第66回幾何学シンポジウム予稿集naito/2019... · This coincidence of two kinds of integrability — zero-curvature and isomonodromy — leads to a very rich theory. Because

第66回幾何学シンポジウム予稿集

2019年 8月 26日 (月) ∼ 2019年 8月 29日 (木)

名古屋大学東山キャンパス

科学研究費補助金

基盤研究 (A) (17H01091) 山田澄生

基盤研究 (B) (17H02840) 納谷信

基盤研究 (C) (19K03488) 内藤久資

第 66回幾何学シンポジウム

日程： 2019年 8月 26日 (月) - 29日 (木)

会場：名古屋大学東山キャンパス

S30講義室，C13講義室，C15講義室

組織責任者：山田澄生（日本数学会幾何学分科会 2019年度評議員, 学習院大学理学部）

勝田篤（日本数学会幾何学分科会 2019年度評議員, 九州大学大学院数理学研究院）

今野宏（明治大学理工学部）

中川泰宏（熊本大学教育学部）

小林亮一（名古屋大学多元数理科学研究科）

納谷信（名古屋大学多元数理科学研究科）

内藤久資（名古屋大学多元数理科学研究科）

このシンポジウムは，一部，

日本学術振興会科学研究費補助金・基盤研究 (A)（課題番号：17H01091；研究代表者：山田澄生）

からの援助をうけて開催されます．

— プログラム —

• A会場：S30 講義室

• B会場：C13 講義室

• C会場：C15 講義室

8月 26日 (月)

13:30–14:30 A会場 Martin Guest (早稲田大学理工学術院) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

tt*方程式：モノドロミー保存変形 (パンルヴェ理論)と DPW(調和写像

理論)

14:50–15:50 A会場石川卓 (京都大学 RIMS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Construction of symplectic field theory and smoothness of Kuranishi

structure

16:10–16:50 B会場川又将大 (広島大院理学研究科) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Monge-Ampere方程式の一般化について

C会場横田巧 (東北大院理学研究科) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

測度距離空間の幾何学とその拡張

17:00–17:40 B会場河井公大朗 (学習院大学理学部) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Poincare DGA of Hodge typeとその応用

C会場高津飛鳥 (首都大学東京理学部) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Cencovの定理再訪

– i –

8月 27日 (火)

09:30–10:30 A会場辻井正人 (九州大院数理学研究院) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

力学系の半古典ゼータ関数

10:50–11:50 A会場笹平裕史 (九州大院数理学研究院) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Seiberg-Witten-Floer安定ホモトピー型

13:30–14:10 B会場山下真由子 (東京大院数理科学研究科) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

境界にファイバー束構造のある多様体上の指数理論とその応用

C会場中畑佑一朗 (東北大院理学研究科) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

Integral curvature bounds and bounded diameter with bakry emery

Ricci tensor

14:20–15:00 B会場中村拓也 (九州大院数理学府) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

Certain rigidity theorem for compact manifold with almost nonposi-

tive Ricci curvature

C会場斎藤俊輔 (理化学研究所・京大) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

Calabiの端的 Kahler計量対満渕の Kahler-Einstein計量

15:20–16:00 B会場古賀勇 (明治大学理工学部) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

複素射影空間上のベクトル束と誘導計量について

C会場久本智之 (名古屋大院多元数理科学研究科) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

ファノ多様体の満渕ソリトンと相対 D安定性

16:10–16:50 B会場緒方勇太 (沖縄工業高専) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

Ribaucour transformation of spheres

C会場坂田繁洋 (福岡大学理学部) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

距離核ポテンシャルの臨界点による正三角形の特徴づけ

17:00–17:40 B会場森本真弘 (大阪市立大院理学研究科) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

ヒルベルト空間の弱鏡映 PF部分多様体について

– ii –

8月 28日 (水)

09:30–10:30 A会場永野幸一 (筑波大院数理物質系) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

On the structure of geodesically complete spaces with an upper cur-

vature bound

10:50–11:50 A会場服部広大 (慶応大理工学部) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

幾何学的量子化と測度付きグロモフ・ハウスドルフ収束について

13:30–14:10 B会場赤嶺新太郎 (名古屋大院多元数理科学研究科) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

平均曲率零曲面上の光的点について

C会場高橋良輔 (京都大 RIMS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

Kahler-Einstein計量の多体問題への一般化とその幾何学的量子化

14:20–15:00 B会場國川慶太 (東北大 AIMR) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

ハイパーケーラー多様体における平均曲率流

C会場大野晋司 (日本大学文理学部) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

一般化された s多様体の対蹠集合

15:20–16:00 B会場数川大輔 (東北大院理学研究科) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

直積空間の集中

C会場小林愼一郎 (東北大院理学研究科) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

Hilbert幾何における最適輸送問題について

16:10–16:50 B会場落合亮文 (首都大東京理学研究科) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

一般化された直交対称性によるラグランジュ平均曲率流の構成

C会場林晋 (産総研) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

ある種の角に対するテープリッツ作用素の指数理論とその応用

17:00–17:40 B会場茅原涼平 (東京大院数理科学研究科) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

6次元多様体上の半平坦概複素構造の幾何

C会場相野眞行 (名古屋大院多元数理科学研究科) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

Lichnerowicz-Obata estimate, Almost parallel differential form and

Almost product manifolds

8月 29日 (木)

09:30–10:30 A会場加藤毅 (京都大院理学研究科) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

Seiberg-Witten理論周辺の応用と発展

10:50–11:50 A会場白水徹也 (名古屋大院多元数理科学研究科) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

ブラックホール幾何

– iii –

THE TT* EQUATIONS:MONODROMY-PRESERVING DEFORMATIONS

(PAINLEVE THEORY)AND DPW

(HARMONIC MAP THEORY)

MARTIN GUESTDEPARTMENT OF MATHEMATICS, WASEDA UNIVERSITY

1. Sine-Gordon and Painleve III

The sine-Gordon equation

∆w = sinw,

where w = w(x, y) is a real function of two real variables x, y and∆w = wxx +wyy, is a nonlinear p.d.e. with many roles in geometry andphysics. In fact this applies to all four of the equations ∆w = ± sinwand ∆w = ± sinhw. Their analytic properties are rather different, butthey are all “integrable” in the broad sense that they can be formulatedas zero-curvature equations. This means that (some) solutions may beconstructed using “integrable systems theory”.

An important special case occurs when w = w(r), r =√x2 + y2.

The Laplacian ∆ becomes the radial Laplacian, i.e.

∆w = wrr + 1rwr,

and the p.d.e. becomes an o.d.e. in the variable r ∈ (0,∞). In fact thiso.d.e. is a special case of Painleve III, the Third Painleve equation.At this point, an interesting new aspect emerges: it is well knownthat Painleve III is “integrable” in another sense, namely it can beinterpreted as an isomonodromy equation.

This coincidence of two kinds of integrability — zero-curvature andisomonodromy — leads to a very rich theory.

Because of its relation with physics, we shall focus on the radial sinh-Gordon equation

(1.1) ∆w = sinhw, w = w(r).

This arises in two rather different areas:

(i) constant mean curvature surfaces in Minkowski space R2,1

(ii) massive deformations of N = 2 supersymmetric quantum fieldtheories.

1

The first (and its better known relative, CMC surfaces in R3, given by∆w = − sinhw) originated with classical surface theory in the 19thCentury. The second is more recent: it was used in the fundamentalwork [30] of McCoy-Tracy-Wu on the Ising Model in the 1970’s, andthen later in the 1990’s was a key example in the work of Cecotti-Vafaand Dubrovin ([5],[6] and [10]) on the topological-antitopological fusionequations.

We are interested in the following problem:

Problem: Describe the solutions of (1.1) which are smooth on thepunctured plane C∗ = C − 0 (“global solutions”).

This is certainly meaningful for interpretation (i), but is more interest-ing for interpretation (ii), because of the physical meaning of the datacorresponding to such solutions.

The DPW method ([9]), a generalization of the Weierstrass represen-tation for minimal surfaces, gives a local correspondence between

(i) solutions w (which correspond locally to harmonic maps from C∗

into the symmetric space SU1,1/U1 = SL2R/SO2), and

(ii) DPW “potentials” of the form 1λ

(a(z)

b(z)

)dz

where a(z), b(z) are holomorphic functions on some domain in C. Butit is not possible to detect the global smoothness property of w fromthe properties of a(z), b(z) without more effort.

To get started, it is not difficult to show that potentials with a(z) =zk0 , b(z) = zk1 and with k0, k1 ≥ −1 correspond to solutions which aresmooth for r ∈ (0, ε), for some ε > 0. Then “fine-tuning” is needed inorder to increase the size of ε to infinity.

This fine-tuning can be done in two (equivalent) ways. The firstway — which was pioneered by Bobenko-Its [4] in the easier case ofCMC surfaces in R3 — is to use a(z) = c0z

k0 , b(z) = c1zk1 and then

modify the parameters c0, c1. The second way — introduced by theauthor in joint work with Dorfmeister-Rossman [8] — is to modify theIwasawa factorization procedure used in the DPW method. However,both ways use an extra ingredient, namely the isomonodromic defor-mation method. In other words, although the problem was formulatedin terms of DPW theory, its solution appears to depend on the theoryof isomonodromic deformations.

Let us explain this more concretely. By definition, the curvature ofthe connection form

α =

[1λ

(e2w

e−2w

)+

(wt

−wt

)]dt+

[(−wt

wt

)+ λ

(e−2w

e2w

)]dt

2

is dα + α ∧ α, and direct computation shows that this is zero if andonly if wtt = sinh 4w. Up to rescaling, this is (1.1), as wtt = 1

4∆

if t = x + iy. This is the zero-curvature formulation. On the otherhand, the isomonodromy formulation is expressed in terms of anotherconnection form

α =

[− t

λ

(e2w

e−2w

)−(rwr

−rwr

)+ λt

(e−2w

e2w

)]dλλ

where r = |t|. The isomonodromy theory of Jimbo-Miwa-Ueno [28]applies here, and it turns out that the monodromy data (at the polesλ = 0, λ = ∞) of this meromorphic connection form is independent oft, t if and only if wtt = sinh 4w, i.e. exactly the same condition.

The DPW potential

ω = 1λ

(c0z

k0

c1zk1

)dz

can be related to α by a loop group Iwasawa factorization and a changeof variable (from t to z). There is a corresponding meromorphic con-nection form

ω =

[− 2z

Nλ

(c0z

k0

c1zk1

)+ k1−k0

2N

(1

−1

)]dλλ

whose monodromy data is related to that of α. Here N = k0 + k1 + 2.

The four connection forms α, α, ω, ω can be use to solve the aboveproblem (and much more), in the following way. The strategy com-prises three steps:

Step 1: For any fixed real numbers k0, k1 ≥ −1 and c0, c1 > 0 theDPW method produces a solution w = w(r) which is smooth for r ∈(0, ε), for some ε > 0. Here we use the relation between ω and α, whichis given by Iwasawa factorization. The solution w is independent ofthe values of N = k0 + k1 + 2 and c = c0c1, so the DPW data reducesto two real numbers, as expected (for a second-order o.d.e.).

Step 2: Corresponding to the solution w, we have the monodromydata of α, which can be computed explicitly in terms of k0, k1, c0, c1.(In this calculation, it is convenient to make use of ω.) Again thedata reduces to two real numbers s, e. In the “generic” case wherek0, k1 > −1, we may normalise by putting N = 1 = c, and then theresult of the calculation is

s = 2 cos π2a, e = Γ(1−a/2)

Γ(a/2)c1

where a = 2k1 + 2 ∈ (0, 2) and Γ denotes the gamma function. (In the“non-generic” case where k0 = −1 or k1 = −1, i.e. a = 0 or 2, the valueof s is ±2 as above, but the data e is different.)

3

Step 3: The global solutions turn out to be given by the conditione = 1. The required c0, c1 — fine-tuned to give global solutions — arethus uniquely determined. The parameter s can take any value between−2 and 2; each corresponds to a global solution. We conclude that theglobal solutions are parametrised by points of the interval [−2, 2].

2. tt*

Remarkably, in work which remained unknown to differential geome-ters for many years ([5],[6]), a version of the DPW method had alreadybeen discovered by the theoretical physicists Cecotti-Vafa in their studyof supersymmetric field theories. In today’s language:

renormalization group flow ↔ harmonic map

chiral ring (conformal limit) ↔ DPW potential

and the topological-antitopological fusion equations — the tt* equations— correspond to the harmonic map equations. Even more surprisingly,Dubrovin had already pointed out in [10] that the tt* equations werea case of the pluriharmonic map equations, for maps into GlnR/On.The pluriharmonic map equations had been studied a few years earlierby Ohnita-Valli ([33]) and others, taking the zero-curvature approachof Uhlenbeck ([34]), but the “holomorphic data” (DPW potential) wasnot discussed in the mathematics literature at that time.

It was in the area of singularity theory that the tt* equations werefirst studied systematically by mathematicians, for example by Hertlingin [21]. This is because unfoldings of singularities were the first exam-ples considered by Cecotti-Vafa, in the guise of the ADE minimal mod-els. Further examples — just developing at that time — were providedby quantum cohomology, in the guise of sigma models. In the followingyears it gradually became clear that the tt* equations illustrate mirrorsymmetry: the holomorphic object (chiral ring, or Frobenius manifold)represents the A-side, and the combined holomorphic-antiholomorphicobject (harmonic map, or variation of Hodge structure) represents theB-side.

Unfoldings of singularities, and then quantum cohomology, providedmany concrete examples on the A-side. On the B-side there were fewexamples available, essentially just the sine-Gordon/PIII equation men-tioned in section 1. From the work of McCoy-Tracy-Wu, and, more sys-tematically, the work of Its-Novokshenov (see [11],[27]), all solutions of(1.1) on C∗ were known, as we have explained in section 1. Cecotti-Vafa argued that the “physical” solutions should correspond to integervalues of the parameter s, and that the “chiral ring” is given by thematrix appearing in ω. From the formula in section 1, this meanss = 0,±1,±2. Ignoring the trivial solution s = 0, the case s = ±1

4

corresponds to the A2 singularity and the case s = ±1 to the quantumcohomology of CP 1. This remarkable link between the known physicalmodels and the known solutions of the sinh-Gordon equation motivatedtheir conjectures on the classification of physical models.

The relation to variations of Hodge structures was greatly clarifiedby Iritani ([25],[26]) and Katzarkov-Kontsevich-Pantev ([29]). It wasalready known from work of Barannikov ([1]) that the Hodge struc-tures corresponding (via mirror symmetry) to Fano manifolds must be“semi-infinite” or “non-commutative”. (In contrast, those correspond-ing to Calabi-Yau manifolds are ordinary finite-dimensional Hodgestructures.) Katzarkov-Kontsevich-Pantev sketched the theory of non-commutative Hodge structures without addressing the tt* equationsdirectly; Iritani produced examples which correspond to solutions ofthe tt* equations for r ∈ (0, ε), for some ε > 0 (the “large radiuslimit”), beginning with the case of the quantum cohomology of CP 1.On the B-side there was also much work on variations of Hodge struc-ture, and in particular “nilpotent orbits”, which are solutions of thett* equations near the large radius limit, but not1 global solutions.

In [19],[16],[17],[18], we have studied global solutions of a special caseof the tt* equations, related to the Toda equations, which we call thett*-Toda equations. The tt*-Toda equations are

(2.1) 2(wi)tt = −e2(wi+1−wi) + e2(wi−wi−1), wi : C∗ → R, i ∈ Z

where, for all i, wi = wi+n+1 (periodicity), wi = wi(|t|) (radial condi-tion), and wi + wn−i = 0 (“anti-symmetry”). We have verified someof the conjectures of Cecotti-Vafa concerning the properties of theseglobal solutions. In the next two sections we explain some of our re-sults in a more general, Lie-theoretic, context.

3. tt*-Toda

A version of the tt*-Toda equations was defined for any complexsimple group G by the author in joint work with Ho, in [15], based onthe examples studied by Cecotti-Vafa. We review the definition here.Let h be a Cartan subalgebra of g, the Lie algebra of G, and let l =dimC h. Let g = h⊕(⊕α∈∆ gα) be the root space decomposition. Let Bbe a positive scalar multiple of the Killing form such that B(eα, e−α) =1 for all α ∈ ∆. We define Hα ∈ h by B(h,Hα) = α(h) for all h ∈ h.For any choice of simple roots Π = α1, . . . , αl we obtain a basisHα1 , . . . , Hαl

of h. Here we are using standard Lie-theoretic notation— we refer to [15] for precise definitions.

1For an independent approach to global solutions, outside the differential geo-metric context of this article, see [22],[23].

5

The tt*-Toda equations will apply to a function w = w(t, t) whichtakes values in the real vector space h] = ⊕l

i=1RHαi= Rl. The zero-

curvature form of the equations is as follows. First we introduce el-ements E− =

∑li=0 e−αi

, E+ =∑l

i=0 eαiof g, where α0 = −ψ and

ψ =∑l

i=1 qiαi is the highest root. Then we define a g-valued 1-formα = α′dt+ α′′dt, by

α′ = wt + 1λ

Ad(ew)E−, α′′ = −wt + λAd(e−w)E+,

λ ∈ C∗ being a parameter. The zero-curvature condition dα+α∧α = 0is equivalent to

(3.1) 2wtt = −∑l

i=0 e−2αi(w)Hαi

.

This is the system of tt*-Toda equations (for G) after we impose theadditional conditions

(i) w = w(|t|)(ii) σ(w) = w

where σ : g → g is a certain involution, first defined by Hitchin in[24]. It has the property that χ = σρ is a conjugate-linear involutiondefining a split real form of g, where ρ is the conjugate-linear involutiondefining the standard compact real form of g.

Under these conditions, the connection form α satisfies χ(α′(λ)) =α′′(1/λ). This means that its restriction to S1 = λ ∈ C∗ | |λ| = 1 isa 1-form which takes values in the real loop algebra

ΛR g = γ ∈ Λg | χ(γ(λ)) = γ(1/λ)

(the Lie algebra of the real loop group ΛRG = γ ∈ ΛG | χ(γ(λ)) =γ(1/λ)).Example: In the case G = Sln+1C we can take ρ(X) = −XT andσ(X) = −∆XT ∆, χ(X) = ∆X∆, where ∆ = (δi,n−i)0≤i≤n. Then (3.1)gives (2.1) and, in the case n = 1, (1.1).

Thus we have generalised the connection form α of section 1. Nextwe give Lie-theoretic versions of the connection forms α, ω, ω.

First we define

α =(− t

λAd(ew)E− − rwr + tAd(e−w)E+

)dλλ

where r = |t|. This is a family of meromorphic connection forms onCP 1, each of which has a pole of order 2 at λ = 0 and at λ = ∞. More-over the connection form α+α remains flat, and this has the importantconsequence that the monodromy data of α is independent of t, t. Infact, (3.1) is equivalent to the condition that α is an isomonodromicfamily in the sense of Jimbo-Miwa-Ueno [28].

6

The Lie-theoretic version of ω is

ω = 1ληdz, η =

∑li=0 pie−αi

where pi = cizki . As in section 1, we assume that ci > 0, ki ≥ −1.

We introduce the notation c = cq0

0 . . . cql

l , N = s +∑l

i=0 qiki, where

s = 1+∑l

i=1 qi (the Coxeter number of G) and q0 = 1. Then we define

ω =(− s

Nzλ2η− + 1

λm)dλ

where m ∈ h is determined by αi(m) = sN

(ki+1)−1 for 1 ≤ i ≤ l. Thisis a meromorphic connection form with poles of order 2, 1 at λ = 0,∞respectively.

The 3-step strategy to find global solutions outlined in section 1 cannow be implemented. Let us mention some technical aspects.

First, the Iwasawa factorization is taken with respect to the abovereal form ΛRG of the (complex) loop group ΛG. If the split real formof G were compact, we would have ΛG = ΛRGΛ+G, and all solutionsobtained by the DPW method from a globally smooth ω would beglobally smooth. But it is not compact, and ΛRGΛ+G is merely anopen neighbourhood of the identity loop in ΛG — the big Iwasawa cell— and our task is to find those solutions which remain entirely withinthis open subset.

In order to do this, we take L = L(z, λ) such that L−1Lzdz = ω andattempt to factorise it as L = LRL+. For a suitable choice of L, this ispossible near z = 0. (Replacing L by γL, where γ = γ(λ) is a suitableelement of ΛG, turns out to be equivalent to varying the parametersc0, . . . , cl.)

The factorization criterion will turn out to be expressible in termsof the monodromy data of α, regarded as a meromorphic o.d.e. in thecomplex variable λ. This data reduces to a single Stokes matrix S ∈ Gat λ = 0 (which relates local analytic solutions on neighbouring sectorsat λ = 0) together with a “connection matrix” E ∈ G (which relateslocal analytic solutions at λ = 0 and λ = ∞). Here we use the Lie-theoretic version of the classical Stokes theory which was developed byBoalch in [3].

The monodromy data S,E for α can be expressed in terms of thecorresponding monodromy data R,D for ω, and the latter can becomputed in terms of c0, . . . , cl and k0, . . . , kl by a standard proce-dure. With suitable normalisation, it turns out that S = R andE = Dχ(D)−1. The global solution criterion turns out to be E = I,and this gives the required fine-tuning condition on c0, . . . , cl.

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4. Results

The 3-step strategy described in section 1 can be carried out explicitlyin the case G = Sln+1C. Details are given in [16],[17],[18],[14] mainlyin the case n = 3 (for simplicity), but the same arguments work forgeneral n. In particular for n = 1 these arguments make precise thesketch in section 1.

For general G the Stokes data S ∈ G was computed explicitly in [15],using a relation between S and a certain element M ∈ G which is ans-th root of the monodromy (where s is the Coxeter number of G).This S (or M) depends only on the exponents k0, . . . , kl in the DPWdata. The following smoothness properties hold:

(i) (DPW theory) If χ(M) = M , then there is a corresponding familyof solutions w, each of which is smooth for r ∈ (0, ε), for some ε > 0. Foreach such M , this family is parametrized by the coefficients c0, . . . , clin the DPW data.

In the situation of (i), and if G is a classical matrix group, the con-nection matrix D can be computed explicitly, and hence also the con-nection matrix E = Dχ(D)−1. Then:

(ii) (Isomonodromy theory) If χ(D) = D then the solution w issmooth for r ∈ (K,∞) for some K > 0. This condition fixes thecoefficients c0, . . . , cl in terms of k0, . . . , kl.

We conjecture that a solution w for which M and D satisfy (i) and(ii) must be globally smooth for r ∈ (0,∞). This property holds, afortiori, in the case G = SLn+1C, but the proof in [16],[17],[18],[14]relies on p.d.e. theory in addition to the ingredients described above.

Problem: Find a purely DPW-theoretic proof of these results.

We remark that the “reality properties”in (i) and (ii) are very natural,as they are simplest possible expressions of compatibility between themonodromy data and the real structure of α. The statements abovemake sense also for the general tt* equations over C∗ (not just forthe tt*-Toda equations), and we expect similar results to hold there.For higher-dimensional domains (the case of pluriharmonic rather thanharmonic maps), the situation is less clear.

5. Relations with other problems

(a) We have shown (at least for the case G = SLn+1C of the tt*-Toda equations) that the global solutions of the p.d.e. are obtainedby fine-tuning the DPW potential, or, equivalently, by fine-tuning theconnection matrix D for the meromorphic 1-form ω. The GammaConjecture of [12] (see also [7]) provides another way of fine-tuning

8

D, at least for the quantum cohomology of complex projective spacesand Grassmannians. This belongs to the A-side rather than the B-side(algebraic geometry and topology, rather than p.d.e.). We expect thesetwo criteria to be closely related.

(b) The DPW correspondence for the tt*-Toda equations (and for thett* equations in general) appears to be a special case of the Hitchin-Kobayashi correspondence between the Betti, de Rham, and Dolbeaultmoduli spaces. The domain is very simple, just C∗, but the flat con-nections are allowed to have “wild” singularities. Mochizuki ([31],[32])has analyzed the tt*-Toda equations for G = Sln+1C from this pointof view (see also Biquard-Boalch [2]).

(c) Although we have focused on global solutions here (and localsolutions near zero), the larger space of all local solutions of the tt*-Toda equations is expected to exhibit interesting geometry. For G =Sl2C this is the “space of initial conditions” of Painleve III — see [13]for a detailed treatment, some new applications, and further references.We anticipate similar results for the tt*-Toda equations.

References

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10

Symplectic field theory の構成と倉西構造の可微分性

石川　卓

1 Symplectic field theory

Symplectic field theory (SFT) とは contact 多様体やそれらの間の symplectic cobordism に

対する Gromov-Witten 不変量や Floer homology の一般化に相当するものであり、Eliashberg,

Givental, Hofer らにより [2] で始められたものである。その一部である contact homology は

Pardon ([7]) や Bao, Honda ([1]) により一般の contact 多様体に対して構成されたが、SFT 全体

の構成はできていなかった。私は最近この SFT を一般の contact 多様体に対して構成したので、

本講演ではこの構成と、その構成に必要になる倉西構造の可微分性について話す予定である。

まずは SFT について簡単に説明する。(Y, ξ) を (2n − 1) 次元の閉 contact 多様体とする。つ

まり ξ ⊂ TY は余方向をもつ余次元 1 の部分束であって、1-form λ を Kerλ = ξ となるように

とったときに λ ∧ (dλ)n−1 が 0 を取らないとする。このような 1-form λ で ξ と同じ向きのもの

を contact form と呼ぶ。λ を一つ定めると、Reeb ベクトル場 Rλ が iRλdλ = 0 および iRλ

λ = 1

により定まる。このベクトル場の周期解を考える。ここで、閉曲線 λ : S1 = R/Z→ Y が周期解

であるとは、ある L > 0 があって方程式 dγdt (t) = LRλ(γ(t)) を満たすことである。このとき L を

周期と呼ぶ。周期解は次で定まる汎関数 A : C∞(S1, Y )→ R の臨界点集合 CritA と一致する。

A(γ) =∫S1

γ∗λ

S1 の平行移動により P = CritA ⊂ C∞(S1, Y ) には S1 が作用する。この商 P = P/S1 はパラ

メータ付きでない周期解の空間となる。

次に、R× Y の概複素構造 J を次のように定める。まず ξ の複素構造 J を、dλ(·, J ·) が正定値の内積になるようにとる。分解 T (R× Y ) = (R∂σ ⊕ RRλ)⊕ ξ (ただし σ は R-成分の座標) を

用いて、R× Y の概複素構造 J をこの拡張として J∂σ = Rλ により定める。このとき、contact

homology とは、A に関する Morse homology に相当するものであり、その connecting orbit に

対応するのが、R× Y の中の種数 0 の概正則曲線 (のうち特殊なもの) となる。SFT はこれより

も代数がやや複雑であるが、これは R× Y (および symplectic cobordism) の中の種数一般の概正

則曲線の数を数えることで定義される。

contact form λ が Bott-Morse 条件を満たすとは、P が多様体であって TP = KerD2A を満たすことをいう。さらに P が S1 の和集合のとき、λ は Morse 条件を満たすという。任意の contact

多様体について generic な contact form は Morse 条件を満たす。私が示したのは次である。

定理 1.1 ([6]). λ が Bott-Morse 条件を満たすとき、SFT のチェイン複体を構成することができ

る。そのホモロジー HSFT(Y, ξ) は (Y, ξ) のみにより定まり、contact form λ や J 等の取り方に

よらない。

1

11

実際にはより強く、[2] の意味での generating function を、contact 多様体、symplectic cobor-

dism、symplectic cobordisms の族に対して構成している。(これらから、それぞれチェイン複体、

チェイン写像、チェインホモトピーに相当するものが構成される。)

さらに、Reeb flow φλt : Y → Y が S1-作用を生成する場合、つまりある L > 0があって φλL = id

のときには、ホモロジーを計算することが可能である。

定理 1.2 ([6]). ある L > 0 があって φλL = id のとき、HSFT(Y, ξ) はH∗(P ;R), H∗c (P ;R) および

変数 ℏ により生成される代数のある完備化 (Novikov completion) となる。その積は次の例外を除

き超可換である。

[pc, qα] = ⟨c, α⟩ℏ

ここで c ∈ H∗(P ;R), α ∈ H∗c (P ;R) に対応する元をそれぞれ pc, qα としている。

本講演では SFT の代数についてはほとんど説明しない予定である。これについては [2] にも詳

述されているので、それを参照されたい。

SFT の構成には、倉西理論を用いた。これは一般の symplectic 多様体の Gromov-Witten 不

変量や Floer ホモロジーを構成する際に深谷、小野らが [3] において始めたものである。これは、

moduli 空間等に対してその基本類 (次元が 0 の時は点の個数)を定義するための理論である。一

般に moduli 空間は多様体などのきれいな構造を持っておらず、基本類等を定義するためには摂動

を行う必要がある。倉西理論とはその摂動に関する理論である。いったん空間の倉西構造と呼ばれ

る構造を構成しさえすれば、そこから倉西理論の一般論により基本類等を構成することができる。

SFT においてチェインホモトピーに相当するものを構成するには、symplectic cobordism の 1-

パラメータの族に対してその中の概正則曲線たちの空間を調べる必要がある。このとき、通常の

摂動ではなく、continuous family of perturbation と呼ばれるテクニックを使う必要があるが、こ

のためには可微分な倉西構造を作ることが必要になる。深谷、Oh、太田、小野らにより [4] にお

いても可微分な倉西構造の構成がなされているが、[6] において私が用いた方法はこれとは少し異

なる。今回の講演ではこの倉西構造の可微分性について説明する。SFT の設定でこれを論じるの

は煩雑になるので、Morse 関数の定めるMorse homology の構成の場合を例にとって説明する。

2 倉西理論の概要

f :M → R を多様体 M 上の Morse 関数、g を Riemann 計量とする。f の臨界点集合を qiとし、各臨界点のペア qi, qj に対して

M(qi, qj) = ℓ : R→M ; dℓdt (t) +∇f(ℓ(t)) = 0, ℓ(−∞) = qi, ℓ(+∞) = qj/R

を qi から qj への gradient flow の積分曲線の空間とし、M(qi, qj) をそのしかるべきコンパクト

化とする。(M(qi, qj) は次のセクションで正確に定義する。) (f, g) が Morse-Smale 条件を満た

す場合 (つまり gradient flow の stable manifold と unstable manifold が横断的に交わる場合)に

は各M(qi, qj) は多様体になり、M(qi, qj) たちにも角付き多様体の構造を入れることができる。

(後者は自明ではない。) また、qi における f の Hessian の負固有値の次元を ind qi とするとき、

M(qi, qj) の次元は ind qi − ind qj − 1 となる。このとき、チェイン複体 (C∗, ∂) を

C∗ =⊕

Z⟨qi⟩

2

12

∂⟨qi⟩ =∑qj

ind qi−ind qj=1

#M(qi, qj)⟨qj⟩

(ただし #M(qi, qj) は符号をつけて数えるが、ここでは符号のつけ方については説明しない。)と

定めるとことができ、このホモロジーが Morse homology となる。

Morse-Smale 条件を仮定しない場合には、一般にはM(qi, qj) たちは多様体とならず、そのま

までは #M(qi, qj) を定義できないので、何らかの摂動を行う必要がある。理想的な場合として

各 X =M(qi, qj) の次の大域的倉西近傍が構成されたと仮定する。

定義 2.1. コンパクト Hausdorff空間 X の (自明な自己同型のみの)大域的倉西近傍 (V,E, s, ψ)と

は、多様体 V、有限次元ベクトル空間 E、可微分関数 s : V → E および位相同相 ψ : s−1(0)→ X

からなる 4つ組をいう。

このとき、s の摂動 s + ϵ : V → E をとって 0 に横断的になるようすれば、(s + ϵ)−1(0) を

#M(qi, qj) の代わりに用いることができる。一般には moduli 空間に対して上のような大域的倉

西近傍の存在を期待することはできないが、多くの場合、局所的にはこのような表示が可能であ

る。これが次の倉西構造になる。

本講演では倉西構造について詳細には説明しないが、これは主に次の二つのものからなる。コ

ンパクト Hausdorff 空間 X の倉西構造は、各点 p ∈ X の倉西近傍 (V,E, s, ψ,G) およびその間

の embedding (φ, φ) たちからなる。点 p ∈ X の倉西近傍 (V,E, s, ψ,G) とは、有限群 G、有限

次元 G-ベクトル束 π : E → V、G-不変可微分切断 s : V → E および点 p の近傍の上への位相同

相 ψ : s−1(0)/G → X からなる組をいう。ただし G の V への作用が効果的であると仮定する。

(Morse homology の場合には G が自明群のものしか現れない。) (V ′, E′, s′, ψ′, G′) を別の倉西近

傍とするとき、(V,E, s, ψ,G) から (V ′, E′, s′, ψ′, G′) への embedding (φ, φ) とは、orbifold の間

の写像 φ : V/G→ V ′/G′ および φ : E/G→ E′/G′ の組であって次を満たすものをいう。

• (φ, φ) はある束写像 (ϕ, ϕ) : (V,E) → (V ′, E′) から導かれる。ただし ϕ : V → V ′ は埋め

込み。

• 次はともに可換。

E/G E′/G′

V/G V ′/G′

φ

s

φ

s′

s−1(0)/G X

(s′)−1(0)/G′

ψ

φψ′

• d⊥s′ : TV ′|V /TV∼=→ E′|V /E は s−1(0) 上で同型を与える。

(embedding は一方向の関係であり、正確な倉西構造の定義には、それがいつ存在するか等の条件

がある。) dimV − dimE は連結成分上一定であり、これを X の次元という。X の倉西構造が

与えられると、倉西理論の一般論により切断 s たちを embeedding に関して整合性を持つように

(多価切断として)摂動することができる。さらに X の向きと呼ばれるものが与えられるならば、

dimX = 0 の場合には #X を定義することができることが知られている。(一般の次元の場合に

は X からほかの位相空間 Y への strong continuous map と呼ばれるものが与えられたときに Y

の特異チェインとして X の基本類に相当するものを定義することができる。)

3

13

本講演で問題とするのはこの倉西構造の可微分性である。多くの場合、倉西近傍を構成するとき

に、多様体 V 等の可微分構造は自然には定まらず、人工的に可微分構造を定義する必要がある。

注意 2.2. 実は Morse homology の場合には大域的倉西近傍を構成することができる。

3 倉西近傍の構成

この節では Morse homology の場合の倉西近傍の構成を簡単に説明する。まずはM(qi, qj) の

元、つまり trajectory の正確な定義から始める。R = −∞ ∪ R ∪ +∞ とする。trajectory

(ℓ, γ) とは ℓ = R1 ∪ · · · ∪ Rm および連続写像 γ : ℓ → M の組であって、各 Ri 上で方程式∂tγ+∇f(γ) = 0 を満たし、各 Ri への制限 γ|Ri

が定置写像でないものをいう。二つの trajectory

(ℓ, γ) と (ℓ′ = R1 ∪ · · · ∪Rm′ , γ′) が同型とは m = m′ かつ位相同相 θ : ℓ→ ℓ′ があって Ri を Riに写し、各 i に対して ci ∈ R があって θ|Ri

(t) = t+ ci を満たし、(このような θ を平行移動と呼

ぶ) さらに γ = γ′ θ を満たときをいう。trajectory の空間M には適切な位相を入れることがで

きる。この節ではこの空間M の各点の倉西近傍の構成を説明する。

倉西近傍の構成には定義域の変形空間を用いるが、ℓ は自己同型が無限群のためそのままでは

良い変形空間がない。そこで、ℓ に点をつける、ということをする。

定義 3.1. µ-marked line (ℓ, t) とは、ℓ = R1 ∪ · · · ∪Rm および ℓ \ ±∞i = R1 ⊔ · · · ⊔Rm の点列t = (t1, . . . , tµ) の組をいう。二つの µ-marked line (ℓ, t) と (ℓ′, t′) が同型とは平行移動 θ : ℓ→ ℓ′

であって θ(tj) = t′j を満たすものがあることをいう。(ℓ, t) の自己同型群が自明群になるとき、つ

まり各 Ri が少なくとも 1 つの点 tj を含むとき、(ℓ, t) は stable であるという。

MSL

µ を、µ-marked stable line の空間とする。各点 (ℓ = R1 ∪ · · · ∪ Rm, t0 = (t0j )) ∈ MSL

µ

の近傍の座標について説明する。まず区間 Ii ⊂ Ri を t0j ⊂∪i Int Ii となるようにとり、

ρ = (ρi) ∈ [0, 1)m−1 に対して、

ℓρ = ([−∞, 0]1 ∪ I1 ∪ [0,− 12 log ρ1]1) ∪

∪i([

12 log ρi−1, 0]i ∪ Ii ∪ [0,− 1

2 log ρi]i)

∪ ([ 12 log ρm−1, 0]m ∪ Im ∪ [0,+∞]m)

と定める、つまり ℓρ は ℓ の [0,∞]i ∪ [−∞, 0]i+1 を [0,− 12 log ρi] ∪ [

12 log ρi, 0] に置き換えたもの

である。

t0 は点列の空間∏i(R1 ⊔ · · · ⊔ Rm) の元とみなせるが、この空間には平行移動による作用 (点

列を一斉に平行移動する作用)がある。Ut0 ⊂∏i(R1 ⊔ · · · ⊔Rm) を、t0 の近傍における、この作

用に関するスライスとすれば、

[0, 1)m−1 × Ut0 →MSL

µ

(ρ, t) 7→ (ℓρ, t)

が (ℓ, t0) の近傍の座標となる。

さて、各 trajectory (ℓ, γ) に対して marked stable line (ℓ, t+) を次のように対応させる。まず、

f の臨界値集合 CriV f を分離するような有限個の実数 A = α ⊂ R \ CriV f をとる。このとき、各 (ℓ, γ) ∈ M(q−, q+) に対して t+α = (f γ)−1(α) ∈ ℓ と定め、(ℓ, t+ = (t+α )α∈Aq−,q+

) を対

4

14

応させる。ここで Aq−,q+ = α ∈ A; f(q−) < α < f(q+) である。(ℓ, ρ) の倉西近傍を構成する

際にはこの (ℓ, t+) の変形空間を用いることになる。

次に、用いる Banach 空間 Lpδ(ℓρ) や W 1,pδ (ℓρ) について説明する。ここで δ = (δi)0≤i≤m は

0 ≤ δi < δ0,i を満たす数列である。Lpδ-ノルムおよび W 1,p

δ -ノルムは次で定義される。

||ξ||pLp

δ(ℓρ)=

∑1≤i≤m

(∫[ 12 log ρi−1,0]i

|e−δi−1tξ|pdt+∫Ii

|ξ|pdt+∫[0,− 1

2 log ρi]i

|eδitξ|pdt)

||ξ||pW 1,p

δ (ℓ)=

∑1≤i≤m

(∫[ 12 log ρi−1,0]i

(|e−δi−1tξ|p + |e−δi−1t∇tξ|p)dt+∫Ii

(|ξ|p + |∇tξ|p)dt

+

∫[0,− 1

2 log ρi]i

(|eδitξ|p + |eδit∇tξ|p)dt)

のちに行う評価等を ρ によらず一様に行うために、このようなノルムの族を用いる。

注意 3.2. 通常 Morse homology を構成する場合は δi = 0 の場合のみを用いるが、今回の倉西構

造の可微分性の証明においては一般の δ に対して議論しておくことがカギとなる。

準備が整ったのでこれから点 (ℓ = R1∪· · ·∪Rm, γ0)の倉西近傍の構成を説明する。まず上のように marked stable line (ℓ, t0,+ = (t0,+α )) を t0,+α = (f γ0)−1(α) により定める。区間 Ii ⊂ Ri たちをとって t+αの十分大きな近傍を含むようにし、これを用いて上のように ℓρ たちを ρ ∈ [0, 1)m−1

に対して定める。各 0 ≤ i ≤ m に対して δ0,i > 0 を、点 γ(+∞) における f のHessian の固有値

の絶対値の最小値とし、0 < κi < δ0,i を満たす κi を各 0 < i < m に対して取っておく。このとき

各 ρ = (ρi) ∈ [0, 1)m−1 に対して近似解 γρ : ℓρ →M を次で定める。まず Ii 上では γρ|Ii= γ0|Ii

により定め、各 [0,− 12 log ρi]i ⊂ ℓρ 上では

γρ|[0,− 12 log ρi]i(t) = γ0|[0,+∞]i

(− 1

κilog

(e−κit − ρκi/2

i

1− ρκi/2i

))と定める。同様に [ 12 log ρi, 0]i+1 ⊂ ℓρ 上では

γρ|[ 12 log ρi,0]i+1(t) = γ0|[−∞,0]i+1

(1

κilog

(eκit − ρκi/2

i

1− ρκi/2i

))により定める。なお、函数

− 1

κilog

(e−κit − ρκi/2

i

1− ρκi/2i

)は [0,− 1

2 log ρi] を [0,∞] 1 対 1 に写し、ρi が十分小さければ − 12 log ρi の近傍の外では恒等函数

に近く、− 12 log ρi の近傍で急激に発散する函数である。

各 α ∈ A に対して有限次元ベクトル空間 E0α と線形写像 λα : E0

α → C∞(R ×M,TM) を取

り、臨界点 q−, q+ に対して E0q−,q+ =

⊕α∈Aq−,q+

E0α と定める。ただし、ある Cα > 0 があって

suppλα(h) ⊂ (−Cα, Cα) ×M と仮定し、さらに t+ ∈ Ut0,+ に対して t+α の Cα-近傍が∪i Int Ii

に含まれると仮定する。

Fredholm 写像 F (ρ,t+) :W 1,pδ (ℓρ, γ

∗ρTM)⊕ E0

q−,q+ → Lpδ(ℓρ, γ∗ρTM) を

F (ρ,t+)(ξ, (hα))(t) =d

dt

(Φρ(ξ(t))

)+∇f(Φρ(ξ(t))) +

∑α∈Aq−,q+

λα(hα)(ot+α (t),Φρ(ξ(t))),

5

15

により定める。ここで Φρ : γ∗ρTM → M は expγρ と同様の写像であるが、正確には次を満たす

写像。まず各 γ0([0,∞]i ∪ [−∞, 0]i+1) は M の座標に含まれていると仮定して、その座標におい

て Φρ|[0,− 12 log ρi]i∪[ 12 log ρi,0]i+1×R2n を Φρ(t, ξ) = γρ + ξ により定める。また、Ii 上では Φρ = Φ0

は ρ によらず、指数写像 expγ0 と同様に、Φ0(t, 0) = γ0 かつ Φ0 の 0 切断上の微分が TM の恒

等写像を定めるものとする。ただし境界 ∂([0,− 12 log ρi]i ∪ [ 12 log ρi, 0]i+1) 上で連続につながって

いるとする。また、ot+ : [t+α − Cα, t+α + Cα]→ [−Cα, Cα] は平行移動による同型であり、従ってλα(hα)(ot+α (t),Φρ(ξ(t))) の台は [t+α − Cα, t+α + Cα] 特に

∪i Int Ii に含まれる。

(E0α, λα)を適切にとればF (ρ,t+)は 0に横断的となる。このときさらにF (ρ,t+)+ :W 1,p

δ (ℓρ, γ∗ρTM)⊕

E0q−,q+ → Lpδ(ℓρ, γ

∗ρTM)⊕KerDF (0,t0,+) を

F (ρ,t+)+(ξ, h) =(F (ρ,t+)(ξ, h),

∑j

(⟨ξ, ξi⟩L2(

∪i Ii) +

∑α

⟨hα, hj,α⟩E0α

)· xj)

により定める。ここで xj = (ξj , (hj,α))j は KerDF (0,t0,+) の、内積

⟨(ξ, (hα)), (ξ′, (h′α))⟩ = ⟨ξ, ξ′⟩L2(∪

i Ii) +∑α

⟨hα, h′α⟩E0α

に関する正規直交基底である。この F (ρ,t+)+ に対し、下の 3 つの補題 (補題 3.3、3.4、3.5)の

評価から (ρ, t+) に関して一様に陰関数定理を適用すれば、次を得る。ある ϵ > 0、C > 0 お

よび (0, t0,+) の近傍 X ⊂ [0, 1)m−1 × Ut0,+ があって、各 (ρ, t+) ∈ X に対して可微分写像

ϕρ,t+

(x) = (ξ(ρ,t+,x), h(ρ,t+,x)) : KerDF(ρ,t0,+)(0,0) ⊃ Bϵ(0) → BC(0) ⊂ W 1,p

δ (ℓρ, γ∗ρTM) ⊕ E0

q−,q+

があって、任意の (ξ, h) ∈ BC(0) と x ∈ Bϵ(0) に対して

F (ρ,t+)+(ξ, h) = (0, x)⇐⇒ (ξ, h) = ϕρ,t+

(x).

が成立する。V = X ×Bϵ(0) と定め、この ϕρ,t+

により、各 (ρ, t+, x) ∈ V と

(ℓρ, t+,Φρ(ξ(ρ,t+,x)), h(ρ,t+,x)) ∈

∪(ρ,t+)∈X

((ρ, t+) × C∞(ℓρ,M))× E0q−,q+

を同一視する。s : V → E0q−,q+ ⊕

⊕α∈Aq−,q+

R を (ρ, t+, γ, h) 7→ (h, f(γ(t+)) − α) により

定めるとき、s−1(0) が点 (ℓ, γ0) の M(q−, q+) における近傍に位相同相になることを示すこと

ができる。つまり、V , Eq−,q+ := E0q−,q+ ⊕

⊕α∈Aq−,q+

R, s : V → E および中への位相同相

ψ : s−1(0) →M(q−, q+) が点 (ℓ, γ0) の倉西近傍を与える。

補題 3.3. 任意の 0 ≤ δi < δ′i < δ0,i と 1 0 があって∣∣∣∣F (ρ,t+)(0, 0)|[0,− 12 log ρi]i∪[ 12 log ρi,0]i+1

∣∣∣∣Lp

δi

≤ Cρmin(κi,δ′i−δi)/2

i (− log ρi)1/p.

補題 3.4. 任意の 0 ≤ δi < δ′i < δ0,i と 1 0 と C > 0 があって任意の

ρ = (ρi) ∈ [0, ϵ)m−1 に対して

||ξ||W 1,pδ (ℓρ)

+ |h|E0q−,q+

≤ C(||DF (ρ,t+)

(0,0) (ξ, h)||Lpδ(ℓρ)

+∑j

|⟨ξ, ξj⟩L2(∪

i Ii) + ⟨h, hj⟩E |).

補題 3.5. 任意の 0 ≤ δi < δ0,i に対してある C > 0 があって (0, t0,+) に十分近い任意の

(ρ, t+) ∈ [0, 1)m−1 × Ut0,+ と十分小さい任意の (ξ, h) ∈W 1,pδ (ℓ, γ∗ρTM)⊕ E0

q−,q+ に対し、

||DF (ρ,t+)(ξ,h) (ξ, h)−DF (ρ,t+)

(0,0) (ξ, h)||Lpδ≤ C(||ξ||∞(||ξ||W 1,p

δ+ |h|) + (||ξ||W 1,p

δ+ |h|)||ξ||∞).

6

16

4 可微分性と embedding

まずは embedding について説明する。Morse homology の場合にはすべての trajectory に対

して同一の A と (E0α)α∈A を用いることができるので実はすべての embedding が可逆な同型に

なる。SFT 等で必要になる一般の embedding の場合の説明にもなるように、今回は別の A′ と

(E0α′)α′∈A′ で構成された倉西近傍との間の関係を説明する。一般に (A, (E0

α)α∈A) で構成した倉

西近傍と (A′, (E0α′)α′∈A′) で構成した倉西近傍を比較することはできないが、(A, (E0

α)α∈A) で構

成したものと (A ∪A′, (E0α)α∈A∪A′) で構成したものとの間には embedding が定義できる。

(V 1, E1, s1, ψ1) を、(A, (E0α)α∈A) で構成した (ℓ1, γ10) の倉西近傍とし、(V 2, E2, s2, ψ2) を、

(A∪A′, (E0α)α∈A∪A′) で構成した (ℓ2, γ20) の倉西近傍とする。ℓ

1ρ、ℓ

1ρ の定義のためにとった区間

をそれぞれ I1j ⊂ Rj、I1j ⊂ Rj としておく。このとき embedding V 1 → V 2 : (ρ1, t1,+, γ1, h1) 7→(ρ2, t2,+ ∪ t2,++, γ2, h2) を定める。ここで t2,+ = (t2,+α )α∈A は A に対応する点たち、t2,++ =

(t2,++α′ )α′∈A′ は A′ に対応する点たちである。embedding は (ρ1, t1,+, γ1) と (ρ2, t2,+, γ2) が同

一の曲線を表し、t2,++α′ = (f γ2)−1(α′) および h2 = h1 が成立するように定める。つまり、

h1 7→ h2 : E1 → E2 は包含写像、(ρ1, t1,+) 7→ (ρ2, t2,+) はMSLの座標変換で定まり、Ψ(ρ1,t1,+) :

(ℓ1ρ1 , t1,+) → (ℓ2ρ2 , t

2,+) を平行移動による同型とするとき γ2 は γ2 = γ1 Ψ−1(ρ1,t1,+) で,定まる。

このとき、包含写像 E1 → E2 と合わせて (V 1, E1)→ (V 2, E2) が embedding となる。

倉西近傍の V に適切な可微分構造を入れるときにこの embedding が可微分になることを示し

たい。まずは V = X × Bϵ(0) の可微分構造を説明する。β > 1 を十分大きな定数として固定す

る。X ⊂ [0, 1)m−1×Bϵ(0) にはM(q−, q+) の座標としての通常の可微分構造が入っているが、こ

れにより強い可微分構造を ρi = ρβi で定まる変数変換 ρi ↔ ρi により定める。この上で V に積

の可微分構造を入れる。このとき、任意の N > 0 に対し、β > 1 が十分大ならば embedding が

CN 級になることを示す。

この可微分性を示すには、

V j = Xj ×Bjϵ (0) → Xj × Clj (⨿i I

ji ,M)× E0

q−,q+ (1)

(ρ, t+, x) 7→ ((ρ, t+), γ(ρ,t+,x)|⨿i I

ji, h(ρ,t+,x))

が任意の lj ≥ 1 に対して CN 級の埋め込みであることを示せば十分である。この写像については

次の節で議論するとして、この節ではこれがCN 級の埋め込みであると仮定したうえで embedding

の可微分性を示す。

定義から h2、(ρ2, t2,+) がそれぞれ h1、(ρ1, t1,+) の可微分函数なことは明白である。もしも

Ψ(ρ1,t1,+)(⨿i I1i ) ⊃

⨿i I2i が成立すれば、l1 ≫ l2 の時を考えることで γ2 = γ1 Ψ−1

(ρ1,t1,+) ∈Cl2(

⨿i I2i ,M) が (ρ1, t1,+, γ1) ∈ X1 ×Cl1(

⨿i I1i ,M) の函数として CN 級であることが分かる。

このときさらに t2,++α′ = (f γ2)−1(α′) も CN 級となる。

(1)は Iji をより小さい空でない区間に置き換えても embeddingになる。これは γ が常微分方程

式の解だからである。よって A′ = ∅の場合には I2i を小さい区間に置き換えてΨ(ρ1,t1,+)(⨿i I1i ) ⊃⨿

i I2i とできるので、embedding は CN 級となる。この場合は逆も CN 級となるので、特にこの

ことから (1) において Iji をより大きな区間に置き換えても CN 級になることが分かる。従って、

一般の A′ の場合にも Ψ(ρ1,t1,+)(⨿i I1i ) ⊃

⨿i I2i を仮定でき、これから embedding が一般に CN

級となることが分かる。

7

17

5 可微分性の証明

この節では、前節で embedding の可微分性を示すために用いた仮定を示す。つまり、

V = X ×Bϵ(0) → X × Cl(⨿i

Ii,M)× E0q−,q+ (2)

(ρ, t+, x) 7→ ((ρ, t+), γ(ρ,t+,x)|⨿i Ii, h(ρ,t+,x))

が任意の l ≥ 1 に対して CN 級の埋め込みであることを示す。

(2) の可微分性さえ示せばこれが埋め込みなことは容易にわかる。実際、

x =∑j

(⟨ξ(ρ,t+,x), ξi⟩L2(∪

i Ii) +∑α

⟨h(ρ,t+,x),α, hj,α⟩E0α) · xj

が成立しているので、逆写像の可微分性が従うからである。よって (2) が CN 級になることを示

せばよい。

各有限集合 Π ⊂ 1, . . . ,m − 1 に対して XΠ = (ρ, t+); ρi = 0 ⇔ i ∈ Π と定めることでX =

⨿ΠXΠ と分解する。各 XΠ ×Bϵ(0) における (2) の可微分性は容易である。その境界での

可微分性の証明には次の事実 (の一般化)を用いる。

補題 5.1. 連続函数 f : R→ R が R \ 0 上で C1 級であって極限 limt→0 f′(t) が存在するならば、

f は R 上で C1 級である。(特に limt→0 |f ′(t)| = 0 ならば十分。)

これから、XΠ ×Bϵ(0) の近傍における、ϕρ,t+

(x) = (ξ(ρ,t+,x), h(ρ,t+,x)) の微分の挙動を評価す

ればよいことが分かる。ϕρ,t+

は方程式

F (ρ,t+)+(ξ(ρ,t+,x), h(ρ,t+,x)) = (0, x)

により定まっていたので、F (ρ,t+)+(ξ, h) の微分を評価すればよい。

(ρ, t+), (ρ, t+) ∈ XΠ に対し、同相 Ψ : ℓρ∼=→ ℓρ を次で定める。

• Ii ⊂ ℓρ 上で Ψ|Ii= id

• 各 [0,− 12 log ρi]i ⊂ ℓρ 上で Ψ(t) = t は

e−κit − ρκi/2i

1− ρκi/2i

=e−κi t − ρκi/2

i

1− ρκi/2i

により定める。

• [ 12 log ρi, 0]i+1 ⊂ ℓρ 上でも同様。

この Ψ により ℓρ と ℓρ を同一視して F (ρ,t+) : W 1,pδ (ℓρ, γ

∗ρTM)⊕ E0

q−,q+ → Lpδ(ℓρ, γ∗ρTM) とみ

なすことで、F (ρ,t+) の XΠ ×Bϵ 上での微分を計算することができる。この同一視の下で近似解 γρ と γρ が定義から一致することに注意する。従って、例えば ∂kρiF

(ρ,t+)

(k ≥ 1) は Ni = [0,− 12 log ρi]i ∪ [ 12 log ρi, 0]i+1 にのみ台を持ち、同様に ∂l

t+αF (ρ,t+) (l ≥ 1) は Ii

にのみ台を持つ。特に ∂ρi∂ρjF(ρ,t+) = 0 (i = j) や ∂ρi∂t+αF

(ρ,t+) = 0 が成立する。

直接計算により、F (ρ,t+) の微分について次が示せる。

8

18

補題 5.2. δ = (δi)0≤i≤m および δ′ = (δ′i)1≤i≤m−1 を 0 ≤ δi ≤ δ′i < κi (1 ≤ i ≤ m − 1) および

0 ≤ δi < δ0,i (i = 0,m) を満たす数列とする。このとき 1 0 に対し

てある C > 0 および c0 > 0 があって次が ||ξ||W 1,p

δ′ (ℓρ)≤ c0 に対して成立する。

||(∂kρiF(ρ,t+))(ξ, h)||Lp

δ(ℓρ)≤ Cρ(δ

′i−δi)/2−k

i ,

||(D∂kρiF(ρ,t+))(ξ,h)(ξ, h)||Lp

δ(ℓρ)≤ Cρ(δ

′i−δi)/2−k

i ||ξ||W 1,p

δ′i

(Ni),

Dn∂kρiF(ρ,t+) ≡ 0 (n ≥ 2).

(t+αd)d を Ut0,+ の座標とする。

補題 5.3. 任意の 1 0 と c0 > 0 があって次

が ||ξ||W 1,p(∪

i Ii)+ |h|E0

q−,q+≤ c0 なる (ξ, h) に対して成立する。.

||Dn∂(lαd

)

(t+αd)F

(ρ,t+)(ξ,h) (ξ(n), h(n)) . . . (ξ(1), h(1))||W 1,p(

∪i Ii) ≤ C

n∏j=1

(||ξ(j)||W 1,p(∪

i Ii) + |h(j)|E0

q−,q+)

また、上の二つの評価はどちらも (ρ, t+) によらず一様である。(ϕρ,t+

)(ρ,t+)∈XΠを

ϕ : XΠ ×Bϵ(0)→W 1,pδ (ℓρ, γ

∗ρTM)× E0

q−,q+

とみなすとき、上の二つの評価から次が得られる。

命題 5.4. δ = (δi)0≤i≤m および δ′ = (δ′i)1≤i≤m−1 を 0 ≤ δi ≤ δ′i < κi (1 ≤ i ≤ m − 1) および

0 ≤ δi < δ0,i (i = 0,m) を満たす数列とする。このとき 1 0 があって∣∣∣∣∣∣∂(ki)(ρi)∂(lαd

)

(t+αd)∂lxx ϕ(ρ, t

+α , x)

∣∣∣∣∣∣W 1,p

δ (ℓρ)⊕E0q−,q+

≤ C∏i

ki>0

ρ(δ′i−δi)/2−kii .

今度は (ϕρ,t+

)(ρ,t+)∈X を

ϕ : X ×Bϵ(0)→W 1,p(⨿i Ii, γ

∗0TM |⨿i Ii

)× E0q−,q+

とみなす。点 (ρ, t+) ∈ XΠ の XΠ での近傍を U ⊂ XΠ とし、この写像の U × Bϵ における制限は次の図式のように上で微分を評価したものと射影の合成で表せる。

XΠ ×Bϵ(0) W 1,pδ (ℓρ, γ

∗ρTM)× E0

q−,q+

W 1,p(⨿i Ii, γ∗0TM |⨿i Ii

)× E0q−,q+

projection ···norm=1

従って、上の命題から∣∣∣∣∣∣∂(ki)(ρi)∂(lαd

)


+α , x)

∣∣∣∣∣∣W 1,p(

⨿i Ii)⊕E0

q−,q+

≤ C∏ki>0

ρ(δ′i−δi)/2−kii .

が分かる。(ξ(ρ,t+,x), h(ρ,t+,x)) たちはもともと常微分方程式の解であったので、上の W 1,p-ノルム

を一般の W k,p-ノルムや Cl-ノルムにしても定数を変えればそのまま成立する。つまり、次が示

された。

9

19

命題 5.5. 任意の l ≥ 1、0 < δ′i < κi、Π ⊂ 1, . . . ,m − 1 および ((ki)i∈Π, (lαd)d, lx) に対して

ある C > 0 があって∣∣∣∣∣∣∂(ki)(ρi)∂(lαd

)


+α , x)

∣∣∣∣∣∣Cl(

⨿i Ii)⊕E0

q−,q+

≤ C∏ki>0

ρδ′i/2−kii

が (0, t0,+, 0) に十分近い (ρ, t+, x) ∈ XΠ ×Bϵ(0) に対して成立する。.

ρi = ρβi により変数変換すると、上の評価は∣∣∣∣∣∣∂(ki)(ρi)∂(lαd

)


+α , x)

∣∣∣∣∣∣Cl(

⨿i Ii)⊕E0

q−,q+

≤ C∏ki>0

ρβδ′i/2−kii .

となる。したがって、β > 1 を βδ′i/2 −N > 0 となるように十分大きくとれば、XΠ × Bϵ(0) に接しない方向の微分はその境界で 0 に収束する。よって

ϕ : X ×Bϵ(0)→W 1,p(⨿i Ii, γ

∗0TM |⨿i Ii

)× E0q−,q+

が CN 級であることが示された。

これより、前節の議論から、十分大きな β > 1から定まる X の微分構造を用いてV = X×Bϵ(0)に積の微分構造を入れるとき、倉西構造は CN 級となることが示された。

参考文献

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arXiv: 1512.00580.

[2] Y. Eliashberg, A. Givental and H. Hofer, Introduction to symplectic field theory, Geom.

Funct. Anal. 2000, Special Volume, Part II, 560–673.

[3] K. Fukaya and K. Ono, Arnold conjecture and Gromov-Witten invariant, Topology 38

(1999), no. 5, 933–1048.

[4] K. Fukaya, Y. G. Oh, H. Ohta and K. Ono, Lagrangian intersection Floer theory: anomaly

and obstruction. Part II, AMS/IP Studies in Advanced Mathematics, 46.2. American Math-

ematical Society, Providence, RI; International Press, Somerville, MA, 2009. pp. i–xii and

397–805. ISBN 978-0-8218-4837-1.

[5] K. Fukaya, Y. G. Oh, H. Ohta and K. Ono, Exponential decay estimates and smoothness

of the moduli space of pseudoholomorphic curves, arXiv:1603.07026.

[6] S. Ishikawa, Construction of general symplectic field theory, arXiv:1807.09455.

[7] J. Pardon, Contact homology and virtual fundamental cycles, (2015) arXiv: 1508.03873.

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Monge-Ampere方程式の一般化について

川又将大 (広島大学理学研究科) ∗

1 導入本講演の内容は広島大学の澁谷一博氏との共同研究に基づく．Monge-Ampere方程式は古くから知られている 2独立変数 1未知関数 2階偏微分方程式のクラ

スであり，波動方程式や熱方程式などの数理物理学的にも重要な方程式を数多く含んでいる．この方程式のクラスは，接触変換と呼ばれる幾何学的な変換で保存されるということが知られており，さらに方程式自体は未知関数の導関数を成分とする行列の小行列式の和で書けるという性質を持っている．このような性質を持つ他の方程式として，森本徹氏が [1] において定義した，独立変数の個数が一般化されたMonge-Ampere方程式が挙げられる．これは，外微分式系と呼ばれる E. Cartan，E. Goursat の時代から研究されてきた概念を用いて，Monge-Ampere 方程式をMonge-Ampere systemという形で幾何学的に定式化し，それに対応する方程式として得られたものである．しかし，これら以外に接触変換で不変な方程式はあまり知られておらず，このような方程式を見つけることは重要な問題である．今回，講演者はMonge-Ampere systemを一般化し，接触変換で不変であるような方程式の新し

いクラスを求めた．さらに，一般化された方程式の解と systemの積分多様体の間の対応を明示的に与えた．

2 外微分式系，積分多様体多様体 M 上の微分形式全体の集合，および M 上の k 次微分形式全体の集合をそれぞれ

Ω∗(M), Ωk(M) によって表す．また，Ω∗(M) には通常の和とウェッジ積で非可換環の構造が入ることに注意しておく．

定義 2.1. Ω∗(M) の部分集合 I が以下の 2 つの条件を満たすとき，M 上の外微分式系であるという:

(1) I は Ω∗(M)の斉次イデアルである．つまり I は Ω∗(M)のイデアルであって

I =∞⊕i=0

(I ∩ Ωi(M))

と表示できる．(2) I はM 上の外微分 dで閉じている．つまり dI ⊂ I が成り立つ．

∗ email: [email protected], URL: https://sites.google.com/site/masahirokawamata3152/

21

定義 2.2. ωi ∈ Ωki(M) (1 ≤ i ≤ r)とするとき，

ω1, . . . , ωrdiff := r∑i=1

($i ∧ ωi + ηi ∧ (dωi)) | $i, ηi ∈ Ω∗(M)

を ω1, . . . , ωr で生成された外微分式系と呼ぶ．

定義 2.3. I をM 上の外微分式系とする．M の部分多様体 ι : N →M が任意の ω ∈ I に対してι∗ω = 0を満たすとき，N を I の積分多様体とよぶ．

定義 2.4.Jk(n,m) := (xi, zα, pαI ) | 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ α ≤ m, 1 ≤ |I| ≤ k

を k-jet空間とよぶ．ここで I = (i1, . . . , ir) (ij ∈ 1, . . . , n)は多重指数であり，|I|はその長さである．さらに，

ωα := dzα −n∑i=1

pαi dxi, ωαI := dpαI −n∑i=1

pαIidxi (1 ≤ α ≤ m, 1 ≤ |I| ≤ k),

として，Ck := ωα, ωαI | 1 ≤ α ≤ m, 1 ≤ |I| ≤ k, ωασ(I) = ωαI (∀σ ∈ Sk)とする．このとき外微分式系 Ckdiff を Jk(n,m)上の canonical systemとよぶ．

注意 2.5. ここで pαI に関しては，偏導関数は偏微分する順序に依らないことに対応してpαI = pαI′ ⇐⇒ ∃σ ∈ Sr(σ(I) = I ′)

としている．これによって q = n+m+m∑kl=1 nHl とおくと，多様体として Jk(n,m) ≃ Rq で

ある．

例 2.6. k = 1, m = 1のとき，多様体として J1(n, 1) = (x1, . . . , xn, z, p1, . . . , pn) ≃ R2n+1 である．またこのとき，C1 = dz −

∑ni=1 pidxiである．つまり (J1(n, 1), C1)は (2n+ 1)次元接

触多様体である．

3 Monge-Ampere方程式，Monge-Ampere system

本節ではMonge-Ampere方程式，および [1]において述べらているMonge-Ampere systemの定義とそれらの間の対応を紹介する．

定義 3.1 ([1]). n変数 2階 1未知関数の単独型偏微分方程式n∑l=0

∑1≤i1<···<il≤n

1≤j1<···<jn−l≤n

Fj1...jn−l

i1...il∆i1...ilj1...jn−l

(z) = 0 (Fj1...jn−l

i1...ilは xi, z, zxi の関数),

∆i1...ilj1...jn−l

(z) := sgn

(1, 2, . . . , l, l + 1, . . . , ni1, i2, . . . , il, k1, . . . , kn−l

) ∣∣∣∣∣∣∣zxj1

xk1· · · zxj1

xkn−l

......

zxjn−lxk1

· · · zxjn−lxkn−l

∣∣∣∣∣∣∣ ,(ただし 1, . . . , n = i1, . . . , il, k1, . . . , kn−l (k1 < · · · < kn−l)),

22

をMonge-Ampere方程式 (MA方程式)という．

例 3.2. n = 2のときは古典的によく知られた以下の方程式が得られる:

Azxx + 2Bzxy + Czyy +D + E(zxxzyy − z2xy) = 0,

(A,B,C,D,E は x, y, z, zx, zy の関数).

