1

Óbudai Egyetem

Neumann János Informatikai Kar Alkalmazott Matematikus mesterszak

Szakindítási kérelem

Budapest, 2012

2

Tartalom I. BEVEZETÉS ............................................................................................................................................... 3 II. ADATLAP ....................................................................................................................................................... 4

II.1 SZENÁTUS TÁMOGATÓ HATÁROZATA ............................................................................................................. 6 II.2 AZ ALKALMAZOTT MATEMATIKUS SZAK KÉPESÍTÉSI FELTÉTELEI ........................................................................... 6

II.3. AZ ALKALMAZOTT MATEMATIKUS MSC KÉPZÉSEK ÖSSZEHASONLÍTÓ TÁBLÁZATA ................................... 13 III. A KÉPZÉS TARTALMA .................................................................................................................................. 15

III.1 A SZAKRA VALÓ BELÉPÉS FELTÉTELEI .......................................................................................................... 15 III.2 A KÉPZÉS PROGRAMJA, A SZAK TANTERVE ................................................................................................... 16 III.3 TANTÁRGYI PROGRAMOK, TANTÁRGY-LEÍRÁSOK ............................................................................................ 23 III.4 A KÉPZÉSI FOLYAMAT, AZ ÉRTÉKELÉSI MÓDSZEREK, ELJÁRÁSOK ....................................................................... 77

IV. A KÉPZÉS SZEMÉLYI FELTÉTELEI ............................................................................................................... 79 IV.1 A SZAKFELELŐS ÉS A SZAKIRÁNYFELELŐS(ÖK) .............................................................................................. 79 IV.2 AZ OKTATÓI KÖR: TANTÁRGYLISTA – TANTÁRGYAK FELELŐSEI, OKTATÓI ............................................................. 79 IV.3 ÖSSZESÍTÉS AZ OKTATÓI KÖRRŐL ............................................................................................................... 82 IV.4 AZ OKTATÓK SZEMÉLYI-SZAKMAI ADATAI ......................................................................................... 82 IV.5 NYILATKOZATOK ..................................................................................................................................... 83

V. A SZAKINDÍTÁS TUDOMÁNYOS HÁTTERE ................................................................................................... 83 VI. A SZAKINDÍTÁS INFRASTRUKTÚRÁLIS FELTÉTELEI ................................................................................... 83 VII. A KÉPZÉSI LÉTSZÁM ÉS KAPACITÁS .......................................................................................................... 84

3

I. Bevezetés A matematika magas szintű művelésének és oktatásának intézményi hagyományai a mérnökképzésben a múlt század elejére nyúlnak vissza. Az Óbudai Egyetem egyik jogelődjének, a Magyar Királyi Állami Felső Ipariskolának rendkívüli, majd rendes tanára volt Egerváry Jenő világhírű matematikus, aki tizenhét éven át szolgálta a mérnökképzést, és együtt oktatott Arany Dániellel, a mennyiségtan és természettan tanárával. A Bologna rendszerű képzés bevezetése jogelőd intézményünkben, a Budapesti Műszaki Főiskolán a mérnökképzésben jelentős tartalmi változásokat eredményezett. A főiskolai hagyományokra támaszkodó, a munkaerő piac által igényelt és keresett gyakorlatorientált alapképzésünk elméleti megalapozása, az egyetemekkel, különösen a Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetemmel közösen kidolgozott szakalapításoknak köszönhetően jelentősen megerősödött. Ez természetes következménye annak a ténynek, hogy a XXI. század iparának mérnöki technológiái kiterjedten, intenzíven és ma már nélkülözhetetlen módon használják fel korunk természettudományos és matematikai ismereteit. Különösen igaz ez a mérnök informatikus, a villamosmérnök és a mechatronikai mérnöki alapképzésben és sokkal fokozottabban az ezekre épülő mesterképzésekben és a doktori iskolákban. Mindez újabb kihívást és új fejlesztési irány megjelenését eredményezi. Kinevelődött és folyamatosan képződik egy olyan jó képességű hallgatói kör, akiknek az érdeklődése a matematika, annak is a műszaki alkalmazások szempontjából releváns területei felé orientálódott. Több, mélyebb matematikai ismeretet igényelnek, olyan kutatási irányok iránt érdeklődnek, amelyeket a műszaki mester- és doktori képzésben már nem lehet számukra biztosítani. Az Óbudai Egyetem stratégiájának fontos része a tehetséggondozás, a kiemelkedő képességű hallgatók egyetemi kötődésének erősítése, számukra teljes akadémiai képzés és életpálya biztosítása. Ezen stratégiai cél megvalósítására a hallgatói oldalról érkező kihívás megválaszolására az egyetem humánpolitikájában egy eddig kicsit hátrébb sorolt fejlődési irány kapott markánsabb szerepet. A magasan kvalifikált, matematika területen kinevezett, illetve fizikusi, matematikusi végzettségű egyetemi tanárok, kutatók, matematika területen tudományos fokozattal rendelkező vezető oktatók száma elérte azt a küszöböt, amikor realitássá vált a hallgatói és természetesen oktatói és kutatói igényeket kielégítő alkalmazott matematikusi mesterszak, és alkalmazott matematikai doktori iskola indítása. A mai tipikusan inter- és multidiszciplináris munkakörnyezetben nagy szükség van erős elméleti alapokkal rendelkező, a műszaki alkalmazások körében felmerült matematikai problémák elemzésére és hatékony megoldására képes szakemberekre. Az alkalmazott matematikus mesterszakunk a műszaki matematika szakiránnyal az országban egyedülálló, hiánypótló képzést jelent ezen a területen. Segítségével egyetemünk magasabb szinten kínálhat megoldást a gazdaság és az ipar innovációs igényeire is, összhangban „A nemzeti felsőoktatás fejlesztéspolitikai irányai” című kormányzati előterjesztéssel.

4

II. Adatlap 1. A véleményezést kérő felsőoktatási intézmény neve, címe: neve: Óbudai Egyetem

címe: 1034 Budapest, Bécsi út 96/b.

A felsőoktatási intézményben a tervezett képzésért közvetlenül felelős szervezeti egység: Neumann János Informatikai Kar (NIK)

2. A tervezett képzés helye(i) (székhely, telephely, külföld) és címe(i):

Óbudai Egyetem székhely: 1034 Budapest, Bécsi út 96/b. Óbudai Egyetem NIK telephely: 1034 Budapest, Bécsi út 96/a.

3. Az indítandó mesterszak megnevezése: Alkalmazott matematika (Applied Mathematics)

4. Az oklevélben szereplő szakképzettség megnevezése (a vonatkozó KKK szerint):

Okleveles alkalmazott matematikus (Applied Mathematician)

5. Az indítani tervezett szakirány(ok) megnevezése: Műszaki matematika

(Engineering Mathematics)

A szak KKK-jában (már) nevesített szakirány(ok):

Műszaki matematika

A szak KKK-jában (még) nem nevesített szakirány(ok): - 6. Az indítani tervezett képzési formák (a megfelelők aláhúzandók!) • teljes idejű (nappali), részidejű (levelező, esti), távoktatásos (t), székhelyen kívüli

(szhk) • idegen nyelven is: angol, német, francia, orosz, … • csak idegen nyelven: angol, német, francia, orosz, …

7. A tervezett hallgatói létszám képzési formánként (n, l, e, t, szhk):

Nappali: 25, esti: 25

8. A képzési idő: 4 félév

• oklevél megszerzéséhez szükséges kreditek száma: 120

5

• a felkínált tanórák (kontak órák) száma:

− teljes idejű (nappali) képzésben: 1218

− részidejű (esti) képzésben: 399

• a szakmai gyakorlat időtartama és jellege: -

9. A szak indításának tervezett időpontja: 2013. február 10. A szakfelelős oktató megnevezése (beosztása, tudományos fokozata) és aláírása:

Dr. Galántai Aurél DSc, egyetemi tanár

11. Dátum, és az intézmény rektorának megnevezése és cégszerű aláírása:

Budapest, 2012. szeptember 11.

Dr. Rudas Imre DSc, egyetemi tanár, rektor

6

II.1 Szenátus támogató határozata

II.2 Az alkalmazott matematikus szak képesítési feltételei 1. A mesterképzési szak megnevezése: alkalmazott matematikus (Applied Mathematics) 2. A mesterképzési szakon szerezhető végzettségi szint és a szakképzettség oklevélben szereplő megjelölése:

• végzettségi szint: mesterfokozat (magister, master; rövidítve: MSc) • szakképzettség: okleveles alkalmazott matematikus • a szakképzettség angol nyelvű megjelölése: Applied Mathematician • választható szakirányok: alkalmazott analízis, sztochasztika, pénzügy-matematika, diszkrét

matematika, operációkutatás, számítástudomány, műszaki matematika; (Applied Analysis, Stochastics, Financial Mathematics, Discrete Mathematics, Operations Research, Computer Science, Engineering Mathematics)

3. Képzési terület: természettudomány 4. A mesterképzésbe történő belépésnél előzményként elfogadott szakok: 4.1. Teljes kreditérték beszámításával vehető figyelembe: a matematika alapképzési szak. 4.2. A bemenethez a 10. pontban meghatározott kreditek teljesítésével elsősorban számításba vehető alapképzési szakok: a természettudomány, műszaki, informatika képzési területek valamennyi alapképzési szakja, a gazdaságtudományok képzési terület közgazdasági képzési ágának gazdaságelemzés alapképzési szakja. 4.3. A 10. pontban meghatározott kreditek teljesítésével vehetők figyelembe: azok az alap- vagy mesterfokozatot adó alapképzési szakok, illetve a felsőoktatásról szóló 1993. évi LXXX. törvény szerinti főiskolai vagy egyetemi szintű alapképzési szakok, amelyeket a kredit megállapításának alapjául szolgáló ismeretek összevetése alapján a felsőoktatási intézmény kreditátviteli bizottsága elfogad. 5. A képzési idő félévekben: 4 félév. 6. A mesterfokozat megszerzéséhez összegyűjtendő kreditek száma: 120 kredit. 6.1. Az alapozó ismeretekhez rendelhető kreditek száma: 15-25 kredit; 6.2. A szakmai törzsanyaghoz rendelhető kreditek száma: 20-30 kredit; 6.3. A differenciált szakmai anyaghoz rendelhető kreditek száma: 40-60 kredit; 6.4. A szabadon választható tantárgyakhoz rendelhető kreditek minimális értéke: 6 kredit; 6.5. A diplomamunkához rendelt kreditérték: 20 kredit; 6.6. A gyakorlati ismeretek aránya: az intézményi tanterv szerint legalább 35 %. 7. A mesterképzési szak képzési célja, az elsajátítandó szakmai kompetenciák: A képzés célja olyan tudományos kutatási szintet elérő szakmai felkészültséggel rendelkező szakemberek képzése, akik magas szintű matematikai ismereteik és modellezési tapasztalataik birtokában képesek alkotó módon a gyakorlatban felmerülő matematikai problémák megoldására. Nyitottak szakterületük és a rokon területek új tudományos eredményeinek kritikus befogadására. Felkészültségük alapján képesek a gyakorlati problémák modellezésére, megoldására és a megoldások gyakorlati kivitelezésének irányítására. Megfelelő ismeretekkel rendelkeznek tanulmányaik doktori képzés keretében történő folytatásához. a) A mesterképzési szakon végzettek ismerik: - az algoritmuselmélet, az alkalmazott analízis, a diszkrét matematika, az operációkutatás, a valószínűségszámítás és a matematikai statisztika alapvető eredményeit,

7

- a matematika különböző alkalmazási területeit, - az alkalmazott matematikai modellek megalkotásához és szimulálásához szükséges informatikai, számítástechnikai ismeretanyagot. b) A mesterképzési szakon végzettek alkalmasak: - ismereteik önálló továbbfejlesztésére, - a matematika alkalmazási területein alkotó módon kombinálni és felhasználni megszerzett ismereteiket az élő és élettelen természetben, a műszaki és informatikai világban, a gazdasági és pénzügyi életben felmerülő problémák megoldásában, - a természetben, a műszaki és gazdasági életben felmerülő bonyolult rendszerek áttekintésére, matematikai elemzésére és modellezésére, döntési folyamatok előkészítésére, - a számítástechnika eszközeinek felhasználásával a természetben, a műszaki és gazdasági életben felmerülő számítási feladatok elvégzésére, - sztochasztikus jelenségek, folyamatok modellezésére, - a nagy számításigényű, illetve nagy tárkapacitású feladatok felismerésére, alternatív megközelítések elemzésére, - a problémák belső törvényszerűségeinek megértésére, feladatok megtervezésére és magas szintű végrehajtására, - az idegen nyelvű szakmai kommunikációra, - az informatikai lehetőségek alkotó módon történő alkalmazására. c) A szakképzettség gyakorlásához szükséges személyes adottságok és készségek: - absztrakciós, modellalkotó és problémamegoldó képesség, - térszemlélet, - kritikai attitűd, - rendszerszerű gondolkodás, - kreativitás, - szakmai felelősségvállalás, - önálló döntéshozatali képesség, - szakmai együttműködő készség, - jó kommunikációs készség, - csoportmunkában való részvétel képessége, - a kapcsolódó tudományos problémáknak a nem szakemberek számára is érthető megfogalmazási képessége, - idegen nyelvű szakmai kommunikációs készség. A szakirányokon továbbá elsajátítandó szakmai kompetenciák: a) szakirány választása nélkül - ismerik a differenciálegyenletek, a közelítő számítások elméletének alapjait és ezek legfontosabb alkalmazásait természeti, műszaki és gazdasági jelenségek modellezésében, - a valószínűségelmélet és a matematikai statisztika modern elméletének alapjait, - a kódoláselmélet és kriptográfia alapjait, a gyakorlatban legelterjedtebb kódok és titkosírások elméleti hátterét és alkalmazhatóságát, - a kiszámíthatósági kérdések elméleti hátterét, - a legfontosabb matematikai és statisztikai szoftverek használatát és azok matematikai hátterét, alkalmazhatóságuk korlátait.

8

b) Szakirány választása esetén Alkalmazott analízis szakirányon végzettek: - ismerik a matematikai analízis természettudományos, ipari és üzleti szférában történő alkalmazásait, - alkalmasak az adott területen felmerülő problémák közönséges és parciális differenciálegyenletekkel történő matematikai modellezésére és a modellek önálló matematikai vizsgálatára, - ismerik a matematikai modellezéshez szükséges fontosabb matematikai programcsomagokat. Sztochasztika szakirányon végzettek: - alkalmasak az alapvető természeti jelenségekben megnyilvánuló sztochasztikus, véletlenszerű törvényszerűségek felismerésére, e jelenségek tudományos igényű kísérleti tanulmányozására és elméleti értelmezésére, - magas színvonalon képesek használni statisztikus törvények elemzésére alkalmas programcsomagokat, - alkalmasak önálló és irányító munkaköröket betölteni a sztochasztika tudományos eredményeit vagy módszereit felhasználó egyéb területeken (szakigazgatás, környezetvédelem stb.). Diszkrét matematika szakirányon végzettek: - ismerik a diszkrét matematika klasszikus és aktuális elméleti eredményeit, - ismerik a diszkrét matematika algoritmikus módszereit, a kriptográfia, algoritmuselmélet, kódelmélet, diszkrét optimalizálás hatékony módszereit. Operációkutatási szakirányon végzettek: - alkalmasak különféle (ipari, kereskedelmi, pénzügyi, mezőgazdasági, kommunikációs) rendszerek irányítási, működtetési és optimalizálási problémáinak matematikai modellezésére és számítógépes megoldására, - képesek operációkutatási algoritmusok és ezek matematikai hátterének kidolgozására, a hatékonyság vizsgálatára. Számítástudományi szakirányon végzettek: - ismerik az algoritmuselmélet/bonyolultságelmélet szakterületét, - alkalmasak számítógépes problémák modellezésére, innovatív megoldására, - ismerik az adott területen hasznosítható matematikai módszereket. Pénzügy-matematika szakirányon végzettek: - mikro- és makroökonómiai, valamint pénzügyi alapismeretekkel rendelkeznek, - ismerik a valószínűségelmélet és a matematikai statisztika modern elméletének alapjait, - alkalmasak sztochasztikus jelenségek, folyamatok modellezésére, - ismerik a sztochasztikus és pénzügyi folyamatok, a kockázati folyamatok, az életbiztosítás és a nem-életbiztosítás matematikai elméletét, valamint az idősorok elemzésének matematikai elméletét, - alkalmasak pénzügyi folyamatok, biztosítási kérdések matematikai elemzésére, modellezésére, - ismerik legalább két statisztikai programcsomag használatát, tudják a kapott eredményeket értelmezni, elemezni. Műszaki matematika szakirányon végzettek: - a műszaki problémák matematikai modellezésében hatékonyan tudnak együttműködni fejlesztőmérnökökkel, - alkalmasak az innovatív mérnöki gyakorlatban előforduló problémák matematikai megoldására, - alkalmasak a műszaki életben előforduló problémák numerikus megoldására is,

9

- ismerik a differenciálegyenletek, a közelítő számítások elméletének alapjait és ezek legfontosabb alkalmazásait természeti, műszaki és gazdasági jelenségek modellezésében, - ismerik a valószínűségelmélet és a matematikai statisztika modern elméletének alapjait, - ismerik a számítógép geometriai és grafikai alkalmazási módjait. 8. A mesterfokozat és a szakképzettség szempontjából meghatározó ismeretkörök: 8.1. Az alapképzésben megszerzett ismereteket tovább bővítő, mesterfokozathoz szükséges alapozó ismeretkörök: Elméleti alapozás 15-25 kredit: algebra és számelmélet alapjai (unitér terek, spektráltétel, polinommátrixok kanonikus alakja, mátrixok minimálpolinomja, Cayley-Hamilton-tétel, Jordan-féle normálalak, sajátvektor, kvadratikus alakok, Sylvester tétele, algebrai struktúrák, a csoportelmélet alapjai: permutációcsoportok, Lagrange-tétel, normálosztók és faktorcsoportok, véges Abel-csoportok alaptétele, a gyűrűelmélet alapjai, integritástartományok, testkonstrukciók, véges testek, kvadratikus kongruenciák, lánctörtek), analízis alapjai (Riemann-Stieltjes-integrál, vonalintegrál, inverz- és implicit-függvény-tétel, feltételes szélsőérték, mértékelmélet, Lebesgue-integrál, Hilbert-terek, ortonormált rendszerek. Lagrange- és Hermite-Fejér-interpoláció, közönséges differenciálegyenletek, lineáris differenciálegyenletek, a numerikus analízis alapjai.), geometria alapjai (nemeuklideszi geometriák, projektív terek és csoportelméleti vonatkozásaik, transzformáció-csoportok geometriája, vektoranalízis: differenciálszámítás, vektorkalkulus 3-dimenzióban, topológikus és metrikus tér fogalma, sorozatok és konvergencia, kompaktság és összefüggőség), valószínűségszámítás és matematikai statisztika alapjai (Bayes-tétel, sztochasztikus függetlenség, valószínűségi változók és az eloszlásfüggvény, várható érték, szórásnégyzet, kovarianciamátrix, nagy számok erős és gyenge törvényei, Borel-Cantelli-lemma, a feltételes várható érték általános fogalma, független tagú sorok, karakterisztikus függvények alapjai, centrális határeloszlás-tétel, statisztikai sokaság, véletlen minta, empirikus eloszlás, Glivenko-Cantelli-tétel, nevezetes statisztikák, maximum-likelihood-becslés, momentum-módszer, Neyman-Pearson-lemma, konfidenciaintervallumok, paraméteres próbák és nemparaméteres próbák), informatika és operációkutatás alapjai (programcsomagok használata az algebra, analízis, geometria, numerikus matematika területén, lineáris programozás alapjai.). 8.2. A szakmai törzsanyag kötelező ismeretkörei: 20-30 kredit Az alábbi ismeretkörök közül legalább négy témakör ismeretanyagának választása: Diszkrét matematika (5-12 kredit): Testbővítések elmélete és alkalmazásaik. A véges testek elmélete és alkalmazásaik. Kriptográfiai alapfogalmak. Az algoritmuselmélet alapfogalmai és alkalmazásai. Gráfok magasabb összefüggősége, diszjunkt fák és fenyők, az összefüggőség növelése. Gráfok és hipergráfok színezései, perfekt gráfok. Párosítás-elmélet. Gráfok beágyazásai. Erősen reguláris gráfok. Az egészségi feltétel és alkalmazásai. Véletlen módszerek: várható érték és második momentum-módszer, véletlen gráfok, küszöbfüggvény. Extremális kombinatorika: extremális halmazrendszerekről és gráfokról szóló klasszikus tételek.. Operációkutatás (5-12 kredit): Folytonos és sztochasztikus optimalizálás. Alternatíva tételek, Minkowski-Weyl-tétel, pivot és belsőpontos algoritmusok, elipszoid-módszer; konvex optimalizálás: szeparációs tételek, konvex Farkas-tétel, Karush-Kuhn-Tucker-tétel, Lagrange- függvény és nyeregpont-tétel, Newton-módszer, belső pontos algoritmus; a sztochasztikus programozás alapmodelljei és megoldó módszerei; gyakorlati problémák. Diszkrét optimalizálás. Max folyam min vágás, Egerváry-dualitás, poliéderes kombinatorika, teljesen duális egészértékűség, párosítás-poliéder; gráfalgoritmusok, Magyar-módszer, Edmonds-Karp-algoritmus; NP-teljes problémák algoritmikus megközelítései: dinamikus programozás, Lagrange-relaxáció, korlátozás és szétválasztás, mohó algoritmusok; gyakorlati problémák. Alkalmazott analízis (5-12 kredit): Ortogonális polinomok. Trigonometrikus- és ortogonális polinomsorok pontonkénti és egyenletes konvergenciája. Fourier-transzformáció. Az approximációelmélet elemei. Stone-tétel, Bohmann-Korovkin-tétel. Legjobb approximáció polinomokkal. Jackson tételei. Interpoláció.

