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Calculo con aplicaciones en Biologıa
Homero G. Dıaz Marın
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Contenido
1 El concepto de funcion 51.1 Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Funciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3 Funciones crecientes y decrecientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.4 Funciones exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.5 La funcion exponencial ex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.5.1 Crecimiento exponencial continuo de poblaciones . . . . . . . . . . . . . . . . 201.5.2 El logaritmo natural y tiempo de duplicacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.5.3 Decaimiento radioactivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.5.4 Fechamiento de minerales y fosiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.6 Ejercicios de repaso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2 La Derivada 312.1 Razon media de cambio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.2 Razon instantanea de cambio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.3 Derivacion de funciones polinomiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.4 Derivacion de funciones exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.5 Problemas de maximos y mınimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.6 Ejercicios de repaso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3 La Integral 493.1 Integral Definida: Areas bajo la grafica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.2 Integral Indefinida: Antiderivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.3 Calculo de areas usando integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.4 Calculo de probabilidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.5 Ejercicios de repaso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
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4
Capıtulo 1
El concepto de funcion
1.1 Funciones
El concepto de funcion es uno de los mas importantes ya que nos permite expresar la dependenciaentre dos cantidades. En lenguaje cotidiano decimos por ejemplo: ”el precio de un automovilseminuevo esta en funcion de su modelo”, ”el numero de peces en un lago esta en funcion de susniveles de contaminacion”, ”el nivel de riqueza material de un paıs es funcion de su PIB per capita”.Estas frases expresan la idea de que al conocer un factor se puede determinar completamente alotro. Para estudios de tipo cuantitativo consideramos que ambos factores son cantidades que tomanvalores numericos. Es decir, hablaremos de la dependencia de dos cantidades que toman valores enel conjunto de los numeros reales R.
Definicion. Una funcion f es una regla que a todo valor numerico x dentro de un conjunto D ⊂ R,le asigna un unico valor numerico que se denota como f(x). El conjunto D se llama dominio de lafuncion, x es el argumento o variable independiente y al valor y = f(x) se le llama variabledependiente y se lee “el valor de f evaluada en x”.
Una funcion puede pensarse tambien como un procedimiento bien determinado que dado unnumero x lo transforma en otro numero f(x). Dicho procedimiento se puede especificar de variasmaneras: o bien mediante una formula o expresion analıtica, o bien mediante una tabla, o bienmediante una grafica.
Una formula es una igualdad en la que de un lado muestra la funcion, f(x), mientras que delotro lado, se indican las operaciones que es necesario hacer con x para obtener el valor de f(x).
Ejemplo. Una poblacion de bacterias inicialmente es de 1000 colonias y se incrementa en 20 coloniascada hora, expresar el numero de colonias N como una funcion de x, las horas transcurridas desdeel inicio de la observacion.
Este ejemplo ilustra como el lenguaje algebraico puede ser de gran utilidad para expresar unafuncion mediante una formula. Ası podemos traducir la frase ”se incrementa en 20 colonias cadahora” adicionando el termino 20x y obtenemos la formula
N(x) = 1000 + 20x
La funcion queda completamente especificada con esta formula.
Una funcion puede expresarse tambien como una tabla, es decir una coleccion de valores de xque forman parejas con sus respectivos valores f(x) asignados mediante la funcion.
Ejemplo. Se midio la estatura (en cm) de un nino cada cumpleanos y se obtuvieron las siguientesmediciones
5
x (anos) 1 2 3 4 5 6 7f(x) (cm) 55 67 81 115 127 135 140
Dada una formula para una funcion siempre es posible construir una tabla que cualesquieravalores en x le asigne los valores correspondientes de la funcin.
Es claro que una formula contiene mas informacion que una tabla, ya que una tabla solo contieneuna coleccion finita de valores de una funcion, mientras que una formula contiene una infinidad devalores para la funcion. En el ejemplo anterior, si tuviesemos una formula podrıamos determinar laestatura del nino en cualquier instante y no solamente cada cumpleanos. Por supuesto que en estemomento nos parece difıcil ”adivinar” cul es la formula que describa la talla como funcion del pesodel nino.
Hay situaciones de la vida cotidiana en las que a partir de mediciones y una tabla, es posible”adivinar” una formula o una ”ley” que predice dichas mediciones. Precisamente el calculo surgiocomo una necesidad de darle poder predictivo a la ciencia, al permitirle elaborar estas leyes enterminos de funciones.
Ejemplo. Galileo observo que los cuerpos que caıan libremente describıan movimientos similares.Por ejemplo al dejar caer una piedra desde la torre de Pisa, observo que la distancia recorrida, h(en metros) por la piedra, se podıa describir como funcion del tiempo transcurrido, t (en segundos),desde que se habıa dejado caer. Ademas observo que no importaba la masa de la piedra, es decir,las mediciones eran las mismas, con piedras de masas diferentes:
t (s) 0 1 2 3 4 5h(t) (m) 0 4.9 19.62 44.14 78.48 122.625
Despues, Galileo, asumio que el movimiento debıa ser uniformemente acelerado, y a partir de estahipotesis y algunas deducciones matematicas llego a la conclusion de que la altura h(t) debıa tenerla siguiente formula que expresaba la distancia vertical recorrida como funcion del tiempo
h(t) = 4.905t2
Como los datos predichos por la formula concordaban con mucha precision con las mediciones ob-servadas, atribuimos a Galileo el “descubrimiento” de la “ley” de la caıda libre.
Ası nacio el concepto de ley de la naturaleza como un conjunto de hipotesis que mediante pro-cedimientos matematicos precisos predicen fenomenos contrastables con mediciones.
De la misma manera a como hizo Galileo, en muchos fenomenos biologicos es posible formularhipotesis biologicas que permiten arribar a predicciones contrastables con la observacion. A estaherramienta predictiva se le denomina modelo matematico (determinista) del fenomeno en cuestion.
Decimos que una variable dependiente y es directamente proporcional (por brevedad usare-mos tambin el trmino proporcional) a una variable independiente x, si la razon entre ambas esconstante; es decir, si y = kx, donde k se llama constante de proporcionalidad. Ası por ejemplo, siel precio y (en pesos) de una bolsa de azucar es proporcional al peso x (en kg), con constante deproporcionalidad 18, quiere decir que por cada kilo de azucar debemos pagar 18 pesos. Si el precioes funcion del peso la funcion queda determinada por
y = f(x) = 18x.
Ejemplo. Los siguientes datos corresponden a la edad E en millones de anos de rocas presentes enuna excavacion. La variable independiente x corresponde a la profundidad de la que se extrajo laroca.
Profundidad (m) 5 10 15 20 25Edad (mill. anos) 20 40 60 80 100
6
0 1 2 3 4 5 6
20
40
60
80
100
120
0 5 10 15 20 25
20
40
60
80
100
120
Figura 1.1: Algunos puntos de la grafica de h(t) = 4.905t2
0 1 2 3 4 5
20
40
60
80
100
120
Figura 1.2: Grafica de h(t) = 4.905t2
Notamos que la edad E es proporcional a la profundidad de la excavacion x con constante deproporcionalidad k = 4. Es decir, E = 4x o como funcion E(x) = 4x. Notamos ademas que k tienecomo unidades m/mill. anos.
Definicion. La representacion grafica de una funcion f(x) es el trazo en el plano cartesianoque se obtiene al considerar todos los puntos de la forma (x, f(x)), tomando todos los posibles valoresx en el dominio D de la funcion.
En terminos practicos la representacion grafica (o simplemente grafica) de una funcion se puedeesbozar o dibujar si se conoce una tabla con un numero suficiente de evaluaciones de la funcion. Ental caso tendremos una coleccion de puntos en el plano cartesiano y suponiendo la ”continuidad” dela funcion podemos intercalar el trazo de la grafica completa.
Ejemplo. Para trazar la grafica de la funcion de caıda libre h(t) = 4.905t2 en el lapso de tiempo de0 a 5 segundos, utilizamos las evaluaciones de la siguiente tabla para esbozar la grafica de la funcionen el el intervalo [0, 5].
t (s) 0 1 2 3 4 5h(t) (m) 0 4.9 19.62 44.14 78.48 122.62
con ello obtenemos una coleccion de puntos en el plano cartesiano:Al considerar mas evaluaciones intermedias (t=.2, .4, .6, etc.) se obtienen mas puntos de la graficay se puede esbozar la grafica con mas detalle. Al final la grafica se esboza como un trazo continuoque une todos los puntos calculados:
En muchas circunstancias se desconoce la formula de una funcion y solamente es posible trazaralgunos puntos.
7
0 2 4 6 8 10 12
50
100
150
200
250
Figura 1.3: Crecimiento de una planta de girasol
Ejemplo. Los siguientes datos corresponden a las mediciones de la altura de una planta de girasol,cada semana
t (Semanas) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12Altura (cm) 10 25 60 87 123 165 201 224 235 250 251 251.5
La grafica correspondiente a estos datos consta de una curva quebrada que une los puntos senalados.Como desconocemos la formula de la funcion que describe la altura h(t) de una planta de girasol
como funcion del tiempo t, no es posible trazar mas puntos de la grafica. Si quisieramos introducirmas datos tendrıamos que hacer mas mediciones. En estos casos, para tener una idea de como serıala grafica unimos los puntos con segmentos rectilıneos y obtenemos un trazo poligonal para la graficade la funcion.
EJERCICIOS
1. La cantidad de aguacates (en toneladas) producidas en una huerta es proporcional, al numerode arboles en el huerto. Si el huerto consta de 255 arboles y produjo 145 toneladas.
(a) Calcula la constante de proporcionalidad. ¿Que unidades tiene la constante de propor-cionalidad?
(b) Expresa la produccion P como funcion del numero de arboles x.
(c) Elabora la tabla correspondiente para x = 0, 50, 100, 150, 200.
(d) Esboza la grafica de P (x).
2. Los siguientes datos corresponden a la temperatura (en grados celsius) en el desierto delVizcaıno durante un dıa de invierno.
t hora 0 4 8 12 16 20T Temperatura (oC) 2 -5 10 35 25 15
(a) Esboza la grafica mediante una poligonal.
(b) ¿En que momento aproximadamente se alcanza la temperatura maxima? ¿Y la mınima?
3. Los siguientes datos corresponden a observaciones del crecimiento de bacterias en un cultivode E. Coli llevados a cabo en el Instituto Pasteur del sur de India en 1910. Se mantuvieron
8
las bacterias a una temperatura constante de 37 Co y nutrientes de extracto de carne con sal.
t (hr) P(t) (bacterias)0 2,850
0.5 7,5001 17,5002 105,0003 625,0004 2,250,0005 17,750,0006 50,000,000
(a) Esboza la grafica de la poblacion P como funcion del tiempo t, con los datos proporciona-dos.
(b) ¿Cual era la poblacion de bacterias al inicio del experimento?
4. La funcion de costo, C(x), describe el costo de produccion en (miles de pesos) en una granjade truchas para producir x toneladas de trucha al ano. Se determino en un estudio que dichafuncion tenıa la forma
C(x) = −0.005x2 + 12.5x+ 75.
(a) Evalua el costo cada 250 tons., es decir en x = 0, 250, . . . , 1500
(b) Esboza la grafica de la funcion costo C(x) en el intervalo [0, 1500].
(c) ¿Aproximadamente cuantas toneladas tienen el costo maximo? ¿Aproximadamente cuales el costo maximo?
1.2 Funciones lineales
Definicion. Una funcion lineal es una funcion de la forma
f(x) = mx+ b
donde m se llama pendiente y b se llama ordenada al origen.
Las funciones lineales son las funciones mas sencillas que podemos encontrar. Su grafica tambienes muy sencilla.
Afirmacion. La grafica de una funcion lineal f(x) = mx+ b es un recta que interseca al eje y enel punto (0, b). Si θ es el angulo que forma dicha recta con el eje x, entonces θ esta determinadopor la pendiente m,
m = tan θ, θ = tan−1m.
Se sigue de esta afirmacion las siguiente observaciones
1. Si m = 0, entonces la grafica es una recta es horizontal, es decir, paralela al eje x, ademas yes la funcion constante y = b.
2. Si m > 0, entonces la grafica es una recta que forma un angulo θ agudo entre 0o y 90o con eleje x
3. Si m < 0, entonces la grafica es una recta que forma un angulo θ obtuso entre 90o y 180o conel eje x.
9
-1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0
-2
2
4
6
8
10
Figura 1.4: Grafica de y = 4.5x+ 1.5
De esta manera, para trazar la grafica de un funcion lineal cuando conocemos su formula lo unicoque necesitamos es trazar dos puntos y despues unirlos con una recta (una recta esta completamentedeterminada por dos puntos).Ejemplo. Si y es una funcion lineal de x con ordenada al origen 1.5 y pendiente 4.5; entonces larelacion correspondiente se pede expresar como y = 4.5x+ 1.5. Su interseccion con el eje y, es decircon la recta x = 0, es el punto (0, 1.5). Su interseccion con el eje x se puede obtener haciendo y = 0,es decir x = −1.5/4.5 = −1/3. Ası la interseccion con el eje x es el punto (−1/3, 0). Es posibletrazar la grafica de la funcion trazando la recta que pasa por los puntos (0, 1.5), (−1/3, 0).Ejemplo. Los siguientes valores corresponden a una funcion lineal, determinar de que funcion linealse trata.
x 3.5 4.2 0y -1 -2 4
Solucion. Dado que sabemos que y es funcion lineal de x, entonces tenemos que determinar los valoresde la pendiente m y la ordenada al origen b en la ecuacion y = mx+ b. Basta considerar dos parejasde valores para determinar la funcion; por ejemplo, al considerar las parejas (3.5,−1), (4.2,−2) ysustituyendo en la ecuacion de la recta, obtenemos
−1 = 3.5m+ b−2 = 4.2m+ b
Este es un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incognitas m, b. Para resolverlo podemos usarpor ejemplo el metodo de suma o resta: Restamos la segunda ecuacion de la primera y obtenemos
1 = −0.7m
De donde m = −1/0.7. Sustituyendo el valor de m en alguna de las dos ecuaciones, por ejemplo enla primera, se obtiene b = −1 − 3.5(−1/0.7) = −1 + 5 = 4. Por lo tanto, la ecuacion de la funcionlineal que corresponde a la tabla de valores mencionada es
y = −10/7x+ 4
Ejemplo. Una recta forma un angulo de 30o con el eje x y pasa por el punto (1, 2). Determina laecuacion de la recta y = mx+ b.
Solucion. En este caso la pendiente es m = tan 30o = 1/√
3, para determinar el valor de bla ordenada al origen sustituimos m por 0.5, y la pareja (x, y) por (1, 2) en la ecuacion de la rectay = mx+ b.
2 = (1)1/√
3 + b
de donde b = 2− 1/√
3. Finalmente la ecuacion de la recta es = (1/√
3)x+ 2√
3−1√3
.
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Los modelos lineales son muy sencillos y en algunas situaciones pueden describir algunos fenomenosbiologicos.
Ejemplo. En un cultivo de celulas gliales originalmente habıa 1000 celulas; se observo posterior-mente que el numero de celulas presentes se incrementaba en 20 cada semana. Expresa el numerode celulas presentes, P (t), como funcion de t, el numero de semanas transcurridas.Solucion. El modelo lineal que corresponde serıa una ecuacion de la forma
P (t) = mt+ P0
donde la ordenada al origen es P0, convenientemente es la poblacion al inicio del experimento. Lapendiente m indica la porcion de celulas que se incorporan por unidad de tiempo; en nuestro casom = 20 celulas/semana. De esta manera, la funcion lineal que expresa la poblacion de celulas comofuncion del tiempo es
P (t) = 20t+ 1000
Ejemplo. El numero de oyameles presentes en una reserva, decrece de manera lineal por la talaclandestina. Originalmente habıa 2000 ejemplares y 6 meses despues su numero se habıa reducido a1850.
1. Encuentra la funcion lineal que describe el numero de arboles presentes t meses despues deiniciadas las observaciones.
2. ¿En cuanto tiempo desapareceran los oyameles de la zona?
Solucion. Como se trata de una funcion lineal tenemos que emplear la siguiente expresion P (t) =mt + P0. Sabemos que originalmente (cuando t = 0) la poblacion es P0 = 2000 oyameles. Paraconocer el valor de la pendiente m, sustituimos (t, P ) por (6, 1850), en la ecuacion, obteniendo
1850 = 6m+ 2000,
Despejando m, 6m = 1850 − 2000, m = −150/6 = −25. El valor negativo quiere decir que lacantidad de oyameles esta disminuyendo a una rapidez de 25 arboles por mes. Ası tenemos
P (t) = −25t+ 2000
b) Para responder a la pregunta planteada, tomemos en cuenta de que si los oyameles desaparecen,entonces P = 0, es decir,
0 = −25t+ 2000
t =200025
= 80 meses.
