Cables Beer

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Facultad de Arquitectura y Diseño Sistemas Estructurales 30

Universidad de Los Andes Venezuela, 12 julio 2011 1 Prof. Jorge O. Medina M.

CABLES

IntroducciónLos cables son uno de los tres elementos estructurales de forma activa1. Por ello, a continuación se

indica las propiedades del cable como elemento estructural sometido a tracción, con el propósito de indicar el

comportamiento que rige el elemento, así como las unidades adicionales requeridas para el diseño conelementos tipo cable, asimismo se indica el procedimiento para estimar las dimensiones de la sección

transversal del cable requerido para el diseño arquitectónico.

Para distinguir las propiedades del cable primero se define el elemento donde se indica las ventajas,

comportamiento ante las cargas que se aplican, materiales empleados para la construcción, elementos

necesarios para garantizar la estabilidad del cable y los principales usos dados a esta unidad estructural.

Posteriormente se señala las ecuaciones y metodología necesaria para establecer las fuerzas que se generandentro del cable y así determinar las propiedades del cable necesario para cumplir con las necesidades del

proyecto.

Propiedades de los cables

Definición

Los cables son elementos flexibles debido a sus dimensiones transversales pequeñas en relación con lalongitud, por los cual su resistencia es solo a tracción dirigida a lo largo del cable. La carga de tracción se

divide por igual entre los hilos del cable, permitiendo que cada hilo quede sometido a la misma tensión

admisible. (Salvadori y Heller, 1998; Beer y Johnston, 1977)

Figura 1. Forma que toma el cable según la carga

Nota. De Estructuras para Arquitectos (p.71), por Salvadori, M. y Heller, R., 1998, Buenos Aires, Argentina: Kliczkowski Publisher.

Comportamiento

Por su flexibilidad, los cables cambian su forma de acuerdo a las cargas a las que está sometida y pueden dividirse en dos categorías:

1 Elementos que trabajan a tracción o compresión (los otros dos elementos estructurales son el arco y la

cercha).



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Figura 3. Esquema de sistema de cables paralelos y radiales.

Nota. De Sistemas de Estructuras, por Engel, H., 2001, Barcelona, España: Editorial Gustavo Gili, S.A.

Predimensionado

Diseño del cable

El tamaño del cable se determina según el diseño por tracción para elementos de acero, tomando encuenta que la forma de la sección transversal será como la que se indica en la Figura 4. Cabe destacar que la

tensión bajo carga horizontal uniformemente distribuida se multiplica por un factor de seguridad de 3 y los

esfuerzos últimos de los cordones y cuerdas son respectivamente σult= 13600 kgf/cm2 y σult= 14200 kgf/cm2

(Segui, 2000; Suspension Bridge Technical Data, s/f).

ult

req

T A

σ

max3= (1)

Tipos de cablesGuaya galvanizado para cables de guayas paralelas de puentes. El diámetro recomendado 0,196

pulgada.

Cordón galvanizado de puente: formado por varias guayas, de diámetros diferentes y unidos de forma

enrollada.

Cuerda galvanizada de puente: formada por seis cordones torcidos alrededor de un cordón central

(véase Figura 4).

Figura 4. Tipos de cables.

Nota. De Suspension Bridge Technical Data, [En Red].





Cable parabólico

Llamando w la carga por unidad de longitud (medida horizontalmente). La curva formada por cables

cargados uniformemente a lo largo de la horizontal es una parábola, cuyas ecuaciones se indican a

continuación, según el esquema de la Figura 5 y 6.

y

wx

T O 2

2

= (2)

2

2

2

max ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=

LwT T O (3)

Donde: T O ≡ Tensión mínima del cable en el punto más bajo, en la dirección horizontal (Véase Figura 5).

T max≡ Tensión máxima, en la dirección tangente a la curva del cable, en el punto más alto (véase Figura 6);

w≡ Carga horizontal uniformemente distribuida (véase Figura 6);

wxW T

wx y

T

wx

OO

=== ; 2

; tan2

θ (4)

Donde: θ ≡ Angulo de la tangente con el cable (véase Figura 5);

x, y≡ Coordenadas x e y medidas desde el origen en la parte más baja del cable (véase Figura 6).

Figura 5. Esquema del cable parabólico

Figura 6. Diagrama de cuerpo libre del cable parabólico

Catenaria

Cuando el peso del cable se vuelve importante, se realiza el análisis con la carga uniforme a lo largodel cable. Se denomina w pp al peso del cable por unidad de longitud medido a lo largo del mismo, donde la

magnitud W de la carga total soportada por una porción de cable de longitud s medida desde el punto más

bajo a un punto a lo largo del cable es W = ws. Las ecuaciones para esta configuración se indican a

continuación según los esquemas de las Figuras 6 y 7 (Beer y Johnston, 1977; Das, Kassimali y Sami, 1999).

w

θ

Tmax

TO

θ

Tmax

TO

x

y

x/2

y=h

W= *L/2w

x=L/2

W





Figura 7. Esquema de catenaria

c

x

c s senh= ; ch y += ; hw

T

c pp −=

max

(5)

Donde: s≡ Longitud del arco del cable (véase Figura 8),

w pp ≡ Peso propio del cable,

y, c, W y T se indican en la Figura 7 y 8.

