MECHANICS OF MATERIALSBy

Assoc. Prof. Dr. Sittichai SeangatithSCHOOL OF CIVIL ENGINEERING

INSTITUTE OF ENGINEERINGSURANAREE UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

ตวอยาง: คานไมสกถกกระทาโดยแรงตางๆ ดงทแสดงในรป( ) 24 MPa, 4.8 MPa, F.S. 2.0b ult ultσ τ= = =

จงออกแบบหาขนาดหนาตดของคาน

( )( )F.S.b ult

b allowσσ =

หนวยแรงทยอมให

F.S.ult

allowττ =

Bending moment และแรงเฉอนสงสด

max 6.0 kN-mM =

max 5.5 kNV =

5.5 kN 5.5 kN

24 =12 MPa2.0

=

4.8 =2.4 MPa2.0

=

maxallow

M cI

σ =3

4(2 ) 212 3b bI b= =

64

600012(10 )2 / 3

bb

=

0.091 mb =

หาความกวาง, b, โดยใชคาโมเมนต max 6.0 kN-mM =

ตรวจสอบความสามารถรบแรงเฉอนของคาน

0.498 MPa 2.4 MPa O.K.allowτ= < =

maxmax

32VA

τ =

3 55002 0.091[2(0.091)]

=

สาหรบคานหนาตดสเหลยม

ตรวจสอบการโกงตวของคาน

บทท 7Transverse Shear

วตถประสงค1. เพอใหทราบและเขาใจถงการเปลยนแปลงรปรางเนองจากการ

เฉอนเนองจากแรงกระทาขวาง (transverse shear)2. เพอใหสามารถวเคราะหและออกแบบคานและคานประกอบทถกกระทาโดยแรงเฉอนขวางได

7.1 Shear in Straight Membersคาน (beam) เปนองคอาคารทมลกษณะตรง วางอยในแนวนอน และถกกระทาโดย loads ทตงฉากกบแนวแกนของคาน (transverse loads)

ภายใตแรงกระทา คานจะเกดแรงเฉอน V และ bending moment M ขนภายในตวคาน ซงมคาเปลยนแปลงตามตาแหนง x ของคาน ดงทแสดงโดยแผนภาพ shear diagram และ moment diagram

Transverse shear stress กอใหเกดความเครยดเฉอน (shear strain) โดยสาหรบคานหนาตดสเหลยม shear strain มคาเทากบศนยทผวดานบนและผวดานลางและมคาสงสดทกงกลางความลกของหนาตดคาน

7.2 Shear Formula

คานทาดวยวสด isotropic และ homogeneous มพฤตกรรม linear elastic และมคา modulus of elasticity ทคงทภายใตแรงดงและแรงกดอด

คานมหนาตดทคงทและสมมาตรรอบแกนตลอดความยาวของคาน

VQIt

τ =

moment ของพนทเหนอ/ใตแนวทหา τ รอบแกน neutral axis

แรงเฉอน

I = moment of inertia ของหนาตด

ความกวางของพนทใชหา τ

7.3 Shear Stress in BeamsRectangular Cross Section: หา Q ทระยะ y จาก neutral axis ของหนาตด

Q y A′ ′=

VQIt

τ =

221 ( )

2 4h y b= −

1 ( )2 2hy y⎡ ⎤= + −⎢ ⎥⎣ ⎦2

23

1 ( )2 4

12

V h y bbh b

= −

( )2h y b−

22

36 ( )

4V h ybh

= −

การกระจายของหนวยแรงเฉอนบนหนาตดของคานเปนแบบ parabola ตามความลกของคาน หนวยแรงเฉอนสงสดเกดขนบนแกน neutral axis หรอท y = 0

max32Vbh

τ =

22

max 36 ( 0 )

4V hbh

τ = −

2

36

4V hbh

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

1.5VA

=

22

36 ( )

4V h ybh

τ = −

Circular Cross Sectionหนวยแรงเฉอนสงสดเกดขนบนแกน neutral axis ของคาน โดยมทศตามความลกและมคาคงทตามความกวางของหนาตด 4