Lo que significa que si esta tendencia se mantiene, deben transcurrir 80 meses para que desaparezcanpor completo los oyameles.
EJERCICIOS
1. Encontrar la funcion lineal que proporciona los siguientes datos
x y2 -2.33 1.4
2. Una poblacion de 2000 bacterias se coloca en un cultivo y se observa un crecimiento linealdurante 4 dıas. Al final de los cuatro dıas la poblacion era de 6250 celulas. Escribe la poblacioncomo funcion de los dıas transcurridos. Esboza la grafica en el intervalo [0, 4].
11
20 40 60 80
500
1000
1500
2000
Figura 1.5: Grafica de P (t) = −25t+ 2000
3. Durante el siglo XVII las ballenas del Atlantico Norte casi se extinguieron por a causa delexterminio de la industria pesquera Europea. En un periodo de 50 anos, la poblacion descendiode 25,000 ejemplares a solo 20. Suponiendo una funcion lineal de decremento de la poblacion.
(a) Determina la funcion que describe la poblacion en relacion del tiempo transcurrido enanos.
(b) ¿Aproximadamente cuantas ballenas desaparecıan cada ano durante ese periodo?(c) ¿Despues de cuanto tiempo la cantidad de ballenas se habıa reducido a la mitad?
Aunque aun existen en nuestros dıas las ballenas en el Atlantico Norte, estas estan con-denadas a la extincion.
4. Al inicio del siglo XX en Mexico se hablaban 106 lenguas. Al inicio del 2010, solo se hablan46. Suponiendo una funcion lineal, que expresa el numero de lenguas que se hablan, P , comofuncion de los anos, t, transcurridos desde 1900. ¿Encuentra P0 y m en la ecuacion P = mt+P0.De seguir esa tendencia ¿En cuanto tiempo perdera Mexico su diversidad cultural?
5. El precio de la gasolina es de $ 12.09 el litro. Durante un ano, el precio se incrementara en 9centavos cada fin de mes, a partir de enero.
(a) Escribir el precio P del litro de gasolina como funcion lineal de los t meses transcurridosdesde enero.
(b) ¿Cual sera el precio de la gasolina al finalizar junio?(c) Hacer la grafica de la funcion en el intervalo [0, 12].(d) ¿En que mes el precio de la gasolina sera mayor a $ 13 el litro?
1.3 Funciones crecientes y decrecientes
Definicion. Una funcion f(x) es creciente (resp. decreciente) en un intervalo α < x < β, si paratoda pareja α < x′ < x < β se cumple que f(x′) < f(x) (resp. f(x′) > f(x)).
En general es difıcil determinar si una funcion es creciente o decreciente en un intervalo; ya quees necesario comparar todas las parejas de puntos x′ < x. Dichas parejas son infinitas, ası que enprincipio serıa imposible concluir nuestra tarea.
Tambien es posible entender el comportamiento creciente o decreciente de una funcion en terminosde sus incrementos o decrementos dentro de un intervalo.
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Definicion. El cambio o variacion de una funcion f(x) definida en un intervalo a ≤ x ≤ b sedefine como
∆f = f(b)− f(a).
Si ∆f > 0, decimos que se trata de un incremento. Si ∆f < 0 decimos que se trata de undecremento.
Afirmacion. f(x) es creciente (decreciente) en un intervalo α < x < β si f(x) tiene un incremento(decremento) en todo subintervalo a ≤ x ≤ b, α < a < b < β.
Tambien en terminos de incrementos y decrementos no resulta muy practica la definicion defuncion creciente en un intervalo ya que hay una infinidad de subintervalos a ≤ x ≤ b contenidos enun intervalo α < x < β.
No obstante estas dificultades para determinar si una funcion es creciente o decreciente, para laclase de funciones lineales es relativamente sencillo verificar si se trata de una funcion creciente odecreciente.
Afirmacion. Una funcion lineal f(x) = mx+ b es creciente (resp. decreciente) en todo su dominiosi m > 0 (resp. m < 0).
En aquellas funciones que no son lineales una misma funcion puede tener comportamiento cre-ciente o decreciente en intervalos distintos.
Ejemplo. Supongamos que P (t) es la poblacion de celulas cancerosas en un cultivo sometido acierto farmaco. En un estudio se determino que la ecuacion que describıa la poblacion como funcionde los dıas transcurridos era
P (t) = −0.3t2 + 24t+ 500
Observemos que esta no es una funcion lineal. La poblacion al inicio del experimento (t = 0) era deP (0) = 500 celulas. Para realizar la tabla calculamos la poblacion cada 10 dıas y obtenemos
t dıas 0 10 20 30 40 50 60 70 80P(t) celulas 500 710 860 950 980 950 860 710 500
Al esbozar la grafica parece que la funcion es creciente en el intervalo 0 < t < 40 y decreciente parat > 40.
20 40 60 80 100
200
400
600
800
1000
Figura 1.6: Grafica de P (t) = −0.3t2 + 24t+ 500
Remarquemos que solamente hemos afirmado que ”parece” ser creciente en el intervalo 0 < t <40, basandonos en algunas cuantas parejas de valores de la funcion. Nuestro argumento ademas es
13
sustentado por criterios graficos. Sin embargo, tendrıamos que argumentar de alguna manera que elcomportamiento creciente se mantiene para toda pareja (t′, t), de numeros tales que 0 < t′ < t < 40,no solo para los puntos que hemos considerado. Esta es una de las motivaciones por las que masadelante introduciremos el concepto de derivada.
La totalidad de las celulas desaparecen cuando P = 0. Resolviendo para t tenemos
0 = −0.3t2 + 24t+ 500
Empleamos la formula general para encontrar las raıces de un polinomio cuadratico ax2 + bx+ c, lacual es
x =−b±
√b2 − 4ac
2a
En nuestro caso a = −0.3, b = 24, c = 500. Sustituyendo tenemos
t = −24±√
242−4(−0.3)(500)
2(−.3)
el valor que hace sentido en este problema se obtiene tomando el signo “-” en la raız cuadrada;t = 97.1548 por lo que aproximadamente despues de 97 dıas todas las celulas cancerosas han desa-parecido.
Podemos resumir el comportamiento de la poblacion en el ejemplo anterior como sigue:
• Primero la poblacion ”parece” crecer hasta aproximadamente los 40 dıas.
• La poblacion ”parece” tener un valor ”maximo” de 980 celulas despues de 40 dıas.
• En seguida ”parece” que decrece hasta finalmente desaparecer despues de aproximadamente97 dıas.
De este analisis podemos extraer la siguiente conclusion
Afirmacion. Si f(x) es una funcion creciente (resp. decreciente) en α < x < x0 y decreciente(resp. creciente) en x0 < x < β, y si ademas es una funcion continua; entonces f(x) tiene un valormaximo (resp. mınimo) local en x0. Es decir, f(x0) ≥ f(x) (resp. f(x0) ≤ f(x)), para todoα < x < β.
La condicion de que f(x) sea continua se refiere intuitivamente a que el trazo de su grafica seacontinuo. Nosotros consideraremos siempre funciones continuas por lo que este tecnicismo no seravisto detallado. La denominacion ”maximo local” se refiere a que la funcion adquiere un maximoen un intervalo α < x < β que contiene a x0, pudiendo tener otros maximos fuera de este intervalo.
EJERCICIOS
1. Suponiendo que una funcion tiene la grafica indicada en la figura 1.8 senala aproximadamentecuales son los intervalos en los que es creciente, decreciente y los valores de x donde alcanzaun maximo o mınimo local.
2. En cierto modelo, la tasa de crecimiento de la biomasa es f(x) y es funcion de la biomasa xde un recurso natural. f(x) esta dada por
f(x) = rx(
1− x
K
)donde r es la tasa intrınseca de crecimiento; K es el nivel de saturacion. Para una poblacionde truchas K = 5000, r = 0.05.
14
2 4 6 8 10
-6
-4
-2
2
4
6
Figura 1.7: Una funcion con dos maximos locales y dos mınimos locales
[h] -4 -2 2 4
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
2 4 6 8 10
-6
-4
-2
2
4
6
8
Figura 1.8:
(a) Esboza la grafica de f(x) utilizando los valores x = 1000, 1500, . . . , 3500, 4000.
(b) ¿En que intervalo de 1000 < x < 4000 es creciente la funcion f(x)? ¿donde es decreciente?
(c) Para que valor de x, f(x) alcanza un valor maximo? ¿Cual es el valor maximo de f(x)?
(d) Para que valores de x, la tasa de crecimiento f(x) es 0.
1.4 Funciones exponenciales
Una funcion exponencial de base a, a > 0, a 6= 1, es una funcion que tiene la forma
f(x) = abx.
Tambien las funciones exponenciales tienen criterios muy sencillos para verificar si se trata defunciones crecientes o decrecientes.
Afirmacion. La funcion exponencial f(x) = abx, es creciente
1. Si a > 1, b > 0,
2. Si 0 < a < 1 y b < 0.
Es decreciente
15
-3 -2 -1 1 2 3x
2
4
6
8
10
12
y
Figura 1.9: Graficas de 0.5x, 1.5x, 0.5−2x, 0.52x
1. Si a > 1 y b < 0
2. Si 0 < a < 1 y b > 0.
Para ver como aparecen las funciones exponenciales en el estudio de poblaciones biologicas,analicemos el siguiente ejemplo.Ejemplo. Supongamos que un biologo desea estudiar la reproduccion de unas aves migratorias quellegan a una reserva. Ss sabe que dichas aves tienen un solo periodo de reproduccion al ano. Realizael conteo de la poblacion al final del periodo de reproduccion durante cinco anos consecutivos. Seobtienen los siguientes datos
t P (t) Incremento0 25001 2550 502 2601 513 2653 524 2706 535 2760 546 2815 557 2872 57
Observa que la poblacion no crece de manera lineal (¿Porque?)Sin embargo el patron de crecimiento tiene la siguiente peculiaridad:
Incremento anualPoblacion al inicio del ano
≈ .02
Es decir la tasa porcentual de crecimiento se mantiene mas o menos constante y es de 0.02×100 = 2%.
t P(t) Incremento anual Tasa porcentual de crecimiento0 25001 2550 50 22 2601 51 23 2653 52 1.9994 2706 53 1.9975 2760 54 1.9966 2815 55 1.9937 2872 57 1.985
16
0 10 20 30 40 50t
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
P
Figura 1.10: Graficas de P (t) = 2500(1.02)t con t entero
Este modelo se puede generalizar de la siguiente manera
Afirmacion. Bajo ciertas condiciones es posible suponer que una poblacion se incrementa en lamisma proporcion o porcentaje cada periodo de reproduccion. La ecuacion que describe el crecimiento(decrecimiento) de la poblacion bajo estas circunstancias es
P (t) = P0(1 + r)t para crecimiento
P (t) = P0(1− r)t para decrecimiento
Donde t son los periodos de reproduccion transcurridos. P0 es la poblacion inicial (cuando t = 0).r es la tasa porcentual de crecimiento (decrecimiento) por periodo de reproduccion.
Regresando a los datos del ejemplo anterior vemos como haciendo r = .02 y P0 = 2500 tenemosel modelo exponencial P (t) = 2500(1.02)t. A continuacion contrastamos los datos observados conlos datos predichos por el modelo.
t Poblacion P(t)0 2500 25001 2550 25502 2601 26013 2653 2653.024 2706 2706.085 2760 2760.2026 2815 2815.4067 2872 2871.714
Ejemplo. Una poblacion de ballenas se reproduce una sola vez al ano. Inicialmente hay 850individuos y despues de un ano la poblacion es de 857. Suponiendo un modelo a tasa porcentualconstante una vez cada ano, P (t) = P0(1 + r)t.
1. Determina el valor de la poblacion inicial P0 y de la tasa porcentual de crecimiento r.
2. ¿Cual sera la poblacion 10 anos despues de iniciadas las observaciones?
17
0 10 20 30 40 50t
200
400
600
800
1000
1200
P
Figura 1.11: Grafica de P (t) = 850(1 + .008235)t con t entero
Solucion. Es claro que P0 = 850 (¿porque?). Para determinar el valor de r, basta considerar laproporcion en la que se incremento la poblacion al cabo de un ano.
r =Incremento de la poblacion
Poblacion al inicio del periodo=
857− 850850
r =7
850≈ .008235
El modelo exponencial es
P (t) = 850(
1 +7
850
)t,
basta sustituir t = 10.
P (10) = 850(
1 +7
850
)10
≈ 923.
Tambien puede estudiarse el decrecimiento de poblaciones con este modelo exponencial. En estecaso la ecuacion que describe la poblacion como funcion del tiempo es
P (t) = P0(1− r)t
donde r tiene ahora un signo menos que indica que se trata de una tasa de decrecimiento.
Ejemplo. Una poblacion de monos arana en una region de la selva en Campeche disminuyo de 1320ejemplares a 1200 ejemplares en 6 anos. Suponiendo un modelo de decrecimiento a tasa porcentualconstante, P (t) = P0(1− r)t y un periodo de reproduccion al ano. Determina el valor de la tasa dedecrecimiento.Solucion. Debemos despejar r de la ecuacion
P = P0(1− r)t(1− r)t = P
P0
1− r =(PP0
) 1t
r = 1− t
√PP0
18
0 5 10 15 20 25 30t
200
400
600
800
1000
1200
1400P
Figura 1.12: Grafica de P (t) = 1320(1− .01576)t con t entero
Sustituyendo P0 = 1320, t = 6 y P (6) = 1200, tenemos:
r = 1− 6
√12001320
≈ .01576
es decir una tasa porcentual constante de decrecimiento de 1.576%.
Observacion. El despeje para r en el modelo de crecimiento P (t) = P0(1 + r)t es
r = t
√P
P0− 1.
en tanto que para el modelo de decrecimiento (como en el problema anterior)es
r = 1− t
√P
P0.
EJERCICIOS
1. Una poblacion de golondrinas que arriba a una comunidad se incremento de 5600 ejemplaresa 5630 al cabo de un ano. Suponiendo un periodo de reproduccion anual a tasa porcentualanual constante. Determina dicha tasa r.
2. Durante la revolucion mexicana la poblacion en Mexico disminuyo de 15 millones en 1910,a 13.9 millones de habitantes en 1920. Suponiendo un modelo exponencial anual P (t) =P0(1− r)t, donde t son los anos transcurridos desde 1910 y P0 es la poblacion de 1910 y r esla tasa porcentual anual de decrecimiento.
(a) Determina la tasa porcentual anual de decrecimiento, r.
(b) Esboza la grafica de la funcion usando t = 0, 1, 2, . . . , 10
3. El precio del gas se incrementara en 5 % mensual al final de cada mes a partir de enero. Si elprecio original del cilindro de gas es 285 pesos al 1 de enero. Escribe el precio del cilindro degas como funcion de los meses t transcurridos a partir del inicio del ano. ¿Cual sera el precioel 31 de julio?.
19
1.5 La funcion exponencial ex
1.5.1 Crecimiento exponencial continuo de poblaciones
Hemos visto que el modelo de crecimiento exponencial de una poblacion P (t) = P0(1 + r)t, suponelas siguientes hipotesis:
A) La poblacion se reproduce con una tasa porcentual constante.B) La poblacion se incrementa por ”saltos”, es decir, solo lo hace una vez por periodo de repro-
duccion.La hipotesis B es adecuada para describir el crecimiento de algunas poblaciones como las golondri-
nas, ballenas, para las cuales las escalas temporales pequenas no son tan importantes. Por ejemplo,para una poblacion que se reproduce una sola vez al ano, no nos interesa mucho saber cual es lapoblacion en escala de dıas entre dos fechas de conteo sucesivas.
Sin embargo esta hipotesis resulta inadecuada y poco realista ya que en general la dinamica depoblaciones tiene lugar de manera continua. En el tiempo los organismos nacen y mueren sin teneruna fecha especıfica para hacerlo, por lo que el conteo de la poblacion debe considerarse como unfenomeno continuo en el tiempo que no se produce mediante saltos.
Por ejemplo en el estudio del crecimiento semanal de bacterias en un cultivo, no es posible suponerque la poblacion se incrementa solo cada semana. Es mas factible suponer que la poblacion se estaincrementando de manera continua, instante a instante. En otras palabras, las escalas de tiempopequenas (por ejemplo horas, minutos o segundos) resultan importantes para el bacteriologo.
