Buchi Neri
Wednesday, November 30, 2011
G. Risaliti Fisica delle galassie (2011/2012)
I concetti della relativita’ generale
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In relativita’ speciale:
Invariante: ds2 = c2d2=c2dt2-dx2-dy2-dz2
d2: tempo proprio (tempo misurato da un osservatore solidale
con il corpo in moto)
Legge di moto di una particella: m
d2 �X
dt2
= �F
Nel sistema di riferimento della particella:
d2 �X
ds2
= 0
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Tempo proprio in relativita’ generale: ds2 = gµνxµxν
gµν : coefficienti della metrica
In relativita’ speciale: gµν =
1 0 0 0
0 −1 0 0
0 0 −1 0
0 0 0 −1
Problema fondamentale: in presenza di massa-energia, la metrica dello
spazio - tempo e’ diversa in ogni punto. Quindi nel calcolare la variazione
di una grandezza spostandosi da un punto A ad un punto B, e’ necessario
considerare anche il cambio di metrica da A a B.
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PRINCIPIO DI EQUIVALENZA:
Vari enunciati:
- Massa gravitazionale = massa inerziale
- Le leggi della fisica sono le sesse in tutti i sistemi uniformementi accelerati
- In un labatorio in caduta libera (che occupi una regione piccola dello spazio-
tempo) le leggi della fisica sono quelle della relativita’ speciale.
Conseguenze generali:
- La gravita’ non e’ considerata una forza esterna, ma una curvatura dello
spazio tempo. (La curvatura e’ indotta dalla presenza di materia-energia)
- Una particella libera in un campo gravitazionale si muove lungo una
geodetica dello spazio-tempo curvo
Conseguenza “particolare”: i fotoni risentono della presenza di un campo
gravitazionale
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Esempio: la derivata di un vettore spostamento, e’ la variazione del
vettore in un intervallo infinitesimo di tempo. In altre parole, devo
misurare il vettore al tempo t, misurarlo ancora al tempo t+dt, e poi
calcolare la differenza. Ma al tempo t+dt il vettore si trova in un altro
punto dello spazio-tempo, quindi con un’altra metrica. Quale metrica uso
per misurare la variazione?
Soluzione: devo calcolare la variazione dopo aver riportato il vettore
all’istante t+dt nello stesso punto dello spazio-tempo del vettore
all’istante t. Nel fare questo, la misura del vettore cambiera’ per effetto
della variazione della metrica.
In pratica:
Posso ottenere l’equazione che descrive il moto di una particella in un
campo gravitazionale dalla (banale) equazione geodetica nel sistema
solidale con la particella mediante un cambio di coordinate nel sistema
dell’osservatore.
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Sistema della particella: coordinate
Sistema dell’ osservatore: coordinate
ξµ
xµ
Moltiplicando per e usando l’identita‘
si ottiene l’ EQUAZIONE GEODETICA:
dxk
dξµ
dxk
dxν
= δkν
d2xk
ds2
+ Γkνµ
dxµ
ds
dxν
ds
= 0 Γ
k
νµ : coefficienti della connessione
affine, o “simboli di Christoffel”:
contengono l’infomazione sulle
variazioni dovute alla metrica.
d2ξµ
ds2
= 0 =
d
ds
(
dξµ
dxν
dxν
ds
) =
dξµ
dxν
d2xν
ds2
+
∂2ξµ
∂xν∂xk
dxν
ds
dxk
ds
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Nota: finora abbiamo solo accennato ad un formalismo: l’equazione
geodetica e‘ semplicemente un modo per “fattorizzare” tutta la
dipendenza dalla metrica nei coefficienti di Christoffel.
Passaggi fondamentali:
- Calcolo tensoriale: espressione dei simboli di Christoffel in funzione
dei coefficienti della metrica
- “Fisica”: calcolo dei coefficienti della metrica in base alle equazioni
del campo gravitazionale.
- Calcolo delle equazioni di moto in uno spazio-tempo curvo:
nei calcoli pratici si sfruttano 1) le equazioni di Eulero-Lagrange;
2) L’integrale primo dell’equazione geodetica
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Lagrangiana in relativita’ generale:
L = gµν ẋµẋν (in assenza di potenziali esterni)
Equazioni di Eulero-Lagrange:
d
du
(
∂L
∂ẋν
)− ∂L
∂xµ
= 0
u: parametro rispetto a cui si esprime la traiettoria della particella.
