rang n N correspondant à vérifiant larelation n n |un | . Pour cela, on cherche les n N vérifiant l’inéquation|un | pour un, et donnés. Appliquons cette méthode pour les cas suivants. Remarquonsque si l’inéquation ne peut être résolue directement, on peut faire des majorations indirectes dutype |un | fn et ensuite chercher les n vérifiant fn .

6) un 4n 12n 1

, n 1, 2. On a

|un | 4n 12n 1

2 32n 1

32n 1

.

Cette dernière inégalité est vérifiée pour tous les n 12

3 1 et en posant

n E 12

3 1 1,

on en déduit, d’après les équivalences précédentes que

n N n n 4n 12n 1

2 .

Par exemple, si 0,01, alorsn E 1

23 1 1 E 1

2300 1 1 150,

et donc n 150, 4n 12n 1

2 0,01.

7) un 5n2 17n2 1

, 57

. On a

|un | 5n2 17n2 1

57 12

77n2 1

49n2 7 12 n 1

712 7 .

Dans ce cas, on prend n E 17

12 7 1, et on en déduit, d’après les équivalences

précédentes que

n n, 5n2 17n2 1

57 .

Par exemple, si 0,001, alors

n E 17

12 7 1 E 1

712007 1 16

et donc n 16, 5n2 17n2 1

57 0,001.

11) Sachant quen

k0

qk 1 qn1

1 qq 1 et log|q| 0, alors

|un | 1 qn1

1 q 1

1 q qn1

1 q |q|n1

|1 q|

|q|n1 |1 q| n 1 log|1 q|log|q|

.

Il suffit donc de choisir n Elog|1 q|

log|q| 1 1.


——————————————————————————————————-52

12) Soit A 0, assez grand. On a log logn A n eeA. Il suffit de prendre

nA EeeA 1.

15) un n!nn , 0. Première méthode (majoration indirecte): on a

n!nn 0 1.2.3. . . n 1n

n.n.n. . . . . .n.n 1n

2n

3n . . . n 1

nnn

1n 1.1.1. . . 1 1

n .

Donc pour les n vérifiant 1n , on a aussi n!

nn . Il suffit donc de prendre

n E 1 1.

Deuxième méthode (majoration directe, plus efficace). On a

n!nn 0

1.2. . . .E n2 E n

2 1 . . . n 1nn.n. . . . . .n.n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .n.n

E n2 fois

12

12

. . . 12

1. . . 1. 1 1

2E n2

.

Donc pour les n vérifiant 1

2E n2 , on a aussi n!

nn . On a

1

2E n2 E n

2 log2

1 et donc n 2 log2

1

Il suffit donc de prendre n E 2 log21 1 1.

Remarque. La deuxième méthode est plus rapide que la première, car la majoration estdirecte dans la deuxième. Par exemple si 0,01, alors on trouve pour la première méthoden E 1

0,01 1 101, tandis que pour la deuxième méthode, on trouve

n E 2 log21

0,01 1 1 15, donc l’inégalité n!

nn 0,01 est vérifiée à partir de n 101

dans la première méthode et à partir de n 15, dans la deuxième.

Exercice 2.2. i) un 2n 1n

2n , n 1. On a

|un 1| 2n 1n

2n 1 12n

si n log21 . Si 104, alors on prend n Elog2104 1 14.

Exercice 2.3. Soientnlim vn

nlim wn . Soit 0. Il existe alors n1, n2 N tels

que n n1, |vn | et n n2, |wn | . Posons n maxn1,n2 et désignonspar uk la suite alternée: v1,w1,v2,w2, . . . ,vn,wn, . . . . Dans ce cas:n n, on a

|uk | |vn | si k 2n 1,

|wn | si k 2n.

Il suffit de prendre k 2n.

Exercice 2.4. i) Soientnlim un et xn 1

n

n

k1

un, n 1. Soit 0. D’une part, il

existe alors n 1 tel que n n, |un | 2 . D’autre part, n n on a


——————————————————————————————————-53

|xn | 1n

n1

k1

uk 1n

n

kn

uk nn

n1

k1

ukn

n

kn

uk n

1n

n1

k1

|uk| 1n

n

kn

|uk |.

Le premier terme de la dernière somme tend vers zéro car n est fixé et

nlim 1

n 0. C’est à dire on anlim 1

n

n1

k1

|uk| 0. Dans ce cas, il existe n0 1 tel

que n n0 : 1n

n1

k1

|uk| 2

Pour le deuxième terme, on a |uk | 2 , k n et, comme n nn 1, alors

1n

n

kn

|uk | n nn

2

2,

c’est à dire quenlim 1

n

n

kn

|uk | 0. En prenant q maxn,n0, alors n q, on

a |xn | 2 2 , c’est à dire que

nlim xn .

ii) Posons un vn1 vn, n 1. On a par hypothèse,nlim un . D’après i), on en déduit,

après simplification de la somme, que

nlim 1

n

n

k1

uk nlim 1

n

n

k1

vk1 vk nlim 1

n vn v1

nlim vn

n nlim v1

n nlim vn

n ,

carnlim v1

n 0.

iii) Non, car la suite un 1n n’est pas convergente, alors que

xn 1n

n

k1

1k 1n

1 1n2 n

0.

Exercice 2.5. Premier cas Soitnlim un 0

et p N.nlim un un n, n 1 avec

nlim n 0, et, donc, à partir d’un certain

rang, on a |n | . Mais alors, on peut considérer que n

1, n 1.

On a p un p n p p 1 n

. Montrons quenlim p 1 n

1.

1 Soit n 0, n 1. On a 1 n

1 et, comme 0 |n |

0 |n | 1, alors , à partir de l’inégalitée 1 n

1 1 n

on obtient


——————————————————————————————————-54

1 |n | 1 p 1 n

1

D’où 1 |n | p 1 n

1 n

.

Puisquenlim 1 |n |

nlim 1 |n |

1, d’après le critère de trois suites on trouve:

nlim p 1 n

1.

2) Soit 1 n

0, n 1. On a alors 0 1 n

1 et

0 1 n

p 1 n

1, car 1 n

1.

D’après le critère des trois suites, on en déduit que

nlim p 1 n

1 et doncnlim p un p .

Deuxième cas Soit 0. Alors un p p un .

Exercice 2.6.1) On a

0 |un | ncos n sinnn 12

n|cos n| |sinn|n 12

n1 1n 12

2nn2 2n 1 n

0.

Donc, d’après le théorème des trois suites,nlim

ncos n sinnn 12

0.

2) On a

un n n 1 n n 1n 1 n

1

1 1n 1

,

mais on a aussi, d’après l’exercice 2.5:

1 1n 1

n 1 1 2,

et doncnlim n n 1 n 1

2.

5) un n

k1

nn3 k

. On a, pour tout k,

1 k n : 0 nn3 k

nn3 1

nn3

1n2 .

En faisant la somme terme à terme, on obtient

0 n

k1

nn3 k

n

k1

1n2 n 1

n2 1n n 0.

D’après le théorème des trois suites,nlim

n

k1

nn3 k

0.

10) un n 2n 3 . On a

n 3, n 2n n 2n 3 n 3n ,


——————————————————————————————————-55

et commenlim n 2n

nlim n 3n 1, alors on obtient

nlim n 2n 3 1.

Exercice 2.7.1) D’après la formule du binôme de Newton:

2n 1 1n 1 n nn 12!

nn 1n 23!

. . .1,

on déduit que 2n nn 12

et 0 n2n 2 n

nn 1 2

n 1.

Commenlim 2

n 1 0, alors, d’après le théorème des trois suites, que

nlim n

2n 0.

Remarque. On peut résoudre cet exercice à l’aide de la définition de la limite d’une suite.

2) Premier cas |a| 1. On aan

n! 1

n! n 0,

d’où le résultat, d’après le thorème des trois suites.Deuxième cas |a| 1. Soit k Ea, fixé. On a, alors k a k 1 et pour tout n k

0 an

n! |a|

1|a|2

. . . |a|k

|a|k 1

. . . |a|n |a|k

k!|a|

k 1

nk

n 0,

car |a|k 1

1. D’où le resultat, d’après le théorème des trois suites.

5) un logan

n a 1. Sachant (voir exercice 2.7, 1)) quenlim n

bn 0 b 1, alors, à

partir d’un certain rang, on a :1bn

nbn 1.

Soit 0. Posons b a avec a 1. Les inégalités précédentes deviennent alors1

an n

an 1 1 n an.

En appliquant le logarithme de base a ( qui est strictement croissant) à ces inégalités, onobtient

0 logan n 0 logan

n ,

pour n suffisamment grand, doncnlim

logann 0.

Remarque. On peut montrer que 0,nlim

logann

0.

7) un 1n n!

. Par récurrence, on montre que n! n3

n, n 1. D’où il découle que

n n! n3 0 0 1

n n! 3

n ,

Commenlim 3

n 0, alors, d’après le théorème des trois suites, on obtient le résultat.

Commentaire. Les relations 1), 2) et 8) montrent, respectivement, que an a 1 croît plus


——————————————————————————————————-56

rapidement que la puissance nk k N, . que n! croît plus rapidement que l’eponentiellean a 1 et que nn croît plus rapidement que n!.

Exercice 2.8. On a

A n a1n a2

n . . .amn A n m

n A. 1 1,

d’après l’exercice 2.1, 16).

Exercice 2.9.2) On a, après calcul et simplification

un n2 12n 1

3n2 16n 1

. . . 2n2 4n12n2 8n 1 n

16

.

3) On a, après calcul et simplification

un n 14 n 14

n2 12 n2 12. . . 2n2 1

n n .

4) On a, d’après la formule du binôme de Newton:

un n 1m n 2m . . .n km

nm1 kn

nm Cm

1 nm1 . . .1 nm Cm1 nm12 . . .2m . . .

nm1

nm Cm

1 nm1k . . .km knm

nm1

Cm1 nm11 2 . . .k Cm

2 nm21 22 . . .k2 . . .1 2m . . .kmnm1

mkk 1

2 Cm

2 1 22 . . .k2n . . . 1 2m . . .km

nm1 n m

kk 12

.

9) On a

un 3 n3 2n2 n 3 n3 2n2 n 3 n3 2n22 n 3 n3 2n2 n2

3 n3 2n22 n 3 n3 2n2 n2

2n2

n2 3 1 2n

2 3 1 2n 1 n

23

.

12) On a, d’après la formule a b 3 a 3 b 3 a2 3 ab 3 b2 :

un n3

3 3 1 3n3 1 n3

3

1 3n3 1

1 3n3

23 1 3

n3

13 1

1

1 3n3

23 1 3

n3

13 1

n 1

1 023 1 0

13 1

13

17) On a, d’après la relation 12k 12k 1

12

12k 1

12k 1

et après


——————————————————————————————————-57

simplification:

un n

k1

12k 12k 1

12

n

k1

12k 1

12k 1

121 1

2n 1,

et doncnlim un

nlim 1

21 1

2n 1 1

21 0 1

2.

24) On a

un 1n 1

n1n2 1

n1n 1 1

n

n

1n 1n

n2 1

1 1n

n1n

n2 1 n 1 0

0 1 1.

28) On a, après calcul

un 1 3 5 . . .2n 1 2 4 . . .2n

n2 1 4n2 1

n1 2n 12

n2 2n2

n2 1 4n2 1 n

n 1 1n2 4 1

n2

n 1

1 2 1

3.

30) On a

un 1 a a2 . . .an

1 b b2 . . .bn 1 an1

1 a1 bn1

1 b

1 b1 a

. 1 an1

1 bn1 n 1 b

1 a

carnlim qn 0 si |q| 1.

33) On a

un 2n2 3n3

2n 3n 3n2 2

3n2 3

3n 23n 1

9 2

3n2 3

23n 1 n

9 0 30 1

27.

45) On a, d’après la limite remarquablenlim an

n! 0 :

un 10n n!2n n 1!

n 1! 10n

n 1! 1

n 1

n 1! 2n

n 1! 1 n

0 00 1

0.

47) On a

un n 2! n 1!

n 3!n 1!n 2 1n 1!n 2n 3

1n 2 n

0.

Exercice 2.10.


——————————————————————————————————-58

1) La suite définie par un n1n

est la suite

1, 2, 13

, 4, 15

, 6, 17

, . . . , 2k, 12k 1

, . . .

c’est à dire que

un 1

2k 1si n 2k 1,

2k si n 2k.

Pour tout A 0 (assez grand), il existe, d’après la propriété d’Archimède, n 2k tel queun 2k A. Donc la suite un n’est pas majorée, c’est à dire qu’elle n’est pas bornée.

11) On a

|un | 1nn 25

n2 4 |1nn| 25

n2 4 n 25

n2 4

nn2 25

4 1 25

2 27

2,

donc un est bornée.

14) On a

0 un n

k1

1k n

11 n

12 n

. . 1n n

11 n

11 n

. . 11 n

n1 n

1

donc la suite un est bornée.

Exercice 2.14.

2) un n3 1n4 0, n 1. On obtient, après calcul

un12 un

2 n 13 1n 14

n3 1n4 n6 3n5 3n4 3n3 6n2 4n 1

n 14n4 0,

donc la suite un est décroissante. Comme un 0,n 1, alors elle est minorée, donc elleest convergente.

3) On a, d’une part:

un1 un 11 n 1

12 n 1

. . . 1n n 1

12n 1

11 n

12 n

. . . 1n 1 n

12n

12n 1

12n 1

11 n

12n 1

12n 1

122n 1n 1

0

donc la suite un est strictement croissante. D’autre part, on a (voir exo. 2.13, 14)):


——————————————————————————————————-59

un 11 n

12 n

. . . 1n 1 n

12n 1

1 n 1

1 n. . . 1

1 n

nn 1

1.

Donc (un est majorée et par suite, elle est convergente.

5) On a un n

k1

k2

n2 nn 12n 1

6n2 n 12n 16n

, n 1 et alors

un1un n 22n 3nn 1n 12n 1

2n3 7n2 6n2n3 5n2 4n 1

1,

donc la suite un est croissante. D’autre part, on a

un n 12n 1

6n n 12n 1

6n 1 2n 1

6 vn.

vn n’étant pas majorée, alors un n’est pas majorée et doncnlim un .

6) un n

k1

1kp p 2. On a, d’une part:

un1 n1

k1

1kp un 1

n 12 un,

donc un est strictement croissante. D’autre part, on a

un 1 12p

13p . . .

1np 1 1

22 132 . . .

1n2

1 11.2 1

2.3. . . 1

n 1n 1 1 1

2 1

2 1

3 . . . 1

n 1 1

n

2 1n 2,

c’est à dire que la suite un est majorée. Etant croissante et majorée, elle est doncconvergente.

9) On a

un1 n1

k1

1k

n

k1

1k 1

n 1 un 1

n 1 un,

donc la suite un est strictement croissante.Montrons qu’elle n’est pas bornée. En effet, en regroupant les termes comme suit

1 12 1

3 1

4 1

5. . . 1

8 1

9. . . 1

16. . .

1 12 1

4 1

4 1

8. . . 1

8 1

16. . . 1

16. . .

1 12 2

4 4

8 8

16. . . 1 1

2 1

2 1

2 1

2. . .

Soit la suite vn définie par vn

nfois

1 12

12 1

2. . . 1

2 n

2.

Commenlim n

2 , on conclut que

nlim

n

k1

1k , c’est à dire que un diverge.

12) On a


——————————————————————————————————-60

un1un 1.3.5. . . 2n 12n 1

2.4.6. . . . 2n2n 22.4.6. . . 2n

1.3.5. . . 2n 1 2n 1

2n 2 1,

donc la suite un est décroissante, et comme un 0,n 1, alors elle est convergente.

Exercice 2.15.

Soit un 1 1n

net vn 1 1

nn1

, n 1.

i) D’après la formule de Bernoulli, 1 n 1 n, n 1, 1, on a

un1un

1 1n 1

n1

1 1n

n 1 1

n 11 1

n

n1

n 1n . . .

nn 2n 12

n1n 1

n n 12 1n 12

n1n 1

n 1 1n 12

n1n 1

n

1 n 1n 12

n 1n 1 1

n 1n 1

n 1

donc la suite un est croissante. De même pour vn, on obtient, après calcul:

vnvn1

1 1

nn1

1 1n 1

n2 1 1

n1 1

n 1

n1

11 1

n 1

n 1n1

n 12 1n1n 1n 2

1 1n 12 1

n1n 1n 2

1 n 1n 12 1

n 1n 2

1 1n 1

n 1n 2

1,

donc vn est décroissante.

ii) On a vn 1 1n

n1 un1 1

n un, n 1. Sachant que

nlim 1 1

n 1, alors on obtient que

nlim un

nlim vn e.

Exercice 2.16.

1) Par récurrence. Pour n 1, on a 1e

1 1

e 1 e 12

1car 2 e.

Supposons que les inégalitésne

n n! e n

2

n

sont vraies pour n. Alors, pour n 1, on a, d’une part:

n 1! n!n 1 e n2

nn 1 e n 1

2

n1 nn 1

n2 e n 1

2

n1,

car nn 1

n 1

1 1n

n 12

et d’autre part, on a

n 1! n!n 1 ne

nn 1 n 1

en1 n

n 1

ne n 1

en1

,


——————————————————————————————————-61

car nn 1

n 1

1 1n

n 1e .

2) On a, d’après l’exercice 2.15,

un 1 1n

n e et vn e, n 1.

on en déduit que

1 1n

n e 1 1

nn1

. 1

3) En appliquant la fonction logarithme aux inégalités (1), on obtient

n log 1 1n 1 n 1 log 1 1

n ,

d’où1

n 1 log 1 1

n 1n .

Exercice 2.17.i) On a, d’après la formule du binôme de Newton:

un 1 1n

n 1 n 1

n nn 1

21n2 . . .

n!n!

1nn

1 n 1n

nn 12!

1n2 . . .

nn 1n 2. . . n k 1k!

1nk

1 1 12!

nn 1n.n . . . 1

k!nn 1n 2. . . n k 1n .n. n. . .n

1 1 12!1 1

n . . .1k!1 1

n 1 2n . . . 1

k 1n

Pour k fixé, chacun des facteurs entre parenthèses converge vers 1 quand n , et alors

nlim un 1 1 1

2!. . . 1

k! xk,

c’est à dire, on a

e xk 1 1 12!. . . 1

k!, k 1.

Montrons que un 1 1 12!. . . 1

n!. On a

un 1 1 12!1 1

n . . .1n!1 1

n 1 2n . . . 1

n 1n

1 1 12!. . . 1

n! xn, n 1.

Et alors, on a

un xn e, n 1.

Commenlim un e, on en déduit que

nlim xn

nlim 1 1

1! 1

2!. . . 1

n! e.

Fixons n et étudions xnm xn, m 1. On a xnm xn

1 11! 1

2!. . . 1

n!. . . 1

n m! 1 1

1! 1

2!. . . 1

n!


——————————————————————————————————-62

1n 1!

1n 2!

. . . 1n m!

1n 1!

1 1n 2

1n 2n 3

. . . 1n 2. . . n m

1n 1!

1 1n 2

1n 22

. . . 1n 2m

1n 1!

1 1n 2m1

1 1n 2

1n 1!

11 1

n 2

1n 1!

n 2n 1

1n!

n 2n 12

1n!

n 2nn 2

1n!

1n ,

c’est à dire que xnm xn 1n!

1n . Comme, pour n fixé, on a

mlim xnm e, alors

0 e xn 1n!n

.

En posant

n e xn

1n!n

avec 0 n 1, n 1,

on obtient que

e xn n

n!n 1 1

1! 1

2!. . . 1

n! n

n!n, n 1, avec 0 n 1.

Montrons que le nombre e n’est pas rationnel. Supposons que e pq Q. Alors, on a

e pq 1 1

1! 1

2!. . . 1

q!q

q!q, 0 q 1.

En multipliant par q!q, on obtient p.q! a q avec a N, et, donc on auraitq pq! a N, ce qui est impossible, car 0 q 1. On conclut que e Q.

ii) Calculons e à 105. Cela signifie qu’on cherche n tel que l’erreur soit inférieure à 105,c’est à dire

n e xn 105.

Dans ce cas, comme 0 n 1, on a

n n

n!n 1

n!n 105 n!n 105 n 8.

En prenant n 8, on trouve alors

e 2 12! 1

3!. . . 1

8! 2,71828.

Exercice 2.18. Sachant quenlim 1 1

nn e, alors pour 0, il existe n 1 tel que

n n, 1 1n

n e . En particulier, pour toute suite strictement

croissante nk n de nombres naturels convergeant vers , alors on a

nk n, 1 1nk

nk e .

Soitklim uk et nk Euk. Alors on a


——————————————————————————————————-63

nk uk nk 1 1 1nk 1

nk

1 1uk

uk 1 1

nk

nk1.

Commeklim 1 1

nk 1

nk

klim 1 1

nk

nk1 e, on conclut, d’après le théorème des

trois suites, que

klim 1 1

uk

uk e.

Soitklim vk vk 1. En posant uk vk, k 1, alors

klim uk et on a

1 1vk

vk 1 1

uk

uk 1 1

uk 1

uk

1 1uk 1

1 1uk 1

uk1

k 1.e e.

Exercice 2.19.1) On a, d’après l’exercice 2.18:

un 1 1n k

n 1 1

n k

nkk

1 1n k

nk1 1

n k

k

n e. 1 0k e.

4) On a

un n 1n 3

n2 n 1

n 3

n n 1n 3

2

1 1n

n

1 3n

nn 1n 3

2

1 1n

n 1

1 3n

n3

3n 1n 3

2

n e1

e3 12 1e4 .

5) On a, d’après l’exercice 2.18:

un 2n 12n

2n

1 12n

2n

n e,

carnlim 2n .

10) On a

un n2 n 1n2 n 1

n

n2 n 1 2nn2 n 1

n

1 2nn2 n 1

n

1 1n2 2n 2n 2

n2 n 12n

2nnn2 n 1

n e2 1

e2 ,

avec dans l’exercice 2.18. un n2 n 12n n

et


——————————————————————————————————-64

vn 2nnn2 n 1 n

2.

Exercice 2.20. Application du critère de Cauchy: 0, n 1, p,q : p n, q n |up uq |

R :nlim un .

1) On a pour q p

|uq up | cosp 1p 1

cosp 2p 2

. . . cos qq

1p 1

1p 2

. . . 1q 1p 12

1p 22

. . . 1q2 .

Comme on a1

m2 1

m 1 1

m ,

alors

|uq up | 1p

1p 1

1p 1

1p 2

. . . 1q 1

1q

1p

1q

q ppq q

pq 1p

si p 1 . Il suffit de prendre alors n E 1

p 1 pour que la critère de Cauchy soit

vérifié, c’est à dire p,q n, on a |uq up | . Donc la suite unn est convergente.

2) On a

|uq up | q

kp1

akk Mq

kp1

||k M||p1qp1

k0

||k

M||p11 ||qp

1 || M

1 ||||p1

si ||p1 1 ||M, c’est à dire si p 1 log | |

1 ||M , car log|| 0. Donc en

posant n E log | |1 ||

M 1 1, on obtient que si p,q n, alors |uq up | , c’est

à dire que la suite un est de Cauchy, donc convergente.

6) On a

|uq up | 1p 1

1p 2

. . . 1q

1q

1q . . .

1q

q pq .

Si q 2p, alors on aurait

|uq up | 2p p

2p 1

2.

Donc si 12

, n 1, p n, q n, q 2p et |uq up | . Cela signifie que la suite

un n’est pas de Cauchy, donc elle est divergente.Remarque. On peut montrer que

nlim un .

7) un 1 12 1

3. . . 1

n. Comme 1

n 1

n , on peut montrer comme dans


——————————————————————————————————-65

l’exercice 6) précédent que la suite un n’est pas de Cauchy.

8) Même chose que pour l’exercice 7), car on a 1logn

1n , n 2.

Exercice 2.25. Posons vk u2k et wk u2k1, k 1.i) On a alors

vk1 vk u2k2 u2k

1 12. . . 1

2n 1

2n 1 1

2n 2 1 1

2. . . 1

2n

12n 1

12n 2

0,

donc la suite vk u2k est croissante. De même, on trouve quewk1 wk 1

2n 3 1

2n 2 0, donc la suite wk u2k1 est décroissante.

ii) On a

wk vk 12n 1 n

0,

et, alors les suites u2k1 et u2k sont adjacentes, donc elles convergent vers la même limite R. D’après l’exercice 2.3), la suite un, qui est la suite: w1,v1,w2,v2, . . . ,wn,vn, . . .converge aussi vers .

Exercice 2.27. un1 un 1un

, n 1. Tout d’abord, on a un 0, n 1 et

un1 un 1un 0,

donc la suite un est strictement croissante. D’autre part, supposons que

nlim un R, 0. Alors vérifie l’équation

1 0 1

,

ce qui est impossible. De même, il est imposible que 0. Comme un est croissante et neconverge pas vers un nombre fini, alors on conclut que

nlim un .

Exercice 2.28. On a u1 1 0. Supposons que un 0, alorsun1 1 1

un 0, donc n 1, un 0.

Etudions la monotonie de un. On a

un1 un 1 1un

1 1un1

un1 unun1.un

,

et comme le signe du dénominateur est strictement positif, alors le signe de un1 un estcelui de un1 un. De la même manière, le signe de cette dernière différence sera celui deun2 un1. Ainsi le signe de un1 un sera alternativement positif et négatif. Donc la suite unn’est pas monotone. Pour étudier la nature de la suite un, étudions les sous-suites définies par

vn u2n1 et wn u2n, n 1, qui sont toutes deux strictement positives. On a

vn1 vn u2n1 u2n1 1 1u2n

1 1u2n2

u2n2 u2nu2n2.u2n

1u2n2.u2n

1 1u2n3

1 1u2n1


——————————————————————————————————-66

u2n1 u2n3u2n2.u2n.u2n3.u2n1

vn vn1u2n2.u2n.u2n3.u2n1

.

Comme le dénominateur est strictement positif, alors le signe de vn1 vn est celui devn vn1. Par induction, on déduit que le signe de vn1 vn sera celui dev2 v1 u3 u1 1 1

u2 1 1

u2 1

2 0 car u2 1 1

u1 1 1 2. Donc la suite

vn u2n1 est croissante. De la même manière, on démontre que la suite wn u2n estdécroissante.

D’autre part, on a

wn vn u2n u2n1 1 1u2n1

1 1u2n2

u2n2 u2n1u2n2.u2n1

1u2n2.u2n1

1 1u2n3

1 1u2n2

u2n2 u2n3

u2n1u2n22u2n3

. . . u2 u1

An

avec An u2n1u2n22u2n32. . . .u22u1. Montrons que

nlim An . En effet, pour cela

montrons que 32 un 2, n 1. On a

u2 1 11 2,

et supposons que 32 un 2. Alors on a 1

2 1

un 2

3et

1 12 1 1

un 1 2

3 3

2 un1 2.

Ceci implique que

An 32

4n4

n ,

etnlim wn vn 0, c’est à dire que les suites u2n1 et u2n sont adjacentes et convergent

donc vers la même limite . D’après l’exercice 2.25, i) a, on a

nlim un 0 qui vérifie l’équation

1 1 2 1 0 1 5

2ou 1 5

2.

Comme un 0, n 1, alors 1 52

.

Exercice 2.31.i) On a

|un1 un | k|un un1 | kk|un1 un2 | k2|un1 un2 | . . . kn1|u2 u1 |.

ii) Soient 0 p q. On a, d’après i)

|uq up | |uq uq1 | |uq1 uq2 | . . .|up1 up |

kq2 kq3 . . .kp1|u2 u1 |

kp1kqp1 kqp2 . . .1|u2 u1 | kp1 1 kqp

1 k|u2 u1 |

kp1

1 k|u2 u1 |.

iii) Pour u2 u1 et 0, on a


——————————————————————————————————-67

kp1

1 k|u2 u1 | kp1 1 k

|u2 u1 | p 1 logk

1 k|u2 u1 |

.

Donc si on prend n E logk1 k|u2 u1 |

1 1, alors on obtient que

p,q n, |uq up | ,c’est à dire que la suite un est de Cauchy, donc elle converge.

Exercice 2.33. u1 12

, un1 un2 3

16, n 1.

i) On a 14 u1 1

2 3

4. Supposons que 1

4 un 3

4. Alors

116 un

2 916 1

16 3

16 un

2 316 9

16 3

16

14 un1 3

4.

ii) On a u2 u12 3

16 1

4 3

16 7

16 u1. Supposons que un un1, alors on a

un1 un un2 3

4 un1

2 34 un

2 un12 un un1un un1 0,

car un un1 0 par hypothèse et un un1 0. Donc la suite un est décroissante.Comme elle est minorée, un 0, n 1, alors elle converge. Soit sa limite, alors vérifie

2 316 162 16 3 0.

On a deux solutions 1 34

et 2 14

. Comme u1 12

et un est décroissante, alors on a

14

.

iii) Comme un est décroissante, alors supEn max En u1 12

et infEn nlim un 1

4.

Exercice 2.36.1) u1 , un1 2 un , n 1. On a

un1 un 2 un 2 un1 un un1

2 un 2 un1,

comme le dénominateur est positif, alors un1 un est du signe un un1, qui, de la mêmemanière, est du signe un1 un2. Ainsi, par induction, un1 un est en fin de compte du signe deu2 u1.

i) Soit u1 1 0. Alors on a u2 u1 2 1 1 3 1 0, donc dans ce cas,un est, croissante. Montrons que un 2, n 1. Par hypothèse, on a u1 1 2. Supposonsque un 2, alors on a

un1 2 un 2 2 2,

donc un est majorée par 2, par conséquent elle est convergente. Sa limite vérifie

2 2 2 0 1 ou 2.

Comme un 1 et un est croissante, alors 2.ii) Soit u1 2 0. Alors on a u2 u1 2 2 2 0, donc u2 u1. On montre

par récurrence que un 2, n 1. C’est une suite constante et donc, 2.iii) Soit u1 3 0. Alors on a u2 u1 2 3 3 5 3 0, donc dans ce cas,


——————————————————————————————————-68

un est décroissante. Montrons que un 2, n 1. Par hypothèse, on a u1 3 2.Supposons que un 2, alors on a

un1 2 un 2 2 2,

donc un est minorée par 2, par conséquent elle est convergente. Sa limite vérifie

2 2 2 0 1 ou 2.

Comme un 2 et un est décroissante, alors 2.2) u1 , un1 4

3un un

2, n 1. Soit 16

.

On montre que un est croissante,un est majorée (0 un 13,

etnlim un 1

3. On a u1 1

6, u2 7

36 u1. Posons un un1 et démontrons

que un1 un. Nous avons un1 un 43

un un2 un un 1

3 un. Montrons que

n 1, un 13

. En effet u1 16 1

3. Posons un 1

3et démontrons que un1 1

3.

On a un 13 un 1

3 2

3 un 1

3 2

3 un

2 1

3

2

23 un

2 1

3

2 4

9 2

3 un

2 4

9 1

3

2 1

3 un1 1

3 .

Alors de ( et découle que un1 un 0 n 1. Ainsi la suite un est croissante etmajorée.

Posonsnlim un où est la solution de l’équation 4

3 2. D’où 1

3.

D’une façon analogue on etudie les autres cas.

Exercice 2.40. u1 0, a 0, un1 12

un aun

, n 1.

i) Montrons que un a , n 1. D’une part, on a u1 0 et si un 0, alors un1 0.D’autre part,

un1 a 12

un aun

a un

2 2un a a2un

un a 2

2un 0,

donc un a , n 2.ii) On a

un1 un 12

un aun

un un

2 2unun a2un

a un2

2un 0,

car, d’après i), un a , donc la suite un est décroissante. Comme elle est minorée para , alors elle converge vers une limite R qui vérifie l’équation

12 a 2 a 0 a .

Comme un 0, n 1, alors a .iii) La limite est donc la racine du nombre a figurant dans la défintion de un. Par

conséquent, on peut calculer approximativement la racine d’un nombre réel positif en prenantcomme valeur approchée un terme de la suite un tel que l’erreur soit inférieure à 0 donné,c’est à dire on choisit le rang n N tel que |un a | .

Exercice 2.46. u1 a, u2 b, un1 un1 un

2, n 2.

Première méthode: on a


——————————————————————————————————-69

uk1 uk uk1 uk

2 uk

uk1 uk

2 uk uk1

2

12 uk1 uk2

2 1

2

22 uk1 uk2 . . .

1k1

2k1 u2 u1.

Et alors, on obtient

un n1

k1

uk1 uk u1 n1

k1

12

k1u2 u1 u1

b an1

k1

12

k1 a b a

1 12

n1

1 12

a,

En passant à la limite, on obtient

nlim un b a 1 0

1 12

a 2b a3

.

Deuxième méthode. Cherchons un sous la forme un qn, q 0. On a

un un2 un1

2 qn qn2 qn1

2 q2 q 1

2

q1 12

ou q2 1.

La dernière équation est aussi vérifié par un q1n q2

n, n 1.Cherchons , tels que u1 a, u2 b. On a

a u1 q1 q2

b u2 q12 q2

2 a 2b

3, 4

3b a,

en remplaçant dans un, on trouve un a 2b3

1n

3.2n2 b an a 2b

3.

Exercice 2.49. Soit un croissante et unk un telle queklim unk . Montrons que

nlim un . En effet, soit 0. Il existe alors k N tel que k k, unk . Si

un n’était pas majorée, alors il existerait n0 k tel que un0 , mais alors nk n0, onaurait unk (contradiction). Donc un est majoprée (par et comme elle estcroissante, alors elle converge. Sachant que sa sous-suite unk converge vers , alors unconverge aussi vers car toute sous-suite d’une suite convergente converge vers la même limite..

Exercice 2.50.i)1) Soit || 1. Soit 0 et q tels que 0 || q 1. Alors on a

nlim un1

un || n 1,n n : un1

un || q.

Soit n n et écrivons successivement ces inégalités pour k n, n 1,n 2, . . . ,n 1 :


——————————————————————————————————-70

un1un

q

un2un1

q

un1un2

q

unun1

q.

En multipliant terme à terme ces inégalités, on obtientunun

qnn |un | |un |qnn , n n.

Comme 0 q 1 etnlim qnn qn

nlim qn 0, alors on en déduit que

nlim un 0.

2) Soit || 1. Soit 0 et p tels que 1 p || . Alors on a

nlim un1

un || n 1,n n : un1

un p.

Comme dans i), soit n n et écrivons successivement ces inégalités pourk n, n 1,n 2, . . . ,n 1 :

un1un

p

un2un1

p

un1un2

p

unun1

p.

En multipliant terme à terme ces inégalités, on obtientunun

pnn |un | |un |pnn , n n.

Comme p 1 etnlim pnn pn .

nlim pn , alors on en déduit que

nlim |un | , et donc la suite un diverge, car elle est non bornée.

ii) Comme un 0, alors on a 0. Supposons d’abord que 0 et soit 0.

nlim un1

un n 1, n n :

2 un1

un

2.

Soit n n, en multipliant ces inégalités termes à termes et après simplification, on trouve

2n1n un1

un

2n1n un 2

n1n un1 un 2n1n

n1

un

2 n

. 2 n1 un1 n1

un

2 n

2.

Sachant quenlim n a

nlim n1 a 1, a 0, et si a un

2n 0, on obtient

nlim

n1

un

2 n

2

2et

nlim

n1

un

2 n

2

2,

c’est à dire que pour 2

, n1,n2, n n1,n n2, on a


——————————————————————————————————-71

2

2

n1

un

2n

2

2

2

et

2

2

n1

un

2n

. 2

2

2

d’où l’on déduit, en prenant les inégalités extrèmes, que n maxn,n1,n2, on a n1 un1 . Cela signifie que

nlim n un .

Applications.

1) On a unn nn n!

n

nn

n! vn, n 1. et, d’après ii), il suffit de calculer

nlim vn1

vn. On a

vn1vn n 1n1

n 1!n!nn

n 1n

nn 1 1n

n

n e,

doncnlim n

n n! e.

2) De la même manière, on a

un 1n n n 1n 2. . . 2n 1 n

n 1n 2. . . 2n 1nn n vn .

et après calculvn1vn 4n2 2n

n2 2n 1n

n 1

n 4n2 2n

n2 2n 11 1

nn

n 4

e .

Doncnlim un 4

e .

Exercice 2.51. On a

0 un un11 un1 u1 un2 2u1

un3 3u1 . . . nu1 0 unn u1,

c’est à dire que la suite unn est bornée. Posons inf un

n et soit 0 arbitraire.D’après la caractérisation de la borne inférieure d’une suite, il existe m 1 tel que um

m 2

. Posons n qm r, r 0,1,2, . . . ,m 1, alors on a

un uqmr qfois

um um . . .um ur qum ur.

Ce qui implique queunn

uqmrn qum

n urn um

m .qmn ur

n ,

et commeqmn qm

qm r 1 et pour n assez grand, urn

2, alors on déduit que

unn um

m urn

2

2

pour n assez grand. D’après le théorème des trois suites,nlim un

n .

Exercice 2.53.

2) Les éléments de la suite un 1n

n 1 1n2

sont tous contenus dans les sous-suites


——————————————————————————————————-72

u2n1 12n 1

et u2n 12n 1. Comme la suite u2n1 est croissante, la suite u2n,

décroissante et que u2n1 u2n, alors on en déduit que

nlim un

nlim u2n1 0 et

n

lim un nlim u2n 1.

On a supun u2 32

et infun u1 1.

4) De même que dans 2), les éléments de la suite un 1 nn 1

cos n2

sont tous contenus

dans les sous-suites u2n1 1 2n 12n

cos2n 1

2 1 et u2n 1 2n

2n 1cos 2n

2, la

suite u2n étant elle-même contenue dans les sous-suitesu4n2 et u4n. On a

u4n2 1 4n 24n 1

cos4n 2

2 1 4n 2

4n 1 1 ,u2n1

u4n 1 4n4n 11

cos 2n 1 4n4n 1

1 u2n1, et u4n2 u2n1 u4n.

Comme u4n2 est décroissante et u4n, croissante, alorsinfun

nlim un

nlim u4n2 1 1 0

etsupun

n

lim un nlim u4n 1 1 2.

7) Considérer les sous-suites u4n3 et u4n1 de u2n1 et la suite u2n. On trouveinfun

nlim un et supun limun .

Exercice 2.54.2) Comme pour l’exercice 53, tous les termes de la suites un font parties des sous-suites

u4n3, u4n2, u4n1 et u4n. On trouveu4n3 1

2;

nlim u4n2 1,

nlim u4n1 1

2,

nlim u4n 0

et alorsn

lim un 0; limun 1.

Exercice 2.55.1) La suite un se compose des deux suites un

12n et un

2n 12n . Comme on a

nlim un

0 etnlim un

1, alors Adun 0,1.

4) De même qu’en 1), la suite un se compose des suitesu2n 1

2a b a b a et u2n1 1

2a b a b b.

Comme on anlim u2n a et

nlim u2n1b, alors Adun a,b.

Exercice 2.56. Commenlim n n 1, alors

nlim pn pn 1 si pn est une suite arbitraire de

nombres naturels strictement croissante. Soit une valeur d’adhérence de un etnlim upn .

Alors on a

nlim vpn

nlim upn . pn pn

nlim upn .

nlim pn pn . 1 .

Inversement, supposons quenlim vqn et qn une suite strictement croissante de nombres

naturels, c’est à dire est une valeur d’adhérence de la suite vn. Comme n n 0, alors on a


——————————————————————————————————-73

nlim uqn

nlim

vpn

qn qn n

lim vqn

nlim qn qn

1 .

Ainsi les suites un et vn ont les mêmes valeurs d’adhérence.


——————————————————————————————————-74

Chapitre III. Fonctions réelle d’une variable réelle. Fonctions usuelles.Rappels de cours.

§1. Fonctions réelles. Généralités.

III.1. Notion de fonction.On appelle fonction numérique définie sur un ensemble X R toute opération ou

application qui à tout élément de X lui associe un seul élément de R.On note f : X R ou x y fx, x X. X Df est appelé domaine de définition de

f; fX Im f y R : x X, y fx est l’ensemble des valeurs de cette fonction,appelé ensemble image de f; si x x0 X, y0 fx0 fx xx0 est la valeur prise par f aupoint x0. On distinguera la fonction désignée par f , qui est une opération ou loi, de l’image de xpar f désigné par fx qui est un nombre.

III.2. Graphe d’une fonction. C’est l’ensemble (ou lieu géométrique) des points Mx,y telsque x X et y fx qui est une ligne du plan R2, appelée courbe représentative de f sur X oucourbe d’équation y fx, x X, notée:

Gf x,y R2 : x X, y fx X fX.

III.3. Opérations sur les fonctions réelles.a) Egalité, inégalité. On dit que les fonctions f et g sont égales sur un ensemble X R si

elles sont définies sur X et si fx gx,x X. On note, dans ce cas: f g sur X. De même,on définit les inégalités entre f et g sur X par:

i) f g sur X fx gx, x X ;ii) f g sur X fx gx, x X;iii) f g sur X fx gx, x X ;iv) f g sur X fx gx, x X.

b) Opérations arithmétiques. Soient f,g : X R et R. On définit les opérationssuivantes sur f et g, x X:

i) la somme : f gx fx gx ;ii) la différence : f gx fx gx; .iii) le produit : fgx fxgx;iv) le produit de f par le scalaire : fx fx;

v) le rapport de f par g , si g 0,fg x fx

gx.

c) Composition de fonctions. Soient f : X R et g : Y R telles que fX Y. Alorson définit une nouvelle fonction, appelée fonction composée de f par g , définie sur X par:

gofx gfx, x X .

Exemple. La fonction hx 1 x3 , x , 1, est la composition de f et g, oùfx 1 x3 y, x R, gy y , y 0, c’est à dire que

z hx gofx gfx g1 x3 1 x3 , x , 1 :


——————————————————————————————————-75

d) Restriction. Prolongements.Définition 1. Soit une fonction f : X R et X1 X .On appelle fonction restriction

ou restriction de f au sous-ensemble X1 la fonction g, définie sur X1 par:gx fx ,x X1, qu’on note, généralement, par: fX1 , c’est à dire que g fX1 sur X1.

Définition 2. Soit la fonction g : X1 R et X1 X. On appelle prolongement de g àl’ensemble X toute fonction f définie sur X, telle que

fx gx, x X1,c’est à dire que f g sur X1.Remarque. La fonction f admet une seule restriction sur X1, notée donc f X1 tandis que g

peut admettre une infinité de prolongement sur X.

III.4. Racines d’une fonction réelle. Soit f : X R.Définition 1. On appelle racine ou zéro de la fonction f tout point de X où f s’annule.Cela signifie que c’est une solution de l’équation fx 0. Géométriquement, les racines

d’une fonction sont les abscisses des points d’intersection du graphe de f avec l’axe des abscisses.

Définition 2. On dit que le nombre x0 est une racine (ou zéro) d’ordre (de multiplicité)k N de la fonction f si x0 est une racine de f et fx x x0kgx, x X, oùg : X R et gx0 0. Le nombre naturel k est appelé ordre de multiplicité de la racine x0

de l’équation fx 0 dans X .Si k 1, on dit que x0 est une racine simple ou d’ordre un. Si k n, on dit que c’est une

racine n ième ou d’ordre n.

Exemples.1) La fonction fx 1 x2 possède deux racines simples dans l’intervalle 1,1 qui sont

x 1 et x 1.2) La même fonction fx 1 x2 définie dans 1,1 ne possède aucune racine.

III.5. Parité. Fonctions paires et impaires.Définition 1. On dit qu’un ensemble X R est symétrique (par rapport à l’origine) si :

x : x X x X.On note, dans ce cas, X X.

Définition 2. Soit f : X R, X X. On dit que :i f est paire sur X si fx fx, x X ;ii f est impaire sur X si fx f x , x X .Géométriquement, si f est paire, alors son graphe est symétrique par rapport à l’axe des

ordonnées Oy et si f est impaire, alors il est symétrique par rapport à l’origine des axes.

III.6. Périodicité. Fonctions périodiques.Définition 1. On dit que la fonction f : X R est périodique, de période

ou périodique s’il existe un nombre 0 tel que:1) x X, alors x X et x X,


——————————————————————————————————-76

2) f vérifie la propriété suivante, appelée propriété de périodicité :

fx fx , x X .

Définition 2. Soit f une fonction périodique . On appelle plus petite période de f le nombreT 0, égal au plus petit des nombres 0, s’il existe, vérifiant la condition de périodicité de

la définition 1):

T min 0 : fx fx, x X .

D’où: fx T fx , x X.

III.7. Monotonie. Fonctions monotones. Soit f : X R et I X.Définition . On dit que la fonction f est:i) croissante ( resp. décroissante) sur I si :

x,x I : x x fx fx (resp. x x fx fx ;ii) strictement croissante (resp. strictement décroissante) sur I si :

x,x I : x x fx fx (resp. (x x fx fx .iii) monotone ( resp. strictement monotone) sur I si elle est croissante ou décroissante (resp.

strictement croissante ou strictement décroissante ) sur I.

Remarque. Certains étudiants commettent l’erreur suivante pour étudier la monotonie encomparant les valeurs fx et fx 1 par analogie aux suites. Ce qui est faux dans le cas desfonctions à variable continue.

III.8. Fonctions bornées. Suprémum et infimum d’une fonction réelle. Soit f : X R etfX Y.

Définition 1 On dit que:i) f est majorée (resp. minorée) sur X si l’image Y fX est majorée (resp. minorée, c’est à

dire:M R resp. m R : fx M (resp. m fx , x X,

les nombres M et m sont appelés respectivement majorant et minorant de f;ii) f est bornée sur X si: m,M R : m f M , x X

c 0 : |fx| c ,x X;iii) f n’est pas bornée si: A 0, x X : |fx| A .

Définition 2 . On appelle borne supérieure ( resp. borne inférieure) de f sur X le plus petitdes majorants (resp. le plus grand des minorants) de Imf, s’il existe, notée

X

sup f ouxX

sup fx ou

sup fX (resp.X

inf f ouxX

inf fx ou inf fX.

Les théorèmes suivants sont vrais:Théorème 1 (d’unicité). Les bornes supérieure et inférieure d’une fonction, si elles existent,

sont uniques.Théorème 2 (d’existence). Toute fonction réelle majorée ( resp. minorée ) admet une borne

supérieure ( resp. une borne inférieure).


——————————————————————————————————-77

III.9. Maximum et minimum d’une fonction. Soit f : X R.Définition . On dit que la fonction f admet une plus grande valeur (resp. une plus petite

valeur ) au point x0 X si :fx fx0 (resp. fx fx0, x X .

Dans ces cas, la valeur y0 fx0 est appelée valeur maximale ( resp. minimale) oumaximum (resp. minimum) absolu de f sur X, notée

y0 fx0 X

max f, ou y0 xX

max fx, ou y0 maxxx0f

(resp. y0 X

min f, ou y0 xXmin fx, ou y0 minxx0

f.

Les valeurs maximale et minimale sont dites extrémums.

III.10. Fonctions injectives, surjectives, bijectives. Soit f : X Y.Définition. On dit que la fonction f est :i injective si x,x X : x x fx fx ;ii surjective si y Y, x X : y fx ;iii bijective si elle est à la fois injective et surjective.

Propriétés. On a les équivalences suivantes:i) f injective x,x X : fx fx x x

y Y, l’équation y fx admet au plus une solution dans X;ii) f surjective Y fX y Y, l’équation y fx admet au moins une solution

dans X ;iii) f bijective y Y, l’équation y fx admet une et une seule solution dans X.

III.11. Fonctions inversibles. Inverse d’une fonction.Définition 1. On dit que la fonction f : X Y R est inversible s’il existe une fonction

g : Y X vérifiant les conditions :

fogy y, y Y et gofx x, x X .

Ces conditions peuvent s’écrire comme suit: fog idY et gof idX où idY et idX sontrespectivement les fonctions identités dans Y et dans X, c’est à dire idXx x, x X etidYy y, y Y.

Théorème. Si la fonction f est inversible de X sur Y, alors la fonction g : Y X vérifiantles conditions de la définition 1 est unique.

Définition 2. La fonction g : Y X de la définition 1) est appelée fonction inverse oufonction réciproque de f : X Y et est notée f1, c’est à dire que:

fof1 idY et f1of idX.

On a y fx, x X x f1y, y Y.

Propriétés. Soient f et h deux fonctions inversibles, alors f1 et h1 sont inversibles et on a1) f11 f;2) f h1 h1 f1.3) f strictement croissante (resp. strictement décroissante) f1 strictement croissante

(resp. strictement décroissante).


——————————————————————————————————-78

III.12. Graphe d’une fonction inverse. Soient Gf le graphe d’une fonction inversible f etGf1 x, f1x , x X le graphe dans le repère cartésien Oxy de son inverse f1 avecf1 : X Y. Dans ce cas, d’après les conditions de la définition 1, on a

x,y Gf1 y f1x, x X x fy, y Y y,x Gf,

c’est à dire que le graphe Gf1 de la fonction inverse f1 est symétrique au graphe Gf parrapport à la première bissectrice d’équation y x. On a:

Gf1 x,y R2 : x X, y f1x x, f1x, x X fy,y : y Y.

Propriété. Si f : X Y et g : Y Z sont inversibles, lors g f : X Z est inversible eton a

g f1 f1 g1.

§ 2. Fonctions usuelles. Fonctions élémentaires.

III.13. Fonctions usuelles.Définition. On appelle fonctions usuelles les fonctions suivantes:1) la fonction puissance ;2) la fonction exponentielle de base a a 0 , a 1;3) la fonction logarithme de base a a 0 , a 1 ;4) les fonctions trigonométriques: sinus, cosinus, tangente et cotangente;5) les fonctions trigonométriques inverses : arcsinus, arccosinus,

arctangente, arccotangente .Notations:1) y x, R;2) y ax a 0, a 1, x R;3) y logax a 0, a 1, x 0;4) i) y sinx, x R,

ii y cos x, x R,iii y tgx, x

2 k k Z,

iv y ctgx, x k k Z;5) i) y arcsin x, x 1,1,

ii y arccos x, x 1,1,iii y arctgx, x R,iv y arcctgx, x R.

III.14. Fonctions élémentaires.Définition . On appelle fonction élémentaire toute fonction réelle obtenue à partir de

fonctions usuelles à l’aide d’un nombre fini d’opérations arithmétiques et de compositions defonctions.

Parmi les fonctions élémentaires, il y a:i) les fonctions rationnelles suivantes:

1) fonction rationnelle entière ou fonction polynômiale

x y Px a0 a1x a2x2 . . . anxn , x R où a0,a1,a2, . . . ,an R


——————————————————————————————————-79

avec an 0, définie sur l’ensemble R où l’expression Px a0 a1x a2x2 . . .anxn estappelée polynôme réel de degré n N qu’on note degP n;

2) fonction rationnelle fractionnaire de la forme

y a0 a1x a2x2 . . . anxn

b0 b1x b2x2 . . . bmxm Px

Qx

avec a0,a1, . . . ,an,b0,b1, . . . ,bm R, an 0, bm 0, définie sur l’ensemble:

D x R : Qx 0;

ii) les fonctions irrationnelles définies comme suit:Définition. On appelle fonction irrationnelle toute fonction y fx, qui n’est pas

rationnelle, obtenue par la composition d’un nombre fini de fonctions rationnelles, de fonctionspuissances avec des exposants fractionnaires et des quatre opérations arithmétiques.

Exemples. 1) y 3 1 x2 , 2 y x x5 2x 3

x2 1.

iii) les fonctions hyperboliques suivantes:1) sinus hyperbolique définie par:

y shx ex ex2

, x R;

2) cosinus hyperbolique définie par:y ch x ex ex

2, x R;

3) tangente hyperbolique définie par:

y th x shxch x

ex e

x

ex ex , x R;

4) cotangente hyperbolique définie par:

y cthx chx

shx

ex ex

ex e

x , x 0.

iv) les fonctions hyperboliques inverses suivantes:

1) argument sinus hyperbolique: .y argshx définie par:

y shx, x R x argshy, y R.

2) argument cosinus hyperbolique:y argchx définie par

y chx , x 0, x argchy , y 1, .

3) argument tangente hyperbolique: y argth x définie par

y thx , x R x argth y , y 1,1 .

4) argument cotangente hyperbolique y argcth x définie par

y cthx , x R x argcth y , y ,1 1,.


——————————————————————————————————-80

Enoncés des exercices du chapitre III.

Exercice 3.1. Dans un triangle ABC (figure 1), de base AC b et de hauteur BD h, estinscrit un rectangle KLMN dont la hauteur est NM x. Exprimer le périmètre p durectangleKLMN ainsi que sa surface S comme fonction de x . Tracer les graphes de p px etS Sx.

Exercice 3.2. Soit un carré de côté a . On mène une droite parallèle à la diagonaleprincipale et coupant le carré comme le montre la figure 2. On désigne par x la distance entre lesommet A et la droite . Exprimer la surface S limitée par le carré et la droite ( en fonctionde x . Tracer son graphe.

Exercice 3.3. Sur la figure 3 est représenté un mécanisme de manivelle. Le rayon du volantest R et la longueur de la bielle est a . Le volant tourne uniformément dans le sens des aiguillesd’une montre en faisant n tours par seconde. A l’instant t 0 , quand la bielle et la manivelleforment une même ligne droite (”point mort”), le patin (A) se trouve au point O . Trouver ladépendance du mouvement x du patin (A) en fonction du temps t .

Dessin


——————————————————————————————————-81

Exercice 3.4. Les formules suivantes définissent-elles des fonctions:1) y x 1

x x ? 2 y x ?

3 y2 x2 1? 4 y x ?

Exercice 3.5. Déterminer le domaine de définition de chacune des fonctions suivantes:

1) y x2

1 x2 ; 2 y 3x x3 ; 3 y |x 1| ;

4 y 2 x x2 ; 5 y x2 x 1 ; 6 y x6 x

;

7 y x 2 1 x1 x

; 8 y x 1 2 1 x x2 1 ;

9 y 1 |x|2 |x|

; 10 y x 12 x

; 11 y logx2 4;

12 y log 2 x2 x

; 13 y log2 log3 log4x; 14 y logsin x ;

15 y lg1 lgx2 5x 16; 16 y 1log1 x

x 2 ;

17 y 34 x2 logx3 x; 18 y logx1x

2 3x 2;

19 y x

sinx; 20 y sin2x sin3x 0 x 2; 21 y 4 logtgx ;

22 y log sinx 3 16 x2 ; 23 y x 31

x 2 log2x 1;

24 y log x 5x2 10x 24

; 25 y cos x2 ;

26 y 1sinx

3 sinx ; 27 y arcsinx 1;

28 y arccos2sinx; 29 y arccos 2x1 x

;

30 y 3 x arccos 3 2x5

; 31 y arcsin1 x lglgx;

32 y x2 1Ex

; 33 y 2x!

