Limites y continuidad

Límites o Idea intuitiva de límite o Generalización del concepto de límite o Formalización de la idea intuitiva de límite o Definición de límite o Límites laterales o Definición de límites laterales o unilaterales o Teoremas fundamentales sobre límites o Otros aspectos sobre límites o Límites que involucran funciones trigonométricas o Límites infinitos y límites al infinito o Teoremas sobre límites infinitos o Límites que involucran la función exponencial y la función logarítmica o Demostraciones

Continuidad de funciones o Introducción o Definición de continuidad o Discontinuidades evitables o Continuidad en un intervalo [a,b] o Definición de continuidad utilizando y o Teoremas sobre continuidad de funciones o Algunas propiedades de las funciones continuas o Continuidad y funciones

o Valores máximos y mínimos para funciones continuas o Demostraciones

 

 

 

Derivada de una función  

Introducción La derivada de una función Notaciones para la derivada de una función Continuidad y derivabilidad Teoremas sobre derivadas Derivada de una función compuesta   (Regla de la cadena)

Diferenciales. Interpretación geométrica o Incrementos o Diferenciales

Derivadas de orden superior Derivada de la función logarítmica Derivada de la función exponencial Derivada de las funciones trigonométricas Derivadas de las funciones inversas Las funciones trigonométricas inversas y sus derivadas Funciones paramétricas Funciones implícitas y su derivada

o Derivada de segundo orden para una función dada en forma implícita Teorema de Rolle(o teorema sobre las raíces de la derivada Teorema del valor medio para derivadas (Teorema de Lagrange) Teorema de Cauchy del valor medio (o extensión del teorema del valor medio

para derivadas) Regla de L'Hôpital

o Introducción o Teorema:     Regla de L'Hôpital o Teorema   o Aplicación de la Regla de L'Hôpital a otras formas indeterminadas o Límites que presentan la forma o Otras formas indeterminadas

 

 

Algunas aplicaciones de la derivada

 

Estudio de la variación de funciones o Funciones crecientes y decrecientes y su relación con la derivada o Valor máximo y valor mínimo de una función o Criterio de la primera derivada para determinar los máximos y los mínimos de una

función

Concavidad y puntos de inflexión o Criterio de la segunda derivada para establecer los valores máximos y

los valores mínimos de una función

Trazo de curvas Resolución de problemas de máximos y mínimos:

 

 

 

Integral indefinida

 

Integral Indefinida Fórmulas y métodos de integración

o Regla de la cadena para la antiderivación o Integral de la función exponencial de base e

Integral de la función exponencial de base " a " oo Integral que da como resultado la función logaritmo natural o Integrales de las funciones trigonométricas o Integrales que involucran potencias y productos de funciones

trigonométricas o Integrales que dan como resultado funciones trigonométricas

inversas o Técnicas de Integración

Método de sustitución Integración por partes Integración por sustitución trigonométrica Integración de fracciones racionales

 

 

Integración

 

Introducción La integral definida

o Propiedades fundamentales de la integral definida

  Contenido

 

 

1. Definiciones 2. Cálculo de áreas

o Ejemplos 3. Área de una región comprendida entre dos curvas

o Ejemplos 4. Volúmenes de sólidos de revolución

o Ejemplos 5. Longitud de una curva plana

o Ejemplos 6. Cálculo de trabajo con ayuda de la integral definida

o Ejemplos

Software

 

 

 

Idea intuitiva de límite

En este capítulo vamos a presentar la idea formal de límite como una operación aplicada a una función en un punto.

Se establecerán también algunos teoremas sobre límites de sumas, productos y cocientes de funciones.

Iniciaremos nuestro estudio con la idea intuitiva de límite.

La presentación de los ejemplos siguientes pretenden dar una idea del significado del límite de una función en un punto.

Ejemplo 1:

Consideramos la función definida por con dominio en .

La representación gráfica es la siguiente:

Nos interesa observar el comportamiento de la función para valores de cercanos a 2 pero no iguales a 2.

Veamos las tablas siguientes:

Tabla a.

Tabla b.

 

Puede observarse de ambas tablas que conforme se aproxima más a 2, toma, cada vez, valores más próximos a 3.

En otras palabras, al restringir el dominio de la función a valores cada vez "más cercanos a 2", el conjunto de imágenes o sea, los valores que toma la función, se "acercan cada vez más a tres".

En este caso se dice que cuando tiende a 2, que se simboliza , entonces , o

sea tiende a 3. Esto puede escribirse como y utilizando la notación de

límites escribimos

que se lee: el límite de cuando tiende a 2, es igual a 3.

Ejemplo 2:

Nos interesa calcular el área de región limitada por la parábola con ecuación , el eje y la recta de ecuación .

La representación gráfica de esta región es la siguiente:

Dividimos el intervalo en partes iguales señaladas por los valores:

formando sobre cada una de las partes, un rectángulo cuyo lado vertical izquierdo toca a la

parábola en un punto, y cuya base mide en cada caso. Luego, el área de cada uno de estos rectángulos podemos expresarlas como sigue:

Así, la suma de todas la áreas de los rectángulos está dada por la siguiente igualdad:

de donde

Como , cuya prueba está al final del capítulo, entonces:

de donde

Tomando entonces

Observemos que si a "n" se le asignan valores positivos cada vez más grandes, entonces se aproxima a cero.

Si en la figura 1 se aumenta el número n de divisiones del intervalo, entonces crece el

número de rectángulos y la suma de las áreas de ellos se aproxima al área de la figura curvilínea.

Como se aproxima a cero cuando crece indefinidamente, puede decirse que

se aproxima al número , y así el área de la región tiende a .

La expresión "n" toma valores positivos cada vez mayores  puede sustituirse por ,

(n tiende a más infinito) y como , ( tiende a cuando ) , entonces, volviendo a utilizar la notación de límites escribimos:

que se lee: el límite de , cuando tiende a más infinito es .

Es importante señalar que al estudiar el límite de una función, no se menciona el valor que toma la función exactamente en el punto. Así, en el ejemplo 1, no importa cuál es el valor

de , sino el valor de cuando tiende a 2. Esto se debe a que el concepto de límite de una función en un punto es independiente del valor que toma la función en este.

Puede suceder que en dicho punto la función no esté definida y aún así exista el límite. El siguiente ejemplo presenta esta situación.

Ejemplo 3:

Sea la función definida por la ecuación para toda .

La representación gráfica de es:

De la gráfica puede observarse que aunque la función no está definida para , cuando toma valores muy cercanos a 2 la función se aproxima a 5, lo que escribimos como:

 

 

Generalización del concepto de límite

Sea una función definida para valores reales en los alrededores de un número b, aunque no necesariamente en b mismo, como se representa gráficamente a continuación:

Se observa que cuando entonces lo que se escribe como:

Recordemos que al calcular no importa que la función , esté o no definida en ; lo que interesa es que f esté definida en las proximidades de b.

Consideremos la siguiente representación gráfica de una función cualquiera para la que

:

 

Observe que aunque , para valores de próximos a se tiene que , por lo

que puede escribirse siempre

Observe ahora la siguiente representación gráfica de una función .

En este caso, cuando tiende a por la derecha, que se escribe , la función tiende a

, pero cuando tiende a por la izquierda, (denotado ) los valores de tienden a T.

Así, la función no tiende a un mismo valor cuando , por lo que se dice que no existe

Consideremos ahora la función definida por con , cuya representación gráfica es la siguiente:

Observe que cuando , entonces tiende a tomar valores positivos cada vez

mayores, (es decir, ), y que cuando , toma valores negativos cada vez

menores, ( ). Así, no tiende a ningún número real fijo y se dice que no existe.

 

 

Formalización de la idea intuitiva de límite

En el ejemplo 1 se analizó el comportamiento de la función con ecuación en las proximidades de 2.

Expresamos como , el hecho de que para acercar los valores de la función tanto

como se quisiera a 3, era suficiente acercar adecuadamente al valor 2, ( ).

De otra forma, puede decirse que es tan pequeño como se quiera, siempre que

sea suficientemente pequeño, aunque no igual a cero.

Utilizaremos las letras griegas (epsilon) y (delta) para escribir en forma más precisa lo anterior.

son números reales positivos que indican qué tan pequeño queremos hacer el valor

absoluto de la diferencia entre y 3, y el valor absoluto de la diferencia entre y 2 respectivamente.

Se dice entonces que será menor que , siempre que sea menor que y

.

Luego, si para cada puede encontrarse un tal que ,

entonces se dice que

Observe que se establece la condición , ya que únicamente nos interesa saber

cómo es para valores de cercanos a 2, no en 2 mismo, en cuyo caso sería igual a cero.

Gráficamente tenemos:

 

Se tiene que, en el eje , los valores están entre y , siempre que los valores de

, en el eje de , se localicen entre , o sea .

En general, el valor de es escogido arbitrariamente, pero la elección de depende de la elección previa de . No se requiere que exista un número "apropiado" para todo , si no que, para cada existe un específico.

Entre ,más pequeño sea el valor que se escoja de , más pequeño será el valor del correspondiente .

Luego, para el ejemplo 1, decimos que , pues para cada , existe , tal

que , siempre que .

En general, para una función cualquiera, el significa que "la diferencia entre

y puede hacerse tan pequeña como se desee, haciendo simplemente que esté

suficientemente próximo a , ".

 

 

 

Definición de límite

Sea una función definida en una vecindad del punto .

, si para cada número positivo este sea, es posible determinar un número positivo

, que satisfacen la desigualdad

.

Luego, si y solo si para cada tal que si ,

entonces .

En forma gráfica se tiene:

para cada existe

 

entonces

 

También el puede interpretarse de la forma siguiente: como la desigualdad

se deduce que , entonces todos los puntos en la gráfica de la función

con ecuación , que corresponden a los puntos que se localizan a una distancia no mayor que del punto , se encontrarán dentro de una franja de ancho ,limitada por las

rectas , como se muestra en la siguiente figura:

Puede decirse entonces que la definición de límite dada anteriormente , establece que los

valores de la función se aproximan a un límite , conforme se aproxima a un número

, sí el valor absoluto de la diferencia entre se puede hacer tan pequeña como se quiera tomando suficientemente cercana a "b", pero no igual a "b".

Daremos ahora algunos ejemplos en los que se utiliza la definición de límite:

Ejemplo:

a.

Probar que Solución:

Debe probarse que dado tal que siempre que

.

Vamos a establecer una relación entre .

Como o sea

.

Entonces, para hacer menor que , es suficiente que , por lo

que puede tomarse .

Luego, dado , existe tal que si entonces

.

b.

Probar que Solución:

Dada , debe encontrarse tal que siempre que

.

Como entonces para que

sea menor que es suficiente que por lo que podemos tomar

.

Luego, dado , existe tal que siempre que

.

c.

Probar que Solución:

Debe encontrarse en términos de , tal que sea menor

que cuando . Se tiene que

Como lo que nos interesa es el límite cuando tiende a 1, vamos a considerar los valores de que estén cerca de 1, pero que sean diferentes de 1.

Así, tomamos de donde y por tanto .

Vamos a determinar un número para el que cuando .

De la desigualdad se obtiene que por lo que y puede tomarse .

Luego cuando

Además es menor que

Por tanto, si se toma como el menor de los números entonces

cuando

Por ejemplo, si se toma entonces y

cuando

En general, el determinar el mediante el uso directo de la definición es difícil, por lo que para hacerlo se contará con la ayuda de una serie de teoremas, que estudiaremos más adelante.

Hemos dado un vistazo intuitivo y otro más formal sobre la noción de límite en un punto. En síntesis, lo que nos interesa saber es el comportamiento de una función cuando la variable independiente tiende a un determinado valor en el eje .

Ejemplo:

Determinar: , , , , , utilizando para ello la

siguiente representación gráfica de la función :

Solución

A partir de la gráfica de se tiene que:

, , , , ,

Ejercicio:

Determinar los siguientes límites, utilizando para ello la representación gráfica de la

función , que se da a continuación:

 

a. e.

b. f.

c. g.

d.

 

 

Límites laterales

Hasta el momento hemos visto límites de funciones cuyo trazo es continuo, sin cortes o saltos bruscos. Sin embargo, existen algunas funciones que presentan algunas discontinuidades, llamadas funciones discontinuas y que estudiaremos en el tema continuidad de funciones. Nos dedicaremos ahora a estudiar los límites en este tipo de funciones.

Consideremos la siguiente representación gráfica de una función , en la que existe una discontinuidad cuando :

notemos que cuando tiende hacia "a" por la derecha de "a" la función tiende a 2, pero cuando tiende hacia "a" por la izquierda de "a", la función tiende hacia 1.

Escribimos para indicar que tiende hacia "a" por la derecha, es decir, tomando valores mayores que "a".

Similarmente indica que tiende hacia "a" por la izquierda, o sea, tomando valores menores que "a".

Utilizando ahora la notación de límites, escribimos y . Estos límites reciben

el nombre de límites laterales; el límite por la derecha es 2 y el límite por la izquierda es 1.

Ejemplo:

Determinaremos los límites en los puntos de discontinuidad de la función cuya representación gráfica es la siguiente:

Se tiene que:

y

y

 

 

Definición de límites laterales o unilaterales

 

Definición de límite por la derecha

si y solo si para cada existe

entonces es el límite por la derecha de

 

 

Observe que no hay barras de valor absoluto alrededor de , pues es mayor que

cero ya que .

Definición de límite por la izquierda

si y solo si para cada existe

entonces es el límite por la izquierda de

 

Note que la expresión es mayor que cero, pues por lo que .

En adelante determinaremos los límites laterales a partir de la representación gráfica de una función cuya ecuación se da.

Ejemplo:

Determinar los límites, en los puntos de discontinuidad, de la función definida por:

Primero hagamos la gráfica de la función:

 

El punto de discontinuidad se presenta cuando

Luego: y

Observe que el límite por la derecha (3), es diferente al límite por la izquierda (2).

Ejercicio:

Represente la función definida por

y determine los límites laterales en el punto de discontinuidad.

Es posible demostrar que para que exista es necesario y suficiente que los límites laterales existan y sean iguales.

Es decir, si y solo si y

Por consiguiente, si es diferente de se dice que no existe.

Ejemplo:

Representemos gráficamente la función definida por:

 

Como y , entonces

Como y , entonces no existe.

Ejercicio:

Considere la representación gráfica de la función definida por:

Determine si existen cada uno de los límites siguientes:

a.

b.

c.

d.

e.

 

 

 

Teoremas fundamentales sobre límites

En los apartados anteriores hemos determinado el límite de una función en un punto, utilizando para ello la representación gráfica de la función. Sin embargo, se hace necesario poseer otros criterios que permitan agilizar el proceso. Con este fin es que estudiaremos algunos teoremas básicos para determinar el límite de una función en un punto.

Teorema 1 (sobre la unicidad del límite) 

una función definida en un intervalo tal que

y entonces .

O sea, el valor del límite de una función en un punto es único. Prueba:  Al final del capítulo.

son números reales entonces

  Prueba: Al final del capítulo.

Ejemplos:

1.

2.

 

Ejercicio:

Determine cada uno de los siguientes límites:

1.

2.

Como consecuencia del teorema anterior se tiene que:

a. con , en

b. con en

 

Ejemplos:

1.

2.

3.

4.

 

y es un número real entonces se cumple que

  Prueba: Al final del capítulo.

 

Ejemplos:

1.

2.

Ejercicio:

Determine cada uno de los límites siguientes:

1.

2.

 

entonces .

  Prueba: Al final del capítulo.

Ejemplos:

1.

2.

Ejercicio:

Determine los límites indicados.

1.

2.

 

son dos funciones para las que y se cumple que:

 

Este teorema lo que nos dice es que el límite de la suma de dos funciones, es igual a la suma de los límites de cada una de las funciones.

Prueba: Al final del capítulo.

 

Ejemplos:

1.

2.

Ejercicio:

Determine los límites siguientes:

1.

2.

El teorema anterior puede extenderse a un número cualquiera finito de funciones.

 

son dos funciones para las que y

se cumple que

 

Es decir, el límite del producto de dos funciones es igual al producto de los límites de cada una da las funciones.

Prueba: Al final del capítulo.

Ejemplos:

1.

2.

3.

Ejercicio:

Determine el valor de cada uno de los límites siguientes:

1.

2.

El teorema anterior puede extenderse a un número cualquiera finito de funciones

Observe que (n factores) por lo que aplicando el teorema anterior se tiene que:

(n factores)

Ejemplos:

1.

2.

En particular, el límite de la enésima potencia de es igual a la enésima potencia del

límite de . Es decir

Ejemplos:

1.

2.

 

son dos funciones para las cuales y entonces se tiene que:

siempre que

  Prueba: Se hará posteriormente utilizando para ello un resultado sobre continuidad de funciones, y el siguiente teorema.

 

siempre que

Prueba: Al final del capítulo.

Ejemplos de los teoremas 7 y 8

1.

2.

3. (se aplicaron los teoremas 2 y 4)

4. (por teorema 7)

(por teorema 5)

(Por teorema 3 y corolario del teorema 6)

5.

Observe que en este ejemplo se han aplicado directamente los teoremas estudiados, sin hacer el desglose paso por paso como en el ejemplo anterior.

Ejercicio:

Determine el valor de cada uno de los siguientes límites:

1.

2.

 

si:

es cualquier número positivo.

es impar.

  Prueba: Al final del capítulo.

Ejemplos:

1.

2.

3.

4.

 

, entonces si se cumple alguna de las condiciones siguiente:

es cualquier entero positivo ( ).

es un entero impar positivo.

  Prueba: Al final del capítulo.

 

Ejemplos:

1.

2.

3.

Ejercicio:

Determine el valor de cada uno de los siguientes límites:

1.

2.

 

son funciones tales que para todo

entorno reducido y además entonces se

cumple que .

  Prueba: Al final del capítulo.

 

El teorema anterior nos dice que si para próximo a , la función está comprendida entre

dos funciones que tienden a un mismo límite , entonces también tiende a .

Gráficamente podemos tener lo siguiente:

 

Por ejemplo, si es una función tal que y como

entonces se tiene que .

Sea ahora una función tal que

Se tiene que

Luego

Ejercicio:

Sea una función tal que

Calcule

Otros aspectos sobre límites

En algunos límites no es posible aplicar directamente los teoremas sobre límites, especialmente el del límite de un cociente de funciones, ya que se presenta la forma

indeterminada .

En estos casos se hace necesario realizar primero algún proceso algebraico, para luego determinar el valor del límite.

Es indispensable en esta parte tener muy en claro los conceptos sobre factorización, racionalización y valor absoluto.

Por medio de ejemplos estudiaremos:

a.      Límites que involucran factorizaciones 

 

1.

Si evaluamos el numerador se obtiene: y en el denominador:

Luego se tiene la expresión que no tiene sentido.

Como 2 hace cero ambos polinomios podemos hacer una factorización como sigue:

Luego el límite dado puede escribirse

como , y simplificando se obtiene: que sí puede determinarse pues

es diferente de cero.

Luego:

2.

Evaluando nuevamente numerador y denominador se obtiene:

Puede escribirse el límite anterior ya factorizados los polinomios como:

simplificando la expresión anterior.

Aplicando el teorema 7

 3.   Ejercicio     

Determinar:

b.      Límites que involucran racionalizaciones  

1.

Como al evaluar el numerador y el denominador se obtiene cero en ambos, procedemos a racionalizar el denominador de la forma siguiente:

en este último límite no hay ningún problema y aplicando los teoremas respectivos

se obtiene como resultado

 

2.  Recuerde que

 

Como vuelve a presentarse la forma , procedemos a racionalizar como sigue:

 3.     Ejercicio 

Determinar

 c.     Límites con valor absoluto

Recuerde que

1.

Como vuelve a obtenerse la forma . Como aparece

de acuerdo a la definición de valor absoluto se tiene que:

Así, para valores de mayores que 2 la expresión se puede sustituir por ,

y para valores de mayores que 2 se sustituye por , por lo que se hace

necesario calcular los límites cuando , es decir, se deben calcular los límites laterales.

Luego:

Como los límites laterales son diferentes entonces el no existe.

 

2.

 

Vuelve a presentarse la forma . Analizando el valor absoluto se obtiene que:

Como se desea averiguar el límite cuando es mayor que 1, entonces se analiza únicamente el siguiente límite:

En este caso el límite sí existe.

 3.   Ejercicio

Determinar el

d. Límites que involucran un cambio de variable  

1.

Al evaluar numerador y denominador en se obtiene . Aunque en este caso podría efectuarse una racionalización, el procedimiento sería muy largo pues hay que racionalizar tanto el numerador como el denominador. Por tanto, vamos a hacer un cambio de variable en la forma siguiente.

Se desea sustituir la expresión por otra que tenga tanto raíz cúbica como raíz

cuadrada. Luego, sea (observe que ).

Además cuando se tiene que y por tanto , es decir, ; en el

límite original se sustituye

Sustituyendo se tiene que:

Aunque vuelve a presentarse la forma , la expresión ahora es fácilmente factorizable.

Así:

 

2.

 

Nuevamente, evaluando el numerador y el denominador en 1 se obtiene

En este caso vamos a sustituir por una expresión que posea raíz quinta.

Tomamos entonces .

Cuando tiende a 1 se tiene que también tiende a 1 y por tanto

de donde  

Sustituyendo se obtiene que:

 3.  Ejercicio 

 

 

Límites que involucran funciones trigonométricas

Estudiaremos aquí los límites de las funciones seno y coseno, y algunos límites especiales que no pueden resolverse por los procedimientos ya estudiados.

Vamos a probar que:

a.   donde es un ángulo que se mide en radianes.

 Recordemos que la medida en radianes de un ángulo se define por la igualdad

siguiente: , donde el la longitud del arco interceptado por el ángulo, sobre una circunferencia de radio , cuyo centro coincide con el vértice del ángulo, como se muestra en la siguiente figura:

 

es la medida del arco es el radio del círculo

Consideramos ahora un círculo de radio uno y un ángulo agudo cuya medida en radianes es

 

En este caso como se tiene que por lo que

El triángulo es rectángulo y sus catetos miden respectivamente

(Note que ).

Por el teorema de Pitágoras se obtiene que:

Como la longitud de es menor que la longitud del arco , es decir, es menor que , se tiene que:

Como los dos sumandos del primer miembro de la desigualdad anterior son positivos, entonces cada uno de ellos es menor que la suma de ambos, por lo que:

y como entonces:

de donde

Si es un número positivo, podemos tomar de tal forma que

siempre que .

De otra manera: siempre que por lo que , y

similarmente, siempre que por lo que

De esta forma hemos probado los dos límites.

b.

Vamos a probar ahora que

Observe que este límite no puede resolverse por los procedimientos ya estudiados de factorización, racionalización o cambio de variable, y que al evaluar

directamente se obtiene la forma .

Consideremos nuevamente un círculo unitario y designemos por el ángulo central

(siendo en radianes su medida), con , como se muestra en la figura siguiente:

 

 

Puede observarse que: el área del el área del sector el área del

(1). Además se tiene que:

el área del .

el área del sector

el área del

Sustituyendo en (1):

de donde

Como entonces , por lo que podemos dividir los términos de la desigualdad anterior por , sin alternar el sentido de la desigualdad, obteniendo entonces que:

por lo que

Esta última desigualdad también es válida cuando pues

y además

Como y y , aplicando el teorema 11 se concluye que:

Ejemplos:

1.

2.

Observe que en este caso el argumento es , por lo que en el denominador se necesita también la expresión , de ahí que se lleve a cabo el siguiente procedimiento:

3. pues cuando

4.

5.

6. Ejercicio

 

7. Ejercicio

 

En los siguientes ejemplos utilizaremos un procedimiento común en algunos límites trigonométricos y que consiste en multiplicar por el conjugado de una expresión.

8.

Multiplicamos por el conjugado de que es como sigue:

9.

10.

Como entonces cuando .

Además

Desarrollemos :

Luego:

11. Ejercicio

  

12. Ejercicio

            

Límites infinitos y límites al infinito

El símbolo se lee infinito, es de carácter posicional, no representa ningún número real. Si una variable independiente está creciendo indefinidamente a través de valores

positivos, se escribe (que se lee: tiende a más infinito), y si decrece a través de

valores negativos, se denota como (que se lee: tiende a menos infinito).

Similarmente, cuando crece indefinidamente y toma valores positivos cada vez

mayores, se escribe , y si decrece tomando valores negativos escribimos

.

Consideramos la función definida por para . Vamos a determinar

el comportamiento de la función cuando cuando y cuando . Para ello nos ayudamos de las tablas siguientes:

 

a. 

    

En este caso, cuando , la función tiende a tomar valores positivos cada vez mayores. Esto podemos escribirlo como

, es decir

 

b. 

