Buku prolin

BAB I

PENDAHULUAN

PROGRAM LINIER

A. Sejarah Program Linier

Ide Linear Programming pertama kali

dicetuskan oleh seorang ahli matematika

asal Rusia bernama L.V. Kantorivich dalam

bukunya yang berjudul ”MATHEMATICAL

METHODS IN THE ORGANIZATION AND

PLANNING OF PRODUCTION”. Dengan buku

ini, ia telah merumuskan pertama kalinya

persoalan “Linear Programming”. Namun,

cara-cara pemecahan persoalan in di Rusia

tidak berkembang dengan baik dan ternyata

para ahli di negara Barat dan AS yang

menggunakan cara ini dimanfaatkan dengan

baik.

Pada tahun 1947, seorang ahli

matematika dari AS yang bernama George

B. Dantzig menemukan suatu cara untuk

memecahkan persoalan-persoalan linear

programming. Cara pemecahan ini

dinamakan ” Simplex Method”, yang

1

diuraikan dalam bukunya ”LINEAR

PROGRAMMING AND EXTENTION”.

Selanjutnya teori ini berkembang pesat

sekali terutama dibidang kemiliteran yang

menyangkut optimisasi dalam strategi

perang dan di bidang-bidang lainnya.

B. Pengertian Program Linier

Linear Programming (LP) /

Pemrograman linier merupakan suatu model

yang dapat digunakan dalam pemecahan

masalah pengalokasian sumber-sumber

yang terbatas secara optimal dengan

menggunakan model matematika. Sumber-

sumber yang dimaksud dapat berupa bahan

baku, peralatan & mesin, ruang, waktu,

dana dan orang. istilah linier menunjukan

bahwa seluruh fungsi matematika yang ada

di dalam model harus merupakan suatu

fungsi linier, sedangkan programming pada

hakekatnya adalah sinonim dengan

perencanaan.

2

Jadi pemrograman linier mencakup

perencanaan kegiatan-kegiatan untuk

mencapai suatu hasil yang optimal, yaitu

suatu hasil yang mencerminkan tercapainya

sasatan tertentu yang paling baik diantara

alternatif-alternatif yang mungkin dengan

mengunakan fungsi linier. Atau dengan kata

lain LP adalah metode atau teknik

matematis yang digunakan untuk

membantu manajer dalam pengambilan

keputusan.

Pokok pikiran yang utama dalam

menggunakan LP ialah merumuskan

masalah dengan jelas dengan menggunakan

sejumlah informasi yang tersedia, kemudian

menerjemahkan masalah ini kedalam

bentuk model matematika guna

menemukan jawaban terhadap masalah

yang dihadapi.

Pada saat kita akan menentukan alat

program linier dalam mencoba memecahkan

suatu persoalan, maka ada beberapa hal

yang harus dicermati atau kondisi yang

diperlukan. Hal-hal tersebut adalah:

3

1. Tujuan dari pemecahan kasus

merupakan optimalisasi. Optimalisasi

artinya mencari suatu titik pada besaran

angka yang akan menunjuk pada tujuan

utama dari kasus yang akan dipecahkan.

Tujuan utama dari kasus adalah maksimasi

atau minimasi. Contoh suatu perusahaan

apakah ingin memaksimumkan keuntungan

atau meminimumkan biaya dalam target

operasionalnya. Optimalisasi dari

perusahaan itu adalah mencari tingkat

output dan kombinasi input yang akan

mencapai tujuan dari perusahaan, yaitu

maksimasi laba atau minimasi biaya.

2. Terdapat berbagai alternatif dari

kombinasi berbagai variabel input yang

tersedia yang salah satunya akan

memberikan tingkat output yang sesuai

dengan tujuan dari optimalisasi. Misalnya

apakah membuat nasi goreng yang akan

memaksimumkan keuntungan dibuat

dengan proporsi satu piring nasi dan dua

takar bumbu atau dengan proporsi satu

piring nasi dengan tiga takar bumbu?

4

3. Variabel-variabel input merupakan

variabel yang terbatas. Keterbatasan di sini

dalam arti jumlah yang tersedia terbatas

disertai dengan biaya dari tiap variabel juga

tertentu. Kombinasi variabel input dalam

menghasilkan output mempunyai sifat

substitusi, artinya semakin banyak satu

variabel input digunakan untuk membuat

suatu output, maka alokasi variabel input

tersebut untuk output lain akan berkurang.

4. Semua output yang akan dihasilkan

merupakan suatu pertidaksamaan linier dari

input. Pertidaksamaan ini akan

menggambarkan keterbatasan atau

kemungkinan yang timbul dari kondisi input

dan output. Misalnya, jika X adalah nasi

goreng biasa dan Y adalah nasi goreng

spesial, serta ada ketentuan bahwa biaya

untuk membuat 3 piring nasi goreng biasa

dan 2 piring nasi goreng spesial tidak boleh

melebihi 30.000 rupiah. Oleh karena itu,

bisa kita tulis: 3X + 2Y 30.000.

5

Pemprograman linier adalah metode matematika dalam mengalokasikan sumber daya yang terbatas untuk mencapai suatu tujuan seperti memaksimalkan keuntungan atau meminimumkan biaya.

Program linier berkaitan dengan pejelasan suatu kasus dalam dunia nyata sebagai suatu model matematik yang terdiri dari sebuah fungsi tujuan linier dengan beberapa kendala linier (Taha,1993).

Program linier banyak digunakan untuk menyelesaikan masalah optimasi didalam industri,perbankan,pendidikan,dan masalah-masalah lain yang dapat dinyatakan dalam bentuk linier.

C. Karakteristik Pemprograman Linier

Sifat linearitas suatu kasus dapat ditentukan dengan menggunakan beberapa cara. Secara statistik, kita dapat memeriksa kelinearan menggunakan grafik (diagram pencar) ataupun menggunakan uji hipotesa. Secara teknis, linearitas ditunjukkan oleh adanya sifat proporsionalitas, additivitas, divisibilitas dan kepastian fungsi tujuan dan pembatas.

Sifat proporsional dipenuhi jika

kontribusi setiap variabel pada fungsi tujuan

atau penggunaan sumber daya yang

membatasi proporsional terhadap level nilai

6

variabel. Jika harga per unit produk misalnya

adalah sama berapapun jumlah yang dibeli,

maka sifat proporsional dipenuhi. Atau

dengan kata lain, jika pembelian dalam

jumlah besar mendapatkan diskon, maka

sifat proporsional tidak dipenuhi. Jika

penggunaan sumber daya per unitnya

tergantung dari jumlah yang diproduksi,

maka sifat proporsionalitas tidak dipenuhi.

Sifat additivitas mengasumsikan

bahwa tidak ada bentuk perkalian silang

diantara berbagai aktivitas, sehingga tidak

akan ditemukan bentuk perkalian silang

pada model. Sifat additivitas berlaku baik

bagi fungsi tujuan maupun pembatas

(kendala). Sifat additivitas dipenuhi jika

fungsi tujuan merupakan penambahan

langsung kontribusi masing-masing variabel

keputusan. Untuk fungsi kendala, sifat

additivitas dipenuhi jika nilai kanan

merupakan total penggunaaan masing-

masing variabel keputusan. Jika dua variabel

keputusan misalnya merepresentasikan dua

produk substitusi, dimana peningkatan

7

volume penjualan salah satu produk akan

mengurangi volume penjualan produk

lainnya dalam pasar yang sama, maka sifat

additivitas tidak terpenuhi.

Sifat divisibilitas berarti unit

aktivitas dapat dibagi ke dalam sembarang

level fraksional, sehingga nilai variabel

keputusan non integer dimungkinkan.

Sifat kepastian menunjukkan bahwa

semua parameter model berupa konstanta.

Artinya koefisien fungsi tujuan maupun

fungsi pembatas merupakan suatu nilai

pasti, bukan merupakan nilai dengan

peluang tertentu.

Keempat asumsi (sifat) ini dalam

dunia nyata tidak selalu dapat dipenuhi.

Untuk meyakinkan dipenuhinya keempat

asumsi ini, dalam pemrograman linier

diperlukan analisis sensitivitas terhadap

solusi optimal yang diperoleh.

