Bai Tap Hinh Hoc Hay on Thi Vao Lop 10

8/19/2019 Bai Tap Hinh Hoc Hay on Thi Vao Lop 10

1/47

Luyện thi vào lớp 10 THPT – Liên hệ: thầy Phùng Ngoại [0944 260 811]

Website: Phungngoai.ga Kênh Youtube: PhungNgo

CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC ÔN THI VÀO LỚP 10

Bài 1: Trích đề thi vào lớp 10 trường THPT chuyên KHTN – ĐHQG Hà Nội

Cho BC nhọn nội tiếp đường tròn O với AB AC. Đường phân giác của góc BAC cắt O tại

điểm D khác A. Gọi M là trung điểm của AD và E là điểm đối xứng với D qua tâm O. Giả sử đường

tròn ngoại tiếp tam giác ABM cắt đoạn thẳng AC tại điểm F khác A.1. Chứng minh tam giác BDM và tam giác BCF đồng dạng.

2. Chứng minh rằng EF vuông góc với AC.

Hướng dẫn giải

1. Tứ giác ABMF nội tiếp

hai gãc nt cïng nh×n c¹nh AB AMB AFB

0

0180

180 AMB BMD MD BFC

AFB BFC

1 1 gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung AB D C

Xét BDM và BCF có:

1 1

g - g BMD BFC

BDM BCF

D C

2.

1 2 D lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña A A BC

ED BC t¹i trung ®iÓm H cña BC.

2 1 gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung A E CD 1

22

AD BD DM BD

BDM BCFC CF CH CF

BD AD BD CH

CH CF AD CF

Xét ABD và FHC có:

1 1 2 1 1 1

1 1

CEFH

BD CH

AD CF ABD FHC A F A F E F

D C

nội tiếp.

090 gãc néi tiÕp cïng nh×n c¹nh CE EF AC ®pcm EFC EHC

1

1

1

12

1

H

F

E

M

D

O

B C


2/47



Bài 2: Trích đề thi vào lớp 10 thành phố Hà Nội 2015

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Lấy điểm C trên đoạn thẳng AO (C khác A và C khác O).

Đường thẳng đi qua C vuông góc với AB cắt nửa đường tròn tại K. Gọi M là một điểm bất kì nằm trên

cung KB (M khác K và M khác B). Đường thẳng CK cắt AM, BM lần lượt tại H và D. Đường thẳng

BH cắt nửa đường tròn tại điểm thứ hai là N.

1. Chứng minh rằng tứ giác ACMD là tứ giác nội tiếp.

2. Chứng minh rằng: CA.CB = CH.CD.

3. Chứng minh rằng ba điểm A, N, D thẳng hàng và tiếp tuyến tại N của nửa đường tròn đi qua trung

điểm của DH.

4. Khi M di động trên cung KB. Chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.


1. Theo giả thiết ta có: 0AB CD ACD 90 1

AMB là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AB 0 0AMB 90 AMD 90 2

Từ 1 và 2 ACMD là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AD.

2. CA CH

ACH DCB g - g CA.CB CH.CD ®pcmCD CB

3. ANB là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn O 0ANB 90 AN BH

P

F

I

N

H

D

K

O BC

M


3/47



Xét ABH có:

CH AB

BM AH D lµ trùc t©m cña ABH D AN Ba ®iÓm A, N, D th¼ng hµng

D CH BM

Gọi I là giao điểm của DH và tiếp tuyến của nửa đường tròn O tại N.

IND ONB (cùng phụ với góc

INH ). Tam giác BON cân tại O

ONB OBN OBN IDN (cùng phục với góc BAN ) IND IDN NID c©n t¹i I IN ID

0

0

IND INH 90

IND IDN INH IHN NIH c©n t¹i I IN IH ID IH ®pcm

IDN IHN 90

4. Gọi F MN AB . Tứ giác MHND nội tiếp đường tròn tâm I đường kính DH.

Gọi P OI MN OI MN tại P.

OC OI

OCI OPF g - g OC.OF OI.OP OP OF

Xét ONI vuông tại N: 2 2 2ON OP.OI OC.OF ON R F lµ ®iÓm cè ®Þnh.


Cho nửa đường tròn O đường kính AB và hai điểm C, D thuộc nửa đường tròn sao cho 0AC 90 và

0COD 90 . Gọi M là một điểm trên nửa đường tròn sao cho C là điểm chính giữa cung AM. Các dây

AM và BM cắt OC, OD lần lượt tại E, F.

1. Tứ giác OEMF là hình gì? Vì sao?2. Chứng minh D là điểm chính giữa cung MB.

3. Đường thẳng d tiếp xúc với nửa đường tròn tại M và cắt tai OC, OD lần lượt tại I và K. Chứng minh

rằng tứ giác OBKM và OAIM nội tiếp được.

4. Giả sử tia AM cắt BD tại S. Hãy xác định vị trí điểm C và D sao cho 5 điểm M, O, K, B, S cùng

thuộc một đường tròn.


1. 0AC CM AOC MOC MC AM t¹i E OEM 90

0 0AMB lµ gãc néi tiÕp ch¾n nöa ®êng trßn A B 90 hay EMF 90

Tứ giác OEMF có: 0OEM EMF EOF 90 OEMF là hình chữ nhật.

2. Xét BOF và OF có:

OM = OB

BOF MOF ch - cgv BOD MOD MD MB ®pcmOF chung

3. Xét OBK và OMK có:


4/47



OB = OM

BOK MOK OBK OMK c - g - c

OK chung

0OBK OMK 90 OBKM néi tiÕp

Xét OAI và OMI có:

OA = OM

AOI MOI OAI OMI c - g - c

OI chung

0OAI OMI 90 OAIM néi tiÕp

4. 0BMS OMK 90 BS OK

DB = DK = DS = DO

BOD lµ tam gi¸c ®Òu

0 0 0BOD 60 BD 60 hoÆc AC 30


Cho đường tròn O có đường kính AB = 2R, C là trung điểm của OA và dây MN vuông góc với OA

tại C. Gọi K là điểm tùy ý trên cung nhỏ BM , H là giao điểm của AK và MN.

1. Chứng minh tứ giác BCHK là tứ giác nội tiếp.

2. Tính tích AH.AK theo R.

3. Xác định vị trí điểm K để tổng (KM + KN + KB) đạt giá trị lớn nhất và tính giá trị đó.


1. AKB là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn

0 0AKB 90 hay BKH 90

Tứ giác BCHK có: 0BCH BKH 90

BCHK là tứ giác nội tiếp.

2. Xét ACH và AKB có:

0

A chungACH AKB g - g

ACH AKB 90

2AH AC AH.AK AC.AB RAB AK

3. Lấy điểm D trên KN sao cho KM = KB.

AOM là tam giác đều 0AOM 60

D

H

N

C A

O B

K

S

I

K

F

E

M

C

D

O B


5/47



0 0ABM 30 MBN 2ABM 60 BN là tam giác đều MN = MB

0KD 60 MDK là tam giác đều 0DN 120 ; 0BKM 120

0

MBK MNDBMK NMD ®Þnh lÝ tæng 3 gãc trong tam gi¸c

MKB MDN 120

Xét MBK và MND có:

MBK MND

B = BN MBK MND g - c - g BK = ND

BMK NMD

KM KN KB 2KN

maxmaxKM KN KB KN AB Ba điểm N, O, K thẳng hàng

K là điểm chính giữa của cung B . Khi đó: max

KM KN KB 2KN 2AB 2R

Bài 5: Trích đề thi vào lớp 10 tỉnh Bình Thuận 2012

Cho nửa đường tròn O đường kính AB, C là một điểm nằm trên O C kh¸c A vµ B , D là điểm

chính giữa của cung AC. Hai đường thẳng AD và BC cắt nhau tại M, hai dây AC và BD cắt nhau tại H

1. CMR: CMDH nội tiếp 2. MA.MD = MB.MC 3. MB không đổi khi C di chuyển trên O

4. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác CMDH, E là giao điểm của OD và tiếp tuyến tại A của O.

Chứng minh rằng ba điểm E, I, C thẳng hàng.


1.

0 0

ADB 90 BD AM MDH 90 1 0 0ACB 90 AC BM MCH 90 2

Từ 1 và 2 CMDH nội tiếp.

2. A MC

MAC MBD g - gB MD

MA.MD = MB.MC ®pcm

3. ABD MBD cgv - gn BM AB const

4. 0AOE COE c - g - c OCE OAE 90

CE OC *

ICM IMC CDH CAB ACO 0OCI ACO ACI ICM ACI ACM 90

IC OC **

Từ * và ** đpcm

E

I

H

M

D

BO

C


6/47



Bài 6: Trích đề thì vào lớp 10 tỉnh Bến Tre 2012

Cho tam giác nhọn ABC AB AC nội tiếp đường tròn O ; R . Vẽ đường kính AD và đường cao

AH H BC . Từ B và C vẽ BI và CK cùng vuông góc với AD và cắt AD lần lượt tại I và K.

1. Chứng minh rằng tứ giác ABHI và AHKC nội tiếp.

2. Chứng minh: IH // CD.

3. Chứng minh: IHK BAC .4. Cho 0BAC 60 . Tính diện tích của hình giới hạn bởi dây BC và cung nhỏ BC của đường tròn tâm O

theo R.


1. 0AHB AIB 90 ABHI nội tiếp đường tròn

0AHC AKC 90 AHKC nội tiếp đường tròn

2.

IHC BAD HCD IH // CD ®pcm 3. Xét IHK và BAC có:

IKH ACBIHK BAC g - g

HIK ADC ABC

4. 0 0BAC 60 BOC s®BC 120

2 0 2

qu¹t OBC 0

.120S ®vdt

3360

R R

Kẻ OM BC M BC BC = 2MB = 2MC .