Ejemplo. Una poblacion de 30000 bacterias en un cultivo se reproduce a tasa porcentual constantede 5 % semanal. Calcula la poblacion de bacterias transcurridas 2 semanas, suponiendo que sereproducen una vez cada: a) Semana; b) Dıa; c) Hora; d) Minuto; e) Segundo.Solucion. a) Sustituimos P0 = 30000, r = .05 y t = 2 en el modelo P (t) = P0(1 + r)t,
P (2) = 30000(1.05)2 = 33075
b) Suponiendo que las bacterias se reproducen una vez por dıa, entonces la dinamica de lapoblacion de bacterias difiere. Denotemos k = 7 el numero de dıas de la semana. Entonces dadoque la tasa porcentual r = 0.05 es semanal, debemos considerar una nueva tasa porcentual diaria,a saber, r/k = .05/7. Ademas en 2 semanas debemos considerar kt = 7(2) = 14 periodos dereproduccion de donde, la poblacion al final de las dos semanas serıa
P = P0
(1 +
r
k
)kt= 30000(1 + .05/7)14 ≈ 33143.
Para los siguientes incisos podemos completar la siguiente tabla que muestra la evolucion de lapoblacion para los distintos ritmos de reproduccion
k Tasa porcentual P(t)1 5% semanal 330757 5/7% por dıa 33143
168 5/168% por hora 3315410080 5/10080% por minuto 33155
604800 5/604800% por segundo 33155
Del ejercicio anterior vale la pena hacer las siguientes observaciones.
Observacion. Para un ritmo de reproduccion mas acelerado, la poblacion despues de dos semanastiende a ser mayor. Por ejemplo para un ritmo diario (k = 7), la poblacion esperada es de 33143,mientras que para un ritmo que toma escalas de tiempo de segundos (k = 604800), la poblacion esde 33155 (mayor).
20
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0t
30 000
31 000
32 000
33 000
P
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0t
30 000
31 000
32 000
33 000
P
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0t
30 000
31 000
32 000
33 000
P
Figura 1.13: Grafica de P (t) = 30000(1 + .05/k)kt, k = 1, 7, 168
Para periodos de reproduccion cada vez mas pequenos, la poblacion despues de dos semanastiene a estabilizarse en un valor determinado de aproximadamente 33155 bacterias al final de dossemanas.
Afirmacion. Si en el modelo de crecimiento exponencial a tasa porcentual constante r
P0
(1 +
r
k
)kt,
nos interesa predecir el comportamiento de la poblacion a escalas de tiempo pequenas, debemos tomark muy grande (esto se escribe k →∞).Cuando hacemos esto, la poblacion que obtenemos se aproxima a un valor que denotamos
P (t) = limk→∞
P0
(1 +
r
k
)kt.
En el ejemplo de las bacterias que acabamos de analizar se tiene
limk→∞
30000(1 + r/k)2k ≈ 33155.
Resulta sorprendente que esta aproximacion puede calcularse mediante una formula, es decir, nosera necesario hacer k →∞ para poder calcular la poblacion tomando en cuenta escalas de tiempopequenas.
Afirmacion. Se tiene el lımite
limk→∞
P0
(1 +
r
k
)kt= P0e
rt.
donde e ≈ 2.71828182... es cierto numero irracional (no periodico) al que se llama la base de loslogaritmos naturales.Por tanto un modelo de crecimiento exponencial que toma en cuenta escalas muy pequenas de tiempo,tiene por ecuacion
P (t) = P0ert
A dicho modelo tambien se le denomina exponencial continuo, porque toma en cuenta que lapoblacion crece instante a instante.
En el ejemplo de las bacterias se tiene 30000e.05 ≈ 33155Ejemplo. Consideremos una poblacion de peces introducidos en una presa consta de 100 mil ejem-plares y crece a una tasa anual del 50 %, suponiendo un crecimiento anual, semestral, bimestral ymensual se tiene
P (t) = 100(1 + .5/k)kt,
con k = 1, 2, 6, 12. Sus graficas aparecen en la fig. 1.14. Al considerar un crecimiento continuo en eltiempo, k →∞, de donde se tiene P (t) = 100e.5t.
21
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0t
100
150
200
250
PHmilesL
Figura 1.14: Graficas de P (t) = 100(1 + .5/k)kt, k = 1, 2, 6, 12, y grafica de P (t) = 100e.5t
Ejemplo. La poblacion de Mexico en el 2002 fue de 101.8 millones de habitantes. Si la tasa decrecimiento era 1.4 % anual. Suponiendo que se mantiene constante.
1. Calcula la poblacion en el 2010 utilizando el modelo exponencial continuo P (t) = P0ekt.
2. Bajo esa misma dinamica poblacional, calcula la poblacion que habıa en el 2000.
Solucion. Podemos considerar P0 = 101.8 millones como la poblacion inicial, t el numero de anostranscurridos desde el 2002. Para calcular la poblacion en el 2010, utilizamos r = .014 y t =2010− 2002 = 8,
P (8) = 101.8e.014×8 ≈ 113.9 millones.
Grafica de P (t) = 101.8e.014t
Para calcular la poblacion que hubo en el 2000 hacemos t = 2000− 2002 = −2,
P (−2) = 101.8e.014(−2) = 98.9 millones.
Ejemplo. En cierto paıs la tasa porcentual de crecimiento es r = .04. ¿En que proporcion se habraincrementado la poblacion en cinco anos? Suponiendo un modelo exponencial continuo.Solucion. Como tenemos un modelo exponencial continuo se tiene P (t) = P0e
rt = P0e.04t. Despues
de cinco anos,
P (5) = P0e.04(5) = P0e
.2 = P0(1.2214)
Quiere decir que la poblacion se habra incrementado en una proporcion
P (5)P0
=1.2214P0
P0= 1.2214,
que en porcentaje se traduce en un 1.2214× 100 = 122.14%.
22
-5 0 5 10 15 20t
90
100
110
120
130
140
150PHmillL
Figura 1.15: Grafica de P (t) = 101.8e.014t
Observacion. Notamos que la funcion exponencial P (t) = P0ert tiene las siguientes propiedades:
A). Es creciente si r > 0B). Es decreciente si r < 0.C). P (0) = P0.D). Siempre es positiva (si P0 lo es). En particular no existe ningun valor de t para el cual
P (t) = 0.E). Si r > 0, para valores positivos grandes de t, P (t) tiene valores grandesF). Si r < 0, para valores negativos grandes de t, P (t) es muy cercana a 0.
1.5.2 El logaritmo natural y tiempo de duplicacion
Definicion. Dado una numero positivo y > 0, entonces x es el logaritmo natural de y si
y = ex
y se escribex = ln y.
El logaritmo natural tiene la siguiente propiedad ln ex = x = eln x. La cual es util en algunosproblemas que involucran la funcion exponencial. En la fig. 1.16 aparece la grafica de la funcionlogaritmo natural.
Ejemplo. Suponiendo que la poblacion mundial crece continuamente de manera exponencial contasa anual 1.6 % y que en 1995 la poblacion fue de 5770 millones de habitantes. Calcula el tiempopara el cual la poblacion alcanzara los 7000 millones de habitantes con este modelo. Calcula eltiempo de duplicacion de la poblacion.Solucion. Tenemos que despejar t de la ecuacion
P = P0ert.
De la ecuacion obtenemos ert = PP0
. Aplicando logaritmo rt = ln PP0
, finalmente
t =ln P
P0
r
23
1 2 3 4x
-4
-2
2
4
ln x
Figura 1.16: Grafica de lnx
-10 0 10 20 30 40 50t
6000
8000
10 000
12 000
14 000PHmillL
Figura 1.17: Grafica de P (t) = 5770e.016t
Sustituyendo r = .016, P = 7000 y P0 = 5770 obtenemos
t =ln 7000
5770
.016= 12.07
que corresponde al ano 1995 + 12 = 2007.Para calcular el tiempo de duplicacion despejamos t de la ecuacion, P = 2P0.Es decir, de 2P0 = P0e
rt,, obtenemos la formula general,
t =ln (2)r
.
En nuestro ejemplo particular t = ln 2/.016 = 43.32; que corresponde a aproximadamente el ano1995+43=2038.
Ejemplo. Si la poblacion de un paıs crece de 16 millones a 18.5 millones en 10 anos. Calcula latasa de crecimiento en el modelo exponencial P = P0e
rt. Solucion. El despeje de r utilizando laspropiedades del logaritmo natural es
r =ln P
P0
t
24
[h] 0 50 100 150 200 250 300 350tHhrsL
2
4
6
8
10
yHgrL
Figura 1.18: Ley de decaimiento del Rn22286 , y(t) = 10e−.0077t
Sustituyendo P = 18.5, P0 = 16 y t = 10, tenemos
r =ln 18.5
16
10= .0145.
que corresponde a una tasa porcentual de 1.45 % anual.
1.5.3 Decaimiento radioactivo
La funcion exponencial ex aparece tambien en otros contextos en los que se describe un decaimientode una cierta magnitud como funcion del tiempo.
Segun la explicacion de Rutherford para la radioactividad, los atomos de ciertos elementos muypesados son inestables y se transforman en otros elementos cuyos atomos son mas ligeros, emitiendo;
Partıculas α: combinacion de dos protones y dos neutrones.Partıculas β: electrones energeticos.Partıculas γ: fotones de alta energıa o rayos X.Por ejemplo el isotopo de radon Rn222
86 es un elemento radioactivo. Rutherford descubrio que siy0 es la cantidad original de una muestra de material radioactivo, y si y(t) es la cantidad de materialradioactivo presente en una muestra t horas despues de iniciadas las observaciones, entonces
y(t) = y0e−λt
Esta es la “ley de decaimiento radioactivo” y expresa la cantidad de material radioactivo presentecomo funcion del tiempo. La constante λ se llama la constante de desintegracion radioactiva delelemento.
Para el Rn22286 , la constante radioactiva es λ = 0.0077 y sus unidades son horas−1.
Ejemplo. Calcula la porcion de material radioactivo presente en una muestra de 10 gr de Rn22286
despues de 240 horasSolucion. Tomamos y0 = 10 y entonces
y(240) = 10e−0.0077(240) = 10e−1.848 = 1.58 gramos
Consideremos la ley de decaimiento radioactivo
Q = Q0e−λt
25
0 50 100 150 200 250 300 350tHhrsL
2
4
6
8
10
yHgrL
Figura 1.19: Vida media de Rn22286
donde Q0 es la cantidad original de material radioactivo, λ es la constante radioactiva, Q es lacantidad de material radioactivo presente despues de t unidades de tiempo.
La vida media, tm, de una sustancia radioactiva se define como la cantidad de tiempo requeridapara reducir a la mitad la cantidad de la sustancia radioactiva del material. Es una constante quesolamente depende de la sustancia y que se puede relacionar a la constante radiactiva, mediante larelacion
Q =Q0
2, Q0e
−λtm =Q0
2de donde es posible obtener la relacion
tm =ln(
12
)−λ
=ln 2λ
Por ejemplo para Rn22286 la vida media es tm = ln 2/.00779 = 88.98 horas (ver figura).
1.5.4 Fechamiento de minerales y fosiles
La funcion exponencial es util en el fechamiento de minerales y fosiles para determinar el tiempoen el que vivieron organismos o para determinar la edad de una roca. En 1960 W. Libby gano elPremio Nobel por su descubrimiento del metodo de datacion de carbono. El metodo consiste enconsiderar la proporcion de carbono 14 respecto al carbono 12 presente en un tejido muerto. Debidoa que el carbono 14 decae en carbono 12, dicha proporcion disminuye respecto a la proporcioncarbono 14/ carbono 12 presente en la atmosfera.
Se determino que la vida media del carbono 14 es de 5730 anos por lo que su constante radioactivase obtiene de la relacion
λ =ln(
12
)−tm
=ln 2tm
sustituyendo tm = 5730 se obtiene λ = .00012097.
Ejemplo. Un fosil tiene 30 % del carbono 14 que contenıa originalmente. Calcula la edad del fosil.
Solucion. Basta considerar la relacion QQ0
= e−λt, de donde Q/Q0 = e−λt. Empleando ellogaritmo natural a ambos lados de la ecuacion
t =ln Q
Q0
−λ
26
sustituyendo en nuestro caso particular se tiene
t =ln 0.3
−.00012097≈ 9953.
1.6 Ejercicios de repaso
1. Expresa el area de un cuadrado como funcion de la longitud de uno de sus lados.
2. La presion P de un gas a volumen constante es funcion de su temperatura de acuerdo a lafuncion lineal
P (T ) = kT + b
para unas constantes k y b. Supon que en un experimento cuando T = 0 oC se midio P =760mmHg; despues cuando T = 100 oC, se midio P = 1040mmHg.
(a) Determina el valor de las constantes k y b en este experimento. ¿Que unidades tienen ky b?
(b) El cero absoluto se puede aproximar haciendo P = 0. De la ecuacion P = kT+b encuentrael valor T para el que P = 0.
3. El nivel de CO2 en partes por millon (ppm) en el Observatorio Mauna Loa fue de 325.3 en1970 y 338.5 en 1980. Asumiendo que el nivel de CO2 crece de manera lineal
(a) Encuentra la ecuacion que determina la concentracion de CO2, C(x), como funcion linealdel tiempo x (en anos transcurridos desde 1970). ¿Cual es la pendiente y cual es laordenada al origen?
(b) Usa esta ecuacion para predecir el nivel de CO2 en 1900 y en 2010.
4. La reaccion del cuerpo a las drogas esta dada por la ecuacion
R(D) = D2
(M
2− D
3
)donde D es la dosis administrada, M es una constante que representa la dosis que producemaxima reaccion.
(a) Utiliza M = 200 y esboza la grafica de la funcion utilizando los siguientes valores de D,0, 50, . . . , 300, 350.
(b) ¿En que intervalos es creciente/decreciente R(D)?.
5. La temperatura corporal en un individuo sigue un ciclo circadiano con un modelo dado por lasiguiente ecuacion
T (t) = 0.002(t3 − 45t2 + 609t+ 16000)
donde T (t) es la temperatura corporal y t es el tiempo en horas transcurrido desde las 8 hastael fin del dıa, 8 ≤ t ≤ 24.
(a) Evalua la temperatura T (t) cada 2 horas, es decir para t = 8, 10, . . . , 24.
(b) ¿En que intervalos la temperatura es creciente/decreciente?
(c) ¿Aproximadamente a que hora alcanza la temperatura maxima y la mınima?
27
6. La Ley de Enfriamiento de Newton establece que la razon de enfriamiento R de un objetocaliente es directamente proporcional a la diferencia entre la temperatura T del objeto y latemperatura del ambiente T0, con constante de proporcionalidad k.
(a) Escribe la ecuacion que describe R como funcion de T . ¿Cual es la pendiente, la ordenadaal origen?.
(b) Suponiendo que en la cocina hay una temperatura T0 = 20oC y que cuando una tasa decafe tiene temperatura T = 40oC, entonces R = 5oC/seg, calcula la constante k.
(c) Esboza la grafica de la recta del inciso anterior.
7. Una poblacion de golondrinas se reproduce cada otono (una vez al ano), con una tasa decrecimiento de r = 2% anual o r = 0.02 ano, con una poblacion inicial P0 de 10,000 ejemplares.
(a) Emplea el modelo de crecimiento con una replicacion anual
P (t) = P0(1 + r)t
donde t son los anos transcurridos para calcular la poblacion en t = 0, 1, 2, . . . , 8.
(b) Esboza la grafica con estos valores.
(c) ¿En cuanto tiempo se duplica la poblacion?
8. La poblacion P de una ciudad como funcion del tiempo t, suponiendo el modelo utilizado enel problema anterior, tiene la forma
P (t) = 80, 000(1.015)t
(a) Determina la razon anual de crecimiento r y la poblacion inicial P0.
(b) Determina el momento t en el que se duplica la poblacion.
9. Una poblacion crece a una tasa porcentual constante 2.5 % anual. Dentro de 5 anos la poblacionsera de 15000 individuos ¿Cual es la poblacion actualmente? Emplea el modelo de crecimientocon una replicacion anual P (t) = P0(1 + r)t.
10. Una poblacion de mosquitos se reproduce una vez al mes. Calcula la tasa de reproduccion men-sual si la poblacion crece de 9000 a 9095 durante dos meses. Emplea el modelo de crecimientocon una replicacion mensual P (t) = P0(1 + r)t
11. Una poblacion de bacterias crece de manera continua de 6000 a 9000 celulas durante 24 horas.Determina la ley de crecimiento exponencial P (t) = P0e
rt.
12. Unos pergaminos datan de ano 100 antes de n. e. Determina el porcentaje de carbono 14 aunpresente en la fecha de su descubrimiento en el ano 1947.
13. La datacion de carbono 14 del manto de Turın se realizo en 1988. El estudio arrojo que estabapresente el 92.3 % del carbono 14 original del Santo Sudario.
(a) Calcula la edad probable del Santo Sudario.
(b) Calcula el porcentaje presente de carbono 14 si en realidad se tratara de una reliquia de1960 anos de edad.
(c) En el ano 1398, ante el papado, el obispo Pierre d’Arcis, acuso a un colega de falsificaciondel Santo Sudario. Determina si tenıa razon el obispo en sus acusaciones.
28
14. Una poblacion de bacterias crece de acuerdo a la ley de evolucion P (t) = 1000− 600t+ 30t2.Donde t es el numero de horas transcurridas desde iniciado el experimento.