10

Spline-függvények. Approximáció racionális függvényekkel. Lagrange-interpoláció Lebesgue-függvénye. Erdős-Bernstein-sejtés az optimális alappontokról. Grünwald-Marzinkiewicz-tétel. Stabilitáselmélet. Periódikus megoldások. Peremérték-feladatok lineáris differenciálegyenletekre. A variációszámítás alapfeladata. Euler-Lagrange-differenciálegyenletek. Geometriai módszerek a mechanikában. Lagrange- és Hamilton-rendszerek. Legendre-transzformáció. Euler-Lagrange-egyenletek, Hamilton-egyenletek. Szimmetriák és megmaradási tételek. Alapfogalmak a parciális differenciálegyenletek elméletében. Karakterisztikus függvény, első integrálok. Elsőrendű lineáris és kvázilineáris egyenletek. Elsőrendű egyenletek karakterisztika elmélete, Cauchy-feladat. Másodrendű lineáris parciális differenciálegyenletek osztályozása és kanonikus alakra hozása. Goursat- és Cauchy-feladat hiperbolikus egyenletekre. Vegyes feladat hullámegyenletre. Fourier-módszer. Vegyes feladat hőegyenletre, maximum-tétel. Cauchy-feladat hőegyenletre, Duhamel-elv, Peremérték-feladatok potenciálegyenletre. Fixponttételek és alkalmazásaik. Sztochasztikus folyamatok (5-12 kredit): Négyzetesen integrálható folyamatok. Gyengén stacionárius folyamatok, lineáris szűrők. Az idősorok analízisének elemei. Erősen stacionárius folyamatok, ergodikus tételek. Diszkrét és folytonos idejű Markov-láncok és alkalmazásaik. Az Itô-féle sztochasztikus integrál, sztochasztikus differenciálegyenletek, diffúziós folyamatok.. Algoritmuselmélet (5-12 kredit): Rendezés és kiválasztás, kupac. Dinamikus programozás. Gráfalgoritmusok: szélességi és mélységi keresés, feszítőfák, legrövidebb utak, folyamok. Kereső-fák, amortizációs idő, Fibonacci-kupac. String-keresés. Huffman-kód. Lempel-Ziv-Welch tömörítési eljárása. 8.3. A szakmai törzsanyag kötelezően választható ismeretkörei: differenciált szakmai ismeretek 30-60 kredit: a) szakirány választása nélkül numerikus matematika (QR algoritmus, általánosított inverz, függvények minimalizálása, gradiens- konjugált gradiens módszer, gyors Fourier-transzformáció, közönséges differenciálegyenletek numerikus megoldása, peremérték feladatok numerikus megoldása, parciális differenciálegyenletek numerikus megoldása), differenciálegyenletek (kétdimenziós autonóm rendszerek, peremérték-problémák, nyeregpont-tulajdonság, strukturális stabilitás, elemi bifurkációk, elsőrendű parciális differenciálegyenletek, Hamilton-rendszerek, hővezetési és diffúziós problémák. maximumelvek, harmonikus függvények, Harnack tételei, Green-függvények, Poisson-formulák. Fourier-módszer, nemlineáris parciális differenciálegyenletek), a matematikai statisztika fogalmai és módszerei (becslési módszerek és tulajdonságaik, másodlagos mintavétel, jackknife, bootstrap, általánosított likelihood-hányados próba, nemparaméteres próbák, cenzorált minta), információelmélet, algoritmusok és bonyolultságuk, (kódelmélet, Shannon-tétel, hibajavító kódok, RSA, véges automaták, Turing-gépek, NP-teljesség, bonyolultsági osztályok, adatstruktúrák, poliéder-módszer gráfelméleti alkalmazásai, számelméleti algoritmusok diszkrét logaritmusra, prímtesztek, Gröbner-bázis), integrálgeometria (Santaló-féle klasszikus eredmények, Gelfand-Helgason-tételek, Radon és más integrál-transzformációk, tomográfiai alkalmazások, alakfelismerési és rekonstrukciós eljárások), választható tárgyak (dinamikus modellek, optimalizálás, sztochasztikus folyamatok, felületmodellezés, haladó algoritmikus geometria); b) szakirány választása esetén - alkalmazott analízis szakirány: modellezés, természettudományos ismeretek (legalább 9 kredit) (modellalkotás és természettudományos alkalmazások: biológiai modellek, kémia reakciók modellezése, reakció-diffuzió rendszerek szimulációja; információ technológiai és vállalati ismeretek: programcsomagok használatának általános elvei és technikája, kész programcsomagok konkrét alkalmazásai során felmerülő problémák, adatbázis kompatibilitás, fejlesztés, stb., a vállalat működési elvei, az alkalmazott matematikus feladata az üzleti szférában), differenciálegyenletek numerikus módszerei (legalább 9 kredit) (a közönséges differenciálegyenletek numerikus megoldási módszerei: elsőrendű kezdeti-érték feladatok, Runge–Kutta-típusú módszerek, többlépéses rendszerek, stabilitás; elliptikus és időfüggő parciális differenciálegyenletek numerikus megoldási módszerei: véges elemek és

11

véges differenciák módszere, Ritz- és Galjorkin-típusú módszerek, stabilitás, Lax ekvivalencia tétele; parciális differenciálegyenletek és numerikus megoldási módszereinek alkalmazásai: Maxwell-egyenletek és numerikus módszerei, származtatott tőzsdei termék árazása, szilárdságtani feladatok), differenciálegyenletek (legalább 10 kredit) (dinamikai rendszerek: fázisképek osztályozása, Poincaré-féle normálforma, stabilis, instabilis, centrális sokaság, Hartman-Grobman-tétel., dinamikai rendszerek bifurkációi, alapvető példák és alkalmazások, bifurkációs görbék meghatározása biológiai modellekben, strukturális stabilitás, attraktorok típusai, káosz a Lorenz-féle meteorológiai modellben. diszkrét dinamikai rendszerek; parciális differenciálegyenletek elmélete: Szoboljev-terek, peremérték- és sajátérték-feladatok gyenge (Szoboljev-térbeli), variációs és klasszikus megoldása. a gyenge és a klasszikus megoldás vizsgálata a Fourier-módszerrel és a Galjorkin-módszerrel, divergencia alakú kvázilineáris elliptikus és parabolikus egyenletek, elliptikus variációs egyenlőtlenségek), választható tárgyak (legalább 5 kredit); - sztochasztika szakirány: statisztika (min 15 kredit) (a matematikai statisztika fogalmai és módszerei: becslési módszerek és tulajdonságaik, másodlagos mintavétel, jackknife, bootstrap, L- és M-becslések, robusztusság, mintavétel véges sokaságból, általánosított likelihood-hányados próba, nemparaméteres próbák, cenzorált minta, élettartam-adatok elemzése; többdimenziós statisztikai eljárások: többdimenziós normális eloszlás és a ráépülő statisztikai modellek, eljárások, kontingenciatáblák elemzése; statisztikai programcsomagok: legalább két különböző statisztikai programcsomag átfogó ismerete, az elérhető modellek ismerete, a várható eredmények elemzése), időfüggő sztochasztikus rendszerek (legalább 15 kredit) (sztochasztikus folyamatok, sztochasztikus analízis: martingál, lokális martingál folytonos időben, sztochasztikus integrál folytonos szemimartingál szerint, Itô-formula, SDE jósolható függvények esetén, erős és gyenge megoldás; pénzügyi folyamatok: részvények és kötvények diszkrét és folytonos időben, arbitrázs, martingál-mérték, önfinanszírozó stratégiák, Cox–Ross–Rubinstein-formula, Black–Scholes-formula, sztochasztikus rövid és hosszú távú kamatlábmodellek; idősorok elemzése: stacionárius folyamatok, autoregressziós-, mozgóátlag folyamatok, becslések, periodogramm, hosszú emlékezetű folyamatok, frakcionálisan integrált és önhasonló folyamatok, LARCH folyamatok), választható tárgyak (legalább 10 kredit); - pénzügy-matematika szakirány: statisztika (legalább 5 kredit), (a matematikai statisztika fogalmai és módszerei: becslési módszerek és tulajdonságaik, másodlagos mintavétel, jackknife, bootstrap, mintavétel véges sokaságból, általánosított likelihood-hányados próba, nemparaméteres próbák, cenzorált minta, többdimenziós statisztikai eljárások, többdimenziós normális eloszlás, kontingenciatáblák elemzése, statisztikai programcsomagok: legalább két különböző statisztikai programcsomag átfogó ismerete, az elérhető modellek ismerete, a várható eredmények elemzése) sztochasztikus rendszerek (legalább 15 kredit) (sztochasztikus folyamatok: sztochasztikus differenciálegyenlet erős megoldása, pénzügyi folyamatok, diffúziós folyamat, Kolmogorov-egyenletek, arbitrázs, martingál-mérték, önfinanszírozó stratégiák, Cox–Ross–Rubinstein-modell. Black–Scholes-formula, sztochasztikus rövid és hosszú távú kamatlábmodellek; idősorok elemzése: stacionárius folyamatok, autoregressziós-, mozgóátlag folyamatok, becslések, periodogramm, hosszú emlékezetű folyamatok, frakcionálisan integrált és önhasonló folyamatok; biztosításmatematika: életbiztosítás, halálozási táblák, díjszámítás, nem-élet biztosítás, nevezetes káreloszlások, összetett kockázat, díjkalkulációs elvek, tartalékolási elvek, kockázati folyamatok, Lundberg-tétel, szubexponenciális eloszlások), gazdaságtudományok (legalább 15 kredit) (mikroökonómia: egyéni és piaci kereslet, fogyasztói többlet, termési technológia megválasztása, kereslet és kínálat, piaci elégtelenség, állami beavatkozás, általános egyensúly; makroökonómia: nemzetgazdaság szereplői, egyensúly a munkapiacon, árupiac, az IS-függvény, a pénz funkciói, az LM-függvény, a neoklasszikus és a Keynes-féle modell összehasonlítása, költségvetési és monetáris politika eszközrendszere, munkanélküliség és infláció; pénzügyi alapismeretek: pénz kialakulásától a modern pénzig, kereskedelmi bankok, központi bank, monetáris politika, költségvetési politika, befektetési döntések, értékpapírok, értékpiac, tőzsde, devizarendszerek, IMF, Világbank), választható tárgyak;

12

- diszkrét matematika szakirány: kombinatorikai algoritmusok (mélységi és szélességi keresés, legrövidebb utak, Floyd–Warshall-módszer, feszítőfák, keresőfák, páros gráfok párosításai, hálózati folyamok, maximális folyam-minimális vágás tétel), Gröbner-bázisok (Gröbner-bázis polinomgyűrűkben, Hilbert-tétel (Nullstellensatz), alkalmazások), véges testek és polinomok (véges testek stuktúrája és automorfizmusai, körosztási és irreducibilis polinomok, polinomok felbontása véges testek felett), diszkrét optimalizálás (algoritmusok lineáris diofantikus egyenletekre, lineáris egyenlőtlenségek és lineáris programozás komplexitási kérdései, Khachiyan-módszer, ellipszoid-módszer, becslések az egészértékű programozásban), algebrai kódelmélet (véges test feletti polinomok, digitális információ kódolása és dekódolása, blokk-kódok, lineáris kódok. mátrixos kódok, a BCH és Reed–Solomon-kódok dekódolása, konvolúciós kódok, Viterbi-algoritmus), algoritmuselmélet (Turing-gép, parciálisan rekurzív függvények, kiszámítható függvények, Church-tézis, eldönthető és eldönthetetlen problémák, nem rekurzív halmazok, algoritmusok bonyolultsága), kriptográfia (privát kulcsú kriptorendszerek, véletlen kulcs, DES, AES, nyilvános kulcsú rendszerek, RSA, kritográfiai protokollok, kulcs-csere, időpecsét, elektronikus aláírás), választható tárgyak (legalább 5 kredit); - operációkutatás szakirány: diszkrét optimalizálás (9-24 kredit) (egész értékű programozás, dinamikus programozás, heurisztikus programozás, kombinatorikus optimalizálás, poliéderes algoritmusok, gráf algoritmusok, matroidelmélet, ütemezéselmélet, ládapakolási feladat), folytonos optimalizálás (9-24 kredit) (lineáris és nemlineáris optimalizálás, szemidefinit programozás, sztochasztikus optimalizálás, dinamikus modellek, játékelmélet, fixponttételek, minimaxtételek), operációkutatás számítógépes módszerei (3-6 kredit) (matematikai programozási eljárások implementációs problémái, input- output formátumok, megoldó programcsomagok, CPLEX, XPRESS), operációkutatási projekt (3-6 kredit), választható tárgyak (legalább 10 kredit); - számítástudomány szakirány: adatbányászat (3-6 kredit) (gyakori mintázat keresés, szintenként haladó algoritmusok, döntési fák, neurális hálók, k-NN, SVM, dimenziócsökkentési eljárás, hierarchikus algoritmusok, spektrálklaszterezés), WWW és hálózatok matematikája (3-6 kredit) (webkeresők, Markov-láncok és véletlen séták gráfokon, HITS-modellek, szinguláris felbontás, gráfmodellek), bonyolultságelmélet (6-9 kredit) (számítási modellek, algoritmusok és alsó becslések az erőforrás-használatra, véges automaták, formális nyelvek, Turing-gépek, véletlenített bonyolultságosztályok, PSPACE-osztály, párhuzamos algoritmusok, Kolmogorov-bonyolultság), algoritmusok és adatstruktúrák tervezése, elemzése és implementálása (6-9 kredit) (max-vissza sorrend és alkalmazásai, minimális súlyú fenyők, fa-felbontás, párosítások nem páros gráfokban, kiegyensúlyozott és önkiegyensúlyozó fák, keresőfák), kriptográfia és adatbiztonság (6-9 kredit) (informatikai adatvédelem, szimmetrikus kulcsú rendszerek, nyilvános kulcsú titkosítás, RSA, elektronikus aláírás, Rabin-kriptorendszer, kriptográfiai protokollok, adatvédelmi rendszerek, nemzetközi és hazai szabványok), információelmélet, kódok és szimmetrikus struktúrák (4-6 kredit) (entrópia, feltételes entrópia, kölcsönös információ, Fano-egyenlőtlenség, zajmentes kódolás, Shannon-alaptétel, hibajavító kódok, véletlen kódok), választható tárgyak (legalább 10 kredit); - műszaki matematika szakirány: numerikus analízis, differenciálegyenletek megoldása (10-20 kredit) (dinamikai rendszerek: diszkrét és folytonos idejű dinamikai rendszerek, attraktorok és medencék, Ljapunov-függvények, invariáns sokaságok, strukturális stabilitás, elemi bifurkációk, káosz, Fourier analízis és függvénysorok: Fourier-sorok, Dirichlet-mag, Fejér-példa, inverziós-formula, Hermite- és Laguerre polinomok teljessége, gyors Fourier-transzformált, wavelet transzformált; parciális differenciálegyenletek: kezdeti- és peremérték problémák, elliptikus peremfeladatok gyenge megoldásai, Szoboljev-terek, parabolikus egyenletek), lineáris modellek és alkalmazásai (10-20 kredit) (mátrixanalízis: mátrixok sajátértékei és szinguláris értékei, önadjungált mátrixok spektrálelmélete, mátrixpolinomok, pozitív elemű mátrixok, Perron-Frobenius-tétel; lineáris rendszerek analízise: lineáris rendszerek, átmeneti mátrix, irányíthatóság, megfigyelhetőség, impulzusválasz, realizáció, frekvenciaválasz, McMillan-fokszám, spektrálfaktorizáció; irányítási rendszerek: lineáris irányítási rendszerek, kanonikus alakok, minimális realizáció, lineáris-kvadratikus optimális irányítás végtelen időintervallumon, Pontrjagin-féle maximumelv nemlineáris feladatokra, Hamilton–Jacobi–Bellman-

13

egyenlet), numerikus matematika (10-20 kredit) (nagyméretű lineáris algebrai feladatok: iterációs módszerek, lineáris peremérték feladatok diszkretizálása, variációs feladatok, Ritz-módszer; véges elem módszer: Galjorkin-féle végeselem-módszer, hálógenerálás, hibabecslés, a módszerek stabilitása, programcsomagok; numerikus optimalizálás: globális szélsőérték, egyváltozós és vonalmenti minimalizálás, konjugált-gradiens módszer, lineáris programozás, szimplex módszer, feltételes szélsőérték, Lagrange.multiplikátor, konvex programozás, dualitás, programcsomagok; numerikus és szimbolikus számítások: szimbolikus számítási programcsomag használata), sztochasztika (10-20 kredit) (többváltozós statisztikai módszerek: többdimenziós normális eloszlás és a ráépülő többdimenziós statisztikai modellek, kontingenciatáblák többdimenziós skálázás és beágyazás, többváltozós küszöbmodellek, probit- és logitanalízis; idősorok elemzése: stacionárius folyamat, autoregressziós-, mozgóátlag folyamat, paraméterbecslés, modellillesztés, előrejelzés; sorbanállás, tömegkiszolgálás: Markov-láncok, stabilitás, ergodicitás, születési- és halálozási folyamatok, Poisson-folyamat, tömegkiszolgálási rendszerek stabilitása, Little-formula, sorhossz, várakozási idő, protokollok); diplomamunka: 20 kredit. 9. Idegennyelvi követelmények: A mesterfokozat megszerzéséhez bármely olyan élő idegen nyelvből, amelyen az adott szakmának tudományos szakirodalma van, államilag elismert középfokú (B2) komplex típusú nyelvvizsga vagy ezzel egyenértékű érettségi bizonyítvány vagy oklevél szükséges. 10. A mesterképzésbe való felvétel feltételei: A hallgatónak a kredit megállapítása alapjául szolgáló ismeretek – felsőoktatási törvényben meghatározott – összevetése alapján elismerhető legyen legalább 65 kredit a korábbi matematikai tanulmányai alapján algebra, analízis, geometria, halmazelmélet, kombinatorika, matematikai logika, operációkutatás, számelmélet, valószínűségszámítás tárgyak ismeretköreiből.

II.3. Az alkalmazott matematikus MSc képzések összehasonlító táblázata Az alkalmazott matematikus mesterképzési szak indítására a 15/2006. (IV. 3.) OM rendeletben rögzített képzési és kimeneti követelmények alapul vételével eddig öt egyetem kapott akkreditációt. A rendeletben szereplő hét szakirány közül a Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem négy (alkalmazott analízis, sztochasztika, pénzügy-matematika, matematika, operációkutatás), a Debreceni Egyetem kettő (pénzügy-matematika, számítástudomány), az Eötvös Loránd Tudományegyetem négy (alkalmazott analízis, sztochasztika, operációkutatás, számítástudomány), a Pécsi Tudományegyetem egy (operációkutatás), a Szegedi Tudományegyetem kettő (általános, pénzügyi-matematika) szakirányt indíthat. A képzési és kimeneti követelmények intézményi megvalósítását a szakirányoknak megfelelő tantervi hálók mutatják. Ezek áttekintését hasznos háttér információnak véltük és az interneten elérhető adatok alapján összeállítottuk és itt megjelenítjük. Értelemszerű, hogy az akkreditált szakirányok az egyes intézmények releváns matematikai kutatási profiljával korrelálnak. Az Óbudai Egyetem egyik meghatározó szakmai profiljának megfelelően a mesterszak műszaki matematika szakirányát tervezi indítani. Ehhez régi tradíciókkal, széleskörű műszaki háttérrel, intenzív hazai és nemzetközi szakmai kapcsolatokkal és természetesen erős szakember gárdával (e tekintetben 13 oktató akadémiai doktori címmel, 15 pedig CSc/PhD fokozattal) rendelkezik. A beadvány ezekre alapozva készült.

14

Műszaki matematika szakirány ALKALMAZOTT MATEMATIKA MSc KKK KKK ÓE BME DE PTE SZTE ELTE Alapozó tárgyak 15 - 25 20 20 20 20 20 20 Lineáris algebra Algebra/számelm. bl. Lin. algebra alkalm-i Algebra Alkalm. algebra Differenciálegyenletek Algebra és számelmélet Analízis blokk Algebra/számelm. alk. Analízis Alkalm. geometria Analízis IV Analízis Diszkrét/szám.tud. bl. Analízis alkalmazásai Geometria Operációkutatás Differenciálgeometria I. Geometria és topológia Geometria blokk Geom./topológia alk-i Valségszám./stat. Komputer algebra Bev. a topológiába Valségszám. és mat.stat. Operációkut/gazd.m. bl. Valség.szám.alkalm. Inform./Operációkut. Stat. programcsom-ok Valségszm. és mat. stat. Inform/oper.kut.alapjai Sztochaisztika blokk Mat. stat. alkalm-i Kombinatorika Analízis alapjai Biomatemtika blokk Informatika alkalm-i Bevez. numer. mat-ba Közöns. diff. egyenletek Valószínűségelmélet Matemat. statisztika Törzsanyag 20 - 30 25 20 25 30 min. 35 min. 20 diszkrét matemat. Algoritmuselmélet Globális optimalizálás Véges testek/alkalm. Diszkrét mat. Algoritmuselmélet Alk. analizis operációkutatás Diszkrét matematika Lineáris programozás Gráfelmélet/alkalm. Operációkut. Alkalmazott analízis Algoritmuselmélet alkalm. analízis Interpoláció és approxim. Elméleti számítástud. Konvex optimalizálás Alkalm. analízis Diszkrét matematika Sztoch. Folyamatok sztochaszt. foly-ok Operációkutatás Algebra/kombinatórika Diszkrét optimalizálás Sztoch. folyam-ok Diff.egy-ek/num.megold. Diszkrét matematika algoritmusok Diff. egyenletek Dinamikai rendszerek Ortogonális polinomok Algoritmus elm. Többvált. stat. függv-ek Operációkutatás Sztochasztikus foly-ok 1 Fourier anal/függv.sorok Köz. diff.egy-ek alk-ai Sztochasztikus foly-ok Parc.diff. egyenletek Sztochaszt. foly-ok Optimaliz. eljárások Sztochaszt.anal/alkalm. Algoritmusok Statisztika/inform.elm. Komm.alg./alg-i geomet. Reprentációelmélet Diff.geom és topológia Szakirányú tárgyak 40 - 60 40 40 35 40 min. 39 48-54 (diff. szakmai ism.) Többvált. stat. módsz. . Általános szakirány numerikus analízis Parciális diff. egy-ek Alk. Analízis szakirány Alk. Analízis szakirány lineáris modellek Mérnöki szám. módsz. 1 Operációkutatási szakir. Operációkut. szakir. Operációkutatási szir. numer. matemat. Mérnöki szám. módsz. 2 Pénzügy-matematika szir. Pénzügy-mat. szir. Pénzügy-mat. szir. sztochasztika Rendszer/irányítás elm. 1 Sztochasztika szakirány Sztochasztika szakirány Rendszer/irányítás elm. 2 Sztud. szakirány Sztud. szakirány Sztochasztikus foly-ok 2 Dinamikai rendszerek Fourier anal./függv.sorok Választható tárgyak 6 - 6 20 10 20 10 min. 20 min. 6 Diplomamunka 20 20 20 20 20 20 20 ÖSSZESEN 120 120 120 120 120 120 120

15

III. A képzés tartalma

III.1 A szakra való belépés feltételei

a) a bemenethez feltétel nélkül elfogadott (alap)szakok:

Matematikus b) a bemenethez megadott feltételekkel elfogadott (alap)szakok:

A természettudomány, műszaki, informatika képzési területek valamennyi alapképzési szakja, a gazdaságtudományok képzési terület közgazdasági képzési ágának gazdaságelemzés alapképzési szakja. továbbá azok az alap vagy mesterfokozatot adó alapképzési szakok, illetve a felsőoktatásról szóló 1993. évi LXXX. törvény szerinti főiskolai vagy egyetemi szintű alapképzési szakok, amelyeket a kredit megállapításának alapjául szolgáló ismeretek összevetése alapján a felsőoktatási intézmény kreditátviteli bizottsága elfogad. Ezen szakok hallgatói akkor nyerhetek felvételt a matematikus mesterképzési szakra, ha a lineáris algebra, analízis, geometria, halmazelmélet, kombinatorika, matematikai logika, operációkutatás, számelmélet, valószínűségszámítás témákban legalább 65 kreditet teljesítettek és megfeleltek az intézményi szakmai felvételi vizsgán. A matematika BSc-vel nem rendelkezőknek legfeljebb 20 kredit értékben az Elméleti alapozás sávba tartozó tárgyakat is kell teljesíteniük. A pontos követelményeket a korábbi tanulmányok figyelembevételével az Alkalmazott Matematikai Intézet határozza meg.

A felvételi eljárás az Óbudai Egyetem érvényes „Felvételi szabályzata” (http://uni-obuda.hu/szabalyzatok/622) alapján történik. A mesterképzésbe való felvétel feltételeit az alap- és mesterképzési szakok képzési és kimeneti követelményeiről szóló 15/2006 (IV.3.) OM rendelet tartalmazza. Ha a jelentkező olyan oklevéllel rendelkezik, amelyhez szükséges további krediteket szereznie, kérvényeznie kell az egyetemtől az ún. előzetes krediteljárás lefolytatását. Az egyetem a benyújtott dokumentumok alapján megvizsgálja, hogy a feltételeknek eleget tesz-e a jelentkező, és ha igen, akkor kiadja számára az „előzetes kreditelismerési határozatot”. A határozatot a felvételi kérelem beadásakor, de legkésőbb a hiánypótlási határidőig kell beküldeni. A mesterképzésre történő jelentkezés esetén az egyetem a felvételi kérelmeket az alapképzésben elért eredmények, a felvételi beszélgetésen kapott pontszámok, valamint az egyetem által meghatározott többletteljesítmények alapulvételével rangsorolja. A felvételi beszélgetést végző Felvételi Bizottság elnökét és tagjait a kar dékánja bízza meg. A Felvételi Bizottság elnöke az oktatási dékánhelyettes, tagjai: három fő a kar különböző intézeteinek képviselői, egy fő a kari HÖK képviselője. Célja a jelentkezők szakmai tájékozottságának, motivációjának, valamint eddigi szakmai tevékenységének felmérése. A felvételi vizsga témakörei a Kar/Intézet honlapján megtekinthetők. A szakra jelentkező hallgatók a felvételi eljárás során, az Óbudai Egyetem Felvételi Szabályzata szerint maximum 100 pontot szerezhetnek, amely a tanulmányi pontok (max. 45), a felvételi pontok (max. 45)

16

és a többletpontok (max. 10) összege. A többletpontokon kívüli 90 pont a felvételi pontok duplázásával is megszerezhető. A két eljárás közül a hallgató számára kedvezőbbet kell alkalmazni. A tanulmányi pontokat a BSc képzés leckekönyve alapján állapítják meg. Értékük a teljes képzésre vonatkozó, kreditekkel (nem kreditrendszerű képzés esetén a heti óraszámmal) súlyozott tanulmányi átlag kilencszerese, egész számra kerekítve. A felvételi pontok megállapítására felvételi beszélgetés alapján kerül sor. A felvételi beszélgetés szempontjai: a) a jelentkező BSc (vagy ennek megfelelő) szakdolgozatának bemutatása (max. 15 pont), b) a választott szak iránti érdeklődés és tájékozottság felmérése (max. 15 pont), c) általános szakmai tájékozottság (max. 15 pont). Többletpont szerezhető felsőfokú, vagy második nyelvből tett középfokú nyelvvizsgáért (max. 5 pont), a szakterületen végzett eredményes tudományos vagy diákköri tevékenységért (max. 5 pont), előnyben részesítés jogcímén (max. 5 pont). Felvételi döntés: A felvételi vizsgát lefolytató bizottságok javaslatai alapján a felvételi döntést a Kar Felvételi Bizottsága hozza meg, és a határozatról írásban értesíti a jelentkezőt.