OBC cân có 0 0BOC 120 OBC OCB 30

Xét BOM vuông tại M:

0R

OM OB.sinOBM R.sin30 ®v®d2

2

0OBC

1 1 R 3RBC 2BM 2.OB.cosOBM 2.R.cos30 3R S OM.BC . . 3R ®vdt

2 2 2 4

Diện tích hình giới hạn bởi dây BC và cung nhỏ BC là:

22 2

OBCquat OBC

4 3 33S S S ®vdt

3 4 12

R R R

M

K

I

H

D

O

B

C


7/47



Bài 7: Trích đề thi vào lớp 10 trường THPT chuyên Lê Hồng Phong 2015 đề chung

Cho ABC vuông tại A AB AC , đường cao AH. Đường tròn tâm I đường kính AH cắt cạnh AB,

AC lần lượt tại M và N. Gọi O là trung điểm của đoạn BC, D là giao điểm của MN và OA.

1. Chứng minh rằng:

a. AM.AB = AN.AC

b. Tứ giác BMNC là tứ giác nội tiếp2. Chứng minh rằng:

a. ADI AHO

b.1 1 1

AD HB HC

3. Gọi P là giao điểm của BC và MN, K là giao điểm thứ hai của AP và đường tròn đường kính AH.

Chứng minh rằng: 0BKC 90


1a. 1M AHN C gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung AN vµ hai gãc cïng phô gãc CHN Xét ABC và ANM có:

1

A chung AB ACABC ANM g - g AM.AB AN.AC ®pcm

AN AMC M

1b. Xét tứ giác BMNC có: 01BMN C BMN M 180 BMNC néi tiÕp ®êng trßn.

2a. AOH là góc ngoài tại đỉnh O của AOC cân tại O AOH 2C

AMHN là hình chữ nhật I là trung điểm của MN và IA = IH = IM = IN

AID là góc ngoài tại đỉnh I của AIM cân tại I 1AID 2M 2C AOH AID

Xét ADI và AHO có: A chung , AID AOH ADI AHO g - g

2

1

1

K

P

D

N

M

I

H B C

O


8/47



2b.2AD AI AI.AH 2AI.AH AH BH.CH

ADI AHO ADAH AO AO 2AO BC BH CH

1 BH CH 1 1 1

®pcmAD BH.CH AD BH CH

3. BMNC nội tiếp 0BC MNC MBC MBP 180 MBP MNC

0BP ANM MNC ANM 180 1

AKMN là tứ giác nội tiếp 0ANM AKM AKM MKP 180 ANM MKP 2

Từ 1 và 02 MBP MKP MBP ANM 180 BMKP là tứ giác nội tiếp

01 2 1 1K M M C AKB C AKB K 180 AKBC là tứ giác nội tiếp

0BKC BAC 90 ®pcm

Bài 8: Trích đề thi vào lớp 10 tỉnh Phú Thọ 2015

Cho đường tròn O ; R dây DE 2R . Trên tia đối của DE lấy điểm A, qua A kẻ tiếp tuyến AB, ACvới đường tròn O , B, C lµ tiÕp ®iÓm . Gọi H là trung điểm của DE, K là giao điểm của BC và DE.

1. Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp.

2. Gọi I là đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABOC. Chứng minh rằng H thuộc đường tròn I và HA là

phân giác của BHC .

3. Chứng minh rằng:2 1 1

AK AD AE .


1. 0OBA OCA 180

ABOC là tứ giác nội tiếp.

2. 0OHA 90

H I đường kính OA

3. Xét ACD và AEC có:

A chung ACD AEC g - g

ACD AEC

2AD AC AC AD.AEAC AE

Xét ACK và AHC có:

A chungACK AHC g - g

ACK AHC

K H

B

C

I

O

D E


9/47



2AK AC AD.AE 1 AHAC AK.AH AD.AE AK.AH AKAC AH AH AK AD AE

2AH AD + AE2 2AH 2 AD AE 2 1 1

®pcmAK AD AE AK AD.AE AK AD AE

Bài 9: Trích đề thi vào lớp 10 thành phố Hồ Chí Minh 2015

Cho ABC AB AC có ba góc nhọn. Đường tròn tâm O đường kính BC cắt AB, AC lần lượt tại E,

F. Gọi H là giao điểm của BE và CF, D là giao điểm của AH và BC.

1. Chứng minh: AD BC và AH.AD AE.AC

2. Chứng minh EFDO là tứ giác nội tiếp.

3. Trên tia đối của tia DE lấy điểm L sao cho DL = DF. Tính số đo góc BLC ?

4. Gọi R, S lần lượt là hình chiếu của B và C lên EF. Chứng minh: DE + DF = RS.


1. 0

AFC BEC 90 CF AB vµ BE AC H BE CF H lµ trùc t©m cña ABC

AD BC ®pcm .

AC AD

ACD AHE g - gAH AE

AH.AD AE.AC

2. COE 2CFE . BDHF là tứ giác nội tiếp

CFD CBE CFE DFE 2CFE COE DFE

0DOE DFE DOE COE 180

EFDO là tứ giác nội tiếp đường tròn.

3. EFDO là tứ giác nội tiếp EOF EDF

1 1ECF EOF EDF EDF 2ECF2 2

EDF là góc ngoài tại đỉnh D của FDL cân tại D

EDF 2FLD EDF 2FLE FLE ECF CEFL là tứ giác nội tiếp 0L O BLC 90

4. Gọi I CS O BISL là hình chữ nhật BI RS . RS // BI EF // BI BF IE

BCF DCH DEH BEL BF BL BL IE BEL ILE BE // IL

BEIL là hình thang. Lại có: 1 1 1BLI s®BE s®IE s®BE s®BL s®EL EIL2 2 2

DL = DF BI=RSBEIL lµ h×nh thang c©n BI EL DE + DL BI DE + DF RS DE DF

I

S

R

L

D

H

E

F

O

B C


10/47



Bài 10: Trích đề thi vào lớp 10 tỉnh Hải Dương 2015

Cho đường tròn O đường kính AB cố định, đường kính CD thay đổi không trùng với AB. Tiếp

tuyến tại A của đường tròn lần lượt cắt các đường thẳng BC và BD lần lượt tại E và F. Gọi P và Q lần

lượt là trung điểm của đoạn thẳng AE và AF.

1. Chứng minh ACBD là hình chữ nhật.

2. Gọi H là trực tâm của BPQ

. Chứng minh H là trung điểm của OA.3. Xác định vị trí của đường kính CD để BPQ có diện tích nhỏ nhất.


1. Xét tứ giác ACBD có: 0ACB ADB CBD 90 ACBD là hình chữ nhật.

2. OP là đường trung bình của ABE OB // BE BE BF OB BF

Xét BFP có: O OP BA O là trực tâm của BFP OF BP HQ BP OF // HQ

Xét AOF có: AQ = FQ và HQ // OF AH OH H là trung điểm của OA.

3. 0OAP OCP c - c - c OCP OAP 90 CP CD

CP CD0OAQ ODQ c - c - c ODQ OAQ 90 DQ CD CP // DQ

AP = CP ; AQ = DQBPQ

1 1 1S AB.PQ AB. AP AQ AB.2 AP.AQ khi AP AQ CP DQ

2 2 2

CP // DQ ; CP = DQ CPQD là hình bình hành 0OCP = 90 CPQD là hình chữ nhật CD // PQ

PQ AB 2 2 2BPQmax

1 1 1CD AB S AB.2 AP.AQ AB.2 OA 2R.2 R 2R

2 2 2

H

Q P F

E

C

O

B

D


11/47



Bài 11: Trích đề thi vào lớp 10 tỉnh Bình Định 2015

Cho ABC AB AC có ba góc nhọn nội tiếp O ; R . Vẽ đường cao AH của ABC và đường kính

AD của đường tròn O . Gọi E, F lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ C và B xuống đường thẳng

AD. Gọi M là trung điểm của BC.

1. Chứng minh tứ giác ABHF và BMFO nội tiếp.

2. Chứng minh rằng: HE // BC.

3. Chứng minh rằng: ABCAB.AC.BC

S4R

.


1. 0AHB AFB 90 ABHF là tứ giác nội tiếp.

0OMB OFB 90 BMFO là tứ giác nội tiếp.

2.

0AHC AEC 90 AHEC là tứ giác nội tiếp. CHE CAE CAD CBD HE // BD

3. Xét ABH và ADC có:

0

ABH ABC ADCABH ADC g - g

AHB AHC 90

AH AB AB.AC AB.ACAH

AC AD AD 2R

Diện tích của tam giác ABC là:

ABC

1 1 AB.AC AB.AC.BCS AH.BC . .BC

2 2 2R 4R

Bài 12: Trích đề thi vào lớp 10 tỉnh Hưng Yên 2015

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O và AB AC. Vẽ đường kính AD của

đường tròn tâm O. Kẻ BE và CF vuông góc với AD E, F AD . Kẻ AH vuông góc với BC H BC

1. Chứng minh bốn điểm A, B, H, E cùng thuộc một đường tròn.

2. Chứng minh HE // CD.

3. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng: ME = MF.


1. 0AHB AEB 90 ABHE là tứ giác nội tiếp đpcm

2. ABHE nội tiếp cïng bï AEH hai gãc so le trongHED ABH ABC ACD HE // CD ®pcm

M

E

F

D

H

O

BC


12/47



3. Theo quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung 0OM BC OMB 90

Xét tứ giác OMBE có: 0OMB OEB 180

OMBE là tứ giác nội tiếp đường tròn.

OEM OBM hay FEM OBC 1

Xét tứ giác OMFC có: 0OMC OFC 90

OMFC là tứ giác nội tiếp đường tròn.