(a) Encuentra el tiempo t0 ≥ 0, para el cual la poblacion se hace 0.
(b) Esboza la grafica de la funcion en el intervalo [0, t0] .
15. Supon que la inflacion en Mexico crece de manera continua con tasa del 4.5 % anual.
(a) Si el litro de gasolina cuesta 7.9 pesos. Escribe la funcion que describe el precio P dellitro de gasolina en terminos del tiempo t medido en anos.
(b) ¿Dentro de cuantos anos se duplicara el precio de la gasolina?
(c) En otro paıs el precio de gasolina se incrementa de 7.9 a 10 pesos en 5 anos ¿cual es latasa de inflacion en ese paıs?
16. El rubidio 87, Rb87, es un elemento inestable y decae exponencialmente a estroncio 87, Sr87
emitiendo radiacion beta. Se le encuentra abundantemente en muchos minerales en la Tierra.
(a) Si la cantidad de Rb87 presente en un mineral se reduce a la mitad en aproximadamente4.7 × 1010 anos. Calcula la tasa λ de decrecimiento anual en el modelo exponencialQ (t) = Q0e
−λt.
(b) En un pedazo de biotita hallado en el Gran Canon se encontro 202 partes por millon(ppm) de Rb87 y 3.97 ppm de Sr87. Suponiendo que originalmente la concentracion deRb87 en la biotita era de Q0 = 205.97 = 202 + 3.97 ppm ¿cual es la edad de la roca?
17. Una poblacion de pingYinos en una reserva descendio de 2500 ejemplares en 1970 a solo 1000ejemplares en el 2000. Suponiendo un modelo de decrecimiento lineal calcula la poblacion quehabra en el 2008. Esboza la grafica que describa el comportamiento desde 1970 hasta el 2008.De seguir esa tendencia ¿En que momento se extinguira dicha especie?
18. Una poblacion de antılopes migrantes del norte de Canada esta creciendo a una tasa porcentualconstante de 1.5% anual. Suponiendo un periodo de reproduccion anual, si en este momentohay 60,000 ejemplares calcula en cuanto tiempo se duplicara la poblacion.
19. La cantidad que queda de una sustancia radioactiva despues de t anos esta dada por Q(t) =Q0e
−0.0001t. Si despues de 5000 anos hay 200 gramos de sustancia ¿Cuantos gramos habıainicialmente?
20. Una cuenta de banco que capitaliza mensualmente crece de 25000 a 25060 pesos en 2 meses.Calcula la tasa mensual de interes.
21. Al producirse x unidades de cierto artıculo, el precio unitario de cada unidad sera P (x) =40e−.05x dolares. a) ¿Que cantidad debe producirse para que el precio unitario sea de 10dolares. b) Esboza la grafica utilizando x = 0, 20, 40, 60, ..., 100.
22. En una cuenta de banco se invirtieron 45,000 pesos durante 6 meses a capitalizacion mensual.Al final de estos 6 meses la cuenta ascendio a 46,200 pesos. a) Calcula la tasa porcentualmensual de la inversion. b) Calcula a cuanto ascendera el monto si los 45,000 se inviertendurante 25 anos.
23. En una zona en recuperacion del santuario de la mariposa monarca se observa 30,000 ejemplaresse incrementan a 30,560 durante un ano. Suponiendo que la poblacion de mariposas monarcase incrementa un vez cada ano a tasa porcentual constante: a) determina la tasa porcentualde crecimiento anual, b) Calcula la poblacion que habra en la zona despues de 10 anos.
29
24. Una poblacion de bacterias crece de acuerdo a la relacion P = P0e.05t. Encuentra t para el
cual se duplica la poblacion.
25. Una poblacion de bacterias crece de acuerdo a la ecuacion P = 1000ert. Encuentra la razonde crecimiento r para la cual la poblacion llega de 1000 a los 5000 en 4 dıas.
26. Un cultivo de E. coli crece de acuerdo al modelo exponencial, tiene un tiempo de duplicacionde 16 minutos. Cuando t = 0 se tenıa una poblacion P0 = P (0) = 20, 000 bacterias.
(a) Encuentra la expresion para el numero de bacterias despues de t horas.
(b) Encuentra el numero de bacterias despues de 6 horas.
(c) ¿Cuando se tendra una poblacion de P = 1, 000, 000 de bacterias?
27. Un cultivo de bacterias esta en fase de crecimiento exponencial. 2 horas despues de iniciadoel experimento el conteo fue de 5,000 bacterias. 7 horas despues habıa 256,000 bacterias.
(a) ¿Cual era el numero de bacterias cuando inicio el experimento, es decir en t = 0?
(b) Determina el numero de bacterias P (t) como funcion exponencial para t ≥ 0.
(c) ¿Cual es el tiempo de duplicacion del cultivo?
28. Inicialmente habıa 100 mg presentes de cierta sustancia radioactiva. Despues de 6 horasdisminuyo en un 3 %. Encuentra la cantidad de sustancia radioactiva que queda despues de24 horas y determina la vida media de la sustancia.
29. En un pedazo de madera quemada de la caverna de Lascaux se encontro que un 85.5 % delC14 ya se habıa desintegrado. ¿Que edad tenıa ese pedazo de madera?
30. La planta de girasol en cierta region crece de acuerdo a la siguiente ecuacion logıstica
y(t) =261.1
e−.613132(t−4.89) + 1
donde y es la altura promedio (en cm), t semanas despues de iniciado el experimento.
(a) Esboza la grafica de y(t) en el intervalo t ∈ [0, 12].
(b) Cuando ha transcurrido mucho tiempo ¿a que valor se aproxima y?
30
Capıtulo 2
La Derivada
2.1 Razon media de cambio
Definicion. El cambio o variacion de una funcion f(x) en un intervalo α ≤ x ≤ β se define como
∆f := f(β)− f(α)
La razon media de cambio o tambien llamada tasa media de variacion de la funcion f(x) enun intervalo α ≤ x ≤ β es
∆f∆x
:=f(β)− f(α)
β − α
Afirmacion. Si f(x) es una funcion lineal, entonces para todo intervalo α ≤ x ≤ β, la tasa mediade cambio de f(x) en α ≤ x ≤ β es la pendiente
∆f∆x
= m
En efecto∆f∆x
=f(β)− f(α)
β − αsustituyendo por le expresion que define la funcion lineal se tiene
Afirmacion. Una funcion f(x) es creciente (respectivamente decreciente) en un intervalo (a, b)si para todo intervalo [x0, x1] contenido en (a, b), es decir, para todo a < x0 < x1 < b, se tiene quela variacion de f(x) en [x0, x1] es positiva, ∆f > 0 (respectivamente negativa, ∆f < 0).
Intuitivamente la tasa media de cambio en un intervalo se interpreta como la rapidez promediocon la que ha cambiado la funcion o cantidad dependiente durante el intervalo.
Ejemplo. La cantidad de larvas de mosquito presentes en un estanque t dıas despues de que seiniciaron las observaciones, obedece la ecuacion P (t) = −.5t2 + 25t+ 100. Calcula la tasa media devariacion desde iniciado el experimento hasta despues de a) 1 dıa, b) 10 dıas, c) 20 dıas, d) 50 dıas.¿Cuales son las unidades de la tasa media de variacion?
Solucion. Elaboramos la siguiente tabla para calcular las tasas pedidas
Intervalo ∆t P (t) ∆P (t) ∆P (t)/∆t0 ≤ t ≤ 1 1 124.5 24.5 24.50 ≤ t ≤ 10 10 300 200 200 ≤ t ≤ 20 20 400 300 150 ≤ t ≤ 50 50 100 0 0
31
notamos que las unidades de la tasa media de variacion son las unidades de P entre las unidadesde t, es decir, en este ejemplo son larvas/dıa. Una tasa positiva indica un crecimiento de las larvaspresentes en el estanque, en tanto que una tasa negativa indica un decrecimiento de las larvaspresentes en el estanque.
Intuitivamente, la tasa media de variacion indica la rapidez promedio con la que han crecido laslarvas en el estanque durante el intervalo de tiempo indicado. Ası por ejemplo, una tasa media devariacion de 20 larvas/dıa en el intervalo de 0 a 10 dıas, se interpreta diciendo que en los primerosdiez dıas la poblacion de larvas crecio con una rapidez promedio de 20 larvas por dıa. Esto no quieredecir que la poblacion crecio a un ritmo de 20 larvas por dıa, cada dıa, ya que por ejemplo el primerdıa la rapidez promedio fue de 24.5 larvas/dıa. Mas bien lo que significa es una rapidez promediotomando en cuenta el crecimiento neto de la poblacion desde el inicio y hasta el final de los diezdıas.
Ejemplo. Supongamos que en otro estanque hay 100 larvas originalmente. Las larvas crecen a unatasa media de variacion constante de 20 larvas/dıa cada dıa. Encontrar la funcion que describe lapoblacion de larvas en terminos de los dıas transcurridos y la tabla del ejemplo anterior.
Podemos asegurar que en la poblacion de larvas crece de manera lineal con una formula P (t) =20t+ 100. En tal caso la tasa media de variacion siempre vale
∆P∆t
= 20 larvas/dıa.
sin importar el intervalo de dıas que se este considerando. Ası por ejemplo se tendrıa la siguientetabla
Intervalo ∆t P (t) ∆P (t) ∆P (t)/∆t0 ≤ t ≤ 1 1 120 20 200 ≤ t ≤ 10 10 300 200 200 ≤ t ≤ 20 20 500 400 200 ≤ t ≤ 50 50 1100 1000 20
EJERCICIOS
1. La cantidad de bacterias en un cultivo crece a razon media constante de 1000 bacterias pordıa. Si despues de 4 dıas el cultivo tiene 20,000 bacterias¿Cuantas bacterias habıa al inicio delexperimento?.
2. Una poblacion de bacterias que crece de acuerdo a la ley exponencial continua P (t) = 20, 000e.05t,donde t son los dıas transcurridos desde iniciado el experimento. Calcula la razon media decrecimiento en el los intervalos a) [0, 1]; b) [2, 3]; c) [3, 4]; d) [5, 4].
2.2 Razon instantanea de cambio
La tasa media de variacion en un intervalo es una nocion de rapidez promedio de cambio de lafuncion en el intervalo dado. Por tratarse de un promedio se trata de una aproximacion burda queno contiene informacion del comportamiento de la funcion dentro del intervalo.
En problemas de mecanica donde la variable independiente t es el tiempo y la variable dependientes(t) es la distancia, la razon media de cambio es la velocidad media del movil. En este contexto, unauto que recorre durante una hora un trayecto de 80 km, indica que la rapidez media promedio es
∆s∆t
=80 km1 hr
= 80 km/hr.
32
que es la velocidad media en el trayecto. Esto no significa que el velocımetro marca en todo momento80 km/hr. La velocidad no necesariamente permanecio constante quizas disminuyo en ciertos inter-valos de tiempo o quizas fue superior a 80 km/hr en otros. No obstante manteniendo un promedio de80 km/hr. La velocidad que marca el velocımetro en cada instante de tiempo es lo que denominamosla velocidad instantanea del automovil.
Mientras la velocidad media ∆s/∆t depende de un intervalo de tiempo, la velocidad instantaneadepende solo del instante que consideremos.
Para clarificar el concepto de velocidad instantanea de un movil analicemos el siguiente ejemploque concierne a la caıda libre de un cuerpo.Ejemplo. Supongamos que un cuerpo se deja caer desde el ultimo piso de un edificio a una alturade 30 m. La ecuacion que describe la altura s(t) como funcion del tiempo t transcurrido desde quese suelta es s(t) = 30 − gt2/2, donde g = 9.81m/s2. Calcula la velocidad instantanea del objeto 1segundo despues de que se solto.
Solucion. Aproximamos la velocidad instantanea como velocidades medias en intervalos detiempo cada vez mas pequenos, digamos en los siguientes intervalos
[.9, 1], [.99, 1], [.999, 1], [.9999, 1], [.99999, 1]
Ası obtenemos la tabla de evaluaciones
t s(t).9 26.027
.99 25.1926.999 25.1048
.9999 25.0951.99999 25.094018
1 25.095
que a su vez nos permite obtener ∆s en cada intervalo. Ası Calculamos velocidades medias
Intervalo ∆t ∆s ∆s/∆t.9 ≤ t ≤ 1 .1 -.93195 -9.3195.99 ≤ t ≤ 1 .01 -0.0976095 -9.76095.999 ≤ t ≤ 1 .001 -0.0098051 -9.8051.9999 ≤ t ≤ 1 .0001 -0.000980951 -9.80951.99999 ≤ t ≤ 1 .00001 -0.0000980995 -9.80995
Cuando los intervalos de tiempo son cada vez mas pequenos, mas ”cerca” nos encontramos enun ”instante” de tiempo. Observamos que la velocidad media se aproxima cada vez mas a un valorespecıfico −9.81 m/s, ası la velocidad instantanea sera aproximadamente −9.81 m/s, el signo menossignifica que la altura va disminuyendo durante la caıda.
El concepto de velocidad instantanea en problemas de mecanica, puede extrapolarse a otroscontextos y ası hablamos de la razon instantanea de cambio o tasa instantanea de variacionde una funcion f(x) en el instante x0, como un lımite de la rapidez media de cambio
Razon instantanea de cambio de f en x0 = lim∆x→0
∆f∆x
Para el calculo de dicho lımite se procede a construir aproximaciones sucesivas como en el ejemploque previamente analizamos.Ejemplo. Una poblacion de bacterias crece de acuerdo a la regla, P (t) = −5t2 + 100t + 2000.Calcula la velocidad media en los intervalos
[2, 2.1], [2, 2.01], [2, 2.001], [2, 2.0001]
¿Cual es valor de la rapidez instantanea de cambio en t = 2? ¿La poblacion crece o decrece en t = 2
33
Solucion. Primero procedemos a calcular las evaluaciones de la funcion en los tiempos indicados,
t P (t)2.1 2187.950000
2.01 2180.7995002.001 2180.079995
2.0001 2180.0079992 2180
Enseguida calculamos rapidez media en intervalos cada vez menores de tiempo.
Intervalo ∆t ∆P ∆P/∆t2 ≤ t ≤ 2.1 .1 7.950000 79.5002 ≤ t ≤ 2.01 .01 .799500 79.9502 ≤ t ≤ 2.001 .001 .079995 79.9952 ≤ t ≤ 2.0001 .0001 .007999 79.999
Finalmente podemos decir que la rapidez instantanea de cambio en t = 2 dıas es aproximadamente80 bacterias/dıa. El signo positivo indica que se trata de un crecimiento de la poblacion.
Dada una funcion f(x) mediante el calculo de la rapidez instantanea de cambio podemos definiruna nueva funcion d
dxf(x) mediante la asignacion
f ′(x) =d
dxf(x) := Rapidez instantanea de cambio de f en x.
esta nueva funcion que contiene la informacion de la variacion de f(x), se le llama la funcionderivada. el sımbolo d
dx es meramente formal, no tiene significado como fraccion y se lee como”derivada de...”. Al proceso de extraer la derivada de una funcion se le llama derivacion.
Siguiendo la analogıa del velocımetro, la derivada ddts(t) de la distancia s(t) es la funcion que
rige el comportamiento del velocımetro y que en cada momento t indica la velocidad en ese instante.Existe un metodo mas sencillo para calcular velocidades instantaneas que no involucra realizar
aproximaciones sucesivas. En dicho metodo se calcula la funcion derivada a partir de formulasgenerales.
EJERCICIOS
1. Una piedra se lanza verticalmente con una velocidad de 10 m/s. La altura y(t) (en metros)como funcion del tiempo t (en segundos) esta dada por y(t) = 10t−gt2/2, donde g = 9.81m/s2
es la aceleracion de la gravedad. Usando un intervalo de tiempo muy pequeno, calcula aprox-imadamente la velocidad instantanea en a) t = 0; b) t = 1 seg; c) t = 2 seg; d) ¿Que significauna velocidad positiva, negativa o nula?
2. En cierto paıs el ingreso anual per capita ha tenido la siguiente evolucion a lo largo del tiempo
Ano Ingreso per capita2005 5,4352006 5,7052007 5,8932008 6,0562009 6,1522010 6,649
Calcula las tasas medias de variacion
(a) Entre 2005 y 2006.
34
(b) Entre 2005 y 2010.
(c) Entre 2006 y 2008.
3. Las temperaturas maximas en Morelia durante una semana se comportaron de la siguientemanera
Dıa Temperatura (C)Domingo 20
Lunes 23Martes 25
Miercoles 30Jueves 33
Viernes 31Sabado 32
Calcula las tasas medias de variacion entre
(a) lunes y jueves;
(b) martes y miercoles;
(c) domingo y sabado
4. Una poblacion de bacterias crece de acuerdo a la ley de evolucion P (t) = 3000 − 600t +30t2. Donde t es el numero de horas transcurridas desde iniciado el experimento. Medianteaproximaciones sucesivas estima la tasa instantanea de variacion para t0 = 5, 10, 15.
