波的干涉 ( Interference of Waves )

線性相加原理 ( Linear Superposition Principle )

• 線性相加原理 ( Linear Superposition Principle )

yt ( total wave function ) = y1 + y2 + ….. + yN

For scalar wave functions ( e.g. gas pressure in sound waves )algebraic sum

For vector wave functions vector sum

當它們分開時

保持它們各自原有的波形 ( 兩個波動之間並不會相互造成彼此的改變 )

• 當兩個波相遇時

產生干涉 ( interference ) constructive interference

destructive interference

• 當兩個相同波速與波長的波同向前進時

駐波 ( Standing Waves )

Y(x,t) = A sin (kx – ωt) + A sin (kx + ωt)

⇒ Y(x,t) = 2A cos ωt • sin kx- a stationary harmonic standing wave

when kx = 0, π, 2π ….. , or x = 0, λ/2, λ, 3/2 λ, …. ( k = 2π/λ )

y always = 0 ⇒ 節點 ( nodes )

when kx = π/2, 3/2 π, 5/2 π, ….. , or x = λ/4, λ, 3/4 λ, 5/4 λ, ….

y = ± 2A cosωt ⇒ 反節點 ( antinodes )

Y1 = A sin (kx – ωt) ( +x direction )Y2 = A sin (kx + ωt) ( -x direction )

sinA + sinB = 2 sin ( ——— ) cos ( ——— ) A + B A – B2 2

• 繩波的共振駐波( resonant standing wave on a string )

λ1 = (2/1) L , 1st harmonic fundamental frequency :υ1 = (1/2) v/L ( v = υ λ )

λ2 = (2/2) L , 2nd harmonic

υ2 = (2/2) v/L = 2υ1

λ3 = (2/3) L , 3rd harmonic

υ3 = (3/2) v/L = 3υ1

( 若繩子兩端被固定了 )

nth harmonic of a resonant standing wave :

λn = (2/n) L

υn = (n/2) v/L

e.g. 改變吉他弦上的張力 ( tension )

就能改變 頻率 υ

就能改變弦上的波速 ( v ∝ √ tension ) ( v = [ F / (M/L) ]1/2 )

λn 只能是某些固定的值, 但是

只要改變波速 ( v ) 就能將頻率 ( υn ) 調整至任何的值

displacement pressure

displacement pressure

pressure

Displacement pressure

200 Hz

500 Hz1000 Hz

2000 Hz

5000 Hz20000 Hz

兩個波源的干涉 ( Interference From Two Sources )

• 當我們說兩個波源發出的兩個波同相 ( in phase ) 時

Y1 = A1 sin (kx – ωt + Φ1)

Y2 = A2 sin (kx – ωt + Φ2)

• 假設有兩個點波源 ( point sources ), 發出的波具有相同的ω, k, A, 而且同相

Y1 ( from s1 ) = A sin (kx1 – ωt )

Y2 ( from s2 ) = A sin (kx2 – ωt )

Φ1 = Φ2

s1s2

x1x2

• when x2 – x1 ( path difference ) = nλ , n = 0, ±1, ±2, …..

kx2 – kx1 = n (2π/λ) λ = 2nπ

kx2 = kx1 + 2nπ

y2 ( from s2 ) = A sin ( kx1 + 2nπ – ωt ) = A sin ( kx1 – ωt )= y1 ( from s1 )

⇒ y = y1 + y2 = 2y1= 2A sin ( kx1 – ωt )

or = 2y2= 2A sin ( kx2 – ωt )

when x2 – x1 ( 路徑差 )= nλ , n = 0, ±1, ±2, …..⇒ constructive interference

• when x2 – x1 ( path difference ) = ( n + 1/2 )λ , n = 0, ±1, ±2, …..

kx2 – kx1 = ( n +1/2 ) (2π/λ) λ = 2nπ + π

kx2 = kx1 + 2nπ + π

y2 ( from s2 ) = A sin ( kx1 + 2nπ + π – ωt ) = - A sin ( kx1 – ωt )= - y1 ( from s1 )

⇒ y = y1 + y2 = 0

when x2 – x1 ( 路徑差 )= ( n +1/2 )λ , n = 0, ±1, ±2, …..⇒ destructive interference

光的雙狹縫干涉 ( Double Slit Interference of Light )

• 每一個狹縫形同一個點波源( point source )

D

• D >> d s1p // s2p

• D >> d s1p // s2p

s1p – s2p ( 路徑差 , path difference ) , ⏐ δ ⏐ = d sinθ

Constructive interference when : d sinθ = nλ , n = 0, 1, 2, …..

