xHnh 01

O

KHM

E

D C

BA

CC BI TON HNH N THI VO LP 10(Dnh tng cho cc em hc sinh lp 9 ang chun b n thi vo lp 10 khng

chuyn)Bi 1 Cho hnh thang cn ABCD (AB > CD, AB // CD) ni tip trong ng trn

(O). K cc tip tuyn vi ng trn (O) ti A v D chng ct nhau E. Gi M l giaoim ca hai ng cho AC v BD.

1. Chng minh t gic AEDM ni tip c trong mt ng trn.2. Chng minh AB // EM.3. ng thng EM ct cnh bn AD v BC ca hnh thang ln lt H v K.Chng minh M l trung im HK.

4. Chng minh 2 1 1HK AB CD

BI GII CHI TIT (hnh 01)1. Chng minh t gic AEDM ni tip.

Ta c : 12EAC s AC (gc to bi tia tip tuyn AE

v dy AC ca ng trn (O))

Tng t: 12xDB s DB (Dx l tia i ca tia tip tuyn DE)

M AC = BD (do ABCD l hnh thang cn) nn AC BD . Do EAC xDB .Vy t gic AEDM ni tip c trong mt ng trn.2. Chng minh AB // EM.T gic AEDM ni tip nn EAD EMD (cng chn cung ED). M EAD ABD

(gc to bi tia tip tuyn v dy cung vi gc ni tip cng chn cung AD).Suy ra: EMD ABD . Do EM // AB.3. Chng minh M l trung im HK.

DAB c HM // AB HM DHAB DA . CAB c MK // ABMK CKAB CB . M

DH CKDA CB (nh l Ta let cho hnh thang ABCD). Nn

HM MKAB AB . Do MH = MK.

Vy M l trung im HK.

4. Chng minh 2 1 1HK AB CD .

p dng h qu nh l Ta let cho tam gic ADB c HM // AB ta c:HM DMAB DB (1). p dng h qu nh l Ta let cho tam gic BCD c KM // CD ta

c: KM BMCD BD (2).

Cng (1) v (2) v theo v ta c: 1HM KM DM BM DM BM BDAB CD DB BD BD BD .

Suy ra: 2 2 2HM KMAB CD , m MH = MK nn 2HM = 2KM = HK. Do :

2HK HKAB CD . Suy ra:2 1 1HK AB CD (pcm).

Li bn:1. Do AC = BD ADC BCD nn chng minh t gic AEDM ni tip ta s

dng phng php: Nu t gic c gc ngoi ti mt nh bng gc i ca nh ca nh th t gic ni tip. Vi cch suy ngh trn ch cn v tia Dx l tia i ca tia tiptuyn DE th bi ton gii quyt c d dng. C th chng minh t gic AEDM nitip bng cch chng minh khc c khng? (phn ny dnh cho cc em suy ngh nh)

2. Cu 3 c cn cch chng minh no khc khng? C y. Th chng minh tamgic AHM v tam gic BKM bng nhau t suy ra pcm.

3. Cu 4 l bi ton quen thuc lp 8 phi khng cc em? Do khi hc ton ccem cn ch cc bi tp quen thuc nh. Tuy vy cu ny vn cn mt cch gii na .Em th ngh xem?

Bi 2 Cho na ng trn (O) ng knh AB= 2R, dy cung AC. Gi M l imchnh gia cung AC. ng thng k t C song song vi BM ct tia AM K v ct tiaOM D. OD ct AC ti H.

1. Chng minh t gic CKMH ni tip.2. Chng minh CD = MB v DM = CB.3. Xc nh v tr im C trn na ng trn (O) AD l tip tuyn ca na

ng trn.4. Trong trng hp AD l tip tuyn ca na ng trn (O), tnh din tch phn

tam gic ADC ngoi ng trn (O) theo R.BI GII CHI TIT1. Chng minh t gic CKMH ni tip.

090AMB (gc ni tip chn na ng trn ng knh AB) AM MB . MCD // BM (gt) nn AM CD . Vy 090MKC .

//

=

O

M

H

K

D

C

BA

//

=

O

M

H

K

D

C

BA

AM CM (gt) OM AC 090MHC .T gic CKMH c 0180MKC MHC nn ni tip ctrong mt ng trn.2. Chng minh CD = MB v DM = CB.Ta c: 090ACB (gc ni tip chn na ng trn) Hnh 2Do : DM // CB, m CD // MB(gt) nn t gic CDMB l hnh bnh hnh. Suy ra:

CD = MB v DM = CB.3. Xc nh v tr im C trn na ng trn (O) AD l tip tuyn ca na

ng trn.AD l tip tuyn ca ng trn (O) AD AB . ADC c AK CD v DH

AC nn M l trc tm tam gic . Suy ra: CM AD.Vy AD AB CM // AB AM BC .M AM MC nn AM BC AM MC BC = 600.4. Tnh din tch phn tam gic ADC ngoi (O) theo R:Gi S l din tch phn tam gic ADC ngoing trn (O). S1 l din tch t gic AOCD.S2 l din tch hnh qut gc tm AOC.Ta c: S = S1 S2 hnh 3 Tnh S1:AD l tip tuyn ca ng trn (O) 060AM MC BC 060AOD .