FO OCM hay MFE OCB 2

Xét OBC cân tại O: OBC OCB 3

Tõ 1 2 vµ 3 MEF MFE

MEF c©n t¹i M ME = MF ®pcm

Bài 13: Trích đề thì vào lớp 10 tỉnh Bình Thuận 2015

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R, D là một điểm tùy ý trên nửa đường tròn

D A ; D B . Các tuyến tuyến với nửa đường tròn tâm O tại A và D cắt nhau tại C, BC cắt nửa

đường tròn O tại điểm thứ hai là E. Kẻ DF vuông góc với AB tại F.

1. Chứng minh: tứ giác OACD nội tiếp.

2. Chứng minh: 2CD CE.CB

3. Chứng minh: đường thẳng BC đi qua trung điểm của DF.

4. Giả sử OC = 2R. Tính diện tích phần tam giác ACD nằm ngoài nửa đường tròn tâm O theo R.


1. 0OAC ODC 180 OACD nội tiếp

2. CD CB

BCD DCE g - gCE CD

2CD CE.CB

3. Gäi M BC DF vµ P BD AC.

CA CD ACD c©n t¹i C CAD CDA

0

0

CAD CPD 90CPD CDP

CDA CDP 90

PCD c©n t¹i C CD = CP CA = CP

Ta - LÐt CA = CP MF BM MD F = MDCA BC CP

BC ®i qua trung ®iÓm cña DF .

M H

F

E

D

O

BC

P

M

F

E C

O B

D


13/47



4. 0OA R 1

cosAOC AOC 60OC 2R 2

2 0AOD 2AOC 0

qu¹t AOD 0

R .120 RAOD 120 S

3360

2 2 2 2 2AODC OAC

1AC OC OA 4R R 3R S 2S 2. OA.OC R. 3R 3R

2

22 2

AODC qu¹t AOD

RDiÖn tÝch cña phÇn ACD n»m ngoµi nöa ®êng trßn: S S S 3R 3 R

3 3

Bài 14: Trích đề thi vào lớp 10 tỉnh Quảng Ninh 2015

Cho đường tròn O ; OA . Điểm C thuộc đoạn thẳng OA C kh¸c O vµ A . Đường thẳng vuông góc

với OA tại C cắt đường tròn O tại D và K. Tiếp tuyến tại D của O cắt OA tại E. Tiếp tuyến tại A

của O cắt DE tại F. Gọi H là giao điểm của FO và DK.

1. Chứng minh tứ giác AFDO và AHOK nội tiếp.

2. Chứng minh rằng: AH // DE.

3. Chứng minh rằng: DH2 = EF.CH


1. 0OAF ODF 180

AFDO nội tiếp đường tròn.

1AKH AOH AOD2

AHOK nội tiếp đường tròn.

2. OF AD tại I

H là trực tâm của AOD

AH OD mà OD DE

AH // DE ®pcm

3. AH // DF và AF // DH

AHDF là hình bình hành

Lại có: AF = DF

AHDF là hình thoi

DH = AH = AF 2AH CH

ACH EAF g - g AH.AF EF.CH DH EF.CH ®pcmEF AF

I

H

F E D

K

O

C


14/47



Bài 15: Trích đề thi vào lớp 10 tỉnh Quảng Bình 2015

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn O . Hai đường cao BD và CE cắt đường tròn

O theo thứ tự tại P và Q P Q ; Q C .

1. Chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp đường tròn.

2. Gọi H là giao điểm của BD và CE. Chứng minh rằng: HP.HB = HC.HQ.

3. Chứng minh rằng: OA DE.


1. 0BDC BEC 90 BCDE nội tiếp đường tròn.

2. Xét BHQ và CHP có:

BHQ CHP BHQ CHP g - g

HBQ HCP

HB HQ HB.HP HC.HQ ®pcmHC HP

3. Gọi I AO DE . Kẻ đường kính AOK của O

IAD CAK CBK (góc nội tiếp cùng chắn cung CK )

BK // CE IAD = CBKCBK BCE IAD BCE

BCDE néi tiÕp BCE BDE IAD BDE

0IAD IDA BDE IDA ADB 90

0 0XÐt AID cã: IDA IAD 90 AID 90 AO DE ®pcm

Bài 16: Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên Thái Bình 2015 đề chung

Cho ABC vuông tại A, đường cao AH. Đường tròn O đường kính AH cắt AB và AC lần lượt tại E

và F. Gọi M là trung điểm của HC.

1. Chứng minh rằng: AE.AB = AF.AC

2. Chứng minh rằng: MF là tiếp tuyến của O đường kính AH.

3. Chứng minh rằng:

HAM HBO .4. Xác định trực tâm của tam giác ABM.


1. 2 2AH AE.AB ; AH AF.AC AE.AB = AF.AC ®pcm

2. 0OFM OHM c - c - c OFM OHM 90 MF OF t¹i F ®pcm

3. AH = 2OH ; CH = 2MH2AH BH.CH AH.2OH = BH.2MH AH.OH = BH.MH

I

K

H

E

D

P

Q

O

B C


15/47



0AH MH ; AHM BHO 90BH OH

AHM BHO c - g - c

HAM HBO ®pcm

4. HK HAM OBH BO // HK

L¹i cã: HK AM BO AM XÐt ABM cã: O AH BO

O lµ trùc t©m cña ABM

Bài 17: Trích đề thi thử vào lớp 10 của trường THCS Tân Trường 2015

Cho đường tròn O dây BC cố định không đi qua tâm, điểm A chuyển động trên cung lớn BC sao

cho ABC nhọn. Đường cao BE và CF của ABC cắt nhau tại H và cắt O lần lượt tại M và N.

1. Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp và MN // EF.2. Vẽ đường cao AD của ABC . Chứng minh rằng H là tâm đường tròn nội tiếp DEF .

3. Đường thẳng qua A vuông góc với EF luôn đi qua một điểm cố định.


1. 0BEC BFC 90 BCEF néi tiÕp.

BEF BCF BCN BMN MN // EF.

2. BDHF và CDFE là các tứ giác nội tiếp FDH FBH FBE FCE ECH EDH

DH lµ ph©n gi¸c cña FDE 1

DFH DBH CBE CFE EFH

FH lµ ph©n gi¸c cña gãc EFD 2

Tõ 1 vµ 2 ®pcm

3.

Gäi d lµ ®¬ng th¼ng qua A EF c¾t O t¹i K

EF // MN 0d EF d MN ANM NAK 90

BCEF lµ tø gi¸c néi tiÕp

FBE ECF hay ABM ACN AM AN

0 0AKN ANM AKN NAK ANM NAK 90 ANK 90

AK lµ ®êng kÝnh cña O d lu«n ®i qua ®iÓm O cè ®Þnh.

K

M

F

E

O

H C B

K

D

H

F

E

M

N

C

B

O


16/47



Bài 18: Trích đề thi thử vào lớp 10 trường THCS Văn Khê Hà Nội 2015

Từ một điểm A nằm bên ngoài đường tròn O ; R vẽ hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn

B, C lµ c¸c tiÕp ®iÓm . Trên cung nhỏ BC lấy điểm M, vẽ MI AB và MK AC I AB , K AC

1. Chứng minh tứ giác AIMK nội tiếp.

2. Vẽ MP BC P BC . Chứng minh rằng: PK MBC.

3. BM cắt BI tại E và CM cắt BK tại F. Tứ giác BCFE là hình gì?

4. Xác định vị trí điểm M trên cung nhỏ BC để tích MI.MP.MK đạt giá trị lớn nhất.


1. 0AIM AKM 180 AIMK néi tiÕp

2. CPMK lµ tø gi¸c néi tiÕp MPK MCK mµ MCK MBC MPK MBC

3. 0BIM BPM 180 BIMP néi tiÕp MPI MBI MCB

0EMF EPF BMC PPI MPK BMC MCB MBC 180 MEPF néi tiÕp

MEF MPK MBC BC // EF BCFE lµ h×nh thang

4. 2 3MI MP

IP MPK g - g MI.MK MP MI.MP.MK MP MP MK

maxmaxMI.MP.MK MP . Gäi H lµ h×nh chiÕu cña O lªn BC. V× BC cè ®Þnh OH = const

MP OH OM MP OM OH R OH. DÊu "=" sÈy ra khi ba ®iÓm O, H, M th¼ng hµng

M lµ ®iÓm chÝnh gi÷a BC

H F

E

P

I

K

C

B

O

M


17/47



Bài 19: Trích đề thi vào lớp 10 Trường THPT chuyên Thoại Ngọc Hầu – An Giang 2013

Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn O . M là một điểm bất kì trên cung nhỏ CD. MB cắt AC

tại E.

1. Chứng minh rằng: 0ODM BEC 180 .

2. Chứng minh rằng: MAB MEC MC.AB MB.EC.

3. Chứng minh rằng: A + MC = MB. 2.


1. 0DOE DME 180 ODME néi tiÕp

0 0ODM OEM 180 ODM BEC 180

2. Xét MAB và MEC có:

AMB EMC

AB MEC g - gABM ECM

MB AB

C.AB MB.EC 1MC EC

3. Suy luận:

A + MC = MB. 2 MA + MC .AB = MB.AB. 2

AC = AB 2 A.AB + MC.AB = MB.AC AC = AE + CE MA.AB + MC.AB = MB.AE + MB.EC MC.AB = MB.EC MA.AB = MB.AE

AB = BC MAE = MBCMA MB

A.BC = MB.AE MAE MBC keyAE BC

Trình bày. Xét MAE và MBC có:

MAE MBC MA AEAE MBC g - g MA.BC = MB.AE

MB BCAME BMC

AB = BC MA.AB = MB.AE 2

Tõ 1 vµ 2

MA.AB + MC.AB = MB.AE + MB.EC MA + MC .AB = MB. AE + EC

AC = AB 2MB.AC

A + MC .AB = MB.AC MA + MC = MA + MC = MB 2AB

E

D C

B

O


18/47



Bài 20: Trích đề thi vào lớp 10 THPT tỉnh Bà Rịa – Vũng Tàu 2015

Cho đường tròn O và một điểm A nằm ngoài O . Dựng cát tuyến AMN không đi qua O, M nằm

giữa A và N. Dựng hai tiếp tuyến AB, AC với O (B, C là hai tiếp điểm và C thuộc cung nhỏ MN).

