Calculo infinitesimal Grado en Matematicas Curso 2015/16Relacion de problemas Calculo de primitivas

1. Calcular las siguientes integrales (a, b 6= 0):

a)

∫(x−3 + 4x

12 + 6x

34 ) dx;

∫x

x− 1dx;

∫sen2x dx;

∫cos2 x dx;

∫dx

senx cosx;

∫tan2 x dx.

b)

∫ √ax+ b dx ;

∫dx

x2 + a2;

∫3x√1− 2x2 dx ;

∫x+ 3

3√x2 + 6x

dx ;

∫x

1 + x2dx

∫cos3 x sen2x dx ;

∫xex

2

dx ;

∫cotx dx ;

∫log3 x

xdx ;

∫x

cos2 x2dx

∫ex√

1− e2xdx ;

∫esen

2xsen2x dx ;

∫ √1− x2 ;

∫ √16− x2 dx.

c)

∫log x dx ;

∫arctanx dx ;

∫xsenx dx ;

∫eaxsenbx dx ;

∫eax cos bx dx.

d)

∫x2 + 1

(x− 1)(x2 + 2)dx;

∫x4 − x3 − (x+ 1)

x3 − x2dx;

∫x

(2 + 3x)2dx;

∫x2

1− x4dx;

∫dx

4− x2.

2. Obtener las siguientes primitivas:

∫dx

(x2 + 1)2;

∫3x4 + 4x2 + 2x+ 1

x(x2 + 1)2dx ;

∫dx

(x3 − 1)2;

∫2x+ 2

(x− 1)(x2 + 1)dx ;

∫x

(x− 1)3(x+ 1)2dx ;

∫x2 + 3

(x+ 1)(x− 1)dx.

3. Calcular las primitivas:

∫dx

3√x+√x

;

∫4√x

1 +√xdx ;

∫dx√

x(1 + x);

∫dx√

x(4− 9x);

∫x3

√x− 1

dx;

∫x

(x+ 2)23 − (x+ 2)

dx;

∫ (1− x

1 + x

) 13

(1 + x)−2 dx;

∫x

32 (1− x)−

32

x+ x12 (1− x)−

12

dx;

∫x

13

(1 +√x)

dx.

4. Calcular las primitivas:

∫dx

(1 + x)(1 + x+ x2)12

;

∫dx

(1 + x2)√1− x2

;

∫ √2ax− x2 dx ;

∫dx

x2√4− x2

.

1

5. Calcular las siguientes primitivas:

∫log 2x

x log 4xdx ;

∫senx

1 + 4 cos2 xdx ;

∫sen2x cos4 x dx ;

∫dx

1 + senx+ cosx;

∫cosx

sen3x+ 2 cos2 xsenxdx ;

∫sen3x cos 5x dx ;

∫1 + cosx

1− cosxdx ;

∫ex − 3e2x

1 + exdx ;

∫tan3 x+ tanx

1− 2 tanxdx ;

∫ √1− cosx dx ;

∫cosx

sen2x− cos2 xdx .

2

Calculo infinitesimal Grado en Matematicas Curso 2015/16Relacion de problemas La integral de Riemann

1. Sean f(x) = 3x − 2, g(x) = x2. Usando la condicion necesaria y suficiente de integrabilidad Riemann,probar que f y g son integrables Riemann en [0, 1], calculando el valor de cada integral.

2. Sea f(x) = 0 si x /∈ Q, f(x) = x si x ∈ Q. Demostrar que f no es integrable Riemann en el intervalo [0, 1].

3. Sea f : [0, 1]→ R la funcion definida por f(x) = 0 si x irracional y f(x) =1

qsi x =

p

qfraccion irreducible.

Probar que f es integrable en [0, 1] y ademas

∫ 1

0

f(x) dx = 0.

4. Acotar las siguientes integrales usando el teorema de la media:

a)

∫ 1

0

(1 + x2)12 dx b)

∫ 2

0

1

8 + xdx c)

∫ 1

−1e−x

2

dx d)

∫ 2

1

ex

xdx

5. Demostrar que

a)1

7√

2≤

∫ 1

0

x6√1 + x2

dx ≤ 1

7,

b)3

8≤

∫ 1/2

0

√1− x1 + x

dx ≤√

3

4.