Per geodetiche non-nulle (cioe’ per particelle con massa) la scelta
naturale per parametrizzare la traiettoria e’ il tempo proprio.
Per geodetiche nulle ds=0 per definizione, edeve essere scelta un’altra
parametrizzazione.
Integrale primo dell’equazione geodetica:
gµν ẋ
µẋν = 0 (fotoni) gµν ẋµẋν = c2 (particelle con massa)
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Geometria di Schwarzschild
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Caso interessante: spazio-tempo isotropo e STATICO :
1) i coefficienti della metrica non dipendono dal tempo
2) la metrica e’ invariante per trasformazioni t --> -t
(se e’ verificata solo la 1) si parla di spazio-tempo STAZIONARIO)
In pratica: descrizione dello spazio-tempo all’esterno di una distribuzione di
massa statica con simmetria sferica
Dalla richiesta di isotropia e staticita’ si ottiene:
ds2 = A(r)dt2 −B(r)dr2 − r2(dθ2 + sin2 θdφ2)
dove i coefficienti A(r) e B(r) devono essere ricavati dalle equazioni del campo
gravitazionale.
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Geometria di Schwarzschild
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Si ha:
A(r) = c2(1− 2GM
c2r
) B(r) = (1− 2GM
c2r
)−1
La Metrica di Schwarzschild (1917) e’ quindi:
dove µ =
GM
c2
Si nota immediatamente che i coefficienti metrici
divergono per (“raggio di Schwarzschild”) r → 2µ
gµν =
c2(1− 2µr ) 0 0 0
0 −(1− 2µr )
−1 0 0
0 0 −1 0
0 0 0 −1
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Geometria di Schwarzschild
Spostamento verso il rosso (redshift) gravitazionale:
consideriamo un emettitore (E) ed un ricevitore (R) fissi in un campo
gravitazionale isotropo e statico, che emettono due impulsi:
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dr = 0; dθ = 0; dφ = 0; ds2 = c2(1− 2µ
r
)dt2
I fotoni si muovono su geodetiche nulle, per cui ds=0 e:
D’altra parte, le coordinate spaziali rimangono costanti (perche’ E ed R sono
fissi). Quindi considerando due impulsi a due istanti diversi, la differenza fra la
coordinata temporale nel sistema dell’emettitore e’ la stessa che nel sistema
del ricevitore:
c2(1− 2µ
r
)dt2 = (1− 2µ
r
)−1dr2 + r2dθ2 + r2 sin2 θdφ2
∆tE = ∆tR →
dsR
dsE
=
�
1− 2µ/rR
1− 2µ/rE
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Geometria di Schwarzschild
Il tempo proprio ds/c e’ identificabile come il periodo della radiazione emessa.
Quindi la frequenza della radiazione emessa misurata dal ricevitore e’ minore
di quella misurata dall’emettitore.
In generale, per ogni spazio-tempo STAZIONARIO:
νR
νE
=
�
g00(�xE)
g00(�xR)
�
dove la notazione sottolinea l’indipendanza della metrica dalla
coordinata temporale (per l’ipotesi di stazionarieta’)
NOTA: Il redshift gravitazionale deriva direttamente dal principio di equivalenza:
se una radiazione di lunghezza d’onda e’ emessa dalla parete di un
laboratorio che si sta spostando nella stessa direzione con moto accelerato,
essa verra’ misurata alla parete opposta con una lunghezza d’onda modificata
per effetto doppler: / v/c
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CALCOLO DELLE ORBITE: Equazioni di Eulero:
d
dσ
�
∂L
∂ẋµ
�
− ∂L
∂xµ
= 0
Si ottiene: �
1− 2µ
r
�
ṫ = K
�
1− 2µ
r
�−1
r̈ +
µc2
r2
ṫ2 −
�
1− 2µ
r
�−2 µ
r2
ṙ2 − r(θ̇2 + sin2 θφ̇2) = 0
θ̈ +
2
r
ṙθ̇ − sin θ cos θφ̇2 = 0
r2 sin2 θφ̇ = h
L = c2
�
1− 2µ
r
�
ṫ2 −
�
1− 2ν
r
�
ṙ2 − r2(θ̇2 + sin2 θ)φ̇2
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