定義 3.3 ([1]). J1(n, 1)上の外微分式系 I が Ψ ≡ 0 mod C1, dC1 を満たす n-form Ψを用いてI = C1,Ψdiff と書かれるとき，I を J1(n, 1)上のMonge-Ampere system (MAS)とよぶ．

次の定理はMA方程式とMASの間のある種の対応を述べたものである．

定理 3.4 ([1]). 任意のMA方程式に対してMASが存在し，MA方程式の解とMASの積分多様体は対応する．またこの逆も成り立つ．即ち，任意のMASに対してMA方程式が存在し，MA方程式の解とMASの積分多様体は対応する．

4 主結果本節では，Monge-Ampere system，Monge-Ampere方程式の一般化，およびそれらの間の対応

を述べる．

定義 4.1. Jk(n,m) 上の外微分式系 I が Ψ ≡ 0 mod Ck, dCk を満たす l-form Ψ を用いてI = Ck,Ψdiff と書かれるとき，I を Jk(n,m)上の higher order Monge-Ampere system

(HMAS)とよぶ．

注意 4.2.

(1) k = 1,m = 1, l = nとしたとき，定義から明らかに HMASはMASに一致する．(2) HMAS の定義では l の動く範囲は指定していないが，Ψ ≡ 0 mod Ck, dCk であるため

1 ≤ l ≤ nがわかる．(3) Jk(n,m)上の HMAS全体の集合は Jk(n,m)上の接触変換で閉じることが定義から直ちにわかる．

記号 4.3. 以下で使う記号を設定しておく:

• Sk := (i1, . . . , ik) | 1 ≤ i1 ≤ · · · ≤ ik ≤ n• zIj := zxi1 ···xik

xj(I = (i1, . . . , ik))

定義 4.4. 未知関数の導関数からなる行列

M(n,m; k) :=

(z1I1)I∈Sk· · · (zmI1)I∈Sk

......

(z1In)I∈Sk· · · (zmIn)I∈Sk

23

の l次以下の小行列式の和で表される (一般には連立型)偏微分方程式を higher order Monge-

Amere 方程式 (HMA 方程式) という．ここで (zαIj)I∈Skは Sk に辞書式順序をいれて，その順

序に関して zαIj を左から昇順に並べた nHk 次元横ベクトルである．

注意 4.5.

• 以下，上記の HMA 方程式の定義をより詳細に述べる．具体的に HMA 方程式を定めるには以下の操作をすれば良い．

操作: 行列 M(n,m; k) から l (1 ≤ l ≤ n) 個の行を選び，取り出した行の番号をν1, . . . , νl (ν1 < · · · < νl) とする．ここで，選んだ行列の l 次以下の小行列式は一般に次のようにかける:∣∣∣∣∣∣∣∣

zα1

Iα11 j

α11

· · · zα1

Iα1λ1jα11

· · · zαt

Iαtλtjα11

......

...zα1

Iα11 j

αtλt

· · · zα1

Iα1λ1jαtλt

· · · zαt

Iαtλtjαtλt

∣∣∣∣∣∣∣∣ (t∑

r=1

λr = l − λ0)

またi1, . . . , iλ0

= ν1, · · · , νl \ jα11 , jα1

2 , · · · , jαt

λt (i1 < · · · < iλ0

)

としておく．このとき上の小行列式に xi, zα, zαI (1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ α ≤ m, 1 ≤ |I| ≤ k)

の関数sgn

(i1, . . . , iλ0

, jα11 , jα1

2 , . . . , jαt

λt

ν1, . . . , νλ0 , νλ0+1, νλ0+2, . . . , νl

)Ai1...iλ0

Iα11 I

α12 ...I

αtλt

を掛ける．この操作を最初に選んだ行列内の l 次以下の小行列式全てに対して行い，それらを足し合わせる．上記を M(n,m; k) の行の取り方全ての場合において行い，得られた方程式を連立させる．

• 自然数 l (1 ≤ l ≤ n)を固定するとき，行列M(n,m; k)から定まる HMA方程式は，一般には (k + 1)階 n変数m未知関数で方程式の個数が nCl の連立型偏微分方程式である．

例 4.6.

(1) n = 2, k = 1,m = 1, l = 2のとき

M(2, 1; 1) =

(zxx zyxzxy zyy

)である．このとき，l = 2であるためM(2, 1; 1) から 2行取り出し (つまりM(2, 1; 1)そのもの)，その中の 2次以下の小行列式を全て考え，それらを注意 4.5にある関数を掛けながら足し合わせればよい．よって今の場合の HMA方程式は

Azxx + 2Bzxy + Czyy +D + E(zxxzyy − z2xy) = 0

(A,B,C,D,E は x, y, z, zx, zy の関数)

24

となる．(2) n = 2, k = 1,m = 1, l = 1のとき

M(2, 1; 1) =

(zxx zyxzxy zyy

)である．このとき l = 1であるためM(2, 1; 1)から 1行取り出し，その 1次以下の小行列式を全て考え，それらを注意 4.5にある関数を掛けながら足し合わせればよい．今，行の取り出し方は 2通りあるため，HMA方程式は

Azxx +Bzxy + C = 0Azxy +Bzxy +D = 0

(A,B,C,D は x, y, z, zx, zy の関数)

となる．(3) n = 2, k = 2,m = 1, l = 2のとき

M(2, 1; 2) =

(zxxx zxyx zyyxzxxy zxyy zyyy

)である．今の場合 l = 2であるため，上記行列の 2次以下の小行列式を全て考え，それらを注意 4.5にある関数を掛けながら足し合わせればよい．よって，HMA方程式はA−B11zxxx −B12zxyx −B13zyyx −B21zxxy −B22zxyy −B23zyyy

+C12

∣∣∣∣∣ zxxx zxyx

zxxy zxyy

∣∣∣∣∣+ C13

∣∣∣∣∣ zxxx zyyx

zxxy zyyy

∣∣∣∣∣+ C23

∣∣∣∣∣ zxyx zyyx

zxyy zyyy

∣∣∣∣∣ = 0

(A,Bij , Cijは x, y, z, zx, zy, zxx, zxy, zyy の関数.)

となる．

以下が本講演の主定理である．

定理 4.7. 任意の (k + 1)階の HMA方程式に対して，k-jet空間上で定義された HMASが存在して，与えられた方程式の解と HMASの積分多様体は対応する．またこの逆も成り立つ．

上記定理は，(k+1)階の HMA方程式は階数が 1つ下がった k-jet空間上の HMASで捉えることができるということを主張している．これによって，(k + 1)階の HMA方程式の範疇に入るような方程式は，外微分式系を用いると k 階の方程式として扱えるということがわかる．

参考文献[1] Morimoto T., Monge-Ampere equations viewed from contact geometry, in: Symplectic

Singularities and Geometry of Gauge Fields, Banach Center Publ. 39 (Polish Acad. Sci.,

Warsaw, 1995), 105–120.

25

測度距離空間の幾何学とその拡張

横田巧（東北大学理学研究科）小澤龍ノ介氏（東北大学AIMR）との共同研究

1. 測度距離空間の収束と集中Gromov [G] が導入した測度距離空間とピラミッドの幾何学について得られた結果を紹

介したい．主な参考文献は Gromov [G, Chapter 312]，Funano–Shioya (’13)，Shioya [S, S2]

などである．定義 1 ([G, 31

2.1]) 完備可分距離空間 (X, dX) 上の Borel 確率測度 μX からなる三つ組

X = (X, dX , μX) を測度距離空間 (mm-空間，metric measure space, mm-space) と呼ぶ．位相空間 X 上の Borel 測度 μ の台 suppμ を

suppμ := X \⋃

O : O ⊂ X は μ(O) = 0 を満たす開集合と定義する．可分距離空間（または，濃度が Ulam number である稠密部分集合を含む距離空間）X 上の Borel 確率測度 μ は μ(X \ suppμ) = 0 を満たす (e.g. Federer ’69,Theorem 2.2.16)．任意の x, x′ ∈ suppμX に対して

dY (f(x), f(x′)) = dX(x, x

′)

が成り立ち，押し出し測度が f∗μX = μY を満たす写像 f : X → Y が存在するとき，mm-空間X と Y は mm-同型であるという．任意のmm-空間 (X, dX , μX)は (suppμX , dX , μX)と mm-同型であるため，以下では X = suppμX と約束する．例えば，閉リーマン多様体のリーマン測度を正規化したものや，有限集合に距離と総和

が 1である正の数を各点に与えたものは mm-空間である．任意の mm-空間 X と，区間 I := [0, 1] ⊂ R 上の 1次元 Lebesgue 測度 L に対して，

ϕ∗L = μX を満たす Borel 可測写像（X のパラメータと呼ぶ）ϕ : I → X が存在する．Gromov [G] は mm-空間の mm-同型類全体の集合 X に次の２つの距離を導入した．定義 2 ([G, 31

2.3]) mm-空間 X, Y ∈ X の間のボックス距離を

(X, Y ) := infϕ,ψ

ε ≥ 0 : (∗) が成り立つ Borel 集合 I0 ⊂ I が存在すると定義する．ここで，ϕ : I → X と ψ : I → Y はパラメータであり，

|dX ϕ− dY ψ| ≤ ε on I0 × I0, L1(I0) ≥ 1− ε.(∗)距離空間 (X, dX) 上の 1-Lipschitz 関数全体の集合を

Lip1(X) := f : X → R : ∀ x, x′ ∈ X |f(x)− f(x′)| ≤ dX(x, x′)

とおく．確率空間 (Ω, μΩ) 上の可測関数 f, g : Ω → R の間の Ky Fan 距離をdKF (f, g) := inf ε > 0 : μΩ(x ∈ Ω : | f(x)− g(x) | > ε) < ε

と定義する．E-mail address: [email protected].本研究は科研費 (基盤 (C):18K03298)の助成を受けたものである.

26

定義 3 ([G, 312.45]) mm-空間 X, Y ∈ X の間のオブザーバブル距離を

dconc(X, Y ) := infϕ,ψ

dH(ϕ∗Lip1(X), ψ∗Lip1(Y ))

と定義する．ここで，ϕ : I → X と ψ : I → Y はパラメータであり，dH は Ky Fan 距離dKF から定まる Hausdorff 距離を表す．また，mm-空間の列 Xn∞n=1 と mm-空間 Y がdconc(Xn, Y ) → 0 (n → ∞) を満たすとき，Xn∞n=1 は Y に集中するという．

例 4 (1) 1点空間に集中する mm-空間の列を Levy 族と呼ぶ．(2) 半径 rn > 0 の n次元定曲率球面 Sn(rn) ⊂ R

n+1 の列が Levy 族であるための必要十分条件は rn/

√n → 0 (n → ∞) である (Gromov–Milman ’83)．

(3) 実数 p ∈ [1,∞)と rn > 0に対して，n次元 lp-Hamming cube (0, 1n, rn‖·‖p)の列が Levy族であるための必要十分条件は rnn

1/2p → 0 (n → ∞)である (e.g. Ozawa–Shioya ’15)．

定理 5 (e.g. [S, Propositon 4.25]) (X ,) は完備可分距離空間である．

定理 6 (e.g. [S, Theorem 5.13]) (X , dconc) は可分距離空間である．

補足 7 単位球面 Sn ⊂ Rn+1 の直積 Xn := S1 × · · · × Sn の列 Xn∞n=1 は (X , dconc) に

おける Cauchy 列であるが，どんな mm-空間にも集中しないため，(X , dconc) は完備ではない．

補足 8 測度距離空間の列の収束の定義は幾つか存在する：• （点付き）測度付き Gromov–Hausdorff 収束 (Fukaya ’87)• D-収束 (Sturm ’06)• dl∞-Pr-収束 (Ozawa ’15)• pointed measured Gromov (pmG) 収束 (Gigli–Mondino–Savare ’15)• -収束 (定義 2)，Gromov–Prohorov-収束 (Greven–Pfaffelhuber–Winter ’09)• dconc-収束 (定義 3)

このうち，dconc-収束，つまり集中が最も弱い収束である．また，任意の mm-空間 X, Yに対して

dconc(X, Y ) ≤ (X, Y ) ≤ 1

が成り立つ．

K ∈ R，N ∈ (1,∞] とする．Lott–Villani (’07) と Sturm (’06) により，測度距離空間に対して，最適輸送理論に由来する，そのリッチ曲率が K 以上で次元が N 以下であることを意味する曲率次元条件 CD(K,N) が導入され，さらに Ambrosio–Gigli–Savare (’14)らの論文で，その条件を強めたリーマン的曲率次元条件 RCD(K,N) が導入された．筆者達は以前，次を証明した．

定理 9 (Ozawa–Y.) K ∈ R とする．RCD(K,∞) 条件を満たす mm-空間の列 Xn∞n=1

が mm-空間 Y に集中したとき，Y も RCD(K,∞) 条件を満たす．

定理 9 は次の定理の類似である．

定理 10 (Funano–Shioya ’13, Kazukawa–Ozawa–Suzuki) K ∈ R とする．CD(K,∞) 条件を満たす mm-空間の列 Xn∞n=1 が mm-空間 Y に集中したとき，Y も CD(K,∞) 条件を満たす．

27

2. ピラミッドGromov [G] は (X , dconc) のコンパクト化としてピラミッドの空間 Π を導入した．２つ

の mm-空間 X と Y の間に f∗μX = μY を満たす 1-Lipschitz 写像 f : X → Y が存在するとき，X は Y を支配するといい，Y ≺ X と表す．定義 11 ([G, 3.1

2.51], [S]) 次を満たす空集合でない閉部分集合 P ⊂ (X ,) をピラミッ

ドと呼ぶ：(1) X ∈ P かつ Y ≺ X ならば Y ∈ P．(2) 任意の X, Y ∈ P に対して，X ≺ Z かつ Y ≺ Z を満たす Z ∈ P が存在する．また，ピラミッド全体の集合を Π で表す．

例 12 (e.g. [S, Theorem 4.35]) 任意の mm-空間 X ∈ X に対し，PX := Y ∈ X : Y ≺ X

はピラミッド（X に付随するピラミッドと呼ぶ）である．また，X 自身もピラミッドである．定義 11の (1)–(2)を満たす空でない部分集合 S ⊂ X の (X ,)における閉包 S ⊂ Xはピラミッドとなる．定義 13 (X ,)の部分集合の列 Pn∞n=1 と部分集合 P ⊂ X が次を満たすとき，Pn∞n=1

は P に弱収束するという：(1) 任意の X ∈ P に対して，lim infn→∞ (X,Pn) = 0(2) 任意の X ∈ X \ P に対して，lim infn→∞ (X,Pn) > 0

ピラミッドの列 Pn∞n=1 が P ⊂ X に弱収束したとき，P はピラミッドとなる．Shioya [S] (cf. Ozawa–Shioya ’15) は次を満たす距離 ρ を Π 上に定義した．

定理 14 (Gromov [G], Shioya [S], cf. Ozawa–Shioya ’15)

(1) (Π, ρ) はコンパクト距離空間である．(2) 写像 X X −→ PX ∈ Π は (X , dconc) の (Π, ρ) への埋め込みを定める．(3) mm-空間の列 Xn∞n=1 が mm-空間 Y に集中することの必要十分条件は，ピラミッドの列 PXn∞n=1 がピラミッド PY に (Π, ρ) で弱収束することである．

(4) 任意の mm-空間 X, Y ∈ X に対して，ρ(PX ,PY ) ≤ dconc(X, Y ) が成り立つ．

3. Metric transformation

定義 15 (e.g. Corazza [C]) 任意の距離空間 (X, dX) に対して (X,F dX) が距離空間となるような関数 F : [0,∞) → [0,∞) をmetric preserving function と呼ぶ．

F−1(0) = 0 を満たす凹関数 F : [0,∞) → [0,∞)（例えば，α ∈ (0, 1) に対して，F (s) = sα）は metric preserving function である．そのような関数 F と距離空間 (X, dX)に対して，距離空間 (X,F dX)を Xのmetric transformation (e.g. Schoenberg ’38)と呼ぶ．連続なmetric preserving function F : [0,∞) → [0,∞)とmm-空間X = (X, dX , μX)に対して，F (X) := (X,F dX , μX) は mm-空間となる．以下では F : [0,∞) → [0,∞) は，metric preserving function であるか，または考えて

いる全ての mm-空間 X に対して F (X) が mm-空間であると仮定する．命題 16 ([OY]) F : [0,∞) → [0,∞) は F (0) = 0 を満たし，連続かつ狭義単調増大とする．mm-空間の列 Xn∞n=1 がmm-空間 Y に集中するとき，F (Xn)∞n=1 は F (Y ) に集中する．命題 16 は次の定理から従う．

28

定理 17 (ファイバー束定理, Gromov [G, 312.47], Funano–Shioya ’13, [OY]) mm-空間の

列 Xn∞n=1 が mm-空間 Y に集中するための必要十分条件は，次を満たす Borel 可測写像 pn : Xn → Y が存在することである：

(0) 押し出し測度 (pn)∗μXn は μY に弱収束する．(1) μXn(Xn) > 1− εn と，任意の x, x′ ∈ Xn に対して

dY (pn(x), pn(x′)) ≤ dXn(x, x

′) + εn

が成り立つ Borel 集合 Xn ⊂ Xn と正の数 εn → 0 (n → ∞) が存在する．(2) 任意の ε > 0 に対して δ > 0 が存在して，diamB ≤ δ を満たす任意の Borel 集合

B ⊂ Y と κ > 0 に対して，

lim supn→∞

ObsDiam(p−1n (B);−κ) ≤ ε.

(3) 任意の ε > 0 と D < ∞ に対して δ > 0 が存在して，dY (A1, A2) ≤ D とdiamAi ≤ δ を満たす任意の Borel 集合 Ai ⊂ Y (i = 1, 2) と κ > 0 に対して，

lim supn→∞

d+(p−1n (A1), p

−1n (A2);κ) ≤ dY (A1, A2) + ε.

ここで，mm-空間 X の Borel 集合 B,B1, B2 ⊂ X と κ > 0 に対して，

ObsDiam(B;−κ)

:= supf∈Lip1(B)

infdiamA : A ⊂ R は μX(f

−1(A)) ≥ μX(B)− κ を満たす Borel 集合

は B のオブザーバブル直径を表し，

d+(B1, B2;κ) := sup dX(A1, A2) : Ai ⊂ Bi は μX(Ai) ≥ κ を満たす Borel 集合 (ただし，κ > mini=1,2 μX(Bi) のときは d+(B1, B2;κ) := 0) は B1, B2 間の κ-距離を表す．

命題 16 の逆と，そのピラミッド版も成り立つ．F が命題 16 の仮定を満たすとき，ピラミッド P に対し，F (P) :=

⋃X∈P PF (X)

はピラミッドである．

命題 18 ([OY]) F は命題 16 の仮定を満たすとする．mm-空間の列 Xn∞n=1 に対し，F (Xn)∞n=1 が mm-空間 Z に集中するとき，Xn∞n=1 は F (Y ) = Z を満たす mm-空間Y に集中する．ピラミッドの列 Pn∞n=1 に対し，F (Pn)∞n=1 がピラミッド Q に弱収束するとき，Pn∞n=1 は P := X ∈ X : F (X) ∈ Q に弱収束する．特に，P はピラミッドである．

4. 測度距離空間の逆極限・射影極限各 n に対して Xn ≺ Xn+1 を満たす mm-空間の増大列 Xn∞n=1 を考える．

例 19 例えば，mm-空間 X = (X, dX , μX)と単調非減少な正の数 rn > 0の列と p ∈ [0,∞)に対し，X をリスケールしたもの Xn := (X, rndX , μX) や，直積 Xn = (Xn, dXn , μ⊗n

X ) にdXn((xi), (x

′i)) = (

∑ni=1 dX(xi, x

′i)p)1/p で定まる lp-直積距離を入れたもの (cf. 補足 7) は

mm-空間の増大列となる．

mm-空間の増大列 Xn∞n=1 に対し，Xn に付随するピラミッドの列 PXn∞n=1 はピラミッド

⋃∞n=1 PXn

に弱収束する．また，任意のピラミッド P に対し P を近似する，つ

まりP =⋃∞

n=1 PXn

を満たす，mm-空間の増大列 Xn∞n=1 が存在する．

29

定義 20 mm-空間の増大列 Xn∞n=1 に対し，fn : Xn+1 → Xn を Xn ≺ Xn+1 から従う1-Lipschitz 写像として，集合

X := lim←−Xn =

(xn) ∈

∞∏n=1

Xn : ∀n fn(xn+1) = xn

に，直積∏∞

n=1 Xn の部分集合としての相対位相 τX と，(xn), (x′n) ∈ X に対して

dX((xn), (x′n)) := lim

n→∞dXn(xn, x

′n) ∈ [0,∞]

で定める距離を入れる．また，各 n に対して射影 πn : X → Xn が (πn)∗μX = μXn を満たすX 上の Borel 確率測度 μX が唯一つ存在する．この四つ組 (X, τX , dX , μX) を Xn∞n=1 の逆極限と呼ぶことにする．測度空間の逆極限に関しては，Kolmogorov 以来，多くの研究がある．測度距離空間の

逆極限は，例えば Cheeger–Kleiner (’15) の論文にも表れる．一般に，mm-空間の増大列の逆極限はmm-空間ではない．実際，例 19で，X∞ := lim←−Xn

において x = x ならば dX∞(x, x′) = ∞ であるし，X∞ = lim←−Xn は X の無限直積であり， #X ≥ 2 のとき (X∞, dX∞) は可分距離空間ではない．定義 21 (cf. Ambrosio–Gigli–Savare ’14) 次を満たす四つ組 X = (X, τX , dX , μX) をPolish extended measure space と呼ぶ：

(1) (X, τX) はポーランド空間（完備距離化可能な可分位相空間）である．(2) (X, dX) は完備な extended metric space である．つまり，dX : X × X → [0,∞]は距離の公理を満たす．

(3) xn ∈ X，dX(xn, x) → 0 (n → ∞) ならば，xn∞n=1 は τX に関して x に収束する．(4) dX : X ×X → [0,∞] は τX に関して下半連続である．(5) μX は (X, τX) 上の Borel 確率測度である．Ambrosio–Gigli–Savare (’14) は Polish extended measure space に対し曲率次元条件

CD(K,∞) を定義している．また，Ambrosio–Erbar–Savare (’16) は extended metricmeasure space を定義している．命題 22 ([OY]) mm-空間の増大列 Xn∞n=1 の逆極限 lim←−Xn は Polish extended measure

space であり，extended metric measure space である．当日は，ピラミッド P を近似する mm-空間の増大列 Xn∞n=1 の逆極限 XP := lim←−Xn

等に関して得られた結果を紹介したい．例えば，以下のような問題を考えたい．問題 23 (cf. 定理 9, 10) K ∈ R とする．ピラミッドの列 Pn∞n=1 がピラミッド P に弱収束し，各 n に対して Polish extended measure space XPn が曲率次元条件 CD(K,∞)を満たすとき，XP は CD(K,∞) を満たすか？

参考文献[C] P. Corazza, Introduction to metric-preserving functions. Amer. Math. Monthly 106 (1999), no. 4,

309–323.[G] M. Gromov, Metric structures for Riemannian and non-Riemannian spaces. Progress in Mathe-

matics, 152. Birkhauser Boston, Inc., Boston, MA, 1999.[OY] R. Ozawa and T. Yokota, In progress.[S] T. Shioya, Metric measure geometry. Gromov’s theory of convergence and concentration of met-

rics and measures. IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics, 25. EMS PublishingHouse, Zurich, 2016, cf. arXiv:1410.0428.

[S2] 塩谷隆，測度距離幾何学 : 高次元および無限次元空間へのアプローチ．数学 71 (2019), no. 2,159–177.

30

Poincare DGA of Hodge typeとその応用

河井　公大朗（学習院大学）∗

1 序多様体M が formal とは、大雑把にいえばその実ホモトピー型が de Rham コ

ホモロジーから定まるときをいう。この場合、M上の Massey 積はすべて消える。これは多様体M が formal になるための位相的障害を与える。formalという概念は、一般に differential graded algebra (DGA)に対して定義で

きる。そこで、Poincare DGA of Hodge type という DGA に対して考察し、その結果を多様体に応用する。そして、ある幾何構造が入るための位相的障害を導く。

2 Differential graded algebra (DGA)

以下で DGA に関する基本的な概念をまとめる。A = ⊕i≥0Aiを graded algebra

とし、d : A∗ → A∗+1を線形写像とする。(A, d) が differential graded algebra

(DGA) とは、α ∈ Ai, β ∈ Ajに対して

α · β = (−1)ijβ · α, d(α · β) = (dα) · β + (−1)iα · (dβ), d2 = 0

を満たすときをいう。DGA (A, d)の i-th cohomology を次で定義する。

H i(A, d) = ker(d : Ai → Ai+1)

Im (d : Ai−1 → Ai).

(A, dA), (B, dB)をDGAとしたとき線形写像f : A → BがDGA-homomorphism

とは次を満たすときをいう。

f(Ai) ⊂ Bi, f(α · β) = f(α) · f(β), dB f = f dA.

コホモロジーに誘導される写像 f ∗ : H∗(A, dA) −→ H∗(B, dB)が同型のとき、f :

A → Bを quasi-isomorphism という。

∗本研究は JSPS 科研費 JP17K14181 の助成を受けたものである。また本研究は DomenicoFiorenza氏 (Universita di Roma), Hong Van Le氏 (CAS), Lorenz Schwachhofer氏 (TU Dort-mund)との共同研究に基づく。

31

例 2.1. (A = ⊕Ai, d)がDGAのとき、そのコホモロジー (H∗(A, d) = ⊕H i(A, d), d =

0)もDGAになる。M を多様体としたとき de Rham algebra (Ω∗(M), d)はDGA。

DGA (A, dA)と (B, dB)が equivalentであるとは、DGA (C1, dC1), · · · , (Cn, dCn)と以下のような quasi-isomorphism の列が存在するときをいう。

(C1, dC1) · · · (Cn, dCn)

(A, dA) (C2, dC2) · · · (B, dB).

DGA (A, dA) が formal とは、dB = 0となるDGA (B, dB)に equivalent なときをいう。（quasi-isomorphism の定義からH∗(A∗, dA) ∼= H∗(B∗, 0) = B∗に注意。）多様体M が formal とはその de Rham algebra (Ω∗(M), d)が formal なときをいう。

例 2.2 (formal な多様体の例). 1. コンパクトケーラー多様体 ([DGMS1975])

2. r > 1に対して、次元が (4r−2)以下のコンパクト (r−1)連結多様体 ([Miller1979])

3. コンパクト対称空間 ([Sullivan1975])

3 Poincare DGA of Hodge type

定義 3.1 ([CN2015, Definition 2.7]). DGA (A∗, d)がPoincare DGA of degree

nとは、その cohomology H∗ = H∗(A∗)がH∗ =⊕n

k=0Hkとなり、各Hkは有限

次元で、Hnの双対空間の元∫∈ (Hn)∨があって、次のH∗上の pairing が非退化

なときをいう。（αk ∈ Hk, βl ∈ H lとする。）

⟨αk, βl⟩ :=∫αk · βl (k + l = n), ⟨αk, βl⟩ := 0 (k + l = n).

H∗ = H∗(A∗)上の pairing ⟨·, ·⟩は、次のようにA∗上の pairing に拡張される。

⟨αk, βl⟩ =∫

[αk · βl] (k + l = n), ⟨αk, βl⟩ = 0 (k + l = n).

[·]は射影An → Hn(A∗)を表す。拡張された ⟨·, ·⟩は必ずしも非退化ではない。

定義 3.2. Poincare DGA A∗が Poincare DGA of Hodge typeとは、部分空間H∗,B∗ ⊂ A∗が存在して次を満たすときをいう。

A∗d := d-closed な元 = H∗⊕dA∗−1, A∗ = H∗⊕dA∗−1⊕B∗, ⟨H∗⊕B∗,B∗⟩ = 0.

注意 3.3. Hodge type とならない例がある。またHodge type という性質は quasi-

isomorphism で保たれない。

32

この状況で、制限d|B∗ : B∗ → dA∗は全単射である。その逆写像をd− : dA∗ → B∗

とかく。d−|H∗⊕B∗ = 0としてd− : A∗ → B∗と拡張すると、分解A∗ = H∗⊕dA∗−1⊕B∗に関する射影は以下のように与えられる。

prH∗ = 1− (dd− + d−d), prdA∗−1 = dd−, prB∗ = d−d.

例 3.4. (M, g)を向きづけられたコンパクトリーマン多様体とする。∫をM上での

積分とし、リーマン計量 gに関するHodge分解を考えると、その de Rham algebra

(Ω∗(M), d)はPoincare DGA of Hodge type となる。また d∗ = gd−が成り立つ。

注意 3.5. もしH∗が積で閉じているならば、(H∗, d = 0)は DGAになる。特に(H∗, d = 0) → (A∗, d)は quasi-isomorphism なので、(A∗, d)は formal になる。リーマン多様体は、その調和形式の空間がそのような性質をもつとき、geometri-

cally formalとよばれる。コンパクト対称空間はその例である ([Sullivan1975])。しかし一般には、強い位相的制限がある（[Kotschick2001]）。

H∗を含むDGAのうち最も簡単なものは何か？と考えたときに、次が導入できる。

定義 3.6. A∗s をH∗を含む d−不変 subDGAのうち最小のものとする。（つまりH∗

を含む d−不変 subDGA たちの共通部分。）これを small algebra of A∗とよぶ。

(A∗s )⊥ := α ∈ A∗

s | ⟨α,A∗s⟩ = 0

とおく。これは d−1不変なDGAイデアルになることが示せる。したがってQ∗s :=

A∗s/(A∗

s )⊥もまたDGAになる。これを small quotient algebra of A∗とよぶ。

補題 3.7. 自然な単射と射影A∗ ← A∗s → Q∗

s は、ともに quasi-isomorphism になる。したがってA∗とQ∗

s は equivalent.

Proof. A∗s , (A∗

s )⊥ は d, d−不変より、射影 dd−, d−dについても不変。したがって

A∗s = H∗ ⊕ dd−A∗

s ⊕ d−dA∗s , (A∗

s )⊥ = dd−(A∗s )⊥ ⊕ d−d(A∗

s )⊥.

（(A∗s )⊥の定義より (A∗

s )⊥ ∩H∗ = 0に注意。）これよりH∗(A∗s ) = H∗ ∼= H∗(A∗),

H∗((A∗s )⊥) = 0. 完全系列 0→ A∗

⊥ → A∗ → Q∗ → 0 から主張が従う。

上の補題の証明にA∗s の最小性は不要である。H∗を含んで d−不変という性質だ

けを用いている。最小性があると、A∗が単連結のときは、A∗s はH∗, d, d−を用い

て（帰納的に）具体例に記述される。これを用いると次を示すことができる。

定理 3.8. r > 1に対して、A∗を (r− 1)連結 (つまりH0(A∗) ∼= RかつHk(A∗) =

0 (1 ≤ k ≤ r − 1))な Poincare DGA of degree n of Hodge type とする。このときA∗は、次の性質を満たす有限次元Poincare DGA Q∗

s of Hodge type に equivalent.

• Qks = Hk for 0 ≤ k ≤ 2r − 2, n− 2r + 2 ≤ k ≤ n.

33

• 積写像 · : Hr ⊙Hr → H2r が単射ならば、k = 2r− 1, n− 2r+ 1に対してもQks = Hk.

系 3.9. 上の状況で、k ≤ 2r − 1, k ≥ n − 2r + 2のとき d = 0: Qk−1s → Qks . 特に

n ≤ 4r − 2のときA∗は formal ([Miller1979]).

Massey 積は quasi-isomorphism 不変なので（少し考察を加えると）次を得る。

系 3.10. A∗を単連結な Poincare DGA of degree n of Hodge type とする。以下の場合に、Massey triple product (MTP) は消える。

1. n ≤ 6

2. n = 7で degree = (2, 2, 2)

3. n = 8で degree /∈ (2, 2, 2), (2, 2, 3), (2, 3, 2), (3, 2, 2)

実はこの主張は、A∗が Poincare DGA ならば導くことができる。(Hodge type

でなくてもよい。) より一般に次が成立する。

命題 3.11. r > 1に対して、A∗を (r − 1)連結な Poincare DGA of degree nとする。l ≥ 3に対して以下が成立。

1. n ≤ r(l + 1) + (1 − l)ならば、任意の l′ ≥ lに対して l′ th order Massey

product は trivial.

2. n = r(l + 1) + (2 − l) + q (q ≥ 0)のとき、degree ∈ (r + a1, · · · , r + al) |ai ≥ 0, 0 ≤

∑li=1 ai ≤ q のときに lth order Massey product は trivial.

しかし次の形に一般化するには、Hodge type という仮定が必要になる。これは応用上重要である。

系 3.12. A∗: Poincare DGA of degree nが、ある単連結 Poincare DGA of degree

(n− k) of Hodge type A∗sc の多項式環とかけるとする。つまりA∗ = A∗

sc[t1, . . . , tk]

で、t1, . . . , tkは次数 1, dti = 0とする。このとき、系 3.10と同じ主張が成り立つ。

4 応用系 3.10は単連結で向きづけられたコンパクトリーマン多様体M の de Rham

algebra (Ω∗(M), d)についても成立する。更に、向きづけられたコンパクトリーマン多様体M 上のすべての harmonic 1-form が parallel となるとき（例えば、Ric(g) ≥ 0のとき）、Cheeger-Gromol splitting theorem（と少しの考察）により、de Rham algebra は n = dimM, k = b1(M)として系 3.12 の仮定の形になることが示せる。

34

Massey 積はコホモロジーの情報（位相的な量）によって定まるので、系 3.12はRic(g) ≥ 0となる計量 gが入るための位相的障害を与える。系 3.10 (2) に相当する主張は、最初G2多様体 (これは Ricci 平坦多様体になる)に対して [CKT2018,

Theorem 4.15]により示された。

例 4.1. G ⊂ GL(3,R)を Heisenberg 群とし、Γ = G ∩GL(3,Z)とする。つまり

G =

1 x y

0 1 z

0 0 1

| x, y, z ∈ R

, Γ =

1 a b

0 1 c

0 0 1

| a, b, c ∈ Z

.

ΓはGに左からの掛け算で作用し、その商W = G/Γは実岩澤多様体とよばれる。これは向きづけられたコンパクト 3次元多様体で、b1(W ) = 2をみたす。更にあるα, β ∈ H1

dR(W )があって、α, β, βのMTPは消えない。よって、W には Ric(g) ≥ 0となる計量 gは入らない。より一般に、n ≤ 8と

n− 3次元多様体N に対して、N ×W にはRic(g) ≥ 0となる計量 gは入らない。

参考文献[CKT2018] K.F. Chan, S. Karigiannis and C.C. Tsang, The LB-

cohomology on compact torsion-free G2 manifolds and an application to

‘almost’ formality, Ann. Global Anal. Geom., 55 (2019), 325–369.

[CN2015] D. Crowley, J. Nordstrom, The rational homotopy type of (n−1)-connected manifolds of dimension up to 5n− 3, arXiv:1505.04184v2.

[DGMS1975] P. Deligne, P. Griffiths, J. Morgan and D. Sullivan, Real

homotopy theory of Kahler manifolds, Invent. Math., 29 (1975), 245-274.

[FKLS2019] D. Fiorenza, K.Kawai, H.V.Le and L. Schwachhofer, Almost formality

of manifolds of low dimension, arXiv:1902.08406.

[Kotschick2001] D. Kotschick, On products of harmonic forms, Duke Math. J.,

107 (2001), 521-531.

[Miller1979] T. J. Miller, On the formality of k−1 connected compact manifolds

of dimension less than or equal to 4k−2, Illinois J. Math., 23 (1979), 253-

258.

[Sullivan1975] D. Sullivan, Differential forms and the topology of manifolds,

Manifolds-Tokyo (1973) (Proc. of the Intern. Conf. on Manifolds and re-

lated topics in Topology, Tokyo 1973) (ed. A. Hattori), U. of Tokyo Press,

1975, 37-49.

35

Cencovの定理再訪

首都大学東京　高津飛鳥 ([email protected])

概要

n 点集合上の正値確率分布のなす空間 (確率単体) は, (n − 1) 次元単体と同相で

ある. そして確率単体上のリーマン計量の中で, マルコフ埋め込みで不変なものは

フィッシャー計量に限ることが Cencov の定理から従う. これはマルコフ埋め込み

と確率単体の幾何構造がユークリッド空間への包含写像から定まることに依存する.

そこで確率単体をユークリッド空間に歪曲して埋め込んだときに, マルコフ埋め込み

がどのように変形され, そして不変なリーマン計量がどのように表されるかを解析し

た. 本予稿は, 松添博氏 (名古屋工業大学)との共同研究に基づく.

1 Cencovの定理

2以上の自然数 n に対し, n点集合 Ωn := 1, . . . , n 上の正値確率分布のなす集合 (確

率単体)

Sn−1 :=

p : Ωn → (0, 1)

∣∣ ∑i∈Ωn

p(i) = 1

は, 包含写像 ιn : Sn−1 → Rn により Rn の部分多様体となる. そして Sn の数あるリーマン計量の中で, マルコフ埋め込みで不変なものはフィッシャー計量に限ることを Cencov

の定理は保証する.

定義 1.1 自然数 n,N (ただし 2 ≤ n ≤ N)に対し, 写像 FNn : Sn−1 → SN−1 がマルコ

フ埋め込みであるとは, 以下の 2条件 (M1), (M2)を満たすことである.

(M1) ΩN 上の確率分布族 Qii∈Ωn が存在し,⊔i∈Ωn

supp(Qi) = ΩN

を満たす.

(M2) 任意の p ∈ Sn−1 と I ∈ ΩN に対し,

FNn (p)(I) =∑i∈Ωn

p(i)Qi(I)

が成り立つ.

36

定理 1.2 ([1, Chapter II], [2, 定理 5.1.1]) Sn−1 上の連続な (0, 2)-テンソル An の族

Ann≥2 が次の 2条件 (C1), (C2)を満たすとする.

(C1) 自然数 n,N (ただし n ≤ N)に対し, 各マルコフ埋め込み FNn : Sn−1 → SN−1 に

よる AN の引き戻しは An になる.

(C2) ある λn, γn ∈ R が存在し, bn := 1n

∑i∈Ωn

ei において

An(X1, X2)(bn) =λn∑i∈Ωn

⟨dιn(X1|bn), ei⟩⟨dιn(X2|bn), ei⟩

+ γn∑

i1,i2∈Ωn

⟨dιn(X1|bn), ei1⟩⟨dιn(X2|bn), ei2⟩

が任意のベクトル場 X1, X2 ∈ X(Sn−1) に対し成り立つ.

このとき λ := λn/n は n に依存しない定数で,

An(X1, X2)(p) = λ∑i∈Ωn

p(i)X1|p(ℓi)X2|p(ℓi)(ℓi(p) := log p(i)

)が任意の p ∈ Sn−1 と X1, X2 ∈ X(Sn−1) に対し成立する.

条件 (C1), すなわちマルコフ埋め込みによる不変性は, 十分統計量と関係する自然な条件

である (詳細は例えば [2, §5.1]参照). Cencovの定理 [1]が Sn−1 上のマルコフ埋め込み

で不変な (0, 3)-テンソルが一意的に定まることも保証する一方で , 4以上の自然数 l に対

し Sn−1 上のマルコフ埋め込みで不変な (0, l)-テンソルは一意的には定まらない. そして

定理 1.2の証明は Sn−1 が包含写像で Rn に埋め込まれていることに依存する.

そこで我々は, Sn−1 が歪曲度 ϕ で Rn に埋め込まれているときに, 不変な (0, l)-テン

ソルがどのように表されるかを解析した.

2 準備

以下, C1-級関数 ϕ : (0, 1)→ R は

ϕ′ > 0, lims0

ϕ(s) = 0

を満たすとし, ϕ(1) := lims1 ϕ(s) とおく. そして ϕ : (0, 1) → (0, ϕ(1)) の逆関数を

ψ : (0, ϕ(1))→ (0, 1) と書く. さらに写像 ιϕn : Sn−1 → Rn を ιϕn(p)(i) := ϕ(p(i)) と定め,

Sϕn−1 := ιϕn (Sn−1) , βϕn := ιϕn(bn)

とおく. このとき Sϕn−1 から Rn への包含写像も ιn と記す.

37

すると条件 (M1)を満たす確率分布族 Qii∈Ωnに対し, 中間値の定理より正規化関数

Z : (0,∞)n → (0,∞) が一意的に存在し∑I∈ΩN

ψ

(∑i∈Ωn

x(i)Qi(I)

Z(x)

)= 1 (2.1)

が任意の x ∈ (0,∞)n に対し成り立つ.

定義 2.1 自然数 n,N (ただし 2 ≤ n ≤ N)に対し, 写像 ΦNn : Sϕn−1 → SϕN−1 が ϕ-マル

コフ埋め込みであるとは, 条件 (M1)に加え以下の条件 (M3)を満たすことである.

(M3) 任意の ρ ∈ Sϕn−1 と I ∈ ΩN に対し,

ΦNn (ρ)(I) =

∑i∈Ωn

ρ(i)Qi(I)

Z(ρ)

が成り立つ. ここで Z は (2.1)により定まる正規化関数である.

ϕ-マルコフ埋め込みで不変な (0, l)-テンソルの解析のために, 以下の Ωl の分割を考える.

定義 2.2 自然数 k, l (ただし k ≤ l) に対し, Ωl の部分集合族 ∆kl = ∆k

l (m)km=1 が Ωl

の k-分割であるとは, 以下の 2条件を満たすことである.

• ∆kl = ∆k

l (m)km=1 は Ωl の分割である.

• 1 ≤ m ≤ k − 1である自然数 m に対し, 不等式 |∆kl (m)| ≥ |∆k

l (m+ 1)| が成り立ち, 等号が成り立つならば min∆k

l (m) ≤ min∆kl (m+ 1) となる.

そして Ωl の k-分割のなす集合を ∆(Ωl; k) と表し, さらに

∆(Ωl) :=l⊔

k=1

∆(Ωl; k), ∆∗(Ωl) :=

∆kl = ∆k

l (m)km=1 ∈ ∆(Ωl)

∣∣∣∣ |∆kl (k)| = 1

とおく.

以下, 多様体 M 上の (0, l)-テンソル A と M 上のベクトル場 X1, . . . , Xl に対し

A((Xj)

lj=1

):= A(X1, . . . , Xl)

と書く. また Rn の標準座標を (x1n, . . . , xnn) と記し, 各 ∆k

l = ∆kl (m)lm=1 ∈ ∆(Ωl) に

対し, Rn 上の (0, l)-テンソルを⟨(∑i∈Ωn

Xij

∂

∂xin

)lj=1

⟩∆k

l

:=k∏

m=1

∑i∈Ωn

∏j∈∆k

l (m)

Xij

38

と定める. すると, 条件 (C2)は ∆12 = 1, 2,∆2

2 = 1, 2 ∈ ∆(Ω2) により

An(X1, X2)(bn) = λn⟨dιn(X1|bn), dιn(X2|bn)⟩∆12+ γn⟨dιn(X1|bn), dιn(X2|bn)⟩∆2

2

と表される.

注記 2.3 Rn の部分集合として, Sϕn−1 の重心は βϕn である. そして Sϕn−1 の幾何構造が

Rn への包含写像から誘導されるならば, N = n の場合の ϕ-マルコフ埋め込みによる不変

性は重心において任意の事象が Ωn のラベルの取り替えに関し不変であることを意味す

る. すなわち, Sϕn−1 上の ϕ-マルコフ埋め込みで不変な任意の (0, l)-テンソル An に対し,

ある (λi,∆kil )mi=1 ∈ R×∆(Ωl) が存在し,

An((Xj)

lj=1

)(bn) =

m∑i=1

λi

⟨(dιn(Xj |βϕ

n))lj=1

⟩∆

kil

が成り立つ. これは条件 (C2) の一般化に他ならない.

3 主定理

定理 3.1 Sϕn−1 上の連続な (0, l)-テンソル An の族 Ann≥2 に対し, ある ∆kl ∈ ∆(Ωl)

が存在し, 次の 2条件 (C3), (C4)を満たすとする.

(C3) 自然数 n,N(ただし n ≤ N) に対し, 各 ϕ-マルコフ埋め込み ΦNn : Sϕn−1→ SϕN−1

による AN の引き戻しは An になる.

(C4) ある λn ∈ R が存在し,

An((Xj)

lj=1

)(βϕn) = λn

⟨(dιn(Xj |βϕ

n))lj=1

⟩∆k

l

が任意の Xj ∈ X(Sϕn−1) に対し成り立つ.

このとき ∆kl ∈ ∆∗(Ωl) ならば, An は恒等的に零テンソルである.

一方, ∆kl ∈ ∆(Ωl) \∆∗(Ωl) ならば, λ := λnϕ(1/n)

lnk は n に依存しない定数で,

An((Xj)lj=1)(ρ) = λl

k∏m=1

1

h(ρ)

∑i∈Ωn

ρ(i)∏

j∈∆kl (m)

Xj

∣∣ρ(ℓi)−

∏j∈∆k

l (m)

Xj

∣∣ρ(log h)

が任意の ρ ∈ Sϕn−1 と Xj ∈ X(Sϕn−1) に対し成立する. ここで, h(ρ) :=

∑i∈Ωn

ρ(i) で

ある.

39

証明の概略. An の連続性より, ある Mj ∈ N と ν > 0 が存在し ρ(i) = Mi/ν となる

ρ ∈ Sϕn−1 に対して定理 3.1が成り立つことを示せば十分である. ここで N :=∑i∈Ωn

Mi,

M0 := 0 とおき, ΩN 上の確率分布族 Qii∈Ωn を

Qi(I) :=

1

Mi, Mi−1 + 1 ≤ I ≤Mi−1 +Mi

0, その他

と定める. すると Qii∈Ωn は条件 (M1)を満たすので, Sϕn−1 への制限が ϕ-マルコフ埋

め込みとなる写像 ΦNn : (0,∞)n → (0,∞)N が存在する. このとき ΦNn (ρ) = βϕN であり,

そして Sϕn−1 上で ιN ΦNn = ΦNn ιn が成り立つので, 条件 (C3),(C4) より

An((Xj)

lj=1

)(ρ) = λN

k∏m=1

∑I∈ΩN

∏j∈∆k

l (m)

∑i∈Ωn

Xij |ρ

Z(ρ)

(Qi(I)−

1

N

)(3.1)

となる. ただし Xij : S

ϕn−1 → R は

dιn(Xj) =∑i∈Ωn

Xij

∂

∂xin

を満たす. ここで ∆kl ∈ ∆∗(Ωl), つまりある jk ∈ Ωl があり ∆k

l (k) = jk となるならば∑I∈ΩN

∏j∈∆k

l (k)

∑i∈Ωn

Xij |ρ(Qi(I)−

1

N

)=∑i∈Ωn

Mi

Xijk|ρ

Mi−∑I∈ΩN

∑i∈Ωn

Xijk|ρ

N= 0

なので, An は零テンソルである. 一方, ∆kl ∈ ∆(Ωl) \∆∗(Ωl) のとき, Mi ≡ M とすれ

ば, ρ = βϕn であり条件 (C4)より

λnϕ

(1

n

)lnk

k∏m=1

∑i∈Ωn

∏j∈∆k

l (m)

Xij |βϕ

n= ϕ

(1

n

)lnkAn

((Xj)

lj=1

)(βϕn)

= λNϕ

(1

N

)l(nM)k

k∏m=1

∑i∈Ωn

∏j∈∆k

l (m)

Xij |βϕ

n

が従う. これより λ := λnϕ(1/n)lnk は n に依存しないことが分かり, (3.1)を λ を用い

て表現することで定理 3.1が得られる. 2

参考文献[1] N. N. Cencov, Statistical decision rules and optimal inference, American Mathematical

Society, Providence, R.I., 1982.

[2] 藤原彰夫, 情報幾何学の基礎, 牧野書店, 2015.

[3] H. Matsuzoe and A. Takatsu, in preparation.

40

力学系の半古典ゼータ関数

辻井　正人　（九大数理）

1 はじめに今回の講演では，私が共同研究者の F. Faure 氏 (Fourier Institut) と進めている双曲力学系の転送作用素

のスペクトルに対する超局所解析や波束変換の方法を用いた研究について関連する話題を含めて報告したい．研究の主な対象は負曲率多様体の測地流やより一般の双曲的力学系であるので幾何学が専門の方には馴染みのあるものと思う。転送作用素は相空間上の関数空間に対する力学系の自然な作用（の一般化）であり，力学系やエルゴード理論ではよく研究されてきた．しかし，一般に双曲的な力学系に対する転送作用素（の生成作用素）が離散的スペクトルを持つことが明らかになったのはこの 10年ほどである．（[11, 1, 5]）現在では先駆的な研究を行った二人の研究者に敬意を表して、その離散スペクトルはルエル＝ポリコット（Ruelle-Pollicott）固有値と呼ばれ、関連する様々な研究が行われている．測地流はリーマン多様体上の自由粒子の古典力学的運動を表す．この場合に転送作用素のルエル＝ポリコット固有値と測地流の力学的性質や多様体の幾何学的性質の関係を問うことは自然である．また，ラプラシアンの固有値や固有関数（量子力学的スペクトル）が古典極限においてルエル＝ポリコット固有値やその固有関数（古典力学的スペクトル）とどのような関係を持つかは，いわゆる「量子カオス」の諸問題との関係において重要になる．こういった問題の多くは難しく，将来への課題としか言えない部分が多いが、興味を持っていただければ幸いである．

2 アノソフ流リーマン多様体 pN, ¨ q上の自由粒子の古典力学的運動は測地線上を定速で運動するものであり，それを表す力学系を M の測地流と呼ぶ．以下では，測地流は運動エネルギーにあたる余接束 T ˚N 上の関数Hpx, ξq “ ξ22をハミルトン関数とするハミルトン力学系を単位余接束 T ˚

1 M :“ tHpx, ξq “ 1uに制限した流れ ϕt : T ˚

1 N Ñ T ˚1 N と考えることにする．その生成ベクトル場を V で表す．測地流の定性的な性質は

リーマン多様体 N の曲率に依存し，N の（断面）曲率がいたるところ負であるとき次の性質が成り立つ．(M “ T ˚

1 N とする．）

定義. 多様体 M 上の流れ ϕt : M Ñ M がアノソフ流であるとは，接束 T M の Dϕt-不変で連続な分解

T M “ xVy ‘ Es ‘ Eu (1)

1

41

と定数 χ0 ą 0と C ą 0が存在して，t ě 0について次が成り立つことである：

Dϕtpvq ď C expp´χ0tqv p@v P Esq

Dϕtpvq ě C´1 expp`χ0tqv p@v P Eu）

注意 1. 部分束 Es や Eu は（流れの滑らかさによらず）ほとんどの場合には滑らかではなく，一般には高々ヘルダー連続にしかならない．これは技術的には大変難しい問題になるが，以下ではほとんど無視する．

負曲率多様体上の測地流のもう一つ重要な性質は，単位余接束 T ˚1 N への標準 1形式の制限として得られ

る接触形式を保つことである．

定義. 奇数次元多様体 M 上の流れ ϕt : M Ñ M が接触流であるとは，M 上のある接触形式 αを保つことである．ここで，接触形式 αとは微分 1形式で，dim M “ 2d `1とするとき，µ :“ α^pdαqdpxq ‰ 0

(@x P M）をみたすことである．このとき µは ϕt 不変な体積で，リュービル測度と呼ばれる．

アノソフ流で接触流でもあるものを接触アノソフ流と呼ぶ．このとき一般に次が成り立つ．

kerα “ Es ‘ Eu, dim Es “ dim Eu “ pdim M ´ 1q2.

以下で接触アノソフ流を考える場合には接触形式 α は条件 αpVq ” 1 で正規化されているとする．また，流れ ϕt は常に C8 級とする．

3 転送作用素の超局所解析 (1)

アノソフ流の軌道は初期点に鋭敏に依存し，各軌道を描写することは（記号力学系を使えば可能であるが）あまり意味をなさなくなる．そこで，代わりに，相空間上の「軌道の集団」を表す密度関数（または測度）が力学系によってどのように変換されるかを考える．この変換は転送作用素

Lt : L2pMq Ñ L2pMq, Ltupxq “ upϕ´tpxqq (2)

で表される*1．これはユニタリ作用素の 1 パラメータ群であるが，次のような意味で離散スペクトルを持つ．

定理 1 ([2], [5]). アノソフ流に対する転送作用素 Lt の 1パラメータ群について，その生成作用素 X のレゾルベント作用素

Rpsq “ ps ´ Xq´1 : C8pMq Ñ C8pMq1

は複素数 s P Cに作用素を対応させる関数として複素平面全体で定義された有理型関数になる．このときの（離散的な）極はルエル＝ポリコット（Ruelle-Pollicott）固有値と呼ばれる．

*1 密度への作用と考えるならば本来は | det Dϕt|´1 という係数を考えるべきであるが，簡単のためここでは無視する．

2

42

注意 2. 任意の C ą 0について，C8pMqの完備化として適切なバナッハ空間 BC Ă C8pMq1 を構成し，転送作用素 Lt がその上で強連続で生成作用素 X がℜpsq ą Ć の範囲で離散スペクトルを持つようにすることができる．（そのようなバナッハ空間の構成についてはいくつかの方法が知られている．）このとき，離散スペクトルは ℜpsq ą Ć の範囲でルエル＝ポリコット固有値と一致し，バナッハ空間そのものには依存しない．

生成作用素は生成ベクトル場の関数への作用に過ぎないので，コンパクト性や楕円性などの条件を満たすわけでない．それにも関わらず，何故スペクトルが離散的になるかは超局所解析の視点から見ると説明しやすい．超局所解析においては M 上の関数を考える際に，ある点 x P M の近傍（局所）で観察し，さらに（局所座標系で）Fourie変換してどのような波数の近傍（超局所）に成分があるかを考える．転送作用素 Lt は点 x P M の近傍の関数の成分を ϕtpxqの近傍に移し，さらに，波数 ξの近傍の成分を tpDϕt

xq´1ξの近傍の波数成分に移すことは ϕt の xでの線形化を考えれば理解しやすい．このことから，転送作用素を考える上ではまずは流れの余接束への作用

ϕt : T ˚M Ñ T ˚M, ϕtpx, ξq “ pϕtpxq, tpDϕtxq´1ξq

を分析することが重要になる．アノソフ流の場合の流れ ϕt については，次の事実を観察できる：

1. 流れの方向の波数を与える関数 ω : T ˚M Ñ R, ωpx, ξq “ ξpVpxqq,は流れ ϕt で保たれる．2. 回帰的な点の集合 tρ P T ˚M | lim inftÑ8 dpϕtpρq, ρq “ 0uは部分集合 pEs ‘ EuqK Ă T ˚M になる．

特に流れの方向の周波数を有限の範囲に制限すれば，対応する pEs ‘ EuqK の部分集合 K は有界（コンパクト）になる．ここで，T ˚M のある部分集合 K について，

K 内で「実現される状態」の個数（次元） À K の（単位近傍*2の）体積 ă 8

という関係から対応する固有値が有限個になる．これが定理において離散スペクトルが現れる（大変大雑把な）理由である．この考えを推し進めれば，pEs ‘ EuqK の単位近傍の体積が固有値の密度の上限を与えることが予想される．先に注意 1で見たように Es と Eu はたかだかヘルダー連続なので pEs ‘ EuqK はフラクタル状の集合になる．そのため評価は次のようになる．

定理 2 (フラクタル-ワイル則 [8]). 対応 x P M ÞÑ pEs ‘ EuqK のヘルダー指数が 0 ă β0 ď 1であるとき，アノソフ流に対する転送作用素 Lt のルエル＝ポリコット固有値について以下の評価が成り立つ：任意の δ ą 0と R ą 0について，ある C ą 0が存在して全ての ω P Rについて

#tr´R,8q ˆ irω,ω` |ω|δsに含まれるルエル＝ポリコット固有値 u

|ω|δď C|ω|pdim M´1qp1`β0q.

*2 ここではあるシンプレクティック構造に適合する計量を想定している．

3

43

4 転送作用素の超局所解析 (2)

以下では仮定を強めて，ϕt が接触アノソフ流であるとする．この場合はより精密な解析が可能になる．話の都合で，転送作用素 (2)を少しだけ一般化して

Lt : L2pM, µq Ñ L2pM, µq, Ltupxq “ pgt ¨ uqpϕ´tpxqq (3)

という形のものを考える．ここで gt : M Ñ Cは gt`spxq “ gtpgspxqqをみたす C8級の関数の１パラメータ族で乗法的コサイクルと呼ばれる．このとき Lt は１パラメータ群で，生成作用素を X で表す．この場合にも定理 1の結論は成り立つ．接触アノソフ流の場合は，前節の議論で重要になった部分集合 pEs ‘ EuqK は接触形式 αが張る滑らかな

1次元部分束 xαyと一致し，滑らかな多様体になる．（特に定理 2において β0 “ 1とすることができる．）さらに，xαyでの流れ ϕt の線形化について後で述べる補題 5で示すような（シンプレクティック構造に関する）幾何学的な性質が成り立ち，その帰結として次のようなルエル＝ポリコット固有値の分布に関する以下の性質が成り立つ．

定理 3 ([6]). 接触アノソフ流 ϕt : M Ñ M に対する転送作用素 Lt の生成作用素 X は以下のような「帯状構造」を持つ：任意の ε ą 0と C ą 0について，ルエル＝ポリコット固有値のうちℜpsq ą Ć の部分に存在するものは，（ε ą 0と C ą 0に応じた）有限個の例外を除いて次のような帯状領域の和集合に含まれる：（図 4参照）

B “

8ď

k“0

Bk, Bk “ tγ´k ´ ε ď ℜpzq ď γ`

k ` εu

ただし，整数 k ě 0について

γ´k :“ lim

tÑ8

1t

log minxPM

´

gtpxq ¨ pdet |pDϕt|Eu qpxq|q´12 ¨ Dϕt|Eu ´kmax

¯

ď γ`k :“ lim

tÑ8

1t

log maxxPM

´

gtpxq ¨ det |pDϕt|Eu qpxq|´12 ¨ Dϕt|Eu ´kmin

¯

で，Lmax と Lmin は線形写像 Lの最大と最小の特異値（拡大率）である．

定理 3 の帯状構造は双曲曲面上の測地流の場合で gt ” 1 とすると，セルバーグの結果からそれぞれℑpsq “ ´12 ` kという虚軸に平行な直線になる．一般に可変曲率の場合は Bk は（当然）互いに交わることがある．特に，曲率の変化が大きい場合には全ての帯が一体となって半平面になってしまい，帯状構造の意味がわかりにくくなる場合もある．（それでも右端の γ`

0 の値は意味がある．）ただ，この定理で重要なのはそれぞれの帯に対応するスペクトル射影の（ωÑ ˘8での漸近的な意味での）近似が具体的に記述できる点にある．その近似を使うと次のような結果を得ることができる．

4

44

γ´0 γ`

0γ`1γ´

1 Re

B0B1B2B3

図 1 転送作用素 Lt の生成作用素のスペクトル

定理 4 ([6]). （定理 3の続き）帯状領域 B0 が他の帯状領域 Bk, k “ 1, 2, ¨ ¨ ¨ と交わらないならば，その中には可算無限個のルエル＝ポリコット (R-P)固有値が存在し，次が成り立つ：

ワイル則任意の δ ą 0について

lim|ω|Ñ8

#trr´0 ´ ε, r`

0 ` εs ˆ irω,ω` |ω|δsに含まれる R-P固有値 u

|ω|d`δ“µpMq

p2πqd

特にルエル＝ポリコット固有値の密度から相空間 M の体積が（極限として）計算できる．固有値の集中： ℑpsq Ñ ˘8の極限において，帯状領域 B0 に含まれるほとんど全ての固有値は直線

ℜpsq “ γ0 :“1t

ż

logpgt ¨ | detpdϕt|Eu q|12qdµ P rγ´0 , γ

`0 s

の近傍に集中する：すなわち，任意の ε ą 0について，

limωÑ˘8

#trγ0 ´ ε, γ0 ` εs ˆ irω,ω` |ω|δsに含まれる R-P固有値 u

#trr´0 ´ ε, r`

0 ` εs ˆ irω,ω` |ω|δsに含まれる R-P固有値 u“ 1

注意 3. 上で述べた結果の中で最も技術的に難しいのはWeyl則における密度の下からの評価である．望ましい結果は δ “ 0の場合であるが，残念ながら成り立つかどうかわからない．また，B0 が他の帯状領域と交わる場合も結論は成り立つと思われるが，同様の困難によって示せていない．一方，固有値の集中については量子エルゴード定理 [16, 14]の議論を参考にすれば難しくない．論文 [6]は速報誌に載せたもので，証明をつけた論文は未だ完成していない．（既に 5年以上たっているので関係者に時々おこられる）．ただ，証明の本質的な部分は既に [9, 7]に含まれている．

5

45

定理 3と定理 4は余接束上の流れ ϕt : T ˚M Ñ T ˚M の xαy “ pEu ‘ EsqK の近傍での以下のような幾何

学的性質を反映している．

補題 5. 1次元部分束 xαy Ă T ˚Mは 0-切断の外で T ˚Mの (標準的なシンプレクティック構造について）シンプレクティック部分多様体．特に xαyの各点 pにおける T ˚M の接空間 TpT ˚M は xαyの接空間 Tpxαy

とそのシンプレクティック補空間 TpxαyK に分解され，その分解は流れ ϕt（の自然な作用）で保たれる．また，π : T ˚M Ñ M を標準的な射影とするとき，次は可換：

TpxαyK Dϕt

ÝÝÝÝÑ TϕtppqxαyK

Dπ

§

§

đ

≀ Dπ

§

§

đ

≀

Eupπppqq ‘ EspπppqqDϕt

ÝÝÝÝÑ Eupϕtpπppqqq ‘ Espϕtpπppqqq

›

›

›

›

›

›

Eupπppqq ‘ Eupπppqq˚ pDϕ´t|Eu q˚

ÝÝÝÝÝÝÑ Eupϕtpπppqqq ‘ Eupϕtpπppqqq˚

ここで上下方向の矢印（と等号）は（それぞれの自然なシンプレクティック構造について）シンプレクティック線形同型になる．（dαは Es ‘ Eu 上のシンプレクティック形式になることに注意．）

前節での説明からルエル＝ポリコット固有値は ϕの xαyの近傍での作用と密接に関係し，それ以外の部分はほぼ無視できることを思い出そう．上の補題における分解

TpT ˚M “ Tpxαy ‘ TpxαyK

に対応して，転送作用素は（pの近傍で超局所的に）

Lt “ Lt∥ ‘ Lt

K

と分解される．ここで Lt∥ と Lt

Kはそれぞれ線形写像に対する（L2 ノルムで正規化した）転送作用素であ

り，互いに似たようなものになる．しかし，全体的な状況を考えると，前者 Lt∥ は回帰的な部分 xαyに沿っ

た方向への作用であるのに対して，後者 LtKは xαyに横断的な方向に関するものになる．そのため，前者

はユニタリー作用素と考えるのが適当であるが，後者では（xαyとの交点に当たる）原点 p0, 0qの近傍の外での作用は無視することになる．そのとき，Lt

Kの構造について次が成り立つ．

補題 6 (線形拡大写像). 線形写像 A : Rd Ñ Rd が拡大的，すなわち，A´1 ă 1とする．対応する L2 ノルムで正規化した転送作用素を

LA : L2pRdq Ñ L2pRdq, LAu “ | det A|´12 ¨ u ˝ A´1

で定義する．また，PkpRdq を Rd 上の k-次の斉次多項式の空間とする．このとき，r ą 0 について関数Wr : T ˚Rd Ñ R, Wpx, ξq “ xxy´r ¨ xξyr をウェイトとする一般化ソボレフ空間 Hr

WpRdqを考えると，転送作用素 LA はHr

WpRdq上で有界で，原点 0におけるテーラ展開に対応する分解

HrWpRdq “

r´1à

k“0PkpRdq ‘ R pRは剰余項に当たる部分．q

を保つ．また，（容易にわかるように）

C| det A|´12 ¨ A´k ďLA|PkpRdq ď C| det A|´12 ¨ A´1k p0 ď k ď r ´ 1q

LA|R ď C| det A|´12 ¨ A´1r

6

46

が成り立つ．

注意 4. 上の補題でウェイト W は Aの余接束 T ˚Rd への作用にそって，原点 p0, 0qの近傍を除いて強く減少するように設定してあり，作用を原点の p0, 0qの近傍に限定する効果を持つ．

補題 6の分解が定理 3の帯状領域のそれぞれに対応する．

5 半古典（Gutzwiller-Voros）ゼータ関数少し話題を変えて，力学系のゼータ関数について述べたい．転送作用素 (3)のフラットトレースを

Tr5Lt :“ż

Kpx, x; tqdx “ÿ

γPΓ

8ÿ

m“1

gγ ¨ |γ|

| detp1 ´ Dmγ q|δpt ´ m|γ|q (4)

で定義する．ここで Kpx, y; tq は転送作用素 Lt の Schwartz 核で超関数になるが，流れの双曲性から対角集合上の積分が定義できて，計算すると右辺のようになる．ただし，Γは素周期軌道の集合，|γ|は γ P Γ

の素周期，Dγ は周期軌道 γ P Γ に沿うポアンカレ写像の微分，gγ は g|γ|p¨q の γ 上の点での値である．この定義は作用素がトレース族であるときは通常のトレースと一致することが知られているが，（スペクトルについての結果からもわかるように）転送作用素はそれからは程遠い．しかし，前節で見たようにϕt : T ˚M Ñ T ˚M が相空間の大部分で非回帰的であるという事実を（再び）反映して，フラットトレース(4)の漸近展開をルエル＝ポリコット固有値を用いて与えることができる．

定理 7 (局所跡公式 [12]). 一般のアノソフ流 ϕt : M Ñ M に対する転送作用素について次が成り立つ：任意の A ą 0と ε ą 0に対して

Tr5Lt “ÿ

j

eλ jt ` FAptq

ただし，右辺の和ř

j はℜpsq ě Áの範囲のルエル＝ポリコット固有値に関する和，剰余項 FAptqは台が r0, tsに含まれる φ P H2 dim M`1pRqに対して

|xFA, φy| ă CepÁ`εqtφH2 dim M`1

をみたす超関数である．（HspRqはオーダーが s ą 0のソボレフ空間.)