Do : AD = AO. tg 600 = 3R SADO =21 1 3. . 3.2 2 2

RAD AO R R .

AOD COD (c.g.c) SAOD = SCOD SAOCD = 2 SADO = 2.2 32

R = 2 3R .

Tnh S2: 0120AC S qut AOC =2 0

0.120

360R =

2

3R .

Tnh S: S = S1 S2 = 2 3R 2

3R =

2 23 33

R R = 2 3 33R (vdt) .Li bn:1. R rng cu 1, hnh v gi cho ta cch chng minh cc gc H v K l nhng

gc vung, v c c gc K vung ta ch cn ch ra MB AM v CD// MB. iu suy ra t h qu ca gc ni tip v gi thit CD // MB. Gc H vung

Ny

x

O

K

F

E

M

BA

c suy t kt qu ca bi s 14 trang 72 SGK ton 9 tp 2. Cc em lu cc bitp ny c vn dng vo vic gii cc bi tp khc nh.

2. Khng cn phi bn, kt lun gi lin cch chng minh phi khng cc em?3. R rng y l cu hi kh i vi mt s em, k c khi hiu ri vn khng bit

gii nh th no , c nhiu em may mn hn v ngu nhin li ri ng vo hnh 3 trnt ngh ngay c v tr im C trn na ng trn. Khi gp loi ton ny i hiphi t duy cao hn. Thng thng ngh nu c kt qu ca bi ton th s xy ra iu g ?Kt hp vi cc gi thit v cc kt qu t cc cu trn ta tm c li gii ca bi ton.Vi bi tp trn pht hin M l trc tm ca tam gic khng phi l kh, tuy nhin cnkt hp vi bi tp 13 trang 72 sch Ton 9T2 v gi thit M l im chnh gia cung ACta tm c v tr ca C ngay.

Vi cch trnh by di mnh khi v ch khi kt hp vi suy lun cho ta ligii cht ch hn. Em vn c th vit li gii cch khc bng cch a ra nhn nh trcri chng minh vi nhn nh th c kt qu , tuy nhin phi trnh by phn o: imC nm trn na ng trn m 060BC th AD l tip tuyn. Chng minh nhn nh xong ta li trnh by phn o: AD l tip tuyn th 060BC . T kt lun.

4. Pht hin din tch phn tam gic ADC ngoi ng trn (O) chnh l hiu cadin tch t gic AOCD v din tch hnh qut AOC th bi ton d tnh hn so vi cchtnh tam gic ADC tr cho din tch vin phn cung AC.

Bi 3 Cho na ng trn (O) ng knh AB = a. Gi Ax, By l cc tia vung gcvi AB ( Ax, By thuc cng mt na mt phng b AB). Qua im M thuc na ngtrn (O) (M khc A v B) k tip tuyn vi na ng trn (O); n ct Ax, By ln lt E v F.

1. Chng minh: 0EOF 902. Chng minh t gic AEMO ni tip; hai tam gic MAB v OEF ng dng.3. Gi K l giao im ca AF v BE, chng minh MK AB .4. Khi MB = 3 .MA, tnh din tch tam gic KAB theo a.

BI GII CHI TIT1. Chng minh: 0EOF 90 .EA, EM l hai tip tuyn ca ng trn (O)

ct nhau E nn OE l phn gic ca AOM .Tng t: OF l phn gic ca BOM .

M AOM v BOM k b nn: 090EOF (pcm) hnh 42. Chng minh: T gic AEMO ni tip; hai tam gic MAB v OEF ng dng.Ta c: 090EAO EMO (tnh cht tip tuyn)T gic AEMO c 0180EAO EMO nn ni tip c trong mt ng trn. Tam gic AMB v tam gic EOF c: 0EOF 90AMB , MAB MEO (cng chn

cung MO ca ng trn ngoi tip t gic AEMO. Vy Tam gic AMB v tam gicEOF ng dng (g.g).

3. Gi K l giao im ca AF v BE, chng minh MK AB .Tam gic AEK c AE // FB nn: AK AEKF BF . M : AE = ME v BF = MF (t/cht hai

tip tuyn ct nhau). Nn AK MEKF MF . Do MK // AE (nh l o ca nh l Ta- let).Li c: AE AB (gt) nn MK AB.

4. Khi MB = 3 .MA, tnh din tch tam gic KAB theo a.Gi N l giao im ca MK v AB, suy ra MN AB.FEA c MK//AE nn MK FKAE FA (1). BEA c NK//AE nn

NK BKAE BE (2).

M FK BKKA KE (do BF // AE) nnFK BK

KA FK BK KE hayFK BKFA BE (3).

T (1), (2) v (3) suy ra MK KNAE AE . Vy MK = NK.

Tam gic AKB v tam gic AMB c chung y AB nn: 12AKB

AMB

S KNS MN .

Do 12AKB AMBS S .

Tam gic AMB vung M nn tg A = 3MBMA 060MAB .

Vy AM = 2a v MB = 32

a 1 1 3. . .2 2 2 2AKBa aS = 21 316 a (vdt).