III.2 A képzés programja, a szak tanterve A mesterszak szerkezete Elméleti alapozás (Matematika BSc-vel nem rendelkezőknek)* 20 kredit Szakmai törzsanyag 25 kredit Műszaki matematika szakirány kötelező tárgyak (törzsanyag) 40 kredit Szakdolgozat 20 kredit Szabadon választható tárgy 15 kredit *: Matematika BSc-vel rendelkezők az elméleti alapozás sáv helyett 20 kreditnyi szabadon választható tárgyat kötelesek felvenni az Alkalmazott Matematikai Intézet által megadott listából.

17

A képzési program áttekintő sémája: 1. félév 2. félév 3. félév 4. félév Lineáris algebra (3) Takács Márta

Informatika és operációkutatás alapjai (2) Fullér Róbert

Többváltozós statisztikai módszerek (5) Fodor János

Rendszer- és irányításelmélet 2 (5) Tar József

Algebra és számelmélet (4) Héthelyi László

Operációkutatás (5) Fülöp János

Rendszer- és irányításelmélet 1 (5) Rudas Imre

Sztochasztikus folyamatok 2 (5) Kárász Péter

Analízis (4) Pap Endre

Sztochasztikus folyamatok 1 (5) Kárász Péter (Szeidl László)

Parciális differenciálegyenletek (5) Zoller Vilmos

Mérnöki számítási módszerek 2 (5) Rudas Imre

Geometria és topológia (4) (Nagy Péter)

Mérnöki számítási módszerek 1 (5) Galántai Aurél

Valószínűségszámítás és matematikai statisztika (3) Kárász Péter (Szeidl László)

Fourier analízis és függvénysorok (2) Tar József

Diszkrét matematika (5) Héthelyi László

Dinamikai rendszerek (3) Zoller Vilmos

Interpoláció és approximáció (2) Galántai Aurél

Differenciálegyenletek (3) Pap Endre

Választható tárgyak (5) Választható tárgyak (5) Választható tárgyak (5)

Algoritmuselmélet (5) Galántai Aurél

Szakdolgozat 1 (10) Szakdolgozat 2 (10)

Összes kredit 33 27 30 30

MSc mintatanterv – Alkalmazott matematikus szak – Nappali tagozat Műszaki matematika szakirány

tantárgyak - a vonatkozó KKK 8. pontjában megadott ismeretkörök alapján

felelősök

félévek számonkérés 1. 2. 3. 4. tantárgy (koll, gyj)

tanóraszám (heti/félévi), tanóratípus (ea / gy /lab)

Kredit-száma

Elméleti alapozás 1. Lineáris algebra Dr. Takács Márta

2 /28 ea 3 gyj

2. Algebra és számelmélet Dr. Héthelyi László

2/28 ea 4 koll

3. Analízis Dr. Pap Endre

2/28 ea + 1/14 gy

4 gyj

4. Geometria és topológia Dr. Nagy Péter

2/28 ea + 1/14 gy

4 koll

5. Valószínűségszámítás és matematikai statisztika alapjai Dr. Kárász Péter

2/28 ea + 1/14 gy

3 koll

6. Informatika és operációkutatás alapjai Dr. Fullér Róbert

2/28 ea 2 gyj

Összesen: 10/140 ea 3/42 gy

2/28 ea 20

18

szakmai törzsanyag 7. Algoritmuselmélet Dr. Galántai Aurél

2/28 ea + 2/28 gy

5

koll

8. Diszkrét matematika Dr. Héthelyi László

2/28 ea + 2/28 gy

5

koll

9. Interpoláció és approxi-máció Dr. Galántai Aurél

2/28 ea 2 koll

10. Differenciálegyenletek Dr. Pap Endre

2/28 ea + 1/14 gy

3 koll

11. Operációkutatás Dr. Fülöp János

2/28 ea + 2/28gy

5 koll

12. Sztochasztikus folyamatok 1 Dr. Kárász Péter

2/28 ea + 2/28 gy

5 koll

Összesen: 8/112 ea 5/70 gy

4/56 ea 4/56 gy

25

differenciált szakmai anyag 13. Mérnöki számítási módszerek 1 Dr. Galántai Aurél

3/42 ea + 1/14 lab

5 koll

14. Fourier analízis és függvénysorok Dr. Tar József

2/28 ea 2 koll

15. Dinamikai rendszerek Dr. Zoller Vilmos

2/28 ea 3

koll

16. Többváltozós statisztikai módszerek Dr. Fodor János

3/42 ea + 1/14 lab

5 koll

17. Rendszer és irányításelmélet 1 Dr. Rudas Imre

3/42 ea + 1/14 lab

5

koll

18. Parciális differenciálegyenletek Dr. Zoller Vilmos

3/42 ea + 1/14 lab

5 koll

19. Mérnöki számítási módszerek 2 Dr. Rudas Imre

3/42 ea + 1/14 lab

5 koll

20. Rendszer és irányításelmélet Dr. Tar József

3/42 ea + 1/14 lab

5 koll

21. Sztochasztikus folyamatok 2 Dr. Kárász Péter

3/42 ea + 1/14 lab

5 koll

Összesen: 7/98 ea 1/14 lab

9/126 ea 3/42 lab

9/126 ea 3/42 lab

40

Választható tárgyak 22. Robotirányítás és modellezés Dr. Rudas Imre

2 gyj

23. Hálózati folyam algoritmusok Dr. Bakó András

2 gyj

24. Geometriai algoritmusok Dr. Hermann Gyula

2

gyj

25. Aggregációs függvények Dr. Pap Endre

2 gyj

19

26. Játékelmélet Dr. Kóczy Á. László

2 gyj

27. Real-time rendszerek és „anytime” algoritmusok Dr. Várkonyiné Kóczy Annamária

2 gyj

28. Matematikai logika és alkalmazásai Dr. Takács Márta

2 gyj

29. Formális módszerek az informatikában Dr. Takács Márta

2 gyj

30. Számítógépes képfeldolgozás Dr. Vámossy Zoltán

4 koll

31. Gépi intelligencia I Dr. Fullér Róbert

4 koll

32. Gépi intelligencia II Dr. Fullér Róbert

4 koll

33. Szimulációs módszerek Dr. Szeidl László

4 koll

34. Bevezetés a SIMULINK modellalkotásba és programozásba Dr. Sergyán Szabolcs

2 gyj

35. Differenciálgeometria Dr. Nagy Péter

2 gyj

36. Robotika geometriai alapjai Dr. Nagy Péter

2 gyj

37. Numerikus analízis Dr. Abaffy József

2 gyj

38. Modellezés Dr. Horváth László

2 gyj

39. Mérnöki modellezés és számítógépes grafika Dr. Horváth László

2 gyj

40. A klasszikus mechanika és matematikai módszerei Dr. Bitó János

2 gyj

41. Döntéshozatal és optimalizálás energetikai rendszerekben Dr. Kádár Péter

2 gyj

42. Modellalapú problémamegoldás I. Dr. Tick József

2 gyj

43. Modellalapú problémamegoldás II. Dr. Tick József

2 gyj

44. Problémamegoldás számítógéppel I. Dr. Tick József

2 gyj

45. Problémamegoldás számítógéppel II. Dr. Tick József

2 gyj

46. Bevezetés a MATLAB programozásba Dr. Sergyán Szabolcs

2 gyj

20

47. Megosztott paraméteres dinamikus rendszerek modellezése és irányítása Dr. Hulkó Gábor

4 koll

48. Szoftverfejlesztés párhuzamos és elosztott környezetben Dr. Vámossy Zoltán

4 koll

49. Lágyszámítási módszerek és alkalmazásaik Dr. Várkonyiné Kóczy Annamária

3 koll

50. Digitális képfeldolgozás Dr. Várkonyiné Kóczy Annamária

3 koll

51. Döntésanalízis Dr. Fullér Róbert

2 gyj

52. Anyagtudományi termikus folyamatok modellezése Dr. Réger Mihály

2 gyj

53. Optimalizálási modellek Dr. Fülöp János

2 gyj

54. Geometriai modellezés Dr.Hermann Gyula

2 gyj

Összesen: 80

MSc mintatanterv – Alkalmazott matematikus szak – Esti tagozat

Műszaki matematika szakirány

tantárgyak - a vonatkozó KKK 8. pontjában megadott ismeretkörök alapján

felelősök

félévek számonkérés 1. 2. 3. 4. tantárgy (koll, gyj)

tanóraszám (heti/félévi), tanóratípus (ea / gy /lab)

Kredit-száma

Elméleti alapozás 1. Lineáris algebra Dr. Takács Márta

1 /14 ea 1.5 gyj

2. Algebra és számelmélet Dr. Héthelyi László

1 /14 ea 2 koll

3. Analízis Dr. Pap Endre

1/14 ea + 0.5/7 gy

2 gyj

4. Geometria és topológia Dr. Nagy Péter

1/14 ea + 0.5/7 gy

2 koll

5. Valószínűségszámítás és matematikai statisztika alapjai

Dr. Kárász Péter

1/14 ea + 0.5/7 gy

1.5 koll

6. Informatika és operációkutatás alapjai

Dr. Fullér Róbert

1/14 ea 1 gyj

Összesen: 5/70 ea 1.5/21 gy

1/14 ea 10

szakmai törzsanyag 7. Algoritmuselmélet

Dr. Galántai Aurél 1/14 ea + 1/14 gy

5

koll

8. Diszkrét matematika Dr. Héthelyi László

1/14 ea + 1/14 gy

5

koll

21

9. Interpoláció és approxi-máció Dr. Galántai Aurél

1/14 ea 2 koll

10. Differenciálegyenletek Dr. Pap Endre

1/14 ea + 0.5/7 gy

3 koll

11. Operációkutatás Dr. Fülöp János

1/14 ea + 1/14 gy

5 koll

12. Sztochasztikus folyamatok 1 Dr. Kárász Péter

1/14 ea + 1/14 gy

5 koll

Összesen: 4/56 ea 2.5/35 gy

2/28 ea 2/28 gy

25

differenciált szakmai anyag 13. Mérnöki számítási módszerek 1 Dr. Galántai Aurél

1.5/21 ea + 0.5/7 lab

5 koll

14. Fourier analízis és függvénysorok Dr. Tar József

1/14 ea 2 koll

15. Dinamikai rendszerek Dr. Zoller Vilmos

1/14 ea 3

koll

16. Többváltozós statisztikai módszerek Dr. Fodor János

1.5/21 ea + 0.5/7 lab

5 koll

17. Rendszer és irányításelmélet 1 Dr. Rudas Imre

1.5/21 ea + 0.5/7 lab

5

koll

18. Parciális differenciálegyenletek Dr. Zoller Vilmos

1.5/42 ea + 0.5/7 lab

5 koll

19. Mérnöki számítási módszerek 2 Dr. Rudas Imre

1.5/21 ea + 0.5/7 lab

5 koll

20. Rendszer és irányításelmélet 2 Dr. Tar József

1.5/42 ea + 0.5/7 lab

5 koll

21. Sztochasztikus folyamatok 2 Dr. Kárász Péter

1.5/42 ea + 0.5/7 lab

5 koll

Összesen: 3.5/49 ea 0.5/7 lab

4.5/63 ea 1.5/21 lab

4.5/63 ea 1.5/21 lab

40

Választható tárgyak 22. Robotirányítás és modellezés Dr. Rudas Imre

2 gyj

23. Hálózati folyam algoritmusok Dr. Bakó András

2 gyj

24. Geometriai algoritmusok Dr. Hermann Gyula

2

gyj

25. Aggregációs függvények Dr. Pap Endre

2 gyj

26. Játékelmélet Dr. Kóczy Á. László

2 gyj

27. Real-time rendszerek és „anytime” algoritmusok Dr. Várkonyiné Kóczy Annamária

2 gyj

22

28. Matematikai logika és alkalmazásai Dr. Takács Márta

2 gyj

29. Formális módszerek az informatikában Dr. Takács Márta

2 gyj

30. Számítógépes képfeldolgozás Dr. Vámossy Zoltán

4 koll

31. Gépi intelligencia I Dr. Fullér Róbert

4 koll

32. Gépi intelligencia II Dr. Fullér Róbert

4 koll

33. Szimulációs módszerek Dr. Szeidl László

4 koll

34. Bevezetés a SIMULINK modellalkotásba és programozásba Dr. Sergyán Szabolcs

2 gyj

35. Differenciálgeometria Dr. Nagy Péter

2 gyj

36. Robotika geometriai alapjai Dr. Nagy Péter

2 gyj

37. Numerikus analízis Dr. Abaffy József

2 gyj

38. Modellezés Dr. Horváth László

2 gyj

39. Mérnöki modellezés és számítógépes grafika Dr. Horváth László

2 gyj

40. A klasszikus mechanika és matematikai módszerei Dr. Bitó János

2 gyj

41. Döntéshozatal és optimalizálás energetikai rendszerekben Dr. Kádár Péter

2 gyj

42. Modellalapú problémamegoldás I. Dr. Tick József

2 gyj

43. Modellalapú problémamegoldás II. Dr. Tick József

2 gyj

44. Problémamegoldás számítógéppel I. Dr. Tick József

2 gyj

45. Problémamegoldás számítógéppel II. Dr. Tick József

2 gyj

46. Bevezetés a MATLAB programozásba Dr. Sergyán Szabolcs

2 gyj

47. Megosztott paraméteres dinamikus rendszerek modellezése és irányítása Dr. Hulkó Gábor

4 koll

48. Szoftverfejlesztés párhuzamos és elosztott környezetben Dr. Vámossy Zoltán

4 koll

23

49. Lágyszámítási módszerek és alkalmazásaik Dr. Várkonyiné Kóczy Annamária

3 koll

50. Digitális képfeldolgozás Dr. Várkonyiné Kóczy Annamária

3 koll

51. Döntésanalízis Dr. Fullér Róbert

2 gyj

52. Anyagtudományi termikus folyamatok modellezése Dr. Réger Mihály

2 gyj

53. Optimalizálási modellek Dr. Fülöp János

2 gyj

54. Geometriai modellezés Dr.Hermann Gyula

2 gyj

Összesen: 80

III.3 Tantárgyi programok, tantárgy-leírások Elméleti alapozás 1.

Tantárgy neve: Lineáris algebra Kreditszáma: 3 A tanóra típusa nappali tagozaton: előadás óraszám: 2 ea/hét

Esti tagozaton: előadás óraszám: 1 ea/hét

A számonkérés módja: gyj. A tantárgy tantervi helye: 1. félév Előtanulmányi feltételek: - Tantárgyleírás: Unitér terek, spektráltétel, polinommátrixok kanonikus alakja, mátrixok minimálpolinomja, Cayley-Hamilton-tétel, Jordan-féle normálalak, sajátvektor, kvadratikus alakok, mátrixanalízis: mátrixok sajátértékei és szinguláris értékei, önadjungált mátrixok spektrálelmélete, mátrixpolinomok, pozitív elemű mátrixok, Perron-Frobenius-tétel.

A 3-5 legfontosabb kötelező, illetve ajánlott irodalom:

Kötelező irodalom: P.R. Halmos: Véges dimenziós vektorterek, Műszaki Könyvkiadó, 1984 Ajánlott irodalom: Rózsa Pál: Bevezetés a mátrixelméletbe, Typotex 2009. Carl. D. Meyer: Matrix analysis and applied linear algebra. SIAM (Society for Industrial and Applied Mathematics) Press, Philadelphia, 2000, ISBN 0-89871-454-0. A.J. Laub: Matrix Analysis for Scientists and Engineers, SIAM, 2005 S. Axler: Linear Algebra Done Right, 2nd ed., Springer, 1997 Tantárgy felelőse: Dr. Takács Márta, egyetemi docens, PhD Tantárgy oktatásába bevont oktató(k): –

24

2.

Tantárgy neve: Algebra és számelmélet Kreditszáma:4 A tanóra típusa nappali tagozaton: előadás óraszám: 2 ea/hét

Esti tagozaton: előadás óraszám: 1 ea/hét

A számonkérés módja: koll. A tantárgy tantervi helye: 1. félév Előtanulmányi feltételek: - Tantárgyleírás: Algebra és számelmélet alapjai, Sylvester tétele, algebrai struktúrák, a csoportelmélet alapjai: permutációcsoportok, Cayley-tétel, Lagrange-tétel, normálosztók és faktorcsoportok, homomorfizmus, izomorfizmus tételek, Sylow-tétel, egyszerű csoportok, feloldható csoport, nilpotens csoport, Abel csoport, kompozíciólánc, direkt szorzat, szabad csoport, véges Abel-csoportok alaptétele, a gyűrűelmélet alapjai, kommutatív gyűrűk, ideál, maradékosztály gyűrűk, főideálgyűrű, Noether gyűrű, integritástartományok, testek, testkonstrukciók, véges testek, testbővítések, modulusok, algebrák, számelmélet alapjai, euklideszi algoritmus, a számelmélet alaptétele, lineáris kongruenciák, kvadratikus kongruenciák, Euler-féle ϕ függvény, prímszámokra vonatkozó tételek, Csebisev tétel, prímszámtétel, Waring probléma, lánctörtek. A 3-5 legfontosabb kötelező, illetve ajánlott irodalom: Kötelező irodalom:

• Fuchs László: Algebra, Tankönyvkiadó, Budapest, 1978. • Schmidt Tamás: Algebra, Tankönyvkiadó, Budapest, 1989. • Gyarmati Edit-Turán Pál: Számelmélet, Tankönyvkiadó, Budapest, 1989. • Turán Pál: Algebra, Tankönyvkiadó, Budapest, 1971.

Ajánlott irodalom: • I.N. Herstein: Abstract Algebra, Prentice Hall, Upper Saddle River, New Jersey 07458, 1996. • Peter J. Cameron: Introduction to Algebra, Oxford University Press, 1998. • Melvyn B. Nathanson: Elementary Methods in Number Theory, Graduate Text in Mathematics,

195, Springer, 2000. Tantárgy felelőse: Dr. Héthelyi László, egyetemi docens, CSc Tantárgy oktatásába bevont oktató(k): –

25

3.

Tantárgy neve: Analízis Kreditszáma: 4 A tanóra típusa nappali tagozaton: előadás + gyakorlat óraszám: 2 ea + 1 gy/hét

Esti tagozaton: előadás + gyakorlat óraszám: 1 ea + 0.5 gy/hét

A számonkérés módja: gyj. A tantárgy tantervi helye: 1. félév Előtanulmányi feltételek: - Tantárgyleírás: Analízis alapjai, mértékelmélet, Riemann-Stieltjes-integrál, vonalintegrál, Lebesgue-integrál, inverz- és implicit-függvény-tétel, feltételes szélsőérték, Hilbert-terek, ortonormált rendszerek, linearis operátorok, Lagrange- és Hermite-Fejér-interpoláció, közönséges differenciálegyenletek, lineáris differenciálegyenletek, numerikus analízis alapjai. A 3-5 legfontosabb kötelező, illetve ajánlott irodalom: Kötelező irodalom: A.N.Kolmogorov, Sz.V. Fomin, A függvényelmélet és a funkcionálanalízis elemei, Typotex Kft., 2010. Ajánlott irodalom: Bryan P. Rynne,Martin A, Linear Functional Analysis, Springer, 2008. E. Hewitt, K. Stromberg, Real and abstract analysis, Springer-Verlag, 1965. E. Pap, A. Takaci, Dj. Takaci, Partial Differential Equations through Examples and Exercises, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht/Boston/London, 1997, 405 pp. E. Pap: Null-Additive Set Functions, Kluwer Academic Publishers, Mathematics and Its Applications 337, Dordrecht/Boston/London, 1995. E. Pap, Handbook of Measure Theory, Volume I, II, Elsevier, North-Holland, 2002. Tantárgy felelőse: Dr. Pap Endre, egyetemi tanár, DSc Tantárgy oktatásába bevont oktató(k): –

26

4.

Tantárgy neve: Geometria és topológia Kreditszáma: 4 A tanóra típusa nappali tagozaton: előadás + gyakorlat óraszám: 2 ea + 1 gy /hét

Esti tagozaton: előadás + gyakorlat óraszám: 1 ea + 0.5 gy/hét

A számonkérés módja: koll. A tantárgy tantervi helye: 1. félév Előtanulmányi feltételek: - Tantárgyleírás: Az euklideszi sík és tér mozgásai és hasonlósági transzformációi. Körök és gömbök. A sík körtartó transzformációi. A gömbfelület és az elliptikus sík geometriája. A komplex számsík, törtlineáris leképezések. Valós és komplex kettősviszony, a komplex projektív egyenes geometriája. A projektív sík és a projektív tér. A hiperbolikus sík és izometria-csoportja. Differenciálszámítás, vektorkalkulus 3-dimenzióban. Differenciálható görbék és felületek megadása vektor-értékű differenciálható függvényekkel. Koordináta rendszerek. Vektoranalízis. Felületek topológiája. Topologikus és metrikus tér fogalma, sorozatok és konvergencia, kompaktság és összefüggőség. A 3-5 legfontosabb kötelező, illetve ajánlott irodalom: Kötelező irodalom: Coxeter, H. S. M.: A geometriák alapjai, (e-könyv), Typotex Kft., Budapest, 2010. Szőkefalvi-Nagy Gyula, Gehér László, Nagy Péter: Differenciálgeometria, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1979. Ajánlott irodalom: Manfredo P. do Carmo, Differential Geometry of Curves and Surfaces, Prentice-Hall, New Jersey, 1976. Reimann István: A geometria határterületei, Gondolat Kiadó, Budapest, 1986. V. G. Boltyanszkij, V. A. Jefremovics: Szemléletes topológia, Tankönyvkiadó, Budapest, 1977. Tantárgy felelőse: Dr. Nagy Péter, egyetemi tanár, DSc Tantárgy oktatásába bevont oktató(k): –

27

5.

Tantárgy neve: Valószínűségszámítás és matematikai statisztika alapjai

Kreditszáma: 3

A tanóra típusa nappali tagozaton: előadás + gyakorlat óraszám: 2 ea + 1 gy /hét

Esti tagozaton: előadás + gyakorlat óraszám: 1 ea + 0.5 gy/hét

A számonkérés módja: koll. A tantárgy tantervi helye: 1. félév Előtanulmányi feltételek: - Tantárgyleírás: Kolmogorov-féle valószínűségi mező, teljes valószínűség tétele, Bayes-tétel, valószínűségi változók és jellemzőik, eloszlásfüggvény, várható érték, szórásnégyzet, eloszlások transzformáltjai (generátor- és karakterisztikus függvény, Laplace transzformált). Valószínűségi változók együttes jellemzése, többdimenziós eloszlások, függetlenség, kovarianciamátrix. Feltételes várható érték általános fogalma, teljes várható érték tétele, konvergencia fogalmak, Borel-Cantelli-lemma, nagy számok erős és gyenge törvényei, független tagú sorok, centrális határeloszlás-tételek. Statisztikai mező, minta, statisztika, rendezett minta, empirikus eloszlásfüggvény, Glivenko-Cantelli-tétel. Torzítatlan, hatásos és konzisztens becslés, nevezetes statisztikák. Becslési módszerek, maximum-likelihood-becslés, momentum-módszer, legkisebb négyzetek módszere. Statisztikai hipotézisek vizsgálata, konfidenciaintervallumok, Neyman-Pearson-lemma, paraméteres próbák és nemparaméteres próbák. A 3-5 legfontosabb kötelező, illetve ajánlott irodalom: Kötelező irodalom: Mogyoródi J., Somogyi Á., Valószínűségszámítás I.-II., Tankönyvkiadó, 1990 Mogyoródi J., Michaletzky Gy. (Szerk.), Matematikai statisztika, Egyetemi jegyzet, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 1995 Móri T., Szeidl L., Zempléni A., Matematikai statisztika példatár, ELTE Eötvös Kiadó, 1997 Ajánlott irodalom: W. Feller, Bevezetés a valószínűségszámításba és alkalmazásaiba, Műszaki Könyvkiadó, 1978 Y. S. Chow – H. Teicher, Probability Theory: Independence, Interchangeability, Martingales. Springer, 1978. Tantárgy felelőse: Dr. Kárász Péter, egyetemi docens, PhD Tantárgy oktatásába bevont oktató(k): Dr. Szeidl László, egyetemi tanár, DSc

28

6.

