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Material de distribución gratuita

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Programa Educación Adultos 2000

Coordinador pedagógico:Lic. Roberto Marengo

Equipo técnico-pedagógico:Lic. Valeria CohenLic. Daniel López

Lic. Norma MerinoLic. Noemí ScaletzkyLic. Alicia Zamudio

Matemática ACoordinadores:Prof. Dora GuilProf. Ernesto Maqueda

Equipo docente:Prof. Carlos BattilanaProf. Matías BruzzoniProf. Silvia García BonelliProf. Nora Di LascioProf. Gerardo FeresProf. Claudio MayayoProf. Claudia MazzeoProf. Susana MuñozProf. Gabriela Otero

Asesores de alumnos:María AlemFernando Piquero

Guía de estudios Matemática A

Coordinación de la producción y edición:Lic. Norma MerinoLic. Noemí Scaletzky

Especialistas en contenidos:Prof. Dora GuilProf. Ernesto Maqueda

Procesamiento didáctico:Lic. Betina AkselradLic. Alejandra Amantea

Supervisión legal:Dra. Fabiana Leonardo

Diseño gráfico y diagramación:Juan Carlos Badino


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Nuestro sincero recuerdo y agradecimiento a Beatriz Marelli, con quien tuvimos la dicha de compartir tantos años de trabajo y aprendizajes.


MATEMATICA

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MATEMATICA

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Al iniciar el trabajo con Matemática A usted ya ha transitado un camino deaprendizaje de nociones matemáticas en su escolaridad primaria. Esto signifi-ca que no se acerca ahora a la Matemática por primera vez. Sin embargo susexperiencias al respecto pueden haber sido muy variadas.

Quienes diseñamos la propuesta de enseñanza de Matemática en EducaciónAdultos 2000, partimos de algunas ideas generales a partir de las cualesconstruimos un modo de trabajo que intenta favorecer el estudio de estamateria y consideramos fundamental compartirlas con nuestros alumnosdesde el inicio. Por esto le presentamos aquí las ideas que orientan nuestrotrabajo como docentes de Matemática:

• Seguramente usted utiliza en su vida diaria una gran cantidad de nocionesmatemáticas sin darse cuenta; las usa eficientemente y de manera tal quele permiten resolver diferentes situaciones relativas a su vida cotidiana.

• Partiendo de esta "experiencia matemática" incorporada a su vida diaria esposible avanzar hacia la interpretación de los conceptos matemáticos queallí entran en juego y trasladarlos a situaciones más complejas.

• Cada nuevo concepto matemático que se aprende se apoya en otros yaadquiridos como si se tratara de hileras de ladrillos que se asientan unas enotras para que la pared que se construye sea sólida.

• Cada adquisición pasa por una serie de etapas que van desde lo más con-creto y ligado a nuestra experiencia cotidiana, hacia niveles de complejidady abstracción cada vez mayores.

• En tanto la Matemática se expresa a través de un sistema de símbolos yrepresentaciones gráficas que le es propio, es necesario hacer comprensibleeste lenguaje desde su significado matemático y su relación con situacio-nes concretas.

• Si favorecemos que estas etapas se cumplan sin saltear ninguna, respetan-do los ritmos de avance de cada alumno, usted podrá aprender Matemáticaaún cuando sus experiencias anteriores con esta materia no le hayan ofre-cido esta sensación.

En resumen, le proponemos aprender Matemática de una manera semejante ala que el hombre ha seguido en la creación de las ideas matemáticas: descu-briendo los conceptos a partir de situaciones que podrían presentarse en la rea-lidad, o de problemas pertenecientes a otras ciencias que utilizan conceptosmatemáticos para resolverlos.

Conociendo cuáles son nuestros puntos de partida, le será más sencillo com-prender el modo de trabajo que le proponemos desarrollar.

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4�5�� 67A partir de estas ideas hemos pensado este material de enseñanza como unrecurso a través del cual usted pueda aprender conceptos matemáticos y el len-guaje que los expresa.

En cada Unidad usted encontrará:

• Una presentación en la que se describen las principales nociones y conteni-dos que se abordarán y los Propósitos a alcanzar (o lograr) en relación conesas nociones y contenidos.

• Actividades que presentan situaciones de trabajo y problemas concretos pararesolver y analizar. Cada una de ellas representa un camino hacia los concep-tos matemáticos y al lenguaje que los expresa. Muchas de estas actividades tie-nen distintas Partes. Algunas de estas Actividades o Partes serán indicacionespara leer el texto recomendado. Estas le señalarán qué páginas del textodeberá consultar y qué actividades propuestas en el libro deberá resolver.

• Comentarios bajo el título Orientaciones, que lo invitan a reflexionar sobresu trabajo y a verificar su camino de resolución de las diferentes partes de lasactividades.

• Indicaciones para retomar conceptos, en aquellos casos en los que la resolu-ción de la actividad requiera que recuerde algunos conceptos matemáticosaprendidos en una etapa anterior.

• Apartados especiales denominados En términos matemáticos, destinados aformalizar los conceptos que usted vaya construyendo a partir de su trabajo enlas distintas partes de cada Actividad. En estos apartados presentaremos tam-bién el lenguaje que utiliza la Matemática para expresar dichos conceptos.

• Ejercicios de integración, que usted debe resolver al finalizar cada unidad. Laresolución de estos ejercicios le permitirá sintetizar los temas trabajados en launidad, aplicar los conceptos y la simbología estudiados a la resolución denuevas situaciones, vincular entre sí los conceptos y estudiar algún otro aspec-to de los mismos que no fue tratado en el desarrollo de la unidad. Su resolu-ción le dará también la oportunidad de decidir si está en condiciones de con-tinuar avanzando con el estudio de la unidad siguiente o si todavía necesitadetenerse un tiempo más en la unidad que está estudiando, retomando aque-llas cuestiones que no haya podido resolver. No deje de realizarlos.Encontrará los enunciados de estos ejercicios en el Anexo de la Guía de estu-dio de Matemática A.

• Actividades de Autoevaluación, que se presentarán al concluir el desarrollo delas siete unidades y le permitirán evaluar su propio recorrido de aprendizaje delos conceptos y la adquisición del lenguaje matemático correspondiente.


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Encontrará los enunciados de estas actividades en el Anexo de la Guía deestudio de Matemática A.

La Guía de estudio constituye la herramienta fundamental para el apren-dizaje de los contenidos de la materia. Por lo tanto, un uso adecuado de lamisma favorecerá su proceso de aprendizaje. Para ello tenga en cuenta lassiguientes recomendaciones:

• Respete el orden de presentación de los temas y las actividades.

• Resuelva cada una de las actividades a medida que se van presentando.

• No se anticipe leyendo las Orientaciones o los apartados En términosmatemáticos. Estos sólo tendrán sentido para usted si previamente realizóla actividad propuesta.

• Recurra al trabajo con el libro cada vez que la Guía lo señala.

• No dude en asistir a las consultorías si lo necesita. Tenga en cuenta queéstas le ofrecen un espacio de consulta y orientación al tiempo que le per-miten intercambiar y compartir el trabajo con otros alumnos.

• Si no puede asistir a consultorías presenciales, puede acercarnos sus dudasa través del correo electrónico, el buzón de actividades o las consultoríastelefónicas.

• Utilice un cuaderno o carpeta para resolver por escrito las actividades pro-puestas en la Guía, escribir sus dudas y realizar anotaciones vinculadas conla lectura del libro recomendado. Tenga en cuenta que las actividadespropuestas deben ser resueltas por usted mismo y este trabajo le iráindicando qué ha comprendido y cuáles son sus dificultades. Tener regis-tro de esto facilitará su tarea y le resultará un material fundamental paratrabajar en las consultorías.

• Vaya registrando de algún modo que a usted le resulte útil, toda la simbo-logía matemática que la Guía vaya presentando, de modo que pueda tener-la presente siempre que sea necesario.

¿Qué es necesario saber para trabajar con los contenidos de Matemática A?

Para poder comenzar a estudiar Matemática A no necesita nada más que todosesos conocimientos matemáticos que usted utiliza eficazmente en su vida coti-diana y que posiblemente dispone en forma inconsciente.

Sólo es necesario que usted no abandone esos recursos en el momento deponerse a estudiar Matemática y que los ponga en juego cada vez que le plan-teemos una situación para resolver. No se demore pensando "¿qué debería


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saber para responder esto?", o "¿cómo debería hacerse esto?". Simplementedéjese llevar por la situación y dé sus respuestas pensando tal como lo hace ensu casa, en su trabajo o en la calle.

No se preocupe por dar una respuesta que no sea correcta, lo importante esque usted se dé la oportunidad de pensar cada situación y de buscar una posi-ble respuesta. Y darse la oportunidad de pensar y responder implica darse laoportunidad de equivocarse. El error también es un elemento de aprendizajeque permite avanzar hacia la construcción de los conceptos que esté apren-diendo.


MATEMATICA

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Le presentamos el Programa completo correspondiente a Matemática A. Elconjunto de contenidos está distribuido en siete Unidades con la siguientesecuencia:

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3�89��:6;Como ya lo hemos señalado al explicar la organización de la Guía, en algunasocasiones usted deberá abordar los temas del Programa trabajando con el librorecomendado al que tendrá que recurrir cada vez que se lo indiquemos en laGuía. Con este libro usted estudiará los temas que no son tratados por la Guíade Estudio.

El libro que hemos seleccionado para trabajar con esta Guía es: López A. yPellet, C., Matemática En Red 8 EGB, A-Z editora.

Un buen manejo de la relación entre la Guía de Estudio y el texto es funda-mental para el aprendizaje de los contenidos del Programa. Por eso le reco-mendamos estar atento a las indicaciones que le presentaremos al respecto.


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UNIDAD 1

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La Matemática describe aproximadamente los fenómenos de la realidad dediferentes formas. Estas formas constituyen lo que denominamos modelosmatemáticos.

En esta Unidad trabajaremos con las diferentes maneras de formular modelosmatemáticos. Analizaremos cuándo un modelo es válido o no lo es, qué res-tricciones de uso puede tener y su utilidad para predecir posibles resultados.

�6�<5�� 9��=��En relación con los contenidos de esta unidad le proponemos que:

• Reconozca de qué forma la Matemática formula modelos matemáti-cos para describir en forma aproximada fenómenos de la realidad.

• Reconozca algunos modelos matemáticos sencillos.

• Analice la validez de modelos matemáticos sencillos.

• Realice predicciones a partir de la formulación de un modelomatemático.

Como dijimos en la presentación de la materia: aunque usted crea que no

sabe nada de Matemática seguramente muchas veces, sin darse cuenta,

está resolviendo en su vida cotidiana situaciones en las que usa

Matemática.

Le propondremos a continuación varias situaciones que se le podrían pre-

sentar en su actividad diaria. Debe disponerse a resolverlas de la misma

forma que lo hace cotidianamente.

Es decir que no tiene que ponerse a pensar “¿qué debería saber para res-

ponder?” Cuando responda, déjese llevar por su intuición y por la situa-

ción misma. Dicho de otro modo: Por un momento olvídese que está

estudiando Matemática y piense del mismo modo que lo hace en su vida

diaria.


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Santiago quiere tener todo bajo control. Entre otras cosas, ha decidido ir controlando

sus gastos día a día. Su sueldo mensual es de $ 1200 y lo cobra el último día de cada mes.

Veamos cómo fueron sus gastos durante julio.

El 30 de junio cobró su sueldo. Después de un día, a la noche del 1 de julio, le quedaban

$ 1170. Al finalizar el 2 de julio le quedaban $ 1140 y al concluir el 3 de julio le queda-

ban $ 1110.

A partir de la información anterior, responda las siguientes consignas:

1. Describa, con sus palabras, cómo usó el dinero Santiago durante los tres primeros días

de julio.

2. A partir del gasto de dinero que hizo Santiago en los tres primeros días del mes, cal-

culó que al terminar el 4 de julio, tendría $ 1080. ¿Está de acuerdo con ese cálculo?

Explique con sus palabras lo que tiene en cuenta para contestar.

El 4 de julio Santiago comprobó que le quedaban $ 1080. Siguió gastando $ 30 por día

durante la primera semana del mes.

3. ¿Es cierto que le quedaban $ 1020 al terminar el 6 de julio? Explique por qué.

Para ir registrando la evolución del gasto de su dinero durante el mes de julio, Santiago

confeccionó una tabla o planilla. En ella fue anotando, día a día, cuánto dinero le iba

quedando.

Las siguientes son las anotaciones que hizo para la primera semana del mes:

Día del mes 1 2 3 4 5 6 7

Dinero que le queda 1170 1140 1110 1080 1050 1020 990

4. De acuerdo con la planilla anterior:

a) ¿Cuánto dinero le queda a Santiago al finalizar el 7 de julio?

b) ¿Qué día le quedan $ 1050?

5. Si el dinero restante lo gastó de la misma forma en que lo hizo la primera semana,

a) ¿Cuánto dinero esperaría que le quede el día 10 de julio?

b) ¿Le alcanzará el dinero cobrado para sus gastos del mes de julio?


6. En la vida de Santiago:

a) ¿Puede ocurrir que algún día deba gastar $ 50?

b) ¿Es posible que el 10 de julio le queden $ 970?

c) ¿Podría ocurrir que al 15 de julio haya gastado todo el dinero que cobró?

Por ahora no se preocupe por saber si sus respuestas a las preguntas for-

muladas son correctas o no. A medida que avance con la lectura del mate-

rial irá teniendo indicadores que le permitirán controlar si está realizando

un trabajo correcto.

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A cualquiera de nosotros le gustaría tener todo bajo control. Lamentablemente, estono siempre es posible. Por ejemplo, en el caso de Santiago, si nos guiamos por loque le ocurrió durante la primera semana del mes de julio, podemos predecir queel dinero le va a alcanzar para llegar a fin de mes, aunque podría no ser así.

Si analizamos lo que pasó con los gastos de Santiago durante los primeros díasde julio, podemos pensar que cada día le quedan $ 30 menos que el día ante-rior. En este caso, estamos pensando en un modelo matemático que consisteen restar 30 a la cantidad de dinero que el tenía día anterior.

Este modelo nos permite describir lo que ocurrió con el dinero de Santiagodurante la primera semana de julio. Si bien a través de él podemos estimar quécantidad de dinero le quedaría a Santiago un día cualquiera del mes, el mode-lo podría perder validez en cualquier día. Esto ocurriría, por ejemplo, si un díadel mes a Santiago se le presentara un gran gasto que supere los $ 30. O tam-bién, si un día gastara menos de $ 30.

Un modelo matemático nos permite describir lo que observamos en la reali-dad, pero no debemos perder de vista que su validez depende de lo que ocu-rra en la realidad. Puede ser que lo que ocurra en la realidad lleve a cambiar omodificar el modelo formulado. Es la realidad la que nos impone un posiblemodelo matemático. De ninguna manera, un modelo matemático puedeimponernos la realidad. Es más, controlar los gastos como lo hizo Santiago enlos primeros días de julio sería ideal para la mayoría de nosotros; aunque engeneral no lo podemos hacer.

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Usted va a una librería para hacer algunas fotocopias y se encuentra con una tabla como

la siguiente:

fotocopias $ fotocopias $ fotocopias $ fotocopias $

1 0,06 6 0,36 11 0,66 16 0,96

2 0,12 7 0,42 12 0,72 17 1,02

3 0,18 8 0,48 13 0,78 18 1,08

4 0,24 9 0,54 14 0,84 19 1,14

5 0,30 10 0,60 15 0,90 20 1,20

Parte A

A partir de la información de la tabla anterior, responda las siguientes preguntas:

1. En esta librería,

a) ¿Cuánto se debe pagar por 12 fotocopias?

b) ¿Cuántas fotocopias se pueden hacer por $ 1,08?

c) ¿Cuánto cobran por cada fotocopia?

2. a) ¿Cuánto esperaría que le cobren, en esta librería, por 35 fotocopias?

b) ¿Qué cuenta hizo para responder la pregunta anterior? Escríbala.

3. a) ¿Cuánto debería pagar, en esta librería, por 67 fotocopias?

b) ¿Y por 110 fotocopias?

c) ¿Y por 180 fotocopias?

d) En cada uno de los casos anteriores, ¿qué cuenta hizo para calcular cuánto debepagar? Escriba cada una de ellas.

e) Complete la siguiente tabla indicando la cuenta que realiza con la cantidad de foto-copias para calcular cuánto dinero debe pagar por ellas. A modo de ejemplo le pre-sentamos la primera fila completa.

Cantidad de fotocopias Cuenta que hace para calcular el dinero a pagar

12 0,06 . 12 = 0,72

35

67

110

180

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f) En las cuentas que hizo en la tabla para obtener el dinero a pagar, de acuerdo a lacantidad de fotocopias:

• ¿Qué número se repite en cada una?

• ¿Qué número cambia?

g) Describa, con sus palabras, la cuenta que hace con la cantidad de fotocopias para calcular lo que se debe pagar por ellas.

Parte B

El dueño de la librería se pregunta si habrá otra forma de guardar la información que

no sea la planilla. Le plantea su inquietud a un cliente, que le dice: “La cuenta que usted

hace para calcular cuánto hay que pagar por una cantidad de fotocopias es siempre la

misma”.

1. Suponga que a la cantidad de fotocopias la llamamos c. ¿Qué cuenta debe hacer con

cada valor de c para calcular el precio a pagar por dicha cantidad de fotocopias? Para

indicar la cuenta que le pedimos complete la siguiente fila que agregamos a la tabla

anterior:

Cantidad de fotocopias Cuenta que hace para calcular el dinero a pagar

c

2. Suponga que el dinero a pagar por las fotocopias lo llamamos p. La cuenta que rea-

liza con la cantidad c de fotocopias da como resultado el precio p que se debe pagar.

Para indicarlo se usa una igualdad que le pedimos que complete a continuación:

p = …............

3. a) El dueño de la librería, ¿podría cambiar la planilla por la igualdad que escribió en

el ítem 2.?

b) Usando la igualdad que escribió en el ítem 2., compruebe, por ejemplo, que si

hace 13 fotocopias debe pagar $ 0,78.

c) Usando la igualdad que escribió en el ítem 2., calcule cuánto debe pagar por

hacer 210 fotocopias.

4. ¿Podría ocurrir, en esta librería, que el precio de 210 fotocopias fuese alguna vez de

$ 15? Escriba los argumentos que le permiten dar su respuesta.


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Los modelos matemáticos pueden expresarse de distintas maneras. Por ejemplo,en la fotocopiadora, la tabla es una de esas formas de expresión. Pero hacer unatabla donde se indique el precio a pagar por hacer 1, 2, 3, ..., ó cualquier otracantidad de fotocopias, (por ejemplo, 210 fotocopias) es muy engorroso y exten-so. Este es el inconveniente que tiene esta forma de expresión.

Como habrá observado en la tabla, el precio de cada fotocopia es de $ 0,06.Para calcular cuánto cuesta hacer una determinada cantidad de fotocopias, sepuede multiplicar esa cantidad por 0,06. Es decir que se hace una mismacuenta (en este caso, multiplicar por 0,06) con distintos números (en estecaso, la cantidad de fotocopias). Por lo tanto, hay un número que se repite entodos los cálculos (el precio de cada fotocopia) y otros que van cambiando (lacantidad de fotocopias).

Por ejemplo, para completar la tabla de la Parte A, usted multiplicó a 0,06por 12, ó por 35, ó por 67, ó por 110, ó por 180. Con esa cuenta calculócuánto debe pagar por 12, ó por 35, ó por 67, ó por 110, ó por 180 fotoco-pias, respectivamente.

En Matemática, cuando una misma cuenta se repite para varios números, sela expresa en forma general utilizando letras. Estas letras representan a cual-quiera de los números que van cambiando y podrían usarse en la cuenta. Eneste caso, a la cantidad de fotocopias la llamamos c. Por lo tanto, para expre-sar la cuenta que hacemos, escribimos: 0,06 . c (Nota: Para expresar una mul-tiplicación usamos un punto).

El resultado de la cuenta anterior nos indica el precio que debemos pagar porhacer una cantidad c de fotocopias. Dicho precio, también va cambiando deacuerdo con la cantidad de fotocopias que se hagan. Por lo tanto, para expresaren general cualquier precio usamos otra letra. En este caso, hemos elegido la letrap. Es decir, que con la letra p expresamos los posibles precios de las fotocopias.

¿Cómo relacionamos el precio p con la cantidad de fotocopias c? Como vimosen la Parte B, para calcular el precio p correspondiente a hacer una cantidadc de fotocopias, resolvemos la cuenta 0,06 . c. El resultado de esta cuenta nosda el precio p. Por lo tanto, podemos expresar lo hecho, usando la igualdad

p = 0,06 . cEsta igualdad nos permite abreviar en pocos símbolos una cantidad enorme decuentas. Además, podríamos cambiar la tabla de la fotocopiadora por estaigualdad y utilizarla para calcular el precio a pagar por hacer una cantidad defotocopias cualquiera.

Tanto la igualdad anterior como la tabla nos serán de utilidad si las condicio-nes se mantienen estables. Si hubiera un aumento o una rebaja en el precio dela copia, ni esta tabla, ni esta fórmula seguirían siendo útiles. En estas situa-ciones, el modelo matemático formulado deja de tener validez y hace faltareemplazarlo por uno nuevo.


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A igualdades, como p = 0,06 . c, en las que se relacionan variables, las llama-mos fórmulas. Llamamos variables a los números que pueden ir cambiando alrealizar los cálculos y los expresamos con letras. En el caso que estuvimos ana-lizando, las variables de la fórmula están expresadas con las letras p y c.

Las fórmulas son una forma de expresar modelos matemáticos.

Parte C

Debido a los aumentos de precio del papel y de la tinta, el dueño de la fotocopiadora

debe cambiar el precio de las fotocopias. Después de estudiar esta situación, decide que

debe cobrar $ 0,08 por cada fotocopia.


1. Complete la siguiente tabla dando el precio a pagar por las cantidades de fotocopias

indicadas:

Cantidad de fotocopias 1 2 3 7 18 25 56 118 210

Precio a pagar:

2. A la cantidad de fotocopias la identificamos con la letra c y al precio a pagar por ellas

con la letra p. Escriba la igualdad que permite describir la cuenta que hay que hacer

con c para calcular p después del aumento.

Parte D

En otra librería, el encargado ya utilizaba igualdades desde hace un tiempo para hacer

el cálculo de cuánto se debe pagar por una cantidad de fotocopias. Actualmente usa la

siguiente igualdad: p = 0,07 . c (Recuerde que usamos la letra c para indicar la cantidad

de fotocopias y la letra p para indicar el precio a pagar por esa cantidad).

Teniendo en cuenta la información anterior, responda las siguientes preguntas:

1. ¿Cuánto cuesta hacer 18 fotocopias en esa librería? ¿Y 34 fotocopias?

2. ¿Cuánto vale cada fotocopia?

En esta librería a los clientes que hacen más de 200 fotocopias se les ofrece un des-

cuento.

3. ¿Puede usar el modelo de la igualdad p = 0,07 . c para calcular el precio a pagar por

250 fotocopias? Explique su respuesta con sus palabras.


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El uso del modelo matemático de fórmula p = 0,07 . c tiene restricciones ensu validez. Se puede utilizar sólo si la cantidad c de fotocopias es menor a 200.Si la cantidad de fotocopias es mayor a 200, ese modelo no nos sirve más por-que no tiene en cuenta el descuento que hace la librería. Eventualmente, sepuede buscar otro modelo que sea válido también para más de 200 fotocopias(cosa que no haremos ahora).

Simplemente, vaya teniendo en cuenta que un modelo matemático puedetener restricciones en su uso. Es decir, que el modelo puede ser usado paraalgunos valores y para otros no.

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En un laboratorio se hace un experimento. Se calienta una sustancia y se va registrando

la temperatura que alcanza. Después de 2 minutos de comenzados los registros se obser-

va que la temperatura de la sustancia es de 4 ºC.

Los encargados del laboratorio quieren encontrar una cuenta que les permita calcular la

temperatura de la sustancia usando el tiempo transcurrido desde que comenzó el expe-

rimento.

Cada uno de los tres encargados plantea realizar una cuenta diferente.

Uno de ellos propone: “Le sumo 2 al tiempo y obtengo la temperatura”.

Otro dice: “Multiplico por 2 al tiempo y obtengo la temperatura”.

El tercero acota: “Multiplico por 3 al tiempo y después resto 2 y obtengo la temperatura”.

Parte A


1. ¿Piensa que los 3 encargados tienen razón en las cuentas que plantean? Escriba las

cuentas que hizo cada uno de ellos para realizar su propuesta.

En el laboratorio continúan observando la evolución de la temperatura de la sustancia

y registran que a los 4 minutos, alcanza una temperatura de 10 ºC.

2. Tenga en cuenta este nuevo registro para responder las siguientes preguntas:

a) Las cuentas planteadas por los encargados del laboratorio, ¿siguen siendo válidas?

b) ¿Cuál o cuáles de las cuentas planteadas no son válidas? ¿Por qué pierden validez?

c) ¿Cuál o cuáles siguen siendo válidas? ¿Por qué?


#��#��

Cuando se tiene en cuenta sólo el primer registro de temperatura, cualquierade las tres cuentas propuestas por los encargados es válida. En cambio, al apa-recer un nuevo dato, debemos descartar dos de ellas. Sólo permite describir loobservado la que propone el tercer encargado.

La aparición de nuevos datos puede hacer que un modelo matemático pierdavalidez.

Si utilizamos la letra y para expresar a las diferentes temperaturas de la sus-tancia y la letra t para expresar al tiempo transcurrido desde el comienzo delexperimento, podemos escribir la cuenta propuesta por el tercer encargadousando la siguiente fórmula:

y = 3 • t - 2

Parte B

Se pudo comprobar que la cuenta propuesta por el tercer encargado vale durante la pri-

mera media hora de experimento. Después de ese lapso, la temperatura de la sustancia

varía su forma de comportamiento.

Responda las siguientes consignas a partir de la información anterior:

1. ¿Puede calcular, utilizando una cuenta, cuál es la temperatura de la sustancia a los 10

minutos de comenzado el experimento? Si es posible, indique dicha temperatura. Si

no es posible, explique por qué.

2. Calcule la temperatura de la sustancia 18 minutos después de comenzar el experi-

mento.

3. ¿Puede estimar cuál será la temperatura de la sustancia a los 25 minutos de haber

comenzado el experimento? Si es posible, indíquela. Si no es posible, indique por qué.

4. Determine si es posible calcular, utilizando esta cuenta, la temperatura de la sustan-

cia 45 minutos después de comenzado el experimento. Si es posible, indique dicha

temperatura. Si no es posible, explique por qué.

#��#��

Nuevamente, en este caso, aparecen las restricciones de uso de un modelomatemático. El modelo propuesto por el tercer encargado se puede usar parapredecir valores de temperatura para un determinado período de tiempo.Pasada la media hora de experimento, ese modelo propuesto no sirve más. Silo necesitaran, los encargados del laboratorio deberían analizar qué modelopodrían utilizar a partir de ese momento.

�� 21


��#��%+++ � �� 22

Parte C

Otro día, en ese laboratorio, se experimenta con otra sustancia. En la siguiente tabla se

muestran los registros de temperatura obtenidos en los instantes que se indican.

Tiempo t (en minutos) 2 5 7 10

Temperatura y (en ºC) 6,1 8,9 11 14,2

Teniendo en cuenta los datos de la tabla anterior, verifique que la fórmula y = t + 4 des-

cribe aproximadamente lo observado en el experimento.

#��#��

Habrá observado que, usando la fórmula y = t + 4, se obtienen los siguientesresultados para la temperatura y:

Si t = 2, resulta y = 2 + 4 = 6

Si t = 5, resulta y = 5 + 4 = 9

Si t = 7, resulta y = 7 + 4 = 11

Si t = 10, resulta y = 10 + 4 = 14

Los valores de temperatura obtenidos con la fórmula son, aproximadamente,los registrados en el experimento.

Muchas veces ocurre que un modelo matemático no describe exactamente loobservado en la realidad, sino que lo hace en forma aproximada.

��B��#��$��#�!��#��#��$��#

En todas las situaciones analizadas se da como información un número finitode mediciones o registros a partir de los cuales se formula un modelomatemático que describe la situación. Con ese modelo se pueden hacerpronósticos o predicciones sobre casos no medidos aún, partiendo de la supo-sición de que el fenómeno seguirá ocurriendo del mismo modo. Pero debemostener claro que no es seguro que esto ocurra así, que es sólo esperable.

Un modelo matemático entonces es una relación esperable entre datos obte-nida a partir de una relación observada entre los mismos.

��

��

��

�� !!��


�� % 23

UNIDAD 2

UN

IDA

D 2

��

��

En esta unidad nos proponemos analizar situaciones similares a las que ustedresuelve cotidianamente, en las que seguramente se desenvuelve sin dificultad.

A partir de esas situaciones formalizaremos las propiedades y convencionesque utiliza la Matemática para operar en los distintos conjuntos numéricos.

Presentaremos los números negativos y los números fraccionarios y trabajare-mos la forma de operar con ellos.

Por último veremos por qué es necesario utilizar notación científica paraexpresar cantidades muy grandes o muy pequeñas, por ejemplo las distanciasastronómicas y las medidas de objetos microscópicos, respectivamente.

�6�<5�� 9��=��En relación con los contenidos de esta Unidad le proponemos que:

• Formalice las reglas que utiliza la Matemática para operar con númerosnaturales.

• Interprete el concepto de fracción, utilizándolo en diversas situacionesconcretas.

• Reconozca el significado de fracciones equivalentes.

• Represente fracciones en la recta numérica.