Li bn:(y l thi tuyn sinh vo lp 10 nm hc 2009-2010 ca tnh H Nam) .T cu 1 n cu 3 trong qu trnh n thi vo lp 10 chc chn thy c no cng n

tp, do nhng em no n thi nghim tc chc chn gii c ngay, khi phi bn,nhng em thi nm qua tnh H Nam xem nh trng t. Bi ton ny c nhiu cu kh,

xH

Q

I N

M

O

C

BA

K

x

H

Q

I N

M

O

C

BA

v y l mt cu kh m ngi ra khai thc t cu: MK ct AB N. Chng minh: Kl trung im MN.

Nu ch MK l ng thng cha ng cao ca tam gic AMB do cu 3 v tamgic AKB v AMB c chung y AB th cc em s ngh ngay n nh l: Nu hai tamgic c chung y th t s din tch hai tam gic bng t s hai ng cao tng ng, biton qui v tnh din tch tam gic AMB khng phi l kh phi khng cc em?

Bi 4 Cho na ng trn tm O ng knh AB. T im M trn tip tuyn Axca na ng trn v tip tuyn th hai MC (C l tip im). H CH vung gc vi AB,ng thng MB ct na ng trn (O) ti Q v ct CH ti N. Gi giao im ca MOv AC l I. Chng minh rng:

a) T gic AMQI ni tip. b) AQI ACO . c) CN = NH.(Trch thi tuyn sinh vo lp 10 nm hc 2009-2010 ca s GD&T Tnh Bc

Ninh)BI GII CHI TITa) Chng minh t gic AMQI ni tip:Ta c: MA = MC (tnh cht hai tp tuyn ct nhau)OA = OC (bn knh ng trn (O))Do : MO AC 090MIA .

090AQB (gc ni tip chn na ng trn (O))090MQA . Hai nh I v Q cng nhn AM di Hnh 5

mt gc vung nn t gic AMQI ni tip ctrong mt ng trn.b) Chng minh: AQI ACO .T gic AMQI ni tip nn AQI AMI Hnh 6(cng ph MAC ) (2).AOC c OA = OC nn cn O. CAO ACO (3). T (1), (2) v (3) suy ra

AQI ACO .c) Chng minh CN = NH.Gi K l giao im ca BC v tia Ax. Ta c: 090ACB (gc ni tip chn na

ng trn(O)). AC BK , AC OM OM // BK. Tam gic ABK c: OA = OB,OM // BK MA = MK.

p dng h qu nh l Ta let cho ABM c NH // AM (cng AB) ta c:

//

=

x

F

E

O

DC

BA

NH BNAM BM (4). p dng h qu nh l Ta let cho BKM c CN // KM (cng

AB) ta c: CN BNKM BM (5). T (4) v (5) suy ra:NH CNAM KM . M KM = AM nn CN

= NH (pcm).Li bn1. Cu 1 hnh v gi cho ta suy ngh: Cn chng minh hai nh Q v I cng nhn

AM di mt gc vung. Gc AQM vung c ngay do k b vi ACB vung, gc MIAvung c suy t tnh cht hai tip tuyn ct nhau.

2. Cu 2 c suy t cu 1, d dng thy ngay AQI AMI , ACO CAO , vn lil cn ch ra IMA CAO , iu ny khng kh phi khng cc em?

3. Do CH // MA , m ton yu cu chng minh CN = NH ta ngh ngay vicko di BC ct Ax ti K bi ton tr v bi ton quen thuc: Cho tam gic ABC, M

l trung im BC. K ng thng d // BC ct AB, AC v AM ln lt ti E, D v I.Chng minh IE = ID. Nh c cc bi ton c lin quan n mt phn ca bi thi ta quiv bi ton th gii quyt thi mt cch d dng.

Bi 5 Cho ng trn tm O ng knh AB c bn knh R, tip tuyn Ax. Trntip tuyn Ax ly im F sao cho BF ct ng trn ti C, tia phn gic ca gc ABF ctAx ti E v ct ng trn ti D.

a) Chng minh OD // BC.b) Chng minh h thc: BD.BE = BC.BFc) Chng minh t gic CDEF ni tip.d) Xc nh s o ca gc ABC t gic AOCD l hnh thoi. Tnh din tch hnh

thoi AOCD theo R.BI GII CHI TITa) Chng minh OD // BC. Hnh 7BOD cn O (v OD = OB = R) OBD ODB

M OBD CBD (gt) nn ODB CBD . Do : OD // BC.b) Chng minh h thc: BD.BE = BC.BF.

090ADB (gc ni tip chn na ng trn (O) AD BE .090ACB (gc ni tip chn na ng trn (O) AC BF .

EAB vung A (do Ax l tip tuyn ), c AD BE nn:AB2 = BD.BE (1).