2.3 Derivacion de funciones polinomiales
A partir de una funcion f(x), hemos establecido la existencia de una nueva funcion f ′(x), dada por
f ′(x) = Tasa instantanea de variacion de f en x
dicha funcion se conoce como la derivada y tambien se denota por ddxf(x). Enseguida utilizaremos
el siguiente hecho crucial:
Afirmacion. La formula de la derivada f ′(x) se puede obtener a partir de la formula de la funcionen cuestion f(x).
Las reglas de derivacion que utilizaremos son
1. ddx (c) = 0.
2. ddx (x) = 1.
3. ddx (cx) = c.
4. ddx (xn) = nxn−1.
5. ddx (cu) = c ddx (u), donde c es una constante y u es una funcion de x.
6. ddx
(uc
)= d
dx (u)/c, donde c es una constante y u es una funcion de x.
7. ddx (un) = nun−1 d
dx (u).
8. ddx (u+ v − w) = d
dx (u) + ddx (v)− d
dx (w).
35
9. ddx (uv) = u d
dx (v) + v ddx (u).
10. ddx
(cu
)= − c
ddx (u)
u2 .
11. ddx
(uv
)= v d
dx (u)−u ddx (v)
v2 .
donde c es un constante, u, v, w, son funciones de x. En particular para una funcion linealf(x) = b+mx se tiene
d
dx(b+mx) =
d
dx(b) +
d
dx(mx) = 0 +m
d
dx(x) = m.
Como ya antes lo habıamos senalado, la tasa de variacion instantanea de una funcion lineal es lapediente (constante) m.
Mas generalmente, para una funcion polinomial f(x) = a0 + a1x+ a2x2 + . . .+ anx
n se tiene
d
dx(a0 + a1x+ a2x
2 + . . .+ anxn) = a1 + 2a2x+ 3a3x
2 + . . .+ nanxn−1.
Ejemplo. Para un objeto que se deja caer de un edificio de 30 m, la altura s(t) = 30− gt2/2, tienederivada d
dts(t) = −gt, es decir, la velocidad instantanea en la caıda libre es v = −gt.Ejemplo. Considera la poblacion de bacterias que crece de acuerdo a la formula P (t) = −5t2 +100t + 2000. a) Empleando el formulario, calcula la funcion derivada P ′(t); b) Calcula la rapidezinstantanea de crecimiento de la poblacion en t = 0, 5, 10, 15, 20 dıas. c) ¿Que significa el signo dela rapidez positiva, negativo?
Solucion. a) De las formulas de derivacion se tiene
P ′(t) =d
dt(−5t2 + 100t+ 2000) =
d
dt(−5t2) +
d
dt(100t) +
d
dt(2000)
P ′(t) = −5d
dt(t2) + 100
d
dt(t) + 0 = −5(2t) + 100(1) = −10t+ 100.
b) Tenemos que hacer las evaluaciones indicadas, las resumimos en las siguiente tabla
t P ′(t)0 1005 50
10 015 -5020 -100
c) El signo positivo en la derivada indica un crecimiento en ese instante de la funcion estudiada.Ası por ejemplo P ′(0) = 100 celulas/dıa > 0, indica que al inicio del experimento la poblacion crecea un ritmo de 100 bacterias por dıa. Por el contrario una derivada negativa indica un decrecimientode la funcion, por ejemplo P ′(20) = −100 bacterias/dıa indica una disminucion de la poblacion debacterias a un ritmo de 100 por dıa.
Resumimos la discusion en torno al signo de la derivada en la siguiente
Afirmacion. Si la derivada es positiva en x, f ′(x) > 0 (resp. negativa en x, f ′(x) < 0), ena < x < b, entonces la funcion f(x) es creciente (resp. decreciente) en dicho intervalo.
EJERCICIOS
1. Calcula la derivada de las siguientes funciones.
36
10 20 30 40t
-400
-300
-200
-100
100
200P¢
0 10 20 30 40t
500
1000
1500
2000
2500P
Figura 2.1: Grafica de P (t) y P ′(t)
-1.5 -1.0 -0.5 0.5x
-4
-2
2
4
f ¢
-1.5 -1.0 -0.5 0.5x
-0.4
-0.2
0.2
0.4
f
Figura 2.2: Grafica de una funcion y su derivada. El signo de f ′ determina si f es creciente odecreciente
37
(a) f(x) = 2x+ 3
(b) f(x) = x2 + 4x
(c) f(x) = 1.5x+4.52
(d) f(x) = x2 + 3x− 5
(e) f(x) = 2x2
3 −3x2
(f) f(x) = 4x4 − 2x2 + 4
(g) f(x) = 3x3+x2−4x+15
(h) f(x) = πx−1 + x−2
(i) f(x) = −3/x+ 6/x3
(j) f(x) = 2xπ + x1/2 − 2x−3/4
(k) f(x) = x−3/2 + π√x+ 2√
x3
2. Una pipa contiene 20,000 litros de agua. Se abre la llave y el agua sale de la pipa a una razonconstante de 10 litros por segundo.
(a) Si V (t) es el volumen (en litros) contenidos en la pipa t segundos despues de que se abrela llave. Calcula V ′(t). ¿Que signo tiene?
(b) ¿Es V (t) una funcion lineal? Escribe una formula para V (t).
(c) ¿En cuanto tiempo se drena completamente la pipa?
3. El precio P (t) del litro de gasolina crece linealmente de $ 7.06 a $ 7.99 en 360 dıas. Calcula latasa de crecimiento constante P ′(t), donde t es el tiempo en dıas. Calcula el tiempo que debetranscurrir para que el litro cueste $ 8.50.
4. La concentracion c(t) (en mg por cc) de cierta droga en el flujo sanguıneo a tiempo t (en min),esta determinada por c(t) = 0.8 + 0.72t− 0.9t2.
(a) Calcula la derivada c′(t). Indica cuales son sus unidades.
(b) Calcula la rapidez con la que cambia la concentracion de droga medio minuto despues deadministrada.
(c) Calcula la rapidez con la que cambia la concentracion de droga un minuto despues deadministrada.
(d) Evalua c(t) y c′(t) en t = 0, 0.1, 0.2, . . . , 0.9, 1.0. Esboza la grafica de c(t) y de c′(t).
(e) Calcula el tiempo t0 para el cual c′(t0) = 0.
(f) Indica en que intervalo dentro de 0 ≤ t ≤ 1, la concentracion es creciente. En cual esdecreciente.
5. Mediante metodos estadısticos se determino la siguiente formula que expresa el modulo detorsion del acero T (en kg/cm cuadrado) como funcion de la temperatura (en grados celsius)
T (t) = −0.0010268t2 − 1.8402t+ 8290.11
(a) Calcula T ′(t) e indica sus unidades.
(b) Calcula el modulo de torsion para la siguientes temperaturas: t = 0, 20, 40, 60, 80, 100grados celsius.
(c) Calcula la razon instantanea de cambio del modulo de torsion para la siguientes temper-aturas: t = 0, 20, 40, 60, 80, 100 grados centıgrados.
38
6. En una empresa se determino que el costo marginal C(q) (en dolares por unidad) es funcion dela produccion q (en unidades). Si la formula que se determino es C(q) = 44.4−1.44q+ .0366q2.Calcula la razon instantanea de cambio del costo marginal para 0, 10, 20, 30, 40 unidades deproduccion.
2.4 Derivacion de funciones exponenciales
Ahora empleamos las siguientes formulas de derivacion que involucran a las funciones exponencialesf(x) = eax,
1. ddx (ex) = ex;
2. ddx (eax) = aeax, donde a es una constante;
3. ddx (eu) = eu d
dx (u).
Ejemplo. Para una poblacion que crece con una ley exponencial P (t) = P0ert se tiene la derivada
P ′(t) = rP0ert.
notemos que se verifica P ′(t) = rP (t), es decir, para cada tiempo t,
Tasa instantanea de crecimiento = Tasa porcentual de crecimiento× Poblacion actual
Notemos tambien que si r > 0 y si la poblacion inicial es P0 > 0, entonces P ′(t) es siemprepositiva. Esto implica que la poblacion siempre es creciente para todo momento t.
Ejemplo. Consideremos una muestra de plancton cuya poblacion crece de manera exponencial deacuerdo a la ley P (t) = 15, 000e.035t donde t es el tiempo transcurrido en dıas. Calcula la rapidezcon la que crece la poblacion 5 dıas despues.
Solucion. Consideramos la derivada
P ′(t) =d
dt(15, 000e.035t) = 15, 000
d
dt(e.035t) = 15, 000(.035e.035t)
P ′.035t
al evaluarla en t = 5 tenemos P ′(5) = 625.4 ≈ 625, quiere decir que en ese instante la poblacioncrece a un ritmo de 625 organismos por dıa.
Ejemplo. Si una poblacion crece exponencialmente a razon porcentual constante de 2.5 %, y si aliniciar las observaciones se observa una tasa de crecimiento instantanea de 4,500 celulas por hora.Calcula la poblacion de celulas con la que se inicio el experimento.
Solucion. Tenemos como datos r = .025 y P ′(0) = 4, 500 en la ecuacion P ′(t) = rP (t) bastaevaluar en t = 0 y despejar P (0),
rP (t) = P ′(t) implica P (0) = P ′(0)/r =4, 500.025
= 112.5 ≈ 112
.
Ejemplo. La poblacion de EU en un modelo exponencial crecio de 1860 a 1900 de acuerdo a laformula P (t) = 49.5e.022t en millones de habitantes, donde t son los anos transcurridos desde 1860.Calcula el tiempo en el cual la poblacion crecıa a un ritmo de 2 millon de habitantes anual.
39
Solucion. Al calcular la derivada tenemos P ′.022t = 1.089e.022t. Ahora debemos encontrar t talque P ′(t) = 2 es decir
2 = 1.089e.022t
Para despejar t, tenemos2
1.089= e.022t ≈ 1.836473
extraemos logaritmo natural y se tiene
ln e.022t = .022t = ln 1.836473
de donde finalmente t = ln 1.836473/.022 ≈ 27.6. Quiere decir que en el ano de 1860+27.6 = 1887.6,la poblacion crecıa con una rapidez instantanea de 2 millones de habitantes por ano.
EJERCICIOS
1. Deriva las siguientes funciones
(a) f(x) = e3x + 3xe
(b) f(x) = 5e−2.5x
(c) f(x) = 3/eπx + e−2x
2. Utiliza la regla de derivacion
d
dx(eu) = eu
d
dx(u), donde u es una funcion de x
d
dx(un) = nun−1 d
dx(u)
para calcular la derivada de la funciones siguientes
(a) f(x) = e3x+2
(b) f(x) = πe−3x2+3x−1
(c) f(x) = πe−3x2+3x−1
(d) f(x) = e−(x−2)2
(e) f(x) = 2x + πx + ln 2. Sugerencia: 2 = eln 2.
(f) f(x) = ln e−3x1/2+x
(g) f(x) = eln(√x−x−1/2)
3. Considera la funcion
f(x) = e−12 ( x−µσ )2
, donde µ, σ > 0 son constantes
(a) Usando µ = 1, σ = 3, verifica que f(x) tiene un maximo en x = µ = 1.
(b) Calcula la segunda derivada f ′′(x).
(c) Verifica que la derivada f ′(x) tiene un maximo en x = µ− σ y un mınimo en x = µ+ σ.
(d) esboza las graficas de f(x) y f ′(x) usando x = −4,−3, . . . , 6.
4. La cantidad de contaminantes Q (en km3) presente en un lago t anos despues de que se viertendesechos en el, decae de manera exponencial, de acuerdo a la formula
Q(t) = Q0e−rt
donde Q0 es la cantidad original de deshechos vertidos y r es una constante de degradacion.
40
(a) Si 5 anos despues de vertidos 2 km3 de deshechos en un lago, estos se degradan a 1.5km3. Calcula la constante r.
(b) Calcula la razon instantanea de decrecimiento 10 anos despues de vertidos 2 km3 dedeshechos en un lago.
(c) Calcula cuanto tiempo tomara remover 90 % de la contaminacion del lago. Es decir,despues de cuanto tiempo permaneceran 10 % de los desechos aun sin degradar.
(d) Calcula despues de cuanto tiempo se habra removido el 99 % de la contaminacion.(e) Determina que pasa con la contaminacion para t muy grande.
5. El numero N de personas que han escuchado un rumor difundido por los medios masivos decomunicacion es una funcion del tiempo dada por
N(t) = a(1− e−kt)
donde a es la cantidad de personas en la poblacion en cuestion, y k es la tasa porcentual depersonas que escuchan el rumor en un dıa. Si a = 200, 000 y k = .1 es decir 10%. Encuentrala rapidez con la que se propaga el rumor 1, 2 y 3 dıas despues de que se inicio.
6. La temperatura de un pastel que se saca a enfriar de un horno a 200 grados centıgrados, esuna funcion del tiempo (medido en minutos) dada por
T (t) = (TA − TH)(1− e−kt) + TH
donde TA = 20 es la temperatura ambiente a la que inicialmente se coloco el pastel, TH = 200es la temperatura del horno.
(a) Si despues de 10 minutos el pastel esta a 40 grado, calcula la constante k.(b) Encuentra la rapidez (en grados/minuto) con la que decrece la temperatura, cuando recien
se saca del horno.(c) Describe que pasa con la temperatura del pastel para t muy grande.
7. La reaccion R a cierta dosis D de un medicamento, se modela mediante la funcion
R(D) = 10De−0.02D
(a) Calcula la derivada R′(D).(b) Resuelve la ecuacion R′(D) = 0.(c) Esboza la grafica de R(D) usando D = 0, 10, . . . , 100. Calcula para que dosis se tiene la
reaccion maxima y cual es esa reaccion.
2.5 Problemas de maximos y mınimos
Hemos discutido como el signo de la derivada indica la tendencia creciente o decreciente de la funcionen un punto. Los puntos donde la derivada es 0 tambien arrojan informacion importante acerca dela tendencia de la funcion. Ası se tiene la siguiente
Afirmacion. Supongamos que la derivada de una funcion f(x) se anula en x0, f ′(x0) = 0, decimosque x0 es un punto crıtico.
Si en un intervalo a < x0 < b, se tiene f ′(x) > 0 para a < x < x0 y f ′(x) < 0 para x0 < x < b.Entonces f(x0) > f(x) para todo a < x < b, x 6= x0. Al valor que toma la funcion en dicho puntox0 se le llama un maximo local o maximo relativo.
Si en un intervalo a < x0 < b, se tiene f ′(x) < 0 para a < x < x0 y f ′(x) > 0 para x0 < x < b.Entonces f(x0) < f(x) para todo a < x < b, x 6= x0. Al valor que toma la funcion en dicho puntox0 se le llama un mınimo local o mınimo relativo.
41
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0x
-1.5
-1.0
-0.5
0.5
c¢
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0t
0.5
1.0
1.5
c
Figura 2.3: Determinacion de un maximo local para c(t) = 1.2 + .8t− 0.4t2
Ya habıamos encontrado algunos problemas en donde era relevante conocer los maximos ymınimos locales de una funcion, en tales circunstancias nos limitabamos a utilizar metodos graficospara tener una idea aproximada de donde se encontraba el maximo o mınimo local en cuestion.Ahora, la derivada proporciona una herramienta util para resolver el problema de encontrar maximosy mınimos locales. El metodo que emplea la derivada tiene la ventaja de que es un procedimientoanalıtico y plenamente justificado, a diferencia del metodo grafico que solamente proporciona una”idea” y una aproximacion.
Ejemplo. Supongamos que la concentracion c(t) de un medicamento, t minutos despues de seradministrado en la sangre, obedece la formula c(t) = 1.2 + .8t− 0.4t2. a) Calcula el momento en elque la concentracion alcanza el maximo; b) Cual es la maxima concentracion.
Solucion. a) Calculamos la derivada y obtenemos
c′(t) = 0.8− 0.8t
Para calcular un maximo o mınimo local primero calculamos los t0 tales que c′(t0) = 0. En nuestrocaso 0.8− 0.8t = implica t = 1. Para verificar que se trata de un maximo basta ver que si 0 < t < 1entonces c′(t) = 0.8− 0.8t > 0; en tanto que si 1 < t entonces c′(t) < 0.
b) La concentracion maxima sera c(1) = 1.2 + 0.8(1)− 0.4(1)2 = 1.6.
Ejemplo. Supon que la altura que alcanza un objeto arrojado hacia arriba con una velocidad inicialv0 > 0 (en m/s) obedece la ley
s(t) = −12gt2 + v0t,
donde g = 9.81 es la aceleracion de la gravedad. Muestra que alcanza una altura maxima en t = v0/g,y que dicha altura es smax = v2
0/2g.
