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はじめに
数学の学習は数学の進歩を学んでいる
高校の数学：紀元前の数学から１８世紀頃までの数学
大学４年生までの数学：１９世紀頃の数学
大学院以降：２０世紀から現代の数学
数学の分野
代数学：種々の代数的な構造やその性質を調べる
幾何学：図形に代表される幾何学的な対象を調べる
解析学：微積分を用いて現象を探る・関数の性質を調べる
この分類はあくまで「便宜的」なものにすぎない
Dec. 14 2006,彦根東高校 – p. 2/46
はじめに
数学と他の学問との関わり
物理学（力学・電磁気学・量子力学・相対論 · · ·）経済学（ゲーム理論・均衡理論 · · ·）計算機科学（言語理論・数値解析・暗号理論 · · ·）
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内容と目標
内容
平面の幾何・「直線」
球面の幾何・球面上の「直線」
曲線と曲面の「曲がりかた」を測る曲線の「曲率」曲面の「曲率」
「距離」を一般化しよう
到達目標
「曲線・曲面が曲がっている」ということの意味
「直線」や「距離」の一般化とはどんなものか
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Section 1
平面の幾何・「直線」
球面の幾何・球面上の「直線」
曲線と曲面の「曲がりかた」を測る
曲線の「曲率」
曲面の「曲率」
「距離」を一般化しよう
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ユークリッド幾何
「平面の幾何学」＝「ユークリッド幾何」
ユークリッド幾何の公準
１ 平面上の任意の２点を結ぶ直線を引くことができる
２ 任意の線分は直線に延長することができる
３ 任意の点を中心とする任意の半径の円を描くことができる
４ 全ての直角は等しい
５ 平行な２直線は,一致するか,互いに交わらないかのいずれかである
これら５つの公準から平面の幾何学の定理が導かれる
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平面三角形
「平面上の三角形の内角の和は２直角に等しい」
「三角形」＝「１直線上にない３点を直線で結んだ図形」
「平行線の２つの錯角は等しい」←平行線の公準から証明できる.
「平面上の三角形の内角の和は２直角」←錯角の性質から証明できる.
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「直線」ってなに？
「ユークリッド幾何学」では「直線」は「無定義語」
「直線」＝「２点間を結ぶ曲線の中で長さが最小のもの」
「２点を結ぶ線分の長さ」＝「２点間の距離」
「直線（線分）」＝「２点間の距離を与える曲線」＝「光が進むコース」
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Section 2
平面の幾何・「直線」
球面の幾何・球面上の「直線」
曲線と曲面の「曲がりかた」を測る
曲線の「曲率」
曲面の「曲率」
「距離」を一般化しよう
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球面の幾何
球面の代表例として「地球の表面」を考えよう
「北極点から南極点までの距離」＝「子午線（経線）に沿って測った長さ」
「同じ緯度の２地点間の距離」�=「緯線に沿って測った距離」（例外：赤道上の２地点）
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球面上で「直線」に相当するもの
「球面上の２地点 A, B 間の距離」を測る
A, B と球の中心 O を通る平面 �と球の交線＝ A, B を通る「大円」
「球面上の２地点 A, B 間の距離」＝「A, B を通る大円に沿って測った長さ（の短い方）」
「A, B を通る大円」＝「球面上の『直線』」＝「測地線」
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球面三角形
球面上の３点 A, B, C を頂点に持つ三角形＝「球面三角形」（測地三角形）＝A, B を結ぶ測地線,B, C を結ぶ測地線,C, Aを結ぶ測地線で作られる三角形
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球面三角形の内角の和の例
A: 北極B: 赤道上の東経０度の地点C: 赤道上の東経 α度の地点
→ �ABC の内角の和は？→ ∠ABC = 90◦, ∠BCA = 90◦, ∠CAB = α◦
→ �ABC の内角の和 = (180 + α)◦
A
B C
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球面三角形の内角の和に関する事実
「球面三角形の内角の和」 > 180◦
【知りたいこと】
この事実は球面のどのような性質を反映しているのか？
球面以外の曲面ではどうなるのか？
【予想】
この事実は球面が曲がっていることに起因しているだろう
「曲がっている」とはどういうことか？
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Section 3.1
平面の幾何・「直線」
球面の幾何・球面上の「直線」