Exercice 3.6. Quel est l’image fD de l’ensemble D par la fonction f si:1 fx 2x 5, D 2,2; 2 fx x2, D 1,3 ;3 fx x2 2x 3, D R;4 fx |x|, D x R : 1 |x| 2;5 fx |x 1|, D 0,1; 6 fx x

2x 1, D 0,1;

7 fx x2

x2 1, D R; 8 fx x x2 , D 0,1;

9 fx log3x, D 0,1; 10 fx 1 arctg x , D R;


——————————————————————————————————-82

11 fx x sgnx, D R.

Exercice 3.7. Trouver les ensembles images des fonctions suivantes tout en précisant leursdomaines de définition:

1) y 2xx2 9

; 2 y x 1x ; 3 y x2 4

x ;

4 y 5 2x ; 5 y 1 |x| ; 6 y 8 2x x2 ;

7 y 2x 1 x2 ; 8 y x2 2x 2 ; 9 y logx 3;10 y log1 2cos x; 11 y sin4x cos4x; 12 y sin x ;

13 y 1 2|sin2x|; 14 y ex22; 15 y 4x 2x 1;16 y arccos 2x

1 x2 ; 17 y arcsinlg x10;

18 y arcsin 1 x2

2; 19 y 2arccos1x ; 20 y 1x.

Exercice 3.8. Soit la fonction fu définie pour 0 u 1. Trouver les domaines dedéfinition des fonctions suivantes:

1 y fsinx; 2 y fln x; 3 y fEx.

x .

Exercice 3.9. Soit fx 12ax ax a 0. Démontrer que:

fx y fx y 2fxfy.

Exercice 3.10. Soit f une fonction vérifaint la relation fx fy fz. Déterminer z, si:1) fx ax; 2 fx arctgx |x| 1;

3 fx 1x ; 4 fx log 1 x

1 x.

Exercice 3.11. Trouver x ,x, x , x si:1 x x2 et x 2x; 2 x sgnx et x 1

x ;3) x 1 x et x x2; 4 x x2 et x x ;

5 x 0 si x 0,

x si x 0et x

0 si x 0,

x2 si x 0.

Exercice 3.12. Soit fnx

nfois

ff. . . fx.

Trouver fnx si fx x1 x2

.

Exercice 3.13. Trouver fx si:1) fx 1 x2 3x 2; 2 fx 1

x x2 1x2 ;

3 f 1x x 1 x2 . ; 4 f x

1 x x2.

Exercice 3.14. Décomposer les fonctions suivantes en une chaîne de fonctions usuelles donton précisera les domaines de définition:

1 y sin3x ; 2 y 3 1 x2 ;


——————————————————————————————————-83

3 y 33x22 ; 4 y 1 log2x .

Exercice 3.15. Déterminer les ensembles où les fonctions suivantes s’annulent, sont positiveset négatives:

1 y 2 3x; 2 y 2 x x2; 3 y sin x ;

4 y log 2x1 x

; 5 y x |x|1 x;

6 y 1 exp 1x 1; 7 y Ex ; 8 y 2x1.

Exercice 3.16. Etudier la parité des fonctions suivantes:1 y x x2; 2 y 1 x; 3 y 3x x3;

4 y x3

1 x2 ; 5 y |10 x| |10 x|;

6 y 1 x x2 1 x x2 ; 7 y 3 1 x2 3 1 x2 ;

8 y log2x 1 4x2 ; 9 y log 1 x1 x

; 10 y ax ax a 0;

11 y xax 1

; 12 y ax 1ax 1

; 13 y x. ax 1ax 1

;

14 y sinx cos x; 15 y x sinx; 16 y x2 cos x;17 y sinxtgx; 18 y cosx 1.

Exercice 3.17. Démontrer les propositions suivantes:i toute fonction réelle définie sur l’intervalle l, l , l 0, est la somme d’une fonction

paire et d’une fonction impaire et appliquer le résultat aux fonctions suivantes:1 fx x 13, 2 fx x 3

x4 ,

3 fx sinx 1, 4 fx 1x 1

|x 1|;

ii le produit de deux fonctions paires ou impaires est une fonction paire ;iii le produit d’une fonction paire par une fonction impaire est une fonction impaire.

Exercice 3.18. Parmi les fonctions suivantes indiquer celles qui sont périodiques et calculerleur plus petite période si elle existe:

1 fx A cosx B sinx; 2 fx sinx 12

sin2x 13

sin3x;

3 fx 2tg x2 3tg x

3; 4 fx sin2x;

5 fx sinx2; 6 fx tgx ;7 fx sinx sinx 2 ; 8 fx sin2x sin23x;9 fx sin4x 5sin6x; 10 fx tgx sinx;11 fx sincos x; 12 fx cossinx;13 fx sin4x cos4x; 14 fx log 1 sinx

1 sinx;

15) fx Ex; 16 fx x Ex;17) fx sin 2 .x 1 ; 18 fx tg x .

Exercice 3.19. Démontrer que pour la fonction de Dirichlet définie par:

fx 1 si x Q ,

0 si x Q,

tout nombre rationnel est une période. Admet-elle une plus petite période?


——————————————————————————————————-84

Exercice 3.20. Démontrer que la somme et le produit de fonctions périodiques, définies surun même ensemble et dont les périodes sont rationnelles, sont périodiques. Que peut-on dire siles périodes ne sont pas rationnelles?

Exercice 3.21. Etudier la monotonie des fonctions suivantes dans les intervalles indiqués:1 y tgx, x

2,

2; 2 y sinx, x

2,

2;

3 y x2, x R et x R; 4 y cos x 0 x ;5 y ctgx 0 x .

Exercice 3.22. Déterminer les intervalles de monotonie des fonctions suivantes:1 y x ; 2 y |x| x; 3 y chx;

4 y x3 ; 5 y ax bcx d

; 6 y logx x2 1 ;

7 y logx10; 8 y ln4x x2; 9 y lg1 x3;10 y ax a 0 ; 11 y 21x 2x1; 12 y sinx;13 y 2x sinx; 14 y cos x; 15 y tgx ;16 y ctgx.

Exercice 3.23. Soient f,g deux fonctions réelles définies sur un même ensemble X de R.Montrer que:

i) si f et g sont croissantes (resp. décroissantes) sur X, alors f g est croissante(resp. décroissante) sur X;

ii) si f 0, g 0 et si toutes les deux sont croissantes ou décroissantessur X, alors f.g est croissante;

iii) si f 0, g 0 et si l’une est croissante, l’autre décroissante,alors f.g est décroissante;

iv) si f est croissante (respectivement décroissante) et strictement positivesur X, alors 1

fest décroissante (respectivement croissante) sur X.

Exercice 3.24. Soient f,, trois fonctions strictement croissantes. Démontrer que

x fx x x ffx x. ,

Exercice 3.25.i) Etudier si les fonctions suivantes sont majorées, minorées, bornées ou non:

1) fx 1 x2

1 x4 sur R; 2 fx logx. sin2 x sur 0,a a 0.

ii) Trouver les inf f, sup f ainsi que max f, min f s’il existent des fonctions suivantes:1 fx x2 sur 2,5; 2 fx 2x

1 x2 sur 0,;

3 fx 11 x2 sur R; 4 fx x 1

x , x 0,;

5 fx 4sin2x 12sinx 5; 6 fx cos x1 cos x

;

7 fx tg2x ctg2x; 8 fx cos x. tgx;9 fx arctg|x|.


——————————————————————————————————-85

Exercice 3.26. Montrer que la fonction y 1x cos 1

x n’est bornée dans aucun voisinage dex 0 et n’est pas infiniment grande.

Exercice 3.27. On considère la fonction f définie par: fx cos x Ecos x.i Montrer que cette fonction est bornée inférieurement et supérieurement. Les deux bornes

sont-elles atteintes?ii Tracer son graphe .

Exercice 3.28. Soient f et g deux fonctions réelles bornées sur une partie X de R. Montrerque:

1)xX

sup fx gx xX

sup fx xX

sup gx;

2)xX

sup fx xX

inf gx xX

sup fx gx;

3) si f et g sont positives sur X, alors:i)

xX

sup fx.gx xX

sup fx.xX

sup gx;

ii)xX

sup fx.xX

inf gx xX

sup fx.gx;

4) si f est strictement positive sur X, alors:i)

xX

sup 1fx

1

xX

inf fx

xX

inf fx 0; ii)xX

inf 1fx

1

xX

sup fx.

Exercice 3.29. Déterminer les fonctions inverses des fonctions suivantes si elles existent etainsi que leurs domaines de définition:

1 y 2 3x, x R;2 y x2 sur: i x 0, ii 0 x ;3 y x2 sur R;4 y 1 x2 sur: i 1 x 1, ii 1 x 0, iii 0 x 1;5 y x

1 x; 6 y x 1

x 1x 1; 7 y 1 3 x ;

8 y 1 x3; 9 y x si x 0 ,

2x si 0 x ;

10 y shx ex ex2

, x ; 11 y

x si - x 1 ,

x2 si 1 x 4 ,

2x si 4 x .

Exercice 3.30. Démontrer que les fonctions suivantes sont mutuellement inverses :1 fx 1

x 2, x 2 et gx 2x 1

x , x 0;

2 fx x2 1, x , 0 et gx x 1 , x 1,;

3 fx e1 x2

2 , x 0, et gx 1 2 ln1 x , x e , 0;

4 fx ln ex 1ex 1

, x 0; et gx fx;

5 fx sinx, x 2

, 32

et gx arcsin x, x 1,1;


——————————————————————————————————-86

6 fx tgx, x , 0, x 2

et gx arctgx , x 0

arctgx, x 0.

Exercice 3.31. Soit un une suite récurrente définie par u1 X R, u1 donné etun1 fun, n 1 avec f une fonction définie de X dans X, fX X.

i) Montrer que si f est croissante sur X, alors:a) la suite un est croissante si u2 u1 0,b) la suite un est décroissante si u2 u1 0.

ii) Montrer que si f est décroissante sur X, alors la quantité un1 un est alternativementpositive et négative.

iii) Tracer le graphe de la suite un pour chacun des cas en supposant qu’elle converge versune limite finie R.

Exercice 3.32. Calculer :1 sin13/12 ; 2 tg11/12; 3 ctg17/12 ;4 sin34/3 ; 5 tg15/4 .

Exercice 3.33. Simplifier les expressions suivantes:

1sin219 0,5 sin20,5 17,5. sin0,5 3

cos3/2 0,5. tg0,5 2,5;

2 sin a3. cos a

3. cos2 a

3 sin2 a

3 ;

3 sin2b sinb1 cos 2b cos b

; 4 cos 2cot21 tan21

.

Exercice 3.34.En faisant le changement de variable : t tgx/2 , calculer les expressions suivantes:1 2cos x

1 sinx cos x; 2 1 sinx cos x

1 2sinx cos x; 3 1 sinx 2cos x

tgx ctgx .

Exercice 3.35. Mettre sous forme de produits les expressions suivantes:1 sin2x sin 2y ;2 cos x cos 2x cos 3x cos 4x ; 3 sinx sin2x sin3x sin4x .

Exercice 3.36. Calculer:1 cos 2a si tga 1

3; tan a 1

3; 2 sin2a si tga 2;

3 ctg2a si tga 5 .

Exercice 3.37.i) Calculer k1

n sinkx et k1n cos kx.

ii) Démontrer l’inégalité:

sink1

n

xk k1

n

sinxk 0 xk , k 1,2, . . . .

En déduire l’inégalité: |sinnx| n sinx .

Exercice 3.38. Démontrer que l’expression a sinx bcos x peut s’écrire sous la forme :


——————————————————————————————————-87

A cosx où A a2 b2.

Exercice 3.39. Calculer:1 sinarcsin1/2 /2; 2 tg arccos 3 /2 arcsin1 ;3 arcsinsin7/3; 4 arctgtg13/4;5 arcsincos107/4; 6 arccoscos 23/6.

Exercice 3.40. Résoudre les équations suivantes:1 6sin2x 5sinx 1 0 ; 2 6cos2x 5sinx 5 0 ;3 cos 2x sinx 0 ; 4 tgx 2ctgx 3 ;5 3sin2x 4sinx cos2x 0 ; 6 sin2x sin2x 0 ;7 7x2 3 49 ; 8 5x22x1 25 ;9 6x1 35.6x1 71 ; 10 4x 5.2x 4 0 ;11 log2x

2 4x 3 3 ; 12 log52x 3 log5x 1 ;13 logxx

2 2x 2 1.

Exercice 3.41. Résoudre les inégalités suivantes:

1 |x 3| |x 2| 1 ; 2 2x 1x 1

x 12x 1

2 ;

3 cos2x 5cos x 6 0 ; 4 543x1 64

125;

5 5. 5x2 . 0,2x 2 ; 6 x2 4x 3 |2 3x| ;7 log 1

3x2 2x 3 0 ; 8 logxx

2 2x 0 ;

9 log 12tgx log 1

2ctgx; 10 1

3tgx 4ctgx 4

3;

11 cos2x 23

sinx 0 .

Exercice 3.42. Etablir les formules suivantes:1 x 1,1, cosarcsin x sinarccos x 1 x2 ;2 x 1,1, arcsin x arccosx

2;

3) x 1,1, arccos x arccosx ;4) arcsin x arcsin y 1 arcsin x 1 y2 y 1 x2 ,

|x| 1, |y| 1 avec 0 si xy 0 ou x2 y2 1,

sgnx si xy 0 et x2 y2 1;

5) arccos x arccos y 1 arccos xy 1 x2 . 1 y2 2,

|x| 1, |y| 1 avec 0 si x y 0,

1 si x y 0;

6 x R , cosarctgx sinarcctgx 11 x2

;

7 x R, arctgx arcctgx 2

;

8 x R, sinarctgx cosarcctgx x1 x2

;

9) x 1,1R, tg(arcsin x x1 x2

;

10 arctg x arctg y arctgx y1 xy

si xy 1 ;


——————————————————————————————————-88

11 arctg x arctg y arctgx y1 xy

avec x,y 1,0,1;

12) x 0, arctg x arctg 1x sgnx

2;

13 arctg1 x arctg x arctg 11 x x2 si x 0;

Exercice 3.43. Préciser dans quels intervalles, les relations suivantes sont vraies?1 arctg x arcctg 1

x ; 2 arctg x arcctg 1x ;

3 arctg x arctg 1 arctg 1 x1 x

; 4 arctg x arctg 1 arctg 1 x1 x

;

5 arccos 1 x2

1 x2 2arctg x; 6) arccos 1 x2 arcsinx;

7) arccos 1 x2 arcsinx; 8) tgarccos x 1 x2

x ;

Exercice 3.44. Simplifier les expressions suivantes tout en précisant le domaine dedéfinition:

1 cos2arccos x ; 2 sin3arcsin x; 3 sin2 12

arccos x;

4) arcsin2x 1 x2 ; 5 arcsin2x2 1; 6) tg2arccos x;

7 arcsin 1 sinx2

; 8 arctg 1 x2 x ; 9) arctg1 x2 1

x ;

10 arctg 1 cos x1 cos x

; 11 sinarccos x 2arctgx; 12) tgarcsin x arctgx.

Exercice 3.45.i) Résoudre les équations suivantes:1 arcsin x arcsin 4

5 arcsin 5

13; 2arccos x arcsin 1

3 arccos 1

4;

3 2x arcsin2 tgx

1 tg2 x; 4 arctg 2x arctg x

4;

5 arccos 1 x2 arcsin x; 6arcsin x 2arctgx;7arcsin x arccos x 2arctg2x

2; 8) arcsin2x arcsinx 3 arcsin x.

ii) Montrer que l’équation suivante admet une solution unique

arctgx 1 arctgx arctg1 x 0.

iii) Résoudre l’équation

arctgx 1 arctgx arctg1 x 2

.

Exercice 3.46.i) Calculer la limite

nlim cos an.

ii) Montrer que les suites un sinn et vn cos n divergent.iii) Etudier la nature des suites:

a) wn tgn ind. tgn 1 tgn tg1

1 tgntg1;

b) zn k1

n

1 12k (indication: utiliser x 0, log1 x x.

Exercice 3.47.


——————————————————————————————————-89

i) Calculer: 1 arctg1/2 arctg1/5 arctg1/8 ;2 1 ch x ch 2x . . . ch nx ; 3 shx sh2x . . . shnx.

ii) Montrer que:1) x R, n Z, chx shx

nchnx shnx;

2) x R, n Z, chx shxnchnx shnx.

iii) A l’aide de la formule du binôme, montrer que:

1) ch(mx k0

m

Cmk chmkx. shkx k 0 mod 2;

2) sh(mx k0

m

Cmk chmkx. shkx k 1 mod 2.

iv) Linéariser: 1) ch4x; 2 sh2x; 3 ch5x.

Exercice 3.48. Démontrer les formules suivantes:1 arg shx log x x2 1 , x R ;

2 argchx log x x2 1 , x 1;

3 argthx 12

log 1 x1 x

, 1 x 1 ;

4 argcth x 12

log 1 x1 x

, |x| 1 .

Exercice 3.49. Montrer que x R, sh3x 3chx 4sh3x. En déduire quearg sh3x 4x3 3arg shx.

Exercice 3.50. Etablir les formules:1) x R, chargshx 1 x2 ; 2) x 1, shargchx x2 1 ;

3) x R, chx 1

1 th2x

; 4) x R, shx thx

1 th2x

.

Exercice 3.51. Simplifier les expressions suivantes tout en explicitant le domaine dedéfinition:

1) argch2ch2x 1; 2 argch 1 ch x2

; 3) ch2argthx;

4) sh 12

argchx; 5) log1 thx

1 thx; 6 th(argshx.

Exercice 3.52 Connaissant les graphes des fonctions usuelles, tracer ceux des fonctionssuivantes:

1 y 2x2 4x 5; 2 y 2x x2 2; 3 y x1 x

x R,x 0;

4 y y0 ax x02 avec: i) a 0, ii) a 0 ;5 y y0 k

x x0x0,y0 R avec: i) k 0 , ii) k 0 ;

6 y Ex, x R; 7 y 4 x2 ; 8 y 9 x2 ;


——————————————————————————————————-90

9 y x Ex; 10 y sgnx

1 si x 0

0 si x 0

1si x 0

;

11 y |x 1|; 12 y sgnx2; 13 y |x2 1| 2;

14 y 2 |x| 1; 15 y 12x 1

; 16 y log3x2 1;

17 y log1/2|x 3|; 18 y cos x |sinx|; 19 y sinarcsin x;20 y arcsinsinx; 21 y cosarccos x; 22 y arccoscos x;23 y log sinx ; 24 y 1 sinx sinx ;25) y |arctgx 1| ; 26 y x sgncos x ; 27 y sin2 x

2;

28 arcsinsin2x.

Exercice 3.53. Représenter le graphe d’une suite convergente:nlim xn x.

Exercice 3.54. Sur un axe d’origine O, on considère les points A,B,I,J, d’abscissesrespectives -3,3,1,9. Désignons par x l’abscisse d’un point M quelconque de l’axe.

i Soit f l’application de R vers R telle que fx MA 2MB. Représenter graphiquement f.

ii Démontrer que l’un des rapportsfxMI

oufxMJ

reste constant lorsque x varie.

Exercice 3.55. Représenter sur le plan Oxy l’ensemble des points x,y vérifiant les relationssuivantes:

1 xy 0 ; 2 |x| |y| 1 ;3 ||x| |y|| 1 ; 4 |x y| |x y| 1 .

Exercice 3.56. Construire les graphes des fonctions implicites suivantes:1 x2 xy y2 1 (ellipse) ; 2 x y 1 (parabole);3 x2/3 y2/3 4 astroide) ; 4 sinx siny ;5 x |x| y |y| .

Exercice 3.57. Construire les graphes des fonctions y yx définies paramétriquement:1 x 1 t , y 1 t2 ; 2 x t 1

t , y t 1t2 ;

3 x cos 10t , y sin t (ellipse) ; 4 x ch t , y sh t ;5 x 2t sin t , y 21 cos t .

Exercice 3.58. Construire les graphes des fonctions , données en coordonnées polaires:r r ,

1 r (Spirale d’Archimède) ; 2 r

( spirale hyperbolique) ;

3 r 21 cos (cardioïde) ; 4 rr 1

r 1 ;

5 2 sin r.


——————————————————————————————————-91

Réponses aux exercices du chapitre III.

Exercice 3.1. Px 2b 21 bhx 0 x h;

Sx bx1 xh 0 x h.

Exercice 3.2. Sx a2 x2 si 0 x a

22

,

a 2 x2 si a22 x a 2 .

Exercice 3.3. x R1 cos a a2 R2 sin2 , 2nt, n N.Exercice 3.4. 1) non; 2) non; 3) non; 4) oui, Df 0.Exercice 3.5.1) R; 2 , 3 0, 3 ; 3 R; 4 1,2; 5) R; 6 0,6;7 1,1; 8 1; 9 , 21,1 2,; 10 2,0;11) ,22,; 12 2,2; 13 4,;14) 1

2k 1 x 1

2ket 1

2k 1 x 1

2k 2, k N;

15) 2,3; 16 2,00,1; 17 1,01,22,;18) 1,00,12,; 19 0,1,2,3, . . . ;20) 0,

3 4

3, 3

2 2; 21 k

4,k

2, k Z;

22) 3 2, 3 3,4; 23 32

,22,;24) 4,56,;25 0 |x|

2, 4k 1

2 |x| 4k 1

2, k N;

26 2k, 2k 1, k Z;27) 0,2; 28 k

6,k

6, k Z;

29) 13

,1; 30 1,3; 31 1,2; 32 , 01,;

33) n2

, n N.

Exercice 3.6.1) 9,1; 2 1,9; 3 4,; ; 4 1,2; 5 0,1; 6 R 0,1;7 0,1; 8 0, 1

2; 9 , 0; 10 1

2, 1

2; 11 R 1,1.

Exercice 3.7.1) R, 1

3, 1

3; 2 R, ,2 2,; 3 R, 4 4,;

4 , 52, 0,;

5 1,1, 0,1; 6 4,2, 0,3; 7 1, 0; 8 R, 1,;9 3,, R; 10

3 2k, 5

3 2k k Z, , log3;

11 R, 12

,1; 12kN

42k2, 2k 122, 0,1; 13 R, 1,1;

14 R, e2,; 15 R, 34

,; 16 R, 0,;

17 1,100, 2

, 2; 18 1,1, 0,

4;

19 0,2, 1,2; 20p

2q 1, p,q Z , 1,1.

Exercice 3.8. 1) 2k, 2k 1, k Z; 2 1,e; 3 R N.


——————————————————————————————————-92

Exercice 3.10. 1) z x y; 2 z x y1 xy

; 3 z x.yx y ; 4 z x y

1 xy.

Exercice 3.11. 1) o x4, o 2x2, o 22x, o 22x

;2 o sgnx, o o sgnx, o x x 0;3 o x, o 1 x2, o 1 x2, o x4;4 o x4, o |x|, o x, o x ;

5 o , o , o 0, o 0.Exercice 3.12. fnx x

1 nx2, n 1,2, . . .

Exercice 3.13. 1 fx x2 5x 6; 2 fx x2 2, |x| 2;

3 fx 1 1 x2

x ; 4 fx x1 x

2.

Exercice 3.14.1 x t sinx y t3 sin3x;2 x t 1 x2 y 3 t 3 1 x2 ;3 x t 3x 22 y 3t 33x22 ;4 x t logx s 1 t2 y s 1 log2x .

Exercice 3.15. 1 23

, 23

,, , 23;

2) 1,2, 1,2, ,12,;3) 1

n , n Z ,nZ 1

2n 1, 1

2n,

nZ 1

2n 2, 1

2n 1;

4) 1, ,1, 0,1; 5) , 0 1, 0,1, 1,;6) 1, , 01,, 0,1; 7) 0,1, 1,, , 0; 8) , R, .Exercice 3.16. 1) ni paire, ni impaire; 2) ni paire, ni impaire; 3) impaire;4) impaire; 5) impaire; 6) impaire; 7) paire; 8) impaire; 9) impaire; 10) paire;11) ni paire, ni impaire; 12) impaire; 13) paire; 14) ni paire, ni impaire; 15) impaire;16) paire; 17) paire; 18) ni paire, ni impaire.Exercice 3.17. 1) 3x2 1 x3 3x; 2 3

x4 1x3 ;

3) cos x sin1 sinx cos 1; 4 1x2 1

xx2 1

.

Exercice 3.18. 1) T 2 ; 2) T 2; 3) T 6; 4) T ;

5) non périodique; 6) T ; 7) non périodique; 8) T ;9) T ; 10 T 2; 11) T 2; 12 T ; 13) T

2;

14 T 2; 15) non périodique; 16) T 1; 17 T 2

; 18 non périodique.

Exercice 3.19. Non.Exercice 3.21. 1) Croissante; 2) croissante;3) croissante sur R et décroissante sur R; 4) décroissante; 5) décroissante.Exercice 3.22. 1) décroissante sur R, croissante sur R;2) décroissante sur R, constante sur R; 3) décroissante sur R,

croissante sur R; 4) croissante sur R,5 si ad bc 0, croissante sur , dc et d

c ,;6) croissante sur R; 7) décroissante sur 0,1, croissante sur 1,;8) croissante sur 0,2, décroissante sur 2,4; 9) croissante sur 1,;10) croissante sur R si a 1, décroissante sur R si 0 a 1;11) décroissante sur R,12) croissante sur

2,

2 mod 2, décroissante sur

2, 3

2 mod 2;


——————————————————————————————————-93

13) croissante sur R;14) croissante sur , 0 mod 2, décroissante sur 0, mod 2;15) croissante sur

2,

2 mod; 16) décroissante sur 0, mod.

Exercice 3.25. i) 1) bornée; 2) majorée et non minorée.ii) 1) sup max 25, inf min 4;2) sup max 1, inf min 0; 3) sup max 1, inf 0, min n’existe pas.4) sup , inf min 2. 5) sup max 21, inf min 3;6) sup max 1

2, inf ; 7) sup , inf min 2;

8) sup 1, inf 1; 9) sup max 2

, inf min 0.

Exercice 3.29. 1) y x 23

, R; 2 i y x , ii y x ;

3 n’est pas inversible;4) i) n’est pas inversible, ii) y 1 x2 , x 0,. iii y 1 x2 , x 0,15) y x

1 x, R 1; 6 y x 1

x 1, R 1; 7 y 1 x3, R;

8) y 1 3 x , R; 9) y x si x 0, y x2

si x 0;

10) y logx x2 1 , R;11) y x si x 1, y x si 1 x 4, y log2x si x 4.

Exercice 3.32. 1)2 6

4; 2 3 2; ,3 2 3 ,4 3

2, 5 1.

Exercice 3.33. 1) tg0,5; 2 14

sin 4a3

; 3 tgb; 4 14

sin22.

Exercice 3.34. 1) 1 t; 2 1 t1 2t

; 32t1 t21 t3 t

1 t23.

Exercice 3.35. 1) sinx y sinx y; 2 4cos x2

cos x cos 5x2

;

3 4cos x2

cos x sin 5x2

.

Exercice 3.36. 1) 45

; 2 45

; 3 125

.

Exercice 3.37. i)cos x

2 cosn 1

2x

2sin x2

; iisinn 1

2x

2sin x2

12

.

Exercice 3.39. 1 32

; 2 3 ; 3 3

; 4 4

; 5 4

; 6 6

.

Exercice 3.40. 1 x 1k 6 k ,x 1k arcsin 1

3 k k Z;

2 x 2 2k k Z;

3) x 1k1 16 k et x 1

2 2k;

4 x arctg 2 k k Z, x 4 2k;

5 x arcsin1 22 2k

ou x 2k 1 arcsin1 22 k Z; 6 x k, x arctg 2 k k Z;

7 x 83

; 8 x 3, x 1; 9 x 1; 10 x 0;

11 x 1 ,x 5; 12 pas de solution; 13 x 2.Exercice 3.41. 1 x 0; 2 x 2; 3 pas de solutions;4 x 2

3; 5 x log54;

6 x 2 24

ou2 2

4 x 1 x 3;


——————————————————————————————————-94

7 1 5 x 1 ou 3 x 1 5 ;8 2 x 1 2 ; 9 n x

4 n n Z;

10 k arctg 2 x k arctg 6 k x 2 k k Z

11 arcsin1 10

3 k x arcsin

1 103

2k k Z .

Exercice 3.43. 1 x 0; 2 x 0; 3 x 1; 4 x 1; 5 x 0;6 0 x 1; 7 1 x 0; 8 1,1 0.

Exercice 3.44. 1) 2x2 1, x 1,1; 2) 3x 4x3, x 1,1;3) 1 x

2, x 1,1;

4) y 2arcsin x si 1 x 22

, y 2arcsin x si 2

2 x 2

2,

y 2arcsin x si22 x 1;

5) , y 2 2arccos x si 0 x 1, y 2arccos x 3

2si 1 x 0;

6)2x 1 x2

2x2 1, x 1,1; 7)

4 x

2; x R;

8) 12

arctgx, x R; 9) y arctgx

2, x 0;

10) y x2

si x 0, mod 2, y x2

si x , 2 mod 2;

11) y 1 x3 2

1 x2 , x 1,1;

12) y x1 1 x2

1 x2 x2, x 1,1.

Exercice 3.45. i) 1 x 6365

; 2 x 2 2 1512

; 3 x 0;

4 x 34 1

417 ; 5 x 0, x 1; 6 x 0,x 1, x 1;

7 x 0, x 32

; 8) x 0. iii) x 2,0,2.

Exercice 3.46.i) 0 si a k, 1 si a 2k, n’existe pas si a 2k 1, k Z;ii) diverge; iii) a) diverge, b) converge.

Exercice 3.47. i) 1) 4

; 21 ch x ch nx chn 1x

21 ch x;

3shx shx shn 1x

21 ch x.

iv) 1) ch4x 38 ch2x

2 ch4x

8; 2 sh2x ch2x 1 1

2Exercice 3.51. 1) 2x, x R; 2) x

2si x 0, x

2si x 0;

3) 1 x2

1 x2 , |x| 1; 4) x 12

, x 1; 5) x ; 6 x1 x2

, x R.


——————————————————————————————————-95

Corrigés détaillés de certains exercices.

Exercice 3.5.

7) y x 2 1 x1 x

. Le domaine de définition est

D x R : 1 x1 x

0,1 x 0 .

On a 1 x1 x

0 1 x1 x 0

1 x 0 1 x 1. Donc D 1,1.

14) y logsin x . Le logarithme existe si sin x 0. Cette inégalité a lieu si2k x 2k 1 , k 0,1,2, . . . En simplifiant par , on obtient

2k 1x 2k 1 k 0,1,2, . . .

Discutons ces inégalités en fonction de k Z.Pour k 0, on a: 0 1

x 1 1 x .

Pour k 1,2, . . . on a 12k 1

x 12k

.

Pour k 1,2, . . . on a 12k x 1

2k 1.

En regroupant ces différents résultats, on obtient finalement:1

2k 1 x 1

2kou 1

2k 1 x 1

2k 2, k N.

18) y logx1x2 3x 2. La fonction est définie si:

x 1 0

x 1 1

x2 3x 2 0

x 1

x 0

x 1 2 x

.

Ces dernières relations montrent que l’ensemble de définition estD 1,0 0,1 2,.

19) y x

sinx. La fonction est définie si

x 0

x kk 0,1,2, . . . D’où il découle que

x 0

x kk 0,1,2, . . . x 0 et x n.

C’est à dire que D R N.

20) y sin2x sin3x 0 x 2. On a

D x 0,2 : sin2x 0, sin3x 0

et, en général

sin2x 0

sin3x 0

2k 2x 2k, k Z2k 3x 2k , k Z,


——————————————————————————————————-96

k x 2k 1

2, k Z

2k 3 x 2k 1

3, k Z.

D’après la condition donnée 0 x 2, on déduit que k 0 ou k 1 ou k 2 et k 0ou k 1 ou k 2 ou k 3.

En combinant les différentes valeurs de k et k , on déduit que pour la restriction x 0,2,le domaine est alors D 0,

3 4

3, 3

2 2.

22) y log sinx 3 16 x2 . On a

D x R : sinx 3 0 et 16 x2 0 .

et, en général

sinx 3 0

16 x2 0

2k x 3 2k,

x2 16

3 2k x 3 2k

|x| 4.

avec k Z. Comme pour l’exercice 3.5, 20), la condition |x| 4 implique que k 0 ouk 1.

Pour k 0 :3 x 3

4 x 4 3 x 4.

Pour k 1 :3 2 x 3

4 x 4 3 2 x 3 .

Alors domaine de définition de la fonction est l’ensemble D 3 2, 3 3,4.

23) y x 31

x 2 log2x 3.

On a D x R : x 0, x 2 0 et 2x 3 0 . D’ou

x 0

x 2 0

2x 3 0

x 0

x 2

x 32

x D 32

,2 2,.

26) y 1sinx

3 sinx . On a D x R : sinx 0 et

sinx 0 2k x 2k, k Z.

D kZ 2k, 2k 1.

28) y arccos2sinx. On a D x R : 1 2sinx 1 et1 2sinx 1 1

2 sinx 1

2En résolvant cette double inégalité,on trouve

6 k x

6 k k 0,1,2, . . . ,


——————————————————————————————————-97

c’est à dire que

D kZ

6 k, 6 k.

33) y 2x! La fonction est définie si 2x n N, c’est dire dansD n

2, n N .

Exercice 3.6.

7) y x2

x2 1, D R. On a: x R, 0 x2 x2 1 0 y x2

x2 1 1. C’est à

dire fR 0,1.Montrons que 0,1 fR, c’est à dire que f est surjective de R sur 0,1. Soit y 0,1,

montrons qu’il existe x R tel que y fx. On a

y x2

x2 1 x2 y

1 y 0, car 0 y 1,

donc y 0,1, il existe au moins x R tel que y fx. Ansi fD 0,1.

11) y x sgnx, x R. On a

y x sgnx

x 1 1 si x 0,

0 si x 0,

x 1 1 si x 0.

Il est évident que R, x sgnx 1.D’où y R 1,1, c’est à dire fR R 1,1. De même, comme dans 7), on

montre que fR R 1,1.

Exercice 3.7.1) y 2x

x2 9. La fonction est définie sur D R. On sait que a,b R la relation

suivante est vraie:a2 b2 2ab a2 b2.

Nous avons y 2xx2 9

13

. 2.x. 3x2 32 Ce qui implique que

13

. x2 32

x2 32 13

2.x. 3x2 32

13

. x2 32

x2 32 ,

et 13 y 1

3, donc fR 1

3, 1

3. Comme pour l’exercice 3.6. 7), on montre que la

fonction est surjective de R sur 13

, 13. Ainsi Im f 1

3, 1

3.

6) y 8 2x x2 . Le domaine de définition est le segment 4,2 et y4 y2 0.La fonction y 8 2x x2 9 x 12 0 prend la plus grande valeur si x 1 0,c’est à dire si x 1. Comme on a y1 3, . alors 0 y 3 et f4,2 0,3. Commepour l’exercice 3.6. 1), on montre que la fonction est surjective de 4,2 sur 0,3 .

10) y log1 2cos x. La fonction est définie si

1 2cos x 0 cos x 12

3 2k x 5

3 2k, k Z.


——————————————————————————————————-98

Donc le domaine de définition est DkZ

3 2k, 53 2k. Sur ces intervalles, on a:

0 1 2cos x 3 y log3, donc fD , log3. Comme pour l’exercice 3.6.7), on montre que la fonction est surjective de D sur , log3. Ainsi Im f , log3

11) y sin4x cos4x sin2x cos2x2 2sin2x. cos2x 1 12

sin22x est définie sur

D R. Il est facile de montrer que 12 y 1 1

2sin2x 1. Donc fR 1

2,1 . Comme

pour l’exercice 3.6. 7), on montre que la fonction est surjective de R sur 12

,1.Ainsi

Im f 12

,1.

15) y 4x 2x 1. Le domaine de définition est D R et la fonction peut s’écrire :y 2x 1

22 3

4.

Pour x 1, y 34

. Alors x R, y 34

, c’est à dire que 34 y .

Donc fR 34

,. Comme pour l’exercice 3.6. 7), on montre que la fonction est

surjective de R sur 34

,. Ainsi Im f 34

,.

17) y arcsinlg x10. Domaine de définition: D x R : 1 lg x

10 1, x 0. Ce

qui donne

101 x10 10.

D’où la fonction est définie sur le segment D 1,100. D’autre part, on a1 x 100 1

10 x

10 10 1 lg x

10 1. Et comme la fonction arcsin est

définie de 1,1 sur 2

, 2

, alors 2 y

2. Donc

f1,100 2

, 2

. Comme pour l’exercice 3.6. 7), on montre que la fonction est

surjective de 1,100 sur 2

, 2

.

Exercice 3.8.1) y fsinx. Puisque la fonction fu est définie pour 0 u 1 , alors f est définie surD x R : 0 sinx 1 et 0 sinx 1 2k x 2k, k Z,donc D

kZ

2k, 2k 1.

3) y fEx

x . Comme dans l’exemple précédent la fonction est définie si

0 Exx 1 et x 0. Comme x R, Ex x Ex 1, alors si x 0, on aurait

Exx 1, donc x 0. D’autre part 0 Ex x x n,n N. Ainsi le domaine de

définition de cette fonction est l’ensemble des réels x 0 et x n, n N, c’est à direD R N.

Exercice 3.12. On a, pour n 1 : f1x fx x1 x2

. Cherchons d’abord la formule

de récurrence. Pour n 2, on a:


——————————————————————————————————-99

f2x ffx f x1 x2

x1 x2

1 x1 x2

2

x1 x2

1 x2

1 x2

x1 2x2

.

Supposons que fnx x1 nx2

et démontrons que fn1x x1 n 1x2

.

On a:

fn1x ffnx fnx

1 fn2x

x1 nx2

1 x2

1 nx2

x1 n 1x2

.

Donc n N : fnx x1 nx2

.

Exercice 3.13.2) fx 1

x x2 1x2 , x 0. Posons x 1

x z . On a |z| 2,x R. D’où l’on

trouve quex2 2 1

x2 z2 x2 1x2 z2 2.

Alors on obtient fz z2 2, |z| 2 et en remplaçant z par x on trouve quefx x2 2.

Exercice 3.14. On a

R R R R

xf1 t f1x 1 x

f2 s f2t t2 1 x2f3 f3s 3 s 3 1 x2 ,

c’est à dire que fx f3f2f1x f3of2of1x.

Exercice 3.15.5) fx x |x|1 x.a) fx 0 x |x|1 x 0 x |x| 0 ou 1 x 0. D’ou x 0 ou x 1.

b) fx 0 x |x|1 x 0 x |x| 0 et 1 x 0

ou x |x| 0 et 1 x 0.

Pour le premier système des inégalités , on trouve 0 x 1 et pour le deuxième , il n’y a pasde solutions . Ainsi fx 0 si 0 x 1.

c) fx 0 x |x|1 x 0 x |x| 0 et 1 x 0

ou x |x| 0 et 1 x 0.

Pour le premier système des inégalités, on trouve : x 0 et x 1. Ce qui implique quex 1 et pour le deuxième, il n’y a pas de solutions. Ainsi fx 0 si 1 x .

Exercice 3.16.8) y log2x 1 4x2 La fonction est définie sur R. Alors on a:

fx log2x 1 4x2 log 1 4x2 2x log 1 4x2 4x2

1 4x2 2x


——————————————————————————————————-100

log 11 4x2 2x

log2x 1 4x2 fx f est une fonction impaire.

13) fx x. ax 1ax 1

. La fonction est définie sur R. On a:

fx x ax 1ax 1

x. 1 ax

1 ax x. ax 1ax 1

fx

donc f est une fonction paire.

Exercice 3.17. i)

1 fx x 13. Soient x fx fx2

et x fx fx2

. Alors il est facile

de voir que x est paire, x, impaire et x x fx. On a:x 1

2x 13 x 13 1

26x2 2 3x2 1 et

x 12x 13 x 13 1

22x3 6x x3 3x.

Donc fx x 13 x x.

Exercice 3.18.1) fx A cosx B sinx, x R. On a: ,fx T fx A cosx T B sinx T A cosx B sinx 0 Acosx T cosx Bsinx T sinx 2A sin 2x T

2. sin T

2 2B cos 2x T

2. sin T

2

sin T2

. 2A sin 2x T2

2B cos 2x T2

0, x R

sin T2 0 T

2 k k 0,1,2, . . . T 2k

.

Alors la plus petite période correspond à la valeur k 1. Donc T 2 .

3) y 2tg x2 3tg x

3. Pour tout x du domaine de définition de la fonction et pour T 0

nous avons :fx T fx 2tg x T

2tg x

2 3tg x T

3tg x

3

2sin T

2cos x T

2cos x

2

3sin T

3cos x T

3cos x

3

0.

Cette équation est vraie pour tout x appartenant au domaine de définition de la fonctiondonnée si et seulement si sin T

2 0 et sin T

3 0. Donc T 2n et T 3m n,m N et

alors2n 3m n

3 m

2 k N n 3k, m 2k.

c’est à dire que T 6k k 0,1,2, . . . . La plus petite période strictement positive est égaleà 6.

5) y sinx2.Il est facile de voir que x1 k et x2 k 1 k 0,1,2, . . . sont deux racines

successives de f. La distance entre deux racines est égale àx2 x1 k 1 k

k 1 k k 0.

D’où f n’est pas une fonction périodique. En effet si f était périodique de période T et x est


——————————————————————————————————-101

une racine de f, alors, on aurait

n N, fx nT fx 0.

Donc la suite xnn, où xn x nT, formée de racines de f, contredit (*) car n 1,xn1 xn T constante.

10) y tgx sinx. Sachant que la fonction sinus est périodique, de période 2, et la fonctiontangente de période , alors on a

fx 2 tgx 2 sinx 2 tgx sinx fx.Ainsi T 2 est une période de la fonction en question. On peut facilement montrer que

c’est la plus petite période.

12) y cossinx, x R.Puisque la fonction sinus est une fonction périodique de période 2, alors on a

fx 2 fx cossinx 2 cossinx fx.Donc la fonction est périodique de période 2. On peut facilement montrer que c’est la plus

petite période.

13) y sin4x cos4x,x R. On ay sin2x cos2x2 2sin2x cos2x 1 1

2sin22x 3

4 1

4cos 4x.

Puisque y cos kx est une fonction périodiqe de période 2k

, alors la période de la fonction

donnée est T 2

.

Exercice 3.21.1) y tgx, x

2,

2. Soit x1,x2 2 ,

2 arbitraires tels que x1 x2.On a, d’une

part,

y1 y2 tgx1tgx2 sinx1 x2cos x1. cos x2

et cos x1 0, cos x2 0et, d’autre part, puisque x1 x2 0 et x1, x2 2 ,

2, alors

x1 x2 0 sinx1 x2 0 tgx1tgx2 0 tgx1 tgx2, x1,x2 2 ,

2.

Donc y tgx est une fonction croissante sur 2

, 2.

3) y x2, x R et x R. Soit x1,x2 R arbitraires et x1 x2. On ay1 y2 x1

2 x22 x1 x2x1 x2 0 y1 y2 y x2 est croissante sur

R. Considérons maintenant le cas x R. Soit x1,x2 R arbitraires et x1 x2, alorsy1 y2 x1

2 x22 x1 x2x1 x2 0 y1 y2 y x2 est décroissante sur R.

Exercice 3.22.9) y lg1 x3, x 1,. Soit x1,x2 1, arbitraires et x1 x2. On a

y1 y2 lg1 x13 lg1 x2

3 lg1 x1

3

1 x23 .

x1 x2 0 1 x13

1 x23 1 lg

1 x13

1 x23 0 y1 y2 0 y1 y2.

Alors la fonction .y lg1 x3 est croissante sur 1,.


——————————————————————————————————-102

10). y axa 0, a 1,x R. Considérons les deux cas0 a 1 et a 1. Soit x1,x2 R , x1 x2 arbitraires et 0 a 1. On a:

y1 y2 ax1 ax2 ax2ax1x2 1 0,car ax 1 si x 0 . D’où y1 y2, c’est à dire que la fonction. y ax est décroissante pour

0 a 1.Supposons maintenant que a 1. On a:

y1 y2 ax2ax1x2 1 0,car ax1x2 1 pour a 1 et x1 x2 0. Donc y ax est une fonction croissante sur R.

11) y 21x 2x1, x R. Soit x1,x2 R arbitraires et x1 x2. On a:y1 y2 21x1 21x2 2x21 2x11

et x1 x2 x1 1 x2 1 2x11 2x21 2x21 2x11 0. D’autre part, on a:x1 x2 1 x1 1 x2 21x1 21x2 21x1 21x2 0.

Ainsi: y1 y2 0 y1 y2. Donc y 21x 2x1 est une fonction décroissante sur R.

Exercice 3.25.ii) 3) y 1

1 x2 , x R. Il est évident que x R, 0 fx 1. On a

max f sup f f0 1.Montrons que inf f 0. En effet, soit 0. On a

11 x2 x2 1

|x| |1 | .

Cela signifie qu’il existe x R tel que 11 x2 , c’est à dire que inf f 0. Comme

11 x2 0, x R, alors min f n’existe pas.

5) y 4sin2x 12sinx 5. Posons sinx z, |z| 1. Alors y 4z2 12z 5 est uneparabole dont les branches sont orientées vers le haut. Elle coupe l’axe des abscisses aux pointsz1 1

2et z2 5

2. Comme y 4z2 12z 5 2z 32 4 et 1 z 1, alors

max yz y1 21 et min yz y1 3. De cette façon nous avons démontré quemax fx sup fx 21 et min fx inf fx 3.

9) y arctg|x| x R. On a: arctg: R 2

2 et alors

arctg|x|

arctgx si x Rarctgx si x R

0 si x 0.

Ce qui implique que arctg|x| 0; 2. Donc min f inf f 0, sup f

2, car

arctg(R 0, 2 et il n’y a pas de maximum.

Exercice 3.29.1) y 2 3x,x R f : R R est une bijection. Cela signifie qu’elle est inversible et

f1y y 23

, y R.

3) y x2 sur R n’est pas bijective sur R ,donc elle n’est pas inversible.


——————————————————————————————————-103

6) y x 1x 1

, x ; 11;. Il est facile de montrer que f est strictement

décroissante sur son domaine de définition. D’où f est inversible et son inverse est

f1y y 1y 1

, y ; 11;.

Exercice 3.30. Deux fonctions f : X Y et g : Y X sont mutuellement inverses si etseulement si

fgy y,y Y et gfx x,x X.1) fx 1

x 2,x 2 ; gx 2x 1

x , x 0. On a

X R 2f Y R g

Rfgx 1

gx 2 1

2x 1x 2

x2x 1 2x

x, x 0,

gfx 2fx 1fx

2 1

x 2 1

1x 2

2 x 2

x 21

x 2

x, x 2.

Donc f et g sont mutuellment inverses.

3) fx e1 x2

2 x X 0,,gx 1 2 lnx , x Y e ; 0. On a

fgx e

1 g2x2 e

1 1 2 lnx2 e lnx x, x Y,

gfx 1 2 lnfx 1 2 lne1 x2

2 1 2. 1 x2

2 x, x X.

Alors f et g sont mutuellement inverses.

5) fx sinx, x X 2

; 32,

et gx arcsin x, x Y 1;1. On a:fgx sin arcsin x sinarcsin x x.gfx arcsinsinx x x,

car arcsinsinx x sur 2

; 32.

Exercice 3.31.i) a Soit f croissante et fx1 x1 0. On a:

x2 x1 et x3 x2 fx2 fx1 0.

Par récurrence supposons que xn xn1 0. Montrons que xn1 xn 0. On a:xn1 xn fxn fxn1 0 car f est croissante et xn xn1, donc xn1 xn, n 1,2, . . .

b La démonstration est analogue à celle de a).ii) Soit f décroissante et fx1 x1 0, c’est à dire que x2 x1. Alors:

x3 x2 fx2 fx1 0.

Par récurrence, supposons que xn xn1. On a:

xn1 xn fxn fxn1 0 ,

car f est décroissante.


——————————————————————————————————-104

Exercice 3.40.1) 6 sin2x 5sinx 1 3sinx 12sinx 1 0

sinx 13

ou sinx 12

x 1k arcsin 13 k ou x 1k

6 k, k Z.

Exercice 3.42.1) Soit arcsin x. Alors

2

2et 0 cos 1. D’autre part, on a

0 cos 1 sin2 1 sin2arcsin x 1 x2 .

La démonstration est analogue pour l’autre égalité en remarquant que 0 arccos x .

2) Démontrons que x 1,1, arcsin x arccos x 2

. On a, d’une part

. 2 arcsin x

2 0

2 arcsin x

D’autre part cos 2 arcsin x sinarcsin x x et cosarccos x x. Donc les valeurs

de arccos x et 2 arcsin x appartiennent au segment 0, et ont le même cosinus. Cela signifie

que 2 arcsin x arccos x.

6) Démontrons que sinarcctgx 11 x2

, x R. On a

sin2arcctgx 11 ctg

2arcctgx

11 x2 sinarcctgx 1

1 x2,

car arcctgx 0, et sin 0, 0,. La démonstration analogue pour l’autreégalité.

7) Soient arctgx et arcctgx. Alors on a, d’une part

2

2et 0 .

D’autre part, de 2

2arcctgx

2et tg

2arcctgx ctg, on déduit que:

tg 2 arcctgx ctgarcctgx x

2 arcctgx arctgx.

8) Soit arctgx. On a, d’une part: 2

2avec 1 sin 1 et d’autre part

sin2 tg

2

1 tg2 x2

1 x2 sin2arctgx x2

1 x2

sinarctgx x2

1 x2 |x|

1 x2.

Si x 0, alors 2arctgx 0 et donc 1 sin sinarctgx 0

et si x 0, alors 0 arctgx 2

et donc 0 sin sinarctgx 1, par conséquent,

x R, sinarctgx x1 x2

.

La démonstration est analogue pour l’autre égalité.


——————————————————————————————————-105

Exercice 3.44.1) y cos2arccos x.Le domaine de définition est : D 1,1. Posons

arccos x 0,. Alors on a

cos 2 cos2 sin2 2cos2 1 2cosarccos x2 1 2x2 1.

Une démonstration analogue donne sin2arcsin x 2x 1 x2 , x 1,1.

4) y arcsin2x 1 x2 . Le domaine de définition est :D x R : 1 x2 0, 1 2x 1 x2 1 1,1.

On a, d’une partx 1,1

2,

2 : x sin et cos 0.

et, d’autre part

2x 1 x2 2sin 1 sin2 2sincos sin2

arcsin2x 1 x2 arcsinsin2

2 si 2 2

,

2 si 2 2

2,

2 si 2 2 .

En remplaçant arcsin x et en simplifiant les inégalités de droite, on obtient

arcsin2x 1 x2

2arcsin x si 1 x 22

,

2arcsin x si 2

2 x 2

2,

2arcsin x si22 x 1.

Remarque. On obtient le même résultat en posant x cos, 0,.

6) Le domaine de définition est : D 1,1. De la formule tg2 2sincos2cos2 1

, on déduit

que

tg2arccos x 2x 1 x2

2x2 1, x 1,1.

10) Le domaine de définition est :D x R : 1 cos x1 cos x 0, 1 cos x 0

R 2k 1, k Z .Comme la fonction est périodique, de période T 2, alors il suffit de l’étudier sur les

intervalles 0, et , 2.On trouve, après transformations

1 cos x1 cos x

2sin2 x

22cos2 x

2 tg

2 x2 tg x

2

tg x2

si x 0,,

tg x2

si x , 2,


——————————————————————————————————-106

arctg 1 cos x1 cos x

arctg tg x2

x2

si x 0,, mod 2

x2

si x , 2, mod 2.

Exercice 3.45.2) arccosx arcsin 1

3 arccos 1

4? Tout d’abord, on a

0 arcsin 13

2, 0 arccos 1

4

2et 0 arcsin 1

3 arccos 1

4 .

Alors

arccos x arcsin 13 arccos 1

4 cosarccos x cosarcsin 1

3 arccos 1

4

cosarcsin 13cosarccos 1

4 sinarcsin 1

3 sinarccos 1

4

D’où x 1 19

. 14 1

3. 1 1

16 2 2 15

12 1,1.

5) arccos 1 x2 arcsin x? Notons tout d’abord que |x| 1 et quex 1,1, arccos 1 x2 0,

2

et, alors pour x 1,1,arccos 1 x2 arcsin x sinarccos 1 x2 sinarcsin x

1 cos2arccos 1 x2 x 1 1 x2 x |x| x 0.Donc |x| 1 et x 0, c’est à dire que x 0; 1.

6) arcsin x 2arctgx? On asinarcsin x sin2arctgx x 2sinarctgxcosarctgx x 2. x

1 x2. 1

1 x2 x 2x

1 x2 0 x3 x 0

xx 1x 1 0Alors on a: x 0 ou x 1 ou x 1. On vérifie immédiatement que ces nombres sont

solutions de l’équation donnée.

Exercice 3.50.2) Première méthode. On a

shargchx eargchx eargchx

2 e logx x21 elogx x21

2

x x2 1 1x x2 1

2 x x2 1 2 1

2x x2 1 x2 1 .

Deuxième méthode, on utilise la relation shy ch2y 1 avec y argchx.

Exercice 3.51.1) On a x R, 2ch2x 1 1 et, alors

2ch2x 1 ch2x argch2ch

2x 1 argchch2x 2x.


——————————————————————————————————-107

5) On a, x R,

1 thx

1 thx

1 ex exex ex

1 ex exex ex

2ex

2ex e2x log

1 thx

1 thx loge2x 2x,

car loge t t, t R.


——————————————————————————————————-108

Chapitre IV. Limites et continuité. Rappels de cours.

§1. limites de fonctions.

IV.1. Notion de voisinage.i) Une partie V R est dite voisinage du point x0 R si elle contient un intervalle ouvert

contenant lui-même x0.Cela signifie que: V est un voisinage de x0 I a,b V et x0 I.ii) Une partie V R est dite voisinage de resp. de si elle contient un intervalle

ouvert de la forme a, (resp. ,a), a R.Cela signifie que : V est un voisinage de I a, V ,a V.

IV.2. Notion de limite d’une fonction en un point. Soit f une fonction définie dans unvoisinage V de x0, sauf peut-être en x0.

On dit que f admet une limite R quand x tend vers x0 si

0, 0,x V : 0 |x x0 | |fx | .On note, dans ce cas

xx0

lim fx .