Solucion. Al calcular la derivada tenemos la velocidad vertical
v = s′(t) =d
dt
(−1
2gt2 + v0t
)= −gt+ v0
haciendo v = 0 se tiene −gt0 + v0 = 0 de donde t0 = v0/g, al sustituir se tiene
smax = s(t0) = −12g
(v0
g
)2
+ v0
(v0
g
)=v2
0
2g.
EJERCICIOS
42
1. En un lago la poblacion de peces es P , H es un parametro conocido como la razon de pesca,es decir la cantidad de peces que se extraen por unidad de tiempo (peces/ano). La tasa decrecimiento de la poblacion de peces como funcion de la poblacion esta dada por
R(P ) = 2P − 0.02P 2 −H
Para cada uno de los siguientes valores del parametro H = 75, 100, 200 esboza la grafica deR(P ) contra P . Encuentra el valor de P para el cual la tasa de crecimiento es maxima.
2. En un dıa se ha encontrado que la velocidad del trafico en una avenida principal es v(t) =t3 − 10.5t2 + 30t+ 20 millas por hora, donde t son las horas despues del mediodıa. Esboza lagrafica usando t = 1, 2, 3 . . . 6. Calcula el momento en el trafico es mas rapido y en el que esmas lento. Calcula las velocidades maximas y mınimas.
3. La temperatura corporal en un individuo sigue un ciclo circadiano con un modelo dado por lasiguiente relacion
T (t) = 0.002(t3 − 45t2 + 609t+ 16000)
donde T (t) es la temperatura corporal y t es el tiempo en horas transcurrido desde las 8 hastael fin del dıa, 8 ≤ t ≤ 24. Encuentra la temperatura maxima y mınima y a que hora del dıa sealcanza.
4. Una encuesta indica que x meses despues de que se lanza una candidatura a presidente. Ciertocandidato obtiene S(x) por ciento de la intencion de voto, donde S(x) = 1
29 (−x3 + 6x2 +63x+ 1080), esboza la grafica utilizando x = 0, 1, 2, . . . , 12. A) ¿Despues de cuantos meses, lacandidatura tiene la mayor intencion de voto? ¿de cuanto es ese porcentaje?
2.6 Ejercicios de repaso
1. La reaccion del cuerpo a las drogas esta dada por la ecuacion
R(D) = D2
(M
2− D
3
)donde D es la dosis administrada, M es una constante que representa la dosis que producemaxima reaccion.
(a) Utiliza M = 200 y calcula la derivada R′(D) = dR/dD.
(b) Evalua la derivada en los siguientes valores de D
0, 50, 100, 150, 200, 250, 300, 350
esboza la grafica de R′(D). Compara con el ejercicio del capıtulo anterior.
2. La grafica 2.4, muestra el crecimiento de la estatura E(x) de un individuo como funcion de suedad x. E se mide en cm y x en anos. Se hicieron mediciones cada cumpleanos, obteniendoselos datos:
45, 59, 64, 74, 90, 108, 115, 118, 122, 131, 132, 135, 140, 154, 172, 179, 184, 186, 188, 189.5, 190.
(a) Determina el cambio ∆E y la razon media de cambio ∆E/∆x en los intervalos
[13, 18], [13, 17], [13, 16], [13, 15], [13, 14].
43
0 5 10 15 20Edad
50
100
150
Estatura
Figura 2.4: Estatura como funcion de la edad
(b) Usa las aproximaciones sucesivas del inciso anterior para dar el valor aproximado de latasa o rapidez instantanea de crecimiento a los 13 anos, E′(13).
(c) Emplea el mismo procedimiento para calcular un valor aproximado de la tasa instantaneade cambio a los 17 anos, E′(17).
(d) ¿A que edad se produce el ”estiron”, es decir el crecimiento mas rapido de la estatura?
3. Una poblacion de chimpances en cierto habitat tiene el siguiente modelo de crecimiento
P (t) = 100(1 + 0.3t+ 0.04t2)
donde P (t) es la poblacion, t es el tiempo transcurrido en meses.
(a) Calcula la razon de crecimiento P ′(t).
(b) Esboza la grafica de P ′(t) utilizando t = 0, 10, 20, . . . , 100.
4. La razon de crecimiento anual r de una poblacion de rapaces esta dada por la relacion
r(P ) = 0.02P − 0.000025P 2
donde P es la poblacion de ese ano.
(a) Esboza la grafica para P = 100, 200, . . . , 1000.
(b) La poblacion esta en equilibrio cuando la razon de cambio r es 0. Determina las pobla-ciones P para las que estas aves se encuentran en equilibrio.
(c) Encuentra la derivada de la razon de cambio r′(P ) = dr/dP .
(d) Resuelve la ecuacion r′(P ) = 0 para encontrar la poblacion P para la que la razon decambio r es maxima.
5. El gasto total de energıa por dıa en crıas (cervatillos) de antılopes americanos se estimo uti-lizando la ”formula de Nagy”
E(x) = 0.774 + 0.727 lnx
donde x es el peso (en gr) de la crıa, y E(x) es el gasto de energıa (en kJ/dıa).
(a) Esboza la grafica para x ∈ [5000, 20000].
44
(b) Calcula E′(x). ¿Cuales son sus unidades?.
(c) Calcula E(10000) y E′(10000). Da una interpretacion biologica de estas cantidades.
6. Supongamos que en un tratamiento la concentracion h(t), de cierta hormona es funcion deltiempo transcurrido t:
h(t) = 40(e−0.005t − e−0.15t)
donde h se mide en nanogramos por decilitro de sangre (ng/dl) y t en dıas.
(a) Calcula h′(t).
(b) Encuentra t para el cual se tiene la mayor concentracion de la hormona en la sangre.
7. De 1750 a 1880 se tiene un modelo exponencial de crecimiento poblacional mundial
P (t) = 760e.005t
donde P (t) es la poblacion mundial t anos despues de 1750. De acuerdo a este modelo ¿cualera la tasa de crecimiento de la poblacion en 1800?
8. En un estudio psicologico se quiere conocer como se olvida la informacion visual conformetranscurre el tiempo. Para estudiar el porcentaje de retencion R de ciertas palabras despuesde transcurridos t horas. Se obtuvo la relacion
R(t) = 30 + 70e−.46t
(a) ¿Cuanto tiempo despues se ha olvidado el 50% de la informacion?
(b) Esboza la grafica para 0 ≤ t ≤ 12.
(c) ¿Aproximadamente que porcentaje de la informacion ya no se olvida despues de tran-scurrido mucho tiempo? en otras palabras ¿Cuanto vale R(t) si t es muy grande digamost = 100, 1000?
(d) Calcula R′(t). ¿Cuanto vale R′(t) para valores muy grandes de t?
9. Un estudio de eficiencia en el trabajo muestra que un trabajador promedio que llega a las 8:00hrs habra producido Q(t) = −t3 + 8t2 + 15t unidades t horas despues. Calcula la tasa deproduccion Q′(t) del trabajador. Calcula la tasa de produccion a las 9:00 hrs.
10. Indica si las siguientes funciones son crecientes, decrecientes en toda la recta numerica a)−3.2 + 2.5x; b) 3.2e−3t; c) 0.5e2.3t
11. Un ornitologo determina que aproximadamente en un periodo de 17 horas, la temperaturacorporal de cierta especie de aves fluctua de acuerdo con la formula T (t) = −68.7t3 +30.98t2 +12.52t + 37.1 para 0 ≤ t ≤ 0.713 donde T es la temperatura medida en grados celsius t dıasdespues del inicio de un periodo.
(a) Calcula e interpreta la derivada T ′(t).
(b) Calcula la razon a la que cambia la temperatura al inicio del periodo (t = 0) ¿Aumentao disminuye la temperatura?
(c) ¿En que instante no cambia la temperatura, no aumenta ni disminuye?. Calcula la tem-peratura en ese instante.
12. Se estima que despues de t meses un empleado postal promedio puede clasificar Q(t) = 700−400e−0.5t cartas por hora.
45
(a) ¿Cuantas cartas por hora puede clasificar un empleado nuevo?
(b) Calcula la rapidez de aprendizaje Q′(t)
(c) Calcula la rapidez de aprendizaje en t = 0, 2, 4, 6, 8.
13. El yodo radioactivo tiene una vida media de 20.9 horas. a) Utilizando la ley de decaimientoradioactivo Q(t) = Q0e
−λt
(a) calcula cuanto yodo radioactivo permanece en el resto del cuerpo del paciente (fuera dela tiroides) 25 horas despues de la inyeccion.
(b) Calcula la rapidez con la que el yodo se esta desintegrando 25 horas despues de la in-yeccion.
14. En su fase inicial, de 1984 a 1990, el SIDA crecıa de acuerdo a la funcion cubica C(t) =−170.36t3 + 1707.5t2 + 1998.4t + 4404.8, donde C es el numero reportado de casos, y t es elnumero de anos transcurridos desde 1984, 0 ≤ t ≤ 6.
(a) Calcula e interpreta la derivada C ′(t).
(b) Calcula la tasa de propagacion de la epidemia en 1984.
(c) Calcula el numero de casos reportados en 1990.
(d) Calcula en que momento el numero de casos fue maximo de acuerdo a este modelo y cualfue el numero maximo de casos.
(e) Calcula en que momento se propago la enfermedad con mayor rapidez.
15. En una proyeccion de 5 anos, la poblacion P de cierta comunidad crece despues de t anos deacuerdo a la formula P (t) = −t3 + 9t2 + 48t+ 200.
(a) Calcula la razon de crecimiento de la poblacion dentro de 3 anos.
(b) ¿Crece o decrece la poblacion dentro de 3 anos?
(c) Calcula la tasa de cambio dentro de 5 anos.
16. Se ha estimado que el costo mensual de produccion de x unidades de un artıculo es C(x) =0.06x+ 3x1/2 + 20 cientos de dolares.
(a) Calcula el costo de produccion de 2500 unidades,
(b) Calcula la tasa de cambio del costo por unidad producida cuando la produccion alcanzalas 3000 unidades.
17. Una nina cae en un lago a una temperatura de -3 grados centıgrados. Su temperatura corporaldespues de t minutos en el agua es T (t) = 35e−0.32t. Ella perdera la conciencia cuando sutemperatura corporal llegue a 27 grados.
(a) ¿Cuanto tiempo tiene los socorristas para salvarla?
(b) ¿Que tan rapido desciende la temperatura corporal cuando acaba de caer al agua?
18. Se estima que si se gastan x miles de dolares en publicidad, se venderan Q(x) = 50− 40e−0.1t
miles de dolares de un artıculo.
(a) ¿Cuanto se vendera si no se gasta en publicidad?
(b) ¿Cuanto se vendera si se gastan 8 mil dolares en publicidad,
46
(c) Calcula la tasa de cambio de las ventas por mil dolares de publicidad cuando ya se hangastado 8 mill dolares de publicidad.
19. Una poblacion P de una colonia de bacterias t dıas despues del inicio de la observacion semodela mediante la funcion cubica P (t) = 1.035t3 + 103.5t2 + 6900t+ 230000.
(a) Calcula e interpreta la derivada.
(b) Calcula la tasa de cambio de la poblacion despues de un dıa, ¿crece o decrece la poblacion?
(c) Calcula la poblacion inicial.
(d) Calcula la razon de cambio de la poblacion despues de 10 dıas.
(e) Calcula la poblacion maxima en el intervalo 0 ≤ t ≤ 20.
20. Se ha obtenido que si se publicita un producto por television, el numero N de personas (enmillones) enteradas del producto t dıas despues de que se inicia la transmision de los comercialescorrespondientes es N(t) = 2− 2e−.037t.
(a) Calcula el numero de personas enteradas, 2 dıas despues,
(b) Calcula la rapidez con la que las personas se estan enterando del nuevo producto al iniciode la campana;
(c) Calcula el momento en el que se han enterado 1.5 millones de personas de la publicidad.
21. Un medico inyecta 5 mg de tinte en una vena cerca del corazon y determina que la concentraciondel tinte despues de t horas es C(t) = −0.027t2 + 0.672t mg/L.
(a) Calcula C ′(t),
(b) Esboza la grafica de C(t) y de C ′(t) usando t = 0, 4, 8, . . . , 24.
(c) Calcula el momento que la concentracion es maxima.
(d) Calcula la concentracion maxima.
22. Los registros indican que x anos despues del 2000, el impuesto predial para una casa de cuatrorecamaras, fue de I(x) = 3x2 + 40x+ 1800.
(a) ¿Cual fue el impuesto en el 2005?
(b) ¿Cual fue la tasa de crecimiento del impuesto en el 2003?
23. El costo de producir x miles de unidades de cierto bien es C(x) = 9x+ 5e−20x
(a) Calcula C ′(x);
(b) Esboza la grafica de C(x), C ′(x), en x = 0, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5.
(c) Determina el numero de unidades que hacen que el costo sea mınimo.
(d) Calcula el costo mınimo.
24. En un modelo el numero de palabras N(t) que un nino aprende t semanas despues de queaprende a hablar esta dada por la relacion
N(t) = 71.4 ln(0.3t+ 1))
(a) Esboza la grafica en el intervalo [1, 24].
47
50 100 150 200
150
200
250
Figura 2.5: Aumento de la actividad gamma en el cerebro, detectado en electroencefalograma
(b) Calcula el numero de palabras que conocerıa 18 meses despues. ¿En cuanto tiempo sehabra duplicado ese numero de palabras?
(c) Utiliza qued
dxlnu =
1u
d
dxu
y Calcula la derivada N ′(t) = dN/dt.
(d) ¿Con que velocidad esta el nino aprendiendo seis meses despues de que empezo a hablar?
25. La grafica 2.5 corresponde a mediciones hechas con un encefalograma para determinar el po-tencial de la actividad gamma en el cerebro durante el periodo meditativo. El eje x correspondeal tiempo transcurrido (medido en segundos) y el eje y al potencial electrico V (en µVolt2).Determina el cambio ∆V y la razon media de cambio ∆V/∆x, de la actividad gamma en losintervalos [0, 50], [50, 100], [100, 150].
48
Capıtulo 3
La Integral
3.1 Integral Definida: Areas bajo la grafica
Supongamos que la produccion de granos de cierto paıs se describe de acuerdo a la siguiente tabla
x (anos) 1 2 3 4 5 6 7 8f(x) (miles tons.) 105 167 81 115 227 235 240 244
Es claro que si nos pidieran calcular cual fue la produccion total de granos producidos duranteestos 8 anos, tendrıamos que hacer una suma
8∑x=1
f(x) = 105 + 167 + 81 + 115 + 227 + 235 + 240 + 244 = 1414
Si representamos la produccion f(x) como una funcion escalonada, tendremos que la suma an-terior corresponde al area debajo de la grafica de f(x).
0 2 4 6 8años
50
100
150
200
250mil tons
Figura 3.1: El area bajo la grafica de una funcion escalonada representa la produccion acumulada
Sin embargo una funcion rara vez tiene una forma escalonada.Por ejemplo, supongamos que una pequena represa que originalmente contiene 100, 000 lt de
agua. Supongamos que x representa el tiempo (en seg) despues de que se abre la compuerta y queel agua sale a razon de 350 lt/seg. Entonces, si nos preguntamos cual es el volumen de agua que hasalido despues de x segundos, tendremos que dicho volumen es 350x. Por ejemplo, despues de 10
49
seg. habran salido 350(10) = 3500 litros de la presa. Ademas es posible interpretar dicha cantidadcomo el area de un rectangulo en el plano cartesiano, con base en el intervalo [0, 10] del eje x, yaltura 350. En ese sentido es el area de la region del plano comprendida entre el eje x y la graficade la funcion constante f(x) = 350, y entre las rectas x = 0 y x = 10.
-2 2 4 6 8 10tiempo
50
100
150
200
250
300
350
flujo
Figura 3.2: El volumen de agua que sale esta representado por el area rectangular debajo de lagrafica de f(x) = 350.
Con estos ejemplos queremos ilustrar la utilidad del calculo de areas debajo de graficas. Sinembargo, dicho calculo puede no ser tan sencillo como en el ejemplo siguiente.Ejemplo. La grafica fig. 3.3, corresponde a la velocidad de un vehıculo que se desplaza a velocidadvariable. Para calcular el trayecto requerimos obtener el area bajo la grafica. Empleando las formulasconocidas para el area de triangulos y rectangulos se obtiene la distancia recorrida.
1 2 3 4 5t - hr
20
40
60
80
100
v -
km
hr
Figura 3.3: El area bajo la grafica de la velocidad como funcion del tiempo es la distancia recorrida
Ejemplo. Supongamos que x horas despues de iniciado un experimento, una poblacion de bacteriascrece con una rapidez (no constante) de 3000x celulas por hora despues de transcurridas x horas.Esto significa por ejemplo que despues de 1 hr. crece a velocidad de 3000(1) = 3000 celulas/hr.,despues de 1.5 horas crece a razon de 3000(1.5) = 4500 celulas/hr. Y ahora nos preguntamos, cuales la poblacion de bacterias que se ha agregado despues de transcurridas x = 5 horas.
