Laboratorio de Fsica General Carpeta de Informes

Laboratorio de Fsica General Carpeta de Informes

Universidad Nacional Federico VillarealFIEI - Facultad de Ingeniera Electrnica e Informtica

Escuela Pre Profesional de Ingeniera Informtica2015 Ciclo IX

Ao de la Promocin de la Industria Responsable y del Compromiso Climtico

Profesor:

DR. Ciro Rodriguez RodriguezAlumnos:Mendoza Guerreros Bryan.Plasencia Mostacero Paul.Farroay Arteaga Miguel Angel. Guerra Villegas Eder.

Uchima Rivas Franco Antonio. Merino Flores Ricardo.

CADENAS DE MARKOV PROCESO ESTOCSTICO

Una sucesin de observaciones x1, x2, se denomina proceso estocstico:

Si los valores de estas observaciones no se pueden predecir exactamente.

Se pueden especificar las probabilidades para los distintos valores posibles en cualquier instante de tiempo.

X1: variable aleatoria que define el estado inicial del proceso.

Xn: variable aleatoria que define el estado del proceso en el instante de tiempo n.

El espacio paramtrico T de un proceso estocstico es el conjunto de todos los posibles valores que puede tomar el tiempo.

T = {t/t T}

El espacio de estados S de un proceso estocstico es el conjunto de todos los posibles valores que puede tomar dicho proceso:

S = {Xt|t T} SISTEMAS DE MARKOV

Unsistema de Markov(oproceso de Markovocadena de Markov) es un proceso estocstico que puede ser en algunos estados(enumerados), y puede pasar de un estado a otro durante cadainstantede acuerdo a probabilidades determinadas.

Si un sistema de Markov est en estadoi, hay una determinada probabilidadpij, de ir a estadojel prximo paso, ypijes llamado laprobabilidad de transicin.

Un sistema de Markov puede ser ilustrado por significados de undiagrama de transicin de estados, que muestra todos los estados y las probabilidades de transicin. (Ver el ejemplo)

La matrizPcuyaijoentrada pijse llama lamatriz de transicinasociada con el sistema. Las entradas en cada fila suman en total 1. Por lo tanto, para este caso, una a2 matriz de transicinPpodra ser representado en la siguiente figura.

Ejemplo

DIAGRAMA DE TRANSICIN:(Falta de flechas indica la probabilidad cero.)

MATRIZ:

DIAGRAMA DE RBOLEjemplo: Despus de muchos estudios sobre el clima, hemos visto que si un da est soleado, en el 70% de los casos el da siguiente continua soleado y en el 30% se pone nublado. En trminos de probabilidad, lo que nos sirve entonces para predecir el clima, vemos que la probabilidad de que contine soleado el da siguiente es 0.7 y la probabilidad de que al da siguiente est nublado es 0.3. Tambin nos fijamos en que si un da est nublado, la probabilidad de que est soleado el da siguiente es 0.6 y la probabilidad de que se ponga nublado es 0.4. Hoy est nublado, cul es la probabilidad de que maana contine nublado? cul es la probabilidad de que est nublado pasado maana?

Podemos ilustrar esta situacin por medio de un diagrama de rbol:

Con la ayuda de la Figura 1 podemos predecir qu ocurrir maana si sabemos que hoy est nublado. Vemos que la probabilidad de que maana contine nublado es 0.4, es decir, si hiciramos esta prediccin muchas veces estaramos en lo correcto cerca del 40% de las veces. Para conocer la probabilidad de que est nublado pasado maana buscamos en las hojas del rbol correspondientes al Tiempo pasado maana los lugares donde dice nublado. Hay dos hojas donde esto ocurre. Ahora lo que queda es determinar cmo desde el principio, desde la raz del rbol, podemos llegar all.