CDB CABCAB CFA

x

F

E D C

BOA

FAB vung A (do Ax l tip tuyn), c AC BF nn AB2 = BC.BF (2).T (1) v (2) suy ra: BD.BE = BC.BF.c) Chng minh t gic CDEF ni tip:Ta c:

(hai gc ni tip cng chn cung BC)( cng ph FAC ) CDB CFA

Do t gic CDEF ni tip.Cch khc

DBC v FBE c: B chung v BD BCBF BE (suy t BD.BE = BC.BF) nn chng

ng dng (c.g.c). Suy ra: EFBCDB . Vy t gic CDEF l t gic ni tip.d) Xc nh s o ca gc ABC t gic AOCD l hnh thoi:Ta c: ABD CBD (do BD l phn gic ABC ) AD CD .T gic AOCD l hnh thoi OA = AD = DC = OCAD = DC = R 060AD DC 0120AC 060ABC Vy 060ABC th t gic AOCD l hnh thoi.Tnh din tch hnh thoi AOCD theo R:

0120 3AC AC R .

Sthoi AOCD =21 1 3. . . 32 2 2

ROD AC R R (vdt). Hnh 8

Li bn

1. Vi cu 1, t gt BD l phn gic gc ABC kt hp vi tam gic cn ta ngh ngayn cn chng minh hai gc so le trong ODB v OBD bng nhau.

2. Vic ch n cc gc ni tip chn na ng trn kt hp vi tam gic AEB,FAB vung do Ax l tip tuyn gi ngay n h thc lng trong tam gic vung quenthuc. Tuy nhin vn c th chng minh hai tam gic BDC v BFE ng dng trc risuy ra BD.BE = BC.BF. Vi cch thc hin ny c u vic hn l gii lun c cu 3.Cc em th thc hin xem sao?

3. Khi gii c cu 2 th cu 3 c th s dng cu 2 , hoc c th chng minh nhbi gii.

4. Cu 4 vi yu cu xc nh s o ca gc ABC t gic AOCD tr thnhhnh thoi khng phi l kh. T vic suy lun AD = CD = R ngh ngay n cung ACbng 1200 t suy ra s o gc ABC bng 600. Tnh din tch hnh thoi ch cn nh

=// O

FE

C

DBA

H

N

FE

CB

A

cng thc, nh cc kin thc c bit m trong qu trnh n tp thy c gio b sung nh0120 3AC AC R ,........ cc em s tnh c d dng.

Bi 6 Cho tam gic ABC c ba gc nhn. ng trn ng knh BC ct cnh AB,AC ln lt ti E v F ; BF ct EC ti H. Tia AH ct ng thng BC ti N.

a) Chng minh t gic HFCN ni tip.b) Chng minh FB l phn gic ca EFN .c) Gi s AH = BC . Tnh s o gc BAC ca ABC.

BI GII CHI TITa) Chng minh t gic HFCN ni tip:Ta c : 090BFC BEC (gc ni tip chn na ng trn ng knh BC)T gic HFCN c 0180HFC HNC nn ni tip c trongng trn ng knh HC) (pcm).b) Chng minh FB l tia phn gic ca gc EFN:Ta c EFB ECB (hai gc ni tip cng chn BE ca ng trn ng knh BC).ECB BFN (hai gc ni tip cng chn HN ca ng trn ng knh HC).Suy ra: EFB BFN . Vy FB l tia phn gic ca gc EFN (pcm)c) Gi s AH = BC. Tnh s o gc BAC ca tam gic ABC: FAH v FBC c: 0AFH 90BFC , AH = BC (gt), FAH FBC (cng ph

ACB ). Vy FAH = FBC (cnh huyn- gc nhn). Suy ra: FA = FB.AFB vung ti F; FA = FB nn vung cn. Do 045BAC .Bi 7 (Cc em t gii)Cho tam gic ABC nhn, cc ng cao BD v CE ct nhau ti H.a) Chng minh t gic BCDE ni tip.b) Chng minh AD. AC = AE. AB.c) Gi O l tm ng trn ngoi tip tam gic ABC. Chng minh OA DE.d) Cho bit OA = R , 060BAC . Tnh BH. BD + CH. CE theo R.

Bi 8 Cho ng trn (O) ng knh AB. Trn tia AB ly im D nm ngoi onAB v k tip tuyn DC vi ng trn (O) (C l tip im). Gi E l chn ng vung

gc h t A xung ng thng CD v F l chn ng vung gc h t D xung ngthng AC.

Chng minh:a) T gic EFDA ni tip.b) AF l phn gic ca EAD .c) Tam gic EFA v tam gic BDC ng dng.d) Cc tam gic ACD v ABF c cng din tch.(Trch thi tt nghip v xt tuyn vo lp 10- nm hc 2000- 2001)

BI GIIa) Chng minh t gic EFDA ni tip:Ta c: 0AFD 90AED (gt). Hai nh E v F cng nhn AD di gc 900 nn t

gic EFDA ni tip c trong mt ng trn.b) Chng minh AF l phn gic ca gc EAD:Ta c:

//AE CD AE OCOC CD . Vy EAC CAD ( so le trong)

Tam gic AOC cn O (v OA = OC = R) nn CAO OCA . Do : EAC CAD .Vy AF l phn gic ca gc EAD (pcm).

c) Chng minh tam gic EFA v tam gic BDC ng dng:EFA v BDC c:EFA CDB (hai gc ni tip cng chn AE ca ng trn ngoi tip t gic

EFDA).EAC CAB EAF BCDCAB DCB

. Vy EFA v BDC ng dng (gc- gc).

d) Chng minh cc tam gic ACD v ABF c cng din tch:

SACD = 1 .2 DF AC v SABF =1 .AF2 BC . (1)

BC // DF (cng AF) nn AFBC ACDF hay DF. AC = BC.AF (2).