1. Sifat linieritas

8

2. Sifat proposional dipenuhi jika kontribusi setiap varabel pada fungsi tujuan atau penggunaan sumber daya yang membatasi proposional terhadap level nilai variable.

3. Sifat additivitas mengasumsikan bahwa tidak ada bentuk perkalian silang diantara berbagai aktivitas,sehingga tidak dapat ditemukan bentuk perkalian silang pada model.

4. Sifat diviiabel berarti unit aktivitas dapat dibagi dalam sembarang level fraksional,sehingga nilai variable keputusan non integer dimungkinkan.

5. Sifat kepastian menunjukan bahwa semua parameter model berupa konstanta.

D. Formulasi Permasalahan

Masalah keputusan yang sering dihadapi analis adalah alokasi optimum sumber daya.

Sumber daya dapat berupa uang, tenaga kerja, bahan mentah, kapasitas mesin,waktu, ruangan, atau teknologi.

Tugas analis adalah mencapai hasil terbaik dengan keterbatasan sumber daya itu.

Setelah masalah diidentifikasikan, tujuan ditetapkan, langkah selanjutnya adalah formulasi model matematik.

Formulasi model matematik ada 3 tahap:1. Tentukan variable yang tidak diketahui

dan dinyatakan dalam symbol.

9

2. Membentuk fungsi tujuan yang ditujukkan sebagai suatu hubungan linier dari variable keputusan.

3. Menentukan semua kendala masalah tersebut dan mengekspresikanya dalam persamaan atau pertidaksamaan.

E. Bentuk Umum Program Linear1. Fungsi Tujuan

Maksimumkan atau Minimumkan

Z=C1 X1+C2X 2+…+CnX n

2. Sumber daya yang membatasi (kendala/syarat)

a11x11+a12 x12+…+an xn=¿≤/≥b1

a21 x21+a22 x22+…+a1n xn=¿≤/≥b2

am1 x1+am2 x2+…+amn xn=¿≤/≥bm

10

BAB II

METODE GRAFIK

A. Menentukan nilai optimum dengan metode uji titikLangkah-langkah:1. Membuat model matematika2. Menentukan fungsi sasaran3. Menyelesaikan fungsi pertidaksamaan4. Menentukan titik-titik terluar dari himpunan

penyelesaian5. Menentukan nilai fungsi sasaran di setiap

titik terluar6. Menentukan nilai optimum

Catatan :

Metode Grafik hanya dapat digunakan dalam pemecahan masalah program linier yang ber “dimensi” : 2 x n atau m x 2, karena keterbatasan kemampuan suatu grafik dalam “menyampaikan” sesuatu (sebenarnya grafik 3 dimensi dapat digambarkan, tetapi sangat tidak praktis).

B. Contoh soal1. Perhatikan pertidaksamaan berikut dengan

kendala :

3 x+2 y ≤12

3 x+4 y ≤18

x≥0 ; y ≥0

11

Gambarlah daerah penyelesaian dan tentukanlah nilai terbesar dari T=4 x+5 y !

2. Tentukan nilai ekstrim T=4 x+5 y jika

(x . y ) adalah penyelesaian pertidaksamaan dari kendala berikut :

3 x+2 y ≥12

3 x+4 y ≥18

x≥0 ; y ≥0

Pembahasan :

1. Formulasi: Fungsi Tujuan :

Max T=4 x+5 y Kendala :

3 x+2 y ≤12→3 x+2 y=12

3 x+4 y ≤18→3 x+4 y=18 Titik potong kendala 1

x 0 4

y 6 0 Titik potong kendala 2

x 0 6

y 92

0

Membuat grafik dari titik potong diatas

12

Menetukan nilai titik yang berpotongan

3 x+2 y=12

3 x+4 y=18 -

−2 y=−6

y=3

3 x+2 y=12

3 x+2(3)=12

3 x=12−6

3 x=6

x=2 Menentukan nilai maksimum dari titik-

titik yang termasuk HP:

T=4 x+5 y

a. (0 ,92 )=¿ 4 (0 )+5( 9

2 )=452

b. (2,3 )=4 (2 )+5 (3 )=8+15=23c. (4,0 )=4 (4 )+5 (0 )=16

∴max=23 saat x=2dan y=3

2. Formulasi: Fungsi Tujuan :

Max T=4 x+5 y

13

Kendala :

3 x+2 y ≤12→3 x+2 y=12

3 x+4 y ≤18→3 x+4 y=18 Titik potong kendala 1

x 0 4

y 6 0 Titik potong kendala 2

x 0 6

y 92

0

Membuat grafik dari titik potong diatas

Menetukan nilai titik yang berpotongan

3 x+2 y=12

3 x+4 y=18 -

−2 y=−6

y=3

3 x+2 y=12

3 x+2(3)=12

3 x=12−6

14

3 x=6

x=2 Menentukan nilai maksimum dari titik-

titik yang termasuk HP:

T=4 x+5 ya. (0,6 )=4 (0 )+5 (6 )=30b. (2,3 )=4 (2 )+5 (3 )=8+15=23c. (6,0 )=4 (6 )+5 (0 )=24

Nilai ekstrim dilihat dari gambar = max/min

∴nilaiekstrim (minimum )=23 ,saat x=2 ; y=3

BAB III

METODE SIMPLEK

A. PengantarPersoalan program linier tidak selalu sederhana karena melibatkan banyak constraint (pembatas) dan banyak variabel sehingga tidak mungkin diselesaikan dengan metode grafik. Oleh karena itu serangkaian prosedur matematik (aljabar linier) diperlukan untuk mencari solusi dari persoalan yang rumit tersebut. Prosedur yang paling luas digunakan adalah Metode Simplex. Penemuan metode ini

15

merupakan lompatan besar dalam Riset Operasidan ia digunakan sebagai prosedur penyelesaian dari setiap program komputer.

Salah satu teknik penentuan solusi optimal yang digunakan dalam pemrograman linier adalah metode simpleks. Penentuan solusi optimal menggunakan metode simpleks didasarkan pada teknik eleminasi Gauss Jordan. Penentuan solusi optimal dilakukan dengan memeriksa titik ekstrim satu per satu dengan cara perhitungan iteratif. Sehingga penentuan solusi optimal dengan metode simpleks dilakukan tahap demi tahap yang disebut dengan iterasi. Iterasi ke-i hanya tergantung dari itersi sebelumnya (i-1).

Dapat disimpulkan juga bahwa metode simpleks adalah suatu metode yang secara sistematis dimulai dari suatu pemecahan dasar yang fleksibel ke pemecahan dasar yang fisibel lainnya dan ini dilakukan berulang-ulang (dengan jumlah ulangan yang tebatas) sehingga tercapai sesuatu pemecahan dasar yang optimum dan pada setiap step menghasilkan suatu nilai dari fungsi tujuan yang selalu lebih besar atau sama dari step-step sebelumnya.Ada beberapa istilah yang sangat sering

digunakan dalam metode simpleks,diantaranya :

16

1. Iterasi adalah tahapan perhitungan dimana nilai dalam perhitungan itu tergantung dari nilai table sebelumnya.

2. Variable non basis adalah variabel yang nilainya diatur menjadi nol pada sembarang iterasi. Dalam terminologi umum,jumlah variabel non basis selalu sama dengan derajat bebas dalam sistem persamaan.

3. Variabel basis merupakan variabel yang nilainya bukan nol pada sembarang iterasi. Pada solusi awal,variabel basis merupakan variabel slack ( jika fungsi kendala merupakan pertidaksamaan ≤ ) atau variabel buatan ( jika fungsi kendala menggunakan pertidaksamaan ≥ atau = ). Secara umum,jumlah variabel basis selalu sama dengan jumlah fungsi pembatas ( tanpa fungsi non negatif ).

4. Solusi atau nilai kanan merupakan nilai sumber daya pembatas yang masih tersedia. Pada solusi awal,nilai kanan atau solusi sama dengan jumlah sumber daya pembatas awal yang ada, karena aktivitas belum dilaksanakan.