   

Ahora, cuando toma valores cercanos a 2 pero menores que 2, la función tiende a

valores negativos cada vez menores. Es decir, cuando , o sea

.

 c.

 

Ahora observe que es la que tiende a tomar valores positivos cada vez mayores,

obteniendo como resultado que tiende a valores cercanos a cero.

Así , o sea, cuando .

d.

   

En forma similar a la tabla anterior se tiene que cuando es decir,

Podemos representar gráficamente el comportamiento de la función en la forma siguiente.

Consideramos ahora la función definida por para , cuya representación gráfica es la siguiente:

 

Podemos decir que:

a.    y

b.   y       

Ejercicio 

Determine: , , , , , , utilizando

para ello la función .

Daremos ahora algunas definiciones sobre límites infinitos, y límites al infinito.

crece sin límite cuando tiende a , que se denota

, si para todo número real , (sin importar su magnitud),

tal que siempre que .

Gráficamente se tiene:

 

Esta definición nos dice que es posible hacer tan grande como se quiera, (es decir, mayor que cualquier número positivo ), tomando suficientemente cerca de .

Ejemplo

Consideremos la representación gráfica de la función definida por:

 

 

Demostremos ahora que

Para hacer la prueba, debe establecerse que dado un existe tal que

.

Observe que: .

Luego, dado , escogemos de tal forma que se satisfaga que

.

Si tomamos, por ejemplo, cuando , es decir,

cuando .

 

  Definición 

 

Se dice que decrece sin límite cuando tiende a , que se denota por

, si para todo número real , existe una tal que

 

Gráficamente se tiene que:

 

La definición anterior afirma que es posible hacer menor que cualquier número negativo , tomando suficientemente cerca de .

Ejemplo

Consideremos la representación gráfica de la función definida por

   

Demostremos ahora que

Para hacer la prueba debe establecerse que dado un , existe

siempre que

Observe que (el sentido de la desigualdad cambia pues ).

Además .

Note que sí tiene sentido pues

Luego, si y solo si por lo tanto tomamos .

Así, dada , existe , tal que siempre que

Si por ejemplo, tomamos entonces o sea , por lo que

siempre que

 

Se dice que tiende a cuando tiende a por la derecha, y se escribe

, si se cumple que a cada número positivo como se quiera), corresponde otro número positivo , (que depende de

.

 

Similarmente, se dice que tiende a cuando tiende a por la izquierda y se escribe

si siempre que (Observe que es mayor que cero

pues ya que ).

-El comportamiento de la función definida por cuando , está regido por la definición anterior.

Recuerde la representación gráfica de esta función hecha anteriormente.

-Los símbolos y se definen análogamente, escribiendo

en vez de . (note que si entonces )

Gráficamente se tiene:

 

En esta representación gráfica se tiene que tanto al acercarnos a por la derecha como por la izquierda, los valores de la función son negativos cada vez mayores, (mayores en el valor

absoluto), es decir, se tiene que y cuando

 

  Definición

 Se dice que cuando es decir, si para cada número positivo existe otro número positivo , tal que

.

Podríamos representar gráficamente este comportamiento de una función como sigue:

 

Observe que y que

Podemos anotar que

Ejemplo:

Demostraremos que

Para probar este límite, se debe establecer que dado un , debe existir

siempre que

Ahora, como si y solo si , entonces, para cualquier número , podemos

tomar de tal forma que se cumpla que .

Por ejemplo, si entonces . Esto significa que es mayor a 1000 siempre que sea mayor que 10.

La función f definida por , con , tiene como representación gráfica la siguiente

 

 

Nota: En forma similar a la definición anterior pueden definirse ,

y

En las siguientes representaciones gráficas vamos a ejemplificar el comportamiento de una función f en el que se evidencien los límites anteriores:

a.   

 

b. 

 

c.   

 

Ejercicio:

En cada caso, utilizando el dibujo que se da, determine los límites que se indican:

 

a) b) c) d)

 

a) b) c) d)

Consideraremos ahora la función f definida por

En las siguientes tablas vamos a evidenciar su comportamiento cuando y cuando

:

a.

 

 b.

 

 

En ambas tablas puede observarse que cuando toma valores positivos o valores negativos

cada vez mayores, (mayores en valor absoluto), se tiene que la función tiende a acercarse a 2, por lo que se puede escribir que:

y

A continuación hacemos la respectiva representación gráfica de la función :

 

Damos ahora las definiciones para los límites cuyo resultado es una constante cuando

y cuando

 

  Definición

 

Sea una función con dominio tal que para cualquier número existen

elementos de en el intervalo .

El límite de cuando tiende a más infinito es , que se representa

, si para cada existe un número tal que

para toda y .

 

Ejemplo

Probar que

Hay que demostrar que para existe tal que si

Se tiene que

Si entonces por lo que:

Luego, dada se cumple que si y solo si , o sea, si , por

lo que podemos tomar de tal forma que se verifique que siempre

que .

Por ejemplo, si entonces por lo que:

La representación gráfica de la función es la siguiente:

   

  Definición

 

Sea una función con dominio tal que para cualquier número , existen

elementos de en el intervalo .

El límite de cuando tiende a menos infinito es , que se representa

, si para todo existe un número tal que

para cada y .

 

Ejercicio

Utilizando la definición anterior y un proceso similar al desarrollado en el ejemplo inmediato anterior, pruebe que:

 

…………………..

Teoremas sobre límites infinitos

 

es cualquier entero positivo, entonces se cumple que:

si es par

si es impar

Al final del capítulo.

Ejemplos:

1. en este caso

2. con

Gráficamente se tiene que:

3.

4.

5.

6.

Ejercicio:

Determine cada uno de los límites siguientes:

1.

2.

3.

es cualquier número real, y con

si se tiene que y

si se tiene que y

si se tiene que y

si se tiene que y

Al final del capítulo.

Ejemplos: de cada uno de los casos que se mencionan en el teorema anterior.

1.

Observe que si se hiciera la sustitución directa se obtiene la forma indeterminada .

Como la expresión puede aproximarse a cero a través de valores positivos o a través de valores negativos, estudiaremos los límites laterales como sigue:

 

a.  

Como , entonces por lo que y se dice que . Así, el numerador tiende a una constante positiva y el denominador tiende a .

Luego, aplicando la parte 1 del teorema se obtiene que

b.

Como , entonces por lo que y se tiene que . Como el numerador tiende a una constante positiva y el denominador tiende a aplicando la

parte 2 del teorema anterior se obtiene que

Como los límites laterales son diferentes decimos que no existe.

 

2.

Observe que y que

Como la expresión puede tender hacia cero a través de valores positivos o a través de valores negativos debemos calcular los límites laterales de la siguiente forma:

 

a.

Como entonces por lo que y de donde .

Así el numerador tiende a una constante negativa y el denominador tiende a , por

lo que aplicando la parte 3 del teorema anterior se obtiene que

 

b.

Como entonces y de donde y puede decirse que

.

Luego, el numerador tiende a una constante negativa y el denominador tiende a , por lo que aplicando la parte 4 del teorema anterior se obtiene que

Como entonces no existe.

Ejercicio:

Calcular cada uno de los límites siguientes:

1.

2.

 

  Teorema 14

 

Sean y funciones con dominios respectivamente y sea "a" un número tal que todo intervalo abierto que contenga a "a" contiene números

diferentes de "a" en .

Si y entonces

1.

2. si

3. si

4.

Prueba: Al final del capítulo.

 

Ejemplos:

 

a.

En este caso y pues y en el numerador se tiene una constante positiva, obteniéndose el resultado anterior al aplicar la parte 1 del teorema 13.

Luego:

 

b.

 

 Este límite anterior puede escribirse como siendo

y

Calculamos el

Como entonces y ; además la constante en el numerador es

positiva por lo que aplicando la parte 1 del teorema 13 se tiene que

Ahora, el y aplicando la parte 2 del teorema anterior se tiene

que

 

c.

 Este límite puede escribirse como sabemos que y

además por lo que aplicando la parte 3 del teorema anterior

concluimos que

d.

 

En este caso se tiene que y que   por parte 1 del teorema 13 de donde, aplicando la parte d) del teorema 14 concluimos que

dos funciones, "a" un número con la propiedad mencionada en el

entonces:

Similar a la del teorema 14.

Ejemplos:

1.

En este caso y

Calculemos

Si entonces por lo que puede decirse que

Como la constante en el numerador es positiva, aplicando la parte 2 del teorema 13 se deduce que:

Por otra parte , y aplicando el punto 1 del teorema 15 se obtiene que

2.

Este límite puede escribirse como

Como y , aplicando la parte 2 del teorema 15 se obtiene que

3.

El límite anterior puede escribirse como

Como , y , entonces aplicando el punto 3 del

teorema 15 se obtiene que

4.

En este caso se tiene que y por parte 2 del teorema 13

(compruébelo). Luego aplicando el punto 4 del teorema 15 se tiene que

Ejercicios: aplicación de los teoremas 13,14 y 15

Calcule los límites siguientes:

1.

2.

3.

  Teorema 16

  Si y son funciones tales que y entonces se

cumple que:

1.

2.

Prueba: Ejercicio para el estudiante.

 

Ejemplo:

Determinar el límite siguiente

En este caso calculemos: y

Como entonces y por lo que y o sea

y . Luego, se tiene que y (por teorema 13), y concluimos de acuerdo al teorema anterior que:

Ejercicio

Calcule cada uno de los límites siguientes:

1.

2.

  Teorema 17

 

Si y son funciones tales que y entonces:

1.

2.

Prueba: Ejercicio para el estudiante

 

Ejemplo:

Calculemos:

y

Como entonces por lo que , o sea y .

Luego, se tiene que (por teorema 13 parte 2) y (por teorema 13 ).

Entonces, utilizando el teorema anterior se tiene que:

y

Ejercicio

Calcule los límites siguientes:

1.

2.

  Teorema 18

  Si y son funciones tales que y entonces:

 Prueba: Al final del capítulo.

 

Ejemplo:

Calculemos:

y

Como entonces además y cuando . Luego, se

tiene que: y y aplicando el teorema anterior tenemos que:

Ejercicio:

Calcule

Nota: los teoremas 12 a 18 son válidos cuando

 

  Teorema 19

 Si entonces Prueba: Al final del capítulo.

 

Ejemplos:

1.

2.

3.

4.

5.

  Teorema 20

 

Si es un número positivo tal que es un número real para , entonces

Prueba: Similar a la del teorema 19.

 

Nota: observe que, como está creciendo a través de valores negativos es necesario que sea un número real, no teniendo sentido expresiones como:

 

Ejemplos:

1.

2.

3.

4.

Note que si entonces por lo que sí tiene sentido cuando .

Daremos ahora ejemplos de límites cuando y cuando . Para calcular

y factorizamos la variable de mayor exponente como se evidencia a continuación.

1.

Note que cuando

2.

pues

 

3.     ejercicio para el estudiante

4.

Recuerde que cuando

5.

Observe que evaluando, el numerador tiende a una constante (5), y el denominador

tiende a .

(por teorema 19)

 

6.

Como está definida a través de valores positivos entonces

Observe que y que la expresión dentro del paréntesis tiende a .

 

7.

Como crece a través de valores negativos se tiene que

Nota: Recuerde si es par.

 

8. Ejercicio  

9.

Note que

 

10.

Observe que:

Luego se presenta la forma para la que no tenemos ningún teorema que nos permita dar el resultado.

Cuando se presenta esta situación, primero racionalizamos y luego evaluamos el límite con el proceso que ya conocemos:

Así tenemos que:

 

11.

Observe que:

y

Por lo que en este caso se presenta la forma , o sea, para la que sí existe un teorema y concluimos que:

Ejercicio

1. (respuesta: 2)

 

 

Límites que involucran la función exponencial y la función logarítmica

Recordemos primero el comportamiento de la función exponencial y el de la función logarítmica.

1. con

 

Note que: y

2. con

 

Note que: y

3. Función logarítmica de base

 

 

 

Observe que: y

Además y

Si entonces y , o sea y por tanto .

Si entonces y por lo que y

Tomando en cuenta las representaciones gráficas de las funciones exponenciales y

logarítmicas, estudiaremos límites que involucran funciones de la forma con constante.

Calculemos los siguientes límites:

1.  

 

En este caso se tiene la función exponencial de base .

Observe que en la expresión el denominador tiende a cero cuando , por lo que analizaremos el comportamiento de esta expresión cuando , y cuando

a.

Si entonces , por lo que (Teorema 13)

Como entonces

 pues estamos trabajando con la función exponencial con base mayor que .

Luego

 

 

b.

Si entonces , por lo que

Como el exponente de la función exponencial tiende a más infinito entonces:

 cuando y por tanto:

 

Como los límites laterales son diferentes entonces

   no existe

 

2.

 

Tratamos nuevamente con la función exponencial, pero ahora la base es

(Revise la representación gráfica de )

Calculamos los límites laterales nuevamente pues el denominador de la expresión

tiende a cero cuando

a. 

3.  

 

 Si entonces por lo que y como se

tiene que

Luego

 

b. 

 

 Si entonces por lo que y como

entonces

Luego

 

         Como

         entonces         no existe.

 

4.  

Observe que cuando se tiene que por lo que

. Como el numerador tiende a una constante, y el denominador tiende a cero, es necesario calcular los límites laterales como sigue:

a.

 Como entonces por lo que y por tanto

, de donde y se tiene que

Luego

b.

 

Como entonces por lo que y por tanto

, de donde o sea que y se tiene que

Por tanto:

Como los límites laterales son diferentes, se concluye que:

no existe.

5. Ejercicio  

6. Ejercicio

7.

 

Se deben analizar dos casos:

 i. ii.

Además se debe tomar en cuenta el comportamiento de la función en los

alrededores de , pues y por lo que el denominador tiende a cero cuando .

La representación gráfica de la función , en el intervalo es la siguiente:

 

Observe que cuando se tiene que y que cuando entonces

, por lo que y

Ahora analicemos el límite pedido.

i.

Cuando  

1)

 

2)

 

Como los límites laterales son diferentes entonces:

no existe.

ii.

Cuando  

1)

 

2)

 

Luego, los límites laterales son diferentes por lo que no existe.

 

8.

En este caso la base de la función exponencial es y .

Como y cuando , analicemos la gráfica de

cuando , analicemos la gráfica de en los alrededores de

 

Si entonces por lo que y , es decir,

Si entonces por lo que y , o sea,

.

Luego al calcular los límites laterales se tiene que:

y

Por lo que no existe.

 

9. Ejercicio para el estudiante.

 

 

Límites que involucran la función exponencial y la función logarítmica

Recordemos primero el comportamiento de la función exponencial y el de la función logarítmica.

1. con

 

Note que: y

2. con

 

Note que: y

3. Función logarítmica de base

 

 

 

Observe que: y

Además y

Si entonces y , o sea y por tanto .

Si entonces y por lo que y

Tomando en cuenta las representaciones gráficas de las funciones exponenciales y

logarítmicas, estudiaremos límites que involucran funciones de la forma con constante.

Calculemos los siguientes límites:

1.  

 

En este caso se tiene la función exponencial de base .

Observe que en la expresión el denominador tiende a cero cuando , por lo que analizaremos el comportamiento de esta expresión cuando , y cuando

a.

Si entonces , por lo que (Teorema 13)

Como entonces

 pues estamos trabajando con la función exponencial con base mayor que .

Luego

 

 

b.

Si entonces , por lo que

Como el exponente de la función exponencial tiende a más infinito entonces:

 cuando y por tanto:

 

Como los límites laterales son diferentes entonces

   no existe

 

2.

 

Tratamos nuevamente con la función exponencial, pero ahora la base es

(Revise la representación gráfica de )

Calculamos los límites laterales nuevamente pues el denominador de la expresión

tiende a cero cuando

a. 

3.  

 

 Si entonces por lo que y como se

tiene que

Luego

 

b. 

 

 Si entonces por lo que y como

entonces

Luego

 

         Como

         entonces         no existe.

 

4.  

Observe que cuando se tiene que por lo que

. Como el numerador tiende a una constante, y el denominador tiende a cero, es necesario calcular los límites laterales como sigue:

a.

 Como entonces por lo que y por tanto

, de donde y se tiene que

Luego

b.

 

Como entonces por lo que y por tanto

, de donde o sea que y se tiene que

Por tanto:

Como los límites laterales son diferentes, se concluye que:

no existe.

5. Ejercicio  

6. Ejercicio

7.

 

Se deben analizar dos casos:

 i. ii.

Además se debe tomar en cuenta el comportamiento de la función en los

alrededores de , pues y por lo que el denominador tiende a cero cuando .

La representación gráfica de la función , en el intervalo es la siguiente:

 

Observe que cuando se tiene que y que cuando entonces

, por lo que y

Ahora analicemos el límite pedido.

i.

Cuando  

1)

 

2)

 

Como los límites laterales son diferentes entonces:

no existe.

ii.

Cuando  

1)

 

2)

 

Luego, los límites laterales son diferentes por lo que no existe.

 

8.

En este caso la base de la función exponencial es y .

Como y cuando , analicemos la gráfica de

cuando , analicemos la gráfica de en los alrededores de

 

Si entonces por lo que y , es decir,

Si entonces por lo que y , o sea,

.

Luego al calcular los límites laterales se tiene que:

y

Por lo que no existe.

 

9. Ejercicio para el estudiante.

Continuidad de funciones.

Introducción

"Cuando empezó a desarrollarse el Cálculo, la mayor parte de las funciones con las que se trabajaba eran continuas, y por lo tanto no se sentía la necesidad de penetrar en el significado exacto de continuidad. Fue ya entrado el siglo XVIII que se presentaron algunas funciones discontinuas en conexión con distintas clases de problemas físicos. En particular, los trabajos de J.B.J. Fourier  (1758-1830) sobre la Teoría del calor, obligaron a los matemáticos de principios de siglo XIX a examinar cuidadosamente el significado de los conceptos de función y continuidad.

 A pesar de que el significado de la palabra "continuo" parece intuitivamente clara a todo el mundo, no es fácil imaginarse cuál sería una buena definición de esta idea. Un diccionario popular da la siguiente definición de continuidad:

Continuidad: Cualidad o condición de ser continuo. Continuo: Que tiene continuidad entre las partes.

Intentar aprender el significado de continuidad únicamente a partir de estas dos definiciones, es lo mismo que intentar aprender chino con sólo un diccionario chino.

 Una definición matemática satisfactoria   de continuidad, expresada  enteramente por medio de las  propiedades del  sistema de los números reales,  fue  formulada   por  primera vez  en  1821 por el  matemático  francés  Agustín-Louis Cauchy (1789-1857)". (Apóstol, 1977, 156)

Antes de dar la definición de continuidad de una función en un punto, veremos el comportamiento de algunas funciones que no son continuas.

a.

Sea f la función definida por

Su representación gráfica es la siguiente:  

 

  

En este caso la función f está definida en pues .

Sin embargo el no existe ya que

, y,

y se tiene que los límites laterales son distintos.

b.

Sea g la función definida por para ,

Su representación gráfica es la siguiente

 

 

  

Note que la función g no está definida en 2 y que además no existe pues

y  c.

Consideremos ahora la función h definida por:

Su representación gráfica es la siguiente:

 

 

  

En este caso, la función h está definida en 1 pues , además existe y

es igual a 1, pero

Puede observarse que las gráficas de las funciones f, g y h, presentan "saltos bruscos" o discontinuidades en los puntos en los que no está definida la función o en los puntos, en los que aún cuando la función está definida, el límite de la función en ese punto no existe, o su valor es diferente al que toma la función en ese punto. Luego, debemos establecer condiciones bajo las cuales se sepa con certeza cuándo una función es continua. De los ejemplos anteriores podemos deducir intuitivamente lo que se establece en la siguiente definición.

Definición de continuidad 

Se dice que una función f es continua en c si y solo si se cumplen las tres

condiciones siguientes:

está definida, (o sea, c pertenece al dominio de f)

existe

La función f será discontinua en c si por lo menos una de las condiciones anteriores no se cumple.

Ejemplo

Determinar si la función definida por es continua en

Primero por lo que f está definida en 2

Calculemos

(de aquí existe)

Como entonces f es continua en

Note que f no está definida ni en , ni en por lo que f es discontinua en esos puntos.

 

Ejemplo

Determine si la función definida por

es o no continua en

Se tiene que (es decir, 4 pertenece al dominio de )

Además

Pero por lo que es discontinua en .

La representación gráfica de la función es la siguiente:

 

 

   

Ejemplo

Sea f la función definida

Determinar si f es continua en

Según la definición de la función .

Además

Luego por lo que f es continua en

La representación gráfica de esta función es la siguiente:

 

 

 

Ejercicios

Determine si la función f definida por es o no continua en

Similarmente para la función h definida por , en los puntos y

 

 

Discontinuidades evitables

Si una función f es discontinua en pero se tiene que existe, entonces sucede

que no existe o que es diferente de . Ambas situaciones se ilustran a continuación:

y no existe y ( )

En ambos casos, la discontinuidad de la función puede evitarse predefiniendo la función de

tal forma que sea igual al resultado del

Ejemplo

Sea f la función definida por

Determinemos si f es continua en

Se tiene que y que

Se observa que existe pero es diferente de

Luego, si le asignamos a el valor de 0 (cero), la función es continua. Puede escribirse de nuevo la definición de f como sigue:

Ambas situaciones se ilustran a continuación:

 

 

La discontinuidad será inevitable o esencial si el limite de la función en el punto de discontinuidad no existe.

Ejemplo

Consideremos la función definida por

Analicemos la continuidad en .

Como f no está definida en 2, automáticamente f es discontinua en ese valor. Sin embargo,

si el existe puede redefinirse la función para que sea continua. Calculemos por

tanto el .

Para ello vamos a analizar los límites laterales como sigue:

Como los límites laterales son diferentes entonces no existe y la discontinuidad es inevitable, ya que no podemos redefinir la función. La representación gráfica de la función f es la siguiente:

 Ejercicio

Para cada una de las funciones definidas a continuación, determine si la función es o no continua en el valor de especificado.

En caso de discontinuidad, especifique si ésta es evitable o no.

Si la discontinuidad es evitable, escriba la nueva definición de la función.

 

1.

  

2.

  

3.

 

 

 

Continuidad en un intervalo [a,b]

Una función f definida en un intervalo , es continua en el intervalo si:

a.es continua para todo tal que

 b.

es continua por la derecha en "a"

 c.

es continua por la izquierda en "b"

Es decir, f es continua en si:

a.      

 b.

 

c.

 

Ejemplo

Consideremos la función f definida por .

Esta función es continua en el intervalo cerrado , ya que si se tiene que:

; además

, y,

La representación gráfica de esta función es la siguiente:

 

 

   

También se tiene que una función definida en el intervalo , es continua en ese

intervalo, si y solo si es continua en el intervalo abierto y es continua por la derecha de "a".

Similarmente, para que una función definida en el intervalo sea continua en ese

intervalo, es necesario que sea continua en el intervalo abierto y a la vez que sea continua por la izquierda en "b".

Ejemplo

Consideremos la función definida por en el intervalo .

Para , se tiene que

Además , por lo que la función es continua por la derecha en .

Luego f es continua en

Ejemplo

Considere la función definida por en el intervalo .

Pare se tiene que y

por lo que es continua en

Además, y es continua por la izquierda en 2.

Luego es continua en el intervalo

 

 

Definición de continuidad utilizando y  

Según la definición de continuidad, una función f es continua en un punto c si

.

Utilizando la definición de límite, la anterior igualdad significa que para cada existe

tal que si entonces

 

Sin embargo ahora la restricción no es necesaria, ya que si toma

entonces y por lo que y cero es menor que , lo cual cumple con lo que estipula la definición de límite.

Luego puede decirse que

Una función es continua en si y solo si para cada existe

entonces .

 

Note que si la función es continua en c, entonces el punto está en la gráfica de f y

existen puntos de ella tan cercanos como se desee al punto .

Según la definición dada de continuidad, dada una y para cualquier selección de las

rectas cuyas ecuaciones son , , existen rectas con ecuaciones

, tales que la parte gráfica de f que está entre las dos últimas líneas, queda enteramente contenida en el rectángulo determinado por las cuatro rectas ya mencionadas, como se muestra en la figura siguiente:

 

Teoremas sobre continuidad de funciones  

Si las funciones f y g son continuas sobre los intervalos y

respectivamente y si entonces:

es continua sobre el intervalo U

es continua sobre U

es continua sobre U (Producto de dos funciones)

es continua sobre U, excepto para tal que

Demostración: al final del capítulo.

 

 

definida por , donde es un polinomio real, es continua para todo número real.

)

al final del capítulo

Según el teorema son ejemplos de funciones continuas las siguientes:

Ejemplos

1.