Si hoy est nublado, para que pasado maana est nublado, podramos tener un da de maana soleado o nublado. As tenemos las siguientes secuencias en orden de (hoy, maana, pasado maana): (nublado, soleado, nublado) o (nublado, nublado, nublado) donde pasado maana es nublado. Estas secuencias son mutuamente excluyentes, corresponden a caminos distintos en el rbol, as tenemos que:

P (pasado maana nublado | hoy nublado)

= P ((nublado, soleado, nublado) o (nublado, nublado, nublado))

= P (nublado, soleado, nublado) + P (nublado, nublado, nublado) = (0.6*0.3) + (0.4 *0.4) = 0.34.

Este resultado se obtuvo multiplicando las probabilidades condicionales a lo largo de los caminos desde hoy nublado hasta pasado maana nublado. No es necesario que seamos tan especficos en trminos de hoy, maana o pasado maana, podemos darnos cuenta que lo realmente importante es el nmero de das que pasa entre una prediccin y otra.

DISTRIBUCIN DE VECTORES Y DE LOS PODERES DE LA MATRIZ DE TRANSICIN

Unvector distribucines un vector regln no negativo con una entrada para cada estado del sistema. Las entradas pueden representar el nmero de individuos en cada estado del sistema.

Un vector probabilidades un vector en la que las entradas son no negativas y llegan hasta 1. Las entradas en un vector probabilidad pueden representar las probabilidades de encontrar un sistema de cada uno de los estados.

Sives el vector distribucin inicial yPes la matriz de transicin de un sistema de Markov, entonces la distribucin de vectores a partir del paso 1 es el producto matriz,vP.

Distribucin despus del 1 paso: vP

La distribucin un paso ms adelante, obtenido de nuevo a travs de multiplicacin porP, es dado por (vP)P=vP2.

Distribucin despus del paso 2: vP2Del mismo modo, la distribucin despus del pasonse puede obtener multiplicandovporPa la n veces.

Distribucin despus denpasos:vPnP2 es la matriz de transicin 2-etapas del sistema de Markov. Del mismo modo,P3es la matriz de transicin 3-etapas, y Pnes la matrizn-etapas de transicin. Esto significa que la ijoentrada dePnes la probabilidad de que el sistema pasar de estadoia estadojennpasos.

Ejemplo 1 Sea

P=0.20.80

0.400.6

0.50.50

Y seav= [ 100 200 300 ] una distribucin inicial. A continuacin, la distribucin despus de un paso se expresa por

vP = [ 100 200 300 ]0.20.80

0.400.6

0.50.50

= [ 250 230 120 ]

La distribucin un paso ms adelante se expresa por

vP2= (vP)P

= [ 250 230 120 ]0.20.80

0.400.6

0.50.50

= [ 202 260 138 ]

Para obtener la matriz 2-pasos de transicin, calculamos:

P2=0.20.800.20.80

0.400.60.400.6

0.50.500.50.50

=0.360.160.48

0.380.620

0.30.40.3

As, por ejemplo, la probabilidad de pasar del estado 3 al estado 1 en dos pasos viene dada por la [3,1] entrada enP2, es decir 0.3.Ejemplo 2: la compaa K, el fabricante de un cereal para el desayuno, tiene un 25% del mercado actualmente. Datos del ao anterior indican que el 88% de los clientes de K permanecan fieles ese ao, pero un 12% cambiaron a la competencia. Adems, el 85% de los clientes de la competencia le permanecan fieles a ella, pero 15% de los clientes de la competencia cambiaron a K. Asumiendo que estas tendencias continen determine cul es la parte que K aprovecha del mercado?:

a. En 2 aos.

b. En el largo plazo.

Esta situacin es un ejemplo de un problema de cambio de marcas que sucede muy a menudo que se presenta en la venta de bienes de consumo.

Para resolver este problema hacemos uso de cadenas de Markov o procesos de Markov. El procedimiento se da a continuacin.