4rI π

=

Q Ay=

2b r=3

max 4(2 / 3)

( / 4)(2 )V rr r

τπ

=

max43VA

τ =

323r

=2 4

2 3r rπ

π⎛ ⎞⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

24

3Vrπ

=

Wide-Flange Section

1 1/ 2 / 22 2h h h−⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠1

2 2hhQ bτ ′

⎡ ⎤⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

h1

max

1 1 1

1 1

/ 2 / 22 2 2 2

/ 2 2 2w

h h h hhbQ

h htτ

−⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞− +⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠⎢ ⎥=⎛ ⎞⎛ ⎞⎢ ⎥+ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦

max, ( 2 )avgw f

Vt h t

τ ≅−

1 1 1/ 2 / 22 2 2 2w

h h h hV hbIt

τ −⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞′ = − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

1 1 1 1 1max

/ 2 / 2 / 22 2 2 2 2 2w

w

h h h h h hV hb tIt

τ −⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞= − + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦

โดยทวไปแลว คาแรงเฉอนภายในท web มคาประมาณ 90 - 98% ของแรงเฉอนทงหมดทเกดขนทหนาตดของคาน ดงนน

max, ( 2 )avgw f

Vt h t

τ ≅−

2 21( )

8 w

Vb h hIt

= −

2 2 21 1( )

8 ww

V bh bh t hIt

= − +

ตวอยางท 7-1จงเขยนแผนภาพการกระจายของหนวยแรงเฉอนบนหนาตดของคานและจงหาคาแรงเฉอนทถกตานทานโดยเอว (web) ของหนาตด เมอแรงเฉอนมคา 100 kN

หาการกระจายของหนวยแรงเฉอนผวดานบนและดานลางของหนาตดคานมหนวยแรงเฉอนเทากบศนย ???

31 (0.015)0.212

I ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

VQIt

τ =

3 212 (0.2)0.02 0.2(0.02)0.11012⎡ ⎤+ +⎢ ⎥⎣ ⎦

-6 4 107.07(10 ) m=

0.015 m

ทจด B'

0.20 mBt ′ =

พจารณาพนท A' ระบายสทบBQ y A′ ′ ′=

3 3

6100(10 )0.440(10 )107.07(10 )(0.20)Bτ

−

′ −=

ทจด B0.015 mBt =

3 30.440(10 ) mB BQ Q −′= =

3 3

6100(10 )0.440(10 )107.07(10 )(0.015)Bτ

−

−=

[ ]0.110 (0.20)0.02= 3 30.440(10 ) m−=

2.06 MPa=

27.40 MPa=

0.015 m

ทจด C

พจารณาพนท A' ระบายสทบ

0.015 mCt =

[ ] [ ]0.110 (0.20)0.02 0.05 (0.015)0.10CQ = +

3 3

max 6100(10 )0.515(10 )107.07(10 )(0.015)Cτ τ

−

−= =

3 30.515(10 ) m−=

32.07 MPa=

max, ( 2 )avgw f

Vt h t

τ ≅−

)200.0(015.0)10(100 3

=

MPa 33.33=

คาแรงเฉอนทถกตานทานโดยเอวของหนาตด2web flangeV V V= −

Q y A′ ′=

First moment ของพนท A' ทระยะ y จากแกนสะเทนของหนาตด

หนวยแรงเฉอนทระยะ y จากแกนสะเทนVQIt

τ =

2 2 30.10 0.12 my⎡ ⎤= −⎣ ⎦

2 2467(0.12 ) MPay= −

[ ]1 (0.12 ) 0.20(0.120 )2

y y y⎡ ⎤= + − −⎢ ⎥⎣ ⎦

3 2 2

6100(10 )[0.10(0.12 )]

