ONDASEnergía que viaja en forma de perturbación autopropagante

(de un medio)

Viaja la energía, no la materia

OndasUnidimensionales (cuerda)Bidimensionales (superficie del agua)Tridimensionales (sonido, luz)

CLASIFICACIÓN DE LAS ONDAS

• Longitudinales (sonido, resorte)

• Transversales (cuerda, superficie del agua)

cx

y

x

y

v

cv

CLASIFICACIÓN DE LAS ONDAS

• Ondas mecánicas (sonido, resorte, cuerda)

• Ondas Electromagnéticas (luz, ondas de radio)

requieren de un medio que se deforma,y esta es la perturbación que se propaga

No requieren de ningún medio,y se propagan hasta en el vacío

HE c

Frente de Ondas

PLANA

ESFÉRICA CILÍNDRICA

Ondas Unidimensionales

x

y

x

y

ct

t = 0

t > 0

y = φ(x,0)

y = φ(x,t)y = φ(x - ct)

Si la onda viaja a la derecha: y = φ(x - ct)

Si la onda viaja a la izquierda: y = φ(x + ct)

c

Ecuación de Ondas Unidimensionalesy = φ(x - ct) = φ(u) ..... con u = x - ct

∂φ∂x =

∂u∂x

dφ(u)du =

dφ(u)du = φ’(u)

∂2φ∂x2

= ∂u∂x

dφ’(u)

du = d2φ(u)

du2 = φ’’(u)

∂φ∂t

= ∂u∂t

dφ(u)

du = -c φ’(u)

∂2φ∂t2

= -c ∂u∂t

dφ’(u)

du= c2

d2φ(u)du2 = c2 φ’’(u)

∂2φ∂t2

∂2φ∂x2 = 1

c2

Ecuación General de Ondas

∂2φ∂t2

∂2φ∂z2 = 1

c2∂2φ∂x2

∂2φ∂y2 ++

φ(x, y, z, t)

∂2φ∂t2∇2φ = 1

c2

Solución de la Ecuación Diferencial

φ(x0,t)

tA A

TT = 2π / ω [s]

f = 1/T [Hz]

ω = 2πf [rd/s]

∂2φ∂t2

∂2φ∂x2 = 1

c2

φ(x-ct) = A sen [k(x – ct) + δ] = A sen (kx - ωt + δ)

A ... Amplitud del movimientoω ... Frecuencia Angular [rd/s]δ ... Constante de Fase [rd]k ...Número de onda [1/m]

c k = ω

φ(x,t0)

xA A

λ

Foto tomada en t = t0

Si T = 2π / ω [s] ... análogamente λ = 2π / k [m]

como c = ω / k

c = ωk

λT= = λf [m/s]

Ondas en Cuerdas

x

y

x x +Δxθ(x)

θ(x +Δx)T

Tpara: tg θ ~ sen θ ~ θ < 6°

Ley de Newton: F = m a

T sen θ(x +Δx) – T sen θ(x) = m ay

μ = ml [kg/m]

T tg θ(x +Δx) – T tg θ(x) ~ μ Δx ∂2y∂t2

... tg θ(x) = ∂y∂x

(x +Δx) (x)

∂y∂x

∂y∂x–

Δx ~μΤ

∂2y∂t2

∂2φ∂t2

∂2φ∂x2 = 1

c2 c = Τμy = φ

Ondas Longitudinales

xx x +Δx

u(x) u(x +Δx)

F(x +Δx)F(x)

Y = σε =

F l0

A Δl

F = A Y Δll0

Δm Δm = ρ A Δl

A Y ΔuΔx= (1)

F(x +Δx) – F(x) = Δm

Ley de Newton: F = m a∂2u∂t2

... y por (1)

A Y Δu(x+Δx) - A Y Δu(x)Δx

= ρ A Δx ∂2u∂t2

(x +Δx) (x)

∂u∂x

∂u∂x–

Δx ~ρY

∂2y∂t2

c = Yρ

∂2u∂t2

∂2u∂x2 = 1

c2

Y = σε =

F l0

A Δl

∂2u∂t2

∂2u∂x2 = 1

c2

Ondas Longitudinales

c = Yρ

Sólidos:

Fluidos: B = -ΔPΔV/V

c = Bρ

B = -V ... es el módulo de compresibilidad del fluidodPdV

Para el sonido: c ∼ 340 m/s, a temperatura ambiente

v t

c t

pA

(p+Δp)ApA

Sonido como Onda Longitudinal

B = VΔV

-ΔP = -ΔPc tv t

= -ΔPcv

ρ = m / V = n M / V

Velocidad del Sonido en función de la Temperatura

Proceso Adiabático: pV γ = constante

... derivando: dp / dV . V γ + γ p V γ - 1 = 0

... de donde: B = - V. dp / dV = γ p (1)

... y como: pV = n R T (2)

c2 = Bρ = γ p

nM / V= γ

MpVn = γ

M R T

c = a.T a = γM R =

c22

c12 T1

T2

Transporte de Energíact

E = U(t) + K(t) = m ω2 A212En un M.A.S.:

Δm = ρ ΔS Δl = ρ ΔS c Δt

ΔE = Δm ω2 A2 = ρ ΔS c Δt ω2 A212

12

Intensidad de una onda: I = = ΔEΔS Δt

ΔPΔS [w/m2]

12

I = ρ ω2 A2 c

NIVEL DE INTENSIDAD

β = 10 log II0

[dB]

Para el sonido: I0 = 10-12 [w/m2] = 0 dB

f [Hz]

β

20 25.000

Umbral de Dolor

Umbral de Sensibilidad0 dB

120 dB

Nivel de Intensidad en Ondas Volumétricas

r1

r2

I = = ΔPΔS

ΔP4 π r2

I1 = ΔP4 π r1

2

I2 = ΔP4 π r2

2

=I1I2 r1

2

r22

I2 = I1 ( )r22

r12

β2 = β1 - 20 log (r2 / r1)

Interferencia de Ondas

F1F2

r2

r1 φ1(t) = A sen (kx - ωt)

φ2(t) = A sen (kx - ωt)

φ(t) = A [sen (k r1 - ωt) + sen (k r2 - ωt) ]

pero: senα + senβ = 2sen[(α+β)/2].cos[(α−β)/2]

φ(t) = 2A cos (k Δr /2) sen (k rp - ωt)rp = (r1 + r2 )/2

InterferenciaDestructiva:

Constructiva: (k Δr /2) = n π Δr = n λ

(k Δr /2) = n π + π/2Δr = n λ + λ/2

φ(t) = [2A cos (k Δr /2)] sen (k rp - ωt)

φ(t) = A(Δr) sen (k rp - ωt)

A(Δr) = 2A cos (k Δr /2)

I = ρ ω2 A2 c 12

... y como: I(Δr) = 4 I0 cos2(k Δr /2)

Δr

A(Δr)

I0

Principio de Huygens

“Cada punto de un frente de onda puede ser considerado como una fuente secundaria de ondas que se expanden en todas las direcciones con rapidez igual a la rapidez de propagación de una onda”

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