計測工学I 【第４回】Excelによる相関係数の計算

今日の内容

•  【第4回】Excelによる相関係数の計算

• シラバスより以下の部分を扱います。 •  【第4回】Excelによる相関係数の計算

•  相関の考え方を導入する。相関が高いということ、負の相関があるという概念を学び、時系列データの位相差、相互相関関数、相関係数、自己相関関数について学ぶ

• 二つのデータが伴って変わる時に、どんな関係が成り立つかを求めるのが相関係数です。

相関とは？

•  「二つのものが密接にかかわり合っていること。」 - Mac国語辞典

• 因果関係を調べる。 •  原因がある　→　結果につながる：　因果律 •  自然科学は因果律の塊とも言えるかも知れない。

• Aという現象がBという現象に影響する。 •  一定の遅れを伴って、両者が同様の傾向を示す。

• 相関するものの例 •  身長と体重、　標高と気温、　試験前の勉強時間と得点 •  太陽の高さと気温・・・　　など

相関を調べる

• 自然科学では、未知の現象の「相関」を調べるものが多い •  HbA1C（ヘモグロビンA1C）は過去3ヶ月の血糖値のデータと相関する

•  「過去3ヶ月の血糖値」は、調べるのが困難 •  しかし、HbA1Cは血液検査ですぐに調べられる。 •  →　HbA1Cを調べることで、過去3ヶ月の血糖値が推定できる。

•  エクアドル・ペルー沖の海水温　→　エルニーニョ現象　→　気候変動 •  気候を「予測」できる。 •  ある程度の確率で、未来が予測できる。

• まだ見つかっていない「相関関係」がわかれば、「発見」として自然科学の進歩に役立つ。

• 教科書P242

相互相関関数

• 信号 x(t)と、y（t)とがどんな関係にあるのか、調べる。 • 教科書P242 • 相互相関関数の式を見てみます。

• 二つの関数をjだけずらして、 重ねて掛け合わせ、和をとる。

•  「ずらして、うまく重なる」時に、 大値となる関数。

φxy ( j) =1M

x(i)y(i+ j)i=1

M

∑

( j = 0,1,…,N −M )

東京の月別平均気温

•  http://www.data.jma.go.jp/gmd/risk/obsdl/index.php • 今日はこのデータを使いますが、計算する地域、期間には指定があります。各自の該当地域・期間のデータで計算して下さい。

月平均気温のデータを選択

• 場所を選択したら、「月平均気温」を選んで下さい。

期間を選んでデータを表示

• 期間を選んで「データを表示」させて下さい。

思い入れのある場所、期間がある人はそうしたデータを選んでも構いませんが、他の人と重複がないようにして下さい。

Excelへの貼付け

• Excelに貼付けて、簡単に整理しておきます。

• 次に、太陽の南中高度を求めます。 •  http://api.knecht.jp/geocoding/q/東京都豊島区東池袋

•  帝京平成大学池袋キャンパスの緯度：35.7328付近・・・ •  小数点以下5桁目は、教室が変わると値が変わります。

•  （1歩歩くと、6桁目、7桁目の数字が変わります・・・） •  太陽の南中高度（度） ＝ 90 － （その場所の緯度） ＋ （太陽の視赤緯）

•  （国立天文台サイトより、引用）

太陽の視赤緯

•  正確な数字は、以下のサイトで掲載されています。 •  http://park12.wakwak.com/~maki/de405.htm •  ただ、簡単のために、3月と9月を0度として、±23.4(地軸の傾き)の見かけ

上の運動をしているとして、三角関数で計算します。

•  A10のセルに、帝京平成大学の緯度（35.73） を入力し、　 •  A11のセルに、 =PI()　という関数式を入力します。 •  A12〜A16までは、「角度（度）」、「角度（ラジアン）」、

「太陽の視赤緯」、「太陽の南中高度」と見出しを 入力しておきます。

関数式

•  B12のセルには、-60という値を入力します。 •  C12のセルには、 =B12+30 という式を入力します。 •  C12のセルの中身を、右に12月までコピーします。