注意 5. 論文 [12]に注意されているように，オーダー 2 dim M ` 1はあまり良い評価ではない．きちんとやると dim M になると思われる．

力学系のゼータ関数はリーマンのゼータ関数において素数を力学系の素周期軌道（の周期）で置き換えて定義したものである．例えばスメール [13]によって導入された

ζ0psq “ź

γPΓ

p1 ´ e´|γ|q´1 “ exp

˜

´ÿ

γPΓ

8ÿ

m“1

1m

e´sm|γ|

¸

(5)

やそれを基本群の表現で捻ったものがよく知られている．また，量子カオスの半古典論の研究で物理学者

7

47

のヴォロス（Voros）やグッツウィラー（Gutzwiller）によって研究された半古典ゼータ関数

ζscpsq “ exp

¨

˚

˝´

ÿ

γPΓ

8ÿ

m“1

1m

e´sm|γ|

b

detp1 ´ Dmγ q

˛

‹

‚(6)

も一つの重要な例である．これらのゼータ関数について，上で述べた積公式やその一般化を用いると次を示すことができる．

定理 8 ([10, 9]). アノソフ流に対してゼータ関数 ζ0psqや ζscpsqの定義は実部ℜpsqが十分大きい範囲で正則関数を定め，それは有理型関数として複素平面全体に解析接続される．

証明はゼータ関数 ζscpsqをいくつかの（ベクトル値の）転送作用素のフラットトレースを使って表すことで与えられる．簡単のために以下では接触アノソフ流で dim Eu “ dim Es “ 1の場合に限って考えよう．（ただし結果は一般の場合について述べる．）この場合，半古典ゼータ関数は形式的な計算で

ζscpsq “ expˆ

ż 8

`0

e´st

tpTr5Lt

1 ´ Tr5Lt0qdt

˙

(7)

と表すことができる．ここで Ltk（k “ 0, 1）定義 (3)において係数 gt を

gtpxq “ gtkpxq “ | detpDϕt|Eu q|12´k, k “ 0, 1

としたものである．このことと定理 7（および多少の議論*3）から定理 8 が得られる．特に半古典ゼータ関数 ζscpsq の極と零点はそれぞれ Lt

1 と Lt0 のルエル＝ポリコット固有値に一致する．ここで，転送作用

素 Lt0 に対して定理 3 を当てはめると，r`

1 ă r´0 “ r`

0 となり，一番右側の帯状領域 B0 の幅は 0 で虚軸ℜpsq “ 0に退化し，他の帯状領域 Bk (k ą 0)とは交わらない．また，転送作用素 Lt

1 については全ての帯状領域が虚軸の左にある．もう少し丁寧に考えると次の定理が得られる．

定理 9 ([9]). 半古典ゼータ関数 ζscpsqの零点は，任意の ε ą 0について，有限個の例外を除き

R “ R0 Y R1, R0 “ t|ℜpsq| ă εu, R1 “ tℜpsq ă ´χ0 ` εu

に含まれる．ただし χ0 “ limtÑ8p1tq maxxPM log Dϕtpxq|Eu ą 0としている．極は有限個の例外を除き R1 に含まれる．（図 5参照．）R0 に含まれる零点は定理 4の Weyl則をみたす．

注意 6. 上の議論で Ltk, k “ 0, 1,は不安定葉層に沿った微分 k-形式に働く（gt

0 を係数とする）転送作用素と考えることができる．このとき，不安定葉層に沿う外微分 d はそれぞれのルエル＝ポリコット固有値の間の対応を与え，対応するものは表現 (7)において互いに打ち消しあう．そのため，半古典ゼータ関数 ζscpsq

の零点と極は不安定葉層に沿ったドラームコホモロジーの空間（の適切な完備化）上の転送作用素のルエ

*3 実際は gtk が滑らかではないので技術的な問題がある．下の定理 10についても同様．

8

48

ル＝ポリコット固有値として与えられる．特に定理 10における R0 に含まれる固有値は０次コホモロジー空間上の転送作用素のルエル＝ポリコット固有値になる．（[15]参照．）残念ながらゼータ関数 ζ0psqについては同様の議論は成立しない（ように見える）．

´χ0 0 Re

ImR1 R0

図 2 半古典ゼータ関数 Zscpsqの零点

最後に (5)で定義されたゼータ関数 ζ0psqについての話題を一つ触れておきたい．ゼータ関数 ζ0psqの定義において s “ 0とすると，一見すると周期軌道の周期に関する情報が必要なくなるように見える．もちろん（s ą 0なる極が存在するので）本来 s “ 0での値は解析接続の結果として与えられる．しかし，それでもゼータ関数 ζ0psqの s “ 0での値は位相的な量になるのではないかという期待がある．定理 8で少なくとも値が存在することはわかったこともあり，近年この方向で活発に研究が進められている．ゼータ関数 ζ0psqの定義を基本群の表現で捻った場合に，0での値が M のライデマイスタートーションで与えらえるというフリード（Fried）予想について，最近いくつか進展があった．（[3]を参照．）また，次の結果も最近得られたものである．

定理 10 ([4]). 負曲率閉曲面 N 上の測地流に対するゼータ関数 ζ0psqは s “ 0において極を持ち，位数は N のオイラー数になる．

参考文献[1] Viviane Baladi and Masato Tsujii, Anisotropic Holder and Sobolev spaces for hyperbolic diffeomor-

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9

49

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[15] Masato Tsujii, On cohomological theory of dynamical zeta functions, 2018.

[16] Maciej Zworski, Semiclassical analysis, Graduate Studies in Mathematics, vol. 138, American Mathe-

matical Society, Providence, RI, 2012. MR 2952218

10

50

Seiberg-Witten-Floer安定ホモトピー型

笹平裕史

九州大学大学院数理学研究院

1 導入

低次元トポロジーやシンプレクティック幾何学において重要な多くの不変量が Floer理論によって得られている. Floer理論を一言でいうと, 無限次元Morse理論である.幾何学的な状況から, 無限次元多様体 B上の汎関数 F : B → R (または R/Z) が定義され, 摂動するとMorse関数になっている.その汎関数F のMorseホモロジーが, Floerホモロジーである. つまり, 汎関数の臨界点から生成される (次数付き) 加群 C∗(F)と臨界点の間を流れる勾配曲線の個数を (符号付きで) 数えることで定義される境界作用素 ∂ : C∗(F)→ C∗−1(F)のホモロジーが Floerホモロジーである. ∂を定義するときや, ∂ ∂ = 0を証明するとき, 臨界点の間の勾配曲線のモジュライ空間に多様体の構造が入ること, モジュライ空間が良いコンパクト化を持つこと, モジュライ空間のコンパクト化の境界の構造が重要であった. 無限次元上の汎関数の勾配曲線のモジュライ空間の解析では, 様々な困難があり, それぞれの幾何学的状況によって, Floerホモロジーを定義できたり, できなかったりする. いくつか Floerホモロジーが定義されている例を挙げる.

Example 1. Floerホモロジーの最初の例は, Floer [11] による. (M,ω)を閉シンプレクティック多様体とし, Htを時間に依存する Hamiltonianとする. Bを可縮なループの空間 C∞

0 (S1,M) (の適当なSobolevノルムによる完備化のある被覆空間) とする. 無限次元多様体 B上に汎関数

F(z) =∫D2

z∗ω +

∫ 1

0Ht(z(t))dt

が定義される. ここで, z : D2 → M は z : S1 → M の拡張. F の臨界点が, Ht が定義するM のHamilton微分同相 ψの固定点に対応している. (M,ω)が単調という条件を満たすとき, F から定義される Floerホモロジーが定義され, Floerホモロジーの計算とMorse型不等式によって, ψの固定点に関するArnold予想の解決が得られる.より一般のシンプレクティック多様体への Floerホモロジーの拡張や, M の Lagrangian部分多様体

L1, L2に対する Floerホモロジーなどが Fukaya-Oh-Ohta-Ono [15] らによって研究され, Arnorld予想,ミラー対称性予想など様々な重要な応用がある.

Example 2. Y を向きのついた閉 3次元多様体とし, P を Y 上の主 SU(2)束とする. Y のRiemann計量 gを固定する. P 上の接続の空間Aを P のゲージ群 G の作用で割った空間を Bとする. Bは (特異点をもった) 無限次元多様体である. B上の Chern-Simons汎関数

CS : B → S1 = R/Z

が

CS([A]) =1

8π2

∫YTr

(1

2A ∧ dA+

1

3A ∧A ∧A

)mod Z

で定義される. CS の臨界点は P の平坦接続のゲージ同値類である. は Y × R上のインスタントンのゲージ同値類である.

Y がホモロジー３球面の場合, Floerホモロジーが定義できる [10], [5]. 応用として, 閉４次元多様体の Donaldson不変量を境界付き 4次元多様体へ拡張し, Donaldson不変量の計算に用いられている.Froyshov [12], Scaduto [44, 18, 45]らによって, 境界付き４次元多様体の交差形式への応用が研究されている. Kronheimer-Mrowka [24, 25, 26, 27]は結び目のインスタントン Floer理論を用いて, 結び目の

51

不変量を定義, 応用している. 低次元トポロジーで重要な対象であるホモロジー３球面のホモロジー同境群への応用が Fintushel-Stern [7, 8], Furuta [16], Daemi [4], Taniguchi [43, 41]らによって行われている.

Example 3. Y を向きのついた閉 3次元多様体とする. Sを Y 上のスピノール束とする. Sの spin-c接続と切断の組 (A,ϕ)の配位空間 B上に Chern-Simons-Dirac汎関数が定義される. (下の (1)を見よ.) CSDの臨界点は Y 上の Seiberg-Witten方程式の解の同値類, CSDの勾配曲線は Y × Rの Seiberg-Witten方程式の解のゲージ同値類になっている. Kronheimer-Mrowka [23] は任意の３次元閉 spin-c多様体 Y にたいして, Seiberg-Witten-Floerホモロジー (またはMonopole Floerホモロジーと呼ばれる) を定義した. 閉 4次元多様体の Seiberg-Witten不変量を境界付き４次元多様体への拡張, 境界付き４次元多様体の交差形式への応用 [13], 結び目理論の予想の解決 [29]などの応用がある.

その他, ３次元多様体の Heegard Floerホモロジー [40], Embedding contact ホモロジー [22] などの Floerホモロジーがある. また, 結び目の不変量である Khovanovホモロジー [21] はもともと Floerホモロジーとして定義されていなかったが, Floerホモロジー的な定義がWitten [47] によって提唱されている. いろいろな Floerホモロジーの間の関係も研究されている. シンプレクティック幾何学の Floerホモロジーとインスタントン Floerホモロジーの間のAtiyah-Floer予想, Seiberg-Witten-Floerホモロジーと Heegard Floerホモロジーと Embedding contact ホモロジーの同型, 結び目に対するインスタントン FloerホモロジーとKhovanovホモロジーはスペクトラル系列で結ばれていること, などの研究がある.

Floerホモロジーを精密化する不変量として, Cohen, Jones, Segal [2] は Floer (安定) ホモトピー型を提唱した. 無限次元上の汎関数 F : B → Rの臨界点, 勾配曲線を用いて定義される位相空間 Xで, その (特異) ホモロジーH∗(X)が Floerホモロジーと同型になるものを定義できれば, Xの (安定) ホモトピー型が, Floerホモロジーを精密化する不変量となる. Cohen, Jones, Segal は Floerホモトピー型の構成法のアイディアを述べた. これは, 有限次元多様体 B 上のMorse関数を用いて, Bに CW複体の構造を入れる方法に近いものである . Cohen, Jones, Segalの方法を実際に実行するには様々な困難がある.

Manolescu [34]は Seiberg-Witten-Floer理論において, 有理ホモロジー３球面 Y に対して, Floer安定ホモトピー型を定義することに成功した. その方法は, Seiberg-Witten方程式の有限次元近似とConleyの理論を組み合わせるというものである. また, Khovanovホモロジーを精密化する Khovanovホモトピー型が Lipshitz, Sarkar [33]によって定義されている.本稿では, ３次元多様体 Y に対する Seiberg-Witten-Floer安定ホモトピー型を概説する. b1(Y ) = 0

の場合は Manolescuによる構成である. b1(Y ) > 0の場合は, J. Lin, T. Khandhawit, 筆者 [19] と現在進行中の T.Khandhawit, M. Stoffregen, 筆者による共同研究による２つのバージョンを説明する.

2 Chern-Simons-Dirac汎関数とSeiberg-Witten方程式

Y を向きのついた閉３次元多様体とする. Y の Riemann計量 gと spin-c構造 sを固定する. Sを Y 上の spinor束とする.

A = (A, ϕ)|A : S上の spin-c接続, ϕ ∈ Γ(S)

とおく. (より正確には, 適当な Sobolevノルムで完備化する.) G = C∞(M,U(1))をゲージ群とする.(Gも適当に完備化する. ) GはAに次で作用している:

u(A,ϕ) = (A− u−1du, uϕ).

G0を枠付きゲージ群とする:G0 = u ∈ G|u(y0) = 1.

52

ここで, y0は Y の固定された点で, G/G0 ∼= U(1)である.

H := A/G0

とおく. Hは無限次元多様体である. P (Y ) = H1(Y ;R)/H1(Y ;Z)を Y の Picardトーラスとする. Hは P (Y )上のHilbert束の構造をもつ. ファイバーは im(d∗ : Ω2(Y )→ Ω1(Y ))⊕ Γ(S). Hへの U(1)作用が, Γ(S)に複素数としてのスカラー倍により定義される. H上に Chern-Simons-Dirac汎関数

CSD : H → R (or R/Z)

が

CSD(A,ϕ) =1

2

(−∫Ya ∧ da+

∫Y⟨ϕ,DAϕ⟩ d vol

)(1)

で定義される. ここで, spin-c接続 A0を固定し, A = A0 + aにより a ∈√−1Ω1(Y )を定める. また,

DAはAに付随する spin-c Dirac作用素である. CSDの臨界点 [A,ϕ] ∈ Bは Y 上の Seiberg-Witten方程式の解のゲージ同値類に対応する. Y 上の Seiberg-Witten方程式は

DAϕ = 0∗FA + q(ϕ) = 0.

FA ∈√−1Ω2(Y )はAの曲率, ∗ : Ω2(Y )→ Ω1(Y )はHodge ∗-作用素, q(ϕ)は ϕに関する 2次形式であ

る. CSDの L2内積に関する勾配曲線 γ : R→ Bは Y ×R上の Seiberg-Witten方程式の解のゲージ同値類である. Y × R上の Seiberg-Witten方程式は ∂ϕ

∂t (t) = DA(t)ϕ(t)∂A∂t (t) = ∗FA(t) + q(ϕ(t))

(2)

とかける. (形式的に) CSDがH上に U(1)同変な力学系H× R→ Hを定義している.a, b ∈ Rと方程式 (2) を満たす γ : [a, b]→ Hに対して, エネルギーE(γ) ∈ R≥0を

E(γ) = CSD(γ(a))− CSD(γ(b))

により定義する. a = −∞や b = ∞のときにも, エネルギーを同様に定義する. ただし, E(γ) = ∞となる場合もある.

Seiberg-Witten方程式は次の良いコンパクト性をもつ:

Proposition 4. R0 > 0が存在して, 有限エネルギー勾配曲線 γ : R→ Bに対して,

∥γ(t)∥ ≤ R0 (∀t ∈ R).

ここで, ∥ · ∥はHilbert束H → P (Y )のファイバー方向のノルムである.

3 Conley理論

Seiberg-Witten-Floer安定ホモトピー型は, Seiberg-Witten方程式が定める力学系の有限次元近似に,Conleyの理論を適用して得られる. ここで, Conleyの理論を簡単に説明する. Bを有限次元多様体 (あるいは局所コンパクトな距離空間) とし, 力学系

φ : B × R→ B

が与えられたとする. 部分集合A ⊂ Bに対して

inv(A) = p ∈ A | φ(p,R) ⊂ A

53

とかく. Aがコンパクトで,inv(A) ⊂ A

を満たすとき, Aを isolating neighborhood とよび, S = inv(A)のことを isolated invariant setとよぶ.ここで, AはAの内部である.

Theorem 5 ([3, 42]). Sが isolated invariant setのとき, 次の条件を満たす Sのコンパクト近傍N とN のコンパクト部分集合 Lが存在して, 次の条件を満たす:

(1) S = inv(N − L).

(2) LはN の出口集合である. つまり, p ∈ N , t > 0に対して, φ(p, t) ∈ N ならば, ある t′ ∈ [0, t]が存在して, φ(p, t′) ∈ Lとなる.

(3) LはN の中で positively invariantである. つまり, p ∈ L, t > 0に対して φ(p, [0, t]) ⊂ N であるならば, φ(p, [0, t]) ⊂ Lである.

上の定理の (N,L)を Conley index pair, N/Lのホモトピー型のことを Conley indexとよび, I(S)とかく. 定理の中の条件 (1) ∼ (3)の条件を満たすコンパクト集合の対 (N,L)は一意的でないが, そのホモトピー型 I(S)は (up to canonical homotopy equivalences で) (N,L)のとり方に依存せず, isolatedinvariant set S にのみ依存する. より正確には, Conley index I(S)は位相空間のホモトピー型というより, connected simple systemというものとして定義される. ここでは, 簡単のため, I(S)は単に位相空間のホモトピー型として考える. より詳しくは [42]を参照.力学系の族 φtt∈[0,1] があるとする. φt は t に関して連続とする. コンパクト集合 A が全ての

t ∈ [0, 1]に対して, φtに関する isolating neighborhood であるならば, I(S0, φ0)と I(S1, φ1)の間に自然なホモトピー同値がある. ここで, S0 = inv(A,φ0), S1 = inv(A,φ1)である.コンパクトリー群の作用G Bがあり, φがこの作用に関して同変になっている場合, I(S)をG-

同変ホモトピー型として定義される [9].

Example 6. φ : B × R → B は B 上のMorse関数 f の勾配流であるとする. cを f のMorse指数 nの臨界点とする. S = cとすると Sは isolated invariant setで, I(S) = Snとなる. Conley index はMorse indexの精密化と考えることができる.

4 Seiberg-Witten-Floer安定ホモトピー型 : b1(Y ) = 0の場合

4.1 SWF安定ホモトピー型の定義

Y を向きのついた閉 3次元多様体, gを Y 上のRiemann計量, sを Y 上の spin-c構造とする. b1(Y ) = 0と仮定する. Manolescu [34] による Seiberg-Witten-Floer安定ホモトピー型の構成を説明する.

b1(Y ) = 0のとき,H ∼= im(d∗ : Ω2(Y )→ Ω1(Y ))⊕ Γ(S)

となる. Hは (適当な Sobolevノルムの完備化で) 実Hilbert空間 im d∗と複素Hilbert空間 Γ(S)の直和となっている. U(1)作用が Γ(S)に複素数のスカラー倍によって作用している.

(形式的には) Chern-Simon-Dirac汎関数CSDの勾配流によって, H上のU(1)同変な力学系が定義されている. Conleyの理論は無限次元には直接適用できないので, この力学系を有限次元近似してから,Conleyの理論を適用する. 有限次元近似は以下のように行う.

γ = (a, ϕ) : R→ H

が CSDの勾配曲線であるのは, 方程式 (2)の解であることであった. 方程式 (2)は次のようにかける.

dγ

dt= l(γ) + c(γ).

54

ここで,l : H → H

はl(a, ϕ) = (∗da,DA0ϕ)

で定義される. A0は固定された spin-c接続. また,

c : H → H

はc(a, ϕ) = (q(ϕ), ρ(a)ϕ).

ρ(a)は Clifford積である. lは非有界な自己共役な線形作用で, cはコンパクト写像となっている.λ, µ ∈ R, λ < µとする. Hµλ を lの (λ, µ]に固有値を持つ固有ベクトルで張られる部分空間とする.

Hµλ は有限次元である. CSDは U(1)同変な力学系

φµλ : Hµλ × R→ Hµλを誘導する.

Proposition 7. R0 > 0を Proposition 4の定数とする. R > R0, −λ, µ≫ 0のとき, 半径Rの円盤

B(Hµλ, R)

は φµλに関する isolating neighborhoodである.

この命題により, U(1)同変 Conley index I(Sµλ )を得る. Sµλ = inv(B(Hµλ, R))である. I(Sµλ )は λ, µのとり方に依存するが, これをある安定ホモトピー圏 Cの中で適当に (de)suspension をとって, λ, µや Riemann計量 gに依存しない (Y, s)の不変量とすることができる. これを SWF (Y, s) ∈ Cとかき,Seiberg-Witten-Floer安定ホモトピー型とよぶ.

4.2 応用

Seiberg-Witten-Floer安定ホモトピー型の応用をいくつか簡単に紹介する. 引き続き, Y を向きのついた閉３次元多様体で, b1(Y ) = 0とする.

(1) X1を向きのついたコンパクト 4次元多様体で, ∂X1 = Y とする. X1の Seiberg-Witten不変量の精密化である, 安定ホモトピー Seiberg-Witten不変量を SWF (Y, s)を用いて定義することができる.(閉４次元多様体の場合は, Bauer-Furuta [1]による. )

閉４次元多様体 X が分解 X = X1 ∪Y X2 をもつとする. このとき, X1, X2 の安定ホモトピーSeiberg-Witten不変量からX の安定ホモトピー Seiberg-Witten不変量を計算する張り合わせ公式が与えられる [35].

(2) Y を境界とするコンパクト, スピン４次元多様体の交差形式への応用がある [36], [32]. 閉スピン４次元多様体に対する “10/8-不等式” [17] の境界付きの場合への拡張である.

(3) Y の spin-c構造 sがスピン構造から誘導されているとき, Seiberg-Witten方程式が Pin(2)同変になる. ここで, Pin(2) = U(1)

⨿jU(1) ⊂ H. それにともない, SWF (Y, s)も Pin(2)-同変になる.

Pin(2)同変 Seiberg-Witten-Floer安定ホモトピー型を用いて, Manolescu [37] は Froyshovが定義した不変量のPin(2)同変版α(Y ), β(Y ), γ(Y )を定義した. これは整数値の不変量で, Z2に値を持つRokhlin不変量の整数値への持ち上げになっている. Manolescuは β(Y )の性質を用いて, Rokhlin不変量に関するある問題を解いた. Galewski-Stern [18], Matumoto [38] の結果と組み合わせることにより, ５以上の各次元に三角形分割できない位相多様体が存在することが示された. また, [31]も参照.

(4) α(Y ), β(Y ), γ(Y )のホモロジー３球面のホモロジー同境群への応用がある [30], [46].

55

5 Seiberg-Witten-Floer安定ホモトピー型 : b1(Y ) > 0の場合

b1(Y ) > 0と仮定する. P (Y )を Y の Picard torusとする:

P (Y ) = H1(Y ;R)/H1(Y ;Z).

Hは Y の Picard torus P (Y )上のHilbert束になっている:

H = H1(Y ;R)×H1(Y ;Z) (im d∗ ⊕ Γ(S)).

ここで, H1(Y ;Z)のH1(Y ;R) × (im d∗ ⊕ Γ(S))への作用は以下のようである. まず, H1(Y ;Z)は調和ゲージ変換の空間と自然に同一視できる. ここで, 調和ゲージ変換とは, 滑らかな写像 u : Y → U(1)であって, d∗d log u = 0をみたすものである. h ∈ H1(Y ;Z)に対応する調和ゲージ変換を uh と表す.h ∈ H1(Y ;Z), h′ ∈ H1(Y ;R), a ∈ im d∗, ϕ ∈ Γ(S)に対して,

h · (h′, a, ϕ) = (h+ h′, a, uhϕ).

汎関数CSDが (形式的には) Hilbert束H上に力学系を定めている. b1(Y ) = 0のときと同様に, 力学系を有限次元近似して, Conleyの理論を適用したい. そこで, Hの適当な有限次元部分束 F をとり, CSDを F に制限し, その勾配流が定義する力学系

φF : F × R→ F

を考える. R≫ 0をとり, F の円盤束B(F,R)が isolating neighborhoodであることを示せばConleyの理論が適用できる. しかし, F を注意深く選ばないと, 有限エネルギー勾配曲線のモジュライ空間のコンパクト性が失われ, B(F,R)が isolating neighborhoodであることを示すことができない. F をどのように取ればよいかは技術的に難しい. それは現在, T. Khandhawit氏, M. Stoffregen氏と共同で研究しているところである. (下の Section 5.2を参照. )もう一つ, 別の方法として, Hの普遍被覆 Hを考えることである. 普遍被覆は単一のHilbert空間に

なっている:H = H1(Y ;R)⊕ im d∗ ⊕ Γ(S). (3)

CSDは自然に H上に力学系を定義する. その力学系はU(1)×H1(Y ;Z)同変になっている. b1(Y ) = 0の場合と同様に作用素 l = (∗d,DA0)の固有分解を用いて, 自然に Hの有限次元近似を得る. ただし, モジュライ空間のコンパクト性がH1(Y ;Z)作用の分, 悪くなっているので, これについて適切な処置を行う必要がある. これは T. Khandhawit氏と J. Lin氏との共同研究で行った. (Section 5.1を参照. )

5.1 Seiberg-Witten-Floer安定ホモトピー型 : Unfolded version

ここでは, T. Khandhawit氏, J. Lin氏との共同研究 [19, 20]でおこなった, Seiberg-Witten-Floer安定ホモトピー型について説明する.Hを Hの普遍被覆空間 (3)とする. 汎関数CSDは H上にU(1)×H1(Y ;Z)同変な力学系を定める.

H1(Y ;Z)作用により, 通常の場合より, モジュライ空間のコンパクト性が悪くなっている. H1(Y ;Z)の生成元 h1, . . . , hbを固定する. b = b1(Y )である. CSD, −CSDを少し摂動することにより, 関数

f+, f− : H → R

を定義し,

f±(hj · x) = f±(x) + 1 (x ∈ H),⟨grad f+(x), gradCSD(x)⟩ > 0 (x ∈ H \ Σ(CSD)),

⟨grad f−(x), gradCSD(x)⟩ < 0 (x ∈ H \ Σ(CSD))

56

とすることができる. ここで, Σ(CSD)はCSDの臨界点の集合, grad f±, gradCSDは (L2内積に関する) 勾配ベクトル場. また, すこし摂動することにより, m ∈ Zに対して,

f−1± (m) ∩ Σ(CSD) = ∅

としてよい. R > 0に対して,

Str(R) := x ∈ H|∃h ∈ H1(Y ;Z), ∥h · x∥ ≤ R

とおく. λ, µ ∈ R, λ < µにたいして, 区間 (λ, µ]に固有値を持つ l = (∗d,DA0)の固有ベクトルで張られる Hの部分空間を Hµλ とする.

Proposition 8. R0を Proposition 4の定数とする. R > R0とする. 各m ∈ Z≥0に対して, −λ, µ≫ 0のとき,

Str(R) ∩ Hµλ ∩ f−1+ ((−∞, ,m]), Str(R) ∩ Hµλ ∩ f

−1− ((−∞,m])

は, isolating neighborhoodである.

ここで, −λ, µ≫ 0に対して,

Sµλ (m,+) := inv(Str(R) ∩ Hµλ ∩ f−1+ ((−∞,m])),

Sµλ (m,−) := inv(Str(R) ∩ Hµλ ∩ f−1− ((−∞,m]))

とおく. b1(Y ) = 0のときと同様に, Conley index I(Sµλ (m,±))の適当な (de)suspension を安定ホモトピー圏 Cにおいて取ることにより, Riemann計量 gや λ, µに依存しない I(m,±) ∈ ob(C)を得る. さらに, Conley理論における attractor map, repair mapというものがあり, それらが Cにおける射

I(m,+)→ I(m+ 1,+), I(m,−)← I(m+ 1,−)

を誘導する. indC, proCを圏 Cにおける inductive systemの圏, projective systemの圏とすると,

SWFA(Y, s) := (I(1,+)→ I(2,+)→ · · · ) ∈ ob(indC),

SWFR(Y, s) := (I(1,−)← I(2,−)← · · · ) ∈ ob(proC)

が定まる.

Proposition 9. SWFA(Y, s), SWFR(Y, s)は (indC, proCにおける同型を除いて), Riemann計量 gや関数 f±の選び方に依存しない (Y, s)の不変量である.

Remark 10. indC や proC の対象に対して, U(1) 同変ホモロジーを自然に定義することができる.

HU(1)∗ (SWFA(Y, s)), H

U(1)∗ (SWFR(Y, s)) はKronheimer-Mrowkaの Floerホモロジー [23]ではなく,

適切な局所系で捻ったものに対応する.

応用として, Section 4.2 の (1), (2) を一般の３次元多様体へ拡張することができる. ただし, (1)の張り合わせ公式においては, ある技術的仮定を置く必要がある. これは, SWFA(Y, s), SWFR(Y, s)の構成がHでなく H上で行われたことによる.

5.2 Folded Seiberg-Witten-Floer安定ホモトピー型 : Folded version

T. Khandhawit氏, M. Stoffregen氏との共同研究で行っている, もう一つの Seiberg-Witten-Floer安定ホモトピー型について説明する.

57

5.2.1 Seiberg-Witten方程式の有限次元近似

前節の構成は, Hの被覆空間上で Seiberg-Witten-Floer安定ホモトピー型を構成した. 対応するホモロジーはKroheimer-Mrowkaの Floerホモロジーでなく, 適当な局所系で捻った Floerホモロジーである.また, 構成を H上で行ったことが原因で, 安定ホモトピー Seiberg-Witten不変量の貼り合わせ公式の際に, 技術的仮定が必要になる. そこで, やはりHそのものの上で, Seiberg-Witten-Floer安定ホモトピー型を構成したい. Hは Y の Picard トーラス P (Y )上のHilbert束である :

H = H1(Y ;R)×H1(Y ;Z) (im d∗ ⊕ Γ(S)) = HR ⊕HC.

ここで,HR = P (Y )× im d∗, HC = H1(Y ;R)×H1(Y ;Z) Γ(S).

HRは自明束, HCは表現π1(P (Y )) = H1(Y ;Z) → Aut(Γ(S))

h → uh

に付随する平坦ベクトル束である. uhは hに対応する調和ゲージ変換である. したがって, Hは自然な平坦接続∇をもつ. ∇により, 接束の直和分解

TH = p∗TP (Y )⊕ p∗H

が与えられる. ここで, p : H → P (Y )は射影である. これに応じて, H上のベクトル場 gradCSDの分解

gradCSD = XH +XV

が与えられる. gradCSDの勾配曲線の方程式 (Y × R上の Seiberg-Witten方程式) は

γ : R→ Hdγ

dt(t) = XH(γ(t)) +XV (γ(t))

(4)

とかける.F をHの有限次元部分束とする. πF : H → F を (L2 に関する) 射影とする.

∇F := πF∇

により, F の接続が定まる. ∇F により, TF の直和分解

TF = HF ⊕ p∗FF

が定まる. HF は ∇F で定まる水平方向, pF : F → P (Y )は射影である. x ∈ F とする. 簡単な計算により, 水平方向HF の x ∈ F におけるファイバーは次で与えられることがわかる:

HFx = v + (∇vπF ) · x|v ∈ TbP (Y ) ⊂ p∗TP (Y )x ⊕ (p∗H)x = THx.

ここで, b = pF (x) ∈ P (Y ).(4)の有限次元近似として, 次を考える.

γ : R→ F,

dγ

dt(t) = XH(γ(t)) + (∇XH(γ(t))πF ) · γ(t) + πFXV (γ(t)).

(5)

58

この方程式により力学系φF : F × R→ F

が定まる. b1(Y ) = 0の場合と同様に Conleyの理論を適用するには, R≫ 0に対して, F が十分大きいHの部分束のとき, 半径Rの円盤束B(F,R)が isolating neighborhoodになっていることを示せばよい.しかし, F をうまく取らないと, (5)の右辺の第２項 (∇XH(γ(t))πF ) · xをうまく制御できず, B(F,R)がisolating neighborhoodになることが示せない. ∇XH

πF にたいするある一様な評価が必要になる. 適切な有限次元部分束 F を定義するために, 良い性質をもつ spectral sectionというものを用いる.

5.2.2 Spectral section

A0を Y 上の spin-c接続とする. H1(Y )は Y 上の調和 1形式の空間とする. H1(Y )でパラメータ付けられたDirac作用素の族

DA0+ih : L2k(S)→ L2

k−1(S)

は P (Y )上の Hilbert束H上の各ファイバーごとに (非有界な) 線形な自己共役作用素

D : H → H

を誘導する. b ∈ P (Y ), λ, µ ∈ R, λ < µに対して

(Hb)µλ

をDb : Hb → Hbの (λ, µ]に固有値を持つ固有ベクトルで張られる部分空間とする.

Definition 11 ([39]). P をHの部分束とする. ある λ, µ ∈ R, λ < µ が存在して, 全ての b ∈ Bに対して

(Hb)λ−∞ ⊂ Pb ⊂ (Hb)µ−∞

となるとき, P を spectral sectionとよぶ.

Proposition 12 ([39]). Spectral sectionが存在するための必要十分条件は indD = 0 ∈ K1(P (Y )).

Remark 13. Definition 11 や Proposition 12はもっと一般的な作用素の族に対して成り立つ.

B(F,R)が isolating neighborhoodになるようなF を得るための条件を述べる. Dの spectral sectionの列 Pnn=1,2,...に対する次の条件を考える:

(i)∃δ > 0,∀b ∈ P (Y ),∃λn(b) ∈ R, λn(b)→∞, (Hb)λn(b)−∞ ⊂ (Pn)b ⊂ (Hb)

λn(b)+δ−∞ ,

(ii)∃s ∈ R, s < k,∃C > 0,∀v ∈ TB, ∥v∥ = 1, ∥∇vπPn : L2k(S)→ L2

k−s(S)∥ < C.(6)

Proposition 14. R0 を Proposition 4の定数とする. R > R0 とする. Pnn=1,2,... を D の spectralsectionの列で (6)を満たすとする. また, Qnn=1,2,...を−Dの spectral sectionの列で (6)を満たすとする. Fn = Pn ∩Qnとおく. (FnはHの有限次元部分束である.) このとき, n≫ 0に対して, B(Fn, R)は isolating neighborhoodである.

(6) を満たす spectral sectionの列が存在するかどうかは非自明である. 現在, (6)を満たす列の構成が完成しつつある.

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[38] T. Matumoto, Triangulation of manifolds, Algebraic and geometric topology (Proc. Sympos.Pure Math., Stanford Univ., Stanford, Calif., 1976), Proc. Sympos. Pure Math., XXXII, Amer.Math. Soc., Providence, R.I., 1978, pp. 3–6.

[39] R. B. Melrose, P. Piazza, An index theorem for families of Dirac operators on odd-dimensionalmanifolds with boundary, J. Differential Geom. 46 (1997), 287–334.

[40] O. Ozsvath, Z. Szabo, Holomorphic disks and topological invariants for closed three-manifolds,Ann. of Math. (2) 159 (2004), 1027–1158.

[41] Y. Nozaki, K. Sato, M. Taniguchi, Filtered instanton Floer homology and the homology cobor-dism group, arXiv:1905.04001

[42] D. Salamon, Connected simple systems and the Conley index of isolated invariant sets. Trans.Amer. Math. Soc. 291 (1985), 1–41.

[43] K. Sato, M. Taniguchi, Rational homology 3-spheres and simply connected definite bounding,arXiv:1808.09135

[44] C. Scaduto, On definite lattices bounded by a homology 3-sphere and Yang-Mills instanton Floertheory, arXiv:1805.07875

[45] C. Scaduto, Niemeier lattices, smooth 4-manifolds and instantons, arXiv:1808.10321.

[46] M. Stoffregen, Manolescu invariants of connected sums, Proc. Lond. Math. Soc. (3) 115 (2017),1072–1117.

[47] E. Witten, Fivebranes and knots. Quantum Topol. 3 (2012), 1–137.

62

境界にファイバー束構造を持つ多様体上の指数理論とその応用

山下真由子

1 序

Atiyah-Singer の指数定理は, 閉多様体上の楕円型作用素の Fredholm 指数 (解析的指数) を特性類の積分

(位相的指数)で表す定理である. この講演では, 以下の対象に対して, 指数理論を展開することを考える.

定義 1.1 (境界にファイバー束構造を持つ有向コンパクト多様体). 境界にファイバー束構造を持つ有向コンパ

クト多様体とは, 組 (M,π : ∂M → Y )であって, 以下の条件を満たすものである.

• M は境界付き有向コンパクト多様体.

• π : ∂M → Y はファイバー束構造. ここで, ∂M と Y はともに有向閉多様体である.

境界にファイバー束構造を持つ多様体上の擬微分解析は, Mazzeo, Melrose による Φ-calculus と edge-

calculusの導入に端を発し, 楕円型作用素の Fredholm理論やスペクトル理論など解析的な側面に関しては多

くの研究の蓄積がある. 一方, 位相的な側面からの研究は, あまりなされてきていなかったように思われる.

この講演では, 境界にファイバー束構造を持つ多様体上の指数理論, 特に符号数作用素の指数理論に対して

位相的アプローチを与える講演者の研究 [Yam19]について紹介する. また, 特異性を持つファイバー束上の符

号数の局所化の問題について解説する.

2 指数の定義

2.1 復習：閉多様体上の符号数

この節では, 4k 次元有向閉多様体の位相不変量である符号数について復習する. M を 4k 次元有向閉多様体

とすると, H2k(M ;R)上にカップ積によって交叉形式と呼ばれる対称 2次形式が定まる. この符号数を, M の

符号数と呼び, Sign(M)と書く. この不変量は以下のように, 指数理論と関係している.

定義 2.1 (符号数作用素). M を偶数次元有向閉多様体とする. M 上にリーマン計量を固定する. M 上のベク

トル束 ∧CT∗M を Hodge starにより Z2-次数付きベクトル束と見たうえで, 微分作用素

DM := d+ d∗ : C∞(M ;∧CT∗M)→ C∞(M ;∧CT

∗M)

を考えると, これは Hodge starによる Z2 次数付けに関して oddな楕円型微分作用素である. この DM を符

号数作用素と呼ぶ. Hodge理論より, この作用素の Fredholm指数は Sign(M) = Ind(DM )をみたす.

63

2.2 境界にファイバー束構造がある多様体の場合

境界にファイバー束構造を持つ多様体 (M,π : ∂M → Y )に対して, π のファイバー方向の符号数作用素は

Y でパラメータ付けられた楕円型自己共役作用素の族 Dπ = Dπ−1(y)y∈Y をなす. π のファイバーの次元 f

が偶数の場合, これは Hodge starによる Z2 次数付けに関して oddな作用素の族である. この族は族の指数

Ind(Dπ) ∈ K∗(Y )を定めるが（ここで f が偶数のとき ∗ = 0, 奇数のとき ∗ = 1とする）, これが自明である

とき, その自明化を「境界条件」とする符号数を定めたい. 族の指数の自明化にあたる概念が, 以下で定義する

作用素の可逆化である.

定義 2.2 (作用素の可逆化). Y をコンパクト空間とし, Y をパラメータ空間とする（Z2 次数付けに関して

oddな）自己共役 1階楕円型作用素の族 Dπ が与えられているとする. このとき, Ind(Dπ) = 0 ∈ K∗(Y )で

あることと, あるファイバー方向の（Z2 次数付けに関して oddな）自己共役 0階楕円型作用素の族 Aπ が存

在し, Dπ := Dπ +Aπ が可逆であるようにできることは, 同値である.

この状況で, Dπ を Dπ の可逆化と呼ぶ. Dπ の可逆化の間には, 明らかなホモトピー同値関係を入れること

ができる. そのホモトピー類の集合には自然にK∗−1(Y )上のアフィン空間の構造が入る.

一般に, ベクトル束 E で捻った符号数作用素の指数も考えたい. [Yam19]において以下の整数を定義した.

定義 2.3 (SignΦ(M,E, [DEπ ])). 以下のものが与えられているとする.

• (M,π : ∂M → Y )は境界にファイバー束構造を持つ有向コンパクト多様体.

• E → M は複素ベクトル束であり, π のファイバー方向の E で捻った符号数作用素の族 DEπ は

Ind(DEπ ) = 0 ∈ K∗(Y )をみたす.

• DEπ の可逆化のホモトピー類 [DE

π ].

このとき,SignΦ(M,E, [DE

π ]) ∈ Z.

が定まる. これは, ファイバー方向の作用素の可逆化 DEπ を用いて M 上の作用素を境界の近傍で摂動させて

Fredholm作用素を作り, その指数として定義される. 具体的な構成方法は [Yam19, Section 4.3]参照.

この指数は以下の性質を満たす.

命題 2.4. 1.（貼り合わせ公式）i = 0, 1に対してデータ (Mi, πi : ∂Mi → Yi, Ei, [DEπi])が与えられ, それ

ぞれの境界のいくつかの成分の間にデータの同型があるとする. 貼り合わせてデータ (M,π : ∂M →Y,E, [DE

π ])が構成できるが, このとき以下が成立する.

SignΦ(M0, E0, [DEπ0]) + SignΦ(M1, E1, [D

Eπ1]) = SignΦ(M,E, [DE

π ]).

2.（消滅条件）データ (M,π : ∂M → Y,E, [DEπ ])が以下の条件をみたすとする.

• ある Y を境界とする有向コンパクト多様体 (X, ∂X = Y ) と境界を保つファイバー束構造

π′; (M,∂M)→ (X, ∂X)が存在し, π′|∂M = π をみたす.

• π′ に関するファイバー方向の作用素の族 DEπ′ は Ind(DE

π′) = 0 ∈ K∗(X)をみたし, DEπ′ の可逆化

[DEπ′ ]であって [DE

π′ ]|∂M = [DEπ ]をみたすものが存在する.

このとき SignΦ(M,E, [DEπ ]) = 0である.

64

3.（閉多様体の符号数との整合性）M が閉多様体であるとき, SignΦ(M,E) = Sign(M,E) が成立する.

ここで右辺は通常の E で捻った符号数作用素の指数である.

2.3 例：Witt空間の符号数

境界にファイバー束構造をもつ多様体 (M,π : ∂M → Y ) があると, edge 特異性をもつ擬多様体 M :=

M/π (= M ⊔ Y )が得られる. ここで次の条件を考える.

定義 2.5. (M,π : ∂M → Y )がWitt条件をみたすとは, π のファイバーを Z, その次元を f とおくとき, f

が奇数であるか, または f が偶数であって Hf/2(Z;Q) = 0 が成立することである. このとき対応する M を

深さ 1のWitt空間とよぶ.

(M,π)がWitt条件をみたしているとき, Dπ には以下のように標準的な可逆化の選び方 DWittπ が存在する.

Hodge理論により kerDπ = H∗(π)であることに注意する (ここで H∗(π)はファイバー方向の調和形式のな

す Y 上のベクトル束). ベクトル束の自己同型 U : H∗(π)→ H∗(π)を, Hi(π)上で i > f/2のとき U = +Id,

i < f/2のとき U = −Idとすると, DWittπ := Dπ + U は Dπ の可逆化を与える.

一方で, M がWitt空間である場合, middle perversityによる交叉コホモロジー IH∗m(M)はポアンカレ双

対性をみたすことが知られている. これを用いて定義される符号数を Signm(M)と表す.

定理 2.6 (Y, 2019). (M,π : ∂M → Y )がWitt条件をみたすとし, M を対応するWitt空間とする. このと

き以下が成立する.SignΦ(M, [DWitt

π ]) = Signm(M).

3 応用：特異ファイバー束の符号数の局所化

滑らかな 4k 次元有向閉多様体M 上に特異なファイバー束構造 f : M → X が与えられているとき, M の

符号数 Sign(M)が特異ファイバーからの寄与の和として書ける, という現象が様々なクラスのファイバー束

で知られている. ここでは, 小節 2.2で定義された SignΦ(M,E, [DEπ ])を用いてこの問題にアプローチする方

法を説明する.

3.1 問題

まず, 考えるファイバー束のクラス sを固定する. この構造 sとは, 例えばファイバー束の構造群などで与え

られるものであり, ファイバー束の制限と disjoint unionで閉じているものとする.

定義 3.1 (特異な s-ファイバー束). 特異な s-ファイバー束とは組 (f : M → X,U, Vimi=1)であって以下を

満たすものである.

• f :M → X は閉多様体M , X の間の滑らかな写像.

• X = U ∪ ∪iVi は X の分割で, 各 U , Vi は境界付き多様体であり境界のみで共通部分を持つ.

• Vimi=1 は互いに交わらない.

• MU := f−1(U), Mi := f−1(Vi)とおく. f |MU:MU → U は s-ファイバー束構造である.

65

典型的には, 各Mi は特異集合の近傍, MU は特異ファイバー束の regular partである.

ここで Ss を境界に s-ファイバー束構造の入っているコンパクト有向多様体の同型類の集合とする. このと

き, 特異な s-ファイバー束 (f :M → X,U, Vimi=1)が与えられると, 各 iに対して (Mi, f |∂Mi) ∈ Ss となる.

問題 3.2 (特異な s-ファイバー束に対する符号数の局所化の問題). 写像 σ : Ss → R を構成して, 任意の特異

な s-ファイバー束 (f :M → X,U, Vimi=1)に対して, 以下の等式が成り立つようにできるか？

Sign(M) =m∑i=1

σ(Mi, f |∂Mi). (3.3)

この主張は, 任意のファイバー束構造 sに対して正しいわけではない.

例 3.4 (問題 3.2が成立しない sの例). g ≥ 3を正整数とし, sとして「ファイバーが種数 g の有向 2次元閉

多様体 Σg であるファイバー束」というものを考える. このとき問題 3.2は不成立である. 実際, 底空間の次元

が 2である非特異な Σg-ファイバー束 f : M → X であって, Sign(M) = 0であるものが存在する. この場合

U = X とすると (3.3)の右辺が 0となるので矛盾である.

例 3.5 (問題 3.2が成立することが知られている sの例). 符号数の局所化の現象は, 代数幾何, 位相幾何, 微分

幾何など様々な分野で見いだされアプローチが与えられてきた. ここではそのうちの一部の例を挙げる.

• 超楕円的ファイバー束. 正整数 gを固定する. 種数 gのリーマン面の族M → X が超楕円曲線束である

とは, P1 束 P → X とリーマン面の族の射M → P が与えられていて各ファイバーで分岐 2重被覆に

なっていることとする. 底空間の次元が 2の場合, 写像類群の適切な部分群の群コサイクルをコバウン

ドする関数を構成する方法で, [End00]によって具体的に局所符号数 σ が構成されている. この場合 σ

の値域は Z2g+1 である.

• 平面 4 次曲線束. 種数 3 のリーマン面の族M → X が平面 4 次曲線束であるとは, P2 束 P → X と

ファイバー束の射M → P が与えられていて各ファイバーで正則な埋め込みになっていることとする.

底空間の次元が 2の場合, [Kun08]によって, 同じく群コホモロジーの議論により局所符号数が構成さ

れている.

• S2 の有限分岐被覆の族. ファイバー束M → B が S2 の有限分岐被覆の族であるとは, S2-ファイバー

束 X → B とファイバー束の射M → B が与えられて, 各ファイバーで 3点以上を分岐点にもつ分岐

被覆になっており分岐点の集合が B の被覆になっているものとする. このとき, 底空間の次元に関わら

ず, 微分幾何的な方法で [Fur99]によって局所符号数が構成されている.

3.2 適用方法

まず, 構造 sは以下の条件をみたしている必要がある.

仮定 3.6. ある整数 N が存在し, 任意の（非特異な）s-ファイバー束 L → Y に対して, ファイバー方向の符

号数作用素は N · Ind(Dπ) = 0 ∈ K∗(Y )をみたす.

このとき, 定義 2.3を自明束 E = CN に適用することを考える. 以下で D⊕N は作用素 D を N 個直和した

作用素を表す. このとき以下の手続きによって, 局所符号数を定義することができる.

1. 底空間がコンパクトである任意の s-ファイバー束 π : L → Y に対して D⊕Nπ の可逆化 Qπ の取り方を

66

与える. ただしこれは, ファイバー束の制限に関して整合性のあるものである必要がある.

2. (M,π : ∂M → Y ) ∈ Ss に対して,

σ(M,π : ∂M → Y ) :=1

NSignΦ(M,CN , Qπ) ∈

ZN.

と定める.

この σ が問題 3.2の条件をみたすことは, 命題 2.4から以下のように確かめられる.

Sign(M) =1

NSign(M,CN )

=1

NSignΦ(MU ,CN , Qf |∂MU

) +1

N

m∑i=1

SignΦ(Mi,CN , Qf |∂Mi) （整合性と貼り合わせより）

=m∑i=1

σ(Mi, f |∂Mi) （消滅条件より）.

例 3.7 (超楕円的ファイバー束). 正整数 g, n を固定する. 構造 s として, 「底空間の次元が n 以下の種数 g

の超楕円的ファイバー束」, というものを考えると, 仮定 3.6をみたすことが示せる. 今回簡単のため, 自明束

CN で捻ることしか考えなかったが, 境界にのみ平坦束が定まっている場合にも定義を拡張でき, それを用い

ると, 底空間の次元に制限を付けずに, Z(2g+2)(2g+1)2g に値域を持つ局所符号数が構成できることがわかった.

参考文献

[End00] H. Endo, Meyer’s signature cocycle and hyperelliptic fibrations. Math. Ann. 316 (2000), no. 2,

237–257.

[Fur99] M. Furuta, Surface bundles and local signatures. Topological Studies around Riemann Surfaces

(1999), pp.47–53 (Japanese).

[Kun08] Y. Kuno, The mapping class group and the Meyer function for plane curves. Math. Ann. 342

(2008), no. 4, 923–949.

[Yam19] M. Yamashita. A topological approach to indices of geometric operators on manifolds with fibered

boundaries. preprint. https://arxiv.org/abs/1902.03767

67

INTEGRAL BAKLY-EMERY RICCI TENSOR ANDBOUNDED DIAMETER

中畑　佑一朗 (東北大学)∗

1. 序リーマン幾何学の研究において多様体の種々の曲率と多様体の幾何学的な構造との関係の研究は古典的な問題として様々な観点から多くの研究がなされており、例えばリーマン多様体のリッチ曲率が下からある正の定数で抑えられた条件の下でのMyersの定理はその代表的なものである。C. Sprousはリーマン多様体上のリッチ曲率が“L1の意味で殆ど下から正の定数で抑えられている”条件の下でMyers型の定理を証明した [3]。本講演では重み付きリーマン多様体上のBakry-Emeryリッチ曲率と呼ばれる一般化されたリッチ曲率を考え、この場合にSprouseの定理の拡張が得られることを紹介する。以下 (Mn, g, νf ) を完備な重み付きリーマン多様体とする。ここでMnは完備なn次元リーマン多様体、gはリーマン計量、 fはMn上の滑らかな実数値関数, νfは重み付きリーマン測度で、gから定まるリーマン測度 volgに関する νfのラドン・ニコディム微分は e−fであるとする。

2. 主定理主定理を述べるためにBakry-Emeryリッチテンソルを導入する。対称テンソルN -Bakry-

Emeryリッチテンソル、∞-Bakry-Emeryリッチテンソルをそれぞれ次の式で定義する。

RicNf = Ricg +Hess f − df ⊗ dfN − n

Ricf = Ricg +Hess f

ここでRicgはgから定まるM上のリッチテンソルである。f ≡ C（Cは定数）の場合、これらは共にRicgに一致する。RicNf,−, Ricf,−をそれぞれRicNf , Ricf の第一固有値とし、M上の任意の関数hに対してh+ = maxh(x), 0と定める。

定理 2.1 (Mn, g, νf )を完備なn次元重み付きリーマン多様体とし、２つの実数N(> n),

Hに対してRicNf ≥ (N − 1)Hを満たす。この時、任意の二つの正の実数R > 0, δ > 0

に対してある正の実数 ε = ε(N,H,R, δ) > 0が存在して、(M, g, νf )が

supp

1

νf (B(p,R))

∫B(p,R)

((N − 1)− RicNf,−)+dνf < ε (2.1)

を満たすならば、diam(M) < π + δが成り立つ。

定理 2.2 (Mn, g, νf )を完備なn次元重み付きリーマン多様体とし、ある実数HにたいしてRicf ≥ (n− 1)H満たす。この時、二つの正の実数R > 0と δ > 0に対して或る正

2010 Mathematics Subject Classification: 05C12, 52C99

キーワード：Myers-type theorem, Riemannian geometry, Bakry-Emery Ricci curvature, integral Riccicurvature bound.∗ 982-8578 宮城県仙台市青葉区荒巻字青葉６番３号　東北大学大学院理学研究科数学専攻e-mail: [email protected]

68

の実数 ε1 = ε1(n, δ) > 0, ε2 = ε2(n,H,R, k, δ) > 0が存在して、もし |f | < ε1であり、かつもし

supp

1

νf (B(p,R))

∫B(p,R)

((n− 1)− Ricf,−)+dνf < ε2 (2.2)

を満たすならば、diam(M) < π + δが成り立つ。

またMの普遍被覆Mに対し定理2.1, 定理2.2を適用することにより、基本群の有限性を示すことができる。

定理 2.3 (Mn, g, νf )を完備なn次元重み付きリーマン多様体とし、２つの実数N(> n),

Hに対してRicNf ≥ (N − 1)Hを満たす。この時、任意の実数R > 0に対して、ある正の自然数 ε = ε(N,H,R) > 0が存在して、もし

supp

1

νf (B(p,R))

∫B(p,R)

((N − 1)− RicNf,−)+dνf < ε (2.3)

を満たすならば、Mはコンパクトでありπ1(M)は有限。

定理 2.4 (Mn, g, νf )を完備な n次元重み付きリーマン多様体とし、実数H に対してRicf ≥ (n− 1)Hを満たす。この時、任意の正の実数R > 0に対して、ある二つの正の実数 ε1 = ε1(n,R) > 0, ε2 = ε2(n,H, k,R) > 0が存在して、もしk < ε1を満たし、かつ

supp

1

νf (B(p,R))

∫B(p,R)

((n− 1)− Ricf,−)+dνf < ε2, (2.4)

を満たすならば、Mはコンパクトでありπ1(M)は有限。

注意 1 上述の定理は古典的なMyersの定理の一般化である。実際、条件式 (2.1)、(2.2)、(2.3)及び (2.4)は各点でBakry-Emeryリッチ曲率が下から正の定数で抑えられているという条件の一般化とみなすことができる。もし、例えば条件式 (2.1)の左辺が0に等しいならば、((N − 1)−RicNf,−)+ = 0が成り立つ。これはN -Bakry-Emeryリッチ曲率が (N − 1)で下から抑えられていることと同値である。Sprouseの定理はf ≡ 0の場合に相当する。

注意 2 定理2.2において |f |が上から正の実数 ε1で抑えられることを仮定しているが、この仮定は外すことができない。もし fが非有界であった場合、Mが非有界となるような反例が存在する。例えば次の例を考えてみよう。X = (Rn, ∥ ·∥, νf )は重み付きリーマン多様体とする。ここで∥ · ∥は標準的なユークリッド計量であり、正の実数λ > 0に対しf = λ∥x∥/2と定める。この時、Bakry-Emeryリッチ曲率は簡単な計算から、各点で下からλで抑えられることが分かる。すなわちXは条件式 (2.2)をみたす。しかしXは明らかに非有界なリーマン多様体である。

注意 3 上述の定理と同様の定理を Seungsu Hwangと Sanghun Leeが筆者と独立に証明している [5]。

69

3. 証明の概略以下ではN -Bakry-Emeryリッチ曲率の場合の有限直径定理の証明の概略のみ紹介する。∞-Bakry-Emeryリッチ曲率の場合は計算が多少煩雑になるが証明の大枠はN -Bakry-

Emeryリッチ曲率の場合と同様なので割愛する。証明のストラテジーは古典的なMyers

の定理の証明と本質的に同様で、十分長い最短測地線が存在すると仮定し、指数形式を用いて定理の条件から矛盾を導いて証明する。しかし古典的なMyersの定理の場合と違い各点におけるリッチ曲率の評価がないので、指数形式から直ちに矛盾を導くことができない。Sprouseは測地線に沿った指数形式を評価するためにCheeger-Colding

の線分不等式を用いた。筆者の定理の証明もSprouseと同様の手法に沿って証明する。G. WeiとW. WylieはBakry-Emeryリッチ曲率が下からある定数で抑えられたリーマン多様体に対して距離球面の平均曲率に対する比較定理が成立することを示した [4]。このことから次に紹介するBishop-Gromov型の体積比較定理とCheeger-Colding型の線分不等式が成り立つことが分かる。vNH (r)で完備で単連結な曲率Hの定曲率N次元リーマン多様体内の半径 rの距離球の体積を表す。

定理 3.1 (Bishop-Gromov型の体積比較定理) 二つの実数に N > 1, H に対してRicNf ≥ (N − 1)Hが成り立つとする。pをM上の任意の点とする。この時、R ≥ r > 0

を満たすような任意の正の実数R, rに対して次が成り立つ。

νf (B(p,R))

νf (B(p, r))≤ vNH (R)

vNH (r), (3.1)

但しH > 0の場合R ≤ π/2√Hを満たすものとする。

A1, A2及びWをそれぞれMのボレル集合とし、A1, A2 ⊂ Wを満たすものとする。さらに任意のx ∈ A1と任意のy ∈ A2に対して、xとyを結ぶ任意の最短測地線γx,yはW

に含まれているものとする。また eはM上の任意の非負の可積分関数とする。測地線は弧長でパラメーター付けされるものとする。

命題 3.1 (線分不等式) ２つの実数N > 1, Hに対してRicNf ≥ (N − 1)Hが成り立つとする。実数RはR ≥ supd(x, y)|(x, y) ∈ A1×A2を満たすようにとる。この時、N ,

H, Rに依存するある定数C(N,H,R)が存在して次の不等式が成立する。∫A1×A2

∫γx,y

e(γx,y(s))dsdν⊗2f (3.2)

≤ C(N,H,R)(diam(A2)νf (A1) + diam(A2)νf (A1))

∫W

e dνf

定理 2.1の証明の概略;実数RをR > πを満たすようにとり、点 p ∈ M を固定する。点 q ∈ B(p,R)を pから十分遠い点として取る。実数 rをRに対して十分小さくとり、B(p, r), B(q, r)及び B(p,R)をそれぞれ集合A1, A2, 及びWと名づける。集合A1, A2,

及びWに対し e = ((N − 1)−RicNf,−)+として、先述の体積比較定理と線分不等式をそれぞれ適用すると次の不等式を得る。

infx∈A1,y∈A2

∫ d(x,y)

0

((N − 1)− RicNf,−)+(γx,y(s))ds

≤ 2rC(N,H,R)

(vNH (R)

vNH (r)+vNH (2R)

vNH (r)

)1

νf (B(p,R))

∫B(p,R)

((N − 1)− RicNf,−)+dνf

70

ここで γx,y は x ∈ A1 と y ∈ A2 を結ぶ最短測地線を表す。L = d(x, y) とする。E1(t), . . . , En(t) を γx,y(t)に沿った正規直交ベクトル場で En(t) = γx,y(t)を満たすものとし、Φi(s, t)をYi(t) = sin(πt/L)Ei(t)を変分ベクトル場とする γx,y(t)の変分とし、Φi(s, ∗) = γi(∗)の長さをLi(s)とする。この時、第二変分公式と上述の式から

n−1∑i=1

d2Lids2

∣∣∣∣s=0

≤ −(N − 1)L

2

(1−

(πL

)2)+2rC(N,H,R)

(vNH (R)

vNH (r)+vNH (2R)

vNH (r)

)1

νf (B(p,R))

∫B(p,R)

((N − 1)− RicNf,−)+dνf .

を得る。ここで r = δ/4する。Rが十分大きければLも十分大きくとることができ、そのようなRに対して右辺の積分の値が十分小さいとすれば、上の不等式の右辺全体は負の値を取りγx,yの最短性に矛盾する。

注意 4 証明では主定理における各点のBakry-Emeryリッチ曲率が（正の実数とは限らない）ある定数で下から抑えられているという仮定から、体積比較定理を利用して第二変分を評価した。リッチ曲率に対する仮定は恣意的な仮定ではない。リッチ曲率のL1ノルムを抑えるだけではその条件が弱すぎるために、付加条件がなければ多様体に対して興味深い結果は何も得られない。ただp > n/2であるようなpに対しては、リッチ曲率のLpノルムの過程だけからMyers型の定理が成り立つことが知られている [6]。

参考文献[1] Jeff Cheeger, Tobias H. Colding, Almost rigidity of warped products and the structure of

spaces with Ricci curvature bounded below, English, with English and French summaries,C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I Math. 320(1955), no. 3, 353–357.

[2] Peter Petersen, Chadwick Sprouse, Integral curvature bounds, distance estimates andapplications, J. Differential Geom. 50(1998), no. 2, 269–298.

[3] Chadwick Sprouse, Integral curvature bounds and bounded diameter, Comm. Anal. Geom.8(2000), no. 3, 531–543.

[4] Guofang Wei, Will Wylie, Comparison geometry for the Bakry-Emery Ricci tensor, J.Differential Geom. 83(2009), no. 2, 377–405.

[5] Seungsu Hwang, Sanghun Lee, Integral Curvature Bounds and Bounded Diameter withBakry–Emery Ricci Tensor, arXiv:1904.08694(2019).

[6] Jia-Yong Wu, Comparison Geometry for Integral Bakry–Emery Ricci Tensor Bounds,The Journal of Geometric Analysis, 29(2018), Issue 1, 828–867.

71

Certain rigidity theorem for compact manifolds with

almost nonpositive Ricci curvature

中村　拓也（九州大学大学院数理学府）

概要

ほとんど非正のリッチ曲率を持つコンパクトリーマン多様体の等長変換群の次元

は多様体の次元以下であり，多様体の次元に等しいときには剛性を持つことを紹介す

る．本稿の内容は九州大学の勝田篤教授との共同研究によって得られたものである．

1 Bochnerの定理

Bochnerは次の２つの定理を示した [1]．

定理 1.1 (Bochner). Mを n次元コンパクト連結向き付け可能リーマン多様体とする．M

のリッチ曲率が非負であれば 1次ベッチ数 b1(M)は n以下であり，等号成立は，M が n

次元平坦トーラスに等長的である場合に限る．

定理 1.2 (Bochner). M を n次元コンパクト連結リーマン多様体とする．M のリッチ曲

率が非正であれば等長変換群 Isom(M)の次元は n以下であり，等号成立は，M が n次元

平坦トーラスに等長的である場合に限る．

これらの定理のリッチ曲率に関する条件を緩めた場合に，同様のことが成立するかが問

題となる．

2 リッチ曲率がほぼ非負の場合

定理 1.1のリッチ曲率に関する条件を，ほぼ非負（すなわち，リッチ曲率が十分 0に近

い負の下界を持つ）という条件に緩めた場合には次が成立する

72

定理 2.1 (Gromov[6], Gallot[4]). 自然数 n (≥ 2)と正数D > 0に対して，ある正数 ε =

ε(n,D) > 0が存在して，n次元コンパクト連結向き付け可能リーマン多様体M がRicM ≥ −εgM ,

diam(M) ≤ D,

をみたせば，

b1(M) ≤ n.

