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BY: Grupo CDPYE-UGR

Media y varianza de la distribucion de Poisson

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Media y varianza de la distribucion de Poisson

X ∼ P(λ) ⇒ E[X] = Var[X] = λ

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Media y varianza de la distribucion de Poisson

X ∼ P(λ) ⇒ E[X] = Var[X] = λ

Calculo directo

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Media y varianza de la distribucion de Poisson

X ∼ P(λ) ⇒ E[X] = Var[X] = λ

Calculo directo

En primer lugar, obtenemos la expresion de E[X].

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Media y varianza de la distribucion de Poisson

X ∼ P(λ) ⇒ E[X] = Var[X] = λ

Calculo directo

En primer lugar, obtenemos la expresion de E[X].

E[X] =+∞∑x=0

xe−λλx

x!=

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Media y varianza de la distribucion de Poisson

X ∼ P(λ) ⇒ E[X] = Var[X] = λ

Calculo directo

En primer lugar, obtenemos la expresion de E[X].

E[X] =+∞∑x=0

xe−λλx

x!= λ

+∞∑x=1

e−λλx−1

(x− 1)!=

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Media y varianza de la distribucion de Poisson

X ∼ P(λ) ⇒ E[X] = Var[X] = λ

Calculo directo

En primer lugar, obtenemos la expresion de E[X].

E[X] =+∞∑x=0

xe−λλx

x!= λ

+∞∑x=1

e−λλx−1

(x− 1)!= [y = x− 1] =

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Media y varianza de la distribucion de Poisson

X ∼ P(λ) ⇒ E[X] = Var[X] = λ

Calculo directo

En primer lugar, obtenemos la expresion de E[X].

E[X] =+∞∑x=0

xe−λλx

x!= λ

+∞∑x=1

e−λλx−1

(x− 1)!= [y = x− 1] =λ

+∞∑y=0

e−λλy

y!=

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Media y varianza de la distribucion de Poisson

X ∼ P(λ) ⇒ E[X] = Var[X] = λ

Calculo directo

En primer lugar, obtenemos la expresion de E[X].

E[X] =+∞∑x=0

xe−λλx

x!= λ

+∞∑x=1

e−λλx−1

(x− 1)!= [y = x− 1] =λ

+∞∑y=0

e−λλy

y!=λ,

donde la ultima igualdad se obtiene teniendo en cuenta que e−λλy

y!, y = 0, 1, . . . , es la funcion masa de probabilidad

de una variable P(λ), por lo que la suma de esos valores es la unidad.

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Media y varianza de la distribucion de Poisson

X ∼ P(λ) ⇒ E[X] = Var[X] = λ

Calculo directo

En primer lugar, obtenemos la expresion de E[X].

E[X] =+∞∑x=0

xe−λλx

x!= λ

+∞∑x=1

e−λλx−1

(x− 1)!= [y = x− 1] =λ

+∞∑y=0

e−λλy

y!=λ,

donde la ultima igualdad se obtiene teniendo en cuenta que e−λλy

y!, y = 0, 1, . . . , es la funcion masa de probabilidad

de una variable P(λ), por lo que la suma de esos valores es la unidad.

Vamos a obtener ahora la expresion de V ar[X], y como V ar[X] = E[X2]− (E[X])2 y E[X2] = E[X(X− 1)] +E[X],calculamos en primer lugar E[X(X − 1)].

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Media y varianza de la distribucion de Poisson

X ∼ P(λ) ⇒ E[X] = Var[X] = λ

Calculo directo

En primer lugar, obtenemos la expresion de E[X].

E[X] =+∞∑x=0

xe−λλx

x!= λ

+∞∑x=1

e−λλx−1

(x− 1)!= [y = x− 1] =λ

+∞∑y=0

e−λλy

y!=λ,

donde la ultima igualdad se obtiene teniendo en cuenta que e−λλy

y!, y = 0, 1, . . . , es la funcion masa de probabilidad

de una variable P(λ), por lo que la suma de esos valores es la unidad.