Gọi I là trung điểm của MN.

1. Chứng minh tứ giác ABOI nội tiếp.

2. Hai tia BO và CI lần lượt cắt O tại D và E (D khác B và E khác C). Chứng minh:

CED BAO.

3. Chứng minh: OI BE.

4. Đương thẳng OI cắt đường tròn tại P và Q I OP ; MN cắt BC tại F ; T là giao điểm thứ hai của

PF và O . Chứng minh ba điểm A, T, Q thẳng hàng.


1. 0ABO AIO 180

ABOI là tứ giác nội tiếp.

2. ABOC là tứ giác nội tiếp

BAO BCO CBD CED

3. ABIC là tứ giác nội tiếp

AIC ABC BEC MN OIBE // MN OI BE

4. Xét CIF và ABF có:

CIF ABFCIF ABF

CFI AFB

FI FCFI.FA FC.FB

FB FA

Xét PCF và BTF có:

CPF TBFPCF BTF

CFP BFT

FC.FB = FI.FAFC FP FI FT FP.FT FC.FB FI.FA FP.FT FT FB FP FA

Xét PIF và ATF có:

0FI FT

FP FA PIF ATF c - g - c ATF PIF 90 AT PT mµ QT PT ®pc

PFI AFT

T

F

P

Q

D

E

I

C

B

O

N


19/47



Bài 21: Trích đề thi vào lớp 10 THPT chuyên Hùng Vương 2015

Cho đường tròn O ; R dây BC 3R cố định. Điểm A di động trên cung lớn BC sao cho ABC

nhọn. Gọi E là điểm đối xứng với B qua AC và F là điểm đối xứng với C qua AB. Các đường tròn

ngoại tiếp ABE và ACF cắt nhau tại K K A . Gọi H là giao điểm của BE và CF.

1. Chứng minh rằng KA là phân giác của BKC và tứ giác BHCK nội tiếp.

2. Xác định vị trí điểm A để diện tích tứ giác BHCK là lớn nhất. Tính diện tích lớn nhất của tứ giác đó

theo bán kính R.

3. Chứng minh AK luôn đi qua một điểm cố định.


1. AKB AEB ABE ACF AFC AKC AK là phân giác của góc BKC

01BKC BAC BOC 602

. AMHN nội tiếp 0 0AN MHN 180 BHC MHN 120

P

I

D

N

M

H

K

F

E

C

O

B


20/47



0BKC BHC 180 BHCK là tứ giác nội tiếp

2. 2BHCK BCH BCK1 1 1 1 1 1

S S S HD.BC KI.BC KP.BC HP.BC HK.BC 2R.BC 3R ®vdt2 2 2 2 2 2

Khi I P D P lµ trung ®iÓm cña BC ABC c©n t¹i A A lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cung lín BC

3. OBKC néi tiÕp. Ta cã: OB = OC BKO CKO KO lµ ph©n gi¸c BKC

Mµ AK lµ ph©n gi¸c cña BKC AK lu«n ®i qua ®iÓm O cè ®Þnh

Bài 22: Trích đề thi vào lớp 10 THPT chuyên Lương Văn Chánh 2013

Cho ABC đều có cạnh bằng 1cm nội tiếp đường tròn O . Đường cao AD của ABC cắt đường

tròn O tại điểm thứ hai là H.

1. Chứng minh tứ giác BOCH là hình thoi.

2. Gọi E CO AB. Tiếp tuyến tại C của O cắt BH tại K. CMR: ba điểm K, D, E thẳng hàng.

3. Tính diện tích phân chung của hình tròn O và tứ giác ABKC.


1. OB AC ; CH AC OB // CH

OC AB ; BH AB OC // BH

OBHC là hình bình hành

Lại có: OB = OC OBHC là hình thoi

2. BKCE là hình chữ nhật. Lại có O D là trung điểm của BC

D là trung điểm của KE đpcm

3.0

AB 2 3 3AH cm OH cm

3 3cos30

2 02

quat OCH 0

.OH .60S cm

18360

2OCH

1 1 1 3 3S CD.OH . . cm

2 2 2 3 12

2ABHC

1 1 2 3 3S AH.BC . .1 cm2 2 3 3

2

ABHC OCHquat OCH

3 3 3S S S S + cm

3 18 12 4 18

K

H

O

E

D C B


21/47



Bài 23: Trích đề thi vào lớp 10 THPT Chuyên Lê Quý Đôn – Ninh Thuận 2013

Cho nửa đường tròn đường kính BC. Gọi A là một điểm trên nửa đường tròn sao cho AB AC . Dựng

về phía tia đối của tai AB hình vuông ACDE. AD cắt nửa đường tròn tại H, BH cắt DE tại K.

1. Chứng minh rằng: CK là tiếp tuyến của nửa đường tròn đường kính BC.

2. Chứng minh rằng: AB = DK.


1. 0 0 0CHK CDK 90 90 180

CHKD là tứ giác nội tiếp

0CKB CDA 45 ; 0CBK CAD 45

BCK vuông cân tại K BC CK

đpcm

2. Xét ABC và DKC có:

AC = DC

ABC DKC ch - cgvBC = KC

AB = DK ®pcm

Bài 24: Trích đề thi vào lớp 10 THPT chuyên Lê Quý Đôn – Ninh Thuận 2013

Cho ba điểm A, B, C cố định nằm trên đường thẳng d B n»m gi÷a A vµ C . Một đường tròn O thay

đổi luôn đi qua A và B. Gọi DE là đường kính của đường tròn O vuông góc với d. CE và CD cắt

đường tròn O lần lượt tại M và N. Khi đường tròn O thay đổi thì hai điểm M và N di động trên

đường cố định nào?


Gäi H DE d HA = HB

H cè ®Þnh. Gäi I DN EM

I lµ trùc t©m CED I d

CIM CDH g - g

CI CMCI.CH CM.CD

CD CH

AMC DBC g - g

CM ACCM.CD AC.BC

BC CD

CI.CH AC.BC

d

B

I

E

D

H C

O

K

H

D

E

C B

A


22/47



0AC.BCCI const I cè ®Þnh IC const. L¹i cã: IMC INC 90CH

M vµ N thuéc ®êng trßn ®êng kÝnh IC cè ®Þnh khi ®êng trßn O thay ®æi.

Bài 25: Trích đề thi vào lớp 10 THPT chuyên toán Lê Quý Đôn – Bình Định 2013

Cho đường tròn O . Từ điểm A nằm bên ngoài đường tròn O vẽ đường thẳng AO cắt đường tròn

O tại B, C BC AC . Qua điểm A vẽ đường thẳng không đi qua O cắt đường tròn O tại D, E

AD AE Đường thẳng vuông góc với AB tại A cắt đường thẳng CE tại F.

1. Chứng minh tứ giác ABEF nội tiếp đường tròn.

2. Gọi M là giao điểm thứ hai FB với đường tròn O . Chứng minh rằng: DM AC.

3. Chứng minh rằng: 2CE.CF AD.AE AC .


1. 0 0 0BAF BEF 90 90 180

ABEF nội tiếp đường tròn.

2. AFB AEB BED BMD

DM // AF DM AC ®pcm

3. Xét ACF và ECB có:

CAF CEBACF ECB g - g

ACF chung

AC CFCE.CF AC.BC

CE CB

Xét ABE và ADC có:

CAD chungABE ADC g - g

AEB ACD

AB AEAD.AE AC.AB

AD AC

2CE.CF AD.AE AC.BC AC.AB AC ®pcm

Bài 26: Trích đề thi vào lớp 10 THPT chuyên Lê Hồng Phong – Hồ Chí Minh 2013

Từ một điểm A nằm bên ngoài đường tròn O vẽ các tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến AEF

EF kh«ng ®i qua O, B vµ C lµ c¸c tiÕp ®iÓm . Gọi D là điểm đối xứng với B qua O. DE, DF lần lượt

cắt OA tại M và N. Chứng minh rằng:

1. CEF CMN 2. OM ON.

I

F

E

C B O

D


23/47



1. ABOC là tứ giác nội tiếp CAN CBD CFN ACNF lµ tø gi¸c néi tiÕp CFE CNM

CEM = CFNCAM CBD CEM ACME lµ tø gi¸c néi tiÕp CME CNF CME CNF

CFE = CNMCE NCF MCE MCF NCF MCF ECF NCM CFE CMN

2. CMND lµ h×nh thang c©n CNM DMN mµ CNM BCM DMN BNM NB // MD

NB = NC = MD BMDN lµ h×nh b×nh hµnh OM = ON ®pcm

Bài 27: Trích đề thi vào lớp 10 THPT chuyên Hạ Long – Quảng Ninh

Cho đường tròn O đường kính AB cố định, đường kính CD thay đổi CD AD . Các tia BC, BD

cắt tiếp tuyến của đường tròn O tại A lần lượt ở E và F.

1. Chứng minh rằng: Tứ giác CDFE nội tiếp.

2. Khi CD thay đổi tìm giá trị nhỏ nhất của EF theo R.

3. Đường tròn đi qua ba điểm O, D , F và đường tròn đi qua ba điểm O, C, E cắt nhau ở G G O .

Chứng minh rằng ba điểm B, A, G thẳng hàng.


1. 0EFD BCD ECD EFD ECD BCD 180 CDFE lµ tø gi¸c néi tiÕp.

