MATEMTICA

UNIVERSIDADE FEDERAL DO TOCANTINS

PR-REITORIA DE GRADUAO PROGRAD DIRETORIA DE PROGRAMAS ESPECIAIS EM EDUCAO DPEE

PACTO NACIONAL PELO FORTALECIMENTO DO ENSINO MDIO PNFEM

Professor Me. Andrey de Paula - UEPA

Algumas perguntas

Professor eu vou usar isso aonde, no futuro?

Eu vejo isso em meu dia a dia?

Qual a importncia dos conhecimentos de Matemtica abordados com seus estudantes do Ensino Mdio?

H conceitos/contedos que voc no consegue relacionar com o cotidiano?

Professores, qual a importncia dos conhecimentos de matemtica abordados com seus estudantes?

Porque ensinar matemtica?

Porque Matemtica importante para o dia-a-dia e sem Matemtica no podemos viver no Mundo moderno.

Porque Matemtica ajuda a pensar melhor e desenvolve o raciocnio;

Porque Matemtica est em tudo. a matria mais importante, que rege a vida das pessoas.

Tipos de Pensamento Matemtico

Pensamento Indutivo

Raciocnio Lgico-indutivo

Viso geomtrico-espacial

No-deterministico

1 Reflexo e Ao p. 14 Sugere-se que em grupo seja analisada um conjunto de atividades realizadas com estudantes no perodo de uma semana. O ideal que seja analisada as atividades de todo um componente curricular de uma determinada turma de estudantes na tentativa de observar e identificar os tipos de pensamentos matemticos eu possam estar presentes nessas atividades.

Componente Curricular

Breve descrio das atividades

Tipos de pensamento matemtico envolvido

Quais os tipos de pensamento mais frequentes? Como produzir maior equilbrio com relao ao tipos de pensamentos? Como isso pode ajudar nos planejamentos individuais?

Os sujeitos do Ensino Mdio: Sobre o ensinar e aprender

Voc considera que seus estudantes tem a mesma percepo da escola?

Algumas orientaes segundo DCNEM

Formao Humana Integral;

Aspectos cientficos, tecnolgicos, humansticos, e culturais, estejam incorporados e interligados;

Formao na perspectiva da omnilateralidade;

O currculo deve contemplar as quatro reas do conhecimento, com tratamento metodolgico que evidencie a contextualizao e a interdisciplinaridade ou outras formas de interao e articulao entre diferentes campos de saberes especficos;

A aprendizagem como processo de apropriao significativa dos conhecimentos, superando a aprendizagem limitada memorizao;

Que prticas docentes na docncia so mais frequentes na rotina de sua escola?

Ento....

Como contextualizar a MATEMTICA?

Atribuir significados ao conhecimento matemtico:

Ligaes com as prtica sociais e outros campos do saber;

Recurso a Histria da Matemtica; Promover posturas e valores para a cidadania. Precisa envolver necessariamente diversos

conhecimentos de diferentes reas para a compreenso mais abrangente de uma situao-problema relevante.

[...] A Matemtica nos Tribunais analisa dez casos que ilustram como at agora a estatstica

tem ajudado a engrossar a fileira dos erros judiciais - pelo mau uso dos nmeros em

julgamentos. So histrias reais que demonstram como a matemtica pode ser, de fato, uma

questo de vida ou morte. Sem deixar de fora todos os elementos e o ritmo de uma boa

histria de mistrio, cada um dos casos investigado em detalhes. Da reconstituio do

crime ao dos principais personagens envolvidos - entre rus, advogados, testemunhas,

promotores e peritos -, as autoras conduziro o leitor pelos labirintos forenses e apontaro os

equvocos cometidos pelo mau uso (ou m compreenso) dos nmeros no processo legal. Os

casos examinados so exemplos de como o emprego da estatstica no mbito da Justia tem

produzido sentenas enganosas, por vezes no corrigidas. Eles cobrem uma ampla gama da

matemtica usada nos tribunais, desde a mais simples anlise de caligrafia, no fim do sculo

XIX, at as combinaes hoje aplicadas na identificao do DNA. Uma surpreendente

combinao de dramas reais, histrias de tribunal e matemtica para mostrar que, no caso

da lei, um erro de clculo pode custar muito caro.