5. Variabel slack adalah variabel yang ditambahkan ke model matematik kendala untuk mengkonversikan pertidaksamaan ≤ menjadi persamaan ( = ). Penambahan variabel ini terjadi pada tahap inisialisasi. Pada solusi awal,variabel slack akan berfungsi sebagai variabel basis.

17

6. Variabel surplus adalah variabel yang dikurangkan dari model matematik kendala untuk mengkonversikan pertidaksamaan ≥ menjadi persamaan ( = ). Penambahan ini tejadi pada tahap inisialisasi. Pada solusi awal,variabel surplus tidak dapat berfungsi sebagai variabel basis.

7. Variabel buatan adalah variabel yang ditambahkan ke model matematik kendala dengan bentuk ≥ atau = untuk difungsikan sebagai variabel basis awal. Penambahan variabel ini terjadi pada tahap inisialisasi. Variabel ini harus bernilai 0 pada solusi optimal karena kenyataanya variabel ini tidak ada. Variabel hanya ada diatas kertas.

8. Kolom pivot (kolom kerja) adalah kolom yang memuat variabel masuk. Koefisien pada kolom ini akan menjadi pembagi nilai kanan untuk menentukan baris pivot (baris kerja).

9. Baris pivot (baris kerja) adalah salah satu baris dari antara variabel basis yang memuat variabel keluar.

10. Elemen pivot (elemen kerja) adalah elemen yang terletak pada perpotongan kolom dan baris pivot. Eleme pivot akan menjadi dasar perhitungan untuk table simpleks berikutnya.

11. Variabel masuk adalah variabel yang terpilih untuk menjadi variabel basis pada iterasi berikutnya. Variabel masuk dipilih

18

satu dari antara variabel non basis pada setiap iterasi. Variabel ini pada iterasi berikutnya akan bernilai positif.

12. Variabel keluar adalah variabel yang keluar dari variabel basis pada iterasi berikutnya dan digantika oleh variabel masuk. Variabel keluar dipilih satu dari antara variabel basis pada setiap iterasi . variabel ini pada iterasi berikutnya akan bernilai nol.

Bentuk Aljabar Metode Simplex

Dengan menggunakan contoh pada kasus perusahaan TAS terdahulu maka model

linier persoalan tersebut dapat dinyatakan sebagai berikut:

Max .Z=3 X 1+2 X 2

Subject ¿

2 X 1+2 X2≤800

2 X 1+3.3 X 2≤1000

1 X 1+0.5 X 2≤300

2 X 1+1.5 X 2≤650

Dengan menyertakan variabel Slack atau surplus maka model tersebut dibuat

19

menjadi bentuk standar berikut:

Max .Z=3 X 1+2 X 2+0S 1+0S2+0S3+0 S 4

Subject to constraint:

2 X 1+2 X2+1 S1=800 ...(1)

2 X 1+3.3 X 2+1S2=1000 ...(2)

1 X 1+0.5 X 2+1S3=300... (3)

2 X 1+1.5 X 2+1S4=650 ...(4)

X 1 , X 2, S1 , S2 , S3 , S4≥0

Properti Aljabar Metode Simplex

Keempat fungsi pembatas tersebut merupakan suatu persamaan sistem dengan enam variabel. Jika suatu sistem persamaan memiliki veriabel yang lebih banyak dibanding dengan jumlah persamaannya maka solusi dari persamaan sistem tersebut adalah infinity. Metode simplex dengan demikian merupakan prosedur aljabar untuk mendapatkan solusi terbaik bagi suatu sistem persamaan. Dalam proses mencari solusi terbaik (best solution), solusi yang tidak memenuhi persyaratan non negatif akan dieliminasi.

Mendapatkan Solusi dasar

20

Oleh karena jumlah variabel dalam persamaan sistem lebih besar dibanding jumlah persamaaannya –-dalam hal ini ada enam variabel untuk empat persamaan-- maka metode simplex memberikan nilai nol untuk dua variabel, dan mencari solusi terbaik bagi empat variabel lainnya dalam sistem persamaan tersebut. Misalkan X2 = 0 dan S1 = 0 sehingga persamaan sistem tersebut menjadi:

2X1 = 800 ... (5)

2X1 + 1S2 = 1000 ... (6)

1X1 + 1S3 = 300 ... (7)

2X1 + 1S4 = 650 ... (8)

Dengan menetapkan nilai nol untuk variabel X2 dan S1 maka persamaan sistem tersebut direduksi menjadi empat persamaan dengan empat variabel (X1,S2,S3,S4).

Dari persamaan (5) diperoleh 2

2X1 = 800

sehingga X1 = 800/2 = 400.

Dari persamaan (6) masukkan nilai x1 = 400 untuk mendapatkan nilai S2 yaitu

2X1 + 1S2 = 1000

21

sehingga S2 = 1000 – (2*400) = 200

Dari persamaan (7) diperoleh

1X1 + 1S3 = 300

sehingga S3 = 300 – 400 = -100

Dari persamaan (8) diperoleh

2X1 + 1S4 = 650

sehingga diperoleh S4 = 650 – (2*400) = -150

Dengan demikian diperoleh solusi dari persamaan sistem dengan enam variabel

dan empat persamaan, yaitu:

X1 = 400

X2 = 0

S1 = 0

S2 = 200

S3 = -100

S4 = -150

Solusi diatas disebut Solusi dasar (Basic Solution). Prosedur umum untuk mendapatkan basic solution adalah dengan membangun bentuk persamaan standar untuk n variabel (termasuk variabel keputusan, slack dan

22

surplus) dan m persamaan pembatas dimana n lebih besar dari m.

B. Metode Pemecahan Dasar (Basis) atau simplek 1

1. Nilai maksimum dari f ( x , y )=6 x+10 y

pada himpunan penyelesaian system pertidaksamaanKendala :

x+ y≤10x+2 y≤10x≥2

a. Menambahkan setiap kendala dengan sebuah variabel tambahan (slack)

x+ y≤10→x+ y+u=10

x+2 y≤10→x+2 y+v=10x≥2→−x ≤−2→−x+w=−2

( x , y , u , v ,w ) b. Menetukan banyaknya variabel basis

dengan cara kombinasi

m= jumlah variabeln= jumlah persamaan

mCn=5C2= 5 !(5−2 )!2 !

= 5 !3 !2!

=5.4 !2!

=5.2=10

¿ syarat=x , y , u , v ,w≥0( positif )Jawab :

1. x= y=0 ,u=10 , v=10 ,w=−2

23

2.

x=u=0 , y=10 ,w=−2,2 y+v=10 , v=103.

x=v=0,2 y=10 , y=5 , y+u=10 ,u=5 ,w=−24. x=w=05.

y=u=0 , x=10 , x+v=10 , v=0 ,−x+w=−2 ,w=86.

y=v=0 , x=10 , x+u=10 , u=0 ,−x+w=−2 ,w=87.

y=w=0 ,−x=−2 , x=2 , x+u=10 , u=8 , x+v=10 , v=88.

u=v=0 , x+ y=10 , x=10 ,−x+w=−2 ,w=2x+ y=10x+2 y=10+¿y=0

9.

u=w=0 ,−x=−2, x=2 , x+ y=10 , y=8 , x+2 y+v=10 , v=810.

v=w=0 ,−x=−2 , x=2, x+2 y=10 , y=4 , x+ y+u=10 , u=2

No Variabel Basis

Variabel Non Basis

Ket Titik z=6 x+10 y

1. u=10 ,v=10 ,w=−2

x= y=0 TL - -

2. y=10 ,w=−2 ,v=10

x=u=0 TL - -

24

3. y=5 ,u=5 ,w=−2

x=v=0 TL - -

4. y=− ,u=−,v=−¿

x=w=0 TL - -

5. x=10 ,v=0 ,w=8

y=u=0 L (10,0) 60

6. x=10 ,u=0 ,w=8

y=v=0 L (10,0) 60

7. x=2 ,u=8 ,v=8

y=w=0 L (2,0) 12

8. y=0 ,x=10 ,w=2

u=v=0 L (10,0) 60

9. x=2 ,y=8 ,v=8

u=w=0 TL - -

10.

x=2 ,y=4 ,u=2

v=w=0 L (0,4) 52

Jadi dari data diatas maka nilai maksimalnya adalah 60 pada titik (0,0)

2. Untuk (x,y) yang memenuhi 4 x+ y≥4,2 x+3 y≥6,dan 4 x+3 y ≤12,maka

25

nilai maksimum untuk f (x , y )=x+ y adalah

…Jawab:

a. Menambahkan setiap kendala dengan variabel slack

−4 x+ y+u=−4−2 x+3+v=−¿6

4 x+3 y+w=12(x , y , u , v ,w)

b. Menentukan banyaknya variabel basis dengan cara kombinasi

mCn=5C2= 5 !(5−2 )!2 !