Tantárgy neve: Informatika és operációkutatás alapjai Kreditszáma: 2 A tanóra típusa nappali tagozaton: előadás óraszám: 2 ea /hét

Esti tagozaton: előadás óraszám: 1 ea

A számonkérés módja: gyj. A tantárgy tantervi helye: 1. félév Előtanulmányi feltételek: - Tantárgyleírás: Programcsomagok használata az algebra, analízis, geometria, numerikus matematika területén, a lineáris programozás alapjai.

A 3-5 legfontosabb kötelező, illetve ajánlott irodalom: Kötelező irodalom: Frederick S. Hillier, Gerald J. Lieberman, Introduction to Operations Research, McGraw-Hill Science, 2002 Paul A. Jensen and Jonathan F. Bard, Operations Research Models and Methods, John Wiley and Sons, 2003 Ajánlott irodalom: Hamdy A. Taha, Operations Research: An Introduction, Prentice Hall, 2010 Tantárgy felelőse: Fullér Róbert, egyetemi tanár, CSc Tantárgy oktatásába bevont oktató(k): –

29

Szakmai törzsanyag

7. Tantárgy neve: Algoritmuselmélet Kreditszáma: 5 A tanóra típusa nappali tagozaton: előadás + gyakorlat óraszám: 2 ea + 2 gy /hét

Esti tagozaton: előadás + gyakorlat óraszám: 1 ea + 1 gy /hét

A számonkérés módja: koll. A tantárgy tantervi helye: 1. félév Előtanulmányi feltételek: - Tantárgyleírás: Rendezés és kiválasztás, kupac. Dinamikus programozás. Gráfalgoritmusok: szélességi és mélységi keresés, feszítőfák, legrövidebb utak, folyamok. Kereső-fák, amortizációs idő, Fibonacci-kupac. String-keresés. Huffman-kód. Lempel-Ziv-Welch tömörítési eljárása. Algoritmusok bonyolultsága.

A 3-5 legfontosabb kötelező, illetve ajánlott irodalom: Kötelező irodalom: Iványi A.(szerk.): Informatikai algoritmusok 1-2, ELTE Eötvös Kiadó, 2004, 2005 Lovász L., Gács P.: Algoritmusok, Műszaki Könyvkiadó, 1978 Lovász L.: Algoritmusok bonyolultsága. Budapest, Tankönyvkiadó, 1990 Papadimitriu, C.H.: Számítási bonyolultság, Novadat, 1999 Ajánlott irodalom: Rónyai L., Ivanyos G., Szabó R.: Algoritmusok, Typotex, 1998 Sedgewick, R.: Algorithms in Java, Addison-Wesley, 2002 Tantárgy felelőse: Dr. Galántai Aurél, egyetemi tanár, DSc Tantárgy oktatásába bevont oktató(k): –

30

8.

Tantárgy neve: Diszkrét matematika Kreditszáma: 5

A tanóra típusa nappali tagozaton: előadás + gyakorlat óraszám: 2 ea + 2 gy /hét

Esti tagozaton: előadás + gyakorlat óraszám: 1 ea + 1 gy /hét

A számonkérés módja: koll. A tantárgy tantervi helye: 1. félév Előtanulmányi feltételek: - Tantárgyleírás: Testbővítések elmélete és alkalmazásaik. Algebrai bővítés, transzcendens bővítés, algebrai zártság. Normális bővítés. Algebra alaptétele. Galois elmélet alapjai. A véges testek elmélete és alkalmazásaik. Kriptográfiai alapfogalmak. Az algoritmuselmélet alapfogalmai és alkalmazásai. Turing gép, NP-teljesség fogalma. Gráfok magasabb összefüggősége, diszjunkt fák és fenyők, az összefüggőség növelése. Euler-kör, Hamilton-kör. Ore és Dirac tételei. Illeszkedési mátrix. Elvágó élhalmaz, irányított gráfok, tournamentek. Gráfok izomorfizmusa. Gráfok és hipergráfok színezései, kromatikus szám, klikk szám, perfekt gráfok. Berge-tétele. Ramsey-típusú tételek. Párosítás-elmélet. Gráfok beágyazásai. Erősen reguláris gráfok. Az egészségi feltétel és alkalmazásai. Véletlen módszerek: várható érték és második momentum-módszer, véletlen gráfok, küszöbfüggvény. Extremális kombinatorika: extremális halmazrendszerekről és gráfokról szóló klasszikus tételek. Erdős-Ko-Radó tétel. Blokk rendszerek. A 3-5 legfontosabb kötelező, illetve ajánlott irodalom: Kötelező irodalom:

• Rónyai Lajos-Ivanyos Gábor-Szabó Réka: Algoritmusok, Typotex Kiadó, Budapest, 2005. • Katona Gyula Y.-Recski András-Szabó Csaba: A számítástudomány alapjai, Typotex Kiadó,

Budapest, 2002. • Friedl Katalin-Recski András-Simonyi Gábor: Gráfelméleti feladatok, Typotex Kiadó, Budapest,

2006. • László Lovász: Combinatorial Problems and Exercises, Akadémia Kiadó, Budapest, 1979.

Ajánlott irodalom: • I. Kaplansky: Fields and rings, Chicago Lectures in Mathematics, The University of Chicago

Press, 1972 • Neal Koblitz: A Course in Number Theory and Cryptography, Graduate Text in Mathematics,

114, Springer, 1994. Tantárgy felelőse: Dr. Héthelyi László, egyetemi docens, CSc Tantárgy oktatásába bevont oktató(k): –

31

9.

Tantárgy neve: Interpoláció és approximáció Kreditszáma: 2 A tanóra típusa nappali tagozaton: előadás óraszám: 2 ea/hét

Esti tagozaton: előadás óraszám: 1 ea/hét

A számonkérés módja: koll. A tantárgy tantervi helye: 1. félév Előtanulmányi feltételek: - Tantárgyleírás: Ortogonális polinomok. Trigonometrikus- és ortogonális polinomsorok pontonkénti és egyenletes konvergenciája. Fourier-transzformáció. Az approximációelmélet elemei. Stone-tétel, Bohmann-Korovkin-tétel. Legjobb approximáció polinomokkal. Jackson tételei. Interpoláció. Spline-függvények. Approximáció racionális függvényekkel. Lagrange-interpoláció Lebesgue-függvénye. Erdős-Bernstein-sejtés az optimális alappontokról. Grünwald-Marzinkiewicz-tétel. A 3-5 legfontosabb kötelező, illetve ajánlott irodalom: Kötelező irodalom: Ahlberg, J.H., Nilson, E.N.: The theory of splines and their applications, Academic Press, 1967 Bustamante, J.: Algebraic approximation: A Guide to Past and Current Solutions, Birkhauser, 2012 Cheney, E.W.: Introduction to approximation theory, AMS Chelsea Publishing, 2000 Ajánlott irodalom: Davis, P.J.: Interpolation and approximation, Dover, 1975 Lorentz, G.G.: Approximation of functions, AMS Chelsea Publishing, 2005 Mastroianni, G., Milovanovic, G.V.: Interpolation Processes, Basic Theory and Applications, Springer, 2008 Natanszon, I.P.: Konstruktív függvénytan, Akadémiai Kiadó, 1952 Rivlin, T.J.: An introduction to the approximation of functions, Dover, 1981 Tantárgy felelőse: Dr. Galántai Aurél, egyetemi tanár, DSc Tantárgy oktatásába bevont oktató(k): –

32

10.

Tantárgy neve: Differenciálegyenletek Kreditszáma: 3 A tanóra típusa nappali tagozaton: előadás + gyakorlat óraszám: 2 ea + 1 gy /hét

Esti tagozaton: előadás + gyakorlat óraszám: 1 ea + 0.5 gy /hét

A számonkérés módja: koll. A tantárgy tantervi helye: 1. félév Előtanulmányi feltételek: - Tantárgyleírás: Stabilitáselmélet. Periódikus megoldások. Peremérték-feladatok lineáris differenciálegyenletekre. A variációszámítás alapfeladata. Euler-Lagrange-differenciálegyenletek. Geometriai módszerek a mechanikában. Lagrange- és Hamilton-rendszerek. Legendre-transzformáció. Euler-Lagrange-egyenletek, Hamilton-egyenletek. Szimmetriák és megmaradási tételek. Alapfogalmak a parciális differenciálegyenletek elméletében. Karakterisztikus függvény, első integrálok. Elsőrendű lineáris és kvázilineáris egyenletek. Elsőrendű egyenletek karakterisztika elmélete, Cauchy-feladat. Másodrendű lineáris parciális differenciálegyenletek osztályozása és kanonikus alakra hozása. Goursat- és Cauchy-feladat hiperbolikus egyenletekre. Vegyes feladat hullámegyenletre. Fourier-módszer. Vegyes feladat hőegyenletre, maximum-tétel. Cauchy-feladat hőegyenletre, Duhamel-elv, Peremérték-feladatok potenciálegyenletre. Fixponttételek és alkalmazásaik. A 3-5 legfontosabb kötelező, illetve ajánlott irodalom: Kötelező irodalom: E. Pap, A. Takači, Dj. Takači, Partial Differential Equations through Examples and Exercises, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht/Boston/London, 1997, 405 pp., ISBN 0-7923-4724-2. Ajánlott irodalom: C. C. Ross, Differential Equations, An Introduction with Mathematica, Springer,Second edition, 2004, ISBN 0-387-21284-1 V. I. Arnol'd, Mathematical methods of classical mechanics, Springer, 1978 (Translated from Russian) J. H. Heinbockel, Introduction to the Variational Calculus, Trafford publishing, 2007, ISBN: 978-1-42510-352-1 Tantárgy felelőse: Dr. Pap Endre, egyetemi tanár, DSc Tantárgy oktatásába bevont oktató(k): –

33

11.

Tantárgy neve: Operációkutatás Kreditszáma: 5 A tanóra típusa nappali tagozaton: előadás + gyakorlat óraszám: 2 ea + 2 gy /hét

Esti tagozaton: előadás + gyakorlat óraszám: 1 ea + 1 gy /hét

A számonkérés módja: koll. A tantárgy tantervi helye: 2. félév Előtanulmányi feltételek: - Tantárgyleírás: Optimalizálási modellek (folytonos vs diszkrét optimalizálás; determinisztikus vs sztochasztikus optimalizálás). Lineáris optimalizálás: klasszikus eredmények (alternatíva tételek, dualitás, Minkowsky-Weyl-tétel); Pivot-algoritmusok (szimplex, criss-cross); belsőpontos algoritmusok (logaritmikus barrier-módszer, Karmarkar-algoritmus); ellipszoid-módszer; lineáris optimalizálásra vezető gyakorlati problémák (modellek). Nemlineáris optimalizálás: konvex optimalizálás klasszikus eredményei (szeparációs tételek, konvex Farkas-tétel, Karush-Kuhn-Tucker-tétel, Lagrange-függvény és nyeregpont-tétel); speciális nemlineáris optimalizálási feladatok (kvadratikus optimalizálás, geometriai programozás); módszerek (Newton-módszer, redukált gradiens módszer, belsőpontos algoritmus); nemlineáris optimalizálásra vezető gyakorlati problémák (modellek). A sztochasztikus programozás alapmodelljei (várható értékkel és valószínűséggel megfogalmazott, statikus és dinamikus) és megoldó módszerei; sztochasztikus optimalizálásra vezető gyakorlati problémák (modellek). Diszkrét optimalizálás: klasszikus eredmények (Max folyam min vágás, Egerváry-dualitás, Hoffman-tétel); poliéderes kombinatorika (teljesen unimoduláris mátrixok alkalmazásai, teljesen duális egészértékűség, párosítás-poliéder); gráfalgoritmusok (Magyar-módszer, Edmonds-Karp-algoritmus, előfolyam-algoritmus, költséges áram); diszkrét optimalizálásra vezető gyakorlati problémák (modellek). NP-teljes problémák algoritmikus megközelítései (dinamikus programozás, Lagrange-relaxáció, korlátozás és szétválasztás, metszősík módszerek, mohó algoritmusok); globális és egészértékű optimalizálásra vezető gyakorlati problémák (modellek). A 3-5 legfontosabb kötelező, illetve ajánlott irodalom: Kötelező irodalom: Bazaraa, M.S., Sherali, H.D., Shetty, C.M.: Nonlinear Programming, Wiley, 3rd ed., 2006 Grötschel, M., Lovász, L., Schrijver, A.: Geometric Algorithms and Combinatorial Optimization, Springer, 1988 Prékopa, A.: Stochastic Programming, Kluwer Academic Publishers, 1995. Roos, C., Terlaky, T.,Vial, J.: Interior Point Methods for Linear Optimization, Springer Science, 2006 Ajánlott irodalom: de Klerk, E., Roos, E., Terlaky, T.: Nemlineáris optimalizálás, Aula kiadó, 2004 Kall, P., Mayer J.: Stochastic Linear Programming, 2nd ed., Springer, 2011 Luenberger, D.G.: Linear and Nonlinear Programming, 2nd ed., Addison-Wesley, 1984 Schrijver, A.: Theory of Linear and Integer Programming, Wiley, 1999 Tantárgy felelőse: Dr. Fülöp János, egyetemi docens, PhD Tantárgy oktatásába bevont oktató(k): –

34

12. Tantárgy neve: Sztochasztikus folyamatok 1 Kreditszáma: 5 A tanóra típusa nappali tagozaton: előadás + gyakorlat óraszám: 2 ea + 2 gy /hét

Esti tagozaton: előadás + gyakorlat óraszám: 1 ea + 1 gy /hét

A számonkérés módja: koll. A tantárgy tantervi helye: 2. félév Előtanulmányi feltételek: Valószínűségszámítás és matematikai statisztika alapjai Tantárgyleírás: Sztochasztikus folyamatok fogalma. Négyzetesen integrálható folyamatok, gyengén stacionárius folyamatok, speciális modellek, diszkrét- és folytonos spektrum, stacionárius folyamat spektrálelőállítása, lineáris szűrők, idősorok előrejelzése. Az idősoranalízis elemei, stacionárius folyamatok várható értékének és kovarianciafüggvényének becslése, a spektrum becslése, periodogram és simítása ablakfüggvényekkel. Autoregressziós-, mozgóátlag folyamat paramétereinek becslése, modellillesztés. Bilineáris idősorok, linearitási próbák. Erősen stacionárius folyamatok, ergodikus tételek. Wiener-folyamat és tulajdonságai, az Itô-féle sztochasztikus integrál, sztochasztikus differenciálegyenletek, erős és gyenge megoldás, lineáris sztochasztikus differenciálegyenletek, diffúziós folyamatok. A 3-5 legfontosabb kötelező, illetve ajánlott irodalom: Kötelező irodalom: Arnold, L., Sztochasztikus differenciálegyenletek, Műszaki Kiadó, 1984 Michelberger P., Szeidl L., Várlaki P., Alkalmazott folyamatstatisztika és idősor-analízis, Typotex Kiadó, 2001 Tusnády G., Ziermann M., (Szerk.), Idősorok analízise, Műszaki Könyvkiadó, 1986 Ajánlott irodalom: Gihman, I.I., Szkorohod, A.V., Bevezetés a sztochasztikus folyamatok elméletébe, Műszaki Könyvkiadó, 1975 Brockwell, P.J., Davis, R.A., Time Series: Theory and Methods (2nd ed.), Springer, 1991 Tantárgy felelőse: Dr. Kárász Péter, egyetemi docens, PhD Tantárgy oktatásába bevont oktató(k): Dr. Szeidl László, egyetemi tanár, DSc

35

Differenciált szakmai anyag - Műszaki matematika szakirány 13. Tantárgy neve: Mérnöki számítási módszerek 1 Kreditszáma: 5 A tanóra típusa nappali tagozaton: előadás + labor óraszám: 3 ea + 1 lab /hét

Esti tagozaton: előadás + labor óraszám: 1.5 ea + 0.5 lab /hét

A számonkérés módja: koll. A tantárgy tantervi helye: 2. félév Előtanulmányi feltételek: - Tantárgyleírás: Nagyméretű lineáris algebrai feladatok: iterációs módszerek. Lineáris peremérték feladatok diszkretizálása, variációs feladatok, Ritz-módszer; véges elem módszer: Galjorkin-féle végeselem-módszer. Hálógenerálás, hibabecslés, a módszerek stabilitása. Programcsomagok.

A 3-5 legfontosabb kötelező, illetve ajánlott irodalom: Kötelező irodalom: Ascher, U.M., Mattheij, R.M.M., Russell, R.D.: Numerical Solution of Boundary Value Problems for Ordinary Differential Equations, SIAM, 1995 Brenner, S.C., Ridgway Scott, L.: The Mathematical Theory of Finite Element Methods, 3rd ed., Springer, 2008 Broyden, C.G. Vespucci, M.T.: Krylov Solvers for Linear Algebraic Systems, Elsevier, 2004 Ajánlott irodalom: Iserles, A.: A First Course in the Numerical Analysis of Differential Equations, Cambridge University Press, 2009 Morton, K.W., Mayers, D.F.: Numerical Solution of Partial Differential Equations, Cambridge University Press, 2005 Stoyan Gisbert, Takó Galina: Numerikus módszerek 1-2-3, ELTE Typotex, 1993, 1995, 2002 Faragó István, Horváth Róbert: Numerikus módszerek, BMGE, 2011, tankonyvtar.math.bme.hu Tantárgy felelőse: Dr. Galántai Aurél, egyetemi tanár, DSc Tantárgy oktatásába bevont oktató(k): –

36

14. Tantárgy neve: Fourier analízis és függvénysorok Kreditszáma: 2 A tanóra típusa nappali tagozaton: előadás + labor óraszám: 2 ea + 0 lab /hét

Esti tagozaton: előadás + labor óraszám: 1 ea + 0 lab /hét

A számonkérés módja: koll. A tantárgy tantervi helye: 2. félév Előtanulmányi feltételek: - Tantárgyleírás: Fourier analízis és függvénysorok: Fourier-sorok, Dirichlet-mag, Fejér-példa, inverziós-formula, Hermite- és Laguerre polinomok teljessége, diszkrét Fourier transzformált, gyors Fourier-transzformált, wavelet transzformált.

A 3-5 legfontosabb kötelező, illetve ajánlott irodalom: Kötelező irodalom: Ajánlott irodalom: T. Butz: Fourier Transformation for the Pedestrians, Springer, 2006 E. Chu: Discrete and Continuous Fourier Transforms: Analysis, Applications and Fast Algorithms, CRC Press, 2008 Mikolás Miklós: Valós függvénytan és ortogonális sorok, Tankönyvkiadó, 1978 M.A. Pinsky: Introduction to Fourier Analysis and Wavelets, AMS, 2009 A. Vretblad: Fourier Analysis and its Applications, Springer, 2003 Tantárgy felelőse: Dr. Tar József, egyetemi tanár, DSc Tantárgy oktatásába bevont oktató(k): –

37

15. Tantárgy neve: Dinamikai rendszerek Kreditszáma: 3 A tanóra típusa nappali tagozaton: előadás + labor óraszám: 2 ea + 0 gyak /hét

Esti tagozaton: előadás + labor óraszám: 1 ea + 0 lab /hét

A számonkérés módja: koll. A tantárgy tantervi helye: 2. félév Előtanulmányi feltételek: - Tantárgyleírás: diszkrét és folytonos idejű dinamikai rendszerek, attraktorok és medencék, Ljapunov függvények, invariáns sokaságok, strukturális stabilitás, elemi bifurkácók, káosz

A 3-5 legfontosabb kötelező, illetve ajánlott irodalom: Kötelező irodalom: Ajánlott irodalom: V.I. Arnold: Közönséges differenciálegyenletek, Műszaki Könyvkiadó, 1987 D.K. Arrowsmith, C.M. Place: Dynamical Sytems: Differential Equations, Maps and Chaotic Behaviour, Chapman & Hall, 1992 M.W. Hirsch, S. Smale, R.L. Devaney: Differential equations, dynamical systems, and an Introduction to Chaos, Elsevier, 2004 G. Iooss, D.D. Joseph: Elementary Stability and Bifurcation Theory, Springer, 1990 S. Wiggins, Introduction to applied nonlinear dynamical systems and chaos, 2nd ed., Springer, New York, 2003. Tantárgy felelőse: Dr. Zoller Vilmos, egyetemi docens CSc Tantárgy oktatásába bevont oktató(k): –

38

16. Tantárgy neve: Többváltozós statisztikai módszerek Kreditszáma: 5 A tanóra típusa nappali tagozaton: előadás + labor óraszám: 3 ea + 1 lab /hét

Esti tagozaton: előadás + labor óraszám: 1.5 ea + 0.5 lab /hét

A számonkérés módja: koll. A tantárgy tantervi helye: 3. félév Előtanulmányi feltételek: Valószínűségszámítás és matematikai statisztika alapjai Tantárgyleírás: Többdimenziós eloszlás, többdimenziós normális eloszlás, feltételes eloszlások, Wishart-eloszlás, Cochran-Fisher tétel. A többdimenziós normális eloszlás paramétereinek ML becslése, a paraméterekre vonatkozó hipotézisvizsgálatok. Többdimenziós regresszióanalízis,. szórásanalízis, kovarianciaanalízis, főkomponens- és faktoranalízis. Kontingenciatáblák elemzése, diszkriminanciaanalízis, klaszteranalízis, többdimenziós skálázás és beágyazás. Többváltozós küszöbmodellek, probit- és logitanalízis. Többváltozós statisztikai programcsomagok. A 3-5 legfontosabb kötelező, illetve ajánlott irodalom: Kötelező irodalom: Ajánlott irodalom: Bolla M., Krámli A., Statisztikai következtetések elmélete, Tipotex Kiadó, Budapest, 2005. K.V. Mardia, J.T. Kent and J.M. Bibby: Multivariate Analysis, Academic Press, 1979 Móri T., Székely G. (szerk.): Többváltozós statisztikai módszerek, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1984. C. R. Rao: Linear statistical inference and its applications, Wiley and Sons, 1968. Füstös L., Kovács E., A számítógépes adatelemzés statisztikai módszerei,Tankönyvkiadó, Budapest, 1989. Tantárgy felelőse: Dr. Fodor János, egyetemi tanár, DSc Tantárgy oktatásába bevont oktató(k): –

39

17. Tantárgy neve: Rendszer és irányításelmélet 1 Kreditszáma: 5 A tanóra típusa nappali tagozaton: előadás + labor óraszám: 3 ea + 1 lab /hét

Esti tagozaton: előadás + labor óraszám: 1.5 ea + 0.5 lab /hét

A számonkérés módja: koll. A tantárgy tantervi helye: 3. félév Előtanulmányi feltételek: - Tantárgyleírás: A lineáris dinamikai rendszerek analízise: lineáris rendszerek definíciója, qLPV, LPV és LTI rendszerek speciális osztályai. Hasonlósági transzformációk. Sajátértékek. Algebrai és geometriai multiplicitás. Sajátvektorok. Jordan láncok, általánosított sajátvektorok. Diagonalizálható és defektív mátrixok. Gram-Schmidt ortogonalizálási algoritmus. Nilpotens mátrixok. Jordan-féle kanonikus alak és annak exponeciális függvényei. Lineáris rendszerek stabilitása. Átmeneti mátrix. Cayley-Hamilton tétel. Irányíthatóság, megfigyelhetőség (diszkrét és folytonos idejű rendszerek változataiban), impulzusválasz, realizáció, frekvenciaválasz, McMillan-fokszám, spektrálfaktorizáció. A 3-5 legfontosabb kötelező, illetve ajánlott irodalom: Kötelező irodalom: Ajánlott irodalom: A. Bacciotti, L. Rosier: Lyapunov Functions and Stability in Control Theory, 2nd ed., Springer, 2005 Chi-Tsong Chen: Linear Systems Theory and Design, 3rd ed., Oxford University Press, 1999 Gyurkovics Éva: Optimális irányítások, BMGE, 2011, tankonyvtar.ttk.bme.hu T. Kailath: Linear Systems, Prentice-Hall, Inc., 1980 József K. Tar, László Nádai, Imre J. Rudas: System and Control Theory with Especial Emphasis on Nonlinear Systems, (előkészületben), TYPOTEX, Budapest, 2012, ISBN 978-963-279-676-5 Tantárgy felelőse: Dr. Rudas Imre, egyetemi tanár, DSc Tantárgy oktatásába bevont oktató(k): –

40

18. Tantárgy neve: Parciális differenciálegyenletek Kreditszáma: 5 A tanóra típusa nappali tagozaton: előadás + labor óraszám: 3 ea + 1 lab /hét

Esti tagozaton: előadás + labor óraszám: 1.5 ea + 0.5 lab /hét

A számonkérés módja: koll. A tantárgy tantervi helye: 3. félév Előtanulmányi feltételek: - Tantárgyleírás: Kezdeti- és peremértékproblémák hiperbolikus és parabolikus egyenletek esetén, elliptikus peremfeladatok gyenge megoldásai, Szobolev-terek, általánosított függvények, Bessel-függvények, alapmegoldások, parciális diffrenciálegyenlet-rendszerek, lineáris modellek és alkalmazásaik: Maxwell-egyenletek, a rugalmasságtan egyenletei.