Vamos a obtener ahora la expresion de V ar[X], y como V ar[X] = E[X2]− (E[X])2 y E[X2] = E[X(X− 1)] +E[X],calculamos en primer lugar E[X(X − 1)].

E[X(X − 1)] =+∞∑x=0

x(x− 1)e−λλx

x!=

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Media y varianza de la distribucion de Poisson

X ∼ P(λ) ⇒ E[X] = Var[X] = λ

Calculo directo

En primer lugar, obtenemos la expresion de E[X].

E[X] =+∞∑x=0

xe−λλx

x!= λ

+∞∑x=1

e−λλx−1

(x− 1)!= [y = x− 1] =λ

+∞∑y=0

e−λλy

y!=λ,

donde la ultima igualdad se obtiene teniendo en cuenta que e−λλy

y!, y = 0, 1, . . . , es la funcion masa de probabilidad

de una variable P(λ), por lo que la suma de esos valores es la unidad.

Vamos a obtener ahora la expresion de V ar[X], y como V ar[X] = E[X2]− (E[X])2 y E[X2] = E[X(X− 1)] +E[X],calculamos en primer lugar E[X(X − 1)].

E[X(X − 1)] =+∞∑x=0

x(x− 1)e−λλx

x!= λ2

+∞∑x=2

e−λλx−2

(x− 2)!=

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Media y varianza de la distribucion de Poisson

X ∼ P(λ) ⇒ E[X] = Var[X] = λ

Calculo directo

En primer lugar, obtenemos la expresion de E[X].

E[X] =+∞∑x=0

xe−λλx

x!= λ

+∞∑x=1

e−λλx−1

(x− 1)!= [y = x− 1] =λ

+∞∑y=0

e−λλy

y!=λ,

donde la ultima igualdad se obtiene teniendo en cuenta que e−λλy

y!, y = 0, 1, . . . , es la funcion masa de probabilidad

de una variable P(λ), por lo que la suma de esos valores es la unidad.

Vamos a obtener ahora la expresion de V ar[X], y como V ar[X] = E[X2]− (E[X])2 y E[X2] = E[X(X− 1)] +E[X],calculamos en primer lugar E[X(X − 1)].

E[X(X − 1)] =+∞∑x=0

x(x− 1)e−λλx

x!= λ2

+∞∑x=2

e−λλx−2

(x− 2)!= [y = x− 2] =

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Media y varianza de la distribucion de Poisson

X ∼ P(λ) ⇒ E[X] = Var[X] = λ

Calculo directo

En primer lugar, obtenemos la expresion de E[X].

E[X] =+∞∑x=0

xe−λλx

x!= λ

+∞∑x=1

e−λλx−1

(x− 1)!= [y = x− 1] =λ

+∞∑y=0

e−λλy

y!=λ,

donde la ultima igualdad se obtiene teniendo en cuenta que e−λλy

y!, y = 0, 1, . . . , es la funcion masa de probabilidad

de una variable P(λ), por lo que la suma de esos valores es la unidad.

Vamos a obtener ahora la expresion de V ar[X], y como V ar[X] = E[X2]− (E[X])2 y E[X2] = E[X(X− 1)] +E[X],calculamos en primer lugar E[X(X − 1)].

E[X(X − 1)] =+∞∑x=0

x(x− 1)e−λλx

x!= λ2

+∞∑x=2

e−λλx−2

(x− 2)!= [y = x− 2] =λ2

+∞∑y=0

e−λλy

y!=

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Media y varianza de la distribucion de Poisson

X ∼ P(λ) ⇒ E[X] = Var[X] = λ

Calculo directo

En primer lugar, obtenemos la expresion de E[X].

E[X] =+∞∑x=0

xe−λλx

x!= λ

+∞∑x=1

e−λλx−1

(x− 1)!= [y = x− 1] =λ

+∞∑y=0

e−λλy

y!=λ,

donde la ultima igualdad se obtiene teniendo en cuenta que e−λλy

y!, y = 0, 1, . . . , es la funcion masa de probabilidad

de una variable P(λ), por lo que la suma de esos valores es la unidad.