注意 2.2. GromovとGallotは定理 2.1を別々の方法で示した．Gromovによる証明が幾

何学的なものであるのに対して，Gallotによる証明は解析的なものである．

定理 2.3 (Colding[3], Cheeger-Coldoing[2]). 自然数 n (≥ 2)と正数D > 0に対して，あ

る正数 ε = ε(n,D) > 0が存在して，n次元コンパクト連結リーマン多様体M がRicM ≥ −εgM ,

diam(M) ≤ D,

b1(M) = n

をみたせば，M は n次元トーラスに微分同相となる．

注意 2.4. 定理 2.3よりも少し弱い結果をまずColdingが示し，それを改良してCheeger-

Coldingが定理 2.3を示した．ColdingやCheeger-Coldingによる証明では，非負条件をほ

ぼ非負に緩められるかが定性的に示されており，リッチ曲率の下界がどの程度 0に近けれ

ばよいかという定量的な評価はされていない．これはGromovのプレコンパクト性定理と

彼らが発展させたGromov-Hausdorff収束に関する収束理論に基づく背理法によっている

ことが原因である．

3 リッチ曲率がほぼ非正の場合

我々は，定理 1.2のリッチ曲率に関する条件を，ほぼ非正（すなわち，リッチ曲率が十

分小さな正の上界を持つ）という条件に緩めた場合を考え，次の結果を得た [7]．

定理 3.1. 自然数 n (≥ 2)と正数 k,D > 0に対して，ある正数 ε = ε(n, k,D) > 0が存在

して，n次元コンパクト連結リーマン多様体M が−kgM ≤ RicM ≤ εgM ,

diam(M) ≤ D,

73

をみたせば，

dim Isom(M) ≤ n.

注意 3.2. 定理 3.1の証明は，定理 2.1のGallotによる証明を部分的に変更したもので与

えられる．

定理 3.3. 自然数 n (≥ 2)と正数 k,D > 0に対して，ある正数 ε = ε(n, k,D) > 0が存在

して，n次元コンパクト連結リーマン多様体M が−kgM ≤ RicM ≤ εgM ,

diam(M) ≤ D,

dim Isom(M) = n

をみたせば，M は n次元平坦トーラスに等長的となる．

注意 3.4. 定理 3.3の証明は，定理 2.3の証明とは全く異なるものである．また，結論も単

に n次元トーラスと微分同相というだけでなく，n次元平坦トーラスと等長的というより

強いものになっている．さらに，ColdingやCheeger-Coldingによる証明では，リッチ曲

率の下界がどの程度 0に近ければよいかという定量的な評価はされていなかったが，定理

3.3ではリッチ曲率がどの程度小さな正の上界を持っても良いのかが定量的に評価できる．

参考文献

[1] S. Bochner, Vector fields and Ricci Curvature, Bull., Amer. Math. Soc. 52 (1946),

776-797.

[2] J. Cheeger and T. H. Colding, On the structure of spaces with Ricci curvature

bounded below. I, J. Differential Geom. 46, no. 3, 1997, 406–480.

[3] T. H. Colding, Ricci curvature and volume convergence, Ann. of Math. (2) 145

(1997), no. 3, 477–501.

[4] S. Gallot, A Sobolev inequality and some geometric applications, Spectra of Rie-

mannian Manifolds, Kaigai, Tokyo, 1983, 45–55.

[5] M. Gromov, Almost flat manifolds, J. Differential Geom. 13 (1978), no. 2, 231–241.

74

[6] M. Gromov, Structures metriques pour les varietes riemanniennes, Cedric, Paris

1982.

[7] A. Katsuda and T. Nakamura, A rigidity theorem for Killing vector fields on

compact manifolds with almost nonpositive Ricci curvature, to apper in Proceeding

of the AMS.

[8] P. Li, On the Sobolev constant and the p-spectrum of a compact riemannian mani-

fold, Ann. scient. Ec. Norm. Sup. 13, 1980, 451–469.

[9] A. K. Stehney and R. S. Millman, Riemannian manifolds with many Killing

vector fields. Fund. Math. 105 (1979/80), no. 3, 241–247.

75

Calabi の端的 Kahler 計量対

満渕の Kahler-Einstein 計量

齋藤俊輔 (理化学研究所・京都大学) ∗

概要

二木不変量が 0 でない Fano 多様体でも意味があるよう Kahler-Einstein 計量を一般化したものとして Calabi による端的 Kahler 計量と満渕による Kahler-

Einstein 計量がある. これらは非常によく似ていてまるで双子のように見える. 新田泰文氏 (東京理科大学), 四ッ谷直仁氏 (香川大学) との共同研究でこれらの間の関係が端的にわかったので紹介する.

1 導入X を複素数体上で定義された n次元非特異 Fano多様体とし c1(X)を代表する Kahler

計量全体の空間を H で表す. ω ∈ H がCalabi の端的 Kahler 計量であるとは, Calabi

汎関数H ∋ α 7−→

∫X

(s(α)− s)2 αn

n!∈ R

の臨界点であること, すなわち grad′ω(s(ω) − s) が X 上の正則ベクトル場であることである. ただし s(ω) は ω のスカラー曲率であり s はその平均である. 一方, ω ∈ H が満渕の Kahler-Einstein 計量であるとは grad′ω(1− eFω ) が X 上の正則ベクトル場であることとして定義される. ここで Fω ∈ C∞(X,R) は ω の Ricci ポテンシャル:

Ric(ω)− ω =

√−12π

∂∂Fω,

∫X

(1− eFω )ωn

n!

である. 近年 Yao によってこれは Calabi 型汎関数

H ∋ α 7−→∫X

(1− eFα)2αn

n!∈ R

の臨界点として特徴づけられることが証明され, 俄然注目を集めている.

これらの定義に含まれる関数について, s(ω) − s = 0 も 1 − eFω = 0 も ω が Kahler-

Einstein 計量であることと同値である. さらに X の二木不変量が 0 だったら Calabi の

∗ e-mail: [email protected]

76

計量も満渕の計量もともに Kahler-Einstein 計量に等しくなる. したがって「これらの計量は本当に異なる計量なのか？」という素朴な問いが浮かぶ. また仮に異なったとしても,

その類似性から何らかの関係を疑うのは人情である. そこで「端的 Kahler 計量が存在したら満渕の Kahler-Einstein 計量が存在するか？その逆はどうか？」という問いを考える. しかしこれを計量の条件のまま取り組むのは難しい. そこで代数幾何的な安定性を経由することを考える. 幸いトーリック多様体に対してはこれらの計量の存在と安定性の同値性が証明できるので, 対応する安定性同士を比較することでこれらの問題を解く.

2 準備(X,L) を複素数体上で定義された n 次元非特異偏極トーリック多様体とする. これには T := (C×)n が作用するが, その極大コンパクト部分群 S := (S1)n の (X,L) への作用は Hamilton 的であり運動量写像が存在する. 運動量写像の像を P ⊂ Rn とするとこれはよく知られたように n 次元整 Delzant 多面体になる. 逆にこの P から (X,L) を再構成することもできる. つまりトーリックの場合, 多様体を扱う代わりに凸多面体を考えれば十分である. そこで以下では多面体側で話を進める. σ を ∂P 上に “標準的に定まる”

Borel 測度とする. 詳細は省くがこれは

#(kP ∩ Zn) = vol(P )kn +σ(∂P )

2kn−1 + · · · (k →∞)

に現れる自然なものである.

P 上の凸関数で

maxℓ1(x), . . . , ℓk(x), ℓα(x) =n∑i=1

aαixi + bα, aαi, bα ∈ Q

の形のものを区分的有理アファイン関数と呼び, これら全体を CQPL で表す. 各区分的有理

アファイン関数はトーリックテスト配位 (X f ,Lf ) → C なる (XP , LP ) の C∗ 同変な退化を定める. 各 f ∈ CQ

PL に対して

||f ||J := infℓ: 有理アファイン

∫P

(f(x) + ℓ(x)) dx− vol(P )minP

(f + ℓ)

をその被約 J-ノルムという. 要点は ||f ||J = 0 が f のアファイン性を特徴付けているところであり, これはテスト配位としては X f ∼= XP × C というある意味で “自明” なものを特徴付けている.

77

s := σ(∂P )/ vol(P ) とし, アファイン関数 θ : Rn → R を∫P

θ(x) dx = 0,∫P

xiθ(x) dx =

∫∂P

xi dσ − s∫P

xi dx (i = 1, . . . , n)

で定義する. これは (XP , LP ) の端的 Kahler ベクトル場 (の Hamilton 関数) の化身であり, (XP , LP ) の二木不変量そのものである.

3 安定性3.1 相対 Ding 安定性

この小節では P は Fano 多面体とする. つまり s = n であり P が原始的な λj ∈ Zn

たちを用いてP = x ∈ Rn | ⟨λj , x⟩+ 1 ≥ 0 (j = 1, . . . , r)

と表示されているとする. このとき XP は Fano 多様体であり LP = −KXPである. 各

f ∈ CQPL に対して

Iθ(f) := − vol(P )f(0) +

∫P

f(x)(1− θ(x)) dx

と定め, 相対 Ding 不変量と呼ぶ. XP が一様相対 Ding 準安定であるとは, ある δ > 0

が存在して任意の f ∈ CQPL に対して Iθ(f) ≥ δ||f ||J が成り立つことである. XP が相

対 Ding 不安定であるとは, ある f ∈ CQPL に対して Iθ(f) < 0 となるときである. ま

た MP := maxP θ と定義し P の満渕定数と呼ぶ. 以上の定義の下で, Yao は満渕のKahler-Einstein 計量の存在, 一様相対 Ding 準安定性, 及び MP < 1 が同値であることを証明した. 他の二条件に比べて満渕定数の条件は非常に便利で, これによって与えられた多様体の安定性をチェックすることが可能である. 例えば 2次元のトーリック Fano 多様体は全部で 5個しかないがその全てが一様相対 Ding 準安定である. 少し次元を上げたのが次の結果である.

定理 3.1 (新田-S-四ッ谷). 全部で 18個ある 3次元トーリック Fano 多様体の内, 12個が一様相対 Ding準安定で残りの 6個が相対 Ding不安定である. 4次元の場合, 全部で 124

個ある内の 49個が一様相対 Ding準安定で残りの 75個が相対 Ding不安定である.

78

3.2 相対 K安定性

この小節では Fano とは限らない一般の整 Delzant 多面体を考える. 各 f ∈ CQPL に対

してLθ(f) :=

∫∂P

f(ζ) dσ −∫P

(s+ θ(x)) f(x) dx

と定め, 相対 Donaldson-二木不変量と呼ぶ. これを用いて前小節と同様にして (XP , LP )

の一様相対K準安定性と相対K不安定性を定義する. まずこの安定性と端的 Kahler 計量との関係を述べよう. これはいわゆる Yau-Tian-Donaldson 予想の特別な場合である.

定理 3.2 (Yau-Tian-Donaldson 対応, 新田-S). n 次元非特異偏極トーリック多様体(XP , LP ) において, c1(LP ) に属する S 不変な端的 Kahler 計量が存在することと一様相対 K準安定性は同値である.

これで計量と安定性の間を行き来できるようになったわけだが残念ながら素のままでは安定性自体も判定しやすいとは言えない. そこで Yao の満渕定数のような条件が欲しくなる. それが次である

定理 3.3 (新田-S-四ッ谷). P が原始的な λj ∈ Zn たちを用いて

P = x ∈ Rn | ⟨λj , x⟩+ dj ≥ 0 (j = 1, . . . , r)

と表されているとする. 予め平行移動して 0 ∈ P とする. d := maxd1, . . . , dr(> 0)

とする. P が

“θ = 0 かつ s <n+ 1

d” または “θ = 0 かつ s+max

Pθ ≤ n+ 1

d”

のいずれかを満たすならば (XP , LP ) は一様相対 K準安定である. 特に P が Fano のとき, MP ≤ 1 なら (XP ,−KXP

) は一様相対 K準安定である.

これと既に知られていた 3 次元における相対 K 不安定性の分類を組み合わせて次を得る.

定理 3.4 (新田-S-四ッ谷). 2次元トーリック Fano 多様体はすべて一様相対 K準安定である. また 18個の 3次元トーリック Fano 多様体の内, 12個が一様相対 K準安定で残りの 6個が相対 K不安定である.

79

4 Calabi 対満渕前節の結果を踏まえて本題に戻ろう. P を Fano多面体とする. まず Yaoの結果, 定理

3.3及び定理 3.2より次が成り立つ.

系 4.1. 一様相対 Ding準安定性から一様相対 K準安定性が出る. 言い換えれば, 満渕のKahler-Einstein 計量の存在は端的 Kahler計量の存在を導く.

注意 4.2. 実はこの主張はトーリックとは限らない一般の Fano多様体でも正しい. YTD

対応は未だ一般には確立していないが各々の主張を個別に証明することができる.

一方, 定理 3.1と定理 3.4から次が得られる.

系 4.3. 3次元以下のトーリック Fano多様体において, 一様相対 Ding準安定性と一様相対 K 準安定性は同値である. つまりこのとき満渕の Kahler-Einstein 計量の存在と端的Kahler計量の存在は同値である.

ではこの事実がそのまま高次元化されるかというとそれは否である. 実際, 反例がある意味で大量にある.

定理 4.4 (新田-S-四ッ谷). 4 以上のすべての次元において, 一様相対 K準安定だが相対Ding 不安定なトーリック Fano 多様体が存在する. 言い換えれば, 端的 Kahler 計量を許容するが満渕の Kahler-Einstein 計量は許容しないトーリック Fano 多様体が存在する.

以上をまとめて次の解答を得る:「Calabi の端的 Kahler 計量と満渕の Kahler-Einstein

計量は異なる計量である. また満渕の Kahler-Einstein 計量の存在は端的 Kahler 計量の存在を導くが逆は一般には成立しない.」

参考文献[1] E. Calabi, Extremal Kahler metrics, in Seminar on Differential Geometry. Princeton

University press, 1982, pp. 259–290.

[2] T. Mabuchi, Kahler-Einstein metrics for manifolds with nonvanishing Futaki character,

Tohoku Math. J. 53 (2001), 171–182.

[3] Y. Yao, Mabuchi Metrics and Relative Ding Stability of Toric Fano Varieties,

arXiv:1701.04016v2.

80

複素射影空間上のベクトル束と誘導写像について

古賀　勇 (明大理工)∗

概要

複素射影空間から複素グラスマン多様体への調和写像の分類問題を考える．長友はグラスマン多様体への調和写像の分類問題に，始集合上のベクトル束の接続の理論が利用できることに注目し，do Carmo-Wallach型の分類理論を構成した．講演者はその理論を利用し，複素射影直線からの同変調和写像を構成した．またより高次元の複素射影空間からの正則写像の 1径数族を構成した．この講演は長友康行氏（明治大学）との共同研究と高橋正郎氏（久留米高専）との共同研究に基づく．

1. 準備1.1. 複素グラスマン多様体

(Cn, ( , )n)を複素内積空間とし，特殊ユニタリ群SU(n)の作用を考える．e1, · · · , enを標準ユニタリ基底とし，Cp,Cq ⊂ Cnをそれぞれ e1, · · · , ep，ep+1, · · · , ep+q = enが張る部分空間とする．SU(n)の部分群S(U(p)×U(q))をCp，Cqの固定部分群とする．このとき等質多様体Grp(C

n) = SU(n)/S(U(p)× U(q))を複素グラスマン多様体という．Grp(C

n)の元を [g], g ∈ SU(n)と表し，Grp(Cn)上の自明束Cn = Grp(Cn)×Cn に

対しSU(n)の作用を

g([g0], v

)=([gg0], gv

), g, g0 ∈ SU(n), v ∈ Cn

と定める．Cn → Grp(Cn)の部分束S → Grp(C

n)を

S =([g], v)

∣∣ v ∈ gCp

と定め，これを同語反復束という．ベクトル束S → Grp(Cn)，Cn → Grp(C

n)は正則ベクトル束としての構造を持ち，正則ベクトル束の短完全系列

0 SiSπS

CnπQ

iQQ 0

によって得られる正則ベクトル束Q → Grp(Cn)を普遍商束という．束写像 iS，πQは

自然な埋め込みと射影を表す．Cnのエルミート内積 ( , )nからそれぞれのベクトル束にエルミート計量 hS，( , )n，hQが定まるが，πSと iQはそれらに関する iSと πQのadjointである．ここでQ→ Grp(C

n)は複素ベクトル束として自然にS → Grp(Cn)の

直交補空間束S⊥ → Grp(Cn)と同型になるので，それを用いて計量を誘導している．

πQは線形写像πQ : Cn → Γ(Q)を誘導するが，これよりCn = H0(Q)を得る．

本研究は科研費 (課題番号:18K1341)の助成を受けたものである。2010 Mathematics Subject Classification: 53C07, 32H02∗ 214-8571 神奈川県川崎市多摩区東三田 1-1-1　明治大学理工学部数学科e-mail: [email protected]: http://www.isc.meiji.ac.jp/~i_koga/

81

自明束Cn → Grp(Cn)の接続として通常の外微分dを取る．このとき

∇S = πSdiS, ∇Q = πQdiS, H = πQdπS, K = πSdπQ

と定める．H，Kはテンソルであり，ベクトル束の第2基本形式という．

1.2. 調和写像

f をm次元コンパクトリーマン多様体M から複素グラスマン多様体Grp(Cn)への滑

らかな写像とする．f で Q → Grp(Cn)と Cn を引き戻すことでM 上のベクトル束

f ∗Q→Mと線形写像F : Cn → Γ(f ∗Q) と全射束写像

ev :M ×Cn 3 (x, t) 7−→ evx(t) = F (t)(x) ∈ f ∗Q

を得る．

定義 1. [6] fから誘導された線形写像Fが単射のとき，fは充満であるという．

定義 2. [6] 束写像A : f ∗Q→ f ∗Qを各x ∈Mにおいて

Ax =m∑i=1

Hdf(ei)Kdf(ei)

と定める．ここで e1, · · · , emはTxMの正規直交基底とする．これをf :M → Grp(Cn)

の平均曲率作用素という．

定理 3. [6, Theorem 3.5] リーマン多様体Mから複素グラスマン多様体Grp(Cn)への滑

らかな写像f :M → Grp(Cn)が調和写像であるための必要十分条件は，任意の t ∈ Cn

に対して∆F (t) + AF (t) = 0

が成り立つことである．ここで∆はf ∗Q→Mのラプラシアンである．

1.3. 誘導写像

Mをm次元リーマン多様体，(V →M,hV ,∇V )を階数 qの複素ベクトル束，エルミート計量，計量を保つ接続の組とする．V → Mの滑らかな切断のなすN次元ベクトル空間W ⊂ Γ(V )で，evaluation homomorphism ev : M ×W −→ V が全射になるものとすると，Mから複素グラスマン多様体GrN−q(W )への滑らかな写像

f :M 3 x 7−→ Ker evx ∈ GrN−q(W )

が得られる．これをV →MとWからの誘導写像という．Wに内積 ( , )Wを定め，それからf ∗Q→Mにエルミート計量hQと接続∇f∗Qを定

める．(V →M,∇V )と (f ∗Q→M,∇f∗Q)がゲージ同値であるとき，fはゲージ条件を満たすという．

定理 4. [6] (V → M,hV ,∇V )を階数 qの複素ベクトル束，エルミート計量，計量接続の組とし，W ⊂ Γ(V )をエルミート内積 ( , )W付きN次元複素ベクトル空間で誘導写像f0 :M → GrN−q(W ) は調和写像であると仮定する．充満な調和写像f :M → Grp(C

n)が

82

(1) f ∗Q→MとV →Mはゲージ同値， (2) F : Cn → Γ(V )の像はWに含まれる．

という条件をみたすとき，F (Cn) = (KerT )⊥ を満たす半正値エルミート準同型 T :

W → Wで，fが ev Tからの誘導写像

(T−1f0) :M 3 x 7−→ T−1(f0(x) ∩ F (Cn)

)∈ Grp(F (Cn)) (1)

と合同になるものがただ一つ存在する．このときTは

ev T 2 ev∗ = IdV , ev T 2 (∇ev∗) = 0 (2)

を満たす．逆にW 上の半正値エルミート準同型 T で (2)を満たすものに対して写像を (1)と定めると，これは調和写像になる．

2. 複素射影直線からの調和写像Fubini-Study計量をもつ複素射影直線 (CP 1, gCP )から階数 2の複素グラスマン多様体(Grn(C

n+2), gGr)への充満なSU(2)同変調和写像について考える．

定義 5. 滑らかな写像 f : CP n → Grp(CN)に対して群準同型 ρ : SU(n + 1)→ SU(N)

が存在して，任意のx ∈ CP n，g ∈ SU(n+1)に対して　f(gx) = ρ(g)f(x)が成り立つ時，fをSU(n+ 1)同変写像という．

[1]や [2]により，CP 1から複素射影空間 (CP n, gCP )への定曲率調和写像はSU(2)同変で，次数kの正則直線束O(k)→ CP 1と標準接続∇kのラプラシアンの l次固有空間El(O(k))からの誘導写像に限ることが知られている．SU(2)表現空間としてEl(O(k))は既約でS|k|+2lC2と同型になることに注意する．

定理 6. [5] (C2, ( , )2)を SU(2)の標準表現空間と不変内積とする．SU(2)の極大トーラスをU(1) = S(U(1)× U(1))とする．

(1) k1, k2 (k1 ≦ k2)を整数，l1, l2を非負整数とし，Ni = |ki| + 2liとおき，Cn+2 =

SN1C2⊕SN2C2とする．SNiC2の基底を〈wiNi, wiNi−2, · · ·wi−Ni+2, w

i−Ni〉とする．た

だし基底の各ベクトルはU(1)表現空間をなし，添字はウェイトを表すものとする．このときV0 = 〈w1

−k1 , w2−k2〉，U0 = V ⊥

0 とし，写像f(k1,k2,l1,l2) : CP1 → Grn(C

n+2)

をf(k1,k2,l1,l2)([g]) = gU0と定めるとこれは充満な調和写像である．さらに |k1 − k2|が 4以上の偶数でかつN1 = N2 = Nのとき，t ∈ [0, π

4)に対して

正値エルミート写像Tt : Cn+2 → Cn+2を

Tt =

(cos t IdSNC2 sin t IdSNC2

sin t IdSNC2 cos t IdSNC2

)

とすると，f(k1,k2,l1,l2,t) := T−1t f(k1,k2,l1,l2,t)も充満な調和写像である．

また同じ仮定の元SNC2の部分空間V1, U1をV1 = 〈w−k1 , w−k2〉，U1 = V ⊥1 とし，

写像f(k1,k2,l1,l2,π4 ) : CP1 → GrN−1(S

NC2)をf(k1,k2,l1,l2,π4 )([g]) = gU1とすれば，これも充満な調和写像である．

83

(2) 写像f : CP 1 → Grn(Cn+2)を充満なSU(2)同変調和写像で，f ∗Q→ CP 1の引き

戻し接続∇f∗QがYang-Mills接続で，平均曲率作用素A : f ∗Q→ f ∗Qが平行であると仮定する．このときfは (1)のいずれかと合同である．

Proof. (1) CP 1上の第一チャーン類 kの正則直線束をO(k) → CP 1，その標準接続を∇kと表すことにする．このとき接続ラプラシアンの第 l固有空間は既約SU(2)

表現空間で S|k|+2lC2と表すことができる．このとき複素内積空間 S|k1|+2l1C2 ⊕S|k2|+2l2C2とO(k1)⊕O(k2)→ CP 1からの誘導写像について考え，定理3を用いて調和性について調べることで主定理 (1)がわかる．

(2) f ∗Q→ CP 1の接続∇f∗QがYang-Mills接続であることから，整数k1, k2が存在して (f ∗Q→ CP 1,∇f∗Q)は (O(k1)⊕O(k2)→ CP 1,∇k1 ⊕∇k2) とゲージ同値であることがわかる．SU(2)同変性からAはベクトル束の分解に合わせて対角化でき，定理2から非負整数 l1, l2が存在して線形写像 i : Cn+2 → S|k1|+2l1C2⊕ S|k2|+2l2C2

が得られることがわかるので，fは (1)のいずれかと合同になることがわかる．

3. 複素射影空間からの同変写像の構成[4]においてCP 1上の階数2の正則ベクトル束に定まるSU(2)不変接続が分類されたが，SU(2)の標準表現 SU(2) C2から定まる作用を持つ自明束C2 = CP 1 × C2 に対して不変接続の一径数族∇a, 0 ≤ a <∞が得られることが明らかになった．同様にしてCP n上の階数n+ 1の自明束Cn+1 → CP n上にも不変接続の一径数族∇aが得られる．これらを利用して正則写像を構成する．本項でCP nと言えば，Cn+1内の超平面全体のなす複素グラスマン多様体を指すと

する．

定理 7. (1) SU(n+ 1)表現空間Cn+1 ⊗ SkCn+1の部分空間U0，V0を

V0 = SpanC

e1 ⊗ ekn+1, · · · , en+1 ⊗ ekn+1

, U0 = V ⊥

0

と定める．Cn+1 ⊗ SkCn+1を二つの既約表現空間の直和W ⊕ Sk+1Cn+1 に分解し，エルミート準同型Taを

Ta =

(bIdW 0

0 IdSk+1C2

), b =

√k + 1− a2√

ka2, 0 < a <

√1 + k

とすると，fa([g]) = T−1gU0はSU(n+ 1)同変正則写像になる．

(2) SU(n+ 1)表現空間Cn+1∗ ⊗ Sk+1Cn+1の部分空間U0，V0を

V0 = SpanC

e1 ⊗ ekn+1, · · · , en+1 ⊗ ekn+1

, U0 = V ⊥

0

と定める．Cn+1∗ ⊗ SkCn+1を二つの既約表現空間の直和Sk−1Cn+1 ⊕W に分解し，エルミート準同型Taを

Ta =

(bIdSk−1Cn+1 0

0 IdW

), b =

√k + n− na2√

ka2, 0 < a <

√k + n

n

とすると，fa([g]) = T−1a gU0はSU(n+ 1)同変正則写像になる．

84

注意 8. コンパクトリーマン多様体Mからグラスマン多様体への滑らかな写像f :M →Grp(C

n)について，

(a) f :M → Grp(Cn)の平均曲率作用素Aは半負定値である．

(b) Mがケーラー多様体でfが正則写像ならばf ∗Q→Mは正則ベクトル束で，fの平均曲率作用素Aは f ∗Q → Mの小林の意味での平均曲率作用素KEH（詳しくは [3]参照）と符号を除いて一致する．

ということが長友により [6]で示されている．複素射影直線 (CP 1, gFS)上の次数正の不変接続をもつ正則な等質ベクトル束 (V →

CP 1, hV ,∇V )が同変正則写像を誘導するためにはV →Mの平均曲率作用素KEHが半正定値であることが必要十分条件であることが [4]によりわかっている．(1)の写像はベクトル束 (Cn+1⊗O(k), ha⊗ hk,∇a⊗ Id+ Id⊗∇k)による誘導写像で

ある．このベクトル束の平均曲率作用素KEHが半正定値であるのは 0 ≤ a ≤√k + 1

のときなので，正則写像の存在範囲と一致している．一方(2)の写像はベクトル束(Cn+1∗⊗O(k), ha⊗hk,∇a⊗Id+Id⊗∇k)からの誘導写像

である．このベクトル束の平均曲率作用素KEHが半正定値であるのは0 ≤ a ≤√1 + nk

のときであり，平均曲率作用素が正定値であっても同変正則写像を誘導しない例が存在することがわかった．

参考文献[1] S.Bando, Y.Ohnita, minimal 2-spheres with constant curvature in Pn(C),

J.Math.Soc.Japan 39 (1987), No.3, 477 – 487.

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[4] I.Koga, Y.Nagatomo, Equivariant Holomorphic Embeddings from the complex projectiveline into the complex Grassmannian of 2-planes, submitted.

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[6] Y.Nagatomo, Harmonic maps into Grassmannian manifolds, arXiv:mathDG/1408.1504.

85

Fano多様体の満渕ソリトンと相対 D安定性

久本智之 (名古屋大学)

1 背景

本稿では X を C上定義された Fano多様体とする。X の標準的な Kahler計量を求めることは複素幾

何の中心的な問題で、近年多くの進展があった。特に次の定理が知られている。

定理 1.1（[CDS15], see also [DS16], [BBJ18]） Fano多様体 X が Kahler-Einstein計量を持つことと、

D準安定であることは同値である。

D安定性は代数的な概念で、偏極 (X,−KX)の退化 π : (X ,L)→ A1 を走らせたとき不変量

D(X ,L) := deg π∗(KX/P1 + L)−Ln+1

(n+ 1)V(1.1)

が常に正の値を取るという条件である。ここで nは X の次元、V は体積、X は P1 への拡張である。ま

た、簡単のため X は Q-Gorenstein singularityを持つとした。X ≃ X × A1 なら D(X ,L)はいわゆる二木不変量と一致する。一般に Fano多様体は D安定とは限らない。例えば、P2 の 1点ブローアップの

ような単純なものでさえ、Kahler-Einstein計量を持たないのである。与えられた Fano多様体の構造を

調べるという観点からすると、これは大いに不満に感じられる。

一方で、Fano多様体 X をうまく退化させれば、一般化された意味での Kahler-Einstein計量を常に

持つのではないか、と考えられている。例えば [CSW15]では Kahler-Ricci flowを使ってそのような退

化を構成している。この場合、退化した多様体は (terminal singularity で)Kahler-Ricci ソリトンを持

つ。さらにこの退化は、少し弱い不変量 H(X ,L) を最も小さくするようなものとして特徴付けられる([DS17])。

不変量 D(X ,L) を最小にするような退化はないのだろうか。我々は inverse Monge-Ampere flow を

[CHT17]で導入し、そこから生じる退化の列が D(X ,L)を最小化することを [H19-1]で示した。退化の

列が収束するかは分かっていないが、トーリック Fano多様体ならこれも正しい。Fano多様体X をこの

ように退化させたとき現れると予想されるのが、満渕ソリトンである。

2 満渕ソリトン

満渕ソリトンの定義を説明する。Chern類 c1(X)に属する Kahler計量 ω を自由に取ろう。

Ricω − ω = ddcρ,

∫X

(eρ − 1)ωn = 0 (2.1)

を満たす関数 ρが一意に定まり、Ricciポテンシャルと呼ばれている。ω をシンプレクティック形式と見

て両立する複素構造 J を動かしたとき、対応

J 7→ eρ − 1 (2.2)

86

はモーメント写像と見做すことができる ([D15])。すると定理 1.1は、モーメント写像による商と幾何学

的不変式論における商の概念が一致するという事実の無限次元における類似になっている。この描像に

おいては、計量の空間における汎関数

R(ω) :=1

V

∫X

(eρ − 1)2ωn (2.3)

が基本的な役割を果たす。これは Calabi 汎関数と呼ばれているものの亜種である。一般に R(ω) ⩾ 0

で、もし Kahler-Einstein計量が存在すれば最小値 0を達成する。

定義 2.1（[M01], [Y17]）汎関数 Rの臨界点を満渕ソリトンという。

ソリトンと言っているのは、inverse Monge-Ampere flowの自己相似解として特徴付けられるからであ

る。変分を計算すれば、この条件はもう少し具体的に言い表せる: 正則ベクトル場 v に対し

√−1∂hv = ivω,

∫X

hvωn = 0 (2.4)

を満たす関数 hv を Hamilton関数と呼ぶのだった。ω が満渕ソリトンであることと、ある正則ベクトル

場 v が存在してeρ − 1 = hv (2.5)

を満たすことは同値である。

eρ − 1の代わりにスカラー曲率 Sω とその平均 S を使ったのが本来の Calabi汎関数

C(ω) :=1

V

∫X

(Sω − S)2ωn (2.6)

である。Calabi 汎関数の臨界点は端的 Kahler 計量と呼ばれている。満渕ソリトンの正則ベクトル場 v

はいわゆる端的ベクトル場と一致する。(従って、Kahler-Ricciソリトンベクトル場とは一致しない。)

しかし、満渕ソリトンと端的 Kahler計量は同じ概念ではない。実際、端的 Kahler計量ともつが満渕ソ

リトンを持たないようなトーリック Fano多様体が知られている ([NSY17])。Kahler-Einstein計量と定

スカラー曲率 Kahler計量が同じものだったことを考えるとこれは興味深い。

Fano多様体はいつ満渕ソリトンを持つか。それが今回の主定理である。安定性の定義については次章

で説明する。

定理 2.2（[H19-2]） Fano 多様体が満渕ソリトンを持つことと、一様相対 D 安定であることは同値で

ある。

例えば P2 の 1点, 2点ブローアップは満渕ソリトンを持つ。P(OP2(2)⊕OP2)は満渕ソリトンを持たな

い。上の定理は、トーリック Fano多様体の場合は [Y17], [N17]によって得られていた。勿論 v = 0の

ときは [CDS15]である。我々のアプローチは [BBJ18]に基づく。[BBJ18]は、自己同型群が離散的な場

合に変分法を使って [CDS15]の結果を再証明した。定理 2.2は特に、自己同型群が連続な場合まで彼ら

の結果を拡張している。その代わり、自己同型群の作用について同変的な退化だけを考える。このあた

りの考察は [BWN14], [DS16], [H18]に基づいている。なお、Fano多様体がいつ端的 Kahler計量を持

つかは未解決である。

3 一様相対 D安定

対応する安定性の定義について説明する。

87

定義 3.1 偏極多様体 (X,L) の、閉部分群 G ⊂ Aut(X,L) に関する G-同変な退化 (equivariant test

configuration)とは、Q-偏極スキームの平坦族 π : (X ,L) → A1 と作用 λ : Gm ×G → Aut(X ,L)で次を満たすものをいう。

(1) π は Gm-同変

(2) (X1,L1) ≃ (X,L), かつこの同型によって λ|G は包含写像 G ⊂ Aut(X,L)に移る。

特に Gm 作用と G作用は可換なことを要請する。G = idの場合が通常の退化 (test configuration)で

ある。例えば勝手な 1パラメータ部分群 µ ∈ Hom(Gm, C(G))⊗Qは自明な変形 X × A1 に非自明な作

用を与え、従って G同変な退化を定める。一般に G同変な退化 (X ,L)の作用を µだけ捻って (Xµ,Lµ)を得ることができる。また、G不変なイデアル J ⊂ OX に対し X × A1 を J + tOX でブローアップしたイデアルは G同変な退化を定める。ただし、tは 0 ∈ A1 の定義方程式である。

満渕ソリトンの存在を問う我々の状況では、Lは反標準束 −KX である。まずソリトンベクトル場 v

を固定し、v が生成する 1パラメータ部分群を η とする。Gとして、η と可換な自己同型 Aut(X, η) ⊂Aut(X,−KX)を取る。定義より、η は中心 C(G)に入っている。一般に µ ∈ Hom(Gm, C(G)) ⊗ Qに対し、中心ファイバー上の切断H0(X0, kL0)に λと µが誘導する Gm 作用は同時対角化できる。その固

有値を λ1, . . . , λNk, µ1, . . . , µNk

とし、(X ,L)と µの内積を

⟨(X ,L), µ⟩ := limk→∞

1

k2Nk

Nk∑i=1

λiµi (3.1)

と定義する。µ = idの場合、これは同変 Riemann-Rochの定理より Ln+1

(n+1)V に一致する。

定義 3.2（[B16], [CHT17], [H19-2]）満渕ソリトンベクトル場の生成する 1パラメータ部分群 η に対し,

G = Aut(X, η)とする。G-同変な退化の相対 D不変量を

Dη(X ,L) := D(X ,L)− ⟨(X ,L), η⟩

と定義する。常に Dη(X ,L) ⩾ 0が成り立つとき、Fano多様体 X は相対 D半安定という。

D(X ,L)は計量の D汎関数:

D(ω) = − log1

V

∫X

e−φ+ρ0ωn0 −1

(n+ 1)V

n∑i=0

∫X

φωi0 ∧ ωn−i (3.2)

に対応している ([B16])。ここで基点 ω0 を固定し、φは ω = ω0 + ddcφを満たす関数とした。モーメン

ト写像の言葉で言うと、D 汎関数は Kemp-Ness関数に相当する。Dη(X ,L)は相対 D汎関数に対応す

る。同変な退化を考え、D不変量を相対化するというのは標準的なアイデアである。ただし Gとして極

大トーラスを取ると証明は機能しない。一方、C(G)のように小さいトーラスを考えると、今度は計量の

存在から安定性を言うのが技術的に難しくなる。

例えば X = P2 を考えると、η = 0である。G不変なイデアルは自明なものを除き存在しない。実際

P2 は相対 D半安定である。次に P2 の 1点ブローアップを考える。η は自明ではない。G不変なイデア

ルの台は例外因子に含まれる。このようなイデアルが定める退化 (X ,L)を潰すと、X × A1 に η 作用を

与えたものが得られる。このことから Dη(X ,L) ⩾ 0が分かる。

満渕ソリトンが存在すれば、Aut(X, η)は簡約群になることが分かる。これは Kahler-Ricciソリトン

等でも同様であるが、満渕ソリトンにはもう 1つ自己同型群の障害が存在する。

88

定義 3.3（[M01]） Fano多様体の満渕定数を

mX := limk→∞

[1 + min

i

ηik

]と定義する。

同変指数定理により、mX = infX(1 + hv) が成り立つ。従って、満渕ソリトンが存在すればmX > 0で

ある。トーリック多様体では、mX > 0ならば逆に満渕ソリトンが存在する。

変分法を実行するには、アプリオリに強い安定性を導入する必要がある。それが [BHJ15]の一様安定

性である。

定義 3.4（[BHJ15], [H19-2]）退化の J ノルムを

J(X ,L) := limk→∞

[maxi

λik− 1

kNk

Nk∑i=1

λi

]⩾ 0

と定義する。G同変な退化 (X ,L)に対し、被約 J ノルムを

JC(G)(X ,L) := infµJ(Xµ,Lµ)

と定義する。G = Aut(X, η)が簡約、mX > 0, かつ正数 εが存在して G-同変な退化 (X ,L)に対し常に

Dη(X ,L) ⩾ εJC(G)(X ,L)

が成り立つとき、Fano多様体 X は一様相対 D安定という。

J(X ,L)は計量の J汎関数に対応し、一様安定性は D汎関数の coercivityに相当する ([BHJ16])。1パ

ラメータ部分群の定める退化に対して J ノルムはゼロにならないから、自己同型群が連続なときは被約

化する必要がある。アプリオリに強い安定性を導入したが、一様相対 D安定なら相対 D安定であると予

想される。実際、η = 0のときは、一様 D安定と D安定は同値であることが知られている。

参考文献

[B16] R. J. Berman: K-polystability of Q-Fano varieties admitting Kahler–Einstein metrics. Invent.

Math. 203 (2016), no. 3, 973–1025.

[BBJ18] R. J. Berman, S. Boucksom, and M. Jonsson: A variational approach to the Yau-Tian-

Donaldson conjecture. arXiv:1509.04561v2 the last updated version.

[BWN14] R. Berman and D. Witt Nystrom: Complex optimal transport and the pluripotential

theory of Kahler-Ricci solitons. arXiv:1401.8264.

[BHJ15] S. Boucksom T. Hisamoto and M. Jonsson: Uniform K-stability, Duistermaat-Heckman

measures and singularities of pairs. Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 67 no. 2 (2017), 743–841.

[BHJ16] S. Boucksom T. Hisamoto and M. Jonsson: Uniform K-stability and asymptotics of energy

functionals in Kahler geometry. arXiv:1603.01026. to appear in J. Eur. Math. Soc..

[CDS15] X.X. Chen, S. K. Donaldson and S. Sun: Kahler-Einstein metrics on Fano manifolds, I,

II, III. J. Amer. Math. Soc. 28 (2015), 183–278.

[CHT17] T. C. Collins, T. Hisamoto, R. Takahashi: The inverse Monge-Ampere flow and applica-

tions to Kahler-Einstein metrics. arXiv:1712.01685v2, to appear in J. Differential Geom.

89

[CSW15] X. Chen, S. Sun, and B. Wang: Kahler-Ricci flow, Kahler-Einstein metric, and K-stability.

arXiv:1508.04397.

[DS16] V. Datar and G. Szekelyhidi: Kahler-Einstein metrics along the smooth continuity method.

Geom. Funct. Anal. 26 (2016), no. 4, 975–1010.

[DS17] R. Dervan, G. Szekelyhidi: The Kahler-Ricci flow and optimal degenerations.

arXiv:1612.07299v4.

[D15] S. K. Donaldson: The Ding functional, Berndtsson convexity and moment maps.

arXiv:1503.05173v1.

[H18] T. Hisamoto: Stability and coercivity for toric polarizations. arXiv:1610.07998v2.

[H19-1] T. Hisamoto: Geometric flow, Multiplier ideal sheaves and Optimal destabilizer for a Fano

manifold. arXiv:1901.08480.

[H19-2] T Hisamoto: Mabuchi’s soliton metric and relative D-stability. arXiv:1905.05948.

[M01] T. Mabuchi: Kahler-Einstein metrics for manifolds with nonvanishing Futaki character.

Tohoku Math. J. (2) 53 (2001), no. 2, 171–182.

[N17] S. Nakamura: Generalized Kahler-Einstein metrics and uniform stability for toric Fano man-

ifold. 1706.01608v4. to appear in Tohoku. Math. J..

[NSY17] Y. Nitta, S. Saito, and N. Yotsutani Relative GIT stabilities of toric Fano manifolds in

low dimensions. arXiv:1712.01131v1.

[Y17] Y. Yao: Mabuchi Metrics and Relative Ding Stability of Toric Fano Varieties.

arXiv:1701.04016v2.

90

回転面のRibaucour変換

緒方　勇太 ∗

沖縄工業高等専門学校

概要

本講演では、3次元ユークリッド空間 R3 内のはめ込みに対し、Ribaucour変換を考え、変換後の曲面上に現れる特異点の解析を行う。また、初期曲面を回転面に限った場合の「Ribaucour

変換の具体例」の構成も紹介する ([9])。

1 Ribaucour変換論

Ribaucour変換は古くから研究されており ([1, 5], etc.)、近年では、[2, 3, 4]などの研究があ

る。まずはその定義を述べる：

Definition 1 (Ribaucour変換). C(u, v) を球叢の 2変数族とする。一般に、これらの球叢は 2

つの包絡面 X(u, v)、X(u, v) を構成する。このとき、X の曲率線が X の曲率線に対応するとき、

「X(u, v)をX(u, v)のRibaucour変換」と呼ぶ。

Remark 1. 定義より、曲面の Darboux変換や平行曲面は、Ribaucour変換の一例である。

Ribaucour変換に関する先行研究 [3, 5]内の重要な結果を紹介しておく：

Fact 1 (球叢の半径関数 h(u, v), [3, 5]). X(u, v)を向きづけ可能なはめ込み、(u, v)を曲率線座標

とし、計量を ds2 = Edu2+Gdv2とおく。さらに、その単位法ベクトルを N(u, v)、e1（resp. e2）

を u（resp. v）方向の単位接ベクトル、λ1（resp. λ2）を主曲率関数とする。

∗[email protected]

91

このとき、X(u, v)がX(u, v)の Ribaucour変換となるための必要十分条件は、ある関数 h(u, v)

が存在して、以下の条件を満たすことである：

X = X + h(N − N), 1− hλi ≡ 0 (i = 1, 2),

ただし、N は X の単位法ベクトルで、

N =1

(Z1)2 + (Z2)2 + 1

(2Z1e1 + 2Z2e2 +

((Z1)

2 + (Z2)2 − 1

)N),

Zi(u, v) :=∂ih

1− hλi, ∂1 :=

1√E∂u, ∂2 :=

1√G∂v,

で与えられ、hは以下の偏微分方程式を満たさなければならない：

∂1Z2 −1

2

Ev

E√GZ2 + Z1Z2λ1 = 0, ∂2Z1 −

1

2

Gu

G√EZ1 + Z1Z2λ2 = 0. (1)

さらに、上式 (1)は線形化できることが知られている：

Fact 2 (式 (1)の線形化, [3, 5]). Fact 1において、h(u, v) ≡ 0を式 (1)の解とする。このとき、h

は h = ΩW のように二つの関数 Ω ≡ 0とW に分解でき、それぞれの関数は以下の微分方程式を満

たす： (Ω

W

)u

=

(Ωu

Ωuλ1

),

(Ω

W

)v

=

(Ωv

Ωvλ2

)(2)

Ωuv =Ev2E

Ωu +Gv2G

Ωv. (3)

逆に、式 (2)(3)を満たす関数 Ω ≡ 0とW が与えられるとき、h = ΩW は式 (1)を満たす。

Remark 2. 式 (3)は式 (2)の可積分条件である。

ゆえに、Ribaucour変換 X の構成には、(2) (3)をみたす解 Ω, W が必要不可欠である。

2 主結果１：リバクール変換とその特異点

ここでは、Fact 1, 2によって曲面X の Ribaucour変換 X が与えられたときに、X 上に現れ

る特異点について型判定法を紹介する：

Theorem 1 (Ribaucour変換の特異点の型判定, [9]). X(u, v)をはめ込み、(u, v)を曲率線座標と

し、計量を ds2 = Edu2 +Gdv2、その単位法ベクトルを N(u, v)とする。また、X を Fact 1, 2で

得られる Ribaucour変換とし、点 pにおいて E(p) = 0, G(p) = 0, X(p) = X(p)とする。

このとき、

(1) X(p): cuspidal edge ⇐⇒ φu(p) = 0, λ1 =1

h(p)

(2) X(p): swallowtail ⇐⇒ φu(p) = 0, φv(p) = 0, λ1 =1

h(p), φuu(p) = 0

(3) X(p): cuspidal cross cap ⇐⇒ φu(p) = 0, λ1 =1

h(p),

[1

∂1Ω

(W

S

)u

]v

= 0

ただし、 φ :=√E とおいた。

講演当日は時間の許す範囲で、他の特異点の型判定についても進捗を述べたい。

92

3 主結果２：回転面のリバクール変換の構成

回転面の Ribaucour変換についても紹介しておく：

Theorem 2 (回転面の Ribaucour変換, [9]). X(u, v)を回転面 (γ(u) cos v, γ(u) sin v, ρ(u))とす

る。このとき、式 (2)(3)は可積分であり、その Ribaucour変換は以下で得られる：

X = X − 2Ω

S(∂1Ω · e1 + ∂2Ω · e2 −W ·N) (4)

ただし、任意の微分可能な関数 f(u), g(v) と任意定数 α に対し、Ω = g(v)√G + f(u), W =

g(v)∫(√G)uλ1du+

∫fu(u)λ1du+

(−∫(√G)uλ1du+

√Gλ2

)g(v)+α, S = (∂1Ω)

2+(∂2Ω)2+W 2

である。

Example 1.

(1) 関数 Ω = (1+v) cosu+1+2u+9

8u2−1

3u3, W = Ω+2を用いた球面 (cosu cos v, cosu sin v, sinu)

の Ribaucour変換 X は、原点に swallowtailを持つ。

(2) 関数 Ω = −1 + v − 1

4u2 + u3, W = v を用いた円柱面 (cos v, sin v, u) の Ribaucour変換 X

は、原点に cuspidal cross capを持つ。

93

Bibliography

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[2] F. Burstall and U. Hertrich-Jeromin, Ribaucour transformation in Lie sphere geometry,

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[3] A. V. Corro, W. Ferreira and K. Tenenblat, Ribaucour transformations for constant mean

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folds and its applications, Trans. Am. Math. Soc., 359, 4977-4997 (2007).

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Hokkaido Math. J. 35 (1), 13-40 (2006).

94

距離核ポテンシャルの臨界点による正三角形の特徴づけ

坂田繁洋 (福岡大学理学部)

E-mail: [email protected]

1 序：三角形の中心と正三角形の特徴づけ

Euclid平面上の三角形に対して,「の重心・内心・外心のいずれか 2つが一致しているなら

ば, は正三角形である」という初等幾何の定理を, 距離核ポテンシャルの臨界点の言葉で見直す。

Ω ⊂ Rnを体 (body, 有界な開集合の閉包), pを実数とする。x ∈ Rnの関数

V(p)Ω (x) =

∫Ω|x− y|p−n dy (0 < p = n),

−∫Ωlog |x− y| dy (p = n),

Pf.

∫Ω|x− y|p−n dy (p ≤ 0)

(1.1)

をΩの p次のRieszポテンシャルという。ここで, Pf.はHadamardの有限部分 (partie finie)

である。V(p)Ω の臨界点について, 次のことが知られている ([6]):

(1) Ωが凸で, その境界が区分的に C1級ならば, V(p)Ω は Ωの内部にのみ臨界点をもつ。

(2) V(n+2)Ω の臨界点は Ωの重心である。

(3) Ωの内心が唯一つであれば, p→ −∞で, V(p)Ω の臨界点は Ωの内心に収束する。

(4) p→ +∞で, V(p)Ω の臨界点は Ωの Chebyshev心 (Ωを含む最小の球の中心)に収束する。

すなわち, の重心・内心・Chebyshev心は, Rieszポテンシャルの臨界点として得られ, V(p) の臨

界点はの「中心」と仲間と思える。以下, の重心, 内心, Chebyshev心を, それぞれ, c4, c−∞,

c∞とかく。

Ω ⊂ Rnを体, tを正の実数とする。x ∈ Rnの関数

WΩ(x, t) =1

(4πt)n/2

∫Ωexp

(−|x− y|

2

4t

)dy (1.2)

は, Rnの熱の伝導を記述する関数である。WΩ(·, t)の臨界点について, 次のことが知られている：

(1) Ωが凸のとき, WΩ(·, t)は Ωの内部にのみ臨界点をもつ (この分野の共通認識)。

(2) Ωの内心が唯一つであれば, t→ 0+で, WΩ(·, t)の臨界点は Ωの内心に収束する ([3])。

(3) t→ +∞で, WΩ(·, t)の臨界点は Ωの重心に収束する ([2])。

すなわち, W(·, t)の臨界点もの「中心」の仲間だと思える。Ω ⊂ Rnを体, hを正の実数とする。x ∈ Rnの関数

PΩ(x, h) =2h

σn (Sn)

∫Ω

(|x− y|2 + h2

)−(n+1)/2dy (1.3)

は, Ωの (x, h)における立体角に比例する関数である。PΩ(·, h)の臨界点について, 次のことが知

られている：

95

(1) Ωが凸のとき, PΩ(·, t)は Ωの内部にのみ臨界点をもつ (この分野の共通認識)。

(2) Ωが凸のとき, h→ 0+で, PΩ(·, h)の臨界点は V(−1)Ω の臨界点に収束する ([8])。

(3) h→ +∞で, PΩ(·, h)の臨界点は Ωの重心に収束する ([7])。

すなわち, P(·, h)の臨界点もの「中心」の仲間だと思える。ここで挙げた 3つの距離核ポテンシャルの臨界点は, いずれも, 1つのパラメータに依存し, 一般

に, パラメータに関して動く。WΩ(·, t)の臨界点が tに関して動かない必要十分条件は, [4]で与え

られ, バランス法則とよばれる：∫Ω∩rSn−1

v dσ(v) = 0 a.e. r ≥ 0 (1.4)

V(p)Ω の臨界点が pに関して動かないための必要十分条件と PΩ(·, h)の臨界点が hに関して動かな

いための必要十分条件も, 共に, (1.4)であり, バランス法則をみたす三角形は正三角形に限る ([9])。

言い換えれば, 次の臨界点の集合が 1点集合となるは正三角形に限る：∪t∈(0,∞)

x|∇W(x, t) = 0,∪p∈Rx|∇V (p)

(x) = 0,∪

h∈(0,∞)

x|∇P(x, h) = 0 (1.5)

これらの集合の濃度は, 一般に, 非可算無限であることに注意する。

[5]で, 三角形上の熱方程式の Dirichlet初期境界値問題の解の空間臨界点が時刻に関して動

かないならば, は正三角形に限ることが示されている。この結果も, 正三角形を特徴づけるため

に, 非可算無限個の点を用いている。

本稿では, 球対称関数 k(| · |)との定義関数 χとのたたみ込み k(| · |) ∗ χを考え, 「それが

内心または Chebyshev心を臨界点にもつならば, は正三角形に限るか？」という問題を考察する。先行研究では, 非可算無限個の点を用いて正三角形を特徴づけたことに対して, 本稿の主題は,

2個の点だけから正三角形を特徴づけようとしていることに注意されたい。この意味で, 冒頭で述

べた初等幾何の定理を一般化し, 正三角形の解析的特徴づけを与える。

2 距離核ポテンシャルの臨界点

Ω ⊂ Rnを体 (有界な開集合の閉包)とする。k : (0,∞)→ Rは微分可能で,

KΩ(x) := k (| · |) ∗ χΩ(x) =

∫Ωk (|x− y|) dy (2.1)

が各 x ∈ Rnで定義されるようなものを考える。例えば, k(| · |) : Rn → Rが局所可積分ならば, KΩ

は Rnで連続である。KΩの臨界点を考えるために, ∇KΩがどのように表されるかについて考える。微分と積分の順

序交換が可能だと仮定すると,

∇KΩ(x) =

∫Ω∇k (|x− y|) dy =

∫Ωk′ (|x− y|) x− y

|x− y|dy (2.2)

となる。これは, 例えば, k′(| · |) : Rn → Rが局所可積分ならば成り立つ。k′(| · |)が局所可積分でなくとも, xがΩの内点ならば, 微分と積分の順序交換のような式は得ら

れる。すなわち, x ∈ intΩに対して, 0 < ε < dist(x,Ωc)をとり,

∇KΩ(x) =

∫Ω\Bε(x)

k′ (|x− y|) x− y|x− y|

dy (2.3)

96

が成り立つ。

以下, kは, 各 x ∈ intΩに対して, ある 0 ≤ ε < dist(x,Ωc)が存在して, (2.3)の右辺が定義され

るようなものを考え, Ωの内点 xがKΩの臨界点であるとは, ある 0 ≤ ε < dist(x,Ωc)が存在して,∫Ω\Bε(x)

k′ (|x− y|) x− y|x− y|

dy = 0 (2.4)

が成り立つこととする。

Ωが凸の場合, 極座標変換することで, (2.4)は次のように書き換えられる：∫Sn−1

(∫ ρΩ−x(v)

εk′(r)rn−1 dr

)v dσ(v) = 0 (2.5)

ここで,

ρΩ−x(v) = maxλ ≥ 0|λv + x ∈ Ω, v ∈ Sn−1 (2.6)

は, Ωの xに関する動径関数 (radial function)である。

注意 2.1. Ωが凸, Ωの境界が区分的に C1級, kが狭義単調であり, kの原点付近での挙動が次の

いずれかならば, KΩは Ωの内部にのみ臨界点をもつことがわかる：

• ある ε > 0が存在して, min|k(r)|rn−1|0 < r ≤ ε > 0が成り立つ。

• k′(| · |) : Rn → Rは局所可積分である。

3 正三角形の特徴づけ

⊂ R2を三角形, k : (0,∞)→ Rは微分可能, x ∈ intは (2.4)の意味でKの臨界点とする。

κε(ρ) =

∫ ρ

εk′(r)r dr (3.1)

とおく。a, b, c, α1, α2, β1, β2, γ1, γ2を図 1のようにおき, dc, da, dbを, それぞれ, xから長さが c, a, b

である辺へ下した垂線の長さとする。

f∗(t) =

∫ π/2

tκε

(d∗

sinϕ

)cosϕdϕ, g∗(t) =

∫ π/2

tκε

(d∗

sinϕ

)cosϕdϕ, (3.2)

F∗(s, t) =f∗(s)− f∗(t)

∗, G∗(s, t) =

g∗(s)− g∗(t)∗

(3.3)

とおく。

[1]で, 1次の Rieszポテンシャル V(1) の臨界点の初等幾何的特徴づけが与えられている。その

証明の方針に沿って, (2.5)を計算することで, 次を得る：

補題 3.1. x ∈ intが K の臨界点であるための必要十分条件は, 次の 2式が成り立つことで

ある：

a sin (γ1 + γ2) (Fa (β1, γ2)− Fc (α1, β2)) + a cos (γ1 + γ2) (Ga (β1, γ2)−Gc (α1, β2))

−b (Gb (γ1, α2)−Gc (α1, β2)) = 0,

b sin (γ1 + γ2) (Fb (γ1, α2)− Fc (α1, β2)) + a (Ga (β1, γ2)−Gc (α1, β2))

−b cos (γ1 + γ2) (Gb (γ1, α2)−Gc (α1, β2)) = 0

97

α2

b

c

a

α1β2β1

γ1 γ2

x

図 1: 臨界点の位置

3.1 内心が距離核ポテンシャルの臨界点である場合

定理 3.2. k′ = 0であり, ∇K(c−∞) = 0と仮定する。このとき, は正三角形に限る。

証明の概略. rをの内接円の半径とする。

f(t) =

∫ π/2

tκε

(r

sinϕ

)cosϕ dϕ, g(t) =

∫ π/2

tκε

(r

sinϕ

)sinϕ dϕ, I(θ) = f(θ) + g(θ) tan θ

とおく。dc = da = db = rより, fa = fb = fc = f , ga = gb = gc = gである。α1 = α2, β1 = β2,

γ1 = γ2とあわせて, 補題 3.1を計算すると,

I (α1) = I (β1) = I (γ1)

を得る。I ′ = 0, すなわち, I は狭義単調であることがわかり, α1 = β1 = γ1を得る。

例 3.3. 次のいずれの場合も, ∇K(c−∞) = 0ならば, は正三角形に限る：

k(r) =

rp−2 (p = 2),

− log r,

1

4πtexp

(−r

2

4t

)(t > 0),

1

4π

h

(r2 + h2)3/2(h > 0)

3.2 Chebyshev心が距離核ポテンシャルの臨界点である場合

定理 3.4. kは単調減少/増加, 下に/上に凸, 非定数であり, ∇K(c∞) = 0と仮定する。このとき,

は正三角形に限る。

証明の概略. R > 0をの外接円とする。

C(θ) =1

cos θ

∫ π/2

θκε

(R sin θ

sinϕ

)sinϕ dϕ

とおく。α1 = β2, β1 = γ2, γ1 = α2を用いて, 補題 3.1を計算すると,

C (α1) = C (β1) = C (γ1)

98

を得る。C ′ = 0であるための必要十分条件は, 任意の 0 < t < 1に対して,

E(t) :=

∫ t

0κε

(R√1− t2√1− s2

)ds− κε(R)t+R2t2

∫ t

0k′

(R√1− t2√1− s2

)1

1− s2ds = 0

であることがわかる。kの仮定を用いて, これが示され, α1 = β1 = γ1を得る。

例 3.5. 次のいずれの場合も, ∇K(c∞) = 0ならば, は正三角形に限る：

k(r) =

rp−2 (p ≤ 3),

− log r

定理 3.4の証明で用いた Eは, k(r) = rp−2のとき, 具体的に計算できるため, p ≤ 3という仮定

は不要になる：

命題 3.6. p = 2とする。∇V (p) (c∞) = 0と仮定する。このとき, は正三角形に限る。

k(r) = r2の結果を用いて, 熱核と Poisson核に対して, 部分的な結果を与えることができる：

命題 3.7. R > 0をの外接円の半径とする。次のいずれかが成り立つと仮定する：

(i) t ≥ 3R2/8かつ∇W(c∞, t) = 0

(ii) h ≥√15R/2かつ∇P(c∞, h) = 0

このとき, は正三角形に限る。

参考文献

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[9] S. Sakata, Stationary radial centers and symmetry of convex polytopes, to appear in Colloq.

Math.

99

ヒルベルト空間の弱鏡映PF部分多様体について

森本　真弘 (大阪市立大学 D3)∗

1. 序論　有限次元リーマン多様体の極小部分多様体であって，特殊な対称性を持つものがある：

全測地的部分多様体⇒ ⇒鏡映部分多様体オースティア

部分多様体 ⇒ 極小部分多様体⇒ ⇒弱鏡映部分多様体

Mを有限次元リーマン多様体，Mを Mにはめ込まれた部分多様体とする．Mが鏡映([7]) であるとは，Mが Mの等長変換の固定点集合の連結成分であることをいう．Mが弱鏡映 ([4])であるとは，各p ∈Mにおける各法ベクトル ξ ∈ T⊥

p Mに対して，Mの等長変換νξが存在してνξ(p) = p, dνξ(ξ) = −ξ, νξ(M) =Mが成り立つことをいう．Mがオースティア ([2])であるとは，各 ξ ∈ T⊥Mに対して，形作用素Aξの固有値が重複度込みで (−1)倍不変であることをいう．本講演では，上記概念をPF部分多様体 ([12])と呼ばれる無限次元部分多様体のクラ

スへ拡張し，弱鏡映PF部分多様体に関して得られた講演者の結果 ([15])を紹介する．

2. PF部分多様体と関連概念　V を可分ヒルベルト空間，MをV にはめ込まれた部分多様体とする．codimM <∞と仮定する．MがPF部分多様体であるとは，終点写像Y : T⊥M → V , (p, ξ) 7→ p+ ξ

が次を満たすことをいう：任意のr > 0に対し，半径rの法ディスク束Drへの制限写像Y |Drが，固有写像かつフレドホルム写像 (各点で微分がフレドホルム作用素)である．

命題 1 ([12]) MをV のPF部分多様体とする．(i) 各接空間TpMはV の閉部分空間である．(ii) 各 ξ ∈ T⊥

p Mに対し，形作用素AξはTpM上の自己共役コンパクト作用素である．(iii) 各u ∈ V に対し，関数fu :M → R, p 7→ ∥p− u∥2はモース関数である．

PF部分多様体は，無限次元部分多様体論における基本的研究対象である．PF部分多様体の重要な例が，ゲージ変換群作用の軌道として与えられる．Gを連結コンパクト・リー群とする．Gのリー代数gにAd不変計量を固定し，対応するGの両側不変計量を固定する．Vg := H0([0, 1], g)でgに値をもつソボレフH0道全体の成すヒルベルト空間を表す．G := H1([0, 1], G)でGに値をもつソボレフH1道全体が成すヒルベルト・リー群を表す．Vgへの左G作用を，左ゲージ変換

(g ∗ u)(t) := g(t)u(t)g(t)−1 − g′(t)g(t)−1, g ∈ G, u ∈ Vg (1)

で定義する．HをG×Gの閉部分群とする．Gの部分群P (G,H)を

P (G,H) := g ∈ G | (g(0), g(1)) ∈ H

本研究は特別研究員奨励費 (課題番号:18J14857, 学振DC2)の助成を受けたものである。2010 Mathematics Subject Classification: 53C40キーワード：極小部分多様体，弱鏡映部分多様体，ヒルベルト空間のPF部分多様体∗ 558-8585 大阪府大阪市住吉区杉本 3-3-138 大阪市立大学大学院理学研究科数物系専攻 (数学分野)e-mail: [email protected]: https://sites.google.com/view/mmorimoto

100

で定義する．部分群P (G,H)のVg上の誘導作用をP (G,H)作用 ([13])と呼ぶ．P (G,H)

作用の各軌道は，VgのPF部分多様体となる ([13])．より一般に，PF部分多様体は平行移動写像 ([6])を用いて構成できる．まず写像E :

Vg → Gを常微分方程式 E−1u E ′

u = u

Eu(0) = e

の一意解として定義する．平行移動写像Φ : Vg → Gは，

Φ(u) := Eu(1), u ∈ Vg

で定義される．

命題 2 [[14]]

(i) Φ : Vg → Gはリーマン沈め込み写像である.

(ii) 部分群P (G, e × e)はVgの各ファイバーに自由かつ推移的に作用する．(iii) Φ : Vg → Gは主P (G, e × e)束である．(iv) Φ : Vg → Gの任意の2つのファイバーはVgの等長変換で合同である．

次の命題により，PF部分多様体が平行移動写像を通して多数得られる．

命題 3 [[14]] Gの閉部分多様体Nに対し，逆像Φ−1(N)はVgのPF部分多様体である.