A 3-5 legfontosabb kötelező, illetve ajánlott irodalom: Kötelező irodalom: V.Sz. Vlagyimirov: Bevezetés a parciális differenciálegyenletek elméletébe. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1979 Freud G.: Parciális differenciálegyenletek (Műszaki matematikai gyakorlatok B VIII). Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1958 Ajánlott irodalom: V.I. Arnold: Lectures on Partial Differential Equations. Springer, Berlin, 2004 Kármán T., M.A. Biot: Matematikai módszerek (műszaki feladatok megoldására). Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1963 Ny.A. Tyihonov, A.A. Szamarszkij: A matematikai fizika differenciálegyenletei. Akadémiai Kiadó, Budapest, 1956 V.Sz. Vlagyimirov et al.: Parciális differenciálegyenletek feladatgyűjtemény. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1980 Tantárgy felelőse: Dr. Zoller Vilmos, egyetemi docens, CSc Tantárgy oktatásába bevont oktató(k): –

41

19. Tantárgy neve: Mérnöki számítási módszerek 2 Kreditszáma: 5 A tanóra típusa nappali tagozaton: előadás + labor óraszám: 3 ea + 1 lab /hét

Esti tagozaton: előadás + labor óraszám: 1.5 ea + 0.5 lab /hét

A számonkérés módja: koll. A tantárgy tantervi helye: 4. félév Előtanulmányi feltételek: - Tantárgyleírás: Numerikus optimalizálás: globális szélsőérték, egyváltozós és vonalmenti minimalizálás, konjugált-gradiens módszer. Lineáris programozás, szimplex módszer. Feltételes szélsőérték, Lagrange multiplikátor, konvex programozás, dualitás. Programcsomagok; numerikus és szimbolikus számítások. Numerikus és szimbolikus számítási programcsomagok használata. A 3-5 legfontosabb kötelező, illetve ajánlott irodalom: Kötelező irodalom: Bonnans, J.F., Gilbert, J.C., Lemaréchal, C., Sagastizabal, C.A.: Numerical Optimization: Theoretical and Practical Aspects, 2nd ed., Springer,2006 Csendes T.: Bevezetés a globális optimalizálásba, elektronikus jegyzet, www.inf.u-szeged.hu/~csendes/go.ps.gz Fletcher, R.: Practical Methods of Optimization, 2nd ed, Wiley, 2000 Gill, P.E., Murray, W., Wright, M.H.: Practical Optimization, Academic Press, 1997 Ajánlott irodalom: Moré, J.J., Wright, S.J.: Optimization Software Guide, SIAM, 1993 Nocedal, J., Wright, S.J.: Numerical Optimization, Springer, 1999 Kelley, C.T.: Iterative Methods for Optimization, SIAM, 1999 Pintér, J.D.: Global Optimization in Action, Kluwer, 1996 Tantárgy felelőse: Dr. Rudas Imre, egyetemi tanár, DSc Tantárgy oktatásába bevont oktató(k): Dr. Abaffy József, egyetemi tanár, DSc

42

20. Tantárgy neve: Rendszer és irányításelmélet 2 Kreditszáma: 5 A tanóra típusa nappali tagozaton: előadás + labor óraszám: 3 ea + 1 lab /hét

Esti tagozaton: előadás + labor óraszám: 1.5 ea + 0.5 lab /hét

A számonkérés módja: koll. A tantárgy tantervi helye: 4. félév Előtanulmányi feltételek: - Tantárgyleírás: Irányítási rendszerek: lineáris irányítási rendszerek, kanonikus alakok, minimális realizáció. Pólus elrendezés módszere. Nyquist- és Bode-stabilitási kritériumok. Rendszám problémák, Padé-közelítés. Frakcionális deriváltak alkalmazása közelítésre, CRONE szabályozók. Optimális szabályozók. Pontrjagin-féle maximumelv nemlineáris feladatokra, Hamilton–Jacobi–Bellman-egyenlet. Modell-alapú prediktív szabályzó optimális szabályozók keretébe foglalva. Lineáris-kvadratikus optimális irányítás véges és végtelen időintervallumon. Riccati egyenlet. Robusztus szabályozók, VS/SM szabályozó, csattogás-redukció. Lyapunov 2. vagy „direkt” módszere. Kvadratikus Lyapunov függvények, Barbalat lemmája, Lyapunov egyenlet. Adaptív szabályozók (adaptív inverz dinamika, Slotine-Li adaptív szabályozója robotokra); Modell-referenciás adaptív szabályozók (MRAC); Robusztus fixpont transzformáción alapuló adaptív szabályozók; MRAC realizálása Robusztus fixpont transzformáción alapuló adaptív szabályozással. A 3-5 legfontosabb kötelező, illetve ajánlott irodalom: Kötelező irodalom: Ajánlott irodalom: Bokor József, Gáspár Péter: Irányítástechnika járműdinamikai alkalmazásokkal, TYPOTEX, Budapest, ISBN 978-963-2790-01-5 R.G. Brown, P.Y.C. Hwang: Introduction to Random Signals and Applied Kalman Filtering, John Wiley & Sons, Inc. New York, Chichester, Brisbane, Toronto, Singapore, 1992 Slotine, J-J.E. and Li, W.: Applied Nonlinear Control, Prentice-Hall, 1991. József K. Tar, László Nádai, Imre J. Rudas: System and Control Theory with Especial Emphasis on Nonlinear Systems, (előkészületben), TYPOTEX, Budapest, 2012, ISBN 978-963-279-676-5 V.I. Utkin, Sliding Modes in Optimization and Control Problems, Springer Verlag New York. 1992 Tantárgy felelőse: Dr. Tar József, egyetemi tanár, DSc Tantárgy oktatásába bevont oktató(k): –

43

21. Tantárgy neve: Sztochasztikus folyamatok 2 Kreditszáma: 5 A tanóra típusa nappali tagozaton: előadás + labor óraszám: 3 ea + 1 lab /hét

Esti tagozaton: előadás + labor óraszám: 1.5 ea + 0.5 lab /hét

A számonkérés módja: koll. A tantárgy tantervi helye: 4. félév Előtanulmányi feltételek: Valószínűségszámítás és matematikai statisztika alapjai, Sztochasztikus folyamatok 1 Tantárgyleírás: Tömegkiszolgálási rendszerek (TKR) általános fogalma, Kendall-féle osztályozás, alapvető minőségi mutatók, Little-formula, analógiák, legfontosabb kiszolgálási elvek. Felújtási folyamatok, Blackwell-tétel. Diszkrét és folytonos idejű Markov-láncok (ML-ok) és alkalmazásaik. Diszkrét idejű ML-ok osztályozása, ergodikus ML-ok, alapvető határeloszlás tétele. Folytonos idejű ML-ok, születési-halálozási folyamatok. Poisson-folyamat és tulajdonságai. Az M|M|1, M|G|1 és G|M|1 típusú TKR-ek vizsgálata sorhosszúság, foglaltsági/szabad intervallumok, virtuális várakozási idő. TKR-ek stabilitása. Távközlési algoritmusok, protokollok, forgalom szabályozó eljárások, véletlen erőforrás hozzáférés konfliktust feloldó algoritmusai. TKR-ek statisztikus modellezése, szimulációval történő vizsgálata. A 3-5 legfontosabb kötelező, illetve ajánlott irodalom: Kötelező irodalom: Györfi L., Páli I.: Tömegkiszolgálás informatikai rendszerekben, Műegyetemi Kiadó, 1996 Lakatos L., Szeidl L., Telek M.: Tömegkiszolgálási algoritmusok, In: Informatikai algoritmusok, 2. kötet (szerkesztő: Iványi A.), ELTE Eötvös Kiadó, 2005 L.Kleinrock, Sorbanállás–kiszolgálás. Bevezetés a tömegkiszolgálási rendszerek elméletébe, Műszaki Kiadó, Budapest, 1979 S.Karlin, H.M.Taylor, Sztochasztikus folyamatok. Gondolat Kiadó, 1985. Ajánlott irodalom: Serfozo, A., Basics of Applied Stochastic Processes, Springer, 2009 Válogatott konferencia- és folyóirat publikációk a terület aktuális szakirodalmából. Tantárgy felelőse: Dr. Kárász Péter, egyetemi docens, PhD Tantárgy oktatásába bevont oktató(k):

44

Választható tárgyak 22. Tantárgy neve: Robot irányítás és modellezés Kreditszáma: 2 A tanóra típusa nappali tagozaton: előadás óraszám: 2 ea /hét

Esti tagozaton: előadás óraszám: 1 ea /hét

A számonkérés módja: gyj. A tantárgy tantervi helye: - Előtanulmányi feltételek: - Tantárgyleírás: Forgatások: ortogonális mátrixok, Lie csoportok és ábrázolásaik: spinorok és kvaterniók, homogén mátrixok. Az inverz kinematikai feladat. Jacobi mátrix, differenciális megközelítés. Nyílt kinematikai láncú robotok. Kinematikai szingularitások. Redundáns robotkarok. Moore-Penrose féle általánosított inverz (Lagrange szorzók és redukált gradiens); Denavit-Hartenberg konvenciók a kinematikai modell felépítésére. A robot Lagrange függvényének felépítése: az inercia adatok reprezentálása homogén mátrixok segítségével; Módosított Denavit-Hartenberg konvenciók. PTP és CP szabályozás. Kiszámított nyomaték elvű szabályozás; Robusztus VS/SM szabályozás. Lyapunov függvény, κ függvényosztály, Barbalat lemma, stabilitási definíciók. Adaptív módszerek: adaptív inverz dinamika, Slotine-Li módszer és annak adaptív változata. Optimális szabályozás, kanonikus egyenletek. Anholonom rendszerek szabályozásának alapjai, Frenet koordináták. Sztatikus és dinamikus súrlódási modellek. A súrlódás hatása a klasszikus szabályozási algoritmusokra. Környezetükkel kölcsönhatásban álló robotkarok szabályozása. Elektromos és hidraulikus hajtások, mechanikai komponensek. A törtrendű deriváltak/integrálok fogalma és szabályozástechnikai felhasználása. A 3-5 legfontosabb kötelező, illetve ajánlott irodalom: Kötelező irodalom:- Ajánlott irodalom: M. Vukobratovic, V. Potkonjak: Scientific Fundamentals of Robotics, Vol. 1, Dynamics of Manipulation Robots: Theory and Application, Springer- Verlag, 1982. M. Vukobratovic, D. Stokic: Scientific Fundamentals of Robotics 2: Control of Manipulation Robots, Theory and Application, Springer-Verlag New York, Inc. Secaucus, NJ, USA, 1985, ISBN: 038711629X E. Bryson, Jr., Yu-Chi Ho: Applied Optimal Control, Hemisphere, 1975. Jean-Jacques E. Slotine, W. Li, Applied Nonlinear Control, Prentice Hall International, Inc., Englewood Cliffs, New Jersey 1991 A.M. Lyapunov: Stability of motion, Academic Press, New–York and London, 1966. Tantárgy felelőse: Dr. Rudas Imre, egyetemi tanár, DSc Tantárgy oktatásába bevont oktató(k): Dr. Tar József, egyetemi tanár, DSc

45

23. Tantárgy neve: Hálózati folyam algoritmusok Kreditszáma: 2

A tanóra típusa nappali tagozaton: előadás óraszám: 2 ea

Esti tagozaton: előadás óraszám: 1 ea

A számonkérés módja: gyj. A tantárgy tantervi helye: - Előtanulmányi feltételek: - Tantárgyleírás: Út és a vágás dualitási tétel. Leggazdaságosabb útvonal meghatározási algoritmusai. Faépítő algoritmusok. Multiterminális utak meghatározás algoritmusai. Bellmann, Simbell, Kalaba dinamikus programozási módszere. Warshall mátrix módszere és a címkézési mátrix meghatározása. Maximális folyam feladat, maximális folyam, minimális vágás tétel. Szállítási feladat, kiinduló megoldás, és optimális megoldás meghatározási algoritmusa. Tervütemezési modellek. Tervütemháló definíciója, optimalizációs feladatok tervütemhálókban. Determinisztikus és sztochasztikus modellek Leghosszabb út algoritmus, legkorábbi és legkésőbbi idők, szabadidő tartalékok. Költséges modell és megoldásai. Időredukciós programozás, és megoldási lehetőségei. A feladat heurisztikus megoldása nemlineáris költségfüggvény esetén. A 3-5 legfontosabb kötelező, illetve ajánlott irodalom: Kötelező irodalom: Imreh B., Imre Cs., Kombinatórikus optimalizálás, Egyetemi Tankönyv, Novodat kiadó, Győr, 2005, 339 o. Temesi J., Varró Z. Operációkutatás, Aula kiadó, 2007, 440 o. Ajánlott irodalom: Vízvári B., Operációkutatási modellek, Typotext kiadó., 2009,292 o. Klafszki E., Hálózati folyamok, Bolyai, 1973, 245 o. Nagy T., Matematikai programozás, Tankönyvkiadó, 1987, 268 o.. Tantárgy felelőse: Dr. Bakó András, egyetemi tanár, DSc Tantárgy oktatásába bevont oktató(k):

46

24. Tantárgy neve: Geometriai algoritmusok Kreditszáma: 2 A tanóra típusa nappali tagozaton: előadás óraszám: 2 ea

Esti tagozaton: előadás óraszám: 1 ea

A számonkérés módja: gyj. A tantárgy tantervi helye: - Előtanulmányi feltételek: - Tantárgyleírás: Poligonok háromszög felbontása. Poligonok területe. Poligonok particionálása. Monoton particionálás. Háromszög felbontás lineáris időben. Implementációs kérdések. A konvex burok definiciója. Síkbeli ponthalmazok konvex burkának meghatározása. Az ajándék csomagoló algoritmus. QuickHull és a Graham algoritmusok ismertetése és komplexitásuk elemzése. Inkrementális algoritmus. Oszd meg és uralkodj algoritmus. A konvex burok meghatározása térbeli ponthalmazok esetén. Polyhedronok. A Hull algoritmus. Határoló felület reprezentáció. Néhány gyakorlati alkalmazás a méréstechnikából. Delaunay háromszögelés és algoritmusai. Voronoi diagrammok. Gyakorlati alkalmazás a szerszámpálya tervezésből. Metszetek és metszés-számítások. Egy pont poligonhoz viszonyított helyzetének meghatározása. Konvex poligonok metszetének kiszámítása. Alkalmazások a számítógépes grafikában: takart vonala és takart felületek kiküszöbölése. Mozgástervezés. A legrövidebb út meghatározása. Robotkar mozgása. Ütközés-mentes pályák meghatározása. A 3-5 legfontosabb kötelező, illetve ajánlott irodalom: Kötelező irodalom: Ajánlott irodalom: Canny, J.: The Complexity of Robot Motion Planning, MIT Press, Cambridge, MA, 1987 Edelsbrunner, H.: Algorithms in Combinatorial Geometry, Springer Verlag, Berlin, 1987 Garey, M. R., Johnson, D.S., Preparate, F.P., Tarjan, R.E.: Triangulating a simple polygon, Information Processing Letters 7, 175-179, 1978 Graham, R. L.: An efficient algorithm for determining the convex hull of a finite planar set, Information Processing Letters 1, 132-133, 1972 Kallay, M.: The complexity of incremental convex hull algorithms in Rd, Information Processing Letters 19, 197, 1984 Knuth, D. E.: Sorting and searching, in The Art of Computer Programming, Vol. 3, Addison-Wesley, Reading MA, 1973 Tantárgy felelőse: Dr.habil. Hermann Gyula, egyetemi docens, PhD Tantárgy oktatásába bevont oktató(k):

47

25. Tantárgy neve: Aggregációs függvények Kreditszáma: 2 A tanóra típusa nappali tagozaton: előadás óraszám: 2 ea

Esti tagozaton: előadás óraszám: 1 ea

A számonkérés módja: gyj. A tantárgy tantervi helye: - Előtanulmányi feltételek: - Tantárgyleírás: Általános jellemzők, folytonosság, idempotencio, szimmetria, csoportosítás, invarians jellemzők. Az aggregációs függvény családok. Trianguláris normák, trianguláris konormák, kopulák, átlagoló operátorok, közepek, nem-additív integrálokból (Choquet és Sugeno) származtatott aggregáló operátorok. Alkalmazasok a döntéshozatali elméletben, fuzzy logikágban és fuzzy halmazokban, alakfelismerésben, képfeldolgozásban.. A 3-5 legfontosabb kötelező, illetve ajánlott irodalom: Kötelező irodalom: M. Grabisch, J. L. Marichal, R. Mesiar, E. Pap: Aggregation Functions, Cambridge University Press, 2009; G. Beliakov, A. Pradera, T. Calvo: Aggregation Functions: A Guide for Practitioners, Studies in Fuziness and Soft Computing, Springer, Berlin, 2007. Ajánlott irodalom: E. P. Klement, R. Mesiar, E. Pap: Triangular Norms, Trends in Logics 8, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht/Boston/London, 2000; E. Pap: Null-Additive Set Functions, Kluwer Academic Publishers, Mathematics and Its Applications 337, Dordrecht/Boston/London, 1995. V. Torra, Y. Narukawa: Modeling decisions – Information Fusion and Aggregation Operators, Springer, 2007. Tantárgy felelőse: Dr. Pap Endre, egyetemi tanár, PhD Tantárgy oktatásába bevont oktató(k):

48

26. Tantárgy neve: Játékelmélet Kreditszáma: 2 A tanóra típusa nappali tagozaton: előadás óraszám: 2 ea

Esti tagozaton: előadás óraszám: 1 ea

A számonkérés módja: gyj. A tantárgy tantervi helye: - Előtanulmányi feltételek: - Tantárgyleírás: Áttekintés. Némi történelem. Nonkooperatív játékok. Nash egyensúly és alkalmazásai. Teljes információjú dinamikus játékok. Ismételt játékok. Hiányos információjú játékok. Árverések. Bevezetés a tökéletes bayesi egyensúlyba; Jelzésjátékok. A tökéletes bayesi egyensúly további alkalmazásai. Játékok koalíciós formában. A mag. Az alkuhalmaz és stabil halmazok. A Shapley-érték és a hatalmi indexei. További kooperatív modellek. Kétszemélyes kooperatív játékok. A 3-5 legfontosabb kötelező, illetve ajánlott irodalom: Kötelező irodalom: Ajánlott irodalom: Aumann-Hart (1992-1998): Handbook of Game Theory I-III. Elsevier/North Holland, Amsterdam. Forgó-Pintér-Simonovits-Solymosi (2006): Kooperatív játékelmélet, (elektronikus jegyzet). (http://web.uni-corvinus.hu/~pmiklos/Works/PDF/solymosi_jatekelmelet.pdf) Gibbons (2005): Bevezetés a játékelméletbe. Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest. Kóczy (2006): A Neumann-féle játékelmélet, Közgazdasági Szemle 53 Nr 1., 31-45. Myerson, RB (1991): Game Theory – An analysis of conflict. Harvard University Press, Cambridge, Massachusets – London Owen, G (1990): Game Theory, Academic Press, New York Tantárgy felelőse: Dr. Kóczy Á. László, egyetemi docens, PhD Tantárgy oktatásába bevont oktató(k):

49

27. Tantárgy neve: Real-time rendszerek és „anytime” algoritmusok Kreditszáma: 2 A tanóra típusa nappali tagozaton: előadás óraszám: 2 ea

Esti tagozaton: előadás óraszám: 1 ea

A számonkérés módja: gyj. A tantárgy tantervi helye: - Előtanulmányi feltételek: - Tantárgyleírás: Napjainkban a megoldandó mérnöki feladatokra soha nem látott mértékű bizonytalanság, idő- és térbeli komplexitás növekedés jellemző. A feldolgozást egyre gyakrabban az információgyűjtéssel egyidőben, on-line módon szükséges elvégezni. Még a leggondosabban tervezett rendszerek esetében is rendszeresen fellépnek hibák (adat- vagy erőforráskiesés) illetve krízishelyzetek, ugyanakkor alapvető követelménnyé vált a működés elégséges szintű, folyamatos fenntarthatósága még ilyen körülmények között is, amely megköveteli a folytonosan változó környezeti feltételekhez való rugalmas alkalmazkodást. A tárgy a fentiekben vázolt korlátok okozta működési problémák csökkentésére illetve megoldására kíván eszközt ajánlani, és a valósidejű rendszerek egy viszonylag új irányzatával, az anytime rendszerekkel, az anytime modellek és információfeldolgozás elveivel, megoldási módszereivel, működési lehetőségeivel foglalkozik. A 3-5 legfontosabb kötelező, illetve ajánlott irodalom: Kötelező irodalom: Ajánlott irodalom: Adeli, H., S.L. Hung: Machine Learning. Neural Networks, Genetic Algorithms, and Fuzzy Systems, John Wiley and Sons, New York, 1995. Mitchell, T.: Machine Learning, McGraw Hill, New York, USA, 1997. Bhatnagar, R.K., L.N. Kanal, “Handling uncertain information: a review of numeric and non-numeric methods,” In Uncertainty in Artificial Intelligence, Elsevier Science Publishers, 1986, pp. 3-26. Zilberstein, S.: Anytime Algorithms in Intelligent Systems, AI Magazine, Vol. 17., No. 3, pp. 73-83, 1996. Zilberstein, S.: Operational Rationality through Compilation of Anytime Algorithms, PhD Thesis, 1993. Zilberstein, S., F. Charpillet, P. Chassaing: Optimal Sequencing of Contract Algorithms, Annals of Mathematics and Artificila Intelligence, 2002. Russel, S., P. Norvig: Mesterséges Intelligencia – Modern megközelítésben, Panem, 2005. Tantárgy felelőse: Dr. Várkonyiné Kóczy Annamária, egyetemi tanár, DSc Tantárgy oktatásába bevont oktató(k):

50

28. Tantárgy neve: Matematikai logika és alkalmazásai Kreditszáma: 2 A tanóra típusa nappali tagozaton: előadás óraszám: 2 ea

Esti tagozaton: előadás óraszám: 1 ea

A számonkérés módja: gyj. A tantárgy tantervi helye: - Előtanulmányi feltételek: - Tantárgyleírás: A matematikai logikai alapjai. A filozófiától az informatikáig. Az elsőrendű logika nyelve A nyelv és alapelemei. Formulák. Indukció, rekurzió. A logika halmazelméleti felépítése Struktúra. Igazság. Igazsághalmazok. Formalizálás. Logikai következmény és kapcsolatai. Érvényesség, logikai ekvivalencia. Normálformák. Redukciós tételek. Bizonyításelmélet Alapfogalmak. A Hilbert-féle levezetési rendszer. Elemi tételek. A teljességi tétel és következményei. Analitikus fák. Rezolúció. A logika korlátai: inkomplettség, eldönthetetlenség. Logikai programozás. Modellelmélet. Nevezetes axiómarendszerek. Modellmódszer. Standard és nemstandard modellek. Modellkonstrukciók. Karakterizációs tételek. Klasszikus logikák, modális logika. Másodrendű logika. Többfajtájú logika. Modális logika. A logika és a matematika más területei Algebrai logika. Bonyolultságelmélet és logika. Nemstandard analízis. A 3-5 legfontosabb kötelező, illetve ajánlott irodalom: Kötelező irodalom: Ajánlott irodalom: Adeli, H., S.L. Hung: Machine Learning. Neural Networks, Genetic Algorithms, and Fuzzy Systems, John Wiley and Sons, New York, 1995. Mitchell, T.: Machine Learning, McGraw Hill, New York, USA, 1997. Bhatnagar, R.K., L.N. Kanal, “Handling uncertain information: a review of numeric and non-numeric methods,” In Uncertainty in Artificial Intelligence, Elsevier Science Publishers, 1986, pp. 3-26. Zilberstein, S.: Anytime Algorithms in Intelligent Systems, AI Magazine, Vol. 17., No. 3, pp. 73-83, 1996. Zilberstein, S.: Operational Rationality through Compilation of Anytime Algorithms, PhD Thesis, 1993. Zilberstein, S., F. Charpillet, P. Chassaing: Optimal Sequencing of Contract Algorithms, Annals of Mathematics and Artificila Intelligence, 2002. Russel, S., P. Norvig: Mesterséges Intelligencia – Modern megközelítésben, Panem, 2005. Tantárgy felelőse: Dr. Takács Márta, egyetemi docens, PhD Tantárgy oktatásába bevont oktató(k):