• Opere con números fraccionarios combinando las operaciones y recono-ciendo propiedades y convenciones necesarias para su realización.

• Reconozca los números enteros en situaciones concretas.

• Represente números enteros en la recta numérica.

• Opere con números enteros, combinando las operaciones y reconociendopropiedades y convenciones necesarias para su realización.

• Reconozca los números racionales, los represente en la recta numérica yopere con ellos combinando las operaciones y reconociendo las propieda-des y convenciones necesarias para su realización.

• Reconozca los números irracionales.


��#��%+++ � �� 24

• Exprese un número racional en forma fraccionaria y decimal, pasando deuna a otra forma de expresión.

• Exprese números racionales utilizando notación científica.

• Interprete resultados dados en notación científica.

��>��C� !�@��#��.��(A

El sábado la familia López salió de compras llevando $ 100.

En la verdulería compraron 4 kilos de papas, 2 kilos de naranjas, 1 kilo de manzanas y

un kilo y medio de tomates. Cada kilo de papas vale $ 0,45; el kilo de manzanas cuesta

$ 3; el kilo de naranjas vale $ 1,65 y el kilo de tomates $ 2,80. También pasaron por la

carnicería. Allí compraron tres kilos de asado y dos kilos de carne para milanesas. El pre-

cio del kilo de asado es de $ 4,99 y el kilo de carne para milanesas cuesta $ 5,80.

Julieta, la hija menor, necesitaba un pantalón. En un negocio del barrio el pantalón cos-

taba $ 45 y se podía pagar en dos cuotas sin recargo. Decidieron aprovechar la oportu-

nidad y comprarlo en cuotas.

Seguramente en su vida cotidiana usted resuelve permanentemente situa-

ciones similares a ésta en forma eficaz. Póngase en el lugar de un inte-

grante de la familia López. Imagine que usted es la madre o el padre, que

ha salido de compras y que se le han presentado cuestiones como las que

le planteamos a continuación en esta actividad.

Le pedimos que se olvide por un rato que está estudiando Matemática y

que las resuelva de la misma forma que lo hace todos los días al organizar

sus compras.

Parte A

A partir de la información anterior sobre las compras de la familia López, responda las

siguientes preguntas:

1. ¿Cuánto gastaron en la verdulería?

2. Para calcular el gasto en la verdulería usted hizo algunas cuentas. ¿Qué operaciones

intervinieron en esas cuentas?

3. ¿En qué orden fue resolviendo las operaciones que intervinieron en la cuenta del

gasto en la verdulería? Indique qué operación resolvió en primer lugar, qué opera-

ción resolvió a continuación y así sucesivamente.

4. ¿Cuánto gastaron en la carnicería?

5. Identifique también qué operaciones usó para resolver la cuenta del gasto en la car-

nicería y en qué orden las realizó.

6. ¿Cuánto pagaron cada cuota del pantalón para Julieta?


�� % 25

Parte B

Responda las siguientes preguntas:

1. ¿Cuánto dinero le quedó a la familia López después de realizar todas las compras?

2. Para calcular cuánto dinero les quedó usted hizo algunas cuentas. ¿Qué operaciones

intervinieron en ella? ¿En qué orden las hizo?

3. Un compañero suyo le dice: “Para calcular cuánto dinero les quedó sumo el gasto en

la verdulería con el gasto en la carnicería y con lo pagado en la primera cuota del

pantalón y este resultado se lo resto a 100.” ¿Está de acuerdo con su compañero en

que ésa es una forma de calcular el dinero que les quedó?

4. Otro compañero le dice: “Resto a los $ 100 con los que salieron de la casa lo gastado

en la verdulería, a este resultado le resto el gasto de la carnicería, y a este resultado

le resto lo pagado en la primera cuota del pantalón. Así calculo cuánto les quedó.”

¿Está de acuerdo con la forma de cálculo de este otro compañero?

#��#��

En la situación planteada intervienen dos tipos de números con los que ustedhabitualmente tiene contacto: los números enteros positivos y los númeroscon coma.

La Matemática llama números naturales a los números enteros positivos, ynúmeros decimales a los números con coma.

Para responder a lo pedido en la actividad usted seguramente resolvió opera-ciones entre estos números e identificó el orden en que realizó estas operacio-nes. Al calcular cuánto gastaron los López en la verdulería calculó en primerlugar cuánto dinero gastaron en papas, cuánto en manzanas, cuánto en naran-jas y cuánto en tomates, y luego sumó estos cuatro valores.

Para calcular, por ejemplo, cuánto gastó en papas usted pudo haber procedido dedos formas: sumando 4 veces el precio del kilo de papas o multiplicando a esteprecio por 4. Esta última es la forma más corta de realizar el cálculo. Por eso deci-mos que multiplicar por un número natural es una forma abreviada de sumar.

Por lo tanto, para realizar el cálculo del gasto total en la verdulería resolvemosuna cuenta en la que intervienen dos operaciones: multiplicación (para calcu-lar lo gastado en papas, manzanas, naranjas o tomates) y suma (para calcularel gasto total en la verdulería). Resolvemos en primer lugar las multiplicacio-nes y a continuación la suma.

Es importante que sepa que si usted utilizó este orden intuitivamente pararesolver el cálculo pedido, éste es el mismo orden que utiliza la Matemáticapara resolver los cálculos cuando se combinan las operaciones.


��#��%+++ � �� 26

Podemos escribir el cálculo de lo gastado en la verdulería así:

4 . $0,45 + 2 . $1,65 + $ 3 + 1,5 . $2,80 = $1,80 + $3,30 + $3 + $4,20 = $12,30

Para calcular lo gastado en la carnicería se procede del mismo modo, y paracalcular lo gastado en la primera cuota del pantalón se divide por dos al pre-cio del pantalón.

Si escribimos el cálculo completo de lo gastado nos queda:

4 . $0,45 + 2 . $1,65 + $ 3 + 1,5 . $2,80 + 3 . $4,99 + 2 . $5,80 + $45 : 2

Para calcular cuánto dinero les quedó a los López después de realizar todas lascompras, usted puede haber seguido cualquiera de los dos caminos propuestos enlos ítems 3 y 4, de la Parte B, ambos son correctos. Para escribir el cálculo pro-puesto en el ítem 3. es necesario indicar de algún modo que primero debe sumar-se lo gastado en la verdulería, en la carnicería y en el pantalón, para luego restareste resultado de los $ 100. Para indicar esto la Matemática utiliza paréntesis y loescribe así:

$100 - ($12,30 + $26,57 + $22,50) = $100 - $61,37 = $38,63

El cálculo anterior también podría resolverse como se indica en el ítem 4, esdecir restando de los $ 100 el gasto en la verdulería, a este resultado restarle elgasto en la carnicería y al resultado de esta última cuenta restarle el gasto en laprimera cuota del pantalón.

También en este caso, para indicar en qué orden se deben resolver las cuentas,se utilizan paréntesis y corchetes. Así:

[($100 - $12,30) - $26,57] - $22,50 = ($87,70 - $26,57) - $22,50 = $61,13 - $22,50 = $38,63

Ambos cálculos pueden escribirse suprimiendo los paréntesis y corchetes así:

$100 - $12,30 - $26,57 - $22,50 = $38,63

en cuyo caso las operaciones se resuelven de izquierda a derecha en el ordenescrito.

�� B��#�� $��#�!� �'��#�� #�D>��#��(��$��#�

Los números naturales son los números que utilizamos para contar o para ponernúmeros identificatorios a objetos o eventos, como por ejemplo identificar elnúmero de una casa, la fecha de un acontecimiento, la edad de una persona, lacantidad de hijos, la cantidad de objetos adquiridos en una compra, etc.

Al conjunto de los números naturales lo simbolizamos con la letra N. Comoen algunas ocasiones necesitamos indicar con un número que no hay elementosen un conjunto, consideraremos al número 0 como un número natural también.Por lo tanto el conjunto de los números naturales está formado por:

N = {0; 1; 2; 3; 4; 5; ......}


�� % 27

Para representar geométricamente a los números naturales utilizamos unarecta. En esa recta se marca un origen donde se ubica al 0, se elige una unidady se repite esta unidad sucesivamente a la derecha del cero. Cada númeronatural queda representado por los puntos de la recta que quedan marcadospor las repeticiones de la unidad. Lo dicho se muestra en el siguiente gráfico:

Para realizar cálculos entre números naturales combinando operaciones, laMatemática establece el orden en el que deben resolverse estas operaciones paraque el cálculo sea correcto. Este orden también debe tenerse en cuenta para rea-lizar las operaciones con cualquier otro tipo de números. En un cálculo en el queintervengan sumas o restas, multiplicaciones y divisiones debe resolverse:

• En primer lugar las multiplicaciones y divisiones.

• A continuación las sumas y restas de izquierda a derecha.

Los paréntesis también se utilizan para indicar el orden de resolución de las ope-raciones. En un cálculo en el que intervengan paréntesis, estos nos indican quedebemos resolver en primer lugar las cuentas planteadas en su interior.

Para resolver estas cuentas debemos respetar el orden anterior. Una vez resueltoel cálculo del interior del paréntesis, continuamos la resolución del cálculo uti-lizando la convención anterior. Es decir, resolviendo primero las multiplicacio-nes y divisiones, y a continuación las sumas y restas de izquierda a derecha.

En la próxima actividad le proponemos que trabaje con el libro. Antes que

comience a realizar este trabajo queremos hacerle algunas sugerencias

que consideramos lo ayudarán en esta tarea:

• No es conveniente que se extienda en la lectura más allá de lo indicado.

• Resuelva sólo aquellas actividades que le indiquemos. Si intenta trabajar

con actividades no indicadas podría encontrarse con situaciones que

todavía no está en condiciones de resolver o con dificultades mayores

que las requeridas.

• Antes de comenzar el trabajo con el libro, le sugerimos que señale de

algún modo, que a usted le resulte cómodo, aquello que le indicamos

para leer y resolver. Esto le permitirá restringir su trabajo en forma

anticipada.

Tenga en cuenta estas sugerencias cada vez que le propongamos que tra-

baje con el libro.

0 1 2 3 4 5


CHOCOLIN CHOCOTON

��#��%+++ � �� 28

��>��C�%!�@��3�&��#��#��3�#A

En esta actividad lo orientaremos para que trabaje algunos contenidos de la unidad utilizando el

libro Matemática En Red 8 EGB de López A. y Pellet, C., editorial A-Z.

El abordaje de estos temas se realizará únicamente en base a la lectura y a la resolución

de las actividades que le indicaremos en los siguientes párrafos.

En el Capítulo 1 - Para empezar:

1. Resuelva las Actividades N° 1, 7, 8 y 9 de las páginas 12 y 13. Puede comparar sus res-

puestas con las dadas en la página 260.

2. Lea “Propiedades de las operaciones” en las páginas 14 y 15. No deje de leer el recua-

dro del margen derecho de la página 15.

3. Resuelva las Actividades N° 10, 11, 12 y 13 de la página 15 y la Actividad N° 97 de la

página 40. Puede comparar sus respuestas con las dadas en las páginas 260 y 261.

��>��?�"!�@��#��#�A�

Parte A

Mientras Agostina y Facundo jugaban en el cuarto, se escuchó el siguiente comentario:

"Tengo dos mitades de chocolates, te doy una a vos y me quedo con la otra".

1. ¿Cree que el reparto es equitativo, es decir que a cada uno le toca la misma cantidad

de chocolate? Explique por qué.

2. Le presentamos a continuación el dibujo en escala de las mitades de chocolates que

están repartiendo los chicos:

Después de observar el gráfico:

a) ¿Qué comentario haría respecto de su respuesta al ítem 1.?

b) ¿Qué aclaración sería necesario incluir en el enunciado de la actividad para no

generar malos entendidos?


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�� % 29

Parte B

A principios de mes la fábrica “Chocotón” anuncia una nueva propuesta para sus emple-

ados a través del siguiente cartel:

A fin de mes, se produjo una seria discusión entre un empleado administrativo y el con-

tador de la fábrica.

1. ¿Por qué se habrá producido esta discusión?

Al día siguiente, se corrigió el cartel. Quedó así:

2. ¿Qué es lo que ocurrió? ¿Por qué cree que se produjo la confusión y la discusión?

#��#��

En la Parte A, probablemente en un primer momento le habrá parecido equi-tativo el reparto porque pensó que los chocolates en cuestión eran iguales.Seguramente cambió de idea al enterarse de que las mitades de los chocolatesque estaban repartiendo no eran de igual tamaño.

Generalmente se da por supuesto que se trata de dos chocolates iguales. Peroqueremos destacar en este momento que para comparar “medios” o “mitades”de “chocolates”, esos “chocolates” deben ser del mismo tamaño.

Algo similar ocurre en la Parte B. Probablemente el empleado que discutió conel contador tenía un sueldo mayor al del obrero y creyó que el medio sueldo querecibiría a fin de mes, en pago por su trabajo extra, sería en relación a su sueldo.

Los malos entendidos surgidos en las dos situaciones anteriores tienen unmismo origen: la ambigüedad sobre cuál es la unidad a la que está referida lamitad en cuestión. Al hablar de “medios” es indispensable aclarar de “medios”de “qué” estamos hablando. Además, para comparar “medios” de “algo”, debe-mos referirnos siempre a la misma unidad.


��#��%+++ � �� 30

��>��?�,!�@��.��#��#��#��A

En una inmobiliaria venden una extensión grande de terreno. Para ello, lo han dividido

en "lotes" como el dibujado a continuación:

Como cada lote es muy grande, la inmobiliaria los ha fraccionado en partes iguales.

Confeccionó los planos y se redactaron las correspondientes escrituras de ventas.

Por eso, cada fracción de lote no puede ser subdividida.

Planos de las "fracciones de lote" que vende la inmobiliaria

1. Medios de un "lote"

La parte sombreada es "un medio lote".

2. Tercios de un "lote"

La parte sombreada es "un tercio de lote".

3. Cuartos de un "lote"

La parte sombreada es "un cuarto de lote".

4. Sextos de un "lote"

La parte sombreada es "un sexto de lote".

5. Doceavos de un "lote"

La parte sombreada es "un doceavo de lote".


12

13

16 1

12

14

�� % 31

Parte A

Mire los planos y responda:

1. ¿Cuántos "medios lotes" forman un lote?

2. Si se quiere formar un lote con "tercios de lote", ¿cuántos de ellos hacen falta?

3. ¿Cuántos "cuartos de lote" entran en un lote?

4. Para obtener "sextos de lote", ¿en cuántas partes iguales hay que dividir al lote?

5. ¿Cuántos "doceavos de lote" hay en un lote?

#��#��

Lo dicho en relación con la unidad de referencia en la orientación anteriorcuando hablábamos de “medios”, también es válido cuando hablamos de "ter-cios", “cuartos”, “sextos”, etc.

En todos los casos es indispensable precisar a qué unidad está referida cadauna de esas partes. En este caso se usó como unidad el "lote", que está repre-sentado a escala en el plano.

La inmobiliaria fraccionó al "lote" de la siguiente manera:

• En algunos casos lo dividió en dos partes iguales. A cada parte la llamó "un

medio lote". Esto puede escribirse así: 1/2 de lote o también de lote.

• En otros, dividió al lote en tres partes iguales, y a cada parte la llamó "ter-

cio de un lote". Esto puede escribirse así: 1/3 de lote ó de lote.

• En forma similar determinó los "cuartos de lote" (1/4 de lote ó de

lote) dividiendo el lote en cuatro partes iguales; los "sextos de lote" (1/6

de lote ó ) dividiendo al lote en seis partes iguales; y los "doceavos de

lote" (1/12 de lote ó ) dividiendo al lote en 12 partes iguales.

Parte B

A partir de los planos y de la información anterior responda las siguientes preguntas:

1. En una oportunidad, un cliente quiere comprar "medio lote" y la inmobiliaria no dis-

pone de uno de ellos. El empleado de la inmobiliaria le sugiere que compre otras

fracciones de lote que cubran la misma superficie que medio lote, es decir, fracciones

de lote que ocupen una superficie de igual tamaño que el medio lote pedido.


Mediosde lote

un lote equivale a:

un medio de un lote equivale a:

un tercio de un lote equivale a:

un cuarto de un lote equivale a:

un sexto de un lote equivale a:

Terciosde lote

Cuartosde lote

Sextosde lote

Doceavosde lote

2 4

��#��%+++ � �� 32

a) ¿Qué fracciones de lote podría ofrecer el empleado a su cliente en reemplazo del

medio lote pedido?

b) Si le ofreciera “cuartos de lote” ¿cuántos "cuartos de lote" debería comprar el

cliente?

c) ¿Y si le ofreciera "sextos de lote" o "doceavos de lote"?

d) El empleado, ¿puede ofrecer a su cliente “tercios de lote”? ¿Por qué?

2. Otro cliente quiere "un tercio de lote", pero estos se acabaron.

a) ¿Con qué fracciones de lote podría cubrir exactamente la superficie de un tercio de

lote?

b) Si para reemplazar el "tercio de lote" le ofrece "sextos de lote", ¿cuántos necesi-

taría? ¿Y si usara "doceavos de lote"?

Parte C

El empleado de la inmobiliaria se inquietó un poco al ver que se complicaba su tarea.

Debía cambiar los pedidos de los clientes por otros equivalentes. Se dijo: "Tengo que

organizarme para hacer más eficiente la atención al público".

Se le ocurrieron dos ideas:

• En primer lugar, calcó y recortó los planos de lotes y fracciones de lotes que vende la

inmobiliaria.

• En segundo lugar, confeccionó el cuadro que figura a continuación. Para llenarlo,

pensó así, por ejemplo: "Como un tercio de lote (1/3 de lote) equivale a 2 terrenos de

sextos de un lote, completo la tabla poniendo un 2 en la columna de los sextos".

Responda las siguientes consignas a partir de la información anterior.

1. ¿Cuál cree que fue la intención del encargado al calcar y recortar los planos de los

lotes y fracciones de lote?

2. ¿Cómo cree que usaría los planos para decidir, por ejemplo “dos sextos de lote”, es

lo mismo que “un tercio de lote”?

3. Complete la tabla que empezó a completar el empleado. ¿Por qué cree que hay casi-

llas sombreadas?


13

112

1313

16

16

66

412

66

ab

112

412

�� % 33

#��#��

En el cuadro anterior puede leerse, por ejemplo, que "un tercio de lote equi-vale a cuatro doceavos de lote".

Esto se puede escribir así: de lote = 4 veces de lote

ó de lote = 4 . de lote

ó de lote = de lote

Otro ejemplo que puede leerse de la tabla es que: "un lote equivale a 6 sextosde lote".

Esto se puede escribir así: 1 lote = 6 veces de lote

ó 1 lote = 6 . de lote

ó 1 lote = de lote

��B��#��$��#�!��'��#��.��#��#�

, son ejemplos de números fraccionarios. En general, cualquier

número de la forma (con b 0) es un número fraccionario. El número a se

llama numerador de la fracción y el número b se llama denominador. El

denominador le da el nombre a la fracción (la denomina) y el numerador indi-

ca el número de partes de la unidad que se están tomando.

Parte D

Teniendo en cuenta lo dicho en las Orientaciones anteriores:

1. Escriba de varias formas que "un medio lote es equivalente a tres sextos de lote".

2. Escriba todas las equivalencias de "un lote" que pueden leerse de la tabla.

3. Escriba todas las equivalencias de "un medio lote" que pueden leerse en la tabla.

Parte E

Como el empleado sabía algo de Matemática, se le ocurrió "simbolizar" el "lote" con un

segmento, y dijo:

• Como el lote es la unidad, y el segmento simboliza a un lote, entonces la longitud

completa del segmento es la unidad. Por esta razón consideraremos al segmento

como de longitud 1.


0 12

12

13

14

112

16

26

24

212

22

33

44

66

1212

312

36

612

412

24

��#��%+++ � �� 34

• La mitad del segmento representa a "1/2 de lote".

• Pero la mitad del segmento es un medio de la unidad, o sea "1/2 de unidad" ó "1/2

de 1", o simplemente .

La representación le quedó así:

1. Usando el mismo criterio que el empleado, represente las siguientes fracciones sobre

el mismo segmento utilizado por él:

2. Sobre el mismo segmento represente las fracciones:

¿Qué puede observar sobre sus ubicaciones en el segmento?

3. Represente, también sobre el mismo segmento, las fracciones:

¿Qué observa en cuanto a sus ubicaciones?

4. Haga lo mismo con las fracciones y . ¿Qué observa en cada caso?

5. ¿Qué ubicación sobre el segmento tienen las fracciones ; ; ; y ?

¿Por qué? Interprete esta ubicación en términos de la situación de los lotes.

#��#��

Cuando, por ejemplo, representó en el segmento, resultó que su ubicación

es la misma que la de . En términos de la situación de los lotes de la inmo-

biliaria ya habíamos observado que “un medio lote” es equivalente a “dos cuar-

tos de lote”.

��B��#��$��#�!�.��#��*��>��

Como los "dos cuartos" y el "un medio" representados están referidos a lamisma unidad, si los comparamos, resultan ser iguales o equivalentes.

Es decir que: =12

24

12

1


24

12

24

13

13

13

23

12

230 1

�� % 35

Decimos que “el número fraccionario es el mismo que ” ó que “el

número fraccionario es equivalente al número fraccionario ”.

En general diremos que dos fracciones referidas a la misma unidad son equi-valentes cuando representan al mismo número. En su representación en elsegmento, dos fracciones equivalentes ocupan el mismo lugar.

Parte F

Teniendo en cuenta las representaciones que hizo en la Parte E, dé otros ejemplos de

fracciones equivalentes.

Parte G

Le pedimos ahora que:

1. Represente los planos de cada una de las siguientes ventas:

• Dos "tercios de lote"

• Tres "cuartos de lote"

• Cinco "tercios de lote"

• Once "sextos de lote"

2. Indique, para cada una de las ventas anteriores, si se vendió más o menos que un

lote.

3. Simbolice, ahora, cada una de las ventas en un segmento que represente al lote como

unidad y escríbalas como números fraccionarios.

#��#��

De acuerdo con la representación que hemos hecho de los lotes, la represen-tación de dos "tercios de lote" es:

En la representación anterior, podemos observar que se vendió una fracciónde lote menor a un lote.

Si expresamos esto con números fraccionarios lo escribimos así:

2 veces ó 2 de ó 2 . ó

Su representación en el segmento unidad es:


13

0 1 53 2

13

53

23

23

23

13

712

24

112

34

34

12

36

26

��#��%+++ � �� 36

Para realizar la venta correspondiente a cinco “tercios de lote" vemos que nonos alcanza con un lote ya que en un lote sólo tenemos tres “tercios de lote”.Quiere decir que se vendió más que 1 lote. La representación gráfica de laventa nos queda:

1 lote 1 lote

Esto se puede escribir así: 5 de = 5. = . Para su representación nece-

sitamos tener en cuenta dos veces el segmento unidad, y nos queda:

Parte H


1. Si el lote midiera 300 m², ¿qué superficie tendrían los de lote?

2. Si le dijeran que la superficie de de lote es de 400 m², ¿cuántos m² mide el lote

completo?

Parte I

Responda cada una de las preguntas que le hacemos a continuación imaginando las

representaciones gráficas de los lotes, o realizándolas en cada caso si le resulta necesario:

1. a) Si vende de lote y luego de lote, ¿cuántos tercios de lote vendió en total?

b) Si vende de lote y luego de lote, ¿cuántos doceavos de lote vendió en total?

2. a) Si se vende de lote y después de lote, ¿cuántos cuartos de lote se vendieron?

¿Alcanza con un lote?

b) Si se vende de lote y después de lote, lo que se vendió en total en esta opor-

tunidad, ¿es equivalente a lo vendido en el caso del ítem a)? ¿Por qué?

3. a) Si se vende de lote y después de lote, ¿cuántos sextos de lote se vendieron?

¿Alcanza con un lote?


12

13

14

34

13

13

34

34

14

23 1

423

24

24

54

54

13

23

23

23

33

33

23

14

23

23

�� % 37

b) Si se vende de lote y después de lote, ¿se vende lo mismo que en la venta

del ítem a)? ¿Por qué?

c) Se venden de lote y después de lote. La cantidad total vendida, ¿a cuántos

sextos lotes es equivalente?

4. a) Si se vende de lote y después de lote. ¿en qué tipo de fracción de lote co

viene expresar el total vendido? ¿Por qué?

b) Se venden de lote y después de lote. Exprese la fracción de lote vendida en

total.

#��#��

• Cuando, por ejemplo, se vende de lote y después de lote y que-

remos expresar el total de la venta, decimos "se vendieron 3 tercios de

lote". Estamos sumando las cantidades vendidas, o estamos sumando los

"tercios de lote":

de lote + de lote = de lote.

Este resultado es equivalente a un lote.

Lo escribimos así:

+ = = 1

• Cuando se venden de lote y luego de lote, el total de la venta es

de de lote. En este caso estamos sumando “cuartos de lote”.

Lo escribimos así:

+ =

• En los casos anteriores sumamos “tercios de lote” con “tercios de lote” o“cuartos de lote” con “cuartos de lote”. Pero, ¿cómo hacemos para sumar,por ejemplo, “tercios de lote” con “cuartos de lote”?

En el ítem 4. se venden de lote y después de lote y queremos

expresar el total de la venta. Es decir, queremos obtener: de lote +

de lote. La primera venta es en "cuartos" y la segunda en "tercios".


312

14

812

23

1112

14

23

312

812

1112

��#��%+++ � �� 38

Pero, como seguramente ya se dio cuenta a partir de lo trabajado en las partesanteriores, existen ventas equivalentes. Entonces podríamos reemplazar unaventa por otra equivalente que fuera más conveniente para realizar la suma. Loque hay que preguntarse es: ¿pueden expresarse las dos ventas con el mismotipo de fracciones de lote?

En este caso podemos decir que:

de lote es equivalente a de lote, y que

de lote es equivalente a de lote,

por lo tanto, la venta total es de de lote.

Si lo expresamos como números fraccionarios es:

+ = + =

��B��#��$��#�!��)��.��#��

Para sumar o restar fracciones es necesario que las fracciones tengan el mismodenominador. Si los denominadores de las fracciones son diferentes, se debenbuscar fracciones equivalentes a las dadas de modo que resulten fracciones conel mismo denominador. Luego se suman (o restan) los numeradores mante-niéndose el mismo denominador.

Parte J

Una empresa constructora decide realizar una compra importante: compra 5 “medioslotes”, 7 “tercios de lote” y 15 “sextos de lote”.

1. Exprese como fracción la cantidad de “medios lotes” que compró la empresa cons-

tructora.

2. Exprese como fracción la cantidad de “tercios de lote” que compró la empresa cons-

tructora.

3. Exprese como fracción la cantidad de “sextos de lote” que compró la empresa cons-

tructora.

4. Calcule la fracción de lote comprada en total por la empresa.


12

12

12

16

12

16

73

156

52

lote

�� % 39

Parte K

Luego de la compra, la empresa subdivide los lotes comprados en lotes más pequeños

para construir mayor cantidad de viviendas. Divide cada “medio lote” en tres lotes igua-

les y cada “tercio de lote” en dos lotes iguales.

1. Cada una de las partes en las que la empresa constructora divide al “medio lote”,

¿qué fracción representa respecto del lote inicial de la inmobiliaria?

2. Exprese la fracción que representa a cada una de las partes en las que la empresa cons-

tructora divide al “tercio de lote” en relación con el lote inicial de la inmobiliaria.

#��#��

La empresa constructora compró 5 “medios lotes”. Podemos escribir a esta

compra como 5 . , que es igual a de lote. Gráficamente:

1 lote 1 lote 1 lote

Para calcularlo resolvimos la multiplicación entre 5 y .

Lo mismo hacemos para expresar la fracción de “tercios de lote” y de “sextosde lote” comprada en total en cada caso: la empresa compró de lote yde lote respectivamente.

Para expresar la fracción que representa a cada una de las partes en las que laempresa constructora divide al “medio lote” debemos dividir al “medio lote”en tres partes iguales. Es decir, hacemos : 3, que representa a de lamedida del lote inicial de la inmobiliaria.

La fracción que representa a cada una de las partes en los que la constructoradivide a cada “tercio de lote” es también , ya que dividimos cada “tercio delote” en dos partes iguales.


35

12

310

12

16

12

13

Elena

3

Juan

17

Matilde

5

Carlos

-10

��#��%+++ � �� 40

�� B��#�� $��#�!� �� )� ��>��.��#��

Para multiplicar fracciones se multiplican los numeradores entre sí y los deno-minadores entre sí. En la Parte J se multiplicó en todos los casos un númeronatural, que es una fracción de denominador 1, por un número fraccionario.También podría ser necesario calcular, por ejemplo, las “tres quintas partes” de“medio lote”. Para calcularlo resolvemos la multiplicación:

. =

Para dividir fracciones, siempre y cuando el divisor sea diferente de 0, se mul-tiplica a la primera fracción por la segunda invertida. Por ejemplo, en el casoen que se dividió a medio lote en 3 lotes iguales, resolvimos la cuenta

: 3 = , que es el resultado de .

��>��C�0!�@�'��#��#��#A

Las actividades que le proponemos resolver en las diferentes partes de

esta actividad seguramente son similares a situaciones con la que usted

podría encontrarse en su vida cotidiana. Para resolverlas le sugerimos lo

mismo que al comenzar la Actividad N° 1: olvide por un rato que está estu-

diando Matemática, imagine que son situaciones que debe resolver en su

vida cotidiana y respóndalas utilizando los mismos recursos que usted usa

eficazmente todos los días para resolver este tipo de situaciones.