T (1) v (2) suy ra : SACD = SABF (pcm) (Lu : c th gii 2 cch khc na).Bi 9 Cho tam gic ABC ( 045BAC ) ni tip trong na ng trn tm O ng

knh AB. Dng tip tuyn vi ng trn (O) ti C v gi H l chn ng vung gc k

/ / ////H QP

I

O N

M

CB

A

O P

K

MH

A

C

B

t A n tip tuyn . AH ct ng trn (O) ti M (M A). ng vung gc vi ACk t M ct AC ti K v AB ti P.

a) Chng minh t gic MKCH ni tip.b) Chng minh MAP cn.c) Tm iu kin ca ABC ba im M, K, O thng hng.BI GIIa) Chng minh t gic MKCH ni tip:Ta c : 090MHC (gt), 090MKC (gt)T gic MKCH c tng hai gc i nhaubng 1800 nn ni tip c trong mt ng trn.b) Chng minh tam gic MAP cn:AH // OC (cng vung gc CH) nn MAC ACO (so le trong)AOC cn O (v OA = OC = R) nn ACO CAO . Do : MAC CAO . Vy AC

l phn gic ca MAB . Tam gic MAP c AK l ng cao (do AC MP), ng thi lng phn gic nn tam gic MAP cn A (pcm).

Cch 2 T gic MKCH ni tip nn AMP HCK (cng b HMK ). HCA CBA(cng bng 12 s AC ), CBA MPA (hai gc ng v ca MP// CB).

Suy ra: AMP APM . Vy tam gic AMP cn ti A.c) Tm iu kin cho tam gic ABC ba im M; K; O thng hng:Ta c M; K; P thng hng. Do M; K; O thng hng nu P O hay AP = PM.

Kt hp vi cu b tam gic MAP cn A suy ra tam gic MAP u.Do 030CAB . o li: 030CAB ta chng minh P O:Khi 030CAB 060MAB (do AC l phn gic ca MAB ) . Tam gic MAO cn

ti O c 060MAO nn MAO u. Do : AO = AM. M AM = AP (do MAP cn A) nn AO = AP. Vy P O.

Tr li: Tam gic ABC cho trc c 030CAB th ba im M; K v O thng hng.Bi 10 Cho tam gic ABC vung A, ng cao AH. ng trn tm O ng

knh AH ct cc cnh AB, AC ln lt ti M v N ( A M&N). Gi I, P v Q ln lt ltrung im cc on thng OH, BH, v CH. Chng minh:

a) AHN ACBb) T gic BMNC ni tip.

H/

/

=

=

P

O

K

I

NM

C

BA

c) im I l trc tm tam gic APQ.BI GIIa) Chng minh AHN ACB :

090ANH (gc ni tip chn na ng trn (O)).Nn Tam gic ANH vung ti N. 090AHC (do AH l ng cao ca ABC) nn

tam gic AHC vung H. Do AHN ACB (cng ph HAC ).b) Chng minh t gic BMNC ni tip:Ta c : AMN AHN (hai gc ni tip cng chn cung AN).AHN ACB (cu a).Vy: AMN ACB . Do t gic BMNC l mt t gic ni tip.c) Chng minh I l trc tm tam gic APQ:OA = OH v QH = QC (gt) nn QO l ng trung bnh ca tam gic AHC. Suy ra:

OQ//AC, m AC AB nn QO AB.Tam gic ABQ c AH BQ v QO AB nn O l trc tm ca tam gic. Vy

BO AQ. Mt khc PI l ng trung bnh ca tam gic BHO nn PI // BO. Kt hpvi BO AQ ta c PI AQ. Tam gic APQ c AH PQ v PI AQ nn I l trctm tam gic APQ (pcm).

Bi 11 Cho ng trn (O;R) ng knh AB.Gi C l im bt k thuc ngtrn (C A&B). M, N ln lt l im chnh gia ca cc cung nh AC v BC. Ccng thng BN v AC ct nhau ti I, cc dy cung AN v BC ct nhau P. Chng minh:

a) T gic ICPN ni tip. Xc nh tm K ca ng trn ngoi tip t gic .b) KN l tip tuyn ca ng trn (O; R).c) Chng minh rng khi C di ng trn ng trn (O;R) th ng thng MN lun

tip xc vi mt ng trn c nh.BI GIIa) Chng minh t gic ICPN ni tip. Xc nh tm K ca ng trn ngoi tip t

gic :Ta c 090ACB ANB (gc ni tip chn na ng trn (O)).Do : 090ICP INP T gic ICPN c 0180ICP INP nn ni tip ctrong mt ng trn. Tm K ca ng trn ngoi tipt gic ICPN l trung im ca on thng IP.

//

//

//

H

O

K

E

D

C

B

A

b) Chng minh KN l tip tuyn ca ng trn (O).Tam gic INP vung ti N, K l trung im IP nn

12KN KI IP . Vy tam gic IKN cn K . Do KIN KNI (1).