Dois aspectos: Os jovens do EM

Perda da curiosidade

Mundo Virtual (Redes Sociais)

Proporcionar atividade que ....

Explorar/experimentar

Fazer conjecturas

Procurar generalizaes

Fazer registros das observaes e hipteses

De fato, levar os estudantes a desenvolver a atitude/curiosidade de formular conjecturas e procurar valid-las, desenvolve o espirito critico, a capacidade de argumentao e criatividades. (Os autores, p.20)

Necessrio observar com clareza ...

O que podemos ver na imagem?

Investigao Matemtica

Investigar procurar conhecer o que no se sabe. Com um significado muito prximo, seno equivalente, temos em portugus os termos pesquisar e inquirir

Na matemtica: Investigar descobrir relaes entre objetos matemticos conhecidos ou entre estes e novos objetos matemticos, procurando identificar e comprovar as respectivas propriedades.

Usar argumentos indutivos

Diferenciar: exercidos, problemas e investigao matemtica.

Momentos de uma investigao

O ponto de partida uma situaes aberta, cabendo a quem investiga um papel fundamental na sua concretizao.

Requerer a participao ativa do aluno na prpria formulao das questes a estudar, favorecem os o seu envolvimento na aprendizagem.

O aluno chamado a agir como um matemtico, no s na formulao de questes e conjecturas e na realizao de provas e refutaes, mas tambm na apresentao dos seus resultados e na sua discusso e argumentao com os colegas e o professor.

Atividade

Toda seqncia tem que obedecer uma lei de formao, ou uma regra que permita dizer, para todo , qual o seu n-simo termo, o que pode ser obtido por meio de observao de padres, associaes de idia e generalizaes.Da mesma forma as frmulas de soma de PA e de PG, podem ser obtidas de maneira quase que intuitivas e a seguir observadas, generalizadas at chegar abstrao, como veremos durante as atividades propostas.

01: Continue a seqncia numrica (Adaptado

de Enzensberger, 1997, p.108)

Observe a seqncia 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,...

Descubra qual a regra e escreva mais cinco nmeros desta seqncia.

a) Tente construir um grfico para esta seqncia;

b) Registre suas observaes

Seqncia em T ( Adaptado Imenes e Lellis, 8 srie, p.223)

Observe a seqncia de figuras abaixo:

a) Desenhe a prxima figura da seqncia. Quantas bolinhas ela tem? b) Quantas bolinhas tero a 7 figura? c) Complete a tabela abaixo que relaciona a ordem da figura e o nmero de bolinhas

que ela possui. d) A 16 figura tem quantos pontos? e) A figura que possui 38 bolinhas, ocupa qual posio na seqncia? f) Escreva uma regra para descobrir o nmero de bolinhas de acordo com a posio

que ela ocupa na seqncia.

Sugesto de Pesquisa: Ver dissertao: Archilia, Sebastio. Construo do termo geral da progresso aritmtica pela observao e generalizao de padres. Dissertao (Mestrado Profissional em Ensino de Matemtica). Pontifcia Universidade Catlica de So Paulo. 90 f. So Paulo, 2008.

Este atividade, esta baseada em atividades de cunho investigativo, estabelecendo conexes entre os contedos matemticos, permitindo que o aluno faa levantamento de informaes, formule conjecturas baseadas em seus conhecimentos prvios, realizando provas e refutaes, comunicando os resultados aos colegas de turma e ao professor por meio de argumentaes. Desenvolvimento de conceitos, procedimentos, valores e atitudes para que ele aprenda a aprender Matemtica, alm de ganhar confiana e autonomia.

[...] elaborao de projetos. (p. 21)

Capacidade de Formular perguntas

Elaborar e executar um projeto, caractersticas da inteligncia humana;

Propor questes pelos estudantes;

Atividades investigativas;

Ao ser desafiado o jovem procura dar uma resposta a altura;

No menosprezar o estudante;

Cuidado ao Avaliar o Projeto;

Considerar todas as aes.