曲線と曲面の「曲がりかた」を測る
曲線の「曲率」
曲面の「曲率」
「距離」を一般化しよう
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平面上の曲線の「曲率」
曲線の曲率＝曲線が「どのくらい曲がっているか？」を表す量
直線の曲率 = 0
半径 r の円周の曲率 = 1/r
曲線の曲率の物理的イメージ質量 1の物体が曲線上を速さ 1で運動するときに働く力の大きさ＝物体が曲線上を速さ 1で運動するときの加速度の大きさ
直線上の速さ 1の運動＝等速直線運動→加速度＝ 0
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★★曲線の曲率の正確な定義
X(t) = (x(t), y(t)): 曲線の時刻 tでの位置ベクトル
V (t) = X ′(t) = (x′(t), y′(t)): 曲線の時刻 tでの速度ベクトル
A(t) = V ′(t) = (x′′(t), y′′(t)): 曲線の時刻 tでの加速度ベクトル
U(t): 速度ベクトルと直交する単位ベクトル（U(t)は V (t)からみて左向きに取る）
|V (t)|2 = 〈V (t), V (t)〉 = (x′(t))2 + (y′(t))2 = 1: 速さが 1
(|V (t)|2)′ = 2〈A(t), V (t)〉 = 0
速度ベクトルと加速度ベクトルが直交A(t)は U(t)と平行
ある κ(t)が存在してA(t) = κ(t)U(t)をみたす
この κ(t)を曲率と定義するDec. 14 2006,彦根東高校 – p. 17/46
★半径 r の円周の曲率
半径 r の円周上の速さ 1の運動（反時計回り）
X(t) = (x(t), y(t)) =
(r cos
(t
r
), r sin
(t
r
))
V (t) = (x′(t), y′(t)) =
(− sin
(t
r
), cos
(t
r
))
U(t) = =
(− cos
(t
r
),− sin
(t
r
))
A(t) = (x′′(t), y′′(t)) =
(−1
rcos
(t
r
),−1
rsin
(t
r
))
A(t) =1
rU(t)
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★楕円の曲率
楕円 x2
a2 + y2
b2 = 1の曲率
X(t) = (x(t), y(t)) = (a cos(t), b sin(t)),
κ(t) =ab
(a2 sin2(t) + b2 cos2(t))3/2
a < bの時曲率の最大値： a/b2
曲率の最小値： b/a2
-1 -0.75 -0.5 -0.25 0.25 0.5 0.75 1
-0.6
-0.4
-0.2
0.2
0.4
0.6
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
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★双曲線の曲率
楕円 x2 − y2 = 1の曲率
X(t) = (x(t), y(t)) = (cosh(t), sinh(t)),
κ(t) =−1
(sinh2(t) + cosh2(t))3/2
t = 0, (x, y) = (1, 0)で曲率 −1.
-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
-1 -0.5 0.5 1
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
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★曲率の正確な定義
一般公式：
κ(t) =x′(t)y(t) − x(t)y′(t)
((x′(t))2 + (y′(t))2)3/2
-1 -0.75 -0.5 -0.25 0.25 0.5 0.75 1
-0.6
-0.4
-0.2
0.2
0.4
0.6
1 2 3 4 5 6
-4
-2
2
4
X(t) = (sin(t), sin(t) cos(t))
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曲線の曲率の応用 (1)
応用
高速道路のカーブの作り方
ジェットコースターのコースの作り方
「直線」と「円」をつないではなぜいけないのか？
「力」の掛かり方が急に変化する
1 2 3 4
0.2
0.4
0.6
0.8
1
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曲線の曲率の応用 (2)
「クロソイド曲線」＝起点から「長さ t」の位置での曲率が tとなる曲線
(x(t), y(t)) =
(∫ t
0cos(s2/2) ds,
∫ t
0sin(s2/2) ds
)
「力」の掛かり方がなめらかに変化する
-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
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★曲線論の基本定理
２つの曲線 X1(t), X2(t)が平面上の合同変換（平行移動,回転,鏡映）で一致する⇐⇒２つの曲線の曲率 κ1(t), κ2(t)が全ての tに対して等しい.