Representamos la tasa (instantanea) de crecimiento como una funcion f(x) = 3000x, de las xhoras transcurridas. Si calculamos la tasa de crecimiento al inicio de cada hora tendremos
x (horas) 1 2 3 4 5f(x) (bacterias/hora) 3000 6000 9000 12000 15000
Si suponemos que la razon de crecimiento se mantiene constante cada hora, se tiene una tasa decrecimiento durante la primera hora (3000 bacterias/hora), otra tasa durante la segunda hora (6,000
50
bacterias/hora), y ası sucesivamente. Entonces el calculo de las bacterias que se incorporaron a lapoblacion se hace mediante la suma
5∑k=1
f(x) = 3000 + 6000 + 9000 + 12000 + 15000 = 45000 bacterias
Sabemos, sin embargo que f(x) no se mantiene constante entre dos horas sucesivas. Ası porejemplo evaluando la tasa de crecimiento cada media hora tenemos
x (horas) f(x) (bacterias/hora)0.5 15001 30001.5 45002 60002.5 75003 90003.5 105004 120004.5 135005 15000
Ası por ejemplo, si suponemos que la tasa de crecimiento se mantiene constante cada media hora,entonces concluimos que durante la primera media hora se agregan(
1500bacterias
hora
)× (0.5 hora) = 750 bacterias.
Y haciendo la suma correspondiente se recuenta un total de
1500(0.5) + 3000(0.5) + . . .+ 15000(0.5) =10∑k=1
f(k · (0.5))× (0.5) = 41, 250 bacterias
Hemos obtenido dos resultados diferentes 45000 y 41250 sin embargo podemos afirmar que el se-gundo procedimiento es mas preciso porque hemos supuesto que f(x) se mantiene constante (aunquesabemos que no lo es) en intervalos de tiempo mas cortos. Por otro lado el calculo del area debajode la grafica de f(x) = 3000x desde x = 0 hasta x = 5. Siendo su grafica un triangulo, dicha arease calcula como
base× altura2
=5× (3000 · (5))
2= 37, 500
Esta area corresponde a la cantidad buscada, es decir, el numero de bacterias que se agregan ala poblacion inicial despues de 5 horas.
La justificacion geometrica de este hecho es que el area del triangulo que corresponde al areabajo la grafica, se puede aproximar cada vez mejor mediante sumas de areas de rectangulos tomandobases cada vez mas pequenas.
Definicion. El area bajo la grafica o integral definida de una funcion f(x) en un intervaloα ≤ x ≤ β, es el area de la region del plano comprendida entre el eje x, la grafica de f(x), y lasrectas x = α y x = β. El area tiene signo, es positiva si la grafica esta contenida en el semiplanosuperior del eje x, y es negativa si la grafica de f(x) esta contenida en el semiplano inferior del ejex. Dicha area se denotara simbolicamente como∫ β
α
f(x)dx
51
0 1 2 3 4 5horas
5000
10 000
15 000
celulas
0 1 2 3 4 5horas
5000
10 000
15 000
celulas
0 1 2 3 4 5horas
5000
10 000
15 000
celulas
Figura 3.4: Aproximacion del area triangular mediante sumas de areas de rectangulos
La notacion∫ βαf(x)dx sugiere un proceso de aproximaciones sucesivas mediante sumas de areas
de N rectangulosN∑k=1
f(xk)(xk − xk−1)
donde las bases de los rectangulos son xk −xk−1 y las alturas son f(xk). Los puntos α = x0 < x1 <x2 < . . . < xN = β forman una coleccion de puntos del intervalo [α, β], tambien llamada particionde [α, β].
En el ejemplo anterior hemos aprendido que por ejemplo el area bajo la grafica de la funcionf(x) = 3000x en el intervalo [0, β] se puede calcular como el area de un triangulo con base β > 0 yaltura 3000β. Es decir, ∫ β
0
3000xdx =β(3000β)
2= 1500β2
en particular para β = 5,∫ 5
03000xdx = 1500(25) = 37500 representa las celulas que se han agregado
despues de 5 horas.Para una funcion lineal de la forma f(x) = mx, se puede verificar que
∫ β0
= mβ2/2 (¿porque?).Y con un poco mas de trabajo es posible justificar geometricamente la siguiente
Afirmacion. Para una funcion lineal f(x) = mx + b, el area bajo la grafica o integral definida enun intervalo [α, β] es ∫ β
α
(mx+ b) dx =[mβ2
2+ bβ
]−[mα2
2+ bα
].
Ejemplo. Supongamos que la cantidad de agua que en una lluvia un rıo lleva agua a una velocidadcreciente de v(x) = 20x + 300 litros cada segundo. Suponiendo que inunda un valle, calcula lacantidad de agua vertida en el valle durante 50 segundos.
La cantidad de agua vertida durante 50 segundos es∫ 50
0
20x+ 300dx = 10x2 + 300x |500
= 10(50)2 + 300(50)− [10(0)2 + 300(0)] = 40000
EJERCICIOS
1. Calcula el area bajo la grafica∫ 3
−21.5x+ 4dx.
2. La tasa de crecimiento de la biomasa en un lago es f(x) = 2.5x+ 2 toneladas por dıa, dondex son los dıas transcurridos. Calcula la biomasa acumulada en el lago desde inicio del dıa 3hasta el final de dıa 10.
52
-20 0 20 40 60seg
500
1000
1500
2000
litros
seg
Figura 3.5: Calculo del area bajo la grafica∫ 50
020x+ 300dx
3. Un rıo lleva un caudal constante de 20 litros por segundo. Una presa capta todo ese caudal.Calcula el agua acumulada en la presa durante 10 dıas. Suponiendo que el rıo experimentaun crecimiento lineal del caudal en epoca de lluvias dado por v(x) = 20 + .0005x, donde xson los dıas transcurridos desde el inicio de la epoca de lluvias. Calcula la cantidad de aguaacumulada en la presa durante los primeros 10 dıas de la epoca de lluvias.
4. Una colonia de bacterias originalmente es de 20000 bacterias y crece con una rapidez de 50xbacterias cada hora, donde x son las horas transcurridas desde el inicio de las observaciones.Calcula la cantidad acumulada de celulas durante una hora.
5. Un aljibe se llena con una llave abierta durante 3 dıas. La llave lleva 1 litro cada minutodurante el primer dıa, 2 litros/minuto el segundo dıa y 0.5 litros/minuto durante el tercer dıa.Calcula la cantidad total de agua almacenada por el aljibe.
3.2 Integral Indefinida: Antiderivada
Para las funciones no lineales (por ejemplo f(x) = 3x2 + x − 1) los argumentos geometricos sonobsoletos para calcular la integral definida
∫ βαf(x)dx. El Teorema Fundamental del Calculo permite
traducir el problema de calculo de areas bajo graficas en un problema inverso de calculo de derivadases decir antiderivadas.
Afirmacion (Teorema Fundamental del Calculo 1). Sea F (x) una funcion tal que F ′(x) = f(x),entonces el area bajo la grafica de f(x) en el intervalo [α, β], se puede calcular como∫ β
α
f(x)dx = F (β)− F (α).
Definicion. Una funcion F (x) se llama antiderivada, primitiva o integral indefinida de f(x),si F ′(x) = f(x).
De esta manera hay una correspondencia entre el problema de calcular areas bajo la grafica y elcalculo de antiderivadas.
La antiderivada de una funcion f(x), no es unica. Por ejemplo F (x) = x2 es antiderivada def(x) = 2x; pero tambien G(x) = x2 + 1 es antiderivada, G′(x) = F ′(x) = f(x). La ambiguedad aldefinir la antiderivada es una constante.
53
Afirmacion. Si F (x) y G(x) son antiderivadas de f(x) (una funcion continua) entonces F (x) =G(x) + C, donde C es una constante.
Ası la forma mas general de la antiderivada de 2x es x2 + C donde C es una constante llamadaconstante de integracion. Cuando no se especifica la constante de integracion la expresion x2 +C sellama integral indefinida de 2x y se denota∫
2xdx = x2 + C
En general, la integral indefinida de una funcion f(x) se denota∫f(x)dx y es otra funcion definida
salvo una constante. A la funcion f(x) en la expresion∫f(x)dx se le llama integrando de la
integral indefinida.En una segunda parte del Teorema Fundamental del Calculo se puede verificar que la derivada
de la integral indefinida de una funcion es la funcion original.
Afirmacion (Teorema Fundamental del Calculo 2). Sea f(x) una funcion (continua) en un intervalo[α, β] , entonces la funcion F (x) definida como
F (x) :=∫ x
α
f(x)dx
(es derivable y) satisface F ′(x) = f(x).
Notemos que el Teorema Fundamental del Calculo 2 permite concluir que
d
dx
∫f(x)dx = f(x)
Las siguientes reglas basicas de integracion se deducen de las formulas de derivacion que expusi-mos en el capıtulo de la derivada
Integrales Basicas
1.∫dx = x+ C
2.∫f(x) + g(x)dx =
∫f(x)dx+
∫g(x)dx
3.∫cf(x)dx = c
∫f(x)dx
4.∫xndx = xn+1
n+1 + C, n 6= −1
5.∫anx
n + an−1xn−1 + . . .+ a1x+ a0dx = an
xn+1
n+1 + an−1xn
n + . . .+ a1x2
2 + a0x+ C, n 6= −1
6.∫exdx = ex + C
7.∫eaxdx = 1
aeax + C
8.∫
1xdx =
∫x−1dx = ln |x|+ C.
Con este formulario resolvemos el problema de calculo de antiderivadas para muchas funciones.Y gracias al Teorema Fundamental del Calculo 1, tambien seremos capaces de resolver el problemadel calculo de areas bajo la grafica de muchas funciones no solo de las lineales.
54
Ejemplo. Para calcular la integral indefinida∫
3x2 + 2x− 1dx, utilizamos las formulas 1, 2, 3 y 4.∫3x2 + 2x− 1dx =
∫3x2dx+
∫2xdx−
∫dx = 3
∫x2dx+ 2
∫xdx−
∫dx =
= 3x2+1
2 + 1+ 2
x1+1
1 + 1− x+ C = x3 + x2 − x+ C
Podemos verificar el resultado derivando ddx (x3 + x2 − x+C) = 3x2 + 2x− 1, y observando que
obtenemos la funcion del integrando. Notemos que la formula 5 es un resumen de las formulas 1, 2,3, 4. Ası por ejemplo∫
12x4 − 2x2 + 1dx =
12x4+1
4 + 1− 2
x2+1
2 + 1+ x+ C =
110x5 − 2
3x3 + x+ C.
Ejemplo. La formula 4 tambien puede utilizarse para calcular integrales de potencias fraccionariasde x por ejemplo ∫ √
xdx =∫x1/2dx =
112 + 1
x12 +1 + C =
=1
3/2x3/2 + C =
23x3/2 + C.
Ejemplo. Tambien es posible evaluar integrales indefinidas de funciones exponenciales,∫3e4xdx = 3
∫e4xdx =
34e4x + C
O una combinacion lineal ∫2e−x + 4x3dx = 2
∫e−xdx+ 4
∫x3dx =
= 21−1
e−x + 4x4
4+ C = −2e−x + x4 + C
.EJERCICIOS Calcular las siguientes integrales indefinidas:
1.∫
2x5 − 3x2 + x−3dx
2.∫x2/3 − 4x1/3 + 2x−1/2dx
3.∫
3.5e−0.5xdx
4.∫
23e
1.4x − 3x−3
2 dx
5.∫
2x2 + 3
x3 + x4dx
6.∫
(1.192.5x)dx
7.∫e−2.1x
2 dx
8.∫
2√x
+√x
2 dx
9.∫
4e2.1x+3dx
10.∫
2x + 2−xdx, Sugerencia: 2x = (eln 2)x.
11.∫π2x+ xπdx
12.∫
2.5(1.60.04x)dx
55
-2 -1 1 2x
-1
1
2
3
4f
Figura 3.6: Area bajo la grafica,∫ βαf(x)dx
3.3 Calculo de areas usando integrales
Ahora regresemos al Teorema Fundamental del Calculo 1 y empleemos la herramienta del calculode integrales definidas para evaluar areas bajo la grafica.
Ejemplo. Una poblacion crece a una tasa constante de 1300 individuos por ano. Si originalmentehabıa 50000 individuos. ¿Cuantos individuos habra dentro de 15 anos?
La poblacion que se agrega se calcula mediante∫ 15
0
1300dx = 1300x |150 = 1300(15)− 1300(0) = 19500
la cual sumada a los 50000 que habıa originalmente, da una poblacion total de 50000+19500 = 69500.
Notacion. La notacion F (x) |βα significa F (β)− F (α).
Ejemplo. Un movil se desplaza a velocidad constante de 4 m/s. ¿Que distancia habra recorridodespues de 45 segundos?
Por supuesto sabemos que la respuesta es distancia = velocidad× tiempo= 4(45) = 90 m. Sinembargo, empleando la interpretacion area bajo la grafica de la funcion constante v(x) = 4 se tiene
distancia recorrida despues de 45 s =∫ 45
0
v(x)dx =∫ 45
0
4dx =
4x |450 = 4(45)− 4(0) = 180
En general, si la velocidad no necesariamente es constante, pero se conoce la velocidad v(x) comofuncion del tiempo, se puede conocer la distancia recorrida por el movil como funcion del tiempo
distancia recorrida en x segundos = s(x) =∫ x
0
v(t)dt
donde la variable ”muda” t se emplea solamente para indicar el proceso de integracion.
Ejemplo. La velocidad que recorre una piedra que se deja caer es proporcional al tiempo que llevadescendiendo desde que se suelta con constante de proporcionalidad 9.8m/seg2, es decir v(x) = 9.8x.Expresar la distancia que recorre la piedra despues de 10 segundos transcurridos desde que se solto.
Para resolver esta cuestion notamos que la distancia s(x) recorrida por un movil despues de xsegundos se puede determinar si se conoce la velocidad v(x) como funcion del tiempo. La manerade hacerlo es evaluando
56
-5 0 5 10 15 20 25 30t
50
100
150
200
250P¢
Figura 3.7: Area bajo la grafica,∫ 24
050e.05tdt
s(t) =∫ t
0
v(x)dx = 9.8t2
2+ s0
Ejemplo.
Ejemplo. Una poblacion de bacterias se reproduce a una tasa de 50e.05t bacterias/hora, donde tson las horas transcurridas desde el inicio del experimento. Calcula el incremento de la poblaciondurante 24 horas.
Solucion. Como la tasa de incremento de la poblacion es de 50e.05t, el incremento de la poblaciondespues de t horas sera de
∆P =∫ t
0
50e.05tdt = 50e.05t
.05|t0= 1000e.05t − 1000
sustituyendo t = 24 se tiene∆P = 2320.12
en particular si originalmente habıa P0 bacterias se tendra la siguiente ley de crecimiento para elcultivo
P (t) = P0 + ∆P = P0 + 1000e.05t − 1000
3.4 Calculo de probabilidades
El calculo de areas se aplican tambien en la teorıa de probabilidades. Muchas veces los fenomenosque estudiamos no se comportan de acuerdo a reglas deterministas. Su evolucion se encuentrainfluenciada por muchos factores. La probabilidad es una manera de medir la incertidumbre en unmodelo matematico.
Para introducirnos a las nociones basicas de la teorıa de las probabilidades comenzamos conalgo de terminologıa. Un experimento (aleatorio) es un procedimiento mediante el cual unobservador al interactuar con un objeto de estudio en ciertas condiciones planificadas, es capaz dehacer observaciones y registrarlas. Dichas observaciones pertenecen a una coleccion especıfica deposibles resultados. El espacio muestral del experimento es el conjunto S de posibles resultadoscada elemento, s ∈ S de este conjunto se llama punto del espacio muestral. Un evento, E, en el
57
espacio muestral es un subconjunto del espacio muestral, E ⊂ S que el observador puede seleccionarprescribiendo algunas especificaciones. El evento cierto corresponde a todo el espacio muestral S,el evento vacıo corresponde al evento que no tiene ningun punto y se designa ∅. El evento que constade un solo punto s ∈ S del espacio muestral se designa como evento simple y se denota E = {s}.Dos eventos E,E′ son disjuntos si no hay eventos simples s ∈ E de uno de ellos, que esten en elotro E′.
Una variable aleatoria continua X es la regla de asignacion, que a cada punto del espaciomuestral le asigna un valor numerico real, y a cada evento le asigna un intervalo (o una coleccion deintervalos, dentro de la recta numerica R. Al evento cierto le asigna el intervalo −∞ < X < +∞.