Modelagem Matemtica

Tendncia em Educao Matemtica;

De acordo com Meyer; Caldeira; Malheiros (2011) esse movimento estava ligado a matemtica aplicada;

No Brasil ocorreu tendo como base as ideias de Paulo Freire e Ubiratan DAmbrsio, entre 1970 a 1980.

Alguns Conceitos DAmbrosio (1976): a modelagem matemtica pode ser

considerada um processo atravs do qual, so definidas estratgias de ao do sujeito sobre sua realidade, ou seja, o caminho de elaborao do modelo;

Bassanezi (2002, p. 24) A modelagem consiste, essencialmente, na arte de transformar situaes da realidade em problemas matemticos cujas solues devem ser interpretadas na linguagem usual.

Burak (1992) Conjunto de procedimentos cujo objetivo construir um paralelo para tentar explicar matematicamente, os fenmenos presentes no cotidiano do ser humano, ajudando-os a fazer predies e tomar decises.

Alguns passos de acordo com Meyer; Caldeira; Malheiros (2011).

Formulao: em considerao a realidade dos alunos, e a importncia social para ele da escolha do tema.

Resoluo: neste momento que vamos buscar a traduo da situao problema propostas, a linguagem matemtica

Validao: j temos o modelo matemtico pronto cabe a ns, neste momento valid-lo de acordo com a situao problema, verificando se o modelo se adqua ao problema, promovendo sua soluo

Praticando Vamos tomar como exemplo o seguinte tema:

O uso de lcool e cigarro na cidade de Vigia

Formulao: Qual a previso do nmero de usurios de lcool no Ensino Mdio em Vigia, para os anos de 2005, 2010, 2015 e 2020, caso a taxa de crescimento permanea constante?

Sabendo que: Nos ltimos anos, o percentual de estudantes do Ensino Mdio que usaram lcool tem aumentado

aproximadamente 10% a cada ano.

No ano 2000, havia, em Vigia , aproximadamente 11000

estudantes do Ensino Mdio usurios de lcool. (Fonte, IBGE, 2010)

Em busca da resoluo (...) Ou seja, j que em 2000 o n de estudantes do ensino mdio que usavam lcool era

de 11000, temos que:

Em 2001 teremos: 11000 + 10/100 . 11000 = 11000 + 1100 = 12100 usurios

Em 2002: 12100 + 10/100 . 12100 = 12100 + 1210 = 13310 usurios

Em 2003: 13310 + 10/100. 13310 = 13310 + 1331 = 14641 usurios

Em 2004: 14641 + 10/100. 14641 = 14641 + 1464,1= 16105 usurios

Em 2005: 16105 + 10/100. 16105 = 16105 + 1610,5 = 17716 usurios.

Obs.: Organizando os dados na tabela 01, a seguir, consideramos o ano 2000 como sendo o ano zero.

Tabela 01:

Tempo(anos) Usurios (lcool)

to 2000 11000

t1 2001 12100

t2 2002 13310

t3 2003 14641

t4 2004 16605

t5 2005 17716

Fazendo a proporo nmero de usurios de um ano pelo nmero de usurios do ano anterior, obtemos a seguinte constante:

Considerando 11000, a quantidade inicial de

usurios, aps um ano temos: Aps 1 ano: 11000 . 1,1

Aps 2 anos: 11000 . 1,1 . 1,1 = 11000 . (1,1)2

Aps 3 anos: 11000 . (1,1)3 e

Aps t anos: 11000 . (1,1)t

1,111000

12100

2000

2001

emusurios

emusurios

1,112100

13310

2001

2002

emusurios

emusurios

1,113310

14641

2002

2003

emusurios

emusurios

Formalizando

Considerando o t (tempo em anos) igual a 0, no ano 2000.

t: tempo de anos

U= N de usurios

U(0) = N de Usurios no ano 0, ou seja no ano 2000 ou Uo (N de usurios inicias), neste caso temos que:

U (0) ou Uo = 11000

Assim (...)