La función definida por es continua para todo

, ya que  el polinomio en el denominador se hace cero cuando se

evalúa en , o 2.

La función definida por es continua para tal que y

  Teorema d

 

Sean y dos funciones tales que

Además y g es continua en d.

Entonces

Demostración: al final del capítulo.

 

Ejemplo:

Sean y dos funciones tales que:

,

Como y g es continua para pues

, entonces

 

 

  Teorema e

 

Si es una función continua en y es una función continua en ,

entonces la composición de funciones es continua en .

Demostración: al final del capítulo.

 

Nota: La continuidad de la composición de funciones es válida para cualquier número finito de funciones, siempre y cuando se cumpla que cada función sea continua en su respectivo argumento.

Ejemplo

1.

Sean y dos funciones definidas por las siguientes ecuaciones ,

.

Note que es una función polinomial y por lo tanto continua para todo . La

función f es continua para

Luego la función será continua para los

valores de x tales que sea mayor o igual que cero.

Como y , entonces la función h será continua para todo valor real.

2.Consideremos las funciones definidas por  

, .

La función es continua para , y la función es continua para todo valor real por ser función polinomial.

Luego la función , dada por sea continua siempre

, es decir, siempre que .

3.

La función h definida por es continua siempre que sea mayor que cero.

Esta última condición se satisface cuando

   Teorema f

 

La función seno definida por es continua sobre todo su dominio, o sea. sobre todo .

Demostración: al final del capítulo.

Ejemplo

La función f definida por es continua siempre que x sea diferente de cero,

pues en se tiene que no está definida.

  Teorema g

 

La función coseno denotada por es continua sobre todo su dominio .

Demostración: Ejercicio para el estudiante.

Ejemplo

La función puede considerarse como la composición de las funciones con

ecuaciones , . Como la función f es continua para y la función g es continua para todo x en , entonces la función h es continua siempre que sea mayor o igual a cero, lo que sucede cuando:

  , , par.

Algunas propiedades de las funciones continuas

Daremos ahora algunas propiedades de las funciones continuas sobre un intervalo, cuya interpretación geométrica parece hacerlas evidentes.

 

una función continua en c tal que .

Existe entonces un intervalo en el que f tiene el mismo signo que

Demostración: al final del Capítulo.  

Gráficamente se tiene:

En este caso para x cercano a c, pues

Teorema de Bolzano

una función continua en cada punto de un intervalo cerrado

y tiene signos opuestos. Entonces existe por lo menos un

en el intervalo abierto tal que

Demostración: al final del capítulo.

Geométricamente puede interpretarse este teorema como sigue:

la gráfica de la función continua con ecuación , que une los puntos y

, donde y , (o bien , ), corta o interseca el eje X por lo que menos un punto, como se representa en las figuras siguientes:

Note que En este caso , y

Ejemplos

1.

Consideremos la función f con ecuación en el intervalo .

Como , , , , entonces existe por lo menos un

en tal que .

En este caso .

Gráficamente se tiene:

 2.

Consideremos ahora la función con ecuación en el intervalo

Como y , entonces existe por lo menos un valor en el

intervalo     tal que La representación gráfica de la función es la siguiente:

 

Note que la función interseca al eje X en un valor entre -2 y -1 en , y en un valor entre

3 y 4. Resolviendo se obtiene que , ,

 

  Teorema del valor intermedio para funciones continuas.

 

Sea f una función definida y continua en cada punto de un intervalo .

Sin y son dos puntos cualesquiera de tales que y

, entonces la función f toma todos los valores comprendidos

entre y por lo menos una vez en el intervalo .

Demostración: al final del Capítulo.

 

Gráficamente se tiene lo siguiente:

 

En otras palabras, si en los extremos del segmento dado la función toma valores diferentes

, , siempre se encontrará un punto , comprendido entre y , tal

que , cualquiera que sea el número k entre los valores A y B.

Ejemplo

Consideremos la función f con ecuación definida en el intervalo , cuya representación gráfica es la siguiente:

 

En este caso y (obviamente )

Entonces, según el Teorema anterior, siempre se encontrará algún valor entre y 4 cuya

imagen esté comprendida en y .

Si existe , tal que

Si existe , tal que ; en este caso

Es necesario hacer notar que el Teorema del valor intermedio es válido únicamente cuando la función es continua en un intervalo dado.

En caso de que la función sea discontinua, el Teorema no siempre se cumple.

Por ejemplo, consideremos la función en el intervalo definida por la siguiente ecuación:

La representación gráfica es la siguiente:

 

Note que la función es discontinua en el intervalo , pues en , el no existe.

Se tiene que y que .

Si se toma un valor k entre y 1, , no existe ningún valor C entre 0 y 2, tal

que , pues la función nunca toma valores entre y 1. Si se trazara una recta con

ecuación , ésta nunca intersecaría a la curva.

De aquí que la condición de continuidad en el intervalo es indispensable para que se cumpla el Teorema.

Continuidad y funciones

Antes de establecer las relaciones entre las funciones inversas y los teoremas sobre continuidad, daremos las siguientes definiciones.

 

Definición: Función estrictamente creciente  

Se dice que una función f definida en un intervalo es estrictamente

creciente, si para cada , con se tiene que

 

  

 

Definición: Función estrictamente decreciente

Similarmente, una función f es estrictamente decreciente si

 

 

Por ejemplo, la función con ecuación es estrictamente creciente en el intervalo

de , como se muestra en la gráfica siguiente:

 

La función con ecuación es decreciente en el intervalo como se muestra en la figura siguiente:

 

Consideremos ahora la gráfica de una función f, denotada por , que es continua y

estrictamente creciente en un intervalo

 

Según el Teorema del valor intermedio, si "y" está comprendido entre y , entonces

existe por lo menos un tal que . En este caso, como f es una función

estrictamente creciente, si , existe un único valor tal que

Podría establecerse una nueva función g que tomara a "y" como la variable independiente,

de tal forma que x sea igual a . Esta nueva función g recibe el nombre de función

inversa de la función f y se denota por .

 

  Definición: Función inversa

 Sea f una función determinada por

Si existe una función tal que si y solo si , entonces

recibe el nombre de función inversa y está determinada por

El dominio de es el rango de , y el rango de es el dominio de f.

 

Así:

Por ejemplo, la función

tiene como función inversa, la función definida por

La representación gráfica de ambas funciones es la siguiente

  Note que una función y su inversa son simétricas respecto a la gráfica de la función identidad.

 

Propiedades de las funciones inversas

 

  Teorema k

 

Si una función f es continua y estrictamente creciente en un intervalo , entonces:

1.

existe la función inversa en el intervalo 2.

es estrictamente creciente en 3.

es continua en

Demostración: al final del capítulo

  

Ejemplo

Sea f la función definida por:

Su representación gráfica es la siguiente:

 

Se observa que f es continua y estrictamente creciente en . Luego, según el teorema

existe una función inversa que también es continua y estrictamente creciente.

Dicha función está definida de la manera siguiente:

Su representación gráfica es la siguiente:

 

   

  Teorema L

 

Si una función es continua y estrictamente decreciente en un intervalo

entonces:

1.

f posee una función inversa denotada , definida en 2.

es decreciente en 3.

es continua en

Ejemplo

Consideremos la función f definida como sigue:

Su representación gráfica es la siguiente:

 La función f es continua y estrictamente decreciente por lo que posee función inversa que también es continua y estrictamente decreciente. Dicha función está definida por:

Su representación gráfica es la siguiente:  

Ejercicios

1.

Sea f la función definida por

Represente gráficamente esta función.

Si f cumple las condiciones del teorema L o del teorema k, determine y haga la respectiva representación gráfica.

2.Proceda en forma similar a lo enunciado en 1. para

 

Nota: Los teoremas L y k enunciados anteriormente, serán de gran utilidad cuando estudiamos las funciones trigonométricas inversas y sus derivadas en el próximo capítulo.

……..

Continuidad y funciones

Antes de establecer las relaciones entre las funciones inversas y los teoremas sobre continuidad, daremos las siguientes definiciones.

 

Definición: Función estrictamente creciente  

Se dice que una función f definida en un intervalo es estrictamente

creciente, si para cada , con se tiene que

 

  

 

Definición: Función estrictamente decreciente

Similarmente, una función f es estrictamente decreciente si

 

 

Por ejemplo, la función con ecuación es estrictamente creciente en el intervalo

de , como se muestra en la gráfica siguiente:

 

La función con ecuación es decreciente en el intervalo como se muestra en la figura siguiente:

 

Consideremos ahora la gráfica de una función f, denotada por , que es continua y

estrictamente creciente en un intervalo

 

Según el Teorema del valor intermedio, si "y" está comprendido entre y , entonces

existe por lo menos un tal que . En este caso, como f es una función

estrictamente creciente, si , existe un único valor tal que

Podría establecerse una nueva función g que tomara a "y" como la variable independiente,

de tal forma que x sea igual a . Esta nueva función g recibe el nombre de función

inversa de la función f y se denota por .

 

  Definición: Función inversa

 

Sea f una función determinada por

Si existe una función tal que si y solo si , entonces

recibe el nombre de función inversa y está determinada por

El dominio de es el rango de , y el rango de es el dominio de f.

 

Así:

Por ejemplo, la función

tiene como función inversa, la función definida por

La representación gráfica de ambas funciones es la siguiente

  Note que una función y su inversa son simétricas respecto a la gráfica de la función identidad.

 

Propiedades de las funciones inversas

 

  Teorema k

 

Si una función f es continua y estrictamente creciente en un intervalo , entonces:

1.

existe la función inversa en el intervalo 2.

es estrictamente creciente en 3.

es continua en

Demostración: al final del capítulo

  

Ejemplo

Sea f la función definida por:

Su representación gráfica es la siguiente:

 

Se observa que f es continua y estrictamente creciente en . Luego, según el teorema

existe una función inversa que también es continua y estrictamente creciente.

Dicha función está definida de la manera siguiente:

Su representación gráfica es la siguiente:

 

   

  Teorema L

 

Si una función es continua y estrictamente decreciente en un intervalo

entonces:

1.

f posee una función inversa denotada , definida en 2.

es decreciente en 3.

es continua en

Ejemplo

Consideremos la función f definida como sigue:

Su representación gráfica es la siguiente:

 La función f es continua y estrictamente decreciente por lo que posee función inversa que también es continua y estrictamente decreciente. Dicha función está definida por:

Su representación gráfica es la siguiente:  

Ejercicios

1.

Sea f la función definida por

Represente gráficamente esta función.

Si f cumple las condiciones del teorema L o del teorema k, determine y haga la respectiva representación gráfica.

2.Proceda en forma similar a lo enunciado en 1. para

 

Nota: Los teoremas L y k enunciados anteriormente, serán de gran utilidad cuando estudiamos las funciones trigonométricas inversas y sus derivadas en el próximo capítulo.

Demostraciones de los teoremas sobre continuidad de funciones.

A. Probaremos la parte a)

Sea cualquier número en .

Como y son continuas entonces se tiene que y .

De los teoremas sobre límites se sabe que:

Luego

por lo que se cumple lo establecido en la definición de continuidad y es continua en . El resto de los apartados se demuestran similarmente.

B. Sea , , , ,

.

Aplicando los diferentes teoremas sobre límites se tiene que:

Al cumplirse lo establecido en la definición de continuidad, se ha demostrado que la

función es continua para toda .

C. Sea una función definida por donde y son funciones polinomiales.

El dominio de es decir, .

Aplicando el teorema para el límite de un cociente se tiene que:

Como y son funciones polinomiales, por el teorema B se tiene que son funciones continuas y por tanto

y .

Luego

y concluimos que es continua en todo número de su dominio.

D. Sea

Como es continua en d, entonces lím por lo que existe una tal que

cuando .

Como entonces dada dicha , existe una tal que

siempre que .

Luego para esta se tiene que cuando entonces

, con lo que queda demostrado el teorema.

E. Debemos probar que:

, o sea que, dada una debe existir algún número tal

que si entonces .

Como es continua en entonces lím .

Tomando como es continua en entonces , por lo que existe un

número tal que si entonces .

Luego, si entonces y , que era lo que se quería demostrar.

Así los números que están a una distancia menor que de , por medio de la función ,

son llevados una distancia menor que de , y a continuación son transportados por

una distancia menor que de .

 

 

F. Debemos probar que , o equivalentemente que:

lím

Como , entonces se tiene que

lím lím

= lím lím

=

=

Con lo que queda demostrado el teorema.

G. Demostración del teorema de límite de un cociente cuyo enunciado es el siguiente:

"Si y con entonces ."

Sea h la función definida por . Para una función dada , la función continua

para todo número real tal que , entonces:

Luego aplicando el teorema sobre el límite de un producto se tiene que:

y el teorema queda demostrado.

H. Supongamos que . Como es continua en entonces , por

lo que para cada , existe un tal que: siempre que

, es decir:

siempre que .

Tomando el correspondiente a que es positiva pues , entonces se tiene

que siempre que , o sea

cuando .

Luego concluimos que en este intervalo y por tanto y poseen el mismo signo.

Si entonces se tomo correspondiente a y se llega a la misma conclusión

I. Teorema de Bolzano

Supongamos que y . De hecho , pueden existir muchos valores de x entre

y tales que . Vamos a encontrar uno determinado el mayor para el cual

.

Sea el conjunto de todos los puntos del intervalo para los que . Note que

hay por lo menos un punto en , ya que .

Luego, es un conjunto n vacío. está acotado superiormente pues todos los puntos de

están en .

Como todo conjunto no vacío de números reales que está acotado superiormente tiene un

extremo superior, designemos a éste con . Se debe probar entonces que .

Existen solo tres posibilidades: , y . Si entonces hay un

intervalo o si , tal que es positivo si está en este intervalo.

Por tanto, ningún punto de puede estar a la derecha de , por lo que es una cota

superior del conjunto . Pero y es el extremo superior de . Luego la

desigualdad es imposible.

Si , entonces hay un intervalo o si , en el que es

negativa, por lo que para algún , lo que contradice el hecho que es una cota superior de .

Luego también es imposible, quedando únicamente la posibilidad de .

Además, puesto que y .

Queda demostrado el teorema.

J. Teorema del valor intermedio para funciones continuas.

Supongamos , y sea un valor cualquiera que se encuentra entre y

. Sea una función definida en el intervalo de la siguiente manera:

.

Se tiene que es continua en cada punto de , pues es la diferencia de dos funciones continuas, y además:

,

pues .

Aplicando el teorema de Bolzano a la función se tiene que para algún entre

y , lo que significa , quedando demostrado el teorema.

K. 1. Como es continua en entonces si es un número entre y , es decir

, según el teorema del valor medio, existe un número tal que

Luego, si , existe al menos un número tal que . Se quiere

demostrar que a cada número le corresponde un único número .

Supongamos tal que y con y en ,

. Así .(*)

Al suponer puede suceder que sea menor que o que sea menor que .

Si , como es creciente en entonces , lo que contradice lo señalado en (*).

Si entonces y también contradice (*).

Luego es falso suponer que , y por tanto a cada valor de en le

corresponde exactamente un número x en tal que .

Luego posee una función inversa denotada que está definida para todos los números

en

2. Para probar que es creciente en , hay que demostrar que si y son dos

números en tales que entonces .

Como está definida en entonces existen números y en tales que

y .

Luego

y

. (**)

Como es decreciente en , si entonces o sea .

Pero y por tanto no puede ser menor .

Si , por ser una función entonces , o sea que , lo que también

contradice que sea menor que .

Luego . Si no es menor que , y entonces necesariamente , de

donde (ver (**)).

Luego es creciente en .

3. Para demostrar que es continua en el intervalo , se debe probar que si

, entonces , es continua en , es continua por la derecha en y

es continua por la izquierda en .

Para probar que lím , o sea, para suficientemente pequeño para

que y estén ambos en , existe tal que

siempre que .

Sea , luego .

Como es estrictamente creciente en entonces por lo que

.

Como es estrictamente creciente en entonces:

Sea el más pequeño de los dos números: y ; así

y es decir:

y .

Siempre que se cumple que o sea .

Luego, siempre que se cumple que .

Como es creciente en se deduce de lo anterior que:

cuando o sea , siempre que , de donde

si , es decir

cuando .

Se ha probado así que es continua en .

Se deja como ejercicio la prueba de que es continua por la derecha en y por la

izquierda en .

 

Teorema del Máximo (mínimo) para funciones continuas

Vamos a probar que alcanza su extremo superior en . Para el extremo inferior es

suficiente tener en cuenta que el extremo inferior de es el extremo superior de .

Sea . Supongamos que no existe un para el que .

Sea . Para todo se tiene que con lo que la función

recíproca es continua en . Escribamos para todo , siendo

.

Lo anterior implica que con lo que , para todo , pero esto está en contradicción con el hecho que es la menor de las cotas superiores de

en .

Luego para un por lo menos en

DERIVADA DE UNA FUNCION

 

 

Introducción

El problema de la tangente

"Muchos de los problemas importantes del análisis matemático pueden transferirse o hacerse depender de un problema básico que ha sido de interés para los matemáticos desde los griegos (alrededor de 300-200 a. de J.C.). Es éste el problema de trazar una recta tangente a una curva dada en un punto específico a ella.

Fue resuelto este problema por métodos especiales en un gran número de ejemplos aislados aún en la temprana historia de las matemáticas. Por ejemplo, es bastante fácil resolver el problema si la curva es un círculo, y todo estudiante ha visto esta solución en su geometría de secundaria. Sin embargo, no fue si no hasta el tiempo de Isaac Newton (1642-1727) y de Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) que se dio un método general sistemático para obtener la solución. En este sentido se acredita a estos dos hombres la invención del cálculo.

Aunque el problema de la tangente pueda parecer de poco interés a los no matemáticos, el hecho es que las técnicas desarrolladas para resolver el problema son la mera columna vertebral de gran parte de la ciencia y la tecnología actuales. Por ejemplo, la dirección del movimiento de un objeto a lo largo de una curva en cada instante se define en términos de la dirección de la recta tangente a la trayectoria de movimiento. Las órbitas de los planetas al rededor del sol y las de los satélites artificiales alrededor de la Tierra, se estudian esencialmente comenzando con la información sobre la recta tangente a la trayectoria del movimiento. Un tipo diferente de problemas es el de estudiar la descomposición de una sustancia radioactiva tal como el radio cuando se conoce que la razón de descomposición en cada instante es proporcional a la cantidad de radio presente. La clave de este problema así como la del problema del movimiento, está en un análisis de lo que queremos designar con la palabra razón.

Como pronto veremos, este concepto está tan íntimamente relacionado con la pendiente de la recta tangente a una curva, que la formulación matemática abstracta de un problema sobre razones es indistinguible de la formulación del problema de la tangente.

Empezamos con el problema de la tangente no solo por su importancia histórica y práctica, sino también porque la intuición geométrica del lector contribuirá a hacer concreta la que, de otro modo, sería una noción abstracta"(Britton, 1968, 323).

  Definición

  Recibe el nombre de recta secante cualquier recta que pase por dos puntos diferentes de una curva.

En la siguiente figura se ha representado gráficamente una recta L secante a una curva:

  Como al conocer la pendiente de una recta y un punto de ella, la recta queda completamente determinada, se tiene que el problema de trazar una recta tangente a una curva dada, por un punto de ésta, se reduce a encontrar la pendiente de la recta.

Consideremos la representación gráfica de una curva con ecuación , donde es una función continua.

Se desea trazar la recta tangente en un punto dado de la curva.

Sea PQ la recta secante que pasa por los puntos y de la curva.

La pendiente de esta secante, denotada está dada por:

Como la pendiente de una recta es igual a la tangente del ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje X, y como es ese ángulo para la recta secante, entonces:

Supongamos que existe una recta tangente a la curva en . Sea PT dicha recta.

Mantenemos ahora el punto P fijo y hacemos que el punto Q se aproxime a P, a lo largo de la curva. Cuando esto sucede, la inclinación de la recta secante se aproxima a la

inclinación de de la recta tangente, lo que puede escribirse como

En igual forma, la pendiente de la secante tiende a la pendiente de la tangente, es decir,

Además, cuando Q tiende hacia P, la abscisa tiende hacia por lo que

puede escribirse como

Luego

Si denotamos por la pendiente de la recta tangente a la curva en , entonces

  Definición

 

La pendiente de la recta tangente a la curva con ecuación en el

punto , denotada es igual al , siempre que este límite exista.

Ejemplo:

Determinar la ecuación de la recta tangente a la curva con ecuación , en el

punto .

La ecuación de la recta tangente es: . Utilizando la definición anterior vamos a

averiguar la pendiente en .

Solución:

Así:

Luego , por lo que . Para averiguar b sustituimos el punto como

sigue: de donde .

Por tanto, la ecuación de la recta tangente es .

La representación gráfica de la curva y de la recta tangente es el siguiente:

 

 

  Definición

 Se dice que la recta normal a una curva en el punto , es la línea que pasa por P y es perpendicular a la recta tangente en ese punto. Además, recuerde que dos líneas no verticales son perpendiculares entre sí, si y solo si sus pendientes tienen valores recíprocos negativos.

Si es la pendiente de la recta tangente y la de la recta normal, entonces:

Ejemplo:

Determinar la ecuación de la recta normal a la curva con ecuación , en el

punto

Solución:

Como , averiguamos primero la pendiente de la recta tangente. Así:

Como , entonces

La ecuación de la recta normal es: . Sustituyendo en la ecuación anterior

se obtiene .

Por tanto, la ecuación de la recta normal es . La representación gráfica de la curva y la recta normal es la siguiente:

 

La ecuación de la recta tangente es

Ejercicio Determinar la ecuación de la recta tangente y la ecuación de la recta normal a la curva con

ecuación , en el punto

Otros ejemplos

1. Determinar la ecuación de la recta tangente a la parábola con ecuación , y que

es paralela a la recta con ecuación .

Solución:

Recuerde que si dos rectas son paralelas entonces sus pendientes son iguales.

Note que en este caso no nos indican el punto de tangencia en la curva.

Como la recta tangente es paralela a la recta de ecuación , entonces

.

Calculemos :

Como se tiene que y por tanto .

Si entonces

El punto de tangencia es

La ecuación de la recta tangente es:

Sustituimos y se obtiene que

Entonces la ecuación de la recta tangente es

La representación gráfica es la siguiente:

Estudiaremos ahora un segundo problema que involucra un límite similar al utilizado al determinar pendiente de una recta tangente a una curva.

Dicho problema es el de determinar la velocidad de una partícula en un instante de

tiempo .

Recibe el nombre de movimiento rectilíneo el efectuado por una partícula a lo largo de una línea recta.

Sea la función con ecuación , que describe la distancia dirigida de la partícula a un punto fijo O, en cualquier tiempo , ( se mide en metros y en segundos).

Cuando , la partícula se encuentra a 1 metro de O y cuando , la partícula está a 10 metros de O, como se representa a continuación:

 

La velocidad promedio de la partícula es la razón del cambio en la distancia dirigida desde un punto fijo, al cambio en el tiempo.

En este caso, en el lapso de tres segundos, la velocidad media, denotada , está

dada por metros por segundo.

Note que la velocidad promedio de la partícula no es constante, y que además ésta no proporciona información específica referente al movimiento de la partícula en cualquier instante determinado.

Para el movimiento anterior, la velocidad media desde segundos hasta otro tiempo cualquiera, está dada por:

Si quisiéramos determinar la velocidad al final de 3 segundos, es decir la velocidad instantánea cuando no podríamos averiguarla con la fórmula anterior, pues si se sustituye el denominador se hace cero.

Sin embargo, cuanto más corto sea el intervalo de a , la velocidad promedio estará más cerca de lo que intuitivamente se consideraría como la velocidad instantánea en seg.

Surge así la siguiente definición sobre la velocidad instantánea:

Si una partícula se mueve sobre una línea recta de tal forma que su distancia dirigida s, a un punto fijo de la recta está dada en función del tiempo por la

, entonces la velocidad en cualquier instante

siempre que este límite exista

 

Utilizando la definición anterior, se puede averiguar la velocidad en el instante

, de la siguiente forma:

Luego, la velocidad cuando es de 6 metros por segundo.

La velocidad instantánea puede ser positiva o negativa, según la partícula se mueva a lo largo de la recta en dirección positiva o en la negativa; es cero cuando la partícula está en reposo.

La rapidez de la partícula en un instante de tiempo t, se define como , siendo simplemente la magnitud de la velocidad, es decir, su valor absoluto, por lo que será siempre positiva o nula.

La aceleración es una medida de la variación de la velocidad. La aceleración es cero si una partícula se mueve sobre una recta con velocidad constante.

Si la velocidad de la partícula está dada por la ecuación , donde t es el

tiempo, entonces la aceleración en el instante , se define como el límite de la aceleración media de la siguiente forma:

Observe la semejanza con la definición de velocidad instantánea como límite de la velocidad media.