Mt khc NKP NCP (hai gc ni tip cng chn cung PN ng trn (K)) (2)N l trung im cung CB nn CN BN CN NB . Vy NCB cn ti N.Do : NCB NBC (3). T (1), (2) v (3) suy ra INK IBC , hai gc ny v tr

ng v nn KN // BC.Mt khc ON BC nn KN ON. Vy KN l tip tuyn ca ng trn (O).Ch : * C th chng minh 0 090 90KNI ONB KNO

* hoc chng minh 0 090 90KNA ANO KNO .c) Chng minh rng khi C di ng trn ng trn (O) th ng thng MN lun

tip xc vi mt ng trn c nh:Ta c AM MC (gt) nn AOM MOC . Vy OM l phn gic ca AOC .Tng t ON l phn gic ca COB , m AOC v COB k b nn 090MON .Vy tam gic MON vung cn O.

K OH MN, ta c OH = OM.sinM = R. 22 =2

2R khng i.

Vy khi C di ng trn ng trn (O) th ng thng MN lun tip xc vi mt

ng trn c nh (O; 22R ).

Bi 12 T im A ngoi ng trn (O), k hai tip tuyn AB, AC ti ng trn( B, C l cc tip im). ng thng qua A ct ng trn (O) ti D v E (D nmgia A v E , dy DE khng qua tm O). Gi H l trung im ca DE, AE ct BC ti K .

a) Chng minh t gic ABOC ni tip ng trn .b) Chng minh HA l tia phn gic ca BHC

c) Chng minh : 2 1 1AK AD AE .

BI GIIa) Chng minh t gic ABOC ni tip:

090ABO ACO (tnh cht tip tuyn)

_=

= //

O

K HE

D

C

B

A

60O

JIN

M

BA

T gic ABOC c 0180ABO ACO nn ni tip c trong mt ng trn.b) Chng minh HA l tia phn gic ca gc BHC:AB = AC (tnh cht hai tip tuyn ct nhau). Suy ra AB AC . Do AHB AHC .

Vy HA l tia phn gic ca gc BHC.

c) Chng minh 2 1 1AK AD AE :

ABD v AEB c:BAE chung, ABD AEB (cng bng 12 s BD )

Suy ra : ABD ~ AEBDo : 2 .AB AD AB AD AEAE AB (1)

ABK v AHB c:BAH chung, ABK AHB (do AB AC ) nn chng ng dng.Suy ra: 2 .AK AB AB AK AHAB AH (2)

T (1) v (2) suy ra: AE.AD = AK. AH1

.AH

AK AE AD 2 2

.AH

AK AE AD = 2

.AD DHAE AD

= 2 2.AD DHAE AD .

AD AD EDAE AD =

.AE ADAE AD = 1 1AD AE (do AD + DE = AE v DE = 2DH).

Vy: 2 1 1AK AD AE (pcm).

Bi 13 Cho ng trn (O;R) c ng knh AB. Trn ng trn (O;R) ly imM sao cho 060MAB . V ng trn (B; BM) ct ng trn (O; R) ti im th hai lN.

a) Chng minh AM v AN l cc tip tuyn ca ng trn (B; BM).b) K cc ng knh MOI ca ng trn (O; R) v MBJ ca ng trn (B; BM).

Chng minh N, I v J thng hng v JI . JN = 6R2c) Tnh phn din tch ca hnh trn (B; BM) nm bn ngoi ng trn (O; R) theo

R.BI GIIa) Chng minh AM v AN l cc tip tuyn ca

ng trn (B; BM). Ta c 090AMB ANB .(gc ni tip chn na ng trn(O)).im M v N thuc (B;BM); AM MBv AN NB. Nn AM; AN l cc tip tuyn ca (B; BM).

b) Chng minh N; I; J thng hng v JI .JN = 6R2.090MNI MNJ (cc gc ni tip chn na ng trn tm O v tm B). Nn

IN MN v JN MN . Vy ba im N; I v J thng hng.Tam gic MJI c BO l ng trung bnh nn IJ = 2BO = 2R. Tam gic AMO cn

O (v OM = OA), 060MAO nn tam gic MAO u.AB MN ti H (tnh cht dy chung ca hai ng trn (O) v (B) ct nhau).Nn OH = 1 12 2OA R . Vy HB = HO + OB =

32 2R RR 32. 32

RNJ R .

Vy JI . JN = 2R . 3R = 6R2c) Tnh din tch phn hnh trn (B; BM) nm ngoi ng trn (O; R) theo R:Gi S l din tch phn hnh trn nm (B; BM) nm bn ngoi hnh trn (O; R). S1

l din tch hnh trn tm (B; BM). S2 l din tch hnh qut MBN. S3 ; S4 l din tch haivin phn cung MB v NB ca ng trn (O; R).

Ta c : S = S1 (S2 + S3 + S4).Tnh S1: 0 060 120MAB MB 3MB R . Vy: S1 = 2 23 3R R .Tnh S2: 060MBN S2 =

2 0

03 60

360R =

2

2R

Tnh S3: S3 = Squt MOB SMOB. 0120MOB Squt MOB =2 0 2

0.120

360 3R R .