•  B13のセルは、=2 * $A$11 * B12 / 360 の式を、 •  B14のセルには、 =sin( B13 ) の式を、 •  B15のセルには、= 23.4 * B14 の式を、 •  B16のセルには、= 90 - $A$10 + B15　の式を

それぞれ入力します。

関数式の考え方

•  直感的にわかりやすいように、 初に3月を0度とする三角関数の起点になるように、毎月30度ずつ、1年で360度変化する三角関数の値域を用意しました。　（12行目）

•  しかし、実際の三角関数の値域は、ラジアン表示ですので、 2π (deg) / 360の計算で、ラジアンに変換しました。（13行目）

•  これで、三角関数のsinを計算しました。（14行目） •  振幅の23.4度を掛けて見かけ上の太陽高度の変動（視赤緯）を計算し（15

行目） •  後に、南中高度を計算しました。（16行目）

•  これを、12月まで コピーします。

平均気温と南中高度のグラフ

• 簡単のために、値だけをコピーします。 • Excelでは、一般には変化する量は行方向にとりますが、 表示などの都合で、列方向に変化量をとる使い方もあります。

平均気温と南中高度

• 形が良く似ています。　→　なんとなく、相関していると言えそうです。

• ですが、南中高度のピークは6月（夏至は6月）なのに、気温のピークは8月です。これは、8月までは「放散エネルギーよりも流入エネルギーの方が大きいため、積分されて増加している」と考えられます。

• これを、散布図で表現してみます。 すると、楕円になります。

• 完全に相関している時は、 散布図が直線になります。

• 位相が90度ずれると、円に なります。

相互相関関数計算の準備

•  準備のために、シートを変えて、 行と列を入れ替えてコピーします。

•  次に、上に5行挿入し、8〜12月分をコピーし 下に1〜5月分をコピーして、連続したデータ にします。

原因と結果

•  太陽の南中高度と、平均気温の関係で、 気温が太陽の高度に影響を与えているのか、 太陽の高度が気温に影響を与えているのかを、考えます。

•  この場合、原因は太陽の高度であり、気温が結果であると、推測します。

•  そこで、太陽の南中高度を左に、気温を右にして、準備します。

相互相関関数の計算（1）

• D1のセルに、-5を入力します。 • E1のセルに、=D1+1を入力し、 これをN1のセルまでコピーします。

•  −5から5まで変化する見出しが出来ます。 • これは、−5ヶ月から5ヶ月まで変化させて、位相のズレを見るためです。

相互相関関数の計算（2）

• D7のセル（−5の列の、1月の行）に、以下の式を入力します。 •  =index($B$1:$B$23, ROW() )

* index( $C$1:$C$23, ROW() + D$1) •  INDEX関数は、 初のパラメータの配列から、2番目のパラメータの番号の値を取り出す、という関数です。

相互相関関数の計算（2）　意味

• ROW()関数では、現在ある行番号を取り出します。 配列で、1行目から範囲指定しているため、 初の

•  index( $B$1:$B$23, row() ) • で、現在ある行の、太陽の南中高度の値が取り出されます。 •  2番目の行では、現在ある行の値に、D列の1行目（1行目は絶対指定）の値だけ、前後にずらす計算をしています。 　row() + D$1 の部分です。平均気温の値は、このD1のセルの値（-5)だけずらして取り出します。

• ですので、平均気温の項は、 index( $C$1:$C$23, row() + D$1 )

• になります。

数表を埋める

• 式は、絶対参照と相対参照を組み合わせて作っていますので、 一気にコピーして、面を埋めて下さい。

相互相関の計算

• 数表を計算したら、 D24に、=D1　の式を書き、 D25に、=average(D7:D18)　の式を書きます。

• これを、N列までコピーします。

空白行の意味

• セルの上下に空白がある意味を考えてみて下さい。

• 過去5ヶ月分とか、未来の5ヶ月分との関係を調べます。比べる相手が上下に5ヶ月分ずつ幅広くなっているので、時間で言えば前後5ヶ月分は、「相手のデータ」は必要でも「自分自身のデータ」は使わない領域があります。