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Section 3.2
平面の幾何・「直線」
球面の幾何・球面上の「直線」
曲線と曲面の「曲がりかた」を測る
曲線の「曲率」
曲面の「曲率」
「距離」を一般化しよう
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球面上の物体の運動と曲率
「球面上の曲線上を運動する物体に働く力］
＝
「球面に直交する方向の力」＋「球面に接する方向の力」
「球面に接する方向の力」＝ 0
⇐⇒「最短線」⇐⇒大円上の運動
例：人工衛星の軌道
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曲面の曲率
曲面の「曲率」＝曲面が「どのくらい曲がっているか？」を表す量
「平面の曲率」 = 0
「半径 r の球面の曲率」 = 1/r2
曲率=全ての方向の測地線の曲率の最大値と最小値の積
平面：全ての直線は「曲率 0」
半径 r の球面：全ての大円の曲率は 1/r
半径 r の円筒：測地線は円（曲率 1/r）または直線（曲率 0）
=⇒曲率 = 0
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曲面の曲率の例 (1)
曲率 = 0 曲率 = 1/r2
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曲面の曲率の例 (2)
楕円体 x2
a2 + y2
b2 + z2
c2 = 1
(x, y, z) = (0, 0, c)での曲率は cb2
ca2 = c2
a2b2
x2
a2 + z2
c2 = 1と y2
b2 + z2
c2 = 1
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曲面の曲率の例 (3) : 曲率が負
x2 + y2 − z2 = 1
x2 + y2 = 1と y2 − z2 = 1 図の２つの曲線の交点での曲率 = −1
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曲面の曲率の例 (4) : 場所によって曲率の符号が異なる
交点での曲率 > 0 交点での曲率 = 0「オレンジ」の曲線は測地線ではない
交点での曲率 < 0Dec. 14 2006,彦根東高校 – p. 31/46
曲面の曲率の「意味」と地図の作り方
曲率が異なる曲面は「長さ」,「面積」,「角度」を全て保って写すことができない
「長さ」,「面積」,「角度」を全て保った地図を書くことができない.
メルカトル図法：全ての地点で「角度」が正しい
(United States Geological Survey より転載)
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地図の例
立体射影：全ての地点で「角度」が正しい
ランベルト正積図法：全ての地点で「面積」が正しい
(United States Geological Survey より転載) Dec. 14 2006,彦根東高校 – p. 33/46
球面三角形の内角の和と曲率の関係
球面三角形の面積 = 360◦ −外角の和 =内角の和− 180◦
「球面三角形の面積」> 0より「内角の和」> 180◦
注意：この公式を使うときは,角度は「弧度法」で与える360◦ = 2π =半径 1の円周の長さ
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★より一般的な定理（ガウス・ボンネの定理）
閉曲面上の測地三角形に対して∫
∆K(x) dx =内角の和− 180◦
が成り立つ.