= 5 !3 !2!

=5.4 !2!

=5.2=10

1. x= y=0 ,u=−4 , v=−6 ,w=122.

x=u=0 ,− y=−4 , y=4 ,−3 y+v=−6 , v=6,3 y+w=12 ,w=03.

x=v=0 ,−3 y=−6 , y=2 ,− y+u=−4 , u=−2,3 y+w=12,w=124.

x=w=0,3 y=12 , y=4 ,− y+u=−4 , u=0 ,−3 y+v=−6 , v=65.

y=u=0 ,−4 x=−4 , x=1 ,−2 x+v=−6 , v=−4,4 x+w=12 ,w=86.

y=v=0 ,−2 x=−6 , x=3 ,−4 x+u=−4 , u=8,4 x+w=12 ,w=07.

y=w=0,4 x=12 , x=3 ,−4 x+u=−4 , u=8 ,−2 x+v=−6 , v=0

8. u=v=0 , y=85, x=3

5,w=24

5

26

9. u=w=0 , y=4 , x=0 , v=610. v=w=0 , x=3 , y=0 , u=8

No Variabel Basis

Variabel Non Basis

Ket Titik z=x+ y

1. u=−4 ,v=−6 ,w=12

x= y=0 TL - -

2. y=4 ,v=6 ,w=0

x=u=0 L (0,4) 4

3. y=2,u=−2 ,w=12

x=v=0 TL - -

4. y=4 ,u=0 ,v=6

x=w=0 TL - -

5. x=1 ,v=−4 ,w=8

y=u=0 TL - -

6. x=3 ,u=8 ,w=0

y=v=0 L (0,3) 3

7. x=3 ,u=8 ,v=0

y=w=0 L (0,3) 3

8.y=8

5,

x=35,

u=v=0 L(35,

85

)115

27

w=245

9. y=4 ,x=0 ,v=6

u=w=0 L (0,4) 4

10.

x=3 ,y=0 ,u=8

v=w=0 L (3,0) 3

Jadi dari data diatas nilai maksimumnya adalah 4 pada titik (0,4)

C. SIMPLEKS DENGAN OPERASI BARISAda beberapa hal yang harus diperhatikan dalam membuat bentuk baku/standar, yaitu: a. fungsi kendala dengan pertidaksamaan ≤

dalam bentuk umum, dirubah menjadi persamaan (=) dengan menambahkan satu variabel slack.

b. Fungsi kendala dengan pertidaksamaan ≥ dalam bentuk umum, dirubah menjadi persamaan (=) dengan mengurangkan satu variabel surplus.

c. Fungsi kendala dengan persamaan dalam bentuk umum, ditambahkan satu artificial variable (variabel buatan).

28

Contoh soal :

1. max f : 4000 x1+3000 x2

syarat :100 x1+200 x2≤9000

400 x1+200 x2≤12000

x1 , x2≥0

Misal s1 dan s2 variabel slack

Sistem persamaan :

100 x1+200 x2≤9000 ⟹

100 x1+200 x2+s1=9000

400 x1+200 x2≤12000 ⟹

400 x1+200 x2+s2=12000

f−4000x1−3000 x2=0

Tabel awal simplex

x1 x2 s1 s2 c¿

100 200 1 0 9000

400 200 0 1 1200

-4000 -3000 0 0 0

Matrix simpleks

100 200 1 0 9000

400 200 0 1 1200

-4000 -3000 0 0 0

Membaca Tabel Optimal

29

Membaca tabel optimal adalah bagian penting bagi pengambil keputusan. Ada beberapa hal dibaca dari tabel optimal :

1. Solusi optimal variabel keputusan2. Status sumber daya3. Harga bayangan (dual/shadow price)

Menggunakan tabel optimal :

Menggunakan tabel optimal :

VB x1 x2 x3 s1 s2 s3NK

Z 0 0 4 0 53

23

313

s10 0 4

31 −1

9−19

79

x20 1 8

30 7

9−29

59

x11 0 -2 0 −2

313

23

Solusi optimal x1 = 23

, x2 = 59

, dan Z = 313

, artinya untuk mendapatkan keuntungan

maksimum sebesar $ 313

, maka perusahaan

sebaiknya menghasilkan produk 1 sebesar 23

unit

dan produk 2 sebesar 59

unit.

Status sumber daya :

30

Sumber daya pertama dilihat dari keberadaan variabel basis awal dari setiap fungsi kendala pada tabel optimal. Dalam kasus di atas, untuk fungsi kendala pertama periksa keberadaan

s1 pada variabel basis tabel optimal. Periksa

keberadaan s2 pada variabel basis tabel optimal

untuk fungsi kendala kedua. Periksa keberadaan s3

pada variabel basis tabel optimal untuk fungsi kendala ketiga.

s1 = 79

. sumber daya ini disebut berlebih.

(abundant)

s2=s3 = 0 . kedua sumber daya ini disebut habis

terpakai (scarce).

Harga bayangan :

Harga bayangan dilihat dari koefisien variabel slack atau surplus pada baris fungsi tujuan.

Koefisien s1 pada baris fungsi tujuan tabel

optimal = 0 , dengan demikian harga bayangan sumber daya pertama adalah 0.


optimal = 53

, dengan demikian harga bayangan

sumber daya pertama adalah 53

.

31


optimal = 23

, dengan demikian harga bayangan

sumber daya pertama adalah 23

.

Perhatikan juga kasus berikut:

Maksimumkan z = 2x1 + 3x2 Terhadap :

10x1 + 5x2 ≤ 600 6x1 + 20x2 ≤ 600 8x1 + 15x2 ≤ 600 x1, x2 ≥ 0

Bentuk di atas juga merupakan bentuk umum. Perubahan kedalam bentuk baku hanya membutuhkan variabel slack, karena semua fungsi kendala menggunakan bentuk pertidaksamaan ≤ dalam bentuk umumnya. Maka bentuk bakunya adalah sebagai berikut:

Maksimumkan z=2 x1+3 x 2+0 s1+0 s2+0 s3

Terhadap :

10 x1+5 x2+s1=600

6 x1+20x2+s2=600

8 x1+15x2+s3=600

x1 x2 s1 s2 s3≥0

s1 s2 s3oleh karenanya merupakan variabel slack.

32

PEMBENTUKAN TABEL SIMPLEKS Gunakan kasus di atas, maka tabel awal simpleksnya adalah :

VB X 1 X 2 S1 S2 S3 solusiz -2 -3 0 0 0 0

S1 10 5 1 0 0 600

S2 6 20 0 1 0 600

S3 8 15 0 0 1 600

LANGKAH-LANGKAH PENYELESAIAN

Langkah-langkah penyelesaian adalah sebagai berikut: 1. Periksa apakah tabel layak atau tidak.

Kelayakan tabel simpleks dilihat dari solusi (nilai kanan). Jika solusi ada yang bernilai negatif, maka tabel tidak layak. Tabel yang tidak layak tidak dapat diteruskan untuk dioptimalkan.