51

29. Tantárgy neve: Formális módszerek az informatikában Kreditszáma: 2 A tanóra típusa nappali tagozaton: előadás óraszám: 2 ea

Esti tagozaton: előadás óraszám: 1 ea

A számonkérés módja: gyj. A tantárgy tantervi helye: - Előtanulmányi feltételek: - Tantárgyleírás: Formális módszerek alkalmazása informatikai rendszerekben. Validáció, verifikáció, modellalkotás, modell-ellenőrzés, helyesség-bizonyítás.Formalizálás Petri-hálóval Markov folyamatok; Petri háló mint Markov-lánc ábrázolás. Rendszerállapotok és átmenetek. Rendes (ordinary) Petri hálók, az alkalmazott formalizálás alapjai: helyek tokenekkel, átmenetek, osztályozás, és viselkedések. Kiértékelés folyamata, tüzelés, ennek feltételei és sajátosságai. Színezett Petri hálók (CPN) és token-manipulációk. Időzített (TPN), sztochasztikus időzített (STPN) és általánosított sztochasztikus (GSPN) Petri hálók. Petri-hálók elemzése. A Petri hálók viselkedési és strukturális tulajdonságainak meghatározása. Ennek módszerei. Elemzési problémák. Elérhetőségi gráf, invariáns és állapotegyenlet típusú elemzési módszerek. Redukciós technikák. Lineáris algebra alkalmazása az analízisben. Színezett, jól-formált Petri-hálók (CPN). Diszkrét idejű szimuláció alapjai. Szimuláció Petri-hálóval: jellegzetes alkalmazási feladatok sajátosságai, a megismert módszerek, pl. az elérhetőségi gráf alkalmazása. Számítógépes kísérlettervezés alapjai. Alkalmazások. Real-time, konkurrens és elosztott alkalmazások modellezése. Gyártásautomatizálás és ütemezés. Digitális hardware tervezés. Workflow menedzsment. Ágens technológia formális modelljei (P-gráfok). Rendszerábrázolás. Adatfolyam-hálók. Modellezés adatfolyam hálókkal, modellfinomítás, konzisztencia ellenőrzés Az UML dinamika-leíró eszközei (állapottérkép, aktivitás diagram, üzenetdiagram). Állapottérképek. Strukturált és nem strukturált rendszerábrázolások. UML és a STATEMATE szemantika. Tervezés állapottérkép alapján. A 3-5 legfontosabb kötelező, illetve ajánlott irodalom: Kötelező irodalom: Ajánlott irodalom: Pataricza András (szerk.): Formális módszerek az informatikában, Typotex kiadó, 2004 Reisig, Rozenberg: Lectures on Petri Nets Vols 1-2, Springer, 1999. S. Russell, P. Norvig: Artifical Intelligence: A Modern Approach, Prentice-Hall, 1995 J-R. Abrial: The B-Book, Cambridge University Press, 1996 Tantárgy felelőse: Dr. Takács Márta, egyetemi docens, PhD Tantárgy oktatásába bevont oktató(k):

52

30. Tantárgy neve: Számítógépes képfeldolgozás Kreditszáma: 4 A tanóra típusa nappali tagozaton: előadás + labor óraszám: 3 ea + 1 lab /hét

Esti tagozaton: előadás + labor óraszám: 1.5 ea + 0.5 lab /hét

A számonkérés módja: koll. A tantárgy tantervi helye: - Előtanulmányi feltételek: - Tantárgyleírás: képalkotás alapjai, szürkeárnyalatú és a színes képek jellemzői: felbontás, hisztogram stb. kamera modellek (perspektív, gyenge perspektív, körbelátó) és kalibráció, képjavító eljárások, képszűrés, hisztogram módosítás- és kiegyenlítés, éldetektálás módszerei, élkiemelés, simítás, vonal és görbe detektálás, Hough transzformáció, morfológiai műveletek, textúra elemzés, frekvencia tartománybeli képfeldolgozó eljárások, FFT, DFT, szűrés a frekvencia tartományban, dekonvolúció. Wavelet transzformáció és alkalmazása a képfeldolgozásban, képszegmentálás, él és régió alapú módszerek, jellemző-kiemelés (Harris, KLT), képtartományok elemzése, invariáns jellemzők, élek, jellemző pontok, textúra, szín, topológia, főtengely transzformáció, mozgásdetektálás, objektumok követése jellemzők alapján, optikai folyammodellek és számításuk, SSD algoritmusok, sztereo módszerek, epipoláris geometria, modell alapú képfeldolgozó eljárások: aktív alapmodellek, aktív kontúron alapuló módszerek, spline-ok, ASM, AAM, tartalom alapú képvisszakeresés módszerei, kitekintés párhuzamosítási lehetőségekre, többszálas és GPGPU megvalósítások. A 3-5 legfontosabb kötelező, illetve ajánlott irodalom: Kötelező irodalom: M. Sonka, V. Hlavac, R. Boyle: Image Processing, Analysis, and Machine Vision, 3rd edition, Thomson Learning, 2007 Gonzales, Woods: Digital Image Processing, 3rd edition. Prentice Hall, 2008. Ajánlott irodalom: R. Szeliski, Computer Vision: Algorithms and Applications, Springer; 2011. E. Trucco , A. Verri: Introductory Techniques for Computer Vision, Prentice Hall Int. 1998 D. Forsyth, J Ponce: Computer Vision – A Modern Approach, Prentice Hall Int. 2002 Tantárgy felelőse: Dr. Vámossy Zoltán, egyetemi docens, PhD Tantárgy oktatásába bevont oktató(k): –

53

31. Tantárgy neve: Gépi intelligencia I. Kreditszáma: 4 A tanóra típusa nappali tagozaton: előadás + labor óraszám: 3 ea + 1 lab /hét

Esti tagozaton: előadás + labor óraszám: 1.5 ea + 0.5 lab /hét

A számonkérés módja: koll. A tantárgy tantervi helye: - Előtanulmányi feltételek: - Tantárgyleírás: A gépi intelligencia Zadeh-féle megközelítése: mesterséges intelligencia (artificial intelligence) és számítási intelligencia (computational intelligence). A gépi intelligencia alapfogalmai és története. A számítási intelligencia definíciói (Bezdek, Marks), a számítási intelligencia Zadeh-féle felfogása, Soft Computing definíciója. A fuzzy logika alapjai. Történeti áttekintés. Bizonytalanság és pontatlanság. Fuzzy halmazok és tagságfüggvények. Valószínűség és lehetőség. Fuzzy halmazok és relációk Klasszikus halmazok és halmazműveletek. Fuzzy halmazok és halmazműveletek. Tagságfüggvények. Trianguláris normák, konormák, negációk. Klasszikus relációk. Fuzzy relációk és speciális osztályaik. Fuzzy aritmetika. Fuzzy halmazok függvényei – a kiterjesztési elv. Fuzzy számok és speciális osztályaik. Aritmetikai műveletek fuzzy számokkal. Közelítő eljárások. Fuzzy logika. A klasszikus predikátum logika kiterjesztése. Fuzzy implikációk és tulajdonságaik. Közelítő érvelés. Fuzzy tautológiák, ellentmondások, ekvivalenciák, és logikai bizonyítások. Fuzzy szabály-alapú rendszerek. Természetes nyelv. Szabály-alapú rendszerek. Kanonikus szabályformák. Összetett szabályok dekomponálása. Fuzzy szabályok aggregálása. A következtetés grafikus technikái. A 3-5 legfontosabb kötelező, illetve ajánlott irodalom: Kötelező irodalom: Ajánlott irodalom: Álmos A., Horváth G., Várkonyiné Kóczy A.: Genetikus algoritmusok, Typotex, Budapest, 2002 J. Fodor, M. Roubens: Fuzzy preference modelling and multicriteria decision support, Kluwer, Dordrecht, 1994 Kóczy T.L, Tikk D.: Fuzzy rendszerek, Typotex, Budapest, 2000 R. Fullér: Introduction to Neuro-Fuzzy Systems, Advances in Soft Computing Series, Springer-Verlag, Berlin/Heildelberg, 2000 Tantárgy felelőse: Dr. Fullér Róbert, egyetemi tanár, CSc Tantárgy oktatásába bevont oktató(k): –

54

32. Tantárgy neve: Gépi intelligencia II. Kreditszáma: 4 A tanóra típusa nappali tagozaton: előadás + labor óraszám: 3 ea + 1 lab /hét

Esti tagozaton: előadás + labor óraszám: 1.5 ea + 0.5 lab /hét

A számonkérés módja: koll. A tantárgy tantervi helye: - Előtanulmányi feltételek: - Tantárgyleírás: A neurális hálózatok definíciója, felépítése, működése. A neurális hálózat elemei, topológiája. A neurális hálózatok alapvető felhasználási területei. A neurális hálózatok approximációs képessége. Stabilitás. Bevezetés. Stabilitás lineáris és nemlineáris rendszerek esetén. A Hopfield hálózatok energiaviszonyai. Tanulás Ellenőrzött tanulás. Nemellenőrzött tanulás. Analitikus tanulás.Tanuló hálózatok. Ellenőrzött tanítású hálózatok. Nemellenőrzött tanulású hálózatok. Analitikus tanítású hálózatok. A CNN hálózat. Alkalmazás. Mintafelismerés. Optimalizációs problémák. Dinamikus feladatok. A hálózatok megvalósítása. Analóg megvalósítások. Digitális megvalósítások. A genetikus algoritmusok alapjai. Tudás és optimalizálás. Az optimalizálás alapfogalmai és módszerei. Bevezetés a genetikus algoritmusokba. Egyszerű genetikus algoritmusok. Fejlett genetikus algoritmusok Elméleti háttér. További genetikus lehetőségek. További evolúciós módszerek. Genetikus algoritmusok implementációja és alkalmazásai. A 3-5 legfontosabb kötelező, illetve ajánlott irodalom: Kötelező irodalom: Ajánlott irodalom: Álmos A., Horváth G., Várkonyiné Kóczy A.: Genetikus algoritmusok, Typotex, Budapest, 2002 J. Fodor, M. Roubens: Fuzzy preference modelling and multicriteria decision support, Kluwer, Dordrecht, 1994 Kóczy T.L, Tikk D.: Fuzzy rendszerek, Typotex, Budapest, 2000 R. Fullér: Introduction to Neuro-Fuzzy Systems, Advances in Soft Computing Series, Springer-Verlag, Berlin/Heildelberg, 2000 Tantárgy felelőse: Dr. Fullér Róbert, egyetemi tanár, CSc Tantárgy oktatásába bevont oktató(k): –

55

33. Tantárgy neve: Szimulációs módszerek Kreditszáma: 4 A tanóra típusa nappali tagozaton: előadás + labor óraszám: 3 ea + 1 lab /hét

Esti tagozaton: előadás + labor óraszám: 1.5 ea + 0.5 lab /hét

A számonkérés módja: koll. A tantárgy tantervi helye: - Előtanulmányi feltételek: - Tantárgyleírás: Rendszer és modell, valóság és modell kapcsolata, diszkrét és folytonos modellek, szimulációs módszerek osztályozása. Pszeudo-véletlenszámok fogalma, jelentősége, véletlenszám generátorok és tesztelésük. Általános és speciális módszerek nevezetes diszkrét és folytonos eloszlások modellezésére. Integrálok kiszámítása Monte-Carlo módszerekkel, szórást csökkentő eljárások. Markov-láncok és alkalmazásuk szimulációs eljárásokban, véges állapotú Markov-láncok alkalmazása lineáris egyenletrendszerek megoldására, a Laplace- és a Poisson-egyenlet, integrálegyenletek. Tömegkiszolgálási rendszerek szimulációval történő vizsgálata. A 3-5 legfontosabb kötelező, illetve ajánlott irodalom: Kötelező irodalom: Kátai Imre: Szimulációs módszerek, Tankönyvkiadó, Budapest, 1981. Lakatos L., Szeidl L., Telek M.: Tömegkiszolgálási algoritmusok, Informatikai algoritmusok II., ELTE Eötvös Kiadó, Budapest, 2005, 1298-1346. Ajánlott irodalom: Gyires T.: Hálózatok szimulációja, Informatikai algoritmusok I. ELTE Eötvös Kiadó, Budapest, 2004, 164-221. Györfi l., Páli I.:, Tömegkiszolgálás informatikai rendszerekben, Műegyetemi Kiadó, 1996. Glasserman, P., Monte Carlo methods in Financial Engineering, Springer-Verlag, New York, 2003 Tantárgy felelőse: Dr. Szeidl László, egyetemi tanár, DSc Tantárgy oktatásába bevont oktató(k): –

56

34. Tantárgy neve: Bevezetés a SIMULINK modellalkotásba és programozásba Kreditszáma: 2

A tanóra típusa nappali tagozaton: labor óraszám 2 lab /hét

Esti tagozaton: labor óraszám: 0.5 lab /hét

A számonkérés módja: gyj. A tantárgy tantervi helye: - Előtanulmányi feltételek: - Tantárgyleírás: SIMULINK modellalkotás. Folytonos és diszkrét szimulációk modellezése. Dinamikus rendszerek szimulációja, az eredmények értékelése. MATLAB programok használata SIMULINK modellekben. Blocksetek áttekintése: Communication Blockset, Signal Processing Blockset, Simulink Control Design, Simulink Fixed Point, Video and Image Processing Blockset

A 3-5 legfontosabb kötelező, illetve ajánlott irodalom: Kötelező irodalom: Ajánlott irodalom: Steven T. Karris: Signals and Systems with MATLAB Computing and Simulink Modeling (5th edition), Orchard Publications, 2012 Adam Kumar Tyagi: Matlab and Simulink for Engineers, Oxford University Press, 2012 Tantárgy felelőse: Dr. Sergyán Szabolcs, egyetemi docens, PhD Tantárgy oktatásába bevont oktató(k): –

57

35. Tantárgy neve: Differenciálgeometria Kreditszáma: 2 A tanóra típusa nappali tagozaton: előadás óraszám: 2 ea

Esti tagozaton: előadás óraszám: 1 ea

A számonkérés módja: gyj. A tantárgy tantervi helye: - Előtanulmányi feltételek: - Tantárgyleírás: Görbék ívhossza. Érintővektor, normálsík, símulósík. Görbület és torzió. Frenet-egyenletek. Csavarvonal, Bertrand-görbék. Négy csúcspont tétele. Evolúta és evolvens. Felületek megadása, paramétervonalak. Érintősík, felületi görbék ívhossza, metrikus alapforma. Második alapforma, Meusnier tétele. Főgörbületek, szorzat- és összeggörbület, Euler tétele. Felület gömbi képe, umbilikus felületek. Az ívhossz variációja, Euler-Lagrange-egyenlet, geodetikusok. Normál koordináták, exponenciális leképezés. Gauss-Bonnet-tétel. Konstans görbületű felületek. Pszeudoszféra, a hiperbolikus sík differenciálgeometriai modellje. A 3-5 legfontosabb kötelező, illetve ajánlott irodalom: Kötelező irodalom: Szőkefalvi-Nagy Gyula, Gehér László, Nagy Péter: Differenciálgeometria, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1979. Ajánlott irodalom: Manfredo P. do Carmo, Differential Geometry of Curves and Surfaces, Prentice-Hall, New Jersey, 1976. Kozma László, Kovács Zoltán: Görbék és felületek elemi differenciálgeometriája, Kurusa Árpád. Bevezetés a differenciálgeometriába. Polygon, Szeged, 1999. Tantárgy felelőse: Dr. Nagy Péter, egyetemi tanár, DSc Tantárgy oktatásába bevont oktató(k): –

58

36. Tantárgy neve: Robotika geometriai alapjai Kreditszáma: 2 A tanóra típusa nappali tagozaton: előadás óraszám: 2 ea

Esti tagozaton: előadás óraszám: 1 ea

A számonkérés módja: gyj. A tantárgy tantervi helye: - Előtanulmányi feltételek: - Tantárgyleírás: Klasszikus mátrix-csoportok, mátrixok hatványsora, exponenciális függvénye. Egyparaméteres mátrix-csoportok. Érintő mátrixok az egységelemben. Lie-csoportok, Lie-algebrák, exponenciális leképezés. 2- és 3-dimenziós Lie-algebrák és mátrix-csoportok. Az euklideszi sík mozgáscsoportja. Síkbeli egyparaméteres mozgások megadása a mozgáscsoport differenciálható görbéjeként. Pillanatnyi sebesség, Euler-Savary-egyenlet. Inflexiós kör, Ball-pont, Burmester-pontok. Frenet- és Darboux-mozgás, elliptikus, inverz mozgás. Kvaterniók és a 3-dimenziós forgás-csoport. Forgások és az Euler-szögek. A forgómozgások leírása kvaterniókkal. A gömbfelület kinematikája. Az euklideszi tér mozgáscsoportja, csavarmozgás, térbeli kinematika. A 3-5 legfontosabb kötelező, illetve ajánlott irodalom: Kötelező irodalom: J. M. Selig: Geometric fundamentals of robotics, Springer Verlag, 2005. Ajánlott irodalom: O. Bottema, B. Roth: Theoretical Kinematics, North-Holland, 1979. M. L. Husty, A. Karger, H. Sachs and W. Steinhilper: Kinematik und Robotik. Springer Verlag, 1997. A. Karger, J. Novak, Space Kinematics And Lie Grups, Gordon and Breach Sci. Publ., Prague, 1978 Tantárgy felelőse: Dr. Nagy Péter, egyetemi tanár, DSc Tantárgy oktatásába bevont oktató(k): –

59

37. Tantárgy neve: Numerikus analízis Kreditszáma: 2 A tanóra típusa nappali tagozaton: előadás óraszám: 2 ea

Esti tagozaton: előadás óraszám: 1 ea

A számonkérés módja: gyj. A tantárgy tantervi helye: - Előtanulmányi feltételek: - Tantárgyleírás: Gauss elimináció és hibaanalízise, a konjugált gradiens módszer, iterációs módszerek, iterációs módszerek ritka mátrixokra, ABS módszerek, Hessenberg módszer transzformáció, QR felbontás. Mátrixok sajátérték-feladatának megoldása: Householder és Lánzos módszerei. Legkisebb négyzetek módszere, fokszám meghatározás, közelítés ortogonális polinomokkal. Mátrixok invertálása. Egyváltozós optimalizálási módszerek, (aranymetszés, parabola, Newton és egyéb módszerek). Armijo-Goldstein feltételek Backtracking. Feltétel nélküli minimalizálási módszerek (konjugált irányok módszere, Newton és quasi-Newton módszerek, BFGS módszer). Kapcsolat az optimalizálás és a nemlineáris egyenletrendszerek között. Egy ismeretlenes egyenletek megoldására: Szelőmódszer, Newton-módszer, módosított Newton-módszer. Nemlineáris egyenletrendszerek megoldása, a fokozatos közelítés módszere, általánosított Newton-módszer, Broyden módszere. A 3-5 legfontosabb kötelező, illetve ajánlott irodalom: Ajánlott irodalom: A. Ralston, Bevezetés a numerikus analízisbe, Műszaki Könyvkiadó, 1969 Stoyan Gisbert: MATLAB, Typotex, 2005 Stoyan Gisbert, Takó Galina: Numerikus módszerek, ELTE Typotex, Budapest, 1993 J. Abaffy, E. Spedicato, ABS Projection Algorithms: Mathematical Techniques for Linear and Nonlinear Equations, Ellis Horwood Ltd, 1989 Tantárgy felelőse: Dr. Abaffy József, egyetemi tanár, DSc Tantárgy oktatásába bevont oktató(k): –

60

38.

Tantárgy neve: Modellezés Kreditszáma: 2 A tanóra típusa nappali tagozaton: Előadás + labor óraszám: 1+1

Esti tagozaton: Előadás + labor óraszám: 0.5 + 0.5

A számonkérés módja: gyj. A tantárgy tantervi helye: - Előtanulmányi feltételek: - Tantárgyleírás: matematika szerepe a virtuális mérnöki technológia tudományos megalapozásában, modelltér, koordináta-rendszerek, transzformációk, objektumok leírása modelltérben, határfelület-ábrázolás, görbék és felületek paraméteres egyenlete, folytonossági feltételei, alakjának irányítása függvényekkel, interpolációk és közelítések görbék meghatározásához, nem-egyenközű racionális B-szplájn (NURBS) görbék és felületek: alapfüggvények, vezérlés, csomóvektor, poliéder modell és alkalmazása testek topológiájának leírására, topológiai struktúrák definiálása lokális és globális Euler operátorokkal, manifold és nem-manifold topológiák, alaksajátosságok meghatározása és felismerése határfelület ábrázoláson, szárnyas él struktúra, lapok felnyitása, testek összekapcsolása modelltérben: helyezés és szabadságfok, véges elem modell és elemzés: numerikus alapok, geometriával asszociatív hálók, 1-3 dimenziós elemek lineáris és görbült élekkel, ineáris, nem-lineáris és dinamikai problémák, kontextuális objektum-definiálás függvényekkel, objektumok paramétereinek eset és szituáció vezérelt meghatározása, objektum-paraméterek optimálásához alkalmazott alapvető algoritmusok, görbék meghatározása pontfelhőkön: háló, scan, határgörbék, vetítések, pontláncok, síkmetszetek. A 3-5 legfontosabb kötelező, illetve ajánlott irodalom: Kötelező irodalom: L. Horváth, I. J. Rudas, Modeling and Problem Solving Methods for Engineers, ISBN 0-12-602250-X, Elsevier, Academic Press, New York, etc., 2004 G. Farin, J. Hoschek, M.-S. Kim, J. Hoschek, M.-S. Kim, Handbook of Computer Aided Geometric Design, Elsevier, ISBN: 978-0-444-51104-1, 2002 Ajánlott irodalom: M. Mortenson, Geometric Modeling, Industrial Press, ISBN-13: 978-0831132989, 2006 I. Stroud, Boundary Representation Modelling Techniques, Springer, ISBN-13: 978-1846283123, 2006 L. A. Piegl, The NURBS Book, Springer, ISBN-13: 978-3540615453, 1996 Tantárgy felelőse: Dr. Horváth László, egyetemi tanár, CSc Tantárgy oktatásába bevont oktató(k): –

61

39.

Tantárgy neve: Mérnöki modellezés és számítógépes grafika Kreditszáma: 2 A tanóra típusa nappali tagozaton: Előadás + labor óraszám: 1+1

Esti tagozaton: Előadás + labor óraszám: 0.5+0.5

A számonkérés módja: gyj. A tantárgy tantervi helye: - Előtanulmányi feltételek: - Tantárgyleírás: matematikai leírás, elemzés és optimálás PLM2 paradigmán alapuló virtuális prototípushoz, kontextuális objektum definíciók komplex mérnöki struktúrákban, kiterjesztett sajátosság-definíción alapuló integrált objektum-definiálás, alaksajátosságok topológiai alapú definiálása és felismerése test határfelület-ábrázolásán, paraméteres egyenletekkel leírt felületek definiálása és összekapcsolása képzési szabályok és kontextuális kapcsolatok alapján, csoportos felületdefiníció görbehálózatokra és alakirányító görbékre alapozva, generikus és alkalmazási előforrásokra épülő integrált termék-információs modell (IPIM), adaptív hálók asszociatív definiálása, sűrűségátmenet és hálótorzulás, tipikus optimálási feladatok mérnöki objektumok paramétereinek a számításához, emberi tevékenység és pozitúra ergonómiai elemzése geometriai és Manikin ábrázolások összekapcsolásával, többtengelyű berendezéseken megvalósuló mozgáspályák definiálása geometriai ábrázolásokon történő számításokkal, interaktív grafika megváltozott szerepe a modellépítési infokommunikációs folyamatban, alakmodellek vetítése, modell (világ), normalizált és képernyő koordináta-rendszerek és transzformációik, paraméteres egyenletekkel leírt felületek megjelenítési modellezése, séder modell, fényhatások modellezése, síklapsokaságon alapuló felületábrázolás megjelenítési felszínképzéshez és gyors prototípus adatok generáláshoz, helyzet és alak animációk és kombinált alkalmazásuk. Animációs csatorna és akció, szál és részecske animáció, grafikán alapuló kommunikáció modelltérbeli objektumokat generáló folyamatokkal, szándékzóna, dinamikus navigáció, ember interakciói immerzív környezetben (CAVE), virtuális és fizikai világok kooperációja (kiterjesztett valóság, augmented reality), emberi mozgás rögzítése virtuális világ számára (Motion Capture), vizuális alakérzékelés irányítása fényvonalakkal és egyéb, modellben generált felület-tulajdonságokkal. A 3-5 legfontosabb kötelező, illetve ajánlott irodalom: Kötelező irodalom: Ajánlott irodalom: D. R. Ferguson, T. J. Peters, Mathematics for Industry: Challenges and Frontiers : a Process View: Practice and Theory, SIAM, ISBN 0-89871-598-9, 2005 R. D. Cook, D. S. Malkus, M. E. Plesha, R. J. Witt, Concepts and Applications of Finite Element Analysis, John Wiley & Sons, ISBN: 0-471-35605-0, 2002. L. Horváth, I. J. Rudas, Modeling and Problem Solving Methods for Engineers, ISBN 0-12-602250-X, Elsevier, Academic Press, New York, etc., 2004 Max K. Agoston, Computer Graphics and Geometric Modelling: Mathematics, Springer, ISBN-13: 978-1852338176, 2005. Tantárgy felelőse: Dr. Horváth László, egyetemi tanár, CSc Tantárgy oktatásába bevont oktató(k): –

62

40.

