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Buchi Neri - marconi/Lezioni/FisGal12/Lezione08-09.pdf · PDF file campo gravitazionale dalla (banale) equazione geodetica nel sistema solidale con la particella mediante un cambio

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  • Buchi Neri

    Wednesday, November 30, 2011

  • G. Risaliti Fisica delle galassie (2011/2012)

    I concetti della relativita’ generale

    2

    In relativita’ speciale:

    Invariante: ds2 = c2d2=c2dt2-dx2-dy2-dz2

    d2: tempo proprio (tempo misurato da un osservatore solidale con il corpo in moto)

    Legge di moto di una particella: m d2 �X

    dt2 = �F

    Nel sistema di riferimento della particella: d2 �X

    ds2 = 0

    Wednesday, November 30, 2011

  • G. Risaliti Fisica delle galassie (2011/2012)

    I concetti della relativita’ generale

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    Tempo proprio in relativita’ generale: ds2 = gµνxµxν

    gµν : coefficienti della metrica

    In relativita’ speciale: gµν =

    

    1 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 −1

    

    Problema fondamentale: in presenza di massa-energia, la metrica dello spazio - tempo e’ diversa in ogni punto. Quindi nel calcolare la variazione di una grandezza spostandosi da un punto A ad un punto B, e’ necessario considerare anche il cambio di metrica da A a B.

    Wednesday, November 30, 2011

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    I concetti della relativita’ generale

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    PRINCIPIO DI EQUIVALENZA:

    Vari enunciati: - Massa gravitazionale = massa inerziale - Le leggi della fisica sono le sesse in tutti i sistemi uniformementi accelerati

    - In un labatorio in caduta libera (che occupi una regione piccola dello spazio- tempo) le leggi della fisica sono quelle della relativita’ speciale.

    Conseguenze generali: - La gravita’ non e’ considerata una forza esterna, ma una curvatura dello spazio tempo. (La curvatura e’ indotta dalla presenza di materia-energia) - Una particella libera in un campo gravitazionale si muove lungo una geodetica dello spazio-tempo curvo

    Conseguenza “particolare”: i fotoni risentono della presenza di un campo gravitazionale

    Wednesday, November 30, 2011

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    I concetti della relativita’ generale

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    Esempio: la derivata di un vettore spostamento, e’ la variazione del vettore in un intervallo infinitesimo di tempo. In altre parole, devo misurare il vettore al tempo t, misurarlo ancora al tempo t+dt, e poi calcolare la differenza. Ma al tempo t+dt il vettore si trova in un altro punto dello spazio-tempo, quindi con un’altra metrica. Quale metrica uso per misurare la variazione? Soluzione: devo calcolare la variazione dopo aver riportato il vettore all’istante t+dt nello stesso punto dello spazio-tempo del vettore all’istante t. Nel fare questo, la misura del vettore cambiera’ per effetto della variazione della metrica.

    In pratica:

    Posso ottenere l’equazione che descrive il moto di una particella in un campo gravitazionale dalla (banale) equazione geodetica nel sistema solidale con la particella mediante un cambio di coordinate nel sistema dell’osservatore.

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    I concetti della relativita’ generale

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    Sistema della particella: coordinate

    Sistema dell’ osservatore: coordinate

    ξµ

    Moltiplicando per e usando l’identita‘

    si ottiene l’ EQUAZIONE GEODETICA:

    dxk

    dξµ dxk

    dxν = δkν

    d2xk

    ds2 + Γkνµ

    dxµ

    ds

    dxν

    ds = 0 Γ

    k νµ : coefficienti della connessione

    affine, o “simboli di Christoffel”: contengono l’infomazione sulle variazioni dovute alla metrica.

    d2ξµ

    ds2 = 0 =

    d

    ds ( dξµ

    dxν dxν

    ds ) =

    dξµ

    dxν d2xν

    ds2 +

    ∂2ξµ

    ∂xν∂xk dxν

    ds

    dxk

    ds

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  • G. Risaliti Fisica delle galassie (2011/2012)

    I concetti della relativita’ generale

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    Nota: finora abbiamo solo accennato ad un formalismo: l’equazione geodetica e‘ semplicemente un modo per “fattorizzare” tutta la dipendenza dalla metrica nei coefficienti di Christoffel.

    Passaggi fondamentali:

    - Calcolo tensoriale: espressione dei simboli di Christoffel in funzione dei coefficienti della metrica

    - “Fisica”: calcolo dei coefficienti della metrica in base alle equazioni del campo gravitazionale.