OA = OB SMOB = 12 SAMB =1 1. . .2 2 AM MB =

1 . 34 R R =2 34

R

Vy S3 =2

3R 2 3

4R = S4 (do tnh cht i xng). T S = S1 - (S2 + 2S3)

= 23 R 2 2 22 3

2 3 2R R R

=2 211 3 36

R R (vdt).

Bi 14 Cho ng trn (O; R) , ng knh AB . Trn tip tuyn k t A cang trn ny ly im C sao cho AC = AB . T C k tip tuyn th hai CD ca ngtrn (O; R), vi D l tip im.

a) Chng minh rng ACDO l mt t gic ni tip.

_//

//

= M

O

IH

D

C

BA

b) Gi H l giao im ca AD v OC. Tnh theo R di cc on thng AH; AD.c) ng thng BC ct ng trn (O; R) ti im th hai M. Chng minh

045MHD .d) ng trn (I) ngoi tip tam gic MHB. Tnh din tch phn ca hnh trn ny

nm ngoi ng trn (O; R).BI GIIa) Chng minh t gic ACDO ni tip:

090CAO CDO (tnh cht tip tuyn).T gic ACDO c 0180CAO CDO nn

ni tip c trong mt ng trn.b) Tnh theo R di cc on thng AH; AD:CA = CD (tnh cht hai tip tuyn ct nhau);OA = OD =R OC AD v AH = HDTam gic ACO vung A, AH OC

nn 2 2 21 1 1

AH AO AC = 221 1

2R R = 254R . Vy AH =

2 55R v AD = 2AH = 4 55

R .

c) Chng minh 045MHD :090AMB (gc ni tip chn na ng trn) 090CMA . Hai nh H v M cng

nhn AC di gc 900 nn ACMH l t gic ni tip. Suy ra: ACM MHD .Tam gic ACB vung ti A, AC = AB(gt) nn vung cn. Vy 045ACB .Do : 045MHD .d) Tnh din tch hnh trn (I) nm ngoi ng trn (O) theo R:T 090CHD v 045MHD 045CHM m 045CBA (do CAB vung cn

B).Nn CHM CBA T gic HMBO ni tip . Do 090MHB MOB . Vy tm I

ng trn ngoi tip tam gic MHB l trung im MB. Gi S l din tch phn hnh trn(I) ngoi ng trn (O).

S1 l din tch na hnh trn ng knh MB. S2 l din tch vin phn MDB.Ta c S = S1 S2 . Tnh S1:

090 2MB MB R . Vy S1 =2 21 2.2 2 4

R R .

E I

K

H ON

M

D

C

BA

Tnh S2: S2 = SqutMOB SMOB =2 0 2

0.90

360 2R R =

2 2

4 2R R .

S =2

4R (

2 2

4 2R R ) =

2

2R .

Bi 15 Cho ng trn (O) ng knh AB bng 6cm . Gi H lim nm gia Av B sao cho AH = 1cm. Qua H v ng thng vung gc vi AB , ng thng ny ctng trn (O) ti C v D. Hai ng thng BC v DA ct nhau ti M. T M h ngvung gc MN vi ng thng AB ( N thuc thng AB).

a) Chng minh MNAC l t gic ni tip.b) Tnh di on thng CH v tnh tg ABC .c) Chng minh NC l tip tuyn ca ng trn (O).d) Tip tuyn ti A ca ng trn (O) ct NC E. Chng minh ng thng EB i

qua trung im ca on thng CH.BI GIIa) Chng minh t gic MNAC ni tip:

090ACB (gc ni tip chn na ng trn)Suy ra 090MCA . T gic MNAC c 0180N C

nn ni tip c trong mt ng trn.b) Tnh CH v tg ABC.AB = 6 (cm) ; AH = 1 (cm) HB = 5 (cm).Tam gic ACB vung C, CH AB

CH2 = AH . BH = 1 . 5 = 5 5CH (cm). Do tg ABC = 55CHBH .

c) Chng minh NC l tip tuyn ca ng trn (O):Ta c NCA NMA (hai gc ni tip cng chn cung AN ca ng trn ngoi tip

t gic MNAC). NMA ADC (so le trong ca MN // CD) v ADC ABC (cng chn AC )Nn NCA ABC . Do 12ABC s AC

12NCA s AC . Suy ra CN l tip tuyn ca

ng trn (O). (xem li bi tp 30 trang 79 SGK ton 9 tp 2).d) Chng minh EB i qua trung im ca CH:Gi K l giao im ca AE v BC; I l giao im ca CH v EB. KE//CD

(cng vi AB) AKB DCB (ng v). DAB DCB (cng chn cung BD).DAB MAN (i nh) v MAN MCN (cng chn MN ).

//?_

K

E

H

M

O

D

C

B

A

Suy ra: EKC ECK KEC cn E. Do EK = EC. M EC = EA (tnh cht haitip tuyn ct nhau) nn EK = EA.

KBE c CI // KE CI BIKE BE v ABE c IH // AE IH BIAE BE .

Vy CI IHKE AE m KE = AE nn IC = IH (pcm).