U (0) = Uo = 11 000

No t1 temos: U (1) = U(0) * 1,1

No t2, temos: U(2) = U(1) *1,1 = U(0) *1,1 = U(0) * (1,1)2

No t3, temos: U(3) = U(2) * 1,1 = U(0) * (1,1) * 1,1 = U(0) *(1,1)

No t4, temos: U(4) = U (3) * 1,1 = U(0) * (1,1)3

*1,1 = U(0) *(1,1)4

E assim sucessivamente ...

Generalizando, aps t anos o n de usurios de lcool em Vigia no ensino mdio ser?

Que o modelo matemtico, que representa o n de usurios de lcool, no ensino mdio em Vigia em t anos, a partir do ano 2000 e que permite que faam previses para os prximos.

U (f) = (1,1)t. U (0) ou

U (f) = U(0). (1,1)t

ou U (f) = 11 . (1,1)t

MODELO MATEMTICO

Ento: Qual a previso do nmero de usurios de lcool no Ensino Mdio em Vigia, para os anos de 2005, 2010, 2015 e 2020, caso a taxa de crescimento permanea constante?

Para o ano de 2010 : U(10) = 11.000 . (1,1)10 = 11.000 .2,59=28490

Para o ano de 2015: U(15) = 11.000.(1,1)15=11.000.4,17=48870

Para o ano de 2020: U(20) = 11.000..(1,1)20

=11.000.6,73=74030

Validando

Aps podemos achar que esses resultados esto altos demais. Concluiu-se ento, que para serem verdadeiros, a taxa de aumento de usurios de lcool teria que ser mantida constante, assim como o aumento na taxa de crescimento do nmero de estudantes do Ensino Mdio tambm teria que ser proporcional.

Podemos avanar utilizando o exel e fazer os grficos referentes a cada ano.

Reflexo e Ao

Fazer um exerccio em torno da construo de um projeto que possa sustentar um trabalho coletivo dos estudantes e uma interao entre os diversos campos curriculares?

Vamos criar as perguntas eu poder ser respondidas no projeto?

Trabalho, cultura, cincia e Tecnologia

[...]Abordar contedos como conhecimentos construdos historicamente que se constitui em condies Necessrias para que os educandos possam construir novos conhecimentos [...](autores, 2014, p. 24).

Quais os campos de conhecimentos matemticos do ensino mdio? Que tal olhar O Guia do Livro Didtico do PNLD 2012.

Os campos de Matemtica no EM

Fonte: PNLD/Matemtica/2012

O que propes as DCNEM Entendemos como trabalho o modo pelo qual o ser

humano produz para si o mundo, os objetos e as condies de que precisa para existir. [...]

Nessa perspectiva, se identificamos o trabalho com essa ao transformadora consciente do ser humano, chamaremos de cultura o conjunto dos resultados dessa ao sobre o mundo. [...] A cultura o prprio ambiente do ser humano, socialmente formada com valores, crenas, objetos, conhecimentos etc. (BRASIL, 2013c, p. 21-22, grifos dos autores)

A esta concepo de trabalho est associada a concepo de cincia e tecnologia: conhecimentos produzidos, sistematizados e legitimados socialmente ao longo da histria, como resultado de um processo empreendido pela humanidade na busca da compreenso e da transformao dos fenmenos naturais e sociais. (BRASIL, 2013b, p. 23, grifos dos autores)

Atividade: Medindo Objetos com sombra

http://rived.mec.gov.br/atividades/matematica/medindo_objetos/index2.html

https://www.youtube.com/watch?v=b194vA-Gtfc

Desafiando a) Escolha uma edificao, um objeto ou uma rvore para que

seja possvel executar as tarefa a seguir; b) Selecione uma vara de madeira, de aproximadamente 100 cm

e coloque fincada verticalmente no solo ( a vare medida a partir do solo);

c) Procure observar as medidas da sombra da vara e do objeto simultaneamente em diferentes horas do dia para que seja possvel determinar a altura do objeto a partir das medies;

d) Anote os resultados obtidos durante as observaes realizadas;

e) Represente geometricamente o fato ocorrido utilizando para isso tringulos retngulos;

f) Representar geometricamente situaes-problemas que envolvam semelhanas entre tringulos retngulos;

g) Representar no plano cartesiano as relaes entre as medidas de sombras e as horas do dia;

h) Material: Papel, Trena ou fita mtrica.