Tantárgy neve: A klasszikus mechanika és matematikai módszerei Kreditszáma: 2 A tanóra típusa nappali tagozaton: Előadás + labor óraszám: 1+1

Esti tagozaton: Előadás + labor óraszám: 0.5+0.5

A számonkérés módja: gyj. A tantárgy tantervi helye: - Előtanulmányi feltételek: - Tantárgyleírás: Fenomenológiai megalapozás: Galilei-Newton axiómák. Általános koordináták, Hamilton elv, Euler-Lagrange mozgásegyenletek. Riemann geometria a klasszikus mechanikában (a Maupertuis elv megfogalmazása). Legendre Transzformmáció. Hamilton kanonikus egyenletei. Mechanikai rendszerek belső szimmetriái, Noether tételek, Liouville tétele, az összenyomhatatlan folyadékok és a konzervatív mechnaikai rendszerek egyéb analógiái. Érintőtér, szimplektikus csoport, szimplektikus geometria, szimplektikus transzformációk spektruma, kanonikus transzformációk. A statisztikus mechanika bevezetésének alapjai: Poisson visszatérési tétele, a függetlenség mechanikai és statisztikai megfogalmazása. Nagy szabadsági fokú, gyengén csatolt rendszerek kezelése: Boltzmann entrópia, a klasszikus axiomatikus termodinamika megalapozása a klasszikus mechnaikával. A 3-5 legfontosabb kötelező, illetve ajánlott irodalom: Kötelező irodalom: Ajánlott irodalom: V.I. Arnold: Mathematical Methods of Classical Mechanics (original issue in Russian by „Nauka”), magyarul: Műszaki Könyvkiadó Budapest, Hungary 1985. V.I. Arnold: Mathematical Methods of Classical Mechanics, Springer-Verlag (1989), [ISBN 0-387-96890-3] William Fogg Osgood: Mechanics, MACMILLAN, New York, 1949. G.G. Hall: Alkalmazott csoportelmélet, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1975. ISBN 10 0805 3. (in Hungarian) Ilya Prigogine, Isabel Stengers: Az új szövetség – A tudomány metamorfózisa, Hermész könyvek, Akadémiai Kiadó, Budapest, 1995 (Hungarian edition). [Translated from: Ilya Prigogine et Isabelle Stengers: La nouvelle alliance. Métamorphose de la science., Gallimard, Paris, 1986.] Tantárgy felelőse: Dr. Bitó János, egyetemi tanár, DSc Tantárgy oktatásába bevont oktató(k): Dr. Tar József, egyetemi tanár, DSc

63

41.

Tantárgy neve: Döntéshozatal és optimalizálás energetikai rendszerekben

Kreditszáma: 2

A tanóra típusa nappali tagozaton: előadás óraszám: 2 ea/hét

Esti tagozaton: előadás óraszám: 1 ea/hét

A számonkérés módja: gyj. A tantárgy tantervi helye: - Előtanulmányi feltételek: - Tantárgyleírás: Energiafelhasználás, energetikai rendszerek, ellátási alternatívák, life-cycle analysis, externáliák, döntési terek, döntési fák, szakértői rendszerek, optimalizálási technikák, lineáris programozás, constraint programming, genetikus agoritmusok, Pareto optimalizálás, stratégiaalkotás, stratégiai analízis, energetikai stratégiák, ellátásbiztonság A 3-5 legfontosabb kötelező, illetve ajánlott irodalom: Kötelező irodalom: R. Natarajan: Computer-aided Power System Analysis – Marcel Dekker (2002) Ajánlott irodalom: Kwang Y. Lee, Mohamed A. El-Sharkawi: Modern Heuristic Optimization Techniques, Wiley InterScience (Jun 2007) – ISBN: 9780-4714571-14 R. M. Grant: Contemporary strategy analysis, Blackwell, Oxford, 1998 Segal - Horn: The strategy reader, Blackwell, Oxford, 1998 Tantárgy felelőse: Dr. Kádár Péter, egyetemi docens Tantárgy oktatásába bevont oktató(k): –

64

42. Tantárgy neve: Modellalapú problémamegoldás I. Kreditszáma: 2 A tanóra típusa nappali tagozaton: Előadás +gyakorlat óraszám: 1 ea + 1 gy

Esti tagozaton: Előadás +gyakorlat óraszám: 0.5 ea + 0.5 gy

A számonkérés módja: gyj. A tantárgy tantervi helye: - Előtanulmányi feltételek: - Tantárgyleírás: számítógépes problémamegoldás életciklus modelljeinek áttekintése, a modellezés jelentősége a fejlesztésben, a Unified Modelling Language bevezetése, UML modell típusok a szoftverfejlesztés során, a modellek kapcsolata, Rational Unified Prucess bevezetése, szoftverfejlesztés RUP támogatással, CASE eszközök alkalmazása UML+RUP fejlesztésnél. tipikus megoldások, gyakorlati példák bemutatása, esettanulmányok elemzése. önálló alkalmazásfejlesztés. A 3-5 legfontosabb kötelező, illetve ajánlott irodalom: Kötelező irodalom: Ian Sommerville: Szoftverrendszerek fejlesztése 2. bővített kiadás, Panem kiadó, Debrecen, 2007. Varga László, Sike Sándor: Szoftvertechnológia és UML, ELTE Eötvös Kiadó, Budapest, 2003. Harald Störrle: UML 2, Panem Kiadó , Budapest, 2007 Ajánlott irodalom: Roger S. Pressman: Software Engineering: A Practitioner's Approach (7th edition), McGraw-Hill, 2009 Tantárgy felelőse: Dr. Tick József, egyetemi docens, PhD Tantárgy oktatásába bevont oktató(k): –

65

43. Tantárgy neve: Modellalapú problémamegoldás II. Kreditszáma: 2 A tanóra típusa nappali tagozaton: Előadás +gyakorlat óraszám: 1 ea + 1 gy

Esti tagozaton: Előadás +gyakorlat óraszám: 0.5 ea + 0.5 gy

A számonkérés módja: gyj. A tantárgy tantervi helye: - Előtanulmányi feltételek: - Tantárgyleírás: modellalapú szoftverfejlesztés (Modell Driven Software Development) filozófiája módszerei és gyakorlati alkalmazásainak lehetőségei, a szoftvermodellezés alapjain túl bemutatásra kerülnek a szakterület-specifikus modellezés (Domain Specific Modeling) illetve a modell-transzformáció lehetőségei is, gyakorlati példák, feladatok és esettanulmányok segítik az elméleti ismeretek elmélyítését, a gyakorlatokon a hallgatók keretrendszer segítségével önálló feladatmegoldásával szereznek jártasságot a problémamegoldásban. A 3-5 legfontosabb kötelező, illetve ajánlott irodalom: Kötelező irodalom: Ian Sommerville, Szoftverrendszerek fejlesztése 2. bővített kiadás, Panem kiadó, Debrecen, 2007. Varga László, Sike Sándor, Szoftvertechnológia és UML, ELTE Eötvös Kiadó, Budapest, 2003. Harald Störrle, UML 2, Panem Kiadó , Budapest, 2007 Ajánlott irodalom: Roger S. Pressman, Software Engineering: A Practitioner's Approach (7th edition), McGraw-Hill, 2009 Tantárgy felelőse: Dr. Tick József, egyetemi docens, PhD Tantárgy oktatásába bevont oktató(k): –

66

44. Tantárgy neve: Problémamegoldás számítógéppel I. Kreditszáma: 2 A tanóra típusa nappali tagozaton: Előadás +gyakorlat óraszám: 1 ea + 1 gy

Esti tagozaton: Előadás +gyakorlat óraszám: 0.5 ea + 0.5 gy

A számonkérés módja: gyj. A tantárgy tantervi helye: - Előtanulmányi feltételek: - Tantárgyleírás: számítógépes problémamegoldás modellje, a modell elemei, az adatszerkezetek, az algoritmusok, a leírási formalizmusok, az algoritmusok megfogalmazásának modern lehetőségei, aproblémamegoldás menete, a különböző modellek funkciói, a modellek vizsgálatának módszerei, a modell leképezése, az implementálás folyamata, problematikája. Számítógépes nyelvi környezetek, az OO filozófia megismerése, nyelvi konstrukciók, programkönyvtárak bemutatása, problémamegoldás OO környezetben, a szoftverfejlesztés lépései, alkalmazásfejlesztés a probléma megfogalmazásától a program teszteléséig, esettanulmány, gyakorlati problémák bemutatása, Hands-on gyakorlat. A 3-5 legfontosabb kötelező, illetve ajánlott irodalom: Kötelező irodalom: Szlávi Péter, Zsakó László: Módszeres programozás: Programozási bevezető ELTE IK 2006. Szlávi Péter, Zsakó László: Módszeres programozás: Programozási tételek ELTE IK 2006. Lakatos Attila, Nyékiné Gaizler Judit (szerk.): Java 2 Útikalauz programozóknak 5.0 I-II., ELTE Természettudományi Kar, 2009. Ian Sommerville, Szoftverrendszerek fejlesztése 2. bővített kiadás, Panem kiadó, Debrecen, 2007. Ajánlott irodalom: Roger S. Pressman, Software Engineering: A Practitioner's Approach (7th edition), McGraw-Hill, 2009 Tantárgy felelőse: Dr. Tick József, egyetemi docens, PhD Tantárgy oktatásába bevont oktató(k): –

67

45. Tantárgy neve: Problémamegoldás számítógéppel II. Kreditszáma: 2 A tanóra típusa nappali tagozaton: Előadás +gyakorlat óraszám: 1 ea + 1 gy

Esti tagozaton: Előadás +gyakorlat óraszám: 0.5 ea + 0.5 gy

A számonkérés módja: gyj. A tantárgy tantervi helye: - Előtanulmányi feltételek: - Tantárgyleírás: számítógépes problémamegoldás komplex feladat esetén, a probléma particionálása, szoftverfejlesztés komplex rendszer esetén. Adatbázismodellek, a fejlesztett alkalmazás kapcsolata adatbázissal, kritikus tényezők adatbázisok használata esetén. Webes alkalmazások modelljei, kialakítási, fejlesztési lehetőségek. Az elosztott alkalmazások biztonsági kérdései. Alkalmazásfejlesztés CASE eszközök használatával. A Komponens alapú filozófia megismerése, szoftverfejlesztés komponensek felhasználásával, újrafelhasználás-orientált szoftverfejlesztés. Egy komplex alkalmazás közös fejlesztése team-munkában a megismert megoldások alkalmazásával. A 3-5 legfontosabb kötelező, illetve ajánlott irodalom: Kötelező irodalom: Szlávi Péter, Temesvári Tibor, Zsakó László, A programkészítés technológiája ELTE, IK 2006. Lakatos Attila, Nyékiné Gaizler Judit (szerk.): Java 2 Útikalauz programozóknak 5.0 I-II., ELTE Természettudományi Kar, 2009. Ian Sommerville: Szoftverrendszerek fejlesztése 2. bővített kiadás, Panem kiadó, Debrecen, 2007. Ajánlott irodalom: Roger S. Pressman: Software Engineering: A Practitioner's Approach (7th edition), McGraw-Hill, 2009 Tantárgy felelőse: Dr. Tick József, egyetemi docens, PhD Tantárgy oktatásába bevont oktató(k): –

68

45. Tantárgy neve: Bevezetés a MATLAB programozásba

Kreditszáma: 2

A tanóra típusa nappali tagozaton: előadás óraszám: 2 lab

Esti tagozaton: előadás óraszám: 1 lab

A számonkérés módja: gyj. A tantárgy tantervi helye: - Előtanulmányi feltételek: - Tantárgyleírás: MATLAB környezete, változótípusok, tömbök kezelése, vezérlési szerkezetek, m-fájlok felépítése, futtatható kód generálása, C++ és MATLAB kódok integrálása, excel fájlok exportálása és importálása, grafikai megjelenítési lehetőségek, toolboxok áttekintése: Symbolic Math Toolbox, Partial Differential Equation Toolbox, Statistics Toolbox, Curve Fitting Toolbox, Optimization Toolbox, Neural Network Toolbox, numerikus módszerek megvalósítása. A 3-5 legfontosabb kötelező, illetve ajánlott irodalom: Kötelező irodalom: Stoyan Gisbert: MATLAB – Numerikus módszerek, grafika, statisztika, eszköztárak. Typotex Kiadó, 2008 Ajánlott irodalom:I. Danaila, P. Joly, S.M. Kaber, M. Postel: An Introduction to Scientific Computing -- Twelve Computational Projects Solved with MATLAB. Springer, 2007 Cleve Moler: Numerical Computing with MATLAB. The Mathworks Inc., 2004 Tantárgy felelőse: Dr. Sergyán Szabolcs, egyetemi docens, PhD Tantárgy oktatásába bevont oktató(k): –

69

47. Tantárgy neve: Megosztott paraméteres dinamikus rendszerek modellezése és irányítása

Kreditszáma: 4

A tanóra típusa nappali tagozaton: előadás + labor óraszám: 3 ea + 1 lab /hét

Esti tagozaton: előadás + labor óraszám: 1.5 ea + 0.5 lab /hét

A számonkérés módja: koll. A tantárgy tantervi helye: - Előtanulmányi feltételek: - Tantárgyleírás: Megosztott-be / megosztott kimenőjeles rendszerek, összpontosított-be / megosztott kimenőjeles rendszerek, folytonos és diszkrét idejű megosztott paraméteres rendszerek. Identifikáció, parciális differenciálegyenletek standardizált alakjai, integrálegyenletek, Green függvények, Volterra magfüggvények, numerikus és experimentális módszerek. Megosztott paraméteres átmeneti, impulzus és átviteli függvények. Renszerdinamika általános tér-idő szerkezetes felbontása. Az irányítás szintézisének tér-idő szerkezetes felbontása. Irányítási rendszerek, diszkrét, robusztus, adaptív irányítás. Modellezés és irányítás feladatai MATLAB, Simulink és DPS Blockset szoftvertámogatással. Modellfeladatok a technológiai és gyártási folyamatok, mechatronikai rendszerek és a környezetvédelem területéről. A 3-5 legfontosabb kötelező, illetve ajánlott irodalom: Kötelező irodalom: Hulkó, G. et al. (1998). Modeling, Control and Design of Distributed Parameter Systems with Demonstrations in MATLAB, Publishing House STU, ISBN 80-227-1083-0, Bratislava. Hulkó, G. et al. (2009). Engineering Methods and Software Support for Modelling and Design of Discrete-time Control of Distributed Parameter Systems. European Journal of Control, Vol. 15, No. Iss. 3-4, Fundamental Issues in Control, pp. 407-417, ISSN 0947-3580. Hulkó, G. et al. (2003-2010). Distributed Parameter Systems Blockset for MATLAB & Simulink [DPS Blockset], www.mathworks.com/products/connections/ - Third-Party Product of The MathWorks, Bratislava-Natick. Ajánlott irodalom: Wang, P. K. C. (1964). Control of Distributed Parameter Systems (Advances in Control Systems: Theory and Applications, 1.), Academic Press, New York. Butkovsky, A. G. (1969). Distributed Control Systems, American Elsevier, New York. Hulkó, G. et al. (2003-2010). Distributed Parameter Systems Control, Web portal of the Center for Control of Distributed Parameter Systems, Available from: www.dpscontrol.sk . Tantárgy felelőse: Dr. Hulkó Gábor, egyetemi tanár, DSc, MTA külső tag Tantárgy oktatásába bevont oktató(k): –

70

48. Tantárgy neve: Szoftverfejlesztés párhuzamos és elosztott

környezetben Kreditszáma: 4

A tanóra típusa nappali tagozaton: előadás + labor óraszám: 2 ea + 2 lab /hét

Esti tagozaton: előadás + labor óraszám: 1 ea + 1 lab /hét

A számonkérés módja: koll. A tantárgy tantervi helye: - Előtanulmányi feltételek: - Tantárgyleírás: A párhuzamos rendszerek áttekintése, és programozásuk kiemelt kérdései. Párhuzamos programozás alapjai, folyamatok, szálkezelés. Szinkronizáció módszerei. Hibakeresés, nyomkövetés párhuzamos környezetben. Elosztott szoftver-architektúrák. Párhuzamos programozási szoftverminták. Dekompoziciós módszerek, agglomeráció, leképzések. Párhuzamos programozási algoritmusok. Rendezési és keresési algoritmusok. Numerikus módszerek. Diszkrét optimalizálás és dinamikus programozás párhuzamosítással. Képfeldolgozás párhuzamosított technikával. Adatpárhuzamos számítások és a masszívan párhuzamos GPGPU programozás.

A 3-5 legfontosabb kötelező, illetve ajánlott irodalom: Kötelező irodalom: A. Grama, A. Gupta, G. Karypis, V. Kumar: Introduction to Parallel Computing, 2nd edition, Addison-Wesley, 2003, ISBN 0-201-64865-2 B. Wilkinson, M. Allen, Parallel Programming, 2nd edition, Prentice Hall, 2005 Iványi A.: Párhuzamos algoritmusok, ELTE Eötvös Kiadó, Budapest, 2005 http://elek.inf.elte.hu/Parhuzamos Ajánlott irodalom: F. Rasheed: Programmer's Heaven C# School Book (ingyenes és szabad felhasználású) http://www.programmersheaven.com/2/CSharpBook J. Albahari: Threading in C#, http://www.albahari.com/threading/ Tantárgy felelőse: Dr. Vámossy Zoltán, egyetemi docens, PhD Tantárgy oktatásába bevont oktató(k): –

71

49.

Tantárgy neve: Lágyszámítási módszerek és alkalmazásaik Kreditszáma: 3 A tanóra típusa nappali tagozaton: előadás + gyakorlat óraszám: 2 ea + 1 gy/hét

Esti tagozaton: előadás + gyakorlat óraszám: 2 ea + 0.5 gy/hét

A számonkérés módja: koll. A tantárgy tantervi helye: - Előtanulmányi feltételek: - Tantárgyleírás: A tantárgy célja áttekintést adni a kis számításigényű, a bizonytalansággal és hiányos tudással szemben kellően robusztus, ún. pontatlan számítások új megközelítési elveiről, hátteréről, előnyeiről és alkalmazási lehetőségeiről, részletesen tárgyalva a lágy számítási módszerek és gépi intelligencia egyes eszközeit, elméletét és gyakorlatát. A hibrid módszerek alkalmazásának készség szintű elsajátítása. A „tudás”, „optimum”, „pontosság”, „költség” fogalma. Az intelligens számítások fogalmi köre. A lágyszámítási módszerek tudásábrázolási módja. A lágyszámítási módszerek alkalmazásának történeti áttekintése. Fuzzy halmazelmélet, logika és következtetés. Neurális számítások. Genetikus algoritmusok. Anytime technikák. A lágyszámítási módszerek összehasonlítása, tipikus alkalmazási területei, közös elemei. Modellezés. Feladatmegoldás és problémamegoldás. Problémamegoldó módszerek megválasztása. Komplex problémák megoldása a lágyszámítási módszerek együttes alkalmazásával. Esettanulmányok megoldása és elemzése. A 3-5 legfontosabb kötelező, illetve ajánlott irodalom: Kötelező irodalom: Kóczy, L.T., Tikk, D.: Fuzzy rendszerek, Typotex Kiadó, Budapest 2000. Horváth G. (ed.): Neurális hálózatok és alkalmazásai, Panem, Budapest, 2006. Várkonyi-Kóczy, A.R, (ed.): Genetikus Algoritmusok. Typotex Kiadó, Budapest, 2002. Ajánlott irodalom: Tantárgy felelőse: Várkonyiné Kóczy Annamária, egyetemi tanár, DSc Tantárgy oktatásába bevont oktató(k): Nagy István, adjunktus, PhD

72

50.

Tantárgy neve: Digitális képfeldolgozás Kreditszáma: 3 A tanóra típusa nappali tagozaton: előadás + gyakorlat óraszám: 2 ea + 1 gy/hét

Esti tagozaton: előadás + gyakorlat óraszám: 2 ea + 0.5 gy/hét

A számonkérés módja: koll. A tantárgy tantervi helye: - Előtanulmányi feltételek: Tantárgyleírás: A tantárgy célja megismertetni a hallgatókat a digitális képfeldolgozás, a számítógépes grafika, a digitális képelemző és a geometriai modellező rendszerek klasszikus és nem-konvencionális módszereivel, valamint azok alkalmazásához szükséges elméleti és gyakorlati ismeretekkel. A kurzus elvégzése megalapozza és segíti a hallgatók területhez kapcsolódó kutatói készségének, új módszerek, algoritmusok, és modellek kifejlesztési képességének kialakulását. A digitális képfeldolgozás és gépi látás módszerei, algoritmusai és modelljei. Geometriai transzformációk. A digitális jel- és képfeldolgozás transzformált tartománybeli módszerei, 1 és 2D Fourier transzformációk, Wavelet transzformáció. Lágyszámítási módszereken alapuló eljárások, fuzzy, neurális, genetikus, anytime technikák. Zajelnyomás, információ kiemelés, élkeresés, csúcspontdetektálás, objektum keresés és felismerés, gépi látás, számítógépes modellezés, 3D rekonstrukció, adattömörítés, kamerakalibráció, valósidejű feldolgozás, kódoptimalizálás. HDR eljárások. Mintapéldák, esettanulmányok. A 3-5 legfontosabb kötelező, illetve ajánlott irodalom: Kötelező irodalom: Szirmay-Kalos L.: Számítógépes grafika, ComputerBooks, 1999. Ajánlott irodalom: Gonzales, R.C., R.E. Woods, Digital Image Processing, 3rd edition, Prentice-Hall, 2008. Sonka, M., V. Hlavac, R. Boyle, Image Processing, Analysis, and Machine Vision, Thomson Learning,2007 Bezdek, J.C., J. Keller, R. Krishnapuram, N.R. Pal, Fuzzy Models and Algorithms for Pattern Recognition and Image Processing, Kluwer Academic Publishers, 1999. Tantárgy felelőse: Várkonyiné Kóczy Annamária, egyetemi tanár, DSc Tantárgy oktatásába bevont oktató(k): Nagy István, adjunktus, PhD

73

51.

Tantárgy neve: Döntésanalízis Kreditszáma: 2 A tanóra típusa nappali tagozaton: előadás óraszám: 2 ea/hét

Esti tagozaton: előadás óraszám: 1 ea/hét

A számonkérés módja: gyj. A tantárgy tantervi helye: - Előtanulmányi feltételek: Tantárgyleírás: Wald-, Hurwitz-, Savage- és Laplace- kritérumok véges sok alternatíva esetére , Preferencia relációk, A Neumann-Morgenstern-féle utility elmélet, A kockázat elutasítás Pratt-féle mértéke, A Yager-féle OWA operátorok, A Saaty-féle AHP, A Bellman-Zadeh módszer a fuzzy döntésekre

A 3-5 legfontosabb kötelező, illetve ajánlott irodalom: Ajánlott irodalom: Simon French, Readings in Decision Analysis, Chapman and Hall, London, 1990. Ralph L. Keeney and Howard Raiffa, Decisions with Multiple Objectives: Preferences and Value Tradeoffs, Cambridge University Press, 1993. Christer Carlsson and Robert Fullér, Possibility for Decision: A Possibilistic Approach to Real Life Decisions, Springer, 2011 Tantárgy felelőse: Fullér Róbert, egyetemi tanár, CSc Tantárgy oktatásába bevont oktató(k): –

74

52.