IV.3. Extension de la limite. Soit f une fonction définie dans un ensemble V R contenantun intervalle de forme x0,a (resp. a,x0).

i) Limite à droite, limite à gauche en un point. On dit que f admet une limite à droite(resp. à gauche) en x0 si:

0, 0,x V : 0 x x0 |fx | resp. 0 x0 x |fx | .

On note dans ce casxx00lim fx

xx0

xx0

lim fx (resp.xx00lim fx

xx0

xx0

lim fx .

ii) Limite à l’infini et limite infinie.1)

xlim fx 0, 0,x V : x |fx | ;

xlim fx 0, 0,x V : x |fx | ;

2)xx0

lim fx A 0, 0,x V : 0 |x x0 | fx A;

xx0

lim fx A 0, 0,x V : 0 |x x0 | fx A.

3)xlim fx A 0, 0,x V : x fx A;

xlim fx A 0, 0,x V : x fx A.

4)xlim fx A 0, 0,x V : x fx A;

xlim fx A 0, 0,x V : x fx A.

IV.4. Opérations sur les limites. Soient deux fonctions f et g définies dans un voisinageV de x0, sauf peut-être en x0, telles que

xx0

lim fx etxx0

lim gx . Alors, on a:

1)xx0

lim fx gx ;


——————————————————————————————————-109

2)xx0

lim fx.gx . conséquencexx0

lim fnx n, n N) ;

3)xx0

lim . fx.gx R;

4)xx0

lim. fxgx

si 0;

5)xx0

lim |fx| ||;

6)xx0

lim n fx n si 0, n N.

Remarque. Les propriétés 1-6 restent vraies quandx x0 0, x x0 0, x , x .

IV.5. Limites remarquables.1 )

x0lim sinx

x 1; 2)xlim 1 1

xx e.

Pour les autres limites remarquables, voir les exercices 4.4 et 4.11.

IV.6. Limite supérieure et limite inférieure.Définition 1. On dit que le nombre a R est une valeur d’adhérence de la fonction f en x0

s’il existe une suite un,nlim un x0, un x0, telle que

nlim fun a.

On désigne par Adx0 l’ensemble des valeurs d’adhérence de f au point x0.

Définition 2. On appelle limite supérieure (resp. limite inférieure) de f en x0 la bornesupérieure (resp. la borne inférieure) de l’ensemble Adx0. On note

xx0

lim fx supAdx0 resp.xx0

lim fx inf Adx0.

Exemple. Déterminer Ad0 de la fonction fx sin 1x . Si |a| 1, alors pour la suite

un 1arcsin a 2n

, n 1, on a

nlim un

nlim 1

arcsin a 2n 0 et

nlim fxn

nlim sin 1

un a.

Donc tous les points de l’intervalle 1,1 sont des valeurs d’adhérence, c’est à dire que1,1 Ad0. Comme |sinx| 1,x R, alors f ne peut admettre des valeurs d’adhérence atelles que |a| 1. Donc Ad0 1,1. Et l’on déduit que

x0lim sin 1

x sup1,1 1 et

x0

lim sin 1x inf1,1 1.

IV.7. Comparaison de fonctions. Notations de Landau.Soient deux fonctions f et g définies dans un voisinage V de x0, sauf peut être en x0.Définition 1. On dit que f est négligeable devant g en x0 ou dans un voisinage de x0 ou

lorsque x x0, s’il existe une fonction h définie dans un voisinage de x0, sauf peut être en x0,telle que fx hx.gx et

xx0

lim hx 0.

On note dans ce cas f og x x0 et on lit:”f est égale à petit o de g au voisinage dex0. Les équivalences suivantes sont vraies:

f og x x0 0, 0,x V : 0 |x x0 | |fx| |gx|


——————————————————————————————————-110

xx0

limfxgx

0 si gx 0 dans un voisinage de x0.

Si g 1, alorsxx0

lim fx 0 f o1 x x0.

Définition 2. On dit que f est dominée par g au voisinage de x0 ou lorsque x x0, s’ilexiste une fonction h définie dans un voisinage V de x0, sauf peut être en x0, bornée telle quefx hx.gx

On note dans ce cas f Og x x0 et on lit:”f est égale à grand O de g au voisinage dex0. Les équivalences suivantes sont vraies:

f Og x x0 k 0, 0,x V : 0 |x x0 | |fx| k|gx|

fxgx

est bornée dans un voisinage de x0.

Si g 1, alors fx est bornée dans un voisinage de x0 f O1 x x0.

Définition 3. On dit que les fonctions f et g sont équivalentes dans un voisinage de x0 s’ilexiste une fonction h définie dans un voisinage de x0, sauf peut être en x0, telle quefx hx.gx et

xx0

lim hx 1.

On note dans ce cas f g x x0 et on lit:”f est équivalente à g au voisinage de x0. Leséquivalences suivantes sont vraies:

f g x x0 xx0

limfxgx

1 si gx 0 dans un voisinage de x0.

Le théorème suivant est vrai:Théorème. Si f1 g1 x x0 et f2 g2 x x0, alors:1) f1f2 g1g2 x x0 ,

2)f1

f2 g1

g2g2 x x0,

3) |f1 | |g1 | x x0 ,4) si f1 0, g1 0, f1

g1 x x0, R.

Remarques. En général,1) on n’a pas f1 f2 g1 g2 x x0.2) |f| |g| x x0 n’implique pas f g x x0.

IV.8. Tableau des équivalences. La notion d’équivalence est très utile dans le calcul deslimites. Pour cela, on donne le tableau des équivalences de certaines fonctions usuelles etélémentaires les plus utilisées et cela au voisinage de x0 0 :

1) sinx x sinx x ox;2) tgx x tgx x ox;3) ex 1 x ex 1 x ox;4) log1 x x log1 x x ox;5) cos x 1 x2

2 cos x 1 x2

2 ox2;

6) r Q, 1 xr 1 rx 1 xr 1 rx ox;7) arcsin x x arcsin x x ox;8) arctgx x arctgx x ox;


——————————————————————————————————-111

9) shx x shx x ox;10) ctgx 1

x ctgx 1x o 1

x .

§2. Fonctions continues.

IV.9. Définitions.Définition 1. On dit qu’une fonction f est continue au point x0 R si elle est définie dans

un voisinage de x0 etxx0

lim fx fx0.

Définition 2. A l’aide des " " . Soit f une fonction définie dans un voisinage V dex0 R. On dit que f est continue en x0 si:

0, 0, x V : |x x0 | |fx fx0 |.

Définition 3. à l’aide des suites. Soit f une fonction définie dans un voisinage V dex0 R. On dit que f est continue en x0 si:

un V :nlim un x0

nlim fun fx0 .

Remarque. Les trois définitions sont équivalentes.

IV.10. Continuité à droite et continuité à gauche.Définition 1. On dit que la fonction f est continue à droite (resp. à gauche ) au point

x0 R si elle est définie dans un ensemble de la forme x0,a a 0 (resp.de la formea,x0 a x0) et fx0 0 fx0 (resp.fx0 0 fx0).

Le théorème suivant est vrai:Théorème. f est continue en x0 si et seulment si , elle est continue à droite et à gauche au

point x0 c.à.d. fx0 0 fx0 fx0 0 .

Définition 2. (Continuité sur un ensemble). On dit que f et continue sur un ensembleX R si elle est continue en tout point de X.

Si X a; b, alors en a et b, on considère la continuité à droite au point a et la continuité àgauche au point b.

IV.11. Discontinuité. Classification des points de discontinuité . Si l’une de troisconditions citées dans la définition de la continuité de f n’est pas satisfaite , alors f est ditediscontinue en x0. C’est à dire

1 soit f n’est pas définie au point x0,2 soit

xx0

lim fx n’existe pas,

3 soitxx0

lim fx fx0.

Dans le cas 1 si la limitexx0

lim fx existe, alors en posant fx0 , on rend la fonction

continue en x0. On dit que l’on a prolongé f par continuité au point x0.

Définition. On dit que le point de discontinuité x0 R de f est 1 de première espèce


——————————————————————————————————-112

si fx0 0 et fx0 0 existent et sont distinctes, 2 de deuxième espèce si au moins l’une deslimites fx0 0 et fx0 0 est infinie ou n’existe pas.

Le théorème suivant est vrai:Théorème. Toutes les fonctions usuelles et élémentaires réelles sont continues, chacune dans

son domaine de définition.

§3. Propriétés des fonctions continues.

IV.12. Théorèmes relatifs aux fonctions continues. Les théorèmes suivants établissant lespropriétés importantes des fonctions continues sont vrais et doivent être retenus:

Théorème 1. Si f et g sont deux fonctions continues au point x0 R, alors les fonctions

f g, fg, f R, fg gx0 0 sont continues en x0.

Théorème 2. Si f est continue en x0 et g continue en y0 fx0, alors la fonction composéegof est continue en x0.

Théorème 3. ( Bolzano-Cauchy). Soit f une fonction définie et continue sur lesegment a,b telle que fa. fb 0 (c’est à dire que fa et fb sont de signescontraires), alors il existe, au moins, un point c a,b vérifiant fc 0 .

Corollaire. Tout polynôme réel de degré impair admet, au moins, une racine réelle.

Théorème 4. (Théorème des valeurs intermédiaires de Bolzano-Cauchy). Soit f unefonction définie et continue sur un intervalle quelconque I R et soienta,b I a b . Alors pour tout nombre , compris entre fa et fb, il existe un nombrec a,b tel que fc .

Corollaire 1. L’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle.

Corollaire 2. Pour qu’une fonction monotone sur un intervalle soit continue, il faut et ilsuffit que son ensemble image soit un intervalle.

Théorème 5. (Théorème de la fonction réciproque). Soit f une fonction définie, strictementcroissante (resp.strictement décroissante) et continue sur un intervalle quelconque I R. Alorsf admet une fonction réciproque définie, strictement croissante ( resp strictement décroissante )et continue sur l’intervalle J fI.

Il est clair que si I a,b, alors on a fa,b fa, fb si f est croissante etfa,b fb, fa si f est décroissante.

Théorème 6. (Premier théorème de Weirstrass). Toute fonction définie et continue sur unsegment a,b est bornée.


——————————————————————————————————-113

Théorème 7. (Deuxième théorème de Weirstrass). Soit f une fonction définie et continuesur un segment a,b a b. Alors f atteint ses bornes supérieure et inférieure, c’est à dire :

x1, x2 a,b : fx1 a,b

sup fx et fx2 a,b

inf fx.

Cela signifie que fx1 a,bmax fx et fx2

a,bmin fx.

IV.13. Continuité uniforme.Définition. Soit f une fonction définie dans un intervalle I R. On dit qu’elle est

uniformément continue sur I si elle vérifie:

0, 0,x,x I : 0 |x x | |fx fx | .

Conséquence. Toute fonction uniformément continue sur un intervalle est continue en toutpoint de cet intervalle. L’inverse est faux.

Théorème de Cantor. Soit f une fonction définie et continue sur un segment a,b. Alors fest uniformément continue sur a,b.


——————————————————————————————————-114

Enoncés des exercices du chapitre IV.

Exercice 4.1. A l’aide de la définition ” " , démontrer les limites suivantes:1)

x1lim 7x 2 9; 2)

x2lim x2 4;

3)x2lim x2 1

x2 1 3

5; 4

x0lim 1

log x 0;

5x1lim 2x 12

; 6x4lim x 8

x 4 ;

7xlim 4

x2 3x 5 0; 8

xlim x2 1

x2 1 1.

Exercice 4.2. Démontrer les relations suivantes (de continuité des fonctions usuelles) avec x0

appartenant au domaine de définition de chacune des fonctions données :

1)xx0

lim xn x0n n N; 2)

xx0

lim n x n x0 x0 0, n N;3)

xx0

limax ax0 ; 4xx0

lim logx logx0;

5)xx0

lim sinx sinx0 ; 6)xx0

lim cos x cos x0;

7)xx0

limtgx tgx0 ; 8xx0

limctgx ctgx0;

9xx0

lim arcsin x arcsin x0; 10xx0

lim arccos x arccos x;

11xx0

limarctgx arctgx0 ; 12xx0

lim |x| |x0 |.

Exercice 4.3. Démontrer, à l’aide de la définition , les limites suivantes:

1)xlim ax

si a 1 ,

0 si 0 a 1 ;2)

xlim ax

0 si a 1 ;

si 0 a 1 ;

3xlim logax

si a 1 ,

si 0 a 1;4

x0lim logax

si a 1,

si 0 a 1;

5xlim arctgx

2; 6

xlim arctgx

2.

Exercice 4.4.i) Soit le polynôme Px a0 a1x a2x2 . . . anxn où

ai R , i 0,1, . . . , n, an 0.Démontrer que:

xlim |Px| .

ii) Soit la fraction rationnelle:

Rx a0 a1x a2x2 . . . anxn

b0 b1x b2x2 . . .bmxm, a0,a1, . . . .an,b0,b1, . . . ,bm R, n,m N.

Démontrer que :


——————————————————————————————————-115

xlim Rx

xlim anxn

bmxm

, n m ,an

bn, n m ,

0 , n m .

Exercice 4.5. Calculer les limites des expressions rationnelles suivantes:

1)x0lim x2 1

2x2 x 1; 2)

x1lim x2 1

2x2 x 1

3)xlim x2 1

2x2 x 1; 4

xalim

x2 a 1x ax3 a3 ;

5)x0lim1 x5 1 5x

x2 x5 ; 6x0lim

1 mxn 1 nxm

x2 m,n N.

7)xlim

5

i1

x i

5x 15; 8

xlim

2x 3203x 230

2x 150 ;

9)x0lim1 x1 2x1 3x 1

x ; 10)x2lim x3 3x2 2x

x2 x 6;

11x1lim x3 x 2

x3 x2 x 1; 12

x1lim 1

1 x 3

1 x3 ;

13)x2lim 1

xx 22 1

x2 3x 2; 14

x1lim x 2

x2 5x 4 x 4

3x2 3x 2;

15)x0lim x7 5x5 4x3

4x7 3x3 ; 16)xlim x4 5x

x2 3x 1;

17xlim x3

2x2 1 x2

2x 1; 18

xlim x3 3x2

x2 1 x ;

19)x1lim x2 4x 5

x2 1; 20

xlim

100

i1

x i10

x10 1010 ;

21x1lim x100 2x 1

x50 2x 1; 22)

x0lim x2 2

3x2 5x 1;

23h0limx h3 x3

h. ; 24

xlimx 15 x 25 . . .x n5

x5 n5 ;

25)x 2lim x2 2

x4 x2 1; 26

x1lim x 2

x2 5x 4 x 4

3x2 3x 2;

27)x20lim lim

x2

12 x

38 x3 ; 28)

xlim 3x2

2x 1 2x 13x2 x 2

4x2 ;

29)x1lim x2 2x 1

x3 x; 30

x1lim x x2 . . .xn n

x 1n N;

Exercice 4.6. Calculer les limites des expressions irrationnelles suivantes.Indication. Dans cet exercice, on pourra utiliser l’exercice 4.2 et les techniques suivantes: a)

faire un calcul direct si possible; b) transformer l’expression irrationnelle en une expressionrationnelle par un changement de variables; c) ramener les radicaux du numérateur vers ledénominateur et inversement:

1)x0lim

x 1 13 x 1 1

; 2x7lim

x 2 3 x 204 x 9 2

;


——————————————————————————————————-116

3)x1lim

m x 1n x 1

; 4xlim x x2 2x 2 x2 x x ;

5)xlim 3 x3 3x2 x2 2x ; 6)

xlim

x x2 1 n x x2 1 n

xn ;

7)xlim

x2 1 x4 x3 x x

; 8x3lim

x 13 2 x 1x2 9

;

9)x2lim

3 x 6 2x3 8

; 10x16lim

4 x 2x 4

;

11)xalim

x a x a

x2 a2a 0; 12)

x0lim

n 1 x 1x n N;

13x0lim

3 1 x3 4 1 x

4

1 1 x2

; 14)x0lim

3 27 x 3 27 x

x 2 3 x4;

15x1lim 3

1 x 2

1 3 x; 16)

xlim x x x x ;

17xlim 3x 1

5x 3 x; 18

xlim

x x x

x 1;

19x1lim

x x 1 1

x2 1; 20

x0lim

1 x 1

x2 ;

21 limx0

x2 4 2

x2 9 3.

Exercice 4.7. Calculer les limites des expressions trigonométriques suivantes:

1)x0lim 1 cos x

x2 ; 2x0lim

tgx sinxsin3x

;

3)x0lim sin5x sin3x

sinx; 4 lim

x0

cos x cos 3xx2 ;

5) limx0

1 cos x sinx1 sinpx cos px

; 6 limx 4

tan 2x tan 4 x ;

7)x0lim xctg3x; 8

x1lim 1 xtg x

2;

9)xalim sinx sina

x a ; 10xalim cos x cos a

x a ;

11)xalim

tgx tgax a ; 12 lim

x 3

tan3x 3 tan xcosx

6

;

13)x0lim

tga xtga x tg2ax2 ; 14

x 4

lim1 ctg3x

2 ctgx ctg3x;

15)x0lim

1 tgx 1 sinx

x3 ; 16)x0lim

sina 2x 2sina x sinax2 ;

17 limx1

1 x2

sinx; 18)

x0lim

cos x 3 cos x

sin2x;

19x 6

lim 2sin2x sinx 12sin2x 3sinx 1

; 20) limx0

1 cos x2

1 cos x;


——————————————————————————————————-117

21x0lim

1 cos x1 cos x

; 22)x 3

limsinx

3

1 2cos x;

23xlim sinx

x ; 24 limx

1 cos 5x1 cos 4x

;

25)x0lim 3arcsin x

4x.

Exercice 4.8. Limites du typexx0

lim fxgx x0 R , f 0. Démontrer les résultats

suivants:i si

xx0

lim fx a etxx0

lim gx b a,b R , alorsxx0

lim fxgx ab ;

ii) sixx0

lim fx a 1 etxx0

lim gx , alors:

xx0

lim fxgx , |a| 1 ,

0 , |a| 1 ;

iii) sixx0

lim fx 1 etxx0

lim gx , alors :xx0

lim fxgx exx0lim fx1gx

.

Exercice 4.9. Calculer les limites suivantes.Indication. Dans cet exercice on peut utiliser l’exercice 4.2, ainsi que l’exercice 4.8.

1) limx

x 3x 2

2x1; 2

xlim x 2

2x 1

x2

3) ax0lim 1 x

2 x

1 x

1x , bx1lim 1 x

2 x

1 x

1x ;

cxlim 1 x

2 x

1 x

1x ; 4) limx01 sinx

1x ;

5 limx0

cos xcos 2x

1x2

; 6)xlim x2 1

x2 1

x1x1

;

7xlim x2 1

x2 2

x2

; 8)x0lim tg

4 x

ctgx;

9x 2

lim sinx tgx; 10)x0lim x 1 2x ;

11 limn

n xn 1

n; 12)

xlim x a

x ax;

13x0lim 1 x2ctg

2x; 14)

xalim

logx logax a a 0;

15xlim xlogx 1 logx; 16)

x0lim 1 sinxctgx;

17x0lim

1 tgx1 sinx

1sin x

; 18)xalim sinx

sina

1xa

;

19x0lim

loga1 xx ; 20) lim

x0cos x

1sin x ;

21) limh0

logx h logx h 2 logxh2 x 0;

22)x0lim 1 x2x

1 x3x

1x2

; 23x0lim ax 1

x a 0;

24)x0lim1 xa 1

x ; 25 limx0

1 cosxx2 R;


——————————————————————————————————-118

26)xalim ax xa

x a a 0; 27xalim x a

x aa 0;

28)nlim n n x 1 x 0; 29

xlim log1 2x log1 3

x ;

30)xlim 1

x2

x2x1

; 31 limx10

log10x 1x 10

;

32) limx0

3 1 x 1 sinxlog1 x

; 33 limx x log2

10 x5 x

;

34)x0lim

log cos axlog cos bx

; 35 limx 1

4

1 cotxlog tanx

;

36) limx

log cos x1x2

; 37 limx x3

1x 1;

38) limx x2 4

1x 4

1x1 ; 39 lim

x0

e7x e2x

tan x ;

40) limx01 tan2 x

3x ; 41 lim

xx2 4x2 4

x2

;

42)x0lim lim

x01 x x

1x ; 43 lim

x01 3x4

1sin2x ;

44) limx0cos x

1x2 ; 45 lim

x0

log cos xx2 ;

46) limx0cos 6xcot2x; 47 lim

x0loge xcotx;

48) limx0

cosh 2x 1cos x 1

; 49 limx0

log cosh 5xx2 ;

50) limx0

esinh 3x esinh x

tanh x; 51 lim

xx2 log cosh x2;

52) limx0

cosh 2xcosh x

1x2

; 53) limx

x2 x

3x;

54 limx 4

tan 8 x

tan2x; 55) lim

x3x2 x 12x2 x 1

x3

1x;

56) limx0cos x

1x2 .

Exercice 4.10. Calculer les limites latérales suivantes:1)

x30lim x 3

|x 3|; 2

x20lim 2 x

4 x2 3)x00lim 2 x1/x;

4 limx 4

tan4x 2x

2; 5

x0lim 1

1 e1/x

; 6 limx

log1 exx ;

7x0lim |sinx|

x ; 810lim

x2 si x 1 ,

1/2 si x 1 ,

x si x 1 ;

9)x10lim arctg 1

1 x.

Exercice 4.11. Démontrer les limites suivantes ( à retenir):

1)xlim

ax

x ; en déduire quexlim

ax

xk a 1, k 0 ;

2)xlim

logax

xk 0 a 1, k 0 ;


——————————————————————————————————-119

3)x0

lim xk logax 0 a 1, k 0;

4)x0

lim sinaxxk

0 si k 1,

a si k 1,

si k 1.

Exercice 4.12. Calculer h xlim fx

xlim fx si fx log

x x2 a2

x x2 b2.

Exercice 4.13. Dans cet exercice, on pourra utiliser les résultats des exercices précédents.Calculer les limites suivantes , si elles existent:

1)x2lim

arctg2 x sinx 22

x2 4; 2) lim

x0

4 1 x2 x3 1log cos x

;

3) limx0

x3 10 x cos x sin3x

1 1 x3; 4) lim

x0

2sin x2 x3 log1 x

x x x;

5) limx0

x arctg x e7 3 x 1

tg 3 x log1 3x; 6) lim

x0

sin2x 2tgx2 1 cos 2x3

tg76x sin6x

;

7) limlogx2 e

x

logx4 e2x

quand a x 0 , b x ;

8)x0lim

cosa 2x 2cosa x cos ax2 ; 9) lim

x 4

2 2cos x 4x

;

10)xlim x 2 logx 2 2x 1 logx 1 x logx ;

11) limx0

2ex

x 1 1

x2 1x

; 12) limx0

x cos x ;

13) limx x

4 arctan x

x 1;

14) lim x2 x x quand a x , b x ;

15) limxsin logx 1 sin logx; 16)

x0lim

eax e

bx

sinax sinbx;

17)x0lim

log 1 x1 x

arctg1 x arctg1 x; 18) lim

x0xE 1

x ;

19) limx

sh x2 x sh x2 x ; 20) limx

x logchchx ;

21) limx

x2 e1x e

11 x ; 22) lim

xlog1 x

logx

x

1 logx ;

23) limx

axchx;

24) limx

3 x x2 1 3 x x2 1

x ; 25) limx8

9 2x 53 x 2

;

26 limx0

x2 sin 1x

sinx; 27) lim

x0

3 x x2 3 x 2x3

3 x 3 2x 2x2;


——————————————————————————————————-120

28 limx x 3 1 x3 ; 29) lim

x0

x1 cos x

30 limx0

cos ax cos bxxk

k R; 31x0lim x3E 1

x3 ;

32)xlim x

Ex 1; 33) lim

x4

1 2x 3x 2

;

34 limx

3 x 3 x 12 3 x 12 ; 35) limx

log2 e3xlog3 e2x

;

36)x0lim ex2 cos x

sin2x.

Exercice 4.14. Démontrer que les limites suivantes n’existent pas:1

xlim cos x ; 2

x0lim sin 1

x ;

3xlim x Ex; 4

x0lim coslog|x| ;

5x0lim g fx si: fx

0 , x 0

x cos 1x , x 0 ,

et gx 1 , x 0 ,

0, x 0 .

Exercice 4.15. Soit la limite:xlim x2 1

x 1 ax b 0 .

i) Touver a et b.ii) Quelle est la signification géométrique de cette relation?

Exercice 4.16. Démontrer le théorème de Cauchy suivant: si la fonction y fx est définiesur l’intervalle a, et est bornée sur tout intervalle borné a,b b R , alors:

ixlim

fxx

xlim fx 1 fx;

iixlim fx

1x

xlim

fx 1fx

fx c 0,

en supposant que les limites dans les parties de droite existent.

Exercice 4.17. Soit la fonction y fx définie dans l’intervalle a, et vérifiant lesconditions suivantes:

i) f est bornée dans tout intervalle borné a,b ; ii)xlim fx 1 fx .

Montrer alors que:xlim

fxx .

Exercice 4.18. Soit la fonction y fx définie sur l’intervalle a, et vérifiant lesconditions suivantes:

i) f est bornée sur tout intervalle borné a,b ;ii) pour un certain entier naturel n , il existe une limite finie ou infinie de :

xlim

fx 1 fxxn .

Montrer alors que:xlim

fxxn1

n 1

.


——————————————————————————————————-121

Exercice 4.19. Démontrer les formules suivantes ( à retenir): n N ,1

nlim 1 x

nnex x R ;

2nlim 1 x

1! x2

2! . . . xn

n!ex x R .

Exercice 4.20. Trouver les fonctions limites suivantes: n N,

1 y nlim n 1 xn x2

2

nx 0; 2 y

nlim xn2

22n x2nx 0;

3 y nlim

xtg2n x

4 x

tg2n x

4 1

x 0; 4nlim n |x|n |y|n ;

5 y nlim xn

1 xn ; 6 y nlim x 1arctgxn;

7 y nlim n 1 enx1 .

Exercice 4.21.i) Calculer les limites suivantes : n N,

1nlim xn1

n 1! xn2

n 2! . . . x2n

2n!;

2nlim 1 x1 x21 x4 . . . 1 x2n si |x| 1 ;

3nlim cos x

2cos x

4. . . cos x

2n x 0;

4nlim tg

4 21tg

2.4. . .2ntg

2n. 4 indication: tgx ctgx 2ctg2x;

ii 1) Calculer la somme

Sn arctg 12 arctg 1

8 arctg 1

18. . .arctg 1

2n2 .

2 En déduire la limite de Sn n .

Exercice 4.22. Soit la fonction y fx sin 1x . Démontrer que pour tout réel a, vérifiant

la condition 1 a 1, on peut choisir une suite xn 0 quand n telle que

nlim fxn a.

Exercice 4.23. Dans un cercle de rayon r on inscrit un carré, puis dans ce carré, on inscrit unautre cercle dans lequel on inscrit de nouveau un carré ; on poursuit ce processus n fois . Ondemande de calculer la limite de la somme des surfaces de tous les cercles ainsi que la limite dela somme des surfaces de tous les carrés ainsi inscrits.

Exercice 4.24. Calculer limfx et limfx quand:i) x 0 si:1 fx sin2 1

x 2 arctg 1

x ; 2 fx 2 x2cos 1x ;

3 fx 1 cos2 1x

sec2 1x avec secx 1

cos xind. utiliser:

1 log1 ;


——————————————————————————————————-122

ii) x si:

1) fx sinx; 2 fx x2 cos2x;

3 fx 2sin2x; 4) fx x1 x2 sin2x

x 0.

Exercice 4.25.i) Démontrer que les fonction suivantes ne sont pas bornées au voisinage de l’infini:1) y x sinx ; 2 y x cos x.Sont-elles infiniment grandes? Montrer leurs comportements sur un dessin.ii) Mêmes questions pour:1) y 1

x cos 1x x 0 ; 2) y xarctgx x ;

3 y 2 sinx logx x ; 4 y 1 sinx logx x ;5) y 2xarcsin(sinx x .

Exercice 4.26. Est-ce que les fonctions y log sinx et y log cos x sont bornées sur leurdomaine de définition?

Exercice 4.27. Démontrer les égalités suivantes quand:i) x 0. :

1) 2x x2 Ox; 2 x sin x Ox3/2;

3) x sin 1x O|x|; 4 logx o 1

x 0 x 0;

5) arctg 1x O1; 6 1 xn 1 nx ox si n N; ;

7) 2x3 3x2 ox.

ii) x :

1) 2x3 3x2 1 Ox3; 2) x 1x2 1

O 1x ;

3) x x2 sinx Ox2; 4arctgx1 x2 O 1

x2 ;

5) logx ox si 0 ; 6 xpex o 1xq si p,q N .

Exercice 4.28. Pour x x0, montrer que:i f og f Og ; ii Og Og Og ;iii ogO1 og ; iv og Og Og ;v OgO1 Og ; vi Oog og ;vii oOg og ; viii oog og ;ix OOg Og .Donner une interprétation de ces formules.

Exercice 4.29. Pour x x0, montrer que :f g f g of f g og f g1 o1

xx0

limfxgx

1 si gx 0.


——————————————————————————————————-123

Exercice 4.30. Démontrer que la relation ”f g" est une relation d’équivalence.

Exercice 4.31. Montrer que:

1 x x x x x ;

2 x x x 8 x x 0 0 ;

3 x2 x log 100x x2 x ;

4a0 a1x . . . anxn

b0 b1x . . . bmxm anxn

bmxm x ;

5 x 1 x 1 2 x 14

1x

3/2x .

Exercice 4.32. Montrer que:

1) arcsinx0arctgx

0argshx

0argthx

0 x; 2) chx 1

0 x2

23 chx

shx

ex

2; 4 ) chx

shx

ex

2;

5) argch1 x0 2x ; 6) argchx

argshx

logx.

Exercice 4.33.1) Soient f,g deux fonctions définies et positives dans un voisinage de x0 R. On suppose

que fx0 g.

i) A-t-on log fx0 logg? Considérer l’exemple suivant:

fx 1 x2 sin2x, gx 1 x, x0 0.

ii)Montrer que sixx0

lim fx xx0

lim gx 0 ouxx0

lim fx xx0

lim gx , alors log fx0 logg.

iii) A-t-on e f

x0 eg? Considérer l’exemple suivant:

fx 1x4 , gx 1

x4 1x2 , x0 0.

iv) Montrer que e f

x0 eg

xx0

lim fx gx 0.

v) Montrer que n fx0

n g n N.

2) Application: calculer les limites suivantes:i) lim

x0|sinx|tanx; ii lim

x 2

|tan x|cosx.

Exercice 4.34. Démontrer la formule asymptotique suivante:

x2 px q x p2 O 1

x , x .

Exercice 4.35. Soientfx x sinx, gx x sinx et hx x2 sin2x ;

pour deux quelconques de ces trois fonctions et , a-t-on O x ?


——————————————————————————————————-124

Exercice 4.36. Comparer les fonctions fnx xn n N quand:a) x , b x 0 :i entre-elles ; ii avec la fonction gx ex x .

Exercice 4.37. Comparer les fonctions fnx n x n N quand:a) x , b x 0 :i entre -elles ( en fonction de n ; ii avec la fonction gx logx x .

Exercice 4.38. Les fonctions y 1 x1 x

et y 1 x sont-elles infiniment petites lorsque

x 1? Quel est l’ordre de comparaison entre-elles?

Exercice 4.39. Montrer que lorsque x 1 les infiniment petits fx 1 x etgx a1 k x avec a 0 et k N sont du même ordre. Pour quelle valeur de a sont-ils

équivalents?

Exercice 4.40. Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ?P1 : x o x , x 0; P2 : x2 ox2 1 , x ;P3 : sin x x ox , x 0; P4 : 1 x2 cos x ox2, x 0;P5 : of of of ,x x0; P6 : ox2 ox ox, x 0;P7 : ln1 x x o1 ,x 0; P8 : x3 ox4, x ;P9 : e2x ex sin2x sinx, x 0.

Exercice 4.41. Trouver l’ordre des infiniment petits suivants si :1) 3 1 3 x 1, x 0; 2 e x 1, x 0;

3 esin x 1, x 0; 4 log1 x sinx , x 0;5 ex cos x, x 0; 6) ex2 cos x, x 0;7) sin 1 x 1, x 0; 8 arcsin 4 x2 2, x 0.

Exercice 4.42. Trouver les parties principales de la forme .x des fonctions suivantes dansles voisinages indiqués:

1 2x 3x3 x5 x 0 ; 2 1 x 1 x x 0

3) 2x x x x 0 ; 4) 1 2x 3 1 3x x 0;

5)2ex4 cos x 12 x5 2

94

x4x 0; 6 tgx sinx x 0 ;

7 1 cos xx x 0 ; 8 ex2 cos x x 0

9) sin22x arcsin2x 2arctan x2 x 0;

10 log1 x2 2 3 ex 12 x 0 ;

11 arcsin 4 x2 2 , x 0 ; 12 1 x 1 x 2, x 0;

13) a x3 a a 0 (x 0; 14) 3 x2 x x 0 .


——————————————————————————————————-125

Exercice 4.43. Pour x 1, déterminer les parties principales de la forme x 1 desfonctions suivantes:

1 x3 3x 2 ; 2 3 1 x ; 3 logx ; 4 ex e; 5 xx 1 .

Exercice 4.44. Pour x , déterminer les parties principales de la forme .x desfonctions suivantes:

1 x2 210x 1000; 2 2x5

x3 3x 1; 3 3 x2 x x ;

4 1 1 x . ; 5) 2x x x .

Exercice 4.45. Pour x , déterminer les parties principales de la forme 1x

des

fonctions suivantes:1 x 1

x4 1; 2 x 1 x ;

3 1x sin 1

x ; 4 x 2 2 x 1 x

5) 1 cos 1 cos 1x .

Exercice 4.46. Pour x 1, déterminer les parties principales de la formes 1x 1

des

fonctions suivantes:

1 x2

x2 1; 2 1 x

1 x; 3 x

3 1 x;

4 1sinx

; 5logx1 x2

.

Exercice 4.47. A l’aide des équivalences ou des symboles de Landau, calculer les limitessuivantes:

1x0lim

arcsin x1 x2

log1 x; 2

x0lim sin3x sin5x

x x32;

3x1lim

logx1 x

; 4x0lim cos x cos 2x

1 cos x;

5x 4

lim2 2 cos x sinx3

1 sin2x;

6 limx0

log 1 1 x2 x3 1 x2

2 x4

sin log 1 tan esin 2x ecosx 1 e;

7 limx0

sinh2xlogsinh3x

; 8x0lim

ax2

bx2

ax b

x2 a 0, b 0 ;

9)x0limcosh x 1 log1 x2x2 x3arctan x

; 10x0lim

1 exarccos x2

sinhx 3 1 x 1;

11)x0lim


b 0; 12xlim 1

x log ex 1x ;

13) limx0

tan 4x tan 2xlog1 x

; 14 limx

arg cosh x arg sinhx2

logx2 x2;


——————————————————————————————————-126

15) limx0

x3 10 x cos x sin3x

1 1 x3; 16) lim

x0

x arcsin x e7 3 x 1tan 3 x ln1 3x

;

17) limx0

sin2x 2 tan x2 1 cos 2x3

tan76x sin6x.

§2. Exercices sur la continuité

Exercice 4.48. Etudier la continuité des fonctions suivantes:

1 y x2 si 0 x 1

2 x si 1 x 2; 2) y

0 , x 0,

x , 0 x 1,

x2 4x 2 , 1 x 3,

4 x , x 3;

3 y sinx

x , x 0,

1 , x 0;; 4 y

sinx|x|

; x 0,

1 , x 0 ;;

5 y x sin 1

x, x 0,

0 , x 0 , R;6) y Ex;

7 y x E x ; 8) y x Ex;

9 y xEx; 10 y xE 1

x si x 0

1 si x 0;

11) y E 1x ; 12) y sgnx;

13 y sgnsinx; 14) y e 1

x2 si x 0,

0 si x 0;

15) y x |x|x ; 16) y

sinx si 0 x 1,

logx si 1 x 2.

Exercice 4.49. Etablir s’il existe des valeurs de a, pour lesquelles les fonctions suivantessont continues au point x0 indiqué:

1) y ax2 1, si x 0 ,

x , si x 0; x0 0,2) y

x2 4x 2

si x 2

a si x 2, x0 2;

3) y 1

1 x2si x 1

a si x 1, x0 1;4) y

xln1 2x

si x 0,

a si x 0; x0 0,

5 y 1 x1 x3 si x 1 ,x0 1,

a si x 1;6) y

x sin 1x si x 0,

a si x 0, x0 0;


——————————————————————————————————-127

7) y sin 1

x si x 0,

a si x 0, x0 0;8) y

cos x si x 0, ,

ax 1 si x 0 x0 0;

9) y 1 xn 1

x si x 0 ,n N,

a si x 0; x0 0.

Exercice 4.50. Pour quelles valeurs des paramètres a, et b, figurant dans les définitions desfonctions suivantes, celles-ci sont continues dans leurs domaines de définition ou dans lesdomaines indiqués?

1 y

x 13 si x 0

ax b si 0 x 1

x si x 1;

2 y x si |x| 1

x2 ax b si |x| 1;

3 y

x 12

x2 1si |x| 1

a si x 1

b si x 1;

4 y

2sinx si x 2

,

a sinx b si 2 x

2,

cos x si x 2

.

5 y

x cos x2

sinxsi x

2, 3

2, x 0, x ,

a si x 0,

b si x .

Tracer le graphe de la fonction 4).

Exercice 4.51. Peut-on prolonger par continuité les fonctions suivantes aux points indiqués1 fx arctg 1

x 2en x 2 ; 2 fx 1 x sin 1

x en x 0 ;

3 fx x2 1x3 1

en x 1 ; 4 fx log1 x log1 xx en x 0 ;

5) fx sinx sin 1x en x 0; 6) fx

sh2x

logch3xen x 0;

7) y limx0

1 x 13 1 x 1

en x 0; 8) y 1 x1x en x 0;

9) y tg2x

x en x 0; 10) y x ln x2 en x 0;

11) y

cos x sinxx

4, x

4,

2 x 4

, x 4

en x0 4.

Exercice 4.52. Déterminer les points de discontinuité , ainsi que leurs espèces, des fonctionssuivantes:

1 y x2 1x2 3x 2

; 2 |2x 7|2x 7

;


——————————————————————————————————-128

3 y |x 2|arctgx 2

; 4 y 1 cosx4 x2 ;

5 y sgnsin x ; 6 y 1x2x 1

;

7 y limx1

1 x1 x3 ; 8 y arctg 1

x ;

9 y x arctan 1x ; 10 y x

sinx;

11 y cos2 1x ; 12 y 1

ln x;

13 y ex 1x ; 14 y

1x 1

, x 0

x 12, 0 x 2

1 x, 2 x

;

15 y 1x2 x4 ; 16 y |x 1|

x2 x3 ;

17 y 1x Ex

; 18 y limx0

x 12 x 12

x2 x;

19) y ctgx ctg x .

Exercice 4.53. Démontrer que:

i) la fonction définie par fx 1 si x Q ,

0 si x R Q ,n’est continue en aucun point de R;

ii) la fonction fx x2 si x Q ,

x2 si x R Q ,est continue seulement au point x 0.

Exercice 4.54.i Dire, en justifiant la réponse, si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses:1) La somme de deux fonctions discontinues est discontinue.2) Le produit de deux fonctions discontinues est discontinu.

ii L’image d’un intervalle ouvert par une fonction continue est-elle un intervalle ouvert?Décrire tous les cas possibles de l’image d’un intervalle quelconque par une fonction continue.

iii) Donner des exemples de fonctions continues sur un intervalle dont l’ensemble image est:1) un segment , 2) un intervalle , 3) un semi-intervalle.

Exercice 4.55. Soient fx 1 3xEx et gx 2E2x. Etudier la continuité def, g, f g au point x0 2. Commenter.

Exercice 4.56. Etablir la continuité des fonctions fgx et gfx , si1) fx sgnx et gx 1 x2;2) fx sgnx et gx x1 x23) fx sgnx et gx 1 x Ex.


——————————————————————————————————-129

Exercice 4.57. Démontrer que si fx est continue, alors Fx |fx| est aussi continue.

Exercice 4.58. Démontrer que les points de discontinuité d’une fonction monotone bornéene peuvent être que des points de discontinuité de première espèce.

Exercice 4.59.i) Démontrer que toute fonction continue et périodique sur R est bornée.ii) Démontrer que toute fonction périodique et monotone sur R est constante.iii) Démontrer que toute fonction périodique ayant une limite en est constante.

Exercice 4.60. Soient f,g : a,b R continues telles que fa ga etfb gb. Montrer qu’il existe un point c a,b tel que fc gc.

Exercice 4.61. Montrer que si la fonction f est continue sur a,b, alors les fonctions

mx atxinf ft et Mx

atxsup ft

sont continues sur a,b.

Exercice 4.62. Montrer que si f,g sont continues sur X, alors les fonctions

x minfx,gx et x maxfx,gx

sont continues sur X.

Exercice 4.63. Montrer que si la fonction f est continue sur l’intervalle (borné ou non) a,bet si

xalim fx et

xblim fx existent (finies), alors f est bornée sur a,b. Atteint-elle ses bornes ?

Exercice 4.64.i) Soit une fonction définie sur a,b, continue et inversible .Démontrer que cette fonction

est strictement monotone a,b.ii) Démontrer que si f est définie et monotone sur a,b et si l’ensemble des valeurs de f est

compris entre fa et fb , alors f est continue sur a,b.

iii) Montrer que la fonction fx sin 1

x , x 0 ,

0 , x 0

prend sur tout segment 0,a a 0 toutes valeurs intermédiaires entre f0 et fa, maiselle n’est pas continue sur 0,a. Quel est le sens de cet exercice?

Exercice 4.65. Déterminer les branches univoques continues de la fonction inverse pour lesfonctions suivantes en donnant une explication géométrique:

1) y x2; 2 y sinx ; 3) y 2x x2;4 y 2x

1 x2 ; 5 y cos x; 6 y tgx.

Exercice 4.66.i) Soit f : a,b R, continue et telle que fa fb. Soient p et q deux réels strictement


——————————————————————————————————-130

positifs. Montrer que’il existe c a,b tel quepfa qfb p qfc.

ii) Soit f : a,b a,b continue. Démontrer que: a,b tel que f .

Exercice 4.67. (Continuité et limite séquentielle). Soient f,g deux fonctions continues sur Q.Montrer que : f Q g Q f g sur R.

Exercice 4.68. Soit f une fonction monotone sur 0,. Montrer que les propositionssuivantes sont équivalentes:

i) f continue à droite en x0 0;ii) la suite f 1

n n1tend vers f0.

Exercice 4.69 . Démontrer que toute fonction définie, continue et injective sur un intervalle Iest monotone.

Exercice 4.70. A -t-on l’équivalence suivante:f continue en x0 f est définie en x0 et

h0lim fx0 h fx0 h 0 ?

Exercice 4.71. Soit f la fonction définie sur 2, par fx logx 2 x.i) Montrer que l’équation fx 0 admet exactement 2 solutions a et b telles que

2 a 0 b.(Indication. On pourra supposer que f est strictement monotone sur chacun des intervalles

2,1 et 1,.ii) En déduire que la suite unn définie par u1 0 et un log2 un, n 1 converge vers

b.

Exercice 4.72.i) Montrer que les équations suivantes admettent au moins une solution réelle sur a,b :1) x5 2x2 3 si a,b 1,2; 2 cos x 3x 0 si a,b

2,2;

3) e1x log|x 1| 0 si a,b 0,1.

ii) Montrer que l’équation tgx x admet un ensemble infini de solutions.

Exercice 4.73. Soit f la fonction définie sur R par fx x3 x 1. Trouver un intervallea,b vérifiant 0 b a 1

8et dans lequel la fonction f s’annule.

Exercice 4.74. Pour 0 déterminer 0 vérifiant la condition de continuitéuniforme de f sur l’intervalle donné si:

1) fx 5x 3 x ; 2 fx x2 2x 1 2 x 5;3) fx 1

x 0,1 x 1; 4 fx n x 0 x ;5) fx 2sinx cos x x .

Exercice 4.75. Démontrer que si la fonction f est bornée, monotone et continue sura,b, alors elle est uniformement continue sur a,b.


——————————————————————————————————-131

Exercice 4.76. Etudier la continuité uniforme des fonctions suivantes dans les intervallesdonnés:

1 y x 1 x ; 2 y x4 x2 1 x 1;

3) y x2 : i x et ii) x R;4) y ln x 0 x 1; 5) y sinx

x 0 x ;6 y ex cos 1

x 0 x 1; 7) y arctgx x ;8 y x sinx 0 x .

Exercice 4.77. Montrer que les fonctions suivantes sont continues et bornées sur lesintervalles indiqués, mais elles ne sont pas uniformément continues:

1) . fx sin x sur 0,1; 2 fx sinx2 sur R ;

3 fx ex cos 1x sur 0,1.

Exercice 4.78. Démontrer que la fonction fx x sinx :i n’est pas bornée sur R,ii est uniformément continue sur R.

Exercice 4.79.i) a Démontrer que si f est uniformement continue sur a,b a b , alors

les limitesxa0lim fx A et

xb0lim fx B existent.

b Que peut-on dire si a ou b ?ii) Démontrer que si f est définie et continue sur a, et si

xlim fx existe et est finie, alors

f est uniformément continue.

Exercice 4.80. Démontrer que pour que la fonction f définie et continue dans l’intervallea,b soit prolongeable par continuité sur a,b, il faut et il suffit qu’elle soit uniformement

continue sur a,b.

Exercice 4.81. Démontrer que la somme et le produit d’un nombre fini des fonctionsuniformement continues sur a,b sont uniformément continus sur a,b.

Exercice 4.82. Soit f : a,b a,b telle que x1,x2 a,b : |fx1 fx2| |x1 x2 |.Montrer que f est continue sur a,b et que l’équation fx x admet une solution unique.

Exercice 4.83. (Définition axiomatique de la fonction linéaire). Déterminer la fonction fdéfinie sur R vérifiant les conditions suivantes:

i) fx x fx fx , x,x R ;ii) f est continue en x 0 ;

Exercice 4.84.. Définition axiomatique de la fonction puissance. Soit f une fonction définiesur R vérifiant les conditions:

i) fx.x fx. fx , x x R ;


——————————————————————————————————-132

ii) f est continue en x 1.Montrer que la fonction f est de la forme fx x, R.

Exercice 4.85. Définition axiomatique de la fonction exponentielle. Soit f une fonctiondéfinie sur R vérifiant les conditions:

i) fx x fx. fx , x, x R;ii) f1 a, a 0, a 1;iii) f est continue en x 0.Montrer que la fonction f est de la forme fx ax.

Exercice 4.86. Définition axiomatique de la fonction logarithme. Soit f une fonction définiesur R vérifiant les conditions:

i) fx.x fx fx , x,x R;ii) f est continue en x 1.Montrer que la fonction f est de la forme fx logax, où a 0, a 1.

Exercice 4.87. Définition axiomatique des fonctions sinus et cosinus. Soient f,g deuxfonctions définies sur R vérifiant les conditions:

i) fx x fxgx fx gx etgx x gxgx fxfx , x,x R;

ii) f0 0, g0 1, f 2 1, g

2 0 ;

iii) si 0 x 2

, alors 0 fx x.

Montrer que fx et gx existent et sont uniques. On les note fx sinxet gx cos x, x R.


——————————————————————————————————-133

Réponses aux exercices du chapitre 4.

Exercice 4.5. 1) 1; 2 23

; 3 12

; 4 a 13a2 ; 5 10; 6

mnn m2

; 7 55;

8 32

30; 9 6; 10 2

5; 11 ; 12 1; 13 ; 14 0; 15 4

3;

16 ; 17 14

; 18 3; 19 3; 20 100; 21 4924

; 22 2; 23 3x2;

24 n; 25 0; 26 0; 27 34

; 28 12

; 29 0; 30nn 1

2.

Exercice 4.6. 1) 32

; 2 11227

; 3 nm ; 4 1

4; 5 2; 6 2n; 7 1;

8 116

; 9 1144

; 10 14

; 11 2a2a

; 12 1n ; 13 7

36; 14 2

27;

15 12

; 16 12

; 17 35

; 18 1; 1922

; 20 ; 21 32

.

Exercice 4.7. 1) 12

; 2 12

; 3 2; 4 4; 5 1p ; 6 1

2; 7 1

3; 8 2

;

9 cos a; 10 sina; 11 1cos2x

; 12 24; 13 cos 2acos4a

; 14 34

; 15 14

;

16 sina; 17 2 ; 18 1

12; 19 3; 20 2 ; 21 0; 22 3

3; 23 0;

24 2516

; 25 34

.

Exercice 4.9. 1) e10; 2 0; 3 a 12

, b 23

, c 1; 4 e; 5 e3/2; 6 1;

7 e3; 8 e2; 9 1; 10 e2; 11 ex1; 12 e2a; 13 e; 14 1a ; 15 1;

16 e; 17 1; 18 ectga, a k 1; 19 logae; 20 1; 21 1x2 ; 22 2

3;

23 loga; 24 a; 252

; 26 aaloga 1; 27 a; 28 logx; 29 3 log2;

30 0; 31 110 ln 10

; 32 23

; 33 5ln 2

; 34 a2

b2 ; 35 1; 36 2

2; 37 log3;

38 log4; 39 5; 40 e3; 41 e8; 42 1e

; 43 1; 44 e ; 45 12

;

46 e18; 47 ee1 ; 48 4; 49 252

; 50 2; 51 log2; 52 e32 ; 53 e6;

54 ; 55 0; 56 e12 1

2.

Exercice 4.10. 1) 1; 2 ; 3 , 0; 4 2; 5 0; 1; 6 1; 0; 7 1;8 1; 9

2.

Exercice 4.12. log b2

a2 .


; 2 12

; 3 2; 4 2; ; 5 73

; 6 12; 7 a 12

; b 12

;

8 cos a; 9 24

; 10 0; 11 e2; 12 e1/2; 13 12

; 14 a ,

b 12

; 15 0; 16 1; 17 2; 18 1; 19 ; 20 ; 21 1; 22 1;

23 0; 24 0; 25 125

; 26 0; 27 0; 28 , 0; 29 1;

30 0 si k 2, b2 a2

2si k 2, si k 2;

31 1 ; 32 1; 33 43

; 34 log2; 35 32

; 36 32

.

Exercice 4.15. i) a 1, b 1; ii la droite y x 1 est une asymptote.

Exercice 4.20. 1) y 1 si 0 x 1, y x si 1 x 2, y x2

2si x 2;


——————————————————————————————————-134

2) y 0 si 0 x 1, y 2 2 si x 2, y x2 si x 2;3) y x si 0 x 1 et 4k 1 x 4k 1,

y x si 4k 3 x 4k 2 et 4k 2 x 4k 1,y 1

2 x x si x 2k 1, k N;

4) contour du carré: max|x|, |y| 1; 5 y 0 si 0 x 1, y 12

si x 1,

y 1 si 1 x ;6) y 0 si1 x 1 et y

2x 1 si x 1;

7 y 1 si x 1, y ex1 si x 1.Exercice 4.21. i) 1 0; 2 1

1 x; 3 sinx

x ; 4 1 .

ii) 1) Sn arctg n 1n 2

; 2 limn

Sn 4.

Exercice 4.23. 2r2; 4r2.Exercice 4.24. i) 1 2; 1; 2 2; 2; 3 e; 2. ii) 1) 1; 1;

2 ; 0; 3 2; 12

; 4 ; 0.

Exercice 4.25. i) 1) non; 2) non. ii) 1) non; 2) oui; 3) oui; 4) non; 5) non.Exercice 4.26. non, non.Exercice 4.33. 1) i) non, iii) non; 2) i) 1; ii) 1 .Exercice 4.35. g Of; g Oh; f Oh.

Exercice 4.36. a) i) xk a ox,x 0 si k ,

b oxn ,x si k n.

ii) xn oex, x , n N.

Exercice 4.37. a) i) k x a o x ,x 0 si k ,

b o n x ,x si k n.;

ii) logx o n x , x , n N.Exercice 4.38. Même ordre.Exercice 4.39. a k.Exercice 4.40. 1 vraie; 2 fausse; 3 vraie; 4 fausse; 5 vraie; 6 vraie;

7) vraie; 8 vraie; 9 vraie.Exercice 4.41. 1) 1

3; 2 1

2; 3 ; 4 ; 5 ; 6 2; 7 1; 8 2.

Exercice 4.42. 1) 2x; 2 x; 3 8 x ; 4 12

x2; 5) 49

x4; 6 x3

2; 7 x

2; 8 3x2

2;

9 7x2; 10 2 3 x2 ; 11 x2

4; 12 x2

4; 13 x3

2 a; 14 x .

Exercice 4.43. 1) 3x 12; 23 x 1

3 2; 3 x 1; 4 ex 1; 5 x 1.

Exercice 4.44. 1) x2; 2 2x2; 3 3 x2 ; 4 8 x ; 5 2x .

Exercice 4.45. 1 1x3 ; 2 1

21x

1/2; 3 1

x2; 4 1

41x

3/2; 5 1

8x4 .

Exercice 4.46. 1 12

1x 1

; 2 2 11 x

1/2; 3 1

3 31

1 x

1/3;

4 1

11 x

; 5 1x 1

.

Exercice 4.47. 1 1; 2 15; 3 1; 4 3; 5 3 22 ; 6 3

22 e; 7 2

9;

8 1log a

b; 9) 0; 10 ; 11) a2

b2 ; 12 1; 13) 2; 14 14

; 15) 2; 16) 73

; 17) 12.


——————————————————————————————————-135

Exercice 4.48. 1) f C0,2; ; 2) f CR; 3) f CR; 4) f CR ;5) 0, f CR;6 f CR Z; 7 f CR n2, n N; 8 f CR Z; 9 f CR Z;10 f CR 1

k, k Z ; 11) f CR 1

k, k Z ; 12 f CR;

13 f CR k, k Z ; 14 f CR; 15 f CR; 16 f C0,2.

Exercice 4.49. 1) ; 2 a 4; 3 ; 4 a 12

; 5 a 13

; 6 a 0; 7 ;8) a 1; 9 a n.Exercice 4.50. 1 a 2, b 1 sur R; 2 a 1, b 1 sur R;3 ; 4) a 1, b 1; 5 a 1, b

2.

Exercice 4.51. 1) non; 2) oui: f0 1; 3 oui : f0 23

; 4 oui : f0 2;

5) oui: f0 0; 6 oui : f0 29

; 7 oui : f0 32

; 8 oui : f0 e;

9) oui: f0 2; 10 oui : f0 0; 11 oui : f 4 2 .