6. Calcular las siguientes integrales definidas:∫ −π−3π

(sen2x+ x3 +1

x+ 1) dx

∫ 5

0

7 + 5x− 2x2

(x+ 1)2dx

∫ 2

0

(1 + x2)3 dx

∫ 2

1

(1 +√x)3 dx

∫ nπ

−kπ|senx| dx (k, n ∈ N)

∫ √π0

x cosx2 dx

∫ 2

−2|x2 − 1| dx

∫ 3

0

|x−√x| dx

∫ 1

−1

x2senx

1 + cos10 xdx

∫ 2π

0

|sen3x| dx∫ 1

0

√3 + 2x− x2 dx

∫ 2π

0

sennx cos kx dx (k, n ∈ Z)

∫ π

−π

sen3x

x2dx

∫ √3/2

−√3

√9− 3x2 dx

∫ 2π

0

√1− cos2 x dx

∫ 3

0

[x2] dx

∫ 3

0

[x]2 dx

∫ 2π

0

[senx] dx

1

7. Demostrar que si f es integrable en [a, b] existe c ∈ [a, b] tal que∫ c

a

f(x) dx =

∫ b

c

f(x) dx.

Interpretar geometricamente el resultado y calcula c para las siguientes funciones en los intervalos indica-dos:

senx, [0, π]; 3x, [0, 2]; 3x− 1, [−1, 3]; [3x− 1], [−1, 3].

8. Calcular las derivadas de las siguientes funciones (sin calcular la integral):

a) f(x) =

∫ log(1+x2)

1

e−t2

dt b) g(x) =

∫ x4

− cos x2

1

(1 + t2)3dt

c) h(x) =

∫ x2

x3

t6

1 + t8dt d) k(x) =

∫ senx cos x

2x

arctanx

1 + t2dt

9. Hallar

lımx→0

x

∫ x2

0

e−t2

dt

x− senx

10. Calcular por medio de una integral definida los siguientes lımites:

a) lımn→∞

n∑k=1

1

n+ kb) lım

n→∞n

n∑k=1

3

n2 + k2c) lım

n→∞

n∑k=1

ek/n

n

2

Calculo infinitesimal Grado en Matematicas Curso 2015/16Relacion de problemas Funciones integrables

1. En la recta real, dar ejemplos de:

a) Interseccion de familia de abiertos que no es abierto;

b) Union de familia de cerrados que no es cerrado;

c) Cerrado que no es compacto;

d) Acotado que no es compacto.

2. Usando la definicion de compacidad, demostrar que el conjunto formado por los terminos de una sucesionconvergente y su lımite es un conjunto compacto. Hacerlo tambien usando el teorema de Heine-Borel.

3. Decidir cuales de las siguientes funciones son uniformemente continuas en el intervalo [0,∞).

a) f(x) = x1/3,

b) f(x) = x1/2,

c) f(x) = x,

d) f(x) = x2,

e) f(x) = x3.

4. a) Hallar una funcion f que sea continua y acotada en (0, 1] pero no uniformemente continua.

b) Hallar una funcion f que sea continua y acotada en [0,∞) pero no uniformemente continua.

5. a) Sea f : (a, b) → R derivable en (a, b). Demostrar que si f ′ esta acotada en (a, b), entonces f esuniformemente continua en (a, b).

b) Probar que la funcion f : R→ R definida por f(x) = arctanx es uniformemente continua en R.

6. Sea f : [0,+∞) → R continua y tal que existe lımx→+∞

f(x) = α ∈ R. Demostrar que f es uniformemente

continua en su dominio.

7. a) Sea a ≤ c ≤ b y sea f : [a, b]→ R la funcion definida por la expresion

f(x) =

{0, si x 6= c1, si x = c.

Probar que f es integrable en [a, b] y ademas

∫ b

a

f(x) dx = 0.

b) Sean f, g : [a, b] → R dos funciones tales que f es integrable y f(x) = g(x) salvo en una cantidad

finita de puntos. Probar que entonces g es integrable y ademas

∫ b

a

f(x) dx =

∫ b

a

g(x) dx.