Parte A

Elena, Juan, Matilde y Carlos están jugando chin-chon. Elena es la encargada de regis-

trar los puntajes al finalizar cada mano. Al terminar la primera mano los puntajes obte-

nidos por cada uno de ellos fueron los siguientes:

Recordamos cómo se anota el puntaje en cada mano del chin - chon: el que cortaquedándose sin ninguna carta tiene un puntaje de -10, los demás suman los valoresde sus cartas y el resultado de la suma es su puntaje. Si un jugador logra quedarse sinninguna carta pero no fue el que cortó, su puntaje es 0.

En la segunda mano Elena cortó con -10; Juan quedó con 4 puntos en la mano; a Matilde

la pescaron con 22 puntos y Carlos logró descartar todo.


CiudadTemperatura

mínima (en º C)Temperatura

máxima (en º C)

BarilocheBuenos AiresC. RivadaviaCórdobaFormosaMar del PlataResistenciaRío GallegosTrelewUshuaia

-51-603-22-8-6-10

51121516916140

�� % 41

¡Elena sigue con suerte! En la mano siguiente volvió a cortar con -10. Esta vez lo pescó

a Juan con 24 puntos, a Matilde apenas con 2 y a Carlos con 4 puntos.


1. ¿Cuál es el puntaje acumulado por cada uno de los jugadores luego de la segunda

mano? Ayude a Elena a registrarlos agregando a la tabla anterior una fila con los

puntajes de cada uno de los jugadores luego de la segunda mano.

2. ¿Cuáles son los puntajes acumulados al finalizar la tercera mano? Continúe regis-

trando estos valores en otra fila de la tabla.

3. Pierde el juego quien llega a acumular 100 puntos. Teniendo en cuenta esta regla y

los puntajes acumulados hasta la tercera mano, ordene los nombres de los jugadores

según quién está primero, segundo, tercero y cuarto.

Parte B

El siguiente cuadro muestra las temperaturas máximas y mínimas registradas un día de

Julio en ciudades importantes de la República Argentina:

Responda las siguientes preguntas a partir de los datos del cuadro:

1. ¿Qué interpretación le da al hecho de que la temperatura mínima en Trelew sea de

-6 °C?

2. ¿Cuántos grados subió ese día la temperatura en la ciudad de Buenos Aires?

3. ¿Cuántos grados subió ese día la temperatura en la ciudad de Ushuaia? ¿Y en la ciu-

dad de Trelew?

4. En otra ciudad del sur argentino se registró una temperatura mínima de -8 °C. Si se

sabe que la temperatura ascendió 6 °C a lo largo del día, ¿cuál fue la temperatura

máxima registrada en ese día?


��#��%+++ � �� 42

5. Si la temperatura máxima registrada en una ciudad del país fue de 5 °C y se sabe que

la temperatura subió 8 °C a lo largo del día, ¿cuál fue la temperatura mínima regis-

trada ese día en la ciudad?

Parte C

Alejandro conquistó el mundo griego hacia fines del siglo IV antes de Cristo. Fundó la

ciudad de Alejandría en el año -321 falleciendo, a los 33 años, dos años después de su

fundación. La ciudad fue destruida para el año 642 y con su destrucción se perdió tam-

bién la gran biblioteca fundada por Ptolomeo en el año -300.

Responda a partir de la información anterior:

1. ¿En qué año falleció Alejandro?

2. ¿Cuál fue su año de nacimiento?

3. ¿Durante cuántos años funcionó la biblioteca de Alejandría?

#��#��

En las tres situaciones que presentamos en esta actividad aparecen númeroscon un signo “-”. Estos números se llaman números negativos. El signo “-”indica la relación de la cantidad con respecto a una referencia que se tomacomo cero. En el caso del juego del chin - chon, el cero representa al puntajecero y los puntajes negativos están indicando puntajes menores a cero. En elcaso de las temperaturas, el cero indica los 0 °C y las temperaturas negativasestán indicando temperaturas por debajo de cero grado. En el caso de lasfechas, el cero indica el año 0, que en el mundo Occidental se fija como el añode nacimiento de Cristo, y las fechas señaladas con un signo menos represen-tan fechas anteriores al nacimiento de Cristo.

Cualquiera de las tres situaciones podría tratarse de alguna situación con laque usted se pudiera encontrar en su vida cotidiana. Los números negativosentonces no le resultan completamente nuevos sino que de algún modo for-man parte de su vida diaria.

��B��#��$��#�!��#�&��#��'��#��#��(

Si agregamos al conjunto de los números naturales, el conjunto de los núme-ros negativos, formamos el conjunto de los números enteros, al que simbo-lizamos con la letra Z.

Z = { ...; -3 ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; ...}


�� % 43

Para representarlos geométricamente también utilizamos una recta, en la quetambién se marca el origen donde se ubica el cero y se elige una unidad quese repite a izquierda y derecha del cero. A la izquierda del cero se ubica a losnúmeros enteros negativos y a la derecha los números enteros positivos. Así:

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Parte D

Indique alguna otra situación en la que se utilicen números enteros.

��>��C�/!�@��3�&��#��#��3�#A

En esta actividad lo orientaremos nuevamente para que trabaje algunos contenidos de la unidad

utilizando el libro Matemática En Red 8 EGB de López A. y Pellet, C., editorial A-Z.

Recuerde que el abordaje de estos temas se realizará únicamente en base a la lectura y

a la resolución de las actividades que le indicaremos en los siguientes párrafos. No deje

de realizarlas. Le indicaremos paso a paso el camino que debe seguir. No se olvide de las

sugerencias que le hicimos en la Actividad N° 2 respecto del manejo del libro y de la

información que él puede brindarle.

En el Capítulo 2 - Números enteros:

1. Lea la Presentación del capítulo en la página 44.

2. Lea “Números enteros” y “Orden y representación en la recta” en las páginas 45 y

46. No deje de leer el recuadro del margen derecho de la página 45.

3. Resuelva las Actividades N° 2, 3, 5 y 6 de la página 47 y la Actividad N° 13 de la pági-

na 49. Puede comparar sus respuestas con las dadas en la página 262.

4. Lea “Módulo o valor absoluto” en la página 48.

5. Resuelva la Actividad N° 12 ítems a), b), d) y e) de la página 49. Puede comparar sus

respuestas con las dadas en la página 262.

6. Lea “Suma de números enteros” y “Propiedades de la suma de enteros” en las pági-

nas 50, 51 y 52.

7. Resuelva las Actividades N° 16, 17, 19, 20, 21 a) y b) y 22 de la página 53. Puede com-

parar sus respuestas con las dadas en la página 262.

8. Lea “Resta de números enteros” en la página 54.

9. Resuelva las Actividades N° 24, 25, 26, 27 y 28 de la página 55. Puede comparar sus



��#��%+++ � �� 44

10.Lea los recuadros de la página 55: “Demostraciones matemáticas” y “Para saber

hacer”.

11.Lea “Operaciones combinadas con sumas y restas” en la página 56. Lea también el

recuadro “Para saber hacer” del pie de página.

12.Lea “Supresión de paréntesis” en la página 57.

13.Resuelva las Actividades N° 29, 31, 33, 34, 36, 37, 39, 40, 41 y 42 de las páginas 58 y

59. Puede comparar sus respuestas con las dadas en la página 262.

14.Lea “Multiplicación de números enteros” en las páginas 60 y 61.

15.Resuelva las Actividades N° 43 y 44 de la página 61. Puede comparar sus respuestas

con las dadas en la página 262.

16.Lea los recuadros “Propiedades de la multiplicación” y “Para saber hacer” de la pági-

na 61.

17.Lea “División de números enteros” en la página 62.

18.Resuelva las Actividades N° 46, 48, 49, 50, 51y 53 de la página 63 y las Actividades N°

68, 73, 74 y 77 de las páginas 70 y 71. Puede comparar sus respuestas con las dadas

en la página 263.

19.Lea el recuadro “Para saber hacer” de la página 63.

��>��C��!�@��#��3#��A

El cuadro que sigue muestra los precios de algunas acciones líderes del mercado y su

variación en pesos en una jornada cualquiera tal como aparece la información en el dia-

rio todos los días:

Empresa Cierre (en $) Anterior (en $) Variación (en $)

Acindar 2,80 2,72 0,08

Aluar 3,40 3,17 0,23

Bco. Francés 4,89 4,90 -0,01

Petrobras 2,85 2,82 0,03

Telecom 4,46 4,54 -0,08


1. ¿Cómo se habrán calculado cada uno de los valores de la última columna del cuadro?

2. ¿Qué interpretación le da al hecho de que en algunos casos la variación del precio de

las acciones haya sido positiva y en otros, negativa?


�� % 45

3. Teniendo en cuenta sus respuestas a las preguntas anteriores complete el siguiente

cuadro:

Empresa Cierre (en $) Anterior (en $) Variación (en $)

Bansud 2,51 0,04

Com. del Plata 0,55 0,58

Molinos 3,26 -0,28

Siderar 12,40 -0,90

�� B��#��$��#�!� �#�&��#� �� #�� '��#��#��*

En la situación de las acciones de la bolsa intervienen números decimales posi-tivos y negativos. Estos números no forman parte del conjunto Z presentadoen el apartado En términos matemáticos anterior. De todos modos son núme-ros que usted conoce y que utiliza cotidianamente. La Matemática agrupa atodos estos números en un conjunto llamado conjunto de los númerosracionales al que simboliza con la letra Q. Cada número racional puedeexpresarse en forma de fracción o en forma decimal. Los números enterostambién forman parte del conjunto de los números racionales ya que cual-quiera de ellos puede escribirse como una fracción de denominador 1.

��>��C�2!�@��3�&��#��#��3�#A



Recuerde las sugerencias que le hicimos en la Actividad N° 2 respecto del manejo del

libro y de la información que él puede brindarle.

En el Capítulo 3 - Números racionales:

1. Lea la introducción del capítulo en la página 74.

2. Resuelva las Actividades N° 1, 2 y 3 de la página 76. Puede comparar sus respuestas con

las dadas en la página 264.

3. Lea “Fracciones equivalentes” en las páginas 76 y 77. Lea también el recuadro “Para

saber hacer” del pie de la página 77.

4. Resuelva las Actividades N° 4, 5, 8, 9, 10, 11, 13, 14 y 15 de las páginas 78 y 79. Puede

comparar sus respuestas con las dadas en la página 264.

5. Lea “Expresión decimal de un número racional” en las páginas 80 y 81. Lea tambiénlos recuadros “Redondeo” y “Para saber hacer” de la página 80.


��#��%+++ � �� 46

6. Resuelva la Actividad N° 16 de la página 81. Puede comparar sus respuestas con lasdadas en la página 264.

7. Lea “Representación en la recta” en las páginas 82 y 83.

8. Resuelva las Actividades N° 18, 19 y 20 de la página 83. Puede comparar sus respues-tas con las dadas en la página 264.

9. Lea “Expresión fraccionaria de un número decimal” en la página 84. Lea también elrecuadro “Números que no son racionales”. No lea el recuadro “Para saber hacer” delpie de página. Dejaremos este tema pendiente para ser trabajado en la Unidad 3.

10.Resuelva las Actividades N° 26 y 27 de la página 85. Puede comparar sus respuestascon las dadas en la página 264.

11.Lea “Suma y resta de números racionales” en la página 86. Lea también el recuadro“Para saber hacer” del pie de página.

12.Resuelva las Actividades N° 29, 30, 31, 34, y 36 de la página 87. Puede comparar susrespuestas con las dadas en la página 265.

13.Lea “Multiplicación y división de números racionales” en las páginas 88 y 89. Lea tam-bién los recuadros “Inverso multiplicativo” y “Para saber hacer” de esas páginas.

14.Resuelva las Actividades N° 37 a) y 38 a) de la página 89. Puede comparar sus res-puestas con las dadas en la página 265.

15.Lea “Comparación de fracciones” en las páginas 90 y 91.

16.Resuelva las Actividades N° 40, 41 y 42 de la página 91 y las Actividades N° 64, 65, 69,75 y 78 (ítems a) a g)) de las páginas 99 y 100. Puede comparar sus respuestas con lasdadas en la página 265.

��>��C�-!�@��3�&��#��#��3�#A



En el capítulo 2 - Números enteros:

1. Lea “Potenciación de números enteros” en las páginas 64 y 65.

2. Resuelva las Actividades N° 54, 55, 56, 57 y 58 de la página 65. Puede comparar sus


3. Lea “Propiedades de la potenciación” en las páginas 66 y 67.

4. Resuelva las Actividades N° 59, 60 (ítems b), c) y d)), 61 y 62 de la página 67. Puede


5. Lea “Radicación de números enteros” y “Propiedades de la radicación” en las pági-

nas 68 y 69. Lea también todos los recuadros de la página 68.


�� % 47

6. Resuelva las Actividades N° 64 y 67 de la página 69 y las Actividades N° 75, 79, 80 y

82 de las páginas 71 y 72. Puede comparar sus respuestas con las dadas en la página

263.

En el capítulo 3 - Números racionales:

1. Lea “Potenciación y radicación de números racionales” en las páginas 92 y 93.

2. Resuelva las Actividades N° 43, 44 y 45 de la página 93. Puede comparar sus respues-

tas con las dadas en la página 265.

3. Lea “Radicación” y “Propiedades de la radicación” en las páginas 96 y 97.

4. Resuelva las Actividades N° 54 a), c), d) y e) de la página 97. Puede comparar sus res-


5. Lea los recuadros “Raíces que dan números no racionales” y “Para saber hacer” de la

página 97.

6. Resuelva las Actividades N° 56, 62 y 76 de las páginas 98 y 100. Puede comparar sus


��B��#��$��#�!��#��#��)��

• Usted trabajó en el libro con la operación potenciación.

En general, expresamos el producto de n veces un factor a, como an.

Llamamos base al número a, exponente al número n y potencia al resulta-do de calcular an. La operación realizada recibe el nombre de potenciación.

• Además convenimos que el resultado de a0 es 1, (para a 0) y que el resul-tado de a1 es a.

• En el libro usted trabajó con una nueva operación: la radicación.

Esta operación permite calcular cuál es el número a que se ha multiplica-do por sí mismo n veces para dar por resultado un número p. Escribimossimbólicamente:

a =

Llamamos índice al número n, radicando al número p y a es la raízenésima de p.

Por ejemplo porque 25 = 32

Cuando buscamos el número que multiplicado por sí mismo dos veces dapor resultado otro número p, estamos buscando la raíz cuadrada de p; elíndice de esta raíz es 2 y escribimos . Por ejemplo:

n p

32 = 25

p 9 = 3


��#��%+++ � �� 48

�� B��#�� $��#�!� �#�>��#�� D(��$��#�

Como ya vimos al comienzo de la unidad, para realizar cálculos entre núme-ros combinando operaciones, la Matemática establece el orden en el que sedeben resolver las operaciones para que el cálculo sea correcto. En un cálculoen el que intervengan potencias o raíces, multiplicaciones o divisiones y sumaso restas debe resolverse:

• en primer lugar las potencias y raíces.

• a continuación las multiplicaciones y divisiones.

• Por último las sumas y restas de izquierda a derecha.

Si en el cálculo intervienen paréntesis o corchetes, estos nos indican el orden quedebemos seguir para resolver el cálculo combinado. Resolvemos en primer lugarlas cuentas dentro del paréntesis y luego los corchetes. Al resolver lasoperacionesplanteadas dentro de cada uno de ellos debemos tener en cuenta el orden deresolución establecido por la convención anterior. Una vez resueltas las cuentasdentro del paréntesis o corchete, continuamos con la resolución del cálculocombinado también en el orden establecido por la convención anterior.

��

�� ""��

##��$$�� %%


�� " 49

UNIDAD 3

UN

IDA

D 3

�� Para resolver muchos problemas es necesario, y a veces imprescindible, plan-tear y resolver igualdades y desigualdades que denominamos ecuaciones e ine-cuaciones, respectivamente.

En esta unidad, trabajaremos con la forma de plantear y resolver algunasecuaciones e inecuaciones con una incógnita y también con la forma de expre-sar las soluciones de las mismas.


• Traduzca el enunciado de un problema utilizando ecuaciones o inecuaciones.

• Resuelva problemas concretos que expresen situaciones de la vida cotidia-na utilizando ecuaciones e inecuaciones en los conjuntos numéricos traba-jados en la unidad anterior.

• Resuelva ecuaciones e inecuaciones.

• Verifique soluciones de ecuaciones e inecuaciones.

• Represente el conjunto solución de una inecuación en una recta.

• Exprese el conjunto solución de una inecuación usando intervalos.

��>��C� !�@��3�&��#��#��3�#A

En esta actividad lo orientaremos para que trabaje algunos contenidos utilizando el libro

Matemática En Red 8 EGB de López A. y Pellet, C., editorial A-Z.

El tratamiento de los temas de esta actividad se realizará únicamente en base a la lectura y a

la resolución de las actividades que le indicaremos en los siguientes párrafos.

No deje de realizarlas.

Le indicaremos paso a paso el camino que debe seguir. No se olvide de las sugerencias que le

hicimos en la Actividad N° 2 de la Unidad 2 respecto del manejo del libro y de la información

que él puede brindarle.

En el Capítulo 4 - Expresiones algebraicas:

1. Lea, en la página 103, “Lenguajes matemáticos”.

2. Lea, en las páginas 104 y 105, “Expresiones algebraicas”.

3. Resuelva las Actividades 1), 2) (sólo los ítems a), b), c), d), e), f), i), j) y l)), 3) y 4) pro-

puestas en la página 105. Puede comparar sus respuestas con las dadas en la página

265.


��#��%+++ � �� 50

��>��C�%!�@��#A

Parte A

En un puesto de un mercado, la balanza no puede medir pesos inferiores a 100 gramos.

Pero el encargado del puesto debe vender mercaderías que pesen menos de 100 gramos.

Se pregunta: “¿Cómo podré hacer para efectuar los pesajes?”

Le plantea esta inquietud a un cliente que le propone lo siguiente: “Consiga una pesa de 100

gramos y úsela en todas las ocasiones que deba pesar mercaderías de menos 100 gramos.

Ponga la pesa en la balanza junto con la mercadería y observe lo que marca la balanza.”

El puestero puso en práctica la propuesta de su cliente. Consiguió la pesa de 100 gramos y

la utilizó en cada oportunidad que vendió mercaderías que pesaban menos de 100 gramos.

En relación con la situación anterior responda las siguientes preguntas:

1. En una ocasión debió vender 75 gramos de una mercadería. ¿Cuánto debió marcar la

balanza?

2. En otra venta, la balanza marcó 182 gramos. ¿Cuánto pesaba la mercadería que vendió?

3. En otra oportunidad, la aguja de la balanza se detuvo en 163 gramos. ¿Cuánto pesó

la mercadería entonces?

Parte B

En otro puesto del mercado, todas las mercaderías se venden en paquetes de 20 unida-

des. Un grupo de vecinos se organiza para hacer compras comunitarias de estos paque-

tes. Deben repartir el gasto entre ellos. Pero para hacerlo necesitan saber cuánto cues-

ta cada unidad del producto comprado.


1. ¿Cuánto se debe abonar por cada unidad de un producto si el paquete de 20 unida-

des tiene un precio de $ 600?

2. Si el paquete tiene un precio de $ 480, ¿cuánto se debe abonar por cada unidad?

��B��#��$��#�!��

En la situación planteada en la Parte A, en los casos de los items 2. y 3. se des-conoce el peso de la mercadería vendida. En la Parte B no se conoce el precio decada unidad de un producto. Decimos que el peso de la mercadería y el precio dela unidad de un producto son valores desconocidos o incógnitas.

En general, denominamos incógnita a cualquier valor desconocido en unaigualdad.


�� " 51

Parte C

Retome la Parte A, en la que la incógnita de la situación es el peso de la mercadería com-

prada en cada caso, cuando el peso de la misma es inferior a 100 gramos, y responda las


1. Teniendo en cuenta el peso de la mercadería y que el puestero utiliza una pesa de 100

gramos, ¿cuál es la cuenta que da por resultado el peso total que marca la balanza?

Descríbala con sus palabras.

2. Si identificamos con la letra x a la incógnita de la situación, es decir, al peso de la mer-

cadería cuando este peso es inferior a 100 gramos, ¿cómo escribiría la cuenta que

debe realizarse con el valor de x para calcular el peso total que el puestero pone en

la balanza?

3. Vuelva al ítem 2. de la Parte A. Teniendo en cuenta su respuesta al ítem anterior,

escriba una igualdad que le permita describir la situación cuando la balanza marca

182 gramos. Para eso tenga en cuenta que en la balanza están la pesa de 100 gramos

y la mercadería que pesa x gramos.

4. ¿Cómo será la igualdad para el caso del ítem 3. de la Parte A en que puso 163 gra-

mos en la balanza?

5. ¿Qué cuenta hizo en cada uno de los casos mencionados para encontrar el peso x de

la mercadería?

Parte D

Retome la Parte B en la que la incógnita de la situación es el precio de cada unidad de

un producto y responda las siguientes consignas:

1. ¿Qué cuenta hace con el precio de cada unidad de producto para calcular el precio

del paquete de 20 unidades? Descríbala con sus palabras.

2. Identifique a dicha incógnita con la letra p, es decir, al precio de una unidad del pro-

ducto vendido. Escriba la cuenta que hace con el precio p de cada unidad para cal-

cular el precio del paquete.

3. Vuelva al ítem 1. de la Parte B. Escriba una igualdad que le permita describir que el

precio del paquete es de $ 600 cuando cada unidad cuesta $ p.

4. ¿Cómo será la igualdad para el caso del ítem 2. de la Parte B en la que el precio del

paquete es de $ 480?

5. ¿Qué cuenta hizo en cada uno de los casos mencionados para encontrar cuál es el

precio p de cada unidad del producto comprado?


��#��%+++ � �� 52

#��#��

En la Parte C, la igualdad x + 100 = 182 permite describir la situación en laque la balanza marca 182 gramos al poner la pesa de 100 gramos y la merca-dería de x gramos. Para averiguar cuánto pesa la mercadería, seguramente hizola cuenta 182 - 100 = 82. Es decir que trabajó con la operación inversa de lasuma, que es la operación que aparece en la igualdad x + 100 = 182. Así hallóel peso de la mercadería, que en este caso es de 82 gramos. Observe que, sireemplazamos este valor en la igualdad en el lugar de la incógnita x, resulta 82 + 100 = 182. Es decir que se verifica la igualdad planteada.

En la Parte D, la igualdad 20 . p = 600 permite describir la situación en laque, con $ 600 se compra un paquete de 20 unidades de un producto que vale$ p la unidad. Para averiguar cuánto vale cada unidad del producto, hizo lacuenta 600 : 20 = 30. O sea que trabajó con la operación inversa de la multi-plicación, que es la operación que aparece en la igualdad 20 . p = 600. Asíhalló el precio de cada unidad, que en este caso es de $ 30. Si reemplazamoseste valor en la igualdad en el lugar de la incógnita p, resulta 20 . 30 = 600.Es decir que se verifica la igualdad planteada.

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��

A igualdades como x + 100 = 182 ó 20 . p = 600 las llamamos ecuaciones.En general, denominamos ecuación a cualquier igualdad en la que aparecenuna o más incógnitas. En esta Unidad, trabajaremos con ecuaciones que ten-gan sólo una incógnita.

A partir de la ecuación x + 100 = 182, hemos determinado que el valor de xque la verifica es x = 82. Esta es la solución de la ecuación planteada.

A partir de la ecuación 20 . p = 600, hemos determinado que el valor de pque la verficia es p = 30. Esta es la solución de la ecuación planteada.

En general, denominamos solución de una ecuación al valor o valores de laincógnita que verifican la igualdad planteada.

Como hemos observado, para resolver o hallar la solución de una ecuación,trabajamos con las operaciones inversas a las que aparecen en la ecuación.


300

140

15

7“Multiplica

por 20”

Entra Sale

15

7

300

140“Divide

por 20”

Entra Sale

�� " 53

Parte E

En esta parte de la actividad lo orientaremos para que trabaje algunos contenidos utilizando el



1. Lea, en las páginas 110 y 111, “Ecuaciones”.

2. Resuelva las Actividades 14), 15) y 16) de la página 111. Puede comparar sus respues-


#��#��

En la Actividad Nº 2, hemos trabajado con algunas ecuaciones sencillas. Apartir de ellas, observamos que para resolverlas debemos utilizar la operacióninversa de la operación que aparece en la ecuación planteada. Entonces pode-mos hablar de operaciones directas o que permiten “hacer” la expresión dadaen la ecuación y de operaciones inversas o que permiten “deshacer” la expre-sión dada en la ecuación. Podemos pensar a cada operación como una máqui-na que hace una cuenta. Llamamos “operador directo” a la máquina que per-mite “hacer” o “armar” una expresión. Para cada operación tenemos una ope-ración inversa. También podemos pensar a cada operación inversa como unamáquina. Llamamos “operador inverso” a esta máquina que permite “desha-cer” o “desarmar” una expresión.

Por ejemplo, si nos referimos a la situación planteada en la Parte B de laActividad Nº 2, tenemos:

Un operador directo: Es una máquina que “multiplica por 20”. Es decir quea cada número que entra a la máquina lo multiplica por 20 y da un resultadoa la salida.

Un operador inverso: En relación con el anterior, es una máquina que des-hace lo que hace la anterior. Es decir que a cada número que entra lo dividepor 20 y da un resultado a la salida.

Podemos representar estos operadores de la siguiente manera:

Operador directo: “hace” o “arma” Operador inverso: “deshace” o “desarma”


20 . p = 600p “por 20”

Entra Sale

600 : 20 = p � 30 = p600 “divide por 20”

Entra Sale

��#��%+++ � �� 54

Con el “operador directo” que multiplica por 20 podemos “armar” la ecuación20 . p = 600. Así:

Con el “operador inverso” que divide por 20 podemos “desarmar” la ecuacióny encontrar su solución. Así:

��>��?�"!�@��3�&��#��#��#��#��#��#��>��#�A

Parte A

Teniendo en cuenta el funcionamiento descripto de los operadores, responda las

siguientes consignas:

1. a) Represente el operador directo que arma la ecuación x + 100 = 182 de la situación

de la Parte A de la Actividad Nº 2.

b) Represente el operador inverso correspondiente que le permite “desarmar” o resol-

ver la ecuación anterior.

c) Verifique la solución hallada.

2. a) Represente el operador directo que arma la ecuación x - 15 = 32.




3. a) Represente el operador directo que arma la ecuación x : 7 = 23.





5

0

-3

10

.......

..............

.......

.......

.......

..............

.......

.......

“por 2” “resta 5”

5

0

-3

0“resta 5” “por 2”

x 3x 3x - 7 = 2“por 3” “resta 7”

2 2 + 7“suma 7” “divide por 3” 9 : 3 = x � 3 = x

�� " 55

Parte B

También se pueden combinar operadores. Por ejemplo, podemos combinar un opera-

dor que multiplica por 2 con otro que resta 5.

Podemos hacerlo poniendo primero el operador que multiplica por 2 y después el que

resta 5. El esquema correspondiente es el que sigue:

Pero, también podemos poner primero el operador que resta 5 y después el que multi-

plica por 2. En este caso, el esquema es el siguiente:

A partir de lo que observa en los esquemas anteriores, responda:

1. ¿Influye el orden en que se combinan los operadores en el resultado de las opera-

ciones? Para responder realice las cuentas propuestas por los operadores combinados

utilizando los números indicados en la entrada de cada uno de ellos. Para eso, com-

plete las líneas punteadas.

2. Escriba con cálculos combinados, las cuentas realizadas con cada combinación de

operadores.

Parte C

Combinando operadores, por ejemplo, se puede “armar” la ecuación 3 . x - 7 = 2. El

esquema correspondiente queda así:

También se puede “desarmar” o resolver la ecuación 3 . x - 7 = 2. El esquema de opera-

dores queda así:


23

45. x - = -2

x x + 5“suma 5” “divide por (-3)” (x + 5 ) : (-3) = -2

-2 (-2) . (-3)“por (-3)” “resta 5” 6 - 5 = x � 1 = x

��#��%+++ � �� 56

A partir de los esquemas anteriores:

1. Describa, con sus palabras, qué debe tener en cuenta para resolver una ecuación usan-

do operadores. Para eso, tenga en cuenta el orden en que resuelve las operaciones en

el operador que “hace” y el orden en que las resuelve en el operador que “deshace”.

2. Dibuje los operadores que “hacen” o “arman” cada una de las siguientes ecuaciones

y luego los operadores que “deshacen” o “desarman” cada una de ellas. Obtenga el

valor de x que verifica cada una de las ecuaciones. Para hacerlo tenga en cuenta todo

lo trabajado en las Partes A y B.

a) 8 . x + 7 = 79

b) 5 . (x - 6) = 105

c) (x + 3) : 4 = 12

d) x : 4 + 3 = 12

e) (x + 5) : (-3) = -2

f)

3. Verifique las soluciones halladas para cada ecuación del ítem 2.

#��#��

Lo pedido en el ítem 2. de la Parte C es equivalente a solicitarle que resuelvacada una de las ecuaciones planteadas.

Habrá observado que para resolver una ecuación, se debe tener en cuenta enqué orden se armó la expresión. Es decir, en qué orden se resuelven las opera-ciones planteadas. Esto es importante porque para desarmar esa expresión sedebe trabajar con las operaciones inversas y en el orden inverso.

Por ejemplo, veamos el caso de la ecuación del ítem e).

Para armar la expresión, primero sumamos 5 y después dividimos por -3.Mostramos los operadores correspondientes:

Para desarmar la expresión, primero multiplicamos por -3 y después resta-mos 5. Los operadores son:

Llegamos así a la solución de la ecuación: x = 1.