Ejemplos:

1. La ecuación describe el movimiento de una partícula sobre una recta. La distancia al origen está en metros y está en segundos. Calcular la velocidad

cuando .

Solución

Se debe determinar la velocidad instantánea cuando

metros por segundo.

Así cuando , la velocidad de la partícula es de 8 metros por segundo.

2. Una partícula P se mueve en línea recta de acuerdo con la ecuación , donde s,(en metros), es la distancia al punto de partida en el tiempo ,(en segundos). Determinar la distancia de P al punto de partida cuando la velocidad es nula.

Solución:

Debemos averiguar primero la velocidad de la partícula en cualquier instante .

metros por segundo.

Ahora averiguaremos el valor de para el que la velocidad se hace cero:

 segundos

Por último, calculemos la distancia que ha recorrido la partícula al cabo de segundos.

Ejercicio:

Dos partículas y parten de un mismo punto en una recta y se mueven a lo largo de ella

según las ecuaciones , y, , donde y están en metros en metros, y en segundos.

 

1. En qué tiempos tendrán las dos partículas la misma velocidad? 2. Determine las velocidades de las partículas en los tiempos en que están en la misma

posición sobre la recta.

La derivada de una función

En la resolución de los dos problemas anteriores: el de trazar una recta tangente a una curva dada y el de determinar la velocidad instantánea de una cierta partícula, se obtuvo como resultado dos límites:

Ambos límites tiene básicamente la misma forma y son casos específicos de un tipo especial de límite que se define a continuación.

 

  Definición de derivada

 

Sea una función real definida en un intervalo . Sea

La derivada de f en el punto , denotada , es el si este límite existe.

Note que, la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la curva con ecuación en

el punto , es precisamente la derivada de evaluada en .

También, si una partícula se mueve a lo largo de una línea recta de acuerdo con la ecuación

de movimiento , puede observarse que en la definición de velocidad

instantánea de la partícula en , es la derivada de respecto a , evaluada en .

Si en la definición de derivada se sustituye por h, entonces cuando y

.

Luego , si este límite existe. La función es derivable en si

existe.

Si existe para cada en un intervalo , , se dice que la función es derivable

en ; se escribe

Ejemplos:

Utilizando la definición de derivada de una función, determinar la derivada de cada una de las funciones cuyas ecuaciones son:

1.

Se debe calcular el

La expresión indica que la función debe evaluarse en . Así

Luego:

Por tanto, si entonces

2.

En este caso

Luego:

Si entonces

3.

En este caso

Luego:

Si entonces

Ejercicio:

Determine, utilizando la definición de derivada, la derivada de cada una de las funciones cuyas ecuaciones son:

1.

2.

3.4.  5.  6. Notaciones para la derivada de una función

7. Si es una función derivable en un intervalo , , el proceso por medio del

cual se obtiene , da origen a una nueva función que recibe el nombre de función derivada.

8. El dominio de está formado por todos los números del dominio de para los

que exista .

9. Por ejemplo, si con entonces está definida únicamente

para .

10. Si con una función derivable entonces la derivada de f puede denotarse por:

11.  

a. que se lee: derivada de f(x) respecto a x.

b. que se lee: derivada de "y" respecto a x.

c. que se lee: "y" prima.

Continuidad y derivabilidad

En el capítulo anterior se estudiaron las condiciones para que una función fuera continua en un punto. También se determinó la continuidad en un intervalo, que puede asociarse con la representación gráfica de una curva que no tiene "brincos" o "saltos bruscos".

Vamos ahora a relacionar la continuidad con la derivabilidad de una función en un punto

, por medio del siguiente teorema.

 

  Teorema

Si una función es derivable en un punto , entonces es continua en . Prueba: Al final del capítulo.

El recíproco de este teorema no es cierto. Es decir, el hecho de que una función sea continua en un punto no implica que sea derivable en él. Antes de estudiar algunos ejemplos, necesitamos conocer las siguientes definiciones sobre derivadas laterales.

 

  Definición   

Si es una función continua definida en , entonces:

1. La derivada por la derecha, que se denota , se define por la

igualdad: , siempre que el límite exista.

La derivada por la izquierda, denotada , se define por la igualdad:

, siempre que el límite exista.

 

Como consecuencia de la definición de derivada, se tiene que existe si y solo si existen las derivadas laterales y ambas son iguales.

Así:

existe

Ejemplos:

1. Consideremos la función definida por:

Vamos a determinar si es continua en 1 y si existe.

Para lo primero tenemos que:

 

a.  existe pues

b.Como ,y

entonces            

Luego es continua en pues

Para lo segundo determinaremos las derivadas laterales.

a.

 

b.

Como entonces no existe.

Luego, se ha comprobado que aunque es continua en se tiene que no es derivable en .

La representación gráfica de la función es la siguiente:

Note que en la gráfica de tiene un "pico", siendo precisamente en donde no es derivable la función.

2. Sea la función con ecuación:

Determinemos si existe y si es continua en

Calculemos las derivadas laterales

 

a.

b.

Luego por lo que no es derivable en

Probemos ahora si f es continua en

 

a. existe pues ;

b. y

Entonces es continua pero no es derivable en .

La representación gráfica de la función es la siguiente:

Note que la gráfica tiene una tangente vertical en ..

El hecho de que no sea derivable en cero, está relacionado con el hecho de que una recta vertical no tiene pendiente.

3. Sea la función con ecuación:

Determinemos si esta función es continua y derivable en . Se tiene que

existe pues

Como

y

Entonces existe y además , por lo que es una función continua en .

Estudiemos ahora las derivadas laterales:

 

a.

b.

Como entonces no existe.

Nuevamente, aunque una función sea continua en un punto esto no garantiza que sea derivable en él.

La representación gráfica de esta función es la siguiente:

 

Note que nuevamente la recta tangente a la curva en es una línea vertical.

Ejercicio:

Para cada una de las funciones cuyas ecuaciones son:

1.

2.

a.

Determine si es continua en b.

Halle y c.

Determine si es derivable en d.Haga la representación gráfica.

Teoremas sobre derivadas

Aunque dada la ecuación de una función es posible obtener su respectiva función derivada utilizando la definición, para algunas funciones este procedimiento resulta sumamente tedioso. Surge entonces la necesidad de simplificar este proceso, lo cual puede lograrse al estudiar los teoremas sobre derivadas.

 

  Teorema

 La derivada de una función constante es cero. Prueba: Ejercicio para el estudiante.

Ejemplos:

1. Si entonces

2. Si entonces

3. Si entonces

 

  Teorema

  Si entonces es derivable sobre y Prueba: Ejercicio para el estudiante.

Ejemplos:

1.

2.

3.

 

  Teorema

 

Si con y pertenece al conjunto A en el que está bien

definida, entonces es derivable en y

Prueba: Al final del capítulo.

 

Ejemplos:

1. Si entonces

2. Si entonces

3.

4.

5.

6.

7.

 

8.

 

  Teorema

 

Si la función es derivable sobre un intervalo y es un número real,

entonces la función para la que es derivable sobre ,

además . Prueba: Ejercicio para el estudiante utilizando la definición de derivada de una función.

Este teorema afirma que la derivada del producto de una constante por una función derivable, es igual al producto de la constante por la derivada de la función.

Ejemplos:

1. Si entonces

2. Si entonces

3.

4.

5.

 

  Teorema

Si y son dos funciones derivables sobre un intervalo , entonces la

función es derivable sobre y además

, para . Prueba: Al final del capítulo.

 

Se tiene entonces que la derivada de una suma de dos funciones es igual a la suma de las derivadas de cada una de las funciones. También:

donde son funciones derivables sobre un intervalo .

Ejemplos:

 

1.

 2.

 3.

Si y son funciones derivables sobre un intervalo entonces la función es derivable

sobre , y además para cualquier se tiene que

Ejemplos:

1.

2.

  Teorema

 

Si y son funciones derivables sobre un intervalo entonces la función

es derivable sobre , y además para cualquier se tiene que

Prueba: Al final del capítulo.

Puede decirse que la derivada del producto de dos funciones, es igual al producto de la primera función por la derivada de la segunda, más el producto de la segunda función por la derivada de la primera.

Ejemplos:

 

1.

 2.

 3.

, con a, b, c, k constantes.

 

 4.

  Teorema

Si y son dos funciones derivables y si sobre un intervalo

entonces la función es derivable sobre , y además para cualquier

y se tiene que Prueba: Al final del capítulo.

Puede decirse que la derivada del cociente de dos funciones es igual al denominador multiplicado por la derivada del numerador, menos el numerador multiplicado por la derivada del denominador, todo dividido por el cuadrado del denominador.

Ejemplos:

1.

con

2.

con

3.

con

Derivada de una función compuesta

Regla de la cadena

Si consideramos las ecuaciones entonces puede escribirse "y" como

.

En igual forma, si entonces puede expresarse "y" como

.

En general, si entonces .

Las ecuaciones anteriores dan en forma explícita las siguientes funciones:

La función para la cual recibe el nombre de función compuesta y se escribe

.

Observe que los elementos del dominio de son los que pertenecen al dominio de la

función , tales que pertenezca al dominio de .

Ilustraremos lo anterior con el siguiente diagrama:

Otros ejemplos de funciones compuestas son:

1. donde y

2. donde y

Determinaremos ahora la derivada de una función compuesta.

 

  Teorema

 

Si la función es derivable sobre un intervalo y si la

función es derivable sobre un intervalo tal que

, entonces la función compuesta

es derivable sobre y , para . Esta fórmula recibe el nombre de regla de la cadena.  

Demostración: Al final del capítulo.

 

Ejemplos:

1.

2. con

3.

  Corolario

 

Si la función es derivable sobre un intervalo y si

y están definidas para con , entonces la

función es derivable sobre y además

, para .

 

Este teorema es una aplicación inmediata de la regla de la cadena en la forma

con y

Ejemplos:  de derivadas de funciones compuestas

1.

En este caso por lo que

2.

3.

4.

5.

Ejercicio:

Determine la derivada de las funciones con ecuaciones:

1.

2.

++++++Diferencias e interpretación.

Incrementos

Estudiaremos este punto antes de definir el diferencial y dar su interpretación geométrica.

Al dar la definición de la derivada de una función como el , se utilizó

para señalar un número distinto de cero tal que pertenece al dominio de .

Gráficamente se tiene la representación de y la recta tangente:

Puede decirse que es la diferencia entre las abscisas de dos puntos de la gráfica de . Esta

diferencia recibe el nombre de incremento de y se denota por .

Para una función dada al sustituir por en la expresión se obtiene

de donde .

Si entonces el incremento en "y" correspondiente al incremento de , que se

denota por , está dado por .

Así , es el cambio en "y" debido al cambio en .

La razón recibe el nombre de razón promedio de cambio de o de

"y", respecto a , para el intervalo .

La derivada: recibe el nombre de razón instantánea

de cambio o simplemente razón de cambio de "y" o de respecto a .

Ejemplos:

1. Si hallar en términos de y

i.

Determinar para:

a.

b.

Solución:

a.

Para se tiene que:

Puede decirse que existe un incremento de en las ordenadas debido a un incremento de en las abscisas.

b.

Para y se tiene que:

ii.

Hallar la razón promedio de cambio de "y" respecto a para el intervalo y para el

intervalo

Solución:

La razón promedio de cambio de "y" respecto a "x" está dada por:

de donde

En el intervalo se tiene y el intervalo se obtiene

iii.

Hallar la razón de cambio de "y" respecto a "x". Determinar el valor de esta rezón en 2 y en 4.

Solución:

La razón de cambio de "y" respecto a "x" está dada por:

En esta razón instantánea es y en toma el valor de

2. Demostrar que la razón de cambio del volumen de una esfera con respecto a su radio, es igual al área de la superficie de la esfera.

Solución:

El volumen de una esfera de radio es

La razón de cambio del volumen con respecto al radio está dado por:

expresión que corresponde precisamente al área de la superficie de la esfera.

Diferenciales

Sea una función definida por , derivable sobre un intervalo

Sea diferente de cero tal que pertenece al dominio de y el punto

esté en la gráfica de como se muestra en la siguiente figura:

Sabemos de la definición de derivada que:

si el límite existe

luego:

de donde para cualquier existe tal que siempre que o

sea, siempre que .

Lo anterior significa que puede hacerse tan pequeño como se quiera,

tomando suficientemente pequeño.

Luego, es tan buena aproximación para el incremento como se desee,

tomando suficientemente pequeño.

Definición 

Si es una función tal que existe sobre un intervalo y si es cualquier

número distinto de cero, la diferencia de con respecto a es igual

multiplicada por . Esta diferencial se denota por de tal forma que

.

Ejemplos:

Si entonces .

Consideremos ahora una función compuesta donde siendo la

variable independiente final y "x" la variable intermedia. Luego .

Aplicando la definición anterior tanto a "y" como a "x" se obtiene:

.

Utilizando la regla de la cadena para derivar respecto a se obtiene que .

Luego , fórmula que se escribe usualmente

, y que se lee como la diferencial como la diferencial de "y" es igual a la

derivada de "y" con respecto a "x", multiplicada por la diferencial de "x" donde , son diferenciales con respecto a la misma variable.

 

Definición

Si una función está definida por entonces la diferencial de se denota

, está dada por donde es la variable independiente final, y además,

la diferencial "y" es siempre: .

En la figura anterior es fácil observar que es una mejor aproximación de

conforme se hace cada vez más pequeña.

Ejemplos:

1. Determinar , , para Solución:

Consideremos Calculemos primero el incremento:

Para de donde

Ahora calculemos la diferencial

Luego para se tiene que

Por último .

2. Utilizando diferenciales calcular aproximadamente el valor de .

Solución:

Tomemos .

Nos interesa determinar una aproximación a para y .

Para ello calculamos el diferencial de "y".

; sustituyendo "x" por 125 y por -3 se obtiene que:

Luego

Así aproximamos para , con

Luego .

3. El lado de un cuadrado es igual a . Hallar el incremento aproximado de su área si el lado aumenta .

Solución:

Sea donde es el lado del cuadrado, A denota su área.

Se desea determinar cuánto aumenta el área cuando la longitud del lado pasa de a .

Calculemos la diferencial de área: Así:

, donde y Luego:

y aproximamos para con

de donde , área del nuevo cuadrado.

El incremento del área es de .

4. Al calentar una esfera de radio , su volumen aumentó . Hallar el alargamiento del radio de la esfera. Solución:

Sea la ecuación para el volumen de la esfera.

En este caso conocemos la diferencial del volumen de la esfera que está dada por . Debemos averiguar la diferencial o el incremento del radio, es decir

Como y entonces:

y por tanto .

El radio de la esfera se alargó .

Ejercicio:

Resuelva los problemas siguientes:

1. Hallar el valor aproximado de

2. Sea y , donde y son funciones derivables sobre un dominio común. Exprese la diferencial del producto en términos de las diferenciales de y .

3. Un paralelepípedo rectangular de de altura tiene por base un cuadrado cuyo lado es igual a . ¿Cuánto aumentará el volumen del paralelepípedo si el lado de la base se alarga ?

4. De cada cara de un bloque cúbico de madera se saca una capa de de espesor. Si el bloque tenía originalmente de arista, aproximadamente ¿cuánto va a decrecer el volumen a causa del proceso?

Nota: A partir de la notación diferencial se tiene que por lo que se puede dividir

por obteniéndose por tanto que .

El usar el cociente de diferenciales para denotar la derivada de se debe a Leibniz y se utiliza a veces al denotar las derivadas de orden superior.

24/05/12……………….

Derivadas de orden superior

Si es una función diferenciable, es posible considerar su función derivada como:

para en el dominio de .

Si para algunos valores existe el se dice que existe la segunda

derivada de la función que se denota por o , que equivale a . O

sea, la segunda derivada de la función se obtiene derivando la primera derivada de la función.

Ejemplos:

1. Si entonces:

y

2. Si entonces:

y derivando nuevamente

Por tanto

Similarmente podemos decir que la derivada de respecto a "x" es la tercera derivada

de respecto a "x" que se denota o .

La derivada de la tercera derivada es la cuarta derivada y así podríamos continuar

sucesivamente hasta la enésima derivada de que se denota por o . Generalmente se habla del orden de la derivada; así la primera derivada es la derivada de primer orden, la segunda es la de segundo orden, la enésima derivada es la derivada de orden n.

Ejemplos:

1. Determinar , donde

Solución:

Obtenemos primero

Luego:

y se tiene que:

2. Determinar

Solución:

Se tiene que:

 

Por último:

 

3. Si determinar .

En este caso debemos dar una forma general para la derivada de orden n, partiendo de las regularidades que se presentan en las primeras derivadas que calculemos.

Así:

 

 .

.

    para     

.

4. Obtener . Solución:

Ejercicio para el estudiante

Una aplicación de la segunda derivada

Anteriormente hemos estudiado que si nos indica la distancia de una partícula al

origen en un tiempo , entonces es la velocidad en el tiempo .

Al calcular la derivada de la velocidad respecto al tiempo, es decir, al calcular se

obtiene la aceleración instantánea en el tiempo . Si denotamos esta aceleración por se

tiene que , es decir, la aceleración es la segunda derivada de la distancia respecto al tiempo.

Ejemplo:

Sea , la ecuación que determina la distancia en el tiempo (en segundos) de una partícula al origen en un movimiento rectilíneo. Determinar el tiempo, la distancia, y la velocidad en cada instante en que la aceleración es nula.

Solución:

Si entonces la velocidad, está dada por:

Averigüemos el tiempo en que la aceleración se hace cero.

Luego, la distancia recorrida cuando es metros y la velocidad en es

.

Otros ejemplos con la segunda derivada

Si es la ecuación de una curva, se sabe que determina la pendiente de la recta

tangente a la gráfica de en un punto .

Se tiene que es la razón de cambio de la pendiente de la recta tangente respecto a . Más adelante utilizaremos la segunda derivada de una función para determinar los extremos relativos de una función y para determinar la concavidad de la gráfica de una función.

Ejemplos:

1. Determinar la pendiente de la recta tangente en cada punto de la gráfica de la curva

con ecuación , en los que la razón de cambio de la pendiente es cero.

Solución:

Se tiene que da la pendiente de la recta tangente a la curva.

Además determina la razón de cambio de la pendiente.

Debemos averiguar los valores de en los que esta razón de cambio es cero;

Entonces

Luego, cuando la pendiente es y cuando la

pendiente también es cero.

2. Determinar la razón de cambio de la pendiente en para la curva con ecuación

.

Solución:

La razón de cambio de la pendiente está dada por la segunda derivada de la función, así:

En el punto con coordenadas la razón de cambio de la pendiente es:

Luego

 

 

Derivada de la función logarítmica

Vamos a estudiar la derivada de la función definida por , donde

tal que

  Teorema

Si , entonces la función

es derivable sobre su dominio

Demostración: Al final del capítulo.

Ejemplos:

1.

2.

 

  Teorema

Sea , si la función es derivable y sobre un conjunto , entonces la función definida por

, es derivable sobre y

. Demostración: Al final del capítulo.

Ejemplos:

1.

2.

3.

En particular si la base de los logaritmos es " " entonces el se denota por , y:

1. , es decir

2. Si es una función derivable con entonces:

Ejemplos:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Ejercicio:

Si calcule, utilizando diferenciales, un valor aproximado a tres decimales de

 

 

Derivada de la función exponencial

La función exponencial de base "a", con , tiene como dominio

. En el teorema siguiente se dará la derivada de la función exponencial.

  Teorema

  Prueba: Al final del capítulo.

 

Ejemplos:

1.

2.

3.

4.

Observe que si la base de la función exponencial es , entonces de

donde

  Teorema

 

Si es derivable sobre entonces

la función compuesta es derivable sobre y

.

Prueba: Se deja como ejercicio al estudiante.

 

Igual que el caso anterior, si la base de la función exponencial es , entonces

de donde .

Ejemplos:

1.

2.

3.

4.

5.

Ejercicios:

IDetermine la derivada de cada una de la funciones siguientes: 1.

2.

3.

4.

5.

II1.

Determine la ecuación de la recta tangente a la curva con ecuación tal que

sea paralela a la recta con ecuación . 2.

Determinar la ecuación de la recta tangente trazada a la curva con ecuación en el punto de su intersección con el eje Y. 3.La dependencia entre la cantidad de sustancia obtenida en cierta reacción química

y el tiempo de reacción se expresa por la ecuación . Determinar la velocidad de reacción.

Derivada de las funciones trigonométricas

A continuación se presentan las derivadas de las funciones trigonométricas: seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante.

1.Prueba: Al final del capítulo.

Utilizando esta como guía, junto con el teorema sobre derivada de un cociente de funciones, se pueden realizar las respectivas demostraciones sobre las derivadas de las funciones trigonométricas.

En general, aplicando la regla de la cadena para funciones compuestas, se cumple

que .

Ejemplos:

 

a.b.

c.d.

Ejercicio:

Determine la primera derivada de cada una de las funciones con ecuaciones:

a.

b.

c.

 

2.

Prueba: Ejercicio para el estudiante.

En general, si aplicando la regla de la cadena se tiene que

Ejemplos:

 

a.b.

c.

Ejercicio:

Determine si:

 

a.

b.

c.

d.

 

3.

Prueba: Ejercicio para el estudiante.

En general, su entonces aplicando la regla de la cadena se obtiene que

.

Ejemplos:

 

a.

b.

c.

Ejercicio:

Determine si

a.

b.

c.

 

4.Prueba: Ejercicio para el estudiante.

Si , aplicando la derivada para la composición de funciones se obtiene que

.

Ejemplos:

a.b.c.

 

Ejercicio:

Determine si

 

a.

b.

c.

 

5.Prueba: Ejercicio para el estudiante

Si , aplicando la regla de la cadena se obtiene que

.

Ejemplos:

 

a.

b.

c.

Ejercicio:

Determine si

a.

b.

c.

 

6.

Prueba: Ejercicio para el estudiante

Si , aplicando la regla de la cadena se obtiene que

.

Ejemplos:

a.

 b.

 c.

Ejercicio:

Determine si

 

a.

b.

c.

 

 

Derivadas de las funciones inversas

Previo al estudio de las funciones trigonométricas inversas, es necesario determinar la derivada de la función inversa de una función dada. Para ello consideremos el siguiente teorema.

 

  Teorema

  Sea una función estrictamente creciente y continua en un intervalo

la función inversa de .

Si existe y es diferente de cero para , entonces la función

derivada también existe y no es nula en el correspondiente "y" donde

.

Además se tiene que .

Note que si entonces , y

Demostración: Al final del capítulo.

Ejemplos:

1. Consideremos la función definida por:

Esta función posee función inversa definida por:

Se tiene que

Como

Note que:

2. Sea la ecuación de una función definida en tal que

.

Se tiene que entonces

Así:

El teorema anterior será de gran utilidad cuando determinemos las derivadas de las funciones trigonométricas inversas.

 

 

Las funciones trigonométricas inversas y sus derivadas

Conviene recordar que:

a.Si una función es continua y estrictamente creciente (decreciente) en un intervalo, entonces posee función inversa la cual también es continua y estrictamente creciente (decreciente).

b.Las funciones trigonométricas son periódicas por lo que la correspondencia entre la variable independiente y la dependiente no es "uno a uno". De aquí se tiene que la inversa de una función trigonométrica no es una función, es una relación. Sin embargo, si se restringe el dominio de una función trigonométrica se establece una relación biunívoca y la inversa de la función trigonométrica sí es una función.

Función seno inverso

Al considerar la gráfica de la función seno:

 

Se observa que en varios intervalos, por ejemplo:

, etc, la función seno es continua y estrictamente creciente, por lo que podría escogerse alguno de ellos para definir la función inversa de la función

seno. Usualmente se toma el intervalo . Luego, se define la función seno como:

La función así definida es continua y estrictamente creciente en el intervalo , por

lo que existe una única función, definida en el intervalo , llamada función seno inverso. Esta función, denotada arcsen, se define como sigue:

Se tiene entonces que .

Luego, es el único número para el cual .

Ejemplos:

 

a.

b.

c.

d.

La representación gráfica de la función seno y de la función arcoseno es la siguiente:

Derivada de la función seno inverso

Como , aplicando el teorema de la derivada de una función inversa se tiene que:

Como , y entonces

pues .

Luego:

En general

Ejemplos:

1.

2.

3.

Ejercicio:

Determine si:

a.

b.

Función coseno inverso

Como en la función seno, la función coseno es continua y estrictamente decreciente en

varios intervalos por ejemplo: , etc, por lo cual debe restringirse su dominio de tal forma que posea función inversa.