2. Tentukan kolom pivot. Penentuan kolom pivot dilihat dari koefisien fungsi tujuan (nilai di sebelah kanan baris z) dan tergantung dari bentuk tujuan. Jika tujuan berupa maksimisasi, maka kolom pivot adalah kolom dengan koefisien negatif terbesar. Jika tujuan minimisasi, maka kolom pivot adalah kolom dengan koefisien positif terkecil. Perhatikan, kita tidak menggunakan kata-kata nilai terkecil dan terbesar, karena kita memang tidak memilih nilai terkecil dan terbesar. Jika kolom

33

pivot ditandai dan ditarik ke atas, maka kita akan mendapatkan variabel keluar. Jika nilai negatif terbesar (untuk tujuan maksimisasi) atau positif terbesar (untuk tujuan minimisasi) lebih dari satu, pilih salah satu secara sembarang.

3. Tentukan baris pivot. Baris pivot ditentukan setelah membagi nilai solusi dengan nilai kolom pivot yang bersesuaian (nilai yang terletak dalam satu baris). Dalam hal ini, nilai negatif dan 0 pada kolom pivot tidak diperhatikan, artinya tidak ikut menjadi pembagi. Baris pivot adalah baris dengan rasio pembagian terkecil. Perhatikan, rasio pembagian tidak mungkin bernilai negatif, karena nilai kanan tidak negatif demikian juga dengan nilai kolom pivot. Jika baris pivot ditandai dan ditarik ke kiri, maka kita akan mendapatkan variabel keluar. Jika rasio pembagian terkecil lebih dari satu, pilih salah satu secara sembarang.

4. Tentukan elemen pivot. Elemen pivot merupakan nilai yang terletak pada perpotongan kolom dan baris pivot.

5. Bentuk tabel simpleks baru. Tabel simpleks baru dibentuk dengan pertama sekali menghitung nilai baris pivot baru. Baris pivot baru adalah baris pivot lama dibagi dengan elemen pivot. Baris baru lainnya merupakan pengurangan nilai kolom pivot baris yang bersangkutan dikali baris pivot baru dalam satu kolom terhadap baris lamanya yang terletak dalam satu kolom juga.

34

6. Periksa apakah tabel sudah optimal. Keoptimalan tabel dilihat dari koefisien fungsi tujuan (nilai pada baris z) dan tergantung dari bentuk tujuan. Untuk tujuan maksimisasi, tabel sudah optimal jika semua nilai pada baris z sudah positif atau 0. Pada tujuan minimisasi, tabel sudah optimal jika semua nilai pada baris z sudah negatif atau 0. Jika belum, kembali ke langkah no.2, jika sudah optimal baca solusi optimalnya.

Kita selesaikan kasus di atas.VB X1 X2 S1 S2 S3 solusi rasioz -2 -3 0 0 0 0 -

S1 10 5 1 0 0 600 12S2 6 20 0 1 0 600 3S3 8 15 0 0 1 600 4

X2 adalah variabel masuk dan s2 adalah variabel keluar. Elemen pivot adalah 20.

VB X1 X2 S1 S2 S3 solusi Rasioz -11/10 0 0 3/20 0 90 -

S1 8.5 0 1 -1/4 0 450 52.9X2 3/10 1 0 1/20 0 30 100S3 3.5 0 0 -¾ 1 150 42.857

Perhitungan kita lanjutkan ke iterasi 2. Variabel masuk adalah x1 dan variabel keluar adalah s3

35

VD X1 X2 S1 S2 S3 Solusiz 0 0 0 9/70 1/35 94.2857

S1 0 0 1 11/7 -17/7 85.7155X2 0 1 0 8/70 -3/35 17.1329X1 1 0 0 -3/14 2/7 42.857

Tabel sudah optimal, sehingga perhitungan iterasi dihentikan! Membaca tabel optimal adalah bagian penting bagi pengambil keputusan. Ada beberapa hal yang bisa dibaca dari tabel optimal :

1. Solusi optimal variabel keputusan. 2. Status sumber daya. 3. Harga bayangan (dual/shadow prices).

Menggunakan tabel optimal di atas:

VD X1 X2 S1 S2 S3 solusiz 0 0 0 9/70 1/35 94.2857

S1 0 0 1 11/7 -17/7 85.7155X2 0 1 0 8/70 -3/35 17.1329X1 1 0 0 -3/14 2/7 42.857

Solusi optimal : x1 = 42.857; x2 = 17.1329 dan z = 94.2857, artinya untuk mendapatkan keuntungan maksimum sebesar $94.2857, maka perusahaan sebaiknya memproduksi produk 1 sebesar 42.857 unit dan produk sebesar 17.1329 unit. Status sumber daya : sumber daya pertama dilihat dari keberadaan variabel basis awal dari setiap fungsi kendala pada tabel optimal. Dalam kasus di atas, fungsi kendala pertama periksa keberadaan

36

s1 pada variabel basis tabel optimal; periksa keberadaan s2 pada variabel basis tabel optimal untuk fungsi kendala kedua; periksa keberadaan s3 pada variabel basis tabel optimal untuk fungsi kendala ketiga.

s1 = 85.7155. Sumber daya ini disebut berlebih (abundant)

s2 = s3 = 0. Kedua sumber daya ini disebut habis terpakai (scarce).

Harga bayangan : harga bayangan dilihat dari koefisien variabel slack atau surplus pada baris fungsi tujuan. koefisien s1 pada baris fungsi tujuan tabel

optimal = 0, dengan demikian harga bayangan sumber daya pertama adalah 0.

Koefisien s2 pada baris fungsi tujuan tabel optimal = 9/70, dengan demikian harga bayangan sumber daya kedua adalah 9/70.

Koefisien s3 pada baris fungsi tujuan tabel optimal = 1/35, dengan demikian harga bayangan sumber daya ketiga adalah 1/5.

D. Simplex Fase 1

Solusi dasar mungkin saja fisibel atau infisibel. Sebuah solusi dasar fisibel akan memenuhi persyaratan tidak negatif. Solusi dasar yang diperoleh diatas dengan menetapkan X2 dan S1 sebagai variabel bukan basis dan bernilai sama dengan nol telah mendapatkan solusi untuk nilai

37

X1,S2,S3,S4 bukan sebagai solusi dasar fisibel karena nilai S3 = -100 dan S4 = -150. Oleh karena itu pemilihan variabel bukan basis perlu diubah.

Jadi jika variabel yang dipilih sebagai variabel bukan basis adalah X1 dan X2 dan bernilai nol maka solusi basis yang diperoleh adalah fisibel, yaitu:

S1 = 800

S2 = 1000

S3 = 300

S4 = 650

dengan variabel bukan basis X1 = 0 dan X2 = 0.

Prosedur penyelesaian program linear dengan Metode Simplex

1. Formulasikan persoalan menjadi model linear2. Transformasikan model tersebut kedalam

bentuk standar dengan menambahan variabel slack atau mengurangi dengan variable surplus

3. Buatlah tableau form

Menyusun Tabel Simplex Awal (Initial Simplex Tableau)

Setelah melakukan konversi program linier kedalam tabel simplex maka tahap

38

pertama adalah membangun tabel simplex awal (initial simplex tableau). Pada tahap ini termasuk pemberian notasi bagi semua koefisien yaitu:

cj = koefisien fungsi tujuan untuk variabel j

bi = koefisien sisi kanan (RHS) untuk constraint ke i

aij = koefisien yang berasosiasi dengan variabel j pada constraint i

E. Simpleks Fase 2

Langkah-langkah :

1. Sistem pertidaksamaan 1 dan seterusnya dibuat sama seperti simpleks dengan 1 fase.

2. Nilai Z diminimumkan (dikalikan dengan -).3. Z pindah ruas menjadi bernilai + .4. Selanjutnya sama seperti pada simpleks dengan

1 fase. Namun pembedanya adalah yang mempunyai nilai hanya variabel M dan Z. Variabel yang mengandung nilai M bernilai = -1 dan Z = 1 selebihnya bernilai 0 .

5. Cari nilai pada sistem pertidaksamaan yang membentuk identitas dan pada posisi 1 di sebelah kiri (pengali) di letakkan nilai x. Lalu setelah 2 variabel dikali dan di jumlahkan, dikurng nilai x di atasnya.