En general, una variable aleatoria continua X permite designar un evento mediante una coleccionde intervalos de la forma:
a ≤ X ≤ b, a < X ≤ b, a ≤ X < b, a < X < b, donde a < b
O tambien intervalos de la forma:
X > a, X ≥ a, x < b, X ≤ b.
Ejemplo. En un cultivo de celulas se elige una al azar y se determina mediante un procedimientoespecıfico la edad de la misma, medida en horas. En este caso el experimento es elegir al azar unacelula del cultivo. El espacio muestral consta de la coleccion de todas las celulas del cultivo, algunade las cuales puede ser seleccionada al momento de la medicion. La variable aleatoria es la asignacionde la edad de la celula una vez que se ha seleccionado al azar una de ellas.
Como ejercicio determina en el ejemplo anterior cual es el evento cierto y el evento vacıo.Una probabilidad P para una variable aleatoria continua X asociada a un experimento dado,
es una regla de asignacion que a cada intervalo, digamos a < X ≤ b, le asigna un numero realP (a < X ≤ b) entre 0 y 1.
En un modelo probabilista 0 ≤ P (a < X ≤ b) designa la certidumbre que tenemos (medida enporcentaje) de que una vez hecha la observacion obtengamos un valor de la variable aleatoria entrea y b.
Ejemplo. Se selecciona al azar una lampara incandescente de una fabrica y se quiere saber laprobabilidad de que su vida util ”este entre” 500 y 1000 horas. Si X es la variable aleatoria continuaque mide la vida util de una bombilla seleccionada al azar en una fabrica, lo que deseamos saber esel valor de P (500 < X ≤ 1000). Si por otro lado nos preguntaran cual es la probabilidad de quedicha bombilla tenga una vida util de ”al menos” 100 horas, entonces dicha pregunta se traduce adeterminar P (X ≥ 100) es decir P (100 ≤ X < +∞)
La probabilidad P para una variable aleatoria continua X debe satisfacer ciertas propiedadesque aseguran que se trata de una medida de certidumbre:
1. La probabilidad de un evento es no negativa, es decir P (a < X ≤ b) ≥ 0.
2. La probabilidad del evento cierto que corresponde a todos los posibles valores de la variablealeatoria es 1, es decir P (−∞ < X < +∞) = 1.
3. La probabilidad de dos eventos disjuntos es la suma de las probabilidades de cada uno de ellos,ası por ejemplo, se puede deducir que:
P (X > a) = 1− P (X ≤ a)
P (a < X ≤ b) = P (X ≤ b)− P (X ≤ a)
58
Observacion. Anteriormente usabamos el calculo como herramienta para desarrollar modelos de-terministas de un fenomeno. Es decir, querıamos determinar o bien estudiar las propiedades deuna funcion f(x). Dicha funcion determinaba completamente el comportamiento de una variabledependiente y = f(x) que era de nuestro interes a partir de una variable independiente x.
En contraste, en los modelos probabilistas, nuestro interes en determinar cual es la probabilidadP (a < X ≤ b) en el contexto de un experimento aleatorio, ası como las propiedades de dichaprobabilidad. En este caso, la probabilidad expresa la certidumbre de observar el evento en cuestion.
Ahora veamos como el calculo tambien es util para estudiar modelos probabilistas. Especıficamentela integral definida resulta util para expresar la probabilidad P asociada a una variable aleatoria Xen un experimento.
La idea central es que medir la certidumbre de un evento y medir el area de una region (hablamosdel area bajo la grafica) son dos procedimientos analogos. Ası que estudiar las propiedades de laprobabilidad corresponde a estudiar las propiedades del area.
Para aclarar esta idea comenzamos con expresar la probabilidad P como un area bajo la grafica.
Definicion. Una funcion de densidad de probabilidad para una variable aleatoria continua Xcon probabilidad P , es una funcion p(x), que satisface las siguientes condiciones:
1. Es una funcion no negativa, es decir p(x) ≥ 0.
2. Es una funcion de area bajo la grafica total unitaria, es decir∫ +∞−∞ p(x)dx = 1.
3. La probabilidad de que la variable aleatoria X adquiera valores en el intervalo comprendidoentre a y b, es el area bajo la grafica de p(x), es decir
P (a < X ≤ b) =∫ b
a
p(x)dx
En particular las probabilidades asociadas a los intervalos X ≤ b se expresarıa en terminos de lafuncion de densidad de probabilidad como
P (X ≤ b) =∫ b
−∞p(x)dx
donde∫ b−∞ p(x)dx se aproxima tomando areas bajo la grafica
∫ a−N p(x)dx en el intervalo −N ≤ x ≤ b
con −N cada vez mas negativo. Es decir∫ b
−∞p(x)dx = lim
−N→−∞
∫ b
−Np(x)dx
y analogamente,
P (X ≥ a) =∫ +∞
a
p(x)dx.
Observacion. Un modelo determinista se especifica mediante una funcion f(x) que relaciona lavariable dependiente con la variable independiente. Un modelo probabilista asociado a un experi-mento se especifica mediante una funcion de densidad de probabilidad apropiada para la variablealeatoria de interes.
59
-5 0 5 10 15x
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.12pHxL
Figura 3.8: Funcion de densidad uniforme en , 0 ≤ X ≤ 10
Ejemplo. En una parada del transporte publico los autobuses que pasan por ahı lo hacen cada 10minutos. Sea X la variable aleatoria que mide el tiempo de espera que le toma a una persona quearriba aleatoriamente a la parada, para subir al autobus siguiente.
Notemos que todos los posibles valores de la variable aleatoria X estan comprendidos en elintervalo 0 < X ≤ 10. Es decir, el intervalo 0 < X ≤ 10 corresponde a todo el espacio muestral S,y en consecuencia P (0 < X ≤ 10) = 1.
Observemos tambien que todos los posibles valores dentro del intervalo 0 < X ≤ 10 son igual-mente probables, ya que la persona llega a la parada aleatoriamente, no ha planeado llegar justocuando pasa el autobus. En este caso la funcion de densidad permanece constante
p(x) = k
Para identificar el valor de la constante k, calculamos la probabilidad del evento cierto tendremos
1 =∫ +∞
−∞p(x)dx =
∫ 10
0
p(x)dx =∫ 10
0
kdx = k · 10
de donde k = 1/10por lo tanto
P (a < X ≤ b) =∫ b
a
110dx =
b− a10
es la probabilidad de que una persona espere entre a y b minutos antes de subir al autobus.Por ejemplo, la probabilidad de que una persona tarde al menos 3 minutos en la parada es
P (X ≥ 3) = P (3 ≤ X ≤ 10) = 7/10, que corresponde a una probabilidad del 70 %.Una variable aleatoria que toma valores en un intervalo A ≤ X ≤ B, y para la que los posibles
valores tienen la misma probabilidad de ocurrir, se dice que es uniformemente distribuida. Paracalcular la probabilidad de un evento utilizamos funcion de densidad uniforme, p(x) = 1
B−A , esdecir,
P (a ≤ X ≤ b) =∫ b
a
p(x)dx =b− aB −A
.
Una variable aleatoria se dice exponencialmente distribuida si tiene funcion de densidadexponencial con valor esperado λ > 0,
p(x) ={
1λe−x/λ, si x ≥ 0
0, si x < 0
60
-2 0 2 4 6 8 10 12x
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25pHxL
Figura 3.9: Funcion de densidad exponencial 15e− x5 .
-2 0 2 4 6 8 10 12x
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25pHxL
-2 0 2 4 6 8 10 12x
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25pHxL
Figura 3.10: Probabilidad P (X ≥ 7) y P (2 ≤ X ≤ 5), para la funcion de densidad exponencial15e− x5 .
Ejemplo. El tiempo de supervivencia de un paciente que se somete a un tratamiento quımico esuna variable aleatoria con distribucion exponencial. Supongamos que en un tratamiento especıficose tiene un tiempo esperado de supervivencia de λ = 5 anos. Determina la probabilidad de que unpaciente sobreviva al menos 2 anos y no mas de 5. Determina la probabilidad de que un pacientesobreviva mas de 7 anos.
Solucion. La probabilidad se calcula como
P (a ≤ X ≤ b) =∫ b
a
15e−
x5 dx = −e− 1
5x |ba= e−a5 − e− b5
por lo tanto P (2 ≤ X ≤ 5) = e−2/5 − e−5/5 = 0.67032 − 0.367879 = .3024 que corresponde a unaprobabilidad de 30.24 %, sobrevivir al menos 2 anos y no mas de 5.
Por otro lado, la probabilidad de sobrevivir al menos de 7 anos serıa
P (X > 7) = P (7 < X <∞) =∫ +∞
7
15e−x/5dx = e−7/5 − lim
N→∞e−N/5 = e−7/5 = .04931
lo cual corresponde a una probabilidad de 4.93% de sobrevivencia de al menos 7 anos.
61
-4 -2 2 4
0.1
0.2
0.3
0.4
Figura 3.11: Curvas de distribucion normal para a) µ = 0, σ = 1; b) µ = 0, σ = 3; c) µ = 2, σ = 1.
En este ejemplo hemos visto que es necesario saber que e−x se aproxima a 0 cuando x → +∞,para determinar las formulas generales para el calculo de probabilidades de variables aleatoriasexponencialmente distribuidas:
P (a < X ≤ b) =e−a/λ
a− e−b/λ
b.
P (X ≥ a) =e−a/λ
a
Otra funcion de densidad muy util es la funcion de densidad normal. Dicha funcion estadeterminada por dos parametros que se llaman: el ”valor esperado” µ y ”desviacion estandar” σ > 0,y tiene como formula
p(x) =1
σ√
2πe−
12 ( x−µσ )2
De esta manera, una variable aleatoria continua X esta normalmente distribuida si las proba-bilidades de eventos se calculan a traves de la formula de integracion
P (a < X ≤ b) =∫ b
a
1√2πσ
e−12 ( x−µσ )2
dx
Muchas variables aleatorias se distribuyen normalmente o aproximadamente normales: estatura,peso, concentracion de un cierto contaminante en la sangre, esperanza de vida, coeficiente de in-teligencia, numero de palabras que una persona al azar puede memorizar en un lapso de tiempo,calificaciones en examenes.
La grafica de p(x) tiene forma de campana centrada en µ, dependiente de los valores de σ > 0puede ser mas ancha o angosta. Para µ = 0, σ = 1 la campana se llama curva normal tıpica,corresponde a la grafica de p(x) = 1√
2πe−x
2/2.
Desafortunadamente no es posible calcular la integral indefinida∫e−x
2/2dx mediante tecnicas deintegracion que nos proporcionen un formula en terminos de funciones conocidas: polinomios, radi-cales, exponenciales, logaritmos, trigonometricas, etc. Esto no significa que no existe la antiderivada,lo que significa es que no podemos darle una formula a traves de alguna tecnica de integracion.
Para salvar esta dificultad, el area bajo la grafica se calcula mediante metodos numericos, imple-mentados en programas de computo y/o tablas.
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-4 -2 2 4
0.1
0.2
0.3
0.4
Figura 3.12: Area de ”colas hacia la izquierda” en la distribucion normal tipificada (P (Z ≤ 1)).
Las tablas usualmente contienen las areas bajo la grafica de una variable Z con distribucionnormal tipificada, de ”colas hacia la izquierda”, es decir, contienen los valores
P (Z ≤ z) =1√2π
∫ z
−∞e−x
2/2dx.
Ejemplo. En una fabrica de termometros se tiene que los termometros no estan correctamentecalibrados. La temperatura que marca un termometro tomado al azar en el punto de congelacionde agua (0o centıgrados) es una variable aleatoria Z normalmente distribuida. Supongamos ademasque tiene distribucion normal tipificada, con µ = 0oC y σ = 1oC. Entonces, la probabilidad de queun termometro tomado al azar marque a lo mas 1o en el punto de congelacion del agua es
P (Z ≤ 1) = .8423
Lo que indica una probabilidad de 84.13%.
Para las variables aleatorias continuas con las tres distribuciones que hemos analizado se tienenlas siguientes formulas que se deducen de los teoremas de integracion:
P (X < b) = P (X ≤ b)
P (a < X) = P (a ≤ X)
P (a < X < b) = P (a ≤ X < b) = P (a < X ≤ b) = P (a ≤ X ≤ b).
Y tambien las siguientes formulas:
P (a ≤ Z ≤ b) = P (Z ≤ b)− P (Z ≤ a).
P (Z > a) = 1− P (Z ≤ a).
que resultan utiles para el calculo de probabilidades en la distribucion normal tipificada usandotablas:
EJERCICIOS
1. Supon que el tiempo de espera en la fila de un banco es una variable aleatoria con distribucionexponencial y funcion de densidad de probabilidad p(x) = 1
6e−x/6, para x ≥ 0, donde x es el
numero de minutos que un cliente seleccionado al azar espera en la fila antes de ser atendido.Calcula cual es la probabilidad de que un cliente seleccionado al azar permanezca:
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(a) Al menos 2 minutos en la fila.
(b) A lo mas 3 minutos en la fila.
(c) Al menos 1 minuto y a lo mas 10 minutos en la fila.
2. La hora de la noche en la que cierta especie de depredador que vive en una zona de cultivosale de su guarida. Supongamos que es una variable aleatoria uniformemente distribuida convalores 6pm ≤ X ≤ 6am determina la probabilidad de que:
(a) El depredador salga a mas tardar a las 8 pm.
(b) El depredador salga despues de las 12 am.
(c) El depredador no salga en toda la noche.
(d) El depredador salga en algun momento de la noche.
(e) El depredador salga despues de las 12:30 am y a mas tardar a la 1pm.
3. Utilizando la tabla de la distribucion normal tipificada calcula las siguientes probabilidades
(a) P (Z > 2).
(b) P (Z ≤ −3).
(c) P (−1 < Z < 3.1).
(d) P (0.2 < Z ≤ 1.87).
(e) P (Z ≤ −1.87).
3.5 Ejercicios de repaso
1. Se tomaron las siguientes mediciones en el velocımetro de un automovil cada media horaobteniendose la grafica es 3.13, calcula la distancia recorrida.
1 2 3 4 5t - hr
20
40
60
80
100
v -
km
hr
Figura 3.13: Grafica de la velocidad en el problema 1
2. La actividad biologica en un estanque se refleja en la rapidez con la que el CO2 entra al agua.A los biologos les interesa la rapidez neta con la que el dioxido de carbono sale o entra. Seestimo que en un estanque la rapidez en milimoles de CO2 por litro y por hora, esta dada porel modelo
r(x) = .01931x(x− 12.5)2 − 3
donde r es la rapidez (en mmol/lt ·min) y x es el tiempo transcurrido en horas.
(a) Esboza la grafica de r(x) en el intervalo x ∈ [0, 15] usando x = 0, 1, 2, ..., 15.
(b) ¿Para que valores aproximados de x se tiene que r es cero?
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(c) Usando los valores en (b)¿En que intervalo (a, b) se tiene una razon r(x) negativa? ¿Cuales la interpretacion biologica de este hecho?
(d) Calcula la cantidad de CO2 que entro al estanque en el intervalo [0, 15].
3. Una poblacion animal se reproduce con una rapidez o razon de crecimiento directamenteproporcional al numero de personas presentes en dicho instante. Si la poblacion se duplica en5 anos ¿cuanto tiempo tarda en triplicarse?
4. Sea X la variable aleatoria que mide el lapso de tiempo entre dos avistamientos sucesivosde murcielagos que polinizan un cultivo de agaves. Supongamos que este exponencialmentedistribuida con p(x) = 0.3e−0.3x. Si un murcielago acaba de dejar el cultivo de agaves. Calculala probabilidad de que el siguiente murcielago llegue:
(a) cuando mucho una hora despues.
(b) despues de que han transcurrido 3 horas.
(c) despues de que han transcurrido 3 horas y cuando mucho 6.
5. El tiempo que un semaforo permanece en rojo es de 40 segundos. Consideramos el tiempo queun conductor permanece esperando a que el semaforo le de el siga una vez que se detuvo. Setrata de una variable aleatoria uniformemente distribuida con valores 0 ≤ X ≤ 40 segundos.Calcula la probabilidad de que el conductor espere:
(a) A lo mas 5 segundos.
(b) Al menos 10 y a lo mucho 30 segundos.
(c) A lo mucho 40 segundos.
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Bibliografıa
[Ha] Hahn A. Basic Calculus, Springer, 1998.
[HG] Hughes-Hallet D., Gleason A. Calculus, Wiley, 1994.
[Cl] Clark C. Mathematical Bioeconomics, 2a. ed., Wiley, 1990.
[HBR] Hoffmann L., Bradley G., Rosen K. Calculo Aplicado 8a. ed. McGraw-Hill, 2004.
[St] H. Steinhaus, Instantaneas matematicas, Biblioteca Salvat, 1989.
[W] Wolfram Project http://www.wolfram.com
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