• その領域は、計算式だけ入れても答えは出てきません。

相互相関関数のグラフと読み方

•  24行目を軸ラベルとして、25行目の数値だけをグラフ化します。

• 位相（5ヶ月前）〜（5ヶ月後）まで、ずらして計算した結果、相関が 大となるまでに、1〜2ヶ月の位相のズレがあることがわかります。

位相補償

• 前処理で、こうした位相のズレを補償すると、二つの変化が「一次関数」の形に近くなります。（直線関係）

• 実際に、平均気温と、南中高度のデータを、2ヶ月ずらして散布図を作成すると、かなり、右肩上がりの直線に近づきます。 •  「良い相関関係」があるデータでも、時系列データの場合、位相をきちん

と補償してあげないと、「相関係数」は悪くなる場合があります。 •  「月」単位ではなく、「日」単位で計算して位相保証すると、相関はほぼ1

になります。

相関係数の計算

• 相関係数は、以下の式で計算できます。

(xi − xi=1

n

∑ )(yi − y)

(x − x)2i=1

n

∑ (yi − y)2

i=1

n

∑

相関係数の考え方

•  xやyが、平均よりどの程度大きいか、小さいか、ペアになる1項目ごとに両辺がそれぞれx、yの長方形を作ってみます。

•  傾向が一致していれば、xが大きいときはyも大きく、合計はプラスになります。マイナスとマイナスを掛けてもプラスになるので、傾向が一緒だとプラス側だけに長方形が来ます。

•  傾向が真逆だとすると、xが＋の時はyがー、xがーの時はyが＋となって、合計はマイナス側で絶対値は大きくなります。

•  特定の傾向がない場合は、相殺して0に近づきます。

•  この長方形の面積を、 xやyの大きさで揃えると （分母の式で割ると）、

大が1、 小が−1に なります。

•  この分母は標準偏差が 使われます。

相関係数の式変形

• この式のままだと、一回平均を計算しないと相関係数が計算できません。そこで、

• という関係を利用して、式変形します。（板書参照） •  終的には、以下の式になります。

x = 1n

xii=1

n

∑ , y = 1n

yii=1

n

∑

r =xi ⋅ yi

i=1

n

∑ −1n

xii=1

n

∑ yii=1

n

∑

xi2 −1n

xii=1

n

∑$

%&

'

()

2

i=1

n

∑ yi2 −1n

yii=1

n

∑$

%&

'

()

2

i=1

n

∑

Excelでの相関係数計算の準備

• Excelの機能では、簡単に相関係数を求めることもできますが、あえて、式の意味から考えて欲しいため、バラバラに計算します。

• 右の式を用いて、Σを置き換えると、 相関係数は下記のようになります。

SX = xii=1

n

∑

SY = yii=1

n

∑

SXX = xixii=1

n

∑

SYY = yiyii=1

n

∑

SXY = xiyii=1

n

∑

r =SXY −

1nSXSY

SXX −1nSX2 SYY −

1nSY2

Excelでの相関関数

•  2ヶ月分だけ位相をずらします。 • そこで、X、Y、XX, YY, XY を各行ごとに計算します。 （具体的な手順は、先週のスライドを参照して下さい。）

• それらの値から、rを求めると　r=0.9592　が得られます。

相関係数の読み方

• 一般的に、例えば医療関係のデータを読む際には、 0.7〜1：強い相関がある 0.3〜0.7: 相関を伺わせる傾向が見られる -0.3〜0.3: 無相関である -0.7〜-0.3:　負の相関の傾向が見られる -1〜-0.7: 負の相関がある。

• などという言い方をします。 •  0.3から0.7の間は、非常に扱いが難しいことが多い。

• 但し、相関係数はXとYを入れ替えても同じ結果になるので、どちらが原因で、どちらが結果かを言うことはできません。

とっても楽な計算方法は・・・

• 実は、 =CORREL(B2:B13,C2:C13) と入力すると、相関係数は計算できます。

• ただ、元となる考え方や、感覚的に、何を計算しているのかを 感じ取ってから、数式を理解し、 終的には=correl()を使う ようにして下さい。

• そうしないと、「位相差のあるデータ」をそのまま分析して、目立った相関は見られない、などという論文を書いたりしてしまいます。（後で、結構恥ずかしいのではないかと思います。）