2. 2EF AE AF 2 AE.AF 2 AB 4R khi AE = AF = 2R ABCD h×nh vu«ng CD AB

3. 0ODFG lµ tø gi¸c néi tiÕp DFG GOD 180 ; COGE lµ tø gi¸c néi tiÕp CEG COG 180

0CEG DFG 180 BEGF néi tiÕp BGF BEF BAC BDC OGF ®pcm

N

D

F

C

B

O

E


24/47



Bài 28: Trích đề thi vào lớp 10 THPT chuyên Bắc Ninh 2013

Cho nửa đường tròn đường kính BC, trên nửa đường tròn lấy điểm A A B ; A C . Kẻ AH BC

H BC . Trên AC lấy điểm D bất kì D A ; D C , đường thẳng BD cắt AH tại I. CMR:

1. IHCD là tứ giác nội tiếp 2. 2AB BI.BD

3. Tâm đường tròn ngoại tiếp AID luôn nằm trên đường thẳng cố định khi D thay đổi trên AC


1. 0IHC IDC 180 IHCD lµ tø gi¸c néi tiÕp

2.

ABD chung ; ADB = IAB

ABD IBA g - g

2AB BD

AB BI.BD ®pcmBI AB

3. BAI ADI AB là tiếp tuyến của đường

tròn ngoại tiếp AID mà AB AC tại A

Tâm đường tròn ngoại tiếp AID nằm trên

đường thẳng AC cố định.

HÌNH 27

G

E F

D

B

O

C

O

I

H B C

D


25/47



Bài 29: Trích đề thi vào lớp 10 THPT chuyên Vĩnh Phúc – 2013

Cho đường tròn O và điểm M nằm ngoài O . Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA, MC tới đường tròn O

A, C lµ c¸c tiÕp ®iÓm . Từ M kẻ cát tuyến MBD B n»m gi÷a M vµ D, MBD kh«ng ®i qua O . Gọi H

là giao điểm của OM và AC. Từ C kẻ đường thẳng song song với BD cắt đường tròn O tại E

E C . Gọi K là giao điểm của AE và BD. Chứng minh rằng:

1. Tứ giác OAMC nội tiếp 2. K là trung điểm của BD. 3. AC là phân giác của BHD.


1. 0MCO MAO 180 OAMC lµ tø gi¸c néi tiÕp.

2. 01

AKM AEC AOC AOM AKOM lµ tø gi¸c néi tiÕp OKM OAM 902

OK BD K lµ trung ®iÓm cña BD

3. 2 2AM MH.MO ; MAB MDA g - g AM MB.MD MH.MO MB.MD

MB MO

BH MOD g - g MHB ODB OBD OHD AHB AHDMH MD

AC lµ ph©n gi¸c cña gãc BHD

K

E

H

D

C

O

B


26/47



Bài 30: Trích đề thi vào lớp 10 THPT chuyên Vĩnh Phúc 2013 – Toán chuyên

Cho ABC nhọn, AB AC . Gọi D, E, F lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ A, B, C. Gọi P

là giao điểm của đường thẳng BC với EF. Đường thẳng qua D song song với EF lần lượt cắt các đường

thẳng AB, AC, CF tại Q, R, S. Chứng minh rằng:

1. Tứ giác BQCR nội tiếp

2.BP DB

PC DC và D là trung điểm của QS

3. Đường tròn ngoại tiếp PQR đi qua trung điểm của BC


1. BQR AFE BCR BQCR lµ tø gi¸c néi tiÕp.

2. BP FP

BFP AFE BCE BHD BED FB lµ ph©n gi¸c PFD cña DFP BD FD

FP PC BP PC PB DBFC lµ ph©n gi¸c ngoµi cña ®Ønh F cña DFP

FD DC BD DC PC DC

QR // EF theo Thales DQ BD DS CD BD CD DQ DS

; mµ DQ = DS ®pcmFP BP FP CP BP CP FP FP

3. PB DB

DB.PC DC.PB DB DP DC DC. DP DB 2DB.DC DP DC DBPC DC

2DB.DC DP.2DM DB.DC DP.DM . BDQ RDC DB.DC DR.DQ

DM DQ

DP.DM DR.DQ DPQ DRM g - c - g QPM MRQDR DP

PQMR néi tiÕp ®pcm

M

H

S

Q

R

P

D

E

F

C

B


27/47



Bài 31: Trích đề thì vào lớp 10 THPT chuyên Vĩnh Phúc – 2013 chuyên tin

Cho ABC AB AC nội tiếp đường tròn O . D là điểm đối xứng với A qua O. Tiếp tuyến với O

tại D cắt BC tại E. Đường thẳng DE lần lượt cắt các đường thẳng AB, AC tại K, L. Đường thẳng qua A

song song với EO cắt DE tại F. Đường thẳng qua D song song với EO lần lượt cắt AB, AC tại M, N.

CMR:

1. Tứ giác BCLK nội tiếp.

2. Đường thẳng EF tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp BCF

3. D là trung điểm của đoạn MN.


1. 01

CLK ABC s®AC CBK CLK CBK ABC 180 BCLM lµ tø gi¸c néi tiÕp.2

2.

BED chung ; CED = DBE DE = EFDE CE EF CE

CDE DBE g - g BEF FECBE DE BE EF

CFE CBF ®pcm

3. KÎ CH // OE H AB ; OP BC P BC BP CP.

0OPE ODE 90 OEDP lµ tø gi¸c néi tiÕp IDP OEP ICP CIPD lµ tø gi¸c néi tiÕp

BP = CP HÖ qu¶ ®Þnh lÝ Ta - lets IH AI ICIPC IDC ADC ABC IP // BH IH ICDM AD DN

IH IC DM DN D lµ trung ®iÓm cña MN

P

I H

N

M

F

K

L

E

D

O

B

C


28/47



Bài 32: Trích đề thì vào lớp 10 THPT Chuyên Nguyễn Chí Thanh – ĐẮC NÔNG 2013

Cho đường tròn O ; R . Từ một điểm S nằm bên ngoài đường tròn vẽ hai tiếp tuyến SA, SB với

đường tròn O A, B lµ c¸c tiÕp ®iÓm và cát tuyến Sx cắt đường tròn lần lượt tại M và N.

1. Chứng minh rằng: SO AB.

2. H SO AB , I là trung điểm của MN. Hai đường thẳng OI và AB cắt nhau tại E. CMR:

2OI.OE R .

3. Biết SO = 2R, N R 3 . Tính ESMS ?


1. SAB cân tại S SO là phân giác

đồng thời là đường cao SO AB.

2. OHE OIS g - g

OE OHOI.OE OH.OS

OS OI

Mà 2 2OH.OS OA R

2OI.OE R ®pcm

3.2

2 2 2 3R ROI OM IM R4 2

22 R

mµ OI.OE R OE 2ROI

R 3RIE OE OI 2R

2 2

22 2 2 R 15RIS OS OI 4R

4 2

2

ESM

3R 5 1 3R 5 1 3 3 5 1 R1 1 3RSM SI IM S IE.MS . . ®vdt

2 2 2 2 2 8

Bài 33: Trích đề thì vào lớp 10 THPT chuyên Nguyễn Bĩnh Khiêm – Vĩnh Long 2013

Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn O . Vẽ các đường cao BE và CF của ABC. Gọi H

là giao điểm của BE và CF. Kẻ đường kính BK của đường tròn O . Chứng minh rằng:

1. Tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn. 2. Tứ giác AHCK là hình bình hành.

3. Đường tròn đường kính AC cắt BE tại M, đường tròn đường kính AB cắt CF tại N. Chứng minh

rằng: AM = AN.

E

H

N

B

S O


29/47




1.

0BEC BFC 90 BCEF néi tiÕp

2. AH BC ; CK BC AH // CK CH AB ; AK AB CH // AK

AHCK lµ h×nh b×nh hµnh. 3. AMF ACF ABM

ABM AMF g - g

2AM AB AM AF.ABAF AM

ANE ABE FBE ECF ACN

ACN ANE g - g

2AN AC AN AE.ACAE AN

AE AF

AFE ACB AEF ABC g - g AF.AB AE.AC AM AN ®pcmAB AC

Bài 34: Trích đề thi vào lớp 10 THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt – Kiên Giang 2013

Cho đường tròn O đường kính AB, M là điểm thuộc cung AB, I thuộc đoạn thẳng OA. Trên nửa mặt

phẳng bờ là AB chứa điểm M kẻ hai tiếp tuyến Ax, By với O . Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với

IM cắt Ax tại C. Qua I kẻ đường thẳng vuông góc với IC cắt By tại D. Gọi E là giao điểm AM, IC và Flà giao điểm của ID và MB.

1. Chứng minh tứ giác ACMI và tứ giác MEIF nội tiếp.

2. Chứng minh EF // AB.

3. Chứng minh ba điểm C, M, D thẳng hàng.

4. Chứng tỏ rằng hai đường tròn ngoại tiếp CME và MFD tiếp xúc nhau.


1.

0 0IAC IMC 180 AIMC néi tiÕp ; EIF EMF 180 MEIF néi tiÕp.

2. FE MIC MAC MBA EF // AB

3. 0MID MBD BIMD néi tiÕp IMD 90 MD IM mµ CM IM ®pcm

4. Gọi J và K lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp CME và DM F và I OM EF

00IKM KMF 90 mµ IKM IDM IBM OMB OMB KMF 90 OM tiÕp tuyÕn cña K

T¬ng tù: OM lµ tiÕp tuyÕn cña J J, M, K th¼ng hµng JK JM KM ®pcm

H

K E

F O

B C


30/47



Bài 35: Trích đề thi vào lớp 10 THPT chuyên Tiền Giang – 2013

Cho ABC cân tại A cố định nội tiếp đường tròn O ; R . M là một điểm di động trên đoạn thẳng BC

M B ; M C

. Vẽ đường tròn tâm O qua M và tiếp xúc với AB tại B. Vẽ đường tròn tâm E qua Mvà tiếp xúc với AC tại C. Gọi N là giao điểm thứ hai của D và E . Chứng minh rằng:

1. N O ; R và A, M, N thẳng hàng.

2. 2 2MB.MC R OM

3. Xác định vị trí điểm M để tích MA.MN đạt giá trị nhỏ nhất.

4. Gọi I là trung điểm của BE. Chưng minh rằng: IBCS const.


1.