Exercice 4.52. 1) x 1,2 2e espèce; 2) x 721e espèce;

3 x 2 1e espèce; 4 x 2 point éliminable);5 xk 1

k, k Z 1e espèce, x 0 2e espèce; 6 x 0, x 1 2e espèce;

7) x 1 point éliminable); 8) x 0 1e espèce; 9 x 0 point éliminable);10) x 1 point éliminable); 11) x 0 2e espèce;12 x 0 point éliminable), x 1 2e espèce; 13 x 0 2e espèce;14 x 0, x 2 1e espèce; 15) x 0, x 1, x 1 2e espèce;16) x 0, 2e espèce, x 1 1e espèce; 17)

xk k, k Z 2e espèce; 18 x 1 2e espèce;19) x 0 2e espèce.Exercice 4.54. i) 1) Fausse; 2) fausse; ii) non.Exercice 4.56. 1) gof discontinue en x 0, fog CR;2) fog discontinue en x 1,0,1 1e espèce, .gof CR;3) fog CR, gof CR.Exercice 4.65. 1) x y y 0, x y y 0;

2 xk 1k arcsin y k, k Z, y 1,1;

3 x 1 1 y , y 1; 4 x 1 1 y2

y , |y| 1, y 0;

5) xk 2k arccos y, k Z, 1 y 1; 6 xk arctgy k, k Z.Exercice 4.70. Non, par exemple la fonction fx sgnx .

Exercice 4.73. 58

, 34.

Exercice 4.74. 1) 5

; 2 8

; 3 . 102; 4 n 1; 5 2

.

Exercice 4.76. 1)unif. ; 2 unif. ; 3 i unif. , ii non; 4 non; 5 unif. ; 6 non; 7 unif; 8) non.


——————————————————————————————————-136

Corrigés détaillés de certains exercices.

Exercice 4.1. On désigne par Vx0 un voisinage de x0 R. Dans l’application de ladéfinition de la limite d’une fonction, comme pour la limite d’une suite, à savoir:

xx0

lim fx0 déf. 0, 0,x Vx0 : |x x0 | |fx | ,

la recherche de ou des x vérifiant l’inégalité |fx | peut se faire de manière directe ouindirecte, par des majorations où l’on doit faire apparaitre |x x0 |.

3) Soit 0 arbitraire. Il s’agit de trouver 0 tel quex V2 2 : 0 |x 2| fx 3

5 .

On a

fx 35 x2 1

x2 1 3

5

2|x2 4|5x2 1

2|x 2||x 2|5x2 1

.

Considérons le voisinage V 1,3 du point x 2. Dans ce voisinage les inégalitéessuivantes sont vraies:

x 2 5, 1x2 1

12

et x 2x2 1

52

.

Il en résulte que

0 |x 2| fx 35 2|x 2||x 2|

5x2 1 2|x 2|

552 |x 2| ,

si 0 |x 2| . Par conséquent on peut choisir tel quex V2 : 0 |x 2| fx 3

5 .

Cela signifie quex2lim fx 3

5.

5) Soit A 0 arbitraire. Il s’agit de trouver A 0 tel que.0 |x 1| 2

x 12 A.

De cette dernière inégalité, on déduit que

x 12 2A |x 1| 2

A.

Ainsi il suffit de prendre A 2A

pour que l’on ait

A 0, A 2A 0, x V1, |x 1| fx A.

C’est à dire quex1lim fx .

Exercice 4.2.1) y xn n N. Soit 0 arbitraire tel que 0 1. Nous avons alors:

|fx fx0| |xn x0n | |x x0 |. |xn1 xn2.x0 xn3.x0

2 . . .x0n1 |

|x x0 |. |x|n1 |x|n2. |x0 | |x|n3. |x0 |2 . . .|x0 |n1.

Considérons le voisinage V x0 1,x0 1 de x0. Dans ce cas, x V : |x| |x0 | 1. et,alors

|fx fx0| |x x0 ||x0 | 1n1 |x0 | 1n2|x0 | |x0 | 1n3|x0 |2 . . .|x0 |n1 si |x x0 | ,x0 avec


——————————————————————————————————-137

,x0 |x0 | 1n1 |x0 | 1n2|x0 | |x0 | 1n3|x0 |2 . . .|x0 |n1

.

.Ainsi on a démontré que 0, ,x0 0 tel que

|x x0 | |xn x0n |

xx0

lim xn x0n.

Comme x0 R est un point arbitraire, alors y xn n N est continue sur R.

2 y n x . Soit x0 R arbitraire. Comme x0 0, alors on considère x 0 dans unvoisinage de x0.

a) Cas x0 0. On a:

|fx fx0| | n x n x0 |

|x x0 | n x n1 n x n2 n x0 . . . n x n x0 n2 n x0 n1

|x x0 | n x0 n1

si |x x0 | ,x0 avec ,x0 n x0 n1. Ainsi

0, n x0 n1, x Vx0, |x x0 | |fx fx0| .

b) Cas x0 0. On a f0 0. Alors

|fx f0| | n x 0| | n x |

si |x| , 0 avec , 0 n.Donc la fonction fx n x est continue sur R, n N.

5 y sinx. Soit x0 R arbitraire. On a

|fx fx0| |sinx sinx0 | 2sin x x0

2. cos x x0

2

2. x x0

2.1 |x x0 |.

Alors 0, ,x0 tel que

x Vx0, |x x0 | |sinx sinx0 | .

On conclut que y sinx est continue sur R.

11 y arctgx. Soit x0 R arbitraire.a) Cas x0 0. Soit h 0 très petit tel que x0 h 0 et posons

t arctgx0 h arctgx0.Comme tgt |t| , alors on obtient

arctgx0 h arctgx0 |t| tgt x0 h x0

1 x0. x0 h

|h||1 x0

2 x0h| h

1 x02 h .

Il suffit de choisir donc .Donc 0 0 tel que

x Vx0, |x x0 | arctgx0 h arctgx0 .b) Cas x0 0. Comme arctgx0 arctgx0, alors la démonstration est analogue à celle


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donnée en a).c) Cas x0 0. On a arctgx arctg0 arctgx |x|. Alors

x0limarctgx arctg0 0.

Ainsi y arctgx est continue sur R.

12 y |x|. Soit x0 R. On a |fx fx0| ||x| |x0 || |x x0 |. Si |x x0 | avec,x0 , alors |fx fx0| |x x0 | . Ainsi fx |x| est continue sur R.

Exercice 4.5.1) On a directement

x0lim x2 1

2x2 x 1 02 1

2.02 0 1 1.

2)x1lim x2 1

2x2 x 1 0

0F. I. . Factorisons le numérateur et dénominateur et puis

simplifions par x 1. car x 1 et x 1. On obtient ainsi

x1lim x2 1

2x2 x 1

x1lim

x 1x 1x 12x 1

x1lim

x 12x 1

23

.

6)x0lim1 mxn 1 nxm

x2 00F. I. . On a, d’après la formule du binôme de Newton

1 mxn 1 nxm

x2

1 Cn1mx Cn

2mx2 Cn3mx3 . . .mxn

x2

1 Cm1 nx Cm

2 nx2 Cm3 nx3 . . .nxm

x2

x2Cn2m2 Cn

3m3x . . .mnxn2 Cm2 n2 Cm

3 n3x . . .nmxm2x2

Cn2m2 Cn

3m3x . . .mnxn2 Cm2 n2 Cm

3 n3x . . .nmxm2.En passant à la limite quand x 0, on obtient

x0lim1 mxn 1 nxm

x2

x0lim Cn

2m2 Cn3m3x . . .mnxn2 Cm

2 n2 Cm3 n3x . . .nmxm2

Cn2m2 Cm

2 n2 nn 1m2

2 mm 1n2

2 mnn m

2.

8)xlim2x 3203x 230

2x 150 F. I. ? On a

xlim2x 3203x 230

2x 150 xlim

x202 3x

20x303 2x

30

x502 1x

50

xlim2 3

x 203 2

x 30

2 1x

50 220. 330

250 3230.

17)xlim x3

2x2 1 x2

2x 1 F. I. ? On a

xlim x3

2x2 1 x2

2x 1

xlim 2x4 x3 2x4 x2

2x2 12x 1


——————————————————————————————————-139

xlim x3 x2

2x2 12x 1

xlim

x31 1x

x32 1x2 2

1x 1

4.

21)x1lim x100 2x 1

x50 2x 1 0

0F. I. ? On a

x1lim x100 2x 1

x50 2x 1

x1limx100 1 2x 1x50 1 2x 1

x1limx 1x99 x98 . . .x 1 2x 1x 1x49 x48 . . .x 1 2x 1

x1limx99 x98 . . .x 1 2x49 x48 . . .x 1 2

100 250 2

4924

.

Exercice 4.6. Dans cet exercice, il sagit souvent de transformer l’expression irrationnelle enune expression rationnelle en appliquant la formule

an bn a ban1 an2b an3b2 . . .a2bn3 abn2 bn1, n 2,et utiliser les relations 1) et 2) de l’exercice 4.2.

2)x7lim

x 2 3 x 204 x 9 2

00F. I? On a

x7lim

x 2 3 x 204 x 9 2

x7lim x 2 3 3 3 x 20

4 x 9 2

x7lim

x 2 3x 7

3 3 x 20

x 74 x 9 2

x 7

x7lim

x 2 3x 7

4 x 9 2x 7

3 3 x 20x 7

4 x 9 2x 7

.

Calculons les limites du numérateur et du dénominateur séparément pour chacune desfractions. On a:

x7lim

x 2 3x 7

x7lim x 2 3 x 2 3x 7 x 2 3

x7lim x 2 9x 7 x 2 3

x7lim 1

x 2 3 1

6;

x7lim

3 3 x 20x 7

x7lim

3 3 x 20 9 3 3 x 20 3 x 202

x 7 9 3 3 x 20 3 x 202

x7lim 27 x 20x 79 3 3 x 20 3 x 202

x7lim 1

9 3 3 x 20 3 x 202 1

27;

x7lim

4 x 9 2x 7

x7lim 4 x 9 2 4 x 9 2x 7 4 x 9 2

14 x7

limx 9 4x 7

14 x7

lim x 9 4 x 9 4x 7 x 9 4

14 x7

lim x 9 16x 7 x 9 4

14 x7

lim 1x 9 4

132

.

Ainsi, en remplaçant dans (*), on obtient:


——————————————————————————————————-140

x7lim

x 2 3 x 204 x 9 2

16 1

27132

11227

.

3)x1lim

m x 1n x 1

00F. I. ? Posons x tmn. Dans ce cas, d’après les relations 1) et 2) de

l’exercice 4.2., on a x 1 t 1. Et donc

x1lim

m x 1n x 1

t1lim tn 1

tm 1

t1lim

t 1tn1 tn2 . . .1t 1tm1 tm2 . . .1

t1lim tn1 tn2 . . .1

tm1 tm2 . . .1 1 1 . . .1

1 1 . . .1 n

m .

4)xlim x x2 2x 2 x2 x x F. I. ? On a

xlim x x2 2x 2 x2 x x

xlim x x2 2x x2 x x x2 x

xlim

x x2 2x x2 x x2 2x x2 x

x2 2x x2 x xx x2 x x x2 x

x x2 x

xlim

xx2 2x x2 x

x2 2x x2 x xx2 x2 x

x x2 x

xlim x2

x2 2x x2 x x2

x x2 x

xlim

x2x x2 2x

x2 2x x2 x x x2 x

xlim

x2x2 x2 2x

x2 2x x2 x x x2 x x x2 2x

xlim 2x3

x3 1 2x 1 1

x 1 1 1x 1 1 2

x

xlim 2

1 2x 1 1

x 1 1 1x 1 1 2

x 1

4.

5xlim 3 x3 3x2 x2 2x F. I. ? Tout d’abord transformons l’expression

sous le signe de la limite de la façon suivante:

xlim 3 x3 3x2 x2 2x

xlim 3 x3 3x2 x x2 2x x

xlim x3 3x2 x3

3 x3 3x22 x 3 x3 3x2 x2 x2 2x x2

x2 2x x

xlim 3x2

3 x3 3x22 x 3 x3 3x2 x2 2x

x2 2x x

xlim 3x2

x2 3 1 3x

2 x 3 1 3x 1

2x

x 1 2x 1

33 2

2 2.


——————————————————————————————————-141

9)x2lim

3 x 6 2x3 8

00F. I. ? On a

x2lim

3 x 6 2x3 8

x2lim

3 x 6 2 3 x 62 2 3 x 6 4

x3 8 3 x 62 2 3 x 6 4

x2lim x 6 8

x 2x2 2x 4 3 x 62 2 3 x 6 4

x2lim 1

x2 2x 4 3 x 62 2 3 x 6 4 1

12.12 1

144.

11)xalim

x a x a

x2 a2 0

0F. I. ? On a

x a x a

x2 a2

x a

x2 a2

x a

x2 a2

x ax2 a2 x a

1x a

x a

x a x a 1

x a.

Doncxalim

x a x a

x2 a2

xalim

x ax a x a

1x a

12a

.

12)x0lim

n 1 x 1x 0

0F. I. ? Posons n 1 x t 0. Alors, on a

1 x tn, x tn 1 et x 0 t 1.Par conséquent

x0lim

n 1 x 1x

t1lim t 1

tn 1

t1lim t 1t 1tn1 tn2 . . .1

t1lim 1

tn1 tn2 . . .1 1

n .

Exercice 4.7.8)

x1lim 1 xtg

2x 0. F. I. ? Posons x 1 t. Alors, on a

x t 1 et x 1 t 0.Ainsi

x1lim 1 xtg

2x

t0lim t. tg

2t 1

t0lim t. ctg

2t

t0lim t

tg t2

t0lim

2

t

tg t2

. 2

2 .

12)x

3

limtg

3x 3tgx

cosx 6 0

0F. I. ? Posons x

3 t. Alors on a

x t 3

et x 3 t 0.

Ainsi

x 3

limtg

3x 3tgx

cosx 6

t0lim

tgt 3tg

2t

3 3

cost 2


——————————————————————————————————-142

t0lim

tgt 3tgt

3 3 tgt

3 3

sin t

t0lim tgt

3tgt

3 3

tgt 3 tg

3

sin t

t0lim[tgt

3tgt

3 3

sint 3

3

sin t cost 3cos

3 6. 1

cos2 3 24.

15)x0lim

1 tgx 1 sinx

x3 00F. I. ? On a

x0lim

1 tgx 1 sinx

x3 x0lim

tgx sinx

x3 1 tgx 1 sinx

x0lim

sinx1 cos x

1 tgx 1 sinx x3 cos x

x0lim 1

1 tgx 1 sinx

sinx. 2 sin2 x2

x3

x0lim 1

1 tgx 1 sinx

sinxx

sin2 x2

2 x2

2 12

.1. 12

12 14

.

18)x0lim

cos x 3 cos x

sin2x 0

0F. I. ? Posons 6 cos x t 0. Sachant que

limx0

cos x 1, alors on a:

cos x t6 et x 0 t 1.Ainsi

x0lim

cos x 3 cos x

sin2x

t1lim t3 t2

1 t12 t1lim

t2t 11 t1 t t2 . . .t11

t1lim t2

1 t t2 . . .t11 1

12.

21)x0lim

1 cos x1 cos x

00F. I. ? On a

x0lim

1 cos x1 cos x

x0lim 1 cos x

1 cos x. 1

2 sin2 x2

x0lim 1

1 cos x

2sin2 x2

2sin2 x2

x0lim 1

1 cos x

sin2 x2

x22

. x2

4.

x22

sin2 x2

. 2x2


——————————————————————————————————-143

x0lim 1

1 cos x

sin2 x2

x22

.

x22

sin2 x2

. x2

4. 4

x x0lim 1

2.1.1.0 0.

Exercice 4.9. Dans cet exercice, on pourra utiliser les résultats des exercices 4.2 et 4.8,supposés résolus.

2)xlim x 2

2x 1x2 ? Comme

xlim x 2

2x 1 1

2 1 et

xlim x2 .

On déduit que directementxlim x 2

2x 1x2 0.

3) c)xlim 1 x

2 x

1 x

1x ?

Commexlim 1 x

2 x 1

2et

xlim

1 x1 x

xlim

1 x1 x

xlim 1

1 x 0, alors

xlim 1 x

2 x

1 x1 x 1

2

0 1.

5)x0lim cos x

cos 2x

1x2 1 F. I. ? Nous avons, d’après l’exercice 4.8

x0lim cos x

cos 2x

1x2 e x0

lim1x2

cos xcos 2x

1 e x0

lim1x2

2sin x2 sin 3x

2

cos 2x

ex0lim

2cos 2x

.

sin x2

x2

.2.

sin 3x2

3x2

. 23 e2.

12 .

32 e

32 .

8)x0lim tg

4 x

ctgx 1 ? On a, d’après l’exercice 4.8.:

x0lim tg

4 x

ctgx e x0

lim ctgx tg4x1

e x0limctgx

1tgx

1tgx1

e x0lim

2tgxctgx

1tgx e x0lim 2

1tgx e2.

11) Comme dans 8), on a

nlim n x

n 1

n en

lim nn xn 1

1 en

limx 1n

n 1 ex1.

14)xalim ln x ln a

x a 00

? On a a 0 et

xalim ln x ln a

x a xalim 1

x a ln1 x aa

1a xa

lim ln1 x aa

ax a 1

a lnxalim 1 x a

a a

x a 1a ln e 1

a .


——————————————————————————————————-144

19)x0lim

lna1 xx 0

0F. I. ? On a, d’après l’exercice 4.2 et la formule

x0lim 1 x

1x e :

x0lim

lna1 xx

x0lim 1

x lna1 x x0lim lna1 x

1x lna

x0lim 1 x

1x logae.

21)h0lim

lnx h lnx h 2 ln xh2 0

0F. I. ? On a, d’après 19):

h0lim

lnx h lnx h 2 ln xh2

h0lim

lnx2 h2 ln x2

h2 h0lim

ln1 h2

x2

h2

h0lim 1

x2

ln1 h2

x2

h2

x2

1x2

h0lim

ln1 h2

x2

h2

x2

1x2 1 1

x2 .

23)x0lim ax 1

x 00F. I? Posons ax 1 t . Alors on a:

x loga1 t et (x 0 t 0.Ainsi, d’après 19), on a

x0lim ax 1

x t0lim t

loga1 t

t0lim 1

loga1 tt

1logae

ln a.

24)x0lim1 xa 1

x 00F. I. ? On a, d’après 19) et 23)

x0lim1 xa 1

x x0lim ea ln1x 1

a ln1 x.

a ln1 xx

x0lim ea ln1x 1

a ln1 x x0lim

a ln1 xx ln e.a 1.a a.

26)xalim ax xa

x a 00F. I. ? On a, d’aprrès 23) et 24)

xalim ax aa aa xa

x a aa

xalim axa 1

x a aa

xalim

1 xa

a

x a

aa ln a aa

xalim1 x a

a a 1x a

a .a

aa ln a aa1

xalim1 x a

a a 1x a

a aa ln a aa1.a aa ln a

e .

27)xalim x a

x a 0

0F. I. ? Posons x a t . Alors on a

x a t et x a t 0.Ainsi, d’après 24)

xalim x a

x a

t0limt a a

t a a

t0lim a

1 ta 1

ta

.ta

1 ta 1

. 1a


——————————————————————————————————-145

at0lim1 t

a 1

ta

.t0lim

ta

1 ta 1

a.

29)xlim ln1 2x ln1 3

x 0. F. I. ?

a) cas x . On a, d’après la relationt0lim

ln1 tt 1,

xlim ln1 2x ln1 3

x xlim ln 2x1 1

2x ln1 3x

xlim x ln 2 ln1 1

2x ln1 3x

xlim 3 ln 2

ln1 3x

3x

ln1 12x ln1

3x 3 ln 2. 1 0 3 ln 2.

b) Cas x . On a, comme dans a):

xlim ln1 2x ln1 3

x ln1 0 ln1 0 0.

32).x0lim

3 1 x 1 sinxln1 x

00

? On a, d’après les résultats précédents

x0lim

3 1 x 1x 1

3,

x0lim sinx

x 1 etx0lim

log1 xx 1.

Alors

x0lim

3 1 x 1 sinxln1 x

x0lim

3 1 x 1x sinx

xln1 x

x

13 1

1 2

3.

34)x0lim ln cos ax

ln cos bx 0

0F. I. ? On a, d’après les relations

t0lim

ln1 tt 1

t0lim sint

t et l’exercice 4.2:

x0lim ln cos ax

ln cos bx

x0lim

ln1 cos ax 1ln1 cos bx 1

x0lim

ln1 2sin2 ax2

ln1 2sin2 bx2

x0lim

ln1 2sin2 ax2

2sin2 ax2

2sin2 ax2

2sin2 bx2

2sin2 bx2

ln1 2sin2 bx2 1. a2

b2 . 1 a2

b2 .

36)xlim x2 ln cos x . 0 F. I? On a

xlim x2 ln cos x

xlim x2 ln1 cos x 1

xlim x2 ln1 2sin2

2x

xlim x2

ln1 2sin2 2x

2sin2 2x

2sin2 2x

38)xlim x2 4

1x 4

1x1 . 0? On a, d’après 24)

xlim x2 4

1x 4

1x1

xlim 4

1x1 .4

1xx1 1

1x2


——————————————————————————————————-146

xlim 4

1x1 .

xlim4

1xx1 1

1xx 1

.xlim x

x 1 1. ln 4.1 ln 4.

42)x0lim 1 x x

1x 1 F. I. ? On a, d’après l’exercice 4.8):

x0lim 1 x x

1x e x0

lim1x 1x x1

.

Calculonsx0lim 1

x 1 x x 1 . On a

x0lim 1

x 1 x x 1 x0lim

1 x x 1 1 x x 1

x 1 x x 1

x0lim

1 x 1 x2

x 1 x x 1

x0lim

1 x1 1 xx 1 x x 1

x0lim 1 x

1 x x 1 1

2.

Par conséquentx0lim 1 x x

1x e

12 1

e.

46)x0lim cos 6xctg

2x 1? On a, comme pour 42) précédent:

x0lim cos 6xctg

2x e x0

lim ctg2xcos6x1

e x0

lim ctg2x2sin23x

e x0lim cos2x.

2sin23xsin2x e

2x0lim

sin23x3x2

.9x2

sin2x e18.

50)x0lim esh3x eshx

thx 0

0? On a, d’après 24)

x0lim esh3x eshx

thx

x0lim

esh3x 1 eshx 1thx

.sh3x. shx

sh3x. shx

x0lim esh3x 1

sh3x.

sh3x

thx

x0lim eshx 1

shx.

shx

thx 1.3 1.1 2,

carx0lim eshax 1

shax 1,

x0lim

shbx

thx

x0lim

shbxbx

xthx

b 1.1.b b.

51)xlim x2 lnchx2 ? On a, d’après l’exercice 4.2.4)

xlim x2 lnchx2

xlim ln ex2 ln ex2 ex

2

2

xlim ln 2ex2

ex2 ex2

lnxlim 2ex2

ex2 ex2 ln

xlim 2

1 e2x2 ln 2.

Exercice 4.13. Pour résoudre les exercices suivants, il sagit souvent de transformer lesexpressions données et utiliser les résultats déjà connus ou démontrés.

1x2

limarctg2 x sinx 22

x2 4 0

0F. I. ? On a, d’après

t0lim

arctgtt 1,


——————————————————————————————————-147

x2lim

arctg2 x sinx 22

x2 4

x2lim

arctg2 xx2 4

sinx 22

x2 4

x2lim

arctg2 x2 x

. 1x 2

sinx 22

x 22. x 2

x 2 1

4 1.0 1

4.

3 On ax0lim

x3 10 x cos x sin3x

1 1 x3

x0limx3 10 x cos x sin3x1 1 x3

1 1 x3 1 1 x3

x0lim

x3 10 x cos x

x3 sin3xx3 1 1 x3 2.

10xlim x 2 logx 2 2x 1 logx 1 x logx F. I.

xlim x logx 2 2x logx 1 x logx 2 logx 2 2 logx 1

xlim log

x 2x2xx

x 12x1

xlim log

1 1x 1

x1

1 1x

x

x 2x 1

log ee . 1 0.

12x00lim x cos x

x00lim cos x

1x 1F. I. ex00

lim1x cos x 1

e

x00lim

2sin2 x2

x e

12 x00

limsin

x

2x

2

2

e12 1

e.

16x0lim eax ebx

sinax sinbx

x0lim eax 1 1 ebx

sinax sinbx.

Calculonsx0lim eax 1

sinax sinbxet

x0lim ebx 1

sinax sinbx. On a

x0lim eax 1

sinax sinbx

x0lim eax 1

ax . axsinax sinbx

x0lim eax 1

axx

2sin a b2

x cos a b2

x 1

a b x0lim eax 1

ax

a b2

x

sin a b2

x1

cos a b2

x

1a b

.a. 1. 11 a

a b.

De même, on trouve quex0lim ebx 1

sinax sinbx b

a b. En faisant la différence, on obtient

quex0lim eax ebx

sinax sinbx a

a b b

a b 1.

18x0lim xE 1

x . 0 F. I. ?

Cas x 0. On a 1x 1 E 1

x 1x . 0 1 x xE 1

x 1.

Puisquex0lim 1 x

x0lim 1 1, on déduit que

x0lim xE 1

x 1.

La démonstration est analogue si x 0.


——————————————————————————————————-148

24 On axlim

3 x x2 1 3 x x2 1x

xlim

3 x 3 1 1 1x2 3 1 1 1

x2

x

xlim 1

3 x23 1 1 1

x2 3 1 1 1x2 0.2 0.

35)xlim

ln2 e3xln3 e2x

00F. I. ? Pour calculer cette limite transformons l’expression

sous la signe de la limite de la manière suivante:

xlim

ln2 e3xln3 e2x

xlim

ln e3x1 2e3x

ln e2x1 1e2x

xlim

3x ln1 2e3x

2x ln1 1e2x

xlim

x 3 ln1 2

e3x

x

x 2 ln1 3

e2x

x

3 02 0

32

.

36)x0lim ex2 cos x

sin2x 0

0? On sait que

x0lim ex2 1

x2 1 etx0lim x2

sin2x 1,

et, alors on a

x0lim ex2 cos x

sin2x

x0lim ex2 1 1 cos x

sin2x

x0lim ex2 1

x2 . x2

sin2x

2sin2 x2

sin2x

x0lim ex2 1

x2 .x0lim x2

sin2x

x0lim

2sin2 x2

4sin2 x2

cos2 x2 1 1

2 3

2.

Exercice 4.14.4

x0lim coslog|x| ? Soient les deux sous suites

xn 1

e2 2n

et xn 1

e2n , n 1.

On a, d’une partnlim xn

nlim xn

0 et, d’autre part

nlim fxn

nlim coslog|xn

| nlim cos

2 2n 0,

nlim fxn

nlim coslog|xn

| nlim cos 2n 1.

Alors, d’après la définition de la limite d’une fonction à l’aide des suites, la fonctionfx coslog|x| n’admet pas la limite en x 0.

Exercice 4.20.

1 y nlim n 1 xn x2

2n x 0.


——————————————————————————————————-149

Si 0 x 1, alors

1 n 1 xn x2

2n n 1 1 1

2 3 3

Si 1 x 2, alors2

x n 1 xn x2

2n x n

1xn 1 x

2n x n 3 .

Si 2 x , alorsx2

2 n 1 xn x2

2n x2

2 n 2x2

n 2x

n 1 x2

2n 3 .

Puisquenlim n 3 1 , on déduit que

y

1 , si 0 x 1,

x , si 1 x 2,

x2

2, si 2 x .

.

3 y nlim

xtg2n x

4 x

tg2n x

4 1

x 0 ? On a plusieurs cas:

a premier cas: 0 tg2 4

x 1 si 0 x 1 et 4k 1 x 4k 1k 1,2,3, . . . . Alors

on a

y nlim

xtg2n x

4 x

tg2n x

4 1

x. 0 x

0 1 x car

nlim tg2n x

4 0.

b Deuxième cas: tg2n x4 1 si x 2k 1, k 1,2, . . .Dans ce cas, on trouve

y nlim

xtg2n x

4 x

tg2n x

4 1

x x

2.

c Troisième cas: tg2 x4 1 si 4k 3 x 4k 2, 4k 2 x 4k 1, k 1,2, . . .

Alors

y nlim

xtg2n x

4 x

tg2n x

4 1

nlim

x x

tg2n x

4

1 1tg

2n x

4

x 01 0

x.

Ainsi

y

x si 0 x 1 et 4k 1 x 4k 1,k 1,2, . . . ,

x x2

si x 2k 1,k 1,2, . . . ,

x si 4k 3 x 4k 2,4k 2 x 4k 1,k 1,2, . . .

Exercice 4.21.

1nlim xn1

n 1! xn2

n 2!. . . x2n

2n! ? D’après l’exercice 4.19 2 , on a

nlim yn ex , si yn 1 x

1! x2

2!. . . xn

n!x R.

Alors


——————————————————————————————————-150

xn1

n 1! xn2

n 2!. . . x2n

2n! y2n yn.

Et donc

nlim xn1

n 1! xn2

n 2!. . . x2n

2n!

nlim y2n yn

nlim y2n

nlim y2n ex ex 0.

3 On a, en appliquant successivement la formule sin2x 2sinx cos x :

x 0, y nlim cos x

2cos x

4. . . cos x

2n nlim

cos x2

cos x4

. . . cos x2n . 2 sin x

2n

2sin x2n

nlim

cos x2

cos x4

. . . cos x2n1 . sin x

2n1

2sin x2n

nlim

cos x2

cos x4

. . . cos x2n2 . sin x

2n2

22 sin x2n

. . .nlim sinx

2n sin x2n

sinxx

nlim

x2n

sin x2n

sinxx .

Exercice 4.24.i1 fx sin2 1

x 2 arctg 1

x . Comme 0 sin2 1x 1 et 1 2

arctg 1x 1,

on a, d’une part, pour xn 1n , n 1,

nlim sin2 1

xn 0 infsin2 1

x

et, d’autre part:nlim 2

arctg 1xn 2 arctg 1 inf 2

arctg 1x , donc,

x0

lim fx nlim sin2 1

xn 2 arctg 1

xn 0 1 1.

Une démonstration analogue donne, pour xn 1

2 2k

, n 1 :

x0lim fx

nlim sin2 1

xn

2 arctg 1

xn 1 1 2.

2) fx 2 x2cos 1x . On a, pour xn 1

1 2nn 1,2,3, . . .

nlim cos 1

xn 1 infcos 1

x et limx02 x2 2. Alors

x0

limf x nlim 2 1

21 2n2cos1 2n 2.

Une démonstration analogue donne pour xn 12n

, n 1.

x0lim fx

nlim 2 1

42n2 cos 2n 2.1 2.

ii) 1). fx sinx, x . On sait que 1 sinx 1. Considérons les deux suites de laforme:

xn

2 2n et xn

2 2n, n 1 On a, d’une part

nlim xn

nlim xn

et, d’autre partfxn sin

2 2n sin

2 1 et fxn

sin 2 2n sin

2 1.

Par conséquentxlim fx 1 et

xlim fx 1.


——————————————————————————————————-151

4) fx x1 x2 sin2x

, x 0. Il est évident que fx 0, x 0. Comme dans ii) 1)

choisissons deux suites de la forme xn 2n et xn

2 2n. On a

nlim xn

nlim xn

,

et

nlim fxn

nlim 2n

1 2n2 sin22n

1 0 et

nlim fxn

nlim

2 2n

1 2 2n2 sin2

2 2n

nlim

2 2n

1 2 2n2

0.1 0

Par conséquentxlim fx et

xlim fx 0.

Exercice 4.27.i) 1) 2x x2 Ox x 0? Comme 2x x2

x |2 x| 2 |x| 3 dans le

voisinage 1,1 de x 0, alors 2x x2

x est bornée dans ce voisinage. Ce qui signifie que

2x x2 Ox (x 0.

3) x sin 1x O|x| x 0? Comme

x sin 1x

|x| sin 1

x 1 x 0, alors

x sin 1x O|x| x 0.

5) arctg 1x O1 x 0? Puisque arctg: R ]

2,

2, alors

u R arctgu 2

. Donc arctg 1x

2(x 0 et, alors arctg 1

x O1 x 0.

6) 1 xn 1 nx ox x 0? On a, pour tout n N :

1 xn 1 nx nn 12

x2 nn 1n 23!

x3 . . .xn

1 nx xnn 1

2x nn 1n 2

3!x2 . . .xn1.

Commex0lim

nn 12

x nn 1n 23!

x2 . . .xn1 0, alors

1 xn 1 nx ox x 0.

ii) 1) 2x3 3x2 1 Ox3 x ? Comme x , on peut considérer que x 1 et,alors: x 1,, on a

2x3 3x2 1x3 2 3

x 1x3 2 3

x 1x3 2 3 1 6.

Donc 2x3 3x2 1 Ox3 x .

Exercice 4.31.2) x x x 8 x x 0? Il suffit de montrer pour cela que:


——————————————————————————————————-152

x0lim

x x x

8 x 1. Nous avons, d’après l’exercice 4.2., 2):

x0lim

x x x

8 x

x0lim

x 4 x x 1

8 x

x0lim

8 x 4 x3 x 1

8 x

x0lim 4 x3 x 1 1.

Exercice 4.33.1)i) En général ln f n’est pas équivalente à ln g. En effet considérons l’exemple suivant

fx 1 x2 sin2x et gx 1 x, x0 0. On a, d’une part:

x0lim

fxgx

x0lim

1 x2 sin2x

1 x 1,

donc f g x 0.D’autre part, ln fx ln1 x

2 sin2x

0 x

2 sin2x et ln gx ln1 x

0 x et alors

x0lim

ln fxlnx

x0lim

ln1 x2 sin2x

ln1 x

x0lim

x2 sin2x

x x0lim 1

2 sinx

x sinx 12

;

c’est à dire que ln fx et ln gx ne sont pas équivalentes au point x0 0.

Exercice 4.34. x2 px q x p2 O 1

x x ? Comme

x2 px q x p2

x2 px q x p

2 x2 px q x p

2

x2 px q x p2

x2 px q x p

22

x2 px q x p2

q p2

4x2 px q x p

2

,

comme x 0, on déduit que

et x2 px q x p2 1

x .q p2

4

1 px

qx2 1 p

2x

.

Orxlim

q p2

4

1 px

qx2 1 p

2x

q p2

42

, et donc

q p2

4

1 px

qx2 1 p

2x

C au voisinage de .

De cette façon nous avons démontré que x2 px q x p2 C. 1

x pour


——————————————————————————————————-153

x . Ce qui signifie que x2 px q x p2 O 1

x x .

Exercice 4.39. Les fonctions fx 1 x , gx a1 k x x 1 a 0 sontinfiniment petites (x 1 car

x1lim fx

x1lim gx 0. Montrons qu’elles sont du même ordre en

calculant

x1lim

fxgx

x0lim 1 x

a1 k x . Pour cela, posons x tk. Et, alors on a x 1 t 1

et

x1lim

fxgx

t1lim 1 tk

a1 t

t1lim1 t1 t t2 . . .tk1

a1 t

t1lim 1 t t2 . . .tk1

a ka 0.

Par conséquent les deux fonctions fx et gx sont des fonctions infiniment petites demême ordre. Si a k , alors elles seront équivalentes.

Exercice 4.41.4) fx ln1 x sinx x 0 . Comme ln1 x sinx

0 x sinx , alors

x0lim

fxx

x0lim

ln1 x sinx x

x0lim

x sinxx

x0lim

x sinxx

x0lim x

xsinx

x

x0lim x1 sinx

x 1 si 1.

Ainsi f est équivalente à x en x0 0, c’est à dire elle est un infiniment petit d’ordre 1.

Exercice 4.42. Soit gx x p.p.fx.

3) fx 2x x x , x 0 . On cherche les valeurs de et pour lesquelles

f g x 0. On a fx 8 x 2 4 x3 x 1 . Donc

x0lim

fxgx

x0lim x

18

x. 2 4 x3 x 1

x0lim 1 x

18 .

x0lim 2 4 x3 x 1 1

x0lim x

18 1 ,

si 1 et 18

. Par conséquent f g x 0 , si 1 et 18

, c’est à dire

que p.p.fx 8 x .

5) fx 2ex4 cos x 12 x5 2, x 0. On a

x0lim

fxgx

x0lim

2ex4 cos x 12 x5 2x

x0lim

2ex4 1 cos x 12 x5

x

x0lim

2x4 ox4 x4

4 ox4 x5

x

1

x0lim x4

x0lim 21 o1 1

4 o1 x


——————————————————————————————————-154

94 x0

lim x4 1 , si 49

et 4.

Ainsi nous avons démontré que si 49

et 4 , alors f g x 0, c’est à dire que

p.p.fx 49

x4.

9) fx sin22x arcsin2x 2arctgx2, x 0. On a

x0lim

fxgx

x0lim

sin22x arcsin2x 2arctgx2

x

x0lim2x ox2 x ox2 2x2 ox2

x

x0lim

x22 o12 1 o1 21 o1x

7

x0lim x2 1, si 7 et 2.

Par conséquent f g x 0, si 7 et 2, c’est à dire p.p.fx 7x2, x 0.

13) fx a x3 a a 0 x 0. On a

x0lim

fxx

x0lim

a x3 ax

1

x0lim a x3 a

x a x3 a

1

x0lim x3

a x3 a 1 si 1

2 aet 3.

Ainsi p.p. fx x3

2 a, x 0.

14) fx 3 x2 x x 0. On ax0lim

fxx

x0lim

3 x2 xx

.

Posons x t6, x 0 t 0, alors, on a

x0lim

fxx

1

t0lim t4 t3

t6 1

t0lim t 1t36 1 si 1

2et 1.

Donc p.p. fx x , x 0.

Exercice 4.43. 3) fx logx, gx x 1, x 1. On a log1 x 11 x 1 et

x1lim

logxx 1

x1lim

log1 x 1x 1

x1lim x 1x 1

1 si 1.

Donc p.p.fx x 1, x 1.

Exercice 4.44.

5) fx 2x x x , gx x, x . Comme

fx x 2 1x

1x3 , alors

xlim

fxgx

xlim x

12

x xlim 2 1

x 1x3 2

xlim x

12 1,

si 2 et 12

. Alors f g x , si 2 et 12

, c’est à dire que


——————————————————————————————————-155

p.p.fx 2x , x .

Exercice 4.46.

3) fx x3 1 x

, gx 11 x

, x 1. On a

x1lim

x3 1 x

11 x

x1lim x 1 x

13 1

si 1 et 13

. Donc p.p.fx 11 x

, x 1.

Exercice 4.47.1) On a arcsin t

0 t et log1 u

0 u. Posons t x

1 x2, on a

x t1 t2

et x 0 t 0 et, alors

x0lim

arcsin x1 x2

log1 x

t0lim t t

1 t2

1.

4) On a cos x cos 2x1 cos x

2sin 3x

2sin x

2

1 cos x 0 2

3x2 x

2x2

2x0 3.

15)x0lim

x3 10 x cos x sin3x

1 1 x3 0

0?.

On a sin3x x3 ox3 , 1 x3 1 x3

2 ox3.

Par conséquent

x0lim

x3 10 x cos x sin3x

1 1 x3

x0lim

x3 10 x cos x x3 ox3

1 1 x3

2 ox3

x0lim

x3 10 x cos x 1 o1

x3 12 o1

x0lim

10 x cos x 1 o1

12 o1

2.

16)x0lim

x arcsin x e7 3 x 1

tg 3 x ln1 3x 0

0? Comme x 0 3 x 0, on déduit que

arcsin x0 x , tg 3 x

0 3 x , et e7 3 x 1

0 7 3 x , ln1 3x

0 3x,

et alors, d’après les opérations sur les équivalences:

x0lim

x arcsin x e7 3 x 1

tg 3 x ln1 3x

x0lim

x x 7 3 x 3 x 3x

x0lim

7x 3 x3x 3 x

73

.

17)x0limsin2x 2tgx2 1 cos 2x3

tg76x sin6x

00

? On obtient après transformations sur les


——————————————————————————————————-156

fonctions trigonométriques:

x0limsin2x 2tgx2 1 cos 2x3

tg76x sin6x

x0lim2sinx cos x 2sinx

cos x 2 8sin6x

tg76x sin6x

x0lim

4sin2xcos2x 12 8sin6x cos2x

tg76x sin6xcos2x

x0lim

4sin6x1 2cos2x

tg76x sin6xcos2x

x0lim

4x ox61 2cos2x6x ox7 x ox6 cos2x

x0lim

4x61 o161 2cos2x6x66x ox x61 o1 cos2x

x0lim

41 o161 2cos2x666x ox 1 o1 cos2x

4130 1

12.

Remarque. On verra plus loin que cette cette limite se calcule plus facilement à l’aide desdéveloppements limités (voir Chapitre VI, exercice 6.19).

Exercice 4.48.

3) fx sinx

x si x 0

1 si x 0La fonction est continue au point x 0, si

x0lim fx f0 1. Etudions pour cela les limites à droite et à gauche au point x 0.

On a : f0 0 x00lim sinx

x x00lim sinx

x 1

et f0 0 x00lim sinx

x x00lim sinx

x 1.

C’est à dire que f0 0 f0 0 1 f0. Donc la f est continue au point x 0. Il estclair que f est continue en tout point x 0. Donc f CR.

10) y xE 1

x si x 0

1 si x 0.Si x 1, alors

(0 1x 1 E 1

x 0 xE 1x 0.

Donc f est continue sur 1,. De même, si x 1, alors1 1

x 0 E 1x 1 xE 1

x x.Donc f est continue sur ,1.Si 1

k 1 x 1

kalors

k 1x k 1 E 1

x k xE 1x kx.

Donc f est continue sur 1k 1

, 1k k N. De même, si 1

k x 1

k 1, alors

k 1 1x k E 1

x k 1 xE 1x k 1x.

Donc f est continue sur 1k

, 1k 1

k N.Etudions la continuité au point x0 0. Pour cela, on calcule la limite en ce point. Posons,

dans ce cas: x 1u . Puisque u Eu , 0 1, alors on a

x 0 u


——————————————————————————————————-157

et

x0lim fx

x0lim xE 1

x ulim u

u 1.

C’est à dire que f est continue au poin x0 0. Il reste à étudier la continuité aux pointsxk 1

k, k 1,2, . . . . On a pour ces points:

x 1k0

lim xE 1x

1kk 1 1 1

ket

x 1k0

lim xE 1x

1k

.k 1.

Ainsi les points xk 1k

, k 1,2, . . . sont des points de discontinuité de première

espèce. Ainsi, la fonction fx xE 1x est continue sur R 1

k, k Z

11) y E 1x . La démonstration est analogue à celle de l’exercice 4.48.10), sauf au point

x0 0. En effet, en ce point, on ax0lim E 1

x . Alors x 0 est le point de discontinuité de

deuxième espèce. Donc la fonction fx E 1x est continue sur R 1

k, k Z .

13) y sgnsinx. On a

sgnsinx

1 si 2k x 2k 1,

0 si x k,

1 si 2k 1 x 2k 2 k Z

Donc f est constante sur les intervalles 2k x 2k 1 et2k 1 x 2k 2, k Z, donc continue. Etudions maintenant la continuité aux pointsxk k k Z. Pour cela posons x k où 0 et calculonssgnsink sgnsink . On a:

sgnsink 0, sgnsink sgncos k sin sgn1k sin 1.Ainsi sgnsink sgnsink 1 pour 0,1. D’où y sgnsinx est

discontinue aux points xk k k 0,1,2, . . . . Donc f est continue sur R k, k Z

14) y e 1

x2 si x 0

0 si x 0. Sur R, la fonction y e

1x2 est continue, car elle est

composée de fonctions usuelles continues. Pour x0 0, on a f0 0 et fx x0lim e

1x2 0,

carx0lim 1

x2 . Alors fa fonction f est continue sur R.

Exercice 4.49.

2) y x2 4x 2

si x 2

a si x 2., x0 2. On a :

x2lim x2 4

x 2

x2lim x 2 4.

Donc f est continue au point si a 4 et discontinue en ce point si a 4.


——————————————————————————————————-158

6) fx x sin 1

x , x 0

a, x 0, x0 0 On a pour tout x R

0 x sin 1x |x|

x0 0.

Il suffit alors de poser a 0 pour que la fonction f soit continue en x 0.

7) y sin 1

x si x 0

a si x 0, x0 0, a R. Cherchons la limite de f au point

x 0. Considérons les deux sous suites suivantesxn 1

2 2n n

0 et xn 1

2n n 0.

Alors

nlim fxn

nlim sin

2 2n 1 et

nlim fxn

nlim sin2n 0.

Doncx0lim fx n’existe pas. Alors le point x 0 est un point de discontinuité de f pour

n’importe quelle valeur de a.

8) fx cos x, x 0

ax 1, x 0,,x0 0 On a:

f0 0x00 lim fx

x00lim cos x 1 et f0 0

x00 lim fx

x00lim ax 1 a.

Si a 1, alors f0 0 f0 0 f0 1. Donc pour a 1, la fonction seraitcontinue en x 0.

Exercice 4.50.

5) fx

x cos x2

sinxx

2, 3

2,x 0,x

a x 0

b x .

La fonction f est continue sur 2

,00,, 32 car elle est composée de fonctions

usuelles continues. Aux points x 0 et x , on a:

x0lim fx

x0lim

x cos x2

sinx

x0lim x

sinx.

x0lim cos x

2 1

et en posant t x avec x t 0 :

xlim fx

xlim

x cos x2

sinx

t0limt cos

2 t

2

sin t

t0limt sin t

2 sin t

t0lim t

sin t.

sin t2

t2

.2. t

2.

Alors pour a 1 et b 2

, la fonction sera continue dans 2

, 32.

Exercice 4.51.


——————————————————————————————————-159

1) . fx arctg 1x 2

en x 2. Commex2lim 1

x 2 et

x2lim 1

x 2 , alors

x2lim fx

x2limarctg 1

x 2

2et

x2lim fx

x2limarctg 1

x 2

2.

Donc f2 0 2 f2 0

2. Alors la fonction f n’a pas la limite au point x 2.

On ne peut prolonger cette fonction par continuité au point x 2.

4) fx log1 x log1 xx en x 0. On a

x0lim fx

x0lim

log1 x log1 xx

x0lim log1 x

1x

x0lim log1 x

1x 1 1 2.

En posant f0 2, alors la fonction f est prolongeable par continuité au point x 0.

5) fx sinx. sin 1x en x 0. On a

x0lim fx

x0lim sinx. sin 1

x x0lim sinx

x .x sin 1x

x0lim sinx

x .x0lim x sin 1

x 1.0 0,

car la fonction y sin 1x est bornée et

x0lim x 0. En posant f0 0, alors la fonction f est

prolongeable par continuité au point x 0.

Exercice 4.52.5) fx sgnsin x . On a, pour x 0 : (sin x 0 x k k 1,2, . . . . Et

alors, d’après l’exercice 4.48, 12), xk 1kk 1,2, . . . sont des points de discontinuité de

première espèce. Au point x 0 la limite de la fonction n’existe pas. Ainsi x 0 est un pointde discontinuité de deuxième espèce.

6) fx 1x2x 1

. La fonction n’est pas définie aux points x 0 et x 1. On a

x0lim fx et

x1lim fx . Alors x 0 et x 1 sont des points de discontinuité de

deuxième espèce. Ailleurs elle est continue, c’est à dire sur R 0,1.

7) fx 1 x1 x3 . La fonction n’est pas définie au point x 1, mais on a:

x1lim fx

x1lim 1 x

1 x3 1 x

1 x1 x x2

x1lim 1

1 x x2 1.

Alors x 1 est un point de discontinuité éliminable. Ailleurs elle est continue, c’est à diresur R 1.

14) fx .

1x 1

, x 0,

x 12, 0 x 2,

1 x, 2 x.

Etudions la continuité aux points x 0 et x 2.

Au point x 0, on af0 0

x00lim fx

x00lim x 12 1, f0 0

x00lim fx

x00lim 1

x 1 1 et f0 1.

Alors x 0 est un point de discontinuité de première espèce.Au point x 2, on a

f2 0 x20lim fx

x20lim 1 x 1, f2 0

x20lim fx

x20lim x 12 9


——————————————————————————————————-160

et f2 9. Puisque f2 0 f2 0, alors x 2 est un point de discontinuité depremière espèce.

Ailleurs elle est continue, c’est à dire sur R 0,2.

17) fx 1x Ex

. Les points pour lesquels x Ex 0, c’est à dire les points

x k Z, sont des points de discontinuité de deuxième espèce, car dans ces cas

xklim 1

x Ex . Pour x Z, la fonction x Ex x k si x k,k 1 est continue. Donc

l’ensemble Z est l’ensemble de points de discontinuité, de deuxième espèce, de la fonction.

Exercice 4.56.2) fx sgnx et gx x1 x2. On a, d’une part

fgx sgnx1 x2

1 si 1 x 0 ou 1 x

0 si x 0, 1,1

1 si 0 x 1 ou x 1De cette facon on trouve, d’après les propriétés de la fonction y sgnx, que

x 0, x 1, x 1 sont des points de discontinuité de première espèce.D’autre part

gfx gsgnx

g1 0 si x 0 ,

g0 0 si x 0

g1 0 si 0 x,

donc gfx 0, x R, c’est à dire constante, donc elle est continue sur R.

Exercice 4.58. Soit f une fonction monotone et bornée sur un intervalle a,b et soit x0 aun point de discontinuité de f. Supposons f croissante. Alors on a

fx fx0, x a,x0,

c’est à dire que f majorée et croissante sur a,x0, et doncxx00lim fx fx0 0 fx0

existe et est finie d’après le théorème de convergence des fonctions monotones bornées. Sifx0 0 fx0, alors serait continue à gauche, sinon on aurait un saut égal àf fx0 fx0 0. De manière analogue, on montre que

xx00lim fx fx0 0 fx0.

En conclusion x0 est un point de discontinuité de première espèce. La démonstration estanalogue pour les autres cas.

Exercice 4.65.1) y x2. La fonction est continue sur R , strictement décroissante sur , 0 et

strictement croissante sur 0,. Alors dans chacun de ces intervalles, la fonction admet uneréciproque: x y 0 y et x y 0 y qui sont des branches continuesunivoques.

5) y cos x, x R. La fonction y cos x est continue et strictement monotone surk x k 1 (décroissante sur 2k x 2k 1 et croissantesur 2k 1 x 2k 2, k 0,1,2, . . . , alors elle admet une réciproque f1y sur


——————————————————————————————————-161

chacun de ces intervalles. Puisque limxk

cos x 1k etxk1

lim cos x 1k1 , alors la

fonction inverse f1y existe sur 1,1.On sait que x arccos y, y 1,1 y cos x,x 0,. Comme cosinus est paire

et périodique de période 2, alors x arccos y 2k, k Z, est aussi solution dans R. Ainsil’ensemble des solutions dans R de l’équation y 1,1, y cos x s’écrit en fonction dearccos y comme suit

Arccosy arccos y 2k, k Z.

Exercice 4.74.4) fx n x 0 x . Soient 0 arbitraire et x1 0, x2 0 arbitraires. On a

deux cas possibles:i) Supposons que 0 x1 n et 0 x2 n, alors

0 n x1 , 0 n x2 et |x1 x2 | n .Donc, pour n, |x1 x2 | |fx1 fx2| n x1 n x2 .ii) Supposons maintenant que au moins l’un des x1 ou x2 est supérieur ou égal à n. Dans

ce cas, nous auronsn x1

n1 n x1n2.x2 n x1

n3.x22 . . . n x2

n1 n1.En tenant compte de cette inégalité, on déduit que:

fx1 f x2 n x1 n x2

|x1 x2 |n x1

n1 n x1n2.x2 n x1

n3.x22 . . . n x2

n1 |x1 x2 |

n1

si |x1 x2 | n .Alors la fonction est uniformément continue sur l’ensemble 0,. .

Exercice 4.76.2) fx x

4 x2 1 x 1. La fonction f définie et continue sur le segment 1,1.

D’après le théorème de Cantor, f est uniformement continue sur 1,1.

3) fx x2. i) Sur , . La fonction fx x2 est continue sur le segment , , doncelle est uniformément continue sur ce segment, d’après le théorème de Cantor. Par conséquent,elle est uniformément sur l’intervalle , , .

ii) Sur R. Soit les deux suites de points xn n 1

n et xn n, n 1. On a, d’une part

xn xn

1n n 0,

et, d’autre part:

fxn fxn

n2 2 1n2 n2 2 1

n2 2 pour 0 2.

Cela signifie que fx x2 n’est pas uniformement continue sur R.

4) fx logx 0 x 1. Soient les suites définies par xn en, xn

en1, n 1 .Alors on a

xn xn

|en en1 | e 1en1 n

0.

et fxn f xn

|n n 1| 1 si 0,1. Il en résulte que fx logx n’estpas uniformément continue sur 0,1.


——————————————————————————————————-162

7) fx arctgx, x ,. On a, d’après la relation arctgx |x|, x R :

|fx fx | arctgx arctgx arctg x x

1 x x x x

1 x x |x x | .

Alors 0 0|fx fx | , x ,x R tels que: |x x | et x .x 0.

Donc f est uniformement continue sur R.Remarque. La fonction fx arctgx est lipchitzienne sur R, donc uniformément continue.

Exercice 4.79.i) a) Si f est uniformément continue sur a,b, alors 0, 0, x ,x a,b: |x x | |fx fx | .

Montrons que f vérifie le critère de Cauchy en a. Alors pour tout x ,x a,b vérifiant:|x a|

2et |x a|

2

on a |x x | |x a a x | |x a| |x a| .D’après la définition (*) de la continuité uniforme, il découle que |fx fx | .C’est à

dire que f vérifie le critère de Cauchy en a. Alorsxa0lim fx A existe. De la même manière, on

démontre quexb0lim fx B existe.


——————————————————————————————————-163

Chapitre V. Fonction dérivables. Rappels de cours.

V.1. Dérivée d’une fonction en un point.Définition. Soit f une fonction définie dans un voisinage du point x0 R. On dit que f est

dérivable en x0 si la limite

xx0

limfx fx0

x x0

existe et est finie.Cette limite est appelée dérivée de f au point x0 et on la note f

x0.

V.2.Autres ecritures de la dérivée. En posant x x0 x h appelée accroissement dela variable x en x0, on obtient x x0 x x0 h et la dérivée s’ecrit alors

fx0

x0lim

fx0 x fx0x

h0lim

fx0 h fx0h

.