Procedimiento de solucin:

Observe que, cada ao, un cliente puede estar comprando cereal de K o de la competencia. Podemos construir un diagrama como el mostrado abajo donde los dos crculos representan a los dos estados en que un cliente puede estar y los arcos representan la probabilidad de que un cliente haga un cambio cada ao entre los estados. Note que los arcos curvos indican una "transicin" de un estado al mismo estado. Este diagrama es conocido como el diagrama de estado de transicin (notar que todos los arcos en ese diagrama son arcos dirigidos).

Dado ese diagrama nosotros podemos construir la matriz de la transicin (normalmente denotada por el smbolo P) la qu nos dice la probabilidad de hacer una transicin de un estado a otro estado. Sea:

Estado 1 = cliente que compra cereal de K y

Estado 2 = cliente que compra cereal de la competencia

Tenemos as la matriz de transicin P para este problema, dada por:

Para estado

12

Del10.880.12

estado20.150.85

Note aqu que la suma de los elementos en cada fila de la matriz de la transicin es uno.

Por datos de este ao sabemos que actualmente K tiene un 25% del mercado. Tenemos que la fila de la matriz que representa el estado inicial del sistema dada por:

Estado

12

0.250.75

Normalmente denotamos esta fila de la matriz por s1 indicando el estado del sistema en el primer periodo (aos en este ejemplo en particular). Ahora la teora de Markov nos dice que, en periodo (ao) t, el estado del sistema est dado por el st de la fila de la matriz, donde:

st = st-1(P) =st-2(P)(P) = ... = s1(P)t-1

Tenemos que tener cuidado aqu al hacer la multiplicacin de la matriz ya que el orden de clculo es importante (i.e. st-1(P) no es igual a (P)st-1 en general). Para encontrar st nosotros podramos intentar hallar P directamente para la potencia t-1 pero, en la prctica, es mucho ms fcil de calcular el estado del sistema en cada sucesivo ao 1,2,3 ,..., t.

Nosotros ya sabemos el estado del sistema en el ao 1 (s1) tal que el estado del sistema en el ao dos (s2) est dado por:

s2 = s1P

= [0.25,0.75] |0.88 0.12 ||0.15 0.85 |= [(0.25)(0.88) + (0.75)(0.15), (0.25)(0.12) + (0.75)(0.85)]

= [0.3325, 0.6675]

Note que este resultado tiene sentido intuitivo, por ejemplo: del 25% comprando actualmente al cereal de K, 88% continan hacindolo, aunque del 75% comprando el cereal del competidor 15% cambia a comprar cereal de K - dando un (fraccin) total de (0.25)(0.88) + (0.75)(0.15) = 0.3325 comprando cereal de K.

De lo anterior, en el ao dos 33.25% de las personas estn en estado 1, es decir, est comprando cereal de K. Note aqu que como un chequeo numrico, los elementos de st deben sumar siempre uno.

En el ao tres el estado del sistema se da por:

s3 = s2P

= [0.3325, 0.6675] |0.88 0.12 |

|0.15 0.85 |= [0.392725, 0.607275]

Por lo tanto en el ao tres 39.2725% de las personas estn comprando al cereal de K.

Recalcar que est pendiente la cuestin hecha sobre la porcin que K comparte del mercado en el largo plazo. Esto implica que necesitamos calcular st cuando t se hace muy grande (se acerca al infinito).

La idea de la largo plazo es basada en la suposicin de que, en el futuro, el sistema alcance un "equilibrio" (a menudo llamado el "estado sustentable") en el sentido de que el st = st-1. Esto no quiere decir que las transiciones entre estados no tengan lugar, suceden, pero ellos tienden "al equilibrio global" tal que el nmero en cada estado permanece el mismo.

Hay dos enfoques bsicos para calcular el estado sustentable:

Computacional: - encontrar el estado sustentable calculando st para t=1,2,3,... y se detiene cuando st-1 y st son aproximadamente el mismo. Esto es obviamente muy fcil para una computadora y este es el enfoque usado por un paquete computacional.

