Cadena de Markov En la teora de la probabilidad, se conoce como
cadena de Mrkov a un tipo especial de proceso estocstico discreto
en el que la probabilidad de que ocurra un evento depende del
evento inmediatamente anterior. En efecto, las cadenas de este tipo
tienen memoria. "Recuerdan" el ltimo evento y esto condiciona las
posibilidades de los eventos futuros. Esta dependencia del evento
anterior distingue a las cadenas de Mrkov de las series de eventos
independientes, como tirar una moneda al aire o un dado. Reciben su
nombre del matemtico ruso Andrei Andreevitch Markov (1856-1922),
que las introdujo en 1907.1 Estos modelos muestran una estructura
de dependencia simple, pero muy til en muchas aplicaciones.
Contenido [ocultar]-1 Definicin formal -2 Notacin tilo2.1 Cadenas
homogneas y no homogneas o2.2 Probabilidades de transicin y matriz
de transicin o2.3 Vector de probabilidad invariante o2.4 Clases de
comunicacin o2.5 Tiempos de entrada o2.6 Recurrencia o2.7
Periodicidad -3 Tipos de cadenas de Markovo3.1 Cadenas irreducibles
o3.2 Cadenas positivo-recurrentes o3.3 Cadenas regulares o3.4
Cadenas absorbentes o3.5 Cadenas de Markov en tiempo continuo -4
Aplicacioneso4.1 Fsica o4.2 Meteorologa o4.3 Modelos epidemiolgicos
o4.4 Internet o4.5 Simulacin o4.6 Juegos de azar o4.7 Economa y
Finanzas o4.8 Msica -5 Referencias -6 Bibliografa -7 Enlaces
externos [editar] Definicin formal En matemticas, se define como un
proceso estocstico discreto que cumple con la propiedad de Mrkov,
es decir, si se conoce la historia del sistema hasta su instante
actual, su estado presente resume toda la informacin relevante para
describir en probabilidad su estado futuro. Una cadena de Mrkov es
una secuencia X1, X2, X3,... de variables aleatorias. El rango de
estas variables, es llamado espacio estado, el valor de Xn es el
estado del proceso en el tiempo n. Si la distribucin de
probabilidad condicional de Xn+1 en estados pasados es una funcin
de Xn por s sola, entonces: Donde xi es el estado del proceso en el
instante i. La identidad mostrada es la propiedad de Mrkov.
[editar] Notacin til [editar] Cadenas homogneas y no homogneas -Una
cadena de Markov se dice homognea si la probabilidad de ir del
estado i al estado j en un paso no depende del tiempo en el que se
encuentra la cadena, esto es: para todo n y para cualquier i, j. Si
para alguna pareja de estados y para algn tiempo n la propiedad
antes mencionada no se cumple diremos que la cadena de Markov es no
homognea. [editar] Probabilidades de transicin y matriz de
transicin -La probabilidad de ir del estado i al estado j en n
unidades de tiempo es , en la probabilidad de transicin en un paso
se omite el superndice de modo que queda -Un hecho importante es
que las probabilidades de transicin en n pasos satisfacen la
ecuacin de Chapman-Kolmogorov, esto es, para cualquier k tal que 0
< k < n se cumple que donde E denota el espacio de estados.
-Cuando la cadena de Markov es homognea, muchas de sus propiedades
tiles se pueden obtener a travs de su matriz de transicin, definida
entrada a entrada como esto es, la entrada i, j corresponde a la
probabilidad de ir del estado i a j en un paso. Del mismo modo se
puede obtener la matriz de transicin en n pasos como: , donde.
[editar] Vector de probabilidad invariante -Se define la
distribucin inicial. -Diremos que un vector de probabilidad (finito
o infinito numerable) es invariante para una cadena de Markov si
donde P denota la matriz de transicin de la cadena de Markov. Al
vector de probabilidad invariante tambin se le llama distribucin
estacionaria o distribucin de equilibrio. [editar] Clases de
comunicacin -Para dos estados i,j en el espacio de estados E,
diremos que de i se accede a j (y se denotar) si para algn n,
siyentonces diremos que i comunica con j y se denotar ij. La
propiedad "" es una relacin de equivalencia. Esta relacin induce
una particin en el espacio de estados. A estas clases de
equivalencia las llamaremos clases de comunicacin. Dado un estado
x, denotaremos a su clase de comunicacin como C(x). -Diremos que un
subconjunto C del espacio de estados (al que denotaremos E) es
cerrado si ningn estado de E-C puede ser accedido desde un estado
de C, es decir, sipara todo xC, para todo yE-C y para todo natural
m>0. [editar] Tiempos de entrada Si, definimos el primer tiempo
de entrada a C como la variable aleatoria esto es,denota la primera
vez que la cadena entra al conjunto de estados C. [editar]
Recurrencia En una cadena de Markov con espacio de estados E, si xE
se define y diremos que: -x es estado recurrente si. -x es
transitorio si -x es absorbente si -Una clase de comunicacin es
clase recurrente si todos sus estados son recurrentes. Sea, si
xEdiremos que: -x es cero-recurrente si -x es positivo-recurrente
si El real x se interpreta como el tiempo promedio de recurrencia.