Litros agregados por las dos horas que funcionó a la tarde

Litros agregados por la hora que funcionó a la mañana

Litros iniciales

�� " 57

Es decir, para hallar la solución de una ecuación procedemos con las opera-ciones inversas en el orden inverso.

Si reemplazamos el valor de x de la ecuación (x + 5) : (-3) = -2 por el valorhallado al resolverla, podemos comprobar que el mismo es correcto ya que severifica la igualdad:

(1 + 5) : (-3) = 6 : (-3) = -2

��>��?�,!�@��.�3��&��#�A

Parte A

En la fábrica “Jugolín” hay máquinas que elaboran jugos. Llamaremos x a la cantidad

de litros de jugo que elabora cada máquina durante una hora de funcionamiento. Ésta

será la incógnita.


1. Si una máquina funciona durante 3 horas, ¿con qué cuenta puede calcularse la can-

tidad de litros de jugo elaborados por dicha máquina durante ese período de tiempo?

2. ¿Y si trabajara durante 5 horas?

#��#��

Si la máquina elabora x litros durante una hora, para calcular la cantidad delitros que elabora en tres horas, hacemos la cuenta 3 . x (que también se puedeexpresar 3x).

Y si la máquina trabaja durante 5 horas, la cantidad de litros que elabora secalcula con la cuenta: 5 . x (o también 5x).

Parte B

Un día se observó la producción de jugos en cuatro máquinas distintas, con la intención de

averiguar cuál máquina produce más jugo por hora. Al iniciar el control, había 40 litros en

el depósito de cada una de las máquinas. Al concluir el día, cada uno de dichos depósitos

tenía 100 litros. Las máquinas no funcionaron simultáneamente.

La máquina Nº 1 funcionó durante una hora a la mañana y 2 horas a la tarde. El encar-

gado de la observación anotó la producción de jugo de esta máquina, en ese día, así:

40 + 1 . x + 2 . x = 100 Litros finales


��#��%+++ � �� 58

Fíjese que lo que anotó el encargado es una ecuación con incógnita x.

No pierda de vista lo que significa x en esta ecuación.

• La máquina Nº 2 funcionó una hora a la mañana, una hora a la tarde y una hora

a la noche.

• La máquina Nº 3 funcionó 3 horas a la mañana.

• La máquina Nº 4 funcionó 2 horas a la mañana, 2 horas a la tarde y 2 horas a la

noche.

1. De acuerdo con el funcionamiento de las máquinas Nº 2, 3 y 4, responda las siguien-

tes consignas:

a) ¿Cómo anota el encargado la producción observada para la máquina Nº 2? Escriba

la ecuación correspondiente.

b) ¿Cómo anota la producción observada para la máquina Nº 3? Escriba la ecuación.

c) Escriba la ecuación que anotaría el encargado para describir la producción obser-

vada para la máquina Nº 4.

2. Las ecuaciones que escribió el encargado fueron:

• 40 + 1 . x + 2 . x = 100

• 40 + 1 . x + 1 . x + 1 . x = 100

• 40 + 3 . x = 100

• 40 + 2 . x + 2 . x + 2 . x = 100

a) ¿Coinciden con las que escribió usted?

b) Teniendo presente el recurso de los operadores que “hacen y “deshacen”, respon-

da la siguiente pregunta:

¿Con cuál de las ecuaciones cree que sería más fácil determinar la cantidad x de

litros que elabora en una hora la máquina correspondiente?

3. a) ¿Cuántas horas en total funcionó cada máquina durante el día?

b) ¿Con qué expresión se puede indicar la cantidad total de jugo que produce la

máquina Nº 1 en ese día? ¿Y la máquina Nº 2?

4. La ecuación 40 + 3 . x = 100, ¿permite describir la producción de jugo en ese día de

las máquinas Nº 1 y Nº 2? ¿Qué se expresa en la cuenta 3 . x?

5. La ecuación obtenida para describir la producción de jugo de las máquinas N° 1 y 2,

¿con cuál de las ecuaciones coincide?


�� " 59

#��#��

La ecuación 40 + 1 . x + 2 . x = 100 correspondiente a la máquina Nº 1, tam-bién se puede escribir como 40 + 3 . x = 100, ya que la máquina funcionó entotal durante 3 horas. Para resolver esta última ecuación puede utilizar el recur-so de “hacer” y “deshacer”.

Además, las tres primeras ecuaciones resultan ser iguales.

Parte C

1. Para cada una de las máquinas descriptas en la Parte B, muestre cómo puede calcu-

larse la cantidad x de litros que elabora en cada hora de funcionamiento. Es decir,

resuelva las ecuaciones que describen la producción observada en cada una de ellas.

2. Al gerente de la fábrica le interesa saber cuál o cuáles de las máquinas elabora mayor

cantidad de litros por hora. Si usted fuera quien tiene a cargo la información, ¿qué

le diría?

3. Escriba cada una de las siguientes ecuaciones de modo que sea posible hallar x utili-

zando el recurso de “hacer” y “deshacer”.

a) 50 + x + 3.x = 170

b) 2.x + 20 + x = 110

4. Halle el valor de x que verifica cada una de las ecuaciones planteadas en el ítem 3. Al

resolver, trate de imaginar en cada ecuación la situación concreta de la fábrica de

jugos planteada anteriormente.

Parte D

Veamos otras situaciones de la fábrica que elabora jugos.

Una máquina funcionó desde las 8 hs hasta las 11 hs. Antes del inicio de la tarea, el

depósito tenía 40 litros y cuando el reloj marcaba las 10 horas el depósito contenía 80

litros.

1. Teniendo en cuenta que x es la cantidad de litros que elabora la máquina por hora,

escriba, como si fuera un empleado de la fábrica, una ecuación con incógnita x, que

describa lo ocurrido en el depósito entre las 8 y las 11 horas.

2. Si usted debiera explicarle a un empleado de la fábrica, que no sabe Matemática, pero

sí tiene muchos años trabajando con estas máquinas, que la ecuación pedida en el ítem

anterior es: 3 . x + 40 = 80 + x, ¿cómo le explicaría por qué usa esta ecuación?


��#��%+++ � �� 60

#��#��

Una forma posible de explicar por qué usa esa ecuación sería:

“Entre las 8 y las 11 hs transcurren tres horas. En este período entran al depó-sito 3x litros que se le suman a los 40 litros que ya tenía el depósito.

Como a las 10 hs el depósito tenía 80 litros, a las 11 hs tenía 1 . x litros más (olo que es lo mismo, x litros más). Por eso es: 3 . x + 40 = 80 + x”.

3. Le pedimos, ahora, que escriba una ecuación con incógnita x, que describa lo ocurri-

do en el depósito entre las 8 y las 10 hs.

#��#��La ecuación que describe lo ocurrido en el depósito entre las 8 y las 11 horas es:3 . x + 40 = 80 + x (por lo visto en el ítem 2.)La ecuación que describe la situación entre las 8 y las 10 horas es:

2 . x + 40 = 80 (tenga en cuenta lo que respondió en el ítem 3.)

4. Resuelva la ecuación 2 . x + 40 = 80.

5. El valor de x, que hace cierta la igualdad de la ecuación 2 . x + 40 = 80, ¿también

verifica la igualdad de la ecuación 3 . x + 40 = 80 + x? Compruebe su respuesta.

��B��#��$��#�!��#��*��>��Decimos que dos ecuaciones que tienen igual solución son equivalentes. Lasecuaciones 3 . x + 40 = 80 + x y 2 . x + 40 = 80 son ejemplos de ecuacio-nes equivalentes.

6. Desde el punto de vista de la situación concreta de las máquinas de jugos, ¿tiene sen-

tido decir que las ecuaciones 3 . x + 40 = 80 + x y 2 . x + 40 = 80 son equivalen-

tes? ¿Por qué?

7. Desde el punto de vista matemático, ¿qué cuentas pueden hacerse sobre la primera

ecuación para obtener la segunda?


�� " 61

#��#��La ecuación que describe lo que ocurre entre las 8 y las 11 horas es:

3 . x + 40 = 80 + xLa ecuación que describe lo que ocurre entre las 8 y las 10 horas es:

2 . x + 40 = 80Comparando ambas ecuaciones podrá notar que si en la primera ecuación seresta x en ambos miembros de la igualdad, se obtiene la segunda ecuación.

Esto nos permite llevar la primera ecuación a otra equivalente que es más fácilde resolver. Verifique que el valor x = 20 es solución de las dos ecuaciones.

Parte E

1. Interprete la expresión 3 . x + 40 = 120 - x en términos de la situación de la fábricade jugos, siendo x la cantidad de litros que elabora una máquina por hora de fun-cionamiento.

2. Busque un recurso para resolver la ecuación anterior. Al hacerlo no pierda de vista lasituación. Escriba los pasos que seguiría al resolverla.

3. Dé el valor de x que es solución de la misma. (No se olvide de verificar que dicho valorsea correcto).

4. ¿Qué cantidad de litros por hora elabora esta máquina?

Parte F




1. Lea, en las páginas 112 y 113, “Resolución de ecuaciones”.

2. Lea, en la página 114, “Más sobre ecuaciones”.

3. Resuelva las Actividades 20), 21), 22) y 25) de la página 115.

4. Lea, en las páginas 116 y 117, “Problemas con ecuaciones”.

5. Resuelva las Actividades 27), 29), 30), 32) y 33) de la página 117.

6. Lea, en las páginas 118 y 119, “Ecuaciones con números racionales” y “Más ecuaciones”.

7. Resuelva las Actividades 34) (sólo ítems a), b) y c)) y 35) (sólo ítems a) y c)) de la

página 119.

8. Lea, en la página 120, “Ecuaciones especiales”.

9. Resuelva las Actividades 37), 40) y 42) de la página 121.

Puede comparar sus respuestas con las que se dan en la página 266.


��#��%+++ � �� 62

��>��?�0!�@��3�&��#��#��3�#A




1. Lea, en la página 122, “Inecuaciones”.

2. Resuelva las Actividades 45), 46), 47) y 48) de la página 123. Compare sus respuestas

con las que el libro le da en la página 266.

3. Resuelva, en las páginas 124 y 125, las Actividades integradoras 51), 52), 53), 54), 57),

61) y 63). Verifique sus respuestas con las que tiene en la página 266.

4. Resuelva las actividades propuestas en la página 127. Verifique sus respuestas en la

página 266.

�� B��#�� $��#�!� �� #�&��#�#��#��#��

Desigualdades como 3x - 2 < 7 y -3x - 5 > 4 son ejemplos de inecuaciones.Una desigualdad en la que aparecen una o más incógnitas se llama inecua-ción. En esta Unidad trabajaremos con inecuaciones con una incógnita.

Cuando resolvemos una inecuación, debemos hallar todos los posibles valores dela incógnita que verifiquen la desigualdad planteada. Dichos valores de la incóg-nita forman el conjunto solución de la inecuación. En general, tendremos másde un valor posible de la incógnita como solución. Indicaremos a todos estosvalores representándolos en una recta. Continuaremos trabajando con la formade resolver inecuaciones en los ejercicios de integración de la Unidad 3.

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�� , 63

UNIDAD 4

UN

IDA

D 4

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Como ya dijimos en la Unidad 1, podemos formular modelos matemáticosutilizando diferentes recursos.

En esta unidad trabajaremos con uno de estos recursos: las relaciones. De ellasnos interesan especialmente aquellas que son funciones.

Trabajaremos con las distintas formas de expresar las relaciones y las funcio-nes, con sus elementos y con el lenguaje asociado con ellas.

Todos estos aspectos posibilitan la formulación de modelos que permiten des-cribir y analizar matemáticamente fenómenos de la realidad para predecir apartir de ellos posibles resultados de las situaciones modeladas.


• Defina una relación a través de tablas, fórmulas o gráficos y pase de unaforma de definición a cualquiera de las otras.

• Distinga, entre las relaciones, cuáles son funciones y cuáles no.

• Defina una función a través de tablas, fórmulas o gráficos y pase de unaforma de definición a cualquiera de las otras.

• Reconozca, interprete y utilice los términos y la simbología matemáticaasociada a las relaciones y funciones.

• Determine la imagen y la preimagen de elementos a partir de tablas, grá-ficos o fórmulas sencillas.

• Determine el dominio y el conjunto imagen de algunas relaciones y fun-ciones.

• Interprete gráficos y tablas de una función que describe una situación con-creta de la realidad.

• Defina una función a partir de un enunciado que describe una situaciónconcreta, analice la situación a partir de dicha función y la utilice para pre-decir posibles resultados.

• Represente en el plano funciones de fórmulas sencillas.


��#��%+++ � �� 64

��>��?� !�@��#��.BA

Don Juan vende café en grano a $ 10 el kilogramo y quiere confeccionar una lista de pre-

cios teniendo en cuenta las cantidades de kilogramos de café que sus clientes compran

más frecuentemente.

Parte A

1. Complete la lista de precios de Don Juan indicando la cuenta que realiza para calcu-

lar el precio que deberán pagar sus clientes por cada cantidad de café. Le damos un

ejemplo de lo pedido.

2. En esta lista de precios que confeccionó Don Juan, ¿están registradas todas las posi-

bles cantidades de café que podría vender? ¿Por qué?

3. Observe en la lista de precios de Don Juan las cuentas que realizó para calcular los

precios y responda:

a) ¿Qué cuenta realizó en cada caso?

b) Si llamamos x a cada una de las posibles cantidades de café que podría vender Don

Juan, e y al precio a pagar por cada una de esas cantidades, ¿con qué cuenta puede

obtenerse el precio y a pagar por una compra de x kilogramos de café en el nego-

cio de Don Juan?

c) Escriba la fórmula que permite calcular el precio y que se debe pagar por comprar

x kilogramos de café en el negocio de Don Juan.

y = .............

d) Indique cuáles son las variables que intervienen en la fórmula anterior y qué repre-

senta cada una de ellas en términos de la situación que estamos analizando.

Si no recuerda a qué nos referimos cuando hablamos de fórmula y de variables, retome las activi-

dades realizadas en la Unidad 1.

4. Utilizando la fórmula escrita en el ítem 3.:

a) Calcule cuál es el precio a pagar si se compran 1,25 kg de café.

b) Calcule cuántos kilogramos de café se compraron si se pagaron $ 27,50.

c) Calcule cuánto vale y si x vale 2.

Cantidad de café (kg)

Precio (en pesos)

1 1,5 2 3

. 10 = = 7,5

1

4

1

2

3

4

30

4

3

4

5

2


�� , 65

d) Calcule cuánto vale x cuando y vale 17,50.

5. ¿Puede utilizar la fórmula anterior para calcular cuál es el precio a pagar en el nego-

cio de Don Juan por comprar 4 kg de café? Si su respuesta es afirmativa, calcule el

precio utilizando la fórmula escrita en el ítem 3. c). Si su respuesta es negativa, escri-

ba con sus palabras cuál es la razón que le impide hacerlo.

Parte BEn el negocio de Don Juan se lee el siguiente cartel:

Si usted compra más de 3 Kg de café

le hacemos un 10% de descuento

A partir de conocer la información del cartel, revise su respuesta al ítem 5. de la Parte A.

#��#��

Es posible que la aparición del dato del cartel haya modificado su respuesta alítem 5. de la Parte A, ya que nos estaría indicando que el uso de la fórmulaescrita en el ítem 3.c). tiene restricciones (como en el caso de las fotocopias dela unidad 1, ¿recuerda?).

La fórmula nos permitió resumir los valores de la tabla y calcular el precio apagar por cantidades de café no indicadas en ella. Pero su validez depende deaquellas condiciones que nos imponga la situación.

El nuevo dato que aparece en el cartel nos está diciendo que la fórmula y = 10 . xque escribió en el ítem 3. c) sólo sirve para calcular el precio a pagar cuando la can-tidad de café comprada es de 3 kg o menos. Es decir que a x sólo podemos asig-narle valores menores o iguales que 3.

��B��#��$��#�!��#�&��#��#�&��#��#��#��>��#��#��#�

En la situación de la lista de precios de café hemos establecido una relaciónentre “las cantidades x de kilogramos de café” y las “cantidades y de pesos apagar”. Observamos que el vínculo entre estas dos variables se puede mostrara través de una tabla o a través de una fórmula.


��#��%+++ � �� 66

Pero ambas formas son insuficientes para modelar la situación, ya que la con-dición impuesta sobre los valores de x no se ve reflejada ni en la fórmula ni enla tabla. Es decir, la fórmula y la tabla por sí mismas no pueden señalarnos quex sólo puede tomar valores mayores que 3.

Para que el modelo formulado sea un buen representante de la situaciónademás de la “forma” en que se relacionan los datos, hace falta especificar cuá-les son los valores numéricos que pueden tomar las variables que intervienenen la relación.

Para dar esta información, debemos indicar las cantidades posibles de café através de un conjunto al que llamamos conjunto de partida.

A las cantidades posibles de dinero a pagar también las mostramos a través deun conjunto que llamamos conjunto de llegada.

En la situación que estamos analizando, el conjunto de partida, que generalmen-te identificamos con la letra A, está formado por todos los números reales mayo-res que 0 (porque no tiene sentido pensar en cantidades de café negativas) ymenores o iguales que 3 (porque la relación que estamos describiendo se puedeutilizar sólo para compras de 3 kg ó menos). A este conjunto lo podemos expre-sar simbólicamente así: A = (0 ; 3], que leemos “intervalo semicerrado 0, 3”.

El conjunto de llegada, que generalmente identificamos con la letra B, está for-mado por todos los números reales mayores que 0 (tampoco tiene sentido pen-sar en precios negativos) y menores o iguales que 30 (es el precio que se pagaríapor comprar 3 kg de café). Simbólicamente, lo expresamos así: B = (0 ; 30].

Si tiene dificultades con la notación de intervalos, vuelva a trabajar el tema con los

ejercicios de integración de la Unidad 2.

En la situación de los precios de café hemos establecido una relación o corres-pondencia entre el conjunto de partida A y el conjunto de llegada B. Paraexpresar esta relación simbólicamente, escribimos r: A � B, que leemos: “r deA en B”.

En general, para definir una relación r cualquiera debemos informar la“forma” en que se relacionan los datos y cuáles son los conjuntos de datos quese vinculan, es decir, los conjuntos de partida y de llegada.

Hay varias maneras de informar la “forma” en que se relacionan los datos deambos conjuntos. La tabla de valores y la fórmula son dos de estas maneras,pero no son las únicas. A lo largo de esta unidad, iremos trabajando con otrasmaneras de mostrar la “forma” en que se relacionan dos conjuntos.


�� , 67

En la situación de la lista de precios del café, observamos que por 2 kg de cafése pagan $ 20. Es decir, al valor x = 2 del conjunto de partida le correspondeel valor y = 20 del conjunto de llegada. Decimos que 20 es la imagen de 2 através de la relación r.

Para expresar simbólicamente que 20 es la imagen de 2 a través de la relaciónr, escribimos así: r(2) = 20.

En general, si a un elemento a del conjunto de partida le corresponde un ele-mento b del conjunto de llegada a través de una relación r, decimos que b es ima-gen de a a través de la relación r. Lo expresamos simbólicamente así: r(a) = b.

También podemos decir que si un cliente paga $ 20 es porque compra 2 kg decafé. Es decir que el valor y = 20 del conjunto de llegada es el correspondien-te del valor x = 2 del conjunto de partida a través de la relación r. Si lo vemosde esta manera, decimos que 2 es la preimagen o imagen inversa de 20 através de la relación r.

Simbólicamente, lo anotamos así: r-1 (20) = 2.

En general, un elemento a del conjunto de partida es preimagen o imageninversa de un elemento b del conjunto de llegada a través de la relación r, sise verifica que r(a) = b.

Simbólicamente escribimos: r-1 (b) = a.

Cada una de las compras de café en el negocio de Don Juan también puedeexpresarse a través de un par ordenado, así:

(2 ; 20).

Cantidad de café Precio a pagar

Al primer número del par ordenado lo llamamos primera componente delpar y al segundo número, segunda componente.

Podemos mostrar la “forma” en que se vinculan los datos de la relación tam-bién a través de sus pares ordenados. Para hacerlo debemos indicar todos lospares ordenados que se forman. En muchos casos esto no es posible porque lacantidad de pares que pueden formarse es infinita.

A partir de la situación planteada, acabamos de incorporar nuevos térmi-

nos a su lenguaje matemático. No se preocupe si no puede reconocerlos y

usarlos en forma inmediata. El aprendizaje de un lenguaje cualquiera

requiere de tiempo, y lo mismo ocurre con el lenguaje matemático. Para

poder incorporarlo usted deberá usarlo, reflexionar sobre cómo y para

qué lo usa y asociarlo a situaciones sencillas que le resulten familiares.


��#��%+++ � �� 68

Seguiremos trabajando con los términos presentados para que pueda ir

reconociéndolos y aplicándolos a nuevas situaciones. También iremos

incorporando nuevos términos asociados al concepto de relación.

Le sugerimos que vaya construyendo un listado con los términos que vaya-

mos presentando. Comience con los términos que acabamos de presentar.

Tenga ese listado disponible de modo que pueda utilizarlo en una nueva

situación.

Al confeccionar el listado, incluya también la expresión simbólica de cada

uno de los términos.

Parte C

Responda las siguientes consignas:

1. Escriba otros pares ordenados (x ; y) que expresen posibles ventas de café y sus res-

pectivos precios en el negocio de Don Juan.

2. ¿Cuántos pares ordenados que expresen posibles ventas de café en el negocio de Don

Juan podría escribir? ¿Por qué?

3. Los pares (0,25; 2,5) y (2,5 ; 0,25), ¿expresan lo mismo? ¿Por qué?

4. A partir de su respuesta al ítem 3., ¿qué diría en general sobre el par (a ; b) en rela-

ción con el par (b ; a)?

Parte D

Para facilitar su tarea cotidiana, Don Juan decidió armar también una lista de precios

para ventas de café superiores a 3 kg. Le encargó la tarea a su hijo, quien para respon-

der a su pedido armó una relación en la que consideró solamente las cantidades de café

mayores a 3 kg que se vendieran más frecuentemente en el negocio. Nombró a esta rela-

ción con la letra s.

Escribió lo siguiente:

“s es una relación de A en B,

el conjunto A = { 3,5 ; 4 ; ; 5 ; ; 6 ; 6,5 ; 7},

el conjunto B = {31,5 ; 36 ; 40,5 ; 45 ; 49,5 ; 54 ; 58,5 ; 63}.

Los datos del conjunto de partida y de llegada se vinculan a través de la fórmula:

y = 9 . x”.

11

29

2


�� , 69


1. Identifique los conjuntos de partida y de llegada de la relación s.

2. Arme la tabla de la relación s.

3. Escriba los pares ordenados de la relación s.

4. Indique s(4) y s-1(58,5).

5. Escriba lo solicitado en el ítem 4. en términos de la situación de los precios del café

en el negocio de Don Juan.

6. Un cliente le pide 10 kg de café. ¿Puede calcular el precio que debería pagar utili-

zando la relación s? ¿Por qué?

#��#��

La relación s definida por el hijo de Don Juan está restringida sólo a las can-tidades de café mayores de 3 kg que se venden más frecuentemente en elnegocio. Esas cantidades fueron indicadas en el conjunto de partida de la rela-

ción, que es el conjunto A = { 3,5 ; 4 ; ; 5 ; ; 6 ; 6,5 ; 7}.

Por lo tanto, no podemos utilizar la relación s para calcular el precio a pagarpor una compra de 10 kg de café ya que esta relación, tal como fue definida,no contiene al 10 en su conjunto de partida.

Si bien sería posible realizar la cuenta y = 9 . x con x = 10 la relación s sólo puede

hacerlo para x = 3,5; x = 4 ; x = ; x = 5 ; x = ; x = 6 ; x = 6,5 ó x = 7, que

son los elementos del conjunto de partida de s.

Parte E

A partir de la compra de 10 kg de café (que le planteamos en la pregunta del ítem 6.

de la Parte D) Don Juan le pide a su hijo que amplíe la lista de precios incluyendo en ella

varios valores más. Para hacerlo, el hijo armó una nueva relación a la que llamó t. Sobre

la relación t se sabe que:

“t es una relación de A en B,

el conjunto A = { 3,5 ; 4 ; 4,5 ; 5 ; 5,5 ; 6 ; 6,5 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10},

el conjunto B = {31,5 ; 36 ; 40,5 ; 45 ; 49,5 ; 54 ; 58,5 ; 63 ; 72 ; 81 ; 90}.

Los datos del conjunto de partida y de llegada se vinculan a través de la fórmula:

y = 9 . x”.

92

112

92

112


11

2

11

2

9

2

��#��%+++ � �� 70


1. Escriba todos los pares (cantidad de kilogramos de café; dinero a pagar por esa can-

tidad) de la relación t?

2. Observe las relaciones s y t, ¿son iguales entre sí? ¿Por qué?

3. ¿En qué se parecen y en qué se diferencian las relaciones s y t? Para responder tenga

en cuenta los pares de ambas relaciones, sus conjuntos de partida y de llegada, y la

“forma” en que se vinculan los datos en cada una de ellas.

#��#��

Las relaciones s y t son diferentes ya que no tienen los mismos pares ordena-dos. Si bien algunos pares son comunes a ambas relaciones debido a que lasdos tienen la misma fórmula, la diferencia en los conjuntos de partida y llega-da considerados determinó que los pares no fuesen los mismos. Hay más paresen la relación t que en la relación s.

Por lo tanto, para que dos relaciones sean iguales no es suficiente que tenganfórmulas coincidentes, deben coincidir también sus conjuntos de partida y susconjuntos de llegada.

Parte F

El hijo de Don Juan sigue entusiasmado con las relaciones. Día a día elabora un informe

de lo ocurrido con las ventas de café utilizando una relación. La descripción en términos

matemáticos de lo ocurrido cierto día es la siguiente:

“v es una relación de A en B.

El conjunto de partida es A = { 3,5 ; 4 ; ; 5 ; ; 6 ; 6,5 ; 7}

El conjunto de llegada es B = {31,5 ; 36 ; 40,5 ; 45 ; 49,5 ; 54 ; 58,5 ; 63}

Los pares ordenados de la relación v son (4 ; 36) , ( ; 49,5) , (6 ; 54) y representan las

ventas de café realizadas en ese día en el negocio de Don Juan.

Responda las siguientes preguntas a partir de la información anterior:

1. ¿Cuántas ventas de café realizó ese día Don Juan? Escriba lo que tenga en cuenta

para dar su respuesta.

2. En cada venta, ¿qué cantidad de café vendió? ¿Dónde lee esa información?

3. ¿Cuánto dinero recibió en cada venta? ¿Dónde lee esa información?

4. Todas las cantidades de café indicadas en el conjunto de partida de la relación v,

¿resultaron ser vendidas en ese día?


�� , 71

#��#��

Al responder las preguntas anteriores, usted debe haber observado que en larelación v hay algunos elementos del conjunto de partida que no formanningún par ordenado de la relación. Esto se debe a que esas cantidades de caféno fueron vendidas ese día.

En cambio, sí fueron vendidas ese día, o sí forman pares ordenados de la rela-

ción, los siguientes elementos del conjunto A: 4, y 6. Estos números son

las primeras componentes de cada par ordenado de la relación v.

Los precios correspondientes a estas cantidades de café son los siguientes ele-mentos del conjunto B: 36, 49,5 y 54. Estos números son las segundas com-ponentes de los pares ordenados de la relación v.

��B��#��$��#�!��#��#�)��#�&��#��

Al conjunto formado por los elementos del conjunto de partida A, que seña-lamos en la orientación anterior, es decir, aquellos que forman algún par orde-nado de la relación v lo llamamos dominio de la relación v. Nos referimos al

conjunto formado por 4, y 6. Escribimos simbólicamente a este conjunto

así: Dom v = {4; ; 6}.

En general, llamamos dominio de una relación al conjunto formado por loselementos del conjunto de partida que tienen algún elemento correspondien-te en el conjunto de llegada.

Entre los elementos del conjunto de llegada B, sólo 36; 49,5 y 54 formanalgún par ordenado de la relación v. Es decir que de todos los elementos de Bsólo 36; 49,5 y 54 son correspondientes o imágenes de algún elemento delconjunto de partida A. Al conjunto formado por 36; 49,5 y 54 lo llamamosconjunto imagen de la relación v. Escribimos simbólicamente a este conjun-to así: Im v = {36; 49,5 ; 54}.

En general, llamamos conjunto imagen de una relación al conjunto formadopor los elementos del conjunto de llegada que son correspondientes o imáge-nes de algún elemento del conjunto de partida.

En la relación v puede observar que las imágenes de los elementos del domi-nio de la relación forman el conjunto imagen; y que las preimágenes de los ele-mentos del conjunto imagen de la relación forman el dominio de la misma.Esto ocurre en cualquier relación.

112

11211

2


��#��%+++ � �� 72

��>��?�%!�@��#��(��A

En un país que está pasando por un período de mucha inflación, se registró la cotiza-

ción del dólar durante los 5 días hábiles de una semana, a través de una relación c de

A en B:

El conjunto de partida de la relación c es A = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5}.

El conjunto de llegada de la relación c es B = {2,5 ; 2,75 ; 2,8 ; 3 ; 3,1 ; 3,5}.

La tabla que muestra la forma en que se vinculan los datos a través de la relación c es:

Días 1 2 3 4 5

Cotización (en $) 2,5 2,8 2,75 2,8 3 3,5

Parte A

De acuerdo con la información anterior responda:

1. ¿Qué cotización tuvo el dólar el primer día de observaciones?

2. ¿Qué día la cotización fue de $ 3?

3. ¿Qué ocurrió con la cotización el segundo día de observaciones?