自己相関関数

• 今度は、関数の波形を自分自身と相関させてみます。 • 第10回で使った、心電図のデータについて、相互相関の代わりに、自分自身の値との相関を出してみます。

•  （私は、10刻みで位相を変えました。そうしないと、データが大きいので・・・）

計算を手動に切り替え

• Excelで、サイズの大きいデータの自己相関を計算させると、 何度も「再計算」が実行されて、非常に「重く」なります。 •  何か入力するたびに、全部を再計算するために、反応が鈍くなります。

• そこで、一度数式を入力して計算させたら、「自動」計算をやめて、「手動」再計算に切り換えます。 •  または、（裏技ですが）、計算済みのセルの値を、全部コピーし、「値を貼

付け」して、計算しないようにしてしまいます。 •  こうした「裏技」を使うときは、自分のやったことをしっかり覚えておくよう

に。

自己相関の意味

• 自己相関の結果を見ると、-150〜-170の付近で値が大きくなっています。

• これは、150サンプル〜170サンプル（0.75秒〜0.85秒）で、データが反復していることを示唆しています。

• これの山は、心電図の周期を意味しています。が、計算する区間が広いと、「大まかな値」しか出てきません。（瞬時心拍数の算出には不向き）

自己相関と周期性

•  周期性のある信号では、自己相関を計算すると、その周期に相当する「遅れ」の部分で、相関関数がピークを持ちます。

• →　ということは・・・ •  自己相関を計算すると、信号の周期性が計算できるのではない

か？と考えられます。

•  これが、「ウィーナー＝ヒンチンの定理(Wiener–Khinchin theorem)」と言われ、自己相関関数のフーリエ変換は、信号のパワースペクトルになる、という関係式です。

この科目の守備範囲外ですが・・・。

•  フーリエ変換との関係は有名ですので、覚えておいて下さい。

今日の提出課題

• 太陽の南中高度と平均気温のデータを用いて、相互相関関数のグラフを作成して下さい。（2点）

•  −5ヶ月から＋5ヶ月まで、平均気温のデータをシフトさせて、南中高度と平均気温の相関係数を計算し、何カ月ずらした時に相関係数がいくつだったか、表にしてまとめなさい。（3点） •  ヒント：INDEX関数をうまく使うと、一気に作成できます。CORREL関数

を使っても構いません。

• この結果をグラフに表示して下さい。（1点）

• 以上のレポートを、今日の「出席点」とします。 • 出席そのものは、カードでチェックします。

発展課題（ボーナス課題）

• 気象庁のデータでは、「週単位」の区切りのデータもダウンロードできます。できれば10年分程度を平均したデータを使って下さい。

• 太陽の南中高度のデータも「週単位」で計算し、平均気温と南中高度のデータの「位相差」を求めて下さい。

•  「夏至」から、何週間くらい遅れて「気温のピーク」が来るか、体感している時期が結果として得られているか、検証して下さい。

• 　　簡単のため、１年を52週間(364日)として構いません。 • 　　（ボーナス点： 大4点）

次回の予告

•  【第5回】方式、性能、誤差

•  位法と零位法、感度、分解能、測定範囲、スパン、ダイナミックレンジ、直線性、確度、応答時間、分散、標準偏差、標準誤差、有効数字について学習する。

•  「計測論」の部分を学習します。

もう一つの提出課題【欠席課題】

• 今日の講義ノートの「欠席課題」ですが、授業課題ではなく、こちらの課題で出しても構いません。

• 相関があるということは何を意味するかを 初に説明し、相関係数を求める計算式で、なぜ相関が表せるか、数式に基づいて説明を書いて下さい。

• この課題についても、6点満点で採点します。授業課題のレポートで提出しても構いませんし、こちらの課題で出しても構いません。

欠席した人は・・・

• 今日の授業課題を提出して下さい。 • 提出があれば、出席に切り換えて、レポートも採点評価します。