Figura 8. Diagrama de cuerpo libre de la catenaria

Los pasos para determinar las tensiones de la forma catenaria son:

0. Estimar T h0, otorgando un valor a α que cumpla con la condición

α

α

2

; 1 0

LwT

pp

h => y este

valor se toma como T h1 para el paso 1,

1. Calcular α según la ecuación

12 h

pp

T

Lw=α (véase Figura 9),

2. determinar T h2 con el valor de α obtenido en el paso 1, según1cosh

2−

=α

hwT

pp

h ,

3. obtener T h3 según 213 2 hhh T T T −= ,

wpp

θ

Tmax

TO

x

y

c

X

Y

w pp

θ

Tmax

TO

s

W= sw pp

c

y

x





4. el nuevo valor de T h1=T h3 y se repite el procedimiento desde el paso 1 hasta que T h1≈T h3.

5. Cuando el proceso haya convergido se determina T max según α coshmax hT T = , con los últimos

valores de T h y α.

Figura 9. Esquema para el cálculo de las tensiones de catenaria

EjemploPredimensionar el arco de la figura:

h= 18 m; L= 50 m; w = 500 kgf/m

Cable parabólico

Para la carga uniforme en la dirección horizontal de 500 kgf/m el cable adopta la forma de una

parábola.

Para resolverlo, se realiza un diagrama de cuerpo libre sobre la mitad del cable cortándose en la parte

más baja del cable.

wpp

α

Tmax

Th

L

h

w

L

h

θ

Tmax

TO L/2

L/4

B

h

w

W= *L/2w





Diagrama de cuerpo libre del cable.

La distancia horizontal del punto más bajo al alto es L/2 y se realiza ΣM en el punto B para obtener T 0.

kgf T T M B 868105,12*25*500180 00=⇒=−⇒=∑

Según la Ecuación 2 ; tenemos

( ) kgf T T 5,1521825*5006,8680 max

22

max =⇒+=

El área requerida se determina al emplear la Ecuación 1 donde σult=14200 kgf/cm2 de la Tabla para Torón

galvanizados de acero 22,314200

15218=⇒= reqreq A A cm2

De la Tabla para Torón galvanizado de acero obtenemos que para el diámetro nominal de 3”; A=0,837 cm 2 y w pp=28,13 kgf/m

por lo tanto, n cables 8,3837,0

22,3== se colocan 4 cables de 3” por lo que A=3,348 cm2 y w pp=112,5 kgf/m.

CatenariaPara el peso propio del cable, este toma la forma denominada catenaria, luego se aplica el método

indicado para esta configuración.

1. Se estima T h0 según un valor la condición ,11=α

3,25571,1*2

50*5,112

2000 =⇒=⇒= hh

pp

h T T Lw

T α

,

2. Se calcula α según la ecuación indicada si T h1=2557,3 1,13,2557*2

50*5,112

2 1

=⇒=⇒= α α α

h

pp

T

Lw

3. Se determina T h2 con el valor de α anterior según

( )6,3029

11,1cosh

18*5,112

1cosh222 =⇒

−=⇒

−= hh

pp

h T T hw

T α

;

4. Se obtiene T h3 según 9,20846,30293,2557*22 33213=⇒−=⇒−=

hhhhh T T T T T ;

5. Se iguala T h1=T h3; es decir T h1=2084,9 y se vuelve al paso 2 hasta que 13 hh T T ≈ .

La siguiente Tabla indica los valores que se obtienen de repetir los pasos 2 al 5. Iteración T h1 α T h2

1 2557,27 1,1 3029,62

2 2084,92 1,34921164 1916,293 2253,55 1,24825347 2286,92

4 2220,18 1,2670142 2211,20

5 2229,16 1,26191163 2231,466 2226,86 1,26321516 2226,26

7 2227,45 1,26287632 2227,618 2227,30 1,26296401 2227,26

9 2227,34 1,26294129 2227,35

10 2227,33 1,26294718 2227,33

El procedimiento se repitió 10 veces hasta que T h= 2227 kgf luego con α=1,26294718 se determina T max según

( ) 425326294718,1cosh3,2227cosh maxmaxmax =⇒=⇒= T T T T h α kgf

( )22

max wxT T O +=

ult

req

T A

σ

max3=





Comprobación del cable

Con los resultados obtenidos se comprueba que el diseño es capaz de resistir las cargas asignadas

(carga horizontal más peso propio del cable).