平行移動写像Φにより，P (G,H)作用を次のように解釈できる．写像Ψ : G → G×GをΨ(g) = (g(0), g(1))で定義する．G上の左H作用を

(b1, b2) · a := b1ab−12 , a ∈ G, (b1, b2) ∈ H (2)

で定義する．このとき，任意の g ∈ P (G,H), 任意のu ∈ Vgに対して

Φ(g ∗ u) = Ψ(g) · Φ(u)

が成り立つ ([13])．つまり，次の図式は可換である：

G ⊃ P (G,H) Vg ⊃ P (G,H) ∗ u

Ψ ↓ Ψ ↓ Φ ↓ Φ ↓

G×G ⊃ H G ⊃ H · Φ(u)

更に，次が成り立つ．P (G,H) ∗ u = Φ−1(H · Φ(u))

つまり，P (G,H)作用の各軌道は，H作用の各軌道の平行移動写像Φによる逆像である．Gの閉部分群Kを考えることで，平行移動写像Φを次のように一般化できる．G/K

で法等質計量を備えたコンパクト・リーマン等質空間を表す．自然な射影π : G→ G/K

はリーマン沈め込み写像である．G/K上の平行移動写像とは，合成写像ΦK := π Φ :

Vg → G → G/Kで定義されるG/K上のリーマン沈め込み写像である．K = eのときΦ = ΦKが成り立つ．命題2及び命題3と同様の事実が，ΦKに対しても成り立つ．一般に，G/Kの閉部分多様体Nと，逆像として得られるPF部分多様体Φ−1

K (N)との幾何学的関係を調べることは重要な問題である (e.g. [6], [14], [3])．

101

3. 対称性をもつPF部分多様体とその極小性　Mを可分ヒルベルト空間V のPF部分多様体とする．まず，有限次元の場合と同様に，次の4つの部分多様体が定義される：

定義 1 Mが鏡映であるとは，MがV のある等長変換の固定点集合の連結成分であることをいう．Mが全測地的であるとは，第二基本形式が恒等的に0であることをいう．Mが弱鏡映 ([4])であるとは，各 p ∈ Mにおける各法ベクトル ξ ∈ T⊥

p Mに対して，Vの等長変換 νξが存在して νξ(p) = p, dνξ(ξ) = −ξ, νξ(M) = Mが成り立つことをいう．Mがオースティア ([2])であるとは，各 ξ ∈ T⊥Mに対して，形作用素Aξの固有値が重複度込みで (−1)倍不変であることをいう．

次に，極小PF部分多様体を考える．一般に，形作用素がトレースクラスに属さないため，平均曲率が自然に定義されないことに注意せよ．現在のところ，平均曲率の定義か2通りあることに対応し，極小PF部分多様体の定義が2通りある：

定義 2 ([6],[3]) 法ベクトル ξ ∈ T⊥Mに対し，ξ方向の形作用素をAξで表し，その固有値をµ1 ≤ µ2 ≤ · · · < 0 < · · · ≤ λ2 ≤ λ1と表す．(i) Aξがζ-正則化可能 ([6])であるとは，任意のs > 1に対して

∑k λ

sk+∑

k |µk|s <∞かつ trζ Aξ := lims1(

∑k λ

sk −∑

k |µk|s)が存在することをいう．このとき trζ Aξを ξ方向の ζ-正則化平均曲率という．任意の ξ ∈ T⊥Mに対して trζ Aξが ζ正則化可能であるとき，Mは ζ-正則化可能であるという．Mが ζ-正則化可能かつ任意の ξ ∈ T⊥Mに対して trζ Aξ = 0が成り立つとき，Mは ζ-極小であるという．(ii) Aξが正則化可能 ([3])であるとは，trA2

ξ < ∞かつ trr Aξ :=∑∞

k=1(λk + µk)が収束することをいう．このとき trAξを正則化平均曲率という．任意の ξ ∈ T⊥Mに対してAξが正則化可能であるとき，Mは正則化可能であるという．Mが正則化可能かつ任意の ξ ∈ T⊥Mに対して trr Aξ = 0が成り立つとき，Mは r-極小であるという．

これらの 2定義は一般に異なるが，平行移動写像を通して得られる PF部分多様体Φ−1K (N)に対して，これらの 2定義が一致することが知られている ([6], [3])．更にこのとき，次の関係が同様に成り立つ：

全測地的部分多様体⇔ ⇒鏡映部分多様体オースティア

部分多様体 ⇒ 極小部分多様体⇒ ⇒弱鏡映部分多様体

4. 主結果　以下の定理はいずれも「N が弱鏡映ならば，平行移動写像による逆像Φ−1

K (N)も弱鏡映である」ことを主張する．以下，0 ∈ Vgで0 ∈ gに値をもつ定道を表す．

定理 1 ([15]) HをG × Gの閉部分群とする．単位元 e ∈ Gを通る軌道N := H · eが条件N−1 = Nを満たすと仮定する．このときNはGの弱鏡映部分多様体であり，更に逆像Φ−1(N) = P (G,H) ∗ 0はVgの弱鏡映PF部分多様体である．

系 1 ([15]) 平行移動写像ΦKの各ファイバーはVgの弱鏡映PF部分多様体である．

定理 2 ([15]) (i) NをGの閉部分多様体とする．次は同値：(a) NはGの弱鏡映部分多様体であって各鏡映がG×G作用のイソトロピー群に属する．(b) 逆像Φ−1(N)はVgの弱鏡映PF部分多様体であって各鏡映がG作用のイソトロピー群に属する．

102

(ii) NをG/Kの閉部分多様体とする．次は同値．(a) NはG/Kの弱鏡映部分多様体であって各鏡映がG作用のイソトロピー群に属する． (b) π−1(N)はGの閉部分多様体であって各鏡映がG ×K作用のイソトロピー群に属する．(c) Φ−1(N)は Vgの弱鏡映PF部分多様体であって各鏡映P (G,G×K)作用のイソトロピー群に属する．

定理 3 ([15]) HをG×Gの閉部分群とする．単位元e ∈ Gを通る軌道N := H · eが弱鏡映部分多様体であって，各 ξ ∈ T⊥

e Nに関する鏡映 νξがGの自己同型であるとする．このときΦ−1(N) = P (G,H) ∗ 0はVgの弱鏡映PF部分多様体である．

定理 4 ([15]) G/Kを既約なコンパクト型リーマン対称空間とする．G/Kの任意の弱鏡映部分多様体Nに対して，逆像Φ−1

K (N)はVgの弱鏡映PF部分多様体である．

G/Kの弱鏡映部分多様体の例を上記定理に適応することで，弱鏡映PF部分多様体の例が多数得られる：

例 1 Gの自己同型 σに対しG(σ) := (a, σ(a)) | a ∈ Gとおく．G(σ)は (2)によりG

に左作用する．σが対合的であると仮定する．このとき定理1から，軌道G(σ) · eはG

の弱鏡映部分多様体であり，軌道P (G,G(σ)) ∗ 0はVgの弱鏡映PF部分多様体である．

例 2 (i) HをG × Gの閉部分群とする．G上H作用が余等質性 1であると仮定する．このとき任意の特異軌道H · a (a ∈ G) はGの弱鏡映部分多様体である ([9], [4])．このとき定理 2 (i)から，u ∈ Φ−1(a)を通る軌道P (G,H) ∗ uはVgの弱鏡映PF部分多様体である．(ii) K, K ′をGの閉部分群とする．G/K上のK ′作用k′ · aK := (k′a)Kが余等質性1

であると仮定する．このとき任意の特異軌道K ′ · aKはG/Kの弱鏡映部分多様体である ([9], [4])．このとき定理 2 (ii) から，u ∈ Φ−1(a)を通る軌道P (G,K ′ ×K) ∗ uはVgの弱鏡映PF部分多様体である．

例 3 K1, K2をGの連結対称部分群とする．大野 [8]は可換Hermann作用K2 G/K1,

K2×K1 Gの軌道が弱鏡映部分多様体となる十分条件を与えた．軌道 (K2×K1) ·aがその条件を満たすとする．定理2または定理3より，u ∈ Φ−1(a)を通る軌道P (G,K2×K1) ∗ uはVgの弱鏡映PF部分多様体である．

例 4 σをGの有限位数自己同型，Gσをその固定点集合，G(σ) := (a, σ(a)) | a ∈ Gとする．木村-間下 [5] はCartan埋め込みG/Gσ → G, aGσ 7→ aσ(a)−1の像がGの弱鏡映部分多様体となる例を与えた．そのような弱鏡映部分多様体に対し定理 3を適応することで，Vgの弱鏡映PF部分多様体P (G,G(σ)) ∗ 0が得られる．

例 5 井川-酒井-田崎 [4] は s表現の軌道であって標準球面の弱鏡映部分多様体となるものを分類した．彼らの結果に定理4を適応することで，弱鏡映PF部分多様体の例が次のように得られる：(U,L)を（既約）コンパクト・リーマン対称対とする．Lが連結であると仮定する．u = l+ pで標準分解を表す．Ad : L→ SO(p)でイソトロピー表現を表す．x ∈ pを通る軌道Ad(L) · xが標準球面S(∥x∥)の弱鏡映部分多様体ならば，軌道P (SO(p),Ad(L)× SO(p)x) ∗ 0はVso(p)の弱鏡映PF部分多様体である．

例 6 榎吉 [1]は，グラスマン多様体 Gr3(ImO) ∼= SO(7)/SO(3) × SO(4)上の例外型リー群G2作用が，唯一つの弱鏡映主軌道を持つことを示した．定理4を適応することで，Vso(7)の弱鏡映PF部分多様体P (SO(7), G2 × (SO(3)× SO(4))) ∗ 0が得られる．

103

次の定理より，上で挙げた弱鏡映PF部分多様体の例は，殆どの場合に全測地的でない．

定理 5 ([15]) Nが e ∈ Gを通るGの連結閉部分多様体であるとする．次は同値.

(i) Φ−1(N)はVgの全測地的PF部分多様体である．(ii) NはGの閉部分群であって法空間T⊥

e Nはgの中心 c(g)に含まれる．

さて，次の事実が知られている．

命題 4 ([10]) 有限次元ユークリッド空間内の等質極小部分多様体は全測地的である．

上の等質弱鏡映PF部分多様体の例，及び定理5を用いることで，次が従う．

系 2 ([15]) 無限次元ヒルベルト空間には，全測地的でない等質極小部分多様体が多数存在する．

この系は，有限次元幾何と無限次元幾何の一つの決定的差を表している．

注意 1 近年，武富 [11]は弱鏡映部分多様体の一般化としてアリッド部分多様体という極小部分多様体のクラスを導入した．PF部分多様体に対しても「アリッド」を同様に定義することができる．更に定理2, 定理3, 定理4と同様の結果が成り立ち，有限次元アリッド部分多様体の例から無限次元アリッドPF部分多様体の例が得られる．

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[15] M. Morimoto, On weakly reflective PF submanifolds in Hilbert spaces, arXiv:1904.08328.

104

On the structure of geodesically complete spaceswith an upper curvature bound

永野幸一 (筑波大数理物質)∗

概要

本稿では, Lytchak氏 (ケルン大学)と筆者による曲率が上に有界な距離空間に対する一連の共同研究 [17, 18]における主要な研究成果について概説する.

1. はじめにA. D. Alexandrovは 1950年代に測地三角形の比較条件によって曲率が片側に有界な距離空間の概念を導入した. 彼の研究を祖とするAlexandrov幾何学は, 1980年代のGromovの研究を契機として脚光を浴びることになる. 曲率が下に有界な距離空間は,

単にAlexandrov空間と呼ばれ, 距離空間族に対するGromovのプレコンパクト性定理により大域Riemann幾何学において大事な研究対象になっている. 一方で, 曲率が上に有界な距離空間は, 特別な対象がCAT(κ)空間と呼ばれ, Gromovの双曲群に関連する幾何学的群論においてGromov双曲距離空間とともに基本的な役割を担っている.

曲率が下に有界な Alexandrov 空間の代表的な基盤研究として, Burago–Gromov–

Perelman ([6])による計量的な幾何構造の研究,および大津・塩谷([24])やPerelman([29])

によるRiemann微分構造の研究が挙げられる. また, Perelman ([27], [28])による位相安定性の研究は, Riemann多様体の収束・崩壊理論において重要な役割を果たしている.

Lytchakと筆者は, 論文 [17]において, 測地的完備性の仮定のもと, 曲率が上に有界な距離空間の計量的な幾何構造を記述した. 続いて, 論文 [18]において, 曲率が上に有界な距離空間の位相正則性について研究した. これらは, 上述の曲率が下に有界なAlexandrov空間の研究の類似と見なすことができる. 実際に, Lytchakと筆者の一連の共同研究 [17, 18]の根底に流れている研究手法は, Alexandrov空間の理論と同様に伸長写像と呼ばれるEuclid空間への正則な写像を解析することである.

本稿では, Lytchakと筆者の共同研究 [17, 18] における主要な研究成果を述べ, 曲率が上に有界な距離空間に対する伸長写像による研究手法について概説する.

1.1. 曲率が上に有界な測地的完備距離空間の幾何構造

以下, n次元Euclid空間Rn内の(n−1)次元標準単位球面をSn−1で表す. 距離空間の点pを中心とする半径rの開距離球体をUr(p),閉距離球体をBr(p),距離球面Br(p)−Ur(p)を∂Br(p)で表す. 位相次元 (被覆次元)をdimで表し, Hausdorff次元をdimHで表す.

曲率が上に有界な距離空間Xに対して, 点 x ∈ Xにおける方向空間をΣxXで表し,

そのEuclid錐として定義される接空間をTxXで表し, 接空間TxXの頂点を oxで表す.

もしXがRiemann多様体であれば, 方向空間ΣxXは単位接球面に, 接空間TxXは通常の接空間に, 頂点 oxは通常の接空間の原点に相当する.

簡単のため, 曲率が上に有界であり局所コンパクトで局所測地的完備な可分距離空間のことをGCBA空間と呼び, さらに曲率がκ以下であるときGCBA(κ)空間と呼ぶ.

部分的に科研費 (課題番号:26610012, 21740036, 18740023)と学振海外特別研究員制度の助成を受けた.∗ 305-8571 茨城県つくば市天王台 1-1-1 筑波大学数理物質系数学域e-mail: [email protected]

105

次は大津・田上の先行研究 [25]の中で陰に示されている (Kleinerの研究 [14]も参照).

定理 1.1. ([17]) 任意のGCBA空間Xに対して, dimX = dimH Xが成り立つ. さらに,

dimXはEuclid開距離球体と同相なXの開集合の次元の上限に等しい.

任意の有限次元単体的複体の幾何学的実現は, 曲率が上に有界な距離を有する ([2]).

以下に述べる主張は単体的複体が備える構造をモデルとして定式化されている.

非負整数kに対して, GCBA空間Xの部分集合XkをXk := x ∈ X | dimTxX = k で定め, Xの k次元部分と呼ぶ. 一般に, XkはXの開集合でも閉集合でもない. また,

GCBA空間Xの点x ∈ Xがk次元幾何学的正則点であるとは接空間TxXがRkと等長的であるときにいう. 以下では, GCBA空間Xの k次元幾何学的正則点全体からなる集合をRk(X)で表し, Xのk次元幾何学的正則集合と呼ぶ.

Lytchakと筆者 [17]によるGCBA空間に対する幾何構造定理は次のように記述される.

定理 1.2. ([17]) 任意のGCBA空間Xに対して, 各々の非負整数kについてXのk次元部分Xkは (空集合でない限り)以下を満たす.

(1) 点x ∈ XがXkに属することと,十分小の任意のr ∈ (0,∞)に対してdimUr(x) = k

であることは同値である.

(2) k次元Hausdorff測度HkのXkへの制限Hk⌊XkはXk上の正値Radon測度である.

(3) Xkの稠密部分集合Mkが存在して, MkはXの開集合であり, かつMkは k次元Lipschitz多様体であり, 以下の性質を満たす.

(a) dimH

(clX(X

k)−Mk)≤ n− 1である. ここでclXはXにおける閉包を表す.

(b) Rk(X)はMkに含まれ, dimH

(Mk −Rk(X)

)≤ k − 2である.

(c) Mk は DC級微分構造を許容して, 局所的に BV級かつ Rk(X)上 C0 級のRiemann計量 gを持ち, X上の元の距離はMk上局所的に gから誘導されるRiemann弧長距離に一致する.

定理1.2の一部分は大津・田上の研究 [25] ([23]も参照)にも見られる. なお,主張(3)(d)

における用語はAlexandrov空間論における定式化に基づく ([24], [29], [16]を参照).

Lytchakと筆者 [17]はGCBA空間に対する幾何構造定理1.2をもとに次を示した.

定理 1.3. ([17]) 任意のGCBA空間Xに対して, 冪集合 2X上の関数µX : 2X → [0,∞]

をµX :=∑∞

k=0Hk⌊Xk で定めると, µXはX上の正値Radon測度になる.

GCBA空間Xに対して, 定理 1.3において定まるX上の正値Radon測度µXをXの標準体積測度と呼ぶ. 標準体積測度について, 次の収束定理が成り立つ.

定理 1.4. ([17]) 位相次元がn以下, 曲率がκ以下, 単射半径が r以上であるコンパクトGCBA空間全体からなるクラスをC(n, κ, r)で表す. このとき以下が成り立つ.

(1) C(n, κ, r)内の空間列 (Xi)がGromov–Hausdorff位相に関して収束部分列を持つことと, 標準体積全測度列 (µXi

(Xi))が有界であることは同値である.

(2) C(n, κ, r)内の空間列 (Xi)がGromov–Hausdorff位相に関してコンパクト距離空間Xに収束すれば, X ∈ C(n, κ, r)であり, limi→∞ µXi

(Xi) = µX(X)が成り立つ.

定理1.4は筆者の体積収束定理 ([21])の一般化になっている.

非負整数kに対して, GCBA空間Xの点x ∈ Xがk-伸長点であるとは, ある距離空間Zxが存在して, 点xにおける接空間TxXがRk×Zxと等長的であるときにいう. GCBA

空間Xのk-伸長点全体からなる集合をRk(X)で表し, Xのk-伸長点集合と呼ぶ.

次はGCBA空間の特異点集合に対する構造定理である.

106

定理 1.5. ([17]) 任意のGCBA空間Xと任意の k ∈ Nに対して, Xの部分集合列 (Ki)

が存在して, X −Rk(X) =∪∞i=1Kiであり, 各々のKiはRk−1のコンパクト部分集合と

双Lipschitz同相である. 特に, X −Rk(X)は可算的にHk−1-求長可能である.

位相空間Xの点x ∈ Xが多様体点であるとは, あるn ∈ Nが存在し点xがRnと同相な開近傍を持つときにいう. この場合, 点x ∈ Xをn次元多様体点と呼ぶ. 位相空間X

の非多様体点全体からなる集合をS(X)で表し, Xの位相的特異点集合と呼ぶ. 一般に,

n次元GCBA空間のn-伸長点は, n次元多様体点である. したがって, 定理1.5を用いると次がわかる. すなわち, 任意のn次元GCBA空間Xに対し, Xの部分集合列 (Ki)が存在して, S(X) =

∪∞i=1Kiであり, 各KiはRn−1のコンパクト部分集合と双Lipschitz

同相である. 特に, S(X)は可算的にHn−1-求長可能であり, dimH S(X) ≤ n− 1である.

Lytchakと筆者 [17]は次の局所ホモトピー安定性定理を証明した.

定理 1.6. ([17]) 任意のGCBA(κ)空間X の点 x ∈ X に対して, ある rx ∈ (0, Dκ/2)

が存在して, すべての r ∈ (0, rx)について, Br(x)はコンパクトかつ CAT(κ)であり,

∂Br(x)はΣxXにホモトピー同値である. さらに, GCBA(κ)空間列 (Xi)の各要素Xiの点xi ∈ Xiに対してBr(xi)がコンパクトかつCAT(κ)であり, (Br(xi), xi)が(Br(x), x)に点付きGromov–Hausdorff位相で収束しているとすると, 十分大きな iに対して∂Br(xi)

は∂Br(x)にホモトピー同値である.

1.2. 曲率が上に有界な距離空間の位相正則性

次はLytchakと筆者 [18]の曲率が上に有界な空間に対する局所位相正則性定理である.

定理 1.7. ([18])曲率が上に有界な局所コンパクト距離空間Xに対し以下は同値である.

(1) Xはn次元位相多様体である.

(2) 任意の点x ∈ Xにおける方向空間ΣxXはSn−1にホモトピー同値である.

(3) 任意の点x ∈ Xにおける接空間TxXはRnに同相である.

注意 1.1. 定理1.7は次のように換言できる ([18]). 曲率が上に有界な局所コンパクト距離空間Xに対し以下は同値である. (1) Xは位相多様体である. (2) 非可縮な位相空間Σが存在して, 各点x ∈ Xにおいて方向空間ΣxXはΣにホモトピー同値である. (3) 有限次元位相空間Tが存在して, 各点x ∈ Xにおいて接空間TxXはTに同相である.

定理 1.7はA. D. Alexandrovの問題 ([1])に完答する. 定理 1.7において, Xがn次元位相多様体であるとする. このとき, 各点における方向空間は Sn−1と同じホモロジー群を持つ (n− 1)次元ホモロジー多様体である ([18]). もしn ≥ 5であれば, 各点での方向空間が (n− 1)次元位相多様体であるとは限らない. 反例はEdwardsの二重懸垂定理([10], [8])により (n− 2)次元Poincareホモロジー球面の二重懸垂として構成される ([1],

[3], [11]). 他方n ≤ 4であれば, 各点における方向空間はSn−1に同相である ([18]).

次の定理は未解決であったQuinnの問題 [33]に肯定的な解答を与える.

定理 1.8. ([18]) 曲率が上に有界な任意のn次元ホモロジー多様体Xに対し, Xの局所有限な部分集合Eが存在して, 差集合X − Eはn次元位相多様体である.

曲率が下に有界なAlexandrov空間に対して定理1.7や定理1.8が成り立つことは, Wu

([37])が示したように, Perelmanの局所錐性 (局所位相安定性)定理 ([27], [28])から導かれる. 曲率が上に有界な場合, Kleiner ([14])により, 2次元GCBA空間についても局所錐性が成り立たないことが指摘された (反例の具体的構成方法は [20]を参照).

107

曲率が上に有界なホモロジー多様体に対しては, 次の局所錐性定理が成り立つ. なお,

n = 5の場合の証明はSteven Ferry氏 (ラトガース大学)の援助を受けている (注意5.1).

定理 1.9. ([18])曲率が上に有界なn次元ホモロジー多様体Xについて,任意の点x ∈ Xに対して, Xにおけるxの開近傍Uxと, Sn−1と同じホモロジー群を持つコンパクト(n−1)次元位相多様体Mxが存在して, UxはMx上の開錐C(Mx)に同相である.

注意 1.2. 論文 [18]では, 次の主張も証明している. すなわち, 定理 1.9において, もしn ≤ 4であれば, 任意の点 x ∈ Xについて, 十分小さなすべての r ∈ (0, Dκ)に対して,

距離球面∂Br(x)はSn−1と同じホモロジー群を持つコンパクト (n− 1)次元位相多様体であり, 開距離球体Ur(x)は∂Br(x)上の開錐C(∂Br(x))に同相である.

次は曲率が上に有界なRiemann多様体列の非崩壊極限の位相正則性と安定性である.

定理 1.10. ([18]) CAT(κ)である点付きn次元Riemann多様体列 (Mi, pi)が点付き固有距離空間Xに, 点付きGromov–Hausdorff位相で収束しているとする. このとき, Xはn次元位相多様体であり, X内の任意の反復方向空間は球面に同相である. すなわち,

各m ∈ 1, . . . , nについて任意のx ∈ X, ξ1 ∈ ΣxX, . . . , ξm ∈ Σξm−1 · · ·Σξ1ΣxXに対し,

反復方向空間Σξm · · ·Σξ1ΣxX はSn−m−1に同相である. 加えて, もしXがコンパクトであれば, 十分大の任意の iに対してMiはXに同相である.

断面曲率が下に有界な非崩壊Riemann多様体列に対し, 定理 1.10の前半に対応する位相正則性はV. Kapopvitch [13]により示されている. 定理1.10の後半に対応する位相安定性はPerelmanの位相安定性定理 ([28]) の帰結である.

一般に,曲率が上に有界な距離空間の方向空間はCAT(1)空間である. よって, CAT(1)

空間に対する球面定理と定理1.7を組み合わせると, 様々な位相多様体認識問題の解決に繋がる. Lytchakと筆者 [18]は定理 1.7を用いてCAT(1)空間に対する容量球面定理や体積球面定理を示している. さらに, 筆者自身 [22]により後続研究が行われている.

2. 曲率が上に有界な距離空間の基本性質曲率が上に有界な距離空間に関する基本的な参考文献として [4], [5], [7]を挙げておく.

2.1. 曲率が上に有界な距離空間

距離空間内の最短測地線とは区間からの等長的埋め込み曲線のことであり, 測地線とは局所最短測地線のことである. 正の拡張実数 r ∈ (0,∞]に対して, 距離空間が r-測地的であるとは, 距離が r未満の任意の2点が最短測地線で結ばれるときにいう.

実数κ ∈ Rに対し, 定曲率κの単連結完備曲面をM2κで表し, その直径をDκとおく.

完備距離空間がCAT(κ)であるとは, Dκ-測地的であり, かつ周長が 2Dκ未満の任意の測地三角形がM2

κ内の同じ辺長を持つ比較三角形と比べて厚くないときにいう.

距離空間Xが曲率が上に有界であるとは, あるκ ∈ Rが存在して, 任意の点x ∈ Xに対してある r ∈ (0, Dκ/2)が存在して部分距離空間Br(x)がCAT(κ)であるときにいう.

この場合, Xの曲率はκ以下であるという.

曲率が上に有界な距離空間はANR (絶対近傍レトラクト)である ([26], [15]). 実際,

曲率が上に有界な距離空間は局所凸かつ局所可縮である. より詳しく述べると, 任意のCAT(κ)空間の点xについて, 各r ∈ (0, Dκ/2]に対してBr(x)は凸である. 各r ∈ [0, Dκ)

に対して, 点xと任意の点 y ∈ Br(x)は唯一的に最短測地線で結ぶことができる. 特に,

Br(x)は点xから発進する最短測地線に沿ってBr(x)の中で点xに可縮である.

108

例 2.1. 断面曲率が一様にκ以下である任意の完備Riemann多様体は, 曲率がκ以下の距離空間である. 完備Riemann多様体がCAT(κ)であることと, 断面曲率が一様にκ以下であり, かつ単射半径が一様にDκ以上であることは同値である.

例 2.2. 距離空間X上のEuclid錐C(X)はEuclid距離を備えた開錐 [0,∞)×X/0×Xとして定まる. 以下では, C(X)の元 [(t, ξ)]を tξと記す. 距離空間X上のEuclid錐C(X)

がCAT(0)であることと, XがCAT(1)であることは同値である.

例 2.3. 距離空間X,Y の球面的結X ∗ Y は球面的距離を備えた結 [0, π/2]×X × Y/ ∼として定まる. 距離空間X,Y の球面的結X ∗ Y がCAT(1)であることと, XとY がともにCAT(1)であることは同値である. なお, Sm−1 ∗Sn−1はSm+n−1に等長的である.

2.2. 曲率が上に有界な距離空間における角度, 方向空間, 接空間

曲率が上に有界な距離空間Xの点x ∈ Xを与える. 点xから発進する非自明な最短測地線全体の集合をΣ′

xXで表す. 2つの最短測地線 γ1, γ2 ∈ Σ′xXの間の点 xにおける

角度∠x(γ1, γ2)は, dをX上の距離とするとき,

∠x(γ1, γ2) := limt1,t2→0

cos−1 t21 + t22 − d(γ1(t1), γ2(t2))2

2t1t2

で定まる. 点xにおける角度∠xはΣ′xX上の擬距離となる. 点xにおける方向空間ΣxX

は商距離空間Σ′xX/∠x = 0の完備化として定義される. また点 xにおける接空間 TxX

は方向空間ΣxX上のEuclid錐C(ΣxX)として定義される. 任意の方向空間はCAT(1)

空間であり, 接空間はCAT(0)空間である.

距離空間Xの1点p ∈ Xからの距離関数dp : X → Rは, dをX上の距離とするとき,

dp(x) := d(p, x)で定まる. 曲率が上に有界な距離空間の1点からの距離関数は第一変分公式を満たす. すなわち, CAT(κ)空間の 1点 p ∈ Xについて, 任意の点x ∈ UDκ(p)と任意の最短測地線γ ∈ Σ′

xXに対して, 関数dpに対する第一変分公式

limt→0

(dp γ)(t)− (dp γ(0))t

= − cos∠x(γxp, γ)

が成り立つ. ただし, γxp ∈ Σ′xXは点xから点pへの (唯一の)最短測地線を表す.

曲率が上に有界な距離空間において, 十分小さな穴あき距離球体は方向空間にホモトピー同値である. 実際, CAT(κ)空間の点xにおいて, すべての r ∈ (0, Dκ)に対して,

Ur(x)− xやBr(x)− xはΣxXにホモトピー同値である ([15]).

曲率が上に有界な可分距離空間Xは, dimX = 1 + supx∈X dimΣxX を満たす ([14]).

2.3. 曲率が上に有界な測地的完備距離空間

距離空間が固有であるとは任意の閉距離球体がコンパクトであるときにいう. 局所測地的距離空間が局所コンパクトで (局所)完備であれば (局所)固有である.

局所測地的距離空間が局所測地的完備である (もしくは測地線延長性質を満たす)とは端点を持つすべての測地線がその端点を超えて延長できるときにいい, 測地的完備であるとはすべての測地線が定義域をRまで延長できるときにいう. 曲率が上に有界な完備距離空間が測地的完備であることと, 局所測地的完備であることは同値である.

本稿における主な研究対象はGCBA空間である. 任意のGCBA空間Xに対して, 各点 x ∈ Xにおける方向空間ΣxXや接空間 TxXはGCBA空間である. また, 方向空間ΣxXはコンパクトであり, 点付き接空間 (TxX, ox)は点付き拡大空間 (rX, x)を r →∞としたときの点付きGromov–Hausdorff極限に等長的である.

109

3. 曲率が上に有界な距離空間における伸長器と伸長写像Burago–Gromov–Perelman ([6])は曲率が下に有界なAlexandrov空間に対して伸長器と伸長写像の概念を定式化した. Lytchakと筆者は論文 [17]において, GCBA空間に対する伸長器と伸長写像の概念を以下に述べるように定式化した.

3.1. 微小開距離球体と二倍性質

GCBA(κ)空間内の開距離球体Ur(x)が微小であるとは, r < Dκ/100を満たし, 閉距離球体B10r(x)がコンパクトCAT(κ)空間であるときにいう. 任意のGCBA(κ)空間内の任意の点は微小開距離球体を持つことに注意する. 任意のGCBA(κ)空間は可分性より可算個の微小開距離球体で被覆される.

距離空間がN-二倍的であるとは, 任意の半径rの開距離球体が高々N個の半径r/2の開距離球体で被覆されるときにいう. 距離空間が二倍的であるとはあるN ∈ NについてN -二倍的であるときにいう. この場合Nを二倍定数と呼ぶ. 可分距離空間が二倍的であれば, そのHausdorff次元は有限であり, 特にその位相次元も有限である.

任意のGCBA(κ)空間内の微小開距離球体Ur(x)に対して, 閉距離球体B10r(x)は二倍的である ([17]). 特に, 任意のGCBA(κ)空間のHausdorff次元は局所的に有限である. GCBA(κ)空間内の微小開距離球体Ur(x)がN以下の容量を持つとは, 閉距離球体B10r(x)がN -二倍的であるときにいう. 各々の微小開距離球体の容量の上界を制御することは, 以下に述べる様々な場面で, 各種の一様有界性を導くことになる.

3.2. 伸長器と伸長点集合

自然数k ∈ Nと正の実数 δ ∈ (0,∞)を与える. GCBA(κ)空間X内の微小開距離球体Ur0(x0)の点x ∈ Ur0(x0)に対して, B10r0(x0)− x内のk個の点の組 (p1, . . . , pk)が点x

における (k, δ)-伸長器であるとは, B10r0(x0)−x内に別のk個の点の組 (q1, . . . , qk)が存在して, 以下が成り立つときにいう.

(1) 各 i ∈ 1, . . . , kについて, 任意の y ∈ B10r0(x0)− xに対して次を満たす.

∠x(γxpi , γxy) + ∠x(γxy, γxqi) < π + δ.

(2) 相異なる i, j ∈ 1, . . . , kについて, 次を満たす.

∠x(γxpi , γxpj) <π

2+ δ, ∠x(γxpi , γxqj) <

π

2+ δ, ∠x(γxqi , γxqj) <

π

2+ δ.

また, 微小開距離球体 Ur0(x0)の部分集合 W に対して, B10r0(x0)内の k 個の点の組(p1, . . . , pk)がWにおける (k, δ)-伸長器であるとは, 組 (p1, . . . , pk)がすべての点x ∈ Wにおける (k, δ)-伸長器であるときにいう.

次の命題と同様の考察は大津・田上の先行研究 [25]の中でもなされている.

命題 3.1. ([17]) 任意の正の実数 δ ∈ (0,∞)と, 任意のGCBA(κ)空間Xの点 p ∈ Xに対して, ある r ∈ (0,∞)が存在して, 点pはUr(p)− pにおける (1, δ)-伸長器である.

GCBA(κ)空間Xの点x ∈ Xが (k, δ)-伸長点であるとは, 点xにおける (k, δ)-伸長器が存在するときにいう. GCBA(κ)空間Xの (k, δ)-伸長点全体からなる集合をRk,δ(X)

で表し, Xの (k, δ)-伸長点集合と呼ぶ. 定義よりRk+1,δ(X)はRk,δ(X)に含まれる. 命題 3.1よりXが離散的でない限りR1,δ(X)は空集合ではない. また, Xのk-伸長点集合Rk(X)に対して, Rk(X) =

∩δ∈(0,∞)Rk,δ(X) が成り立つ.

次の命題は, 伸長器の定式化と角度の上半連続性よりしたがう.

110

命題 3.2. ([17]) 任意の自然数k ∈ Nと正の実数 δ ∈ (0,∞)と, 任意のGCBA(κ)空間X

に対して, Xの (k, δ)-伸長点集合Rk,δ(X)はXの開集合である.

PetersenのLGC空間に対するホモトピー安定性定理 ([30])を用いると次を得る.

命題 3.3. ([17]) 任意のN ∈ Nと任意の ϵ ∈ (0,∞)に対してある δ ∈ (0,∞)が存在して以下が成り立つ. もしGCBA(κ)空間X内の微小開距離球体Ur(x0)がN以下の容量を持てば, 各x ∈ Ur(x0)∩Rk,δ(X)に対し, コンパクトでGCBAであるCAT(1)空間Zxが存在して, dGH(ΣxX, Sk−1 ∗Zx) < ϵであり, ΣxXはSk−1 ∗Zxにホモトピー同値である.

3.3. 伸長写像

GCBA(κ)空間において, 微小開距離球体Ur0(x0)内の開集合Uを定義域とする写像f : U → Rkが (k, δ)-伸長写像であるとは, U における (k, δ)-伸長器 (p1, . . . , pk)が存在して f = (dp1 , . . . , dpk)を満たすときにいう. 任意の (k, δ)-伸長写像 f : U → Rkは各点x ∈ Uにおいて微分写像Dxf : TxX → Rkを持つ. 実際, f = (dp1 , . . . , dpk)のとき, 距離関数dp1 , . . . , dpkに対する第一変分公式より次を満たす.

(Dxf)(tξ) = −t (cos∠x (γxp1 , ξ) , . . . , cos∠x (γxpk , ξ)) .

正の実数 c ∈ (0,∞)に対して, 距離空間の間の写像 f : X → Y が c-開写像であるとは, 任意の r ∈ (0,∞)と x ∈ Xに対してUr(f(x))が f(Ucr(x))に含まれるときにいう.

距離空間の間の写像 f : X → Y が c-Lipschitzであるとき, fが c-双Lipschitz埋め込みであることと, fが単射な c-開写像であることは同値である.

GCBA(κ)空間内の任意の (k, δ)-伸長写像 f : U → Rkは 2√k-Lipschitzであり, もし

4kδ ≤ 1であれば2√k-開写像である ([17]). このことはfの微分写像を調べることによ

りわかる. また, Lipschitz定数や開写像定数は定義域の容量の上界に応じて制御できる.

命題 3.4. ([17]) 任意の N ∈ Nと, 任意の k ∈ Nおよび ϵ ∈ (0,∞)に対して, あるδ ∈ (0,∞)が存在して以下が成り立つ. もし GCBA(κ)空間 X 内の (k, δ)-伸長写像f : U → Rkの定義域 U が容量N 以下の微小開距離球体に含まれているならば, f は(1 + ϵ)-Lipschitzであり (1 + ϵ)-開写像である.

GCBA(κ)空間内の (k, δ)-伸長写像の定義域の次元に関する主張は次の通りである.

命題 3.5. ([17]) 任意の N ∈ Nに対して, 正値関数 O : (0,∞) → (0,∞)が存在してlimt→0O(t) = 0を満たし, 十分小さなすべての δ ∈ (0,∞)について次の主張が成り立つ. もしGCBA(κ)空間X内の (k, δ)-伸長写像 f : U → Rkの定義域Uが容量N以下の微小開距離球体に含まれているならば, 定義域Uに含まれる任意の連結開集合 V に対して, 以下のいずれか一方が成り立つ.

(1) 孤立点を持つ fのV 内のファイバーは存在しない. この場合, V に含まれる任意の開集合Wに対してdimW ≥ k + 1が成り立つ.

(2) V はk次元位相多様体である. この場合, 任意のx ∈ V に対して, 十分小さなすべての r ∈ (0,∞)について, 制限f |Ur(x)は (1 +O(δ))-双Lipschitz埋め込みである.

4. 曲率が上に有界な距離空間における伸長写像と幾何学的計量構造4.1. 伸長写像の延長と例外点集合

GCBA(κ)空間内の (k, δ)-伸長写像は (k+ 1, 4δ)-伸長写像に次に述べる命題の意味で延長できるので, 多くの場面で伸長写像を用いた帰納的な議論が有効になる.

111

命題 4.1. ([17]) GCBA(κ)空間X内の (k, δ)-伸長写像 f : U → Rkについて, 任意の点p ∈ Uに対して, 十分小さな r ∈ (0,∞)と, Uに含まれる (Ur(p) − p) ∩ f−1(f(p)) の開近傍V が存在して, f+ = (f, dp) : V → Rk+1は (k + 1, 4δ)-伸長写像である.

GCBA(κ)空間X内の (k, δ)-伸長写像 f : U → Rkについて, 定義域Uの点 x ∈ Uのうち次の性質を満たす点全体の集合をUk+1,12δで表す. すなわち, ある点 p ∈ XとU内の xの開近傍Uxが存在して f+ = (f, dp) : Ux → Rk+1が (k + 1, 12δ)-伸長写像である.

また, E(U)をE(U) := U − Uk+1,12δで定め, Uの例外点集合と呼ぶ. 例外点集合E(U)

はXの閉集合である. さらに, fのファイバーΠに対して, E(Π)をE(Π) := Π ∩ E(U)で定め, Πの例外点集合と呼ぶ.

次の定理は, 伸長写像の定義域の計量的な特異構造を記述する.

定理 4.2. ([17]) 任意のN ∈ Nと δ ∈ (0,∞)に対して, あるC ∈ Nが存在して次が成り立つ. もしGCBA(κ)空間X内の (k, δ)-伸長写像f : U → Rk の定義域Uが容量N以下の半径 rの微小開距離球体に含まれているならば, 以下の主張が成り立つ.

(1) fの任意のファイバーΠの例外点集合E(Π)は高々C個の元からなる.

(2) ある可算個のEのコンパクト部分集合 (Ei)が存在して, E =∪i∈NEiを満たし,

各Eiに対して制限f |Ei : Ei → f(Ei)はC-双Lipschitz同相である.

(3) Hk(E) ≤ Ck+1Hk(f(E)) ≤ 10 · C2k+1rk.

4.2. GCBA空間の幾何学的計量構造

GCBA(κ)空間内の各々の微小開距離球体に対して, 適切に伸長写像の定義域で被覆しながら, 定理4.2を帰納的に用いると, 次を示すことができる.

命題 4.3. ([17]) 任意のN ∈ Nと δ ∈ (0,∞)に対して, あるC ∈ Nが存在して次が成り立つ. もしGCBA(κ)空間X内の微小開距離球体Ur(x)の容量がN以下であれば, ある可算個のUr(x)のコンパクト部分集合 (Ki)が存在して, Ur(x) − Rk,δ(X) =

∪i∈NKiを

満たし, 各々のKiはRk−1のコンパクト部分集合とC-双Lipschitz同相である. さらに,

Hk−1(Ur(x)−Rk,δ(X)) < Crk−1が成り立つ.

定理1.5の証明. 任意のGCBA空間Xと任意のk ∈ Nを与える. まず, Xを可算個の微小開距離球体で被覆する. 次に, X −Rk(X) =

∪δ∈(0,∞)X −Rk,δ(X)であることに注意

しながら, 各々の微小開距離球体に命題4.3を適用すると, 定理1.5を得る.

次は定理1.5と命題4.3を用いると示すことができる.

命題 4.4. ([17])任意のN ∈ Nに対して, あるC ∈ Nが存在して, GCBA(κ)空間X内の微小開距離球体Ur(x)の容量がN以下であり, dimUr(x) = nであれば, 次が成り立つ.

(1) 0 < Hn(Ur(x)) < Crnである. 特に, dimH Ur(x) = nである.

(2) nはUr(x)内に接空間がRnと等長的な点が存在するような最大の自然数である.

(3) nはUr(x)内に (n, 1/4n)-伸長点が存在するような最大の自然数である.

定理1.1の証明. 任意のGCBA空間Xに対して, Xを可算個の微小開距離球体で被覆して, 各々の微小開距離球体に命題3.5と命題4.4を適用すると, 定理1.1を得る.

GCBA空間 X と自然数 k ∈ Nに対して, 正の実数 δ ∈ (0,∞)を用いて Rkδ (X)を

Rkδ (X) := Rk,δ(X) ∩Xkで定め, Xのk次元幾何学的概正則集合と呼ぶ.

112

定理1.2の証明の概略. 定理1.2(1)は角度の上半連続性から導かれる方向空間の上半連続性を用いて証明できる. 定理 1.2(2)は命題 4.3と命題 4.4を用いて証明できる. 定理1.1(3)の証明の概略を述べるため, 任意のGCBA(κ)空間Xを可算個の微小開距離球体族Ur(xi)i∈Nで被覆する. 各微小開距離球体Ur(xi)に対して, 命題4.3を適用して十分小さな δi ∈ (0,∞)を選び, 各 k ∈ NについてMk :=

∪i∈N(Ur(xi) ∩ Rk

δi(X))とおく. こ

のとき, MkはXの開集合であり, Xk内で稠密であり, k次元Lipschitz多様体である.

加えて, dimH

(clX(X

k)−Mk)≤ n− 1を満たす. さらに, Rk(X)はMkに含まれ, 定理

1.5を用いるとdimH

(Mk −Rk(X)

)≤ k− 2であることがわかる. 残りは, Mk上のDC

級微分構造とRiemann構造の存在を示すことである. この部分は, Alexandrov空間に対するPerelman ([29])と大津・塩谷 ([24])の議論と概ね同じである.

定理1.3の証明の概略. 定理1.2と命題4.3を用いて, 定理1.3を証明できる.

定理1.4の証明の概略. 定理 1.4(1)は Gromovのプレコンパクト性定理からしたがう.

定理 1.4(2)を示すため, クラス C(n, κ, r)内の空間列 (Xi)がGromov–Hausdorff位相に関してコンパクト距離空間Xに収束するとする. このとき, X ∈ C(n, κ, r)である. 定理1.4(1)より標準体積全測度列 (µXi

(Xi))が有界であり, X上の有限Radon測度νが存在して, (Xi, µXi

)は (X, ν)に測度付きGromov–Hausdorff収束する. 極限空間Xにおいて, 各 k ∈ Nについて十分小さな δ ∈ (0,∞)をとり, Xの k次元幾何学的概正則集合Rkδ (X)に対して, ν⌊Rk

δ (X) = Hk⌊Rkδ (X) とν⌊(X −Rk

δ (X)) = 0を証明することが目標になる. これらの証明でも本節で述べた幾何学的計量構造の研究が効果的に働く.

5. 曲率が上に有界な距離空間における伸長写像と幾何学的トポロジーPerelman ([27], [28])は曲率が下に有界なAlexandrov空間に対する伸長写像が局所的に自明なファイバー束であることを示し, 局所錐性 (局所位相安定性)を証明した.

Lytchakと筆者は論文 [18]において, GCBA空間内の伸長写像がファイブレーションであることを示し, GCBA空間の位相正則性の研究を行った.

5.1. 伸長写像とファイブレーション

GCBA空間内の伸長写像について, その微分を評価して最短測地線に沿うホモトピーを制御することにより, 次のファイバーの局所可縮性を証明することができる.

定理 5.1. ([17]) 自然数 k ∈ Nに対して, 実数 δ ∈ (0,∞)が 20kδ < 1を満たすとする.

このとき, GCBA(κ)空間X内の (k, δ)-伸長写像 f : U → Rkについて, 定義域Uの任意のコンパクト部分集合Kに対して, ある r0 ∈ (0,∞)が存在して, すべての r ∈ (0, r0)とx ∈ Kに対し, 共通部分Ur(x) ∩ f−1(f(x))はそれ自身の中でxに可縮である.

定理1.6の証明の概略. 定理5.1とPetersenのLGC空間に対するホモトピー安定性定理([30])を用いると定理1.6を示すことができる.

位相空間の間の連続写像f : X → Y が (Hurewicz) ファイブレーションであるとは, f

が任意の位相空間に対してホモトピー持ち上げ性質を満たすときにいう.

以下では, 便宜上, 任意の δ ∈ (0,∞)に対して, GCBA(κ)空間Xの開集合Uからの定値写像f : U → R0を (0, δ)-伸長写像と呼ぶ. また, 非負整数全体の集合をN0で表す.

定理5.1における伸長写像のファイバーの一様局所可縮性,および幾何学的トポロジーにおけるファイブレーション認識理論を用いると次を導くことができる.

113

定理 5.2. ([18]) すべてのk ∈ N0および δ ∈ (0, 1/20k)に対して, 任意のGCBA(κ)空間の開集合Uを定義域とする (k, δ)-伸長写像 f : U → Rkは局所的にファイブレーションである. より詳しくは, 任意のx ∈ Uに対して, ある rx ∈ (0,∞)が存在してBrx(x) ⊂ U

を満たし, すべての r ∈ (0, rx)について制限写像 f |Br(x) : Br(x) → f(Br(x))は各々のファイバーが可縮なファイブレーションである.

5.2. ホモロジー多様体内の伸長写像のファイバー

局所コンパクト可分距離空間M が n次元ホモロジー多様体であるとは, 任意の点p ∈ Mにおける局所ホモロジー群H∗(M,M − p)がH∗(Rn,Rn−0) に同型であるときにいう. ここで, H∗はZ係数特異ホモロジー群である. 有限次元ANRであるn次元ホモロジー多様体をn次元一般多様体と呼ぶ. 任意のn次元一般多様体の次元はnに等しい. もしn ≤ 2であれば, 任意のn次元一般多様体は位相多様体である.

曲率が上に有界な距離空間Xは, 任意の点 x ∈ Xに対してH∗(X,X − x)が自明でなければ, 局所測地的完備である ([19]). 特に, Xがホモロジー多様体であれば, 局所測地的完備である (一般多様体の場合は [36], 位相多様体の場合は [4]も参照). したがって, 曲率が上に有界なホモロジー多様体はGCBA空間であり, 定理 1.1により一般多様体である. なお, 曲率が上に有界な任意の3次元一般多様体は位相多様体である ([36]).

定理5.2と一般多様体上のファイブレーションの理論により次を得る.

定理 5.3. ([18]) すべての n ∈ N0および δ ∈ (0, 1/20n) と k ∈ 0, 1, . . . , nに対して,

曲率が上に有界な n次元ホモロジー多様体の開集合Uを定義域とする (k, δ)-伸長写像f : U → Rkについて, 空でない任意のファイバーは (n− k)次元一般多様体である.

次はホモロジー多様体内の伸長写像のファイバーの位相正則性定理である.

定理 5.4. ([18]) 任意の n ∈ N0に対して, ある δ ∈ (0,∞)が存在して以下が成り立つ.

曲率が上に有界な n次元ホモロジー多様体の開集合Uを定義域とする (k, δ)-伸長写像f : U → Rkと, fの任意のファイバーΠに対して, Πの例外点集合E(Π)は有限であり,

Π−E(Π)は (n− k)次元位相多様体である. 加えて, もしn− k ≤ 3であるならば, Πは(n− k)次元位相多様体である.

証明の概略. 任意のファイバーΠに対して, Πの例外点集合E(Π)は定理 4.2より有限集合である. このことに注意しながら, ファイバーの次元n− kに関する帰納法で示す.

もし n − k ≤ 2であれば, Πは (n − k)次元位相多様体である. もし n − k = 3であれば, 帰納法の仮定と幾何学的トポロジーにおけるファイバー束認識理論を用いてΠが(n− k)次元位相多様体であることがわかる. もしn− k = 4であれば, 同様にΠ−E(Π)が (n− k)次元位相多様体であることがわかる. もしn− k ≥ 5であれば, 帰納法の仮定とEdwards–QuinnのDDP多様体認識定理 ([9], [31], [32])を用いてΠ−E(Π)が (n− k)次元位相多様体であることを証明することができる.

次はホモロジー多様体内の伸長写像のファイバーの局所錐性定理である.

定理 5.5. ([18]) 任意の n ∈ N0に対して, ある δ ∈ (0,∞)が存在して以下が成り立つ.

曲率が上に有界な n次元ホモロジー多様体の開集合Uを定義域とする (k, δ)-伸長写像f : U → Rk と, 任意の f のファイバー Πに対して, 次が成り立つ. 任意の点 x ∈ Π

に対して, Πにおける xの開近傍Uxと, Sn−k−1と同じホモロジー群を持つコンパクト(n− k − 1)次元位相多様体Mxが存在して, UxはMxの開錐C(Mx)に同相である.

114

証明の概略. ファイバーの次元 n − kに関する帰納法で示す. もし n − k ≤ 3であれば, 定理5.4より主張が成り立つ. もしn− k = 4であれば, 帰納法の仮定とファイバー束認識理論を用いて主張を示すことができる. もし n − k ≥ 6であれば, 帰納法の仮定を用いずとも Siebenmannの端定理 ([34], [12]を参照) から主張がしたがう. 残りはn− k = 5の場合である. このとき, 帰納法の仮定のもと, Quinnのレゾリューション存在定理 ([31], [32])を用いて, ある5次元位相多様体の手術を行い, 手術後の5次元位相多様体にSiebenmannの襟付け定理 ([35]) を適用することによって目標の主張を得る.

注意 5.1. 定理5.5のn− k = 5の場合の証明はSteven Ferry氏の援助を受けている.

定理1.8と定理1.9の証明. 定理 5.4において k = 0とおくと定理 1.8が導かれる. 定理5.5においてk = 0とおくと定理1.9が導かれる.

定理 1.7の証明では定理 1.8を用いる. 定理 1.10に関して, 極限空間が位相多様体であることは定理 1.7と定理 1.6 からしたがう. 位相安定性は制御ホモトピー論における同相写像近似定理から導かれる. 極限空間の反復空間が球面に同相であることの証明は, 収束する各多様体を用いて, 球面とのホモトピー同値性を示すことで達成される.

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116

幾何学的量子化と測度付きグロモフ・ハウスドルフ収束について

服部　広大 (慶應義塾大学)∗

1. 序コンパクトなシンプレクティック多様体 (X,ω)に対し，複素直線束π : L→ Xを考え

る．L上のエルミート計量hとエルミート接続∇に対し，その曲率形式F∇が−√−1ω

に等しいとき，(L, h,∇)を前量子化束という．この設定のもとで，次の2種類の構造を考える．

(1) 複素構造：JをX上の複素構造とする．このJが

ω(J ·, J ·) = ω

を満たす時，ω(·, J ·)によって定まるテンソルは対称となる．そこで

ω(J ·, J ·) = ω かつ ω(·, J ·)は各点において正定値

となるとき，Jはω-compatibleであるという．このとき (X, J, ω)はKahler多様体となり，F∇が (1, 1)型の微分形式となることからLに正則直線束の構造が入ることがわかる．以下，Lを正則直線束とみなすときはLJと書くことにする．LのC∞級切断全体をΓ(L)とし，LJの正則切断全体のなすベクトル空間を

H0(LJ) := s ∈ Γ(L); ∇∂Js = 0

と書くことにする．Xがコンパクトであることから，このベクトル空間は有限次元である．

(2) ラグランジアンファイブレーション：次に，滑らかな写像µ : X → Y が与えられているとし，µの任意の正則値 b ∈ Y に対してµ−1(b)がラグランジュ部分多様体であるとする．特に µ−1(b)が連結かつコンパクトであれば，トーラスと微分同相であることが知られている．このとき，Lをµのファイバーに制限した直線束(L|µ−1(b),∇|µ−1(b))は，ラグランジアン条件から平坦束となる．よって，平坦切断の空間

H0(L|µ−1(b),∇|µ−1(b)) := s ∈ Γ(L|µ−1(b)); ∇s = 0

の複素次元は 0または 1のいずれかである．この次元が 1に等しいとき，µ−1(b)

をBohr-Sommerfeldファイバーと呼ぶ．

本研究は科研費 (課題番号:16K17598，19K03474) の助成を受けたものである。2010 Mathematics Subject Classification: 53C10, 58J50キーワード：幾何学的量子化, ラプラシアン，主束，グロモフ・ハウスドルフ収束∗ 223-8522 神奈川県横浜市港北区日吉 3-14-1e-mail: [email protected]

117

これらの構造を持つ具体例として，トーリック多様体がある．トーリック多様体とは，Delzant多面体∆ ⊂ Rnの組み合わせ論的な情報を使って構成されるコンパクトなn次元Kahler多様体 (X∆, J∆, ω∆)である．ここでは詳しい構成の方法は述べないが，∆の情報から，自然に前量子化束 (L∆, h∆,∇∆)と運動量写像と呼ばれる全射µ∆ : X∆ → ∆

が与えられる．ここで∆は境界を含む凸多面体であり，任意の内点 b ∈ ∆に対してµ−1∆ (b)はラグランジュ部分多様体となり，トーラスと微分同相である．トーリック幾何の一般論により，∆ ∩ Znの各点 bを取ると，そこからH0(L∆)の元を構成出来る．その元を ξbとおいたとき，

ξb; b ∈ ∆ ∩ Zn

はH0(L∆)の基底を定めることが知られており，このためdimH0(L∆) = ♯(∆ ∩ Zn)が従う．その一方で，µ−1

∆ (b)がBohr-Sommerfeldファイバーであるための必要十分条件が b ∈ ∆ ∩ Znであることもわかる．すなわち

dimH0(L∆) = ♯µ∆のBohr-Sommerfeldファイバー

が成立する．このように一見全く異なる種類の幾何学的な量が一致することがわかるが，この2種類の幾何学的な構造の繋がりを明らかにした以下の結果が知られている．

Theorem 1.1 ([2]). (X,ω)及び (L, h,∇)を，Delzant多面体∆ ⊂ Rnに対応するトーリック多様体と前量子化束の組とする．またµ : X → ∆を運動量写像とする．このときω-compatibleな複素構造の族Jss>0と，H0(LJs)の基底

ξ(s, b); b ∈ ∆ ∩ Zn

と，µ−1(b)に supportを持つあるdistribution δb ∈ Γ(L−1)∗が存在し，distributionとしての収束

lims→0

ξ(s, b)

∥ξ(s, b)∥L1

→ δb ∈ Γ(L−1)∗

が成立する．

アーベル多様体 [3]や旗多様体 [8]においても，同様の現象が起こることが示されている．最近では [12]において，一般のシンプレクティック多様体における滑らかなBohr-

Sommerfeldファイバーの近傍において概複素構造の1パラメータ族を与え，その断熱極限において正則切断が局所化する様子を捉えている．この結果は，上記の定理のようにシンプレクティック多様体やLJの正則切断の大域的な記述を用いず，局所的な記述によって局所化を論じる手法である．また，これらと関連して，ラグランジアンファイブレーションのファイバーが全てコンパクトで滑らかであるときにリーマンロッホ数とBohr-Sommerfeldファイバーの個数が一致することは [1][5]において示されている．

2. 正則切断とラプラシアンの固有関数(X, J, ω)をKahler多様体とし，(L, h,∇)を前量子化束とする．XのKahler計量 gJ

とhを用いて∇∂Jの形式的随伴∇∗

∂Jが定義され，それを用いてラプラシアン

∆J := ∇∗∂J∇∂J

: Γ(L)→ Γ(L)

118

が定まる．k ∈ Zに対しても同様にして

∆J,k := ∇∗∂J∇∂J

: Γ(Lk)→ Γ(Lk)

が定まる．Xがコンパクトならば，H0(LkJ)は∆J,kの0-固有空間に他ならない．ここで，Lの主枠束を

S := S(L, h) := u ∈ L; |u|h = 1

と定めるとこれは主S1束であり，また各k ∈ Zに対してS1のユニタリ表現ρk : S1 → S1

をρk(z) = zkと定めると，自然な同型

Γ(Lk) ∼= (C∞(S)⊗ C)ρk (1)

が得られる．そこで，次は∆J,k を (C∞(S)⊗C)ρk上の作用素として記述することを考えよう．まず，Lの接続∇によって S上には対応する S1-接続

√−1Γ ∈ Ω1(S,

√−1R)

が与えられ，S1の各接空間は水平成分と垂直成分に直和分解される．そこで，この分解を直交分解として，ファイバー方向はΓ⊗ Γを，水平方向は gJを内積とすることによってS上のリーマン計量 g = g(J, h)が自然に誘導される．これはS1作用に関して不変である．この計量に関するラプラシアンを∆g とおくと，これはC∞(S)⊗ C上の作用素としてC線形に拡張され，さらにS1-作用による分解を保つので

∆g : (C∞(S)⊗ C)ρk → (C∞(S)⊗ C)ρk

が定まる．このとき (1)の同一視のもとで

∆g = 2∆J,k + (k2 + kn)

が成り立つことが分かる．ただしn = dimCXである．故に線形同型

H0(LkJ)∼=f ∈ (C∞(S)⊗ C)ρk ; ∆gf = (k2 + kn)f

(2)

が得られた．さて，Theorem 1.1は正則切断の族の収束を扱っている．従って，(2)の同型によってこれは固有関数の収束の議論に帰着することが出来る．一般に，リーマン多様体の列がある測度距離空間に測度付きグロモフ・ハウスドルフ収束するとき，そのラプラシアンのスペクトルもまた収束する．このようなタイプの収束は，リーマン多様体の直径が上に有界な場合は [6][4]において，非有界な場合については [11]において示されている．また，ベクトル束上の接続ラプラシアンについては [10]で論じられている．ここでは∆gに関するスペクトル収束を論じるため，まずは主枠束の収束を以下のように定義する．以下の定義は [7, Definition 4.1]を特別な場合に限定し，測度付きにしたものである．

Definition 2.1. Gをコンパクト位相群とする．

(1) (P ′, d′)と (P, d)をGが等長的に作用する距離空間とし，εを正の実数とする．写像ϕ : P ′ → Pに対して，|d(ϕ(u′0), ϕ(u′1))− d′(u′0, u′1)| < ε，P ⊂ B(ϕ(P ′), ε)かつd(ϕ(u′γ), ϕ(u′)γ) < ε が任意のu′, u′0, u

′1 ∈ P ′とγ ∈ Gに対して成立するときϕを

ε-G-同変近似と呼ぶ．さらにϕがボレル写像であるとき，ボレルε-G-同変近似と呼ぶ．

119

(2) (Pi, di, νi)iを，等長的G作用を持つ測度距離空間の列とする．等長的G作用を持つ測度距離空間 (P∞, d∞, ν∞)が，(Pi, di, νi)iの漸近的G同変測度付きグロモフ・ハウスドルフ極限であるとは，ある正の実数列εii とボレルεi-G-同変近似ϕi : Pi → P∞が存在し，limi→∞ εi = 0かつ limi→∞ ϕi∗νi = ν∞ を満たすこととする．ただし，測度の収束は*弱収束によって定める．

(3) (Pi, di, νi, pi)iを，等長的G作用を持つ点付き測度距離空間の列とする．等長的G作用を持つ点付き測度距離空間 (P∞, d∞, ν∞, p∞)が，(Pi, di, νi, pi)iの点付き漸近的G同変測度付きグロモフ・ハウスドルフ（以下G-pmGHと書く）極限であるとは，任意のR > 0に対してある正の実数列εii，Riiで

limi→∞

εi = 0, limi→∞

Ri = R

を満たすものと，ボレル εi-G-同変近似

ϕi : (π−1i (B(xi, Ri)), pi)→ (π−1

∞ (B(x∞, R)), p∞)

が存在し，i→∞において

ϕi∗(νi|π−1i (B(xi,Ri))

)→ ν∞|π−1∞ (B(x∞,R))

を満たすこととする．

著者は [9]において，上で定義した収束のもとでの接続ラプラシアンのスペクトル収束を示した．その結果を幾何学的量子化の設定に適用することにより，以下のような定理が従う．

Theorem 2.2 ([9]). (X,ω)をシンプレクティック多様体，(L, h,∇)前量子化束とする．Jiiをω-compatibleな複素構造の列として，あるκ ∈ Rが存在してRicgJi ≥ κgJiが成り立ち，さらにある正の実数列aiiが存在して(S(L, h), dg(Ji,h), aiµg(Ji,h), ui)が，あるS1作用を持つ点付き測度距離空間 (S∞, d∞, ν∞, u∞) にS1-pmGH収束していると仮定する．ただし，dg, µgはそれぞれ gのリーマン距離及びリーマン測度である．λ∞ ≥ 0

及びf∞ ∈ (L2(S∞)⊗ C)ρk が

∆S∞f∞ = λ∞f∞

を満たすならば，λi → λ∞ となる実数列λi と

∆g(Ji,h)fi = λifi

を満たすfi ∈ (L2(S(L, h))⊗ C)ρk が存在し，[11]の意味でfiはf∞に強収束する．

3. 偏極この章では，シンプレクティック多様体上で，複素構造とラグランジアンファイブレーションという一見異なる幾何学的な構造を統一的に扱う枠組みについて説明する．V を実 2n次元のベクトル空間とし，α ∈

∧2 V ∗をV 上のシンプレクティック形式とする．VC := V ⊗Cとして，αをVCの交代形式としてC上双線形に拡張する．このとき

Lag(VC, α) := W ⊂ VC; Wはn次元複素線形部分空間, α|W ≡ 0

120

とおく．シンプレクティック多様体 (X,ω)に対し，

Lag(X) :=⊔x∈X

Lag((TxX)C, ωx)

というファイバー束を与えるとそのC∞切断P ∈ Γ(Lag(X)) は TXCの部分ベクトル束を定める．そこで，積分可能条件を

[Γ(P|U),Γ(P|U)] ⊂ Γ(P|U)

が任意の開集合U ⊂ Xに対して成り立つことと定める．積分可能なPを偏極と呼ぶ．

(1) Jをω-compatibleな複素構造とし，

PJ := T 1,0J X

とおく．ただし左辺はJx : (TxX)C → (TxX)Cの√−1-固有空間である．このとき

PJは偏極となる．これをKahler偏極という．(2) Y を実n次元多様体，µ : X → Y をC∞級写像とし，µ(X)の任意の点はµの正則値とする．また，任意の b ∈ µ(X)に対してµ−1(b)はラグランジュ部分多様体であるとする．このとき

(Pµ)x := Ker(dµ)x ⊗ C

と定めると，これは偏極となる．これを実偏極という．

シンプレクティックベクトル空間 (V, α)に対して l : Lag(VC, α) → 0, 1, . . . , n をl(W ) := dimC(W ∩ W )と定める．このとき上記の 2つの例に関して l((PJ)x) = 0，l((Pµ)x) = nが成り立つ．逆に一般のW ∈ Lag(VC, α)に対して l(W ) = 0ならばV 上の概複素構造Jが復元され，また l(W ) = nならばV のラグランジュ部分空間が復元される．また，k = 0, 1, . . . , n

に対して

l−1(k) =n⊔j=k

l−1(j)

が成り立つ．次にW ∈ Lag(VC, α)として，l(W ) = nであるときに接空間TWLag(VC, α)の構造を調べる．まずWR = W ∩WとしたときにWRはV のラグランジュ部分空間となる．このときV の基底u1, . . . , un, v

1, . . . , vnを

u1, . . . , un ∈ WR, α(ui, vj) = δji , α(ui, uj) = α(vi, vj) = 0

を満たすように取れる．W ′R := spanRv1, . . . , vn及びW ′ := W ′

R ⊗ Cとおく．任意の A ∈ Hom(W,W ′)に対してWA := w + Aw ∈ VC; w ∈ Wは VCの n次元複素部分ベクトル空間であるが，WA ∈ Lag(VC, α) であるための必要十分条件は，Aのu1, . . . , un, v

1, . . . , vnに関する行列表示 (Aij) が対称行列となることである．従って

TWLag(VC, α) ∼= (Aij) ∈Mn(C); Aij = Aji (3)

121

が成り立つ．また，Aを実部と虚部に分解し A = P +√−1Qとしたとき l(WA) =

dimKer(Q)となる．特に，WAが概複素構造 JAを定めるための必要十分条件はQが正則となるときであり，さらに α(·, JA·)が正定値となるための必要十分条件は Qが正定値対称行列となることである．そこで，(4)の同一視のもとで TWLag(VC, α)+ ⊂TWLag(VC, α)を

TWLag(VC, α)+ := (Aij) ∈Mn(C); Aij = Aji, (Qij) > 0 (4)

と定める．

4. 主結果(X,ω)の開集合 U とその上の実偏極 Pµ ∈ Lag(U) を固定する．ただし Pµはラグランジアンファイブレーション µ : U → Bを誘導し，各 b ∈ Bは正則値で，µ−1(b)は連結かつコンパクトとする．このとき µ−1(b)は T nと微分同相である．次に，X上のω-compatibleな複素構造Js0<s≤s0で以下を満たすものが与えられているとする．

(∗1) pr : X × [0, s0]→ Xを第1成分への射影とする．Pをpr∗Lag(U)の滑らかな切断とし，P(·, s) = PJs|Uが成り立つ．

(∗2) P(·, 0) = Pµ．(∗3) 任意のx ∈ Uに対して d

dsP(x, s)|s=0 ∈ TPµ(x)Lag(TxX ⊗ C, ωx)+．

(∗4) あるκ ∈ Rが存在しRicgJs ≥ κgJsが任意の0 < s ≤ s0に対して成り立つ．

Definition 4.1. k ∈ Z>0に対して∇kを∇が誘導するLkの接続とする．dimH0(Lk|µ−1(b),∇|µ−1(b)) =

1であって，任意の0 < l < kに対してdimH0(Ll|µ−1(b),∇|µ−1(b)) = 0であるとき，µ−1(b)