Tantárgy neve: Anyagtudományi termikus folyamatok modellezése Kreditszáma: 2 A tanóra típusa nappali tagozaton: előadás + gyakorlat óraszám: 1 ea + 1 gy/hét

Esti tagozaton: előadás + gyakorlat óraszám: 0.5 ea + 0.5 gy/hét

A számonkérés módja: gyj. A tantárgy tantervi helye: - Előtanulmányi feltételek: - Tantárgyleírás: Ötvözetek mikroszerkezeti modellezése, a mikroszerkezet felépítésének geometriai-sztereológiai modelljei, különös tekintettel a celluláris rendszerekre, hőközlési modellek és folyamatok különféle típusainak leírása, elemzése. Folyadék és szilárd fázisú anyagokban végbemenő termikusan aktivált átalakulási folyamatok matematikai modellezése. Kristályosodási jelenségek modellezése és szimulációja. Térfogati hőkezelési eljárások valamint lokális felületkezelési technológiák (felületedzések, termokémiai kezelése) modellezése és számítógépes szimulációja. Numerikus módszerek alkalmazása szimulációs feladatok megoldására, véges elem alapú eljárások felhasználásán alapuló szimulációk, eset tanulmányok. A 3-5 legfontosabb kötelező, illetve ajánlott irodalom: Kötelező irodalom: M. N. Özisik: Heat Conduction, Wiley-Interscience Publication, 2nd edition, 1993. J. W. Christian: The Theory of Transformations in Metals and Alloys, Pergamon Press, Oxford, (1975). J.S. Kirkaldy, D.J. Young: Diffusion in the Condensed State, The Institute of Metals, The University Press, London (1987) D. Raabe: Computational Materials Science, Wiley-VCH, New York (1998) J. Szekely, J.W. Evans, J.K. Brimacombe, The Mathematical and Physical Modeling of Primary Metals Processing Operations, Wiley-Interscience Publication, New York, 1988. Ajánlott irodalom: D. Raabe: Computational Materials Science, Wiley-VCH, New York (1998) W. C. Lesli: The Physical Metallurgy of Steels, McGraw-Hill Company, New York, (1981) Tantárgy felelőse: Dr. Réger Mihály, egyetemi tanár, DSc Tantárgy oktatásába bevont oktató(k): Dr. Réti Tamás, egyetemi tanár, DSc

75

53.

Tantárgy neve: Optimalizálási modellek Kreditszáma: 2 A tanóra típusa nappali tagozaton: előadás + gyakorlat óraszám: 0 ea + 2 gy/hét

Esti tagozaton: előadás + gyakorlat óraszám: 0.5 ea + 0.5 gy/hét

A számonkérés módja: gyj. A tantárgy tantervi helye: - Előtanulmányi feltételek: - Tantárgyleírás: A tantárgy fő célja az optimalizálási modellek áttekintése, a számítógépes modellező eszközök alkalmazása, optimalizálási feladatok számítógépes megoldása, a kapott eredmények kiértékelése és felhasználása. A gyakorlatok során a GAMS modellező és megoldó programcsomag kerül bemutatásra, ennek felhasználásával a hallgatók önállóan is dolgoznak. Tematika: Lineáris programozási modellek. Dualitás és árnyékárak közgazdasági értelmezése. Diszkrét programozási modellek; a korlátozás és szétválasztás módszere; toleranciák alkalmazása; logikai feltételek kezelése optimalizálási feladatokban. Optimalizálás hálózatokban. Az utazóügynök feladat. Nemlineáris programozási modellek és módszerek. Portfólió optimalizálási modellek. A diszkriminancia analízis és klaszterezés optimalizálási modelljei. Célprogramozás. Törtprogramozás. Hatékonyság mérése adatburkolás vizsgálattal. A 3-5 legfontosabb kötelező, illetve ajánlott irodalom: Kötelező irodalom: Ajánlott irodalom: A. Brooke, D. Kendrick, A. Meeraus, GAMS, A User’s Guide, Boyd&Fraser, 1992. F.S. Hillier, G.J. Libermann, Bevezetés az operációkutatásba, LSI, Budapest, 1994. K. Sydsaeter, P. Hammond, Matematika közgazdászoknak, Aula, 1998. H.P. Williams, Model Building in Mathematical Programming,. Wiley, 1995. W.L. Winston, Operációkutatás: Módszerek és alkalmazások, Aula, 2003. Tantárgy felelőse: Dr. Fülöp János, egyetemi docens, PhD Tantárgy oktatásába bevont oktató(k):

76

54. Tantárgy neve: Geometriai modellezés Kreditszáma: 2 A tanóra típusa nappali tagozaton: előadás óraszám: 2 ea

Esti tagozaton: előadás óraszám: 1 ea

A számonkérés módja: gyj. A tantárgy tantervi helye: 3. félév Előtanulmányi feltételek: - Tantárgyleírás: Differenciálgeometria alapjai. Parametrikus görbék. Fizikai analógia. Taylor és Hermite féle interpoláció. Ismételt lineáris interpoláció, mint a görbék konstruálásának lehetséges módja. Beziér görbék és tulajdonságaik. B-spline görbék. Elfajulások. Kapcsolat a két reprezentáció között Görbék metszése. Offset görbék és közelítő meghatározásuk. Négyzet topológiájú (tenzor) felületek. Beziér és B-spline felületek. Offset felületek. Felületek metszése síkkal. Két felület metszésvonalánal meghatározása. Felületi és offset görbék. Coons foltok. Szilárdtest modellezés alapjai. Constructive Solid Modelling. Határoló felület reprezentáció. Hibrid modellező rendszerek. Euler operátorok. Constructive Solid Modelling és a Határoló felület reprezentáció összehasonlítása. Az ACIS modellező rendszer felépítése. Offset testek és modellezésük. Alaksajátosságok és felismerési technikák. Térfelosztásos modellezés és kapcsolata a grafikával. Octtree reprezentáció. Konverzió az octtree és egyéb szilárd test reprezentációk között. Modellező rendszerek kapcsolódása más mérnöki rendszerekhez A 3-5 legfontosabb kötelező, illetve ajánlott irodalom:

• G. Farin: Curves and Surfaces for Computer Aided Design • H. Prautsch, W Böhm, M Paluszny: Bézier and B spline techniques • J. Hoschek, D. Lasser Fundamental of Computer Aided Geometric Design • M. Mäntyla: Introduction to Solid Modelling. Computer Science Press, Rockville, MD., 1988

Tantárgy felelőse: Dr.habil. Hermann Gyula, egyetemi docens, PhD Tantárgy oktatásába bevont oktató(k):

77

III.4 A képzési folyamat, az értékelési módszerek, eljárások A KKK-ban megfogalmazott célok és szakmai kompetenciák elérése a mintatanterv alapján szervezett minőségi oktatással, az egyetem Tanulmányi és Vizsgaszabályzatában(http://uni-obuda.hu/szabalyzatok/obudai-egyetem-tanulmanyi-es-vizsgaszabalyzata) megfogalmazott számonkérési és értékelési eljárásokkal, valamint az ÓE Minőségbiztosítási Szabályzatában (http://www.uni-obuda.hu/szabalyzatok/1598) foglaltak szerinti minőségbiztosítással történik. Az egyetem informatikai infrastruktúrája, informatikus képzési háttere, évszázados múltra visszatekintő gyakorlat orientált műszaki képzési hagyományai, nemzetközi szintű kutatási csoportjai képezik a hátterét annak a folyamatnak, amelynek a vége olyan alkalmazott matematikusok kibocsátása, akik jelentős informatikai és algoritmikus programozási tudással, modellezési és problémamegoldó képességel és gyakorlattal rendelkeznek. A képzés ehhez számos alkalmazási jellegű tárgyat kínál fel olyan témákban, amelyek kurrensek és amelyeket a témakör nemzetközileg jegyzett kutatói tartanak. A szakdolgozati témaválasztásnál előnyt élveznek az ilyen alkalmazási jellegű feladatok. Az indítandó mesterszak hallgatóinak az alkalmazási jellegű tárgyak, a szakdolgozati témaválasztás, a TDK munkában, valamint az egyetem kutatás-fejlesztési projektjeiben való részvétel jelentős mértékű lehetőséget ad a képzési célok eléréséhez, a végzés utáni kutatás-fejlesztési területen való elhelyezkedésre, illetve a doktori képzésre való felkészülésre. A doktori képzésre való felkészítést jelentős mértékben előmozdítja az a tény is, hogy a kötelező, ill. választható tárgyak előadói túlnyomó többségükben az Óbudai Egyetem doktori iskoláinak is témavezetői. Az egyetemen, de különösen a Neumann János Informatikai Karon a tehetséges hallgatók TDK és kapcsolódó projektmunkákba való bevonásának jelentős hagyománya van. A szakon végző kiemelkedő képességű hallgatók az egyetem három doktori iskolájában folytathatják tanulmányaikat. Az egyetemi szabályzatban is rögzített tehetséggondozási és mentor program (http://www.uni-obuda.hu/szabalyzatok/1598) négy fő komponensre épít: - minőségi oktatás,

- a tudományos diákkör, - a szakkollégium - doktori képzés

A szakdolgozat elkészítése az utolsó 2 félévben történik. Ez olyan összetett, egyéni feladat, amely a megszerzett tudás szintézisét és alkotó alkalmazását követeli meg. A szakdolgozat készítése önálló munkát igényel, amelynek során tilos más szellemi termékével való visszaélés (plágium). A szakdolgozat 20 kredit értékű. A szakdolgozatot/diplomamunkát kiadó Alkalmazott Matematikai Intézet köteles a szakdolgozat elkészítésének segítésére és ellenőrzésére belső konzulenst és lehetőség szerint külső konzulenst megbízni, s azokkal az együttműködést biztosítani. A konzulensek egyetemi/MSc végzettséggel rendelkező és a témát ismerő szakemberek. A szakdolgozatot külföldi felsőoktatási intézményben az adott ország nyelvén is el lehet készíteni, de a szakdolgozat összefoglalóját és a szakdolgozat bírálatát magyar nyelven is be kell adni. A szakdolgozat Záróvizsga Bizottság előtti védése magyar nyelven történik. Az intézet megtagadhatja annak a szakdolgozatnak a bírálatra bocsátását, amely a kiírás feltételeinek nem felel meg. Ebben az esetben a hiányosságok pótlására megfelelő határidőt kell kitűzni. A bírálatot írásban kell elkészíteni, melynek 1 példányát a záróvizsga előtt legalább 3 nappal a jelöltnek át kell adni (osztályzati javaslat nélkül). A bírálat eredeti példányát – a bíráló osztályzati javaslatával –,

78

valamint az intézet által javasolt osztályzatot a szakdolgozathoz/diplomamunkához csatolva minősítésre a záróvizsgáztató bizottságnak át kell adni. A szakdolgozatot/diplomamunkát ötfokozatú minősítéssel kell értékelni. Elégtelen érdemjegyű szakdolgozat esetén a hallgató két alkalommal kísérelheti meg új szakdolgozat/diplomamunka készítését. A záróvizsga az oklevél megszerzéséhez szükséges ismeretek, készségek és képességek ellenőrzése és értékelése, amelynek során a hallgatónak arról is tanúságot kell tennie, hogy a tanult ismereteket alkalmazni tudja. A záróvizsgára bocsátás feltételei:

a) végbizonyítvány (abszolutórium) megszerzése; b) a bíráló által elfogadott szakdolgozat, illetve diplomamunka. c) Nem bocsátható záróvizsgára az a hallgató, aki a felsőoktatási intézménnyel szemben

fennálló fizetési kötelezettségének nem tett eleget. A záróvizsgára összesen legalább 20 és legfeljebb 30 kreditpontnak megfelelő ismeretanyagot felölelő tantárgyak (tantárgycsoportok) jelölhetők ki. A záróvizsga a szakdolgozat, illetve diplomamunka védéséből és a tantervben előírt tárgyakból tett vizsgákból áll. A záróvizsgát a hallgatónak egy napon, folyamatosan kell letenni. A záróvizsga szóbeli vizsgából áll, a felkészülési idő tantárgyanként legalább 30 perc. A bizottság előtt egyidejűleg 1 hallgató vizsgázhat. A jelölt a záróvizsgát akkor kezdheti meg, ha a záróvizsga-bizottság szakdolgozatát legalább elégséges (2) minősítéssel elfogadta. Az elégtelen szakdolgozat kijavításának feltételeit az illetékes intézet határozza meg. A záróvizsga eredménye: a szakdolgozatra és a záróvizsga szóbeli részére kapott érdemjegyek – a vizsgatárgyak számát figyelembe vevő – átlaga az alábbiak szerint: Z=(SZD+Z1+Z2+…+Zm)/(1+m) Hallgatói tájékoztatás: a kidolgozott tájékoztató kiadvány internetes elérhetősége (link):

79

IV. A képzés személyi feltételei

IV.1 A szakfelelős és a szakirányfelelős(ök) Felelősök neve és a

felelősségi típus

(szf: szakfelelős, szif: szakirányfelelős

Tudományos fokozat

/cím

Munkakör FOI-hez tarozás és

munka-viszony típusa

Milyen szakok felelőse

Hány kreditértékű

tantárgy felelőse

a szakon / ill. az

intézményben B és M képz.

összesen Dr. Galántai Aurél szf DSc e. tanár AT - 12/ Dr. Tar József, műszaki matematika

szif DSc e. tanár AT - 7/

IV.2 Az oktatói kör: Tantárgylista – tantárgyak felelősei, oktatói

A TÖRZSANYAG TANTÁRGYAI

(ALAPOZÓ ÉS SZAKMAI TÖRZSTÁRGYAK)

(a szakra vonatkozó KKK 8. pontja alapján)

A tantárgy oktatói Oktató neve (több oktató

esetén a tantárgy blokkjában első

helyen a tantárgy felelőse legyen)

Tud. fok. /cím

(PhD/ CSc/ DSc/

MTA tag)

Munkakör (ts. / adj./ e/f doc./ e/f tan./

tud. mts./ egyéb)

FOI-hez tartozás

és munka-viszony típusa

(AT/AE/V)

Részvétel az ismeret-

átadásban

Hány kreditértékű tantárgy felelőse a szakon, ill. az intézményben

B és M képzésben összesen

tantárgy elő-adója I / N

gyak. fogl.-t tart I / N

alapozó tárgyak 1. Lineáris algebra Takács Márta PhD e. doc. AT I N 7/

2. Algebra és számelmélet

Héthelyi László CSc e.doc. AT I I 9/

3. Analízis Pap Endre DSc e. tan AT I I 9/

4. Geometria és topológia

Nagy Péter DSc e.tan. AT I I 8/

5. Valószínűség-számítás és matematikai statisztika alapjai

Kárász Péter PhD e.doc. AT I I 13/ Szeidl László DSc e.tan V I I 0/

6. Informatika és operációkutatás alapjai

Fullér Róbert CSc e. tan AT I N 12/

80

szakmai törzstárgyak 1. Algoritmus-elmélet

Galántai Aurél DSc e. tan. AT I I 12/

2. Diszkrét matematika

Héthelyi László CSc e. doc. AT I I 9/

3. Interpoláció- és approximáció

Galántai Aurél DSc e.tan. AT I N 12/

4. Differenciál-egyenletek

Pap Endre DSc e. tan. AT I I 9/

5. Operációkuta-tás Fülöp János PhD e. doc. AE I I 7/

6. Sztochasztikus folyamatok 1.

Kárász Péter PhD e. doc. AT I I 13/ Szeidl László DSc e. tan. V I I 0/

A DIFFERENCIÁLT SZAKMAI ISMERETEK

TANTÁRGYAI (a szakra vonatkozó

KKK 8. pontja alapján)

A tantárgy oktatói Oktató neve

(több oktató esetén a tantárgy

blokkjában első helyen a tantárgy felelőse legyen)

Tud. fok. /cím (PhD/ CSc/ DSc/

akad.)

Munka-kör (ts. / adj./ e/f doc./ e/f tan./

tud. mts./ egyéb)

FOI-hez tartozás

és munka-viszony típusa

(AT/AE/V)

Részvétel az ismeret-

átadásban

Hány kreditértékű

tantárgy felelőse

a szakon, ill./ az

intézményben

B és M képzésben összesen

tantárgy elő-

adója I / N

gyak. fogl.-t tart I / N

Műszaki matematika szakirány 1. Mérnöki számítási módszerek 1.

Galántai Aurél DSc e.tan. AT I I 12/

2. Fourier analízis és függvénysorok

Tar József DSc e. tan. AT I N 7/

3. Dinamikai rendszerek

Zoller Vilmos CSc e. doc. AT I N 8/

4 .Többváltozós statisztikai módszerek

Fodor János DSc e.tan. AT I I 5/

5. Rendszer- és irányításelmélet 1.

Rudas Imre DSc e. tan. AT I I 12/

6. Parciális differenciál-egyenletek

Zoller Vilmos CSc e.doc. AT I I 8/

7. Mérnöki számítási módszerek 2.

Rudas Imre DSc e.tan. AT I I 12/

8. Rendszer- és irányításelmélet 2.

Tar József DSc e. tan. AT I I 7/

9. Sztochasztikus folyamatok 2.

Kárász Péter PhD e. tan. AT I I 13/

81

Szabadon választható tantárgyak 1.Robotirányítás és modellezés

Rudas Imre DSc e.tan. AT I N 12/

2. Hálózati folyam algoritmusok

Bakó András DSc prof. em. V I N 2/

3. Geometriai algoritmusok

Hermann Gyula CSc e.doc. AT I N 4/

4. Aggregációs függvények

Pap Endre DSc e.tan. AT I N 9/

5. Játékelmélet Kóczy Á. László PhD e.doc. AE I N 2/ 6. Real-time rendszerek és „anytime” algoritmusok

Várkonyiné Kóczy Annamária

DSc e.tan. AT I N 8/

7. Matematikai logika és alkalmazásai

Takács Márta

PhD e.doc. AT I N 7/

8. Formális módszerek az informatikában

Takács Márta PhD e.doc AT I N 7/

9. Számítógépes képfeldolgozás

Vámossy Zoltán PhD e.doc AT I I 8/

10. Gépi intelligencia 1.

Fullér Róbert CSc e.tan. AT I N 12/

11. Gépi intelligencia 2.

Fullér Róbert CSc e.tan. AT I N 12/

12. Szimulációs módszerek

Szeidl László DSc e.tan. V I N 4/

13. Bevezetés a SIMULINK modellalkotásba és programozásba

Sergyán Szabolcs PhD e.doc. AT I N 4/

14. Differenciál-geometria

Nagy Péter DSc e.tan. AT I N 8/

15. Robotika geometriai alapjai

Nagy Péter DSc e.tan. AT I N 8/

16. Numerikus analízis

Abaffy József DSc e.tan. AT I N 2/

17. Modellezés Horváth László CSc e.tan. AT I N 4/ 18. Mérnöki modellezés és számítógépes grafika

Horváth László CSc e.tan. AT I N 4/

19. A klasszikus mechanika és matematikai módszerei

Bitó János DSc prof.em. V I N 2/

20. Döntéshozatal és optimalizálás energetikai rendszerekben

Kádár Péter PhD e.doc. AT I N 2/

21. Modell alapú probléma-megoldás 1.

Tick József PhD e.doc. AT I I 8/

22. Modell alapú probléma-megoldás 2.

Tick József PhD e.doc. AT I I 8/

23. Probléma- Tick József PhD e.doc. AT I I 8/

82

megoldás számítógéppel 1. 24. Probléma-megoldás számítógéppel 2.

Tick József PhD e.doc. AT I I 8/

25. Bevezetés a MATLAB programozásba

Sergyán Szabolcs PhD e.doc. AT I N 4/

26. Megosztott paraméteres dinamikus rendszerek modellezése és irrányítása

Hulkó Gábor CSc e. tan AT I I 4/

27. Szoftverfej-lesztés párhuzamos és elosztott környezetben

Vámossy Zoltán PhD e.doc. AT I I 8/

28. Lágyszámítási módszerek és alkalmazásaik

Várkonyiné Kóczy Annamária

DSc e.tan. AT I N 8/

Nagy István PhD e.adj. AT N N 0/ 29. Digitális képfeldolgozás

Várkonyiné Kóczy Annamária

DSc e.tan. AT I I 8/

Nagy István PhD e.adj. AT N N 0/ 30. Döntés-analízis Fullér Róbert CSc e.tan. AT I N 12/ 31. Anyagtudományi termikus folyamatok modellezése

Réger Mihály DSc e.tan. AT I I 2/

Réti Tamás DSc e.tan. AT I I 0/

32. Optimalizálási modellek

Fülöp János PhD e.doc. AE I N 7/

33. Geometriai modellezés

Hermann Gyula CSc e.doc. AT I N 4/

IV.3 Összesítés az oktatói körről

a képzés tantárgyaina

k száma

a képzésben résztvevő összes oktató száma

az összes

oktatóból tantárgy-felelős

oktatók minősítettsé

ge

oktatók FOI-hez tartozása és munkaviszony

típusa

oktatók munkaköri beosztása

PhD/ CSc

DSc AT AE V ts. / adj.

docens

tanár

f. e. f. e 54 28 26 15 13 24 1 3 1 0 11 0 16

IV.4 Az oktatók személyi-szakmai adatai személyenként legfeljebb 2 oldal1 Az oktatói adatlapok csoportosítása (a csoporton belül névsor szerint):

(1) szakfelelős;

83

(2) szakirány-felelősök (ha vannak) (3) teljes munkaidőben foglalkoztatottak (AT) (4) nem teljes munkaidőben foglalkoztatottak (AE, V)

IV.5 Nyilatkozatok ♦ Az intézmény rektora által aláírt névsor az AT és AE oktatókról (név, születési idő, FIR azonosító

szám), mely tanúsítja, hogy minden felsorolt oktató a vonatkozó jogszabályi előírás1 szerinti („kizárólagossági”) nyilatkozatot adott a FOI-nek. Ha az oktató nem szerepel a rektor által aláírt listán, akkreditációs szempontból nem vehető figyelembe!

♦ Létesítés alatt álló intézmény vagy más okból történő „átlépés” esetében az átlépő szándék-nyilatkozó2 oktató csak akkor vehető figyelembe akkreditációs szempontból, ha csatolják a korábbi/addigi intézménye rektorának nyilatkozatát, mely szerint a rektornak tudomása van arról, hogy az adott oktató ennek az intézménynek tett akkreditációs nyilatkozatát visszavonja/visszavonta.

♦ Az intézményvezető szándéknyilatkozata arról, hogy biztosítja a fenti táblázatokban megnevezett oktatók foglalkoztatását a jelzett módon az intézményben az indítandó képzés egy teljes ciklusára, illetve gondoskodik a személyi feltételek bemutatott szakmai megfelelőségének fenntartásáról.

♦ Az intézménnyel (köz)alkalmazotti jogviszonyban / munkaviszonyban) nem állók (pl. egyes AE, valamint a V oktatók) nyilatkozata arról, hogy vállalják a nevük alatt feltüntetett tantárgyak oktatását és az oktatási követelmények teljesítését.

V. A szakindítás tudományos háttere

A szak indításának tudományos hátterét biztosító, országosan (és nemzetközileg) elismert szakmai műhely(ek) tudományos (alkotói, K+F, művészeti) programja, fontosabb publikációs, pályázati és együttműködési eredményei, azok vezetői és résztvevői (max. 2 oldal terjedelemben)

VI. A szakindítás infrastruktúrális feltételei

A képzés tárgyi feltételei, a rendelkezésre álló infrastruktúra (ha a KKK szabályozza, akkor annak alapul vételével, számszerű adatokkal alátámasztott) bemutatása:

1 A hatályos Ftv. 84. §. (5) bekezdése szerint egy oktató csak egy felsőoktatási intézményben vehető figyelembe az intézmény működési feltételeinek mérlegelése során. 2 Átlépő szándéknyilatkozó az, aki egy adott FOI-ban A oktató, ugyanakkor más FOI által benyújtott szakindítási kérelemben úgy szerepel, mint aki ebben a másik intézményben szándékozik majd A oktató lenni. Ez esetben ehhez a beadványhoz kérjük csatolni a korábbi/addigi intézménye REKTORÁNAK NYILATKOZATÁT arról, hogy az illető oktató szándékáról tudomása van, az oktató neki adott nyilatkozata visszavonása megtörténik/megtörtént.

84

• Tantermek, előadótermek, laboratóriumok és eszközellátottságuk, műhelyek, gyakorlóhelyek

• Számítástechnikai, oktatástechnikai ellátottság

• Könyvtári ellátottság; a papíralapú, illetve elektronikusan elérhető fontosabb szakmai folyóiratok és a szak szempontjából fontos szakkönyvek könyvtári, ill. internetes elérhetősége, a könyvtár ezen adatait tartalmazó honlap címe

• A hallgatói tanulmányok eredményes elvégzését segítő további szolgáltatások, juttatások, a biztosított taneszközök (tankönyv, jegyzet ellátás stb.), mindezek az idegen nyelven folyó képzésben az adott idegen nyelvű anyaggal!

• Az oktatás egyéb, szükségesnek ítélt feltételei

VII. A képzési létszám és kapacitás A tervezett hallgatói létszám 25-25 és annak indoklása.

Az intézmény képzési kapacitása az érintett képzési területen, ill. szakon (OH adatok).