107.07(10 )(0.20)y

−

−=

หนวยแรงเฉอนกระทาอยบนพนท 0.20dA dy=

ดงนน แรงเฉอนทถกตานทานโดยปกบนของหนาตด

f

flangeA

V dAτ= ∫

2 100 2(4.234) 95.77 kNweb flangeV V V= − = − =

ดงนน Vweb มคาถง 96% ของแรงเฉอนทกระทาตอหนาตด

0.126 2 2

0.10

467(10 )(0.12 )[0.20 ]y dy= −∫

2 2467(0.12 ) MPayτ = −

4.234 kN=

ตวอยางท 7-2จงหาหนวยแรงเฉอน τ1 ทเกดขนบนแนว n-n และหนวยแรงเฉอนสงสด τmax เมอแรงเฉอนทกระทาตอหนาตดมคา 40 kN

ตาแหนงของแกนสะเทนของหนาตดของคานจากแนว a-a

2i i

i

y Ac

A= ∑∑

1 2c h c= −

moment of inertia ของหนาตด( )2 6 427.0(10 ) mi i iI I Ad −= + =∑

-4

38.516(10 ) 0.124 m6.875(10 )−= =

1 11 1

1 1

( )2 2

( )

h h hb h h th

b h h th

+⎛ ⎞ ⎛ ⎞− +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠=

− +

0.20 0.124 0.076 m= − =

หนวยแรงเฉอน τ1 ทเกดขนบนแนว n-n0.025 mn nt − =

โดยใชพนทหนาตดของคานใตแนว n-n1

1 2 2n nhQ th c−

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

1n n

n n

VQIt

τ −

−

=

ดงนน

6 3159(10 ) m−=

3 6

640(10 )159(10 ) 9.42 MPa27.0(10 )0.025

−

−= =

= 0.124 m

= 0.076 m

0.1750.025(0.175) 0.1242

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

1n n

n n

VQIt

τ −

−

=

ถาใชพนทหนาตดของคานเหนอแนว n-n

11 1( )

2n nh hQ b h h c−−⎛ ⎞= − −⎜ ⎟

⎝ ⎠

ดงนน

0.0250.10(0.025) 0.0762

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

6 3159(10 ) m−=

3 6

640(10 )159(10 ) 9.42 MPa27.0(10 )0.025

−

−= =

= 0.124 m

= 0.076 m

หนวยแรงเฉอนสงสด τmax

หนวยแรงเฉอนสงสดเกดขนทแกนสะเทนของหนาตดของคาน 2

max 2 2cQ tc ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

maxmax

VQIt

τ =

0.1240.025(0.124)2

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

6 3192(10 ) m−=

3 6

640(10 )192(10 ) 11.28 MPa27.0(10 )0.025

−

−= =

= 0.124 m

= 0.076 m= 9.42 MPa

ทบทวน: Shear Formula

VQIt

τ =

moment ของพนทเหนอ/ใตแนวทหา τ รอบแกน neutral axis

แรงเฉอน

I = moment of inertia ของหนาตด

ความกวางของพนทใชหา τ

การกระจายของหนวยแรงเฉอนบนหนาตดของคานเปนแบบ parabola ตามความลกของคาน หนวยแรงเฉอนสงสดเกดขนบนแกน neutral axis หรอท y = 0

max32Vbh

τ = 1.5VA

=

Circular Cross Sectionหนวยแรงเฉอนสงสดเกดขนบนแกน neutral axis ของคาน โดยมทศตามความลกและมคาคงทตามความกวางของหนาตด 4

4rI π

=

Q Ay=

2b r=3

max 4(2 / 3)

( / 4)(2 )V rr r

τπ

=

max43VA

τ =

323r

=2 4

2 3r rπ

π⎛ ⎞⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

24

3Vrπ

=

Example

เขยน shear diagram

จงหาหนวยแรงเฉอนสงสดทเกดขนบนหนาตดคานทจด D ซงเปนจดททากาวเพอยดแผนไมของหนาตดคานประกอบเขาดวยกน

หาตาแหนงแกนสะเทนของหนาตด

หา moment of inertia ของหนาตด

0.075 m0.165 m

= 0.120 m

เนองจากกาวถกใชในการยดปก (flange) ของหนาตดเขากบเอว (flange) ดงนน

= 0.120 m

หนวยแรงเฉอนทเกดขนทกาว

หนวยแรงกดอดสงสด = ?หนวยแรงดงสงสด = ?