8. a) Supongamos que f : [a, b] → R es una funcion acotada y que f es continua en todo punto de [a, b]con la excepcion de c ∈ (a, b). Probar que entonces f es integrable en [a, b].

1

b) Supongamos que f : [a, b] → R es una funcion acotada y que f es continua en todo punto de [a, b]con la excepcion de una cantidad finita de puntos a < c1 < · · · < cn < b. Probar que entonces f esintegrable en [a, b].

9. Demostrar que si f es continua en [a, b] y f(x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b] entonces se tiene que

∫ b

a

f(x) dx = 0

si y solo si f(x) = 0 para todo x ∈ [a, b].

10. En relacion con el ejercicio anterior, dar un ejemplo de una funcion continua tal que

∫ b

a

f(x) dx = 0 pero

que no cumpla f(x) = 0 para todo x ∈ [a, b]. Y un ejemplo de una funcion discontinua tal que f(x) ≥ 0

para todo x ∈ [a, b],

∫ b

a

f(x) dx = 0 pero que tampoco cumpla f(x) = 0 para todo x ∈ [a, b].

11. ¿Tiene primitiva la funcion signo definida como f(x) = 1 si x ≥ 0 y f(x) = −1 si x < 0?

2

Calculo infinitesimal Grado en Matematicas Curso 2015/16Relacion de problemas no11 Aplicaciones de la integral

1. Calcular el area de las siguientes regiones planas:

a) Cırculo de radio r.

b) Elipse de semiejes a y b.

c) Region limitada por la parabola y = 6 − x2 y la recta y = −2x+ 3.

d) Region limitada por la parabola cubica y = x3 y las rectas y = −x/2, y = x+ 6.

e) Region limitada por la parabola y2 = 4x y la recta y = 2x− 4.

f ) Rosa de tres petalos ρ = a cos 3α

2. Calcular los volumenes de los siguientes solidos:

a) Cilindro circular de radio r y altura h.

b) Cono de radio r y altura h.

c) Esfera de radio r.

d) Piramide recta de altura h y base cuadrada de lado a.

3. a) Hallar el volumen del solido de revolucion que se obtiene al hacer girar alrededor del eje de abscisasla region comprendida entre las curvas f(x) = x y f(x) = x2.

b) Hallar el volumen del solido de revolucion que se obtiene al hacer girar alrededor del eje de ordenadasla misma region.

4. Hallar el volumen de los siguientes solidos:

a) Aquel que tiene una base circular de radio 4 y que toda seccion plana perpendicular a un diametrofijo de la base es un triangulo equilatero.

b) El engendrado al girar el area acotada por la parabola y = x2 + 2x y el eje OX alrededor de la rectay = 2.

5. Hallar el volumen del elipsoide de revolucion que se obtiene al hacer girar la region limitada por la elipsex2

a2+y2

b2= 1 alrededor del eje de abscisas.

1

6. Hallar el volumen del toro obtenido al hacer girar la circunferencia (x− a)2 + y2 = b2 (donde 0 < b < a)alrededor del eje de ordenadas.

7. Se abre un agujero cilındrico de radio a > 0 a traves del centro de una esfera de radio 2a. Hallar el volumendel solido restante.

8. Calcular las longitudes de las siguientes curvas planas:

a) Circunferencia de radio r.

b) Un arco de la catenaria y = coshx entre las abscisas 0 y b.

c) Un arco de la parabola y = x2 entre las abscisas 0 y b.

d) Un arco de y = log x entre las abscisas 1 y e.

e) Un arco de y = x3 + 112x entre las abscisas 1 y 2.

9. Calcular las areas de las siguientes superficies de revolucion:

a) Cilindro circular de radio r y altura h.

b) Cono de radio r y altura h.

c) Esfera de radio r.

d) Toro generado al girar la circunferencia (x− a)2 + y2 = R2 en torno de la recta x = 0, con a > R.