[editar] Periodicidad -El periodo de un estado xE se define como:
dondedenota el mximo comn divisor. -Si d(x)=1 diremos que x es un
estado aperidico. -Una cadena de Markov se dice aperidica si todos
sus estados son aperidicos. [editar] Tipos de cadenas de Markov
[editar] Cadenas irreducibles Una cadena de Markov se dice
irreducible si se cumple cualquiera de las siguientes condiciones
(equivalentes entre s): 1.Desde cualquier estado de E se puede
acceder a cualquier otro. 2.Todos los estados se comunican entre s.
3.C(x)=E para algn xE. 4.C(x)=E para todo xE. 5.El nico conjunto
cerrado es el total. La cadena de Ehrenfest o la caminata aleatoria
sin barreras absorbentes son ejemplos de cadenas de Markov
irreducibles. [editar] Cadenas positivo-recurrentes Una cadena de
Markov se dice positivo-recurrente si todos sus estados son
positivo-recurrentes. Si la cadena es adems irreducible es posible
demostrar que existe un nico vector de probabilidad invariante y
est dado por: [editar] Cadenas regulares Una cadena de Markov se
dice regular (tambin primitiva o ergdica) si existe alguna potencia
positiva de la matriz de transicin cuyas entradas sean todas
estrictamente mayores que cero. Cuando el espacio de estados E es
finito, si P denota la matriz de transicin de la cadena se tiene
que: donde W es una matriz con todos sus renglones iguales a un
mismo vector de probabilidad w, que resulta ser el vector de
probabilidad invariante de la cadena. En el caso de cadenas
regulares, ste vector invariante es nico. [editar] Cadenas
absorbentes Una cadena de Markov con espacio de estados finito se
dice absorbente si se cumplen las dos condiciones siguientes: 1.La
cadena tiene al menos un estado absorbente. 2.De cualquier estado
no absorbente se accede a algn estado absorbente. Si denotamos como
A al conjunto de todos los estados absorbentes y a su complemento
como D, tenemos los siguientes resultados: -Su matriz de transicin
siempre se puede llevar a una de la forma donde la submatriz Q
corresponde a los estados del conjunto D, I es la matriz identidad,
0 es la matriz nula y R alguna submatriz. -, esto es, no importa en
donde se encuentre la cadena, eventualmente terminar en un estado
absorbente. [editar] Cadenas de Markov en tiempo continuo Si en
lugar de considerar una secuencia discreta X1, X2,..., Xi,.. con i
indexado en el conjuntode nmeros naturales, se consideran las
variables aleatorias Xt con t que vara en un intervalo continuo del
conjuntode nmeros reales, tendremos una cadena en tiempo continuo.