4. Indique c(3) y c-1 (3,5).

5. En términos de la situación planteada, ¿qué expresan los valores que encontró en el

ítem 4.?

6. ¿Cuál es el dominio de la relación c?

7. ¿Cuál es el conjunto imagen de la relación c?

Parte B

A la semana siguiente el valor del dólar siguió aumentando significativamente. La rela-

ción d de A en B, que describimos a continuación, muestra lo ocurrido con la cotización

en el transcurso de los 5 días hábiles de esa semana:

El conjunto de partida de la relación d es A = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5}.

El conjunto de llegada de la relación d es B = {3 ; 3,1 ; 3,5; 4 ; 4,25}.

La tabla que muestra la forma en que se vinculan los datos de la relación d es:

Días 1 2 3 4 5

Cotización (en $) 3,1 4,25 4 4


�� , 73

Responda las siguientes consignas a partir de la nueva información:

1. ¿Qué ocurrió con la cotización del dólar el día 3?

2. Exprese en términos matemáticos lo que observa sobre la cotización del dólar el día 3.

3. ¿Cuál es el dominio de la relación d?

4. ¿Cuál es el conjunto imagen de la relación d?

#��#��

En la relación c podemos observar que el segundo día el dólar cotizó a dos pre-cios diferentes. En términos matemáticos decimos que el 2 tiene dos imágenes.

En la relación d podemos observar que el tercer día no hubo cotización. Entérminos matemáticos decimos que el 3 no tiene imagen.

��B��#��$��#�!�.��

Ninguna de las dos relaciones anteriores es función. La relación c no es fun-ción porque el 2 del conjunto de partida tiene dos imágenes en el conjunto dellegada. La relación d no es función porque el 3 del conjunto de partida notiene imagen en el conjunto de llegada.

En general, diremos que una relación f : A � B es función si se cumple quecada uno de los elementos del conjunto de partida A tienen una imagen en elconjunto de llegada B y esa imagen es única.

Como las funciones también son relaciones, podemos extender a ellas las ideasanalizadas hasta aquí sobre: los datos que es necesario informar para describir-las, el dominio, el conjunto imagen, la imagen de un elemento del conjunto departida, la preimagen de un elemento del conjunto de llegada y toda la simbo-logía trabajada hasta el momento.

Parte C

1. Analice cuáles de las relaciones presentadas en la Actividad N° 1 resultan ser funcio-

nes y cuáles no. Escriba las razones que le permiten decidir su respuesta.

2. Indique el dominio de aquellas relaciones que sean funciones.

3. ¿Cómo es el dominio de cada una de las relaciones que resulta ser función respecto

de su conjunto de partida?


��#��%+++ � �� 74

#��#��

Las relaciones r, s y t presentadas en la Actividad N° 1 son funciones ya quea cada elemento del conjunto de partida de la relación le corresponde unaúnica imagen en el conjunto de llegada.

En cada una de ellas el dominio coincide con el conjunto de partida.

En general, en una relación que resulta ser función, el dominio y el conjuntode partida coinciden.

La relación v no es función porque hay elementos del conjunto de partida queno tienen imagen en el conjunto de llegada.

��>��C�"!�@��E#��#��#��)��#��#��A

Una empresa utiliza un sistema computarizado para confeccionar figuras que serán estam-

padas sobre tela.

Juan, uno de los operadores de la empresa, está estudiando el manual de la computado-

ra para aprender a usar el sistema. Ayudaremos a Juan con su tarea. Hasta el momento,

Juan ha obtenido la siguiente información:

En una pantalla se visualiza lo que se va creando y luego se estampará en la tela.

Las figuras o dibujos se hacen por partes.

Se inicia el trabajo pintando algunos puntos que servirán de guía para el trazado del dibujo.

Para ubicar los puntos a pintar, la computadora utiliza un sistema de referencia que ocupa

toda la pantalla. Ese sistema es como el que sigue:

Para ubicar cada punto en el sistema de referencia se debe introducir un código (v ; h)que identifica a la recta vertical y a la recta horizontal que localizan la posición del

punto en el dibujo.


�� , 75

Tanto v como h pueden tomar cualquier valor dentro del conjunto de los números reales.

El operador empieza a probar y obtiene la siguiente pantalla:

Para pintar el punto que aparece en la pantalla, el operador teclea en la computadora

el siguiente código: (v ; h) = (3 ; 5)

De acuerdo con el manual, este código le indica a la máquina que debe pintar el punto

donde se cruzan la vertical 3 (v = 3) y la horizontal 5 (h = 5).

Juan sigue investigando y obtiene la siguiente pantalla:

Parte A

Le pedimos que se ponga en el lugar de Juan y responda las siguientes preguntas:

1. Escriba los códigos que debió introducir a la computadora para obtener cada uno de

los puntos que se visualizan en la pantalla anterior.

2. Dibuje en su cuaderno una pantalla vacía y señale qué puntos serán pintados si se

introducen a la computadora los siguientes códigos:

• Punto E: (v ; h) = (6,5 ; 3,5) • Punto F: (v ; h) = ( -7 ; 0)

• Punto G: (v ; h) = (0 ; -6) • Punto H: (v ; h) = (0 ; 0)

• Punto I: (v ;h) = (-2,5 ; -2) • Punto J: (v ; h) = (-3 ; 5)

h = 5

v = 3


��#��%+++ � �� 76

• Punto K: (v ; h) = (7,5 ; -5,5) • Punto L: (v ; h) = (4 ; 0)

• Punto M: (v ; h) = (0 ; 5,5) • Punto N: (v ; h) = (3 ; -5)

• Punto O: (v ; h) = (-3 ; -5)

3. Teniendo en cuenta los puntos que usted acaba de representar en el ítem 2. y los

representados por Juan en el ítem 1., explique con sus palabras cuál es la diferencia

de ubicación que visualiza:

a) entre (3 ; 5) y (3 ; -5)

b) entre (3 ; 5) y (-3 ; 5)

c) entre (3 ; 5) y (-3 ; -5)

4. ¿Dónde quedan ubicados los puntos (v ; h) = (-7 ; 0) y (v ; h) = (4 ; 0)?

5. ¿Dónde quedan ubicados los puntos (v ; h) = (0 ; -6) y (v ; h) = (0 ; 5,5)?

6. ¿Dónde queda ubicado el punto (v ; h) = (0 ; 0)?

#��#��

Le damos la siguiente información para que compare con lo que usted yapensó o respondió.

Los códigos pedidos en el ítem 1., que son los que el operador debió introdu-cir para obtener cada uno de los puntos indicados en la pantalla dada, son:

Para el punto señalado con A: (v ; h) = (3 ; 5),

para el indicado con B: (v ; h) = (-2 ; 3,5),

para el C: (v ; h) = (-4 ; -5) y

para el D: (v ; h) = (4,5 ; -3).

Los puntos pintados por los códigos dados en el ítem 2. se visualizan en lasiguiente pantalla:


�� , 77

Parte B

1. a) Represente en una pantalla como las que viene utilizando, los puntos:

(3 ; 1) , (3 ; 2,5) , (3 ; 5) , (3 ; 0) , (3 ; -1,5) , (3 ; -7)

b) ¿Qué observa sobre la ubicación de los puntos representados en el ítem a)?

c) Teniendo en cuenta sus respuestas a los ítems a) y b), represente todos los puntos

de la pantalla que resultan pintados cuando se le da a la computadora la instruc-

ción de que pinte los puntos cuya v = 3.


(-5 ; -2) , (-3,5 ; -2) , (-1 ; -2) , (0 ; -2) , (1,5 ; -2) , (7,5 ; -2)

b) ¿Qué observa sobre la ubicación de los puntos representados en el ítem a)?

c) Teniendo en cuenta lo hecho en los ítems a) y b), represente todos los puntos de la

pantalla que resultan pintados cuando se le da a la computadora la instrucción de

que pinte los puntos cuya h = -2.


(1 ; 1) , (2 ; 2) , (3 ; 3) , (0 ; 0) , (-1,5 ; -1,5) , (9 ; 9)

b) En cada uno de los puntos representados en el ítem a), ¿cómo es el valor de v en

relación con el valor de h?

c) ¿Cuáles son todos los puntos de la pantalla que resultan pintados cuando se le da

a la computadora la instrucción de que pinte los puntos cuya v = h? Represéntelos

en una pantalla.


(1 ; 2) , (2 ; 4) , (3 ; 6) , (0 ; 0) , (-1,5 ; -3) , (-2 ; -4) , (-4,5 ; -9)

b) ¿Qué relación observa entre el valor de h y el valor de v de los puntos representa-

dos en el ítem a)?

c) Represente en una pantalla todos aquellos puntos que verifican la condición h = 2 . v

Parte C

1. a) Represente en la pantalla 10 puntos que verifiquen la condición v > 3.

b) Los puntos que se ubican sobre la vertical 3, ¿cumplen con la condición enunciada

en el ítem a)?

c) Teniendo en cuenta sus respuestas a los ítems anteriores, marque en la pantalla

todos los puntos que verifican la condición v > 3.


��#��%+++ � �� 78

2. a) Represente en otra pantalla 10 puntos que verifiquen la condición h > -2.

b) Los puntos ubicados sobre la horizontal -2, ¿cumplen con la condición enunciada

en el ítem a)?

c) Teniendo en cuenta sus respuestas a los ítems anteriores, marque en la misma pan-

talla que usó en el ítem a) todos los puntos que verifican la condición h > -2.

3. a) Represente en una nueva pantalla 10 puntos que verifiquen la condición h > v. Por

ejemplo, el punto (2 ; 3).

b) Los puntos (2 ; 2), (3 ; 3), (4 ; 4), ¿cumplen con la condición enunciada en el ítem a)?

c) De acuerdo con sus respuestas a los ítems anteriores complete la pantalla que

comenzó a representar en el ítem a), señalando en ella todos los puntos que cum-

plen con la condición enunciada.

#��#��

Si a la computadora se le da la instrucción v = 3, se le está indicando quepinte todos aquellos puntos cuya v sea igual a 3. Por ejemplo (3 ; 1). La pan-talla se ve así:

Cuando la instrucción es h = -2, la pantalla resulta:


�� , 79

Si la instrucción es h = v, los puntos pintados serán, por ejemplo el (3 ; 3), el(4 ; 4), etc.. Es decir, la vertical y la horizontal que los determinan toman losmismos valores. Entonces la pantalla queda así:

Compare lo que usted hizo para la instrucción h = 2v con la pantalla que ledamos a continuación:

Los gráficos que le presentamos a continuación son los que le solicitamos enla Parte C:


��#��%+++ � �� 80

Observe que si la instrucción es v > 3, los puntos cuya v es igual a 3 no for-man parte de la región. Para indicarlo en la representación dibujamos unalínea punteada en la vertical 3.

En el caso en que la instrucción es, por ejemplo, h -2 los puntos cuya h esigual a -2 forman parte de la región. Para indicarlo gráficamente dibujamosuna línea llena en la horizontal -2.

��B��#��$��#�!��&��##��D�#��#�

El sistema de referencia utilizado por la computadora para realizar los diseñoses similar al sistema de ejes coordenados cartesianos que utiliza laMatemática para representar puntos en el plano.

En este sistema, los ejes se cortan en un punto que se llama origen de coor-denadas, que corresponde al punto (0 ; 0). El plano queda dividido en cua-tro cuadrantes como muestra el siguiente gráfico:

Cada punto del plano es un par ordenado. En cada par ordenado se indicandos números o componentes que son las coordenadas del punto. La primeracomponente, o primer número, de los pares se llama abscisa, porque su valorpertenece al eje llamado de abscisas. La segunda componente, o segundonúmero, se llama ordenada porque su valor pertenece al eje de ordenadas. Porejemplo, en las coordenadas de A = (3 ; 5) decimos que la abscisa x es 3 y laordenada y es 5, o que A tiene abscisa 3 y ordenada 5.

Cuando representamos al conjunto de todos los puntos del plano que verifi-can, por ejemplo, la instrucción h = 2.v, el conjunto de puntos resultante esel conjunto solución de la ecuación h = 2.v.

Cuando representamos al conjunto de todos los puntos del plano que verifi-can, por ejemplo, la instrucción h > v, el conjunto de puntos resultante es elconjunto solución de la inecuación h > v.


Al conjunto de todos los puntos del plano lo denominamos R2.

La representación gráfica es otra de las “formas” que podemos utilizar paramostrar cómo se relacionan los elementos del conjunto de partida con los ele-mentos del conjunto de llegada en una relación.

Parte D

1. Represente el conjunto solución de las siguientes ecuaciones en el plano, usando

como referencia un sistema de ejes coordenados cartesianos:

a) y = 4 . x b) y = . x c) y = -2 . x

2. Represente el conjunto solución de las siguientes inecuaciones en el plano, usando

como referencia un sistema de ejes coordenados cartesianos:

a) y >> 4 x b) y x c) y > -2x

��>��C�,!�@��3�&��#��#��3�#A



En el capítulo 7 – Funciones

1. Lea “Dominio e imagen” en la página 178.

2. Lea “Gráficos” en la página 180.

3. Resuelva las Actividades N° 8, 9 y 10 de la página 181. En la Actividad N° 10 sólo res-

ponda cuáles de los gráficos corresponden a funciones. Puede comparar sus respues-


4. Lea “Fórmulas” y “Gráficos a partir de fórmulas” en las páginas 182 y 183. No deje

de leer el recuadro “Notación” en la página 182.

5. Resuelva las Actividades N° 19, 22, 23, 24, 25, 34 y 35 de las páginas 191 y 192. Puede


��

�� **��

12

12

�� , 81


��#��%+++ � �� 82


�� 0 83

UNIDAD 5

UN

IDA

D 5

#��$��

En esta unidad trabajaremos con diversas clasificaciones de ángulos planos ycon algunas propiedades y relaciones entre ellos.

Utilizaremos el plegado y calcado de figuras para visualizar algunas de las pro-piedades de los triángulos, cuadriláteros y otros polígonos.

Demostraremos algunas de estas propiedades utilizando las conclusiones sobreángulos planos previamente obtenidas.

El conocimiento y el manejo de todas estas relaciones y propiedades le permi-tirá dar mejores soluciones a muchos problemas de orden geométrico quepodrían presentársele en su vida diaria.


• Reconozca distintos tipos de ángulos planos y pueda construirlos y medirlos.

• Reconozca relaciones entre ángulos y sus propiedades.

• Reconozca distintos tipos de triángulos, sus elementos y propiedades.

• Interprete geométricamente la propiedad conocida como teorema dePitágoras.

• Reconozca la clasificación de cuadriláteros y las propiedades de los mismos.

• Reconozca y enuncie las propiedades de los polígonos regulares y su clasi-ficación.

• Resuelva situaciones concretas en las que un recurso de solución sea darleuna interpretación geométrica y usar las propiedades estudiadas de ángu-los, triángulos, cuadriláteros y otros polígonos.

Las actividades que le proponemos en esta unidad pretenden que usted

tenga a mano recursos, como el calcado y plegado de figuras, que le per-

mitirán visualizar las propiedades de las mismas.

Muchos de los contenidos serán trabajados directamente desde el libro.

Por lo tanto usted irá, en la mayoría de los casos, conociendo los nuevos

términos y la simbología asociada a ellos a partir de la lectura del texto.

Para ello deberá seguir las indicaciones que le daremos en cada una de las

actividades de trabajo con él.


�

� δ

α

γ

β

��#��%+++ � �� 84

��>��?� !�@��3�&��#��#��3�#F

Parte A



Le indicaremos paso a paso el camino que debe seguir con él.

En el Capítulo 1 - Para empezar:

1. Lea "Elementos básicos de geometría", "Plano, recta, segmento", "Rectas secantes,

rectas paralelas, rectas perpendiculares", "Semirrecta. Semirrectas opuestas.

Segmento. Segmentos consecutivos" en las páginas 24, 25 y 26. Lea, también, el

recuadro "Notación" de la página 26.

2. Resuelva las Actividades 46), 47), 48), 49), 51), 52), 53), 54) y 56) de las páginas 26 y

27. Puede comparar sus respuestas con las dadas en la página 261.

3. Lea "Mediatriz de un segmento" en las páginas 28 y 29.

4. Lea el recuadro "Ángulos" en la página 31.

5. Lea "Ángulos" y "Clasificación de ángulos" en las páginas 30 y 31.

6. Resuelva las Actividades 61), 63), 65), 66), 67), 68), 69), 71), 73) y 74) de las páginas 32

y 33. Puede comparar sus respuestas con las dadas en la página 261.

7. Lea "Bisectriz de un ángulo" y "Ángulos adyacentes" en las páginas 34 y 35.

8. Resuelva las Actividades 77), 78), 79), 80), 81) y 85) de las páginas 35 y 36. Puede com-


Parte B

En el gráfico de la derecha se puede observar que cuando la recta r corta a la recta s,

quedan determinados 4 ángulos: , , y .

De acuerdo con lo que leyó en la página 35 del libro:

Los ángulos y son "opuestos por el vértice".

El otro par de ángulos, y , también son "opuestos por el vértice".

Le pedimos que:

1. Reproduzca en un papel la siguiente figura:


�� 0 85

2. Recorte cada uno de los ángulos y sombreados en la misma y los superponga.

3. ¿Qué observa al superponer los ángulos que recortó?

4. Superponga también los ángullos y . ¿Qué observa al superponerlos?

5. Trace otras 2 rectas que se corten formando 2 pares de ángulos opuestos por el vér-

tice. Repita lo pedido en los ítems 2., 3. y 4..

6. Si traza otras 2 rectas que se corten también formando 2 pares de ángulos opuestos

por el vértice, ¿se repetirá lo observado en los ítems anteriores?

#��#��

Con el procedimiento de recortar y superponer que utilizó para responder lopedido en la Parte B, usted debe haber verificado, en los casos trabajados, quelos ángulos opuestos por el vértice tienen la misma forma y el mismo tamaño.Decimos, entonces, que los ángulos opuestos por el vértice son congruentes(o iguales). Esta es una propiedad que se verifica en todos los ángulos opues-tos por el vértice. Las verificaciones realizadas únicamente para algunos casos,no nos permiten asegurar que la propiedad enunciada se cumpla para cual-quier par de ángulos opuestos por el vértice. Para poder hacerlo la Matemáticautiliza recursos lógicos que le permiten demostrar que la propiedad es válidaen cualquier caso. A continuación le pediremos que lea en el libro una demos-tración de la propiedad que usted acaba de verificar.

Trate de entender cada uno de los pasos realizados en esa demostración.

No se preocupe pensando que a usted no se le hubiera ocurrido o tratan-

do de recordarla. Por ahora no estamos esperando que usted pueda reali-

zar una demostración matemática.

Las demostraciones son parte habitual del quehacer matemático con las

que nos interesa que comience a vincularse y con las que irá familiarizán-

dose a lo largo de su paso por los distintos niveles de la materia.

En este momento, lo importante es que reconozca las propiedades que se

verifican en las diferentes figuras que presentaremos en esta unidad y

pueda utilizar estas propiedades para resolver las actividades que se pre-

senten. Tenga en cuenta el recurso de recortar y superponer figuras utili-

zado para distinguir la propiedad de los ángulos opuestos por el vértice y

utilícelo cada vez que necesite saber si alguna propiedad se verifica o no.


��#��%+++ � �� 86

Parte C

En esta parte de la actividad retomaremos la lectura del libro.

1. Lea el recuadro "Para saber hacer" de la página 37.

2. Lea "Figuras planas. Cálculo de perímetros y áreas" en las páginas 38 y 39.

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Parte A

En esta parte de la actividad, seguiremos trabajando con el libro.

En el Capítulo 5 - Ángulos entre paralelas:

1. Lea la introducción del capítulo y "Ángulos formados por dos rectas cortadas por una

tercera" en las páginas 128, 129, 130 y 131.

2. Resuelva la Actividad 1) de la página 131. Puede comparar sus respuestas con las

dadas en la página 267.

Parte B

En el siguiente gráfico se representan dos rectas paralelas (r y s) que son cortadas por

una tercera recta (t). Se han remarcado los ángulos y .

1. De acuerdo con su ubicación, ¿cómo clasifica a este par de ángulos?

2. Como hizo en la Actividad Nº 1, le pedimos que calque, recorte y superponga los

ángulos y . ¿Qué observa respecto de las medidas de estos dos ángulos?


�� 0 87

Parte C

En el siguiente gráfico se representan nuevamente dos rectas paralelas (r y s) que son

cortadas por una tercera recta (t). Se han remarcado los ángulos y .

1. De acuerdo con su ubicación, ¿cómo clasifica a este par de ángulos?

2. Como hizo en la Actividad Nº 1, le pedimos que calque, recorte y superponga los

ángulos y . ¿Qué observa respecto de las medidas de estos dos ángulos?

#��#��

Los ángulos y son alternos externos. De acuerdo con la verificación por

superposición de figuras que hizo en el ítem 2., para este caso, y midenlo mismo.

Los ángulos y son correspondientes. Usted pudo verificar por super-

posición que, en este caso, resultan iguales.

Lo que ha podido observar con estos pares de ángulos:

¿Considera que se verificará para cualquier par de ángulos alternos externos ocorrespondientes entre paralelas?

Como hemos dicho anteriormente, no es suficiente comprobar una propie-dad en algunos casos, sino que hay que demostrarla para darle validez gene-ral. En la actividad de lectura del libro que le proponemos a continuaciónleerá algunas demostraciones de propiedades. Al leerlas tenga en cuenta larecomendación que le hicimos en la actividad anterior en relación con la lec-tura de las demostraciones.


��#��%+++ � �� 88

Parte D

En esta parte de la actividad, retomaremos la lectura del libro.

En el Capítulo 5 - Ángulos entre paralelas:

1. Lea "Ángulos entre paralelas. Alternos internos" y "Alternos externos" en las pági-nas 132, 133 y 134. Lea el recuadro "Propiedad recíproca" de la página 132.

2. Resuelva las Actividades 3), 4), 7) y 8) de la página 135. Puede comparar sus respues-tas con las dadas en la página 267.

3. Lea "Ángulos correspondientes" en las páginas 136 y 137.

4. Resuelva las Actividades 9) y 12) de la página 137. Puede comparar sus respuestas conlas dadas en la página 267.

5. Lea "Ángulos conjugados entre paralelas" en la página 138.

6. Lea "Demostraciones y verificaciones" en la página 139.

7. Resuelva las Actividades 16), 18), 19), 20), 21), 26), 27), 31), 32) y 33) de las páginas140, 141 y 142. Puede comparar sus respuestas con las dadas en la página 267.

8. Realice lo pedido en "A corregir" en la página 143. Puede comparar sus respuestascon las dadas en la página 267.

9. Resuelva la Actividad 2) de la página 131, las Actividades 5) y 6) de la página 135, laActividad 29) de la página 141 y la Actividad 34) de la página 142. Puede compararsus respuestas con las dadas en la página 267.

En las páginas anteriores usted ha leído y trabajado principalmente con

ángulos. Ha visto nombres, clasificaciones y propiedades. Si tiene claros

estos nombres, clasificaciones y propiedades, siga adelante. Si no es así,

antes de seguir adelante con el trabajo de la unidad, relea lo que todavía

le genere dudas.

��>��?�"!�F��3�&��#��#��3�#F

En esta actividad continuaremos trabajando con el libro:

En el Capítulo 6 - Triángulos y cuadriláteros:

1. Lea la introducción del capítulo y "Triángulos. La única figura rígida" en las páginas144 y 145.

2. Resuelva las Actividades 1) (sólo el primer triángulo) y 2) de la página 146. Puedecomparar sus respuestas con las dadas en la página 267.


�� 0 89

3. Lea "Propiedades de los triángulos" en la página 146. No deje de realizar las activi-dades de medición o calcado propuestas en esa página.

4. Lea "La propiedad triangular", "Suma de los ángulos interiores del triángulo" y"Clasificación de triángulos" en las páginas 147 y 148.

5. Resuelva las Actividades 4), 5), 6), 7), 9), 10) y 11) de las páginas 148 y 149. Para resol-

ver la actividad 10), tenga en cuenta lo que respondió en la actividad 9). (Nota: En la

edición 2000 del libro, para el primer triángulo de la actividad 9), donde dice AC AB,

debe decir AC ⊥ AB ). Puede verificar sus respuestas en las páginas 267 y 268.

6. Lea "Congruencia de triángulos" en las páginas 150 y 151. No deje de leer el recua-

dro "¿Iguales o congruentes?" de la página 150.

7. Resuelva las Actividades 18), 21) y 22) de la página 153. Puede comparar sus respues-


8. Lea "Alturas, mediatrices, bisectrices y medianas de un triángulo" en las páginas 154

y 155.

9. Resuelva las Actividades 24), 25), 26) y 27) de la página 155. Puede comparar sus res-


��>��C�,!�@��E#��$��#�F

Como parte de un diseño se dibujó, a partir de un triángulo rectángulo como el ,

la siguiente figura:

A los cuadrados de lados b y c se los pintó de azul y al cuadrado de lado a se lo pintó de

rojo.


��#��%+++ � �� 90

Parte A


1. Si el lado a mide 5 cm, el lado b mide 4 cm y el lado c mide 3 cm:

a) ¿Cuánto mide el área pintada de azul?

b) ¿Cuánto mide el área pintada de rojo?

c) ¿Cómo son entre sí las áreas pintadas de cada color?

2. Responda las preguntas anteriores si el lado a mide 13 cm, el lado b mide 12 cm y el

lado c mide 5 cm.

#��#��

En los dos casos anteriores el área pintada de rojo es igual al área pintada deazul, ya que:

ítem 1. ítem 2.

Área pintada de azul 32 + 42 = 25 122 + 52 = 169

Área pintada de rojo 52 = 25 132 = 169

En ambos casos vemos que, para las medidas de a, b y c indicadas, se verifica que:

a2 = b2 + c2.

��B��#��$��#�!��#��$�#��

En un triángulo ABC rectángulo, al lado opuesto al ángulo recto se lo llamahipotenusa y a los otros dos lados se los llama catetos.


�� 0 91

En todo triángulo rectángulo se verifica que el cuadrado de la medida de lahipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las medidas de los catetos.En símbolos:

a2 = b2 + c2

Esta propiedad es conocida como teorema de Pitágoras.

Usted ya verificó esta propiedad en la actividad anterior.

Como ya mencionamos anteriormente, para la Matemática no es suficien-

te la verificación de una propiedad sólo para algunos casos particulares,

sino que debe demostrarlo en forma general.

Si bien en este curso no esperamos que usted realice la demostración

matemática de esta propiedad, nos interesa que pueda verificar su validez

para algunos casos particulares.

Parte B

Resuelva las Actividades 34) y 35) de la página 159 del libro Matemática En Red 8 EGB de López A.

y Pellet, C., editorial A-Z. Puede comparar sus respuestas con las dadas en la página 268.

��>��C�0!�@��#�.��F

Mire las figuras representadas a continuación. Todas tienen cuatro lados. Por esa razónse llaman cuadriláteros. Entre ellos hay tres grupos:

• Los cuadriláteros que tienen dos pares de lados opuestos paralelos, llamados parale-

logramos.

• Los cuadriláteros que tienen un par de lados opuestos paralelos, llamados trapecios.

• Los cuadriláteros que no tienen ningún par de lados opuestos paralelos, llamados tra-

pezoides.

Paralelogramos


��#��%+++ � �� 92

Trapecios

Trapezoides

Parte A

1. ¿Tiene a mano una tijera? Calque todos los paralelogramos dados anteriormente y

recórtelos.

2. Tome uno de los paralelogramos que recortó. ¿Es posible plegarlo en dos partes

sobre sí mismo de modo que las dos partes queden superpuestas coincidiendo de

manera exacta? Si es posible, dóblelo en la forma descripta.

3. Investigue si es posible plegar ese paralelogramo de otras formas de modo que se

cumplan las condiciones pedidas en el ítem 2.

4. Repita lo hecho en los ítems 2. y 3. para cada uno de los paralelogramos que recortó

en el ítem 1.

5. ¿Cuál o cuáles de los paralelogramos recortados pudieron ser plegados del modo

pedido?

6. En cada uno de los paralelogramos, ¿de cuántas formas puede hacer el plegado de

manera que coincidan las partes superpuestas?

Parte B

1. Calque todos los trapecios dados anteriormente y recórtelos.

2. Tome uno de los trapecios recortados. Intente plegarlo, si es posible, en dos partes

sobre sí mismo, de modo que las dos partes queden superpuestas, coincidiendo de

manera exacta.

3. Investigue si es posible plegar ese trapecio de otras formas de modo que se cumplan

las condiciones pedidas en el ítem 2.


�� 0 93

4. Repita lo hecho en los ítems 2. y 3. para cada uno de los trapecios que recortó en el

ítem 1.

5. ¿Cuál o cuáles de los trapecios recortados pudieron ser plegados del modo pedido?

6. En cada uno de los trapecios, ¿de cuántas formas puede hacer el plegado de manera

que coincidan las partes superpuestas?

Parte C

Para los trapezoides dados, repita lo pedido en los ítems 1. a 6. de las Partes A y B.

#��#��

Los cuadriláteros que pueden plegarse de modo que las partes superpuestasresulten coincidentes son los que representamos a continuación:

Fíjese, por ejemplo, para la siguiente figura: si la plegamos siguiendo la líneapunteada, las partes superpuestas coinciden:

Pero también se cumple lo pedido si plegamos la figura por cualquiera de lasotras líneas punteadas que se indican en los dibujos que siguen:


��#��%+++ � �� 94

¿Coincide esto con lo que observó al doblar la figura que recortó?

En los otros cuadriláteros, ¿qué ocurre?