10. Calcular la longitud y el area encerrada por la curva cardioide, de ecuacion en polares ρ = a(1 + cosα),a > 0.

2

11. Hallar la longitud de la curva astroide, de ecuacion

x23 + y

23 = a

23 , a > 0.

12. Hallar el area de la superficie obtenida al girar la astroide x23 + y

23 = a

23 en torno al eje OX, (a > 0).

3

Calculo infinitesimal Grado en Matematicas Curso 2015/16Relacion de problemas Sucesiones (II)

1. Sea A ⊂ N cuyo complementario es finito. Demostrar que una sucesion {xn} converge si y solo si convergela subsucesion asociada a A, y en ese caso tienen el mismo lımite.

2. Sea (an) una sucesion acotada de numeros reales y sea σn =a1 + · · ·+ an

n. Demostrar que entonces

lım infn→∞

an ≤ lım infn→∞

σn ≤ lım supn→∞

σn ≤ lım supn→∞

an.

3. Probar que si a > 0 entonces lımn→∞

an

n!= 0. Indicacion: Si n > 2a entonces

an+1

(n+ 1)!=

a

n+ 1· a

n

n!<

1

2· a

n

n!

4. Sea (an) una sucesion de numeros positivos. Demostrar que entonces se tiene

lım infn→∞

an+1

an≤ lım inf

n→∞n√an ≤ lım sup

n→∞n√an ≤ lım sup

n→∞

an+1

an.

5. Sea an = nn/n!. Probar que lımn→∞

an+1

an= e. Usar el problema anterior para concluir que

lımn→∞

nn√n!

= e.

6. Demostrar quelım supn→∞

(xn + yn) ≤ lım supn→∞

xn + lım supn→∞

yn

y dar un ejemplo en el que no se de la igualdad.

7. Calcular los lımites de oscilacion de las siguientes sucesiones indicando para cada lımite una subsucesionque converja hacia el:

(−1)n

e−1/n;

1

n+ sen

nπ

2;

sen(1/n)

(−1)n + 2;

3n

4− [

3n

4].

8. Se dice que una sucesion {xn} de numeros reales es contractiva de constante α ∈ (0, 1) si |xn+2− xn+1| ≤α|xn+1 − xn| para todo n ∈ N. Demostrar que toda sucesion contractiva es una sucesion de Cauchy.

9. Dada una sucesion, demostrar que el conjunto formado por sus terminos y sus lımites de oscilacion escerrado.

10. Construir una sucesion que tenga 10 lımites de oscilacion. Y otra que tenga infinitos.

1

Calculo infinitesimal Grado en Matematicas Curso 2015/16Relacion de problemas Series

1. 1. Estudiar el caracter de las series de termino general:

a) n4e−2n b)n3

n!c)

n!

nnd)

3n− 1

(√

2)ne)

3√n

(n+ 1)√n

f)n2

(n+ 1)!g)

n+ 1

(2n− 1)nh)

enn!

nni)

nx

n3x + 1, x > 0 j)

(2n)!

(n!)24n

k) 1− cos1

nl)

(−1)n

n2 + n+ 1m)

(−1)n−1√n

n)(−1)n

2n− 1

2. a) Sea∑

an convergente de suma A. ¿puede asegurarse la convergencia de la serie de termino general

bn =an + an+1

2? ¿cual serıa su suma? b) De la convergencia de

∑bn, ¿puede asegurarse la de

∑an?

3. Sea∑

anuna serie de terminos positivos.

a) Probar que si∑

an es convergente de suma S, tambien∑√

anan+1 es convergente, y acotar su suma.

b) Probar que la serie∑ an

1 + antiene el mismo caracter que

∑an.

4. Sea q > 0. Demostrar que la serie

∑n≥2

1

np(log n)q

es convergente si p > 1, o bien, si p = 1 y q > 1, y es divergente si p < 1 o bien si p = 1 y q ≤ 1.

