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応用数学 II及び演習 A&B(偏微分方程式) 【演習課題 6】(2017/1/23) ○解答は A4レポート用紙を使用し,この問題用紙を表紙とすること. 通番 [ ] ○解答が複数枚になる場合は,ホッチキスで綴じること. 氏名 [ ] ○他人の答案を写し書きした場合はゼロ点とする. 学籍番号 [ ] 1. ラプラス方程式について,以下の問に答えよ.
02
2
2
2=
∂∂+
∂∂=
yxφφφΔ (1)
(1) 変数分離法を用いて,式(1)を常微分方程式に変換せよ.
(2) 常微分方程式の一般解を求め,一般解 ),( yxφ を導け.
(3) 次の境界条件を満足する解 ),( yxφ を求めよ.
境界条件: 0)0,( =xφ
0),( =Lxφ
φ(0, y) = 2yL
(2)
),( yxφ は ∞→x で有界
ホッチキス
1.ラプラス方程式について,以下の問いに答えよ.
02
2
2
2=
∂∂+
∂∂=
yxφφφΔ (1)
(4) 変数分離法を用いて,式(1)を常微分方程式に変換せよ.
(5) 常微分方程式の一般解を求め,一般解 ),( yxφ を導け.
(6) 次の境界条件を満足する解 ),( yxφ を求めよ.
境界条件: 0)0,( =xφ
0),( =Lxφ
φ(0, y) = 2yL
(2)
),( yxφ は ∞→x で有界
【解法】
(1)解を以下のようにおく.
)()(),( yYxXyx =φ (3)
上式より
)()(),( 2
2
2
2yYx
dxXdyx
x=
∂∂ φ (4)
)()(),( 2
2
2
2y
dyYdxXyx
y=
∂∂ φ (5)
上式を式(1)に代入して
0)()()()(),(),( 2
2
2
2
2
2
2
2=+=
∂∂+
∂∂ y
dyYdxXyYx
dxXdyx
yyx
xφφ
0)()(),( ≠= yYxXyxφ のとき,上式を )()( yYxX で割ると
)(
)(
)(
)( 2
2
2
2
yY
ydyYd
xX
xdxXd
−= (6)
上式において,左辺は xの関数であり,右辺は yの関数である.この式が恒等的に成り立つには,
kyY
ydyYd
xX
xdxXd
=−=)(
)(
)(
)( 2
2
2
2
(kは定数) (7)
これより,以下の二つの常微分方程式が得られる.
02
2=− kX
dxXd
, 02
2=+ kY
dyYd (8)
(2)一般解は,以下の i),ii)で得られる解である.
i) 0=k のとき
式(8)より,
02
2=
dxXd
, 02
2=
dyYd (9)
よって,それぞれ,
BAxxX +=)( , DCyyY +=)( (10)
したがって,
))((),( DCyBAxyx ++=φ (11)
ここで,A,B,C,Dは任意の定数である.
ii) 0≠k のとき;
式(8)の第 1式に xexX α=)( を代入すると,
0)( 2 =− xek αα
k±=∴ α (12)
よって, xke , xke− は基本解である.ゆえに,
xkxk BeAexX −+=)( (13)
次に,式(8)の第 2式に yeyY β=)( を代入すると,
0)( 2 =+ yek ββ
k−±=∴ β (14)
であるから, yke − , yke −− は基本解である.よって,
ykyk DeCeyY −−− +=)( (15)
式(3),(13),(15)より,次の解を得る.
))((),( ykykxkxk DeCeBeAeyx −−−− ++=φ (16)
ゆえに,一般解は
))((),( DCyBAxyx ++=φ (答)
))((),( ykykxkxk DeCeBeAeyx −−−− ++=φ (答)
(3)境界条件の式(2)の第 1式と第 2式より,
0)0()( =YxX , 0)()( =LYxX (17)
0)( ≠xX であるから,
0)0( =Y , 0)( =LY (18)
i) 0=k のとき
式(10)に式(18)を適用すると,
0)0( ==DY , 0)( ==CLLY (19)
よって 0)( =yY となり不適である.
ii) 0≠k のとき
式(15)に式(18)の第 1式を適用して,
0)0( =+= DCY
0)( ≠yY であるためには
0≠−= DC (20)
でなければならない. )(yY 解に式(18)の第 2式を適用すると,
0)()( =−= −−− LkLk eeCLY (21)
上式は 0<k のときには成り立たない.そこで, λ を 0でない実数として以下のようにおく.
2λ=k (22)
上式を式(21)に代入して
0sin2 ==−=− −−−− Lieeee LiLiLkLk λλλ (23)
Ln
nπλ =∴ ( !,2,1=n ) (24)
式(20),(22)を式(15)に代入して,
yiCeeCyY nnyiyi
nnnn λλλ sin2)()( =−= − (25)
また,式(22)を式(13)に代入して,
xn
xnn
nn eBeAxX λλ −+=)( (26)
式(24),(25),(26)を式(3)に代入し,定数をまとめて
Lynebeayx L
xn
nLxn
nnπφ
ππ
sin)(),(−
+= (27)
これらの級数も解となるから
∑∞
=
−+=
1
sin)(),(n
Lxn
nLxn
n Lynebeayx πφ
ππ
(28)
式(2)の第 4式と上式から
∑∞
=
−
∞→∞→+=
1sin)(lim),(lim
n
Lxn
nLxn
nxx Lynebeayx πφ
ππ
(29)
ここで,
∞=∞→
Lxn
xe
π
lim , 0lim =−
∞→Lxn
xe
π
(30)
より,式(29)が有界であるためには,
0=na (31)
よって,式(31)を式(28)に代入して
∑∞
=
−=
1
sin),(n
Lxn
n Lynebyx πφ
π
(32)
境界条件の式(2)の第 3式と上式から
φ(0, y) = bn sinnπ yLn=1
∞
∑ = 2yL
(33)
上式の両辺にLymπsin を掛けて,yについて 0~Lの範囲で積分して
bn sinnπ yLn=1
∞
∑ sinmπ yL
dy0
L
∫ = 2yLsinmπ y
Ldy
0
L
∫
bn =2L
2yL
− Lnπcosn nπ y
L⎛⎝⎜
⎞⎠⎟'
dy0
L
∫
= 2L
− 2ynπcos nπ y
L⎡⎣⎢
⎤⎦⎥0
L
+ 4Lnπ
cos nπ yL
dy0
L
∫
= − 4nπcosnπ + 4
n2π 2 sinnπ yL
⎡⎣⎢
⎤⎦⎥0
L
= − 4nπcosnπ
bn = − 4nπ
−1( )n = 4nπ
−1( )n+1 (34)
式(34)を式(32)に代入して,
φ(x, y) = 4nπ(−1)n+1 sin nπ y
Ln=1
∞
∑ e−nπxL (答)
この式は,微分方程式と境界条件の式(2)の 1, 2, 4 番目の条件を明らかに満たす.
式(2) の 3番目の条件について,
4nπ(−1)n+1 sin nπ y
Ln=1
∞
∑ = 2yL
L=10として,n=1〜10と n=1〜100について,左辺を計算し,右辺と比較する(右辺が赤線).
0 2 4 6 8 10y
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5f
//////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
★期末試験に関する連絡事項
1. テキストの式(1.90)は,公式として解答に使用してよい.
2. 境界値問題で,場合分けの不適な解を示すときは,テキストの式(4.17)の下にあるように,まと
めて記述してよい.
3. 不正行為を行った場合,工学部の該当規則に従って処分する.不正行為をしないこと.