Sea entonces la función tal que:

La función así definida es continua y estrictamente decreciente en el intervalo , por lo que posee función inversa. Esta recibe el nombre de arco coseno, (o función coseno inverso), y se denota .

Se define de la siguiente forma:

Se tiene que

Luego, es el único número con para el que

Ejemplos:

 

a.

b.

c.

d.

La representación gráfica de la función coseno y la de la función arco coseno es la siguiente:

Derivada de la función coseno inverso

Como , aplicando el teorema de la derivada de la función inversa se tiene que:

Como , y entonces

pues .

Luego:

En general

Ejemplos:

1.

2.

3.

Ejercicio:

Determine si:

 

a.

b.

Función tangente inversa

Igual que en los dos casos anteriores, vamos a restringir el dominio de la función tangente

al intervalo , en el que es continua y estrictamente creciente, por lo que posee función inversa.

Luego se define la función tangente como:

Se define la función tangente inversa, también llamada arco tangente, y denotada , como:

Se tiene que ,

Luego, es el único número con para el que

Ejemplos:

 

a.

b.

c.

Además:

La representación gráfica de la función tangente y la de la función arcotangente es la siguiente:

 

Derivada de la función arcotangente

Como , aplicando el teorema de la derivada de la función inversa se tiene que:

Como , y entonces por lo que:

En general

Ejemplos:

1.

2.

3.

Ejercicio:

Determine si:

a.

b.

c.

 

Función cotangente inversa

Para definir la función inversa de la función cotangente, vamos a restringir el dominio de

ésta al intervalo , en el que es continua y estrictamente decreciente, por lo que posee función inversa.

Se define función cotangente como:

La función cotangente inversa, llamada también arco cotangente y denotada , se define como:

Por la definición de la función arco cotangente se tiene que

.

Luego, es el único número con para el que

Ejemplos:

 

a.

b.

c.

Además:

 

La representación gráfica de la función cotangente y la de la función arcocotangente es la siguiente:

 

Derivada de la función cotangente inversa

Como , aplicando el teorema de la derivada de la función inversa se tiene que:

Como , y entonces por lo que:

En general

Ejemplos:

1.

2.

3.

Ejercicio:

Determine si:

 

a.

b.

Función secante inversa

Vamos a elegir como dominio de la función secante el intervalo de donde

, ya que en la función secante es biunívoca y la derivada de la función inversa puede expresarse por medio de una sola fórmula.

La representación gráfica de la función secante en el intervalo señalado es el siguiente:

Como puede observarse, la función secante es continua en , siendo estrictamente

decreciente en y estrictamente creciente en .

Existe por tanto la función secante inversa, llamada también arco secante y se denota definida por:

Por la definición de función arcosecante se tiene que:

Luego, es el único número con

tal que

Ejemplos:

a.

b.

c.

 

La representación gráfica de la función arcosecante es la siguiente:

 

 

Note que:

Derivada de la función secante inversa

Como , utilizando el teorema de la derivada de la función inversa se obtiene que:

Como , y cuando , entonces

pues

Luego

En general, si entonces

Ejemplos:

1.

2.

Ejercicio:

Determine si:

 

a.

b.

Nota:

La función secante inversa también suele definirse por la siguiente igualdad:

. En este caso

Se deja como ejercicio para el estudiante que compruebe esta igualdad.

Función cosecante inversa

Tomaremos como dominio de la función cosecante el intervalo , en el que la función cosecante es biunívoca.

La representación gráfica de la función cosecante en el intervalo señalado es la siguiente:

Como puede observarse, la función cosecante es continua en , siendo estrictamente

creciente en y estrictamente decreciente en .

Existe por tanto la función cosecante inversa, llamada también arco cosecante y que se denota definida por:

Por la definición de función arco cosecante se tiene que:

Luego, es el único número con

tal que

Ejemplos:

 

a.

b.

c.

d.

La representación gráfica de la función arco cosecante es la siguiente:

 

Note que:

Derivada de la función cosecante inversa

Como , utilizando el teorema de la derivada de la función inversa se obtiene que:

Como , y para , entonces

pues

Luego

En general, si entonces

Ejemplos:

1.

2.

Ejercicio:

Determine si:

 

a.

b.

Nota: La función cosecante inversa también suele definirse por la siguiente igualdad:

.

Además , igualdad que debe comprobar el estudiante como ejercicio.

Verifiquemos que .

Luego , y se verifica la igualdad.

Funciones paramétricas

En algunos casos la ecuación de una función o de una relación no está dada en la forma

o , como en las igualdades , sino que está determinada por un par de ecuaciones en términos de una misma variable.

Por ejemplo, consideremos las ecuaciones .

Se tiene que a cada valor de le corresponde un punto del plano, el conjunto de los cuales determina una relación

La siguiente tabla de valores:

nos permite hacer la representación gráfica de la relación de la siguiente manera:

En general, las ecuaciones funciones continuas en un intervalo

reciben el nombre de ecuaciones paramétricas o representación paramétrica de una curva en el plano . La gráfica de las ecuaciones paramétricas está dada por el conjunto de puntos del plano , que se obtiene cuando , que recibe el nombre de parámetro, toma todos sus valores posibles en el dominio .

La relación que determinan las ecuaciones paramétricas, en general no es una función, como sucede en el ejemplo anterior. Sin embargo, en algunos casos, la relación dada sí es una función.

Por ejemplo, sean .

Obtenemos la siguiente tabla de valores:

 

La representación gráfica es la siguiente:

En este caso, al sustituir se obtiene que que es la ecuación de la parábola con el eje como el eje de simetría por lo que sí es una función. Note que la ecuación obtenida involucra únicamente las variables "x" e "y". Se dice entonces que el parámetro ha sido eliminado.

En algunos casos, en la eliminación del parámetro se utiliza una o más identidades trigonométricas como se muestra a continuación.

Sea la relación con representación paramétrica .

Se tiene que

Vamos a expresar la relación utilizando únicamente las variables "x" e "y" como sigue:

de donde es la ecuación de una circunferencia con centro en y radio 2.

Luego no representa una función y su representación gráfica es la siguiente:

puede expresarse entonces como:

Sea ahora R la relación con representación paramétrica con .

En este caso

Para expresar R en términos de "x" e "y", se despeja en alguna de las ecuaciones y se sustituye en la otra como se muestra a continuación:

Si entonces

Luego la ecuación para tiene como representación gráfica la siguiente:

Por último verifiquemos que es una ecuación de la relación determinada

por las ecuaciones paramétricas , con .

Como entonces , y como entonces

Luego , de donde , que es la ecuación de una

elipse con centro en

Su representación gráfica es la siguiente:

Derivada de la función dada paramétricamente

El siguiente teorema nos proporciona las condiciones necesarias para obtener la derivada de una función dada en forma paramétrica.

  Teorema

 

Sean funciones derivables en un intervalo . Supongamos que tiene una inversa derivable en ese intervalo. Entonces en cada punto donde

, las ecuaciones implican que existe una función

derivable tal que , y además

Prueba: Al final del capítulo.

 

Ejemplos:

1. Determine Solución:

Por el teorema anterior se tiene que

Luego:

por lo que

2. Determinar los puntos de la curva con ecuaciones en los que que es cero la pendiente de la recta tangente a la curva.

Solución:

Recuerde que la pendiente de la recta tangente está dada por .

Como entonces

La pendiente de la recta tangente es cero cuando , en este caso cuando

; pero esta igualdad no se cumple para ningún valor real de . Luego, no existe ningún punto de la curva dada donde la pendiente de la recta tangente sea cero.

3. Determinar la ecuación de la recta tangente a la curva con ecuaciones

cuando

Solución:

La ecuación de la recta tangente está dada por , donde .

Se tiene que

Cuando , por lo que

Cuando se obtiene , y al sustituir en se obtiene: .

Luego, la ecuación de la recta tangente es:

Derivadas de orden superior para una función dada en forma paramétrica

Si están dadas en forma paramétrica entonces puede expresarse como sigue:

Ejemplo:

Si entonces y

En general, para obtener la enésima derivada, cuando las ecuaciones están dadas en forma paramétrica, se aplica la siguiente igualdad:

Funciones implícitas y su derivada

Al considerar la función con ecuación , es posible determinar con

los teoremas enunciados anteriormente, ya que es una función dada implícitamente en términos de la variable independiente .

Sin embargo, existen funciones que no están definidas en forma explícita, ejemplos de las cuales son las siguientes:

Estas ecuaciones no pueden ser resueltas explícitamente para "y" en términos de "x". Se

dice que la función está definida implícitamente por las ecuaciones:

respectivamente.

Note que ambas expresiones son de la forma general .

Interesa ahora determinar la derivada de una función dada en forma implícita.

Consideremos cada una de las ecuaciones anteriores:

a.

Observe que involucra un producto de funciones y que para derivar se debe utilizar la regla de la cadena.

Se tiene entonces derivando:

Despejando se tiene que:

Sustituyendo "y" por se obtiene:

 b.

derivando

de donde

y sustituyendo se tiene:

El proceso realizado en estos dos ejemplos recibe el nombre de derivación implícita, y puede ser utilizado únicamente bajo el supuesto de que la ecuación dada especifica una función. En caso de que no sea así, aunque se realicen las operaciones, el resultado carece de sentido.

Por ejemplo, la ecuación no puede ser satisfecha por ningún valor real de "x"

y "y". Al realizar el procedimiento anterior se obtiene que de donde

, fórmula que parece tener significado para "x" y "y" siempre que , aunque de hecho no puede existir derivada ya que la ecuación dada no especifica ninguna función

.

La derivación implícita determina una fórmula para , que es válida para toda función

derivable tal que esté definida implícitamente por una ecuación dada.

Ejemplos:

1. Suponiendo que existe una función derivable tal que está definida

implícitamente por la ecuación , calcular

Solución:

Derivando implícitamente se obtiene:

Note que hemos trabajado como si .

2. En cada caso determinar una ecuación para la recta tangente y una ecuación para la recta normal a la gráfica de la ecuación dada en el punto . Graficar la curva, la recta tangente y la recta normal.

a.

b.

 

Solución:

a.

Primero obtenemos que nos da la pendiente de la recta tangente:

de donde

Evaluando se tiene que

Luego . Sustituyendo se obtiene que por lo que la ecuación de

la recta tangente es

La pendiente de la recta normal es de donde la ecuación de esta recta es:

; sustituyendo nuevamente en se obtiene que

La ecuación de la recta normal es:

La ecuación puede escribirse como

que representa la ecuación de una circunferencia con centro en y radio .

La representación gráfica de la curva y las rectas es la siguiente:

b.

Dada la ecuación obtenemos . como entonces

Evaluando en se tiene que

Luego, la pendiente de la recta tangente es y la ecuación es .

Sustituyendo en esta ecuación se obtiene que por lo que finalmente la

ecuación de la recta tangente es .

La pendiente de la recta normal es y la respectiva ecuación es: .

Sustituyendo se obtiene que por lo que la ecuación de la recta

normal es .

La representación gráfica de la curva, las recta tangente y de la recta normal es la siguiente:

Ejercicios para el estudiante:

1. Probar que las rectas tangentes en el origen a las curvas con ecuaciones

son perpendiculares entre sí. 2. En cada caso:

a.

Determinar en términos de "x" y "y" utilizando la derivación implícita. b.Despejar "y" en términos de "x" y demostrar que cada solución y su derivada satisfacen la ecuación obtenida en a.  

i

ii, a cte

iii

3. Determinar la ecuación de la recta normal a la curva con ecuación en

el punto

4.  5.  

6. Derivada de segundo orden para una función dada en forma implícita

7. Especificaremos en los ejemplos siguientes el procedimiento que se sigue para

determinar . 8. Ejemplo A:

9.

Sea la ecuación , obtenemos primero en la forma siguiente:

10.

11. de donde

12. ahora

13.

14. se sustituye , y se obtiene:

15.   16. Simplificando:

17. pero de la ecuación original por lo que:

, y 18. Ejemplo B:

19. Determinar

20. Primero calculamos

21.

22.23. Luego:

24.

25.

26.

27. sustituyendo se tiene:

28.

29.

30. pues en la ecuación original. 31. Ejercicio:

32. Determine y exprese el resultado en la forma más simplificada posible. 33.  

a.

b. a cte.

c. a cte, b cte.

Teorema de Rolle (o teorema sobre las raíces de la derivada) 

 

Sea una función que cumple las condiciones siguientes:

1. es continua sobre un intervalo

cerrado

2. es derivable sobre un intervalo

abierto

3.

Entonces existe por lo menos un número

real tal que .

O sea para cierto . Demostración: Al final del capítulo.

 

Interpretación geométrica

Este teorema puede interpretarse geométricamente de la manera siguiente:

Si una curva continua interseca al eje en y tiene una recta tangente en cada

uno de los puntos del intervalo , entonces existe por lo menos un punto de la curva en el que la recta tangente es paralela al eje .

Gráficamente se tiene:

El teorema también es válido para una función derivable que aunque en los extremos del

intervalo no interseque al eje , sí tome valores iguales para "a" y "b", es decir,

.

Es necesario que la función posea derivada en todos los puntos del intervalo, ya que aunque la función sea continua en el intervalo, si no es derivable en algún punto, puede suceder que

no exista ningún valor "c" para el que sea igual a cero.

Por ejemplo, la función con ecuación es continua en el intervalo y

además se cumple que , pero la derivada de no está definida

para , y se tiene que no se hace cero en el intervalo dado.

La representación gráfica de esta función en el intervalo es la siguiente:

Ejemplos:

Para cada una de las funciones cuyas ecuaciones se dan a continuación, verificar que se cumplen las condiciones del teorema de Rolle en el intervalo indicado, y determinar un valor adecuado "c" que satisfaga la conclusión de este teorema:

1.

2.

3. Ejercicio para el estudiante

4. Ejercicio para el estudiante

Solución:

1. Por ser una función polinomial es derivable y por lo tanto continua para todo

. se cumplen entonces las dos primeras condiciones en el intervalo

Además por lo que la curva interseca al eje y se cumple la tercera condición.

Luego, debe existir por lo menos un número tal que

Como si y solo si entonces puede tomarse

Luego en el punto la recta tangente es paralela al eje

 

2. De nuevo, es una función polinomial y por tanto es derivable, y continua para toda

. En particular, en el intervalo se cumplen las dos primeras condiciones.

Además verificándose la tercera condición.

Luego, el teorema es válido en el intervalo y existe tal que .

Como entonces si y solo si .

Note que ambos valores pertenecen al intervalo .

Luego, en los puntos , la recta tangente tiene pendiente cero y por tanto dicha recta es paralela al eje .

Teorema del valor medio para derivadas  (Teorema de Lagrange)   Sea una función que cumple las propiedades siguientes:

1. Es continua sobre un intervalo cerrado

2. Es derivable sobre un intervalo abierto

Entonces existe por lo menos un número tal que y

Prueba: Al final del capítulo.

 

Este teorema se utiliza para demostrar varios teoremas tanto del cálculo diferencial como del cálculo integral.

En su demostración se utilizará el teorema de Rolle.

Interpretación geométrica

El teorema del valor medio puede interpretarse geométricamente como sigue:

Consideremos la representación gráfica de una curva continua :

La recta secante que une los puntos tiene como pendiente

. Según el teorema del valor medio, debe existir algún punto sobre la curva, localizado entre P y Q, en el que la recta tangente sea paralela a la recta secante que pasa

por P y Q; es decir, existe algún número tal que

Ejemplos:

Para cada función cuya ecuación se da, verificar que se cumplen las condiciones del teorema del valor medio en el intervalo dado, y determinar un valor adecuado "c" que satisfaga la conclusión de este teorema:

1.

2.  

3.

4.

Solución:

1. Por ser una función polinomial, es derivable para toda por lo que debe

existir por lo menos un número tal que:

Además por lo que

Como entonces por lo que

Luego en y en la recta tangente es

paralela a la recta secante que pasa por los puntos y .

2. Como es continua en el intervalo y derivable en el intervalo

cumplirá ambas condiciones en el intervalo

Luego debe existir por lo menos un número tal que

Como ,

 entonces por lo que

Resolviendo la ecuación se obtiene que o

Aunque ambos valores de pertenecen al intervalo ,se tiene que

únicamente cuando

Luego en la recta tangente es paralela a la recta secante que pasa por los

puntos .

Gráficamente se tiene:

El análisis de las otras funciones queda como ejercicio para el estudiante.

Teorema de Cauchy del valor medio  (o extensión del teorema del valor medio para derivadas)   Sean dos funciones continuas sobre

un intervalo cerrado y derivables sobre

el intervalo abierto .

Si para ,

entonces existe un número tal que

. Prueba: Al final del capítulo.

Interpretación geométrica

Considere la representación gráfica de una curva , que tiene ecuaciones

paramétricas donde .

Utilizando la derivación paramétrica se obtiene que la pendiente de la recta tangente a la curva en un determinado valor está dada por

Además, la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos está dada por:

Por el teorema de Cauchy del valor intermedio, existe por lo menos un valor en tal

que:

En este caso, hay dos valores de que satisfacen la conclusión del teorema y son

.

Ejemplos:

En cada caso, determinar los valores tales que satisfacen el teorema de Cauchy del valor medio.

1.

2.

Solución:

1. Las funciones y son continuas y derivables en el intervalo por ser funciones polinomiales.

Además: por lo que , y es diferente de

cero para . Como se cumplen todas las condiciones existe en tal que:

Como entonces sustituyendo en la

expresión anterior: de donde y se obtiene que

 

2. Las funciones y son continuas y derivables en el intervalo pues ambas son el

cociente de dos polinomios donde es diferente de cero

para en .

Además: por lo que , es diferente

de cero para . Como se cumplen todas las condiciones del teorema de

Cauchy del valor medio, existe en tal que:

Como entonces sustituyendo

en la igualdad anterior se tiene: y por lo que

Como no pertenece al intervalo , el valor que satisface la conclusión

del teorema es , que sí pertenece al intervalo dado.

El teorema de Cauchy del valor será utilizado en la demostración de algunos teoremas que se refieren a la regla de L'Hôpital y que serán estudiados en el próximo apartado.

Regla de L'Hôpital------------------------

 

 

Introducción

La regla de L'Hopital es un método que se le atribuye al matemático francés Guillaume Francois de L'Hopital (1661-1707). Este escribió el primer libro de cálculo conteniendo su método, junto con J. Bernoulli. Fue publicado en 1696.

Este método nos permite calcular ciertos límites que con los procedimientos estudiados

anteriormente no era posible resolver. Así, al evaluar límites de la forma en algunos casos se podía aplicar el teorema para el límite de un cociente:

siempre que

Aún cuando y , a veces es posible determinar . Por

ejemplo el que es de la forma puede escribirse como

Sin embargo, existen límites como en los que tanto el numerador como el denominador tienden a cero cuando tiende a 2, para los que no hemos dado ningún procedimiento que permita determinar su valor.

El siguiente teorema llamado Regla de L'Hopital proporciona el instrumento adecuado para la evaluación de tal tipo de límites.

Teorema:  Regla de L'Hôpital

 

Sean funciones que satisfacen las condiciones del teorema de Cauchy en

cierto intervalo y tales que

.

Entonces, si existe , también

existirá y además

También, si entonces

Demostración Al final del capítulo.

Ejemplos:

Calculemos el utilizando el teorema anterior.

Observe que , por lo que se tiene la forma Luego:

Nota: Si y las derivadas satisfacen las condiciones que se

especificaron para las funciones y , según la hipótesis de el teorema de la Regla de L'Hôpital, entonces puede aplicarse de nuevo la Regla de L'Hôpital, obteniéndose que:

Puede operarse así sucesivamente siempre que se presente la forma .

Ejemplos:

Calculemos los límites siguientes:

1.

Note que ; se presenta la forma y puede aplicarse el teorema.

Luego:

, aquí se presenta de nuevo la forma por lo que es posible aplicar otra vez el teorema.

Entonces:

2. forma:

forma:

3. forma:

Ejercicio para el estudiante:

Calcule los límites siguientes utilizando la Regla de L'Hôpital.

Antes de aplicarla asegúrese de tener la forma indeterminada .

1.

2.

3.

4.

Teorema

 

Sean funciones derivables, (y por tanto

continuas), en un intervalo , donde es una constante positiva. Sea

.

Si y si

entonces

Además, si entonces

Prueba: Al final del capítulo.

 

 

Este teorema nos permite aplicar la regla de L'Hôpital a límites en que se presenta la forma

, cuando la variable independiente tiende hacia . También puede aplicarse cuando al

tender a menos infinito se tiene que .

Ejemplos:

Calculemos los siguientes límites utilizando el teorema anterior.

1.

Cuando se tiene que por lo que .

Se presenta la forma y podemos aplicar el teorema anterior.

Luego:

 

 forma

2. forma

3. forma

Aplicación de la Regla de L'Hôpital  a otras formas indeterminadas

La Regla de L'Hôpital también se aplica en los casos en que un cociente presenta algunas de las formas siguientes:

Daremos a continuación, sin demostración, los teoremas que permiten evaluar tal tipo de límites.

 

  Teorema

Sean funciones continuas y derivables para todos los valores en un

intervalo abierto , excepto cuando .

Si para se tiene que:

i

ii

iii

ivexiste el

entonces también existe y además

 

Ejemplo:

Calcular

Observe que:

 

a.

b.

Luego, se presenta la forma por lo que puede aplicarse el teorema anterior como sigue:

(Recuerde que )

forma

funciones derivables para toda

se cumple que sí:

también existe y

El teorema también es válido cuando se sustituye

Además, si entonces

Ejemplos:

Calcular los límites siguientes:

1.

forma: pues cuando

 2.

Este límite puede escribirse también como:

que presenta la forma

luego:

 

 

Límites que presentan la forma

Si entonces el puede designarse por la forma que no coincide con ninguna de las expresiones en las que es posible aplicar la Regla

de L'Hôpital.

Sin embargo, es posible hacer transformaciones algebraicas de manera que se obtengan las

formas , como sigue:

1. y se tiene cuando

2. y se tiene cuando

En estos dos casos sí es posible aplicar los teoremas de la Regla de L'Hôpital.

Ejemplos:

Calcular los límites siguientes:

1.

Como entonces y

Pero puede escribirse como que presenta la forma lo que nos permite aplicar la Regla de L'Hôpital como sigue:

2.

Note que si entonces y pero puede escribirse como:

que presenta la forma cuando .

Luego:

forma

Por tanto:

3.

Este límite vuelve a presentar la forma , sin embargo, la expresión

puede también escribirse como:

que presenta la forma , cuando .

Luego, calculamos el límite como sigue:

Otras formas indeterminadas

Si en el se tiene que:

1. y ó

2. y ó

3. y

entonces dicho límite presenta las formas respectivamente.

Para calcular este tipo de límites se sigue el siguiente procedimiento:

Consideremos la igualdad , tomando logaritmo natural a ambos lados de ella se

tiene: . Note que en la expresión presenta en todos los casos la forma .

Los límites en que  presentan esta forma indeterminada fueron estudiados anteriormente.

Tenemos entonces que:

Como la función logaritmo es continua podemos escribir:

Ejemplos:

Utilizando el procedimiento descrito anteriormente, calculemos los siguientes límites:

1.

Si entonces por lo que se tiene la forma

Luego:

Note que el presenta la forma por lo que puede aplicarse la Regla de L'Hôpital.

Entonces:

2.

Si entonces y, por lo que se tiene la forma .

Luego:

Note que presenta la forma . Este último límite puede

escribirse como: que es ahora de la forma y al cual puede aplicarse la Regla de L'Hôpital.

Entonces:

forma

Por tanto:

3.

Se presenta la forma por lo que:

El es de la forma , que puede escribirse como

, que es ahora de la forma , y podemos por tanto aplicar la Regla de L'Hôpital.

Luego:

4.

Si entonces y por lo que es de la forma

Luego:

el es de la forma y puede escribirse como al

cual puede aplicarse la Regla de L'Hôpital pues es de la forma .

Entonces:

forma

forma

Luego:

Otra forma indeterminada

En algunos límites se presenta la forma de la cual no se puede dar un resultado inmediato. Sin embargo, mediante algunas transformaciones algebraicas es posible obtener

la forma y aplicar luego la Regla de L'Hôpital.

Ejemplos:

1.

Consideramos dos casos:

a.

Si entonces por lo que y de donde

Luego cuando

b.

Si entonces por lo que y de donde

Luego cuando

Note que en ambos casos se tiene

Resolvemos el límite de la siguiente manera:

forma

2.

Consideramos los siguientes casos:

a.

Si entonces por lo que y

Luego cuando

b.

Si entonces por lo que y

Luego cuando

Note que en ambos casos se tiene

Procedemos como sigue para determinar el valor del límite:

forma

3.