0BAC ABC ACB 180 0BNM ABC ; CNM ACB BAC BNC 180 ABNC néi tiÕp N O

BNM ANB Ba ®iÓm A, M, N th¼ng hµng.

2. Qua M kÎ ®êng th¼ng vu«ng gãc víi OM c¾t O t¹i P vµ Q MP MQ.

AMC BMN g - g MB.MC MA.MN ; AMQ PMN g - g MA.MN MQ.MP

2 2 2 2 2 2 2MP.MQ MQ OQ OM R OM MB.MC R OM ®pcm

I

K

J

F E

D

C

BO I


31/47



3. 2 2 maxminA.MN R OM MA.MN OM R M B hoÆc M C

4. KÎ ®êng kÝnh AOK cña O

Gäi H AK BC

DB ABB, D, K th¼ng hµng

KB AB

EC AC C, E, K th¼ng hµngKC AC

EMC ECM KBC ME // DK

DMB DBM KCB MD // EK

MEKD lµ h×nh b×nh hµnh

IM KM

Gäi F lµ trung ®iÓm cña HK

1IF // BC ; FH FK HK

2

IBC KBC

1S S const

2

Bài 36: Trích đề thì vào lớp 10 THPT chuyên Quang Trung – Bình Phước 2013

Cho ABC AB AC nhọn nội tiếp đường tròn O . Các tiếp tuyến tại B và C của O cắt nhau tại

E. AE cắt đường tròn O tại D D A . Kẻ đường thẳng d qua E và song song với tiếp tuyến tại A

của O d cắt cạnh AB, AC lần lượt tại P, Q. Gọi M là trung điểm của BC. Đường thẳng AM cắt O

tại N N A . Chứng minh rằng:

1. 2BA CA

EB ED.EA vµ .BD CD

2. §êng trßn ngo¹i tiÕp ABC, EBP, ECQ cïng ®i qua mét ®iÓm.

3. E lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c BCQP.

4. Chøng minh tø gi¸c BCND lµ h×nh thang c©n.


1.

AEB chung ; BAE = EBD 2EB EA

ABE BDE g - g EB ED.EAED EB

BA BE CA CE BE CE BA CA

ABE BDE ; ACE CDE g - g mµBD DE CD DE DE DE BD CD

2. 0BPE AB ADB BDE BPE 180 BDEP lµ tø gi¸c néi tiÕp x

F

H

K

I

Q

P

N

E

D

A

O

BC


32/47



0CQE yAC ADC CQE CDE 180

CDEQ lµ tø gi¸c néi tiÕp.

Ba ®êng trßn cïng ®i qua D ®pcm

3. ABE BDE EBP EPB

BEP c©n t¹i E EB EP

ACE CDE ECQ EQC

ECQ c©n t¹i E EC EQ

EP EB EC EQ ®pcm

4.AB BC 2BM

ABC AQP AQ QP 2QE

ABM = AQEAB BM AMB AEQAQ QE

BAM QAE hay BAN CAD

BAD CAN BD CN BCD CDN BC // ND

BAN CAD BCN CBD BC // ND vµ BCN = CBD BCND lµ h×nh thang c©n.

Bài 37: Trích đề thi vào lớp 10 THPT chuyên Lê Quý Đôn Bà Rịa – Vũng Tàu 2013

Cho ABC không cân nội tiếp đường tròn O ; R . Tia phân giác BAC cắt tia phân giác ABC tại I,

cắt cạnh BE ở E và cắt đường tròn O ; R ở M M A . Chứng minh rằng:

1. M là tâm đường tròn ngoại tiếp IBC.

2. Đường vuông góc với AE tại E cắt cung BIC của đường tròn ngoại tiếp BIC tại H.

Chứng minh rằng: 2ME.MA MH

3. Hai điểm P và Q lần lượt di động trên tia OA và OI sao cho OP + OQ = 2R. CMR khi P thay đổi

trên OA và Q thay đổi trên OI thì trung điểm J của PQ luôn chạy trên một đường thẳng cố định.


1. Gọi F BI O . BAM CAM BM CM MB MC

1 1 1 1BIM IAB IBA CAM CBF s®CM s®CF s®MCF ; IBM s®MCF BIM IBM2 2 2 2

BIM c©n t¹i M MB MI MC M lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp BIC

x

Q

P

D

E

O

B C


33/47



2. BEM ABM g - g

2ME MB E.MA MBMB MA

MB = MH 2ME.MA MH ®pcm

3. Gäi N O O x . Gi¶ sö OP OQ.

OP OQ OA AP ON NQ 2R AP NQ

KÎ PK // O K AN . APK c©n t¹i P x

PA PK PK NQ

KJP NJQ c - g - c

KJP NJQ

0KJP NJP NJQ NJP 180

Ba ®iÓm K, J, N th¼ng hµng J ch¹y trªn ®êng th¼ng AN cè ®Þnh.

Bài 38: Trích đề thi vào lớp 10 THPT chuyên BÀ RỊA – VŨNG TÀU 2013 (không chuyên)

Cho đường tròn O ; R và điểm C nằm ngoài đường tròn. Đường thẳng CO cắt đường tròn tại hai

điểm A và B A n»m gi÷a C vµ O . Kẻ tiếp tuyến CM với đường tròn M lµ tiÕp ®iÓm . Tiếp tuyến của

đường tròn O tại A cắt CM tại E và tiếp tuyến của đường tròn O tại B cắt CM tại F.

1. Chứng minh rằng tứ giác AOME nội tiếp đường tròn.2. Chứng minh: AOE OMB và CE.MF = CF.ME.

3. Tìm điểm N trên đường tròn O N M sao cho NEF có diện tích lớn nhất. Tính diện tích lớn

nhất đó theo R biết 0AOE 30 .


1. 0OAE OME 180 AOME lµ tø gi¸c néi tiÕp ®êng trßn.

2. AOE MOE MAE ABM OMB

AE = AF ; BF = FMCE AEACE BCF CE.BF AE.CF CE.MF ME.CFCF BF

3. NEF NEF maxmax1

KÎ NH CF H CF S NH.EF S NH 2R2

DÊu "=" sÈy ra khi M, O, N th¼ng hµng. 0 03R

AE R.tan30 ; BF R.tan60 3R3

x

K

J

Q

H

F

E

O

B C

P


34/47



NEFmax

3R 4 3R 1 1 4 3R 4 3REF ME MF AE BF 3R S MN.EF .2R.

3 3 2 2 3 3

Bài 39: Trích đề thì vào lớp 10 THPT chuyên Lương Thế Vinh – Đồng Nai 2013

Cho đường tròn O có đường kính AB = 2R. Lấy điểm C thuộc đường tròn tâm O C A ; C B .

Lấy điểm D thuộc cung nhỏ BC của O D B ; D C . Tiếp tuyến của O tại B cắt AC và AD

theo thứ tự tại M và N. Chứng minh rằng:1. CDNM là tứ giác nội tiếp. 2. AD.AM = AC.AN = 4R 2

3. Vẽ đường kính CE của O và đường kính CF của tứ giác nội tiếp CDNM. Chứng minh rằng ba

điểm D, E, F thẳng hàng.


1. 0CMN ABC ADC CMN CDN 180

Tø gi¸c CDMN néi tiÕp.

2.

CAD chung ; ADC = AMN ACD ANM g - g

2 2AC AD AD.AN AC.AM AB 4RAN AM

3. DE CD ; DF CD ®pcm

BÀI 38

N max

H E F

B

O

C

N

F

E

N

A

O

B

C

D


35/47



Bài 40: Trích đề thi vào lớp 10 THPT chuyên Nguyễn Du – ĐĂK LĂK 2013

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi C là điểm chính giữa của cung AB, M là điểm bất kì

trên cung AC. Tia phân giác COM cắt BM ở D. Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên cung AC

thì điểm D thuộc một đường tròn cố định.


1CBM COD COM hay CBD COD2

OBCD lµ tø gi¸c néi tiÕp

0L¹i cã: BOC 90

OBCD néi tiÕp ®êng trßn ®êng kÝnh BC

®pcm

Bài 41: Trích đề thi vào lớp 10 THPT chuyên Thăng Long – Lâm Đồng 2013

Cho ABC cân tại A nội tiếp đường tròn O . Trên tia đối của tia AC lấy điểm D, trên tia đối của tia

BA lấy điểm E sao cho AD = BE. Chứng minh tứ giác DAOE là tứ giác nội tiếp.


0

0

OAC OAD 180

OAC OAB OBA OAD OBE

OBA OBE 180

Xét AOD và BOE có:

AD BE

OAD OBE AOD BOE c - g - c

OA OB

ODA OEB hay ODA OEA

AOED là tứ giác nội tiếp đường tròn

D

C

O B

M

E

O

B C

D


36/47



Bài 42: Trích đề thi vào lớp 10 THPT chuyên Thăng Long – Lâm Đồng 2013

Cho đường tròn O đường kính AB. M là một điểm nằm trên đường tròn M A ; M B kẻ

MH AB tại H. Đường tròn M ; MH cắt O tại C và D. Đoạn CD cắt MH tại I. CMR: IM = IH.