を狭義k-Bohr-Sommerfeldファイバーと言う．

Theorem 4.2. X上の ω-compatibleな複素構造の族 Js0<s≤s0が (∗1)-(∗4)を満たすとする．µ−1(b)を狭義 k-Bohr-Sommerfeldファイバーとし，p0 ∈ π−1(µ−1(b))とする．このときある正の実数Kに対して以下のS1作用を持つ点付き測度距離空間の族(

S(L, h), g(Js, h),µg(Js,h)

K√sn , p0

)は以下の点付き測度距離空間(

Rn × S1, g∞,k, µ∞, (0, 1))

に，S1-pmGH収束する．ただし

g∞,k =(dt)2

k2(1 + ∥x∥2)+

n∑i=1

(dxi)2,

dµ∞ = dLRn · dt

であり，またRn × S1上のS1作用は (x, e√−1t) · λ := (x, e

√−1tλk) によって定まるとす

る．LRnはRnのルベーグ測度である．

122

ここで，極限として現れる測度距離空間(Rn × S1, g∞,k, dµ∞)上のラプラシアン∆∞,k

について考察する．まず，f ∈ C∞(Rn × S1) に対して

∆∞,kf = ∆Rnf − k2(1 + ∥x∥2)∂2f

∂t2

が成り立つ．ただし∆Rn = −∑n

i=1∂2

∂x2iである．さて，Lkの滑らかな切断全体は

(C∞(S(L, h)⊗ C)ρk

と同一視されていた．従って，極限においてLkの切断の極限として ((Rn× S1)⊗C)ρk

を考える．すると f(x, e√−1t) = f(x)e−

√−1t と表される．さらにφ(x) := e

k∥x∥22 f(x)と

おくと，

∆∞,k

(φ · e−

k∥x∥22

−√−1t

)= ∆Rn

(φ · e−

k∥x∥22

−√−1t

)− k2(1 + ∥x∥2) ∂

2

∂t2

(φ · e−

k∥x∥22

−√−1t

)= ∆Rnφ · e−

k∥x∥22

−√−1t + 2k

n∑i=1

xi∂φ

∂xie−

k∥x∥22

−√−1t

+ (kn− k2∥x∥2)φe−k∥x∥2

2−√−1t

+ k2(1 + ∥x∥2)φe−k∥x∥2

2−√−1t

=

(∆Rnφ+ 2k

n∑i=1

xi∂φ

∂xi+ (k2 + kn)φ

)e−

k∥x∥22

−√−1t

であり，また

∥f∥L2(Rn×S1,µ∞) = 2π

∫Rn

|φ|2e−k∥x∥2dLRn

が成り立つ．一方で， (Rn,

n∑i=1

(dxi)2, e−k∥x∥

2

dLRn

)

という測度距離空間のラプラシアンを∆Rn,kと置くと，

∆Rn,kφ = ∆Rnφ+ 2kn∑i=1

xi∂φ

∂xi

となるため

∆∞,k

(φ · e−

k∥x∥22

−√−1t

)=∆Rn,kφ+ (k2 + kn)φ

e−

k∥x∥22

−√−1t,

∥f∥L2(Rn×S1,µ∞) =√2π∥φ∥L2(Rn,e−k∥x∥2dLRn )

が成立するので，Theorem 4.2の極限空間のラプラシアンを考えることは，∆Rn,kを考えることと本質的に等価である．

123

Theorem 4.3. Theorem 4.2の極限として現れる測度距離空間のラプラシアンを∆∞,k

とおく．このとき

f ∈ (L2(Rn × S1, dµ∞)⊗ C)ρk ; ∆∞,kf = (k2 + kn)f = Ce−k2∥x∥2−

√−1t

が成立する．

Theorem 4.4. 複素構造の族Jsが (∗4) を満たすとする．∆g(Js, h)の固有値をλ とするとき，λ = k2 + knならばλ ≥ k + κが成立する．

Theorems 4.2, 4.3, 4.4及びTheorem 2.2を組み合わせることによって，以下の定理を得る．

Theorem 4.5. Xをコンパクトとし，X上のω-compatibleな複素構造の族Js0<s≤s0が (∗1)-(∗4)を満たし，k+κ > 0 とする．µ−1(b)を狭義k-Bohr-Sommerfeldファイバーとすると，各sに対してある ξs ∈ H0(LJs)が存在して，Γ(L) ∼= (C∞(S(L, h))⊗C)ρkの同一視のもとで，s→ 0としたときに ξsが e−

k2∥x∥2−

√−1tに，[11]の意味で強収束する．

また，Bohr-Sommerfeldファイバーでないファイバーの近くでは，以下の結果を得た．

Theorem 4.6. X上の ω-compatibleな複素構造の族 Js0<s≤s0が (∗1)-(∗4)を満たすとする．µ−1(b)が任意の k > 0について狭義 k-Bohr-Sommerfeldファイバーではないとしてp0 ∈ π−1(µ−1(b))とする．このときある正の実数Kに対して以下のS1作用を持つ点付き測度距離空間の族(

S(L, h), g(Js, h),µg(Js,h)

K√sn , p0

)は以下の点付き測度距離空間 (

Rn,n∑i=1

(dxi)2, LRn , 0

)

に，S1-pmGH収束する．ただしRn上のS1作用は自明な作用とし，特に任意の正の整数kに対して

(L2(Rn,LRn)⊗ C)ρk = 0

が成り立つ．

このように，ラグランジアンファイブレーションが与えられたシンプレクティック多様体において，実偏極に収束するKahler偏極の族が与えられたとき，前量子化束の主枠束がBohr-Sommerfeldファイバーに局所化することが分かった．今までの研究では，指数の局所化や正則切断の局所化については知られていたが，空間そのものが局所化するという現象を捉えることができた．また，Bohr-Sommerfeldファイバーではないファイバーにおいても，主枠束の極限自体は存在するがそのS1ファイバーが潰れてしまい，直線束の切断に対応する関数の空間が0のみであることがわかった．

124

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125

平均曲率零曲面上の光的点について赤嶺　新太郎 (名古屋大学大学院多元数理科学研究科)∗

1. 序古くから研究されてきたユークリッド空間En+1内の極小超曲面と近年活発に研究されているミンコフスキー空間Ln+1内の極大超曲面はともに空間内で平均曲率が恒等的に零になり，正定値計量を持つ超曲面である．両者の間には様々な類似性や関係があるが，とくに2次元の曲面に対しては，Calabi [6]によって極小曲面と極大曲面の間にある種の一対一対応が構成され，Bernstein型の問題「全平面上の関数のグラフとして書かれる極小曲面（極大曲面）は平面に限るか」といった問題を解くことの同値性が指摘された．一方で，Ln+1内のBernstein型の問題は一般の次元nで肯定的に解決することがCalabi [6]，Cheng-Yau [7]によって示されている．このことは，En+1内の極小超曲面に対するBernsteinの定理がn = 8以上では成立しないというBombieri-De Giorgi-Giusti [5]の結果を踏まえると，極小超曲面と極大超曲面は一般次元では異なった様相を呈することを意味している．さらに，ミンコフスキー空間内の曲面の上には，曲面がはめ込まれた部分多様体にならない点である特異点や，滑らかな曲面上の点ではあるが誘導計量が退化してしまう光的点と呼ばれる点が頻繁に現れる．本講演では，極大超曲面とは限らないがLn+1内で平均曲率が恒等的に零になる超曲面である平均曲率零超曲面 (zero mean curvature hypersurface, 本稿ではZMC超曲面と略記する)の光的点に関する大域的な研究結果として，Ln+1内のZMC超曲面に対する計量の退化を許容したBernstein型の定理や完備な光的直線を含む極大埋め込みの構成に関する研究結果を報告する．本講演の内容は，東京工業大学の梅原雅顕氏，山田光太郎氏との共同研究 [3, 4]および梅原氏-山田氏と横浜国立大学の本田淳史氏との共同研究 [2]に基づく．

2. 平均曲率零曲面と光的点2.1. 曲面の計量の符号数に依らない平均曲率零曲面の定義UをRnの領域として，はめ込みF : U → Ln+1を考える．U上の点pが空間的，時間的，光的であるとは，それぞれF によるLn+1の誘導計量が p上で正定値，不定値，退化している場合をいう．U上のすべての点が空間的，時間的，あるいは光的であるとき，Fおよびそれが定める超曲面Sを空間的，時間的，光的であるといい，そのような性質を超曲面の因果的特性という．本稿では，はめ込みFがC2級関数f = f(x1, x2, . . . , xn)を用いて，次のグラフ表示

F (x1, x2, . . . , xn) = (x1, x2, . . . , xn, f(x1, x2, . . . , xn))

で表されている場合を考える．関数BfとAfを次で定める：

Bf := 1− f2x1 − · · · − f2xn , Af :=

n∑i,j=1

(Bfδi,j + fxifxj )fxi,xj ,

ここで，fxi := ∂f/∂xi, fxi,xj := ∂2f/∂xi∂xjであり，δi,jはクロネッカーの記号を表す．すると，点 p = (x1, x2, . . . , xn)が空間的（または時間的，光的）であることは，Bf (p) > 0（またはBf (p) < 0, Bf (p) = 0）で特徴付けられる．空間的な点，または時間的な点からなる領域上

本研究の一部は，JSPS科研費 19K14527および JSPS二国間交流事業・日本-オーストリア共同研究「幾何学的視点からの形状形成」（JSPS/FWF Bilateral Joint Project I3809-N32 “Geometric Shape Generation”）の助成を受けたものである．∗ 464-8602 愛知県名古屋市千種区不老町名古屋大学大学院多元数理科学研究科e-mail: [email protected]

126

ではそれぞれ平均曲率が定義され，f : U → Rのグラフで表される曲面Sの平均曲率が零であることとAf = 0であることが同値になることから，次のようにZMC超曲面を定める．

定義 1. 関数fのグラフがZMC超曲面であるとは，U上でAf = 0を満たすことをいう．

このようにZMC超曲面を定義すると，光的点の近傍では超曲面は常に時間方向を高さ関数とするグラフとして表されるため，結局，Ln+1内のはめ込まれた超曲面に対して，ZMC超曲面であるということが定式化され，とくに，局所的にx1x2 · · ·xn-平面上の関数のグラフで表される超曲面に対しては，曲面の計量の符号数に依らずにZMC超曲面であるという性質が定式化できる．また，f :=

∑ni=1 fxi,xi , ∇Bf := ((Bf )x1 , . . . , (Bf )xn)および “·”をユークリッド

内積とすると，Af = Bff −

1

2∇Bf · ∇f

が成り立つことから光的な超曲面もZMC超曲面になっている(cf. [19])．同様に，U 上である実数 kを用いて A2

f − kB3f = 0となるような超曲面を平均曲率一定超曲面（constant mean

curvature hypersurface, CMC超曲面）と呼ぶ．

2.2. 平均曲率零曲面の計量の退化現象について超曲面上で計量が退化する点である光的点に対して，その退化性を次のように定義する．

定義 2. 領域Ω ⊂ Rn上で定義されたC2-級の関数fのグラフが超曲面を定めているとする．光的点 p ∈ Ωが非退化であるとは，∇Bf (p) = ((Bf )x1(p), (Bf )x2(p), . . . , (Bf )xn(p)) = 0を満たすときをいう．非退化でない光的点を退化した光的点と呼ぶ．定義により，非退化な光的点では (Bf )xi(p) = 0なる方向xi (i = 1, 2, . . . , n)が存在し，この

方向に沿って超曲面は空間的から時間的に因果的特性が変化する（図 1左）．このように一つの曲面上で空間的，時間的，光的な点を持つ曲面を混合型曲面と呼ぶ．L3内の混合型ZMC曲面に対しては，因果的特性が変化する光的点集合はL3の非退化ナル曲線（ナル曲線は等方的曲線ともいう），すなわちγ′が光的でγ′とγ′′がどの点でも一次独立になるような正則曲線γで助変数表示されることが知られている．さらに，このような非退化ナル曲線のみを用いて混合型曲面の空間的な部分と時間的な部分を記述する表現公式も知られている (cf. [13, 16])．一方で，退化した光的点の周りの曲面の挙動としては次の事実が知られている（図1右参照）．

図 1: 非退化な光的点を持つ混合型ZMC曲面（左）と，退化した光的点を持つZMC曲面（右）．

事実 3 (ZMC超曲面に関する直線定理 [16, 19]). 領域Ω ⊂ Rn上で定義されたC4-級の関数 f

のグラフがZMC超曲面を定めているとする．もし，o ∈ Ωが退化した光的点であれば，o ∈ Ω

を通り，退化した光的点からなる線分σ ⊂ Rnが存在し，(x, f(x)) | x ∈ σはLn+1内の光的線分になる．

事実3は，n = 2の場合にKlyachin [16]がC3-級のZMCグラフに対して証明し，その後，梅原-山田 [19]により，C4-級の仮定の下で任意の次元に対して主張が成り立つことが示された．

127

さらに [19]では，実解析的なCMC超曲面に対しても上記の直線定理が成り立つことが示されている．

3. Bernstein型定理空間的な点のみを許容する（すなわちリーマン計量を持った）ZMC超曲面を極大超曲面という．極大超曲面の大域的な性質として，次のBernstein型の定理が知られている．

事実 4 ([6], [7]). 全平面上で定義された関数のグラフとなっている極大超曲面は超平面に限る．

Calabi [6]は事実4を5次元以下のミンコフスキー空間Ln+1(n ≤ 4)内の極大超曲面に対して証明し，その後，Cheng-Yau [7]により一般の次元で主張が正しいことが証明された．今回，本田氏-梅原氏-山田氏との共同研究 [2]で，事実4の次のような拡張を得た．

定理 5 ([2]). 全平面上で定義されたC4-級関数のグラフとなっているZMC超曲面が時間的な点を持たなければ，それは超平面になる．

ZMC曲面が空間的な点のみを持つ場合は，定理5は事実4に他ならない．また，この定理において，時間的な点を持たないという仮定は本質的なものである．実際，関数

f0(x1, x2, . . . , xn−1, xn) := xn + g(x1), g = g(t)はR上の一変数C2-級関数 (3.1)

のグラフを考えると，これは空間的な点を持たない全平面上で定義された関数のグラフとなるZMC超曲面を定める．また，混合型ZMC曲面については，小林 [17]によって全平面上で定義された関数のグラフとなっている非自明な混合型ZMC曲面が2種類与えられた．図1左の混合型曲面はそのうちの一つで，第二種ヘリコイドと呼ばれる．その後，[11]で小林曲面と呼ばれる全平面上の関数のグラフとして表される混合型ZMCグラフが多く構成されている．また，L3内の曲面に対しては，定理 5より強い次の主張が成り立つことが梅原氏-山田氏と

の共同研究 [3]でわかった．

定理 6 ([3]). 全平面上で定義されたC3-級関数のグラフとなっているL3内のZMC曲面Sが空間的点を持つとする．Sが平面でなければ，S上には非退化な光的点が存在する．

この定理から平面でないZMC曲面で全平面上で定義された関数のグラフとなっているものは，必ず図 1左の曲面のように混合型曲面になっていることがわかる．定理 6は，流体力学的双対性と呼ばれる対応を用いて，ある種の2次元流体を介することで極大曲面に対応するE3内の極小曲面を構成し，それを考察することで証明される．詳しくは [3]を参照されたい．定理5より，計量が退化した曲面である光的超曲面に関する次のBernstein型の定理を得る．

系 7 ([2]). 全平面上で定義されたC2-級関数のグラフとなっている光的超曲面は超平面に限る．

ここで，光的超曲面がZMC超曲面であること，光的超曲面に関する直線定理がC2-級で成立すること (cf. [19, Corollary B])を用いている．さらに，CMC超曲面に対しても次が成り立つ．

系 8 ([2]). 全平面上で定義された実解析的な関数のグラフとなっている時間的点を持たないCMC超曲面は光的点を含めば，それは光的超平面になる．

系8は，直線定理（事実3）が実解析的なCMC超曲面に対しても成り立つこと，および [15, 19]

によって示された “実解析的なCMC超曲面の光的点はすべて退化した光的点であり，混合型CMC超曲面は存在しない”という結果を用いると，定理5の証明と全く同じ手法で証明できる．また，系8において，光的点を持つというのは本質的な仮定である．実際，全平面上で定義された関数のグラフとなっている空間的CMC超曲面が存在することが知られている (cf. [18])．

128

4. 完備な光的直線を含む埋め込まれた平均曲率零曲面の存在定理 5の証明では，全平面上のグラフとなっているZMC超曲面が時間的な点を許容しないならば，正，負どちらの時間方向にどこまでも伸びているような光的直線（本稿ではそのような線分でない光的直線のことを完備な光的直線と呼ぶ）を持つことを直線定理を用いて示すことが肝要である．さらに，Ecker [8, Proposition G]，Fernandez-Lopez [9, Lemma 2.1]と同様のアイデアを用いることで，次の補題を証明できる．

補題 9 ([2], cf. [8, 9]). Rnの凸領域Ωの閉包Ω上のZMCグラフとして表される超曲面Sが時間的な点を持たないとする．Sが完備な光的直線を含むのであれば，それは光的超平面になる．

この補題により，平面でないZMCグラフは時間的点を持たない部分で完備な光的直線を含み辛いことがわかる．より正確には，ZMCグラフが完備な光的直線Lの近傍で時間的な点を含まなければ，グラフの定義域の凸性を崩すようにLの無限遠方に別の光的点が集積することがわかる．一方で，完備な光的直線を含むようなグラフとは限らない極大曲面を考えてみると，[1, 12, 17]などの論文で構成されているそのような例はすべて光的直線上に特異点（写像がはめ込みでなくなる点）を含んでいる（図2）．時間的な点を持たない埋め込まれた（特異点を持たない）極大曲面で完備な光的直線Lを含むものは，存在するだろうか．

図 2: 完備な光的直線を含む極大曲面の例．これらの例は光的直線上に特異点を持っている．

梅原氏-山田氏との共同研究 [4]では，そのような曲面が実際に存在することを証明した．

定理 10 ([4]). L3内に実解析的に埋め込まれた極大曲面で完備な光的直線を含むものが存在する．ここで，極大曲面が光的直線Lを含むとは，Lを除いた部分でZMC曲面が空間的であることをいう．

注意 11. これまでに，完備な光的直線Lを含み，Lの少なくとも片側では時間的な領域となる埋め込まれたZMC曲面が存在することは知られていた．空間的な点を含まない例として式(3.1)のグラフなどがある．さらに最近，橋本-加藤 [14]によって，L3内の埋め込まれた混合型ZMC曲面で完備な光的直線を含むものが構成されている．定理10は以下のような方針で証明することができる：

(1) [10]で用いられた手法を用いて，光的線分 L ⊂ L3を含む極大曲面のグラフ関数を形式的冪級数として考え，その冪級数の局所的な収束を示す．

(2) その後，Lが直線全体Lに伸びるまで，(1)の収束冪級数解を貼り合わせることができることを証明する．

また，定理10の高次元版として，次が証明できる．

系 12 ([4]). Ln+1に実解析的に埋め込まれた極大超曲面で (n− 1)次元光的平面全体を含むものが存在する．

129

最後に定理10で存在を証明した曲面は光的直線Lの方向にはどこまでも伸びているが，Lから離れた部分での挙動はわからないことに注意しておく．そのため「定理10が固有に埋め込まれた極大曲面に対して成り立つか」という次の問題が残っている．

問 13. L3内に固有に埋め込まれた (properly embedded)極大曲面で，完備な光的直線を含むものは存在するか．

参考文献[1] S. Akamine, Causal characters of zero mean curvature surfaces of Riemann type in Lorentz-

Minkowski 3-space, Kyushu J. Math., 71 (2017), 211-249.

[2] S. Akamine, A. Honda, M. Umehara and K. Yamada, Bernstein-type theorem for zeromean curvature hypersurfaces without time-like points in Lorentz-Minkowski space, preprint,arXiv:1907.01754.

[3] S. Akamine, M. Umehara and K. Yamada, Improvement of the Bernstein-type theorem forspace-like zero mean curvature graphs in Lorentz-Minkowski space using fluid mechanical dual-ity, preprint, arXiv:1904.08046.

[4] S. Akamine, M. Umehara and K. Yamada, Space-like maximal surfaces containing entire null linesin Lorentz-Minkowski 3-space, preprint, arXiv:1907.00739

[5] E. Bombieri, E. De Giorgi and E. Giusti, Minimal cones and the Bernstein problem, Invent. Math.7 (1969), 243–268.

[6] E. Calabi, Examples of Bernstein problems for some nonlinear equations in Global Analysis, (Proc.Sympos. Pure Math., Vol. XV, Berkeley, CA, 1968), Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1970, 223–230.

[7] S. Y. Cheng and S. T. Yau, Maximal space-like hypersurfaces in the Lorentz-Minkowski spaces,Ann. Math. 104 (1976) 407–419.

[8] K. Ecker, Area minimizing hypersurfaces in Minkowski space, Manuscripta Math. 56 (1986), 375–397.

[9] I. Fernandez and F.J. Lopez, On the uniqueness of the helicoid and Enneper’s surface in theLorentz-Minkowski space R3

1, Trans. Amer. Math. Soc. 363 (2011), 4603–4650.

[10] S. Fujimori, Y. W. Kim, S.-E. Koh, W. Rossman, H. Shin, M. Umehara, K. Yamada and S.-D.Yang, Zero mean curvature surfaces in Lorentz-Minkowski 3-space which change type across alight-like line, Osaka J. Math. 52 (2015), 285–297, Erratum: Osaka J. Math. 53 (2016), 289–293.

[11] S. Fujimori, Y. Kawakami, M. Kokubu, W. Rossman, M. Umehara, K. Yamada, Entire zero meancurvature graphs of mixed type in Lorentz-Minkowski 3-space, The Quarterly J. Math. 67 (2016),801–837.

[12] S. Fujimori, Y.W. Kim, S.-E. Koh, W. Rossman, H. Shin, H. Takahashi, M. Umehara, K. Yamadaand S.-D. Yang, Zero mean curvature surfaces in L3 containing a light-like line, C.R. Acad. Sci.Paris. Ser. I. 350 (2012), 975–978.

[13] S. Fujimori, Y. W. Kim, S.-E. Koh, W. Rossman, H. Shin, M. Umehara, K. Yamada and S.-D. Yang, Zero mean curvature surfaces in Lorentz-Minkowski 3-space and 2-dimensional fluidmechanics, Math. J. Okayama Univ. 57 (2015), 173–200.

[14] K. Hashimoto and S. Kato, Bicomplex extensions of zero mean curvature surfaces in R2,1 andR2,2, J. Geom. Phys. 138 (2019), 223–240.

[15] A. Honda, M. Koiso, M. Kokubu, M. Umehara and K. Yamada, Mixed type surfaces with boundedmean curvature in 3-dimensional space-times, Diff. Geom. and its Appl. 52 (2017), 64–77.

[16] V. A. Klyachin, Zero mean curvature surfaces of mixed type in Minkowski space, Izv. Math. 67(2003), 209–224.

[17] O. Kobayashi, Maximal surfaces in the 3-dimensional Minkowski space L3, Tokyo J. Math., 6(1983), 297–309.

[18] A. Treibergs, Entire spacelike hypersurfaces of constant mean curvature in Minkowski space,Invent. Math. 66 (1982), 39-56.

[19] M. Umehara and K. Yamada, Hypersurfaces with light-like points in a Lorentzian manifold, toappear in J. Geom. Anal., arXiv:1806.09233.

130

Kahler-Einstein計量の多体問題への一般化とその幾何学的量子化

高橋良輔 ∗（京都大学数理解析研究所）

1 導入(X,L)を偏極多様体とし，hを L上の Hermite計量で正曲率 ω ∈ 2πc1(L)を持つものとする．このとき，L上の

正曲率を持つ Hermite計量全体の空間は，ポテンシャルの空間

H = ϕ ∈ H|ωϕ := ω +√−1∂∂ϕ > 0

と自然に同一視される．ポテンシャル ϕ ∈ Hが Kahler-Einstein (KE)であるとは，関係式

Ric(ωϕ) = λωϕ (λ ∈ R)

を満たすことである．このとき，計量 ωϕ をスケーリングすることにより λ = 0,±1としてよい．また，Ricci形式Ric(ωϕ)は 1次チャーン類を代表することから，自動的にKX ≃ −λLが従うことに注意しておく（KX はX の標準束）．λ = −1, 0のとき，X は常に KE計量を持つことが知られている．一方で，λ = 1（すなわち，X が Fano）のとき，X は KE計量を持つとは限らず*1，KE計量の存在は “K-安定性”と呼ばれる幾何学的不変式論（Geometric

Invariant Theory，略して GIT）的安定性と同値であることが，長らくの間予想されていた．この予想は昨今になって Chen-Donaldson-Sun, Tianにより肯定的に解決されている．K-安定性の概念は KE計量のモジュライを構成する上で重要な役割を果たすが，一方で，KE計量を持たない多様体は数多く存在する．そのため，KE計量を一般化する研究が近年盛んに行われてきた．今回は，その 1つの一般化として，Hultgren-Witt Nystrom [HN17]によって導入された，“coupled Kahler-Einstein計量”を取り扱う：いま，−λKX > 0 (λ = ±1)とし*2，−λKX を N 個の Q-豊富直線束に分解する：

−λKX ≃ L[1] + . . .+ L[N ].

このような分解 (L[i]) を −λKX の Q-分解と呼ぶことにする．さらに各 L[i] をその十分大きな冪で置換することにより十分豊富であると仮定してよい．各 i に対し，L[i] 上の Hermite 計量 h[i] を 1 つ固定することにより，その曲率 ω[i] > 0および対応するポテンシャルの空間 H[i] が定まる．そして，N 個のポテンシャルの組 (ϕ[i]) ∈

∏iH[i] が

coupled Kahler-Einstein (CKE)であることを関係式

Ric(ωϕ[1]) = . . . = Ric(ωϕ[N]

) = λN∑i=1

ωϕ[i](1.1)

で定義する．特に N = 1 のとき，ポテンシャル ϕ[1] ∈ H[1] が KE であることと CKE であることは同値であり，CKE計量は KE計量の一般化になっている．CKE計量の研究は，KEの場合と同様にその安定性の研究やモジュライの構成を動機の 1つとしている．実際，CKE計量は偏極多様体とベクトル束を補完するような GIT/モーメント写像描写を持つことが，近年の Datar-Pingali [DP19]の研究によって明らかになった．他にもこのタイプの補完の例としては，[CY18, CFP13]などがある．また，物理学的にも多体問題*3は普遍的な問題意識として認識されている．

∗ e-mail: [email protected]*1 例えば，P2 の 1点ブローアップは KE計量を許容しないことが知られている．*2 λ = 0のときも coupled Kahler-Einstein計量を定義できるが，このときは単に N 個の Calabi-Yau (Ricci-flat)計量の組になるので面白くない．

*3 互いに相互作用し合う 2体以上からなる系を考えること（e.g. 万有引力で互いに相互作用し合う 2体以上の惑星運行の問題）．

131

本講演では，代数幾何学的安定性や数値解の構成を動機として，CKE計量と射影埋め込みの漸近挙動の関係について議論する：いま k ∈ Nとし，X の N 個のコピー XN を kL[1], . . . , kL[N ] に対応する N 個の線型系で一斉に埋め込む操作を考える：

XN → P(H0(X, kL[1])∗)× · · · × P(H0(X, kL[N ])

∗).

もしこのとき X が CKE計量を許容すれば，N 個の射影埋め込みに関する，何らかの “平衡状態”が観測できるだろうか？そして，k を無限大に飛ばしたとき，この平衡状態は適当な意味で CKE計量に漸近するだろうか？

2 幾何学的量子化(X,L)を偏極多様体として必要な道具を定義していこう．まず，“射影埋め込みの平衡状態”は CKE計量の構造を十分に反映しなければならない．そこで，埋め込みそのものではなく，レベル k の Bergman計量の空間

H(k) := H|H は H0(X, kL)上の Hermite形式 , k ∈ N

を考える．いま，ϕ ∈ H，ν を X 上の確率測度としたとき，Hilb(k)ν (ϕ) ∈ H(k) を

∥s∥2Hilb(k)(ϕ)

:=

∫X

|s|2kϕν

で定める，ここで，| · |2kϕ = | · |2h⊗k

e−kϕ．一方で，H ∈ H(k) が与えられたとき，FS(k)(H) ∈ Hを

FS(k)(H) :=1

klog

(1

D(k)

D(k)∑α=1

|sα|2k0)

により定める．ここで，D(k) := dimH0(X, kL)，(sα)は H に関する任意の正規直交基底である．上式は基底 (sα)

の取り方に依らず，実際，H に関する Fubini-Study 計量 ωFS(H) ∈ 2πc1(P∗(H0(X, kL)),O(1)) を X に制限してk−1 を掛けたものに等しい．さらに，ωFS(H) に関する GL(H0(X, kL);C)のユニタリ部分群を U

(k)H ，その Lie環を

u(k)H ，標準的なHamilton作用のモーメント写像（の

√−1倍）をM(H) : P∗(H0(X, kL))→ (

√−1u(k)H )∗ ≃

√−1u(k)H

とおく．ここでの同一視は，√−1u(k)H 上の内積

⟨A,B⟩H :=1

k2D(k)Tr(A B), A,B ∈

√−1u(k)H

によるものである．さらに，基点 H を止めることに，同一視 H(k) ≃ GL(H0(X, kL);C)/U (k)H があることに注意す

れば，THH(k) ≃√−1u(k)H であり，内積 ⟨·, ·⟩H はH(k) 上に Riemann構造を定め，H(k) は Riemann対称空間にな

ることが分かる．次に，−λKX の Q-分解 (L[i])に対して，標準確率測度を

µ(ϕ) :=e−λ

∑i ϕ[i]θn0∫

Xe−λ

∑i ϕ[i]θn0

, ϕ ∈∏i

H[i]

で定める．ここで，Kahler形式 θ0 は Calabi-Yauの方程式 Ric(θ0) = λ∑i ω[i] の解として定める．いま，ν = µと

おいて，各 iに対して上の構成を適用することで，Bergman計量の空間H(k)[i] および以下の写像が定義される：

Hilb(k)

µ (ϕ) := (Hilb(k)[1],µ(ϕ), . . . ,Hilb

(k)[N ],µ(ϕ)), ϕ ∈

∏i

H[i],

FS(k)

(H) := (FS(k)[1] (H[1]), . . . ,FS

(k)[N ](H[N ])), H ∈

∏i

H(k)[i] .

このとき，Hilb(k)[i],µ(ϕ) := Hilb

(k)[i],µ(ϕ)(ϕ[i])．さらに，µに関する i番目の質量中心を

M [i],µ(H) :=

∫X

M(H[i])µ(FS(k)

(H))(∈√−1u(k)H[i]

)により定める．

132

Definition 2.1. H ∈∏iH

(k)[i] が (Hilb

(k)

µ FS(k)

)(H) = H を満たすとき，（レベル k で）balanced であるという．

あるいは，ϕ ∈∏iH[i]が balancedであることを (FS

(k)Hilb

(k)

µ )(ϕ) = ϕで定めると，両者は 1:1対応し，その同

型は Hilb(k)

µ および FS(k)で与えられることが分かる．さらに別の定義方法としては，（正規化された）µ-Bergman

関数をB

(k)[i],µ(ϕ) :=

1

D(k)[i]

∑α

|s[i],α|2kϕ[i]((s[i],α)は Hilb

(k)[i],µ(ϕ)-正規直交基底)

で定めると，次の関係式が成り立つ：

FS(k) Hilb

(k)

µ − Id =1

klog B

(k)[i],µ.

つまり，B(k)[i],µ は恒等写像 Idからの誤差を測る関数である．さらに，簡単な計算から次が分かる：

Proposition 2.2. H ∈∏iH

(k)[i] に対して，次の 3つの条件は同値である：

(1) H が balanced（⇔ ϕ := FS(k)

(H)が balanced）．(2) B

(k)[i],µ(ϕ) = 1 (i = 1, . . . , N)．（Bergman関数の平衡条件）

(3) D(k)[i] M [i],µ(H) = Id (i = 1, . . . , N)（質量中心の平衡条件）．

3 主結果まずは自己同型群の単位元連結成分 Aut0(X)が自明な場合に主結果を述べる：

Theorem 3.1 ([Tak19]). X を −λKX > 0 (λ = ±1）なるコンパクト複素多様体で，Aut0(X)が自明であるとする．また，(L[i])を，coupled Kahler-Einstein計量を許容する −λKX の Q-分解とする．このとき，十分大きい k に対して，レベル k の balanced 計量 ϕ(k) がただ 1 つ存在し，k → ∞ のとき，coupled

Kahler-Einstein計量 ωCKE に Kahler計量のレベルで C∞ 収束する．

N = 1のとき，カレントの意味での収束は [BBGZ13]で既に得られているが，C∞ の意味での収束は N = 1のときでも新しい結果である．また，Theorem 3.1は Donaldson [Don01]による constant scalar curvature Kahler計量の幾何学的量子化から着想を得たものであり，“Ricci版アナロジー”と思うことができる．その後 Donaldsonの定理は，満渕氏 [Mab04]によって Aut0(X)が非自明な場合に “高次二木不変量”と呼ばれる障害付きで一般化されている*4．したがって，CKEの場合も正則不変量による障害の存在を疑うのが自然である．実際，次のことが分かる：

Theorem 3.2 ([Tak19]). X を Fano多様体とする．

(1) −KX の Q-分解 (L[i])に対して，ある正則不変量のシリーズ Fc,jj=1,...,nN+1 が定義され，もし (L[i])が十分大きい任意の k に対してレベル k の balanced計量を持てば，Fc,j ≡ 0 (j = 1, . . . , nN + 1)が成り立つ．

(2) −KX の Q-分解 (L[i]) が coupled Kahler-Einstein 計量を許容し，かつ (1) の正則不変量のシリーズFc,jj=1,...,nN+1 が全て消滅していたとする．このとき，十分大きい k に対して，レベル k の balanced 計量ϕ(k) が Aut0(X) の作用を除いてただ 1 つ存在し，k → ∞ のとき，Aut0(X) の作用でモジュロして，coupled

Kahler-Einstein計量 ωCKE に Kahlerカレントのレベルで収束する．

ここで，正則不変量のシリーズ Fc,jj=1,...,nN+1 の厳密な定義については [Tak19, Section 3.2]を参照されたい．ざっくり言うと，Fc,j は L[i] (i = 1, . . . , N)の Hilbert多項式の係数および高次二木不変量 F[i],pp=1,...,n の組み合わせとして表現できる．

*4 正確には，満淵氏 [Mab04]によって導入された障害を，二木氏 [Fut04]が正則不変量として定式化した．

133

4 Theorem 3.1の証明の概略Theorem 3.1 の証明もまた Donaldson [Don01] から着想を得ている．Donaldson の balanced 計量は有限次元

GIT/モーメント写像描写を持つので，balanced計量を構成するためにモーメント写像のノルムを 2乗して得られる汎関数の勾配流*5が重要な役割を果たした．一方で，我々の導入した balanced計量はそのような描写が存在するかどうかは不明である．そこで，安直に Proposition 2.2の「質量中心の平衡条件」の両辺の差をとって，次の coupled

flow（balancing flowと呼ぶことにする）を導入する：ddtH[1](t) = k

(Id−D(k)

[1] M [1],µ(H(t)))

...ddtH[N ](t) = k

(Id−D(k)

[N ]M [N ],µ(H(t)))

そして，balancing flow に沿って一様評価を構成することにより，balanced 計量の存在/収束の証明を試みたい．H ∈

∏iH

(k)i に対して，

R(H) := k2∑i

∥∥Id−D(k)[i] M [i],µ(H)

∥∥2H[i]

と定める．balancing flowが一般に時間大域的に解けるかどうかは分からないが，初速度ベクトル R(H(0))が限りなく小さい状況を作り出すことができれば，収束が期待できる．

Lemma 4.1 (almost balanced metricの構成). 任意の ℓ ∈ Nに対し，あるベクトル値関数 η1, . . . ,ηℓ ∈ C∞(X;RN )

が存在して，ϕℓ := ϕCKE +∑ℓj k

−jηj とおくと，B(k)[i],µ(ϕℓ) = 1 +O(k−ℓ−1) (i = 1, . . . , N)が成り立つ．

Lemma 4.1 の証明は [Don01] と同様で，Bergman 核の漸近展開を使って行われる．いま，flow の初期値としてH(0) := Hilb

(k)

µ (ϕℓ)をとると，Lemma 4.1より初速度ベクトルの評価R(H(0)) = O(k−2ℓ−4)を得る．さらに flow

の収束を証明するために次の基本的な補題を用いる：

Lemma 4.2. ある定数 C, δ > 0（ただし，C, δ は k に依存してもよい）が存在して，balancing flow H(t)に沿って次の評価が成り立つとする：

(1) R(H(0)) ⩽ 116δ

2C2．(2) H(t) ∈ BH(0)(C)である限り，

d

dtR(H(t)) ⩽ −δR(H(t)). (4.1)

このとき，H(t)はある balanced計量H(k) ∈ BH(0)(2R(H(0))12 /δ)に収束する．

上補題は単に balanced計量が存在すると言っているだけでなく，それが flowの初期値からどれくらい離れたところで見つかるかという定量的な評価を与えている．実際に balancing flowに沿った R(t)の微分を計算することにより次が得られる：

Lemma 4.3. ℓ > n2 − 1とすると，δ := c，C := ck−

n2 −1（c > 0は k に依らないある定数）とおいて，k が十分大

きいとき，Lemma 4.2の条件を満たすようにできる．特に，得られる balanced計量H(k) は dist(k)(H(0),H(k)) =

O(k−ℓ−2)を満たす．

Lemma 4.3の証明の概略. H[i] の生成する無限小ベクトル場を ξ[i]，その ωFS(H[i]) に関する Hamiltonianを h[i] とおく．すると，直接計算から次の式が得られる：

d

dtR(H(t)) = −2

∑i

∫X

|ξ[i]|2FS(H[i])µ(FS

(k)(H))

+2λ

k

[ ∫X

(∑i

h[i]

)2

µ(FS(k)

(H))−(∫

X

∑i

h[i]µ(FS(k)

(H))

)2].

*5 “Kempf-Ness flow”とも呼ばれる [CS14]．

134

λ = −1のときは右辺第 2項が負になるので都合がよい．一方で，λ = 1のときは右辺第 2項の符号が正（bad term）となる．そこで ξ[i] を ωFS(H[i]) に関して pointwiseに直交分解 ξ[i] = ξ⊤[i] + ξ⊥[i] してみる．ここで，“⊤”は X に接する成分，“⊥”は X と直交する成分であることを意味する．すると直接計算から，bad termは右辺第 1項の X に接するパート（good term）に吸収できることが分かる：

−2∑i

∫X

|ξ⊤[i]|2FS(H[i])

µ(FS(k)

(H)) + (右辺第 2項) ⩽ 0.

さらに，∏iH

(k)[i] が有限次元であることに注意すれば，3種類のノルム

∥H[i]∥2H[i],

∫X

|ξ[i]|2FS(H[i])µ(FS

(k)(H)),

∫X

|ξ⊥[i]|2FS(H[i])

µ(FS(k)

(H)) (4.2)

は全て同値にならなければならない（このとき，Aut0(X)が自明であるという仮定から，ξ⊥[i] = 0は ξ[i] = 0と同値でなければならず，3番目の積分は確かにノルムを定めていることが分かる）．まとめると，適当な δ = δ(k,H)に対して不等式 (4.1)が成り立つことが分かった．以上はあくまで固定した k と tに対する議論であり，ここからさらに証明を完成させるためには δ のH-依存性を

排除し，kに対する依存性（k →∞のときのオーダー）を明確に与えなければならない．そのために以下のような議論が必要になる：

(1) flowの軌道H(t)に沿った（k と tに対して）一様な幾何のコントロール．(2) k →∞としたときに，3種類のノルム (4.2)の同値性が崩壊するスピードの評価．

(1)では各レベル k の flowの初期値（=レベル k の almost balanced計量）に沿ってある（k について）一様な半径を持つ近傍を構成し，その近傍上では幾何の一様なコントロールがあること，そして balancing flowがその近傍内に留まり続けることを示す．(2)では，(1)で構成した近傍上で 3種類のノルムの同値性が崩壊するスピードを k の多項式オーダーで評価する．これと初速度ベクトルの評価 R(H(0)) = O(k−2ℓ−4)を組み合わせることで，欲しかったBergman距離に関する定量的な評価が得られる．

Lemma 4.3は，「近似の精度 ℓを上げることで，flowの初期値H(0)と balanced計量H(k) の Bergman距離をk → ∞のときいくらでも近づけることができる」と言っている．一方で，有限次元空間のノルムは全て同値になるという事実から，2つの Bergman計量の間の Cr（r ⩾ 0は任意の整数）距離を Bergman距離で評価することができる．そこで，（Lemma 4.3の証明のように）この評価を kに関するオーダー付きで構成し，ℓ = ℓ(n, r)を十分大きくとることで，balanced計量H(k) の Cr ノルムの（kに依存しない）一様評価を構成することができ，結果としてbalanced計量の Cr 収束が得られる．

参考文献[Don01] S. K. Donaldson: Scalar curvature and projective embeddings, I. J. Diff. Geom 59 (2001), 479–522.

[BBGZ13] R. J. Berman, S. Boucksom, V. Guedj, and A. Zeriahi: A variational approach to complex Monge-Ampere

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[DP19] V. V. Datar and V. P. Pingali: On coupled constant scalar curvature Kahler metrics. arXiv:1901.10454.

[Fut04] A. Futaki: Asymptotic Chow semi-stability and integral invariants. Internat. J. Math. 15 (2004), 967–979.

[HN17] J. Hultgren and D. W. Nystrom: Coupled Kahler-Einstein metrics. Int. Math. Res. Not., 2017.

[Mab04] T. Mabuchi: An obstruction to asymptotic semistability and approximate critical metrics. Osaka J. Math. 41

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[Tak19] R. Takahashi: Geometric quantization of coupled Kahler-Einstein metrics. arXiv:1904.12812.

135

ハイパーケーラー多様体における平均曲率流

國川慶太(高橋良輔氏との共同研究に基づく)

ハイパーケーラー多様体. (M, g)を実 4次元ハイパーケーラー多様体とする.このときリーマン計量 gと整合性を持つ 3つの複素構造 J1, J2, J3が存在し,次の四元数関係

J21 = J2

2 = J23 = J1J2J3 = − Id

を満たす. 以下では簡単のためコンパクトなハイパーケーラー多様体のみ扱うが, この講演の内容はM に bounded geometry (単射半径, 曲率, および曲率の高階微分の一様有界性)を仮定しておけば非コンパクトでも成立する. なお, 実 4次元コンパクトハイパーケーラー多様体は, トーラスT4とK3曲面だけである.さて,ハイパーケーラー多様体上では上のような複素構造の三つ組J1, J2, J3

が存在するので, (a1, a2, a3) ∈ S2 ⊂ R3に対して

J = a1J1 + a2J2 + a3J3

とおけば, J もまた gと整合性を持つ複素構造となる. この意味で今後 J ∈ S2と書く. J ∈ S2に関する正則シンプレクティック形式 (非退化な J-正則 2次形式)をΩJ で表す. このとき J と (R3の標準内積の意味で)直交するK ∈ S2が存在し, ΩJ は

ΩJ = ωJK −√−1ωK

と表される. ただし, ωJK = g(JK, ·)と ωK = g(K, ·)はそれぞれ JKとKに対応する実シンプレクティック形式である.

実 4次元ハイパーケーラー多様体の曲面. この講演では, ハイパーケーラー多様体の中のコンパクトな (実 2次元)曲面 L2 ⊂M4, およびその平均曲率流を考える. 曲面 L ⊂M が, ある J ∈ S2に関して

ΩJ |L ≡ 0

を満たすとき, Lを複素ラグランジュ曲面という. これは通常のラグランジュ曲面の定義の類似と見ることができる. ところが, 条件 ΩJ |L ≡ 0は 2つの実シンプレクティック形式 ωJK と ωK について同時に

ωJK = ωK ≡ 0

となることを意味するので, Lに強い制約を与えている. 実際, ΩJ に関する複素ラグランジュ曲面は, J に関する正則曲線 (複素 1次元部分多様体で, これは自動的に極小部分多様体)になる. 平均曲率流の立場から見れば, 複素ラグランジュ曲面はフローの収束先の候補である.では, どのような曲面であれば平均曲率流のもとで複素ラグランジュ曲面

(正則曲線)に収束するだろうか. Leung-Wan [LW07]はハイパーケーラー多様体における平均曲率流を考えるため, 複素ラグランジュ曲面の条件を緩め

136

て, 次のように「ハイパーラグランジュ曲面」を定義した. 曲面 L ⊂M 上で,滑らかな写像

Ψ : L→ S2

が存在して, 各点 x ∈ Lで ΩΨ(x)|TxL = 0が成り立つとき, Lをハイパーラグランジュ曲面という. つまり各点 x ∈ Lごとに変わり得るM の複素構造Ψ(x) ∈ S2に対して,複素ラグランジュ条件を満たすものを考えるのである. 各点 x ∈ LごとにM 上の複素構造Ψ(x) ∈ S2を対応させる写像Ψ : L→ S2をcomplex phaseと呼ぶ. 複素ラグランジュ曲面は, complex phase Ψ : L→ S2が定値写像であるような曲面である.実は, (向き付け可能な) 実 2 次元曲面 L2 ⊂ M4 の場合には, いつでも

ハイパーラグランジュ構造を入れることができる. 実際, M の正規直交枠e1, e2, e3, e4を e1, e2 ∈ TL, e3, e4 ∈ T⊥Lとなるように選び, complex phaseΨ : L→ S2を

Ψe1 = e2, Ψe3 = −e4により定めればよい.

Remark 1. Leung-Wan [LW07]は, 一般の実 4n次元 (n ≥ 1)ハイパーケーラー多様体の中の実 2n次元部分多様体 L2n ⊂M4nに対してハイパーラグランジュ部分多様体の概念を定義した. しかし, 最近Qiu-Sun [QS19]により, 高次元 (n ≥ 2)では

「ハイパーラグランジュ部分多様体 =⇒ 複素ラグランジュ部分多様体」

となることが示された. したがって, 平均曲率流の立場からは n = 1の場合のみが考察対象となる.

シンプレクティック曲面. ハイパーラグランジュ構造 (つまり complex phase)は, ケーラー角やラグランジュ角を包括した概念になっている. ここでは, これらについて説明する. すでに述べたように, 曲面 L2 ⊂ M4に対しては, Mの正規直交枠を e1, e2 ∈ TL, e3, e4 ∈ T⊥Lとなるように選び, これを用いてcomplex phase Ψ : L→ S2を取ることができる. もともとM のハイパーケーラー構造を定めていた複素構造 J1, J2, J3を使えば, complex phaseは

Ψ(x) = a1(x)J1 + a2(x)J2 + a3(x)J3 ∈ S2, x ∈ Lと表すことができる. 簡単な計算で ωJ3(e1, e2) = a3 となることがわかるが,(a1, a2, a3) ∈ S2なので−1 ≤ a3 ≤ 1である. したがって

cosα := ωJ3(e1, e2)

とおくことで角度αが定まる. このαはωJ3に関するケーラー角に他ならない.ケーラー角 αを用いると, ωJ3 に関するシンプレクティック曲面は cosα > 0なるものとして特徴付けられる. 特に cosα ≡ 1であるような Lは J3に関する正則曲線である. また, cosα ≡ 0の場合, Lは ωJ3 に関するラグランジュ曲面である (Fig. 1参照).

ハイパーラグランジュ平均曲率流. 滑らかなはめ込みの族 Ft : L→Mt∈[0,T )が

∂F

∂t(x, t) = H(x, t) (H(·, t)は Ftの平均曲率ベクトル場)

を満たしているとき, Ftは平均曲率流を満たすという. 平均曲率流は, 一般のリーマン多様体M とその部分多様体Lについて考えることができる. 平均曲率流は部分多様体の体積汎関数に関する負の勾配流であり, 極小部分多様体

137

Figure 1. Image of the complex phase Ψ in S2

はその停留点になる. 平均曲率流の短時間解の存在と一意性は, Lがコンパクトであれば保証されるので, これ以降は部分多様体 Lにもコンパクト性を仮定する.

Leung-Wan [LW07]はハイパーケーラー多様体の中で, ハイパーラグランジュ部分多様体の平均曲率流を考察した. 以下, 特に L2をハイパーケーラー多様体M4の中のハイパーラグランジュ曲面とし, Lt := Ft(L) ⊂ M と表すことにする.

Proposition 2 (Leung-Wan [LW07]). M4をハイパーケーラー多様体, L2をそのハイパーラグランジュ曲面とし, Ftを初期値がL0 = Lの平均曲率流とする. このとき次が成り立つ.

(1) 平均曲率流の解が存在する限り, 全ての t ∈ [0, T )で Lt ⊂ M もハイパーラグランジュ曲面である.

(2) 平均曲率流に沿って complex phase Ψt : L→ S2は次を満たす:

d

dtΨt = ∆tΨt (∆tΨtはΨtのテンション場).

この定理によれば, ハイパーラグランジュ条件は平均曲率流に沿って保たれ, しかもその complex phaseは (一般化された)調和写像流を満たす. この意味で, 初期値をハイパーラグランジュ曲面とする平均曲率流を「ハイパーラグランジュ平均曲率流」と呼ぶ. 一般に, (余次元の高い)平均曲率流は扱いが困難であるが, ハイパーラグランジュ構造を考えることで, 考察を推し進めることができる. この講演の主結果 (後述, Theorem 3)はハイパーラグランジュ構造に着目することで得られる.

ハイパーラグランジュ平均曲率流の収束定理. この節ではこの講演の主結果を紹介する. そのために, ハイパーラグランジュ曲面 L ⊂ M の complex phaseΨ : L→ S2から自然に定まる次の量を定義しておく:

T (L) :=∫L|∇Ψ|2dµ.

すなわち, T (L)は complex phase Ψ : L→ S2に関するディリクレエネルギーである. 主結果は大雑把に言って, 「初期値の T (L)が十分に小さければハイパーラグランジュ平均曲率流は, 正則曲線に収束する」というものである. つまり, 我々は正則曲線のハイパーラグランジュ平均曲率流に沿った (局所的な)安定性を示したことになる.

Theorem 3 (K.–Takahashi [KT18]). M を実 4次元のコンパクトなハイパーケーラー多様体, L ⊂ M をコンパクトな実 2次元ハイパーラグランジュ曲面

138

とする. このとき, 任意にとって固定した正数 V,Λ, δ > 0に対して, ある正数ε = ε(n, V,Λ, δ,Rm(M), inj(M)) > 0が存在して次が成り立つ:

Vol(L) ≤ V, |A| ≤ Λ, λ1(∆L) ≥ δ, T (L) ≤ εであれば, L0 = L を初期値とするハイパーラグランジュ平均曲率流 Lt =Ft(L) ⊂ M は時間大域的に存在し, t → ∞のとき Ltはある複素構造 J ∈ S2に関する正則曲線L∞にC∞収束する. また, 収束の速さは exponential decayである.

定理の中の記号について説明する. Aは L ⊂ M の第 2基本形式, λ1(∆L)は L上の (関数に作用する)ラプラシアン∆Lの第 1固有値, Rm(M)はM の曲率テンソル, そして inj(M)はM の単射半径である.T (L)が十分に小さいという条件は, complex phase Ψ : L→ S2が, ある定

値写像に十分近いということを表している. これは初期値のハイパーラグランジュ曲面 L0 = Lが, 何らかの複素構造 J ∈ S2に関する正則曲線に (T (L)の意味で)十分近いシンプレクティック曲面であるという状況である. ただし,あらかじめ特定された複素構造に関してシンプレクティック曲面であることを要求しているわけではないことを注意しておく. むしろ, 主定理はハイパーラグランジュ平均曲率流により, 極限の複素構造と正則曲線を同時に見つけるものとなっている.証明に関して, 詳しいことは論文 [KT18]を参照していただきたい. ここで

は主要なアイデアだけ述べる. 我々の主定理の証明は, H. Liの論文 [Li12]の手法に基づいている. Liはケーラー・アインシュタイン多様体の中で, ラグランジュ平均曲率流に沿った極小ラグランジュ部分多様体の (局所的な)安定性を示している. ただし, 初期値でラグランジュ部分多様体の平均曲率 1形式が完全形式であることを仮定する (この性質は平均曲率流で保たれる). Liの手法で重要なポイントは, ラグランジュ平均曲率流に沿って

∫L |H|

2dµに関するε-regularityを示すことであった. そのためには

∫L |H|

2dµの発展方程式を計算し, exponential decay評価を導出するのだが, 途中でラグランジュ部分多様体の平均曲率 1形式の完全性を用いる. 我々の場合にも, Liと同様に

∫L |H|

2dµに関して ε-regularityが示せればよいのだが,扱う対象がハイパーラグランジュ曲面である (これはラグランジュ部分多様体とは限らない)ため, そのままではうまくいかない. そこでハイパーラグランジュ構造に着目し,

∫L |H|

2dµの代わりに T (L)に関する ε-regularityを示す, というところが主定理の証明の肝となる. T (L)を使う理由は次の式を見るとわかる.

Proposition 4 (Leung-Wan [LW07]). L ⊂M をハイパーラグランジュ曲面,Ψ : L→ S2をその complex phaseとするとき次が成り立つ:

iHΩΨ + 2√−1∂Ψ = 0.

特にハイパーラグランジュ曲面Lについて,極小 (H = 0)であることとcomplexphase Ψ : L→ S2が反正則写像であることは同値である.

この帰結として |H|2 ≤ 2|∇Ψ|2 を示すことができるので,∫L|H|2dµ ≤ 2T (L)

が言える. つまり T (L)が十分に小さいということは, complex phaseが定値写像に近いことを意味するが, 同時に平均曲率もこの意味で十分小さいことを意味している. T (L)のハイパーラグランジュ平均曲率流に沿った発展方程式は, complex phaseが (一般化された)調和写像流 d

dtΨt = ∆tΨtを満たすこと

139

を使うと計算できて, 特に exponential decay評価を導出できる. これにより,T (L)に関する ε-regularityが示されるので, (Lがラグランジュ曲面であることや, 平均曲率 1形式の完全性などを用いることなく)

∫L |H|

2dµの ε-regularityも自動的に従う. このような観察から, ハイパーラグランジュ平均曲率流において, 正則曲線への収束を示すためには T (L)をコントロールすることが自然であるとわかる.

関連する結果について. 最後に, 主結果と関連する結果について述べておく.Chen-Tian [CT00]は実 4次元ケーラー・アインシュタイン多様体における (実2次元)シンプレクティック曲面は, 平均曲率流に沿って保たれることを示した. したがって, 初期値がシンプレクティック曲面である平均曲率流を, シンプレクティック平均曲率流という. Han-Sun [HS12]はトーラスT4内のコンパクトなシンプレクティック曲面に対するシンプレクティック平均曲率流を考察し,

∫L |A|

2dµに関する ε-regularityを導くことにより, 我々と類似の結果 (正則曲線への収束)を示している. ここで, 実は T (L)に関して次が成り立つことを注意しておく:

T (L) ≤ 8

∫L|A|2dµ.

つまり Han-Sunたちの仮定では∫L |A|

2dµを使い, しかも外側の空間の平坦性を (本質的に)使っているという意味で, 我々の状況よりも強い制約が課されている. したがって, 今回の講演の主結果は Han-Sunの定理の改良版と言える.また, Han-Li [HL05]は, 正のリッチ曲率を持つ 4次元ケーラー・アインシュ

タイン多様体の中で, シンプレクティック平均曲率流に沿った正則曲線の (局所的な)安定性を示している. これはやはり我々の定理の類似であるが, Han-Liは外側の多様体のリッチ曲率が正であることを本質的に用いており, その手法はハイパーケーラー多様体 (リッチ曲率 0)の場合には適用できない. この講演の主結果は, 実 4次元ハイパーケーラー多様体の中の正則曲線が, シンプレクティック平均曲率流のもとで (局所的に)安定であるという主張も含んでおり, これは新しい結果である.

References

[CT00] J. Chen and G. Tian: Moving Symplectic Curves in Kahler–Einstein Sur-faces. Acta Math. Sinica 16 (2000), no. 4, 541–548.

[HL05] X. L. Han and J. Li: The mean curvature flow approach to the symplecticisotopy problem. Int. Math. Res. Not. IMRN 2005 (2005), no. 26, 1611–1620.

[HS12] X. L. Han and J. Sun: ε0-regularity for mean curvature flow from surface toflat Riemannian manifold. Acta Math. 28 (2012), no. 7, 1475–1490.

[KT18] K. Kunikawa and T. Takahashi: Convergence of mean curvature flow incompact hyperahler manifolds. arXiv:1808.06997 (2018).

[Li12] H. Li: Convergence of Lagrangian mean curvature flow in Kahler-Einsteinmanifolds. Math. Zeit. 271 (2012), no. 1, 313–342.

[LW07] N. C. Leung and T. Y. H. Wan: Hyper-Lagrangian submanifolds of hy-perkahler manifolds and mean curvature flow. J. Geom. Anal. 17 (2007),no. 2, 343–364.

[QS19] H. Qiu and L. Sun: Mean curvature flow of surfaces in a hyperkahler 4-manifold. arXiv:1902.00645.

東北大学材料科学高等研究所 (AIMR), 980-8577 仙台市青葉区片平 2-1-1E-mail address: [email protected]

140

一般化された s多様体の対蹠集合

大野　晋司, 酒井　高司, 寺内　泰紀

対称空間はCartan によって 1920年代に導入された多様体のクラスである.

対称空間には, いくつかの同値な定義が知られている. Naganoは以下のよう

に対称空間を定義した.

Definition 1. C∞級多様体M が対称空間であるとは, 各 x ∈M に対して,

M の微分同相 sx が定まっていて,

1. sxsx = idM , 2. xは sxの孤立固定点 (x ∈M), 3. sxsy = ssx(y)sx(x, y ∈M) が成り立つ時に言う. sx を xにおける点対称と呼ぶ.

対称空間には, Euclid空間 Rn, 球面 Sn, 実双曲空間 Hn などの実空間系と呼ばれる定曲率空間や, グラスマン多様体, コンパクト Lie群などが含まれて

いる. Chenと Naganoは 1978年の論文 ([CN1])以降の一連の論文で, 対称

空間の構造から定まる極地と子午空間, 対蹠集合, 2-number などについて研

究を行なっている ([CN2]等). これらの研究の結果が Chen-Nagano理論と呼

ばれている. 特筆すべき結果として, 極地と子午空間の対による対称空間の決

定, 2-numberによるコンパクト対称空間のオイラー数の評価, などが挙げら

れる.

一方で,対称空間の一般化概念は, Ledger(1967)が導入したs-多様体, Lutz(1981)

が導入した Γ対称空間などが知られている. s多様体は対称空間の定義から条

件 1. と 3. を外して定義される. s多様体に 3. の条件を加えたものは regular

な s多様体と呼ばれている. 一般に s多様体は等質空間とは限らないが, 各

sx で不変な Riemann計量を許容する場合は等質空間になる (cf. [Kow]).

Γ対称空間は等質空間のクラスである. Lie群 Gの自己同型群 Aut(G)の

有限可換部分群 Γの作用で固定されるGの部分群H について, G/H で定ま

る商多様体が Γ対称空間と呼ばれる. regularな s多様体と本稿で扱う一般化

された s多様体は regularな s多様体と Γ対称空間の一般化概念であり, した

がって対称空間の一般化概念でもある.

まずは一般化された s多様体の定義を与える.

Definition 2. M を C∞ 級多様体, Γを群とする. 各点 x ∈ M に対して群準同型 φx : Γ → Diff(M)が定まり次の条件を満たすとき, (Γ, φxx∈M )を

M 上の一般化された s構造と呼び, (M,Γ, φxx∈M )を一般化された s多様

体と呼ぶ.

141

(1) 任意の x, y ∈ M, γ, δ ∈ Γ に対して, φx(γ) φy(δ) φx(γ)−1 =

φφx(γ)(y)(γδγ−1) が成り立つ.

(2) 任意の x ∈M に対して, xは φx(Γ)のM への作用の孤立固定点である.

対称空間は Γ = Z2のときの一般化された s構造を持つ. したがって, 一般

化された s多様体は対称空間の拡張である. より一般に k対称空間は Γ = Zkのときの一般化された s構造を持つことも分かる (cf. [Kow]).

Chen-NaganoはコンパクトRiemann対称空間に対して, 極地と対蹠集合の

概念を導入し, 対蹠集合の濃度の上限として 2-numberと呼ばれる不変量を定

義した (cf. [CN2]). これらの概念を一般化された s多様体に対して定義する.

Definition 3. (M,Γ, φxx∈M )を一般化された s多様体とする. 各点x ∈Mに対して, xにおける対称変換 φx(Γ)による固定点集合

Fix(φx(Γ),M) = y ∈M | φx(γ)(y) = y (∀γ ∈ Γ)

の連結成分を極地と呼ぶ. 特に, 1点からなる極地を極と呼ぶ. 一般化された

s構造の条件 (2)より, 1点集合 xは xの極になるので xを自明な極と呼ぶ.

Definition 4. (M,Γ, φxx∈M )を一般化された s多様体とし, AをM の

部分集合とする. 任意の x, y ∈ Aと任意の γ ∈ Γに対して, φx(γ)(y) = y,

φy(γ)(x) = x が成り立つとき, AをM の対蹠集合と呼ぶ. さらに, M の対

蹠集合 Aが, 任意の対蹠集合 A′ ⊂ M に対して A ⊂ A′ ならば A = A′ を満

たすとき, AをM の極大対蹠集合と呼ぶ. M の対蹠集合の濃度の上限をM

の対蹠数と呼び, #Γ(M)で表す. 特に, #Γ(M) = #Aを満たす対蹠集合 A

をM の大対蹠集合と呼ぶ.

以下, (M,Γ, φxx∈M ) を一般化された s多様体とする.

Definition 5. (M,Γ, φxx∈M ), (N,∆, ψyy∈N ) を一般化された s多様体

とする.

1. C∞ 級写像 f : M → N と群準同型 Φx : Γ → ∆の族 Φxx∈M の組(f, Φxx∈M )が準同型であるとは, 各 x ∈M,γ ∈ Γに対して,

f φx(γ) = ψf(x)(Φx(γ)) f

がなりたつときにいう.

2. 準同型 (f, Φxx∈M )が同型であるとは, f が微分同相で, 任意の x ∈Mについて Φx が群同型であるときに言う . また, 同型 (f, Φxx∈M )が

存在するとき, (M,Γ, φxx∈M ) と (N,∆, ψyy∈N ) は同型であると

いう.

142

3. 準同型 (f, Φxx∈M ) :M → N と (g, Ψyy∈N ) : N →M が存在し, f

と gが微分同相である時に (M,Γ, φxx∈M )と (N,∆, ψyy∈N ) は同

値であるという.

Remark 6. 1. 各 x ∈M,γ ∈ Γに対して, φx(γ)は準同型である.

2. 二つの一般化された s多様体が同値であるという関係は同値関係である.

一般化された s多様体に対して, 対称空間の場合と同様に, 部分空間の概念

が定義できる.

Definition 7. (M,Γ, φxx∈M ) を一般化された s 多様体とする. M の部

分多様体 X が M の部分空間であるとは, 任意の x ∈ X, γ ∈ Γ に対して,

φx(γ)(X) = X が成り立つ時にいう.

Proposition 8. M の部分空間X に対して, (X,Γ, φxx∈M ) は一般化され

た s多様体である.

Corollary 9. M の部分空間 X に対して, 包含写像 ι : X → M は準同型で

ある.

Definition 10. x ∈M,γ ∈ Γに対して, φx(γ)の固定点集合 Fix(φx(γ),M)

をいくつかの連結成分M iγ の非交和

Fix(φx(γ),M) =

∞∪i=0

M iγ

に分解する. 各連結成分M iγ をM の xにおける γ極地と呼ぶ. x ∈M0

γ と約

束する.

Remark 11. M が連結のとき,γ 極地は有限個であるかどうかわかってい

ない.

Proposition 12. Γが可換群のとき, 各 x ∈ M,γ0 ∈ Γに対して, γ0 極地

M iγ0 はM の部分空間である.

対蹠集合と準同型の間の関係について考える. つぎの命題がすぐにわかる.

Proposition 13. (M,Γ, φxx∈M ), (N,∆, ψyy∈N )をそれぞれ一般化さ

れた s多様体とし, (f, Φxx∈M )を準同型とする.

1. A ⊂ M を対蹠集合とし, a ∈ Aに対して, Φa が全射であるとする. こ

のとき, f(A) ⊂ N は対蹠集合である.

2. B ⊂ Nを対蹠集合とし, fが単射であるとする. このとき, f−1(B) ⊂Mは対蹠集合である.

Corollary 14. N ⊂M が部分空間であれば, #Γ(N) ≤ #Γ(M)

143

Theorem 15. Γを可換群とする. 各 x ∈ M と γ ∈ Γに対して, M の xを

含む大対蹠集合は, F (φx(γ),M)に含まれる. さらに, F (φx(γ),M)を γ極の

非交和

F (φx(γ),M) =∞∪i=1

Mγi

で表したとき,

#Γ(M) ≤∞∑i=0

#Γ(Mγi )

が成り立つ.