Si tenemos que aparece la forma

Para este tipo de límite se factoriza algunos de los sumandos de la manera siguiente:

Calculemos ahora: que presenta la forma

Luego:

4.

Si entonces de nuevo aparece

Factorizamos:

Calculemos que presenta la forma

Luego:

 

 

Algunas aplicaciones de la derivada

 

 

Estudio de la variación de funciones

Además de la utilización de la derivada para el cálculo de ciertos límites, (Regla de L'Hôpital), es posible, por medio de ella, obtener información sobre el comportamiento de una función, lo que permite contar con ciertos criterios que ayudan a representarla gráficamente.

Funciones crecientes y decrecientes y su relación con la derivada

Sea f una función continua con ecuación , definida en un intervalo .

La siguiente es la representación gráfica de f en el intervalo .

  En la representación gráfica anterior puede observarse que la función f es:

1. Creciente en los intervalos ,

2. Decreciente en los intervalos ,

También se tiene que cuando la pendiente de la recta tangente es positiva, la función f crece; y cuando la pendiente de la recta tangente es negativa, la función decrece.

Note además que en los puntos , y la recta tangente es horizontal, por lo que su pendiente es cero, es decir, la primera derivada de la función se anula en cada uno de esos puntos.

En los siguientes teoremas se formalizan las apreciaciones anteriores.

 

  Teorema 1

 

Sea f una función continua en un intervalo cerrado y derivable en el

intervalo   abierto .

1. Si para toda x en , entonces la función f es creciente en

.

2. Si para toda x en , entonces la función f es decreciente

en . Demostración: Al final del capítulo.

 

Ejemplos:

1. Determinemos los intervalos en que crece o decrece la función con ecuación

.

Para ello calculemos la primera derivada de .

Como , o sea si , entonces f es creciente para .

Como , o sea si , entonces f es decreciente para .

En la representación gráfica de la función puede observarse lo obtenido anteriormente.

 

 

 

2. Determine en cuáles intervalos crece o decrece la función con ecuación

con .

La derivada de f está dada por que puede escribirse como

Como es positivo para toda x en entonces:

             y

Para resolver estas desigualdades recurrimos a la siguiente tabla.

3. Luego: si por lo que la función f crece en el intervalo

.

Además: si de donde la función f decrece en el intervalo

.

La representación gráfica de la función es la siguiente: 4.  

5.6. Determinar los intervalos en que crece o decrece la función f con ecuación

, con .

La derivada de f es .

Como es mayor que cero para x en , , y además entonces

para todo x en , por lo que la función f es decreciente para x en ,

. La siguiente, es la representación gráfica de dicha función:

 

 

 

Valor máximo y valor mínimo de una función

Si f es una función dada, entonces es un valor máximo relativo de f, si existe un

intervalo abierto tal que y para , siendo x un valor del dominio de la función.

Si para toda x en el dominio de f, entonces es el valor máximo de f o máximo absoluto.

Similarmente, es un valor mínimo relativo de la función f, si existe un intervalo abierto

tal que y para , con x en el dominio de f.

Si para toda x en el dominio de f, entonces se dice que es el valor mínimo de dicha función. También se llama mínimo absoluto.

Ejemplo:

Considere una función f definida en un intervalo , cuya representación gráfica es la siguiente:

 

 

 

Note que , es un máximo relativo y es el máximo valor que toma la función en el intervalo en que está definida.

Similarmente, es un valor mínimo relativo y es el mínimo absoluto de la función

en .

  Teorema 2

 

Sea c un punto interior del dominio de una función f.

Si es un valor máximo relativo de f y si existe entonces .

Prueba: al final del capítulo.

Ejemplo:

Considere la función f definida por

 

Su representación gráfica es la siguiente:

 

Puede observarse que cuando x toma el valor de entonces la función tiene un valor

máximo. En este caso es precisamente el vértice de la parábola con ecuación:

.

Según el teorema anterior debe cumplirse que es igual a cero.

En efecto, como , al sustituir x por -2 se obtiene que

, que era lo que quería comprobarse.

  Teorema 3

Sea c un punto interior del dominio de una función f. Si es un valor

mínimo  relativo de f y si existe, entonces .

La demostración es similar a la del teorema anterior.

Ejemplo:  

Considere la función f definida por:

Su representación gráfica es la siguiente:

 

Note que la función f tiene un valor mínimo en dado por . El punto es

el vértice de la parábola con ecuación .

De acuerdo con el teorema debe cumplirse que sea igual a cero.

Como entonces y se verifica lo enunciado respecto al valor mínimo.

Observación:

El recíproco de los dos teoremas anteriores no es cierto. Es decir, el hecho de que sea igual a cero, no implica que en exista un máximo o un mínimo.

Por ejemplo, para la función f con ecuación , se tiene que , y si ; sin embargo, en no hay ni un valor máximo ni un valor mínimo, como puede

observarse en la siguiente representación gráfica de la función.

 

 

  Definición 

  Sea f una función. Recibe el nombre de valores críticos del dominio de f,

aquellos en los que es igual a cero o en los que no existe.

Ejemplo:

Determinemos los valores críticos de las funciones con ecuaciones:

a.    ,

b.  ,

  

 Solución: a.

Como , entonces

Ahora: si y solo si o sea si , ó, , ó,

Luego, los valores críticos de f son: x=0, x=1, y x=-1.

 

b.

Como entonces

Luego , de donde si y solo si , o sea, si

Por lo tanto el valor crítico de f es .

Note que aunque se indefine en , como este valor no pertenece al dominio de f, entonces no es valor crítico de dicha función.

Observación:

Reciben el nombre de valores extremos de una función f los valores máximos relativos y los valores mínimos relativos de f. Dada una función f cuyo dominio es el intervalo k, un

valor será un valor crítico de x para la función f si:

a.    ó

b.   no existe óc. c es un extremo del intervalo k. 

En este último caso, si entonces "a" y "b" son valores críticos. Si o si

entonces "a" es un valor crítico. Si , o si entonces "b" es un

valor crítico. Si , entonces ni "a" ni "b" son valores críticos (note que los valores extremos de un intervalo abierto no son elementos del intervalo).

 

 

Criterio de la primera derivada para determinar los máximos y los mínimos

de una función

En el siguiente teorema se establece cómo determinar los valores máximos y los valores mínimos de una función, al estudiar los intervalos en que crece o decrece la función.

 

  Teorema 4

 

Sea f una función continua en un intervalo cerrado , que es derivable

en todo punto del intervalo abierto .

Sea c en tal que o no existe.

a.

Si es positiva para todo , y negativa para todo ,

entonces es un valor máximo relativo de . b.

Si es negativa para toda , y positiva para toda ,

entonces es un mínimo relativo de . c.

Si es positiva para todo y también lo es para todo ; o

si es negativa para todo y a su vez para todo ,

entonces no es un valor máximo relativo ni un valor mínimo

relativo de . Prueba: Al final del capítulo.

 

Las situaciones enunciadas en a., b. y c. pueden representarse gráficamente como sigue:

Máximo relativo en

 

Mínimo relativo en

    

 

En no hay ni máximo ni mínimo relativo.  

   

En los siguientes ejemplos determinaremos los valores extremos de una función cuya ecuación se da. Para ello, se calcula la primera derivada de la función, luego se determinan los valores críticos y por último se aplica el  teorema anterior. 1.

Note que f está definida para

Como entonces si y solo si , ó .

Los valores críticos son , y , x=-2.

Determinemos ahora cuándo y cuándo .

Como , se deben resolver las desigualdades: ,

. Nos ayudamos con la tabla siguiente:

 

Como para y para entonces es un valor mínimo.

Como para y para entonces es un valor máximo.

La representación gráfica de la función es la siguiente:

 

Note que es un mínimo relativo y que es un máximo relativo, en el dominio de la función.

2.

En este caso (¡Compruébelo!)

Luego, si y solo si , ó,

Además, no existe si .

Los valores críticos de f son , , .

Como es positivo para todo entonces para determinar cuando

, y cuando , basta con analizar la expresión .

Utilizamos la siguiente tabla:

i.

Como para y como f es continua sobre ese intervalo, entonces

es creciente sobre por lo que si .

Por lo tanto en un valor mínimo relativo de f. ii.

Como para y para , entonces .

es un valor máximo relativo de f. iii.

Como si y como f es continua sobre entonces f es

decreciente sobre , y por tanto cuando . Luego es un valor mínimo relativo de f.

3.

,

Se tiene que (¡Compruébelo!)

Ahora, si y solo si es decir, si .

Los valores críticos de f son , , , estos últimos por ser extremos del intervalo.

Como , y, , , y, son expresiones positivas

para todo entonces el signo de estará determinado por la variación de x.

Luego se tiene:

i.

Como para y f es continua en entonces f es decreciente

sobre . Luego para , y es un máximo relativo de f.

ii.

Como para y para , entonces es un mínimo relativo de f.

iii.

Como para y f es continua en entonces f es creciente en .

Luego para y es un máximo relativo de f.

Ejercicio:

Hacer un estudio similar para:

 

a.

 b.

  ,

 

c. ;

 

 

Concavidad y puntos de inflexión La segunda derivada de una función también proporciona información sobre el comportamiento de ésta. Para iniciar este estudio daremos la siguiente:

 

Definición  de concavidad

Se dice que la gráfica de una función f es cóncava hacia arriba en un intervalo A,

, si es creciente sobre A. Si es decreciente sobre A entonces se dice que la gráfica de f es cóncava hacia abajo.

Note que es la función derivada la que debe ser creciente o decreciente en el intervalo A.

En la siguiente representación gráfica, una función f es cóncava hacia arriba en el intervalo

y cóncava hacia abajo en el intervalo

 

Teorema 5

Si f es una función tal que cuando , entonces la gráfica de f es

cóncava hacia arriba sobre .

Demostración:

Si y como , entonces se tiene que es creciente

sobre por lo que de acuerdo con la definición de concavidad de una función,

se obtiene que f es cóncava hacia arriba sobre .

   

Teorema 6

Si f es una función tal que cuando , entonces la gráfica de f es

cóncava hacia abajo sobre .

Demostración:

De la hipótesis: , y como , se obtiene que es

decreciente sobre por lo que según la definición dada sobre concavidad, la

gráfica de la función f es cóncava hacia abajo sobre .

 

Ejemplifiquemos los dos teoremas anteriores utilizando la función f con ecuación

Si entonces , y,

Luego, si y, si .

Como , entonces es creciente en los intervalos , pues en

ellos es positiva. Además es decreciente en el intervalo pues en el es negativa.

Luego, f es cóncava hacia arriba en el intervalo y cóncava hacia abajo en

el intervalo .

La representación gráfica de la función es la siguiente:

Representación gráfica de la función

Observe que es creciente en y y decreciente en .

Representación gráfica de la función f:

Representación gráfica de la función f

 

Note que f es cóncava hacia arriba en los intervalos y cóncava hacia abajo en el

intervalo .

Damos ahora la definición de punto de inflexión

 

  Definición

Se dice que es un punto de inflexión de la gráfica de una función f, si

existe un intervalo tal que , y la gráfica de f es cóncava hacia arriba

sobre , y cóncava hacia abajo sobre , o viceversa.

Podemos representar lo anterior en forma gráfica como sigue:

 

Ejemplos:

1.

El punto es un punto de inflexión de la curva con ecuación , pues

es positiva si , y negativa si , de donde f es cóncava hacia arriba para

, y cóncava hacia abajo para .

Gráficamente se tiene:

2.

Determinemos los puntos de inflexión de la función f con ecuación

Se tiene que por lo que

Resolvamos las desigualdades

 

Como si entonces la gráfica de f es cóncava hacia arriba en esos intervalos.

La gráfica de f es cóncava hacia abajo en el intervalo pues en él .

Luego los puntos y son puntos en los que cambia la concavidad y por tanto son puntos de inflexión.

La gráfica de la función f es la siguiente:

Puede decirse que un punto de inflexión separa una parte de la curva que es cóncava hacia arriba de otra sección de la misma que es cóncava hacia abajo.

En un punto de inflexión, la tangente a la curva recibe el nombre de tangente de inflexión. Gráficamente:

Observe que una parte de la curva queda sobre la tangente de inflexión, y otra parte bajo ella.

Teorema 7

Si es un punto de inflexión de la gráfica de f y si existe, entonces

Demostración: Al final del capítulo.

Ejemplo:

Considere la función f con ecuación .

La segunda derivada de f es .

Note que si , y, si

Luego, f es cóncava hacia arriba para , y cóncava hacia abajo para

Se tiene entonces que es un punto de inflexión.

Evaluando la segunda derivada de f en resulta que con lo que se verifica lo expresado en el teorema anterior.

En el siguiente teorema se dan las condiciones para que un punto sea punto de inflexión.

 

Teorema 8

Si:

i.

f es una función continua sobre un intervalo I,

ii.

es un punto interior de I tal que , ó existe, y

iii.

Si existe un intervalo con , tal que:

1. cuando y cuando , entonces

es un punto de inflexión de la gráfica de f.

2. cuando y cuando , entonces

es un punto de inflexión de la gráfica de f.

3. cuando y cuando , o bien,

cuando y cuando entonces no es un punto de inflexión de la gráfica de f.

Demostración: Es similar a la dada para el Teorema 4, sustituyendo f por

, y por .

 

Ejemplos:

1. Sea f una función con ecuación con . Note que f es una función continua en todo su dominio por ser una función polinomial. La segunda derivada

de f es , que es igual a cero si y solo si ó .

Así

Observemos la solución de las desigualdades , y por medio de la siguiente tabla:

2. Como para y para entonces es un punto de inflexión según el punto l del Teorema 8.

De acuerdo con el punto 2 de ese mismo teorema, como para y

para , entonces es un punto de inflexión. 3. Consideraremos ahora la función g con ecuación:

, con

Como se tiene que nunca se hace cero y que no existe.

 

Además es mayor que cero para , por lo que f siempre es cóncava

hacia arriba en su dominio, y por lo tanto no es punto de inflexión.

 

 

Criterio de la segunda derivada para establecer los valores máximos y

los valores mínimos de una función

Además de proporcionar información sobre la concavidad de la gráfica de una función, la segunda derivada permite establecer si un punto crítico es un valor máximo o un valor mínimo.

El siguiente teorema se refiere a este segundo aspecto.

 

  Teorema

 

Sea f una función con dominio D.

Si está definida para donde y si con entonces:

a.

 

es un valor máximo relativo de f si se cumple que

b. es un valor mínimo relativo de f si se cumple que

 

Demostración: Al final del capítulo.

 

Ejemplos:

Utilizando el teorema anterior vamos a determinar los valores máximos y los valores mínimos de las funciones cuyas ecuaciones son:

 

1.   ,

Note que la función f no está definida en

La derivada de f está dada por ,

Los valores críticos de f se obtienen cuando . En este caso, si y solo si

, ó .

Ahora, la segunda derivada de f es

Vamos a evaluar en y en

 

a.; como entonces es un valor mínimo

relativo de f.

 b.

 

; como entonces es un valor máximo relativo de f.

Gráficamente se tiene en el intervalo

2.

Se tiene que

La primera derivada de g está dada por  

 

Como cuando y cuando entonces estos son los valores críticos de g.

La segunda derivada de g es

Evaluando en se tiene que  

 que es mayor que cero, por lo que es un valor mínimo relativo de g.

Observe que no puede evaluarse en pues hace cero el denominador por lo que para este valor crítico debe utilizarse el criterio de la primera derivada.

Analizando se obtiene que para y para

por lo que al no existir cambio de signo resulta que no es ni máximo ni mínimo. El gráfico de g se muestra a continuación.

 

 

Trazo de curvas La teoría estudiada hasta ahora sobre máximos y mínimos de una función, será aplicada tanto en la resolución de problemas como en el trazo de la gráfica de una curva. Para este último aspecto nos hace falta estudiar las asíntotas de una curva, tema que veremos a continuación para pasar luego al trazo de curvas y por último a la resolución de problemas.

Asíntotas

Dada una curva con ecuación es necesario estudiar la variación de la función cuando la abscisa y la ordenada de un punto cualquiera de la curva tiende al infinito.

Definición 

Cuando el punto de una curva se desplaza a lo largo de ella, de tal forma que su distancia al origen tienda a infinito, puede suceder que la distancia de P a una recta fija, tienda a cero. Esta recta recibe el nombre de asíntota de la curva.

 

Gráficamente:

Asíntota horizontal:

Sea la función con ecuación

Si ó , entonces la recta con ecuación es una asíntota horizontal de la gráfica de f.

Ejemplo:

1. Sea la ecuación de una curva.

Como:

entonces la recta con ecuación es una asíntota horizontal de la curva.

2.

entonces la recta con ecuación es una asíntota horizontal de la curva.

Gráficamente se tiene:

 

Asíntota vertical:

La recta con ecuación es una asíntota vertical de la gráfica de una función con

ecuación , si se cumple alguna de las siguientes condiciones.

i. iii.

ii. iv.

Si la recta con ecuación es una asíntota vertical de la gráfica de una función f, entonces f es discontinua en "a".

Ejemplo:

Sea la ecuación de una curva.

Observe que el dominio es el conjunto:

Como y

entonces la recta con ecuación es una asíntota vertical de la gráfica de la curva.

Gráficamente:

Note que la recta con ecuación , (eje x), es asíntota horizontal de la curva.

Asíntota oblicua

Si los límites: y

existen, entonces la recta con ecuación es una asíntota oblicua. (La justificación aparece al final del capítulo)

Ejemplo:

La curva con ecuación posee asíntota oblicua pues:

a.

,

de donde

b.

,

de donde

 

Así la ecuación de la asíntota es

La representación gráfica es la siguiente:

Note que la recta con ecuación , (eje y), es asíntota vertical de la curva.

Especificaremos ahora los pasos a seguir para hacer el análisis y la gráfica de una función f cuya ecuación se da.

1. Calcular el dominio de f. 2. Averiguar las intersecciones con los ejes coordenados.

Si es la ecuación de la curva, los puntos de intersección con el eje x se determinan

resolviendo la ecuación , los puntos de intersección con el eje Y se calculan dándole a x el valor cero.

3. Sentido de variación

Se hace el estudio de la primera derivada.

a.Se calcula

b.Para determinar los valores críticos se resuelve

c. Para determinar los intervalos en que f crece y en los que decrece se

resuelven las desigualdades , y,

4. Estudio de la segunda derivada de f.

a.Se calcula

b.Se determinan los puntos de inflexión resolviendo

c. Para determinar los intervalos en que f es cóncava hacia arriba y en los que es

cóncava hacia abajo, se resuelven las desigualdades y

Los puntos máximos y los puntos mínimos se pueden establecer ya sea utilizando el criterio de la primera derivada o el de la segunda derivada.

5. Estudio de los límites

Se calculan los siguientes límites: ,

y donde 6. Estudio de las asíntotas: Se determina si la curva posee asíntotas verticales, horizontales u

oblicuas.

 

7. Se hace el cuadro de variación. Este es un cuadro en el que se resume todo el análisis anterior.

 

8. Gráfica de la función. Con los datos señalados en el cuadro de variación se dibuja la gráfica

de .

Ejemplos:

Hacer el análisis, cuadro de variación y gráfica de la curva con ecuación:

a.

1. Dominio: 2. Intersección con los ejes:

, luego es el punto de intersección con el eje Y, y con el eje X.

3. Sentido de variación:

i.

Como es positivo para , basta con analizar el numerador.

ii.

valor crítico.

iii.

; luego f crece si

iv.

, luego f decrece si . De i. y iv. se deduce que es un máximo relativo.

4. Estudio de la segunda derivada:

i.

ii.

para toda

Para determinar si f es cóncava hacia arriba o hacia abajo se deben resolver las

desigualdades y para lo que utilizamos la siguiente tabla.

Como para entonces f es cóncava hacia arriba en ese intervalo.

Como para entonces f es cóncava hacia abajo en ese intervalo.

5. Estudio de los límites:

 

a.

b.

c.

d.

e.

f.

6. Asíntota:

De a. y b. del punto anterior, la recta con ecuación es una asíntota horizontal.

Del punto anterior también se obtiene que las rectas con ecuaciones , son asíntotas verticales.

Como

pero: entonces la asíntota oblicua coincide con la asíntota horizontal.

7. Cuadro de variación: resumen de lo estudiado

8. Representación Gráfica:

 

b.

1. Dominio:

2. Intersección con los ejes: para que la curva interseque al eje x se necesita que ,

pero esto sucede únicamente si , es decir, si pero por lo que no hay intersección con el eje X.

Para la intersección con el eje Y, x debe ser igual a cero, pero , por lo que tampoco hay intersección con el eje y.

3. Sentido de variación: Estudio de la primera derivada,

a

a.

b.

c. Para determinar los intervalos en que crece o decrece la función debemos resolver

y

Como es mayor que cero para , basta analizar el comportamiento de . Para ello utilizamos el siguiente cuadro.

Como para entonces f crece en ese intervalo.

Como para entonces f decrece en ese intervalo.

Además en , hay un mínimo relativo.

 

4. Estudio de la segunda derivada

a.

b.

c. , luego f es cóncava hacia arriba si

d., luego f es cóncava hacia abajo si

5. Estudio de los límites

 

a.(forma )

Si entonces y , por lo que:

(forma por lo que puede aplicarse la Regla de L'Hôpital)

 b.

 , pues si entonces y

c.

Si entonces y

 

d.

, pues y

 

6. Asíntotas

Existe asíntota vertical dada por la recta con ecuación , por el resultado del límite a.

No hay asíntota horizontal.

Asíntota Oblicua

i.

de donde

ii.

(forma por lo que puede aplicarse la Regla de L'Hôpital)

, de donde

Por tanto, la recta con ecuación es una asíntota oblicua.

7. Cuadro de variación: resumen de lo anterior.

8.9. Gráfica:

c.

1. Dominio: 2. Intersección con los ejes

a.

eje Y: no hay intersección, pues x debe tomar el valor de cero, pero

b.

eje X: , pero , por lo que no hay intersección con este eje.

3. Sentido de variación: Estudio de la primera derivada

a.

b. ó , estos son los valores críticos de f.

c.

 

Como:

Se tiene que si si

Entonces f es creciente si y f es decreciente si

Luego, , es un valor máximo y es un valor mínimo.

 

4. Estudio de la segunda derivada:

a.

b.

c., entonces f es cóncava hacia arriba si

d.; luego, f es cóncava hacia abajo si

5. Estudio de los límites:

a.

b.

 

c.

d.

6.   7. Asíntotas

De a. y b. del punto anterior se concluye que la recta con ecuación es una asíntota vertical.

De c. y d. del punto anterior se concluye que no existe asíntota horizontal.

Asíntota oblicua

i.

de donde ii.

 

de donde

Luego, la recta con ecuación es una asíntota oblicua.

 

8. Cuadro de variación

 

 

9. Gráfica

c.

1. Dominio

Se necesita: lo cual se cumple cuando 2. Intersección con los ejes:

Eje X: , luego en el punto interseca al eje x.

Como también en interseca al eje Y. 3. Sentido de variación o estudio de la primera derivada

a.

(¡Compruébelo!)

Como es positivo para , analizamos únicamente el numerador para

determinar y

Como es mayor que cero para entonces f es creciente en esos intervalos.

Como es menor que cero para entonces f es decreciente en esos intervalos.

Además en y hay dos valores mínimos relativos.

4. Estudio de la segunda derivada

a.

b.

 

y por lo que f siempre es cóncava hacia arriba.

5.   6.7. Estudio de los límites

a.

 b.

8. 9.10. Asíntotas

Del punto a. anterior se obtiene que no hay asíntota horizontal.

Del punto b. anterior se obtiene que y son las ecuaciones de asíntotas verticales.

Determinemos si existen asíntotas oblicuas:

1.

a.

de donde

b.

  , de donde .

 

La recta con ecuación es una asíntota oblicua.

2.

a.

de donde

b.

, de donde .

Luego, la recta con ecuación es otra asíntota oblicua.

11. Cuadro de variación:

12. Gráfica

 

 

Resolución de problemas de máximos y mínimos:

En la resolución de problemas en que se debe determinar el máximo o el mínimo de una cierta expresión, deben seguirse los siguientes pasos:

Determinar la magnitud que debe hacerse máxima o mínima, y asignarle una letra. Hacer un dibujo cuando sea necesario. Asignar una letra a las cantidades mencionadas en el problema y escribir una ecuación en

la que se establezca lo que se debe hacer máximo o mínimo. Establecer las condiciones auxiliares del problema y formar una ecuación (ecuación

auxiliar) Expresar la cantidad que debe maximizarse o minimizarse en términos de una sola variable

utilizando para ello la ecuación auxiliar. Determinar el dominio de esta función. Obtener la primera derivada de esta función para determinar los valores críticos. Comprobar, utilizando el criterio de la primera derivada o el de la segunda derivada, si los

valores críticos son máximos o mínimos. Verificar que el valor obtenido cumple las condiciones dadas en el problema Responder a la pregunta establecida en el enunciado del problema. En algunos problemas hay que utilizar diversas figuras geométricas por lo que a

continuación se especifican algunas de ellas junto con las respectivas fórmulas sobre áreas y volúmenes:

 

1.