Exemple. Montrons que fx cos x est dérivable en tout point x R. En effet, soit x Ret x un accroissement de x. On a, d’après la continuité de la fonction y sinx et la relation

t0lim sin t

t 1 :

x0lim

fx x fxx

x0lim

cosx x cos xx

x0lim

sinx x2 sin x

2x

x0lim sinx x

2.x0lim

sin x2x2

sinx.

Donc f x sinx, x R.

V.3. Différentiabilité.Définition .On dit qu’une fonction f est différentiable au point x0 R si1) elle est définie au voisinage du point x0,2) il existe un nombre A R et une fonction tels que l’accroissement f de f

correspondant à l’accroissement x de x s’écrit:y fx fx x fx A.x x.x

avecx0

limx 0.

La proposition suivante est vraie:Pour qu’une fonction f soit différentiable au point x, il faut et il suffit qu’elle soit dérivable

en ce point.On démontre que si f est dérivable en x , alors:1) A f x et on a la relation suivante:

y fx f x.x x.x;2) f est continue en x (l’inverse est faux, par exemple y |x| est continue en x 0, mais elle

n’est pas dérivable en ce point (voir le noV.5 suivant).

V.4.Différentielle.


——————————————————————————————————-164

Définition. L’expression f x.x est appelée différentielle de f au point x et on la notecomme suit:

dfx f xxEn particulier, si y fx x, alors dx dfx x x 1.x x. D’où l’on peut écrire

la différentielle comme suit: dfx f xdx et la dérivée f x dfxdx

ou bien

f x dydx

.

V.5. Dérivées à droite et à gauche en un point.Définition. On dit que la fonction f est dérivable à droite (resp. à gauche) en x0 R si le

rapportfx fx0

x x0admet une limite (finie) à droite (resp.à gauche).

On les désigne par:

f x0 xx00lim

fx fx0x x0

et f x0 xx00lim

fx fx0x x0

.

La proposition suivante est vraie:Pour que f soit dérivable en x0 il faut et il suffit que f x0 et f x0 existent et que

f x0 f x0.

Exemple . La fonction y |x|, définie sur R, possède une dérivée à droite et une dérivée àgauche au point x 0 qui sont égales à 1 et à 1. En effet :

f 0 x00lim

fx f0x 0

x00lim |x|

x x00lim x

x 1,

f 0 x00lim

fx f0x 0

x00lim |x|

x x00lim x

x 1.

Puisque f x0 f x0, alors la fonction y |x| n’est pas dérivable au point x 0, maiselle continue en ce point.

V.6. Dérivées infinies. On dit que f admet une dérivée infinie en x0 si la dérivée à droite oula dérivée à gauche en x0 est infinie:

f x0 xx0lim

fx fx0x x0

,

ou f x0 xx0lim

fx fx0x x0

.

Remarque. f n’est pas dérivable en x0 si l’une des conditions est vérifiée:

i f x0, f x0 existent et f x0 f x0,

ii f x0 ou f x0 n’existe pas,

iii f x0 ou f x0 .

V.7. Interprétations physique et géométrique de la dérivée.i) Interprétation physique. Soit un point matériel se déplaçant sur une droite considérée

comme axe des temps t. En fixant une origine du temps t 0 et en désignant par d ft ladistance parcourue par le point matériel pendant le temps t, alors la vitesse v à l’instant t t 0est donnée par la dérivée: vt f t.


——————————————————————————————————-165

ii) Interprétation géométrique. L’existence de la dérivée d’une fonction f au point x0 estéquivalente à l’existence d’une droite tangente à la courbe C d’équation y fx au point decoordonnées Mx0, fx0 C. De même, l’existence d’une dérivée à droite ou à gauche estéquivalente à l’existence d’une demi-tangente à droite ou à gauche.

V.8. Opérations sur les dérivées.Si c est constante et y fx et y gx sont des fonctions dérivables , alors on a:1 c 0;2 cf cf ;3 f g f g;4fg f g fg ;

5 fg f g fg

g2 v 0;

6 fn nfn1f ;7 Dérivée d’une fonction composée. Si y fx et z gy sont dérivables

respectivement aux points x0 et y0 fx0 , alors la composée gof est dérivable en x0 et on a

gof x0 gy0. f x0.

De manière symbolique on note zx zy

yx ou

dgofdx

x dgdyy

dydxx.

8) Dérivée de l’inverse d’une fonction. Soient f : X Y une fonction inversible etf1 : Y X , son inverse, continues respectivement en x0 X et en y0 fx0. Si f estdérivable en x0 telle que f x0 0, alors f1 est dérivable au point y0 fx0 et on a

f1 y0 1f x0

.

Remarque. La propriété 8) reste vraie si on change les hypothèses comme suit: soitf : X Y strictement monotone et continue dans un voisinage V de x0 X telle que f x0existe et f x0 0. En effet, d’après le théorème de la fonction inverse ( voir chapitre IV sur lesfonctions continues), f est inversible de V sur W fV et son inverse f1 est strictementmonotone et continue sur W et dérivable en y fx0.

V.9. Tables dés dérivées des fonctions usuelles et élémentaires. A l’aide de la définition etdes propriétés des dérivées d’une fonction, on démontre que les fonctions usuelles etélémentaires sont dérivables dans les intervalles indiqués. Les dérivées sont dressées dans unetable qu’on doit retenir.

1 x x1, R et x 0.2 ax ax ln a a 0, ex ex.3 logax 1

x ln aa 0, a 1, x 0, ln|x| 1

x .

4 sinx cos x, x R, cos x sinx, x R.5tgx 1

cos2x, x

2 k, ctg x 1

sin2x, x k, k Z.

6 arcsin x 11 x2

, |x| 1, arccos x 11 x2

, |x| 1.

7 arctgx 11 x2 , x R , arcctgx 1

1 x2 , x R.

8 shx chx, x R , chx shx, x R.9 thx 1

ch2x

, x R, cthx 1sh

2x

, x 0.


——————————————————————————————————-166

10) argshx 11 x2

, x R, argchx 1x2 1

, x 1 ,

11) arcthx 11 x2 , |x| 1 , argcthx 1

1 x2 , |x| 1.

V.10. Dérivée logarithmique. Pour faciliter certains calculs de dérivées, on utilise la dérivéelogarithmique qui est exprimée par le théorème suivant:

Théorème. Soit f une fonction dérivable en x0 et fx0 0. Alors la fonction y log|fx|est dérivable en x0 et on a :

log|fx|xx0

f x0fx0

.

La dérivée logarithmique s’applique au calcul de dérivées de fonctions du typey xx, x 0. En effet, soient , deux fonctions dérivables sur un intervalle I etx 0. Alors la fonction y xx est dérivable sur I. Pour calculer sa dérivée, utilisons

la dérivée logarithmique. On a :

logy x logx et logy y y

x logx xxx

,

et donc

y xx x logx xxx

.

Par exemple, si y xsin x, x 0, alors :

y xsin x xsin x cos x. logx sinxx .

V.11. Dérivées d’ordres supérieurs. Soit f une fonction dérivable sur un intervalle X R,c’est à dire dérivable en tout point de X. On peut définir alors une nouvelle fonction définie sur Xpar y f x appelée dérivée première de f sur X. De même, si f est dérivable sur X, on peutdéfinir la fonction y f x f x , appelée dérivée seconde ou d’ordre deux. Parinduction, on définie la dérivée d’ordre n N par fnx fn1x , x X, notée aussi

pardnfdxn

dyn

dxn .

Une fonction est dite de classe CnX si elle est dérivable sur X jusqu’à l’ordre n et sa dérivéen ième est continue sur X. En particulier une fonction est de classe CX si elle admet des

dérivées de tout ordre sur X, c’est à dire que CX n1

CnX.

V.12. Opérations sur les dérivées d’ordres supérieurs. Soient f,g deux fonctionsdérivables jusqu’à l’ordre n N, alors les relations suivantes sont vraies:

1) f gn fn gn; 2) fn fn R;3) f.gn

n

k0

Cnk fnkgk formule de Leibnitz).


——————————————————————————————————-167

V.13. Différentielles d’ordres supérieurs. Soit y fx une fonction différentiable sur unensemble X R. Alors, pour tout x X, la différentielle en ce point correspondant àl’accroissement h R tel que x h X est donnée par la fonction linéaire:

dfx : h dfxh f xdxh f xh.

Supposons que f est deux fois dérivables sur l’ensemble X. Alors sa différentielle en toutpoint x X, dfx f xdx, est appelée différentielle première de f. Comme f est aussidérivable sur X, alors la fonction dy df est dérivable en tout point x X, c’est à diredifférentiable en tout point x X. Dans ce cas, sa différentielle s’écrit:

ddy ddf f xdx dx.

Sachant que dx ne dépend pas de x, donc f xdx f xdx, on obtient alors

ddy ddf f xdxdx f xdx2,

qu’on note d2y d2fx f xdx2, appelée différentielle d’ordre deux de f surl’ensemble X. De la même manière, si f est trois fois dérivable sur X, on définit la différentielled’ordre trois par d3y f xdx3. Et de façon générale, par induction , on a la définitionsuivante:

Définition. Soit f une fonction dérivable jusqu’à l’ordre n N sur l’ensemble X R. Ondéfinit la différentielle d’ordre n de f sur X par:

d1y dy, dny ddn1y fnxdxn,n 2,

qu’on note dny dnf fnxdxn.

5.14. Théorèmes fondamentaux des fonctions dérivables. Les théorèmes suivants sontvrais et vu leur importance, ils doivent être bien assimilés.

Théorème 1. (Théorème de Fermat). Soit f une fonction définie et dérivable sur unintervalle ouvert I a,b. Si f atteint son maximum ou son minimum en un point c a,b,alors f c 0.

Comme conséquence du théorème de Fermat, on a le théorème de Rolle suivant qui est à labase de nombreux résultats théoriques et pratiques:

Théorème 2. (Théorème de Rolle). Soit f une fonction vérifiant les conditions suivantes:1) f est définie et continue sur le segment a,b ;2) f est dérivable sur l’intervalle ouvert a,b;3) fa fb.Alors il existe un point c a,b tel que f c 0.

Géométriquement, le théorème de Rolle signifie que le graphe de f admet au point c, fcune tangente parallèle à l’axe des abscisses Ox.

Remarques.1) Les conditions citées dans le théorème précédent sont toutes essentielles. Si l’une d’elles

n’est pas vérifiée, alors le théorème s’avère faux.2) Le théorème de Rolle signifie aussi que si f admet deux racines x1 et x2, alors la fonction f

admet une racine comprise entre x1 et x2.


——————————————————————————————————-168

Comme conséquence du théorème de Rolle, on a le théorème de Cauchy suivant, connu sousle nom de la formule généralisée des accroissements finis.

Théorème 3. (Formule généralisée des accroissements finis). Soient f,g deux fonctionsvérifiant les conditions suivantes:

1) f et g sont définies et continues sur le segment a,b;2) f et g sont dérivables sur l’intervalle ouvert a,b;3) gx 0, x a,b.Alors il existe un point c a,b tel que :

fb fagb ga

f cgc

.

Comme cas particulier de la formule généralisée des accroissements finis, on a la formule desaccroissements finis qui a de nombreuses applications théoriques et pratiques.

Théorème 4. (Formule des accroissements finis (A.F.) ou de la moyenne). Soit f unefonction vérifiant les conditions suivantes :

1) f est définie et continue sur a,b;2) f est dérivable sur a,b ;Alors il existe un point c a,b tel que :

fb fa f cb a.

Géométriquement, la formule de la moyenne signifie que la courbe C d’équationy fx, x a,b admet au point Mc, fc une tangente T parallèle à la corde passant par

les points Aa, fa et Bb, fb.

Corollaire. Si f est dérivable sur un intervalle I R, alors, pour tous x1,x2 I, il existeun point c compris entre x1 et x2 tel que : fx1 fx2 f cx1 x2.

V.15. Applications de la dérivée à l’étude de la monotonie.

Théorème 1. Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I R. Alors f est constante surI si et seulement si f x 0, x I.

Corollaire. Soient et deux fonctions définies et continues sur un intervalle I vérifiant lacondition x x , x I. Alors il existe une constante c R telle que

x x c, x I.

Théorème 2. Si f est dérivable sur un intervalle I X, alors on a les relations suivantes:i f x 0, x I f est croissante sur I;ii f x 0, x I f est strictement croissante sur I;iii f x 0, x I f est décroissante sur I;iv f x 0, x I f est strictement décroissante sur I.

Remarques.


——————————————————————————————————-169

1) Dans les relations ii et iv, on a des implications et non des équivalences. Par exemple, lafonction fx x3 est strictement croissante sur I R, mais on n’a pas f 0 sur R, carf xx0 3xx0

2 0.2) Il ne faut pas croire que si f est positive en un point x0, f x0 0, alors f est strictement

croissante dans un voisinage de x0.Les équivalences dans ii) et iv) sont obtenues en ajoutant des conditions qui sont données par

le théorme suivant:

Théorème 3. Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I R . Alors

1 f strictement croissante sur I i f x 0, x I,

ii f 0 sur tout intervalle J I.

2 f strictement décroissante sur I i f x 0, x I,

ii f 0 sur tout intervalle J I.

Exemple. La fonction fx x3 est strictement croissante sur R car :i f x 3x2 0, x R,ii f x 0 x 0, c’est à dire que f 0 sur tout intervalle J R.

V.16. Applications aux inégalités. On peut appliquer la formule des A.F. pour démontrercertaines inégalités importantes. Donnons pour cela quelques exemples.

Exemple 1. Montrons que:

x,x R : |sinx sinx | |x x |.

En effet, comme la fonction fx sinx est dérivable sur R, alors, d’après la formule desA.F. sur x,x x x , il existe , x x tel que

|sinx sinx | sin x x cos x x |x x |,

car |cos| 1.

Exemple 2. Montrons que

tgx x x3

3, x 0,

2.

Posons pour cela: fx tgx x x3

3sur 0,

2. Comme f0 0, il suffit de montrer

que f x 0 sur 0, 2

. Comme tgx x 0 sur 0, 2

, alors on a

f x 1cos2x

1 x2 tg2x x2 0 sur 0,

2.

V.17. Applications au calcul des limites. Règles de L’Hospital.Théorème 1 (Première règle de L’Hospital. Limite de la forme 0

0.

Soient f,g deux fonctions définies et dérivables dans un voisinage épointé U de x0 Rtelles que:

1) gx 0 , gx 0 sur U ,


——————————————————————————————————-170

2xx0

lim fx xx0

lim gx 0 .

Sixx0

limf xgx

existe, finie ou infinie, alors on a :

xx0

limfxgx

xx0

limf xgx

.

Théorème 2. (Deuxième règle de L’Hospital. Limite de la forme .Soient f,g deux fonctions définies et dérivables dans un voisinage épointé U de x0 fini ou

infini) telles que :1) gx 0 sur U ;2

xx0

lim fx ,xx0

lim gx .

Si la limite suivante :xx0

limf xgx

L existe , finie ou infinie, alors:

xx0

limfxgx

xx0

limf xgx

L.

Remarques.1) Les règles de L’Hospital restent vraies si x x0 ou x x0 ou x ou x . .

2) Si la limitexx0

limf xgx

n’existe pas, alors on ne peut rien dire surxx0

limfxgx

.

3) L’une des principales erreurs dans l’application de la règle de L’Hospital consiste à écrirela formule de L’Hospital avant d’avoir établi l’existence de la limite dans le second membre.

D’après la remarque 2),xx0

limf xgx

peut ne pas exister, alors quexx0

limfxgx

peut exister. Ainsi,

si l’on veut appliquer la règle de L’Hospital, il faut d’abord s’assurer de l’existence de

xx0

limf xgx

(finie ou infinie).

4) Sixx0

limf xgx

00

ou , et si les fonctions f et g vérifient les conditions du

théorème, alors on peut répéter la règle. En général, on peut la répéter autant de fois si lesconditions sont vérifiées pour les fonctions admettant des dérivées d’ordres supérieurs.

Exemple.xlim xn

ex F.I.) , n N. En répétant n fois la règle de L’Hospital, on

obtient:

xlim xn

ex xlim nxn1

ex xlim

nn 1xn2

ex . . .xlim n!

ex 0.

V.18. Autres formes indéterminées. 0., , 1, 0, 00.

Exemple 1.x0lim x logx 0. F.I.). Cependant, on peut écrire :

x0lim x logx

x0lim

logx1/x

.

En appliquant la deuxième règle de L’Hospital pour fx logx et gx 1x , on obtient :


——————————————————————————————————-171

logx

1x

1/x1/x2 x

x0 0.

Doncx0lim x logx 0.

Exemple 2. Calcul des limites du typexx0

lim xx, avec x 0 dans un voisinage de

x0. Dans ce cas, on a : xx ex logx, et, d’après la continuité de la fonctionexponentielle, on peut utiliser la formule

xx0

lim xx exx0limx logx

.

Calculons I x0lim 1 x2

1ex1x 1 (F.I.). D’après cette dernière formule, on a:

I e x0lim

log1x2ex1x .

La limite qui se trouve à l’exposant est de la forme 00

(F.I.). On peut appliquer, dans ce cas,

la première règle de L’Hospital . On a :

x0limlog1 x2

ex 1 x

x0lim 2x1 x2ex 1

x0lim 2. 1

1 x2 . xx 2 1

1 0.1 2,

car on a : ex 1 x x 0. D’où: I e2.


——————————————————————————————————-172

Enoncés des exercices du chapitre V.

Exercice 5.1. La loi du mouvement d’un point sur l’axe Ox est donnée par la formulex 10t 5t2, où t est le temps en seconde et x la distance en mètres. Déterminer la vitessemoyenne du mouvement dans l’intervalle de temps 20 t 20 t et faire les calculs dans lescas où: i t 1; ii t 0,1; iii t 0,01. Quelle est la vitesse du mouvement aumoment t 20?

Exercice 5.2. Calculer1 f 2 si fx x2 sinx 2;2 f 1 si fx x x 1arcsin x

x 1.

Exercice 5.3. Calculer f x0 et f x0 si:1 fx |x 1| |x 1| , x0 1 ; 2 fx |sinx| , x0 0;

3 fx 1 ex2

, x0 0.

Exercice 5.4. Etudier, à l’aide de la définition, la dérivabilité de la fonction f en x0 si:

1 fx |x| x2, x0 0; 2) fx x 1x, x0 1;

3 fx x2 cos 1

x , x 0

0, x 0, x0 0; 4 fx |x 2| , x0 2;

5) fx sin2xx 2

, x 2

0, x 2, x0 2; 6) fx x|sinx|, x0 0;

7) fx 1e , |x| 1

x2ex, |x| 1,, x0 1.

Exercice 5.5. Etudier la dérivabilité des fonctions suivantes:1) y |x3x 12x 2|; 2 y |sinx|;

3 y |cos x|; 4 y x 1

4x 12 , si |x| 1,

|x| 1, si |x| 1;

5) y |2 x2 | sin2x; 6 y x3, x 0,

e1x , x 0;

7 y x x ; 8 y xxx;

9 y arcsincos x.

Exercice 5.6.Calculer y si :1 y x5 4x3 3x 2 ; 2 y 2 3 x2 5 x3 2

x2 x;


——————————————————————————————————-173

3 y 31 x3

1 x3 ; 4 y sinx cos xsinx cos x

;

5 y sinnx. cos nx ; 6 y ex2;

7 y log log logx ; 8 y arccos 1 x2

;

9 arctan sinx cos xsinx cos x

; 10 y arctgthx.

11) y 1 3 x 3; 12 y arctgx2 3x 2;13 y 3cos2x cos3x; 14) y sinx.ecosx;

15 y 2sin2xcos 2x

; 16 y 1 tan2x tan4x ;

17) y arcsin sinx ; 18 y logarctg 11 x

;

19 y sin ln|x|; 20) y log232x 32;

21 y 10x

sinx ; 22 y sincos2x. cossin2x;

23) y e1 x1 x ; 24 y a2 x2 a. arccos x

a ;

25 y x1x ; 26) y x

1 x

x;

27) y x2 1sin x; 28 y xsin x;

29) y 3

xx2 1x2 12

; 30 y x x 3 x ;

31) y 2 x23 x31 x2

; 32 y x x x ;

33 y cos 2x 2sinx;34 y sincos2x; 35 y sinnx. cosnx;

36 y sin2xsinx2 ; 37 y sinsinsinx;

38 y sincos2tg3x; 39 y tg x2ctg x

2; :

40 y tgx 13

tg3x 15

tg5x; 41 y 2tg1x ;

42 y ln 3. sinx cos x3x ; 43 y log3x2;

44 y abx b

x a x

a b; 45 y log31 x2;

46 y 141 x4

14

ln x4

1 x4 ; 47 y lnln2ln3x; ;

48 y lnx x2 1 ; 49 y x lnx 1 x2 ;50 y ln tg x

2; 51 y xsinln x cosln x;

52 y arcsin x2

; 53 y log sin 3 arctge3x ;

54 y arctg x2

a ; 55 y x arctg x ;56 y arcsinsinx; 57 y arccoscos2x;58 y arctg 1 x

1 x; 59 y log3x

2 sinx;

60 y 1arccos2x2

; 61 y sinxcosx cos xsin x;

62 y arcsin x1 x2

12

ln 1 x1 x

; 63 y arctgtg2x;

64 y xarctgx 12

ln1 x2; 65y x xx xx x 0;

66 y lnchx 12ch2x

; 67 y chx

sh2x lncth x

2.


——————————————————————————————————-174

Exercice 5.7. Trouver les dérivées à droite et à gauche des fonctions:

1) fx Ex sinx; 2) fx x|x|1 x2, x 0

1, x 0;

3) fx arctg 1 x

1 x, x 1

2

, x 1;4) fx

arcsin x2

x sin 1x , x 0,

0, x 0;

5) fx 1 e

1x , x 0

1 3 x4 , x 0;6 fx sinx2 ;

7 fx 1 ex2

; 8 fx arcsin 2x1 2x2 .

9 fx |ln|x||; 10 fx x 2arctg 1

x 2,si x 2

0 si x 2;

11 fx x1 e1x 1 , si x 0

0 , si x 0; 12 fx

x, si x 0

3 x4 ln x ,si x 0;

13 fx 2x , si x 0

ln1 5 x7 si x 0.

Exercice 5.8. Calculer les dérivées des fonctions suivantes en précisant les intervallesd’existence:

1) y |x|; 2) y x|x|;

3 y |1 x21 x3 |; 4) y 1 x2 log|x|;

5) y 1 cos x

x , x 0,

0, x 0; 6 y 3 cos2x 1 ;

7 y xx; 8 y 3x2 13 x3 12

;

9 y arcsin 1 x2

1 x2 ; 10 y x |x 1|x |x 1|

;

11 y arcsin2x 1 2arctg 1 xx ; 12 y logarcsin 3x;

13 y log 1 x1 x

; 14 y arctg x1 x

;

15 y x sin x , x 0,

0, x 0; 16 y

cos x sinxx

4, x

4,

2 4 x, x

4;

17) y loglogx; 18) y a1

a2x2 ;19 y arccos 1

|x|; 20 y |sin3x|;


——————————————————————————————————-175

21 y Ex sin2x; 22 y

1 x si x 1

1 x2 x si 1 x 2

2 x si 2 x ;

23 y x a2x b2 si a x b

0 si x a,b; 24 y

arctgx si |x| 14

sgnx x 12

si |x| 1

25 y x2ex

2si |x| 1

1e si |x| 1;

; 26 y x si x 0

ln1 x si x 0.

Exercice 5.9. En utilisant la dérivée logarithmique, calculer y si :

1 y x 322x 1x 13

; 2 y x 1 x1 x

;

3 y xxx; 4 y xsin x.

Exercice 5.10.

i) Montrer que la fonction fx x sin 1

x si x 0,

0 si x 0est continue en x0 0, mais elle

n’est pas dérivable en ce point.

ii) A quelle condition la fonction fx |x|n sin 1

x si x 0

0 si x 0

a) est continue au point x 0, b) est dérivable au point x 0c) admet une dérivée continue au point x 0 ?

iii) Pour quelles valeurs de n et m m 0, la fonction

fx |x|n sin 1

|x|m, x 0

0, x 0

a) est continue, b) admet une dérivée, c) admet une dérivée continue en x0 0?

Exercice 5.11. Déterminer les valeurs de et pour lesquelles la fonction

fx arctgx, |x| 1,

sgnx x 12

, |x| 1

admet une dérivée : i) au point x 1, ii au point x 1.

Exercice 5.12. Déterminer les valeurs de et pour lesquelles les fonctions suivantes: a)sont continues sur R, b) sont dérivables sur R :

1) y x , x 1,

x2, x 1;; 2) y

x2, |x| 1,1|x|

, |x| 1;;


——————————————————————————————————-176

3) y x3 x, |x| 2,1 arcsin 1

x , |x| 2;4)

y

2x 2, x 1,

x 1x 2x , 1 x 2,x2 1, x . 2.

Exercice 5.13. Démontrer que la fonction fx |x a|x ne possède pas de dérivée au

point x a , où x est continue et a 0 . Calculer f a et f a.

Exercice 5.14. i) Montrer que la fonction

fx sin2x, x Q,

0, x R Q

admet une dérivée seulement aux points x k, k Z.

ii) Montrer que la fonction

fx x2, x Q,

x2, x R Q

admet une dérivée seulement au point x 0.

Exercice 5.15.1 Peut-on affirmer que la somme Fx fx gx n’est pas dérivable

au point x x0, sia) f est dérivable au point x0, mais g n’est pas dérivable en ce point;b) toutes les deux fonctions ne sont pas dérivables au point x0?

2 Peut-on affirmer que le produit Fx fx.gx n’est pas dérivableau point x x0, si

a) f est dérivable au point x0, mais g n’est pas dérivable en ce point;b) toutes les deux fonctions ne sont pas dérivables au point x0?

3 Que peut-on dire sur la dérivabilité de la fonction Fx fgx

au point x x0 sia) f est dérivable au point y gx0 , mais g n’est pas dérivable en x0,b) f n’est pas est dérivable au point y gx0 mais g est dérivableen x x0,c) f n’est pas dérivable au point y gx0 et g n’ est pas dérivableen x x0?d) Etudier les cas:

i) fx x2, gx |x|, ii) fx |x|, gx x2,


——————————————————————————————————-177

iii ) fx 2x |x|, gx 23

x 13

|x|, avec x0 0.

4 Peut -on affirmer qu’une fonction f possède: a) une dérivée finie, b) une dérivée infinie,en un point de discontinuité?.

Exercice 5.16. Montrer que la dérivée d’une fonction paire (resp. impaire) dérivable est

impaire (resp. paire).

Exercice 5.17. Deux bateaux A et B quittent le même port et en même temps. Le bateau A sedirige vers le nord, tandis que B se dirige vers l’est. A quelle vitesse croît la distance entre A et Bsachant que la vitesse de A est de 30 km/h et celle de B, 40 km/h ?

Exercice 5.18.

i Soit fx x, si 0 x 2

2x 2, si 2 x et Sx la surface délimitée par la courbe y fx ,

l’axe des abscisses et la perpendiculaire à l’axe des abscisses au point x x 0. Trouver laforme analytique de Sx et calculer Sx.

ii La fonction Sx est la surface délimitée par l’arc de la circonférencey a2 x2 , l’axe des abscisses et par deux perpendiculaires à l’axe des abscisses, aux

points 0 et x |x| a.Trouver la forme analytique de Sx et calculer Sx.

Exercice 5.19.

i Soit y x3 x. Calculer y et dy pour x 2 en donnant à la variable les accroissementsx 1; x 0,1; x 0,001. Calculer les valeurs correspondantes de l’erreur

relative |y dy||y|

.

ii Calculer l’accroissement et la différentielle de la fonction y x pour x 4 etx 0,41. Calculer les erreurs absolues et relatives.

Exercice 5.20. Calculer les différentielles dy si:

1 y xex ; 2 y logxx

; 3 y arctgfxgx

, f,g dérivables).

Exercice 5.21.

i Trouver une valeur approchée de l’accroissement de la fonction y sinx lorsque x varie

de 30 à 301.ii Trouver une valeur approchée de l’accroissement de la fonction y tgx, lorsque x varie

de 45 à 4510.

Exercice 5.22. A l’aide de la différentielle, calculer approximativement:


——————————————————————————————————-178

i 3 1,02 ; ii arctg1,05; iii 2,0372 32,0372 5

.

Exercice 5.23. Démontrer la formule approximative

an x a xnan1 a 0

où x a x est très petit par rapport à a). A l’aide de cette formule calculer les valeursapprochées suivantes: a 3 9 ; b 4 80 ; c 7 100 ; d 10 1000 .

Exercice 5.24.i) Ecrire les équations de la tangente et de la normale à chacune des courbes suivantes aux

points indiqués:1) y arctg2x, M0,0; 2) y cos 2x 2sinx, M, 1;3) y x3

2 x2, M6, 27

2; 4) x3 y2 2x 6 0, M1,3;

5) 4x3 3xy2 5xy 8y2 9x 14 0, M2,3;

6) x2

4 y2

9 1, M1,

3 32;

7 y x 1 3 3 x aux points: a) A1,0; b) B2,3; c) C3,0.

ii Ecrire les équations des tangentes à la courbe y x 1x en ses points d’intersection avec

l’axe OX.

iii) Ecrire l’équation de la normale à la courbe y x2 3x 6x2 au point d’abscisse x 3.

iv) Ecrire l’équation de la normale à la courbe y x 2 à son point d’intersection avec

la bissectrice du premier angle de coordonnées.

Exercice 5.25 .

i) Trouver les points où les tangentes à la courbe y x2x 22 sont parallèles à l’axe des

abscisses.ii) Trouver le point où la tangente à la courbe y 1

1 x2 est parallèle à l’axe OX.

iii) En quels points, la courbe d’équation y 2 x x2 admet une tangente:1 parallèle à Ox;2 parallèle à la première bissectrice?

iv Dans quelle condition l’axe OX est tangent à la courbe y x3 px q?

v Dans quelle condition sur les coeffcients a,b,c , l’axe OX est tangente à la courbey ax2 bx c?

vi) Trouver les points où la tangente à la courbe y x3 x 2 est parallèle à la droitey 4x 10.

vii. Montrer que les tangentes à l’hyperbole y x 4x 2

en ses points d’intersection avec les

axes de coordonnées sont parallèles .viii . Etant donnée l’hyperbole y x 9

x 5trouver l’équation de la tangente qui passe par

l’origine des coordonnées.ix) Dans les intervalles 1,1 et 1,2, déterminer les points où les tangentes à la courbe

d’équation y x2 1x 2 sont parallèles à l’axe Ox.x) Déterminer les points de la courbe y x3 où les tangentes en ces points sont parallèles à


——————————————————————————————————-179

la corde passant par les points A1,1 et B2,8.

xi Etant donnée la parabole y x2 2x 5, on demande d’écrire l’équation de la tangente

qui est parallèle à la corde passant par les points de la parabole d’abscisses x1 1 et x2 3.xii Trouver la normale à la courbe y x logx qui est parallèle à la droite 2x 2y 3 0.

xiii) Montrer que les tangentes à la courbe y 1 3x2

3 x2 aux points d’ordonnée y 1 se

coupent à l’origine des coordonnées.

Exercice 5.26.1) Calculer le coefficient angulaire de la tangente à la parabole y x2 :

a) au point 2,4,b aux points d’intersection avec la droite y 3x 2.

2) Trouver les points où le coefficient angulaire de la tangente à la parabole cubique est égalà 3.

3) Trouver le point où la tangente à la parabole y x2 :a est parallèle à l’axe Ox,b fait un angle de 45o avec l’axe Ox.

4) Calculer l’angle sous lequel se coupent la parabole y x2 et la droite3x y 2 0.

5) Pour quelle valeur de la variable indépendante, les tangentes aux courbes y x2 ety x3 sont parallèles?

6) En quel point de la parabole y x2 la tangente est:a) parallèle à la droite y 4x 5,b) perpendiculaire à la droite 2x 6y 5 0,c) fait un angle de 45o avec la droite 3x y 1 0?

7) Calculer les angles sous lesquelles se coupent les courbes:

i y x 1x 2

et y x2 4x 816

;

ii y x 22 et y 4x x2 4;iii y sinx et y cos x 0 x .

Exercice 5.27.i) Calculer:

1) f0, f 0, f 0 et f 0 si fx e2x sin3x;

2) f 0, f 0 si fx sinx

x , x 0,

1, x 1.

ii) Calculer les dérivées secondes des fonctions suivantes:1) y x 1 x2 ; 2 y xex2

; 3 y 11 x3 ;

4 y 1 x2arctgx; 5 y a2 x2 ; 6 y lnx 1 x2 ;7y 1 x2 arcsin x ; 8 y arcsina sinx; 9 y ex

2.

iii) Calculer fn0 si:1 fx x2eax a R; 2 fx arctgx .


——————————————————————————————————-180

Exercice 5.28.Trouver l’expression générale des dérivées d’ordre n des fonctions suivantes:1) y xm; 2) y ax; 3 y eax;

4 y xn1 xn en déduiren

k0

Cnk2; 5 logx 12x;

6 sinx; 7 cos x;

8 1x 1

application: calculer: x2

1 x8;

9 y sinax cos bx; 10 y sin2x; 11 y xex;12 y x ln x; 13 y lnax b; 14) y ex cos x;

15) y cos3x; 16 y x2

1 x2 .

Exercice 5.29.i) Calculer les sommes suivantes:1 Pnx 1 2x 3x2 . . .nxn1;2 Snx sinx sin2x . . . sinnx;3 Tnx 1 cos x cos 2x . . .cos nx.

ii) Montrer que x R, la dérivée n ième de la fonction fx ex2

est de la formefnx Pnxex

2où Pn est un polynôme de degré n.

Exercice 5.30.

i) Démontrer que la fonction fx x2n sin 1

x , x 0,

0, x 0possède une dérivée d’ordre n,

mais pas d’ordre n 1 en x 0.

ii) Démontrer que la fonction fx e 1

x2 , x 0,

0, x 0est indéfiniment dérivable au

point x 0.

Exercice 5.31.1 Montrer que la fonction y ex sinx vérifie la relation y 2y 2y 0 ,et la fonction y ex sinx, la relation y 2y 2y 0.2 Montrer que la fonction y x 3

x 4vérifie la relation 2y

2 y 1y .

3 Montrer que la fonction y e4x 2ex vérifie la relation y 13y 12y 0.

4 Montrer que la fonction y e x e x vérifie la relation xy 12

y 14

y 0.

Exercice 5.32. Appliquer la formule de Leibniz au calcul des dérivées suivantes:1 x2 1 sinx20; 2 ex sinxn; 3 x3 sinxn;4 x1ex10; 5 xshx100; 6 x2e2x20;7 sinax sinbxn.

Exercice 5.33. Trouver les différentielles d’ordres supérieurs des fonctions suivantes à


——————————————————————————————————-181

l’ordre n indiqué:1 y 3 x2 , n 2; 2 y xn, n 3;3 y x 13x 13 , n 2; 4 y sin2x, n 2;5 y ln2x 4 , n 2.

Exercice 5.34 .i) Calculer les dérivées des fonctions implicites y suivantes:

1) x2

a2 y2

b2 1; 2 x3 y3 3axy 0; 3 y3 3y 2ax 0;

4) x4 y4 x2y2; 5 y2 cos x a2 sin3x ; 6 2y ln y x;7) x siny cos y cos 2y 0; 8 y 1 xey.

ii) Trouver les dérivées des fonctions implicites y suivantes à l’ordre n indiqué:1 b2x2 a2y2 a2b2 , n 2; 2 x2 y2 r2, n 3;

3 y tgx y , n 3; 4 y3 x3 3axy 0 , n 2.

Exercice 5.35.i) Calculer les dérivées yx

des fonctions y yx données sous forme paramétrique:1) x sin2t, y cos2t 0 t

2;

2) x et, y t3 t ;3) x acos t, y b sin t 0 t ;4) x ln sin t

2, y ln sin t 0 t .

ii) Trouver les dérivées des fonctions suivantes définies paramétriquement à l’ordre nindiqué:

1 x at2, y bt3, n 2; 2 x acos t, y b sin t, n 2;

3 x acos3t, y a sin3t, n 3; 4 x at cos t, y at sin t, n 2.

Exercice 5.36.i Montrer que la fonction y x3 4x2 7x 10 satisfait aux conditions du théorème de

Rolle dans l’intervalle 1; 2.ii Montrer que la fonction y log sinx satisfait aux conditions du théorème de Rolle dans

l’intervalle 6

; 56.

iii) Vérifier le théorème de Rolle pour la fonctionfx xx2 1 sur les segments 1,1 et0,1.

Exercice 5.37.i) Soit la fonction y 1 3 x2 . On a y1 y1.1 Montrer que y x 0 sur 1,1 ; 2 y a-t’il contradiction avec le théorème de

Rolle?

ii La fonction y 2 x2

x4 prend des valeurs égales aux extrémités de l’intervalle

1; 1. Verifier que la dérivée de cette fonction ne s’annule en aucun point del’intervalle 1; 1. Expliquer cette contradiction avec le théorème de Rolle.


——————————————————————————————————-182

Exercice 5.38. Sans calculer les dérivées de la fonction fx x 1x 2x 3x 4,

établir combien de racines réelles possède l’équation f x 0 et indiquer les intervalles qui lescontiennent.

Exercice 5.39. Résoudre l’équation y x 0 si:

1) y x3 6x2 9x 12; 2 y x2 x 6x2 10x 25

;

3) y 11 sin2x

; 4 y xx 12x 23.

Exercice 5.40i Ecrire la formule de Lagrange pour la fonction y x1 ln x dans l’intervalle

a; b 0 a b.ii Montrer que le théorème de Lagrange s’applique à la fonction y ln x dans l’intervalle

1; e.

Exercice 5.41 . Vérifier le théorème de Lagrange pour les fonctions:

i) fx 3 x2

2, 0 x 1,

1x , 1 x ,

ii) fx x sin 1

x , x 0,

0, x 0,

et calculer la valeur intermédiaire c respectivemen sur 0,2 et sur 1,1.

Exercice 5.42. Est-ce que la formule des accroissements finis est vraie pour la fonctiony 1

x sur a,b ab 0 ?

Exercice 5.43. Ecrire la formule généralisée des A.F. (de Cauchy) pour les fonctions f et g,si

1 fx sinx et gx ln x, x a; b, 0 a b;2 fx e2x et gx 1 ex, x a; b, 0 a b;3 fx x3 et gx x2 1, x 1; 2;

4 fx x sin2x et gx x2

2x , x 1; 2.

Exercice 5.44. Démontrer les égalités suivantes:1 arcsin x arccos x

2, 1 x 1;

2 2arctgx arcsin 2x1 x2 sgnx, |x| 1;

3) arctg1 x

1 x 1

2arcsin x

4, 1 x 1;

4) arctg x1 x2

arcsin x, 1 x 1.

Exercice 5.45. Utiliser la formule de Lagrange pour démontrer les inégalités:i)1 |sinx sinx | |x x |, x,x R ;


——————————————————————————————————-183

2 arctgx arctgx |x x | , x,x R.

ii)1)

x yx log x

y x y

y si 0 y x;

2)x ycos2y

tgx tgy x ycos 2x

si 0 y x 2

;

3) x x3

6 sinx x, x 0 en déduire

x0lim sinx

x ;

4) x arcsin x x1 x2

si x 0,1;

5) x x2

2 log1 x x si x 0;

6 nbn1a b an bn nan1a b a 1, n 1.

Exercice 5.46. Trouver les intervalles de monotonie des fonctions suivantes.1 y 2 x x2; 2 y 3x x3; 3 y 2x

1 x2 ;

4 y x2

2x . 5 y xnex; 6 y x2 ln x2;

7 y x sinx; 8 y x 252x 14; 9 y xln x

;

10 y lnx 1 x2 .

Exercice 5.47. Une fonction est dite strictement croissante (resp. strictement décroissante) enun point x0 R, si

x : x x0 ,x0 fx fx0 (resp. fx fx0.

Montrer que la fonction

fx x sin 1

x2 , x 0,

0, x 0.

est strictement croissante au point x 0,mais elle n’est strictement croissante dans aucunintervalle , de x0 0.

Exercice 5.48. Démontrer que si:

1) f et g sont dérivables jusqu’au n-ième ordre inclus;2) fkx0 gkx0 k 0,1, . . . ,n 1;3 fnx gnx pour x x0,alors on a: fx gx pour x x0.

Exercice 5.49. Démontrer les inégalités suivantes:1 x 1 x 1, 2,x 1; 2 1 2 logx x2, x 0;3 n x n a n x a , n 1, x a 0; 4 2 x 3 1

x , x 1;

5 ln x 2x 1x 1

, x 1 ; 6 2xarctgx ln1 x2;

7 sinx tgx 2x, 0 x 2

; 8 ex 1 x, x 0


——————————————————————————————————-184

9 chx 1 x2

2, x 0; 10) logx 2 x , si x 0;

11) 1 2cos3x 3cos2x, x 2

, 2; 12 x x3

6 sinx x, x 0;

13 tgx x x3

3, 0 x

2; 14 x x3

6 sinx x x3

6 x5

120, x 0;

15 1 1x

x e 1 1x

x1, x 0.

16 x x2

2 log1 x x x2

2 x3

3, x 1;

17 2 x sinx x, 0 x

2.

Exercice 5.50. Soit f une fonction définie sur R telle que: x,y R|fx fy| x y2.

Montrer que f est constante.

Exercice 5.51. Calculer, à l’aide de la formule des A.F., les limites suivantes:

1)xlim x2e

1x e

1x1 ; 2

nlim 1

2 log2 1

3 log3. . . 1

n logn.

Exercice 5.52. . Calculer , à l’aide de la règle de L’Hôpital, les limites suivantes:

1x0lim

ex 1sinx

; 2x0lim

x arctgxx3 ;

3x0lim

ex-ex 2x

x sinx; 4

x00lim

logxlog sinx

;

5x1lim 1

logx x

logx ; 6

xlim xe1/x 1 ;

7x0lim ex x1/x ; 8

x0lim x2e

1/x2

;

9x0lim xsin x ; 10

x0lim 1 cos xctgx.

11)x1lim xx 1

logx x 1; 12)

x 3

limsinx 3 1 2cos x

;

13)x0lim sinx

tgx; 14)

x0lim cotgx 1

x ;

15)x0lim 1

x 1

ex 1 ; 16)

x 2

lim 2xtgx

17)x0lim x2 logx; 18)

xlim ex ex

ex ex;

19)xlim xex/2

x ex ; 20)x0lim sinxx ;

21)x 2

lim tgx2cosx; 22)x0lim 1 x logx;

23x0lim

chx cos xx2 ; 24

x 2

limtg3x

tgx;

25x0lim

tgx xx sinx

; 26x0lim

xctgx 1x2 ;

27x0lim

3tg4x 12tgx3sin4x 12sinx

; 28x0lim

xex 1 2e

x 1x3 ;

29x0lim 1 cos2x

x2 sinx2 ; 30x0lim ax asin x

x3 a 0;


——————————————————————————————————-185

31x0lim

lnsinaxlnsinbx

; 32x0lim x

k1 ln x ;

33x0lim x

1x1 ; 34

x0lim

cossinx cos xx4 ;

35x1lim 2 x

tg2

x; 36

x0lim 1

x 1

thx 1

tgx;

37x 4

lim tgx tg2x; 38x0lim ctgxsin x;

39x0lim ln 1

x x ; 40

xlim tg x

2x 1

1x ;

41xlim ln x

x 0; 42

x0lim e

1x2

x100 ;

43xlim

tgx

tgactgxa; 44

x10lim ln x. ln1 x;

45x1lim 1

logx ctgx ; 46

x1lim 1

ln x 1

x 1;

47x0lim x. ln x 0; 48

x0lim xx;

49xlim

2 arctgx

12

log x 1x 1

; 50x0lim1 x

1x e

x ;

51x0lim 1

lnx 1 x2 1

ln1 x; 52

xalim ax xa

x a a 0;

53x0lima xx ax

x2 a 0; 54xlim x 2xx;

55xlim thxx; 56

xlim 2

. arctgxx;

57x0lim sinx

x 1x2 ; 58

x0lim cos x

chx

1x2 ;

59x0lim

tgxx

1x2 ; 60

xlim x lnx

ln xx;

61xalim

cos x lnx alnex ea

; 62x0lim e tgx ex

tgx x ;

63x0lim 1

xarctgx 1

x2 ; 64x0lim xx 1 ln x;

65xlim xnex

3; 66

xlim 2arctg x x ;

67xlim x lntg

4 x ; 68

x0lim 1

x2 1

sin2x;

69x1lim

1 x

1 x 0; 70

x0lim ln sinx

ctgx;

71x1limx2 1x1 x

x 12; 72

x0lim esin x ex

sinx x;

73x0lim

tgx xln31 x

; 74x0lim x arcsin x2

x cos x sinx;

75x0lim

2tg3x 6tgx

3arctgx arctg3x.


——————————————————————————————————-186

Exercice 5.53. Démontrer que si la fonction fx possède dans a; b (fini ou infini) unedérivée bornée, alors fx est uniformément continue sur a; b.


——————————————————————————————————-187

Réponses aux exercices du chapitre V.

Exercice.5. i vm 215 m/s; ii vm 210,5m/s ; iii vm 210,05m/s, 210 m/s.Exercice 5.2. 1) f 2 4 ; 2 f 1 1

4.

Exercice 5.3. 1) f 1 2 , f 1 f 1 0 , f 1 2 ;2) f 0 1 , f 0 1 ; 3 f 0 1 , f 0 1.

Exercice 5.4. 1) Non dérivable; 2) non dérivable; 3) dérivable;4) non dérivable; 5) dérivable; 6 dérivable; 7) non dérivable.

Exercice 5.5. 1) dérivable sur R 2; 2) dérivable sur R k, k Z ;

3)dérivable sur R 2 k, k Z ; 4 dérivable sur R 1;

5) dérivable sur R; 6) dérivable sur R; 7) dérivable sur R;8) f prolongée par f0 0 est dérivable sur R; 9) dérivable sur R k,k Z.

Exo.5.6 1) 5x4 12x2 3; 2 43 3 x

15 x

2 4

x3 1; 3) 2x2

1 x6 31 x3

1 x3 , x 1;

4 2sin2x 1

; 5) n sinn1x. cosn 1x ; 6 2xex2; 7) 1

x logx. loglogxx 0;

8) 11 2x x2

; 9) 1 ; 10 1ch2x

; 11)1 3 x 2

3 x2;

12 2x 3x4 6x3 13x2 12x 5

; 13 32

sin2xcos x 2;

14) ecosxcos x sin2x; 15 2tg2x

cos 2x; 16

tgx1 2tg2x

cos2x 1 tg2x tg

4x

17) 12 sinx

cos x1 sinx

; 18 12 2x x2arctan 1

1 x

; 19cosln|x|

x ;

20) 12ln22x 32

2x 3 ln32; 21 log10.10

xsin x sinx x cos x

sin2x;

22 sin2x coscos 2x;

23) 11 x 1 x2

e1x1x ; 24 a x

a x

25 x1

x2 1 ln x; ; 26) x1 x

x 11 x

ln x1 x

;

27) x2 1sin x 2x sinxx2 1

cos logx2 1

28 xsin x cos x ln x sinxx ; 29) x4 6x2 1

3x1 x4 3

xx2 1

x2 12;

306x 3 x 2 3 x

6x; 31 3x5 5x4 2x3 6x2 6x 12

x 13;

321 2 x 4 x x x

8 x x x x x;

33 2sin2x cos x; 34 coscos2x sin2x;35 ncos 2x cosn1x sinn1x

36 sin2x sinx2 2x cos x2 sin2xsin2x2

; :


——————————————————————————————————-188

37 cossinsinxcossinxcos x; 38 3tg2x sin2tg

3xcoscos2tg

3x

cos2x;

39 2sin2x

; 40 1 tg6x; 41 2tg1x

1 tg2 1

x

x2 ln 2; 42 sinx1 ln233x;

43 6 ln2x2

x ; 44 ab

x bx

a xa

blog a

b a b

x ; 45 6ln2x2 1 xx2 1

;

46 1x1 x42

; 47 6lnln3x ln xx

; 48 1x2 1

;

49 ln x x2 1 xx2 1

; 50 1sinx

; 51 2sinln x;

52 14 x2

; 53ctg 3 arctge3x e3x

1 e6x 3 arctge3x2; 54 2ax

a2 x4 ; 55 12

x1 x

;

56 sgncos x; 572sgnsinxcos x

cos2x 1; 58 1

x2 1; 59 2x cos x

x2 sinx log3;

60 4x1 x4 arccos3x2

;

61 sincosx1ctg2x log sinx cossin x1log cos x tg2x;62 x arcsin x

x2 132

; 63 sin2xsin4x cos4x

;

64 arctgx; 65 1 xx1 ln x xx.xxx 1x ln2x ln x;

66 th3x; 67 2sh

3x

.

Exo.5.7. 1) f x f x Excosx si x Z,f k 1kk, f k 1kk 1, k Z;

2) f x f x 21 x si x 0, f x f x 21 x si x 0,f 0 0, f 0 ;

3) f x f x 11 x2 si x 1, f 1 1

2, f 1 1

2;

4) f x f x 2sin 1

x

1 x4

arcsin x2x sin 1x cos 1

x

x3 si x 0;

f 0 et f 0 n’existent pas;

5) 1x2 e

1x si x 0,

2 3 x

3 1 3 x 4si x 0, f 0 f 0 0;

6) f x f x x cos x2

sinx2si 2k |x| 2k 1 , k N,

f 0 1, f 0 1; f 2k , f 2k 1 ;

7) f x f x xex2

1 ex2

si x 0, f 0 1, f 0 1;

8) f x f x 2sgn1 x2

1 x2 si x 1, f 1 1, f 1 1;

9 f x f x x avec 1 si 0 |x| 1, 1 si 1 |x| ,f 1 1, f 1 1;

10) f x f x arctg 1x 2

x 2x 22 1

si x 2,

f 2 2, f 2 2 ;


——————————————————————————————————-189

11) f x f x 1 1 1

x e1/x

1 e1/x2si x 0, f 0 0, f 0 1;

12) f x f x 1 si x 0, f x f x 3 x 43

logx 1 si x 0,

f 0 0, f 0 1;

13) f x f x 2 si x 0, f x f x 75

5 x2

1 5 x7si x 0,

f 0 0, f 0 2.

Exercice 5.8. 1) |x|x sgnx, x 0; 2) 2|x|, x R;

3 x2 15x 1|x 1|, x R 1,1;4) 2x log|x| 1 x2

x , x 0; 5) x sinx cos x 1x2 , x 0, f 0 1

2;

6 sin2x

3 3 cos2x 12, x R; 7 xxln x 1, x 0;

8 2x 3 x3 x3 1

5 , x 1; 9 2sgnx1 x2 , x R;

10 0 si x 1, 22x 12

si 1 x 1, 42x 12

si x 1;

11 0 si 0 x 1; 12 3arcsin 3x 1 9x2

, 0 x 13

;

13 21 x2 , 1 x 1; 14 1

1 2x 2x2 , x 1;

15x sin x cos x

x , x 0;

16

sinx. 1 x 4 cos x. 1 x

4

x 42

, x 4

,

1, x 4

;

;

17) 1x ln x

, x 1; 18) a1

a2x2 x ln a

a2 x23, |x| a ;

19 1x x2 1

, |x| 1; 20 3sinx|sinx| cos x, x k, k Z;

21 Ex sin2x, x R;22 1 si x 1, 2x 3 si 1 x 2, 1 si 2 x ;23 2x ax b2x b a si a x b; 0 si x a,b;24 1

1 x2 si |x| 1, y 12

si |x| 1

25 2x1 x2ex2si|x| 1, y 0 si|x| 1;

26 1 si x 0, 11 x

si x 0.

Exercice 5.9. 1x 3 19x 17x 14

; 2 x2 x 1

x1x1 x 12

;

3 xxxxln2x ln x 1x ; 4 xsin x1cos x ln xx sinx.

Exercice 5.10ii) a) n 1, b n 2, c n 2; iii a n 0, b n 1, c c n 1, n m 1Exercice 5.11. i) 1,

4; ii 1, 4

4.


——————————————————————————————————-190

Exercice 5.12. 1) a) 1, b 2, 1;2) a) 1, 2 1, b 3

2, 1

2;

3) a) 4 112

, b 2 396

, 3 2 324

;

4) a) , quelconques, b) 52

, 95

.

Exercice 5.13. f a a, f a a.Exercice 5.15. 1) a) Oui, b) non; 2) a) oui si f x0 0, b non.

3) a),b),c): F fog peut posséder une dérivée; 4) a) non, b) oui.Exercice 5.17. 50 km/h.

Exercice 5.18. i) Sx x2

2, Sx x si 0 x 2,

Sx x2 2x 2 et Sx 2x 2 si x 2;

ii) Sx |x|2

a2 x2 a2

2arcsin |x|

a , , Sx a2 x2 sgnx si 0 |x| a.

Exercice 5.19. i) x y dy y dy y dyy

1 18 11 7 0,39,0,1 1,161 1,1 0,061 0,0526,

0,01 0,110601 0,11 0,000601 0,0055;ii) y 0,1, dy 0,1025, y dy 0,0025, 0,025;iii)

Exercice 5.20. i 1 xexdx ; ii 2 logx2x x

dx , x 0 ;

iii)f xgx fxgx

f2x g2xdx.

Exercice 5.21. i) y 0,00025, sin30o1 0,50025, ii) 0,00582.Exercice 5.22. i) 1,007 ; ii 0,8104 ; iii 0,355.Exercice 5.23. a) 2,083 ; b 2,9907 ; c 1,938 ; d 1,9954.Exercice 5.24. i) 1) y 2x, y x

2; 2) y 2x

2 1; y 1

2x 1;

3) y 272

, x 6; 4) y 56

x 136

et y 65

x 215

;

5) y 92

x 6 et y 29

x 319; 6) y 9

4x 9 6 3

4et y 4

9x 27 3 8

18;

7 a) y 3 4 x 1, y 13 4x 1; b) y 3, x 2, c) x 3, y 0.

ii) y 2x 2, y 2x 2; iii 27x 3y 79 0; iv 2x y 1 0.Exercice 5.25. i) 0,0, 1,1, 2,0; ii) 0,1; iii 1 1

2, 9

4, 2 0,2;

iv p3

3 q

2

2 0; v) b2 4ac 0 ; vi) 1,0, 1,4;

viii 25y x 0, x y 0;

ix) x1 2 7

3, x2

2 73

; x) 1;1, 1,1; xi) y 2x 1;

xii) y x 3e2 ; xiii) .Deux tangentes y x et y x se coupant en 0,0.