Para este tipo de cadenas en tiempo continuo la propiedad de Mrkov
se expresa de la siguiente manera: tal que [editar] Aplicaciones
[editar] Fsica Las cadenas de Markov son usadas en muchos problemas
de la termodinmica y la fsica estadstica. Ejemplos importantes se
pueden encontrar en la Cadena de Ehrenfest o el modelo de difusin
de Laplace. [editar] Meteorologa Si consideramos el clima de una
regin a travs de distintos das, es claro que el estado actual solo
depende del ltimo estado y no de toda la historia en s, de modo que
se pueden usar cadenas de Markov para formular modelos
climatolgicos bsicos. [editar] Modelos epidemiolgicos Una
importante aplicacin de las cadenas de Markov se encuentra en el
proceso Galton-Watson. ste es un proceso de ramificacin que se
puede usar, entre otras cosas, para modelar el desarrollo de una
epidemia (vase modelaje matemtico de epidemias). [editar] Internet
El pagerank de una pgina web (usado por Google en sus motores de
bsqueda) se define a travs de una cadena de Markov, donde la
posicin que tendr una pgina en el buscador ser determinada por su
peso en la distribucin estacionaria de la cadena. [editar]
Simulacin Las cadenas de Markov son utilizadas para proveer una
solucin analtica a ciertos problemas de simulacin tales como el
Modelo M/M/1. [editar] Juegos de azar Son muchos los juegos de azar
que se pueden modelar a travs de una cadena de Markov. El modelo de
la ruina del jugador, que establece la probabilidad de que una
persona que apuesta en un juego de azar finalmente termine sin
dinero, es una de las aplicaciones de las cadenas de Markov en este
rubro. [editar] Economa y Finanzas Las cadenas de Markov se pueden
utilizar en modelos simples de valuacin de opciones para determinar
cundo existe oportunidad de arbitraje, as como en el modelo de
colapsos de una bolsa de valores o para determinar la volatilidad
de precios. En los negocios, las cadenas de Mrkov se han utilizado
para analizar los patrones de compra de los deudores morosos, para
planear las necesidades de personal y para analizar el reemplazo de
equipo. [editar] Msica Diversos algoritmos de composicin musical
usan cadenas de Markov, por ejemplo el software Csound o Max
[editar] Referencias 1. Basharin, Gely P.; Langville, Amy N.;
Naumov, Valeriy A. (2004). The Life and Work of A. A. Markov (en
ingls). Linear Algebra and its Applications 386:pp. 3-26.
Consultado el 31 de marzo de 2010. [editar] Bibliografa -A.A.
Markov. "Rasprostranenie zakona bol'shih chisel na velichiny,
zavisyaschie drug ot druga". Izvestiya Fiziko-matematicheskogo
obschestva pri Kazanskom universitete, 2-ya seriya, tom 15, pp.
135156, 1906. -A.A. Markov. "Extension of the limit theorems of
probability theory to a sum of variables connected in a chain".
reprinted in Appendix B of: R. Howard. Dynamic Probabilistic
Systems, volume 1: Markov Chains. John Wiley and Sons, 1971.
-Classical Text in Translation: A. A. Markov, An Example of
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-Leo Breiman. Probability. Original edition published by
Addison-Wesley, 1968; reprinted by Society for Industrial and
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-J.L. Doob. Stochastic Processes. New York: John Wiley and Sons,
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ISBN 0-387-19832-6. online:
https://netfiles.uiuc.edu/meyn/www/spm_files/book.html . Second
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Taylor L. (1967). Sequential Machines and Automata Theory (1st
edicin). New York: John Wiley and Sons, Inc.. Library of Congress
Card Catalog Number 67-25924. Extensive, wide-ranging book meant
for specialists, written for both theoretical computer scientists
as well as electrical engineers. With detailed explanations of
state minimization techniques, FSMs, Turing machines, Markov
processes, and undecidability. Excellent treatment of Markov
processes pp. 449ff. Discusses Z-transforms, D transforms in their
context. -Kemeny, John G.; Hazleton Mirkil, J. Laurie Snell, Gerald
L. Thompson (1959). Finite Mathematical Structures (1st edicin).
Englewood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall, Inc.. Library of Congress
Card Catalog Number 59-12841. Classical text. cf Chapter 6 Finite
Markov Chains pp. 384ff. -E. Nummelin. "General irreducible Markov
chains and non-negative operators". Cambridge University Press,
1984, 2004. ISBN 0-521-60494-X [editar] Enlaces externo Cadenas
Markov
ndice 1.Introduccin 2.Cadenas de Markov 3.Ecuaciones de
Chapman-Kolmogorov 4.Clasificacin de los estados en una cadena de
Markov 5.Tiempos de primera pasada 6.Estados Absorbentes 7.Cadenas
de Markov en tiempo continuo 8.Algunas v. a. importantes
9.Probabilidades de estado estable 10. Ejemplos explicativos
Introduccin
Las cadenas de Markov se incluyen dentro de los denominados
procesos estocsticos. Dichos estudian el comportamiento de
variables aleatorias a lo largo del tiempo X(t,w). Se definen
comouna coleccin de variables aleatorias {X(t,w), t e I}, donde X
(t,w) puede representar por ejemplo los niveles de inventario al
final de la semana t. El inters de los procesos estocsticos es
describir el comportamiento de un sistema e operacin durante
algunos periodos.