Algebraico: - para evitar clculos aritmticos largos necesarios para calcular st para t=1,2,3,... tenemos un atajo algebraico que puede usarse. Recalcar que en el estado sustentable st = st-1 (igual a [x1,x2] para el ejemplo considerado anteriormente). Entonces como st = st-1P tenemos:

[x1,x2] = [x1,x2] | 0.88 0.12 | | 0.15 0.85 |(Y tambin notar que x1 + x2 = 1). De esto tenemos tres ecuaciones que podemos resolver.

Note aqu que hemos usado la palabra suposicin anteriormente. Esto es porque no todos los sistemas alcanzan un equilibrio, esto es, no cualquier sistema tiene matriz de transicin.

| 0 1 |

| 1 0 |

Nunca alcanza un estado sustentable.

Adoptando el enfoque algebraico anteriormente para el ejemplo del cereal K tenemos las tres ecuaciones siguientes:

x1 = 0.88x1 + 0.15x2

x2 = 0.12x1 + 0.85x2

x1 + x2 = 1

o 0.12x1 - 0.15x2 = 0

0.12x1 - 0.15x2 = 0

x1 + x2 = 1

Note que la ecuacin x1 + x2 = 1 es esencial. Sin ella no podramos obtener una nica solucin para x1 y x2. Resolviendo conseguimos x1 = 0.5556 y x2 = 0.4444

Por lo tanto, en la largo plazo, K comercializa una porcin del mercado del 55.56%.

Un chequeo numrico til (particularmente para problemas ms grandes) es sustituir los resultados finales en las ecuaciones originales para verificar que ellos son consistentes con esas ecuaciones.

COMPORTAMIENTO A LARGO PLAZO DE LOS SISTEMAS DE MARKOV

SiPes una matriz de transicin de un sistema de Markov, y sives un vector de distribucin con la propiedad quevP=v, entonces nos referimos avcomo unvector (distribucin) de estado de equilibrio.

Para encontrar un vector de estado de equilibrio para un sistema de Markov con matriz de transicinP, resolvemos el sistema de ecuaciones dados por:

x + y + z + . . .=1

[x y z . . . ]P=[x y z . . .]

Donde su uso lleva muchas incgnitas, como estados hay en el sistema de Markov. Una constante vectorial de estado de probabilidades se da entonces por

v= [x y z . . . ]

Unsistema regularde Markov es un sistema cuya matriz de transicin tiene algn poder con ninguna entrada de cero. Un sistema regular de Markov siempre tiene un solo vector de estado de equilibrio.

Comportamiento a largo plazo:Si los poderes ms altos dePse acercan a una matrizP, nos referimos aP como lamatriz de equilibrioo como lamatriz de transicin a largo plazo. Si es regular el sistema de Markov, entonces la matriz de equilibrio se expresa por la matriz cuadrada cuyos reglones son iguales el uno al otro, e iguales al vector de estado de equilibrio:

[x y z . . .]Calcular la matriz de estado de equilibrio numrico

Por el uso de la tecnologa, es frecuentemente posible aproximarPcon gran precisin con simplemente calcular un gran poder deP. Qu tan grande? Sabes que es suficiente grande cuando las filas sean iguales con la precisin que desee.

Ejemplo

La matriz de transicin

P=0.20.80

0.400.6

0.50.50

El ejemplo anterior es regular, ya que sloP3tiene cada entrada distinta de cero.

El vector estado de equilibrio se expresa por

v= [35/99 40/99 24/99], de modo que:

vP = [35/99 40/99 24/99]0.20.80

0.400.6

0.50.50

= [35/99 40/99 24/99]

= v

Por lo tanto, la matriz largo plazo de transicin es:

P=35/9940/9924/99

35/9940/9924/99

35/9940/9924/99

APLICACIN DE MARKOV:Un programa que permite resolver nuestro problema atreves de la cadena de Markov.

Aplicacin de Markov

Un programa que permite resolver nuestro problema atreves de la cadena de MarkovCdigo en php:

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PROFESOR: RODRIGUEZ RODRIGUEZ CIRO