Exercice 5.26.1) a) k 4; b) k1 2, k2 4; 2) 1,1, 1,1;3) a) 0,0; b) 1

2, 1

4; 4) 1 arctg 1

7, 2 arctg 1

13;

5) x 0, x 23

; 6) a) 2,4; b) 32

, 94, c) 1,1, 1

4, 1

16;

7) i) 1 0, 2 arctg 1831

, ii arctg 815

; iii arctg2 2 .


——————————————————————————————————-191

Exercice 5.27. i) 1 y0 0, y 0 3 ; y 0 12 ; y 0 9,2 y 0 0, y 0 1

3.

ii) 1) y2 x3 2x21 x23/2

; 2 2xex23 2x2; 3 6x 2x3 1

1 x33;

4 21 x2arctan x x

1 x2 ; 5 a2

a2 x23; 6 x

1 x23

7x 1 x2 arcsin x

1 x23, 8 aa2 1 sinx

1 a2 sin2x3, 9 2ex

22x2 1;

iii) 1 nn 1an2; 2 y2k0 0, y2k10 1k2k!.Exercice 5.28.1) yn 0 si m n, yn nn 1. . . n m 1xnm si n m;2) yn logna.ax; 3) yn aneax;

4) yn n! 2n2n 1. . . n 1xn,k0

n

Cnk2 1 2n!

n!2;

5) yn 1n2n 2!x nx 1n

, n 1;

6) yn sinx n 2; 7) yn cosx n

2;

8) yn 1nn!x 1n1

x2

1 x8 40320

x 19;

9) yn an sinax n 2 bn cosbx n

2;

10) yn 2n1 sin2x n 1 2;

11) yn exx n; 12) yn 1n n 2!xn1 , n 2; 13) yn 1n1 ann 1!

ax bn;

14) yn ex2n/2 cosx n 4; 15) yn 3

4cosx n

2 3n

4cos3x n

2;

16) yn 1n1n!2

1x 1n1

1x 1n1

.

Exercice 5.29. i) 1 Pnx 1 nxn

1 x, x 1;

2) Snx sin nx

2. sin n 1

2x

sin x2

; 3) Tnx sin n 1

2x cos n

2x

sin x2

.

Exercice 5.32 1 x2 379 sinx 40x cos x; : 2 ex2n2 sinx n

4;

3 nx3 sinx n 2 3nn1x2 sinax n 1

2

3nn 1n2x sinax n 2 2

nn 1n 2n3 sinx n 3 2;

4 ex10

k0

1k A10k

xk1 , avec A10k 10.9.8. . . . 11 k; 5 100cosh x x sinhx ;

6 220e2xx2 20x 95 ;

7a bn

2cos a bx n

2 a bn

2cos a bx n

2.

Exercice 5.33. 1 2dx2

9 3 x4; 2 nn 1n 2xn3dx3;

3 30x4 36x2 6dx2;


——————————————————————————————————-192

4 4sin2xdx2; 5 4 ln3x 4 ln x

x2 ln2x 43dx2.

4 4cos2x 2dx2; 5 4 ln3x 4 ln x

x2 ln2x 43dx2.

Exercice 5.34.i) 1) y b2x

a2y; 2 y ay x2

y2 xa; 3 y 2

3a

y2 1;

4) y xy

y2 2x2

2y2 x2 ; 5 y y2 sinx 3a2 cos 3x2y cos x

; 6 y 12ln y 1

;

7) y sinyx cos y siny 2sin2y

; 8 y ey

1 xey .

ii) 1) y3 b4

a2y3 ; 2 y3 3r2xy5 ; 3 y3 23y4 8y2 5

y8 ;

4) y2 2a3xyy2 ax3

.

Exercice 5.35. i) 1) yx 1 0 x 1; ; 2 yx

3t2e t; 3 yx b

a ctgt;4 yx

1 tg2 t2

;

ii) 1)d2ydx2

3b4a2t

; 2 yx2 b

a2 sin3t; 3 y" x3

cos2t 4sin2t9a2 cos7t sin3t

;

4 yx2 2 t2

acot t t sin t3.

Exercice 5.37. 2) Non.Exercice 5.38. Trois racines entre 1,2, 2,3 et 3,4.Exercice 5.39.1) x 1, x 3 ; 2 x 7

11; 3) x k, x 1

2 k, k Z;

4 x 1, x 56 1

613 , x 5

6 1

613 , x 2, x 2.

Exercice 5.40. i) b1 logb a1 loga b a logc.Exercice 5.41. i) c 1

2ou 2 .

Exercice 5.42. Non, car 1x n’est pas dérivable en x 0.

Exercice 5.43. 1 c cos c, a c b; 2 2ec a c b;3 3

2c, 1 c 2, ;

4 1 2cos 2c21cc c22c ln 2

, 1 c 2.

Exercice 5.46.1) Crois. sur , 1

2, décrois. sur 1

2, ;

2) décrois. sur ,1 1, , crois. sur 1,1 décrois. sur1,;3) décrois. sur ,1 1, , crois. sur 1,1 ;

4) décrois. sur , 0, crois. sur 0, 2log2

, décrois. sur 2log2

, ;

5). crois. sur 0,n, décrois. sur n,;6) crois. sur 1,01,, décrois. sur ,10,1.7) crois. sur R ;8) crois. sur , 1

2 11

8,, décrois. sur 1

2, 11

8;

9) crois. sur e,, décrois. sur 0,11,e; 10) crois. sur R10) crois. sur R.Exercice 5.51. 1) 0; 2) .


——————————————————————————————————-193

Exercice 5.52. 1 1; 2 13

; 3 2 ; 4 1 ; 5 1; 6 1; 7 e2 ; 8 ;

9 1 ; 10 0; 11) 2; 12) 12 3 ; 13) 1; 14) 0; 15) 1

2; 16) 0;

17) : 0; 8) 1; 19) 0; 20) 1; 21) e1; 22) 1; 23 1; 24 13

;

25 12

; 26 13

; 27 2; 28 16

; 29 12

; 30 16

ln a; 31 1;

32 ek; 33 e1; 34 16

; 35 e2 1; 36 2

3; 37 e1; 38 1; 39 1;

40 1; 41 0; 42 0; 43 e2

sin 2a a k 2; 44 0; 46 1

2;

47 0; 48 1; 49 1; 50 12

e; 51 12

; 52 aaloga 1; 53 1a ;

54 2 ; 55 1; 56 e2 ; 57 e

16 ; 58 e1; 59 e

13 ; 60 0;

61 cos a; 62 1; 63 13

; 64 0; 65 0; 66 2; 67 2;

68 13

; 69 12 ; 70 0; 71

12

;

72 1; 73 13

; 74 3; 75 4.


——————————————————————————————————-194

Corrigés détaillés de certains exercices du chapitre V.

Exercice 5.4.1) fx |x| x2, x0 0.On cherche les dérivées à gauche et à droite au point x0 0.

f 0 x0lim

fx f0x 0

x0lim |x| x2

x x0lim x x2

x x0lim 1 x 1.

f 0 x0lim

fx f0x 0

x0lim |x| x2

x x0lim x x2

x x0lim 1 x 1.

Donc la fonction n’est pas dérivable au point x0 0, car f 0 f 0.

2) fx x 1Ex. On a

f 1 x1lim

fx f1x 1

x1lim

x 1Ex 0x 1

x1lim Ex 1.

f 1 x1lim

fx f1x 1

x1lim

x 1Ex 0x 1

x1lim Ex 0.

Donc la fonction n’est pas dérivable au point x0 1, puisque f 1 f 1.

7) fx 1e , |x| 1,

x2ex2, |x| 1

, x0 1. On a

f 1 x0lim

f1 x f1x

x0lim

1e

1e

x 0

et, d’après ex 1 x ox et h ox x2 h ox, x 0

f 1 x0lim

f1 x f1x

x0lim

1 x2e1x2 e1

x

x0lim

1 x2e12xx2 e1

x

1ex0lim

1 2x x21 2x x2 ox 1x

1ex0lim

1 2x x2 ox 2x 4x2 ox 1x

1ex0lim

5x2 oxx 0.

Donc f 1 f 1 et f est dérivable au point x 1. De la même manière, on démontreque f est dérivable au point x 1.

Exercice 5.5.5) fx |2 x2 | sin2x sgn2 x22 x2 sin2x. On a pour x :

f x 2sgn2 x2x sin2x |2 x2 | sin2x.Etudions maintenant la dérivée de f aux points x . On a

f x0lim

fx fx

x0lim

|2 x2 | sin2xx

x0lim xsgn x sin2x 0.

f x0lim

fx fx

x0lim

|2 x2 | sin2xx


——————————————————————————————————-195

x0lim xsgn x sin2x 0.

Ainsi on a démontré que f est dérivable aux points x . D’autre partf x 2x sin2xsgn2 x2 |2 x2 | sin2x est égale à zéro aux points x . Doncx R on a : f x 2x sin2xsgn2 x2 |2 x2 | sin2x.

Exercice 5.7.1) Il est clair que sinx est dérivable x R et que Ex est dérivable pour x k k Z

avec f x f x f x Excosx x k, k Z. Au point x k , d’après la définitionde la dérivée, on trouve que:

f k xklim

fx fkx k

xklim

Ex sinx Ek sinkx k

xklim

Ex sinxx k

u0lim

Eu k sinu ku

u0lim

Eu ksinucosk cosu sinku 1k

u0lim

Eu k sinuu

1ku0lim Eu k.

u0lim sinu

u 1ku0lim Eu k

1kk

1kk 1.

Donc f k 1kk et f k 1kk 1.

6) fx sinx2 La fonction y u est dérivable si u 0 et u sinx2 est dérivablex R. Donc si sinx2 0, alors d’après la règle de dérivation , on trouve que

f x f x f x 2x cos x2

sinx2.

Mais sinx2 0 si 2k x2 2k, k N , c’est à dire si2k |x| 2k k 0,1,2, . . . . Dans ce cas, il suffit d’étudier la dérivée à droite

aux points xk 2k et la dérivée à gauche aux points xk 2k . On a:

f 2k h0lim

fx h fxh

h0lim

f 2k h f 2k h

h0lim

sin 2k h2

h

h0lim

sin2k 2h 2k h2h

h0lim

sin2 2k hhh

h0lim

sin2 2k hhh2 2k h

.2 2k h

h .

f 2k 1 h0lim

f 2k 1 h f 2k 1 h

h0lim

sin2h 2k 1 h2

h .

9) fx |ln|x||, x 0. Ecrivons cette fonction sous la forme suivante:fx ln|x|. sgnln|x|. Si |x| 1, on a

fx ln|x|. sgnln|x| ln|x| si |x| 1

ln|x| si |x| 1,

et, comme ln|x| 1x si x 0, alors


——————————————————————————————————-196

f x f x f x 1x si |x| 1

1x si |x| 1,

1x sgnln|x|.si |x| 1.

Etudions la dérivabilité de f aux points x 1. On a, d’après limh0

ln1 hh

1

f 1 h0lim

f1 h f1h

h0lim |ln|1 h||

h

h0lim |h|

h.

ln1 hh

1,

f 1 h0lim

f1 h f1h

h0lim |ln|1 h||

h

h0lim |h|

h.

ln1 hh 1,

11) fx

x

1 e1x

si x 0

0 si x 0.Si x 0, alors

f x f x f x x

1 e1x

1 e

1x x 1

x2 e1x

1 e1x 2

x 1 xe1x

x1 e1x 2

.

Calculons f 0. On a:

f 0 h0lim

f0 h f0h

h0lim

h1 e

1h

0

h0lim 1

1 e1h

0.

f 0 h0lim

f0 h f0h

h0lim

h1 e

1h

0

h

h0lim 1

1 e1h

11 0

1.

13) fx 2x, si x 0

ln1 5 x7 si x 0.On a

pour x 0 : f x f x f x 2x 2,

pour x 0 : f x f x f x ln1 5 x7 75

5 x2

1 5 x7.

Calculons maintenant f 0 et f 0. On a

f 0 x0lim

fx f0x

x0lim

ln1 5 x7 x

x0lim

ln1 5 x7 5 x7

.x0lim

5 x7

x 0.

f 0 x0lim

fx f0x

x0lim 2x

x 2.

Exercice 5.8.2) y x|x|. Ecrivons cette fonction sous la forme y x2sgnx. En appliquant la règle de

dérivation du produit, on trouve pour x 0, y 2xsgnx 2|x| et pour x 0:

f 0 x0lim

x2sgnx 0x

x0lim xsgnx 0.

D’autre part y 2|x| est aussi égale à zéro pour x 0. Ainsi x R , y 2|x|.


——————————————————————————————————-197

3) y |x 12x 13 |. Ecrivons cette fonction sous la formey x 12x 13sgnx 1. Les fonctions x 12 et x 13 sont dérivables x R et

la fonction sgnx 1 est dérivable pour x 1. On obtient pour x 1 :y 2x 1x 13sgnx 1 3x 12x 12sgnx 1 x 1x 125x 1sgnx 1 x2 15x 1|x 1|.

Calculons maintenant f 1 et f 1. On a

f 1 x10lim

fx f1x 1

x10lim

|x 12x 13 |x 1

x10lim x 12x 12. |x 1|

x 1

x10lim x 12x 12. sgnx 1 0.

f 1 x10lim

fx f1x 1

x10lim

|x 12x 13 |x 1

x10lim x 12x 12. |x 1|

x 1

x10lim x 12x 12. sgnx 1 0.

Donc f 1 0. Ainsi x R, f x x2 15x 1|x 1|.

21) fx Ex sin2x. Il est facile de voir que pour x k, k Z , la fonction estdérivable et, d’après la règle de dérivation d’un produit, on trouve:

f x Ex. 2 sinx cosx. Ex sin2x.Calculons maintenant f k et f k. On a

f k h0lim

fk h fkh

h0lim

Ek h sin2k hh

h0lim

Ek h sin2hh

h0lim Ek h sinh sinh

h 0.

Donc x R on a : y Ex sin2x.

22) D’une part, les fonctions 1 x, 1 x2 x et 2 x possèdent des dérivées dansles domaines considérés telles que:

y

1, si x 1

2x 3, si 1 x 2

1, si 2 x Calculons maintenant les dérivées à gauche et à droite aux points x 1 , x 2.On a:

f 1 x1lim

1 x 0x 1

1, f 1 x1lim

1 x2 x 0x 1

1,

f 2 x1lim

1 x2 x 0x 2

0, f 2 x2lim

2 x 0x 2

1,

donc f est dérivable en x 1, mais elle n’est pas dérivable en x 2.

24) D’une part, les fonctions arctgx et 4

sgnx x 12

sont dérivables respectivement

dans les domaines |x| 1 et |x| 1. D’autre part, on a

y

11 x2 , si |x| 1

12

, si |x| 1.

Calculons maintenant les dérivées de la fonction aux points x 1.Etudions les dérivées àgauche et à droite en ces points. On a, d’après l’exercice 3.42. 11):


——————————————————————————————————-198

f 1 x10lim

fx f1x 1

x10lim

arctgx arctg1x 1

x10lim 1

x 1arctg x 1

1 x

x10lim

arctg x 11 x

x 11 x

. 11 x

12

.

f 1 x10lim

fx f1x 1

x10lim

4

sgnx x 12

4x 1

x10lim

4 x 1

2

4x 1

x10lim x 1

2x 1 .

f 1 x10lim

fx f1x 1

x10lim

4

sgnx x 12

4x 1

x10lim

4 x 1

2

4x 1

x10lim x 1

2x 1 1

2.

f 1 x10lim

fx f1x 1

x10lim

arctgx arctg1x 1

x10lim 1

x 1arctg x 1

1 x

x10lim

arctg x 11 x

x 11 x

. 11 x

12

.

Alors f est dérivable au point x 1, mais elle n’est pas dérivable au point x 1. Ainsi

f x

11 x2 si 1 x 1

12

si |x| 1.

Exercice 5.10.i) Comme |sin t| 1, t R, on a x sin 1

x |x|x0 0 f0. Donc f est continue en

x 0. Etudions la dérivabilité en x 0. On a

f 0 x0lim

fx f0x 0

x0lim

x sin 1x

x x0lim sin 1

x .

Montrons que cette limite n’existe pas. En effet, en prenant les deux suites

xn 1n et xn

12 2n

, n 1,

elles vérifient les relations suivantes

x0lim sin 1

xn

x0lim sinn 0 et

x0lim sin 1

xn

x0lim sin

2 2n 1.

Ce qui montre que f 0 n’existe pas.ii) a Comme dans i), on montre que f est continue en x 0, n 1.b) Etudions la dérivabilité comme dans i). On a

f 0 x0lim

fx f0x 0

x0lim

xn sin 1x

x x0lim xn1sin 1

x 0 si n 1 0,

car xn1sin 1x |xn1 |

x0 0 si n 1 0. Donc f est dérivable si n 2,3, . . .

c) Tout d’abord calculons la dérivée de la fonction pour x 0. On a


——————————————————————————————————-199

f x nxn1 sin 1x xn cos 1

x . 1x nxn1 sin 1

x xn2 cos 1x .

Ainsi n 2 :

f x nxn1 sin 1

x xn2 cos 1x si x 0

0 , si x 0.

Etudions maintenant la continuité da la fonction gx f x. Si x 0, alors gxcomme fonction élémentaire est continue dans son domaine de définition. Il reste à étudier lacontinuité au point x 0. On a

gx nxn1 sin 1x xn2 cos 1

x xn2nx sin 1x cos 1

x .Cas n 2. Comme sinus et cosinus sont bornées, alors

|gx| |xn2 ||nx| 1x0 0 si n 2 0.

Cas n 2. On a

gx 2x sin 1x cos 1

x .

Comme dans i), le premier terme tend vers zéro quand x 0 et le deuxième n’a pas de limitequand x 0. Donc f est continue en x 0 pour n 2.

iii) a) On a |x|n sin 1|x|m

|x|nx0 0 f0 n 0. Pour n 0,

x0lim |x|n sin 1

|x|mn’existe pas.Donc f est continue si n 0 et m quelconque.

b) On a par définition

f 0 x0lim

fx f0x 0

x0lim

|x|n sin 1|x|m

x x0lim

|x|n1.xsgnx. sin 1|x|m

x

x0lim |x|n1. sgnx. sin 1

|x|m 0, si n 1.

Donc la dérivée f x existe en tout point si n 1 et m quelconque..c) Etudions d’abord la dérivabilité de la fonction fx en x 0. Comme f est fonction

élémentaire, on applique les règles de dérivation. On a donc pour x 0 :

f x n|x|n1 sin 1|x|m cos 1

|x|m.m|x|nm1 . sgnx.

On a, pour n 1

|f x| n|x|n11 m|x|mx0 0 f 0 si n 1 m.

Si n 1 m

f x n|x|n1 sin 1|x|m cos 1

|x|m.m. sgnx,

et comme limx0

cos 1|x|m

n’existe pas m 0, alors f 0 n’existe pas.

D’autre part, f x n’est pas bornée au voisinage du point x 0 si n 1 0ou n m 1 0, c’est à dire si n 1 ou n m 1. Il suffit de prendre n m 1 m 0.Donc f n’est pas continue en x 0 si n m 1.

En conclusion f est continue en x 0 si n 1 et m n 1.

Exercice 5.12.


——————————————————————————————————-200

2) fx x2, si |x| 1

1|x|

, si |x| 1..

a) Les fonctions x2 et 1|x|

sont continues respectivement dans les domaines |x| 1

et |x| 1. Etudions maintenant la continuité de f aux points x 1. On af1 0

x10lim fx

x10lim 1

|x| 1,

f1 0 x10lim fx

x10lim x2 ,

f1 0 x10lim fx

x10lim x2 ,

f1 0 x10lim fx

x10lim 1

|x| 1.

Alors f est continue en x 1 si 1.b) Comme les fonctions y x2 et y 1

|x|sont dérivables respectivement si |x| 1

et |x| 1, alors f est dérivable si |x| 1. Etudions maintenant la dérivabilité de f aux pointsx 1. On a

f 1 x10lim

fx f1x 1

x10lim

x2 1x 1

x10lim

x2 x 1

x10lim

x 1x 1x 1

2.

f 1 x10lim

fx f1x 1

x10lim

1|x| 1

x 1

x10lim 1 |x|

|x|x 1 1.

f 1 x10lim

fx f1x 1

x10lim

x2 1x 1

x10lim

x2 x 1

x10lim

x 1x 1x 1

2.

f 1 x10lim

fx f1x 1

x10

lim

1|x| 1

x 1

x10lim 1 |x|

|x|x 1 1.

La condition de dérivabilité aux points x 1 est 2 1. Ainsi on obtient le système

1

2 1

qui a pour solutions: 32

et 12

. Donc la fonction

fx

123 x2, si |x| 1

1|x|

, si |x| 1

est dérivable sur R.

Exercice 5.13. fx |x a|x ,x a. Montrons que f n’est pasq dérivable en x a. Eneffet, comme lim

xax a 0, alors

limxa

fx fax a lim

xa

|x a|x 0x a lim

xa

|x a|x a x n’existe pas.

Calculons les dérivées à gauche et à droite f a , f a. On a


——————————————————————————————————-201

f a xa0lim

fx fax a

xa0lim

|x a|xx a

xa0lim

x axx a

xa0lim x a ,

car x est continue au point x a, et

f a xa0lim

fx fax a

xa0lim

|x a|xx a

xa0lim

x axx a

xa0lim x a.

Exercice 5.15.1) a) Oui, car si F était dérivable en x0, alors, comme f est dérivable en ce point, la fonction

g F f serait dérivable en x0, ce qui contredit l’hypothèse que g n’est pas dérivable en x0.b) En général non, car, par exemple, les fonctions fx |x| et gx |x| ne sont pas

dérivables en x 0, alors que Fx fx gx 0 l’est.

3) D’après la définition de la dérivée nous avons :

F x0 h0lim

fgx0 h fgx0h

h0lim

fgx0 h fgx0gx0 h gx0

.gx0 h gx0

hsi gx0 h gx0 0.

a) Sih0lim

gx0 h gx0h

n’existe pas et f gx0 0, alors F fog n’est pas dérivable

en x0.

Mais si |gx0 h gx0| M.h eth0lim

fgx0 h fgx0gx0 h gx0

0 , alors F x0 existe

et F x0 0.

d) Exemple. fx x2 et gx |x|, x0 0. On a Fx |x|2 et

F 0 h0lim |0 h|2 0

h

h0lim h2

h 0.

4) Soit x0 un point de discontinuité de première espèce de f. On a,sachantque: fx0 0 fx0 0,

f x0 h0lim

fx0 h fx0h

h0lim fx0 h fx0.

h0lim 1

h

fx0 0 fx0.h0lim 1

h ;

f x0 h0lim

fx0 h fx0h

h0lim fx0 h fx0.

h0lim 1

h

fx0 0 fx0.h0lim 1

h .

Donc au point de discontinuité, la fonction n’admet pas de dérivée finie.ni à droite ni àgauche.

Si sgnfx0 0 fx0 sgnfx0 0 fx0, alors on peut dire que admet une dérivéeinfinie en x0 0.

Exemple. fx sgnx.

f 0 h0lim

sgn0 h sgn0h

h0lim 1

h ,


——————————————————————————————————-202

f 0 h0lim

sgn0 h sgn0h

h0lim 1

h .

Exercice 5.16. Soit une fonction f dérivable et paire sur un intervalle J symétrique parrapport à l’origine et x J arbitraire. On a, par définition, et sachant que f est paire:

f x h0lim

fx h fxh

h0lim

fx h fxh

h0lim fx h fx

h h0lim

fx h fxh f x.

Donc la dérivée d’une fonction paire est impaire.Supposons maintenant que f est impaire. Dans ce cas, on a:

f x h0lim

fx h fxh

h0limfx h fx

h

h0lim

fx h fxh

h0lim

fx h fxh f x.

Donc la dérivée d’une fonction paire est impaire.

Exercice 5.19. On a y dy xx, xx0 0.

i) y fx x fx f2 1 f2 24 6 18,dy f xx , f x 3x2 1 , f 2 11 et dy 11.

L’erreur absolue est |y dy| 7 et l’erreur relative:

|y dy||y|

718 0,39.

Exercice 5.21.i) y f x0x cos 30

180. 1

60 0,0002517. Donc y 0,00025,

sin301 sin30 y 0,5 0,00025 0,50025.

Exercice 5.22.

iii) Calculons approximativement2,0372 32,0372 5

. Considérons la fonction

fx x2 3x2 5

. Posons x 2 et x 0,037 et calculons approximativement fx x.

On a: fx x fx f xx.

f2,037 2,0372 32,0372 5

f2 f 2. 0, 037. f x 16xx2 52

. 12

. x2 5x2 3

,

f2 13

, f 2 1627

.

Alors on obtient:2,0372 32,0372 5

13 16

27.0,037 0,355.

Exercice 5.23. Démontrons la formule approximative:n an x a x

nan1 a 0 et x a.

Tout d’abord, on a n an x a n 1 xan . Considérons la fonction fy n y y

1n .


——————————————————————————————————-203

Dans ce cas f1 1 et f y 1n y

1n 1 f 1 1

n . Alorsn 1 x f1 f 1.x 1 x

n .

Donc n an x a 1 xan a1 x

nan a xnan1 .

Exemple. 4 80 4 34 1 3 14.33 3 0,0092592 2,9907.

Exercice 5.24.i) 7) fx x 1 3 3 x , a A1; 0. L’équation de la tangente à la courbe fx au

point M0x0,y0 est la suivante:y fx0 f x0x x0.

Nous avons f x 3 3 x 13x 13 x

23 , f1 0 , f 1 3 4 . En

remplaçant dans l’équation de la tangente, on obtient y 3 4 x 1.L’équation de la normale est la suivante: y fx0 1

f x0x x0. On trouve, après

calcul, que y 0 13 4x 1

3 22x 1.

iv) L’équation de la normale à cette courbe est: y fx0 1f x0

x x0 où x0 est

l’abscisse du point d’intersection de cette courbe avec la bissectrice y x. On a:

y x 2

y x x x 2

t2 t 2 0

t x

t 1, t 2

t x 0 t 1 x 1.

Calculons f1 et f 1. On a f1 1, f x 12 x

et f 1 12

. En remplaçant

dans l’équation de la normale, on obtient y 2x 1 0.

Exercice 5.25.i) y x2x 22. On a y 2xx 22 2x2x 2. Pour que la tangente à la courbe

donnée soit parallèle à l’axe OX au point d’abscisse x il faut et il suffit que y x 0, c’est àdire que 2xx 22 2x2x 2 4xx 2x 1 0.

En résolvant cette équation algébrique on trouve: x1 0, x2 1 et x3 2. Il s’ensuit quey1 0 , y1 1, y2 0. Ainsi aux points 0; 0 , 1; 1 , 2; 0 les tangentes à la courbedonnée sont parallèles à l’axe des abscisses Ox.

iv) y x3 px q. Pour que la courbe donneé admet comme tangente l’axe Ox, il fautet il suffit que les conditions suivantes soient satisfaites:

yx 0

y x 0où x est l’abscisse du point de tangence. Donc

x3 px q 0

3x2 p 0

x3 px q 0

p 3x2

x3 3x3 q 0

p 3x2


——————————————————————————————————-204

x3 q

2p 3x2

x 3

q2

p 3 3 q22

p33 q

22 0.

Ainsi on a trouvé la condition sur p et q pour laquelle l’axe OX est tangent à la courbey x3 px q et l’abscisse du point de tangence.

viii) y x 9x 5

. y y0 f x0x x0 et pour x 0 y 0. Donc la tangente à la

courbe passant par 0,0 vérifie l’équation y y0 f x0x x0 avec y0 f x0x0. Cherchonsle point de tangence avec la courbe. On a f x 4

x 52l’équation

0 x0 9x0 5

4x0 52

0 x0 x0 9x0 5

4x0

x0 52

On obtient deux solutions x0 3 et x0 15 et alors les pentes de ces deux tangentes sontégales respectivement à f 3 1 et f 15 1

25. D’où les deux équations des tangentes

passant par l’origine

y x et y x25

.

xi) y x2 2x 5. L’équation de la corde passant par les points de la paraboled’abscisses x1 1 et x2 3 s’écrit comme suit: x x1

x2 x1 y y1

y2 y1où y1 x1

2 2x1 5 4

et y2 x22 2x2 5 8. Alors on trouve l’équation de la corde :

x 13 1

y 48 4

4x 1 2y 4 y 2x 2.

Cherchons maintenant l’équation de la tangente à la parabole parallèle à la cordey 2x 2. On a y fx0 f x0x x0 avec f x0 k 2 et k 2 est le coefficient

angulaire de la corde. D’où: 2x0 2 2 x0 2.Et alors y f2 f 2x 2 5 2x 2 2x 1. Donc l’équation de la tangente est

y 2x 1.

Exercice 5.26.7) y x 1

x 2et y x2 4x 8

16. Pour trouver l’angle entre les tangentes à ces deux

courbes aux points d’intersection, cherchons d’abord ceux des deux courbes. On a:x 1x 2

x2 4x 816

x3 6x2 0, x 2 x 0 ou x 6.

L’équation de la tangente à la courbe y x 1x 2

au point d’abscisse x 0 est :

y f0 f 0x où f0 12

, f x 1x 22

et f 0 14

. Donc y 14

x 12

.

De même, l’équation de la tangente à la courbe y x2 4x 816

au point d’abscisse x 0

est aussi y 14

x 12

.

Alors l’angle entre les deux courbes données au point d’abscisse x 0 est 0, car lestangentes aux courbes données au point d’abscisse x 0 coïncident.

Calculons maintenant l’angle entre ces deux courbes au point d’abscisse x 6.L’équation de la tangente à la courbe y x 1

x 2au point d’abscisse x 6 est

y f6 f 6x 6avec f6 54

et f 6 116

. Donc

y f6 f 6x 6 54 1

16x 6 1

16x 13

8,


——————————————————————————————————-205

c’est à dire que y 116

x 138

.

L’équation de la tangente à la courbe y x2 4x 816

au point d’abscisse x 6

est y f6 f 6x 6 avec f6 103

, f 6 12

. Donc

y f6 f 6x 6 103 1

2x 3 1

2x 1

3.

Cherchons maintenant l’angle entre les deux tangentes y 116

x 138

et

y 12

x 13

. Les coefficients angulaires sont respectivement k1 116

et k2 12

.

tg k1 k2

1 k1k2

116 1

21 1

32

1831 arctg 18

31.

Exercice 5.28.10) y sin2x. Calculons yn. On a, d’après la formule de l’exercice 6),

sinnx sinx n 2, n N,

ety 1 cos 2x

2, y sin2x et, donc yn 2n1 sin2x n 1

2, n 1.

Exercice 5.30.

ii) fx e 1

x2 , si x 0

0, si x 0.En dérivant successivement fx pour x 0 , nous

obtenons

f x 2x3 e

1x2 , f x 4

x6 6x4 e

1x2 , . . . , fnx Q3n 1

x e 1

x2

où Q3n 1x est un polynôme de degré 3n suivant les puissances de 1

x .Calculons la dérivée de f au point x 0. On a

f 0 x0lim

fx f0x 0

x0lim e

1x2

x .

En faisant le changement de la variable suivant 1x2 z , on trouve, d’après la règle de

L’Hospital que

f 0 zlim z

12

ez zlim z

12

2ez 0.

Supposons que fn10 existe et fn10 0. Démontrons alors que fn0 existe aussiet est égale à zéro. En effet, on a, d’après la limite remarquable

tlim tk

e t tlim a0 a1t . . .antn

e t 0, k N, n N :

fn0 x0lim

fn1x fn10x 0

x0lim

Q3n3 1x e

1x2

x x0lim

Q3n2 1x

e1x2

0.

Ainsi nous avons démontré que f admet une dérivée n iéme au point x 0, où n est unnombre natutel arbitraire . Donc f est indéfiniment dérivable au point x 0.

Exercice 5.31.


——————————————————————————————————-206

3) y e4x 2ex. Calculons les dérivées y et y et remplaçons les dans l’équationdonnée. On a

y 4e4x 2ex, y 16e4x 2ex , y 64e4x 2ex.En remplaçant dans l’équation, on trouve:

64e4x 2ex 134e4x 2ex 12e4x 2ex 64e4x 2ex 42e4x 26ex 12e4x 24ex 0.

Exercice 5.32.1) Sachant que xkn 0 si n k, alors on a

x2 1 sinx20 k020 C20

k x2 1ksinx20k x2 1sinx20 C20

1 x2 1 sinx19 C202 x2 1 sinx18

x2 1sinx 10 40x sinx 192 20.19

2!. 2!. sinx 18.

2

x2 1 sinx 40x cos x 380sinx x2 379 sinx 40x cos x.

Exercice 5.34.ii) 2 On applique la règle de dérivation d’une fonction donnée sous forme implicite:

2x 2yy 0 dydx y x

y .

d2yd2x

ddx

dydx d

dx x

y x y y x

y2 y y xy2

y x2

yy2 y2 x2

y3 .

d3y

dx3 ddx

d2ydx2

ddx y2 x2

y3 2yy 2xy3 3y2y x2 y2y6

2xy3 2y4 3y2y

y6 2y x

y y3 2xy3 3y2. xy x

2 y2

y6 3xr2

y5 .

Exercice 5.35.

ii) x at2, y bt3,d2ydx2 ?

D’après la règle de dérivation des fonctions données sous forme paramétrique, on a:

dydx

dydtdxdt

3bt2

2at 3b

2at;

d2yd2x

ddx

dydx d

dt

dydx. dx

dt1 y t

x t y t

x t

x t3

.

Sachant que y t 6bt et x t

2a , on trouve alorsd2yd2x

6bt. 2at 2a. 3bt2

2at3 6abt2

8a3t3 3b

4a2t.

Exercice 5.37.ii) y 2 x2

x4 , x 1,1. On a

y1 2 11 1, y1 2 1

1 1 et y 2x2 8

x5 .

Donc y 0 si x 2. Mais x 2 1;1. Alors la dérivée de f ne s’annule enaucun point de 1,1.

Le théorème de Rolle n’est pas satisfait parce que f n’est pas continue à l’intérieur du


——————————————————————————————————-207

segment 1,1, à savoir au point x 0.

Exercice 5.38. fx x 1x 2x 3x 4. La fonction f vérifie les conditions duthéorème de Rolle dans chacun des segments suivants: 1,2, 2,3 et 3,4 et, par conséquent, f

admet une racine dans chacun de ces segments et se sont les seules, car f est un polynôme dedegré 3.

Exercice 5.41.

i) y 3 x2

2si 0 x 1

1x si 1 x .

Les fonctions 3 x2

2et 1

x sont respectivement

dérivables sur 0; 1 et 1;. Etudions la dérivabilité de f au point x 1. On a

f 1 x10lim

fx f1x 1

x10lim

3 x2

2 1

x 1

x10lim 1 x2

2x 1 1.

f 1 x10lim

fx f1x 1

x10lim

1x 1x 1

x10lim 1 x

xx 1 1.

Donc f 1 f 1 et, alors f est dérivable au point x 1. Ainsi la fonction f estdérivable sur le segment 0; 2. On applique le théorème de Lagrange sur le segment 0; 2 :

f2 f0 f c. 2 où 0 c 2 avec f2 12

et f0 32

.

Calculons f x. On a

f x x si 0 x 1

1x2 si 1 x 2

Si 0 c 1, alors f c c. D’où il decoule quef2 f0 2c 1

2 3

2 2c c 1

2.

Si 1 c 2, alorsf c 1

c2 f2 f0 2c2

2c2 1 c 2 .

Conclusion: c 12

ou c 2 .

Exercice 5.43.3) Soient fx x3 et gx x2 1, x 1; 2. Ecrivons le théorème de Cauchy :

f2 f1g2 g1

f cgc

où 1 c 2.

Ce qui est équivalent à8 15 2

3c2

2c 7

3 3

2c c 14

9.

Exercice 5.45.i) 2) D’apres le théorème de Lagrange on a:

arctgx arctgy arctgc. x yavec f c 1

1 c2 . Et alors, comme 11 c2 1, on a

arctgx arctgy 11 c2 |x y| |x y| ,


——————————————————————————————————-208

ii) 2 Appliquons le théorème de Lagrange à la fonction y tgx sur l’intervalle ; , avec0

2. On a, d’une part, f f f c avec c et

f x 1cos2x

. Donc tg tg cos2c

. D’autre part, on a:

0 c 2 cos2 cos2c cos2 0.

Donc1

cos2 1

cos2c 1

cos2.

Alors cos2

cos2c

cos2

.

Ainsi nous avons démontré que cos2

tg tg cos2

.

Exercice 5.46.3) fx 2x

1 x2 . On a

f x 21 x1 x1 x2

0 x 1;1 et f x 0 x ;11;.

et donc f est strictement croissante sur 1;1 et strictement décroissante sur chacun desintervalles ;1 et 1;.

7) y x sinx . On a y 1 cos x 0 ,x R. Donc y x sinx est croissantesur R.

Exercice 5.48. Posons Fx fx gx. On a: Fn1x fn1x gn1x.Appliquons le théorème de Lagrange à la fonction Fn1x sur l’intervalle x0; x. On obtient:

Fn1x Fn1x0 Fnc. x x0, x0 c x.D’autre part, on a

Fnc fnc gnc 0 et Fn1x0 fn1x0 gn1x0 0.De cette façon, on trouve que Fn1x 0 pour x x0.De manière analogue, on montre que Fn2x 0 pour x x0. En continuant ce

processus, on arrive à l’inégalité Fx 0 pour x x0. D’où fx gx pour x x0.

Exercice 5.49.3) n x n a n x a , si n 1 et x a 0? Posons fx n x n a et

gx n x a . On a:fa ga 0, f x 1

n n xn1, gx 1

n n x an1.

On trouve que pour x a , f x gx. Alors, d’après l’exercice précédent 5.48,fx gx pour x a 0.

4) 2 x 3 1x x 1? Posons fx 2 x et gx 3 1

x . On a:

f1 g1, f x 1x

et gx 1x2 .

Alors f x gx pour x 1. Donc on déduit, d’après l’exercice 5.48, que fx gxpour x 1, c’est à dire 2 x 3 1

x x 1.

8) ex 1 x pour x 0? Appliquons le résultat de l’exercice précédent 5.48. Pour cela,


——————————————————————————————————-209

posons fx ex et gx 1 x. Notons que f0 g0 1 et f x gx x 0.Alors d’après l’exercice 5.48, on trouve que fx gx , x 0.

Pour x 0, posons x t. On obtient alors :f t ft et et gt gt 1 t

pour t 0. On af0 g0,

ft et, g t 1 et

ft g t pour t 0.

Alorsf t gt pour tout t 0, c’est à dire que ex 1 x pour x 0.

12) Posons fx x x3

6, hx sinx , gx x. Nous avons

f0 h0 g0 0, f x 1 x2

2, hx cos x et gx 1.

Montrons que f x hx gx pour x 0 et x 2k, k 1,2, . . . .En effet, soit x f x hx 1 x2

2 cos x, x 0. Dans ce cas

x x sinx 0, x 0.Donc est strictement décroissante sur 0, et x 0 0. Ainsi

f x gx, x 0.De même, on montre que gx hx, x 0. Alors ,d’après l’exercice 5.48), on obtient

que fx hx gx pour x 0 et x 2k. Pour x 2k , on a

2k1 4k22

6 0 2k, k 1,2, . . . . Donc f2k h2k g2k, k 1,2, . . . .Ainsi,

on a démontré que l’inégalité fx gx hx, x 0 est vraie.17) Montrons que sinx 2

x, x 0, 2

. Cette inégalité est équivalente à

sinxx 2

, x 0, 2

.

Posons fx sinxx qui est dérivable sur 0,

2. Sachant que x tgx et cos x 0 sur

0, 2

, on a

f x x cos x sinxx2

cos xx tgxx2 0, x 0,

2.

Donc f est strictement décroissante sur 0, 2

. Donc fx f 2 sur 0,

2et,

comme f C0, 2 avec f

2 2 , on obtient fx 2

,x 0, 2

. L’inégalité

sinx x se démontre de la même manière avec fx sinx x.

Exercice 5.52. Remarques.i) Les fonctions suivantes vérifient les conditions du théorème de L’Hospital, à savoir elles

sont dérivables dans un voisinage épointé du point considéré.

ii) Il faut d’abord vérifier quexx0

limfnxgnx

existe avant d’écrire la limite.

11)x1lim xx x

ln x x 1 0

0F. I. . On a:

x1lim

ex lnx x

ln x x 1

x1lim

ex lnxln x 1 11x 1

x1lim

xex lnxln x 1 x1 x

x1lim

ex lnxln x 1 xex lnxln x 12 ex lnx 11 2.

Doncx1lim xx x

ln x x 1 2.


——————————————————————————————————-210

35)x1lim 2 x tg

x2 1 F. I. . Pour appliquer la règle de L’Hospital, ramenons cette

forme indéterminée à celle 00

ou . Pour cela, remarquons que

x1lim 2 x

tgx2 e x1

limtg x2 .ln2x

Calculonsx1lim tg

2x ln2 x. On a:

x1limtg

2x ln2 x

x1lim

ln2 xctg

2x 0

0 F. I.

etx1limln2 x

ctg 2

x

x1lim

2sin2 x

2 x 2 .

Doncx1lim 2 x

tgx2 2

.

44)x10lim ln x. ln1 x 0. F. I. . De même que dans l’exemple 35, écrivons

x10lim ln x. ln1 x

x10lim

ln1 x1

ln x

00F. I.

On ax10lim

ln1 x

1ln x

x10lim x ln2x

1 x 0

0 (F.I.). Appliquons une deuxième fois la règle de

L’Hospital à cette dernière limite. On a

x10lim

x ln2x

1 x

x10lim

ln2x x. 2ln x 1x

1 x10lim ln2x . 2 ln x

1 0.

Doncx10lim ln x. ln1 x 0.

47)x00lim x ln x 0. F. I. . 0. On a

x00lim x ln x

x00lim ln x

x F. I. et

x00lim

ln x

x

x00lim

1x

x1 1 .

x00lim x 0.

Doncx00lim x ln x 0.

63)x0lim 1

xarctgx 1

x2 F. I. . Comme pour l’exemple 35, on a

x0lim 1

xarctgx 1

x2 x0lim

x arctgx

x2arctgx 0

0F. I.

et

x0limx arctgx

x2arctgx

x0lim

1 11 x2

2xarctgx x2

1 x2

x0lim x

21 x2arctgx x

x0lim 1

4xarctgx 2 1 1

3.


——————————————————————————————————-211

Doncx0lim 1

xarctgx 1

x2 13

.


——————————————————————————————————-212

Chapitre VI. Formule de Taylor. Développements limités.Rappels de cours.

§1. Formule de Taylor.

VI.1 Formule de Taylor pour un polynôme. SoitPx a0 a1x a2x2 . . . anxn

un polynôme réel de degré n N an 0 et soit x0 R. Le développement de cepolynôme en puissances de x x0 est donné par la formule suivante:

Px Px0 P x0

1!x x0

P x02!

x x02 . . .Pnx0

n!x x0n,

qui s’écrit de façon condensée: Px k0

n

Pkx0k!

x x0k, appelée polynôme de

Taylor de degré n en x0 .Par exemple, développons le polynôme Px x2 x 1 suivant les puissances de

x 1, c’est à dire écrivons la formule de Taylor de x2 x 1 en x 1. On a :

P1 1, P 1 x2 x 1x1 2x 1x1 3, P 1 P xx1 2.

Donc Px x2 x 1 1 3x 1 x 12.

VI. 2. Formule générale de Taylor pour une fonction. Soit f une fonction nonpolynômiale ayant des dérivées successives jusqu’à l’ordre n N au point x0 R. Lepolynôme suivant de degré n

Pnx fx0 f x0

1!x x0

f x02!x x02 . . .

fnx0n!

x x0n

est appelé polynôme de Taylor de dégré n de la fonction f en x0.La fonction définie dans le voisinage V de x0 par Rnx; x0 fx Pnx, est appelée

reste en x0. Ainsi, la fonction f s’écrit dans le voisinage V comme suit :

fx fx0 f x0

1!

x x0 f x0

2!x x02 . . .

fnx0n!

x x0n Rnx; x0

k0

n

fkx0k!

x x0k Rnx; x0 Pnx Rnx; x0, x V.

Cette formule est appelée formule générale de Taylor avec reste R d’ordre n de f en x0 etle reste peut s’exprimer de différentes manières et dépend des hypothèses faites sur la fonction f.

VI.3. Formule de Taylor avec reste de Peano. Si f est une fonction dérivable jusqu’àl’ordre n N au point x0 R, alors il existe un voisinage V de x0 dans lequel on a :

fx fx0 f x0

1!x x0

f x02!x x02 . . .

fnx0n!

x x0n ox x0n,

appelée formule de Taylor avec reste de Peano. En posant x x x0, la formules’écrit:


——————————————————————————————————-213

fx k0

n

fkx0k!

xk oxn, x 0.

VI.4. Formule de Taylor avec reste de Lagrange. Soit f une fonction définie et dérivablejusqu’à l’ordre n 1 dans un voisinage V de x0 R, alors on a les formules suivantes:

fx fx0 f x0

1!x x0

f x02!x x02 . . .

fnx0n!

x x0n fn1cn 1!

x x0n1

avec c compris entre x0 et x. ou bien

fx k0

n

fkx0k!

x x0n fn1x0 x x0

n 1!x x0n1, 0 1,

appelées formules de Taylor avec reste de Lagrange.

VI.5. Formule de Taylor avec reste de Cauchy. Soit f une fonction définie et dérivablejusqu’à l’ordre n 1 dans un voisinage V de x0 R, alors on a la formule suivante:x V,

fx k0

n

fkx0k!

x x0k fn1x0 x x0

n!1 nx x0n1, 0 1

appelée formule de Taylor avec reste de Cauchy au point x0 de la fonction f.

VI.6 Formules de Mac-Laurin. Les formules de Mac-Laurin s’obtiennent à partir de cellesde Taylor pour le cas particulier x0 0. Ainsi au voisinage V du point x0 0, on a lesdifférentes formules suivantes:

1) formule de Mac-Laurin avec reste de Peano :

fx f0 f 01!

x f 02!

x2 . . . fn0n!

xn oxn x 0,

2) formule de Mac-Laurin avec reste de Lagrange:x V, , 0 1,

fx f0 f 01!

x f 02!

x2 . . . fn0n!

xn fn1xn 1!

xn1,

3) formule de Mac-Laurin avec reste de Cauchy: x V, , 0 1,

fx f0 f 01!

x f 02!

x2 . . . fn0n!

xn fn1xn!

1 nxn1.

VI.7. Application de la formule de Mac-Laurin aux fonctions usuelles. Les fonctionsusuelles suivantes sont toutes indéfiniment dérivables sur les domaines indiqués, par conséquentles formules de Mac-Laurin s’appliquent jusqu’à n’importe quel ordre.

1) Formule de Mac-Laurin de la fonction exponentielle:fx ex , x R . On a exn ex, x R, n N,

n N,x R ,, 0 1 : ex 1 x1! x2

2!. . . xn

n!

ex

n 1!xn1.

2) Formule de Mac-Laurin de la fonction logarithme:


——————————————————————————————————-214

fx log1 x, x 1. On a

log1 xn 1n1n 1!1 xn

, x 1 , n N,

n N, x 1,, 0 1 : log1 x x x2

2. . . 1

n1xn

n 1nxn1

n 11 xn1.

3) Formule de Mac-Laurin de la fonction sinus, fx sinx, x R. Ona sinnx sinx n

2, n N, D’où p N, x R, , 0 1:

sinx x x3

3!. . .1p x2p1

2p 1! 1p1 sinx

2p 2!x2p2,

ou de manière symétrique par rapport à la puissance de x :

sinx x x3

3!. . .1p1 x2p1

2p 1! 1p cosx

2p 1!x2p1.

4) Formule de Mac-Laurin de la fonction cosinus, fx cos x, x R. On acosnx cosx n

2, n N, D’où x R, p N, , 0 1:

cos x 1 x2

2!. . .1p x2p

2p! 1p1 sinx

2p 1!x2p1,

ou de manière symétrique

cos x 1 x2

2!. . .1p x2p

2p! 1p1 cosx

2p 2!x2p2.

5) Formule de Mac-Laurin de la fonction fx 1 x, R, x 1. On a1 xn 1 2. . . n 1 1 xn, n N, et,

alors n N, x 1, , 0 1,

1 x 1 1!

x 12!

x2 . . . 1 2. . . n 1n!

xn

1 2. . . n1 xn1

n 1!xn1.

Cas particuliers.i) 1. Pour x 1, : , 0 1,

11 x

1 x x2 . . .1nxn 1n1 11 xn2

xn1. 11 x

1 x x2 . . .xn 11 xn2

xn1.

ii) 12

, pour x 1, , 0 1, :

1 x 1 x2 1

2.4x2 . . .1n1 1.3.5. . . 2n 3

2.4.6. . . 2nxn . . .

1n 1.3. . . 2n 12.4. . . 2n 2

11 xn1/2

xn1.

ou bien

1 x 1 x2 1

2.4x2 . . . 1n1 2n 3!!

2n!!xn . . .

1n 2n 1!!2n 2!!

11 xn1/2

xn1.


——————————————————————————————————-215

VI.8. Application de la formule de Mac-Laurin au calcul approché. Pour le calcul decertaines valeurs approchées de nombres on peut utiliser la formule de Taylor avec reste deLagrange en prenant la formule d’approximation suivante:

fx f0 f 01!

x f 02!

x2 . . . fn0n!

xn.

Si fn1x M, x r, r , alors on a la majoration suivante du reste :

|Rnx| fn1xn 1!

xn1 M |x|n1

n 1! M rn1

n 1! n 0 r 0.

Par exemple , calculer sin20o à 103 près. On a sin20o sin 9

et, d’après la formule

d’approximation

sinx x x3

3! x5

5!. . .1p x2p1

2p 1! R2p1x, x R,

avec R2p1x vérifiant

|R2p1x| 1p1 sinx2p 2!

x2p2 x2p2

2p 2! p 0, x R.

Pour x 9

et p 1, on a: R3 9

4. 1

4! 0,00062 103, ce qui donne

sin20o 9

9

34. 1

3! 0,342 à 103 près.

VI. Applications aux inégalités. La formule de Taylor-Lagrange peut être utilisée pourétablir certaines

inégalités. Par exemple, montrons que:

x 0, x x2

2 log1 x x x2

2 x3

3;

On a respectivement pour n 2 et n 3, x 1, 1, 2 0 1,2 1,

log1 x x x2

2 1

31 1x3x3 et log1 x x x2

2 x3

3 1

41 2x4x4.

Comme x3

31 1x3 0 et x4

41 2x4 0 si x 0, alors

x x2

2 log1 x x x2

2 x3

3.

§2. Développements limités et applications.

VI.10. Développements limités.Définition 1. Soit f une fonction définie dans un voisinage épointé U de x0. On dit que f

admet un développement limité d’ordre n en x0 R s’il existe des nombres réelsa0, a1, . . . ,an et une fonction x tels que:

x U, fx a0 a1x x0 . . .anx x0n xx x0n avecxx0

lim x 0.

Le polynôme Px a0 a1x x0 . . .anx x0n de dégré n est appelé partierégulière de f en x0. La fonction Rx xx x0n est appelée reste et on


——————————————————————————————————-216

a: Rx ox x0n x x0. Par abréviation, on écrit que f admet un D.L. d’ordre n enx0 ou D.Lnx0.

Définition 2. Soit f définie dans un voisinage V de l’infini. On dit que f admet un D.Ld’ordre n N à l’infini s’il existe un polynôme P de degré n tel que

fx P 1x o 1

xn , x V.

Remarque. Le D.L. de fx à l’infini correspond au D.L. de la fonctiont

f t f 1

t au point t 0 avec t 1x .

Les deux théorèmes suivants ( unicité et existence des D.L.) sont vrais:

Théorème 1. Si f admet un développement limité au point x0, alors il est unique.

Théorème 2. Si f est dérivable n fois au point x0, alors elle admet en ce point le D.L.d’ordre n suivant:

fx n

k0

f x0k!x x0k ox x0n, x x0.

Remarque. Le D.L. d’une fonction peut exister sans que la formule de Mac-Laurin ne soitapplicable, c’est à dire que la condition du théorème 2) est suffisante, mais pas nécessaire.

VI.11. Propriétés des D.L. Soit f une fonction admettant un D.L. d’ordre n N en x0,alors les propriétés suivantes sont vraies:

i)xx0

lim fx a0, c’est à dire que f est prolongeable par continuité en x0.

ii) Si n 1, la fonction prolongée est dérivable en x0, c’est à dire si a0 fx0, alors:

f x0 xx0

limfx fx0

x x0 a1.

iii) s’il existe p, 0 p n tel quefx apx x0p . . .anx x0n ox x0n x x0,

alors f apx x0p x x0.Inversement:

f apx x0p x x0 fx apx x0p ox x0p x x0

iv) Si x0 0 et f est paire, alors a2p1 0, p N .v) Si x0 0 et f est impaire, alors a2p 0, p N.

Remarques.1) Le D.L. en x0 de f n’existe pas si

xx0

lim fx n’existe pas, en vertu de la propriété i).

2) La fonction f peut admettre un D.L. en x0, même si elle n’est pas définie en ce point.3) D’après les propriétés i) et ii), si fx0 a0, alors f est continue en x0, et, donc,

f x0 a1 et si f admet un D.L. d’ordre n 1, alors elle est dérivable et f x0 a1.4) L’existence du D.L. d’ordre n 2 de f n’implique pas l’existence de fnx0, même si

fx0 a0.5) Pour que f soit dérivable en x, x x0, il faut et il suffit que la fonction le soit aussi

(dans la définition du D.L., cette dernière condition n’est pas exigée).6) Si f est dérivable en x0 jusqu’à l’ordre (n 1, alors son D.L. peut s’écrire


——————————————————————————————————-217

fx a0 a1x x0 a2x x02 . . .anx x0n Ox x0n1, x x0.

Exemple. La fonction

fx 1 x . . .xn xn1 sin 1

xn1 , x 0

0, x 0,

admet le D.L. fx 1 x . . .xn xnx avec a0 a1 . . . an 1et x x sin 1

xn1x0 0, alors que f n’est pas continue en x0 0, donc elle n’est pas

dérivable en ce point.

VI.12. Règles d’utilisation. Dans la suite, on considèrera les D.L. au point x0 0, car onpeut toujours se ramener à ce cas si x0 0 en faisant le changement de variable t x x0.Pour établir le D.L. d’une fonction f, on peut utiliser la formule de Taylor-Peano si fn0 existe,en calculant les dérivées successives de f au point x0 0 : f0, f 0, . . . , fn0.Cependant, on peut éviter ces calculs à l’aide d’opérations sur les D.L. Les théorèmes suivants

sont vrais:

Théorème 1. (Troncature). Si f admet un D.L. d’ordre n N au point x0 0, alors elleadmet un D.L. d’ordre p, p n.