    - Calcolo delle equazioni di moto in uno spazio-tempo curvo: nei calcoli pratici si sfruttano 1) le equazioni di Eulero-Lagrange; 2) L’integrale primo dell’equazione geodetica

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    I concetti della relativita’ generale

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    Lagrangiana in relativita’ generale:

    L = gµν ẋµẋν (in assenza di potenziali esterni)

    Equazioni di Eulero-Lagrange: d

    du (

    ∂L

    ∂ẋν )− ∂L

    ∂xµ = 0

    u: parametro rispetto a cui si esprime la traiettoria della particella. Per geodetiche non-nulle (cioe’ per particelle con massa) la scelta naturale per parametrizzare la traiettoria e’ il tempo proprio. Per geodetiche nulle ds=0 per definizione, edeve essere scelta un’altra parametrizzazione.

    Integrale primo dell’equazione geodetica:

    gµν ẋ µẋν = 0 (fotoni) gµν ẋµẋν = c2 (particelle con massa)

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  • G. Risaliti Fisica delle galassie (2011/2012)

    Geometria di Schwarzschild

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    Caso interessante: spazio-tempo isotropo e STATICO :

    1) i coefficienti della metrica non dipendono dal tempo 2) la metrica e’ invariante per trasformazioni t --> -t

    (se e’ verificata solo la 1) si parla di spazio-tempo STAZIONARIO)

    In pratica: descrizione dello spazio-tempo all’esterno di una distribuzione di massa statica con simmetria sferica

    Dalla richiesta di isotropia e staticita’ si ottiene:

    ds2 = A(r)dt2 −B(r)dr2 − r2(dθ2 + sin2 θdφ2)

    dove i coefficienti A(r) e B(r) devono essere ricavati dalle equazioni del campo gravitazionale.

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  • G. Risaliti Fisica delle galassie (2011/2012)

    Geometria di Schwarzschild

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    Si ha:

    A(r) = c2(1− 2GM c2r

    ) B(r) = (1− 2GM c2r

    )−1

    La Metrica di Schwarzschild (1917) e’ quindi:

    dove µ = GM

    c2 Si nota immediatamente che i coefficienti metrici divergono per (“raggio di Schwarzschild”) r → 2µ

    gµν =

    

    c2(1− 2µr ) 0 0 0 0 −(1− 2µr )

    −1 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 −1

    

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  • G. Risaliti Fisica delle galassie (2011/2012)

    Geometria di Schwarzschild

    Spostamento verso il rosso (redshift) gravitazionale:

    consideriamo un emettitore (E) ed un ricevitore (R) fissi in un campo gravitazionale isotropo e statico, che emettono due impulsi:

    11

    dr = 0; dθ = 0; dφ = 0; ds2 = c2(1− 2µ r

    )dt2

    I fotoni si muovono su geodetiche nulle, per cui ds=0 e:

    D’altra parte, le coordinate spaziali rimangono costanti (perche’ E ed R sono fissi). Quindi considerando due impulsi a due istanti diversi, la differenza fra la coordinata temporale nel sistema dell’emettitore e’ la stessa che nel sistema del ricevitore:

    c2(1− 2µ r

    )dt2 = (1− 2µ r

    )−1dr2 + r2dθ2 + r2 sin2 θdφ2

    ∆tE = ∆tR → dsR dsE

    =

    � 1− 2µ/rR 1− 2µ/rE

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    Geometria di Schwarzschild Il tempo proprio ds/c e’ identificabile come il periodo della radiazione emessa. Quindi la frequenza della radiazione emessa misurata dal ricevitore e’ minore di quella misurata dall’emettitore.

    In generale, per ogni spazio-tempo STAZIONARIO:

    νR νE

    = � g00(�xE) g00(�xR)

    dove la notazione sottolinea l’indipendanza della metrica dalla coordinata temporale (per l’ipotesi di stazionarieta’)

    NOTA: Il redshift gravitazionale deriva direttamente dal principio di equivalenza:

    se una radiazione di lunghezza d’onda  e’ emessa dalla parete di un laboratorio che si sta spostando nella stessa direzione con moto accelerato, essa verra’ misurata alla parete opposta con una lunghezza d’onda modificata per effetto doppler: /  v/c

    Wednesday, November 30, 2011

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    Geometria di Schwarzschild

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    CALCOLO DELLE ORBITE: Equazioni di Eulero:

    d

    � ∂L

    ∂ẋµ

    � − ∂L

    ∂xµ = 0

    Si ottiene: � 1− 2µ

    r

    � ṫ = K

    � 1− 2µ

    r

    �−1 r̈ +

    µc2

    r2 ṫ2 −

    � 1− 2µ

    r

    �−2 µ r2

    ṙ2 − r(θ̇2 + sin2 θφ̇2) = 0

    θ̈ + 2 r ṙθ̇ − sin θ cos θφ̇2 = 0

    r2 sin2 θφ̇ = h

    L = c2 �

    1− 2µ r

    � ṫ2 −

    � 1− 2ν

    r

    � ṙ2 − r2(θ̇2 + sin2 θ)φ̇2

    Wednesday, November 30, 2011

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