Losprocesosestocsticossepuedenclasificaratendiendoados
aspectos:sielespaciodeestadosposiblesdelavariablealeatoriacontiene
valoresdiscretosocontinuosydesilosvaloresdeltiemposondiscretoso
continuos.Las cadenas de Markov es un proceso estocstico en el que
los valores
deltiemposondiscretosylosestadosposiblesdelavariablealeatoria
contienevaloresdiscretos,esdecir,esunacadenaestocsticadetiempo
discreto. Las cadenas de Markov, se clasifican, adems, dentro de
los procesos estocsticos de Markov, que son aquellos en el que el
estado futuro de un proceso es independiente de los estados pasados
y solamente depende del estado presente. Por lo tanto las
probabilidades de transicin entre los estados para los tiempos k-1
y k solamente depende de los estados que la variable adquiere
dichos tiempos. INDICE
Cadenas de Markov
Las cadenas de Markov estn constituidas por un conjunto de
valores {Xn , n :0,1,2...} que cumplen la probabilidad de alcanzar
cualquier estado j de la variable depende exclusivamente del estado
i alcanzado en el instante de tiempo anterior. P[Xn+1= j / Xn = i,
Xn-1 = i1,..., X0=in]=P[Xn+1=j / Xn=i] V i,j Se define para cada
par de estados (i, j) que se alcanzan en dos pasos consecutivos de
n y n+1 una probabilidad condicional denominada probabilidad de
transicin pij. P[X+1=j / Xn=i] = pij Las probabilidades de
transicin de un paso son estacionarias, es decir, que no cambian
con el tiempo. Si pij no depende del instante n se dice que la
cadena de Markov es homognea. Las probabilidades de transicin
estructuradas en forma matricial da lugar a lo que se denomina
matriz de transicin. Dicha matriz relaciona los estados de la
variable en dos pasos consecutivosy n+1 a travs de sus
probabilidades de transicin.
Periodo n+1 Estado 1...Estado M Periodo n Estado 1p11p1*p1M
....P * 1p**p*M Estado MpM 1pM*pMM
Una probabilidad de transicin pij ^(n) de n pasos entre los
estados i y j indica la probabilidad de que partiendo del estado i
enpasos se llegue al estado j.
INDICE
Ecuaciones de Chapman-Kolmogorov
Estas ecuaciones proporcionan un mtodo para determinar las
probabilidades de que un proceso del estado i notada por pij
^(n).pij ^(n) = k=0..Kpik ^(m) pkj ^(-m);V i,j,n; 00. Una cadena de
Markov se puede dividir en clases. Una clase est formada por todos
los estados que son accesibles entre s . Considerando las
probabilidades fiide que el proceso regrese al estado i comenzando
en el estado i se puede clasificar los estados en recurrente s fii
=, transitorio s fii 0.
P{X(s+t)=j/X(s)=i} es una probabilidad de transicin. Si es
independiente de s, se llamar probabilidad de transicin
estacionaria. Un proceso estocstico de tiempo continuo {X(t);
t>0} es una cadena de Markov de tiempo continuo si tiene la
propiedad markoviana. INDICE
Algunas v. a. importantes:
*La distribucin de probabilidad del tiempo que falta para que el
proceso haga una transicin fuera de un estado dado es siempre la
misma(independientemente del tiempo que el proceso haya pasado en
ese estado), es decir:no tiene memoria. La nica distribucin en TC
que cumple esto es la distribucin exponencial: P{Tist}=1-e-qt para
t>0 (parmetro q, media 1/q).
Por tanto, describiremos la cadena de Markov: -La v.a. Ti tiene
una distribucin exponencial con media 1/q. -Al salir de un estado
i, se pasa a otro j, con probabilidad pij que cumple que
pij=0paratoda i, y la suma de todas las pij es 1. -El siguiente
estado que se visita tras i, es independiente del tiempo
transcurrido eni. Las intensidades de transicin(probabilidades de
transicin, pero en TC) : d1 pii(t) qi= pii(0)=lim , para
i=0,1,2,,M, dtt0t
y d1 pij(t) qi= pij(0)=lim = qi pij, para toda j=i dtt0t
donde pij es la funcin de probabilidad de transicin de TC, qi y
qij son las tasas de transicin(qi= qij ). i=j
INDICE
Probabilidades de estado estable:
La funcin de probabilidad de transicin de TC satisface las
ecuaciones de Chapman-Kolmogorov, luego para cualequiera estados
i,j y nmeros t y s(0ss0 y pij(t2)>0. Todos los estados que se
comunican forman una clase. Si todos los estados en una cadena
forman una clase, entonces la cadena ser irreducible, por lo
que:pij(t)>0, para todo t>0 y todos los estados i,j ,y ms an:
lim pij(t)=tjllamadas probabilidades de estado estable(o
estacionarias). t
Las probabilidades estacionarias satisfacen: M tj qj= ti qij
para j=0,1,,My tj=0 i=j j=0
(stas ecuaciones se suelen llamar de balance).