Como ser que surgiu o zero? Quais eram as representaes para o zero?

HOMEM VITRUVIANO

Vamos aproveitar nossa curiosidade.

Procure Listar noes especifica de seu componente curricular que capaz de identificar.

Obs.: A ideia que no espao coletivo de discusso, ao final da Unidade, todos os professores possam refletir em conjunto sobre a complexidade de leituras possveis para esse esboo de Leonardo da Vinci.

gora (Alexandria (ttulo no Brasil) ou gora (ttulo em Portugal))

O filme relata a histria de Hiptia, filsofa e professora em Alexandria, no Egito entre os anos 355 e 415 d.C. nica personagem feminina do filme, Hiptia ensina filosofia, matemtica e astronomia na Escola de Alexandria, junto Biblioteca. Resultante de uma cultura iniciada com Alexandre Magno, passando depois pela dominao romana, Alexandria agitada por ideais religiosos diversos: o cristianismo, que passou de religio intolerada para religio intolerante, convive com o judasmo e a cultura greco-romana

Hiptia tem entre seus alunos Orestes, que a ama, sem ser correspondido, e Sinsio, adepto do cristianismo. Seu escravo Davus tambm a ama, secretamente. Hiptia no deseja casar-se, mas se dedica unicamente ao estudo, filosofia, matemtica, astronomia, e sua principal preocupao, no relato do filme, com o movimento da terra em torno do sol.

Como podemos usar esse filme como Atividade Integradora?

Questes Ambientais com o tema gua para o ensino-aprendizagem de funes

Selecionar textos que tratam da temtica gua;

Conhecer sua conta de gua: pode-se orientar os alunos a visitarem a companhia de gua. Encontrar um modelo ou uma funo para o consumo de gua de sua residncia.

F(x) = ax + b

Movimentos artsticos e Geometria

NeoPlasticismo: Piet Mondrian (1872 1944);

Cubismo: Pablo Picasso (1881 1973);

Lygia Clark (1920 1988)

Grupo FRENTE: Brasil; Lygia Clark (1920 1988); Superficies Moduladas, 1955 57

Hlio Oiticica (1937 1980). Magic Square # 5 (1977)

Que tal montar uma exposio inspirada na obra de Lygia Clark ou Hlio Oiticica como uma maneira de mobilizar conhecimentos de todas as reas, a partir das dimenses do Trabalho, cultura, cincia e Tecnologia?

Como podemos fazer isso? Fazer um roteiro de nossas ideias para compartilhar com nossos colegas.

Dilogo entre as reas de conhecimento escolar

O trabalho como Princpio educativo

Pesquisa como principio pedaggico

Educar pela pesquisa

Questionamentos

Construo

Validao de argumentos

partir de uma pergunta para formular um projeto

Algumas propostas

Como podemos incentivar e divulgar o trabalho da (s) bandas da escola?

Linguagem e Matemtica: Realizao de um concurso de logotipos;

Envolve criatividade, elaborao de textos, cartazes e uso de grficos funcionais.

Criao de regulamento para o concurso do logotipo

Chaves, Isaura de Albuquerque chaves. Modelando Matematicamente questes ambientais relacionadas com a gua a propsito do ensino-aprendizagem de funes na 1 srie do ensino mdio. Dissertao (Mestrado em Educao em Cincias e Matemtica). Universidade Federal do Par. 151 f. Belm. 2005.

Como a matemtica pode ajudar a ser vitoriosos em jogos eletrnicos?

Geografia, sociologia e Estatstica e outras reas.

Em busca de uma educao para a Paz A Educao a estratgia mais importante para levar o

indivduo a estar em paz consigo mesmo e com o seu entorno social, cultural e natural e a se localizar numa realidade csmica.