Kẻ đường kính MON MN CD

Xét CMN vuông tại C:2MC MK.MH 2MK.OM

I MKMIK MOH

OM MH

2 2MK.OM MI.MH MC MH 2MI.MH

MH 2MI IM IH

Bài 43: Trích đề thi vào lớp 10 THPT chuyên tin Trần Hưng Đạo – Bình Thuận

Cho đường tròn O ; R đường kính AC. Trên bán kinh OA lấy điểm B tùy ý B O ; B A . Vẽ

đường tròn N đường kính AB. Gọi M là trung điểm của BC. Qua M vẽ dây cung DE vuông góc với

BC, AD cắt N tại I.

1. Chứng minh:

a. Tứ giác BMDI nội tiếp.

b. Ba điểm I, B, E thẳng hàng.

c. MI là tiếp tuyến của N

2. Đường tròn D ; DM cắt O tại P và Q. Chứng minh rằng PQ đi qua trung điểm đoạn thẳng MD.


1a. 0 0 0BMD BID 90 90 180 BMDI nội tiếp đường tròn

1b. BDCE là hình thoi BI ADBE // CD mµ CD AD BE AD ®pcm

1c. 0 0AIN DIM IAN IDM 90 MIN 90 MI NI t¹i I ®pcm

2. KÎ ®êng kÝnh DK c¾t PQ t¹i F DK PQ. Gäi H DM PQ

K

N

I

D

C

H O B


37/47



XÐt DPK vu«ng t¹i P:

2DP DF.DK 2DF.OD 1

DH DF

DHF DOM g - gOD DM

DF.OD DH.DM 2

Tõ 1 vµ 2 2

DP 2DH.DM DP = DM 2DM 2DH.DM

DM 2DH ®pcm

Bài 44: Trích đề thi vào lớp 10 THPT chuyên Lê Quý Đôn – Khánh Hòa 2013

Cho đường tròn O ; 3cm có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Gọi M là điểm tùy ý

trên đoạn OC M O ; M C . Tia BM cắt O tại N.

1. Chứng minh rằng: AOMN là tứ giác nội tiếp.

2. ND là phân giác của ANB.

3. Tính BM.BN ?

4. Gọi E và F lần lượt là hai điểm thuộc AC và AD sao cho M là trung điểm của EF. Nếu cách xác

định điểm E, F và chứng minh rằng tổng (AE + AF) không phụ thuộc vào vị trí điểm M.


1. 0 0 0AOM ANM 90 90 180

AOMN lµ tø gi¸c néi tiÕp

2. 0 01 1

AND s®AD 45 ; BND s®BD 452 2

ND lµ ph©n gi¸c cña ANB

3. ABN MBO BM.BN OB.AB 18cm

BM.BN 18 3 2cm

4. X¸c ®Þnh E, F: Dùng M ; MA

BCE BDF cgv - gnhän CE DF

AE AF AC AD 2AC 6 2 const

®pcm

F

K

H

P

Q

I

E

D

M N A O C B

E

F

N

D

C

O B

M


38/47



Bài 45: Trích đề thi vào lớp 10 THPT chuyên Lương Văn Chánh – Phú Yên 2013

Cho đường tròn O đường kính AB cố định. Một đường thẳng a tiếp xúc với O tại A. Gọi M là

một điểm thuộc đường tròn O M A ; M B . Tiếp tuyến của đường tròn O tại M cắt a tại C.

Gọi I là tâm đường tròn tiếp xúc với a tại C và đi qua M. Giả sử CD là đường kính của đường tròn tâm

I. Gọi J là giao điểm của OC và đường tròn I . Chứng minh rằng:

1. J là trung điểm của đoạn thẳng OC.

2. Đường thẳng đi qua D vuông góc với BC luôn đi qua một điểm cố định khi M thay đổi trên O


1. CM MD ; CM OM O, M, D th¼ng hµng.

CD a ; AB a CD // AB DCO AOC

mµ AOC DOC DCO DOC

COD c©n t¹i D ®pcm

2. Gäi F lµ trung ®iÓm cña OA vµ E DF CB.

JF // AC JF AB DJF BOC bï JOF

JD OJ OC OC

OJD OFJ g - gJF OF OA OB

XÐt OBC vµ JFD cã:

BOC DJF OBC FJD c - g - cOC JD

OB JF

JCE JDE CDEJ lµ tø gi¸c néi tiÕp

0CED CJD 90 FD BC

Vậy khi M thay đổi trên O thì đường thẳng đi qua

D vuông góc với BC luôn đi qua trung điểm F của

OA cố định.

a

E

F

J

D I C

O B


39/47



Bài 46: Trích đề thi vào lớp 10 THPT chuyên Lê Quý Đôn – Bình Định 2013

Cho ABC đều nội tiếp O . Một đường thẳng thay đổi luôn đi qua A cắt hai tiếp tuyến tại B và C

của O tương ứng tại M và N. Giả sử cắt O tại E E A vµ E thuéc cung lín BC . Đường

thẳng MC cắt BN tại F. Chứng minh rằng:

1. ACN MBA ; MBC BCN. 2. BMEF nội tiếp đường tròn

3. EF luôn đi qua điểm cố định khi thay đổi lu«n ®i qua A


1. 0 01 1

ACN ABM s®AB s®AC 60 ; ABM BAC 60 MB // AC CAN BMA

2 2

ACN = ABM ; CAN = BMACN AC CN BC

ACN MBA g - gAB BM CB BM

0L¹i cã: MBC BCN 120 MBC BCN c - g - c

2. 0 0 0BC BCN BMF CBN mµ CBN MBF 120 BMF MBF 120 MFB 60

01EB AEB s®AB 60 MFB MEB BMEF néi tiÕp ®êng trßn.2

3.

BEI = IBF ; BIE chung 2IB IE

BIE FIB g - g IB IE.IF 1IF IB

BIE FIB IBE IFB hay CBE NFE mµ CBE NCE NCE NFE CNEF néi tiÕp.

CIE chung ; IEC = ICF 2IC IE

CIE FIC g - g IC IE.IF 2IF IC

Tõ 1 vµ 2 IB IC I lµ trung ®iÓm cña BC EF lu«n ®i qua trung ®iÓm I cña BC cè ®Þnh

I

F

M N

B

C

O

E


40/47



Bài 47: Trích đề thi vào lớp 10 THPT chuyên toán Tuyên Quang 2013

Cho đường tròn O ; R và dây cung BC. Điểm A di động trên cung lớn BC sao cho điểm O luôn nằm

trong ABC . Các đường cao AD, BE, CF đồng quy tại H. Chứng minh rằng:

1. AEF ABC.

2. Kẻ đường kính AK của O ; R . Chứng minh rằng: BHKC là hình bình hành.

3. Gọi A’ là trung điểm của BC. Chứng minh: AH = 2OA’.4. Gọi A1 là trung điểm cua EF. Chứng minh: R.AA1 = AA’.OA’.


1. BCEF là tứ giác nội tiếp AFE ACB

AEF ABC g - g

2. BH AC ; CK AC BH // CK 1

BK AB ; CH AB

BK // CH 2

Tõ 1 vµ 2 BHKC lµ h×nh b×nh hµnh.

3. OA' lµ ®êng trung b×nh AHK

AH 2OA' ®pcm

4. Gäi I lµ trung ®iÓm cña AH

I lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp AEF

1AA AI OA'

AEF ABC AA' AO AO

1R.AA AA'.OA' ®pcm

Bài 48: Trích đề thi vào lớp 10 THPT chuyên Lê Khiết – Quảng Ngãi 2013

Cho điểm A nằm bên ngoài đường tròn O ; R . Từ A kẻ đường thẳng d bất kì không đi qua O cắt

O tại B, C AB AC . Các tiếp tuyến của O tại B và C cắt nhau tại D. Kẻ DH AO tại H. DH

cắt cung nhỏ BC tại M. Gọi I là giao điểm của DO và BC. Chứng minh rằng:

1. Ngũ giác DBHOC và tứ giác DIHA nội tiếp.2. AM là tiếp tuyến của O

3. Tích HB.HC không đổi khi d quay quanh A.


I

1

'

K

H

D

E

F

O

B C


41/47



1. 0OHD OBD OCD 90

BHOCD là ngũ giác nội tiếp

0AHD AID 90

AHID là tứ giác nội tiếp

2. AIO DHO g - g

OA OI OH.OA OI.ODOD OH

Mà 2 2OI.OD OB OM 2OH.OA OM

OMA vuông tại M

®pcm

3.

HAB = OCH ; ABH = COH 2HB HA

ABH COH g - g HB.HC OH.OA MA const

HO HC

Bài 49: Trích đề thi vào lớp 10 THPT chuyên toán (chung) Lê Khiết – Quảng Ngãi

Cho ABC có ba góc nhọn AB AC và đường tròn O ; R nội tiếp tam giác đó. Tiếp tuyến tại A

của O ; R cắt đường thẳng BC tại điểm M. Kẻ đường cao AH của ABC .

1. Chứng minh rằng: BC 2R.sinBAC

2. Điểm N di động trên cạnh BC N B ; N C . Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của N lên

cạnh AB, AC. Xác định vị trí điểm N để độ dài đoạn EF ngắn nhật.

3. Đặt BC = a, AC = b, AB = c. Tính độ dài đoạn thẳng MA theo a, b, c.

4. Các tiếp tuyến tại B và C của O ; R cắt đường thẳng MA lần lượt tại P và Q. Chứng minh rằng

HA là tia phân giác của PHQ.

I

H

D

C

O

B

P'

Q'

K

L

I

Q P

E

F H

O

A

B

C

N


42/47




1. Kẻ đường kính COK. BCK vuông: BKC = BACBC CK.sinBKC BC 2R.sinABC ®pcm

2. Gọi I là trung điểm của AN. Tứ giác AENF nội tiếp đường tròn I đường kính AN

Kẻ EIL = ABC ; 2IE = ANIL EF L EF EF 2EL 2.IE.sinEIL EF AN.sinBAC

min minEF AN AH . Vậy minEF khi N H.