INDICE Concepto Un estado ? i ? s absorbente, la probabilidad de
permanecer en ese estado es igual a 1. Es decir, cuando el sistema
cae en el estado ? i ? no vuelve a salir de l. Es un caso especial
de conjunto cerrado en que el conjunto contiene slo el estado ? i
?. Ejercicio La empresa jurdica Harold Vega se clasifican a los
empleados en subalternos, superiores y
socios;el10%delossubalternosasciendenasuperioresyaun10%selespideque
abandonelaempresa,duranteunaocualquiera5%asciendeasocioya13%selespide
querenuncie.Losabogadossubalternosdebenascenderasuperioresparallegaraser
socios, los abogados que no se desempean un buen nivel no
descienden de nivel. a) a) Forme la matriz de transicin con esos
datos b) b) Determine si la matriz de transicin es regular,
absorbente o ninguna de las dos. c) c) Cul es la probabilidad de
que un abogado subalterno llegue a ser socio
d)d)Cuntotiempodeberaesperarpermanecerensucategoraunabogadosubalternorecin
contratado.
e)e)Cuntotiempodeberaesperarpermanecerenlaempresaunabogadosubalternorecin
contratado. f) f) Cul es la probabilidad de que un superior se
convierta en socio
Solucin a)a) b) La matriz es absorbente ya que en los estados de
Socio y Despedido son absorbentes.
Pararesponderalaspreguntasc)af)senecesitanllevaracabounaseriedeclculos.En
matrices absorbentes, para determinar los tiempos medios en los
cuales se permanecer en
unestadodeterminadoseledeberestarunamatrizidentidaddemismotamao,lamatriz
que contiene a los estados no absorbentes (representado con el
color ms claro) y luego se debe la matriz inversa de la matriz
resultante de la resta. Para hallar probabilidades de permanencia
en un determinado estado se debe multiplicar la
matriz(inversadelarestadeunamatrizidentidadmenoslamatrizdeestadosno
absorbentes) por la matriz de estados absorbentes (representado por
el tono de rojo medio) a) c) La probabilidad es 0,14 b) d) 5 aos c)
e) 5+2,78 =7,78 aos d) f) La probabilidad es 0,28
b)
Fuente: Investigacin de Operaciones, Hamdy A. Taha, 2004 Cadenas
de Markov Serie de eventos en el cuales la probabilidad de que
ocurriria algo entre ellos depende del evento inmediato anterior se
representan por diagramas de estado o por una matriz transaccin
Aplicaciones: anlisis de compra, de compradores, pronostico de
concesin a deudores morosos planeacin de personales de
necesidad.Ejemplo Existe un 75% de posibilidades de que el da
siguiente funcione y un 25% de que no funcione , pero si no esta
funcionando hay un 75% de posibilidades de que tampoco funcione al
da siguiente y solo un 25% de que si lo haga para comenzar el
anlisis se debe de conocer el estado actual supngase que esta
comenzando y que hay un 75% de posibilidades de que este
funcionando y un 25% de que no este funcionando ,Cual es la
probabilidad de estar funcionando el primero y segundo da. Inicio P
(f)= .75 P (nf) =.25 Ejercicio Hace mucho tiempo en una galaxia
lejana existi un clima que dependa solo del clima del da anterior.