การบานบทท 7: กาหนดสง 20 พ.ย. 2548

7.3, 7.4, และ 7.6

การ check การหมดสทธสอบ- การนบการขาด Quiz และหมดสทธสอบปลายภาค ให นศ. นบจานวนครงของการขาด lecture (เนองจากในบางครงม 2 Quiz ในหนง lecture)

- การนบการขาด Quiz จะนบถงการเรยนการสอนวนสดทายคอ 10 ธ.ค.2548

- ถา นศ. ขาด lecture ทมการ Quiz เกน 4 ครง ขอให drop ออก หรอไมแลว นศ. จะหมดสทธสอบปลายภาค

7.4 Shear Flow in Built-Up Memberเมอแรงกระทาภายนอกทาให built-up member เกดการดดขนแลว ตวยด (เชน ตะป และสลกเกลยว) จะตองปองกนไมใหชนสวนประกอบของ built-up member เกดการเลอนสมพทธกนขน

สลกเกลยว(bolting)

รอยเชอม(welding)

ตะป(nailing)

ในการออกแบบตวยด เราจะตองทราบคาของแรงเฉอนตอหนงหนวยความยาวหรอ shear flow ทเกดขนบนตวยด

VQq tI

τ= =

Shear flow

ตะปจะรบ shear flow เทากบ q

ตะปจะรบ shear flow เทากบ q/2

ตะปจะรบ shear flow เทากบ q/3

ตวอยางท 7-4

20 kNP =

Timber: 2.0 MPa, 15.0 MPaallow allowτ σ= =

สลกเกลยวมกาลงรบแรงเฉอนทยอมให 10 kN ตอหนงตวจงหา1. ความกวาง a ของแผนไม2. ระยะหางของสลกเกลยว s ทสนทสดทตองใชรองรบแรงเฉอน

Ay

Ax=0

Cy

0; (4) 20(3) 0C yM A+ = − + =∑15 kNyA =

15 kNyA =5 kNyB =

1 m 3 m

15

5−

15+

20 kN1. หาความกวาง a ของแผนไม

max 15 kNV = ในชวง AC ของคาน

max 15 kN-mM = ทจด C3

4(2.5 ) 1.302112

a aI a= =

จากสมการ flexural formula6

415000(2.5 / 2)15(10 )

1.3021aa

=

0.099 ma =

เลอกใชความกวางของหนาตดของคาน 0.100 m

36

15000(1.25)1.3021(15)10

a =

max150001.5

0.10(0.25)τ =

ตรวจสอบความสามารถรบแรงเฉอนทกงกลางหนาตดคาน

2. หาระยะหางของสลกเกลยว s ทสนทสดทจะตองใชจากสมการของ shear flow

VQqI

=

Q A y′ ′=

[ ]30.10 0.2512

I =

allow 2 MPa O.K.τ< =

= 0.10 m

= 0.25 m

a/2+a/4

6 4750(10 ) m−=

[ ][ ]0.10(0.10) 0.050 0.025)= +

6 4130.21(10 ) m−=

0.90 MPa=

6

615000(750)10 86.4 kN/m

130.21(10 )VQqI

−

−= = =

min10(1.0) 0.116 m

86.4s = =

เลอกใช 100 mm ในชวง AC ของคานและเพมขนเปน 300 mm ในชวงคาน BC -- ทาไม?

แรงเฉอน 86.4 kN เกดขนในชวงคานยาว 1 mถาตะปรบแรงเฉอนได 10.0 kN ดงนน ตะปจะรองรบแรงเฉอนไดยาว =