Vamos a obtener ahora la expresion de V ar[X], y como V ar[X] = E[X2]− (E[X])2 y E[X2] = E[X(X− 1)] +E[X],calculamos en primer lugar E[X(X − 1)].

E[X(X − 1)] =+∞∑x=0

x(x− 1)e−λλx

x!= λ2

+∞∑x=2

e−λλx−2

(x− 2)!= [y = x− 2] =λ2

+∞∑y=0

e−λλy

y!=λ2.

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Media y varianza de la distribucion de Poisson

X ∼ P(λ) ⇒ E[X] = Var[X] = λ

Calculo directo

En primer lugar, obtenemos la expresion de E[X].

E[X] =+∞∑x=0

xe−λλx

x!= λ

+∞∑x=1

e−λλx−1

(x− 1)!= [y = x− 1] =λ

+∞∑y=0

e−λλy

y!=λ,

donde la ultima igualdad se obtiene teniendo en cuenta que e−λλy

y!, y = 0, 1, . . . , es la funcion masa de probabilidad

de una variable P(λ), por lo que la suma de esos valores es la unidad.

Vamos a obtener ahora la expresion de V ar[X], y como V ar[X] = E[X2]− (E[X])2 y E[X2] = E[X(X− 1)] +E[X],calculamos en primer lugar E[X(X − 1)].

E[X(X − 1)] =+∞∑x=0

x(x− 1)e−λλx

x!= λ2

+∞∑x=2

e−λλx−2

(x− 2)!= [y = x− 2] =λ2

+∞∑y=0

e−λλy

y!=λ2.

Por tanto:

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Media y varianza de la distribucion de Poisson

X ∼ P(λ) ⇒ E[X] = Var[X] = λ

Calculo directo

En primer lugar, obtenemos la expresion de E[X].

E[X] =+∞∑x=0

xe−λλx

x!= λ

+∞∑x=1

e−λλx−1

(x− 1)!= [y = x− 1] =λ

+∞∑y=0

e−λλy

y!=λ,

donde la ultima igualdad se obtiene teniendo en cuenta que e−λλy

y!, y = 0, 1, . . . , es la funcion masa de probabilidad

de una variable P(λ), por lo que la suma de esos valores es la unidad.

Vamos a obtener ahora la expresion de V ar[X], y como V ar[X] = E[X2]− (E[X])2 y E[X2] = E[X(X− 1)] +E[X],calculamos en primer lugar E[X(X − 1)].

E[X(X − 1)] =+∞∑x=0

x(x− 1)e−λλx

x!= λ2

+∞∑x=2

e−λλx−2

(x− 2)!= [y = x− 2] =λ2

+∞∑y=0

e−λλy

y!=λ2.

Por tanto: E[X2] = E[X(X − 1)] + E[X] =

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Media y varianza de la distribucion de Poisson

X ∼ P(λ) ⇒ E[X] = Var[X] = λ

Calculo directo

En primer lugar, obtenemos la expresion de E[X].

E[X] =+∞∑x=0

xe−λλx

x!= λ

+∞∑x=1

e−λλx−1

(x− 1)!= [y = x− 1] =λ

+∞∑y=0

e−λλy

y!=λ,

donde la ultima igualdad se obtiene teniendo en cuenta que e−λλy

y!, y = 0, 1, . . . , es la funcion masa de probabilidad

de una variable P(λ), por lo que la suma de esos valores es la unidad.

Vamos a obtener ahora la expresion de V ar[X], y como V ar[X] = E[X2]− (E[X])2 y E[X2] = E[X(X− 1)] +E[X],calculamos en primer lugar E[X(X − 1)].

E[X(X − 1)] =+∞∑x=0

x(x− 1)e−λλx

x!= λ2

+∞∑x=2

e−λλx−2

(x− 2)!= [y = x− 2] =λ2

+∞∑y=0

e−λλy

y!=λ2.