Bi 16 Cho ng trn tm O, ng knh AC. V dy BD vung gc vi AC tiK (K nm gia A v O). Ly im E trn cung nh CD (E khng trng C v D), AE ctBD ti H.

a) Chng minh tam gic CBD cn v t gic CEHK ni tip.b) Chng minh AD2 = AH. AE.c) Cho BD = 24cm; BC = 20cm. Tnh chu vi hnh trn (O).d) Cho BCD . Trn na mt phng b BC khng cha im A, v tam gic

MBC cn ti M. Tnh gc MBC theo M thuc ng trn (O).Hng dnc) Tnh BK = 12 cm, CK = 16 cm, dng h thc

lng tnh c CA = 25 cm R = 12,5 cm.T tnh c C = 25

d) M (O) ta cn c t gic ABMC ni tip. 0180ABM ACM 0 090 2 1802MBC

T tnh c01804MBC

.Bi 17 Cho na ng trn (O) ng knh AB. Trn na mt phng b AB cha

na ng trn k tip tuyn Ax v dy AC bt k. Tia phn gic ca gc xAC ct nang trn ti D, cc tia AD v BC ct nhau ti E.

a) Chng minh ABE cn.b) ng thng BD ct AC ti K, ct tia Ax ti F . Chng minh t gic ABEF ni

tip.c) Cho 030CAB . Chng minh AK = 2CK.Bi 18 T im A ngoi ng trn (O) v hai tip tuyn AB; AC v ct tuyn

AMN khng i qua tm O. Gi I l trung im MN.a) Chng minh AB2 = AM. ANb) Chng minh t gic ABIO ni tip .

c) Gi D l giao im ca BC v AI. Chng minh IB DBIC DC

Bi 19 Cho tam gic ABC ni tip ng trn (O). Phn gic trong ca BAC ct BCti D v ct ng trn ti M. Phn gic ngoi ti Act ng thng BC ti E v ctng trn ti N. Gi K l trung im ca DE. Chng minh:

a) MN vung gc vi BC ti trung im ca BC.b) ABN EAKc) AK l tip tuyn ca ng trn (O).Bi 20 Cho ba im A, B,C nm trn ng thng xy theo th t . V ng trn

(O) i qua B v C. T A v hai tip tuyn AM v AN . Gi E v F ln lt l trung imca BC v MN.

a) Chng minh AM2 = AN2 = AB. ACb) ng thng ME ct ng trn (O) ti I. Chng minh IN // ABc) Chng minh rng tm ng trn ngoi tip tam gic OEF nm trn mt ng

thng c nh khi ng trn (O) thay i.Bi 21 Cho ng trn (O) ng knh AB = 2R . im C nm trn (O) m AC >

BC. K CD AB ( D AB ) . Tip tuyn ti A ca ng trn (O) ct BC ti E.Tip tuyn ti C ca ng trn (O) ct AE ti M. OM ct AC ti I . MB ct CD ti K.

a) Chng minh M l trung im AE.b) Chng minh IK // AB.c) Cho OM = AB. Tnh din tch tam gic MIK theo R.Bi 22 Trn cung nh BC ca ng trn ngoi tip tam gic u ABC ly mt

im P tu . Gi l giao im ca AP v BC.a) Chng minh BC2= AP . AQ .b) Trn AP ly im M sao cho PM = PB . Chng minh BP+PC= AP.

c) Chng minh 1 1 1PQ PB PC .

Bi 23 Cho na ng trn (O) ng knh AB = 2R v im C nm ngoi nang trn. CA ct na ng trn M, CB ct na ng trn N. Gi H l giao imca AN v BM.

a) Chng minh CH AB .b) Gi I l trung im ca CH. Chng minh MI l tip tuyn ca na ng trn

(O).c) Gi s CH =2R . Tnh s o cung MN .

Bi 24 Cho na ng trn ng knh AB = 2R v dy MN c di bng bnknh (M thuc cung AN). Cc tia AM v BN ct nhau I. Cc dy AN v BM ct nhau K.

a) Tnh MIN v AKB .b) Tm qu tch im I v qu tch im K khi dy MN thay i v tr .c) Chng minh I l trc tm ca tam gic KAB .d) AB v IK ct nhau ti H . Chng minh HA.HB = HI.HK .e) Vi v tr no ca dy MN th tam gic IAB c din tch ln nht? Tnh gi tr

din tch ln nht theo R.Bi 25 Trn ng trn (O) ly ba im A, B v C. Gi M, N v P theo th t l

im chnh gia ca cc cung AB, BC v AC. BP ct AN ti I, NM ct AB ti E.Gi D l giao im ca AN v BC. Chng minh rng:

a) BNI cn. b) AE.BN = EB.AN. c) EI BC. d) AN ABBN BD .Bi 26 Cho hai ng trn (O) v (O1) ngoi nhau. ng ni tm OO1 ct cc

ng trn (O) v (O1) ti cc im A, B, C, D theo th t trn ng thng. K tiptuyn tuyn chung ngoi EF (E (O), F (O1)). Gi M l giao im ca AE v DF, N lgiao im ca EB v FC. Chng minh rng:

a) T gic MENF l hnh ch nht.b) MN AD.c) ME . MA = MF . MD.

--- HT----