En los siguientes dibujos, la línea punteada indica el lugar por donde puedeplegarse cada figura de modo que las partes que se superponen coincidan:

Parte D

Para los cuadriláteros que seleccionó en las Partes A, B y C, responda:

1. ¿Cómo son entre sí las medidas de los lados que se superponen al doblar la figura?

2. ¿Cómo son entre sí las medidas de los ángulos que se superponen al doblar la figura?

#��#��

Al doblar todos esos cuadriláteros por la línea punteada podemos observar quelas medidas de los lados que se superponen son iguales. Lo mismo ocurre conlos ángulos. Es decir, los ángulos que se superponen tienen igual medida. Poresta razón decimos que la recta que contiene a la línea punteada es un eje desimetría de cada figura y que cada parte plegada es simétrica de la otra.

Por ejemplo, observe el trapecio ABCD que representamos a continuación:

Después de plegarlo por el eje de simetría, podemos observar que:

• El lado AB se superpone con el lado CD. Por eso decimos que los segmen-tos AB y CD son congruentes y que sus medidas son iguales. En lenguajesimbólico: AB = CD.

• El ángulo A se superpone con el ángulo D y el ángulo B con el ángulo C .

Es decir, los ángulos A y D son congruentes y los ángulos B y C también

^

^ ^

^ ^

^ ^

^


^̂

^̂

^̂

^̂ ^̂ ^̂ ^̂

^̂

�� 0 95

son congruentes. En lenguaje coloquial decimos que la medida del ángulo

A es igual a la medida del ángulo D y que la medida del ángulo B es igual

a la medida del ángulo C. Simbólicamente, escribimos: A = D y B = C .

!��%�� &'(��)��)��

� �� )� �*��*��*�� *+

Parte E

1. Teniendo en cuenta lo observado en las Orientaciones anteriores, le solicitamos para

la figura dibujada abajo que:

a) Para cada eje de simetría, busque en ella:

• Los pares de lados que tienen igual medida entre sí.

• Los pares de ángulos que tienen la misma medida entre sí.

b) Escriba sus observaciones en forma simbólica.

c) ¿Qué diría respecto de la validez del siguiente enunciado: "Esta figura tiene sus

cuatro lados congruentes"? Justifique su respuesta.

d) A partir de sus observaciones y de lo hecho en el ítem a), enuncie otra propiedad

de esta figura, referida a sus ángulos.

2. a) Ahora le pedimos que responda lo indicado en el ítem 1.a) para la siguiente figura

b) ¿Qué diría respecto de las medidas de los cuatro ángulos de esta figura?

c) ¿Qué diría respecto de las medidas de sus lados?


Propiedades de los ángulos en lenguaje

Propiedades de los lados en lenguaje

Figura Coloquial Simbólico Coloquial Simbólico

��#��%+++ � �� 96

3. a) Repita para las siguientes figuras lo pedido en el ítem 1. a):

b) ¿Qué diría respecto de las medidas de lados y ángulos de cada una de estas figuras?

4. En los ítems 1., 2. y 3., usted obtuvo conclusiones para los cuadriláteros que tienen

ejes de simetría. Esos cuadriláteros están representados en la primera columna del

siguiente cuadro. Complételo escribiendo las conclusiones o propiedades obtenidas

en lenguaje coloquial y en lenguaje simbólico.


�� 0 97

Parte F

1. Si le dicen que:

• Los cuadriláteros que tienen todos sus ángulos congruentes o de igual medida se

llaman rectángulos.

• Los cuadriláteros que tienen todos sus lados congruentes o de igual medida se lla-

man rombos.

• Los cuadriláteros que cumplen con las dos condiciones anteriores se llaman cua-

drados.

a) ¿Cuál o cuáles de las figuras de la tabla anterior son cuadrados?

b) ¿Cuál o cuáles son rectángulos?

c) ¿Cuál o cuáles son rombos?

2. Le agregamos la siguiente información:

• Los trapecios que tienen un par de lados congruentes se llaman trapecios isósceles.

• Los trapezoides que tienen dos pares de lados consecutivos congruentes se llamanromboides.

Le pedimos que le ponga nombre a cada una de las figuras con las que completó latabla del ítem 4. de la Parte E.

Parte G

1. Tome uno de los cuadriláteros que recortó al iniciar estas actividades. Trace en él susdiagonales, es decir, los segmentos que unen vértices no consecutivos. Por ejemplo,en el cuadrado ABCD que representamos a continuación, los segmentos BD y AC sonsus diagonales.

2. Explore la figura, plegándola, de modo que pueda averiguar:

a) ¿Cómo resultan ser entre sí las medidas de las diagonales?

b) ¿Cómo resultan ser entre sí los segmentos en que se dividen las diagonales al cor-tarse? Es decir, si llamamos O al punto donde se cortan las dos diagonales, ¿cómoes la medida de AO respecto de la medida de OC ? ¿Y la medida de BO respecto dela de OD?


#��#��

Si doblamos el cuadrado por sus distintos ejes de simetría podemos observarque las diagonales son congruentes, es decir que las medidas de las diagonalesson iguales.

También se observa, al doblarlo por sus diagonales, que la medida de AO es lamisma que la de OC, y que la medida de BO es la misma que la de OD.Entonces, decimos que las diagonales de un cuadrado se cortan mutuamenteen segmentos congruentes, y que el punto donde se cortan es el punto mediode cada una de ellas.

3. Repita con el rectángulo, el rombo, el trapecio isósceles y el romboide lo que hizo con

el cuadrado en el ítem 2.

4. Organice un cuadro con el siguiente encabezado:

Complételo con las conclusiones obtenidas en los ítems 2. y 3. respecto de las diagona-

les de los cuadriláteros. Las figuras que debe usar en la tabla son el cuadrado, el rectán-

gulo, el rombo, el trapecio isósceles y el romboide.

Parte H

Busque, entre las figuras recortadas, aquéllas que tienen a una o ambas diagonales

como eje de simetría.

El cuadrado es una de ellas. Observe en el cuadrado ABCD que dibujamos a continua-

ción los ángulos señalados como A1, A2, B1, B2, C1, C2, D1 y D2:

1. ¿Cómo son entre sí los ángulos A1 y A2 , los ángulos B1 y B2, los ángulos C1 y C2 , los

ángulos D1 y D2 ? Doble las figuras de manera adecuada para que pueda observar lo

necesario para responder.

Propiedades de las diagonales en lenguaje

Figura Coloquial Simbólico

^ ^ ^ ^ ^ ^ ^

^ ^ ^ ^ ^^

^ ^

^

��#��%+++ � �� 98


^ ^

^ ^

^

^

^ ^

^ ^

^ ^

#��#��

Los cuadriláteros que tienen una o las dos diagonales como eje de simetría sonlos que representamos a continuación:

Como habrá observado, en el romboide sólo una de sus diagonales es eje desimetría de la figura. Dicha diagonal recibe el nombre de diagonal principal.

En el cuadrado dibujado podemos ver que B1 y B2 son los ángulos en que la

diagonal BD divide al ángulo B, y que D1 y D2 son los ángulos en que la

misma diagonal divide al ángulo D .

Al doblar la figura por la diagonal podemos observar que las dos partes del

ángulo se superponen. En lenguaje simbólico: B1 = B2; D1 = D2 .

Es decir que la diagonal BD divide a los ángulos B y D en dos ángulos igua-les. Podemos decir entonces que la diagonal es bisectriz de dichos ángulos.

Lo mismo ocurre con la diagonal AC del cuadrado.

2. Repita el análisis pedido en el ítem 1. para el resto de los cuadriláteros que tienen a

una o dos de sus diagonales como ejes de simetría.

3. Traslade estas nuevas conclusiones a la tabla del ítem 4. de la Parte G.

Parte I

1. Entre las figuras que recortó al comienzo de la actividad, busque el cuadrilátero

representado a continuación:

�� 0 99


��#��%+++ � �� 100

2. Trace en él las diagonales y una línea punteada perpendicular a la diagonal BD (o sea,

que forme con la diagonal un ángulo recto) que pase por el punto donde se cortan

las diagonales. En el siguiente gráfico le mostramos las líneas que describimos:

3. Doble la figura por la diagonal BD y a la figura doblada hágale un segundo doblez,

por la línea punteada.

4. Observe en la figura los segmentos y ángulos que se superponen al doblarla y com-

plete la línea de puntos con "=" ó " " según corresponda:

A.....C A.....B A.....D B.....D B.....C C.....D

AB.....CD BO.....OD

5. Ahora trace una línea perpendicular a la diagonal AC, que pase también por el punto

donde se cruzan las diagonales. Doble la figura por la diagonal AC y hágale un segun-

do doblez por la línea punteada. Observe en la figura los lados y ángulos que se super-

ponen al doblarla y complete la línea de puntos con "=" ó " " según corresponda:

BC.....AD AB.....AD BC.....CD AO.....OC AC.....BD

6. Complete una tabla con las conclusiones obtenidas en los ítems 4. y 5. respecto de

esta figura. El encabezado de la tabla es:

A partir del plegado de los cuadriláteros dibujados al iniciar esta actividad,

hemos observado relaciones entre los lados, ángulos y diagonales de los

mismos.

Al trabajar con ángulos y triángulos ya ha visto que observar alguna relación

en casos particulares no es suficiente para afirmar que la misma se verifica en

todos los casos posibles .También ha visto que la Matemática, a partir de

observaciones parecidas a las suyas, elabora hipótesis o conjeturas que debe

demostrar para que se transformen en afirmaciones generales.

Propiedades de los ángulos en lenguaje

Figura Coloquial Simbólico

Propiedades de los lados en lenguaje

Coloquial Simbólico

Propiedades de las diagonales en lenguaje

Coloquial Simbólico

^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^


�� 0 101

En el libro usted va a leer la demostración de una de las propiedades

observadas en esta actividad. Nuevamente le pedimos que la lea y que

trate de entender cada uno de los pasos que allí se hagan.

Tenga en cuenta el recurso de plegar figuras (utilizado para distinguir las

propiedades de los cuadriláteros) y recurra a él cada vez que necesite uti-

lizar alguna propiedad y no recuerde si la misma tiene validez o no.

��>��?�/!�@��3�&��#��#��3�#F



En el Capítulo 6 - Triángulos y cuadriláteros:

1. Lea "Cuadriláteros" en las páginas 160 y 161.

2. Lea el recuadro "Para saber hacer" de la página 162.

3. Resuelva las Actividades 37), 38), 39), 40) y 41) de la página 162. Puede comparar susrespuestas con las dadas en la página 268.

4. Lea "Suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero" y "Suma de los ángulos exte-riores de un cuadrilátero" en las páginas 163 y 164.

5. Resuelva las Actividades 44), 45), 47), 48), 49) y 50) de la página 165. Puede compa-rar sus respuestas con las dadas en la página 268.

6. Lea "Propiedades de los cuadriláteros" en las páginas 166 y 167. A medida que veaestas propiedades, compare con las conclusiones que usted fue obteniendo al reali-zar la Actividad Nº 5: "Plegando figuras".

7. Lea "Propiedad de la base media del trapecio" en las páginas 168 y 169.

8. Resuelva las Actividades 52), 54), 55), 56) y 57) de la página 169. Puede comparar susrespuestas con las dadas en la página 268.

9. Lea "Polígonos" y "Suma de ángulos interiores de un polígono" en las páginas 170 y171.

10.Resuelva las Actividades 59), 60), 61), 62), 63) y 64) de la página 171. Puede compa-rar sus respuestas con las dadas en la página 268.

11.Resuelva las Actividades 65), 66), 67), 68), 69), 70), 73), 75), 76), 77), 78), 80), 81), 88)y 90) de las páginas 172, 173 y 174. Puede comparar sus respuestas con las dadas enla página 268.

12.Realice lo que se pide en "A corregir" en la página 175. Puede comparar sus res-puestas con las dadas en la página 268.

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�� ++��


��#��%+++ � �� 102


�� / 103

UNIDAD 6

UN

IDA

D 6

,��-.

En esta unidad trabajaremos con las unidades que se usan más frecuentemen-te en nuestro país para la medición de cantidades de diferentes magnitudes.

Describiremos el Sistema Métrico Legal Argentino: SIMELA. Veremos lasdiferentes unidades que pueden utilizarse para expresar una medida y cómose realiza la conversión de una unidad a otra. Analizaremos, además, cuál es launidad más adecuada para expresar diferentes medidas.

Retomaremos y continuaremos el trabajo de cálculo de superficies de figurasplanas que iniciamos en la unidad anterior, para resolver problemas quepodrían presentarse en su vida cotidiana.

También resolveremos problemas en los que sea necesario el cálculo de volú-menes de cuerpos en el espacio.

��#��#��

En relación con los contenidos de esta unidad le proponemos que:

• Reconozca las unidades básicas del SIMELA, sus múltiplos y submúlti-plos.

• Exprese la medida de una magnitud en diversas unidades (sólo las de usomás frecuente).

• Calcule, en problemas concretos, las medidas de la superficie y el volumende entes geométricos expresando el resultado con las unidades de medidacorrespondientes.

En su vida cotidiana usted frecuentemente debe realizar mediciones. Por

ejemplo, necesita saber cuánta soga debe comprar para tender la ropa,

cuál es el largo y el ancho del estante que quiere agregar en la biblioteca,

cuánto debe recorrer para llegar al final de su viaje, cuánto pesa la mer-

cadería que debe comprar, qué cantidad de líquido cabe en una botella,

qué superficie tiene un terreno que le interesa para construir una casa,

etc. Para eso usted usa unidades que le son conocidas y que maneja coti-

dianamente. Retomando los ejemplos: necesita 12 metros de soga, el

largo del estante debe ser de 2,30 metros y su ancho de 25 centímetros,

para terminar el viaje le faltan 340 kilómetros, debe comprar 2 kilogramos

de tomates ó 150 gramos de jamón, en la botella hay 2,25 litros de gase-

osa, en otra botella hay 750 centímetros cúbicos de vino, en un frasco hay

200 mililitros de jarabe, el terreno ocupa 540 metros cuadrados.


��#��%+++ � �� 104

También, muchas veces debe haber pedido medio kilogramo de limones,

en lugar de pedir 500 gramos. O debe haber escuchado que en una carre-

ra de caballos se corren 2000 metros ó 2 kilómetros. Analizando estos

ejemplos, nos damos cuenta de que se puede expresar una misma canti-

dad con distintas unidades. En las actividades que presentamos a conti-

nuación trabajaremos con estas y otras unidades. Le pedimos, como ya lo

hicimos en varias ocasiones, que no deje de lado todo aquello que usted

conoce y utiliza eficazmente en su vida cotidiana en relación con los con-

tenidos que trabajaremos en esta unidad.

��>��?� !�@4��#��7F

Parte A

Guillermo y su amigo Ricardo están acampando. Necesitan saber cuánta soga deben con-

seguir para colgarla entre dos árboles que están cerca de donde ubican las carpas. Como

no querían cargar demasiado peso en sus mochilas, no tienen instrumentos de medición

como podría ser una cinta métrica, una regla u otro.

¿Cómo podrían hacer Guillermo y Ricardo para saber cuál es la distancia entre los dos

árboles? Imagine y proponga soluciones posibles al problema de los dos amigos.

Parte B

Como posible solución al problema que se les plantea, Guillermo decide contar cuántos

pasos hay entre los 2 árboles. Camina desde un árbol al otro y cuenta 15 pasos. Para

estar más seguro, vuelve a caminar entre los 2 árboles y cuenta 16 pasos.

1. Explique qué pudo haber provocado que la cantidad de pasos que cuenta Guillermo

en cada ocasión sea diferente.

Como, en cada caso, Guillermo cuenta una cantidad distinta de pasos, decide caminar

entre los dos árboles poniendo un pie a continuación del otro (como haciendo "pan y

queso"). Así cuenta 55 pies. Para estar más seguro, le pidió a Ricardo que hiciera lo

mismo. Su amigo lo hace y cuenta 56 pies.

2. ¿Qué pudo haber provocado la diferencia en la cantidad de pies contada por cada

amigo?

3. Teniendo en cuenta las dificultades que han tenido los dos acampantes, si usted estu-

viera en su situación, ¿cómo haría para saber qué distancia separa a los dos árboles?

(recuerde que no tienen instrumentos de medición).


�� / 105

#��#��

Los dos amigos están midiendo una distancia. Cuando hacemos una mediciónestamos comparando con una unidad. Las unidades utilizadas por Guillermoy Ricardo son sus "pasos" o sus "pies".

En la primera medición, Guillermo compara la distancia entre los dos árbolescon la unidad "paso de Guillermo". Pero esta unidad no es confiable porqueen la segunda medición, la unidad "paso de Guillermo", resulta distinta ya quehace pasos más cortos. Es difícil controlar la medida de nuestros pasos demodo que no se produzca ninguna variación de uno a otro.

En las otras mediciones, las unidades son el "pie de Guillermo" o el "pie deRicardo". Pero estas son unidades que dependen del tamaño del pie de cadauno. Para ir a algún negocio a comprar la soga, necesariamente debe ir algunode los amigos. Es decir, es una unidad que no puede ser utilizada por cualquierpersona.

Por lo tanto, para poder efectuar una medición confiable y que pueda ser uti-lizada por cualquier persona, debe elegirse una unidad que no dependa dequién mida. La unidad de medición debe poder ser utilizada por cualquierpersona de la misma manera. Por ejemplo, en el caso de los acampantes,podría ser algún "palo" que encuentren en el campo. Así podrán medir cuán-tas unidades "palo" hay entre los árboles. Sabiendo esa medida, alguno de ellosu otra persona podrá ir con el palo a algún negocio y comprar tantos de esos"palos" de soga como hayan contado entre los dos árboles.

En el caso que estamos trabajando, los acampantes encuentran una soluciónpara resolver el problema de la medición.

Algo parecido a lo trabajado en esta actividad, ocurrió con la historia de lamedición. Las unidades "pies", "pulgadas" y otras deben su nombre a que tie-nen que ver con los pies y los pulgares de los seres humanos. En un principiose usaron como lo hacen Guillermo y Ricardo. Es decir que cada persona teníasu propia unidad de medición que dependía del tamaño de su pie o de su pul-gar. A través del tiempo este tipo de unidades se unificaron. Tanto el pie comola pulgada utilizados todavía en algunos países tienen medidas únicas.

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La distancia entre los dos árboles y el largo de la soga son cantidades de unamisma magnitud: la longitud. Como observamos en la actividad anterior,para medir una cantidad de una determinada magnitud, debe elegirse una uni-dad con la que comparar. Seguramente usted conoce otras magnitudes comoel peso, la capacidad, la superficie, el volumen, el tiempo.


��#��%+++ � �� 106

En la Argentina, siguiendo convenciones internacionales, se adoptó al metrocomo unidad fundamental para la medición de longitudes o distancias. Estaes una de las unidades del Sistema Métrico Legal Argentino (o SIMELA). Hayotras unidades que sirven para medir cantidades de otras magnitudes:

• Para medir pesos, la unidad fundamental es el gramo;

• Para medir capacidades, la unidad fundamental es el litro;

• Para medir superficies es el metro cuadrado;

• Para medir volúmenes es el metro cúbico.

Parte C

1. Suponga que usted tiene una varilla que mide un metro pero sin graduar. Con ella

debe medir cuál es el espesor de la Guía de Estudio de Matemática que está usando.

a) ¿Cómo haría?

b) ¿Le resulta cómoda la varilla para efectuar esta medición?

2. Con esa misma varilla necesita medir la distancia que hay entre su casa y la sede de

Adultos 2000.

a) ¿Cómo haría?

b) ¿Le resulta cómoda la varilla para efectuar esta medición?

#��#��

Muchas veces la unidad "metro" no resulta la más adecuada para realizar algu-nas mediciones. Por ejemplo, para medir el espesor de la guía conviene usar unaunidad "más pequeña" que el metro y para medir la distancia entre su casa y lasede de Adultos 2000 conviene usar una unidad "más grande" que el metro.

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Muchas veces la unidad fundamental no es la más conveniente para realizaralgunas mediciones. Por ejemplo, para medir el espesor de la guía conviene usarcomo unidad el centímetro o el milímetro, en lugar del metro que es la unidadfundamental. Si dividimos al metro en 100 partes iguales, cada una de esas par-tes es un centímetro. Es decir que el centímetro es una unidad más chica que elmetro que se obtiene dividiendo a 1 metro por una potencia de 10. Por eso,decimos que el centímetro es una unidad que es submúltiplo del metro.


Para medir la distancia entre su casa y la sede de Adultos 2000 conviene usarel kilómetro o el hectómetro como unidad. El hectómetro y el kilómetro sonunidades más grandes que el metro que se obtienen multiplicando a 1 metropor una potencia de 10. Por eso decimos que son unidades que son múltiplosdel metro.

En las actividades que siguen veremos las relaciones que existen entre las dis-tintas unidades de medición de longitudes.

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Parte A

Para responder las siguientes preguntas tenga en cuenta su experiencia cotidiana. Si lo

desea, también puede recurrir a observar una regla, un centímetro de costura, un metro

de carpintero o una cinta métrica.

1. ¿Cuántos centímetros (cm) hay en un metro (m)?

2. ¿Cuántos milímetros (mm) hay en 1 cm?

3. ¿Cuántos milímetros (mm) hay en 1 m?

4. ¿Qué fracción de 1 m es 1 cm?

5. ¿Qué fracción de 1 cm es 1 mm?

6. ¿Qué fracción de 1 m es 1 mm?

#��#��

Como en un metro hay 100 cm y en un centímetro hay 10 mm, entonces enun metro (1 m) hay 1000 mm. Para expresar lo anterior decimos que unmetro es equivalente a 100 cm ó que un metro es equivalente a 1000 mm.Podemos escribir simbólicamente la equivalencia entre metros y milímetros dedos formas:

1 m = 1000 mm,

ó también 1 m = 103 mm (si usamos potencias de 10).

Dado que en un metro hay 100 cm, entonces un centímetro (1 cm) es una centé-sima parte de un metro. Simbólicamente podemos escribirlo de tres formas:

1 cm = m (usando fracciones),

ó también 1 cm = 0,01 m (usando expresiones decimales),

ó también 1 cm = 10-2 m (usando potencias de 10).

�� / 107

1100


��#��%+++ � �� 108

Si lo necesita, revea fracciones, expresiones decimales y potencias de 10 en la Unidad 2.

Parte B

Teniendo en cuenta las expresiones simbólicas dadas en las Orientaciones anteriores, res-

ponda:

1. Si un metro es equivalente a 10 decímetros (10 dm):

a) ¿Qué fracción del metro es un decímetro?

b) ¿Cómo puede expresar esto simbólicamente? Para ello, use fracciones, expresiones

decimales y potencias de 10 como hicimos en las orientaciones.

2. Un decámetro (1 dam) es equivalente a 10 metros. Exprese esto en forma simbólica.

3. Cien metros forman un hectómetro (1 hm). Expréselo en forma simbólica.

4. En un kilómetro (1 km) hay 1000 metros. Expréselo en forma simbólica.

5. Teniendo en cuenta lo trabajado en los ítems anteriores, complete la siguiente tabla

de múltiplos y submúltiplos del metro:

1 km 1 hm 1 dam 1 m 1 dm 1 cm 1 mm

........m ........m ........m ........m ........m ........m ........m

Parte C

Para responder las siguientes preguntas tenga en cuenta las equivalencias dadas en la

Parte B:

1. ¿Cuántos centímetros hay en un decímetro? Expréselo simbólicamente.

2. ¿Qué fracción de un hectómetro es un metro? Expréselo con símbolos usando frac-

ciones, expresiones decimales y potencias de 10.

3. ¿En cuántas partes hay que dividir un kilómetro para obtener un metro? Para con-

testar, complete: 1 m = …… km. Complete con una fracción, con su expresión decimal

equivalente y con potencias de 10.

4. Un milímetro (1 mm) es una décima parte de un centímetro. ¿Qué fracción de un

metro es un milímetro? Exprese simbólicamente usando las tres formas vistas.


�� / 109

Parte D

Resuelva los siguientes problemas prestando atención a las operaciones que hace en

cada caso. Tenga en cuenta las equivalencias trabajadas en esta actividad.

1. Una mesa rectangular mide 60 cm de ancho y 140 cm de largo. ¿Cuáles son esas

dimensiones expresadas en metros? ¿Cuáles son las dimensiones (largo y ancho) de

esta mesa en milímetros?

2. Para cercar un terreno se necesitan 190 metros de alambrado. En una ferretería ven-

den rollos de alambre de un decámetro cada uno, ¿cuántos rollos se necesitan?

3. En el cuadro de tarifas de un colectivo se lee que una sección tiene 3,200 km. Si usted

recorre esa sección de punta a punta, ¿cuántos metros tiene su viaje? ¿Cuántos milí-

metros recorre?

#��#��

En el ítem 1. de la Parte D, usted debió expresar las dimensiones de una mesausando como unidad el metro a partir de conocer dichas dimensiones medi-das en centímetros. Ese es sólo un ejemplo de situaciones en las que hay queexpresar una misma longitud en distintas unidades de medida. Otros ejemplosson los de los ítems 2. y 3..

En el ítem 3. de la Parte D debió expresar una distancia de 3,200 km en metros(son 3200 m) y en milímetros (son 3200000 mm). Es decir que expresó la can-tidad de kilómetros de la sección del colectivo utilizando otras unidades:metros y milímetros. Aunque siempre es posible expresar una cantidad en dife-rentes unidades, no todas las unidades son adecuadas para expresar una mismacantidad. Resulta poco adecuado utilizar el milímetro como unidad para medirla distancia de la sección del colectivo. De la misma manera, tampoco resultaadecuado medir el ancho de la mesa del ítem 1. en kilómetros.

Para resolver situaciones como las presentadas en la Parte D, es necesarioconocer las equivalencias entre las unidades que se utilizan para medir longi-tudes. Por ejemplo, en el caso del terreno, el perímetro a alambrar está expre-sado en metros, pero los rollos de alambre se venden por decámetros. Parapoder calcular cuántos rollos se necesitan tenemos que unificar las unidadesutilizadas. O bien, calcular a cuántos decámetros equivalen los 190 m del perí-metro del terreno, o a cuántos metros equivale el decámetro que trae cadarollo de alambre.

En esta actividad ya trabajó con algunas de estas equivalencias. Por ejemplo:"1 km equivale a 1000 m". Esto también lo podemos expresar diciendo que"hay 1000 m en 1 km" ó que "la cantidad de m que tiene 1 km es 1000" ósimplemente "1 km = 1000 m".


Parte E

A partir de conocer la equivalencia "1 km equivale a 1000 m" responda las siguientes

preguntas:

1. ¿Cuántos metros hay en 5 km?

2. ¿Cuántos metros hay en 3,2 km?

3. ¿Y en 53 km?

4. Complete la siguiente tabla:

Medida x en km 1 2 3,5 5 6,3 17 34,72

Medida y en m

5. Teniendo en cuenta la equivalencia dada y las cuentas que hizo para contestar losítems anteriores, escriba una fórmula que permita calcular la cantidad y de metrosque hay en x kilómetros. Para eso, complete la siguiente igualdad:

y = …….

6. La fórmula que dio en el ítem 5. es la forma de relacionar los elementos de dos con-juntos. Esos conjuntos son: el de las medidas en kilómetros y el de las medidas enmetros. Por lo tanto, podemos utilizar dicha fórmula para definir una función.

a) ¿Cuál es el conjunto de partida de dicha función?

b) ¿Cuál es el conjunto de llegada de esa función?

c) Escriba en forma simbólica la función que permite expresar en metros una medidadada en kilómetros.

Si tiene dificultades para encontrar la fórmula pedida, revea lo hecho en la Unidad 1. Si se le plan-

tean dificultades con la función pedida revea lo realizado en la Unidad 4.

#��#��

Para calcular cuántos metros hay en 5 kilómetros, hacemos la cuenta 1000 . 5.En general, para calcular cuántos metros hay en una determinada cantidad dekilómetros, debemos multiplicar la cantidad de kilómetros por 1000. Teniendoen cuenta esto, podemos decir que 1000 es el número (o factor) por el que semultiplica una medida de longitud x dada en kilómetros para obtener la medi-da y de esa longitud dada en metros.

Para vincular a las variables x e y mencionadas, podemos escribir la siguientefórmula:

y = 1000 . x

��#��%+++ � �� 110


�� / 111

Esta es la fórmula de una función cuyo conjunto de partida está formado portodos los números reales positivos. Este conjunto de números permite expresartodas las posibles medidas de longitudes dadas en kilómetros. Su conjunto dellegada también es el conjunto de los números reales positivos y cada uno de losnúmeros de este conjunto representa a todas las posibles medidas de longitudexpresadas en metros.

La función que permite expresar en metros una longitud dada en kilómetros es:

f : R>0 � R>0 / y = 1000 . x

En la Parte B, debió completar una tabla en la que mostraba las equivalenciasde las distintas unidades con el metro. Le mostramos a continuación, la tablacompleta:

Parte F

A partir de la observación de la tabla anterior, le pedimos que responda las siguientes

preguntas:

1. ¿Cuántos metros hay en un hectómetro? ¿Qué cuenta hace para obtener la cantidad

de metros que hay en un hectómetro?

2. ¿Qué cuenta hace para obtener el equivalente de un centímetro en metros?

3. ¿Qué cuenta hace para obtener la cantidad de metros que hay en un decámetro?

4. ¿Cuántos decímetros hay en un metro? ¿Qué cuenta hace para obtener la cantidad

de decímetros que hay en un metro?

5. A partir de sus respuestas a los ítems 1. y 4., ¿cuántos decímetros hay en un hectó-

metro? ¿Qué cuenta hace para obtener la cantidad de decímetros que hay en un

hectómetro?