Destructive interference when : d sinθ = (n + ½ ) λ , n = 0, 1, 2, …..

δ

θ

D

⏐ δ ⏐ = d sinθ

• d ↑ 相鄰建設型干涉亮點之間的夾角減小

constructive interference when : d sinθ = nλ , n = 0, 1, 2, …

• d ↑ 相鄰建設型干涉亮點之間的夾角減小

• If d >> λ 一定夾角中會夾有太多干涉亮點很難再觀察到干涉條紋的存在

Ex. d = 1000 λ , θ = 1o

1000 λ sin1o = nλ

n = 1000 sin1o = 1000 x 0.017 = 17

17 intensity maxima within an angle of 1o

1o

• 西元1801年 , Thomas Young 是如何證明光具有波動性 ?

Thomas Young 利用單頻光( single-wavelength light,

monochromatic light ) 通過雙狹縫 , 觀察到干涉條紋 , 因此證明了

光具有波動性

Ex. λ of visible light : 4000 Å ~ 7000 Å

Å , Ångstron = 10-10 m

d ~ a few μ ( micron, micrometer, 10-6 m ) to enable

observation of interference pattern on the screen

單狹縫繞涉 ( Single Slit Diffraction )

• 惠更斯原則 ( Haygen’s Principle ) :

每一個波前 ( wavefront ) 的點形同另一個

波點源 ( point source )

• what will happen when d > λ ? ~

• 當狹縫寬度( d ) ≤ 波長 ( λ ) • 當 d >> λ

• what will happen when d > λ ? ~

• 當滿足以下條件時 , 屏幕上會出現暗帶 :

CP – EP ( path difference ) = λ/2

AP – EP = λ d sinθ = λ

• 假設 d

• what will happen when d > λ ? ~

• 繞射弱點發生在 : d sinθ = nλ , n = 1, 2, 3, ….. sin θ1 = λ/d , sin θ3 = 2λ / d

• If d = λ sin θ1 = 1 , θ1 = 90o

屏幕上沒有繞射弱點 , 中央的繞射強點擴展至整個屏幕

• If d ＜ λ 同樣的 , 屏幕上沒有繞射弱點觀察不到繞射圖樣

• If d ＜ λ 狹縫形同一個點波源

• If d ＞＞ λ 屏幕上 , 在一定夾角內會有太多繞射條紋 , 使得繞射

條紋難以觀察 , 與雙狹縫干涉的情況相似

解析力 ( Resolving Power )

θ

θ

Δx

• 當 Δx ↓ ( Δθ ↓ )

什麼時候會無法分辨出

這兩個繞射亮點 ?

s1 s2

• 一個定義何時無法再分辨 S1 和 S2 的指標

當其中一個波源在屏幕上的中心亮點與另一個

波源在屏幕上的第一個繞射弱點重疊時

— Rayleigh Criterion of the limit of resolution

• 一個定義何時無法再分辨 S1 和 S2 的指標

當其中一個波源在屏幕上的中心亮點與另一個波源在屏幕上的第一個

繞射弱點重疊時 ( Rayleigh Criterion of the limit of resolution )

sin θ1 = λ / d ≈ θ1 ( in radians )

Δθ = θ1 ( in radians ) = limiting angle of resolution≈ λ / d

• for high resolution need λ ↓ and d ↑

晶体的繞射現象 ( X-Ray Diffraction by Crystals ) : - Bragg Scattering

• 當前進中的波遇到與其波長相當或稍大的物体時產生散射 ( scattering ) , 形同一個新的點波源

• Atomic size ~ 1-3 Å ( 10-10 m )

inter-atomic separation in a crystal ~ a few Å to 10 Å

λ of x-ray : 0.1 ~ 10 Å ( 10-9 ~ 10-11 m )

x-ray 會被晶体中的原子散射

( visible light λ : 4000 ~ 7000 Å )

Scattered wave

• 晶体中的原子擁有周期性的規則排列 晶格結構 ( lattice structure )

• 假如我們將入射角 θ 由 90o 開始逐漸變小 , 直到在反射角為 θ 的方向上觀察到建設型干涉的亮點 , 此時

d ( inter-atomic distance ) = nλ / ( 2 sinθ ) , 原子間距就可以求得了

• 當兩組反射波的路徑差剛好等於波長的整數倍時 :

2 d sinθ = nλ , n = 1, 2, ….. ( Bragg condition )

在反射角為 θ 的方向上會觀察到建設型干涉的亮點