Minha proposta fazer uma Educao para a Paz e em particular uma Educao Matemtica para a Paz. (DAmbrosio, )

Por que insistirmos em Educao e Educao Matemtica e no prprio fazer matemtico se no percebemos como nossa prtica pode ajudar a construir uma humanidade ancorada em respeito, solidariedade e cooperao?

No Paz, falta de respeito com a as limitaes do outro;

Um Exemplo

Muitos continuaram intrigados: "Mas como relacionar trinmio de 2 grau com Paz?". provvel que esses mesmos indivduos costumam ensinar trinmio de 2 grau dando como exemplo a trajetria de um projtil de canho. Mas estou quase certo que no dizem, nem sequer sugerem, que aquele belssimo instrumental matemtico, que o trinmio de 2 grau, o que d a certos indivduos -- artilheiros profissionais, que provavelmente foram os melhores alunos de Matemtica da sua turma -- a capacidade de dispararem uma bomba mortfera de um canho para atingir uma populao de gente, de seres humanos, carne e osso, emoes e desejos, e mat-los, destruir suas casas e templos, destruir rvores e animais que estejam por perto, poluir qualquer lagoa ou rio que esteja nos arredores. A mensagem implcita acaba sendo: aprenda bem o trinmio do 2grau e voc ser capaz de fazer isso. Somente quem faz um bom curso de Matemtica tem suficiente base terica para apontar canhes sobre populaes.

Como podemos observar isso em sala de aula?

Em que momento os livros didticos direcionam para uma cultura de paz?

Nestes livros existem questes que de certa forma direcionam para um cultura de no-paz?

Que atitudes devem ser favorecidas enquanto docente para que trabalhamos a educao matemtica para a paz?

Que atitudes esperamos de nossos alunos para um direcionamento para a paz?

Que tal fazer uma tabela que traga de forma objetiva possveis propostas para tentar responder essas questes?

Obrigado !!!!!!!

andrey.depaula@uft.edu.br

Referncias BASSANEZI, R. C. Ensino-aprendizagem com modelagem matemtica: uma nova estratgia. 1 ed. So

Paulo: Contexto, 2002. MEYER, J. F. C. A; CALDEIRA, A. D; MALHEIROS, A. P. S. Modelagem em Educao Matemtica. Belo

Horizonte: Autntica Editora, 2011. (Coleo Tendncias em Educao Matemtica).

DAMBRSIO, Ubiratan, (1986). Da realidade ao: Reflexes sobre educao e matemtica. Campinas, SP: Editora da UNICAMP.

BURAK, Dionsio. Modelagem matemtica: aes e interaes no processo de ensino aprendizagem. 1992. Tese (Doutorado em Educao). Faculdade de Educao, Universidade Estadual de Campinas, Campinas.

BRASIL. Guia de livros didticos: PNLD 2008: Matemtica/Braslia: Ministrio da Educao, Secretaria de

Educao Bsica, 2007. Disponvel em: http://www.fnde.gov.br/arquivos/file/1947-guia-pnld-2008-matematica Acesso em: 23/0/2014.

CLARK, Lygia. O mundo de Lygia. Disponvel em: www.lygiaclark.org.br Acesso em 25/11/2014.

D`AMBROSIO, U. Por que se ensina matemtica? Disciplina distncia, oferecida pela SBEM. Disponvel em: http://apoiolondrina.pbworks.com/f/Por%20que%20ensinar%20Matematica.pdf. Acesso em 14/11/2014.

BRASIL. (2013). Secretaria de Educao Bsica. Formao de professores do Ensino Mdio, etapa II - Caderno V: Matemtica / Ministrio da Educao, Secretaria de Educao Bsica [autores: Ana Paula Jahn ... Et al. ]. Curitiba: UFPR/Setor de Educao, 2014.

BORTOLOSSI, H. J. As verdadeiras propores do homem vitruviano. Disponvel em: http://www.uff. br/cdme/rza/rza-html/rza-vitruvian-br.html Acesso em: 12/09/2014.

Ponte, Joo Pedro. Investigao sobre investigaes matemticas em Portugal. Investigar em Educao,2, 93-169.