6. Selanjutnya sama seperti pada simpleks 2 dan 1 fase himgga berakhir pada nilai baris terakhir yang bernilai positif.

39

7. Hilangkan kolom yang mengandung nilai M pada Z lalu letakkan nilai keseluruhan Z pada atas baris (nilai x).

8. Lalu seperti cara no.5 hingga nilai baris terakhir bernilai positif.

9. Dan itulah nilai Z (jangan lupa nilai Z adalah -Z).

Contoh Soal :

Minimmumkan : Z=8 x+6 y

Kendala : 4 x+2 y ≥60 ,2 x+4 y≥48dan x , y ≥=0

Penyelesaian :

4 x+2 y ≥60 ↔ 4 x+2 y− x3+x4=60

2 x+4 y ≥48 ↔ 2 x+4 y− x5+x6=48

Z = 8 x+6 y ↔ z−8 x−6 y−M x4−M x6=0

Cj 0 0 0 -1 0 -1HB

VB CB X Y X3 X4 X5 X6

X4 -1 4 2 -1 1 0 0 60X6 -1 2 4 1 0 1 0 48

Zi - Cj -6 -6 1 0 1 0 -108Transformasi baris kunci (X6)

2 4 0 0 -1 1 48 (÷4)

40

12

1 0 0−14

14

12

Transformasi baris X4

4− (2 ) 12=3

2− (2 )1=0

−1− (2 )0=−1

1− (2 )0=1

0−(2 ) −14

=12

0−(2 ) 14=−1

2

60−(2 )12=36

Cj 0 0 0 -1 0 -1HB

VB CB X Y X3 X4 X5 X6

X4 -1 3 0 -1 1 12

−12

36

Y 0 12

1 0 0 −14

0 12

Zi - Cj

-3 0 1 0 −12

32

-36

41

Transformasi baris kunci (X4)

3 0 -1 112

−12

36

(÷3)

1 0−13

13

16

16

12

Transformasi baris Y

12−( 1

2 )1=0

1−( 12 )0=1

0−( 12 )−1

3=1

6

0−( 12 ) 1

3=−1

6

−14

−( 12 ) 1

6=−1

3

14−( 1

2 ) 16=1

6

42

12−( 12 )12=6

Cj 0 0 0 -1 0 -1 HBVB CB X Y X3 X4 X5 X6

X 0 1 0 −13

13

16

16

12

Y 0 0 1 16

−16

−13

16

6

Maka X = 12 ; Y = 6

Jadi Z = 8x + 6y

= 8(12) + 6(6)

= 96 + 36

= 132

F. Metode M. Charness

Minimumkan Z = 3x – 2y

Kendala : x + y ≥2

2x + y ≥3

x,y ≥0

Penyelesaian :

Masalah PL menjadi z = 3 x+2 y+0α+0b

Menggunakan prosedur memaksimalkan :

43

MinZ=−Maks(−Z )

Zmin=−3 x−2 y Pada kendala kurangi variable surplus dan

tambahkan variabel slack

x+ y – a+c=22 x+ y – b+d=3

a,b = variabel surplusc, d = variabel slack Pada fungsi tujuan kurangi dengan M dikali

kan variabel slack, sehingga

Zmin=−3 x−2 y−Mc– Md

Cj -3 -2 0 0 -M -MHB

VBCB X y a B c d

c-M 1 1

-

10 1 0 2 r =2/1=2

d -M 2 1 0 -1 0 1 3 r =3/2

Zj-Cj

3 2 0 0 0 0 0konstant

a

-3 -2 1 1 0 0 -5 Nilai M

Keterangan : r = rasio

44

Mencari nilai Zj – Cj

(−M .1 )+ (−M .2 )− (−3 )=−3 M+3

(−M .1 )+ (−M .1 )− (−2 )=−2 M+2

(−M .−1 )+(−M .0 )−0=M

(−M .0 )+(−M .−1 )−0=M

(−M .1 )+ (−M .0 )−M=0

(−M .0 )+(−M .1 )−0=0

(−M .2 )+ (−M .3 )−0=−5 M

Cari unsur kunci, dengan mencari baris kunci dan kolom kunci didapat unsur kunci 2

Transformasi baris kunci

2/2 1/2 0/2 -1/2 0/2 1/2 3/21 1/2 0 -1/2 0 1/2 3/2

Transformasi baris lain Baris c

1− (1 ) (1 )=0

1− (1 ) (1/2 )=1 /2−1− (1 ) (0 )=−1

45

Note : Banyaknya VB tergantung banyak variabel slack, nilai CB mengikuti nilai variabel slack

0−(1 ) (−1 /2 )=1/21− (1 ) (0 )=1

0−(1 ) (1 /2 )=−1/22− (1 ) (3/2 )=1/2

Cj -3 -2 0 0 -M -MHB

VB CB x y A B c d

c -M 0 1/2 -1 1/2 1 -1/2 1/2

x -3 1 1/2 0 -1/2 0 1/2 3/2

Zj-Cj

0 1/2 0 3/2 0 -3/2 -9/2

0 -1/2 1 -1/2 0 3/2 -1/2


(−M .0 )+(−3.−1 )−(−3 )=0

(−M .1/2 )+ (−3.1/2 )−(−2 )= −12 M

+1/2

(−M .−1 )+(3.0 )−0=M

(−M .1/2 )+ (−3.−1/2 )− (−M )= −12 M

+ 32

(−M .1 )+ (3.0 )−(−M )=0

(−M .−12 )+(−3.1

2 )−(−M )= 32 M

−32

(−M .1/2 )+ (−3.3/2 )−0= 12M

−92

46

Cari baris kunci dan kolom kunci. Unsur kunci = 1/2


012

1212

−112

1212

112

−1212

1212

0 1 -2 1 2 -1 1

Transformasi baris lain Baris x

1− (1 /2 ) (0 )=1

1/2− (1 /2 ) (1 )=0

0−(1/2 ) (−2 )=1

−12

−( 12 ) (1 )=−1

0−(1/2 ) (2 )=−1

1/2− (1 /2 ) (−1 )=1

3/2−(1/2 ) (1 )=1

Cj -3 -2 0 0 -M -MHB

VB CB X y a B c dY -2 0 1 -2 1 2 -1 1X -3 1 0 1 -1 -1 1 1

47

Note : yang paling negatif ada 2 yaitu -1/2 dan -1/2. Lihat nilai Zj-Cj diatasnyac 1/2 < 3/2, maka ambil nilai -1/2 yang pertama

Zj-Cj0 0 1 1 -1 -1 -5

0 0 0 0 1 -1 0

Karena koefisien-kefisien variabel adasar sudah tidak ada lagi yang negatif, berarti optimalisasi sudah dicapai pada tahap penyelesaian pada tahap ini. Tabel terakhir merupakan tabel optimal.

Contoh soal

Syarat : 3x1 + x2 ≤ 3

Kendala : 4x1 + 3x2 ≥ 6

x1 + 2x2 ≤ 3

x1,x2 ≤ 0

48

∴ kesimpulan

−Z=−5

Z¿5

x =1

y = 1

Jawab :

-zmin = - maks (-z)

−z min=−4 x1 – x 2 Kendala 1 dan 3 hanya ditambahkan

variabel slack, karena “≤” sedangkan kendala 2 dikurangi variabel surplus dan ditambahkan variabel slack. Sehingga :