por ejemplo la probabilidad de que lloviera hoy dependera solo de
lo sucedido ayer , existen solo 3 tipos de clima despejado, lluvia
y nieven enseguida se presenta la matriz de transicin diaria para
estos tipos de clima. 1.Calcule las probabilidades de estado para
pasado maana siendo que llovi hoy. 2.Calcule las probabilidades de
estado para pasado maana si hay un 30% de probabilidades de que hoy
este despejado y un 50% de que haya lluvia. Procedimiento para
calcular la proporcin de estados no absorbentes que terminaron en
estados absorbentesMen 1.Eliminar los renglones correspondientes, a
los estados absorbentes originales. 2.Dividir la matriz restante en
estados absorbentes y no absorbentes, denominar "g "a la parte de
la matriz bajo estados absorbentes y "h" a la parte de la matriz
bajo estados no absorbentes. 3.Calcular la matriz fundamental "Q"
que es igual a Q =(I-H)-1 , donde I es igual a la matriz original y
el exponente -1 , se refiere al inverso de la matriz. 4.Calcular la
matriz de posiciones R =QG. Ejemplo Una empresa de abogados emplea
3 categoras de empleados: principiantes, con experiencia y socios
como se muestra en la matriz de transicin. 1.Determine la
probabilidad de que un abogado principiante, recin contratado deje
la empresa antes de ser socio. 2.Cual es la probabilidad de que un
abogado principiante salga siendo socio. Conclusin: -50% de los
principiantes sale siendo socio. -50% da los principiantes sale sin
ser socio. De los abogados con experiencia: -33% sale sin ser
socio. -66% sale siendo socio. De los socios: -100% sale siendo
socio Ejercicios Cadenas de MarkovMen El controlador de la Ace
Widgets analizo las cuentas por cobrar de la compaa y desarrollo la
siguiente matriz de transicin: De(mes 1) Las cuentas A tienen de 0
a 30 das y actualmente dan un total de $100 000 .Las cuentas B
tienen de 31 a 90 das y dan un total de $50 000 en este momento.
Que concesin debe dar el controlador para cuentas morosas?El
departamento de comercializacion de la marca X hizo una
investigacin y encontro que , si un cliente compra su marca ,
existe un 70% de posibilidades de que la compre de nuevo la proxima
vez. Por otro lado, si la utima compra fue de otra marca , entonces
se escoge la marca la marca x solo el 20% del iempo.Cual es el
porcentaje de mercado que puede pronosticarse a la larga para la
marca X? La alpha corp ,. Al considerer sus estrategias de mercado
, observa que sus propios clientes son bastante leales: 85% compran
de nuevo su producto .Sin embargo , solo 10% de los clientes de la
competencia se aventuran a tratar con Alpha .el departamento de
publicidad piensa que la lealtad de los clientes puede elevarse al
90% con una campaa especial dirigida a los clientes de la firma .De
otra manera podr estructurarse los anuncios para comparar Alpha con
sus competidores .Con esto puede esperarse elevar el cambio de
marca de 10% al 20% .En cualquier caso la compaa de publicidad
costaria $100 000y redundaria una contribucin de $6 000 por cada
punto ganado en el porcentaje del mercado. 1.Antes de cualquier
camopaa publicitaria Cul el porcentaje de mercado a favor de Alpha
Corporation? 2.Cul es la estrategia de publicidad que daria el
mayor aumento en el pocentaje de mercado? 3.Es provechosa la mejor
campaa de publicidad? Un gerente de credito estima que el 95% de
aquellos que pagan sus cuentas a tiempo de un mes tambien lo haran
el siguiente mes.sin embargo, de aquellos que se tardan solo la
midad pagaran a tiempo la proxima vez. 1.si una persona paga a
tiempo ,Cul es el la probabilidad de que pagara a tiempo durante
seis meses desde ahora? 2.En promedio Cul es la proporcion de
cuentas pagadas a tiempo y que proporcion se pagan tarde? Se esta
considerando comprar dos copiadoras de oficina . son similares en
todos los aspectos excepto en el control de claro-oscuro que opera
en forma automatica .en la maquina A existe una posibilidad del 95%
de que el control permanezca ajustado todo el dia, si esta ajustado
en la maana.Pero si no esta ajustado , hay un 10% de posibilidades
de que permanezca asi.Para la maquina B , las cantidades
equivalentes de que permanezca asi .Para la maquina B, la
cantidades equivalentes son 90% y el 5%, respectivamente. Si el
costo es el mismo Qu maquina debe comprarse? Fin de los apuntes
correspondientes a la 4ta Unidad: Cadenas de Markov. Ir Arriba
ltima Actualizacin: Martes 13 de Septiembre 2005 | Navegadores
Recomendados: Opera y Mozilla Firefox Comentarios y Sugerencias:
Maestra Sylvia De Reza De La Cruz | Webmaster | Arriba