Múltiplos del metro Submúltiplos del metroUnidad principal

1 km 1 dm1 m

1000 m= 103 m

0,1 m= 10-1 m

1 hm

100 m= 102 m

1 dam

10 m= 101 m

1 cm

0,01 m= 10-2 m

1 mm

0,001 m= 10-3 m


��#��%+++ � �� 112

#��#��

Como habrá observado al contestar los ítems anteriores:

• Para saber cuántos metros hay en 1 km, ó en 1 hm, ó en 1 dam, multiplicamosal km, al hm o al dam por 1000, 100 ó 10, respectivamente. Si lo expresamosen términos de potencias de 10, decimos que multiplicamos al km por unapotencia de 10 (103, 102 y 10, respectivamente). Por ejemplo: 1 km = 103 m.

• Para saber cuántos metros hay en 1 dm, ó en 1 cm, ó en 1 mm, dividimosal dm, al cm o al mm por 10, 100 ó 1000 respectivamente. Expresando losdivisores anteriores como potencias de 10, decimos que dividimos por 10,102 y 103, respectivamente. También, podemos pensar que se multiplica aldm, al cm o al mm por una potencia de 10 con exponente negativo (10-1,10-2 y 10-3, respectivamente). Por ejemplo: 1 dm = 10-1 m.

Teniendo en cuenta que: 1 hm = 102 m y 1 m = 10 dm, resulta que:

1 hm = (102 . 10) dm = 103 dm. Es decir que: 1 hm = 103 dm = 1000 dm.

O sea que para obtener la cantidad de decímetros que hay en un hectóme-tro multiplicamos a la cantidad de hm por una potencia de 10 (en este caso,por 103).

6. Teniendo en cuenta que 1 dam = 10 m y que 1m = 1000 mm, responda:

a) ¿Cuántos milímetros hay en un decámetro?

b) ¿Qué cuenta hace para obtener la cantidad de milímetros que hay en un decáme-

tro? (Tenga en cuenta lo dicho en las Orientaciones anteriores).

7. Teniendo en cuenta lo que viene trabajando en esta Parte F, responda:

a) ¿Cuántos centímetros hay en un kilómetro?

b) ¿Cuántos decámetros hay en un kilómetro?

#��#��

Observe la primera fila de la tabla que completó en la Parte B. Allí aparecen:

• Lo que hizo en los ítems 5., 6. y 7. de la Parte F es expresar unidades delcuadro utilizando otras unidades del mismo que están ubicadas más a laderecha. En las orientaciones anteriores, dijimos que 1 hm = 103 dm.

km hm dam m dm cm mm


�� / 113

Observe las posiciones relativas de la unidad hm y de la unidad dm en elsiguiente esquema:

• Para obtener cuántos milímetros hay en un decámetro multiplicamos poruna potencia de 10.

Como 1 dam = 10 m y 1 m = 1000 mm, resulta que:

1 dam = (10 . 1000) mm = 10000 mm = 104 mm. Estamos multipli-cando por 10000, que es igual a 104. Por lo tanto estamos multiplicandonuevamente por una potencia de 10.

Observe las posiciones relativas de la unidad dam y de la unidad mm enel siguiente esquema:

• Para obtener la cantidad de centímetros que hay en un kilómetro multi-plicamos por 100000 a la cantidad de kilómetros. También estamos mul-tiplicando por una potencia de 10 (1 km = 105 cm). Observe las posicio-nes relativas de la unidad km y de la unidad cm en el siguiente esquema:

• Para obtener la cantidad de decámetros que hay en un kilómetro, multi-plicamos a la cantidad de kilómetros por 100, que también es una poten-cia de 10. (1 km = 102 dam).


por 103

por 10 por 10 por 10


por 104

por 10por 10por 10 por 10


por 105

por 10 por 10por 10por 10 por 10


��#��%+++ � �� 114

Observe las posiciones relativas de la unidad km y de la unidad dam en elsiguiente esquema:

En general, para expresar una longitud expresada en una unidad cualquiera delcuadro, en otra unidad que esté ubicada a su derecha (es decir, "para mover-nos de izquierda a derecha" en el cuadro) a la cantidad que queremos conver-tir debemos multiplicarla por 10, tantas veces como columnas (o lugares) dela tabla nos movamos de izquierda a derecha.

Parte G


1. a) Teniendo en cuenta que 1 hm es equivalente a 100 m, ¿qué fracción de 1 hm es 1 m?

b) ¿Qué cuenta hace para obtener la cantidad de hectómetros equivalentes

a un metro?

2. En la tabla que completó en la Parte B puede ver que 1 cm = m = 10-2 m.

a) ¿Qué fracción de un hectómetro es un centímetro?

b) ¿Qué cuenta hace para obtener la cantidad de hectómetros que equivalen a un

centímetro?

3. Si ahora le pedimos, por ejemplo, que indique qué fracción de un kilómetro es un centí-

metro, ¿qué cuenta hace para calcular a cuántos kilómetros equivale un centímetro?

#��#��

• Como 1 cm = m y 1 m = hm, resulta que: 1cm = . hm, ó

1 cm = hm. Si utilizamos potencias de 10, podemos escribir que:

1 cm = 10-4 hm.

Es decir que para determinar cuántos hectómetros hay en un centímetro,dividimos por 10000 ó, lo que es equivalente, multiplicamos por 10-4.


por 102

por 10 por 10

1

100

1100

110000

1100

1100

1100


�� / 115

También podemos hablar de una función cuya fórmula es: y = ó

utilizando potencias de 10: y = 10-4 . x (con x en cm e y en hm).

En el siguiente esquema, observe las posiciones relativas de la unidad cmy de la unidad hm:

• Para obtener cuántos hectómetros hay en una cantidad de metros o la dehectómetros en una cantidad de centímetros, dividimos a la cantidad demetros o de centímetros por 100 y por 100000, respectivamente. Si loexpresamos en términos de potencias de 10, decimos que dividimos a lacantidad de metros o de centímetros por 102 y 104, respectivamente. O, loque es lo mismo, podemos decir que multiplicamos a la cantidad demetros o de centímetros por una potencia de 10 con exponente negativo(10-2 y 10-4, respectivamente).

• Para obtener cuántos kilómetros hay en una cantidad de centímetros, divi-dimos por 10000, que también es una potencia de 10 (que es 105) a la can-tidad de centímetros. También podemos decir que multiplicamos a la can-tidad de centímetros por 10-5. Podemos visualizar esto considerando la primera fila de la tabla.

En los casos trabajados en la Parte G, estamos expresando unidades delcuadro utilizando unidades que están más a la izquierda en el mismo.

En general, para expresar una longitud expresada en una unidad cualquie-ra del cuadro, en otra unidad que esté ubicada a su izquierda (es decir,"para movernos de derecha a izquierda" en el cuadro) a la cantidad quequeremos convertir debemos multiplicarla por 10-1 (o dividir por 10), tan-tas veces como columnas (o lugares) de la tabla nos movamos de derechaa izquierda.

Por ejemplo, si se quiere expresar 1 mm en dam, resulta 1 mm = 10-4 dam.Vea el siguiente esquema:

x10000


por 10-4

por 10-1 por 10-1por 10-1por 10-1


por 10-4

por 10-1 por 10-1por 10-1por 10-1


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Parte A

Durante la construcción de una casa se discuten distintas alternativas sobre cómo recu-

brir su piso. Una de las alternativas que propone el arquitecto es usar unos baldosones

cuadrados que miden 1 m en cada lado.

A partir de la información anterior, responda las siguientes preguntas:

1. En una habitación cuadrada de 3 metros de lado, ¿cuántos baldosones cuadrados de

un metro de lado se pueden disponer cubriendo el piso?

2. Cada baldosón cuadrado de un metro de lado tiene una superficie de

1 m . 1 m = 1 m2. ¿Cuál es el área de la habitación en m2?

3. Cada baldosón cuadrado de un metro de lado está adornado por cuadraditos blan-

cos y grises de 1 cm de lado. ¿Cuántos de esos cuadraditos caben en un baldosón?

4. Cada cuadradito de 1 cm de lado tiene una superficie de 1 cm . 1 cm = 1 cm2. ¿Cuál

es el área de cada baldosón en cm2? Es decir, ¿cuántos cm2 hay en 1 m2?

5. ¿Cuál es el área de la habitación en cm2?

6. ¿Qué cuenta se hace para obtener el área en cm2 conociendo el área en m2? Para res-

ponder esta pregunta, tenga en cuenta lo que respondió en los ítems 2. a 5..

Parte B

Un salón cuadrado tiene lados que miden 1 dam. Por lo tanto, ese salón tiene una super-

ficie de: 1 dam . 1 dam = 1 dam2.

A partir de la información anterior responda las siguientes preguntas:

1. ¿Cuántos metros mide cada lado de ese salón?

2. Se quiere cubrir el piso de ese salón con baldosones cuadrados cuyos lados miden 1 m.

¿Cuántos de esos baldosones se necesitan para cubrirlo totalmente?

3. Teniendo en cuenta que cada baldosón tiene una superficie de 1 m2, complete:

1 dam2 = ......... m2.

4. Si la superficie de otro salón es de 4 dam2, ¿cuál es su área en m2? ¿Qué cuenta hace

para obtener la cantidad de metros cuadrados que hay en un decámetro cuadrado?


�� / 117

Parte C

Los lados de un campo cuadrado tienen 1 km de longitud. Por lo tanto, su superficie es

de: 1 km . 1 km = 1 km2.

A partir de la afirmación anterior responda las siguientes preguntas:

1. ¿Cuánto miden los lados del campo en metros?

2. ¿Cuál es el área del campo en m2? ¿Qué cuenta hace para obtener la cantidad de m2

que hay en 1 km2?

3. ¿Cuántos decámetros miden los lados del campo?

4. ¿Cuál es el área del campo en dam2? ¿Qué cuenta hace para obtener la cantidad de

dam2 que hay en 1 km2?

#��#��

En la Actividad Nº 2, vimos que podemos medir longitudes utilizando dis-tintas unidades. En esta Actividad Nº 3 podemos observar que también pode-mos medir superficies con distintas unidades de medidas. Por ejemplo, lahabitación descripta en la Parte A, mide 9 m2 ó su equivalente de 90000 cm2.

En la Parte B, para determinar cuántos metros cuadrados hay en un decáme-tro cuadrado tenemos en cuenta que un decámetro cuadrado es la superficiecorrespondiente a un cuadrado de 1 dam de lado. Para calcular la superficiede este cuadrado, realizamos la multiplicación 1 dam . 1 dam.

Como en un decámetro hay 10 metros, el producto anterior es equivalente a10 m . 10 m, es decir a 100 m2.

Por lo tanto, 1 dam2 es equivalente a 100 m2 .

Para determinar cuántos metros cuadrados hay en una cantidad de decámetroscuadrados, multiplicamos por 100, ó, lo que es lo mismo, por 102 a la canti-dad de dam2.

Podemos también, del mismo modo que con las unidades de longitud, escri-bir la fórmula de la función asociada: y = 100 . x (con x medida en dam2 e ymedida en m2).

Consideremos un cuadro similar al dado en la Actividad Nº 2. La primera filadel mismo es la que figura abajo. Observe en ella las posiciones relativas entrelas unidades dam2 y m2:

km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2

por 102


��#��%+++ � �� 118

En el ítem 2. de la Parte C, donde buscamos cuántos metros cuadrados hayen un kilómetro cuadrado, multiplicamos por 1000000 a la cantidad de km2.Es decir multiplicamos por 106.

En el ítem 4., en el que necesitamos calcular cuántos decámetros cuadradoshay en un kilómetro cuadrado, multiplicamos a la cantidad de kilómetros por10000, es decir, por 104.

Así es que resulta: 1 km2 = 106 m2 y 1 km2 = 104 dam2.

En ambos casos estamos multiplicando nuevamente por una potencia de 10. Enel siguiente esquema observe las ubicaciones de las unidades km2, m2 y dam2:

En estos casos, los exponentes de las potencias de 10 son números pares (omúltiplos de 2). En todos los casos podemos observar que, para “movernos”de izquierda a derecha en este cuadro, multiplicamos a la cantidad que quere-mos convertir por 102 tantas veces como columnas (o lugares) nos movemoshacia la derecha.

Parte D

Una baldosa cuadrada tiene lados cuya longitud es de 1 dm.

A partir de la afirmación anterior responda las siguientes preguntas:

1. ¿Cuál es el área de cada baldosa en decímetros cuadrados (dm2)?

2. ¿Cuál es la longitud de cada lado en metros?

3. ¿Cuál es el área de una baldosa en metros cuadrados?

4. ¿Cuántas baldosas se necesitan para cubrir un metro cuadrado de piso?

5. ¿Qué fracción de 1 m2 es 1 dm2? ¿Qué cuenta hace para obtener a cuántos m2 equi-vale 1 dm2?

6. Teniendo en cuenta lo que contestó en la Parte B de esta actividad y en los ítems 1.a 5. de esta Parte D, responda:

a) ¿Con cuántas baldosas se puede cubrir el piso del salón?


por 104

por 102por 102

por 102por 102

por 106

por 102


�� / 119

b) ¿Qué fracción del salón ocupa una baldosa? Es decir, ¿qué fracción de 1 dam2 es1 dm2?

c) ¿Qué cuenta hace con la cantidad de dam2 para obtener la cantidad equivalen-te de dm2?

#��#��

Para obtener la cantidad de metros cuadrados equivalentes a un decímetrocuadrado debemos dividir por 100 a la cantidad de dm2. Si lo expresamos entérminos de potencias de 10, dividimos por 102 a la cantidad de dm2. O, loque es lo mismo, multiplicamos a la cantidad de dm2 por una potencia de 10con exponente negativo (10-2).

Para obtener la cantidad de decámetros cuadrados equivalentes a un decíme-tro cuadrado, dividimos por 104 a la cantidad de dm2. O, lo que es lo mismo,multiplicamos a la cantidad de dm2 por una potencia de 10 con exponentenegativo: 10-4. Observe que los exponentes son números pares. Para los ejem-plos dados, en el siguiente esquema observe las ubicaciones de las unidadesm2, dam2 y dm2:

Vemos que, para “movernos” de derecha a izquierda en este cuadro, dividimosa la cantidad que queremos convertir por 102 cada vez que nos desplazamosuna columna. O, lo que es lo mismo, multiplicamos por 10-2 por cada colum-na (o lugar) que nos desplazamos hacia la izquierda.

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Parte A

Busque (o imagine) un dado de un juego de mesa. Observe las caras sobre las que están

marcados los puntos.

1. ¿Qué tipo de figura es la que corresponde a cada una de las caras?

2. ¿Cuántas caras tiene el dado?

3. ¿Cómo resultan ser entre sí las medidas de los segmentos que unen dos caras del

dado? Si le hace falta, mídalas.


por 10-4

por 10-2


��#��%+++ � �� 120

��B��#��$��#�!��3#

Geométricamente, un dado es un cuerpo llamado cubo. Un cubo tiene 6 carascuadradas iguales que se unen formando segmentos que se llaman aristas. Uncubo tiene 8 aristas iguales.

Parte B

Suponga que cada arista de un dado mide 1 cm. Entonces, el volumen de ese dado es

de: 1 cm . 1 cm . 1 cm = 1 cm3.

A partir de la información anterior, responda las siguientes preguntas:

1. ¿Cuántos de estos dados (o cubos) puede ubicar en una caja cúbica en el que cada

arista mide 1 dm, o sea 10 cm?

2. La caja cúbica que tiene 1 dm de arista tiene un volumen de: 1 dm . 1 dm . 1 dm = 1 dm3.

De acuerdo con lo que contestó en el ítem 1., responda:

a) ¿Cuántos cm3 hay en 1 dm3?

b) ¿Qué cuenta hace para obtener la cantidad de cm3 que hay en 1 dm3?

c) ¿Qué parte o fracción es cada dado respecto de la caja cúbica?

d) ¿Qué parte o fracción de 1 dm3 es 1 cm3?

e) ¿Qué cuenta hace para buscar la cantidad de decímetros cúbicos equivalentes a un

centímetro cúbico?

#��#��

En esta actividad se vinculan unidades de volumen, el cm3 y el dm3.

Para obtener la cantidad de cm3 que hay en 1 dm3 multiplicamos por 103 ósea, por 1000 a la cantidad de dm3.

En cambio, para obtener la cantidad de dm3 equivalentes a 1 cm3, dividimospor 103 = 1000 ó, lo que es lo mismo, multiplicamos por 10-3 a la cantidadde cm3.

��


�� / 121

Observe que, en estos casos los exponentes de las potencias de 10 son núme-ros múltiplos de 3.

El siguiente cuadro es similar a los trabajados en la Actividad Nº 2, referidoen este caso a unidades de medición de volúmenes. Observe en él las posicio-nes relativas de las unidades cm3 y dm3:

Trabajando de manera similar a la que tuvimos en cuenta con las unidades delongitud y de superficie, podemos decir que:

• Para “movernos” de izquierda a derecha en el cuadro, debemos multiplicara la cantidad que queremos convertir por 103 tantas veces como columnaso lugares nos desplazamos hacia la derecha.

• En cambio, para “movernos” de derecha a izquierda en el cuadro, multi-plicamos a la cantidad que queremos convertir por 10-3 por cada lugar quenos desplazamos hacia la izquierda.

�� B��#�� $��#�!� ��G� �'��#�� )��3�'��#��#�)��

Para medir el peso de un objeto se utiliza como unidad principal o funda-mental al gramo (g).

Sus múltiplos son: el decagramo (dag), el hectogramo (hg) y el kilogramo (kg).

Sus submúltiplos son: el decigramo (dg), el centigramo (cg) y el miligramo (mg).

Los mostramos en la siguiente tabla:


por 10-3

por 103

Múltiplos del gramo Submúltiplos del gramoUnidad principal

1 kg 1 dg1 g

1000 g= 103 g

0,1 g= 10-1 g

1 hg

100 g= 102 g

1 dag

10 g= 101 g

1 cg

0,01 g= 10-2 g

1 mg

0,001 g = 10-3 g


��#��%+++ � �� 122

Para medir la capacidad de un recipiente se usa como unidad principal al litro (l).

Sus múltiplos son: el decalitro (dal), el hectolitro (hl) y el kilolitro (kl).

Sus submúltiplos son: el decilitro (dl), el centilitro (cl) y el mililitro (ml).

Los mostramos en la siguiente tabla:

Tanto para las medidas de peso como para las de capacidad, las equivalenciasentre la unidad fundamental, sus múltiplos y submúltiplos son como las vis-tas para las medidas de longitud.

Existe, además, una equivalencia entre las medidas de capacidad y de volu-men. Es la siguiente: 1 litro = 1 dm3.

��

�� ,,��

Múltiplos del litro Submúltiplos del litroUnidad principal

1 kl 1 dl1 l

1000 l= 103 l

0,1 l= 10-1 l

1 hl

100 l= 102 l

1 dal

10 l= 101 l

1 cl

0,01 l= 10-2 l

1 ml

0,001 l= 10-3 l


�� 123

UNIDAD 7

UN

IDA

D 7

��) )�� $��

En esta unidad trabajaremos principalmente con la lectura e interpretación dedatos que se muestran a través de tablas o gráficos.

La rama de la Matemática que se ocupa de la recolección, organización, aná-lisis e interpretación de esos datos se denomina Estadística. Las tablas y losgráficos estadísticos son una forma muy habitual de mostrar la información yaque permiten visualizarla rápida y claramente.

También trabajaremos con el cálculo de algunas probabilidades sencillas y susaplicaciones.


• Interprete la noción de porcentaje y realice cálculos en los que intervengaeste concepto.

• Reconozca la necesidad de interpretar una serie de datos en términos rela-tivos y no absolutos.

• Lea e interprete la información que brindan las tablas y los gráficos estadís-ticos.

• Reconozca los diferentes tipos de gráficos estadísticos.

• Construya gráficos de barras a partir de información dada a través detablas.

• Construya tablas a partir de informaciones dadas a través de diferentestipos de gráficos.

• Calcule valores promedios de una serie de datos.

• Calcule probabilidades sencillas.

��>��C� !�F��#��#��F

La fábrica "MS & Cía" produce piezas de tornería. El departamento de control de cali-

dad de la empresa realiza un informe semanal sobre la calidad de las piezas fabricadas

en cada semana. Para realizar dicho control, por razones de tiempo y costos, no se ana-

lizan todas las piezas sino sólo 6 piezas de cada 100 producidas. Por esa razón, la fábri-

ca organiza su producción en paquetes de 100 piezas de donde se seleccionan las uni-

dades a controlar.

El informe de control de calidad tiene los siguientes rubros: cantidad de piezas produci-

das en una semana, cantidad de paquetes de 100 piezas, cantidad de piezas a controlar,

cantidad de piezas aceptadas como buenas en el control.


��#��%+++ � �� 124

Parte A

De acuerdo con la información anterior, responda las siguientes preguntas:

1. ¿De qué forma se podría armar el informe del departamento de control de calidad

de la empresa? Diseñe una forma posible de hacerlo.

2. a) Si la producción de una semana fuera de 400 piezas:

• ¿qué rubros del informe podría completar?

• ¿Qué números pondría en cada uno de los rubros? Complételos.

b) ¿Cómo respondería las preguntas anteriores si la producción semanal fuera de 700

piezas? ¿Y si fueran 1200 piezas? ¿Y si fueran 900 piezas?

c) Si el jefe del departamento de control de calidad quisiera controlar el informe, ¿qué

cuentas debería realizar?

d) Para cada caso de los dados en los ítems a) y b), escriba qué cuentas se deben rea-

lizar para controlar el cálculo de:

• la cantidad de paquetes.

• la cantidad de piezas a controlar.

Parte B

Suponga, ahora, que el jefe del departamento de control de calidad de la empresa quie-

re controlar los informes de varias semanas. El dato que más le interesa es el de la can-

tidad de piezas a controlar.

De acuerdo con la situación anterior:

1. Complete en el cuadro que le damos a continuación cuál es la cuenta que se debe

realizar en cada caso para calcular la cantidad de piezas a controlar de acuerdo con

la cantidad de piezas producidas en la semana. Como ejemplo de lo pedido le damos

una fila de la tabla completa.

Cantidad de piezas producidasCuenta para obtener la cantidad

de piezas a controlar

400 • 6 = 24400100

700

900

1200


�� 125

2. El jefe del departamento quiere escribir una fórmula que le permita calcular la can-

tidad c de piezas a controlar a partir de la cantidad q de piezas producidas en una

semana. Teniendo en cuenta las cuentas realizadas en cada fila del cuadro, escriba la

fórmula que permite calcular la cantidad c de piezas a controlar si se conoce la can-

tidad q de piezas producidas en una semana.

Si tiene dificultades para escribir una fórmula revise lo realizado en la Unidad 1 en relación con

este tema.

#��#��

En la tabla que completó en la Parte B de la actividad usted calculó la canti-dad de piezas a controlar de acuerdo con la cantidad de piezas producidas. Encada caso debió escribir la cuenta que le permitió realizar dicho cálculo.Podemos observar que, en todos los casos, a la cantidad de piezas producidassemanalmente la dividimos por 100 y a este resultado lo multiplicamos por 6.Por lo tanto, si llamamos q a la producción semanal de la fábrica, para calcu-lar la cantidad c de piezas a controlar dividimos a q por 100 y luego multipli-camos por 6.

La fórmula es: c = • 6

��B��#��$��#�!��#��&�

La frase "Se controla 6 piezas por cada 100 piezas producidas", es equivalentea la frase "Se controla el 6 por ciento de las piezas producidas".Simbólicamente: 6 %. Este tipo de expresión es muy habitual y probable-mente usted se haya encontrado con ella en muchísimas ocasiones en su vidacotidiana.

En general, para calcular el A % de una cantidad B dividimos por 100 a B ymultiplicamos a este resultado por A:

“el A % de una cantidad B es • A”.

Parte C

Volvamos a la fábrica "MS & Cía". Por razones económicas, en la empresa se decidió

modificar la cantidad de piezas a controlar por cada paquete de 100.

1. ¿Qué cantidad de piezas por paquete se controlan si se producen 700 piezas y se con-

trolan 35?

2. Si se producen 1500 piezas y se controlan 60, ¿cuántas piezas se controlan por paquete?

q100

B100


3. Esta situación, ¿está vinculada con la idea de porcentaje? ¿De qué manera? Más pre-

cisamente, ¿qué representa la cantidad de piezas a controlar por paquete?

#��#��

Para responder la pregunta planteada en el ítem 1. podemos pensar delsiguiente modo:

Con 700 piezas se arman 7 paquetes. Si se controlan 35 piezas en total, se con-trolan 5 piezas por paquete, o sea "5 piezas por cada 100". Es decir, se con-trola el 5 % de las piezas producidas.

Verifiquémoslo con las cuentas: • 5 = 35

Para responder también podríamos plantear una ecuación que nos permitadeterminar lo pedido. En esa ecuación la incógnita x representa el porcentajede las piezas producidas que serán controladas. La ecuación es:

• x = 35

De ella se obtiene que x = (35 . 100) : 700 = 5

La respuesta es 5 %, que es la esperable de acuerdo con lo planteado.

Si no entendió cómo se resolvió la ecuación anterior revise el tema en la Unidad 3.

En el caso de la producción de 1500 piezas se arman 15 paquetes y se contro-lan 4 piezas de cada 100, es decir el 4 % de las piezas producidas.

Es posible que en este ejemplo no vea muy claramente la necesidad de plan-

tear una ecuación. ¿Se imagina si el cálculo del x % fuera sólo una parte de

la resolución de la situación, y los números no fueran tan sencillos como los

que utilizamos en este caso y además aparecieran otras variables?

En situaciones más complejas el intento de resolver el problema sin recu-

rrir al planteo de una ecuación resulta demasiado complicado y, en algu-

nos casos, imposible. Por esta razón es importante que usted tenga pre-

sente el recurso, aunque, en muchos casos, su uso no sea imprescindible.

��#��%+++ � �� 126

700100

700100


�� 127

Parte D

En el siguiente cuadro se muestran las cantidades totales de piezas controladas en una

semana en los departamentos de control de calidad de 4 empresas competidoras de

"MS y Cía":

Empresa Cantidad de piezas controladas

A 120

B 75

C 50

D 150

A partir de la información dada en el cuadro, ¿puede decidir cuál de estas cuatro empre-

sas realiza un mejor control de calidad de su producción? Si su respuesta es afirmativa,

indique cuál es dicha empresa. Si su respuesta es negativa, explique por qué no puede

decidir en qué empresa se hace un mejor control de calidad de la producción.

Parte E

A continuación agregamos al cuadro anterior una nueva información en la que indica-

mos la cantidad de piezas producidas en esa semana por cada una de las empresas:

EMPRESA A: 1600 piezas EMPRESA B: 1000 piezas

EMPRESA C: 300 piezas EMPRESA D: 3000 piezas

De acuerdo con esta nueva información, responda:

1. ¿Qué diría sobre su respuesta a la pregunta formulada en la Parte D?

2. ¿Cuál de las cuatro empresas es la que realiza un mejor control de calidad de su pro-

ducción? ¿Por qué? Escriba con sus palabras qué tuvo en cuenta para dar su respuesta.

3. ¿Qué parte o fracción de la producción fue controlada en cada empresa?

Si tiene dificultades para calcular las fracciones pedidas en el ítem anterior, revise el concepto de

fracción en la Unidad 2 de esta Guía.


��#��%+++ � �� 128

4. ¿Qué porcentaje de la producción fue controlada en cada empresa? Para responder

tenga en cuenta lo hecho en las partes anteriores de esta actividad.

5. Si en el cuadro que le dimos en la Parte D, en lugar de darle la cantidad de piezas

controladas por cada empresa, le hubiéramos informado el porcentaje de piezas con-

troladas, ¿cuál hubiera sido su respuesta a la pregunta planteada en esa Parte?

#��#��

Al responder la pregunta que le hicimos en la Parte D es posible que usted hayapensado que la empresa D es la que hace un mejor control de calidad de su pro-ducción. Pero, al conocer cuáles son las cantidades de piezas producidas en esasemana por cada una de las empresas, seguramente habrá cambiado de idea.

Esta situación nos permite observar que la cantidad de piezas controladas nonos indica nada en cuanto a la eficacia del control si no la miramos en rela-ción con la cantidad de piezas producidas en esa semana por la empresa.

En general, para poder establecer la eficacia de un proceso necesitamos utili-zar cantidades relativas; es decir, cantidades que resultan de la comparaciónentre otras dos. En nuestro ejemplo, la cantidad de piezas controladas por cadauna de las empresas no es una cantidad relativa, es una cantidad absoluta.

Pensamos en términos relativos, por ejemplo, cuando calculamos qué parte ofracción de la producción fue controlada en cada empresa.

En la empresa D se controlan 150 piezas de 3000, es decir de su

producción, mientras que en la empresa C se controlan 50 de las 500 piezas

producidas, es decir de su producción. (Las fracciones y se

obtienen simplificando las fracciones y respectivamente).

Por lo tanto, en la fábrica C se controla mejor la calidad de las piezas que en

la fábrica D, ya que .

El porcentaje de piezas controladas, por estar calculado en relación con la can-tidad total de piezas producidas, también resulta una cantidad relativa que nospermite establecer con mayor certeza cuál es la empresa que realiza un controlmás eficaz de la calidad de sus productos. Las 150 piezas controladas en laempresa D representan sólo el 5 % de la producción de esa semana, mientrasque en la empresa C las 50 piezas controladas representan el 10 % de la can-tidad de piezas producidas en esa semana.

1503000

1503000

120

120

=

50500 50

500

110

110=

110

120

>


�� 129

��>��C�%!�@��3��#�FD

Marta, una estudiante de Adultos 2000, está buscando información sobre becas para

estudiantes del nivel medio. En todas las instituciones que dan becas exigen diferentes

requisitos para acceder al beneficio. El promedio de notas es uno de ellos.

