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C 09 Medidas de dispersión
Para describir un conjunto de números hemos visto que es de utilidad ubicar el centro del
conjunto de datos. Pero identificar una medida de tendencia central rara vez es suficiente. Una
descripción más completa del conjunto de datos puede obtenerse si se mide qué tan dispersos
están los datos alrededor de dicho punto central. Esto es precisamente lo que hacen las medidas
de dispersión. Indican cuánto se desvían las observaciones alrededor de su media.
A continuación veremos la descripción de las diferentes medidas.
Medida
Descripción
Ra
ng
o
Que describe
El rango es simplemente la diferencia entre la observación más alta y la más baja.
Fórmula
Rango = # Mayor − # Menor
Ejemplo
Calcule el rango para el siguiente conjunto de datos: -15, -9, -2, 5, 5, 7, 12, 14
el rango seria= 14- (-15) =14-15 = 29
De
sv
iac
ión
está
nd
ar
Que describe
La desviación estándar es simplemente el "promedio" o variación esperada con respecto a la media aritmética.
Fórmula
𝑆 = √Σ(𝑋𝑖 − �̅�)2
𝑛 − 1
Ejemplo
Determine la Desviación estándar de los siguientes datos: 87, 120, 54, 92, 73, 80, y 63
Determinamos que �̅� = 81.29 Entonces
𝑆 = √Σ(𝑋𝑖 − �̅�)2
𝑛 − 1
=√(87−81.29)2+(120−81.29)2+(54−81.29)2+(92−81.29)2+(73−81.29)2+(80−81.29)2+(637−81.29)2
7−1
=√465.69 = 21.58
Cu
art
il, D
ecil y
Pe
rce
nti
l
Que describe
Divide el conjunto de datos en partes iguales. Los Cuartiles, cada conjunto de datos tiene tres
cuartiles que lo dividen en cuatro partes iguales. El primer cuartil es ese valor debajo del cual
clasifica el 25% de las observaciones, El segundo cuartil es justo la mitad y el tercer cuartil es el
valor debajo del cual está el 75% de las observaciones y encima del cual puede encontrarse el 25%
restante. Los deciles separan un conjunto de datos en 10 subconjuntos iguales, y los percentiles en
100 partes.
Vale la pena destacar que los datos han sido puestos en una serie ordenada.
Fórmula
La posición del percentil la encontramos con la formula:
𝐿𝑝 = (𝑛 + 1)𝑃
100
Donde 𝐿𝑝 es el sitio del percentil en una serie ordenada.
n es el numero de observaciones P es el percentil deseado
Cu
art
il, D
ecil y
Pe
rce
nti
l
Ejemplo
Para ilustrar el cálculo de percentiles, se asume que se tienen observaciones para el número de acciones correspondientes a 50 acciones transados en la Bolsa de Valores de Nueva York ( Los datos han sido puestos en una serie ordenada) Se asume que se quiere encontrar el primer cuartil o el percentil 25 𝑃25. Para eso debemos encontrar primero la posición con la formula:
𝐿25 = (50 + 1)25
100= 12.75
El valor resultante de 12.75 dice que el percentil 25 está ubicado al 75% del trayecto comprendido entre la doceava observación, que es 20 y la treceava observación que es 21, es decir, P = 20 + 0.75 (21-20) = 20.75.
Si se desea calcular el percentil 35, se halla la posición: 𝐿35 = (50 + 1)35
100= 17.85
El percentil 35 está al 85% del trayecto comprendido entre la observación 17, que es 29 y la observación 18 que es 31, es decir, P35 = 29 + (0.85)(31 - 29) = 30.7 Por tanto el 35% de las observaciones está por debajo de 30.7 y el 65% restante por encima de 30.7
EJERCICIO: 1.- Defina en sus propias palabras: a. El percentil 80 b. El cuarto decil c. El tercer cuartil 2.- Utilizando los datos de la tabla, calcule e intérprete: a. El rango b. La mediana c. El percentil 50 d. El percentil 70 e. El tercer decil
Fuentes: “Estadística para administradores" (Levine, Krebhiel,Berenson) Ed. Pearson Resumen Cap. 2 Pág. 53-59.
3 10 19 27 34 38 48 56 67 74
4 12 20 29 34 39 48 59 67 74
7 14 21 31 36 43 52 62 69 76
9 15 25 31 37 45 53 63 72 79
10 17 27 34 38 47 56 64 73 80