3. 2 2 2

MAB MAB MAB2 2 2 2 2

MCA MCA MAB ABC

S S SAB c c c cMAB MCA g - g

AC b S S S Sb b c b c

2 2 2

2 2 2 2 2 2

1AH.MB

c MB c ac2 MB1 ab c b c b cAH.BC2

. Ta có: 2MA MB.MC MB. MB BC

22 2 2 22

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

ac ac ac ab abc abcMA . a . MA

b c b c b c b c b c b c

4. PB = PA ; QC = QABP PP' PA

KÎ PP' BC ; QQ' BC. BPP' CQQ' g - gCQ QQ' QA

PA P'H P'P P'HTa cã: PP' // AH // QQ' PP'H QQ'H HPP' HQQ'QA Q'H Q'Q Q'H

HPP' = PHA ; HQQ' = QHA PHA QHA HA lµ ph©n gi¸c cña gãc PHQ.

Bài 50: Trích đề thi vào lớp 10 THPT chuyên Lào Cai 2013

Cho đường tròn O ; R hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Trên đoạn AB lấy điểm M

M O ; M A ; M B . Đường thẳng CM cắt đường tròn O tại điểm thứ hai là N. Đường thẳng

vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến tại N của đường tròn O tại P. Chứng minh rằng:

1. Tứ giác OMNP nội tiếp đường tròn.

2. Tứ giác CMPO là hình bình hành.

3. Tính CM.CN = const.

4. Khi M di chuyển trên đoạn thẳng AB thì điểm P chạy trên một đường thẳng cố định.


1. 0OMP ONP 90 OMNP néi tiÕp ®êng trßn ®êng kÝnh OP.

2. OC // NP NOP NMP OCN ONC MC // OP CMPO lµ h×nh b×nh hµnh.

3. 2OC CM

COM CND g - g CM.CN OC.CD R.2R 2R CM.CN constCN CD


43/47



4.

0

MP // OD

P OD OMPD lµ h×nh ch÷ nhËt.

MOD 90

MP R P nằm trên đường thẳng song song

với AB và cách AB một khoảng cố định bằng R.Giới hạn:

A P H ; M B P K

Kết luận:

Vậy khi M di chuyên trên đoạn thẳng AB thì P di chuyển

trên đường thẳng d không đổi song song với AB và cách

AB một khoảng bằng R.

Bài 51: Trích đề thi vào lớp 10 THPT chuyên Hà Tĩnh 2013

Cho ABC AB AC và AH BC tại H. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu vuông góc của H lên

AB và AC. Đường thẳng BE cắt tia CB tại S.

1. Chứng minh rằng: ADHE và BCED là tứ giác nội tiếp.

2. Đường thẳng SA cắt đường tròn đường kính AH tại M M A . Các đường thẳng BM và AC cắt

nhau tại F. Chứng minh rằng: 2FA.FC SB.SC SF .


1. 0 0ADH AEH 90 ADH AEH 180 ADHE lµ tø gi¸c néi tiÕp.

0BCE AHE ADE BCE BDE ADE BDE 180 BCED lµ tø gi¸c néi tiÕp.

N

F

M

S

E

D

H B C

d

K H P

N

D

C

O

B

M


44/47



2.

s®AEH s®MDH s®AMDH s®MDH 1BSM s®MA MDA BDMS lµ tø gi¸c néi tiÕp.2 2 2

FA FM

AMF BMS BDS C FAM FBC g - g FA.FC FM.FB 1FB FC

ASC chung ; BMS = CSB SM

SBM SAC g - g SB.SC SM.SA 2SA SC

Dùng ®iÓm N trªn c¹nh FS sao cho FMN FSB F N FSB g - g FM.FB FN.FS 3

SBM = MAC0 0BMNS lµ tø gi¸c néi tiÕp SNM SBM 180 SNM MAC 180

0mµ MAC SAF 180 SNM SAF SMN SFA g - g SM.SA SN.SF 4

Tõ 1 2 3 vµ 4 2FA.FC SB.SC FN.FS SN.SF SF FN SN SF ®pcm

Bài 52: Trích đề thi vào lớp 10 THPT chuyên Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2013 vòng 1

Cho ABC không cân, có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn O . Các đường cao 1 1 1AA , BB , CC của

ABC cắt nhau tại H. Các đường thẳng 1 1A C và AC cắt nhau tại D. Chứng minh rằng:

1. 1 1DX.DB DC .DA 2. Gọi M là trung điểm của AC. CMR: DH BM.


1.

BDC chungAXD BCD DAX DBC g - g

DX.DB DA.DC 1

1CDA chung1 1 1 1AC D ACA DAC DA C g - g

11 1 1 1DA.DC DC .DA DX.DB DC .DA

2.

1BDA chung

1 1 1 1DX.DB DC .DA DXC DA B

1 1 1 1 1DXC BA C BA C X néi tiÕp.

01 1 1 1 1 1BXC BA C 180 mµ BA C BHC

01 1 1BXC BHC 180 BHC X néi tiÕp.

01BXH BC H 90 HX BD

AE // CH vµ AH // CEKÎ ®êng kÝnh BE AHCE lµ H.B.H

0H, M, E th¼ng hµng. BXE 90 EX BD. EX BD ; HX BD E, M, H, X th¼ng hµng

1 1X BD ; BB CD ; H MX BB

H lµ trùc t©m cña BCD DH BM.

E

D

H

A1

B1C 1

O

A

B C


45/47



Bài 53: Trích đề thi vào lớp 10 THPT chuyên Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2013 vòng 2

Cho ABC không cân nội tiếp đường tròn O , BD là đường phân giác của ABC . Đường thẳng BD

cắt O tại điểm thứ hai là E. Đường tròn 1O đường kính DE cắt O tại điểm thứ hai là F.

1. Chứng minh rằng đường thẳng đối xứng với đường thẳng BF qua đường thẳng BD đi qua trung

điểm của đoạn thẳng AC.

2. Biết ABC vuông tại B, 0BAC 60 và bán kính đường tròn O bằng R. Hãy tính bán kính đường

tròn 1O theo R.


1. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AC.

ABE CBE AE CE EM AC

EM ®i qua t©m O.

Gọi D là giao điểm thứ hai của FD và đường tròn O

0DFE 90 NE lµ ®êng kÝnh cña O

N, O, M, E th¼ng hµng.

0NBD NMD 90 BDMN lµ tø gi¸c néi tiÕp.

BD ENF DBF ®pcm

2. 0ABC 90 AC lµ ®êng kÝnh O M O

E R ; AC 2R.

0BC AC.sinBAC 2R.sin60 3R

0 DA BA R 1AB AC.cosBAC 2R.cos60 R. BD lµ ph©n gi¸c cña ABCDC BC 3R 3

2R

DC 3DA. L¹i cã: DA DC AC 2R DA 3DA 2R DA 3 1 R3 1

2 2D MA AD R 3 1 R 2 3 R DE MD ME 2 2 3R

1B¸n kÝnh cña ®êng trßn O lµ : 2 3R.

N

F

O1

D

E

O B

C


46/47



Bài 54: Trích đề thi vào lớp 10 THPT chuyên KHTN – ĐHQG Hà Nội 2013 vòng 2

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn O có trực tâm H. Gọi P là điểm nằm trên đường tròn

ngoại tiếp BHC P B ; P C ; P H và nằm trong ABC . PB cắt O tại B , PC cắt O tại

N C , BM cắt AC tại E, CN cắt AB tại F. Đường tròn ngoại tiếp AME và đường tròn ngoại tiếp

ANF cắt nhau tại Q A.

1. Chứng minh ba điểm M, N, Q thẳng hàng.

2. Giả sử AP là phân giác của AN . Chứng minh rằng khi đó PQ đi qua trung điểm của PC.


1. 0 0EPF BPC BHC 180 BAC EPF EAF 180 AEPF lµ tø gi¸c néi tiÕp.

BFC AFN AQN ; BEC AEM AQM0 0 0AFP AEP 180 BFC BEC 180 AQN AQM 180

Ba ®iÓm M, N, Q th¼ng hµng.

2. AFQ ANQ ANM ABM FQ // PE ; AEQ AMQ AMN ACN EQ // PF

PFQ NAQ ; PEQ MAQEPFQ lµ h×nh b×nh hµnh PFQ PEQ NAQ MAQ

AP lµ ph©n gi¸c MANAQ lµ ph©n gi¸c MAN A, P, Q th¼ng hµng. Gäi K AP BC.

AKB chung 2BAK FAQ FNQ CNM CBM KBP ABK BPK g - g KB KP.KA

CAK chung 2CAK EAQ EMQ BMN BCN KCP ACK CPK g - g KC KP.KA

KB KC K lµ trung ®iÓm cña BC ®pcm

Hình 2Hình 1

Q

F

E

N

M

P

K

H

Q

F E

N M

H

OO

B C

P

B C


47/47


Bài 55: Trích đề thi vào lớp 10 THPT Chu Văn An Hà Nội 2013

Cho đường tròn O và điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ hai tiếp tuyến AM, AN với O . Một

đường thẳng d đi qua A không đi qua tâm O cắt O tại B và C AB AC .

1. Chứng minh rằng: AMON là tứ giác nội tiếp

2. Chứng minh: 2AN AB.AC . Tính độ dài đoạn thẳng BC khi AB = 4cm và AN = 6cm.

3. Gọi I là trung điểm của BC. Đường thẳng NI cắt O tại T. Chứng minh rằng: NT // AC.

4. Hai tiếp tuyến của O tại B và C cắt nhau tại K. Chứng minh rằng K thuộc một đường th

Documents

Bai Tap Hinh Hoc Hay on Thi Vao Lop 10