Una de las instituciones que visitó exige, para acceder a la beca, un promedio de notas

superior a 8 puntos. En otra, el promedio exigido es de 7 puntos, como mínimo.

Las notas de Marta en los cuatro exámenes que rindió hasta el momento son:

Lengua A: 6 Lengua B: 7 Geografía A: 8 Historia A: 8

Parte A

De acuerdo con las notas de Marta, responda:

1. ¿A cuál de las dos becas podrá acceder? Explique el por qué de su respuesta.

2. ¿Cuál es el promedio de las notas de Marta?

3. ¿Qué cuenta realiza para calcular el promedio de notas de Marta? Descríbala con sus

palabras.

4. Marta le pide ayuda a su compañera Silvia que aprobó Matemática y ya aprendió a

calcular promedios. Ella le dice que para calcular el promedio debe sumar las notas

de los cuatro exámenes y dividir el resultado de la suma por 4. ¿Está de acuerdo con

la cuenta propuesta por Silvia?

Parte B

A Silvia también le vendría bien una beca para continuar estudiando. Decide calcular su

promedio para ver si ella podría tener acceso a alguna de las dos becas. Las notas de

Silvia son las siguientes:

Lengua A: 6 Lengua B: 8

Matemática A: 7

Geografía A: 9 Geografía B: 10

Historia A: 8 Historia B: 8

A partir de las notas de Silvia, responda:

1. ¿A cuál de las becas podría acceder? ¿Por qué?

2. Indique el promedio de las notas de Silvia.


Parte C

Elida, otra amiga de Marta que estudia en Adultos 2000, tiene el mismo promedio de

notas que Silvia y tiene rendidos también 7 exámenes.

A partir de la información anterior, conteste:

1. ¿Puede decir cuáles son las notas de Elida en cada uno de los exámenes? Si su res-

puesta es afirmativa, indique cada una de ellas. Si su respuesta es negativa, indique

por qué no puede hacerlo.

2. Si además le informamos que Elida obtuvo en los 7 exámenes la misma nota,

¿puede decir cuál es la nota que obtuvo en cada uno de ellos? Si su respuesta es

afirmativa, indique la nota obtenida en cada examen. Si su respuesta es negativa,

indique por qué no puede hacerlo.

#��#��

La cuenta que propone Silvia para calcular el promedio de notas de Marta escorrecta. Al realizarla obtenemos que el promedio de notas de Marta es de 7,25.

Para calcular el promedio de Silvia sumamos sus notas y las dividimos por 7.El promedio resulta ser 8.

En la misma situación está Elida ya que su promedio es el mismo que el deSilvia. Si los promedios son iguales y ambas rindieron la misma cantidad deexámenes, la suma de las notas de Elida debe ser la misma que la suma de lasnotas de Silvia. Pero no hay una única forma de sumar 7 notas y obtener comoresultado 56. Por lo tanto, sabiendo solo el promedio de las notas de Elida nopodemos saber cuál es la nota que ella obtuvo en cada uno de los exámenes. Siademás sabemos que obtuvo la misma nota en todos sus exámenes, entonces sípodemos calcular la nota en cada uno de ellos haciendo la cuenta 56 : 7.

Es decir que tener 6, 8, 7, 9, 10, 8 y 8 como notas de los exámenes o tener 8,8, 8, 8, 8, 8 y 8 es lo mismo desde el punto de vista del promedio de las notas.

��B��#��$��#�!��#��#

De acuerdo a lo realizado en la actividad anterior, podemos observar que cuan-do calculamos un promedio de un grupo de notas, estamos reemplazando adicho grupo por una única nota. Si sumamos esta nota promedio tantas vecescomo la cantidad de notas que tenemos en el grupo obtenemos el mismoresultado que si sumamos las notas del grupo.

Para calcular el promedio de un grupo o conjunto de datos, se suman todoslos datos del grupo y se divide el resultado obtenido por la cantidad de datosque tiene ese conjunto de datos.

��#��%+++ � �� 130


�� 131

Parte D

Marta accedió a la beca y cada 6 meses debe presentar un certificado con sus notas. Para

poder conservar la beca su promedio no debe bajar de 7 puntos y debe rendir al menos un

examen cada semestre. En la próxima fecha tiene pensado rendir Biología A y Cívica A.

A partir de la información anterior responda las siguientes consignas:

1. Si Marta aprueba ambos exámenes, ¿qué nota debería sacar como mínimo en cada

una de las materias para mantener la beca?

2. Si Marta saca un 5 en el examen de Biología, ¿cuánto debería sacar como mínimo en

el examen de Cívica para mantener la beca?

3. Dé un ejemplo de un par de notas que le impedirían a Marta mantener la beca.

#��#��

Para poder conservar el promedio de 7 ó más, aprobando ambos exámenes,Marta debería sacar como mínimo 6 y 7 en cada uno de los exámenes, porquede ese modo la suma de las notas correspondientes a los 6 exámenes da 42 ómás que, dividido por 6, da 7 ó más.

Si consideramos la posibilidad de que Marta desapruebe alguno de sus exá-menes, la nota del otro deberá compensar a la del examen desaprobado demodo que se mantenga el promedio exigido.

Si sacara un 5 en uno de ellos, para que la suma de las notas siga siendo de 42ó más, debería sacar como mínimo un 8 en el otro. Si sacara un 4, debería sacarcomo mínimo un 9 en el otro. Si sacara un 3, en el otro examen tendría queobtener un 10. Si su nota fuera menor a 3 en una de las materias, no tendríaforma de mantener el promedio y perdería la beca. Lo mismo sucedería si aprue-ba ambos exámenes con 6, o si en los dos obtiene una calificación inferior.

��>��C�"!�@��3#��)��F

Parte A

El gráfico de la página siguiente fue extraído de la boleta de gas de una vivienda de la

Ciudad de Buenos Aires. Tenga en cuenta que la facturación del servicio es bimestral. Por

lo tanto, cuando en la representación se indica Febrero, por ejemplo, el consumo corres-

ponde al período Enero - Febrero.


��#��%+++ � �� 132

MetroGASConsumo Comparado (en m3)

JUN - 2004 291

ABR - 2004 70

FEB - 2004 38

DIC - 2003 85

OCT - 2003 285

AGO - 2003 493

JUN - 2003 220

Responda las siguientes preguntas a partir de la observación del gráfico:

1. Si usted quiere saber cuál fue el consumo de gas de la vivienda en el período Mayo -

Junio de 2004, ¿dónde lo mira en la boleta?

2. ¿Cómo resulta ser el consumo de gas de esta vivienda en el bimestre Mayo - Junio de

2004 en relación con el mismo bimestre en el año 2003? ¿Dónde observa esta infor-

mación en la boleta?

3. ¿En qué bimestre se registra el mayor consumo de gas del período Junio de 2003 -

Junio de 2004? ¿Cuántos m3 de gas se consumieron en la vivienda en ese bimestre?

4. ¿Cuál es el consumo bimestral promedio de gas del período Junio de 2003 - Junio de

2004?

Parte B

Los siguientes gráficos fueron extraídos de las boletas de electricidad de dos viviendas

de la Ciudad de Buenos Aires, una de la zona sur y otra de la zona norte.


A partir de la observación de los gráficos responda las siguientes preguntas:

1. ¿Cuál fue el bimestre del año 2004 en el que se registró el mayor consumo de energía

eléctrica en la vivienda de la zona sur? ¿Cuántos kwh se consumieron ese bimestre?

2. En esta vivienda:

a. ¿Cómo resulta ser el consumo de electricidad del cuarto bimestre del año 2004 en

relación con el consumo del mismo período en el año 2003?

b. ¿Dónde lee esta información en el gráfico?

3. ¿Cuál es el consumo bimestral promedio de la vivienda anterior entre el cuarto

bimestre de 2003 y el cuarto bimestre de 2004?

4. ¿Qué se representa en cada una de las barras que muestra el gráfico de Edenor?

5. En la vivienda de la zona norte, ¿cómo resulta ser el consumo del período actual en

relación con el mismo período del año anterior?

6. Si compara la forma de mostrar la información de cada una de las empresas de elec-

tricidad, ¿qué similitudes y qué diferencias encuentra? Escriba cada una de ellas.

7. Si compara la forma de mostrar la información de las empresas de electricidad y la de

gas, ¿qué similitudes y qué diferencias encuentra? Escriba cada una de ellas.

�� 133


��#��%+++ � �� 134

��>��C�,!�@#��.#��#��.#��F�

Parte A

La siguiente tabla fue construida en base a datos proporcionados por el censo nacional

de población de 2001:

Fuente: INDEC, Censo Nacional de Población, Hogares y Vivienda 2001

Instituto Geográfico Militar

A partir de la información que le proporciona la tabla anterior responda las siguientes

preguntas:

1. ¿Cuál es la cantidad total de habitantes de la Ciudad de Buenos Aires?

2. ¿Cómo se calcularon cada uno de los valores de la última columna de la tabla? Es

decir, ¿cómo se calculó la densidad de población de cada provincia? Escriba la cuen-

ta realizada en cada caso.

3. Indique un valor de la tabla que represente a una cantidad absoluta y un valor que

represente a una cantidad relativa.

4. Indique otras cantidades relativas que podrían encontrarse a partir de los datos de la

tabla.

ProvinciaCantidad de

Mujeres Varones

Densidad de población

(hab / km2)Superficie

Ciudad de Bs As 1.517.680 13675,5203

Buenos Aires 7.101.324 45307.571

Chubut 206.184 1,8224.686

Córdoba 1.577.398

1.258.458

6.725.879

207.053

1.489.403 18,6165.321

La Pampa 150.125 149.169 2,1143.440

Santa Cruz 96.479 100.479 0,8243.943

Tucumán 680.981 657.542 59,422.524


�� 135

Parte B

Las siguientes tablas y gráficos fueron publicadas en el diario Clarín del martes 24 de

Agosto de 2004:

A partir de la lectura de las tablas y los gráficos responda las siguientes preguntas:

1. ¿Qué aumento o disminución en sus inscripciones, en relación con las inscripciones

del año anterior, registra cada una de las carreras consideradas en las tablas?

2. ¿Cómo interpreta el hecho de que en la columna de variación porcentual haya valo-

res positivos y negativos?

Ingresantes a la UBA, por carreraComposición 2003 - 2004 de las inscripciones al CBC.

LAS CINCO CON MAYOR AUMENTO

Carrera 2003 2004 Variación, en porcentaje

Bibliotecología 36 54

Diseño eIndument. textil 1.926 2.937

Farmacia 432 438

Paleontología 68 76

Filosofía 408 455

LAS CINCO QUE MÁS BAJARON

Ciencias dela atmósfera 76 60

Economía yadmin. agrarias 147 114

Análisis desistemas 1.402 1.062

Jardinería 114 83

Sistemas deinformación 252 171

LAS TRADICIONALES

Arquitectura 2.017 2.042

Contadorpúblico 4.369 4.227

Medicina 7.372 7.110

Abogacia 7.138 6.887

Psicología 6.416 6.031

Fuente: UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES

50

23

13

12

12

-20

-22

-24

-27

-32

1,2

-3,3

-4

-4

-6


��#��%+++ � �� 136

3. ¿Cómo calcula cada uno de los valores correspondientes a la columna de variación

porcentual?

4. De acuerdo con su respuesta al ítem 3., calcule cada uno de los valores de variación

porcentual y en base a sus resultados revise los valores publicados por el diario.

5. Observe los incrementos de las inscripciones en las carreras de Arquitectura y de

Bibliotecología. ¿En cuál de esas carreras es más significativo el incremento de alum-

nos? Explique por qué.

#��#��

Si usted calculó los porcentajes de variación de acuerdo con los datos de latabla, habrá podido observar que los números obtenidos no coinciden entodos los casos con los de la tabla publicada en el diario. Por ejemplo: enFarmacia, de acuerdo con los números indicados en las columnas de inscrip-tos en cada uno de los años considerados, la inscripción 2004 registró unincremento del 1,4 % en relación a la inscripción registrada en el año 2003.El gráfico publicado indica una variación del 13 %.

No podemos saber cuál es el origen del error en la información. Podría deber-se a un error en el cálculo de los porcentajes o a una indicación errónea de lascantidades de inscriptos a la carrera en alguna de las columnas de la tabla.

De todas maneras, más allá de cuál sea concretamente el error cometido al darla información, éste es un ejemplo que nos muestra que la información presen-tada en los medios puede contener errores. Por esa razón es importante haceruna lectura crítica de la información que recibimos. Estos errores pueden serinvoluntarios, como suponemos que debe haber ocurrido en este caso, pero,también se podría desvirtuar la información en forma voluntaria para que lleguea nosotros de modo que resulte más adecuado al interés de algún sector.

Para analizar la variación en las inscripciones al CBC de un año a otro no essuficiente con observar únicamente la cantidad de alumnos inscriptos a cadauna de las carreras en un año u otro. La variación en la inscripción puede noser significativa en términos absolutos pero sí serlo en términos relativos, o alrevés. Por ejemplo, la variación de 18 inscripciones en valores absolutos deun año a otro en la carrera de Bibliotecología, representa un incremento del50 % de la matrícula. En cambio, la variación de 25 inscripciones enArquitectura (que es una cantidad cercana a los 18 de Bibliotecología) repre-senta sólo el 1,25 % de incremento de la matrícula de un año al otro.


�� 137

Parte C

Los siguientes datos corresponden a las exportaciones de yerba mate de la provincia de

Misiones y fueron elaborados por la Subsecretaría de Comercio e Integración en base a

datos proporcionados por el INDEC.

Provincia de Misiones: evolución de las exportaciones de yerba mate

Fuente: Subsecretaría de Comercio e Integración. Provincia de Misiones

1. Observe el gráfico que muestra la evolución en las exportaciones de yerba mate y res-

ponda:

a) En él se muestran simultáneamente dos aspectos de la situación, ¿cuáles son? ¿Dónde

observa cada uno de ellos?

b) ¿Qué cantidad de yerba mate exportó la provincia en el año 2001?

c) ¿Cuál fue el precio por kilogramo ese año?

d) ¿En qué año se registró el mayor volumen de exportaciones de yerba mate de la pro-

vincia? ¿Cuál fue dicho volumen?

e) ¿Cuál fue el precio por kilogramo ese año?

f) ¿Pudo indicar los valores pedidos en los ítems b), c), d) y e) con exactitud? ¿Por qué?

g) ¿En qué año o años la provincia registró un volumen de exportaciones de aproxima-

damente 15.000 toneladas?

2. Observe el gráfico que muestra los destinos de las exportaciones de yerba mate de la

provincia de Misiones y responda:

a) ¿Qué información en relación con las exportaciones puede observar? ¿Dónde observa

cada una de las informaciones que le proporciona el gráfico?

b) ¿Cómo están indicadas las cantidades de dinero recibidas por exportaciones a cada

uno de los países?

c) En el año 1996, ¿aproximadamente cuánto dinero se cobró por la exportación de

yerba mate a Chile y Bolivia?

d) ¿En qué año se exportó a Brasil un volumen de yerba mate por un monto de

5.500.000 dólares aproximadamente?

e) ¿Cuál es el país que recibe el menor volumen de exportaciones en yerba mate?


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En las dos actividades anteriores trabajamos con algunas de las formas que uti-liza la Estadística para mostrar la información: las tablas y los gráficos.Seguramente usted se ha encontrado con algunas de ellas en los medios decomunicación o en sus propias boletas de electricidad y de gas.

Las tablas y los gráficos tienen la ventaja de permitir visualizar la informaciónmucho más rápidamente que si la miráramos tal como resulta de su releva-miento en una encuesta o un censo, o si la tuviéramos que leer de un texto.Para dar la información a través de una tabla es necesario que indiquemos:

• un título que resulte adecuado de modo que el mismo describa el conteni-do de la tabla en forma breve.

• qué información se indica en cada columna y en cada fila.

• las unidades en las que están medidos los valores que se indican en la tabla.

• la fecha y la fuente de donde provienen.

Sin la información anterior la tabla no estaría completa y eso impediría queuna persona que se informa a través de ella pueda entender, sin errores, losdatos que le proporciona.

En muchos casos los gráficos permiten visualizar la información más rápida-mente que la tabla. Por esta razón son muy utilizados en los medios de comu-nicación. Pero debemos ser muy cuidadosos porque si no están bien elabora-dos también pueden transmitir una información errónea.

El gráfico utilizado en la actividad anterior para mostrar la evolución de lasexportaciones de yerba mate de la provincia de Misiones es un gráfico debarras. Los gráficos de barras se construyen en un sistema de ejes coordena-dos cartesianos.

En este caso se utilizó un gráfico de barras verticales. En él, en el eje hori-zontal se indican los períodos de tiempo para los que se realizaron los regis-tros, y en el eje vertical se indican las cantidades de toneladas exportadas encada uno de esos períodos.

Tal como están indicados los valores en el gráfico, no se puede visualizar conexactitud cuál es el volumen exportado en cada período. Por ejemplo, en elaño 2001 se exportaron aproximadamente 32500 toneladas de yerba mate. Situviéramos que hacer un análisis pormenorizado de la situación, el gráfico nonos sería suficiente. Pero si lo que nos interesa es simplemente obtener infor-mación sobre la evolución de las exportaciones de yerba mate de la provinciade Misiones en un período determinado, el gráfico resulta suficiente parahacerlo. Para obtener exactitud en la observación, deberíamos complementarel gráfico con una tabla.


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En el gráfico de las exportaciones de yerba mate, se muestra además el preciopromedio por kilogramo en cada uno de los períodos considerados. Por estarazón se utilizan dos ejes verticales.

En el eje que se encuentra a la izquierda del gráfico, se indica el volumenexportado medido en toneladas, y en el eje que está a la derecha del gráfico seindica el precio promedio del kilogramo de yerba (en dólares).

El gráfico de barras representa al volumen de las exportaciones en cada uno delos períodos y la curva representada sobre él corresponde a la evolución delprecio promedio del kilogramo de yerba mate.

El gráfico correspondiente a la boleta de electricidad de la vivienda de la zonasur también es un gráfico de barras verticales, sólo que su representación estásimplificada para que la lectura sea más sencilla y para que se pueda visualizarcon exactitud cuál es el consumo registrado en cada bimestre. Por esa razón,en lugar de mostrarse los consumos en un eje vertical, directamente se indicacada uno de ellos en la parte superior de la barra correspondiente a cada unode los períodos.

En la boleta de gas, en la boleta de electricidad de la vivienda de la zona nortey en el gráfico de las inscripciones al CBC se utilizaron gráficos de barrashorizontales.

En ellos, se indican en el eje vertical los períodos o carreras a los que corres-ponde el registro realizado, y en el eje horizontal se indican las cantidadesregistradas para cada uno de ellos.

En los tres casos, las representaciones están simplificadas del siguiente modo:

En la boleta de gas se muestra directamente el consumo correspondiente acada período a la derecha de la barra.

En la boleta de electricidad se muestra directamente el consumo del últimoperíodo, el de igual período del año anterior y el consumo promedio del últi-mo año a la derecha de cada barra.

En el gráfico de los inscriptos al CBC, se muestra el porcentaje de variaciónde la inscripción a la derecha o la izquierda de la barra, según si la variaciónresultó positiva o negativa. Se considera positiva la variación cuando la ins-cripción 2004 es mayor en relación a la inscripción 2003 y negativa en el casocontrario.

Parte D

Los siguientes datos corresponden también a las exportaciones de la provincia de

Misiones y fueron elaborados por la Subsecretaría de Comercio e Integración en base a

datos proporcionados por el INDEC. Están presentados a través de una tabla y de un grá-

fico circular.


Provincia de Misiones: Destinos de las exportaciones - Año 2001

Productos Exportados Miles de U$S %

EEUU 59.894 24%

Mercosur 69.061 28%

Otros Países América 13.525 5%

Europa y países del Este 82.022 33%

Países Asiáticos 9.329 4%

Australia 352 0%

Siria y Líbano 10.347 4%

Sudáfrica y P.Africa 3.516 1%

Total 248.046


Nota: la suma de los porcentajes dados en la tabla es 99 en lugar de 100. Suponemos que

este resultado no es un error sino que es una consecuencia del redondeo usado en cada uno

de los valores de la columna.


Responda las preguntas a partir de la observación de la tabla y el gráfico anteriores:

1. ¿Qué parte de la producción de la provincia de Misiones se exporta a cada uno de los

países destinatarios?

2. ¿Cómo visualiza esta información en la tabla y cómo la visualiza en el gráfico circular?

3. ¿Dónde le resulta más cómodo leer la información?

4. Si como información de los destinos de las exportaciones tuviera sólo el gráfico cir-

cular, ¿podría decir con exactitud qué parte de la producción de la provincia se expor-

ta a cada uno de los países? Si su repuesta es afirmativa, indique este valor a partir

de la lectura del gráfico. Si su repuesta es negativa, indique cuál es la razón que le

impide hacerlo.

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5. ¿Qué información debería agregar al gráfico de modo que pueda leer en él también

la información que le da la tabla?

6. ¿Qué información debería agregar a la tabla de modo que pueda leer en ella tam-

bién la información que le proporciona el gráfico?

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También podemos representar gráficamente un conjunto de datos utilizandoun gráfico circular, como el que se utilizó para mostrar los destinos de lasexportaciones de la provincia de Misiones. Para realizar este tipo de gráficos sedivide a un círculo en sectores. En el ejemplo de las exportaciones de la pro-vincia de Misiones, la cantidad de sectores se determina en base a la cantidadde destinos sobre los que se está realizando el registro. Hay tantos sectorescomo países o regiones a los que esa provincia exporta sus productos. Eltamaño de cada sector se determina en base al volumen de exportaciones regis-trado hacia cada uno de los países o regiones.

Los gráficos circulares permiten visualizar rápidamente qué parte del totalrepresenta cada uno de los sectores, cosa que no es de visualización inmediataen un gráfico de barras ni en una tabla.

Para que la información que ellos brindan, además de visual sea tambiénnumérica, en general se indica en ellos qué porcentaje del total representa cadasector. De lo contrario, como ocurre con el gráfico de las exportaciones de laprovincia de Misiones, para poder leer la información completa tenemos querecurrir a la tabla.

De todos modos aunque el gráfico circular no tenga información numérica,igualmente nos permite hacer una lectura aproximada de la fracción del totalque representa cada sector. Por ejemplo, en el gráfico circular de las exporta-ciones de la provincia de Misiones, se puede visualizar que aproximadamentela cuarta parte de las mismas corresponde a EEUU.

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En el capítulo 10 - Probabilidad:

1. Lea "Experimentos aleatorios y determinísticos" en las páginas 244 y 245. Lea tam-

bién el recuadro "Azar electrónico" del margen derecho de la página 245.

2. Resuelva las Actividades N° 16, 18 y 20 ítems a), c) y d) de la página 245. Puede con-

trolar sus respuestas con las dadas en la página 271. Al comparar su respuesta a la

Actividad N° 16 con la dada por el libro, tenga en cuenta que ésta es una de las posi-

bilidades pero no es la única.


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3. Lea "Sucesos seguros, probables e imposibles" en la página 246.

4. Resuelva las Actividades N° 21 y 22 (menos el ítem ii)c)) de la página 247. Puede com-


5. Lea "Espacio muestral" en la página 247.

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Mauro y Bruno están en la puerta del cine y no se ponen de acuerdo sobre cuál es la pelí-

cula que entrarán a ver. Para dirimir la cuestión deciden arrojar una moneda. Si sale cara

elige Mauro, si sale ceca elige Bruno.

Parte A

Teniendo en cuenta la información anterior y lo que leyó en el libro responda las


1. ¿Qué tipo de experimento es el que hacen Mauro y Bruno para decidir la película que

entrarán a ver?

2. ¿Cuál es el espacio muestral del experimento?

3. ¿Puede saberse cuál será el resultado antes de arrojar la moneda? ¿Por qué?

4. ¿Alguno de los dos tiene más posibilidades de elegir la película? ¿Por qué?

Parte B

Mauro y Bruno cambiaron de idea. Para decidir quién elige la película tirarán la mone-

da 20 veces. Mauro elige la película si salen más caras que cecas; Bruno elige si salen más

cecas que caras.

¿Se modificarán las posibilidades de cada uno de elegir la película?

Parte C

Le proponemos analizar qué ocurriría si se tirara más veces la moneda realizando usted

mismo el experimento. Busque una moneda y responda las siguientes consignas:

1. Arroje la moneda 10 veces y registre la cantidad de caras y la cantidad de cecas obte-

nidas.

2. Calcule el cociente entre el número de veces que salió cara y el número de lanza-

mientos realizados.

3. Calcule el cociente entre el número de veces que salió ceca y el número de lanza-

mientos realizados.

4. Vuelva a lanzar la moneda otras 10 veces y registre nuevamente la cantidad de caras

y de cecas obtenidas.


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5. Calcule el cociente entre el número de veces que salió cara y el número de lanza-mientos realizados en esta segunda serie.

6. Sume la cantidad de caras obtenidas en esta nueva serie a la cantidad de caras queobtuvo en la primera serie de lanzamientos.

7. Calcule el cociente entre el número total de veces que salió cara y el número totalde lanzamientos realizados en las dos series.

8. Realice lo pedido en los ítems 6. y 7. para el número total de cecas de las dos series.

9. Arroje la moneda 20 veces más y repita lo pedido en los ítems 2., 3., 7. y 8.

10. Vuelva a arrojar la moneda otras 20 veces y repita lo pedido en los ítems 2., 3., 7. y 8.

11. Arroje la moneda 20 veces más y repita una vez más lo pedido en los ítems 2., 3., 7. y 8.

No deje de realizar todo lo que le pedimos en los ítems anteriores. Las con-clusiones que le daremos a continuación sólo tendrán sentido para usted sipreviamente pudo observarlas a partir de la realización del experimento.

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Mauro y Bruno eligieron un experimento aleatorio para decidir qué película irána ver. Antes de realizar el experimento, o sea, antes de arrojar la moneda, no sepuede predecir con certeza qué ocurrirá, pero se puede asegurar que alguno de losdos ganará porque el experimento sólo tiene dos resultados posibles: que salgacara o que salga ceca. Cada uno de ellos seleccionó una de esas alternativas. Elespacio muestral está formado por estos dos resultados. Lo escribimos:

E = {cara, ceca}

Entonces, tanto Mauro como Bruno, tienen un 50 % de posibilidades de ele-gir la película, ya que juegan a su favor uno de los dos resultados posibles.

Al realizar lo pedido en la Parte C usted debe haber observado que el cocienteentre el número de caras (o de cecas) y el número total de lanzamientos reali-zados es fluctuante en cada una de las series. Sin embargo, al calcular esoscocientes después de un número importante de lanzamientos, acumulando lostotales de caras (o de cecas) obtenidos, esos cocientes comienzan a estabilizarsealrededor del mismo número: ½. Esto significa que, también en este caso, cadauno de los chicos tiene un 50 % de posibilidades de elegir la película.

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En la situación que estamos analizando, hay dos sucesos posibles: que al lan-zar la moneda salga cara o que salga ceca.

Al cociente entre la cantidad de veces que salió cara y el total de lanzamientosde la moneda lo llamamos probabilidad del suceso "sale cara". Del mismomodo, al cociente entre la cantidad de veces que salió ceca y el total de lanza


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mientos de la moneda lo llamamos probabilidad del suceso "sale ceca".

A estos cocientes los llamamos probabilidad empírica porque se obtienen apartir de la realización de un experimento.

Como pudimos observar con los lanzamientos de la moneda, si repetimos elexperimento una cantidad importante de veces, el cociente entre la cantidadde veces que obtenemos el resultado esperado del suceso y el número total derepeticiones del experimento se estabiliza alrededor de un número.

En la mayor parte de los problemas, no es posible repetir el experimento unacantidad suficiente de veces como para llegar a obtener este número en formaexperimental. Por esta razón la Matemática calcula este número en forma teó-rica. Lo hace a través del cociente entre la cantidad de casos favorables al suce-so y la cantidad de casos (o sucesos) posibles:

P =

Al número que resulta de este cociente lo llamamos probabilidad teórica.

Cuando un experimento se repite muchas veces es esperable que el valor de laprobabilidad empírica se acerque al valor de la probabilidad teórica, comoocurrió con los lanzamientos de la moneda.

Si calculamos la probabilidad teórica para el suceso "salga cara" haremos elcociente entre 1 y 2, ya que hay un caso favorable (salga cara) de dos posibles(salga cara o salga ceca). Por lo tanto P = 1/2.

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En esta actividad nuevamente lo orientaremos para que trabaje con el libro.

En el capítulo 10 - Probabilidad:

1. Resuelva la Actividad N° 27 de la página 250. Puede controlar su respuesta con la queda el libro en la página 271.

2. Lea "Propiedades de la probabilidad" en las páginas 250 y 251. Lea también el recua-dro "Medida de la probabilidad" de la página 251.

3. Resuelva las Actividades N° 29 y 31 de la página 252. Puede controlar sus respuestascon las que da el libro en la página 271.

4. Resuelva las actividades N° 32, 36, 37 (tenga en cuenta que en este tipo de mazos hay40 cartas numeradas del 1 al 7 y 10 al 12), 39, 40, 41 y 51 de las Actividades integra-doras de las páginas 254, 255 y 256. Puede controlar sus respuestas con las que da ellibro en la página 271.

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Buenos Aires Ciudad - Gobierno de la Ciudad Autónoma de ... · 8 ˙˜ˆˇ ˙˜˝#˘ %+++ 45 67 A partir de estas ideas hemos pensado este material de enseñanza como un recurso a