K(x) < 0ならば「測地三角形の内角の和」< 180◦
曲率 > 0 曲率 < 0
Dec. 14 2006,彦根東高校 – p. 35/46
例の計算
A: 北極B: 赤道上の東経０度の地点C: 赤道上の東経 α度の地点→ �ABC の内角の和 = (180 + α)◦
�ABC =半径 1の球面の面積× 1
2× α
360
= πα
180
�ABCの内角の和− 180◦ = �ABCの内角の和− π
�ABCの内角の和 = π(α
180+ 1) = (180 + α)◦
Dec. 14 2006,彦根東高校 – p. 36/46
★より詳しい説明と注意
曲面の曲率の正しい定義はもっと難しい
ここでは直観的に分かりやすい説明を行った
円環面の曲率の図は適切ではないかも...
曲面の曲率の別の説明（曲率一定の曲面の場合）
K > 0 ⇐⇒「円周率」< π
K = 0 ⇐⇒「円周率」= π
K < 0 ⇐⇒「円周率」> π
K �= 0の時には「半径と円周の長さの比」は半径によって異なってしまい,「円周率」とは言えなくなる
Dec. 14 2006,彦根東高校 – p. 37/46
Section 4
平面の幾何・「直線」
球面の幾何・球面上の「直線」
曲線と曲面の「曲がりかた」を測る
曲線の「曲率」
曲面の「曲率」
「距離」を一般化しよう
Dec. 14 2006,彦根東高校 – p. 38/46
一般的な「距離」の定義
２点 x, y の間の「距離」＝ xと y を結ぶ（最短）測地線の長さ
以下の性質を持つ関数 dを「距離」と呼ぶ
d(x, x) = 0, (xから xまでの距離は 0)d(x, y) = 0 =⇒ x = y,
(xから y までの距離が 0ならば x = y)
d(x, y) = d(y, x)
(xから y までの距離は y から xまでの距離に等しい)
d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) (三角不等式)
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グラフと距離
「グラフ」とは「頂点」と「辺」でできたもの
「グラフの頂点 x, y の間の距離」＝ xと y を結ぶ最短経路の辺の数
辺の両端の頂点間の距離＝１
1
2 3
4 5
d(1, 2) = d(1, 3) = d(1, 4) = d(1, 5) = 1
d(2, 3) = d(2, 4) = 1, d(2, 5) = d(3, 4) = 2, d(4, 5) = 3
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グラフの例 (1)
「頂点」＝「世界中の人」
ＡさんとＢさんがお互いに知り合いなら辺で結ぶ
ＡさんとＢさんがお互いに知り合いなら d(A,B) = 1
d(笹原先生,内藤) = 1,
d(内藤,仲間由紀江) ≤ 5
d(笹原先生,仲間由紀江)
≤ d(笹原先生,内藤) + d(内藤,仲間由紀江)
≤ 6
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グラフの例 (2)
「頂点」＝「ウェブのページ」
ページ Aからページ B へのリンクがあれば Aから B へ矢印を引く
「辺」に向きがついたグラフ（有向グラフ）
1
2 3
4 5
Dec. 14 2006,彦根東高校 – p. 42/46
グラフを数学的に表す
頂点に番号をつける
行列 X の成分 xij を,頂点 iから頂点 j への辺（矢印）があれば 1,そうでなければ 0
「（有向）グラフ」＝「行列」
Dec. 14 2006,彦根東高校 – p. 43/46
グラフを行列で表す
1
2 3
4 5
1
2 3
4 5
0 1 1 1 11 0 1 1 01 1 0 0 01 1 0 0 11 0 0 1 0
0 0 1 0 01 0 1 0 01 1 0 0 01 1 0 0 01 0 0 1 0
Dec. 14 2006,彦根東高校 – p. 44/46
Google Page Ranking
ウェブページのリンクの情報からなる有向グラフ（＝巨大なサイズの行列）
この行列に対して「計算」をおこなう
各ページの「重要度」を表す「ランキング」を計算する
「リンクが集まっているページ」ほど重要であると考える
重要なページの順に並べると 1, 3, 2, 4, 5となる
1
2 3
4 5Dec. 14 2006,彦根東高校 – p. 45/46
Any Question or Comment ?
Dec. 14 2006,彦根東高校 – p. 46/46