Por tanto: E[X2] = E[X(X − 1)] + E[X] =λ2 + λ

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Media y varianza de la distribucion de Poisson

X ∼ P(λ) ⇒ E[X] = Var[X] = λ

Calculo directo

En primer lugar, obtenemos la expresion de E[X].

E[X] =+∞∑x=0

xe−λλx

x!= λ

+∞∑x=1

e−λλx−1

(x− 1)!= [y = x− 1] =λ

+∞∑y=0

e−λλy

y!=λ,

donde la ultima igualdad se obtiene teniendo en cuenta que e−λλy

y!, y = 0, 1, . . . , es la funcion masa de probabilidad

de una variable P(λ), por lo que la suma de esos valores es la unidad.

Vamos a obtener ahora la expresion de V ar[X], y como V ar[X] = E[X2]− (E[X])2 y E[X2] = E[X(X− 1)] +E[X],calculamos en primer lugar E[X(X − 1)].

E[X(X − 1)] =+∞∑x=0

x(x− 1)e−λλx

x!= λ2

+∞∑x=2

e−λλx−2

(x− 2)!= [y = x− 2] =λ2

+∞∑y=0

e−λλy

y!=λ2.

Por tanto: E[X2] = E[X(X − 1)] + E[X] =λ2 + λ y

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Media y varianza de la distribucion de Poisson

X ∼ P(λ) ⇒ E[X] = Var[X] = λ

Calculo directo

En primer lugar, obtenemos la expresion de E[X].

E[X] =+∞∑x=0

xe−λλx

x!= λ

+∞∑x=1

e−λλx−1

(x− 1)!= [y = x− 1] =λ

+∞∑y=0

e−λλy

y!=λ,

donde la ultima igualdad se obtiene teniendo en cuenta que e−λλy

y!, y = 0, 1, . . . , es la funcion masa de probabilidad

de una variable P(λ), por lo que la suma de esos valores es la unidad.

Vamos a obtener ahora la expresion de V ar[X], y como V ar[X] = E[X2]− (E[X])2 y E[X2] = E[X(X− 1)] +E[X],calculamos en primer lugar E[X(X − 1)].

E[X(X − 1)] =+∞∑x=0

x(x− 1)e−λλx

x!= λ2

+∞∑x=2

e−λλx−2

(x− 2)!= [y = x− 2] =λ2

+∞∑y=0

e−λλy

y!=λ2.

Por tanto: E[X2] = E[X(X − 1)] + E[X] =λ2 + λ y V ar[X] = E[X2]− (E[X])2 =

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Media y varianza de la distribucion de Poisson

X ∼ P(λ) ⇒ E[X] = Var[X] = λ

Calculo directo

En primer lugar, obtenemos la expresion de E[X].

E[X] =+∞∑x=0

xe−λλx

x!= λ

+∞∑x=1

e−λλx−1

(x− 1)!= [y = x− 1] =λ

+∞∑y=0

e−λλy

y!=λ,

donde la ultima igualdad se obtiene teniendo en cuenta que e−λλy

y!, y = 0, 1, . . . , es la funcion masa de probabilidad

de una variable P(λ), por lo que la suma de esos valores es la unidad.

Vamos a obtener ahora la expresion de V ar[X], y como V ar[X] = E[X2]− (E[X])2 y E[X2] = E[X(X− 1)] +E[X],calculamos en primer lugar E[X(X − 1)].

E[X(X − 1)] =+∞∑x=0

x(x− 1)e−λλx

x!= λ2

+∞∑x=2

e−λλx−2

(x− 2)!= [y = x− 2] =λ2

+∞∑y=0

e−λλy

y!=λ2.

Por tanto: E[X2] = E[X(X − 1)] + E[X] =λ2 + λ y V ar[X] = E[X2]− (E[X])2 =λ.