3 x1+x 2+a=34 x1+3 x2 – b+c=6

x1+2 x 2+d=3 Pada fungsi tujuan kurangi M dikali kan

variabel slack- Zmin = - 4x1 – x2 – Ma – Mc – Md

Substitusikan ke dalam tabel

Cj -4 -1 -M 0 -M -M HB

VB CB x1 x2 a b C d

a -M 3 1 1 0 0 0 3 r = 1

c -M 4 3 0 -1 1 0 6 r=6/4=3/2

D -M 1 2 0 0 0 1 3 r=3

Zj – Cj 4 1 0 0 0 0 0

-8 -6 0 1 0 0 -12


−3 M−3 M−2 M+4=−8 M+4−M−3 M−2 M+1=−6 M+1

49

−M−0−0+M=00+M−0+0=M0−M−0+M=00−0−M+M=0−3 M−6 M−3 M−0=−12 M


3/3 1/3 1/3 0/3 0/3 0/3 3/31 1/3 1/3 0 0 0 1

Transformasi baris yang lain Baris c

4− (4 )1=0

3−(4 )1/3=5/30−(4 )1 /3=−4 /3−1− (4 )0=1

1− (4 )0=−1

0−(4 ) 0=0

6−(4 )1=2

Baris d

1− (1 )1=0

2− (1 )1/3=5/30−(1 )1 /3=−1/30−(1 ) 0=0

0−(1 ) 0=0

1− (1 )0=1

50

3−(1 )1=2

Cj -4 -1 -M 0 -M -M HB

VB CB x1 x2 a B c d

x1 -4 1 1/3 1/3 0 0 0 1

c -M 0 5/3 -4/3 1 -1 0 2

d -M 0 5/3 1/3 0 0 1 2

Zj - Cj 0 1/3 -4/3 0 0 0 -4

0 -10/3 8/3 1 0 0 -4


053

5353

−1353

053

053

153

253

0 1 -1/5 0 0 3/5 6/5

Transformasi baris lain

Transformasi baris x1

1− (1 /3 )0=1

51

1/3− (1/3 )1=1

1/3−( 13 )−1/3=6 /15

0−(1/3 ) 0=0

0−(1/3 ) 0=0

0−( 13 )3/5=−1/3

1−( 13 )6/5=3/5

Transformasi baris b

0−(5/3 ) 0=0

5/3−(5/3 ) 1=0

−43

−( 53 )−1

5=−1

−1−( 53 )0=1

1−( 53 )0=−1

0−( 53 )3

5=−1

0−(5/3 ) 0=0

2−( 53 )6/5=0

Mencari nilai Zj-Cj

52

−4−0−0+4=00−0−1+1=0−2415

−M+5+M=51 /15

0−M−0+0=M0−M−0+M=043+M−3

5+M=11

5

−125

−0−65=−18 /5

Cj -4 -1 -M 0 -M -MHB

VB CB x1 x2 a B C dx1 -1 1 0 6/15 0 0 -1/3 3/5c -M 0 0 -1 -1 1 -1 0x2 -1 0 1 -5 0 0 3/5 6/5

Zj - Cj0 0 51/15 0 0 11/19 -18/50 0 0 1 0 2 0

Kesimpulan :

Zmin = −18

5 ,X1 = 3/5 , X2 = 6/5

G. Metode Simplex 2 FaseLangkah-langkah :1. Sistem pertidaksamaan 1 dan seterusnya

dibuat sama seperti simplek dengan fase 1.2. Nilai z minimumkan (dikalikan sengan -).3. Z pindah ruas menjadi nilai +.

53

4. Selanjutnya sama seperti pada simplek dengan 1 fase, namun perbedaannya adalah yang mempunyai nilai hanya variabel M dan Z. Variabel yang mengandung nilai M bernilai = -1 dan z = 1 selebihnya bernilai 0.

5. Cari nilai pada sistem pertidaksamaan yang membentuk identitas dan pada posisi 1 disebelah kiri (pengali) di letakkan nilai x. Lalu setelah 2 variabel dikali dan dijumlahkan, dikurang nilai x diatasnya.

6. Selanjutnya sama seperti pada simplek 2 dengan 1 fase hingga berakhir pada nilai baris terakhir yang bernilai positif.

7. Hilangkan kolom yang mengandung nilai M pada Z lalu letakkan nilai keseluruhan z pada atas baris ( nilai x ).

8. Lalu seperti cara pada no. 5 hingga nilai baris terakhir bernilai positif.

9. Dan itulah nilai z (jangan lupa nilai z adalah –z).

Contoh soal :

Zmin=30 x1+40 x2

Syarat ¿ x1+ x2≥40

x1+2x2≥60

x1 , x2≥0

Jawab :

54

Misal : x3 , x4=variabel surplus

x5 , x6=variabel slack

x1+ x2−x3+x5=40

x1+2x2−x4+x6=60

z=0 x1+0 x2+0 x3+0 x4−x5−x6

CJ 0 0 0 0 -1 -1

VB CB x1 x2 x3 x4 x5 x6HB

x5-1 1 1 -1 0 1 0 40

x6-1 1 2 0 -1 0 1 30

ZJ-CJ -2 -3 1 1 0 1 -100

Fase 1

Transformasi baris x2 sebagai baris kunci ;

1 :2=12

2 :2=1

0 :2=0

−1 :2=−12

55

0 :2=0

1 :2=12

60 :2=30


1− (1 ) . 12=1

2

1− (1 ) .1=0

−1− (1 ) .0=−1

0−(1 ) .−12=1

2

1− (1 ) .0=1

0−(1 ) . 12=−1

2

40−(1 ) .30=10

CJ 0 0 0 0 -1 -1

VB CB x1 x2 x3 x4 x5 x6 HB

x5 -112 0 -1

12 1

−12

10 /12

=

20

56

x2 012

1 0−12

012

30/12

= 60

ZJ-CJ−12

0 1−12

032

-10

Transformasi baris x1 sebagai kolom kunci

12

:12=1

0 :12=0

−1 :12=−2

12

:12=1

1 :12=2

−12

:12=−1

10 :12=20


57

12−( 1

2 ) .1=0

1−( 12 ) .0=1

0−( 12 ) .−2=1

−12

−( 12 ) .1=−1

0−( 12 ) .2=−1

12−( 1

2 ) .−1=1

30−( 12 ) .20=20

CJ 0 0 0 0 -1 -1HBVB CB x1 x2 x3 x4 x5 x6

x50 1 0 -2 1 2 -2 20

x20 0 1 1 -1 -1 1 20

ZJ−CJ 0 0 0 0 1 1 0

Fase 2

58

CJ 30 -40 0 0

VB CB x1 x2 x3 x4HB

x1-30 1 0 -2 1 20

x2-40 0 1 1 -1 20

ZJ-CJ 0 0 20 10 -1400

Zmin=− (Z )

¿−(−1400)

¿1400

Catatan :

Fase 1 berakhir pada kondisi Z¿=0, maka simpulkan untuk meneruskan ke fase 2 dengan memperhatikan 3 kemungkinan berikut :

1. Z¿ maks < 0 dimana satu atau lebih variabel slack berada dalam basis pada tingkat nilai yang positif. Masalah Program Linier yang asli tidak mempunyai penyelesaian layak (fisibel)

2. Z¿ maks = 0, dengan kenyataan tidak ada variabel slack terletak dalam basis ini berarti telah diperoleh penyelesaian layak dasar (fisibel basis) dari persoalan Program Linier yang asli.

59

3. Z¿ maks =0, dengan kenyataan satu/lebih variabel slack terletak dalam basis pada tingkat nol (degenerasi). Kenyataan ini juga menunjukkan bahwa telat diperoleh penyelesaian layak dasar (fisibel basis) dari masalah Program Linier yang asli.

Persyaratan untuk memulai fase 2 :

Perhitungan fase 2 merupakan lanjutan fase 1, apabila akhir fase 1 menunjukkan kemungkinan (2 dan 3) Tabel fase 2 adalah akhir fase 1 dengan modivikasi sebagai berikut :

a. Koefisien hanya fungsi tujuan adalah koefisien fungsi tujuan yang asli, atau nilai koefisien variabel pokok pada fase 1 yaitu nol harus di ganti dengan koefisien asli.

b. Elemen pada baris Zj-Cj di hitung kembali.

Soal latihan!