次に述べる旗多様体や, Kahlar C-SpaceG/GX にもイソトロピー群GX の

中心 Z(GX)に関して, 一般化された s多様体の構造が定まることが確かめら

れる. 修士論文 [Tera]では実旗多様体 F1,2(R5)に対して Γ = Z2×Z2とした

ときの一般化された s構造を考え, その極大対蹠集合の合同類と対蹠数を決

定した. より一般の旗多様体に対しても一般化された s構造を導入し, 極大対

蹠集合と対蹠数を決定することができる. この結果を説明するために旗多様

体とその一般化された s構造を次のように定める.

K = R,C,Hとする. n1 + · · ·+ nr < nを満たす自然数 n, n1, . . . , nr に対

して, 旗多様体 Fn1,...,nr(Kn)を

Fn1,...,nr(Kn) =

x = (V1, . . . , Vr)

∣∣∣∣∣ 0 ⊂ V1 ⊂ V2 ⊂ · · · ⊂ Vr ⊂ Kn 部分空間dimVi = n1 + · · ·+ ni (i = 1, . . . , r)

で定める. Fn1,...,nr(Kn) には以下のようにして一般化された s 構造が定ま

る. 各点 x = (V1, . . . , Vr) ∈ Fn1,...,nr(Kn) に対して, sVi

= 2PVi− idKn :

Kn → Kn (i = 1, . . . , r) と定める. ここで, PViは Kn から Vi への直交

射影である. すなわち, sViは部分空間 Vi に関する鏡映である. 各 sVi

は

Fn1,...,nr(Kn)の微分同型写像を誘導し, sV1

, . . . sVrで生成される群は Z2 の

直積 (Z2)r = Z2 × · · · × Z2 と同型となる. したがって, Γ = (Z2)

r とするこ

とによって Fn1,...,nr(Kn)は一般化された s多様体となる. 特に, r = 1のと

き Fn1(Rn)はGrassmann多様体であり, Γ = Z2であるから対称空間である.

Theorem 16. 1. 旗多様体 Fn1,...,nr(Kn)の極大対蹠集合は

A = (⟨ei1 , . . . , ein1⟩K, ⟨ei1 , . . . , ein1+n2

⟩K, . . . , ⟨ei1 , . . . , ein1+···+nr⟩K)

| 1 ≤ i1 < · · · < in1≤ n, 1 ≤ in1+1 < · · · < in1+n2

≤ n, . . . ,

1 ≤ in1+···+nr−1+1 < · · · < in1+···+nr≤ n,

#i1, . . . , in1+···+nr = n1 + · · ·+ nr

と合同になる. ここで, e1, . . . , en は Kn の標準基底である.

144

2.

#Γ(Fn1,...,nr (Kn)) = #A =n!

n1!n2! · · ·nr!nr+1!.

ただし, nr+1 = n− (n1 + · · ·nr).

さらに, Sanchez [Sa]の結果と合わせると次の系を得る.

Corollary 17.

#Γ(Fn1,...,nr (Kn)) = dimH∗(Fn1,...,nr (Kn);Z2) =n!

n1!n2! · · ·nr!nr+1!.

参考文献

[CN1] B-Y. Chen and T. Nagano, Totally geodesic submanifolds of sym-

metric spaces. II, Duke Math. J. 45 (1978), no. 2, 405–425.

[CN2] B.-Y. Chen and T. Nagano, A Riemannian geometric invariant

and its applications to a problem of Borel and Serre, Trans. Amer.

Math. Soc. 308 (1988), 273–297.

[Kow] O. Kowalski, Generalized symmetric spaces, Lecture Notes in

Mathematics, 805, Springer-Verlag, Berlin-New York, 1980.

[Sa] C. Sanchez, The index number of an R-space: An extension of a

result of M. Takeuchi’s, Proc. Amer. Math. Soc. 125, (1997), 893–

900.

[Tera] 寺内泰紀, Γ対称空間の対蹠集合, 首都大学東京修士論文, 2018.

145

直積空間の集中

数川大輔 (東北大学大学院理学研究科)∗

1. 導入　完備可分距離空間 (X, dX)とその上のBorel測度mXの 3つ組 (X, dX ,mX)を測度距離空間という. 本稿では, 確率測度 (i.e. mX(X) = 1)を持つ測度距離空間のみを扱う.

(確率)測度距離空間 (の同型類)全体の集合X上にオブザーバブル距離dconcと呼ばれる距離がGromovによって [2]で導入された. dconcによる測度距離空間列の収束は, Levy

やV. Milmanによる測度集中現象に基づいた空間収束の概念を与えることから, 集中と呼ばれる. 測度距離空間の集中は, 測度付きGromov-Hausdorff収束 (以下, mGH収束)

をはじめとする他の測度距離空間の収束概念のほとんどよりも弱い位相を与えることが知られている. 測度距離空間の集中における重要な特徴の 1つは, 次元が無限大に発散する空間列を収束列として許容することである. 典型的な例として, n次元単位球面の次元に関する列 Sn(1)n∈Nは 1点から成る測度距離空間に集中する. ただし, Sn(1)

はn+1次元ユークリッド空間Rn+1上のn次元単位球面とし, 標準リーマン計量から定まる距離と確率測度に正規化された体積測度を持つ測度距離空間とする. このn次元単位球面列の収束は, mGH収束などの強い収束では捉えられない現象である.

1点測度距離空間に集中する空間列Xnn∈NをLevy族という. LevyやV. Milmanによる古典的な測度集中現象が見られる空間列の例はLevy族に対応する. Gromov [2]は1点空間以外の測度距離空間に集中する空間列の非自明な (mGH収束などのより強い意味で収束していない集中特有の)例を挙げるため, 固定された測度距離空間XとLevy族Ynn∈Nに対して, XとYnの lp-直積空間X×p Yn (p ∈ [1,+∞])の列は, n→∞として,

Xに集中することを示した. 2つの測度距離空間X, Y と拡張された実数p ∈ [1,+∞]に対して, XとY の lp-直積空間X ×p Y とは, lp-直積距離

dlp((x, y), (x′, y′)) :=

(dX(x, x

′)p + dY (y, y′)p)

1p if p < +∞,

maxdX(x, x′), dY (y, y′) if p = +∞

と直積測度mX ⊗mY を持つ直積集合X × Y として定まる. Gromovの議論により, 次のことが分かる. 2つの集中する測度距離空間の列Xnn∈N, Ynn∈Nに対して, 少なくとも一方がLevy族であるならば, それらの lp-直積空間の列Xn ×p Ynn∈Nはもう一方の空間列の極限空間に集中する. この事実を一般化する次の問いが考えられる.

問い. 2つの測度距離空間X, Y (ともに1点空間とは限らない)にそれぞれ集中する2つの測度距離空間の列Xnn∈N, Ynn∈Nに対して,それらの lp-直積空間の列Xn×pYnn∈Nは極限空間同士の lp-直積空間X ×p Y に集中するか？

この問いを考える動機の1つとして, 集中する測度距離空間列の非自明な例をより増やしたいということが挙げられる. 本稿の主定理はこの問いに対して肯定的な解決を与えるものである. さらに本稿では, lp-直積空間を一般化した測度距離空間の直積空間に対しても同様の問いを考え, それに対して得られた結果についても述べる.

本研究は特別研究員奨励費（17J02121）の助成を受けたものである.∗ e-mail: [email protected]

146

本稿では, lp-直積空間の一般化と例について詳しく述べるため, オブザーバブル距離や測度距離空間の集中に関する基本的な事項については [2]や [5]を参照されたい.

2. 測度距離空間の直積2.1. 距離保存関数と直積空間

定義 2.1. 関数F : [0,+∞)× [0,+∞)→ [0,+∞)に対して,

(1) Fが距離保存関数であるとは, 任意の2つの距離空間 (X, dX), (Y, dY )に対して,

dF ((x, y), (x′, y′)) := F (dX(x, x

′), dY (y, y′))

がX × Y 上の距離関数になるときをいう.

(2) Fが劣加法的であるとは, 任意の s, s′, t, t′ ∈ [0,+∞)に対して,

F (s+ s′, t+ t′) ≤ F (s, t) + F (s′, t′)

を満たすときをいう.

(3) Fが単調であるとは, s ≤ s′, t ≤ t′を満たす任意の s, s′, t, t′ ∈ [0,+∞)に対して,

F (s, t) ≤ F (s′, t′)

を満たすときをいう.

補題 2.2. 関数F : [0,+∞)× [0,+∞)→ [0,+∞)に対して, 次の (1), (2)が成り立つ.

(1) Fが距離保存関数ならば, Fは劣加法的でF−1(0) = (0, 0)を満たす.

(2) Fが劣加法的かつ単調でありF−1(0) = (0, 0)ならば, Fは距離保存関数である.

補題 2.2.(2)の逆は一般に成り立たないことが知られている. 単調でない距離保存関数の例および単調な距離保存関数が豊富に存在することはあとで述べる. ここでは距離保存関数の簡単だが重要な例を挙げる.

例 2.3. (1) 任意のp ∈ [1,+∞]に対して, 関数Fpを次で定める.

Fp(s, t) :=

(sp + tp)

1p if p < +∞,

max s, t if p = +∞.

(2) 関数FexpをFexp(s, t) := log(es + et − 1)で定める.

(3) 任意のα ∈ (0, 1)に対して, 関数FαをFα(s, t) := sα + tαで定める.

これらの関数Fp, Fexp, Fαは全て単調な距離保存関数である.

距離保存関数Fが作る直積集合上の距離dFの位相について次が知られている.

定理 2.4 ([1]). 距離保存関数F : [0,+∞) × [0,+∞) → [0,+∞)に対して, F が連続であることと, 任意の2つの距離空間X, Y に対して, X × Y 上の距離関数dFは積位相を与えることは同値である.

147

補題 2.5. 距離保存関数F : [0,+∞)× [0,+∞)→ [0,+∞)と2つの距離空間X, Y に対して, X, Y が共に完備距離空間ならば, (X × Y, dF )も完備距離空間である.

各距離保存関数ごとに2つの測度距離空間の直積空間を定めることができる.

定義 2.6 (直積空間). 2つの測度距離空間X, Y と距離保存関数F : [0,+∞)×[0,+∞)→[0,+∞)に対して, XとY のFによる直積空間X ×F Y を次で定める.

X ×F Y := (X × Y, dF ,mX ⊗mY ).

ただし, dFは定義2.1.(1)で定まる距離関数, mX ⊗mY はmXとmY の直積測度である.

注意 2.7. 2つの測度距離空間X, Y とp ∈ [1,+∞]に対して定まる lp-直積空間X ×p Yは, 例2.3.(1)の距離保存関数Fpによる直積空間X ×Fp Y に一致する.

2.2. 距離保存関数の例とMulholland不等式

定義 2.8. 関数 φ : [0,+∞) → [0,+∞)が距離保存関数であるとは, 任意の距離空間(X, d)に対して, φ dがX上の距離となるときをいう.

補題 2.2と同様に劣加法的かつ単調非減少でφ−1(0) = 0を満たす関数φは距離保存関数である. またφがφ−1(0) = 0を満たす凹関数ならば距離保存関数である.

例 2.9. 単調非減少でない距離保存関数の例として次のものが知られている.

φ(s) =

s if s ≤ 2,

−s+ 4 if 2 ≤ s ≤ 3,

1 if 3 ≤ s.

(2.1)

さらに, 2変数の単調でない距離保存関数は, 例えば, (2.1)のφを用いて,

F (s, t) = φ(s) + φ(t)

などのように構成することができる.

以下では,特別な形の連続で単調な距離保存関数の豊富な例が,一般化されたMinkowski

不等式として知られるMulholland不等式から得られることについて述べる.

ψ : [0,+∞)→ [0,+∞)を同相写像 (すなわち, 連続で単調増加な全単射でψ(0) = 0を満たす)とする. 関数Fψ : [0,+∞)× [0,+∞)→ [0,+∞)を任意のs, t ∈ [0,+∞)に対し,

Fψ(s, t) := ψ−1(ψ(s) + ψ(t)) (2.2)

と定める. Fψは連続で単調な関数であり, F−1(0) = (0, 0)を満たす. Mulholland不等式はFψが劣加法的 (特に, 補題2.2から距離保存関数)であるための十分条件を与える.

定理 2.10 (Mulholland不等式 [4]). ψ : [0,+∞) → [0,+∞)を同相写像とする. ψとlog ψ expが共に凸関数ならば, Fψは劣加法的である. すなわち,

ψ−1(ψ(s+ s′) + ψ(t+ t′)) ≤ ψ−1(ψ(s) + ψ(t)) + ψ−1(ψ(s′) + ψ(t′)) (2.3)

が任意の s, s′, t, t′ ∈ [0,+∞)に対して成り立つ.

注意 2.11. 定理2.10において, ψ(s) := csp (p ∈ [1,+∞), c > 0)ととれば, (2.3)は通常のMinkowski不等式であり, 関数Fψは例 2.3 (1)のFpと一致する. さらに, この場合はlog ψ expがR全体で線形となることと同値である. また, ψ(s) := es − 1とすると関数Fψは例2.3 (2)のFexpと一致する.

148

3. 主結果定義 3.1. 距離保存関数φ : [0,+∞)→ [0,+∞)が有界勾配をもつとは, ある実数k > 0

が存在して, 任意の s ∈ [0,+∞)に対して,

φ(s) ≤ ks (3.1)

を満たすことである. 距離保存関数F : [0,+∞)× [0,+∞)→ [0,+∞)が有界勾配をもつとは, s 7→ F (s, 0)および t 7→ F (0, t)が共に有界勾配をもつときをいう. 距離保存関数の族が一様な有界勾配をもつとは, (3.1)が各関数に依らないkで成り立つときをいう.

次の定理は, 導入で与えた問いを距離保存関数による直積空間にまで拡張した問いに対する主結果である.

定理 3.2 (K. [3]). Xnn∈N, Ynn∈Nをそれぞれ測度距離空間X, Y に集中する測度距離空間列とする. また, Fn, F : [0,+∞)× [0,+∞)→ [0,+∞)は連続な距離保存関数で,

FnがFにn→∞で各点収束するとする. このとき, 各Fnが単調で, 一様な有界勾配をもつならば, 直積空間の列Xn ×Fn Ynn∈Nは直積空間X ×F Y に集中する.

特に lp-直積に対する主張は次の系であり, 冒頭の問いに対する解決を与える.

系 3.3. Xnn∈N, Ynn∈Nをそれぞれ測度距離空間X, Y に集中する測度距離空間列とする. また, pn ∈ [1,+∞]が p ∈ [1,+∞]にn→∞で収束するとする. このとき, lpn-直積空間の列Xn ×pn Ynn∈Nは lp-直積空間X ×p Y に集中する.

また定理3.2においてYnを全て1点空間とすると, 直積の集中は次の主張を導く.

系 3.4. Xnn∈Nを測度距離空間Xに集中する測度距離空間列とする. また, φn, φ :

[0,+∞)→ [0,+∞)を連続な距離保存関数とし, φnがφにn→∞で各点収束するとする. このとき, 各 φnが単調非減少で一様な有界勾配をもつならば, 測度距離空間の列(Xn, φn dXn ,mXn)n∈Nは測度距離空間 (X,φ dX ,mX)に集中する.

定理3.2の証明において, κ-オブザーバブル直径と呼ばれる測度距離空間の不変量に対して, 直積に関する新しい性質 (補題 3.6)を示すことが鍵であった. 測度距離空間X

のκ-オブザーバブル直径ObsDiam(X;−κ)とは, 実数κ > 0に対して,

ObsDiam(X;−κ) := supf∈Lip1(X)

inf diamA | A ⊂ R : Borel, mX(f−1(A)) ≥ 1− κ

により定義される量である. ただし, Lip1(X)はX上の 1-Lipschitz関数全体の集合である. κ-オブザーバブル直径は, 1点測度距離空間への集中の度合いを表す量である.

命題 3.5 ([5, Corollary 5.8]). 測度距離空間の列Xnn∈Nに対して, Xnn∈NがLevy族であることは, 任意のκ > 0に対して,

limn→∞

ObsDiam(Xn;−κ) = 0

が成り立つことと同値である.

κ-オブザーバブル直径と直積空間に関して, 次のような関係が得られた.

149

補題 3.6 (K. [3]). X,Y を測度距離空間とする. このとき,

ObsDiam(X ×1 Y ;−(κ+ κ′)) ≤ ObsDiam(X;−κ) + 2ObsDiam(Y ;−κ′)

が任意のκ ∈ (0, 1), κ′ ∈ (0, 1/2)に対して成り立つ.

注意 3.7. 連続な距離保存関数Fに対して, F (s, t) ≤ k(s+ t)が成り立つとすると,

ObsDiam(X ×F Y ;−κ) ≤ kObsDiam(X ×1 Y ;−κ)

が任意のκ > 0で成り立つため, 有界勾配を持つFについては補題 3.6の評価を用いることができる. 例 2.3の (1), (2)やMulholland型 (2.2)の距離保存関数は有界勾配をもつが, 例2.3.(3)は有界勾配をもたない. 有界勾配をもたない場合は今後の課題である.

一方で, 定理 3.2, 系 3.4において, 単調でない距離保存関数に対しては一般に主張は成り立たないことが次の例の存在によって明らかとなった.

例 3.8 (K. [3]). Sn−1, Sn1 をそれぞれn+ 1次元ユークリッド空間 (Rn+1, ∥ · ∥)上の中心

(±1, 0, . . . , 0)のn次元単位球面, すなわち,

Sn±1 :=(x1, . . . , xn+1) ∈ Rn+1

∣∣ (x1 ± 1)2 + x22 + · · ·+ x2n+1 = 1

とし, σn−1, σn1 をそれぞれSn−1, S

n1 上の一様測度とする. このとき, 測度距離空間Xnを

Xn := (Sn−1 ∪ Sn1 , ∥ · ∥,1

2σn−1 +

1

2σn1 )

と定めると, 測度距離空間列Xnn∈Nは距離2の2点からなる測度距離空間

X := (−1, 1, | · |, 12δ−1 +

1

2δ1)

に集中する. ただし, δxは点 xにおけるDirac測度である. ここで, (2.1)の距離保存関数を考えると, (Xn, φ dXn ,mXn)n∈Nは距離φ(2

√2)(= 4 − 2

√2)の 2点からなる

測度距離空間に集中する. 一方で, (X,φ dX) = (X, dX)であり, 測度距離空間の列(Xn, φ dXn ,mXn)n∈Nは測度距離空間 (X,φ dX ,mX)に集中しないことがわかる.

Sn1Sn−1

x1

2

2√2 -1 1

conc

2

φ(2√2)

φ dXn

dXn

参考文献[1] J. Borsık and J. Dobos, On a product of metric spaces, Math. Slovaca 31 (1981), no. 2, 193–205.

[2] M. Gromov, Metric structures for Riemannian and non-Riemannian spaces, Reprint of the 2001English edition, Modern Birkhauser Classics, Birkhauser Boston, Inc., Boston, MA, 2007.

[3] D. Kazukawa, Concentration of product spaces. in preparation.

[4] H. P. Mulholland, On generalizations of Minkowski’s inequality in the form of a triangle inequality,Proc. London Math. Soc. (2) 51 (1950), 294–307.

[5] T. Shioya, Metric measure geometry, IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics,vol. 25, EMS Publishing House, Zurich, 2016.

150

Hilbert幾何における

Mongeの最適輸送問題

小林愼一郎 (東北大学大学院理学研究科)∗

1 導入

最適輸送問題は, Mongeや Kantorovichに起源を持ち, 物体の集まりを別の場所へ運ぶ

のにかかる総コストを最小にする輸送方法を求める問題である. それは次のように述べら

れる. 位相空間 X 上の Borel確率測度 µ1, µ2 および関数 c : X2 → [0,∞]が与えられて

いるとする. Mongeの最適輸送問題とは, 次の下限

infT

∫X

c(x, T (x)) dµ1(x) (M)

を達成する写像 T は存在するかという問題である. ただし, T は T♯µ1 = µ2 を満たす X

から X への Borel 可測写像 (輸送写像とよぶ) 全体を走り, T♯µ1 は T による µ1 の押し

出し測度である. 下限を達成する写像を, cに対する µ1 から µ2 への最適輸送写像という.

点 x, y ∈ X に対し, 値 c(x, y)は位置 xから位置 y へ運ぶのにかかる単位あたりのコスト

を表すと考えられ, 関数 cはコスト関数と呼ばれる. (M)を解くには, µ1 には何かしらの

正則性の仮定をおく必要がある. 例えば, µ1 がユークリッド空間上の Borel確率測度であ

るとき, ルベーグ測度に対して絶対連続であることを仮定する.

Monge([6]) が提唱した元々の最適輸送問題では, ユークリッド空間において, ユーク

リッド距離をコスト関数として考えていた. この場合, Sudakov([8]), Evans-Gangbo([4]),

Ambrosio([1])らによって, 最適輸送写像の存在が証明された. その他, ユークリッド空間

において, ユークリッド距離に狭義凸関数や狭義凹関数を合成した関数をコスト関数とし

たときの最適輸送問題については, Brenier, Gangbo-McCann などの結果が知られてい

る. 空間 (X, d)が可分かつ完備な距離空間で, コスト関数 cがその上の距離関数 dである

∗ [email protected]

151

場合について, 現在知られている一般的な結果は大きく分けて以下の 2つがある.

定理 1.1 (Cavalletti [2]). (X, d,m)を測度収縮性質MCP(K,N)*1を満たす本質的不分

岐*2な測度距離空間とする. µ1, µ2 をコンパクト台を持つ X 上の Borel確率測度とする.

µ1 がmに絶対連続ならば, コスト関数を距離関数 dとしたときの µ1 から µ2 への最適輸

送写像が存在する.

定理 1.2 (Champion-Pascale [3]). Ω ⊂ Rn を有界な閉凸領域とする. Rn 上の任意のノルムに対し, ノルムが誘導する距離 dを考える. µ1, µ2 を Ω上の Borel確率測度とする.

このとき, µ1 がルベーグ測度に絶対連続ならば, コスト関数を距離関数 d としたときの

µ1 から µ2 への最適輸送写像が存在する.

本講演では, 距離空間に対して測地線の不分岐性および距離がノルムから誘導されるこ

とを仮定せず, コスト関数が距離関数である場合の最適輸送写像の存在問題を扱う.

2 最適輸送計画と双対性

Mongeの問題 (M)の難しさは, 汎関数の非線形性および輸送写像全体のコンパクト性

の欠落にある. Kantorovich([5])は, Mongeの問題 (M)を次の下限

infπ∈Π(µ1,µ2)

∫X2

c(x, y) dπ(x, y) (K)

の達成可能性問題に一般化した. ここで, 集合 Π(µ1, µ2)は

Π(µ1, µ2) :=π∣∣ πは X2上の確率測度であって, (pri)♯π = µi (i = 1, 2)

によって定義される. ただし, pri : X

2 → X は第 i成分への射影である. Π(µ1, µ2)に属

する測度を µ1 から µ2 への輸送計画といい, 下限を達成する輸送計画を最適輸送計画とい

う. Π(µ1, µ2)は測度の弱収束に関してコンパクトである. 輸送写像 T は自然に輸送計画

πT = (id, T )♯µ1 を誘導する. (K)における汎関数は π の凸結合について線形である. さ

らに, X がポーランド空間かつ cが下半連続ならば, 最適輸送計画が存在することが変分

法における直接法の議論によって示される. また, 輸送写像 T が誘導する輸送計画 πT が

最適ならば, T は最適輸送写像であることもわかる. Kantorovichによる一般化の最大の

*1 パラメーターK は Ricci曲率の下限, N は次元の上限をそれぞれ表す.*2 測地線が測度論的な意味でほとんど分岐しない, という性質である.

152

利点はKantorovich双対性と呼ばれる定理にある. コスト関数 cとして距離関数 dを選

んだ場合の主張を述べる.

定理 2.1 (Kantorovich双対性). µ1, µ2 をコンパクト台を持つ X 上の Borel確率測度と

する. このとき, 以下の等式が成り立つ:

infπ∈Π(µ1,µ2)

∫X2

c(x, y) dπ(x, y) = supφ

(∫X

φdµ1 −∫X

φdµ2

).

ただし右辺の上限は X 上の 1-Lipschitz 関数 φ 全てにわたってとる. さらに, ある

1-Lipschitz関数 φ : X → Rが存在して, 任意の π ∈ Π(µ1, µ2)に対して以下は同値.

(i) π は最適輸送計画である.

(ii) π は集合 ∂dφ := (x1, x2) ∈ X2 |φ(x1)− φ(x2) = d(x1, x2)に集中する. すなわ

ち, π(∂dφ) = 1.

3 主結果

X が測地的距離空間で, コスト関数が距離のみに依存するとき, 測地線に沿って輸送す

れば最適になると一般に予想される. 測地線が分岐しないならば, (ある種の曲率に対する

下限条件の下で)最適輸送を写像で表すことができる (定理 1.1の場合). 一方, 測地線が分

岐するような空間では同様の議論はできない. ノルム空間において測地線として非ユーク

リッド的なものも存在する (図 1参照)が, そのようなものは選ばずにユークリッド的な線

分のみに沿った最適輸送を考え, それが輸送写像から誘導されることを示すことによって,

最適輸送写像の存在が示される (定理 1.2の場合).

主結果は, Champion-Pascale([3]) による議論を距離空間へ一般化, 改変したものであ

る. 以降, Ωを Rn 内の有界かつ凸な Gδ-集合であって, 内点を持つとする. 有界な開凸領

域はその一例である.

図 1 l1-ノルムの測地線

153

Ω上の距離関数 dは以下の性質を満たすとする.

(i) dは Ω上の Euclid位相を与える.

(ii) Ω内の線分は (Ω, d)において測地線である.

(iii) Ω上の Lebesgue測度は (Ω, d)上で局所 2倍条件を満たす.

条件 (ii)を満たす距離は射影的距離と呼ばれる. 射影的距離は, Hilbertの第 4問題 (ユー

クリッド空間の開集合上に定まる射影的距離の特徴づけ)と関連する. Z. Shen([7])など

により, 定旗曲率を持つ射影的距離が豊富に存在することが知られている.

例 3.1. Hilbert 距離とは, 有界な開凸領域 (境界が線分を含んでもよい) Ω 上に定まる

距離 hΩ で, 次のように定義される. 任意の 2点 x, y ∈ Ωに対して xと y を結ぶ直線を l

とする. 凸性から l は Ωの境界と 2点 x′, y′ のみで交わる. 4点 x′, x, y, y′ がこの順に一

直線上にある (図 2参照)としたとき, hΩ はこれらの複比の対数によって定義される. す

なわち,

hΩ(x, y) :=1

2log|y − x′||x− y′||x− x′||y − y′|

.

距離空間 (Ω, hΩ)をHilbert幾何という. Hilbert距離は上の仮定 (i), (ii), (iii)を満たす.

x

y

x′

y′

Ω

l

図 2 Hilbert距離

yx

図 3 三角形の Hilbert 幾何. 赤も青も x

と y を結ぶ測地線.

定理 3.2 (K.). µ1, µ2 を Ω 上のコンパクト台を持つ Borel 確率測度とする. このとき,

µ1 がルベーグ測度に絶対連続ならば, コスト関数を (i), (ii), (iii) を満たす距離関数とし

たときの µ1 から µ2 への最適輸送写像が存在する.

154

参考文献

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155

一般化された直交対称性によるラグランジュ平均曲率流の構成

落合亮文

1 導入

　 Lagrange平均曲率流は，特殊 Lagrange部分多様体を見つけるための一つの基礎的手段を与えている．それがどのような条件のもとに特殊 Lagrange部分多様体に収束するかという主要な問題を巡り，具体例の構成や特異点の研究が行われている．山本光氏 [6]は，それまでに知られていたいくつかの例が，モーメント写像とトーラス対称性によって説明されることを指摘し，トーリック概 Calabi-Yau多様体における一般化 Lagrange平均曲率流の構成法を示した．今野宏氏 [3]は，これをモーメント写像と可換 Lie群の直交作用を用いた手法に拡張し，非平坦 Calabi-Yau多様体（特に hyperKahler多様体）ALE空間において Lagrange平均曲率流を構成し，その特異点の挙動を調べた．本研究では，今野氏の構成法を (1)可換性を仮定しない，(2)直交作用の条件を緩める (広義の直交作用)，の二点において拡張し，Cn において具体例の構成を行った．

2 準備

定義 1 Calabi-Yau多様体とは，組 (M2n, I, ω,Ω)であって，次の条件を満たすものをいう:

(i) (M, I, ω)は I を複素構造，ωを Kahler形式とする Kahler多様体である，

(ii) Ωは I に関する正則体積形式である，

(iii)ωn

n!= (−1)

n(n−1)2

(√−12

)nΩ ∧ Ω.

定義 2 Lを Calabi-Yau多様体 (M, I, ω,Ω)の向きづけられた Lagrange部分多様体とするとき，次式で定義される関数 θ : L→ R/2πZを Lagrange角度という:

ι∗Ω = e√−1θvolι∗g.

ここに ι : L→M は埋め込み，gは (M, I, ω)の Kahler計量である．

定義 3 Calabi-Yau多様体 (M, I, ω,Ω)の Lagrange部分多様体 Lについて，その Lagrange角度 θがL上一定であるとき，Lをフェイズ θの特殊 Lagrange部分多様体であるという．

本稿では，Lagrange角度 θを持つ Lagrangeはめ込み ϕ : L→M のことを (L, ϕ, θ)や (ϕ, θ)などとも記すこととする．

命題 4 (M, I, ω,Ω)をCalabi-Yau多様体，(L, ϕ, θ)をM 内にはめ込まれた Lagrange部分多様体とする．Lの点 pにおける平均曲率ベクトルH(p)は次式で表される:

H(p) = Iϕ(p)

(ϕ∗p(gradϕ∗gθ)p

)∈ T⊥

ϕ(p)ϕ(L).

ここに gradϕ∗gθは誘導計量 ϕ∗gに関する関数 θの勾配ベクトル場を表す．

156

定義 5 F0 : Σ → (M, g)を多様体 Σから Riemann多様体 (M, g)へのはめ込みとする．このとき F0

の平均曲率流 (Ft)t∈[0,T ) とは，滑らかなはめ込み Ft : Σ → M の族であって，写像 F : Σ× [0, T ) →M ; (p, t) 7→ F (p, t) := Ft(p)が次の偏微分方程式の滑らかな解になっているものをいう:

∂

∂tF (p, t) = Ht(p),

F (p, 0) = F0(p).

ここにHt(p)は点 p ∈ Σにおける Ft の平均曲率ベクトルを表す．

Kahler-Einstein多様体内の平均曲率流は，Lagrange性を保つことが知られている．すなわち，初期曲面L0を Lagrange部分多様体とするKahler-Einstein多様体内の平均曲率流は，それが滑らかに推移する限りにおいて，発展曲面LtもLagrange部分多様体であり続ける．このようにして，Kaher-Einstein多様体内に Lagrange平均曲率流の概念が定められる．

3 Lagrangeはめ込み (ϕc0, θc0)の構成

本節では Calabi-Yau多様体M 内のいい部分多様体 Vc0 を Lie群 H の作用によって “引き伸ばす”写像 ϕc0 : H × Vc0 →M ; (h, p) 7→ hpによって Lagrangeはめ込みを構成し，さらにその Lagrange角度 θc0 を明示する方法を示す．M 内のいい部分多様体 Vc0 を見つけるために，運動量写像を用いる．

(M2n, ω)を2n次元シンプレクティック多様体，HをMに作用するLie群で，運動量写像µ :M → h∗

を持つものとする．ここに h∗ はH の Lie環 hの双対 Lie環を表す．Lie群H の可換性を仮定していないため，一般には固定部分群が様々に生じうる．これを制御するために，いい部分多様体 Vc0 上では固定部分群が一定K であるとの仮定を設ける．これにより写像 ϕc0 は改めて ϕc0 : (H/K)× Vc0 →M ; (hK, p) 7→ hpと記述される．双対 Lie環 h∗ には余随伴作用 Ad∗によるH 作用がある．その固定点集合 c ∈ h∗ | Ad∗(h)c = c,∀h ∈ Hを h∗ の中心と呼び，Z(h∗)で表す．

補題 6 V をM のアイソトロピックな部分多様体で，V 上固定部分群が一定 K であるものとする．このとき，ある c0 ∈ Z(h∗)が存在して，V ⊂ µ−1(c0)が成り立つならば，写像 ϕ : (H/K) × V →M ; (hK, p) 7→ hpはアイソトロピックなはめ込みとなる．特に dim(H/K) + dimV = nであれば，ϕは Lagrangeはめ込みとなる．

補題 6により，Vc0 として Vc0 ⊂ µ−1(c0) (c0 ∈ Z(h∗))かつ dim(H/K) + dimVc0 = nを満たすものを取ることによって Lagrangeはめ込みを構成できる．アンビエント空間が Calabi-Yau多様体である場合に，補題 6で得られる Lagrangeはめ込みの Lagrange角度を明示する方法を示す．(M, I, ω,Ω)を Calabi-Yau多様体とし，(L, ι, θ)をM の Lagrange部分多様体とする．(L, ι, θ)は θc0 を求める際の参照となる．Vc0 を Vc0 ⊂ L ∩ µ−1(c0) (c0 ∈ Z(h∗))かつ dim(H/K) + dimVc0 = nを満たすM の部分多様体とし，さらに Lie群H の作用が Vc0 上で Lに広義の意味で直交していると仮定する (詳細は下記の定理 8，条件 (LagAng-H)0を参照)．一般にKahler多様体の中で Lagrange部分多様体 Lに直交する接部分空間 T⊥

p L (p ∈ L)は TpLと複素構造 I によって移り合う．このことから，volι∗g と

volϕ∗c0g とは “直交部分の次元

(= dim(H/K)

)′′ × (−π2 )だけ回転することが分かる．これにより Vc0上での ϕc0 の Lagrange角度が知られる:それは θc0(K, p) = θ(p)− π

2 dim(H/K)で与えられる．さらにVc0 から離れた点での θc0 の値を求めるために，H 作用はKahler構造 (M, I, ω)を保つと仮定する．このようないい対称性のもとでは，点 hp (p ∈ Vc0 , h ∈ H)における Lagrange角度の計算は点 p ∈ Vc0 での計算に帰着されることが分かる．ただし，その際に用いる正則体積形式は Ωではなく，h ∈ H により変換された L∗

hΩでなければならない．H 作用が Calabi-Yau構造を保つことまでは仮定していないため，Ωと L∗

hΩの間に U(1)倍の “回転のズレ”が生じるためである．ここに Lh :M →M は h ∈ Hによる移動 p 7→ hpを表す．この回転のズレが分かれば，点 hpでの Lagrange角度が計算できる．次の命題は Ωと L∗

hΩとのズレを表示するものである．

157

命題 7 ([5]) (M, I, ω,Ω)を連結な Calabi-Yau多様体，H を連結な Lie群で，Kahler構造 (M, I, ω)を保つようにM に作用するものとする．このとき，aH ∈ h∗ が存在し，各 h ∈ H に対し次の関係式が成り立つ:

L∗hΩ = e

√−1⟨aH ,η1,··· ,ηl⟩Ω, (h = exp η1 · · · exp ηl).

特にH 作用が Calabi-Yau構造を保つことと aH = 0なることとは同値である．

以上をまとめて次の定理を得る．以下，ξ ∈ hの生成するM 上の基本ベクトル場を ξ# と記す．

定理 8 ([5]) (M2n, I, ω,Ω)を連結な実 2n次元 Calabi-Yau多様体，H を連結な Lie群でKahler構造(M, I, ω)を保つようにM に作用しかつ運動量写像 µ : M → h∗ 持つもの，(L, θ)をM の Lagrange部分多様体，c0 を h∗ の元，Vc0 を L ∩ µ−1(c0)に含まれるM の部分多様体とする．次の条件を仮定する：

(Imm-istp)0 各点 p ∈ Vc0 における固定部分群Hp は一定のK に等しい,

(Istp-cnt)0 c0 ∈ Z(h∗),

(Lag-dim)0 dimVc0 + dim(H/K) = n,

(LagAng-H)0 (i) ξ#p ∈ T⊥p L⊕ TpVc0 , (ii) ξ#p /∈ TpVc0\0 (p ∈ Vc0 , ξ ∈ h).

このとき写像 ϕc0 : (H/K)×Vc0 →M ; (hK, p) 7→ hpは Lagrangeはめ込みであり，その Lagrange角度 θc0 は次式で与えられる:

θc0(hK, p) = θ(p)− π

2dim(H/K) + ⟨aH , η1 + · · ·+ ηl⟩, (h = exp η1 · · · exp ηl).

直交条件 (LagAng-H)0において，ξ#p が TpVc0 方向の成分を持っていてもよいとしているところが，従来の直交作用の拡張となっている点である (広義の直交作用)．ただし零ベクトルでない限り，TpVc0 に完全に含まれてしまう基本ベクトルが存在する場合ははめ込みにならない．もしH 作用がCalabi-Yau構造 (M, I, ω,Ω)を保存するものであれば，命題 7より aH = 0である．

さらに θが Vc0 上一定であれば（例えば Lが特殊 Lagrange部分多様体），定理 8により θc0 は一定，すなわち ϕc0 は特殊 Lagrangeはめ込みとなる．

系 9 定理 8の条件に加え，H 作用が Calabi-Yau構造 Ωを保ち，かつ θが Vc0 上一定であれば，ϕc0は特殊 Lagrangeはめ込みである．

筆者 [5]は，系 9を非平坦 Calabi-Yau多様体である球面の余接束 T∗Sn に適用し，非可換群の作用，広義の直交作用それぞれの場合に特殊 Lagrange部分多様体の非自明な例を構成した．この手法では特殊 Lagrange部分多様体になるための条件である偏微分方程式を解く必要がない．参照として与えられる特殊 Lagrange部分多様体 Lの存在によって，それは既に解かれているものと解釈できる．H 不変な特殊 Lagrange部分多様体の構成は等質あるいは余等質性 1のものが多く知られている．それらはこの偏微分方程式を群作用の対称性によって代数方程式ないし常微分方程式に帰着させる原理に基づく．系 9の手法では上述の理由から 2以上の高い余等質性を持つ (特殊)Lagrange部分多様体の構成も可能である．実際に [5]において，特殊 Lagrange部分多様体 L′ := H · Vc0 について，H が L′

に余等質性 2で作用している例が構成されている．

4 Lagrange平均曲率流の構成

本節では前節で構成された Lagrangeはめ込みを用いて Lagrange平均曲率流を構成する．いま Lを参照として与えられた Lagrange部分多様体 Lの部分多様体で，L上で固定部分群が一定 K であり，かつ H 作用が L上で Lに直交していると仮定する．Lを µのレベルセット L ∩ µ−1(c) (c ∈ Z(h∗))に分け，適当な次元の部分多様体 Vc ⊂ L ∩ µ−1(c)に定理 8を適用することで，各 c ∈ Z(h∗)につき

158

明示された Lagrange角度付きの Lagrangeはめ込み (ϕc : (H/K) × Vc →,M, θc)が得られる．ここで各 c ∈ Z(h∗)につき Lagrangeはめ込み ϕc の平均曲率ベクトルHc が Vc 上で L方向を向いており，かつ Vc0 上の各点 pを出発した平均曲率ベクトルの積分曲線 γ(p, t) ∈ L (p ∈ Vc0 , t ∈ R)が一様に時刻 [0, T )で定義され，さらに Vc0 の移動先が時刻 t ∈ [0, T )で運動量写像 µに関する共通のレベルセット µ−1(ct)に含まれかつ特異点を生じることなく推移していると仮定する．また各 t ∈ [0, T )に対しγ(Vc0 , t) ⊂ Vct と仮定する．そのとき，t ∈ [0, T )に対し，写像

Ft : (H/K)× Vc0 →M ; (hk, p) 7→ hγ(p, t)

を定めれば，写像族 (Ft)t∈[0,T ) は Lagrangeはめ込みの族となる．さらに Ft および ϕct の定義から，簡単な計算で次が分かる:

∂

∂tFt = (Lh)∗γ(p,t)

∂

∂tγ(p, t), (1)

Hct(hK, γ(p, t)) = (Lh)∗γ(p,t)Hct(K, γ(p, t)). (2)

γ(p, ·)は Hc(·)(K, γ(p, ·))で生成される積分曲線であるから， ∂∂tγ(p, t) = Hct(K, γ(p, t))，すなわち

Lagrangeはめ込みの族 (Ft)は初期曲面を F0 = ϕc0 とする Lagrange平均曲率流となる．以下ではこの論理構成に則り，主たる問題となる，(I)Hct が Vc0 上で L方向を向く条件，(II)各 t

につき ct ∈ h∗ が存在して γ(Vc0 , t) ⊂ µ−1(ct)となる条件を考えていく．以下では簡単のため c0 の場合を考えるが，各 ct に対して同様の考え方を適用する．

(I):Hc0 が Vc0 上で L方向を向くためには，少なくとも L方向を向いていなければならない．そこで、L方向を向く条件を求め，そこからさらに Lを向くことは仮定することにする．現在の設定でHc0 が Vc0 上で L方向を向く条件を求めておくことは，(II)の理解に有用である．命題 4によれば，各点 p ∈ Vc0 に対し (ϕc0)∗(K,p)(gradϕ∗

c0gθc0)(K,p)が L方向を向いていればよい．定理 8により，θが

Vc0 上で一定であれば，それが実現することが分かる．そこで条件

(MCV-θ)0 Lagrange角度 θは Vc0 上一定．

を仮定する．

命題 10 定理 8の条件を仮定し，さらに条件 (MCV-θ)0が成り立っているとする．このとき写像 [ξ] :Vc0 → h/kが存在し，次式が成立する:

Hc0(hK, p) = (Lh)∗pIp[ξ(p)]#p .

ここに，kはK の Lie環である．

[ξ(p)]について説明する．命題 7および定理 8によりK 作用は Calabi-Yau構造 Ωを保つことが分かる．この結果 aH ∈ h∗は自然に (h/k)∗の元とみなされる．等質空間の一般論により h/kは軌道の接空間 Tp(H · p) (p ∈ Vc0)と同一視され，Kahler計量 gp から内積 gp が誘導される．[ξ(p)] ∈ h/kはgpに関する aH の双対である．定理 8における Lagrange角度 θc0 の表示から，命題 10の仮定のもとで，(dθc0)(K,p) ∈ T∗

(K,p)(H · p)に対応する (h/k)∗ の元は aH ∈ (h/k)∗ であることが分かる．以上の

ことから [ξ]は Vc0 に沿った θc0 の勾配ベクトル場 gradϕ∗c0gθc0 に対応する写像である（命題 4および

式 (2)を参照されたい）．K は Vc0 上の固定部分群であるから，h/kの元 [ξ(p)]に対し，基本ベクトル[ξ(p)]#p := (ξ(p))#p が well-definedに定まる．以上命題 10により，Hc0 は Vc0 上で軌道方向に直交する方向，すなわち L方向を向いていることが分かる．

(II):(MCV-θ)0 と同様の条件を各 tにつき Vct に対する条件 (MCV-θ)t として仮定し，さらに Vct上Hct は TL値であると仮定する．このとき，Hc(·)(K, γ(p, ·))によって生成される積分曲線が運動量写像に関する共通のレベルセット内を進むことを示す．一般に (M, I, ω)を Kahler多様体，H をMに作用する Lie群で運動量写像 µ :M → h∗を持つもの，LをM の部分多様体で，L上固定部分群が一定K であるもの，p0 を Lの点，c0 := µ(p0)とする．(I)における考察によって，h∗ の元 bであって，ker b ⊂ kを満たすものは（(h/k)∗ の元とみなされ），Kahler計量 gを用いて写像 η : L→ h/kを生成することが分かる．この写像はさらに Lに沿った（一般には TM 値の）ベクトル場 I[η]#を生成する．このベクトル場を (g, I)に関して bが生成するベクトル場と呼ぶことにすると，次が成り立つ:

159

補題 11 I[η]#を (I, g)に関し b ∈ h∗が生成する Lに沿った TL値のベクトル場とする．p0 ∈ Lに対し，γ(p0, ·) : [0, T ) → Lを I[η]# が生成する積分曲線で初期条件 γ(p0, 0) = p0 を満たすものとする．このとき，µ(γ(p0, t)) = c0 − tbが成り立つ．

すなわち，(I, g) に関し b が生成するベクトル場の積分曲線が定義可能であるとき，それが存在する限りにおいて運動量写像の像は h∗ の中を定速度ベクトル −bで進む．これを元の文脈に当てはめると，(I, g)に関し aH が生成するベクトル場すなわち I[ξ]# が TL値であるならば，その積分曲線の運動量写像による像は，h∗ の中を定速度ベクトル −aH で進んでいく: 任意の p ∈ Vc0 に対しµ(γ(p, t)) = c0 − taH が成立する．命題 10より，Vc0 上の平均曲率ベクトルの生成する積分曲線について同様のことが成り立つ．以上をまとめて次の定理を得る:

定理 12 (M, I, ω,Ω)を連結な Calabi-Yau多様体，H を連結な Lie群でKahler構造 (M, I, ω)を保ちながらM に作用しかつ運動量写像 µ : M → h∗ を持つものとする．(L, θ)をM の Lagrange部分多様体，Lを Lに含まれるM の部分多様体で，L上固定部分群が一定 K であるもの，Vc0 をM の部分多様体で Vc0 ⊂ L ∩ µ−1(c0) (c0 ∈ h∗)を満たすものとする．K が Calabi-Yau構造 Ωを保つと仮定し，命題で得られる aH ∈ h∗ が (I, g)に関し生成する Lに沿ったベクトル場を I[ξ]# とする．T > 0が存在し，各 p ∈ Vc0 について I[ξ]# の積分曲線 γ(p, ·) : [0, T ) → L が一様に定義され，かつ写像γ(·, t) : Vc0 →M ; p 7→ γ(p, t)ははめ込みであると仮定する．各 t ∈ [0, T )に対し ct := c0 − taH とおき，M の部分多様体 Vct ⊂ L ∩ µ−1(ct)で γ(Vc0 , t) ⊂ Vct を満たすものが存在すると仮定する．このとき，各 Vct に対し定理 8と同様の条件 (Istp-cnt)t，(LagAng-H)t，(Lag-dim)t，および (MCV-θ)t

が成り立つならば，写像族(Ft : (H/K)× Vc0 ; (hK, p) 7→ hγ(p, t)

)t∈[0,T )

は Lagrange平均曲率流を与

える．

著者は Cnにおいて定理を適用し，(1)非可換群の直交作用，(2)広義の直交作用それぞれの例を構成した．これらは [4]における自己相似解，[1]における translating solitonの一般化となっている．

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160

ある種の角に対するToeplitz作用素の指数理論とその応用

林晋 (産業技術総合研究所)∗

本講演では正方格子Z2のある部分集合 (特に凹型の角)に同伴したToeplitz作用素を導入し, その指数理論を議論する. 本研究の一つの目的として近年物性物理学で盛んに研究されている高次トポロジカル絶縁体への応用があり, 合わせて紹介する. 本稿では1章で背景を述べ, 2章で凹型の角に同伴したToeplitz作用素の指数理論を, 3章でその応用を述べる. 2章と3章の内容は [4, 5]に基づく.

1. 背景Toeplitz作用素はそれ自身が活発に研究されているのみならず, Atiyah–Singerらに代表される指数理論でも重要な役割を果たしてきた基本的対象である. 一方,主に物性物理学で活発に研究されているトポロジカル絶縁体の基本的な性質として,バルクは絶縁体 1であるにも関わらず, バルクのある種のトポロジーを反映してエッジがある種金属的に振る舞うバルク・エッジ対応 [3]が知られている (図1). Kellendonk–Richter–Schulz-Baldes

はバルク・エッジ対応の証明にToeplitz作用素の指数理論を用いた [7].

図 1: バルクとエッジ

¤¿´

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Ìç«

¯Æ

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図 2: バルクとエッジとコーナー, 凸型の角を持つ系 (左)と凹型の角を持つ系 (右)

ここでToeplitz作用素の変種である, アーベル群Z2の部分半群Xに同伴する作用素を導入する. 2次元トーラスT2上の複素数値連続関数 f ∈ C(T2)が各点での掛け算で定める L2(T2)上の掛け算作用素は, フーリエ変換による同型 L2(T2) ∼= l2(Z2)によりl2(Z2)上の有界線型作用素Mfを定める. l2(Z2)の閉部分空間 l2(X)上への直交射影をPXとし, l2(X)上の線形作用素PXMf |l2(X)を考える.

実数α < βを固定し 2, 原点を通る二直線 y = αxと y = βxを考える. 部分半群Xの例として原点を通る二直線それぞれで区切られた片側の半平面 (上の格子点の全体)や,

原点を通る相異なる二直線で区切られた四平面をとる (図3, 左)3. 対応して l2(Z2)の閉

本研究は科研費 (課題番号:JP17H06461, JP19K14545)の助成を受けたものである。∗ 980-8577 宮城県仙台市青葉区片平 2-1-1 東北大学原子分子材料科学高等研究機構内e-mail: [email protected]

1物質があるとして, 端 (境界)をエッジ, 内側をバルクという (図 1). 本稿ではさらに余次元 2の角 (境界の境界)を考え, コーナーと呼ぶ (図 2).

2α = −∞, β = +∞も許す. ただし共には成り立たないものとする.3直線上の格子点はXに含むものとする. 含まない場合も本稿と同様の理論は展開できる [8, 6, 5].

161

Hα,β Hα,β

図 3: 四半面 (凸型の角, 左)と凹型の角 (右)

部分空間 l2(X)をHα, Hβ, Hα,βと書く. また l2(X)上の作用素PXMf |l2(X)を, それぞれTαf , T

βf , T

α,βf と書き, Tαf とT βf を半平面Toeplitz作用素, Tα,βf を四半面Toeplitz作

用素と呼ぶ. それぞれの作用素たちが生成するC∗環をそれぞれT α, T β, T α,βと書く.

四半面Toeplitz作用素の指数理論は Simonenko, Douglas, Howe, Parkなどによって研究が進められ [2, 8], 特に以下のC∗環の短完全列が得られている.

定理 1 (Park[8]). 0→ K (Hα,β)→ T α,β γ→ S α,β → 0.

ここでK (Hα,β)は Hα,β上のコンパクト作用素のなすC∗環で T α,βへの射は包含写像.

またT αからC(T2)へTαf を fにうつす ∗-準同型があり, σαと書く. 同様にσβ : T β →C(T2)を考える. ここでC∗環S α,βはσαとσβによる引き戻し, すなわち,

S α,β = (Tα, T β) ∈ T α ⊕T β | σα(Tα) = σβ(T β), (1)

である. γは Tα,βf をペア (Tαf , Tβf )にうつす∗-準同型である. 系として定理 1とAtkinson

の定理から, 四半面Toeplitz作用素 Tα,βf がFredholmであることと各半平面Toeplitz作用素Tαf , T

βf が可逆であることは同値であることが従う.

2. 凹型角Toeplitz作用素ここでは部分集合X ⊂ Z2として二つの半平面の和集合を取る (図3,右). 上記と同様に作用素 Tα,βf := PXMf |l2(X)を考え 4, 凹型角Toeplitz作用素と呼ぶ [5]. T α,βを凹型角Toeplitz作用素たちが生成するC∗環とすると, 以下のC∗環の短完全列が存在する.

定理 2. 0→ K (Hα,β)→ T α,β γ→ S α,β → 0.

ただし γは Tα,βf をペア (Tαf , Tβf )にうつす∗-準同型.

Proof. 証明のアイディアを述べる. まずK (Hα,β) ⊂ T α,βと γのwell-definednessを示す. 次に γ が商 T α,β/K (Hα,β)と S α,β との同型を誘導することを示すために逆射 θ : S α,β → T α,β/K (Hα,β)を, θ(Tα, T β) ∈ T α,β/K (Hα,β)のノルムを (Tα, T β) ∈S α,βのノルムで上から押さえることで構成する. 定理 1からC∗環S α,βの稠密部分∗-代数を書き下すことができ, その上で評価を行えば良い. 概ね, T α,βのK (Hα,β)による商を取ることを角の近くの情報をつぶす操作と見ると, 二つの半平面の情報が残る.

このアイディアをもとにノルムを評価する.

4半平面, 四半面に対応するZ2の部分集合は半群であるが, ここで考える集合は半群ではない. 四半面の場合 [8]と比較するとこの点に注意を要する.

162

ここからAtkinsonの定理によって, 凹型角のToeplitz作用素のFredholm性の必要十分条件が得られる.

系 3. 凹型角Toeplitz作用素 Tα,β ∈ T α,βがFredholmとなる必要十分条件は γ(Tα,β)がS α,βの可逆元となることである.

定理 1と定理 2に同伴する C∗環のK 理論の 6項完全列の境界準同型を用いると,

K1(S α,β)からZに以下の二つの群 (準)同型がある 5.

K1(Sα,β)

∂1−→ K0(Hα,β)K0(Tr)−→ Z, K1(S

α,β)∂1−→ K0(Hα,β)

K0(Tr)−→ Z.

二つの射はそれぞれFredholmな四半面Toeplitz作用素, 凹型角Toepliz作用素に対し,

そのFredholm指数を取る操作で与えられる.

定理 4. Fredholmな凹型角Toeplitz作用素であって, そのFredholm指数が1であるものが存在する.

Fredholmの四半面Toeplitz作用素の具体的な構成は Jiangによって角の形状に着目したある種幾何学的なアイディアで与えられている [6]. このアイディアを凹型角の場合に応用して具体的に作用素を構成することで定理 4が証明できる.

定理 4は境界準同型 ∂1が非自明であり, 従って凹型角Toepliz作用素が非自明な指数理論を持つことを意味している. 上記の二つの射の間には以下の関係が成り立つ.

定理 5. K0(Tr) ∂1 = −K0(Tr) ∂1.

Proof. K1(S α,β) ∼= Zであるから生成元の像を比較すれば良い. Jiang[6]のFredholmの四半面Toeplitz作用素の例と定理 4の例それぞれの指数を比較することで得られる.

3. 応用：余次元2の角を持つ系のトポロジーとコーナー状態本章では図 2のような余次元 2の角を持つ 3次元系を議論する. ここでは主に凹型の角を持つ系 (図 2, 右)を中心に取り扱うが, 凸型の角を持つ系 (図 2, 左)も同様であり, 両者の間に関係がある. 最後に高次トポロジカル絶縁体への応用例を述べる

3.1. 設定

V を有限次元の複素内積空間とし, その次元をN とする 6. 連続写像T3 → Herm(V ),

(ξ, η, t) 7→ H(ξ, η, t)を考える. T3の各点でH(ξ, η, t)を作用させる操作はFourier変換を経由して l2(Z3;V )上の有界自己共役作用素を定める. 格子Z3を境界のない無限系のモデル, 従ってバルクのモデルとみなし, Hをバルクハミルトニアンという. 図2のような系を考えるにあたり, コーナーに沿う方向はFourier変換によってパラメータに取り込んでおく. すなわち部分Fourier変換 l2(Z3;V ) ∼= L2(T; l2(Z2;V ))によって, l2(Z2;V )

上の作用素の族 H(t)t∈Tにまず分解する. HαV := Hα ⊗ V と書き, 同様にHβ

V , Hα,βV ,

Hα,βV を定義する. これらの上にバルクハミルトニアンH(t)を制限することでエッジのモデルとコーナーのモデルを導入する. まずエッジのモデルを導入する 7;

HαEdge(t) := Pα

VH(t)|HαV: Hα

V → HαV , Hβ

Edge(t) := P βVH(t)|Hβ

V: Hβ

V → HβV .

5Pull-backに対するMayer–Vietorius完全列からK1(S α,β) ∼= Zであることがわかり, 実際には二つの群準同型はZとの同型を与えている. 本稿では四半面 (凸型角)と凹型角それぞれに同伴する対象をハット∧とチェック∨で区別する.

6V 上のエルミート変換全体のなす空間をHerm(V )と書く.7PαV は l2(Z2;V )のHαV 上への直交射影. P βV , P

α,βV , Pα,βV も同様に定義する.

163

これらの作用素をエッジハミルトニアンと呼ぶ. 次にコーナーのモデルを導入する;

Hα,βCorner(t) := Pα,β

V H(t)|Hα,βV

: Hα,βV → Hα,β

V , Hα,βCorner(t) := Pα,β

V H(t)|Hα,βV

: Hα,βV → Hα,β

V .

これらの作用素をコーナーハミルトニアンと呼ぶ. ここで以下を仮定する.

仮定 6. 任意の t ∈ Tに対し, エッジハミルトニアンHαEdge(t)とHβ

Edge(t)は共に可逆.

この仮定のもとではバルクハミルトニアンHも可逆である. ここでの考察はバルクも二つのエッジも絶縁体的なモデルを考えることに相当する. 以下で二つの位相不変量を定義し, その性質や関係を議論する.

3.2. バルクエッジ不変量

まずバルクとエッジのハミルトニアンを用いて位相不変量を定義する. 二つのエッジハミルトニアンHα

Edge(t)とHβEdge(t)が (共通の)バルクハミルトニアンH(t)の二つの半平

面それぞれへの制限であることから, ペア (HαEdge(t), H

βEdge(t))はMN(S α,β)の元を定め

る. 連続関数 g : R \ 0 → Rを (−∞, 0)の上では 1, (0,+∞)の上では 0なるものとする. このとき continuous functional calculousによって以下の射影元が得られる.

p := g(HαEdge, H

βEdge) ∈MN(S

α,β ⊗ C(T)).

ここから位相不変量を以下のC∗環のK群の元として定義する 8.

定義 7 (バルクエッジ不変量). I3D,ABE (H) := [p] ∈ K0(S α,β ⊗ C(T)).

3.3. コーナー指数

次にコーナーハミルトニアンを用いて位相不変量を定義する. ここで, γ(Hα,βCorner(t)) =

(HαEdge(t), H

βEdge(t))は仮定 6からMN(S α,β)の可逆元であり, 従って定理 1からコー

ナーハミルトニアンは自己共役Fredholm作用素の連続族 Hα,βCorner(t)t∈Tを定める. こ

のスペクトル流 9をいまひとつの不変量と定義する.

定義 8 (コーナー指数). I3D,ACorner(H) := sfHα,βCorner(t)t∈T ∈ Z.

定義から I3D,ACorner(H)がゼロでなければコーナーハミルトニアンの固有値0の固有ベクトル (コーナー状態)が存在する 10. このことはコーナーがある種金属的に振舞うことと対応する. 凸型の角 (図 2, 左)を持つ系に対しても同様に, 仮定 6のもとにコーナー指数を定義する; すなわち I3D,ACorner(H) := sfHα,β

Corner(t)t∈Tとする.

3.4. 性質

定理 2の短完全列にC(T)をテンソルして得られる短完全列に同伴するC∗環のK理論の6項完全列の境界準同型 ∂0 : K0(S α,β⊗C(T))→ K1(K (Hα,β)⊗C(T))を考える. スペクトル流は群準同型 sf : K1(K (Hα,β)⊗ C(T)) ∼= Freds.a.

∗ (Hα,β) → Zを定める. 上記の二つの位相不変量の間には以下の関係がある 11.

定理 9 (バルクエッジ・コーナー対応). sf ∂0(I3D,ABE (H)) = I3D,ACorner(H).

8C∗環Aに対し, K群K0(A)は, Aの行列環Mn(A)の射影元 (すなわち q ∈ Mn(A)で q = q∗ = q2なる元)たちの集合 (nは任意の自然数をとる)をある同値関係で割ることで定義される.

9族 Hα,βCorner(t)t∈Tのスペクトルと 0の交差を符号と重複度込みで数え上げたもの.

10ここでの記号は 3次元クラスAと呼ばれる系を考察していることを反映している11ここでFreds.a.∗ (Hα,β)は Hα,β上の有界自己共役Fredholm作用素の全体Freds.a.(Hα,β)にノルム位相を入れた空間のひとつの連結成分であって可縮でないもの.

164

従って, ある種絶縁体的なバルクとエッジのトポロジーを反映して, トポロジカルな(系の摂動に対して頑強な)コーナー状態が現れ, コーナーがある種金属的に振る舞う 12.

定理 5によって凸型と凹型の角 13それぞれに対するコーナー指数の間に以下の関係があることがわかる.

系 10. I3D,ACorner(H) = −I3D,ACorner(H).

従ってバルクハミルトニアンを固定して角の形状を変化させることを考えるとき,

コーナー指数は系の形状に応じて変化することがわかる.

注意 11. 本稿の理論の非自明な例は, あるクラスの 2次元と 1次元の系のある種のZ2

次数付きテンソルを取ることで構成することができる.

注意 12. 可逆なバルクハミルトニアンを用いて, バルクの不変量を本稿のバルクエッジ不変量の定義と同様に定義することができる 14. 我々の仮定の下ではこのバルクの不変量は自明となる. この意味で3章で議論した角に関連したトポロジーは, 従来のトポロジカル絶縁体のトポロジーに対してある種二次的なトポロジーと位置付けられる.

3.5. 高次トポロジカル絶縁体への応用例

このような余次元の大きな角に関連したトポロジーは, 物性物理学では高次トポロジカル絶縁体と呼ばれる対象と関連して近年活発に研究が行われている [1, 9]. この出発点となった結果としてBenalcazar–Bernevig–Hughesのモデル [1]が挙げられる. 彼らの 2

次元モデルは本研究の手法で取り扱うことができ, 実際に位相不変量が定義され, 非自明である. このことはこのモデルが持つコーナー状態の摂動に対する頑強性の背後にトポロジーがあることの, いまひとつの説明を与える 15.

参考文献[1] W. A. Benalcazar, B. A. Bernevig, and T. L. Hughes. Quantized electric multipole

insulators. Science, 357:61–66, 2017.

[2] R. G. Douglas and R. Howe. On the C∗-algebra of Toeplitz operators on the quarterplane.Trans. Amer. Math. Soc., 158:203–217, 1971.

[3] Y. Hatsugai. Chern number and edge states in the integer quantum hall effect. Phys.Rev. Lett., 71(22):3697–3700, 1993.

[4] S. Hayashi. Topological Invariants and Corner States for Hamiltonians on a Three-Dimensional Lattice. Commun. Math. Phys., 364(1):343–356, 2018.

[5] S. Hayashi. Toeplitz operators on concave corners and topologically protected cornerstates. Lett. Math. Phys., 2019. https://doi.org/10.1007/s11005-019-01184-w.

[6] X. Jiang. On Fredholm operators in quarter-plane Toeplitz algebras. Proc. Amer. Math.Soc., 123(9):2823–2830, 1995.

[7] J. Kellendonk, T. Richter, and H. Schulz-Baldes. Edge current channels and Chernnumbers in the integer quantum Hall effect. Rev. Math. Phys., 14(1):87–119, 2002.

[8] E. Park. Index theory and Toeplitz algebras on certain cones in Z2. J. Operator Theory,23(1):125–146, 1990.

[9] F. Schindler, et al. Higher-order topological insulators. Science Advances, 4(6):eaat0346,2018.

12凸型の角についても定理 1を用いて同様の結果が成り立つ.13αと βを共通に取っている点に注意する.14このバルクの不変量は従来よりトポロジカル絶縁体と関連して議論されてきた.15 [1]でひとつの説明が与えられている. そこではある種の結晶対称性の役割が強調されたが, [5]の議論では結晶対称性はトポロジーの定義には不要であるなどの違いがある.

165

3次元リーマン幾何とG2多様体

茅原涼平 (東京大学大学院数理科学研究科)

1. 準備1.1. リーマン計量の空間

本稿では, 最後の節を除いてMを有向閉 3次元多様体とする。M上のリーマン計量全体の空間をMとし, その余接束T ∗MをM×Γ(S2TM)と形式的に同一視する. ここで,

Γ(S2TM)は対称2階反変テンソルの空間とする. 余接束T ∗M上には自然なシンプレクティック形式が有限次元の場合と同様に定まる.

自明な主束P =M ×SO(3)を考え, その自己同型群 (ゲージ群)をGとする. またMをP上のSO(3)同変R3値1形式 (e1, e2, e3)で非退化条件e1∧e2∧e3 = 0を各点で満たすもの全体の空間とする. このとき自然な接続を持つ主G束M×Γ(P ; Sym(3;R))→ T ∗M

を定めることができる. ここでΓ(P ; Sym(3;R))はP上の3次対称行列値SO(3)同変関数の空間とする.

1.2. SU(3)構造とG2構造

一般に, n次元多様体N 上の枠束の部分束で構造群がG ⊂ GL(n;R)に含まれるものをN 上のG構造という. 6次元多様体上の SU(3)構造は各点ごとにC3上の (

∑dxi ∧

dyi, Im(dz1 ∧ dz2 ∧ dz3))と同形な 2形式と 3形式の組 (ω, ψ)と一対一対応し, 7次元多様体上のG2構造は各点ごとにR7上のdx0 ∧∑ dxi ∧ dyi + Im(dz1 ∧ dz2 ∧ dz3)と同形な3形式ϕと一対一対応する. SU(3)構造やG2構造が torsion-freeであるときこれらのG構造が定めるリーマン計量がリッチ平坦になることが知られている.

2. 主束M × SO(3)上のSU(3)構造主束P =M × SO(3)上のSU(3)構造 (ω, ψ)で次の条件1, 2を満たすものを考える:

1. ωとψはSO(3)の右作用で不変.

2. ωとψの各ファイバーへの制限が消える.

接続形式全体の空間をAとし, [X1, X2] = X3, [X2, X3] = X1, [X3, X1] = X2を満たすso(3)の基底X1, X2, X3をとって接続をa =

∑aiXiと表す. このとき次が成り立つ.