20 kNP =

ตวอยางท 7-3

-6 4

Beam: 3 m, 1 m, 2 m, 0.25 m, 0.15 m,

0.0375 m, 0.025 m, 0.30 m,

467.36(10 ) m

top bottom

top bottom web

L a b b bt t t d

I

= = = = =

= = = =

= Timber: 0.5 MPa, 2.0 MPa

allow

allow

τσ

=

=

ตะปแตละตวรบแรงเฉอนได 1.8 kNจงหา1. แรง Pmax ทไมทาใหคานวบตโดยแรงเฉอน

2. คา Mmax เนองจากแรง Pmax3. ระยะระหวางตะปทแผนไมดานบนและดานลางของคาน

0.25 m

0.15 m

0.0375 m

0.0375 m

0.30 m0.025 m

Ay

Ax=0

Cy

0; (3) (2) 0C yM A P+ = − + =∑23yPA =

23yPA =

3yPB =

1 m 2 m

23P

3P

−

23P

0.25 m

0.15 m

0.0375 m

0.0375 m

0.30 m

0.025 m

0.25 m0.0375 m

0.0375 m

0.15 m

0.025 m

0.30 m

0.25 m0.0375 m

0.0375 m

0.15 m

0.025 m

0.30 m

จาก shear diagram และ moment diagram

max23PV = ในชวง AC ของคาน

max23PM = ทจด C

1. หาคาแรง P สงสดทไมทาใหคานวบตโดยแรงเฉอนi i

i

y Ay

A= ∑∑

( ) 2max 0.025(0.0375) 0.14065 0.025(0.1219) / 2Q = +

0.1594 m=

20.25(0.0375) / 2 0.30(0.025)0.1875 0.15(0.0375)0.356250.25(0.0375) 0.30(0.025) 0.15(0.0375)

+ +=

+ +

3 31.504(10 ) m−=

0.1594 mmax max

allowV QIt

τ =

maxmax

32

allowItPQτ

=

ดงนน แรง P จะมคาไดไมเกน 5.826 kN

2. คาโมเมนตดดสงสดเนองจากแรง P = 5.826 kN

max2(5.826) 3.884 kN-m

3M = =

max maxmax

M yI

σ =

6 6

33 0.5(10 )467.36(10 )0.0252 1.504(10 )

−

−= 5.826 kN=

1.792 MPa = 2.0 MPa O.K.allowσ= <

3

63.884(10 )(0.375 0.1594)

467.36(10 )−

−=

max23PV =

-6 4467.36(10 ) mI =

0.5 MPaallowτ = 3 3max 1.504(10 ) mQ −=

0.25 m0.0375 m

0.0375 m

0.15 m

0.025 m

0.30 m

0.1594 m

0.25 m0.0375 m

0.0375 m

0.15 m

0.025 m

0.30 m

0.1594 m

3. ระยะระหวางตะปทแผนไมดานบนและดานลางของคาน

max2(5.826) 3.884 kN

3V = =

คา shear flow ทเกดขนทจดตอระหวางปกดานบนและเอวtop

top

VQq

I=

allowtop

top

Vsq

=

เลอกใช 150 mm ในชวง AC และเพมขนเปน 300 mm ในชวงคาน BC – ทาไม?

10.96 kN/m=

[ ]6

3884 (0.25)0.0375(0.14065)487.36(10 )−=

1.8 (1000) 164.3 mm10.96

= =

แรงเฉอน 10.96 kN เกดขนในชวงคานยาว 1000 mmถาตะปรบแรงเฉอนได 1.80 kN ดงนน ตะปจะรองรบแรงเฉอนไดยาว =

1 m 2 m

0.25 m0.0375 m

0.0375 m

0.15 m

0.025 m

0.30 m

0.1594 m

คา shear flow ทเกดขนทจดตอระหวางปกดานลางและเอว

bottombottom

VQqI

=

allowbottom

bottom

Vsq

=

เลอกใช 175 mm ในชวง AC ของคานและเพมขนเปน 350 mm ในชวงคาน BC

9.20 kN/m=

[ ]6

3884 (0.15)0.0375(0.19685)467.36(10 )−=

0.375-0.1594 m= 0.2156 m

1.8 (1000) 195.7 mm9.20

= =

0.2156-0.0375/2= 0.19685 m

แรงเฉอน 9.20 kN เกดขนในชวงคานยาว 1000 mmถาตะปรบแรงเฉอนได 1.80 kN ดงนน ตะปจะรองรบแรงเฉอนไดยาว =

1 m 2 m

End of Chapter 7