T max parabolico =15218 kgf ; T max catenaria=4253 kgf;

kgf ==T +T =T T catenaria parabolico

19471425315218maxmaxmaxmax

+⇒ ;

8,5815348,3

19471max =⇒=⇒= trabajotrabajotrabajo A

T σ σ σ

Debido a que el esfuerzo de trabajo es menor al esfuerzo del cable (5815,8 kgf/cm2 <14200 kgf/cm2),

la solución de 4 cables de 3” es la adecuada.

Longitud del cable

La longitud necesaria de cable se determina según la Ecuación 5.

T max catenaria=4253 kgf; w pp= 112,5 kgf/m; tenemos que c es

mcchw

T

c pp

8,19185,112

4253max

=⇒−=⇒−=

m s sc

xc s 19,32

8,19

25senh*8,19senh =⇒⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ =⇒=

Dado que s es la mitad del cable, la longitud total del cable es L=2s⇒ L=2*32,19⇒ L=64,38 m

ReferenciasBeer, F. y Johnston, E. R. (1977). Mecánica Vectorial para Ingenieros (Estática Tomo I). Bogotá,

Colombia: McGraw-Hill Latinoamenricana S.A.

Das, B., Kassimali, A. y Sami, S. (1999). Mecánica para Ingenieros. Estática. México D.F., México:

Editorial Limusa S.A. de C.V.

Engel, H. (2001). Sistemas de Estructuras. Barcelona, España: Editorial Gustavo Gili, S.A

Marshall, W. y Nelson, H. (1995). Estructuras. México D.F., México: Alfaomega Grupo Editor, S.A.

de C.V.

Salvadori, M. y Heller, R. (1963). Structure in Architecture. s/d: Prentice-Hall.

Salvadori, M. y Heller, R. (1998). Estructuras para Arquitectos. Buenos Aires, Argentina: Kliczkowski

Publisher.

Segui, W. (2000). Diseño de estructuras de acero con LRFD. México D.F., México: Internacional

Thomson Editores, S.A. de C.V.

Suspension Bridge Technical Data (s/f). Suspension Bridge Technical Data [En Red]. Recuperado 9 de

marzo, 2004. Disponible en: http://www.inventionfactory.com.

Wikipedia (2011, 20 de junio). Cable-Stayed Bridge [En Red]. Recuperado 12 de julio, 2011.

Disponible en http://en.wikipedia.org/wiki/Cable-stayed_bridge.



Cuerda galvanizados de acero Torón galvanizada de acero

Todos los cordones contienen 7 guayas

Diámetro

nominal Peso Area

Diámetro

nominal Peso Area

plg kgf/m cm2

plg kgf/m cm2

5/8 0.97 0.0282 1/2 0.77 0.0231

3/4 1.41 0.0415 9/16 0.98 0.0295

7/8 1.90 0.0560 5/8 1.22 0.0361

1 2.49 0.0730 11/16 1.47 0.0440

1 1/8 3.14 0.0924 3/4 1.76 0.0521

1 1/4 3.93 0.1155 13/16 2.07 0.06141 3/8 4.78 0.1404 7/8 2.40 0.0724

1 1/2 5.68 0.1668 15/16 2.75 0.0817

1 5/8 6.71 0.1969 1 2.98 0.0894

1 3/4 7.80 0.2279 1 1/16 3.42 0.1028

1 7/8 8.97 0.2620 1 1/8 3.88 0.1164

2 10.19 0.2976 1 3/16 4.35 0.1307

2 1/8 11.50 0.3364 1 1/4 4.79 0.1443

2 1/4 12.89 0.3751 1 5/16 5.33 0.1612

2 3/8 14.30 0.4170 1 3/8 5.79 0.1752

2 1/2 15.77 0.4604 1 7/16 6.38 0.1922

2 5/8 17.29 0.5069 1 1/2 6.99 0.2108

2 3/4 18.96 0.5549 1 9/16 7.60 0.2294

2 7/8 20.69 0.6061 1 5/8 8.21 0.2480

3 22.49 0.6588 1 11/16 8.90 0.26823 1/4 26.79 0.7812 1 3/4 9.60 0.2899

3 1/2 31.25 0.9037 1 13/16 10.30 0.3100

3 3/4 35.72 1.0416 1 7/8 11.04 0.3317

4 40.18 1.1718 1 15/16 11.83 0.3550

2 12.62 0.3767

2 1/16 13.36 0.4015

σu (kgf/cm2) 13600 2 1/8 14.09 0.4216

2 3/16 15.08 0.4495

2 1/4 16.12 0.4821

2 5/16 16.80 0.5038

2 3/8 17.58 0.5255

2 7/16 18.23 0.5456

2 1/2 19.72 0.5906

2 9/16 20.54 0.6076

2 5/8 21.53 0.6402

2 11/16 22.56 0.6712

2 3/4 23.63 0.7022

2 7/8 25.83 0.7688

3 28.13 0.8370

σu (kgf/cm2) 14200

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