Círculo de radio r con centro en

Ecuación: Circunferencia: Área:

2.

Sector circular;

Área: donde es el ángulo central medio en radianes.

Área: donde s es la longitud del arco AB

3.

Trapecio

Área: , donde B es la longitud de la base mayor, b es la de la base menor y h es la altura del trapecio.

4.

Ver en ambiente 3D

Cilindro circular recto de altura h y radio de la base r. Volumen: Área lateral:

Área total:

5.

Ver en ambiente 3D

Cono circular recto de altura h y radio de la base r.

Volumen: Superficie lateral: . L donde L es la generatriz está dada por:

6.

Ver en ambiente 3D

Esfera de radio r.

Volumen:

Superficie:

 

c.

Ejemplos:

1.

Determinar dos números no negativos cuya suma sea 10 y cuyo producto tenga el mayor valor posible.

Solución:

Se debe de maximizar el producto P de dos números positivos.

Sean estos números: x, y

Luego

Como la suma de esos números es 10, entonces es la ecuación auxiliar, de

donde .

Entonces:

Se debe de determinar el valor de x que hace máxima la función

Derivando:

Valores críticos:

En se tiene un valor crítico, y se debe estudiar si es un valor mínimo o un valor máximo.

Como entonces por lo que en se tiene un valor máximo.

Si entonces . Luego, los números positivos cuyo producto es máximo y cuya suma es 10 son ambos iguales a 5.

2.

Un rectángulo tiene 120 m. de perímetro. Cuáles son las medidas de los lados del rectángulo que dan el área máxima?

Solución:

Se debe maximizar el área A de un rectángulo:

Designemos con "x", "y" las longitudes de los lados del rectángulo.

Luego

Como el perímetro del rectángulo es 120 m. entonces la ecuación auxiliar es:

de donde .

Luego

Como y entonces es un valor crítico.

Analicemos si este valor es máximo o mínimo utilizando el criterio de la segunda derivada.

Como y , entonces es un valor máximo.

Si entonces por lo que un cuadrado de lado 30 es el rectángulo de mayor área y perímetro 120m.

3.

Una recta variable que pasa por el punto corta al eje X en y al eje Y en . Hallar el área del triángulo de superficie mínima, suponiendo A y B positivos.

Solución:

Se debe minimizar el área T de un triángulo.

Gráficamente se tiene:

El triángulo es rectángulo y su área está dada por

La recta pasa por los puntos , y , por lo que la pendiente está dada como sigue:

i.

Tomando y :

ii.

Tomando y :

Luego: es la ecuación auxiliar, de donde (*)

Entonces

,

Como entonces

ó

Determinemos, utilizando el criterio de la primera derivada si los valores críticos son máximos o mínimos:

Del cuadro anterior, como T decrece para y crece para entonces en se tiene un valor mínimo.

Si entonces (al sustituir en (*))

Luego el área del triángulo es

Además, la ecuación de la recta es

4.

Una ventana tiene forma de rectángulo, culminando en la parte superior con un triángulo equilátero. El perímetro de la ventana es de 3 metros. Cuál debe ser la longitud de la base del rectángulo para que la ventana tenga el área máxima?

Solución:

En este caso se debe maximizar el área de la siguiente figura geométrica:

Se han señalado con las letras "x","y" las longitudes de los lados de la ventana.

El área de la ventana está dada por la suma de las áreas del triángulo y del rectángulo.

Área del triángulo:

Área del rectángulo:

Área total:

Como el perímetro de la ventana es 3 metros entonces: de donde es una ecuación auxiliar.

Luego: . Debemos escribir h también en términos de x.

Se tiene en el triángulo:

,

Luego:

Determinamos los valores críticos

Luego:

El valor crítico es

Utilizando el criterio de la segunda derivada se tiene que

, y ,

de donde es un valor máximo.

Luego, la longitud de la base del rectángulo debe ser para que la ventana tenga el área máxima.

La altura del rectángulo debe ser: y el lado del triángulo es .

5.Un faro se encuentra ubicado en un punto A, situado a 5 Km. del punto más cercano O de una costa recta. En un punto B, también en la costa y a 6 Km. de O, hay una tienda. Si el

guardafaros puede remar a , y puede cambiar a , dónde debe desembarcar en la costa, para ir del faro a la tienda en el menor tiempo posible?

Solución:

Se debe minimizar el tiempo de recorrido

Gráficamente la situación es la siguiente:

Sea C el punto de la playa en el que desemboca el guarda faros, designemos con x la distancia .

es la distancia en que debe remar desde A hasta C

es la distancia en que debe caminar desde C hasta B

Note que y

Además se tiene que la distancia S recorrida en un tiempo t es igual a la velocidad por el tiempo: o sea;

de donde .

La distancia es recorrida con una velocidad de , y la distancia con una

velocidad de , por lo que el tiempo total de recorrido será:

siendo esta la función a minimizar.

Luego:

Para determinar los valores críticos hacemos

Utilicemos el criterio de la segunda derivada para determinar si el valor crítico es un mínimo.

, evaluando en se obtiene

por lo que es un valor mínimo.

Luego, el guarda faros debe desembarcar en un punto C que está a Km. de punto C, para llegar a la tienda en el menor tiempo posible.

6.Determinar las dimensiones del cono de mayor área lateral que puede inscribirse en un cono circular recto de radio 1cm y altura 3cm, como se muestra en la figura siguiente:

Ver en ambiente 3D

Solución:

Hay que maximizar el área lateral del cono inscrito.

Las dimensiones de éste son: x radio de la base, h altura y se especifican en la figura de la siguiente manera:

El área lateral de un cono es .

Una ecuación auxiliar se puede obtener por medio de semejanza de triángulos de la siguiente forma:

Además

Sustituyendo en la ecuación del área lateral

 

Determinemos los puntos críticos:

, ó

Por lo tanto, los valores críticos son y

Determinemos cuál de esos valores es un valor máximo utilizando el criterio de la primera derivada.

Como crece para y decrece para entonces es un valor máximo.

Como decrece para y crece para entonces es un valor mínimo.

Luego el valor que nos interesa es

Por lo tanto, el radio de la base del cono inscrito es cm., y la altura es cm.

7.

Determinar las dimensiones del cono de volumen mínimo circunscrito a una semiesfera de radio R, de tal forma que el plano de la base del cono coincida con el de la semiesfera.

Solución:

Hay que minimizar el volumen del cono circunscrito.

Si el radio de la base del cono es x y su altura es h, su volumen está dado por:

Gráficamente se tiene:

Ver en ambiente 3D

Haciendo un corte transversal se tiene:

Podemos utilizar semejanza de triángulo para obtener una ecuación auxiliar:

de donde

 

Sustituyendo en la ecuación del volumen del cono:

Utilizando el criterio de la primera derivada, analicemos cuál valor crítico corresponde a un valor mínimo:

Como decrece para y crece para entonces corresponde a un valor mínimo que era lo que nos interesaba. Luego, las

dimensiones del cono circunscrito a la esfera son: radio de la base , altura

 

 -------------------

Integral Indefinida

Dada una función , una primitiva arbitraria de se denomina generalmente integral

indefinida de f(x) y se escribe en la forma .

La primitiva de una función también recibe el nombre de antiderivada.

Si es una función tal que para en un intervalo , entonces la integral

indefinida de está dada por:

C es cualquier número real y recibe el nombre de constante de integración.

son dos funciones primitivas de la función

, entonces , es decir, su diferencia es igual a una constante.

Al final del capítulo.

 

Puede decirse a partir de este teorema que si se conoce cualquier función primitiva de

de la función , entonces cualquier otra primitiva de tiene la forma , donde C es una constante.

Luego

Nos dedicaremos ahora a estudiar los métodos que permiten determinar las funciones primitivas, (y por tanto las integrales indefinidas), de ciertas clases de funciones elementales.

El proceso que permite determinar la función primitiva de una función recibe el nombre de integración de la función f(x).

Las propiedades estudiadas para la integral definida también se cumplen para la integral indefinida.

Fórmulas y métodos de integración

Regla de la cadena para la antiderivación

Sea una función derivable en un intervalo .

Sea una función definida en una antiderivada de .

Entonces:

Note que , como es una primitiva de

entonces por lo que:

.

Luego tenemos que:

1. . ¡Compruébelo!

2. ¡Compruébelo!

El caso en que será estudiado luego.

Ejemplos:

1.

2.

3.

4.

Note que , por lo que es necesario multiplicar por y de la siguiente manera:

5. Note que

6.

Note que

Ejercicios para el estudiante:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

 

 

Integral de la función exponencial de base e

Recuerde que y que

Luego y

Ejemplos:

1. en este caso , por lo que multiplicamos y dividimos por 2 para tener la integral completa.

2. Note que

3. Note que

4. Recuerde que

Ejercicios para el estudiante:

1.

2.

3.

4.

5.

6.  

 

 

Integral de la función exponencial de base "a"

Como entonces:

y

Ejemplos:

1.

2.

3.

Integral que da como resultado la función logaritmo natural

Prueba:

Si entonces   y  por lo que:

Si entonces ,y, por lo que:

De esta manera queda comprobado la igualdad dada en .

En general se tiene que

Observe que la expresión en el denominador debe tener exponente uno y que además en el integrando debe aparecer la derivada de f(x).

Ejemplos:

1.  

2.

3. Note que

Nota: Cuando en un cociente, la variable de la expresión en el numerador tiene exponente mayor o igual al de la variable en el denominador, debe efectuarse primero una división y luego integrar como se especifica en los ejemplos siguientes:

4.

5.

6. Ejercicio para el estudiante

7. Integrales de las funciones trigonométricas8. Se debe tener muy claro cuál es la derivada de cada una de las funciones

trigonométricas estudiadas. 9. Daremos a continuación la lista de las fórmulas:

   

1.

  Si entonces por lo que

 

10.  Ejemplos

a.

  Note que    

b.

 Note que y

   

c.

   

d.     Ejercicio para el estudiante

   11.

e.             Ejercicio para el estudiante

               

12.

2.

  Si entonces por lo que

 

13. Ejemplos

a.

   

b.

  Note que y

 

 

14.

c.

  Note que 

     y 

 

 

15.   

d.     Ejercicio para el estudiante

16.

e.      Ejercicio para el estudiante

17.

3.

 

  Válido para

  Si entonces , por lo que

 

18. Ejemplos

a.

   

b.

  Note que    

c.       Ejercicio para el estudiante

   

d.  Ejercicio para el estudiante

   

4.

  Válido para

  Si entonces , por lo que

 

19. Ejemplos

a.

 

 

20.   

b.

21.   

c.    Ejercicio para el estudiante

22.   

d.     Ejercicio para el estudiante

23.   

5.

  Válida para

  Si entonces , por lo que

 

24. Ejemplos

a.

25.   

b.

   

c.

 Si

   

d.   Ejercicio para el estudiante

   

e.     Ejercicio para el estudiante

26.   

6.

  Esta fórmula tiene sentido si

  Si entonces y por tanto

 

27. Ejemplos

a.

28.   

b.

    

29.

c.

 Note que si entonces 30.

   

d.                             Ejercicio para el estudiante

   

e.   Ejercicio para el estudiante

   

7.

  Esta igualdad es válida para

  Si entonces , por lo que

 

31. Ejemplos

a.

 

   

b.

   

c.

 

   

d.         Ejercicio para el estudiante

   

e.  Ejercicio para el estudiante

   

8.

  Esta igualdad vale para

  Si entonces , por lo que

 

32. Ejemplos

a.

 

   

b.

   

c.

    

d.    Ejercicio para el estudiante

   

e.   Ejercicio para el estudiante

   

9. Calculemos ahora . Para ello se multiplica el  la

  numerador y el denominador por la expresión en  forma siguiente:    

 

 

 

Según lo estudiado sobre la integral que da como resultado la

función logaritmo natural, ya que si entonces

   y se tiene por tanto una integral de la forma

  El resultado anterior es válido para:

 

  Si entonces , por lo que:

 

33. Ejemplos

a.

   

b.

   

c.

   

d.    Ejercicio para el estudiante

   

e.  Ejercicio para el estudiante

   10. En forma similar al procedimiento seguido en el caso anterior

 calcularemos

 

 

  Este resultado es válido para

  Si entonces , por lo que:

 

34. Ejemplos

a.

   

b.

   

c.

 

   

d.    Ejercicio para el estudiante

   

e.       Ejercicio para el estudiante

Integrales que involucran potencias y productos de funciones trigonométricas

Antes de proceder a determinar este tipo de integrales es conveniente recordar las fórmulas siguientes:

 

a.

   

b.

   

c.

   d.   

e.

   

f.

Estudiaremos mediante ejemplos los casos generales que se enuncian a continuación:

 

1.con n un entero positivo par.

Ejemplos:

a.   (se utiliza la fórmula dada en e.)

 

 

   

b.  Ejercicio para el estudiante

   

c.

 

 

 (en la última integral se utiliza nuevamente la fórmula dada en (e), solo que en este caso es igual a 2x)

   

 

 

 

 

   

En forma similar se procede con y en general con las integrales de las potencias pares de las funciones seno y coseno.

2.con n un entero positivo par.

Ejemplos:

a.

   (Note que

 

   

b.Similarmente, utilizando la identidad c puede determinarse

   

c.

 

 

 

   

d.Ejercicio para el estudiante

 

Utilizando el procedimiento anterior pueden calcularse las integrales de las potencias pares de las funciones secante y cosecante. En el caso de potencias impares debe utilizarse el método de la integración por partes que se estudiará más adelante.

   

3.con n un entero positivo par.

Ejemplos:

a.Utilizando la fórmula dada en b.

 

    b.

Utilizando la fórmula dada en c, calcule    

c.

 

 

 

 

 

 

 

   

d.Determine

   

4.con m 

  un entero positivo impar.

Ejemplos:

a.

 (Recuerde que )

 

 

   

b.Determine

   

c.

 

 

 

   

d.Calcule

   

e.

 

 

   

f.

 

 

 

 

 

 

 

   

g.Determine

   

5.

  con n y r ambos enteros positivos pares.

Ejemplos:

a.Utilizando las fórmulas e y f.

 

 

 

 

 

 

 

   

 

      

b.Determine

   

c.Determine

   

d.

 

 

 

 

   

e.Ejercicio para el estudiante

   

6.

 con n y r ambos enteros positivos, siendo por lo menos uno de los exponentes impar.

Ejemplos:

a.

 

 

 

   

b.Ejercicio para el estudiante

   

c.

 

 

   

d.

 

 

 

   

e.Ejercicio para el estudiante

Otros ejercicios

a.

   

b.

   

c.

   

d.

   

e.

   

f.

   

g.

Integrales que dan como resultado funciones trigonométricas inversas

A partir de las fórmulas estudiadas en el capítulo de derivación sobre las derivadas de las funciones trigonométricas inversas, pueden determinarse varias integrales indefinidas.

1.

Como entonces

Además (Compruébelo)

En general

  

Ejemplos:

a.

b.

c.

Note que

d.

e.

f.

Note que y

g.

En este caso debe "completarse cuadrados" en la expresión que aparece en el subradical como sigue a continuación:

Sustituyendo en la integral

h.

Volvemos a completar cuadrados en el subradical

 

Sustituyendo:

i., En este caso se separa en dos integrales

j.

k. Ejercicio para el estudiante

l. Ejercicio para el estudiante

ll. Ejercicio para el estudiante

2.

Como entonces

Además , donde (¡Compruébelo!)

En general

Ejemplos:

a.

b.

c.

En este caso se separa en dos integrales, como sigue

d.

En este caso se "completa cuadrados" en la

expresión que está en el denominador.

 

Sustituyendo en la integral:

e.Ejercicio para el estudiante

f.

g.

En este caso se debe hacer primero la división, pues el exponente de la variable en el numerador es mayor que el exponente de la variable en el denominador.

h.Ejercicio para el estudiante

Estudiaremos algunos tipos de integrales que no se determinan utilizando las fórmulas anteriores, sino mediante algunas técnicas especiales, llamadas técnicas de integración.

Técnicas de Integración

 

 

Método de sustitución

Anteriormente hemos resuelto integrales como las siguientes:

Como entonces multiplicando y dividiendo por -2 se obtiene que:

Sin embargo, una integral como no puede calcularse por el procedimiento

anterior ya que Se necesita por tanto un procedimiento que nos permita calcular este y similares tipos de integrales. Para ello veamos el teorema siguiente:

es una función derivable que posee una función inversa

también derivable, entonces, en cualquier intervalo donde

Prueba: Utilizando la regla de la cadena se tiene que:

(Recuerde que o sea, la derivada de la función inversa es igual a uno sobre la derivada de la función original).

Como entonces

Con esto se ha demostrado que es una derivada inversa de f(x), y que por tanto, bajo condiciones apropiadas es posible llevar a cabo el proceso de sustitución.

Resolvamos ahora

Sea , luego , sustituyendo:

 

 

 

 

Otros ejemplos

1.

sea

Sustituyendo

         

 

 

como

 

Note que se escogió la variable u con el exponente 3, , para que al sustituir se obtuviera una raíz cúbica exacta.

    2.   

         sea , luego: , , además

         Sustituyendo

 

 

como

     3.  

En este caso se debe sustituir "y" por una expresión que posea tanto raíz cuadrada como

cúbica, así

         Sustituyendo

     4. 

           sea , , además

           Sustituyendo

 

     5.    Ejercicio para el estudiante

     6.     Ejercicio para el estudiante

     7.       Ejercicio para el estudiante

     8.

           sea , , , Además

           Sustituyendo

     9. Ejercicio para el estudiante

     10. Ejercicio para el estudiante

 

 

Integración por partes

Esta es otra técnica que se utiliza para expresar una integral en otra expresión que se puede determinar más fácilmente.

Consideremos dos funciones f y g derivables en x

Luego, por medio del diferencial de un producto se tiene que:

integrando a ambos lados:

de donde

esta es la fórmula de integración por partes.

Utilizando los diferenciales de las funciones, si entonces , y si

entonces .

Sustituyendo en la igualdad anterior:

Haciendo una elección apropiada de u y dv, la fórmula anterior expresa la integral en

términos de otra integral , que puede resultar más fácil de integrar.

Si fuera más complicada que la integral dada, probablemente la selección hecha no ha sido la más adecuada.

Es corriente utilizar el método de integración por partes en integrales del tipo:

así como en las que contienen en su integrando funciones trigonométricas inversas.

Con los ejemplos siguientes el estudiantes podrá darse una idea de la selección adecuada de las variables u y dv.

1. si entonces

si dv = dx entonces

v =

para x

Note que sin afectar el resultado final, la constante C de integración puede adjuntarse cuando se lleva a cabo la última integración, y no cuando se determina v a partir de dv.

En algunos casos es necesario aplicar varias veces la integración por partes como se muestra en el siguiente ejemplo:

2.

si entonces si entonces

3. Luego:

4.

5.

6. ahora

7. y 8. Por tanto:

9.

10.

11.

12. si entonces

si entonces v = x

Luego:

13. si entonces

si entonces

Luego:

14. Ejercicio para el estudiante

15. si entonces

si entonces

Luego:

nuevamente:

16.

Podemos escribir

si entonces

si entonces

Luego:

17. Ejercicio para el estudiante.

18. si entonces

si entonces

Luego:

19.

si entonces

dx si entonces

20. Luego:

21.

22. nuevamente: si entonces 23. si entonces 24. Por tanto:

25.

26.

27. Ejercicio para el estudiante.

28. Ejercicio para el estudiante.

29. Ejercicio para el estudiante.

30. Ejercicio para el estudiante.

31. Ejercicio para el estudiante.

32.  33.  

34. Integración por sustitución trigonométrica

35. Las sustituciones que involucran funciones trigonométricas se pueden llevar a cabo en aquellas integrales cuyo integrando contiene una expresión de la forma:

36. con y 37. La sustitución trigonométrica permite transformar una integral en otra que contiene

funciones trigonométricas cuyo proceso de integración es más sencillo. 38. Estudiaremos cada uno de los casos como sigue: 39. a.

40. El integrando contiene una función de la forma con

41. Se hace el cambio de variable escribiendo

42. donde

43. Si entonces

44. Además:

45. pues y como

46. entonces por lo que

47. Luego:

48. Como entonces 49. Para este caso, las otras funciones trigonométricas pueden obtenerse a partir de la

figura siguiente:

50.

51. Ejemplos: 52.  

1.

53.

Sea con

54.

55. Luego:

56.57. Sustituyendo:

58.

59.

60.

61.

62.

63. Como entonces y

64. Además por lo que 65. Estos resultados también pueden obtenerse a partir de la figura siguiente:

66.

67. Por último:

68.

69.

70.

2.

71. Sea

72.

73. Luego

74.

75.76. Sustituyendo

77.

78.

79.

80. Como entonces por lo que puede utilizarse la siguiente figura para dar el resultado final:

81.  

82.   83. Luego:

84.

3.

85. Sea 86.

87. Además:

88.89. Sustituyendo:

90.

91.

92.

93.

94.

95.

4.

96.

97. Sea

98.

99. Luego

100.

101.102. Sustituyendo

103.

104.

105.

106. pues y 107. También puede utilizarse:

108.109.

5. Ejercicio para el estudiante

6. Ejercicio para el estudiante

7. Ejercicio para el estudiante

110. 111. b.

112. El integrando contiene una expresión de la forma con

113. Hacemos un cambio de variable escribiendo donde y

114. Si entonces

115. Además

116.

117. Como y entonces es positiva

118. y por tanto 119. Las otras funciones trigonométricas pueden obtenerse a partir de la siguiente

figura:

120.

121.          Ejemplos:

1.

122. Sea

123.

124. Luego:

125.

126.127. Sustituyendo

128.

129.

130.

2.

131.

132. Sea

133.

134. Luego:

135.136. Sustituyendo

137.

138.

139.

140.

141.

142.

3.

143. Sea

144.

145. Luego

146.

147.

148.149. Sustituyendo

150.

151.152. Como

de la sustitución inicial

153. Por tanto:

154.

155.156.  

4.

157. Sea

158.

159. Luego

160.161. Sustituyendo

162.

163.

164.

165.

166.

167.

168. Como entonces 169. Por lo que: 170.  

se obtiene:

171.

172. Por último:

173.

5. Ejercicio para el estudiante

174.

6. Ejercicio para el estudiante

175. c.

176. El integrando contiene una expresión de la forma con y

177. En este caso la sustitución adecuada es:

178. donde

179. y

180. Si entonces

181. Además

182. de donde

183. pues y para

184. Como entonces por lo que 185. Utilizando el siguiente triángulo puede obtenerse las otras funciones

trigonométricas:

186.187. Ejemplos: 188.  

1.

189.  Sea

190.

191. Luego

192.193. Sustituyendo:

194.

195.

2.

196. Sea

197.

198. Luego

199.200. Sustituyendo:

201.

202.

203.

3.

204. Sea

205.

206. Luego

207.208. Sustituyendo:

209.

210.

211. Como puede utilizarse la siguiente figura para determinar

212.

213. Por último:

214.

4. Ejercicio para el estudiante

215.

5. Ejercicio para el estudiante

216.

217. Otras integrales en las que se utiliza alguna de las sustituciones trigonométricas que hemos estudiado, son aquellas que contienen una expresión de

la forma . En los siguientes ejemplos se ilustra el procedimiento a seguir:

218.           Ejemplos: 219.  

1.

220. Podemos escribir como o sea

221. Luego es la integral que debemos calcular

222. Sea 223.

224. Luego

225.226. Sustituyendo:

227.

228.

229.

230.

2.

231. Se tiene que:

232.

233.

234.

235. Luego la integral se convierte en:

236. y se utiliza la sustitución de donde: 237.

238. Luego:

239.240. Sustituyendo:

241.

242.

243.

244.

245.

246.

247.

248.

249. con o sea

3.

250. Se tiene que

251. por lo que , con

252. sea de donde 253.

254. Luego y 255. Sustituyendo

256.

257.

258.

259.

4.

260. Se tiene que (completando cuadrados) 261. Luego la integral que se debe determinar es:

262.

263. Sea

264.265.

266. Luego

267.268. Sustituyendo

269.

270.

271.

272.

273.

274. Como entonces y utilizando que

275.

276. se obtiene finalmente que

277.   con 278. En cada caso determine el intervalo sobre el cual es válido el resultado.

5. Ejercicio para el estudiante

279.  

6. Ejercicio para el estudiante

280.  