Théorème 2. Soit fx Px 1xxn et gx Qx 2xxn les D.L. d’ordre n Nrespectivement de f et g en x0 0 , avec

Px a0 a1x . . .anxn et Qx b0 b1x . . .bnxn

des polynômes de degré n . Alors les fonctions f g, f.g,fg si lim

x0x 0 , fog si

g0 0 admettent des D.L. d’ordre n en x0 0 et on a les D.L. correspondants suivants :i) fx gx Px Qx 3x.xn, 3x

x0 0 ;

ii) fx.gx Sx 4x.xn, 4xx0 0 où Sx est le

polynôme de degré n, obtenu à partir du produit PxQx;

iii fxgx

Tx 5x.xn, 5xx0 0, Tx étant un polynôme de degré n, obtenu

à partir de la division de Px par Qx suivant les puissances croissantes de x;iv) si g0 0, alors fgx Cx 6x.xn, 6x

x0 0 où Cx est le polynôme

de degré n obtenu à partir du polynôme composé PQx.

VI.13 Table des D.L. des fonctions usuelles et élémentaires. La connaissance des D.L. desfonctions usuelles et élémentaires est nécessaire pour les utiliser dans certaines applications. Ondressera la table des D.L. des principales fonctions usuelles ( qui vérifient les conditions duthéorème d’existence des D.L.) au no VI.16, et à partir de laquelle, on peut obtenir d’autres enutilisant les opérations sur les D.L.

Remarques.1) Dans la table des D.L., on notera le reste par x.xn, sachant que ce n’est pas la même


——————————————————————————————————-218

fonction . On a , pour tous les ,x0lim x 0, sans le préciser à chaque fois.

2) Le reste Rx x.xn peut s’écrire aussi Rx oxn x 0.

VI.14. Développements limités généralisés. Soit f une fonction définie dans un voisinageépointé de x0 R et n’ayant pas de D.L. en ce point. Si la fonction gx x x0fx admetun D.L. en x0 pour un certain réel 0 de la forme

x x0fx a0 a1x x0 . . .anx x0n ox x0n,

on dit alors que la fonction f admet un développement limité généralisé en x0 qui s’écrit

fx 1x x0

a0 a1x x0 . . .anx x0n ox x0n , x x0.

Exemple. La fonction fx ctgx n’est pas définie en x0 0 et elle n’admet pas de D.L. ence point car on a

x0limctgx . Cependant, la fonction gx xctgx admet un D.L. 0. Le

D.L. de la fonction gx xctgx d’ordre 4 est: xctgx 1 x2

3 x4

45 ox4, donc le D.L.

généralisée de fx ctgx est

ctgx 1x

x3 x2

45 ox3.

VI.15. Application des D.L. au calcul des limites. Les fonctions données dans les exemplessuivants admettent toutes des D.L. de tout ordre. Pour le calcul de l’ordre nécessaire des D.L., ilsuffit de déterminer celui qui permet de lever l’indétermination.

Exemple 1. Calculerx0lim sinx x

x3 00

F. I. . On a

sinx x x3

6 ox3 x 0 et

sinx xx3

x x3

6 ox3 x

x3 16 ox3

x3x0 1

6 0 1

6.

Exemple 2. Calculer limx0

e x2

2 cos xx3 sinx

00

F. I. . Connaissant les D.L. des fonctions ex,

cos x et sinx, on déduit que

ex2

2 1 x2

21! x2

2

2

2! ox4 1 x2

2 x4

8 ox4 x 0

et

ex2

2 cos xx3 sinx

1 x2

2 x4

8 ox4 1 x2

2 x4

24 ox4

x3x ox

x4

12 ox4

x4 x3ox

x4 112 ox4

x4

x4 1 x3oxx4

x0

112 0

1 0 1

12.


——————————————————————————————————-219

VI.16. Table des D.L. des fonctions usuelles.Dans la suite on note 2.4.6. . . 2n 2n!! et 1.3.5. . . 2n 1 2n 1!!.


——————————————————————————————————-220

1) ex 1 x1! 1

2!x2 . . . 1

n!xn oxn

n

k0

xk

k! oxn,

2) log1 x x 12

x2 13

x3 . . . 1n xn oxn

n

k0

1k1 xk

k oxn,

3) 1 x 1 x 12!

x2 . . . 1 2. . . n 1n!

xn oxn

1 n

k1

1 2. . . k 1k!

xk oxn,

4) 11 x

1 x x2 . . .xn oxn n

k0

xk oxn,

5) 11 x

1 x x2 x3 . . .1nxn oxn n

k0

1kxk oxn,

6) 1 x 1 x2 1

2.4x2 1.3

2.4.6.x3 . . .1n11 1.3.5. . . 2n 3

2.4.6. . . 2nxn oxn

n

k1

1k1 2k 3!!2k!!

xk oxn.

7) 11 x

1 12

x 1.32.4

x2 1.3.52.4.6

x3 . . .1n 1.3. . . 2n 32.4. . . 2n

xn oxn

n

k0

1k 1.3. . . 2k 32.4. . . 2k

xk oxn,

8) sinx x x3

3!. . .1n x2n1

2n 1! ox2n2

n

k0

1k x2k1

2k 1! ox2n2,

9) cos x 1 x2

2! x4

4!. . .1n x2n

2n! ox2n1

n

k0

1k x2k

2k! ox2n1,

10) tgx sinxcos x x 1

3x3 2

15x5 17

315x7 . . .ox2n1,

11) ctgx cos xsinx

1x

13

x 145

x3 2945

x5 . . .a2n1x2n1ox2n2,

12) arcsin x x 12

x3

3 1.3

2.4x5

5. . . 1.3.5. . . 2n 1

2.4.6. . . 2nx2n1

2n 1 ox2n2

x n

k1

2k 1!!2k!!

x2k1

2k 1 ox2n2

n

k0

2k!4kk!2

x2k1

2k 1 ox2n2,

13) arccos x 2 arcsin x

2

n

k0

2k!4kk!2

x2k1

2k 1 ox2n1,

14) arctgx x 13

x3 15

x5 . . . 1n

2n 1x2n1 ox2n2

n

k0

1k2k 1

x2k1 ox2n2,

15) arcctgx 2arctgx

2

n

k0

1k2k 1

x2k1 ox2n2,

16) shx x1! x3

3!. . . x2n1

2n 1! ox2n2

n

k0

x2k1

2k 1! ox2n2,

17) chx 1 12

x2 14!

x4 . . . 12n!

x2n ox2n1 n

k0

x2k

2k! ox2n1,

18) thx shx

chx x 1

3x3 2

15x5 17

315x7 . . .a2n1x2n1 ox2n2,


——————————————————————————————————-221

19) cthx chx

shx 1

x 13

x 145

x3 2945

x5 . . .a2n1x2n1 ox2n2,

20) argshx logx x2 1

x 12

x3

3 1.3

2.4x5

5. . .1n 1.3.5. . . 2n 1

2.4.6. . . 2nx2n1

2n 1 ox2n2

x n

k1

1k 2k 1!!2n!!

x2k1

2k 1 ox2n2

n

k0

1k 2k 1!!2n!!

x2k1

2k 1 ox2n2,

21) argthx 12

log 1 x1 x

x 13

x3 15

x5 . . . 12n 1

x2n1 ox2n2

n

k0

x2k1

2k 1 ox2n2, |x| 1,

22) argcthx 12

log 1 x1 x

x 13

x3 15

x5 . . . 12n 1

x2n1 ox2n2

n

k0

x2k1

2k 1 ox2n2, |x| 1.


——————————————————————————————————-222

Enoncés des exercices du chapitre VI.Partie corrigée

Exercice 6.1. Développer les polynômes suivants selon les puissances de x x0 :1 P1x 2x3 3x2 5x 1 , x0 1 ;2 P2x x4 5x3 x2 3x 4 , x0 4

Exercice 6.2. Ecrire la formule de Taylor pour le polynôme Px x4 4x2 x 3 aupoint x0 1 jusqu’à l’ordre deux avec reste de Lagrange. Calculer pour les valeurs suivantesde l’argument:

i x 0 ; ii x 1 ; iii x 2.

Exercice 6.3. Soit f une fonction telle que

fx h fx hf x . . . hn

n!fnx h,

avec 0 1 et fn1x 0. Montrer queh0lim 1

n 1.

Exercice 6.4. Soit fx arctgx. Calculer arctgn0 et écrire la formule de Mac-Laurinjusqu’à l’ordre n.

Exercice 6.5. Soit f C20,1 et f0 f1 0 telle que |f x| A sur 0,1. Démontrerque

|f x| A2

sur 0,1.

Exercice 6.6. Ecrire la formule de Taylor avec reste de Lagrange pour chacune des fonctionssuivantes au point x0 indiqué jusqu’a l’ordre n N :

1) fx 1x , x0 1; 2) fx xe2x, x0 1;

3 fx ln2x 1,x0 12

; 4 fx x3 logx, x0 1;

5) fx sin2x 3, x0 1; 6 fx x4 x

,x0 10;

7 . fx 2x 1x 1

,x0 2; 8 fx x 7x2x 7

,x0 2;

9 fx 2x1 x2 ,x0 2; 10) fx x 5

2x 4,x0 1

10;

11 fx x2 3xx 1

, x0 1; 12) fx x2 4x 4x2 10x 25

,x0 2;

13 fx x2 4x 5x2 5x 6

, x0 1; 14) fx x2 5x 7x2 9x 20

,x0 3;

15) fx x3 5x2 4x 5x2 5x 6

,x0 1; 16) fx x 22

3 x, x0 2;

17) fx x , x0 4; 18 fx log3 3 3x 13

, x0 3;

19) fx log 4x 25 x

, x0 3.

Exercice 6.7. Ecire la formule de Taylor avec reste de Peano pour chacune des fonctionssuivantes au point x0 indiqué jusqu’a l’ordre 2n N :


——————————————————————————————————-223

1) fx ex22x1, x0 1;2 fx x 3e3x218x, x0 3;3) fx x 2 log2x2 8x 11, x0 2;4) fx x 1

x2 2x 5, x0 1;

5 fx x 3x2 4x 8

, x0 2;

6) fx x 13x2 6x 5

, x0 1;

7) fx 12x x2

, x0 1;

8 fx x 2x2 4x 8

,x0 2;

9 fx x 13

x2 2x 2, x0 1;

10) fx x2 2x 13 x2 x

, x0 1;

11 fx x 1x2 2x 2

,x0 1.

Exercice 6.8. Ecire la formule de Taylor avec reste de Peano pour chacune des fonctionssuivantes au point x0 indiqué jusqu’a l’ordre 2n 1 N :

1) fx e2x28x3, x0 2;2) fx e2x212x, x0 3;3) fx x 122x22x, x0 1;4) fx 2x 3

x2 3x 2, x0 3

2;

5) fx 2x2 8x 5x2 4x 3

, x0 2;

6) fx x 2 ln2 x2 2x, x0 1;7) fx sin 9

2x cos 3

2x, x0 6

;

8) fx x 4sinx cos x, x0 4 ;

9) fx x2 x2x 1

cosx, x0 12

;

10) fx x 23 x2 4x 5

, x0 2;

11) fx 1 4x 4x2

x 1 x, x0 1

2;

12) fx log5 32x 13 2x

, x0 1.

Exercice 6.9. Ecrire les formules de Mac-Laurin avec reste de Peano à l’ordre n desfonctions suivantes:

1) fx e5x1; 2 fx ex/2. x 1;3 fx 2x 3 log5x 6; 4 fx sin2x 3;5 fx cos x

2 2; 6) fx 1

1 2x;

7 fx 2x 3x 1

; 8) fx 11 x2

;

9 fx 11 4x

; 10 fx log 2 3x3 2x

;


——————————————————————————————————-224

11 fx x2 3ex

e2x ; 12 fx x3 9 6x x2

.

Exercice 6.10. i) Ecrire les formules de Mac-Laurin avec reste de Peano à l’ordre 2n desfonctions suivantes:

1 fx x sin22x; 2) fx sin3x cos x;

3 fx x4 1x2 1

; 4 fx x2 2x3 x2 x 1

;

5) fx sh x2

; 6 fx xch3x.

ii) Ecrire les formules de Mac-Laurin avec reste de Peano à l’ordre 2n 1 des fonctionssuivantes:

1) fx cos 3x; 2 fx x2 cos2x;3 fx cos 3x cos 5x; 4) fx cos4x sin4x.

Exercice 6.11. Etablir à l’aide de la formule de Taylor les relations suivantes

1 x 0, 2, x x3

6 sinx x x3

6 x5

120, et montrer qu’on a des égalités si et

seulement si x 0;

2 i) x R, x x2

2 log1 x x;

ii) en déduire la limitenlim

n

k1 1 k

n2 ;

3) x R, x x2

2 log1 x x x2

2 x3

3.

4) x R, 0 3 1 x 1 x3 x2

9 5

81x3.

Exercice 6.12.i) Monter que x R, 1 x ex voir exercice 5.49.8).ii) En déduire que pour k 0,1, la suite unn1 converge, avec

un 1 k1 k2. . . 1 kn.

Exercice 6.13.i Ecrire la formule de Mac-Laurin de fx ex jusqu’à l’ordre n avec reste de Lagrange et

en déduire que le nombre de Néper e n’est pas rationnel.ii) Calculer le nombre e à 106 près.

Exercice 6.14. A l’aide de la formule de Taylor, calculer:1) e à 105 près; 2 log11 à 105 près;3) sin1o à 108 près; 4 5 33 à 103 près.

Exercice 6.15. Etudier l’existence d’un D.L. à l’ordre n N au voisinage de x0 0 pour lafonction f si:

1) fx cos 1x ; 2) fx cotgx;

3) fx x ; 4) fx arcsinlog1 thx;


——————————————————————————————————-225

Exercice 6.16. Calculer les D.L. des fonctions suivantes en x0 0 et à l’ordre indiqué:

1) fx x2 1x2 2

, n 3; 2) fx 1 x x2

1 x x2 n 4;

3) fx 11 x x2 n 4; 4) fx 2x 1 1 x , n 4 ,

5) fx 1 x . 3 1 x2 , n 2; 6) fx eex1x, n 6;7) fx e2xx2

, n 5; 8) fx ex 1 2x , n 3;9) fx x ex

1 x2 , n 3;

10) fx 1 x ln1 x 1 x ln1 x , n 5.11) fx log 1 x 1 x , n 5; 12) fx cos x. log1 x, n 4;

13) fx x log1 sinx x2e3x2, n 3; 14) fx sinx2 x4 x6 , n 5;

15) fx x cos xlog1 x

, n 4; 16) fx log cos x, n 6;

17) fx 1 x cos x, n 4; 18) fx cos x1 x

, n 4;

19) fx tgx , n 5 , 20 fx cos x , n 5;21) fx logx cos x ,n 4; 22) fx arcsin x

1 x2, n 5;

23) fx xex 1

, n 4 , 24) fx sinx. argshx, n 4;

25) fx sinlog1 x, n 4; 26) fx 1cos2x

, n 4;

27) fx sintgx, n 7; 28) fx 1 1 x , n 2;

29) fx chx. sh3x, n 5; 30) fx 2 x

chx; n 3;

31) fx cosh x 1cos x 1

, n 4; 32) fx log2 chx, n 5;

33) fx logchxcos x , n 5; 34) fx 1 x

1x n 3;

35) fx 1 x x21x , n 4; 36) fx esin x, n 4;

37) fx ecosx, n 4; 38) fx cos xsin x, n 5;

39) fx e cosx , n 4; 40) fx log1 tgx

1 tgx, n 5;

41) fx e1x log

ch x

cos x , n 2; 42) fx chx. logcos x, n 4;

43) fx x argthx

x arctgx, n 5; 44) fx argshex, n 4.

Exercice 6.17. Calculer le DL de chacune des fonctions suivantes aux ordres et aux pointsindiqués:

1) fx 2xx2, n 5 ,x0 1

2;

2) fx 3x2 6x 4e2x24x5 , n 5 , x0 1;

3) fx x2 1x2 2x

, n 6, x0 1;

4) fx x2 1x2 2x

, n 4, x0 ;

5) fx 3 x3 x2 3 x3 x2 , n 2, x0 ;6) fx logx 1 x2 log 1 x2 , n 4, x0 ;


——————————————————————————————————-226

7) fx logxx2 , n 4, x0 1;

8) fx log23x2 24x 50 , n 7 , x0 4;9) fx x2 xcosx

2 , n 5 ,x0 2

;

10) fx cos x sin2x 4 , n 4 , x0 4

;

11) fx tgx ,n 3 , x0 4;

12) fx arctg x 1x 2

, n 3 , x0 ;

13 fx logxtg 1x , n 3, x0 .

Exercice 6.18. Calculer le D.L généralisé de chacune des fonctions suivantes aux points etaux ordres indiqués:

1) fx 1 2x x3

x3 x5 , x0 0, n 2;

2) fx x3

x 1, x0 , n 3;

3) fx x3 2x 1

, n 2, x0 ;

4) fx 1x2 ln1 x,x0 0,n 3;

5) fx 1ln1 sinx

, x0 0, n 3;

6 fx cos xln1 sinx

, x0 0, n 3;

7) fx 1sin3x

, x0 0, n 2;

8 fx arctg x 1x 2

, n 3, x0 ;

9) fx ctgx, n 5, x0 0;

10) fx x2 1x2 2x

, n 4, x0 0.

Exercice 6.19. A l’aide des développements limités, calculer les limites suivantes:

1)x0lim

ex sinx x1 xx3 ; 2)

x0lim lim

x0

log1 x sinx 1 cos xtan x x ;

3) limx0

x2 cos x ex 12

sin3x; 4)

x0lim

x2e2x ln1 x2x cos x sinx

;

5)x0lim

ln1 x3 2sinx 2x cos x2

arctgx3;

6)x0lim

1 x . ln1 x x1 x

tgx sinx;

7x0lim

3 1 x3 xctgx 13

x2

x cos x sinx; 8)

x0lim

ex 1 2xx2 ;

9)x0lim 1

x2 1

sin2x; 10)

x0lim

sinx log1 xex 1 sinx

;

11)xlim x log x 1

x ; 12)x0lim

ln1 x 16

x2 sinhx 23

x2

coshsinx ex2/2;

13)x10lim

x 3 3 3x 51 tg 4 x

; 14)x2lim 2x 3x 12 tg

4 x;


——————————————————————————————————-227

15)x1lim x

x 1 1

logx; 16

x0lim

sinx log1 x2x. tgx

;

17)x0lim

tg2x1 cos x

x2 log1 x; 18)

x0lim x sin2x

x2 sin2x;

19)x1lim

2x x4 3 x

1 4 x3; 20

x0lim sin2x

e3x 1;

21)x0lim xex sinx

log1 x xtgx x; 22)

x0lim

5 1 2x 14 1 x 1 x

;

23)x0lim

3cos x arcsin x 3 3 1 xlog1 x2

; 24)x0lim

logx2 1xarctgx

;

25)x0lim 1

x1x arctan1 x

4 1

2 1

x log sinxx ;

26)x0lim

tgx lnx 1 x2 sinx x cos x

;

27)x0lim 1

sinxarctgx 1

tgx arcsin x; 28)

x2lim 3 x ln x

2

1sin2x2 .

29)x0lim

lnx 1 x2 x 16

x3

x thx; 30)

x 2

lim 2cos2x

1ln sinx

;

31)x0lim

x 1 sinx ln1 xtgx sinx

; 32)x0lim

ln1 x 16

x2 shx 23

x2

sin2x 2x cos x;

33)x0lim e 1sin x e

tgx; 34)

x0lim

earctgx ln1 x 1

2 4 x2;

35)x0lim

1 cos x

tgx; 36)

x0lim

esin x 1 x2 x cos xln31 x

;

37)x0lim

3 1 3x esin x 32

x2

arcsin x tgx; 38)

x0lim

ln1 x2 1 sinx 1

shx arctgx;

39)x0lim

1 sh2x cos x x

tgx arctg sinx; 40)

x0lim xe tgx sin2x x

x tgx x3 tgx;

41)x0lim

cos x 1 2x x

x2tgx ex2 1

; 42)x0lim

e2x ch2x 2x

tg2x 2sinx;

43)x0lim

1 cos xsin x

x2 ; 44)x0lim

sinsinx x 3 1 x2

x5 ;

45)x0lim

1 2tgx ex x2

arcsin x sinx; 46)

x0lim

cossh x5 4 1 x2

2

chsinx ex2

2

;

47)x0lim

x 1 sinx 12 ln1 x2 x

tg3x

; 48)x0lim

cos 2

cos x

sinsin2x;

49)x0lim

tgsinx lnx 5 1 x2 x2

6thx x3 x

; 50)x0lim 1 x1/x;

51)x0lim


b 0; 52)x0limsinxx

xx 1;


——————————————————————————————————-228

53)x0lim aax a

ax 1; 54) lim

x01

xx logx

1x

55)x0lim earcsinx esin x

earctgx e tgx; 56)

x0limsinxshx shxsin x

tgx thx thx tgx;

57x0lim e

cosx1x esin

x2

x3 ; 58)xalim xa ax

logax logxa;

59)xalim

x alogax 1

; 60)xalim 2 x

atgx2a ;

61)xalim xa ax

sinx a; 62)

x0lim sinx cos x

1x ;

63)x0lim ctgxctg2x; 64

x 2

lim sinx1

2x ;

65)x 6

lim tg 3x2 tg3x; 66)

x0lim 1 atg2x

1x sin x ;

Exercice 6.20. A l’aide les D.L. trouver un équivalent au Vx0 de chacune des fonctionssuivantes en x0 indiqué:

1) fx chx 12 5x2

12 x2 , x0 0;

2) fx 1 cos x logcos x, x0 0;3) fx arctgarcsin x arcsinarctgx, x0 0;

4) fx x x2 x4 1 2 , x0 ;

5) fx shsinx sinshx, x0 0.

Exercice 6.21. Calculer les limites des fonctions suivantes lorsque x :

1) fx x32 x 1 x 1 2 x ;

2) fx x ex x7 2002 logx

x3 x3 x2 3 x chx;

3) fx 3 x x2 1 3 x x2 1

x ;

4) fx logx 1 logx 2

sin x 1x2 2

;

5) fx x2argshx log2x ;6) fx x5 argsh 1

x arcsin 1x

2x ;

7) fx shx2 x shx2 x ;8) fx lim

xx logchx;

9) fx log1 xlogx

x logx

;

10) fx x 1 1x

x ex2 log 1 1

x ;

11) fx x 1 1x

x e ;

12) fx x2e1x e

1x1 ;

13) fx log1 xlogx

x

1 logx;


——————————————————————————————————-229

14) limx

x x2 log1 1x .

Exercice 6.22. Soit la fonction f définie par fx ex2 1x , x 0, f0 0.

i) Montrer que f admet une réciproque f1, définie sur R.ii) Donner le D.L. de f1 à l’ordre 5 au voisinage de x 0.

Exercice 6.23. Montrer que la fonction fx x 1 1x

x logxest un infiniment grand

lorsque x et calculer sa partie principale de la forme x logx.


——————————————————————————————————-230

Réponses aux exercices du chapitre VI.

Exercice 6.1.i) P1x 2x 13 9x 12 17x 1 9 ;ii) P2x x 44 11x 43 37x 42 21x 4 56.Exercice 6.2.

Px 7 11x 1 10x 12 41 1 xx 13, 0 1;i) 1

4; ii R ; iii 1

4.

Exercice 6.4. i) arctgn0 0 si n 2p,

1p2p! si n 2p 1.

Dans la suite des réponses: Ck 1 2. . . k 1

k!, R.

Exercice 6.6. Dans les réponses suivantes, on a 0 1.

1) n

k0

x 1k 1n1x 1n1

1 x 1n2;

2) e2 n

k1

e22k1k 2k!

x 12 2ne21x12x 1 n 1n 1!

x 1n1;

3 ln 2 n

k1

1k1kx 1

2k 1n

n 1 1 x 12

n1 x 12n1;

4) x 1 52!x 12 11

3!x 13

n

k4

61k

kk 1k 2k 3x 1k

61n1

n 1nn 1n 21 x 1n2x 1n1;

5n

k0

2k sink

2 1

k!x 1k

2n1 sin n 1 2 1 x 1

n 1!x 1n1;

6 57

n

k1

1k1

2k17k1 x 10k 1n 414 x 10n2

x 10n1;

7 3 n

k1

1kx 2k 1n1

1 x 2n2x 2n1;

8n

k0

1k12k

3k1 12k1 x 2k

1n1

2 x 2n2 1n2n1

3 2x 2n2x 2n1;

9n

k0

1k11 13k1 x 2k 1n

1 x 2n2x 2n1;

10 76

n

k1

53 10

21kx 1

10k 1n17.2n1

215 2x 1

10

n2 x 110n1;

11) 2 32x 1

n

k2

1k1

2kx 1k 21n

2 x 1n2x 1n1;

12n

k2

1kk 13k

x 2k 1n1

1 x 2n2x 2n1;


——————————————————————————————————-231

13 1 n

k1

1 12kx 1k

1n 11 x 1n2

22 x 1n2

x 1n1;

14) 12

n

k1

3 72k1 x 3k 1n 3

x 3 4n1 7x 3 2n1

;

15) 52 9

4x 1

n

k2

1 12k1 x 1k

1n

x 1 1n2 1n

x 1 1n2x 1n1;

16)n2

k0

x 2k2 1n

x 3n1x 2n1;

17) 2 n

k1

1k1 2k 2!k!k 1!24k2 x 4k 1n2n!x 4n1

n!n 1!22n1 4 x 42n1;

18) 13 log3

log 263

n

k1

1k1k 9

26kx 3k

1n2

3 log3 9

26n1 1

1 926x 3n1

x 3n1 .

Exercice 6.7.

1) 1e2

n

k0

x 12k

k! ox 12n;

2n1

k0

e27 3k

k!x 32k1 ox 32n;

3 x 2 ln 3 n1

k1

1k12k

3k.kx 22k1 ox 22n;

4)

n1n1

k0

1k

4k1 x 12k1 ox 12n;

5n

k0

1k1 x 22k

22k2 n1

k0

1k x 22k1

22k2 ox 22n;

6n1

k0

1k 3k

2k1 x 12k1 ox 12n;

7 1 n

k1

2k 1!!2kk!

x 12k ox 12n;

8 x 22

n1

k1

1k2k 1!!22k12k!!

x 22k1 ox 22n;

9 x 13 n2

k1

1k2k 1!!2kk!

x 12k3 ox 12n;

10 x 12 n1

k1

1.4.7. . . 3k 23k.k!

x 12k2 ox 12n;

11) x 1 n1

k1

1k 2k 1!!2k!

x 12k1 ox 12n.

Exercice 6.8.


——————————————————————————————————-232

1 e5n

k0

2k

k!x 22k ox 22n1;

2n

k0

e182k

k!x 32k ox 32n1;

3n

k1

ln 2k1

2k 1!x 12k ox 12n1;

4 n

k0

22k3x 322k1 ox 3

22n1;

5 3 n

k1

x 22k ox 22n1;

6 ln 3 x 1 ln 3 n

k1

x 12k

k

n

k1

x 12k1

k ox 12n1

7n

k0

1k1 3.62k

2k 1!x

62k1

n

k0

1k. 32k

22k!x

62k

ox 62n1

8n

k1

2 1k1

2k 1!x

42k ox

42n1;

9 8

n

k1

1k12

2k1

2k 1! 2k1

42k 1!x 1

22k ox 1

22n1;

10)n

k0

C 1

3

k x 22k1 ox 22n1;

11n1

k0

C 12

2k122k 52 x 1

22k2 ox 1

22n1;

12 23 ln 5

n1

k1

22k1

2k 1x 12k1 ox 12n1.

Exercice 6.9.

1n

k0

5k

e.k!xk oxn; 2 e

x2 x 1 1

n

k1

2k 12k.k!

xk oxn;

3 3 ln 6 2 ln 6 52x

n

k2

1k 9k 52kk 1

56k1xk oxn;

4n

k0

2k sin3 k

2

k!xk oxn; 5

n

k0

cos2 k

2

2k.k!xk oxn;

6n

k0

2kxk oxn; 7 3 n

k1

51k1xk oxn;

8n

k0

k 1xk oxn; 9n

k0

1k 2k2k 1!!k!

xk oxn;

10 ln 32

n

k1

4k 9k

k. 6kxk oxn;

11 3 n

k1

3 kk 12k21k

k!xk oxn;

12n

k1

313 k1k1C

23

k1 xk oxn.

Exercice 6.10.


——————————————————————————————————-233

i 1n1

k1

1k124k1

2k!x2k1 ox2n;

2n1

k0

1k22k11 22k2k 1!

x2k1 ox2n;

3 1 x2 n

k2

21kx2k ox2n;

4n

k0

3 1k2

x2k n1

k0

1k1 32

x2k1 ox2n;

5n1

k0

x2k1

22k12k 1! ox2n; 6

n1

k0

32k

2k!x2k1 ox2n;

ii)

1n

k0

1k32k

2k!x2k ox2n1;

2 x2 n

k2

1k1 22k3

2k 2!x2k ox2n1;

3n

k0

1k22k1

2k!1 42kx2k ox2n1;

4 1 n

k1

1k 42k

2k!x2k ox2n1.

Exercice 6.13..i ex 1 x 1

2 x2 16 x3 . . . 1

n!xn 1

n 1!exxn1, 0 1.

ii e 2,718281.Exercice 6.14.1) e 1,64872; 2 log11 2,39790;3 sin1o 0,01745241; 43 5 33 2,012.Exercice 6.15.1) Le D.L. n’existe pas; 2) Le D.L n’existe pas; 3) Existe; 4) Existe.Exercice 6.16..1) 1

2 3

4x2 ox3; 2) 1 2x 2x2 2x4 ox4;

3) 1 x x3 x4 ox4;4) 1 3

2x 9

8x2 5

16x3 21

128x4 ox4;

5) 1 12

x 524

x2 ox2;

6) 1 12

x2 16

x3 16

x4 11120

x5 41720

x6 ox6;

7) 1 2x x2 23

x3 56

x4 115

x5 ox5;

8) x2 13

x3 ox3; 9) x x2 32

x3 ox3;

10) 2x 53

x3 910

x5 ox5;

11) ln 2 18 x2 3

64 x4 ox5;12) x 1

2x2 1

6x3 ox4;

13) 1 e2x2 12 3e2 x3 ox3;

14) 12

x 112

x3 59240

x5 ox5;

15) 1 12

x 712

x2 524

x3 41720

x4 ox4;

16) 12

x2 112

x4 145

x6 ox7;


——————————————————————————————————-234

17) 1 12

x 58

x2 316

x3 25384

x4 ox4;

18) 1 12

x 18

x2 116

x3 49384

x4 ox4;

19) x 13

x3 215

x5 ox6;

20) 1 14

x2 196

x4 ox5;

21) x 34

x2 712

x3 1324

x4 ox4;

22) x 23

x3 815

x5 ox6;

23) 1 12

x 112

x2 1720

x4 ox5;

24) x2 13

x4 ox5;

25) x 12

x2 16

x3 ox4;

26) 1 x2 23

x4 ox5;

27) x 16

x3 140

x5 551008

x7 ox8;

28) 2 18

x 2 5128

x2 2 ox2;

29) 3x 6x3 225

x5 ox5;

30) 2 1 x4 17

32x2 15

128x3 ox3;

31) 1 16

x2 172

x4 ox4

32) ln 3 16

x2 ox5;

33) 12

x2 16

x4 ox5;

34) 1 x1x e1 1

2x 11

24x2 7

16x3 ox3

35) e 1 12

x 1324

x2 116

x3 26875760

x4 ox4

36) 1 x 12

x2 18

x4 ox4;

37) e1 12

x2 16

x4 ox4

38) 1 12

x3 ox5;

39) e1 14

x2 148

x4 ox4;

40) 2x 43

x3 43

x5 ox6; 41) e1 245

x2 ox2.

42) 12

x2 13

x4 ox4;

43) 1 65

x2 1825

x4 ox5.

44) ln 2 1 12 2 x 2

8x2 2

48x3 5 2

384x4 ox4.

Exercice 6.17.

1) 4 2 1 ln 2 x 12

2 1

2ln22 x 1

2

4 o x 1

2

5;

2) e3 1 5x 12 8x 14 o x 15 ;3) 2x 1 x 12 2x 13 x 14

2x 15 x 16 o x 16 ;

4) 1 2x

3x2

6x3

12x4 o 1

x4 ;

5) 23 10

811x2 o 1

x2 .


——————————————————————————————————-235

6) ln 2 14x2

532x4 o 1

x5 ;

7) x 1 52x 12 13

3x 13 77

12x 14 o x 14 ;

8) 1 32 ln 2

x 42 98 ln 2

x 44 98 ln 2

x 46 o x 47 ;

9) 142 1

82 1 x 1

2 2

1962 1

2x 1

2

4 o x 1

2

5;

10) 12 1

2x 1

4 9

4x 1

4

2 1

12x 1

4

3

2716

x 14

4 o x 1

4

4;

11) 1 x 14 1

2x 1

4

2 5

6x 1

4

3 o x 1

4

3;

12) 14 1

4x 3

8x2 55

96x3 o 1x3 ;

13) 13x2 o 1

x3 .

Exercice 6.18.1) 1

x3 2 1x2

1x 1 x x2 ox2;

2) x2 x 1 1x

1x2

1x3 o 1

x3 ;

3) x2 x 1 3x

3x2 o 1

x2 ;

4) 1x

12 1

3x 1

4x2 1

5x3 ox3

5 1x

12 1

12x 1

24x2 1

144x3 ox3;

6) 1x

12 5

12x 5

24x2 1

144x3 ox3;

7) 1x3

12x 17

120x ox2;

8) 14

14x 3

8x2 55

96x3 o 1x3 ;

9) 1x

13

x 145

x3 2945

x5 ox6;

10) 12x 1

4 3

8x 3

16x2 3

32x3 3

64x4 ox4.

Exercice 6.19.1) 1

3; 2) 3

2; 3 1 4) 1; 4) 6; 5) 4

3; 6 13

12; 7 1; 8) ;

9) 13

; 10) 12

; 11) 1; 12) . ; 13) ; 14) 12

1

163

1

36 ; 15) 12

;

16) 0; 17) 0; 18 ; 19 169

; 20) 23

; 21) 2; 22) 815

; 23) 76

; 24) 1;

25) 112

; 26) 32

; 27) 1; 28e14 ; 29 0; 30) 1; 31) 11

12; 32) 1;

33) 12

e; 34) 0; 35 0; 36) 12

; 37) 10; 38) 18

; 39) 75

;

40) 0, 41) 0; 42) 49

; 43 0; 44) 1990

; 45) 2; 46) ;

47) 18

; 48) 14; 49) ; 50) : e; 51) a2

b2 ; 52) ; 53) a ln a;

54) 0; 55) 12

; 56) 12

; 57) 148

; 58 12aa1ln a1 ln a;

59) 12

a ln a; 60) e2 ; 61) aa1 ln a; 62) e; 63) ; 64) 1;

65) e1; 66) ea.Exercice 6.20. 1) 1

480x6; 2) 1

8x4; 3) 1

30x7; 4) x2 2 ; 5) 1

45x7.


——————————————————————————————————-236


; 2) 0; 3) 0; 4) 1; 5) 14

; 6) 320;

7) ; 8) log2; 9) e; 10) 0; 11) e2

; 12) 1; 13) 1; 14) 12

.

Exercice 6.22. f1x x x3

2 7

12x5 ox5.

Exercice 6.23. p.p.fx 12

ln x.


——————————————————————————————————-237

Corrigés détaillés de certains exercices du chapitre VI.

Remarque. Dans la suite, on adoptera les notations suivantes:

2n 1!! 1.3.5. . . 2n 1 et 2n!! 2.4.6. . . 2n.

Exercice 6.3. On a, d’après la formule de Taylor avec reste de Peano,

fx h fx hf x h2

2!f x . . . hn

n!fnx hn1

n 1!fn1x ohn1

et, par hypothèse

fx h fx hf x h2

2!f x . . . hn

n!fnx h.

En faisant la différence, on obtient, après simplification:

0 hn

n!fnx fnx h hn1

n 1!fn1x ohhn

fnx fnx h

h fn1x

n 1 oh

hn!

fn1xn 1

ohh

n!

fnx fnx hh

h0

fn1xn 1

0.n!

fn1x 1

n 1.

Exercice 6.4.i) Soit y arctgx. On a y 1

1 x2 y 1 x2 1. D’après la formule de dérivation de

Leibnitz,

y 1 x2n 0 yn11 x2 2nxyn nn 1yn1 0,

car 1 x2n 0 si n 3. Au point x 0, on obtient:yn10 nn 1yn10.

Comme y 0 2x1 x22

x0 0 , on déduit que y2p0 0 et comme

y 0 11 x2 x0 1, on déduit que y2p10 2p 12py2p10 et, alors

y2p10 1p2p!, c’est à dire

arctgno 0 si n 2p ,

1p2p! si n 2p 1.;

ii) arctg x x x3

3 x5

5. . .1n1 x2n1

2n 1 ox2n.

Exercice 6.5. D’après la formule de Taylor, avec 0 x 1, on a :

sur 0,x : 0 f0 fx f xx f c12!

x2, 0 c1 x 1 et

sur x, 1 : 0 f1 fx f x1 x f c22!1 x2, 0 x c2 1.

En faisant la différence et en arrangeant les termes, on obtient


——————————————————————————————————-238

f x f c12!

x2 f c22!1 x2

|f x| A2!

x2 A1 2x x2

2! A

22x2 2x 1 A

2.1 A

2,

car 2x2 2x 1 1 sur 0,1.

Exercice 6.6. La formule de Taylor d’ordre n avec reste de Lagrange au voisinage du pointx0 est:

fx n

k0

fkx0k!

x x0k fn1x0 x x0

n 1!, 0 1.

1) fx 1x , x0 1. Trouvons la formule de récurrence pour calculer fnx. On a

f1 11 1,

f x 1x2 , f x 2

x3 12 2!

x3 , f x 6x4 1

3 3!x4 .

A priori, on peut poser fkx 1k k!xk1 , et vérifions cette formule pour k 1. On a

fk1x fkx 1k k!xk1

1k1 k!k 1

xk2 1k1 k 1!xk2 ,

donc fkx 1k k!xk1 , k N et, alors

fk1 k!xk1 x1 1k k!

1k1 k!,

enfin

fx 1x

n

k0

x 1k 1n1 11 x 1n2

x 1n1, 0 1.

Remarque. On montre en général que 1x an

n

1n n!x an1

, n 1.

2) fx xe2x , x0 1. Calculons fkx d’après la formule de Leibniz:

fkx k

i0

Cki xie2xki Ck

0xe2xk Ck1x e2xk1

2kxe2x k. 2k1e2x 2k1e2x2x k,

et, alors fk1 2ke2 k2k1e2.De manière analogue, on a fn1x 2ne2x2x n 1 et donc

fn11 x 1 2ne21x121 x 1 n 1

2ne21x12x 1 n 1.

En remplaçant les k-ième et n 1-ième dérivées de f dans la formule de Taylor, onobtient:

xe2x n

k0

2ke2 k2k1e2k!

x 1k


——————————————————————————————————-239

2ne21x1n 1 2x 1n 1!

x 1n1, 0 1.

4) fx x3 logx, x0 1. On a, comme dans l’exercice 2):f1 0,f x 3x2 ln x x2 x23 ln x 1 f 1 1,f x 6x ln x 5x x6 ln x 5 f 1 5,f x 6 ln x 11 f 1 11.Pour k 4, on a x3k 0, et alors

x3 logxk k

i0

Cki x3i logkix x3 logkx Ck

1x3 logk1x

Ck2x3 logk2x Ck

3x3 logk3x 0.

On a logx 1x et d’après 1)

logkx 1x k1 1k1 k 1!

xk, k N,

et alors

x3 logxk k!k!

x31k1 k 1!xk

k!k 1!

3x21k2 k 2!xk1

k!2!k 2!

3.2x1k3 k 3!xk2 k!

3!k 3!3.21k4 k 4!

xk3

1k1k!

xk31k 3

k 1 3.2

2!k 2 3.2

3!k 3

1k1k!

xk31k 3

k 1 3

k 2 1

k 3 1

kk!xk3

6kk 1k 2k 3

fk1

k!x3 logxk x1

k! 1k 6

kk 1k 2k 3, k 4,

et donc

x3 logx x 1 52!x 12 11

3!x 13

n

k4

1k 6kk 1k 2k 3

x 1k

1n1 6n 1nn 1n 2. 1 x 1n2

x 1n1, 0 1.

14) fx x2 5x 7x2 9x 20

, x0 3. On a

fx x2 5x 7x2 9x 20

1 3x 4

7x 5

f3 12

,

et, d’après la remarque de l’exercice 1), on a

3x 4

k 31k k!

x 4k1et 7

x 5k 71k k!

x 5k1

et alors

fkxk!

1k 3x 4k1

7x 5k1


——————————————————————————————————-240

fk3k!

1k 31k1

71k12k1 3 7

2k1 , k 1,

donc

x2 5x 7x2 9x 20

12 5

4x 3 17

8x 32 . . . 3 7

2n1 x 3n

1n 33 x 3 4n1

73 x 3 5n1

12

n

k1

3 72k1 x 3k 1n 3

x 3 4n1 7x 3 2n1

, 0 1.

15) fx x3 5x2 4x 5x2 5x 6

, x0 1. Ecrivons d’abord f comme suit :

fx x 2x 5x2 5x 6

, ensuite, comme dans 14), décomposons fx. Comme

2x 5x2 5x 6

1x 2

1x 3

, alors fx x 1x 2

1x 3

.

et , donc f x 1 1x 22

1x 32

et fkx 1k1k!

x 2k1 1

k1k!x 3k1

.

Il s’ensuit que f1 52

; fk1 k! k!2k1 et

fn11 x 1 1nn 1!x 1 1n2

1nn 1!x 1 1n2

.

En remplaçant dans la formule de Taylor on obtient

x3 5x2 4x 5x2 5x 6

52 9

4x 1

n

k2

1 12k1 x 1k

1n

x 1 1n2 1n

x 1 1n2x 1n1, 0 1.

16) fx x 22

3 x x 22 1

x 3, x0 2. Posons gx 1

x 3. On a

gkx 1kk!x 3k1

et gn1x 1n1n 1!x 3n2

.

On ecrit la formule de Taylor pour la fonction de gx.

gx n

k0

gk2k!x 2k gn12 x 2

n 1!x 2n1.

Comme pour l’exercice 1), la formule de Taylor de g est:

1x 3

n

k0

x 2k 1n1

x 1n2x 2n1

En multipliant les deux membres de cette formule par x 22, on obtient:

fx n

k0

x 2k2 1n

x 1n2x 2n3, 0 1.


——————————————————————————————————-241

17) fx x , x0 4. Cherchons x k. On afx 1

2 x f

4 14

f x 12 x

1 122 x 3

,

f x 14 x 3

38 x 5

12 1.323 x 5

f4x ddx

38 x 5

1516 x 7

13 1.3.524 x 7

,

On montre par récurrence que

fkx 1k1 1.3.5. . . 2k 3

2k x 2k1 1k1 1.2.3.4.5. . . . 2k 32k 2

2.4. . . . 2k 2. 2k x 2k1

1k1 2k 2!

k 1!22k1 x 2k1 , k 2

et alors

fk4 1k1 2k 2!

k 1!. 22k1 42k1 1

k1 2k 2!k 1!24k2 , k 2

fk4k!

1k1 2k 2!k!k 1!24k2 , k 2,

donc x 0,, , 0 1 :

x 2 n

k1

1k1 2k 2!k!k 1!24k2 x 4k 1n2n!x 4n1

n!n 1!22n1 4 x 42n1.

18) fx log3 3 3x 13

, x0 3. On a

13

log33x 13 1

3log33x 1

9 1

3 1

3log3x

19 1

3 1

3 ln 3lnx 1

9.

Posons gx lnx 19. On a: gx 1

x 19

hx. Comme dans la remarque de

l’exercice 1), on a,

gnx hn1x 1n1n 1!x 1

9 n

. Alors fnx 13 ln 3

1n1n 1!x 1

9 n

.

Au point x 3, on a f3

fn3 13 ln 3

1n1n 1!

3 19n

1n1n 1!3 ln 3

926n et

et fn3 x 3 13 ln 3

1nn!3 x 3 1

9n

.

Ainsi on obtient la formule:

log3 3x 13 f3 1

3 1

3 ln 3

n

k1

1k1k 9

26kx 3k

1nx 3n1

3 ln 3 269 x 3nn 1

, 0 1.

Autre solution. On a


——————————————————————————————————-242

fx log3 39x 1

3 log39x 11/3 log331/3 1

31

log3log9x 1 1

3

13 log3

log26 9x 3 13 1

3 log3log261 9

26x 3 1

3

log26 log 1 9

26x 3

3 log3 1

3

13 log3

log26 log3 log 1 926x 3

Sachant que pour t 1 :

log1 t t 12

t2 13

t3 14

t4 . . .1n1 tn

n 1n2 11 tn1

xn1,

on obtient: log3 3 3x 13 1

3 log3log 26

3

n

k1

1k1k 9

26kx 3k

1n2

3 log3 9

26n1 1

1 926x 3n1

x 3n1 , 0 1.

Exercice 6.7.1) fx ex22x1, x0 1. On a fx ex1

22 1e2 ex1

2. Posons x 1 t et, alors la

formule de Taylor avec reste de Peano de la fonction exponentielle à l’ordre 2n s’écrit

e t2 1 t2

1! t4

2! t6

3!. . . t2n

n! ot2n , t 0.

En remplaçant t par x 1, on obtient

ex12 1 x 12

1! x 14

2! x 16

3!. . . x 12n

n! ox 12n, x 1.

et donc ex22x1 1e2

n

k0

x 12k

k! ox 12n, x 1.

4) fx x 1x2 2x 5

, x0 1. Transformons la fonction fx de la façon suivante:

fx x 1x2 2x 5

x 14

. 11 x 1

22

.

En appliquant le développement 11 t

n

k0

1ktk otn, on obtient

11 x 1

22

n

k0

1k x 122k ox 12n.

Comme s 0, oxns oxn, alors le développement de fx est

fx x 14

.n

k0

1k x 122k ox 12n

n

k0

1k x 14k1

2k1

x 14

ox 12n

n1

k0

1k x 14k1

2k1

1n x 14n1

2n1

ox 12n1


——————————————————————————————————-243

n1

k0

1k x 14k1

2k1

ox 12n ox 12n

n1

k0

1k x 14k1

2k1

ox 12n.

7) fx 12x x2

, x0 1. On a : fx 11 x 12

, x0 1. On sait que

11 t2

1 n

k1

1k2k 1!!2kk!

t2k ot2n 1 n

k1

2k 1!!2kk!

t2k ot2n.

En remplaçant t x 1 , on obtient x 1 t 0 et

12x x2

1 n

k1

2k 1!!2kk!

x 12k ox 12n.

10) fx x2 2x 13 x2 x

, x0 1. Comme dans l’exercice 7), remarquons tout d’abord que

fx x2 2x 13 x2 x

x 12

3 1 x 12.

Posons t x 12. Alors x 1 t 0 et on a la formule de gt 13 1 t

au

voisinage du point t 0 :1

3 1 t 1

n

k1

1k 1.4.7. . . 3k 23k.k!

tk otn.

En remplaçant t x 12 , on obtient, comme s 0, oxns oxn, alors ledéveloppement de f est

fx x 12 13 1 x 12

x 12 n

k1

12k 1.4.7. . . 3k 23k.k!

x 12k2 ox 12n2

x 12 n1

k1

1.4.7. . . 3k 23k.k!

x 12k2 ox 12n.

Exercice 6.8.1) fx e2x28x3, x0 2. Comme dans l’exercice 6.7.1), remarquons tout d’abord que

fx e2x225 1e5 e2x22

et puis on applique la forrmule e t n

k0

tk

k! otn avec t 2x 22

où x 2 t 0. On obtient ainsi le développement suivant de la fonction donnée:

fx e2x28x3 1e5

n

k1

2kx 22k

k! ox 22n1.

3) fx x 122x22x , x0 1. On a


——————————————————————————————————-244

fx 12x 122x1

2 12x 12ex1

2 ln2.

Comme pour l’exercice 1) précédent, en appliquant le développement

e t n

k0

tk

k! otn , t 0, on obtient:

fx 12x 12

n

k0

x 12kln 2k

k! ox 12n

12

n

k0

x 12k2ln 2k

k! ox 12n2 1

2k1

n

ln 2k1

k 1!x 12k ox 12n1.

6) fx x 2 ln2 x2 2x , x0 1. Transformons la fonction donnée de la façonsuivante.

fx 1 x 1 ln3 x 12 1 x 1ln 3 ln1 x 12

3

ln 3 x 1 ln 3 ln1 x 12

3 x 1 ln1 x 12

3.

Connaissant le D.L. ln1 t n

k1

tk

k otn t 0, on obtient, pour t x 12

3:

fx ln 3 x 1 ln 3 n

k1

x 12k

k. 3k x 1

n

k1

x 12k

k. 3k ox 12n

ln 3 x 1 ln 3 n

k1

x 12k

k. 3k

n

k1

x 12k1

k. 3k ox 12n1

ln 3 x 1 ln 3 n

k1

x 12k x 12k1

k. 3k ox 12n1.

8) fx x 4sinx cos x , x0 4 . Posons gx sinx cos x et faisons le

changement de la variable: x 4 t , x t

4. On a x

4 t 0 et

Gt gt 4 sint

4 cost

4 sin t cos

4 cos t sin

4

cos t cos 4 sin t sin

4 2

2.2 sin t 2 sin t.

Connaissant le D.L. de sin t, on obtient Gt 2n

k0

1k

2k 1!t2k1 ot2n1.

Donc

gx Gx 4 2

n

k0

1k

2k 1!x

42k1 ox

42n1

et

fx x 4gx 2

n

k0

1k

2k 1!x

42k2 ox

42n2

2n

k1

1k1

2k 1!x

42k ox

42n.


——————————————————————————————————-245

10) fx x 23 x2 4x 5

, x0 2. On a, voir l’exercice 6.7, 10), le développement suivant

13 1 t

1 k1

n

1k. 1. 4. 7. . . 3k 23k.k!

tk otk.

En appliquant cette formule, on obtientfx x 2 1

3 1 x 22

x 2 1 k1

n

1k. 1. 4. 7. . . 3k 23k.k!

x 22k ox 22n

x 2 k1

n

1k. 1. 4. 7. . . 3k 23k.k!

x 22k1 ox 22n1.

Exercice 6.11.1) x 0,

2, x x3

6 sinx x x3

6 x5

120?

On a les formules respectives suivantes pour n 4 et n 5 : x R, 1,2,

sinx x x3

3! 12 sin1xx4

4! x x3

3! sin1x

4!x4, 0 1 1,

sinx x x3

3! x5

5! 13 sin2xx6

6! x x3

3! x5

5! sin2xx6

6!, 0 2 1.

Commesin1x

4!x4 0,

sin2xx6

6! 0 si x 0,

2, alors

x x3

6 sinx x x3

6 x5

120.

2) ii) Comme log est continue, on a

lognlim

n

k1

1 kn2

nlim log

n

k1

1 kn2

nlim

n

k1

log 1 kn2 .

D’après i), on an

k1

kn2

12

kn2

2

n

k1

log 1 kn2

n

k1

kn2

1n2

n

k1

k 12

n

k1

k2 n

k1

log 1 kn2 1

n2

n

k1

k

nn 1

2n2 12

nn 12n 16n2

n

k1

log 1 kn2 nn 1

2n2

En passant à la limite quang n , on a obtient

12 0

nlim

n

k1

log 1 kn2 1

2,

donc


——————————————————————————————————-246

nlim

n

k1

1 kn2 e .

Exercice 6.13.

1) On a ex 1 x 12

x2 13!

x3 . . . 1n!

xn exn 1!

xn1, 0 1.

Pour x 1, on a e 1 1 12 1

3!. . . 1

n! en 1!

1 1 12 1

3!. . . 1

n! e

n!n 1 1 1 1

2 1

3!. . . 1

n! n

n!, avec 0

0 n en 1

1 si n 2, car 1 e e 3.

Si e était rationnel avec e pq , p,q N, q 0, alors en multipliant la dernière relation,

pour n q, par q!, on obtiendrait pq 1! a q avec a entier, mais alors onobtiendrait q pq 1! a N, ce qui est impossible, car 0 q 1. Donc e ne peut êtrerationnel.

Exercice 6.14.

1) On a ex 1 x 12

x2 16

x3 . . . 1n!

xn exn 1!

xn1, 0 1.

Pour x 12

, on a

e 1 12 1

2122

16

123 . . .

1n!

12n

e2

n 1!1

2n1 .

Estimons le reste de telle façon que |Rnx| e2

n 1!1

2n1 103. Sachant que

2 e 3, on obtient alors

|Rnx| e2

n 1!1

2n1 3n 1!

12n1 .

Cherchons n tel que 3n 1!

12n1 103 . On a, d’une part

n 1!2n1 3000.

et, d’autre part 4!24 384 et 5!25 3840. Donc est vérifiée à partir de n 5, c’est àdire que

e 1 12 1

2122

16

123

124

124

1120

125

63313840

1,648697

c’est à dire qu’on peut prendre e 1,64867 à 105 près.

2 On a log11 log1 10 log101 110 log10 log1 1

10

et log1 x x 12 x2 1

3 x3 14 x4 1

5 x5 . . .Rnx avec

|Rnx| 1n1 1n 11 xn1

xn1 1n 1

110n1 105 n 110n4 1.

Comme 3 11034 410 1 et 4 1100 5 1, alors n 4. Donc

log1 110 1

10 1

2110

2 1

3110

3 1

4110

4 11437

120000 9.53083 102

et comme log10 2,30259, alors


——————————————————————————————————-247

log11 log10 log1 110 2,30259 9,53083 102 2,397898.

Donc log11 2,39790 à 105 près.

Exercice 6.16.4) fx 2x 1 1 x , n 4. On a

1 x 1 x2 x2

2.4 1.3

2.4.6x3 1.3.5

2.4.6.8x4 ox4. Alors

fx 2x 1. 1 x2 x2

2.4 1.3

2.4.6x3 1.3.5

2.4.6.8x4 ox4

1 32

x 98

x2 316

x3 21128

x4 ox4.

7) fx e2xx2, n 5. On a e2xx2 e2xex

2. En appliquant le développement limité

e t n

k0

tk

k! otn pour t 2x et t x2, on obtient

e2x 5

k0

2xk

k! oxn 1 2x

1! 2x2

2! 8x3

3! 16x4

4! 32x5

5! ox5

et ex2

3

k0

x2k

k! ox6 1 x2

1! x4

2! ox5.