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Calculo a partir de la funcion generatriz de momentos

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Calculo a partir de la funcion generatriz de momentos

Haciendo uso de la expresion de los momentos a partir de la funcion generatriz de momentos, y teniendo en cuentaque la funcion generatriz de momentos de la distribucion de Poisson es MX(t) = exp (λ(et − 1)), ∀t ∈ R, se tiene:

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Calculo a partir de la funcion generatriz de momentos

Haciendo uso de la expresion de los momentos a partir de la funcion generatriz de momentos, y teniendo en cuentaque la funcion generatriz de momentos de la distribucion de Poisson es MX(t) = exp (λ(et − 1)), ∀t ∈ R, se tiene:

E[X] =dMX(t)

dt

∣∣∣∣t=0

=

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Calculo a partir de la funcion generatriz de momentos

Haciendo uso de la expresion de los momentos a partir de la funcion generatriz de momentos, y teniendo en cuentaque la funcion generatriz de momentos de la distribucion de Poisson es MX(t) = exp (λ(et − 1)), ∀t ∈ R, se tiene:

E[X] =dMX(t)

dt

∣∣∣∣t=0

= MX(t)λet|t=0 =

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Calculo a partir de la funcion generatriz de momentos

Haciendo uso de la expresion de los momentos a partir de la funcion generatriz de momentos, y teniendo en cuentaque la funcion generatriz de momentos de la distribucion de Poisson es MX(t) = exp (λ(et − 1)), ∀t ∈ R, se tiene:

E[X] =dMX(t)

dt

∣∣∣∣t=0

= MX(t)λet|t=0 =λ.

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Calculo a partir de la funcion generatriz de momentos

Haciendo uso de la expresion de los momentos a partir de la funcion generatriz de momentos, y teniendo en cuentaque la funcion generatriz de momentos de la distribucion de Poisson es MX(t) = exp (λ(et − 1)), ∀t ∈ R, se tiene:

E[X] =dMX(t)

dt

∣∣∣∣t=0

= MX(t)λet|t=0 =λ.

E[X2] =d2MX(t)

dt2

∣∣∣∣t=0

=

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Calculo a partir de la funcion generatriz de momentos

Haciendo uso de la expresion de los momentos a partir de la funcion generatriz de momentos, y teniendo en cuentaque la funcion generatriz de momentos de la distribucion de Poisson es MX(t) = exp (λ(et − 1)), ∀t ∈ R, se tiene:

E[X] =dMX(t)

dt

∣∣∣∣t=0

= MX(t)λet|t=0 =λ.

E[X2] =d2MX(t)

dt2

∣∣∣∣t=0

= MX(t)λet (λet + 1)|t=0 =

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Calculo a partir de la funcion generatriz de momentos

Haciendo uso de la expresion de los momentos a partir de la funcion generatriz de momentos, y teniendo en cuentaque la funcion generatriz de momentos de la distribucion de Poisson es MX(t) = exp (λ(et − 1)), ∀t ∈ R, se tiene:

E[X] =dMX(t)

dt

∣∣∣∣t=0

= MX(t)λet|t=0 =λ.

E[X2] =d2MX(t)

dt2

∣∣∣∣t=0

= MX(t)λet (λet + 1)|t=0 =λ(λ+ 1),

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Calculo a partir de la funcion generatriz de momentos

Haciendo uso de la expresion de los momentos a partir de la funcion generatriz de momentos, y teniendo en cuentaque la funcion generatriz de momentos de la distribucion de Poisson es MX(t) = exp (λ(et − 1)), ∀t ∈ R, se tiene:

E[X] =dMX(t)

dt

∣∣∣∣t=0

= MX(t)λet|t=0 =λ.

E[X2] =d2MX(t)

dt2

∣∣∣∣t=0

= MX(t)λet (λet + 1)|t=0 =λ(λ+ 1),

obteniendose, a partir de estos dos valores, el de V ar[X] por la expresion V ar[X] = E[X2]− (E[X])2. �