1. MinZ=14 x1+18 x2

Dengan syarat : x1+ x2≤25

5 x1+6 x2≥140

x1 , x2≥0

Jawab,

Misal :x3=variabel slurplus

60

x4 , x5=variabel s lack

Jadi,

x1+ x2+x4=25

5 x1+6 x2−x3+x5=140

Z=0 x1+0x2+0 x3−x4− x5

Transformasi baris x5 sebagai baris kunci

5 :6=56

6 :6=1

−1 :6=−16

61

CJ 0 0 0 -1 -1HBVB CB x1 x2 x3 x4 x5

x4-1 1 1 0 1 0 25:

1=25x5

-1 5 6 -1 0 1 140:6=703

ZJ-CJ -6 -7 1 0 0 -165

0 :6=0

1 :6=16

140 :6=703


1− (1 ) . 56=1

6

1− (1 ) .1=0

0−(1 ) .−16=1

6

1− (1 ) .0=1

0−(1 ) . 16=−1

6

25−(1 ) . 703

=53

CJ 0 0 0 -1 -1HBVB CB x1 x2 x3 x4 x5

x4-1 1

60 1

61 −1

653

: 16

= 10

x20 5

61 −1

60 1

6703

:

62

−16

=−140

ZJ-CJ−16

0 −16

0 76

−53

Transformasi baris x4 sebagai baris kunci

16

:16=1

0 :16=0

16

:16=1

1 :16=6

−16

:16=−1

53

:16=10


56−( 5

6 ).1=0

63

1−( 56 ) .0=1

−16

−( 56 ).1=−1

0−( 56 ).6=−5

16−( 5

6 ) .−1=1

703

−( 56 ).10=15

CJ 0 0 0 -1 -1HBVB CB x1 x2 x3 x4 x5

x10 1 0 1 6 -1 10

x20 0 1 -1 -5 1 15

ZJ-CJ 0 0 0 1 1 0

x1=10

x2=15

Zmin=14 (10 )+18 (15 )

¿410

Fase 2

64

CJ 0 0 0HBVB CB x1 x2 x3

x1-14 1 0 1 10

x2-18 0 1 -1 15

ZJ-CJ 0 0 4 -410

BAB IV

65

PRIMAL DAN DUAL

Untuk memperoleh gambaran yang jelas tentang masalah “PRIMAL” dan “DUAL”, kita definisikan masalah-masalah berikut sebagai masalah primal dan dual nya masing-masing.

(*) Masalah maksimum :

Maksimumkan: f=c1 x1+c2 x2+. . .. .. .. . ..+cm xm

Syarat:

a11x1+a12 x2+a13 x3+.. . .. .. . ..+a1m xm≤b1

a21 x1+a22 x2+a23 x3+. . .. .. . .. .+a2m xm≤b2

a31 x1+a32 x2+a33 x3+. .. . .. .. . .+a3m xm≤b3

. .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .

. .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .

. .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .ak1 x1+ak 2 x2+ak3 x3+. . .. .. . .. .+akm xm≤bk

xi ≥ 0, i = 1, 2, .........., m

(**) Masalah minimum :

Minimumkan: g=b1 y1+b2 y2+. . .. .. .. . ..+bk yk

Syarat:

66

a11 y1+a21 y2+a31 y3+ .. .. . .. .. .+ak1 yk≥c1

a12 y1+a22 y2+a32 y3+. .. .. . .. ..+ak 2 yk≥c2

a13 y1+a23 y2+a33 y3+. . .. .. . .. .+ak3 yk≥c3

. .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .

. .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .

. .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .a1m y1+a2m y2+a3m y3+. .. . .. .. . .+akm yk≥cm

yi ≥ 0, i = 1, 2, .........., k

Masalah (*) dan (**) saling berperan sebagai primal dan dualnya. Akan kita tulis kembali koefisien dari sekelompok persamaan (*) dan (**) dalam bentuk matriks, dengan koefisien dari fungsi obyektif sebagai baris paling bawah.

(*) Masalah Maksimum

a11 a12 a13 . . . . . . . . . a1m b1

a21 a22 a23 . . . . . . . . . a2m b2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ak1 ak2 ak3 . . . . . . . . . akm bk

c1 c2 c3 . . . . . . . . . . ck *

(**) Masalah Minimum

67

a11 a21 a31 . . . . . . . . . ak1 c1

a12 a22 a32 . . . . . . . . . ak2 c2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a1m a2m a3m . . . . . . . . akm cm

b1 b2 b3 . . . . . . . . . . bk *

Dalam setiap kasus, koefisien dari matriks DUAL dapat ditentukan sebagai transpose dari koefisien matriks PRIMALnya.

PRIMAL DAN DUAL

Berkaitan dengan setiap masalah program linear selalu ada dualnya. Arti dari DUAL akan menjadi lebih jelas setelah Anda mempelajari masalah vitamin yang telah dibahas di muka. Untuk lengkapnya kita tuliskan kembali data masalah tersebut.

Vitamin Makanan Keperluan

68

sehari-hariF1 F2

A 2 4 40

B 3 2 50

Harga Makanan/Unit 3 2,5

Marilah kita pertimbangkan makanan F1 dan F2 yang dijual disebuah toko. Pemilik toko menyadari bahwa makanan F1 dan F2 memiliki nilai jual karena mengandung vitamin A dan B yang diperlukan untuk kesehatan.

Masalah yang ia hadapi adalah menentukan harga jual, misal x sen dolar per unit vitamin A dan y sen dolar per unit vitamin B. Ia menyadari bahwa harga per unit vitaminnya harus diatur sedemikian rupa sehingga harga jual yang ditetapkannya untuk kedua jenis makanan kurang dari atau sama dengan harga pasaraan.

Dengan perkataan lain terhadap x dan y harus ditentukan harga, sehingga biaya yang dihitung untuk makanan F1 dan F2 kurang dari atau sama dengan 3 sen dan 2,5 sen dolar perunit, masing-masing. Kalau pemilik toko menentukan harga di atas harga 3 dan 2,5 sen dolar, ia akan kehilangan pelanggan.

Pada saat yang sama, ia ingin memaksimumkan penghasilannya, yang diberikan oleh f = 40 x + 50

69

y, karena keperluan vitamin sehari-harinya adalah 40 unit dan 50 unit untuk masing-masing vitamin.

Masalah yang dihadapi oleh pemilik toko dapat dirangkum sebagai berikut :

(**) Maksimumkan : f=40x+50 y

Syarat :2 x+3 y≤3

4 x+2 y ≤2,5

dan x≥0 , y ≥0

Sekelompok pertidaksamaan (**) ini merupakan DUAL dari masalah aslinya. Untuk mengenalinya, masalah aslinya disebut PRIMAL. Jika (**) kita sebut PRIMAL, maka masalah asli disebut DUAL nya, dan sebaliknya.

Kesimpulan yang perlu diperhatikan ialah bahwa setiap masalah program linear memiliki DUAL yang unik (hanya satu-satunya). Masalah (**) dengan mudah dapat diselesaikan dengan Metode SimpleksI.

70

Selama dalam barisan penilaian masih terdapat nilai yang positif, berarti program belum optimal, dan masih memerlukan perbaikan.

Program 3 ini sudah optimal karena Baris penilaian tidak memiliki nilai positif lagi. Pemilik toko harus

71

menetapkan harga

316 sen dolar untuk vitamin A

dan

78 sen dolar untuk vitamin B perunitnya. Nilai

dari fungsi obyektif adalah :

f = 40 (

316 ) + 50 (

78 ) = 51,25 sen dolar

yang memang persis sama dengan jawaban yang diperoleh pada masalah mencari nilai minimum dengan membeli makanan F1 dan F2.

MEMBANDINGKAN TABEL PRIMAL DAN DUAL NYA

Sekarang kita perhatikan tabel optimal dari masalah primal yang melibatkan pembelian makanan F1 dan F2 (tabel*), kemudian tabel optimal dari dual nya (tabel **). Tabel dari dua tabel optimal tersebut akan memberikan nilai yang sama.

72

73

DAFTAR PUSTAKA

Hasan, Iqbal. 2004. Pokok-pokok Materi Teori Pengambilan Keputusan. Bogor: Ghalia Indonesia

Sri Mulyono, Riset Operasi, Jakarta: Lembaga Penerbit Fakultas Ekonomi UI, 2002

Supranto, J. 2005. Teknik Pengambilan Keputusan. Edisi Revisi. Jakarta: Rineka Cipta

Taha, Hamdy A., Riset Operasi – Jilid 1, Jakarta: Binarupa Aksara, 1996

http://fairuzelsaid.wordpress.com/2009/11/24/data-mining-konsep-pohon-keputusan/

http://duljimbonpdq.blogspot.com/2010/09/formulasi-model-pemrograman-linier.html

hendri.staff.gunadarma.ac.id

74

Documents

Buku prolin