5. Estudiar la convergencia de las siguientes series, segun los valores de los parametros:

a)

∞∑n=1

1

1 + an(a 6= −1) b)

∞∑n=1

n2 + 1

nan(a > 0) c)

∞∑n=1

1

pn − qn(p > q > 0)

d)

∞∑n=2

(log n)p (p ∈ R) e)

∞∑n=2

1

np − nq(p > q > 0) f)

∞∑n=2

(−1)n

nα(log n)3(α > 0)

6. Calcular cuantos terminos habra que sumar para que la suma parcial aproxime a la suma de las siguientesseries con un error menor que una milesima:

∞∑n=1

1

2n;

∞∑n=1

(−1)n

n;

∞∑n=1

(−1)n

n2;

∞∑n=1

(−1)n

n!;

∞∑n=2

(−1)n

log n;

∞∑n=1

(−1)ne−n.

1

7. 7. Entre las curvas y =1

x3e y =

1

x2, a la derecha de su punto de interseccion, se han construido segmentos

paralelos al eje OY y que guardan entre sı distancias iguales. ¿Sera finita la suma de las longitudes de

estos segmentos? ¿Sera finita la suma de las longitudes de los segmentos anteriores si la curva y =1

x2se

sustituye por la curva y =1

x?

8. Demostrar que las siguientes series convergen y calcular su suma:

a)

∞∑n=2

1

n2 − 1

∞∑n=1

1

n(n+ 3)

∞∑n=2

n+ 2

n3 − n

b)

∞∑n=1

n

(n+ 1)!

∞∑n=1

n2 + 1

(n+ 1)!(sabiendo que e =

∞∑n=0

1

n!)

c)

∞∑n=1

(n+ 1)an, |a| < 1

∞∑n=1

n2

2n

∞∑n=1

2n+ 1

3n

9. Demostrar que la funcion y =x2 + 2x+ 3

x3 + 50decrece en el intervalo [5,+∞). Aplicar este hecho al estudio

de la convergencia de la serie numerica

∞∑n=1

(−1)nn2 + 2n+ 3

n3 + 50¿Converge absolutamente?

10. Probar que la serie infinita

∞∑n=1

n!xn

nnconverge cuando 0 < x < e y diverge cuando x > e.

2

Calculo infinitesimal Grado en Matematicas Curso 2015/16Relacion de problemas Numeros complejos

1. Expresar en forma binomica los siguientes numeros complejos:

1

5 + 3i

−1− i√

2

(√

2− i)4i5 + i16 3π/3 3−π/3 32π/3 3π/6 3e−i3π/4 3e−i5π/4

2. Si z = 1 + 3i y w = 4 + i, calcular

|2w − 5z|2 |zw + zw| Im (3z2 − iw2) (w − iw)5 Im (2iz3 + 3w2)

3. Escribir en forma polar los siguientes numeros complejos:

−3 2i − 4i 3 + 3i 3i− 3 3− 3i√

3− i 1 +√

3i 1−√

3i

4. Deducir de la formula de Moivre las siguientes igualdades:

cos 3x = cos3 x− 3 cosxsen2x, sen3x = 3 cos2 xsenx− sen3x.

Dar las formulas analogas para los senos y cosenos de 4x, 5x, 6x y 7x.

5. Probar la identidad trigonometrica de Lagrange:

n∑k=0

cos kθ =1

2+

sen

(n+

1

2

)θ

2 senθ

2.

6. Calcular:√−4− 4i 6

√1 e3+

π4 i log i 3

√−1 log

(−e√22 + ie

√22

) √8− 6i.

7. Calcular ( 4√

4)2 y4√

42. Comprobar que no coinciden.

8. Encontrar las raıces complejas de las siguientes ecuaciones:

a) cos z = 2 b) senz = i c) eiz = 1 + 2i d) ez = −1

ee) log z = 1 +

π

2i.

9. Demostrar que todo numero complejo z de modulo 1, z 6= −1, puede escribirse en la forma1 + λi

1− λi, donde

λ es un numero real. Hallar λ en funcion del argumento del numero complejo.

10. a) Resolver la ecuacion z4 = −1 + i , z ∈ C.

b) Sea A el conjunto de puntos del plano complejo formado por las soluciones de la ecuacion anterior.Determinar razonadamente el maximo de las distancias entre los puntos de A.

1