En faisant le produit des D.L. on obtient

fx 1 2x1! 2x2

2! 8x3

3! 16x4

4! 32x5

5! ox5 1 x2

1! x4

2! ox5

1 2x x2 23

x3 56

x4 115

x5 ox5.

10) fx 1 x ln1 x 1 x ln1 x. En appliquant les développements limitésdes fonctions ln1 x et ln1 x et en effectuant les opératons élémentaires, on obtient

fx 1 xx x2

2 x3

3 x4

4 x5

5 ox5

1 xx x3

3 x4

4 x5

5 ox5

x x2

2 x3

3 x4

4 x5

5 x2 x3

2 x4

3 x5

4 x x2

2 x3

3 x4

4 x5

5

x2 x3

2 x4

3 x5

4 ox5 2x 5

3x3 9

10.x5 ox5.

Donc fx 2x 53

x3 910

x5 ox5.

17) 1 x cos x

1 12

x 18

x2 116

x3 5128

x4 ox41 12

x2 124

x4 ox4

1 12

x 58

x2 316

x3 25384

x4 ox4;

19) fx tgx , n 5. On a

tgx sinxcos x , sinx x 1

6x3 1

120x5 ox5 et cos x 1 x2

2 x4

24 ox4.

En effectuant la division des polynômes suivant les puissances croissantes de x, on obtient

tgx x 1

6x3 1

120x5 ox5

1 x2

2 x4

24 ox4

x 13

x3 215

x5 ox6.


——————————————————————————————————-248

22) arcsin x1 x2

x 1

6x3 3

40x5 ox5

1 12

x2 18

x4 ox5 x 2

3x3 8

15x5 ox5.

32) Remarque. Attention à ne pas écrire log2 cosh x log1 1 cosh x, car

x0lim 1 cosh x 2 0.

On a, d’une part

log2 cosh x log3 1 chx log31 1 cosh x3

log3 log 1 1 cosh x3

log3 log1 t avec t 1 cosh x3 x0

0

et, d’autre part,log1 t t 1

2 t2 13 t3 1

4 t4 15 t5 ot5,

cosh x 1 12 x2 1

24 x4 ox4, t 1 cosh x3

16 x2 1

72 x4 ox5

et log 1 1 cosh x3

16

x2 172

x4 ox5 12 1

6x2 1

72x4 ox5

2 ox5

16

x2 172 1

2136x4 ox5 1

6x2 ox5

Donc log2 cosh x log3 16

x2 ox5.

Exercice 6.17.4) fx x2 1

x2 2x, n 4, x0 . Posons x 1

t , alors on a x t 0 etf t f 1

t 1 t2

1 2t 1 2t 3t2 6t3 12t4 ot4.

Donc

fx 1 2x

3x2

6x3

12x4 o 1

x4 .

6) fx logx 1 x2 log 1 x2 , x0 , n 4. Posons x 1t , alors on a

x t 0 et

logx 1 x2 log 1 x2 ln 1t 1 1

t2 ln 1 1t2

ln 1 t2 1 ln 21 1 t2 12

log2 log 1 1 t2 12

log2 log1 u avec u 1 t2 12

.

On a t 0 u 0 et

t2 1 1 12

t2 18

t4 ot4 u 1 t2 12

14

t2 116

t4 ot4;

log1 u u 12

u2 13

u3 14

u4 ou4 14

t2 116

t4 ot4

12 1

4t2 1

16t4 ot4

2 ot4


——————————————————————————————————-249

14

t2 116 1

2116t4 ot4 1

4t2 3

32t4 ot4.

et 12

lnt2 1 12

t2 14

t4 ot4, donc

ln 1 t2 1 12

lnt2 1 log2 14

t2 332

t4 ot4 12

t2 14

t4 ot4

14

t2 332 1

4t4 ot4 log2 1

4t2 5

32t4 ot4

logx 1 x2 log 1 x2 ln 2 14x2

532x4 o 1

x4 x .

7) fx logxx2 , x0 1, n 4. On a

logx log1 x 1 x 1 1

2x 12 1

3x 13 1

4x 14 o x 14 ,

et x2 1 2x 1 x 12,

donclogxx2

x 1 12x 12 1

3x 13 1

4x 14 o x 14

1 2x 1 x 12

x 1 52x 12 13

3x 13 77

12x 14 o x 14 .

10) fx cos x sin2x 4 , x0 4

, n 4. Posons x t 4

.

On a x 4 t 0 et

Ft ft 4 cost

4. sin2t

4 1

2cos t sin tsin2t cos 2t.

Ecrivons les D.L. d’ordre 4 des fonctions sinus et cosinus :

cos t 1 t2

2 t4

4! ot4 , sin t t t3

3! ot4 ,

cos 2t 1 2t2 2t4

3 ot4 , sin2t 2t 4t3

3 ot4.

Et alors on a

cos t sin t 1 t t2

2 t3

6 t4

24 ot4 ,

cos 2t sin2t 1 2t 2t2 4t3

3 2t4

3 ot4 ,

Ft 121 t t2

2 t3

6 t4

24 ot4 . 1 2t 2t2 4t3

3 2t4

3 ot4

12 1

2t 9

4t2 1

12t3 27

16t4 ot4.

En remplaçant t x 4

, on obtient le D.L. demandé qui est:

fx 12 1

2x

4 9

4x

42 1

12x

43 27

16x

44 ox

44.

12) fx arctg x 1x 2

,x0 , n 3. On pose x 1t .

Alors x t 0 et

Ft f 1t arctg 1 t

2 t arctg 1 t 2t2 4t3 ot3 .

En appliquant le D.L.

1 ua 1 a1!

u aa 12!

u2 aa 1a 23!

u3 ou3 , on trouve, en posant

u t 2t2 4t3 ot3 :


——————————————————————————————————-250

1 t 2t2 4t3 ot3 1 12t 2t2 3t3 ot3 1

8t 2t2 3t3 ot32

116t 2t2 3t3 ot33 ot 2t2 3t3 ot33

1 t2 7

8t2 25

16t3 t3t où t est une expression contenant des puissances

positives de x et de ox3, donc limt0t 0 et alors t3t ot3 t 0 et on obtient

1 t 2t2 4t3 ot3 1 t2 7

8t2 25

16t3 ot3

Donc Ft arctg 1 t 2t2 ot3 arctg1 t2 7

8t2 25

16t3 ot3.

Cherchons maintenant le D.L. de gz arctgz au voisinage de z 1, car en posantz 1 t

2 7

8t2 25

16t3 ot3, alors t 0 z 1. On a

gz 11 z2 ; gz 2z

1 z22; gz 21 z2z 8z2

1 z23

g1 12

; g1 12

; g1 12

; g1 4

.

et

gz arctgz g1 g11!z 1 g1

2!z 12 g1

3!z 13 oz 13

4 1

2z 1 1

4z 12

112z 13 oz 13.

Ayant en vue ce développement, nous obtenons comme dans la première partiearctg 1 t

2 7

8t2 25

16t3 ot3

4 1

2 t

2 7

8t2 25

16t3 ot3

14 t

2 7

8t2 25

16t3 ot3

2 1

12 t

2 7

8t2 25

16t3 ot33 ot3

4 t

4 3

8t2 55

96t3 ot3.

En posant t 1x , on obtient finalement le D.L. de la fonction donnée

fx 4 1

4x 3

8x2 55

96x3 o 1x3 .

Exercice 6.18..1) fx 1 2x x3

x3 x5 , x0 0 , n 2. Comme

x0lim fx

x0lim 1 2x x3

x3 x5 ,

alors la condition nécéssaire de D.L. n’est pas satisfaite, donc f n’admet de D.L. en x 0.Cherchons son D.L. généralisé. Considérons pour cela la fonction

gx xfx x3 1 2x x3

1 x2 . Commex0lim 1 2x x3

1 x2 1, alors

x0lim gx 0 si 3 et

x0lim gx 1 si 3. Donc on choisit 3 et

hx x3fx 1 2x x3

1 x2 avecx0lim hx 1.

Pour trouver le D.L. de la fonction h, d’ordre deux au point x 0, appliquons la règle dedivision des polynômes suivant les puissances croissantes de x, on trouve alorshx 1 2x 2x3 ox4. Il en résulte que

fx 1x3 gx 1

x3 2x2 2 ox.

2) fx x3

x 1, x0 , n 3. On a, d’une part x3

x 1 x et x3

x 1 1

t21 t.

D’autre part


——————————————————————————————————-251

t2

t21 t x0 1 et t2

t21 t 1 t t2 t3 t4 t5 ot5. Ce qui implique que

1t21 t

1t2

1t 1 t t2 t3 ot3, donc

x3

x 1 x2 x 1 1

x 1x2

1x3 o 1

x4

6) fx cos xlog1 sinx

, x0 0, n 3. Comme pour l’exercice 1), considérons la

fonction suivante gx xfx . Il est facile de voir quex0lim gx 1. On a

x cos x x x3

2! x5

4! ox5 , sinx x x3

3! ox3 ,

ln1 sinx x x3

3! 1

2x x3

3!2 1

3x x3

3!3 1

4x x3

3!4 ox4

x x2

2 x3

6 x4

12 ox4 et

gx x x3

2! x5

4! ox5

x x2

2 x3

6 x4

12 ox4.

1 x2 5

12x2 5

24x3 ox3.

Alors

fx 1x gx 1

x 12 5

12x 5

24x2 ox2.

9) On a cot xx0 , mais x cot x

x0 1 et

x cot x 1 13

x2 145

x4 2945

x6 ox7, donc

cot x x1 13

x 145

x3 2945

x5 ox6.

Exercice 6.19. Dans cet exercice, il sagit de savoir effectuer les différentes opérations sur lesD.L. et garder le D.L final jusqu’à l’ordre permettant de lever l’indétermination s’il y a une formeindéterminée. Ceci d’une part. D’autre part, on peut utiliser, dans les calculs, l’une deséquivalences

f og x x0, x0 R f g.x, limxx0x 0f g.o1

fg o1

et les applications: f oxn f oxk, x 0, k, 0 k nou f oxn f oxk, x , k, k n.

1)x0lim

ex sinx x1 xx3 0

0F. I. ? Ecrivons le développement limité d’ordre 3 des

fonctions ex et sinx.

ex 1 x x2

2! x3

3! ox3, sinx x x3

3! ox3.

En multipliant les deux D.L., on obtient

ex. sinx 1 x x2

2! x3

3! ox3. x x3

3! ox3 x x2 1

3x3 ox3.

x0lim

ex sinx x1 xx3

x0lim

x x2 13

x3 ox3 x x2

x3

x0lim

13

x3 ox3

x3 x0lim 1

3 o1 1

3.


——————————————————————————————————-252

4)x0lim

x2e2x ln1 x2x cos x sinx

x0lim

x21 2x ox x2 x4

2 ox4

x1 x2

2 ox x x3

6 ox3

x0lim

x2 2x3 x2 ox3

x x3

2 x x3

6 ox3

x0lim

2x3 ox3

13

x3 ox3 6.

30)x 2

lim 2cos2x

1log sinx

F. I. . Posons t x 2

. On a alors

x 2 t 0 et cos2x cos2t

2 sin2t t2 1

3 t4 ot5,1

cos2x 1

sin2t 1

t2 13 1

15t2 2

189t4 1

675t6 Ot7

1t2 1

3 t4 ot4 t2 1

3 1

9t2 Ot4

1cos2x

x 2

2 1

3 O x 1

2 2

,

On a log1 y y 12

y2 13

y3 14

y4 Oy5,

log sinx log sint 2 log cos t log1 cos t 1

cos t 1 12cos t 12 1

3cos t 13 ocos t 13,

cos t 1 12

t2 124

t4 Ot5,

log sinx log cos t 12

t2 124

t4 ot4 12 1

2t2 1

24t4 ot4

2 ot3

12

t2 112

t4 ot4 et1

log cos t 1 1

2t2 1

12t4 ot4

2t2 13 1

18t2 ot2.

Ce qui donne2

cos2x 1

log sinx 2 x

2

2 1

3 o1

2 x 12

2 13 o1 1 o x 1

2 x 4

1.

40)x0lim xe tgx sin2x x

x x3 tgx 0

0F. I. . Nous avons les développement suivants:

tgx x x3

3 2

15x5 ox5 , sinx x x3

6 ox3 ,

sin2x x2 x4

3 x6

36 ox6 x2 ox3 ,

e tgx ex x3

3ox3

1 x x3

3 1

2x x3

32 1

3x x3

33 ox3

1 x x2

2 2x3

3 ox3 ,

et xe tgx x x2 x3

2 ox3.

Donc xe tgx sin2x x x x2 x3

2 x2 x ox3 x3

2 ox3

x x3 tgx x x3 x x3

3 ox3 2x3

3 ox3.


——————————————————————————————————-253

Ainsix0lim xe tgx sin2x x

x x3 tgx

x0lim

x3

2 ox3

2x3

3 ox3

34

.

42)x0lim

e2x ch2x 2xtg2x 2sinx

x0lim

1 2x 2x2 4x33 ox3 1 2x2 ox3 2x

2x 83

x3 ox3 2x 13

x3 ox3

x0lim

4x3

3 ox3

3x3 ox3 4

9.

43)x0lim

1 cos xsin x

x3 x0lim 1 esin x ln cosx

x3 00F. I. . On a

sinx ln cos x x x3

3! ox3. ln1 cos x 1

x x3

3! ox3 ln1 x2

2 ox3 x x3

3! ox3. x2

2 x4

8 ox4

x3

2 ox3, et

1 esin x ln cosx x3

2 ox3. Donc

x0lim

1 cos xsin x

x3 x0lim

x3

2 ox3

x3 12

.

44)x0lim

sin sinx x 3 1 x2

x5 00F. I. . On a sinx x x3

6 x5

120 ox5,

sinsinx sinx sin3x6 sin5x

120 osin5x x x3

6 x5

120 ox5

x x3

6 x5

120 ox5

3

6

x x3

6 x5

120 ox5

5

120 osin5x

x 13

x3 110

x5 ox5,3 1 x2 1 1

3 x2 19 x4 ox5 et

sinsinx x 3 1 x2 x 13

x3 110

x5 ox5 x 1 13 x2 1

9 x4 ox5

1990

x5 ox5.

Doncsinsinx x 3 1 x2

x5 1990

x5 ox5

x5 1990 o1

x0 19

90.

45)x0lim

1 2tgx ex x2

arcsin x sinx 0

0F. I. . On a

arcsin x sinx x x3

6 ox3 x x3

6 ox3 x3

3 ox3,

ex 1 x1! x2

2! x3

3! ox3, tgx x x3

3 ox3 et

1 2tgx 1 2x 2x3

3 ox3

1 122x 2x3

3 1

8 2x 2x3

32 1

162x 2x3

33 ox3

1 x x2

2 5x3

6 ox3.

Doncx0lim

1 2tgx ex x2

arcsin x sinx


——————————————————————————————————-254

x0lim

1 x x2

2 5x3

6 ox3 1 x

1! x2

2! x3

3! ox3 x2

x3

3 ox3

x0lim

2x3

3 ox3

x3

3 ox3

x0lim

23 o1

13 o1

2.

46)x0lim

cos sinh x5 5 1 x2

2

cosh sinx ex2/2

00F. I. ). On a

shx x 16

x3 ox4 sh x5 1

5x 1

750x3 ox4,

cos x 1 12

x2 124

x4 ox4,

cossh x5 1 1

2sh2 x

5 1

24 sh4 x5 o sh

4 x5

1 12 1

5x 1

750x3 ox42 1

2415

x 1750

x3 ox44 o sh

4 x5

cossh x5 1 1

50x2 1

5000x4 ox4,

5 1 t 1 15

t 225

t2 ot3 5 1 x2

2 1 1

10x2 1

50x4 ox4,

cosh x 1 12

x2 124

x4 ox4

cosh sinx 1 12

sin2x 124

sin4x osin4x 1 12

x2 18

x4 ox4,

et ex2

2 1 12

x2 18

x4 ox4. Donc

cos sinh x5 5 1 x2

2

cosh sinx ex2/2

1 1

50x2 1

5000x4 ox4 1 1

10x2 1

50x4 ox4

1 12

x2 18

x4 ox4 1 12

x2 18

x4 ox4

225

x2 995000

x4 ox4

x2 14

x4 ox4 2

25 199

5000x2 ox2

x0 2

25.

47)x0lim

x 1 sinx 12

ln1 x2 x

tg3x

00F. I. . On a

1 sinx 1 x x3

3! ox3

1 12x x3

3! 1

8x x3

3!2 1

16x x3

3!3 ox3

1 x2 x2

8 1

48x3 ox3,

ln1 x2 x2 x4

2 ox4, tgx x x3

3 ox3,

tg3x x x3

3 ox33 x3 ox3

et x 1 sinx 12

ln1 x2 x

x. 1 x2 x2

8 1

48x3 ox3 1

2x2 x4

2 ox4 x


——————————————————————————————————-255

x x2

2 x3

8 1

48x4 ox4 1

2x2 x4

2 ox4 x x3

8 ox3.

Par conséquentx0lim

x 1 sinx 12

ln1 x2 x

tg3x

x0lim x3

8 ox3

x3 ox3 1

8.

49)x0lim

tgsinx lnx 1 x2 x2

6thx x3 x

00F. I. . On a

sinx x x3

6 ox3,

tgsinx tgx x3

6 ox3 x x3

6 1

3x x3

63 ox3 x 1

6x3 ox3,

3 1 x2 1 13

x2 ox3,

lnx 1 x2 ln1 x 13

x2 ox3 x 13 x2 1

2x 1

3x22

13x 1

3x23 ox3 x x2

6 ox3,

thx x x3

3 ox3 ,

et thx x3 x x3 13x x33 ox3 x 4

3x3 ox3.

Par conséquent

x0lim

tgsinx lnx 1 x2 x2

6thx x3 x

x0lim

x x3

6 x x2

6 x2

6 ox3

x 4x3

3 x ox3

x0lim

x3

6 ox3

4x3

3 ox2

18

.

Exercice 6.21. 1) En posant x 1t , on obtient: x t 0 et

x3/2 x 1 x 1 2 x

1t

31t 1 1

t 1 2 1t

t2 t t t2 2 t

t 5 t 1 1 t 2

t2 .

t 1 1 12

t 18

t2 ot2, 1 t 1 12

t 18

t2 ot2.

t 1 1 t 2t2

1 12

t 18

t2 ot2 1 12

t 18

t2 ot2 2

t2

t2

4 ot2

t2t0 1

4.

Exercice 6.22. Soit fx ex2 1x

i) Montrons que f est bijective de R sur R. Montrons d’abord que f est injective. Pour celaétudions le signe de f . On a

f x 2x2ex2 ex2 1x2 d

dxex2 1

x ex22x2 1 1x2 .


——————————————————————————————————-256

Il suffit d’étudier le signe de gx ex22x2 1 1 sur R. On a

gx ex22x2 1 1 2xex2

2x2 1 4xex2 2xex22x2 1

0, x 0,

0, x 0,

0, x 0,

donc ex22x2 1 1 x0 1 est le minimum, donc f x 0, x 0.Si x 0, on a alors

f 0 x0lim

fx f0x

x0lim

ex2 1x 0

x x0lim ex2 1

x2 1 0.

Ainsi f x 0, x R, c’est à dire que f est strictement croissante sur R, donc injective.Montrons que f est surjective. Comme

xlim ex2 1

x2 ,xlim ex2 1

x2 ,

et f strictement croissante, alors on en déduit que f, ,, donc f estbijective de R sur R. On conclut alors que f1 existe sur R.

ii) On a f10 0 car f0 0 et f est injective. Cherchons le D.L. de f1 jusqu’à l’ordre 5au V0. Posons pour cela

f1x a0 a1x a2x2 a3x3 a4x4 a5x5 ox5.Comme f est impaire, alors f1 l’est aussi, donc a0 a2 a4 0. Il reste à trouver

a1, a3, a5. Soit y fx et alors on a

f1y f1fx x.

Considérons le D.L. de f au V0

y fx ex2 1x x 1

2x3 1

6x5 ox5

et en le remplaçant dans l’équation précédente, on obtient

f1y a1x 12

x3 16

x5 ox5 a3 x 12

x3 16

x5 ox53

a5 x 12

x3 16

x5 ox55 o x 1

2x3 1

6x5 ox5

5

a1x a1

2 a3 x3 a1

6 3a3

2 a5 x5 ox5 x,

ce qui implique que a1 1, a3 12

, a5 712

et, alors

f1x x 12

x3 712

x5 ox5.


——————————————————————————————————-257

Chapitre VII. Etude du comportement des fonctions. Rappels de cours.

§1. Monotonie et extrémums.

VII.1. Critères de monotonie pour une fonction dérivable.Rappels ( voir chapitre V: dérivation).Théorème. Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I R, alors:i) f cste sur I f x 0,x I;ii) f x 0,x I f est croissante sur I;iii) f x 0,x I f est strictement croissante sur I;iv) f x 0,x I f est décroissante sur I;v) f x 0,x I f est strictement décroissante sur I.

VII.2. Extrémums.Définition 1. Soit f une fonction définie sur un intervalle I R. On dit que f admeti un maximum ( resp. un minimum) local ou relatif en x0 I, s’il existe 0 tel que :

x I : |x x0 | fx fx0 resp. fx fx0 ,

ii un extrémum local en x0 I si elle admet un maximum ou minimum local en ce point.

Définition 2. Soit f une fonction définie sur un intervalle I R. on dit que f atteinti son maximum ( resp. un minimum) absolu en x0 I si

fx fx0 maxI

f resp. fx fx0 minI

f, x I,

ii un extrémum absolu en x0 I si elle admet un maximum ou minimum absolu en ce point.

En résumé, f admet un extrémum au point x0 si la quantité fx fx0 ne change pas de signeen passant de l’intervalle x0 ,x0 à l’intervalle x0,x0 où 0.

Remarques.1) En remplaçant dans les définitions 1) et 2) les inégalités larges par des inégalités strictes,

on dit qu’on a des extrémums strictes.2) Il est clair que f peut admettre plusieurs extrémums locaux, mais elle n’admet qu’un seul

maximum ou minimum absolus. Cette valeur maximale ou minimale en x0 est égale ày0 fx0, .notée respectivement par max

xIfx ou min

xIfx.

VII.3. Condition nécessaire pour un extrémum.Théorème. Si la fonction f est définie dans un voisinage de x0, dérivable au point x0 et

atteint un extrémum quelconque en ce point, alors f x0 0.

Remarques.1) L’inverse de ce théorème est faux. En effet, la fonction y fx x3 n’admet pas

d’extrémum en x 0, alors qu’on a f 0 3xx02 0.

2) Si f n’est pas dérivable en un point x0, elle peut admettre ou ne pas admettre d’extrémumen ce point.

3) Si f est définie et dérivable sur un intervalle de la forme a,b ou a,b, elle peut avoir un


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extrémum en a ou en b avec f a 0 ou f b 0. Le théorème précise que le point x0 est unpoint intérieur du domaine de définition.

VII.4. Recherche des extrémums. Conditions suffisantes. La recherche des points où unefonction f, définie sur un ensemble X R, admet des extrémums se fait,

1/ soit dans l’ensemble des points de X où f s’annule si f est dérivable,2/ soit dans l’ensemble des points de X où f n’existe pas,3/ soit aux bords de X.Les points tels que f x 0 ou bien f x n’existe pas sont appelés points critiques de f sur

X. Dans la suite, on établit des conditions suffisantes pour que f admette des extrémums.

VII.5. Première condition suffisante.Théorème . Soit f une fonction définie et continue dans un voisinage V de x0, dérivable sur

V, sauf peut être en x0. S’il existe 0 tel que x0 ,x0 V et

if x 0, x x0 ,x0

f x 0, x x0,x0 , alors f admet un maximum local en x0;

iif x 0, x x0 ,x0

f x 0, x x0,x0 , alors f admet un minimum local en x0.

VII.6. Deuxième condition suffisante. La deuxième condition suffisante concerne lesfonctions dérivables en tout point de son domaine de définition.

Définition. Soit f une fonction définie dans un voisinage du point x0 R et dérivable en cepoint. On dit alors que x0 est un point stationnaire pour f si f x0 0.

Théorème. Soit f une fonction définie et dérivable dans un voisinage du point x0 R telleque:

1) x0 est un point stationnaire,2) f x0 existe.Alorsi f x0 0 f admet un minimum local en x0;ii f x0 0 f admet un maximum local en x0;iii si f x0 0, on ne peut rien dire.

Remarque. Le théorème ne s’applique pas aux fonctions non dérivables et aux fonctionsdérivables telles f ne s’annule pas. Donc la classe des fonctions où se théorème s’applique estplus étroite.

VII.7. Troisième condition suffisante. Si f x0 0, il faut pousser l’étude de f à l’aide dela formule de Taylor. Si f admet des dérivées d’ordre 3, on a une troisième conditionsuffisante donnée par le théorème suivant:

Théorème. Soit f dérivable en x0 jusqu’à l’ordre n 3 vérifiantf x0 f x0 . . . fn1x0 0 et fnx0 0.


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Dans ces conditions:i si n est pair, alors

1 f admet un minimum local si fnx0 0,2 f admet un maximum local si fnx0 0;

ii si n est impair, alors f n’admet pas d’extrémum en x0.

§2. Convéxité. Points d’inflexion.

VII.9. Fonctions convexes. Fonctions concaves. Dans ce no, on étudie la notion deconvexité qui consiste à déterminer la position de la courbe représentative de cette fonction parrapport à toute corde passant par deux de ses points, c’est à dire si cette courbe se trouve audessus ou au dessous de ces cordes. On donnera tout d’abord une définition géométrique d’unefonction convexe ( resp. concave), ensuite une autre analytique qui lui est équivalente.

Définition 1. Soit f une fonction réelle définie sur un intervalle I a,b R et C sacourbe représentative sur I. On dit que f est convexe (resp. concave) sur I si x1,x2 I, lacorde, passant par les points de coordonnées M1x1, fx1 et M2x2, fx2 de la courbe C setrouve au dessus ( resp. en dessous) de la portion d’arc de C comprise entre M1 et M2.

De manière analytique, la définition 1 est équivalente à la définition suivante:

Définition 2. Soit f une fonction réelle définie sur un intervalle I R. On dit que f estconvexe (resp. concave) sur I si x1,x2 I, x1 x2, q1,q2 0, q1 q2 1, alors

fq1x1 q2x1 q1fx1 q2fx2 resp. fq1x1 q2x1 q1fx1 q2fx2 .

Remarques.1) Si on a des inégalités strictes, alors on parle de convexité (resp. de concavité) stricte sauf

aux extrémités de l’intervalle s’ils font partie.2) Si f est concave sur I, alors f est convexe sur I. Ainsi dans la suite on étudiera seulement

les fonctions convexes.

VII.9. Dérivabilité et continuité des fonctions convexes.Théorème. Soit I a,b un intervalle de R et f une fonction convexe sur I. Alors:i) f x0, f x0 existent x0 a,b et on a f x0 f x0;ii) f est continue en tout point x0 a,b ;iii) x1,x2 I, x1 x2, on a f x1 f x1 f x2 f x2.

VII.10. Critères de convexité pour les fonctions dérivables.Théorème 1. Soit f une fonction définie et dérivable sur l’intervalle I R. Alors on a les

équivalences suivantes:i f convexe sur I f croissante sur I.ii f concave sur I f décroissante sur I.

Théorème 2. Soit f une fonction deux fois dérivable sur l’intervalle I R. Alors on a les


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équivalences suivantesi f convexe sur I f 0 sur I,ii f concave sur I f 0 sur I.

Théorème 3. Soit f une fonction dérivable sur l’intervalle I R. Alors on a l’équivalencesuivante:

f est convexe (resp. concave) sur I si et seulement si la courbe C représentative de f sur Ise trouve au dessus (resp. en dessous) de toute tangente à la courbe C en tout pointMx, fx, x I.

VII.11. Points d’inflexion.Définition. Soit C la courbe représentative de la fonction y fx, x I. On dit que le

point Mx0,y0 C, y0 fx0, est un point d’inflexion de C ou que f admet un pointd’inflexion en x0, s’il existe un voisinage V x0 ,x0 I dans lequel f est convexed’un coté de x0 et concave de l’autre.

VII.12. Condition nécessaire d’inflexion pour une fonction deux fois dérivable. Pour lesfonctions ayant des dérivées d’ordre deux, on a une condition nécessaire analogue à celle d’unefonction admettant un extrémum.

Théorème. Soit f une fonction définie dans un voisinage de x0 telle que f x0 existe. Alorspour que f admette un point d’inflexion en x0, il faut que f x0 0.

Remarque. La condition f x0 0 est nécessaire, mais pas sufffisante, comme le montrel’exemple suivant. Soit fx x4, x R qui est deux fois dérivables sur R et on af x 12x2 0 x 0, mais en ce point, il n’y a pas d’inflexion, car la fonction estconvexe des deux côtés de x0 0.

VII.13. Recherche des points d’inflexion. Comme pour la recherche des extrémums d’unefonction f, on a des conditions suffisantes pour la recherche des points d’inflexion qui se fait soitaux points où la dérivée seconde s’annule si elle existe, soit aux points où elle n’existe pas.

VII.14. Première condition suffisante d’inflexion.Théorème. Soit f une fonction définie au voisinage du point x0 R, deux fois dérivable,

sauf peut être en x0. Si f prend des signes différents à droite et à gauche de x0, alors f admetun point d’inflexion en ce point.

VII.15. Deuxième condition suffisante d’inflexion. Si la fonction f est deux fois dérivabledans un intervalle, alors, d’après la condition nécessaire, la recherche des points d’inflexion sefait dans l’ensemble des points tels que f s’annule. Si fn existe pour n 2, on a le théorèmesuivant:

Théorème. Soit f une fonction ayant des dérivées jusqu’à l’ordre n 1, avec n 2, au pointx0 R et vérifiant les conditions


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f2x0 f3x0 . . . fnx0 0 et fn1x0 0,alors:i f admet un point d’inflexion en x0 si n est pair,ii f n’admet pas de point d’inflexion en x0 si n est impair.

§3. Asymptotes.

Définition. Soit f une fonction définie dans un intervalle I R, borné ou non, et C lacourbe représentative de f.

1 On dit que la droite d’équation x x0 R est une asymptote verticale de la courbe Csi f est définie au voisinage épointé de x0 et si on a :

xx00lim fx fx0 0 ou

xx00lim fx fx0 0 .

2) On dit que la droite y y0 est une asymptote horizontale de la courbe C si I n’est pasborné et on a

xlim fx y0.

3) On dit que la droite d’équation y ax b, a, b R, est une asymptote oblique de lacourbe C si I n’est pas borné et

xlim fx et s’il existe une fonction telle:

fx ax b x,xlim x 0,

appelée formule asymptotique de f au voisinage de l’infini.

§4. Schéma général du tracé d’une courbe. Exemples.

VII.17. Schéma général du tracé d’une courbe. On peut donner, à l’aide des propriétésétablies précédemment, un schéma général pour tracer le graphe d’une fonction réelle. Ce shémaest le suivant:

1. Déterminer le domaine de définition de la fonction.2. Déterminer les symétries ou la période afin de réduire l’ensemble d’étude.3. Etudier le comportement de la fonction aux bords des intervalles d’étude.4. Déterminer les asymptotes: verticales, obliques et horizontales.5. Etudier le sens des variations de la fonction, soit par une étude directe, soit en étudiant les

signes de la dérivée.6.Déterminer les points stationnaires, les extrémums et les points d’inflexion.7. Dresser le tableau de variations.8. Déterminer des points remarquables: points d’intersection avec les axes, points d’arrêt ...9. Tracer le graphe.


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Enoncés des exercices du chapitre VII.

Exercice 7.1. Démontrer que la fonction polynômiale Px a0 a1x a2x2 . . .anxn

et la fonction rationnelle Rx a0 a1x a2x2 . . .anxn

b0 b1x b2x2 . . .bmxm sont strictement monotones

sur les voisinages , et , de et respectivement.

Exercice 7.2. Montrer que la fonction fx 1 1x

xest croissante sur les intervalles

,1 et 1,.

Exercice 7.3.i) En étudiant les variations de la fonction fx x 2 logx, montrer que l’équation

x 2 logx a deux solutions réelles et , .

ii) On considère maintenant la suite un définie paru1 1,

un1 2 logun, n 1.

Montrer que un converge vers .

Exercice 7.4. Déterminer les extrémums des fonctions suivantes:1) y x3 2ax2 a2x a 0; 2) y x;3) y x2a x2; 4) y x 22x 33;5) y x3 10x 52; 6) y 2x3 3x2;7) y 2x3 6x2 18x 17; 8) y x

x2 4;

9) y 3x2 4x 4x2 x 1

; 10) y x2 3x 2x2 2x 1

;

11) y x a2

x a 0; 12) y x 1 x ;13) y 2x x2 ; 14) y x 2 x2 ;15) y x 3 x ; 16) y 3 x2 3 x2 1 ;17) y x

3 x2 4; 18) y x2ex;

19) y 3 x2ex; 20) y x2 4x 1 lnx2 4x 4.21) y x log1 x; 22) y x

ln x;

23) y ln2xx ; 24) y x 110ex;

25) y x ln x; 26) y ex sinx27) y cos x cos x

2; 28) y x 2cos x;

29) y x sinx; 30) y x 2sin2x;31) y sin3x cos3x; 32) y ln cos x cos x;33) y x tgx; 34) y x 2arctgx35) y x2 1arctgx

4x2 x; 36) y lnx2 1 2arctgx;

37) y log ex x 1x 1

.

Exercice 7.5. Trouver les minimums et maximums absolus des fonctions suivantes:

1 y x2 4x 6 , x 3,10; 2) y 3x4 6x2 1, x 2,2;


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3) y x3 3x 3, x 3; 32; 4) y x3 6x2 9, x 1;2;

5) y x4 8x2 3, x 1; 2; 6) y x5 5x4 5x3 1, x 1;2;7) y x4 1

x2 1, x 1;1; 8 y 1 x2

1 x4 , x 0,;

9) y 9x

251 x

, x 0,1; 10) y |x2 3x 2|, x 10;10;

11) y x 1x , x 0,01; 100; 12) y 5 4x , x 1;1;

13) y x 2 x , x 0,5; 14) y 2x, x 1; 5;15) y x 2 ln x, x 3

2,e; 16) y x ln x

5, x 1; 5;

17) y 2sinx sin2x, x 0, 32;

18) y cos2x cos2 3 x cos x cos

3 x, x R.

19) y 2arctgx arcsin 2xx2 1

, x R.

Exercice 7.6. Trouver les bornes inférieure et supérieure de la foncion suivante:fx ex

2cos x2 sur R.

Exercice 7.7.1) Montrer que parmi tous les rectangles inscrits dans un cercle donné, le carré a une surface

maximum. Montrer aussi que le périmètre est maximum pour le carré.2) Montrer que parmi tous les triangles isocèles inscrits dans un cercle donné, le triangle

équilateral a un périmètre maximum.3) Trouver parmi les triangles rectangles dont l’hypoténuse est égale à h, celui qui a une

surface maximale.4) Trouver la hauteur, parmi les cylindres droits inscrits dans une sphère de rayon R, de celui

qui a un volume maximal.5) Trouver parmi les cylindres droits inscrits dans une sphère donnée de rayon R celui dont

la surface latérale est maximale.6) Inscrire dans une sphère de rayon R un prisme triangulaire régulier de volume maximal.7) Construire un trapèze isocèle de périmètre minimal pour une surface S donnée, l’angle de

la base est égal à .8) Trouver l’angle au sommet d’un triangle isocèle de surface donnée tel que le rayon du

cercle inscrit soit maximal.9) Trouver la hauteur d’un cône inscrit dans une sphère de rayon R tel que sa surface latérale

soit maximale.

Exercice 7. 8. Avec une feuille en carton de forme carrée et de côté égal à c , on veutfabriquer une boîte telle que le volume soit maximal. Pour cela, on découpe à chaque coin uncarré de même côté, ensuite on plie les bords ainsi obtenus. Trouver le côté des carrés découpéspour que le volume de la boîte soit maximal.

Exercice7. 9. Etudier la convexité de la courbe définie par y 1 3 x aux pointsA1,0, B1,2 et C0,1.

Exercice 7.10.Trouver les points d’inflexion et les intervalles de concavité et de convexité des graphes des

fonctions suivantes:


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1) fx x3 5x2 3x 5; 2) fx 3x5 5x4 3x 1;3 fx 3x2 x3 ; 4 fx 1 x2 ;5) fx logx; 6) fx log1 x2;7) fx cos x; 8 fx x sinx ;9) fx 10

x log x10

; 10) fx earctgx;

11 fx ex2.

Exercice 7.11.i) Soient x,y,a,b R. Montrer que

x log xa y log

yb x y log

x ya b

.

ii) Montrer que n N, a1,a2, . . . ,an Rn :a1 a2 . . .an

n n a1.a2. . . .an .

Exercice 7.12. Soit la fonction relle f définie par fx loglogx, x 1.i) Montrer que f est convexe sur 1,.ii) En déduire que

a,b 1, : log a b2 loga. logb .

Exercice 7.13.i) En utilisant la convexité de la fonction fx ex, démontrer que:a,b R, p,q 1, tels que 1

p 1q 1, on a ab ap

p bq

q .

ii) En déduire l’inégalité de Holdër suivante: a1,a2, . . . ,an,b1,b2, . . . ,bn R2n,

n

k1

akbk n

k1

akp

1p n

k1

bkq

1q

.

Exercice 7.14. Montrer qu’une fonction convexe bornée et continue possède des dérivées àdroite et à gauche en tout point.

Exercice 7.15. Etudier, à l’aide des D.L., les branches infinies des fonctions suivantes et dansle cas d’existence d’asymptotes obliques, étudier la position relative des courbes et desasymptotes:

1) y x3 2ax2 a2x , a 0; 2) y x3

x2 9;

3 y x2 1 ; 4) y 1 x x2 ;

5) y x2 x 1 x2 x 1 ; 6 y x 2 x2

x2 9;

7) y x3

x 13; 8) 3 x3 x2 x x2 x 1 ;

9) y 1sin 1

xlog x

x 11 x2 ; 10) y x2arctg 1

x 1;

11) y x 1x e

ax en fonction de a.


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Exercice 7.16. Soit une fonction définie au voisinage de x0 R telle que:

fx a0 a1x x0 akx x0k x x0kxavec

xx0

lim x 0, ak 0, k 2, k N. En remarquant que y a0 a1x x0 est

l’équation de la tangente à la courbe de f en x0, étudier suivant la parité de k et le signe de ak, lecomportement de f au voisinage de x0.

Application: étude locale de:1) fx x11 3x6 1 en x0 0;2) fx 6 logx 2x3 9x2 18x en x0 1;3) fx 24ex 24x 12x2 4x3 x4 20 en x0 0;

4) fx logchxcos x chx en x0 0.

Exercice 7.17. Soit une fonction définie au voisinage de x0 R telle que:

fx ax b cxk 1

xkx

avecxlim x 0, a,b, R, c R, k N. En remarquant que y ax b est

l’équation de la tangente à la courbe de f, étudier suivant la parité de k et le signe de c, laposition de la courbe de f par rapport à l’asymptote.

Application à: 1) fx 3 x3 x 1 x2 x 1 ;2) fx 3 x3 x 1 x2 x 1 .

Exercice 7.18. Soit la fonction f définie par fx e1x log

chxcosx , x 0,

1 , x 0.

A l’aide des D.L., déterminer l’équation de la tangente à la courbe (C) représentant f, au pointA d’abscisse zéro, et la position de (C) par rapport à cette tangente au voisinage de A.

Exercice 7.19. Soit la fonction f définie par

fx e 1sin x etgx , x

2,

2.

i) Calculer le D.L., à l’ordre 3 au voisinage de x 0, de la fonction g définie pargx e 1sin x e.

ii) Montrer quex0lim fx existe. Calculer cette limite qu’on désignera par . On pose ensuite

f0 .iii) Montrer que f, ainsi prolongée, est dérivable en x 0. Calculer f 0.iv) Préciser la position du graphe de f par rapport à la tangente en 0, , au voisinage du

point de contact.

Exercice 7.20. Soit la fonction f définie par fx xe1

1x2 , x R 1.i) Etudier la variation de f. Montrer que f admet une asymptote lorsque |x| et préciser

la position du graphe Cf de f par rapport à cette asymptote au voisinage de et .ii) On pose f0 . Montrer que, f ainsi prolongée, admet une dérivée à droite au point

x 1. Etudier la convexité et les points d’inflexion de Cf.iii) Tracer le graphe de f.


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Exercice 7.21. Soit la fonction f définie par fx 1x

1x2 arctgax bx3 x5

5.

i) Déterminer les nombres réels a et b pour que la droite d’équation y 2x soit tangenteà la courbe représentative Cf de f au point 0,0.

ii) En déduire l’allure de Cf au voisinage de 0,0.

Exercice 7.22. Montrer que la fonction fx x4 x2 a pour asymptote au voisinage de la parabole y x2 x

2 1

8.

Exercice 7.23. On considère les courbes d’équations:

y 11 logx cos x

et y 1 x2 x3

1 x.

i) Montrer qu’elle ont une même tangente au point d’abscisses x 0.ii) Etudier la positions de cette tangente par rapport aux deux courbes.

Exercice 7.24 . Tracer les courbes représentatives des fonctions suivantes:

1) fx x3 3x2 4; 2) fx x2 x 1x2 2x 1

;

3) fx x3

x2 1; 4) fx 3x2 4

x2 x 2;

5 fx x3

42 x2; 6 fx x x2 x 1

7 fx 3 1 x3 ; 8) fx 3 x3 3x 2 ;

9) fx x2

|x2 1|x ; 10) fx xe

1x ;

11 fx ex 1

x2 ; 12) fx 1log1 x

1x ;

13 fx log|x e|log|x|

; 14) fx e1x xx 2 ;

15 f5x cos x log cos x; 16) fx cos x |sinx|;

17) fx arcsin 2x1 x2 ; 18) fx arccos 1 x2

1 x2 ;

19) fx arcsin1 2x 2arcsin x ; 20) fx arctan 2x1 x

;

21) fx x2 arctan 11 x2 ; 22) fx 1 x2arctg 1

x ;

23) fx x2 arcsin 1 sinx

2; 24) fx x arctg x 1

x ;

25) fx arctg 1 x1 x

; 26) fx arctan x2 2x 1x2 2x 1

;

27) fx 1 1x

x; 28) fx 1 sinxctgx;

29) fx 2ex ex1x ; 30) fx x

1logx1 .

Exercice 7.25. Tracer le graphe de la fonction y yx définie par ex logx yx 1.

Exercice 7.26. On considère la fonction fx x logxx2 1

. Comment choisir f0 et f1

pour que f soit continue pour x 0? Est-elle dérivable alors en x 0 et en x 1? Etudier lesvariations de f et tracer son graphe.


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Réponses aux exercices du chapitre VII.

Exercice 7.4. 1 ymax 4a3

27pour x a

3; ymin 0 pour x a;

2 Pas d’extremum;

3 ymax a4

16pour x a

2; ymin 0 pour x 0 et pour x a;

4 ymax 0 pour x 2 ; ymin 108 pour x 0;5 ymax 0 pour x 5 et-324 pour x 1; ymin 162 pour x 2;6 ymax 0 pour x 0; ymin 1 pour x 1;7 ymax 27 pour x 1 ; ymin 37 pour x 3;8 ymax 1

4pour x 2 ; ymin 1

4pour x 2.

9 ymax 4 pour x 0 ; ymin 83

pour x 2;

10 ymin 124

pour x 75

;

11 ymax 2a pour x a ; ymin 2a pour x a;12 ymax 5

4pour x 3

4;

13 ymax 1 pour x 1 ; ymin 0 pour x 0 et x 2;14 ymax 1 pour x 1 ; ymin 1 pour x 1;15 ymax 13

4pour x 11

4; ymin 3 pour x 3;

16 ymax 3 4 pour x 22

; ymin 1 pour x 0;

17 ymax 3 pour x 2 3 ; ymin 3 pour x 2 3 ;18 ymax 4

e2 pour x 2 ; ymin 0 pour x 0;

19 ymax 2e pour x 1 ; ymin 6e3 pour x 320 ymin 4 pour x 1 et x 3; 21 ymin 0 pour x 0.22 ymin e pour x e.23 ymax 4

e2 pour x e2; ymin 0 pour x 1;

24 ymax 1010e9pour x 9; ymin 0 pour x 1;25 ymax 0 pour x 0 , ymin 2

e pour x e2;

26 ymax 22

e342k

en xk 34 2k et

ymin 22

e

42k

en xk 4 2k, k Z;

27 ymax 1k 12

pour x k , ymin 34

pour x 2k 23

,k Z;

28 ymax aux points x 6 2k , yminaux points x 5

6 2k,k Z;

29 Pas d’extremum;

30 ymax 5 6 3 12

12en x

12 k ,

ymin 5 6 3 12

12aux points x 5

12 k,k Z;

31 ymax 1 pour x 2k et x 2k 2

, ymax 22

en x 54 2k,k Z,

ymin 1 pour x 2k 1 et x 2k 32

, ymin 22

en x 4 2k,k Z;

32 ymax 1 pour x 2k; 33 Pas d’extremum.34 ymax 2

1 pour x 1; ymin 1 2

pour x 1;


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35 ymax 0 pour x 0; ymin 4 1 pour x 1;

36 ymin ln 2 2

, pour x 1; 37 Pas d’extremum.

Exercice 7.5. 1 2; 66, 2 25; 2, 3 15; 5, 4 7; 9,

5 13; 3, 6 10; 2; 7 2 2 2; 1, 8 pas de minimum, ymax 1 2

2;

9 64, pas de maximum absolue); 10 0; 132, 11 2; 100,01;12 1; 3 13 1; 5 2 5 , 14 1

2; 32; 15 2 2 ln 2; e 2;

16 5e ; 0, 17 2;

3 32, 18 3

4; 3

4; 19 ;.

Exercice 7.6. sup fx 1; inf fx 22

e 3

4 .

Exercice 7.7. 3 h2

. 4 h 2R3

; 5 h R 2 ; 6 h 2R3

;

7) cotés lateraux : Ssin ; 8

3; 9 h 4

3R.

Exercice 7.8. c6

.

Exercice 7.9. Au point A la courbe est convexe, au point B elle est concaveet C est un point d’inflexion.

Exercice 7.10.1 inflexion en ( 5

3, 250

27, concavité sur , 5

3, convexité sur 5

3,;

2 inflexion en 1;1, concavité sur , 1, convexité sur 1,;3 inflexion en 1; 2, concavité sur 1,, convexité sur , 1;4 La fonction est concave sur ,.5 La fonction est concave dans son domaine de définition, R.6 inflexion en 1; ln 2, convexe sur ,1 1,,

concave sur 1,1.

7 inflexion en xk 2 k,k Z, concavité sur

4k 12

,4k 3

2,

convexité sur 4k 3

2,4k 5

2, k Z.

8 inflexion en xk k,k Z, concavité sur 2k, 2k 1,convexité sur 2k 1, 2k 2, k Z;

9 inflexion en x 10e e , concavité sur 0,10e e ,convexité sur 10e e ,;

10 inflexion en 12

,earctg12 , concavité sur , 1

2, convexité sur 1

2,.

11 inflexion 12

,e12 , concavité sur 1

2, 1

2,

convexité , 12 1

2,.

Exercice 7.15. 1) Branche infinie;2) y x , (au dessus si x 0 en dessous si x 0;3 y x si x 0 , y x si x 0 (en dessous);4 y x 1

2 au dessus); 5) y 1 (au dessus);6) y 2 à gauche, y 2x 2 à droite (en dessous);7) y 1, x 1; 8 y 5

6 (au dessus); 9) branche infinie;10) y x 1, (au dessus si x 0, en dessous si x 1.); 11) y x a.


——————————————————————————————————-270

Corrigés détaillés de certains exercices du chapitre VII.

Exercice 7.4.1) Cherchons les points critiques de la fonction y fx x3 2ax2 a2 a 0. Comme f

est un polynôme, elle est donc deux fois dérivables sur R. Les points critiques, stationnaires dansce cas, sont alors les racines de l’équation y 3x2 4ax a2 0, dont les racines sontx1 a et x2 a

3. Pour déterminer les extrémums de cette fonction, utilisons la deuxième

condion suffisante en étudiant le signe de f aux points critiques. On a y 6x 4a . Et alorsy a 6a 4a 2a 0 et y a

3 6. a

3 4a 2a 0.

Donc f admet un minimum en x1 a, égal à fa a3 2a3 a3 0 et un maximum en

x2 a3

, égal à f a3 a3

27 2a3

9 a3

3 4a3

27.

13) y fx 2x x2 . La fonction est défine sur l’intervalle 0,2 et dérivable sur 0,2,mais elle ne l’est pas en x 0 et x 2. Sur 0,2, on a

f x 1 x2x x2

0 x 1.

Donc les points critiques sont x 0, x 1 et x 2. Etudions les extrémums de cettefonction à l’aide de la première condition suffisante en étudiant le signe de la première dérivée àgauche et à droite au point x 1. On a

f x 1 x2x x2

0 si 0 x 1

0 si 1 x 2.

Donc f est croissante sur 0,1 et décroissante sur 1,2. Ce qui implique que f admet unminimum en x 0 et en x 2, égaux respectivement à f0 0 et f2 0, et un maximumen x 1, égal à f1 1.

27) y fx cos x cos 2x2

est définie sur R et elle admet des dérivées de tout ordre sur

R. Comme elle est périodique, de période 2, il suffit d’étudier son comportement surl’intervalle [0; 2. Les points critiques sont les points tels que f x 0, c’est à dire que

y sinx sin2x 0 sinx sin2x 0 sinx1 2cos x 0 sinx 0 ou 1 2cos x 0 x k et x 2

3 2k , k Z. Sur [0; 2, les points

critiques sont x1 0 , x2 et x3 43

. Pour l’étude des extrémums, utilisons la

deuxième condition suffisante, à savoir étudions le signe de f aux points critiques. On ay cos x 2cos 2x. Déterminons la nature de chaque point critique:

1) y x10 cos 0 2cos 0 3 0. Donc , nous avons un maximum au pointx1 0 égal à f0 3

2 par périodicité ce maximum est aussi atteint aux points

xk 2k k Z;2) y x2 cos 2cos 2 1 2 1 0, donc nous avons un maximum au point

x1 égal à f 12 par périodicité, ce maximum est aussi atteint aux points

xk 2k 1 k Z;3) y

x343 cos 4

3 2cos 8

3 1

2 2. 1

2 3

2 0, donc nous avons un

minimumm au point x3 43

, égal à f 43 3

4par périodicité, ce maximum est aussi


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atteint aux points xk 43 2k k Z.

Exercice 7.5. Pour trouver les maximums et minimums absolus de cette fonction sur unsegment a,b , on procède de la manière suivante :

i) on recherce tous les maximums et minimums (relatifs) possibles sur le segment a,b;ii) on détermine la valeur de la fonctionaux extémités du segment en calculant ya et yb.iii) on choisit la plus grande et la plus petite parmi ces valeurs qui seront la plus grande et la

plus petite valeurs sur le segment considéré.3) y x3 3x 3 , x 3; 3

2. Comme f est dérivable, alors on a

y 3x2 3 0 x1 1 ,x2 1 et y 6x.Pour x 1, on a y x1 6 0, et, alors la fonction a un maximum au point x1 1,

égal à yx11 5.Pour x 1, on a y x1 6 0, et, alors la fonction a un minimum au point x2 1, égal

à yx11 1.Calculons maintenant la valeur de la fonction aux extémités de l’intervalle 3, 3

2. On a:

yx 3

2 15

8et yx3 15.

Ainsi les maximum et minimum absolus de la foncton considérée sur le segment 3; 32

sont respectivement yx11 5 et yx3 15.

10) y |x2 3x 2|, x 10; 10. Ecrivons la fonction donnée sous forme suivante:y x2 3x 2. sgnx2 3x 2. La fonction x2 3x 2 est dérivable sur R etsgnx2 3x 2 dérivable sur R sauf aux points tels que x2 3x 2 0, c’est à dire x 1et x 2. Alors y 2x 3sgnx2 3x 2 si x 1 et x 2 . On a y 0 x1 3

2.

Ainsi les points critiques sont: x1 32

, x2 1, x3 2. En comparant les nombres

yx1 14

; yx2 0; yx3 0; y10 132; y10 72,

on conclut que le maximum absolu et le minimum absolu de la fonction donnée surl’intervalle 10; 10 sont égaux respectivement à 132 et à 0.

16) y fx x ln x5 , x 1; 5. Pour trouver les maximum et minimum absolus de

cette fonction sur le segment considéré, nous allons procèder d’une façon analogue à celle del’exemple précédent (no10. .f est dérivable sur ce segment et on a

y ln x5 1 0 x 5

e et y 5e

1x x 5

e e

5 0.

Par conséquent, la fonction a un minimum au point x 5e , égal à

yx 5

e 5

e . ln5e

5 5

e . Calculons maintenant les valeurs de la fonction aux extrémités du

segment considéré. On a yx1 ln 5, yx5 0. Donc le maximum absolu de la fonctionsur le segment considéré est égale à 0 et le minimum absolu est égal à 5

e .

Exo. 7.23. On a:

fx 11 logx cos x

1 x 2x2 236

x3 152

x4 ox4

et


——————————————————————————————————-272

gx 1 x 2x2 x3 x4 ox4.

i) Comme f0 g0 1 et f 0 g0 1, on en déduit que f et g ont même tangenteen x 0.

ii) L’équation de la tangente est

y x 1 1 x.

Alors, on a fx 1 x 2x2 236 x3 15

2 x4 ox4 2x2 ox2 2x21 o1 0au V(0), la courbe représentative de f se trouve au dessus de la tangente.

Même chose pour g.

Exo.7.24 24i) En posant x 1

t , on a x t 0 et

fx x arctan x 1x 1

t arctan1 t t1 14 1

2t ot,

fx x arctan x 1x x 1

4 1

2x o 1

x ;

ii) gx arctan 1 x1 x

14 x 1

3 x3 Ox5 au V0

En posant x 1t , on a :x t 0 et arctan 1 x

1 x arctan 1 t

1 t

14 t 1

3t3 ot3 1

4 1

x 1

3x3 o 1x3

x arctan x 1x .

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BROCHURE D'EXERCICES D'ANALYSE … d... · exercices ne retiendront pas grand chose et n’iront pas ... mathématiques se sont avérées incontournables dans presque toutes les