命題 1 ([3]) 上記の条件 1, 2を満たす P 上の SU(3)構造 (ω, ψ)と三つ組 (e, S, a) ∈M× Γ(P ; Sym+(3;R))×Aは次によって1対1対応する:

ω = (detS)−12 Sija

i ∧ ej,ψ = −(detS)e1 ∧ e2 ∧ e3 + e1 ∧ a2 ∧ a3 + e2 ∧ a3 ∧ a1 + e3 ∧ a1 ∧ a2.

ここで, Γ(P ; Sym+(3;R))はP 上の 3次正定値対称行列値 SO(3)同変関数の空間を表し, S = detS · S−1とする.

この対応のもとで次が成り立つ.

命題 2 ([3]) 上記の条件1, 2を満たすSU(3)構造がd(ω ∧ ω) = 0かつdψ = 0を満たす必要十分条件は三つ組 (e, S, a)の接続aがレビ・チビタ接続 (de+ [a∧ e] = 0)となり, S

の発散∇jSij (i = 1, 2, 3)が消えることである.

166

注意 3 一般に 7次元多様体上の torsion-free G2構造から超曲面上に誘導されるSU(3)

構造 (ω, ψ)は上記の条件 d(ω ∧ ω) = 0, dψ = 0を満たす. しかし, この条件を満たすがtorsion-free G2構造から誘導されないSU(3)構造の存在が知られている [1].

3. 主SO(3)束上のG2構造の記述空間M× Γ(P ; Sym+(3;R))上の曲線 (e(t), S(t))に対して命題 1の対応を用いてM ×SO(3)× (t1, t2)上のG2構造を

ϕ = (detS)12ω(t) ∧ dt+ ψ(t) (1)

で定める. ここで, (t1, t2)は曲線が定義されている開区間とし, 接続 a(t)は各 tごとにe(t)で決まるレビ・チビタ接続とする. このG2構造について次が成り立つ.

命題 4 ([3]) P×(t1, t2)上のG2構造(1)がtorsion-freeであることは上記の曲線(e(t), S(t))

が以下の微分方程式の解であることと同値:

∇jSij = 0 (i = 1, 2, 3);

∂ei

∂t=∑

Sijej,

∂S

∂t= −Ric + 1

2R · I − tr(S)S + 2(detS)I. (i = 1, 2, 3)

ここで, Rは eで定まるMのスカラー曲率, Iは3次単位行列とする.

注意 5 4次元多様体を底空間とする主SO(3)束上の torsion-free G2構造ϕで次の条件:

• ϕは右SO(3)作用で不変.

• ϕの各ファイバーへの制限が消える.

を満たすものは局所的に命題4で構成されるG2構造と同型になる.

4. 主結果主 G束M× Γ(P ; Sym(3;R)) → T ∗M上の自然な接続によって底空間 T ∗M上の曲線c(t)をM× Γ(P ; Sym(3;R))上の曲線 c(t)に持ち上げることを考える. すると命題4は次のように言い換えられる.

定理 6 ([4]) c(t)を (t1, t2)で定義されたT ∗M = M× Γ(S2TM)上の曲線とする. このとき, この曲線のリフト c(t)が (1)によって定めるG2構造ϕが torsion-freeである必要十分条件は c(t) = (γ(t), π(t))が次を満たすことである:

• π(t)は正定値かつ∑∇jπij(t) = 0 (i = 1, 2, 3)を満たす.

• c(t)はハミルトン関数

H(γ, π) = −1

2

∫MR(γ)dµ(γ) + 8

∫Mdet (π)dµ(γ)

の定めるハミルトン系の解. ここで, R(γ)はM上の計量γのスカラー曲率, dµ(γ)

はγの体積要素とし, 行列式はπijの添え字を下げてπijに対して定義する.

注意 7 上記のハミルトン系の解は条件∑∇jπ

ij(t) = 0 (i = 1, 2, 3)を保って時間発展する.

167

5. torsion-free G2構造の具体例について本稿で述べた torsion-free G2構造の構成の原型であるM ×R4上のBryant-Salamon G2

構造 [2]はローレンツ空間のアインシュタイン方程式のFLRW解の類似と思われる. 一方でアインシュタイン方程式の非自明かつ基本的な真空解にシュワルツシルト解がある. そこで, M = R3として, シュワルツシルト解のように回転対称な

e1 = f(r, t)dr, e2 = g(r, t)dθ, e3 = g(r, t) sin(θ)dρ,

S = ((k(r, t), 0, 0), (0, l(r, t), 0), (0, 0, l(r, t)))

(ここで, f, g, k, l > 0とし, rはR3での中心からの距離とする)の範囲で命題 4の解を探す. すると次がわかる:

命題 8 開区間 (t1, t2)で定義された上記の曲線 (e(t), S(t))がR3 × SO(3)× (t1, t2)上のtorsion-free G2構造を (1)によって与える必要十分条件は (f, g, k, l)が以下の偏微分方程式系を満たすことである:

∂f

∂t= fl2,

∂k

∂t= kl2 − 2k2l − (

1

fg· ∂g∂r

)2 +1

g2,

∂g

∂t= gkl,

∂l

∂t= −l3 − 1

f 2g· ∂

2g

∂r2+

1

f 3g· ∂f∂r· ∂g∂r,

∂k

∂r− 2

g· ∂g∂r· (l − k) = 0.

ここで, 最後の条件式は上記4つの式での tについての時間発展で保たれる.

平坦計量に対応する自明な解は

f(r, t) = A(2t+B)12 , g(r, t) = A(2t+B)

12 r, l(r, t)2 = k(r, t)2 = (2t+B)−1.

ここで, A,Bは定数.

参考文献[1] R. Bryant. Nonembedding and nonextension results in special holonomy. The many facets

of geometry, 346–367, 2010.

[2] R. Bryant and S. Salamon. On the construction of some complete metrics with exceptionalholonomy. Duke math. j., 58 (3), 829–850, 1989.

[3] R. Chihara. G2-metrics arising from non-integrable special Lagrangian fibrations. arXivpreprint arXiv:1801.05540, 2018.

[4] R. Chihara. G2-manifolds and the ADM formalism. Differential Geom. Appl., 66, 61–74,2019.

168

LICHNEROWICZ-OBATA ESTIMATE, ALMOST PARALLEL

DIFFERENTIAL FORM AND ALMOST PRODUCT MANIFOLDS

相野眞行 (名古屋大学)

1. 導入

本稿の目的は，本研究の背景，主結果，および講演においては述べることができない，いくつかの手法を記述することである．本研究の目的は，L2の意味でほぼ平行な微分形式が存在する際のリーマン多様体

の挙動を，関数に作用するラプラシアンの固有値を通して調べることである．まず背景について述べる．以下においては，閉リーマン多様体 (M, g)の関数に作

用するラプラシアン∆ := − trHessの固有値を

0 = λ0(g) < λ1(g) ≤ λ2(g) ≤ λ3(g) ≤ · · · → ∞

と表すことにする．ラプラシアンの固有値に関する定理として次が有名である．

定理 1.1 (リヒネロヴィッツ・小畠の定理). (M, g)を n次元閉リーマン多様体とする．もし Ricg ≥ (n− 1)gならば λ1(g) ≥ nが成り立つ．さらに等号条件 λ1(g) = nが成り立つのは，(M, g)が Sn(1)に等長であるときに限る．

この定理の等号条件に関する almost rigidity（すなわち，ほぼ等号が成り立つ状況）としては次が知られている．ただし dGH はグロモフ・ハウスドルフ距離（3.1節において注釈を述べる）を表す．

定理 1.2 ([2], [4], [6], [7]). 任意の ϵ > 0 に対して，ある δ = δ(n, ϵ) > 0 があり，Ricg ≥ (n− 1)gを満たす n次元閉リーマン多様体 (M, g)について，次が成り立つ．

• λ1(g) ≤ n+δであれば，あるコンパクトな測地距離空間Xがあり，dGH(M,S0∗X) ≤ ϵとなる．ただし，S0 ∗X は球面的懸垂を表す．• λn(g) ≤ n+ δであれば dGH(M,Sn(1)) ≤ ϵとなる．

一方でリヒネロヴィッツ・小畠の定理は，リーマン多様体が特別な構造を持つときには改善されることが知られている．例えば，それはケーラー多様体などの場合であるが，グロスジーン [5]はより一般に，リーマン多様体が平行な微分形式を持つ場合のリヒネロヴィッツ・小畠の定理の改善を与えた．

定理 1.3 ([5]). (M, g)を n次元閉リーマン多様体とする. もし Ricg ≥ (n− p− 1)gかつ非自明な平行 p形式が存在するとする (ただし 2 ≤ p ≤ n/2 )．このとき

λ1(g) ≥ n− p

が成り立つ．更に p < n/2かつM が単連結で等号条件 λ1(g) = n− pが成り立てば，(M, g)は

積リーマン多様体 Sn−p(1) × (X, g′)に等長となる．ここで (X, g′)はある p次元閉リーマン多様体である．

2010 Mathematics Subject Classification. 53C20.Key words and phrases. Gromov-Hausdorff distance, Lichnerowicz-Obata estimate, parallel

p-form.本研究は JSPS 科研費 JP18J11842 の助成を受けたものである.

169

ここで定理 1.1とは異なり，定理 1.3ではRicg ≥ (n− p− 1)gとしたのは出てくる定数を簡単にするためで，この場合リヒネロヴィッツの不等式は λ1(g) ≥ n(n− p−1)/(n− 1)となる．定理 1.3における不等式はこの不等式を改善している．ケーラー多様体の場合は平行 2形式であるケーラー形式を持つが，定理 1.3の仮定のもと，より良い評価

λ1(g) ≥ 2(n− p− 1)

が成り立つ．証明は [3, Theorem 11.49]にあるが，定理 1.3と同様に証明することもできる．また，平行な微分形式が存在するとき，その微分形式はホロノミー表現で不変で

あり，向き付け可能性，向き付け不可能性に応じて，ホロノミー群は SO(n)およびO(n)よりも真に小さくなる．定理 1.3の等号条件に関する系として，第一固有値だけでなくより大きな固有値

についての条件を課せば，単連結性を仮定しなくても次のように多様体の分解が得られる．

系 1.4. (M, g)をn次元リーマン多様体とする．2 ≤ p < n/2とし，Ricg ≥ (n−p−1)gかつ非自明な平行 p形式が存在し，

λn−p+1(g) = n− p

が成り立てば (M, g)は積リーマン多様体 Sn−p(1) × (X, g′)に等長である．ここで(X, g′)は p次元閉リーマン多様体である．

系 1.4は，普遍被覆をとり，Ricg ≥ (n− p− 1)gという条件や，固有関数についての微分方程式が被覆空間に持ち上がることを用いれば示せる．本研究の目的は，ほぼ平行な微分形式が存在する状況を考え，定理 1.3における

グロスジーンによる評価がほぼ成り立つことおよび，系 1.4に関してほぼ等号が成り立つ際の挙動を調べることである．

2. 主結果

本研究では L2の意味でほぼ平行な微分形式が存在する状況を考える．まず，次のことに注意しよう．閉リーマン多様体において L2の意味でほぼ平行な微分形式が存在することと，微分形式に作用する接続ラプラシアンの固有値が小さいことは同値である．すなわち，正の数 δ > 0と n次元閉リーマン多様体 (M, g)について，0でない p形式 ωで ∥∇ω∥2L2 ≤ δ∥ω∥2L2 となるものが存在することと，p形式に作用する接続ラプラシアンの第一固有値 λ1(∆C,p)について λ1(∆C,p) ≤ δ となることは同値である．ここで λ1(∆C,p)は

λ1(∆C,p) := inf

∥∇η∥2L2

∥η∥2L2

: η ∈ Γ(

p∧T ∗M) かつ η = 0

によって定まる．次の定理は，ほぼ平行な微分形式が存在するという仮定のもと，定理 1.3におけ

るグロスジーンの評価がほぼ成り立つをことを主張する．

主定理 1 ([1]). 与えられた整数 n ≥ 4 および 2 ≤ p ≤ n/2 に対し，正の定数C(n, p) > 0が存在して以下が成り立つ．n次元閉リーマン多様体 (M, g)が Ricg ≥(n− p− 1)gを満たせば

λ1(g) ≥ n− p− C(n, p)λ1(∆C,p)1/2

が成り立つ．

これは特に λ1(∆C,p) = 0のとき，グロスジーンによる評価を復元する．次に，ほぼ平行な微分形式が存在するという仮定の下，系 1.4に関して等号がほ

ぼ成り立つ際のリーマン多様体の挙動について述べる．

170

主定理 2 ([1]). 与えられた整数 n ≥ 5，2 ≤ p < n/2および正の数 ϵ > 0に対して，ある δ = δ(n, p, ϵ) > 0で以下を満たすものが存在する．n次元閉リーマン多様体 (M, g)が Ricg ≥ (n− p− 1)g，

λn−p+1(g) ≤ n− p+ δ

およびλ1(∆C,p) ≤ δ,

を満たせばM は向き付け可能で

dGH(M,Sn−p(1)×X) ≤ ϵが成り立つ．ここでX はあるコンパクト距離空間である．

3. いくつかの定義および手法

3.1. ハウスドルフ近似写像. グロモフ・ハウスドルフ距離はコンパクト距離空間の等長類のなす空間に対して距離を定める．2つのコンパクト距離空間がグロモフ・ハウスドルフ距離で近いことは，十分小さい ϵについて ϵハウスドルフ近似写像が存在することで特徴づけられる．ここでハウスドルフ近似写像とは次により定まる．

定義 3.1 (ϵ ハウスドルフ近似写像). (X, dX) と (Y, dY ) を距離空間とする．写像f : X → Y が正の数 ϵ > 0について ϵハウスドルフ近似写像であるとは次の 2条件が成り立つことである．

(i) 任意の a, b ∈ X に対して |dX(a, b)− dY (f(a), f(b))| < ϵとなる．(ii) f(X)は Y の中で ϵ稠密である．すなわち任意の y ∈ Y に対して，ある x ∈ Xがあり dY (f(x), y) < ϵとなる．

3.2. テンソル計算. リヒネロヴィッツの不等式は，第一固有関数 f について，ボホナーの公式を用いてRic(∇f,∇f)の積分と ⟨∇∆f,∇f⟩の積分を比べることにより得られる．一方で，主定理１の証明は p形式に作用する接続ラプラシアンの第一固有形式 ωと

ラプラシアンの第一固有関数 f について，以下に述べるボホナー・ヴァイツェンベック公式および定理 3.4を用いて ⟨ι(Ric(∇f))ω, ι(∇)ω⟩の積分と ⟨ι(∇∆f)ω, ι(∇f)ω⟩の積分を比べることにより得られる（3.4節参照）．まず k形式についてのボホナー・ヴァイツェンベック公式を述べる．

定義 3.2. (M, g)を n次元リーマン多様体とする．準同型Rk :∧k

T ∗M →∧k

T ∗Mを

Rkω = −∑i,j

ei ∧ ι(ej) (R(ei, ej)ω) (ω ∈k∧T ∗M)

のように定める．ただし e1, . . . , enは局所的な TM の正規直交基で e1, . . . , enはその双対基底とする．曲率 R(ei, ej)ωの符号は ω ∈ Γ(

∧kT ∗M)に対して

R(ei, ej)ω = ∇ei∇ejω −∇ej∇eiω −∇[ei,ej ]ω ∈ Γ(k∧T ∗M).

となるように定める．

ボホナー・ヴァイツェンベック公式は次のように表される．

定理 3.3 (ボホナー・ヴァイツェンベック公式). 任意の ω ∈ Γ(∧k

T ∗M)に対して，

∆ω = ∆C,kω +Rkωが成り立つ．ここで∆ := dd∗ + d∗dはホッジラプラシアンを表し，∆C,k := ∇∗∇は接続ラプラシアンを表す．

主定理１の証明では，ボホナー・ヴァイツェンベック公式と次の補題を組み合わせる．

171

補題 3.4. (M, g)を n次元リーマン多様体とする．任意のベクトル場 X ∈ Γ(TM)および p形式 ω ∈ Γ(

∧pT ∗M) (p ≥ 1)を取り，e1, . . . , enを TM の局所的な正規

直交基とする．(i) 次が成り立つ．

Rp−1(ι(X)ω) = ι(X)Rpω + ι(Ric(X))ω + 2n∑i=1

ι(ei)(R(X, ei)ω),

(ii) 次が成り立つ．

∆(ι(X)ω) = ι(∆X)ω + ι(X)∆ω + 2n∑i=1

ι(ei)(R(X, ei)ω)− 2n∑i=1

ι(∇eiX)(∇eiω),

(iii) 次が成り立つ．n∑i=1

ι(ei)(R(X, ei)ω) = −∇Xd∗ω + d∗∇Xω +n∑

i,j=1

⟨∇ejX, ei⟩ι(ej)∇eiω.

特に ωが平行な場合は次を得る．

系 3.5. (M, g)を n次元リーマン多様体とする．ベクトル場 X ∈ Γ(TM)と平行なp形式 ω ∈ Γ(

∧pT ∗M) (p ≥ 1) を任意に取る．このとき以下が成り立つ．

(i) Rp−1(ι(X)ω) = ι(Ric(X))ω,(ii) ∆(ι(X)ω) = ι(∆X)ω.

3.3. ベクトル束の分解. ほぼ平行な微分形式が存在する状況においては，一般にはホロノミー群は SO(n)あるいはO(n)なので，リーマン多様体におけるO(n)表現によるベクトル束の分解

T ∗M ⊗k∧T ∗M = T k,1M ⊕

k+1∧T ∗M ⊕

k−1∧T ∗M

を考える．以下でこの分解の説明を与えるが，例えば [8, Section 2]にも説明がある．(M, g)を n次元リーマン多様体とし，x ∈ M を取り，e1, . . . , enを T ∗

xM の正規直交基とする．ここで

∧kT ∗xM には ei1 ∧ · · · ∧ eik : 1 ≤ i1 < i2 < · · · < ik ≤ n

を正規直交基とするような内積が入り，T ∗xM ⊗

∧kT ∗xM には ei ⊗ ei1 ∧ · · · ∧ eik :

1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ i1 < i2 < · · · < ik ≤ nを正規直交基とするような内積が入る．このとき

∧k+1T ∗xM や

∧k−1T ∗xM は T ∗

xM ⊗∧k

T ∗xM の部分空間とみなすこと

ができ，直交射影は次のように定まる．

P1 : T∗xM ⊗

k∧T ∗xM →

k+1∧T ∗xM, P1(α⊗ ω) :=

(1

k + 1

) 12

α ∧ ω,

P2 : T∗xM ⊗

k∧T ∗xM →

k−1∧T ∗xM, P2(α⊗ ω) :=

(1

n− k + 1

) 12

ι(α)ω.

ここで ιは内部積を表す．ベクトル束 T ∗M ⊗∧k

T ∗M の部分束として∧k+1

T ∗M

と∧k−1

T ∗M は直交し，それらの直交補空間として T k,1M を定める．すなわち直交分解

T ∗M ⊗k∧T ∗M = T k,1M ⊕

k+1∧T ∗M ⊕

k−1∧T ∗M

が得られる．微分形式 ω ∈ Γ(∧k

T ∗M) に対して，そのレビチビタ接続による微分 ∇ω ∈ Γ(T ∗M ⊗

∧kT ∗M) を直交分解に従って分解すると，

∧k+1T ∗M 成分は

(1/(k + 1))12 dω，

∧k−1T ∗M 成分は− (1/(n− k + 1))

1/2d∗ωとなる．残りの T k,1M

成分を T (ω)で表す．このとき次を得る．

(1) |∇ω|2 = |T (ω)|2 + 1

k + 1|dω|2 + 1

n− k + 1|d∗ω|2.

172

ここでこの微分形式 ωについて d∗ω = 0と T (ω) = 0が成り立つとき，ωはキリングk形式と呼ばれ，セメルマンらによって調べられている ([8]).

3.4. 不等式評価の概略. これらの準備の下，[1]で与えた，定理 1.3における評価の簡単な証明を与える．定理 1.3の仮定の下，ωを非自明な平行 p形式，f を第一固有関数とする．このとき d∗(ι(∇f)ω) = d∗(−d∗(fω)) = 0を踏まえると定理 3.3，系 3.5および (1)より∫

M

⟨ι(Ric(∇f))ω, ι(∇f)ω⟩ dµg

=

∫M

⟨Rp−1ι(∇f)ω, ι(∇f)ω⟩ dµg

=

∫M

⟨∆(ι(∇f)ω), ι(∇f)ω⟩ dµg −∫M

|∇ι(∇f)ω|2 dµg

≤p− 1

pλ1(g)

∫M

|ι(∇f)ω|2 dµg ≤n− p− 1

n− pλ1(g)

∫M

|ι(∇f)ω|2 dµg

(2)

となる．向き付け可能なとき，ホッジスター ∗を考えると，同様に∫M

⟨ι(Ric(∇f)) ∗ ω, ι(∇f) ∗ ω⟩ dµg ≤n− p− 1

n− pλ1(g)

∫M

|ι(∇f) ∗ ω|2 dµg(3)

となる．公式 ⟨ι(X)ω, ι(Y )ω⟩ + ⟨ι(X) ∗ ω, ι(Y ) ∗ ω⟩ = ⟨X,Y ⟩|ω|2 (ここで X,Y ∈Γ(TM))を用いると，(2)，(3)より

(n− p− 1)

∫M

|∇f |2 dµg ≤∫M

Ric(∇f,∇f) dµg

≤n− p− 1

n− pλ1(g)

∫M

|∇f |2 dµg

が得られ，定理 1.3における評価 λ1(g) ≥ n − pを得る．向き付け不可能な場合も，向き付け 2重被覆を取ることで，向き付け可能な場合に帰着できる．主定理 1は，ω が平行ではない場合に定理 3.4を用いてこの証明の誤差評価を与

えることにより得られる．

References

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folds, arXiv:1904.06533.

[2] E. Aubry, Pincement sur le spectre et le volume en courbure de Ricci positive, Ann. Sci.

Ecole Norm. Sup. (4) 38 (2005), 387–405.

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[4] J. Cheeger, T. Colding, Lower bounds on Ricci curvature and the almost rigidity of warped

products, Ann. of Math. (2) 144 (1996), 189–237.[5] J. F. Grosjean, A new Lichnerowicz-Obata estimate in the presence of a parallel p-form,

Manuscripta Math. 107 (2002), no. 4, 503–520.[6] S. Honda, Ricci curvature and almost spherical multi-suspension, Tohoku Math. J. (2) 61

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[7] P. Petersen, On eigenvalue pinching in positive Ricci curvature, Invent. Math. 138 (1999),1–21.

[8] U. Semmelmann, Conformal Killing forms on Riemannian manifolds, Math. Z. 245 (2003),no. 3, 503—527.

Graduate School of Mathematics, Nagoya University, Chikusa-Ku Nagoya, 464-8602,Japan

Email address: [email protected]

173

Seiberg-Witten理論周辺の応用と発展

2019年・幾何学シンポジウム・於名古屋大学

加藤　毅　 (京都大学）

1 古典的手術理論について

可微分多様体Xの微分構造を分類したいという試みは、高次元の場合に手術理論によって手術理論完全系列を生み出しました。ここで高次元とは5次元以上を指し、それはホイットニーのトリックと呼ばれる手法が一般に成り立つ領域です。Xの structure set P(X)とは、可微分多様体MとそこからXへのホモト

ピー同値写像の対を、h-cobordismによる同値関係で割った集合です。単連結・高次元の場合はSmaleによりh-cobordismは微分同相を与えるので、Xの可微分構造の分類のためには、その structure setを理解することが有効です。なおXはより一般には多様体でなくても良い。しかし一旦定義が出来ても、その対象は一見すると複雑すぎて解析は不可能のように見えます。単連結高次元多様体の場合、Xの交叉形式、実際にはその符号数が struc-

ture setの構造に大きく反映することがわかっており、また交叉形式の集合（の同値類）Lm(Z)も具体的に計算されています。それでは、非単連結の場合はどうなるのでしょうか。実は structure set

の構造に基本群が大きく影響することがわかっています。Γ = π1(X)をX

の基本群とし、ZΓをその群環とします。X の普遍被覆空間上の ChainはZΓ加群の構造を持ち、それを局所係数としたホモロジー群H∗(X;ZΓ)は定まり、さらにそのホモロジー群の上で交叉形式 σ(X)が定まります。一般にAを（非可換）環とし、その上の非退化な二次形式全体を同値類で割った集合を Lm(A)とかくと、σΓ(X) ∈ Lm(ZΓ)ですが、実はこの元がX のstructure setの構造に大きく反映します。m-次元 degree 1 normal mapはsurgery obstruction class をLm(ZΓ)の元として与えます。Wallの surgeryobstruction定理は、surgery obstruction classがゼロであることと、degree 1normal mapがホモトピー同値にbordantであることが同値だといっていま

174

す。なおここでm ≥ 5ですが「bordantであればその classがゼロ」はm = 4でも成立します。

2 非可換幾何学のアイデア

群環係数のホモロジー群の交叉形式が structure setの構造に大きく反映することを述べましたが、一方でその交叉形式を計算することは、一般には非常に難しいと言えます。Gheorghe Lusztigは学位論文に置いて、基本群が自由アーベル群の場合にNovokov予想を肯定的に解きましたが、それはその結果のみならずその手法自体が大きな影響を与え、それが非可換幾何学の発展に繋がっています。群環は解析的に完備でないことからその取り扱いが難しくなるので、その

完備化として群作用素代数C∗Γを用います。自然に群環係数のホモロジー群の交叉形式が群作用素代数係数のホモロジー群の交叉形式に拡張されます。Γ = Zlが自由アーベル群の場合、フーリエ変換を通じて C∗Γは双対トーラス上の連続関数環C(T l)とみなすことができます。すると、群作用素代数係数のホモロジー群の交叉形式は、双対トーラスでparametrizeされた、族の交叉形式とみなすことができるのです！

Lusztigの手法は粗く行って次の通りです。一般に群作用素代数係数のホモロジー群の交叉形式の符号数 sgnΓ(X)は、K(C∗Γ)群の元として定まり、それはホモトピー不変量です。Γが自由アーベル群の場合は、

K(C∗Γ) ∼= K(C(T l) ∼= K(T l)

となります。ch(sgnΓ(X)) ∈ Hev(T l;Q)を実際に計算してみると、そのコホモロジー群の係数にすべての higher signatureが現れることから、Novikov予想が従います。

Lusztigの手法は、群作用素代数を双対トーラスを用いて解釈し直しているので自由アーベル群に限ったものでしたが、しかしK群を用いる限り一般に非可換群でも群作用素代数係数の交叉形式の符号数を与えることができるのです。そこで、一般の非可換群の場合には空間は忘れるが、可換の場合のLusztigの手法を横目でにらみながら、C∗ΓのK群を使ってNovikov予想にアッタクしていく、というのが非可換幾何学の基本的なアイデアだと思います。標語的には、

族の代数トポロジーから非可換環係数の代数トポロジーへ

175

といえます。その後のカスパロフによるKK理論の構成、コンヌによる巡回コホモロジー理論の構成、そしてそれらの応用にはすべてLusztigの手法が根底にあります。

3 サイバーグ・ウイッテン理論とバウアー・古田理論

ここからはXは 4次元に限定します。任意の有限表示基本群は、あるコンパクトでなめらかな 4次元多様体の基本群として実現できることが知られています。それは可微分 4次元多様体が十分 richなクラスを構成していることを示しています。例えば 4次元多様体を分類することは不可能なくらいたくさんあるといえます。モノポール写像は、Xに spinc構造を与えて定まる、非線形写像です。そ

の線形化 partは、Dirac作用素とAHS複体の直和で与えられ、非線形 partはある二次形式で与えられます。

D +Q : iΩ1(X)⊕ Γ(S+)→ i(Ω0 ⊕ Ω+)(X)⊕ Γ(S−)

(D +Q)(a, ϕ) = (d∗a, FA0+ d+a+ q(ϕ), DA0+aϕ).

ここでDAはdeterminant束L上のU(1)接続Aに付随したDirac 作用素で、q(ϕ)は (ϕ⊗ ϕ∗) ∈ Γ(End(S+))の trace-free partで、Clifford multiplicationを通じて self dual two formとみなしています。説明を簡略化するためにH1(X;Q) = 0と仮定します。D+Qに対して、

その domainのL2k-completion (k ≥ 4)をV、その targetのL2

k−1-completionをWと書くと、S1同変写像D+Q : V → W が得られます。ここにはゲージ群の対称性があるので、その分を差し引いて、部分空間V ′ ⊂ VとW ′ ⊂ Wに制限して、

D +Q : V ′ →W ′

を考えると、サイバーグ・ウイッテンモジュライ空間は、

M(X) := (D +Q)−1(0)

で与えられます。それが0次元の場合に、向きを込めた代数的な数SW (X, s) :=♯M(X) ∈ Zがサイバーグ・ウイッテン不変量です。さてM,N を同じ k次元の向き付けられた多様体とし、f : M → N を

なめらかなプロパー写像とします。このとき、genericな点n ∈ Nについて

176

♯f−1(n) ∈ Zは nの取り方によらず、また fのホモトピー類で定まります。vM ∈ Hk

cp(M ;R)と基本コホモロジー類とすると、f ∗(vN) = a · vM となるa ∈ Zが定まり、fの写像度と呼ばれ deg (f)などとかきます。

deg(f) = ♯f−1(n)

を満たすことはよく知られています。標語的には、この設定を無限次元にしたものがバウアー・古田理論と言

えます。MをV ′に、NをW ′そして fをD+Qに置きかえてみます。すると上の等式の右辺に相当するものがサイバーグ・ウイッテン不変量です。それでは左辺に相当するものはあるでしょうか。すぐに分かることは、無限次元空間に基本コホモロジー類は直接的には存在しません。バウアー・古田理論の基本的なアイデアのうちの 2つを非常に粗く述べてみます。一つ目はD +Qを有限次元部分空間に制限してもプロパー性が保たれることです。二つ目は、D + Qをそれら有限次元部分空間の直交補空間に制限すると、本質的に線形同型写像になることです。向きを保つ線形同型写像の写像度はいつでも 1なので、結局D + Qの写像度を、有限次元部分空間に制限したところの写像度と定めればよいことがわかります。バウアー・古田理論の応用として、次の不等式が得られます（より強く

右辺は+2で成立している）。

Theorem 0.1 （古田）4次元 spin多様体Xの交叉形式が不定値であれば、次の不等式が成立する。

b2(X) ≥ 10

8| sign(X)|.

スピン多様体の場合モノポール写像は G = Pin(2)同変写像になります。有限次元近似をしたG同変写像を f : V → W とかきます。S1 ⊂ Pin (2)について、S1不変な部分空間に制限すると、下記の可換図式が得られます。

Vf−−→ Wx x

V ′i−−→ W ′

177

ここで iは線形埋め込み。KGを適用して下記の図式が得られます。

KG(W )f∗−−→ KG(V )

e(A)·y e(B)·

yKG(W

′)e(C)·−−−→ KG(V

′)

ここでV ′ ⊕ A = V , W ′ ⊕B = W そしてV ′ ⊕ C = W ′です。f ∗はKG理論的写像度で、ある元α ∈ R(G)の積として表せます。する

と関係式α · e(B) = e(A) · e(C)

を満たします。

Lemma 0.2α = 2b+(X)+ sign(X)

8 +1(1− c) ∈ R(G)for some c ∈ R(G).

cはR(G)の generatorのひとつで、このことから不等式

b+(X) ≥ −sign(X)

8+ 1

が得られます。これから求める不等式は直接計算で導けます。なおこの補題は作用素環の手法で示すこともできます。

4 ファイバー束の可微分性

M,Bを可微分多様体とし、

M → X → B

を位相的なファイバー束とします。このとき次の二つの問いがあります。

(1) X → Bはファイバー束として可微分構造が入るか？

(2) Xを位相多様体とみなしたときそこに可微分構造は入るか？

(1)ならば (2)は当然成り立ちますが、逆は論理的には成り立ちません。実際、次の例を構成しました。

178

Theorem 0.3 （今野・加藤・中村）3 ≤ m ≤ 6とし、Mを位相的 (だが可微分な) 4次元多様体

M = 2(−E8)#mS2 × S2

とする。このとき、m次元トーラスTm上にHomeo(M)束 M → X → Tm

が存在して次を満たす。I = i1, . . . , ik ⊂ 1, . . . ,mとすると、

• X上には可微分構造が入る。

• k ≤ m− 3ならば、族の制限

X|T kI → T kI

にはファイバー束としての可微分構造が入る。

• m− 2 ≤ k ≤ mならば、族の制限

X|T kI → T kI

はファイバー束として微分不可能。

このことから直ちに次が従います。

Corollary 0.4 0 ≤ n ≤ 3とし、MをK3#nS2×S2と位相同型な滑らかな4次元多様体とする。このとき、埋め込み

Diff(M) → Homeo(M)

は弱ホモトピー同値ではない。

上の定理の証明について述べます。それには次の三つの理論を組み合わせます。

(1) 族のサイバーグ・ウイッテン理論

(2) 有理ポントリャーギン類の位相不変性

(3) カービー・ジーベンマン理論

(1)はBaraglia-Konnoによって展開されています。(2)はNovikovによる定理です。また (3)は高次元位相多様体の可微分可能性に関する障害理論と言えます。上の定理の最初の主張に用います。

最後の主張を示すために、まず次の 108 タイプの不等式を導きます。

179

Proposition 0.5 M を spin 4次元 spin多様体であって sign(M) = −16とb1(M) = 0を満たすものとする。いま滑らかな spin構造つきのファイバー束X → T nについて、indDを index束、 H+をH+(M)束とする。もし [indD] = [H]が自明束で、ある正の整数 aに対して

H+ ∼= ξn ⊕ Ra

となれば、次の不等式b+(M) ≥ n+ 3

を満たす。

定理の最後の主張において、もしファイバー束として滑らかな構造が入れば、b+(M) ≥ k + 3 ≥ m + 1を満たさなければいけませんが、一方で実際には b+(M) = mなので矛盾が生じます。ただし上の propositionを適用するためにはそこで述べてある仮定を満たす必要があります。そのうちH+

束に関する仮定はほとんど構成から従ってしまいます。そこで問題は index束の自明性です。証明の流れは以下の通りです。

• G = Pin(2)に対して次の分解がある。

KOG(B) ∼= (KO(B)⊗R(G;R))⊕(K(B)⊗R(G;C))⊕(KSp(B)⊗R(G;H)).

• [indD] = [indD]0⊗ h1 ∈ KSp(B)⊗R(G;H), ここでh1はGの Hへの積表現。

• [H+] = [H+]0⊗ R ∈ KO(B)⊗R(G;R), ここで Rは射影 G→ G/S1 =±1から誘導されるRへの積表現。

• 忘却写像 c : KSp(T 4)→ K(T 4)は単射。

• よって c([indD])が自明な直線束であることを見ればよい。

• K(T I)は torsion-freeなので, Ch(indD) ∈ H0(TI ;Q)を見ればよい。

• 族の指数定理より、p21 = 0と pi = 0 for i ≥ 2を示せばよい。ただし piはファイバー接束 T (XI/TI)の有理Pontrjagin類。

• 写像柱がもし滑らかな diffeoで与えられれば確かに有理Pontrjagin 類の消滅が得られる。現状況ではNovikovの定理を用いて位相写像柱の場合も消滅を得る。

180

自己位相同型族の同時 diffeo化については下記のことが言えます。

Theorem 0.6 m ≥ 3とし [m] = 1, 2, . . . ,mとおく。このとき位相多様体

M = 2(−E8)#mS2 × S2

上に自己位相同型の族 f1, . . . , fmが存在して次を満たす。I = i1, . . . , ik ⊂ [m]を任意の部分集合とし |I| = kとおく。

• もしk ≤ m−3ならばM上の可微分構造が存在して、すべてのfi1, . . . , fikが微分同相写像になる。

• もし k ≥ m− 2ならばどんなM上の可微分構造をとってきても、すべての fi1, . . . , fikが微分同相写像になることはありえない。

5 被覆モノポール写像とそこから派生する予想

Xをコンパクト 4次元多様体とし、Xを普遍被覆空間とします。一般にXは非コンパクトになるので、その上でモノポール写像を構成する際には函数空間の設定に気をつける必要があります。ここではL2ソボレフ空間を採用します。このとき、被覆モノポール写像は以下で与えられます。

µ : L2k(X; S+ ⊕ Λ1 ⊗ iR)→ L2

k−1(X; S− ⊕ (Λ0 ⊕ Λ2+)⊗ iR)⊕H1

(2)(X).

ここでH1(2)(X)は1次のL2コホモロジー群。記号の省略化のために µ : H ′ →

Hと表します。

Theorem 0.7 AHS複体が閉像とする。このとき被覆モノポール写像は lo-cally strongly proper。

バウアー・古田理論のアイデアのひとつは写像の有限次元近似にありました。驚くことに、ほぼ同時期にヒグソン・カスパロフ・ツラウトらが、まったく異なる状況で、無限次元ヒルベルト空間の有限次元近似を用いて、K-理論の無限次元ボット周期性の構成を行いました。もちろん通常の意味のボット周期性は無限次元では成立しません。彼らはクリフォード代数を用いてあるC∗-代数の構成を行うことでそれを実行したのです。普遍被覆空間のような一般には非コンパクト多様体上のモノポール写像

には、有限次元近似は適用できません。そのため無限次元ヒルベルト空間上

181

の写像そのものを用いる必要があります。バウアー・古田理論のアイデアをlocalに適用し、さらにヒグソン・カスパロフ・ツラウトらの無限次元ボット周期性を組み合わせることで、下記の主張が得られます。ここでSC(H)とSCµ(H

′)⋊ Γは、ヒグソン・カスパロフ・ツラウトらのC∗代数とその変種です。またΓ = π1(X)。

Corollary 0.8 AHS複体が閉像とする。さらに、(1) Dirac作用素が可逆で(2) AHS複体のH2 = 0とする。すると被覆モノポール写像はΓ同変な ∗準同型

µ∗ : SC(H)→ SCµ(H′)

を誘導する。特にそれはK群の間の準同型を導く。

µ∗ : K(C∗(Γ))→ K(SCµ(H′)⋊ Γ).

L2コホモロジー理論でよく知られたジンガー予想があります。それは「コンパクト多様体で実現できるBΓ空間のL2コホモロジー群は、真中の次数を除いて 0」を主張します。その源流にはホップ予想があり、4次元双曲多様体ではChernが肯定的に解いています。上の定理の応用として期待される 10

8 タイプの不等式はL2ベッチ数に関するものです。それを導くには同変写像度をある表現環の元で表しその計算を行う必要がありますが、それは現在進行中です。一方でそれとジンガー予想を組み合わせることで、次の予想が得られます。

Conjecture 0.9 M をコンパクト 4次元 spin多様体でBΓ空間として実現されているとします。このとき、次の不等式が成立する。

χ(M) ≥ 10

8| sign(M)|.

ここでχはオイラー数。

古田の定理と比較すると、これは適用する4次元多様体のクラスをより限定することで、より強い不等式を与えるものです。

strategyとしては次のようです。

• L2変種で 108 タイプの不等式 b2Γ(X) ≥ 10

8 | sign(X)| を導く。ここで左辺はL2ベッチ数。

182

• それとジンガー予想を組み合わせると、

χ(X) =∑i

(−1)ibiΓ(X) = b2Γ(X) ≥ 10

8| sign(X)|.

ここで最初の等式にはAtiyahのΓ指数定理を用います。

上の不等式は様々なクラスの多様体で成立することが、個別の計算によりわかっています。最後に具体例を挙げて、この原稿は終わりとします。

Example 0.10 下記のクラスの 4次元多様体でBΓ空間として実現されているものは、上の予想の不等式を満たす。

• (1) 曲面束

• (2) 交叉形式が evenタイプで基本群が amenable

• (3) 一般型複素曲面で c21 ≥ 0

• (4) spinで residually finite, ケーラー双曲的多様体

参考文献

(1) N. Higson, G. Kasparov and J. Trout,

A Bott periodicity for infinite dimensional euclidean space,Adv. Math. 135 (1998) 1− 40.

(2) T. Kato,

Covering monopole map and higher degree in non commutative geometry,arXiv:1606.02402.

(3) T. Kato, H. Konno and N. Nakamura,

Rigidity of the mod 2 families Seiberg-Witten invariants and topology offamilies of spin 4-manifolds,

arXiv:1906, 02943.

183

ブラックホール幾何

白水徹也 (名古屋大学多元数理科学研究科)

この数年でブラックホールの観測が進み、それらは一般相対論の予言と見事に一致する。本

講演では、一般相対論におけるブラックホールの幾何学的な性質の概観を解説するとともに、

最近の発展についても触れたい。

I. 一般相対論

一般相対論は重力を湾曲した時空によって記述する物理理論である。時空の湾曲の具合はアイン

シュタイン方程式によって決定され、ブラックホールの存在や宇宙の膨張を予言し、それらはことご

とく観測により検証されている。本節では記法の紹介を兼ねて一般相対論の簡単な解説を行う [1]。

A. 時空幾何学とアインシュタイン方程式

一般相対論において、時空はローレンツ計量を持つリーマン多様体 (M, g)によって記述される。

計量 g = gµνdxµdxν はアインシュタイン方程式

Rµν −1

2gµνR = Tµν (1)

に従う1。ここで左辺のRµν はリッチ曲率、Rはスカラー曲率である。右辺の Tµν はエネルギー・運

動量テンソルを表し、時空内の物質によって定まる (物質のエネルギー密度、圧力、エネルギー流な

どに対応する量)。実際には、物質に対する方程式と同時にアインシュタイン方程式を適切な初期値

に対して解くことで時空、並びに物質の時間変化が定まる。数値相対論の発展が著しく、現在は複雑

な系に対しても良い精度で予言が可能となっている。

しばしば真空の場合 (Tµν = 0)が考察の対象となる。このときアインシュタイン方程式は

Rµν = 0 (2)

となり、リッチ平坦となる2。

1 ギリシア文字の添字は時空の座標すべてを走る。同じ添字が上下セットで現れている場合は、和をとると約束。例えば,V µVµ。

2 この 20年ほどは宇宙の加速膨張や、超弦理論でさかんに議論されている adS/CFT対応において時空はアインシュタイン空間、すなわち Rµν = Λgµν でよく近似される。ここで Λは宇宙定数と呼ばれ、Λ > 0の場合が加速膨張を実現するド・ジッター時空を、Λ < 0の場合は反ド・ジッター時空を解として含む。

184

B. 真空解

正則な真空解で最も単純な解は平坦時空であり、計量 ηは

η = −dt2 + dx2 + dy2 + dz2. (3)

tは時間座標、x, y, zは空間の直交座標系である (光速 cを 1とした。従って、座標 tはいま長さの次

元を持つ)。次に簡単な解はシュバルツシルト解であり、その計量は

gSch = −(1− 2m/r)dt2 + (1− 2m/r)−1dr2 + r2(dθ2 + sin2 dϕ2) (4)

で与えられる。mは質量パラメータで、ここでは正とする (負の場合については後述)。この時空は

静的 (超曲面直交の時間的キリングベクトルが r > 2mにおいて存在する。ここでは ∂t がそれにあ

たる。)かつ球対称であり、rは面積半径。見た目からは r = 0と r = 2mにおいて、計量が特異で

あるが、r = 2mは座標を張り替えることにより、取り除けることが知られている。一方で r = 0は

曲率が発散 (RµναβRµναβ → ∞)しているため、取り除くことのできない時空特異点である。なお、

r →∞の極限で、計量は平坦時空に漸近することがわかる。従って、この時空は漸近的に平坦な時

空であることが理解できる。

mは ADM(Arnowitt-Deser-Minsner)質量でもある。一般に ADM質量はある漸近的に平坦な時

間一定面 (Σ, q)上で

mADM =1

16π

∫S∞

(∂ihij − ∂jhii)dSj (5)

で定義される3。ここで、遠方で直交座標系となる座標系 xiが存在することが知られており、その

座標系においてΣの誘導計量 qが q = (δij + hij)dxidxj , hij = O(1/r)と書くことができる事実を用

いている。この質量公式はハミルトン形式などから導かれる、漸近的に平坦な時空の保存量となって

いる。

C. 因果構造

時空幾何学において重要となるのが因果構造である。光よりも早く伝搬する現象は存在しない

という物理法則の要請に起因したものである。平坦時空を例にとると容易に理解できるように、原

点を通り (例えば)x 軸方向に伝搬する光の軌道は t = ±x で表される。この軌道の接ベクトルは

k = ∂t + ∂r, ℓ = ∂t − ∂rであるが、いずれもその大きさはゼロである

η(k, k) = 0, η(ℓ, ℓ) = 0. (6)

3 この質量は主エネルギー条件を満足するアインシュタイン方程式に対して非負であること、また質量がゼロになるのは平坦時空に限られることが証明されている [Schoen,Yau 1981, Witten 1981]。

185

　

FIG. 1: 光円錐と因果構造

一方で、光速より遅い速度で運動する粒子の軌道の接ベクトル T は

η(T, T ) ≤ 0 (7)

を満たす。一方で、仮に光速より速い速度で運動する粒子が存在したとるすと、その軌道の接ベクト

ル Sは

η(T, T ) ≥ 0 (8)

を満たす。原点を通るあらゆる方向に進む光の軌道は光円錐を構成し、光円錐の内側の上半分を原点

に対する時間的未来、下半分を時間的過去と呼ばれる。

これらのことを念頭に、ローレンツ多様体においてベクトルは 3つに分類され、

g(T, T ) = 0 (9)

を nullベクトル、

g(T, T ) < 0 (10)

を時間的ベクトル、

g(T, T ) > 0 (11)

を空間的ベクトルといい、図 1のようになる。nullベクトルと時間的ベクトルを合わせて、因果的ベ

クトルと呼ばれる。因果的ベクトルは更に未来向きと過去向きの二つのクラスに分類される。

ある時空点 pにおいて観測できる領域は、その点と過去向きにの因果的曲線で結ばれる点の集合

である。これを点 pの因果的過去といい、J−(p)と表す。右肩の添字のマイナスが過去を表している。

186

　

FIG. 2: 因果的未来/過去と依存領域

一方で、点 pから未来に物理過程によって影響の与えることができる領域、すなわち点 pと未来向き

因果曲線で結ばれる点の集合を因果的未来といい、J+(p)と表す。

アインシュタイン方程式は調和座標を採用することで、

gαβ∂α∂βgµν + Fµν(g, ∂g) = 0 (12)

と準非線形波動型方程式となる。このようは方程式に対して、空間的超曲面である初期面 Σの因果

的未来 J+(Σ)の点のうちで、すべての過去向き因果曲線でΣと結ばれる点の集合D+(Σ) (依存領域

という) において、解の局所的唯一性、因果伝搬（Σ以外の領域への依存性がない）、といったよい

性質が成り立つことが証明されている。なお、時空全体M に対して、M = D+(Σ)∪D−(Σ) が成り

立つとき、時空は大域的に双曲的であるといい、そのときの Σをコーシー面という。

D. シュバルツシルトブラックホール

シュバルツシルト解の時空の因果構造をみてみよう。m > 0とする。r < 2mで r=一定面は空間

的超曲面 (法線ベクトルが時間的)となっている。つまり、実際にその法線ベクトル ∂rの大きさは

gSch(∂t, ∂t) = (1− 2m/r)−1 (13)

で与えられ、r < 2mで gSch(∂t, ∂t) < 0となっている。一方で、t =一定面は時間的超曲面となって

いる。従って、r < 2mにおいて、rは時間座標、tは空間座標の役割を果たすことになる。

r = 2mにおける計量の特異な振る舞いは、クルスカル座標 (T,X)を導入することで解消される

gSch =4r3ge

−r/rg

r(−dT 2 + dX2) + r2(dθ2 + sin2 dϕ2). (14)

187

　

FIG. 3: クルスカル座標

ここで rg := 2m、

(r/rg − 1)er/rg = X2 − T 2, t/rg = ln |(T +X)/(X − T )|. (15)

実際に r = rg での特異性は消えている。クルスカル座標と元の座標と関係をみると、

r = rg ↔ X2 = T 2, r = 0↔ X2 − T 2 = −1, t = const.↔ T/X = const (16)

クルスカル座標 (T,X)の範囲は−∞ < T,X <∞をとることができ (クルスカル拡大)、これが時空

全体を張っている座標であることが分かっている (図 3)。図の II領域の点の因果的未来は r = 0と交

わりを持つ。その未来に時空は存在しない。一方、I領域の点の因果的未来は、遠方にも II領域にも

広がっている。III,IV領域はクルスカル拡張によって明らかになった時空の領域である。III領域は I

領域と同様に漸近的に平坦な時空の一部の領域である。一方、IV領域内の点は十分因果的未来で IV

領域から外れてしまう。これらのことから、領域 IIはブラックホール、領域 IVはホワイトホールと

呼ばれる。すなわち、一旦 II領域に入ってしまうと、I,III領域に出ることはできない。ブラックホー

ルの境界は事象の地平面 (event horizon)と呼ばれている。r = 0の時空の特異点はブラックホール

の内部にあるため、外部から観測はされない。なお、領域VIは重力崩壊によりブラックホールの形

成過程を考慮すると、存在しないことがわかる。

時空の大域的構造を理解するために、因果構造を保つ共形埋め込みを行うことで、時空をコンパ

クト化することがしばしば行われる。詳細は割愛するが、それによって得られる図は考案者の名前を

とってカーター・ペンローズ図と呼ばれている (図 4)。無限遠方が明示的になっている。

ここでm < 0の場合について触れておこう。この場合、事象の地平面は存在しない (図 4参照)。

そのため、r = 0の特異点と共形無限を結ぶ因果曲線が存在する。すなわち、遠方の観測者から特異

点が見えてしまう。このような特異点を裸の特異点という。そこでペンローズは以下の仮説を立てた。

188

　

FIG. 4: ペンローズ図。I ± は無限遠方。null方向は 45度。

「重力崩壊の結果、常にブラックホールが形成され、裸の特異点は事象の地平面に覆われ、外部

の観測者から観測することはできない。」

この仮説に対する反例がいくつかあるが、物理的に不自然な設定との指摘もあり、仮説の数学的

記述の精査が（ゆっくり）進んでいる。いずれにせよ、証明はされていない。

裸の特異点が時空に存在した場合、その点での初期条件/境界条件が不明となり、その因果的未来

で起きる現象の予言が物理理論でできなくなる。そのため、多くの場合、ブラックホールの外側にお

いて特異点が存在しないことを仮定する。

E. ブラックホールの定義

具体例としてシュバルツシルト解をみてきた。この解は時間変動も回転もない特殊な場合である。

一般には時間変動もあってよいだろうし、星の重力崩壊から形成されたと思えば、（星は回転してい

るので）回転があると考えるのが自然である。

一般のブラックホールの定義は一言でいうと「無限遠方の観測者が観測できない領域」である。

正確には、無限遠方は先ほどの共形埋め込みにより定義され、未来の共形無限I +(scri plus) と呼ば

れている。また、I +の近傍 U が存在し、その領域が大域的に双曲的であることを課す。このとき

のコーシー面は時空全体のコーシー面と区別し、部分的コーシー面と呼ばれている。この要請は、ブ

ラックホールの外側における物理法則よる予言能力を保証することからきている。

遠方の観測者が観測する時空領域はI +の因果的過去 J−(I +)である。従って、ブラックホール

Bは時空から J−(I +)を取り除いた部分、すなわちB :=M −J−(I +)として定義する (図 5参照)。

189

　

FIG. 5: ブラックホール

ブラックホールの境界 ∂B =: H を事象の地平面 (event horizon)として定義する4。

これらの定義は時空の次元に寄らない。

II. ブラックホール幾何

本節では前節で定義されたブラックホールの諸性質について解説を行う [1, 2]。

A. 一般的な性質

大域的に双曲的な時空領域において、未来に向かって単調に増加する時間関数 t(xµ)が存在する

ことが知られている。その各時間一定面はコーシー面であり、それを Σtt∈Rと書いておくと、Σt

とBやH の断面を考えることができる (図 5参照)、すなわち Bt := B ∩ Σt, Ht := H ∩ Σt。これら

をそれぞれブラックホール、事象の地平面と呼ぶこともある（世間的にはこちらが標準）。

事象の地平面Hは未来の端点 (終点)を持たない5null測地線により覆われており、Htの面積は単

調増加であることが知られている (面積増大定理)。一般に、Btはいくつかの連結成分の和で書かれ

る。ブラックホールが複数存在する場合がそれにあたる。簡単のために時刻 t = t1で 1個のブラック

ホールが存在し、それがその後時刻 t = t2 > t1で 2個に分裂したとしよう。すると図 6からもわか

るように、H 上の null測地線でH において未来に端点を持つものが存在することになる。しかし、

これは未来に端点を持たない性質に反する。従って、ブラックホールが分裂することはない。一方で

4 定義からブラックホールそのものを観測することができない。マスコミ等で観測された、との報道がしばしばあるが、正確にはその周りのガスからの光や重力波を検出した、ということである。

5 未来に端点があるとすると、ブラックホール内部が見えてしまう。

190

　

FIG. 6: ブラックホールの合体と分岐？

2個のブラックホールが合体することは可能である。このときも null測地線は端点を持つが、それは

未来ではなく、過去にもつ。これは可能である。

null測地線束の膨張率 θは時空の湾曲の度合いを表すよい指標となる。特にD次元時空における

(D − 2)次元面 (4次元時空の場合は 2次元面)から発する null測地線束の膨張率は、null方向の平

均曲率 (の (D − 2)倍)に一致し6、測地線束の断面積の変化率を表している。平坦な時空において、

球面から外向きに光を放てば、光波面は広がり続け (従って、θ+ > 0)、やがて無限遠に到達するこ

とは容易に想像できるであろう。しかし、シュバルツシルトブラックホール内のある球面から外向

きに光を放ったとしても、null測地線束の断面積は減少し (θ+ < 0)、やがて光波面は時空特異点に

到達するであろう。なお、いずれの場合でも、内向きの null測地線束の断面積は減少する (θ− < 0)。

このことから、外向きの null測地線束が θ+ ≤ 0であることは、重力が強い状況を表現していると

考えられる。実際に、向き付け可能なコンパクトな (D − 2)次元面 T 上で θ+|T < 0となるような

ものを捕獲面 (trapped surface)といい、この面がB内になければならないことが証明される。部分

的コーシー面 Σ上で捕獲面を集めた領域を捕獲領域といい、その外側の境界面 A (見かけの地平面

(apparent horizon)と呼ばれている)上で θ+ = 0となることが示される。この見かけの地平面も B

内になければならない7。

大域的に双曲的で、null収束条件8を満足する漸近的に平坦な時空において、捕獲面が存在するな

6 測地線束が面直交であるから。7 宇宙物理学において、アインシュタイン方程式は数値的に解かれ、様々な予言が行われている。その際に、ブラックホールの形成はこの見かけの地平面の発現で代用されている。なお、θ は Σt の第二基本形式 Kµν と Σt 内での見かけの地平面の平均曲率 kを用いて、θ = k+Kµνh

µν と書かれている。ここで rµ は外向きの単位法線ベクトル、hµν は見かけの地平面上の誘導計量である。特に、Kµν = 0、すなわち Σt が全測地的であるとき、見かけの地平面上で k = 0となる。つまり、極小曲面となっている。事象の地平面の近似的特定もある程度可能であるが、十分長時間計算を追う必要があり、実用面上適していない。

8 任意の nullベクトル kµ に対して、Rµνkµkν ≥ 0が成り立つ。アインシュタイン方程式を介すると、この条件は nullエ

191

らば、null測地線が完備でないものが存在することが知られている (特異点定理)。宇宙検閲仮説が成

り立つならば、この特異点はブラックホール内になければならない。つまり、捕獲面の存在はブラッ

クホールの存在を予言する、ということもできる9。

エネルギー密度が非負の全測地的時間一定面上で見かけの地平面は極小曲面と一致し、その面積

に対して、AAH ≤ 4π(2m)2(Penrose不等式)が成り立つ [Jang,Wald 1977, Huisken, Ilmanen 2001,

Bray 2001]。これは、与えられた質量に対して、ブラックホールのサイズには上限があることを意味

している。

B. 定常ブラックホール

重力崩壊によってい形成されたブラックホールは、重力波を放出しやがて定常な状態、すなわち、

時間に依存しない時空に漸近する。時空が定常であるとは、時間的キリングベクトル ξ(t)(定常キリ

ングベクトルという)が無限遠方近傍で存在することで定義される10。4次元時空ではカー解が存在

する。これは回転ブラックホールに相当する。この解は定常性だけでなく、軸対称性 (U(1))も有し

ている。4次元時空において、真空定常ブラックホールはカー解に限られることが知られている (唯

一性定理)。ここで鍵を握るのが、事象の地平面の断面が S2であることが示されることと、エルゴ領

域の存在である。カー解においては、定常キリングベクトルはブラックホールの外側に広がるエルゴ

領域内で空間的ベクトルとなり、事象の地平面H に接する (図 7)。一方で、定常ブラックホールの

ため、事象の地平面の断面の面積は変化しない。従って、H 上で null測地線に沿った方向に等長写

像が存在する。この写像を生成するキリングベクトルはH 上で nullベクトルであるから、ξ(t)と線

形結合をとることにより、閉じた軌道をもつ空間的キリングベクトルが構成可能である。こうして、

H 上で軸対称性が出現する。更に、解析性を課すことにより、アインシュタイン方程式を用いるこ

とによって、ブラックホールの外側全域で軸対称性を広げることができる（剛性定理）。4次元時空

の場合、定常軸対称な時空に対するアインシュタイン方程式は 2次元空間における楕円型偏微分方程

式系に帰着され、適切な境界条件 (無限遠方と事象の地平面上)を課すことにより、解の唯一性が示

される (唯一性定理)。

カー時空の回転のない極限はシュバルツシルト解であり、時空は静的である。しかし、これは静

的ブラックホール解がシュバルツシルト解に限られることを意味しない。証明においてエルゴ領域

の存在は欠かせないことを思い出してほしい。シュバルツシルト時空にはエルゴ領域は存在しない。

従って、静的な場合は別途証明が必要となる。

ネルギー条件 Tµνkµkν ≥ 0となる。

9 しかし、捕獲面はブラックホール内に存在するため、遠方の観測者から観測できないのだが。10 一般に ξ(t) は面直交ではない。

192

　

FIG. 7: エルゴ領域と定常キリングベクトルの様子

C. 静的ブラックホール

静的ブラックホールはシュバルツシルト解に限られることが知られている。4次元時空において

証明法は大きく分けて二通りある。そのエッセンスを紹介しよう。静的な場合、時間的キリングベク

トル ξ(t)は (定義より)面直交となるため、計量は

gstatic = −V 2dt2 + gijdxidxj (17)

と書くことができ、V や gij は時間座標 tに依存しない。添字 i, jは空間座標を走る。この座標系に

おいて、事象の地平面H は V = 0で、その t =一定面との断面をHと書いておく。真空のアイン

シュタイン方程式から V が調和関数であること (DiDiV = 0,ここでDiは gij の共変微分)、gij のス

カラー曲率がゼロとなることが示される。更に、DiJi =(正定値項)の形をした発散公式がいくつか

得られる。なお、正定値項がゼロになることと時空が球対称 (SO(3))であることは等価である。

さて、一つ目の証明は Israelや Robinsonによるものである。彼らはいくつかの発散公式を突如

導き11、それらを積分し漸近的振る舞いを用いることで、質量 mと Hの面積 AH との間に AH ≤

4π(2m)2(Penrose不等式と呼ばれる)とその逆AH ≥ 4π(2m)2が得られ、結局等式が成り立つことを

示した。従って、時空が球対称であることが証明される。球対称真空解がシュバルツシルト解である

ことは容易にわかる。なお、上の不等式を得る際に、H ≈ S2であることとガウス・ボネ定理が用い

られている。

二つ目の証明では t =一定面Σに共形変換を施すと、リッチスカラーゼロ、質量ゼロの空間 Σを

構成できる。これに正質量定理を適用すると、Σが平坦になることが示される。また、この平坦空間

11 最近、これらの発散公式を含む形でより一般の公式を導くことに成功している [Nozawa, Shiromizu, Izumi, Yamada2018]。

193

上の調和関数を V から構成可能である。また、H上が曲率が有限であることから、Σ における V = 0

面が球対称であることがわかる。従って、球対称な境界条件下での調和関数を解く問題に帰着され、

空間が球対称であることが容易に示される。この証明は静的多重ブラックホールが存在できないこと

も同時に示している。なお、この手法による証明は高次元にも適用できる。

III. 21世紀ブラックホール

20世紀終わりから今日までの間、理論、観測の双方の著しい発展に後押しされ、ブラックホール

研究は大きな広がりを見せている。一つは超弦理論などから動機付けられた高次元時空ブラックホー

ル。一方、観測では 2015年にブラックホールの合体からの重力波が検出されている。また、今年に

入って、電波望遠鏡による「ブラックホールの撮影」も記憶に新しい。ブラックホール自体は観測は

できないため、できるだけ近くを見る、ということが重要となる。現在の観測では、シュバルツシル

トブラックホールを例にとると、重力波ではブラックホール (面積)半径の 3/2倍の r = 3m周辺ま

で検証されていることになっている。そこで、最近ではブラックホール周辺の数学的定式化が注目を

浴びている。ここでは、高次元ブラックホールと強重力場に焦点をあて、解説を行う。

A. 高次元ブラックホール

すでに触れたように高次元時空において大域的に漸近的に平坦な静的ブラックホール解は唯一で

あることが知られている。一方で、定常解ではH ≈ SD−2のマイヤーズ・ペリー解が古くから知ら

れていたが、2001年に Emparanと Reallによりブラックリング解 (H ≈ S2 × S)が 5次元時空で発

見されたのを契機に、5次元時空において、S3, S2 × S1の有限連結和の解も発見され、系統的解の

生成も整備された。ただし、軸対称性 U(1)に加え、さらに U(1)対称性があるものに限られる。こ

れは、Hへの制限は高次元時空では 4次元と比べ、緩やかなものとなっていることからきている。実

際にHへの制限は、山辺不変量が正で与えられる。D = 4の場合が、ガウス・ボネ定理により、S2

に限定されていた。D ≥ 5ではトポロジーへの制限が緩和される。このように高次元ブラックホール

は想像以上に豊かな構造を持ち合わせていることが広く認識された [2, 3]。

以上は大域的に漸近的に平坦な時空に限ったが、レンズ空間やある空間方向に併進対称性がある

ような場合なども考えることができる。例えばブラックストリング解 (H ≈ SD−3 ×R)が存在する。

この数年では数値シミュレーションが進み、多くのブラックホール解が摂動に対して不安定であ

ることが報告されている [4]。極端な場合、裸の特異点の出現が指摘されており、高次元時空におい

ては宇宙検閲仮説が破れる傾向があるようだ。

194

B. 強重力場再考

ブラックホールの少し外側の領域で、強い重力を反映する特性の一つとして、シュバルツシルト

時空における r = 3m上の光の円軌道が挙げられる。球対称性から、この円軌道の集合は 2次元面を

構成し、光球 (photon sphere)と呼ばれている。カー時空において、光の軌道は多様体を構成しない

が、位相空間 (空間×速度)においては、多様体を成していることが最近報告されている [5]。強い重

力を表すものとして捕獲面が定義されているが、それは宇宙検閲仮説が成り立つような状況下におい

て、ブラックホール内にあるため、外部からは観測されない。ブラックホールが本格的に “観測”さ

れる現在、実際に観測される幾何学的対象の研究が求められている。

静的時空において、ブラックホール外部にある光面 Sp(photon surface)が null測地線について全

測地的超曲面12として定義されている。この面にさらに V =一定を課すことにより13、その面の外

側がシュバルツシルト時空で唯一であることが 4次元時空において証明されている [6] 。

脚注 7)で触れたように、外向きの null測地線束の膨張率 θは静的時空の時間一定面上の 2次元

面の平均曲率に一致する。シュバルツシルト時空の場合、Spの位置はちょうど面積の変化が加速的

なものから減速的なものへの移行点 (変曲点)に一致している。この事実を参考に、平均曲率 kが正

で、その外向きの微分も正となる面を緩捕獲面 (loosely trapped surface)として定義する。特に、ス

カラー曲率が正の時間一定面上において、緩捕獲面の面積ALTSに対して不等式ALTS ≤ 4π(3m)2が

成り立つ [7]。Penrose不等式の緩捕獲面版である。

References

[1] 例えば、白水徹也,“SGC-90 アインシュタイン方程式,”サイエンス社 (2012).

[2] 石橋明浩,“SGC-139 ブラックホールの数理,”サイエンス社 (2018).

[3] 関連する最近の文献については、M. Khuri, Y. Matsumoto, G. Weinstein and S. Yamada,

arXiv:1807.03452.

[4] H. Bantilan, P. Figueras, M. Kunesch and R. Panosso Macedo, arXiv:1906.10696.

[5] C. Cederbaum and S. Jahns, Gen. Rel. Grav. 51, no. 6, 79 (2019)[arXiv:1904.00916].

[6] C. Cederbaum, arXiv:1406.5475.

[7] T. Shiromizu, Y. Tomikawa, K. Izumi and H. Yoshino, PTEP 2017, no. 3, 033E01

(2017)[arXiv:1701.00564].

12 時間的超曲面となっている13 幾分強い仮定である。

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第66回幾何学シンポジウム予稿集naito/2019... · This coincidence of two kinds of integrability — zero-curvature and isomonodromy — leads to a very rich theory. Because