7. Ejercicio para el estudiante

 

8. Ejercicio para el estudiante

 

 

Integración de fracciones racionales

Recibe el nombre de fracción racional una expresión de la forma , donde P(x) y Q(x) son polinomios.

Ejemplos de fracciones racionales son las siguientes:

Una fracción es propia, si el grado del polinomio en el numerador es menor que el del polinomio en el denominador. Por ejemplo:

Hasta el momento hemos determinado integrales de la forma que da como

resultado cuando y si

Además también se puede determinar integrales del tipo donde

es decir no es factorizable en (Para este tipo de integral ver "Integrales que dan como resultado funciones trigonométricas inversas").

Debemos ahora encontrar un método que permita obtener la derivada inversa de

expresiones del tipo La idea básica del método consiste descomponer una fracción racional en una suma de fracciones racionales más simples, llamadas usualmente fracciones parciales. Daremos sin demostración los siguientes teoremas:

N(x) son polinomios, entonces

en donde L(x) y R(x) son polinomios tales que el R(x) es menor que el de N(x)

 Ejemplo:

N(x) son polinomios tales que el grado de M(x) es menor que el de

,entonces se puede representar como una suma S(x) de expresiones de

Como resultado de este teorema se tienen los cuatro siguientes casos:

 

. Cada factor lineal que aparece sólo una vez en N(x)

posee un término de la forma en la suma S(x).

. Para cada factor lineal que aparece k veces en N(x)

habrá una suma de k términos como sigue:

en la suma S(x)

. Para cada factor cuadrático con que

aparezca sólo una vez en N(x) existe un término de la forma

en la suma S(x).

. Para cada factor cuadrático con que

aparezca k veces en N(x) habrá una suma de k términos

como sigue:

en la

suma S(x)

Teorema 3

Si el valor de un polinomio p(x) de grado n es igual al valor de su polinomio q(x)

de grado m, donde , para al menos valores de x, entonces los polinomios son idénticos y tienen valores iguales para todos los valores de x.

Este teorema será utilizado para obtener los valores de las constantes en cada uno de los casos anteriores. Daremos ahora ejemplos de cada caso.

Caso

Calcular cada una de las siguientes integrales:

Ejemplo 1

       

Observe que el denominador del integrando ya está factorizado, y cada factor lineal aparece solo una vez. Luego se puede escribir la siguiente igualdad (aplicando el Teorema 2)

 

 

de donde:

 

igualando los numeradores se tiene:

 

Para determinar los valores de A, B y C se pueden utilizar dos procedimientos.

i. Si dos polinomios T(x) y Z(x) son tales que para ,   entonces    los coeficientes de potencias iguales de x en los dos polinomios deben ser iguales.

Como:

entonces

  y por tanto:

   

  

  

  Resolviendo el sistema anterior se obtiene que y

   Luego:

  

ii. Como los miembros de la ecuación  son polinomios de grado dos o menos y deben ser iguales para más de dos valores de x, del Teorema 3 concluimos que son iguales para todos los valores de x. Luego es posible escoger tres valores arbitrarios de x para sustituirlos en la ecuación anterior y así obtener tres ecuaciones en las incógnitas A, B y C. Generalmente se utilizan valores de x que conduzcan a las ecuaciones más simples.

Así, si se obtiene que:

 

  de donde

Si se obtiene que:

 

  de donde

Por último, si se obtiene que:

 

de donde

Como vemos, el resultado es el mismo que el obtenido en el procedimiento señalado en i.

Luego:

 

 

Ejemplo 2:

 

En este caso se debe factorizar primero el denominador del integrando. Así

Luego:

 

Se deben calcular nuevamente los valores de A, B y C, utilizando para ello cualquiera de los dos procedimientos ya señalados.

Como:

 

entonces:

 

Utilizando el segundo procedimiento daremos a x los valores de 0, y como sigue:

Si entonces: 1 = A(-1)(1) de donde

Si entonces: de donde

Si entonces: de donde

Luego

 

 

 

Ejemplo 3:

 

Luego, según el Teorema 2

 

de donde:

 

Utilizando el segundo procedimiento para determinar A, B y C, se obtiene que:

Si entonces de donde B=1

Si entonces de donde C=

Si entonces de donde A=

Luego:

 

 

Caso

Calcular cada una de las siguientes integrales:

Ejemplo 1

 

Factorizando el denominador del integrando se obtiene que

 

Se observa que el factor (y+2) aparece dos veces, por lo que según el Teorema 2 existirá

una suma de dos términos para el término

Luego:

 

  

 

de donde:

 

Aplicando el Teorema 3:

Si entonces de donde

Si entonces de donde

Pueden ahora utilizarse los valores de A y C e igualar coeficientes para determinar el valor de B, o darle a "y" otro valor (según Teorema 3) como se hace a continuación:

Si entonces de donde y por último

Luego:

 

 

 

Ejemplo 2

 

En este caso el factor x se repite 2 veces y el factor (x-2) lo hace 3 veces.

Luego

 

 

de donde:

 

Por el Teorema 3:

Si entonces de donde

Si entonces de donde

Daremos ahora otros valores a x para obtener ecuaciones que permitan calcular los valores de A, C y D.

Si entonces

o sea

Si entonces

o sea

Si entonces o sea se tiene entonces el siguiente sistema de ecuaciones.

el cual se satisface para y

Luego:

 

 

Integración

 

 

Introducción

Antes de abocarnos al estudio de la integral definida y de la integral indefinida, daremos una pequeña semblanza histórica de la relación entre el cálculo diferencial y el integral.

A continuación transcribiremos algunos de los párrafos al respecto tomados del libro La Matemática: su contenido, métodos y significado (que se menciona en la bibliografía).

Durante la segunda mitad del siglo , Newton y Leibniz dieron un paso decisivo en la matemática de las magnitudes variables, al sentar las bases del cálculo diferencial e

integral. "Este fue el verdadero comienzo del análisis, puesto que el objeto de este cálculo son las propiedades de las funciones mismas, distinto del objeto de la geometría analítica que son las figuras geométricas. De hecho, lo que hicieron Newton y Leibniz fue completar esa cantidad inmensa de trabajo que habían desarrollado hasta entonces muchos matemáticos y que se extendía hasta los métodos de determinación de áreas y volúmenes empleados por los antiguos griegos".

"Aquí solo queremos llamar la atención acerca de los orígenes de este cálculo, que fueron principalmente los nuevos problemas de la mecánica y los viejos problemas de la geometría, consistentes estos últimos en la determinación de tangentes a una curva dada y el cálculo de áreas y volúmenes. Estos problemas geométricos habían sido ya estudiados por los antiguos (basta mencionar a Arquímedes), y también por Kepler, Cavalieri, y otros, a principios del siglo . Pero el factor decisivo fue el descubrimiento de una notable relación entre estos dos tipos de problemas y la formulación de un método general para resolverlos; tal fue la obra de Newton y Leibniz.

Esta relación, que permitió conectar los problemas de la mecánica con los de la geometría, fue descubierta gracias a la posibilidad (brindada por el método de coordenadas) de hacer una representación gráfica de la dependencia de una variable respecto a la otra, o, en otras palabras, de una función. Con la ayuda de esta representación gráfica es fácil formular la relación antes mencionada entre los problemas de la mecánica y la geometría (relación que fue el origen del cálculo diferencial e integral) y describir así el contenido general de estos dos tipos de cálculo.

El cálculo diferencial es, básicamente, un método para encontrar la velocidad de un movimiento cuando se conoce la distancia recorrida en un tiempo dado. Este problema se resuelve por "derivación" y es completamente equivalente al problema de dibujar una tangente a la curva que representa la dependencia de la distancia respecto del tiempo. La velocidad en el instante es igual a la pendiente de la tangente a la curva en el punto correspondiente a .

El cálculo integral es en esencia un método para encontrar la distancia recorrida cuando se conoce la velocidad, y en general, de encontrar el resultado total de la acción de una magnitud variable. Evidentemente, este problema es recíproco del problema de cálculo diferencial (el problema de encontrar la velocidad), y se resuelve por "integración". Resulta que el problema de la integración es en todo equivalente al de encontrar el área bajo la

curva que representa la dependencia de la velocidad respecto al tiempo. La distancia

recorrida en el intervalo de tiempo es igual al área bajo la curva entre las rectas que

corresponden en la gráfica a los valores .

Haciendo abstracción de la formulación mecánica de los problemas y operando con funciones en vez de dependencias de distancia o velocidad respecto al tiempo se obtienen los problemas de cálculo diferencial e integral en forma abstracta.

Fundamental para el cálculo como para todo el desarrollo posterior del análisis, es el concepto de límite, que fue formulado algo más tarde que los otros conceptos fundamentales de variable y función. En los primeros días del análisis el papel que más tarde desempeñaría el límite, corrió a cargo de ese concepto algo nebuloso que es el infinitésimo. Los métodos para el cálculo real de la velocidad, conocida la distancia recorrida (a saber, la derivación), y de la distancia, conocida la velocidad (integración), se basaban en la unión del álgebra con el concepto de límite. El análisis se originó por la aplicación de estos conceptos y métodos a los referidos problemas de la mecánica y la geometría (y también a otros problemas: por ejemplo, los de máximos y mínimos). El análisis fue a su vez absolutamente necesario para el desarrollo de la mecánica, en la formulación de cuyas leyes ya se encontraban los conceptos analíticos en forma latente. Por ejemplo la segunda Ley de Newton, tal como él la formuló, establece que "la variación de la cantidad de movimiento es proporcional a la fuerza actuante" (con más precisión: el ritmo de variación del impulso es proporcional a la fuerza). Por consiguiente, si deseamos hacer uso de esta ley debemos estar en condiciones de definir el ritmo de variación de una variable, esto es, de derivarla. (Si establecemos la ley diciendo que la aceleración es proporcional a la fuerza, el problema es el mismo, porque la aceleración es proporcional al ritmo de variación del impulso). También está perfectamente claro que, para establecer la

ley que rige un movimiento cuando la fuerza es variable (en otras palabras, cuando el movimiento tiene lugar con aceleración variable), es preciso resolver el problema inverso de encontrar una magnitud dado su ritmo de variación; en otras palabras, es preciso integrar. Así, pues, se puede decir que Newton se vio simplemente obligado a inventar la derivación y la integración con el fin de poder desarrollar la mecánica".

(Aleksandrov, ).

 

 

La integral definida

Hemos visto entonces, "que el concepto de integral y en general del cálculo integral tuvo su origen histórico en la necesidad de resolver problemas concretos, uno de cuyos ejemplos

más característicos es el cálculo del área de una figura curvilínea" (AlekSandrov, ).

Consideremos una curva situada sobre el eje que representa la gráfica de la función con

ecuación . Se desea encontrar el área de la superficie limitada por la curva con

ecuación , el eje y las rectas paralelas al eje con ecuaciones . Para

tal efecto, dividimos el intervalo en partes, no necesariamente iguales como se muestra a continuación:

Denotamos con la longitud de la primera parte, la de la segunda parte con y así

sucesivamente hasta la última . En cada parte elegimos puntos , de tal forma

que nos da el área del primer rectángulo, ( , es la base y la altura),

da el área del segundo rectángulo y por lo tanto da el área del enésimo rectángulo. Luego se tiene que:

es la suma de las áreas de los rectángulos de la figura anterior.

Obsérvese que cuanto más fina sea la subdivisión de segmento , más próxima estará

al área . Si se considera una sucesión de tales valores por división del intervalo en

partes cada vez más pequeñas, entonces la suma tenderá a . Al decir subdivisiones cada vez más pequeñas, estamos suponiendo no solo, que crece indefinidamente, sino también

que la longitud del mayor de los , en la enésima división tiende a cero.

Luego:

(A)

Por lo que el cálculo del área buscada se ha reducido a calcular el límite (A).

El cálculo del límite (A) también se presenta en otros problemas; por ejemplo, cuando se desea determinar la distancia recorrida por un cuerpo que se mueve a lo largo de una línea

recta, con velocidad variable , en el intervalo de tiempo entre .

Supongamos que la función es continua, o sea, que en intervalos pequeños de tiempo la

velocidad solo varía ligeramente. Se divide el intervalo en partes de longitudes

. Para calcular un valor aproximado de la distancia recorrida en cada

intervalo , (con ) vamos a suponer que la velocidad en este intervalo de

tiempo es constante e igual a su verdadero valor en algún punto intermedio . Luego, la distancia total recorrida estará expresada aproximadamente por la siguiente suma:

siendo el verdadero valor de la distancia recorrida en el tiempo , el límite de tales sumas para subdivisiones cada vez más finas, o sea, que será el límite (A):

Es necesario determinar ahora la conexión entre el cálculo diferencial y el integral, pero

antes calculemos el área de la región limitada por la curva en ecuación y las rectas

con ecuación .

Dividimos el intervalo en partes iguales de tal forma que la longitud de cada esté

dado por , y tomamos como puntos los extremos derechos de cada segmento,

por lo que

Luego:

(*)

La igualdad puede comprobarse utilizando el método de inducción matemática.

Entonces

Por lo tanto, el área de la región es 9 unidades cuadradas.

Puede observarse que el procedimiento utilizado es bastante laborioso y depende del conocimiento de una serie de fórmulas como la señalada con (*). Es necesario por tanto establecer un procedimiento que agilice el cálculo del área de una región curvilínea y para ello, vamos a establecer la relación existente entre el cálculo diferencial e integral.

El límite (A) recibe el nombre de integral definida de la función en el intervalo y

se denota por , donde se llama integrando, los límites de integración son y , con "a" como límite inferior y "b" como límite superior. Debemos contar con un método general que permita el cálculo de las integrales definidas.

"Históricamente esta cuestión interesó a los matemáticos durante mucho tiempo, por la utilidad que ello suponía para el cálculo de áreas de figuras curvilíneas, volúmenes de cuerpos limitados por superficies curvas, etc.

El número de problemas particulares que se consiguió resolver (cálculo de áreas, volúmenes, centros de gravedad de sólidos, etc.) fue creciendo gradualmente, pero los progresos en lo referente a encontrar un método general fueron, al principio, extremadamente lentos. Dicho método sólo fue descubierto cuando se hubo acumulado suficiente material teórico y práctico, proporcionado por la experiencia diaria. El trabajo de recoger y generalizar este material avanzó muy lentamente hasta el final de la Edad Media; y su rápido desarrollo posterior fue una consecuencia directa del acelerado crecimiento del poder productivo de Europa como resultado de la desaparición de los primitivos métodos (feudales) de producción, y la aparición de otros nuevos (capitalistas).

La acumulación de datos relacionados con las integrales definidas marchó paralela a la investigación de problemas relacionados con la derivada de una función... Esta inmensa labor preparatoria fue coronada con el éxito en el siglo por los trabajos de Newton y Leibniz. En este sentido se puede decir que Newton y Leibniz son los creadores del cálculo diferencial e integral.

Una de las contribuciones fundamentales de Newton y Leibniz fue que aclararon finalmente la profunda conexión entre el cálculo diferencial e integral, que proporciona, en particular, un método general para calcular las integrales definidas de una clase bastante amplia de funciones.

Para calcular esta conexión, analicemos un ejemplo tomado de la mecánica. Supongamos

que un punto material se mueve a lo largo de una línea recta con velocidad , donde es el tiempo. Se sabe que la distancia recorrida por el punto en el intervalo de tiempo

desde viene expresada por la integral definida:

Supongamos conocida la ecuación del movimiento del punto material; esto es, la función

, que expresa la dependencia de la distancia respecto al tiempo a partir de un

punto inicial sobre la recta. La distancia recorrida en el intervalo de tiempo es

evidentemente igual a la diferencia

De este modo, consideraciones físicas llevan a la igualdad:

que expresa la conexión entre la ecuación del movimiento del punto material y su velocidad.

Desde un punto de vista matemático la función puede definirse como una función cuya

derivada para todos los valores de del intervalo dado es igual a , esto es:

Una tal función se llama primitiva de .

Hay que tener en cuenta que si la función tiene al menos una primitiva, entonces tiene

un número infinito de ellas; porque si es una primitiva de ; entonces (donde es una constante arbitraria) es también una primitiva. Además de este modo

obtenemos todas las primitivas de puesto que si son primitivas de la misma

función entonces su diferencia , tiene una derivada que es igual a

cero en todo punto del intervalo dado, por lo que es constante.

Nota: Por el teorema del valor medio donde se encuentra

entre . Así constante para todo .

Desde un punto de vista físico los diferentes valores de la constante determinan movimiento que sólo difieren entre sí en el hecho de que corresponden a todas las posibles elecciones del punto inicial del movimiento.

Se llega así al resultado de que para una clase muy amplia de funciones , que incluye

todos los casos en los que la función puede ser considerada como velocidad de un punto en el instante se verifica la siguiente igualdad.

(B)

donde es una primitiva cualquiera de .

Esta desigualdad es la famosa fórmula da Leibniz y Newton que reduce el problema de calcular la integral definida de una función a la obtención de una primitiva de la misma, y constituye así un enlace entre el cálculo diferencial e integral.

Muchos de los problemas concretos estudiados por los más grandes matemáticos se resuelven automáticamente con esta fórmula que establece sencillamente que la integral

definida de la función en el intervalo es igual a la diferencia entre los valores de cualquiera de sus primitivas en los extremos superior e inferior del intervalo. La diferencia (B) se acostumbra escribir así:

"

(Aleksandrov, )

Por ejemplo, utilizando la fórmula de Newton-Leibniz puede calcularse , que

determina el área de la región limitada por la curva con ecuación y las rectas con

ecuaciones , de la siguiente manera:

Observe que , por lo que es una primitiva de

Veamos otro ejemplo en el que utilizamos esta fórmula:

Note que:

por lo que es una primitiva de

"De los razonamientos hechos al exponer la fórmula de Newton y Leibniz se desprende, claramente que esta fórmula es la expresión matemática a una conexión auténtica del mundo real. Es un bello e importante ejemplo de cómo la matemática da expresión a las leyes objetivas. Debemos observar que en sus investigaciones matemáticas Newton siempre adoptó un punto de vista físico. Sus trabajos sobre los fundamentos del cálculo diferencial e integral no pueden ser separados de sus trabajos sobre los principios de la mecánica.

Los conceptos de análisis matemático -como la derivada o la integral- tal como se presentaban a Newton y sus contemporáneos, aún no había "roto" del todo con sus orígenes físico y geométrico (velocidad y área). De hecho era de un carácter mitad matemático y mitad físico. Las condiciones existentes en esa época no eran todavía las apropiadas para lograr una definición puramente matemática de esos conceptos. Por consiguiente, el investigador sólo podía manejarlos correctamente en situaciones complejas sí permanecía en contacto inmediato con los aspectos prácticos del problema incluso durante las etapas intermedias (matemáticas) de su razonamiento.

Desde este punto de vista el trabajo creador de Newton tuvo un carácter diferente del de Leibniz, ya que sus descubrimientos tuvieron lugar independientemente. Newton se dejó guiar siempre por el enfoque físico de los problemas. En cambio las investigaciones de Leibniz no tienen una conexión tan inmediata con la física, hecho que, en ausencia de definiciones matemáticas precisas, le condujo a veces a conclusiones equivocadas. Por otra parte el rasgo más característico de la actividad creadora de Leibniz fue su esfuerzo por generalizar su búsqueda de los métodos más generales de resolución de los problemas del análisis matemático.

El mayor mérito de Leibniz fue la creación de un simbolismo matemático que expresaba lo esencial de la cuestión. Las notaciones por conceptos fundamentales del análisis

matemático tales como la diferencial , la diferencial segunda , la integral , y la

derivada fueron propuestas por Leibniz. El hecho de que estas notaciones se utilicen todavía muestra lo acertado de su elección.

Una de las ventajas de un simbolismo bien elegido es que hace las demostraciones y cálculos más cortos y fáciles, y evita también, a veces, conclusiones equivocadas. Leibniz, quien no ignoraba esto, prestó especial atención en todo su trabajo a la elección de notaciones.

La evolución de los conceptos del análisis matemático (derivada, integra, etc.) continuó, naturalmente, después de Newton y Leibniz y continúa todavía en nuestros días; pero hay una etapa en esta evolución que merece ser destacada. Tuvo lugar a comienzos del siglo pasado y está particularmente relacionado con el trabajo de Cauchy.

Cauchy dio una definición formal precisa del concepto de límite y la utilizó como base para sus definiciones de continuidad, derivada, diferencial e integral. Estos conceptos se emplean constantemente en el análisis moderno. La gran importancia de estos resultados reside en el hecho de que gracias a ellos es posible operar de un modo puramente formal y llegar a conclusiones correctas no sólo en la aritmética, el álgebra y la geometría elemental, sino también en esa nueva y extensa rama de la matemática, el análisis matemático.

En cuanto a los resultados prácticos del análisis matemático se puede decir hoy lo siguiente: si los datos originales se toman del mundo real entonces el resultado de los razonamientos matemáticos también se verificará en él.

Y, si estamos completamente seguros de la precisión de los datos originales, no hay necesidad de hacer una comparación práctica de la exactitud de los resultados matemáticos, hasta comprobar la exactitud de los razonamientos formales.

Esta afirmación tiene naturalmente la siguiente limitación. En los razonamientos matemáticos los datos originales que tomamos del mundo real sólo son verdaderos con una cierta precisión. Esto significa que en cada etapa de razonamiento matemático los resultados obtenidos contendrán ciertos errores que, conforme avanza el razonamiento (Por ejemplo de y sigue formalmente que . Pero en la práctica esta relación aparece como sigue: del hecho de que con un error igual a y con un error también se sigue que con un error igual a ) puede irse acumulando.

Volviendo ahora a la integral definida, consideremos una cuestión de capital importancia.

¿Para qué funciones definidas sobre el intervalo es posible garantizar la existencia

de la integral definida es decir, un número para el cual la suma

tenga límite cuando ?. Debe tenerse en cuenta que este número será el mismo

para todas las subdivisiones del intervalo y para cualquier elección de puntos . Las funciones para las cuales la integral definida es decir, el límite (A) existe se dicen

integrables en el intervalo . Investigaciones realizadas en el último siglo demostraron que todas las funciones continuas son integrables. Pero hay también funciones discontinuas que son integrables y entre ellas figuran por ejemplo las funciones que son acotadas y

crecientes (o decrecientes) en el intervalo .

La función que es igual a cero en los puntos racionales de e igual a uno en los puntos irracionales puede servir de ejemplo de función no integrable, puesto que para una

subdivisión arbitraria la suma será igual a cero o a uno según elijamos los puntos entre los números irracionales o racionales.

Señalamos que en muchos casos la fórmula de Newton y Leibniz proporciona la solución al problema de calcular una integral definida. Pero surge entonces el problema de encontrar una primitiva de una función dada, esto es, de encontrar una función que tenga por derivada la función dada.

Procedemos ahora a discutir este punto.

Observemos de paso que el problema de encontrar una primitiva tiene gran importancia entre otras ramas de la matemática particularmente en la solución de ecuaciones diferenciales.

(Aleksandrov, )

 

 

Propiedades fundamentales de la integral definida

 

es un número real constante, y es una función integrable en el

intervalo cerrado , entonces:

Al final del capítulo.

 

son dos funciones integrables en entonces

integrable en y:

Al final del capítulo. 

 

son dos funciones integrables en (con ) y además

entonces:

Al final del capítulo. 

Podemos ilustrar geométricamente esta propiedad como sigue:

Sea para , además para cada , como se muestra en la figura siguiente:

 

Note que el área del trapecio curvilíneo es mayor que el trapecio curvilíneo , por lo que:

son los valores máximo y mínimo respectivamente de la

en el intervalo , con , y además es integrable en

Al final del capítulo.

Puede ilustrarse esta propiedad geométricamente como sigue: sea para

y consideremos la siguiente representación gráfica:

 

Note que el área del trapecio curvilíneo está comprendida entre las áreas de los

rectángulos . (El área del rectángulo es , la del rectángulo

es y la del trapecio curvilíneo es

Ejemplo:

Consideremos la región limitada por la curva con ecuación y las rectas cuyas

ecuaciones son ; la representación gráfica es la siguiente:

 

Note que el valor mínimo que toma la función es 2 y el máximo es 10. El área del

rectángulo es , la del rectángulo es y la del trapecio curvilíneo es:

Observe que y por tanto

 

5. Teorema del valor medio para integrales

es una función continua en el intervalo , entonces existe en éste un tal que se verifique la siguiente igualdad:

Al final del capítulo.

 

Podemos dar una interpretación geométrica como sigue: consideremos una función tal

que , para todos los valores de en el intervalo .

Entonces es el área de la región limitada por la curva con ecuación , el

eje y las rectas con ecuaciones

 

La propiedad 5. establece que existe un número tal que el área del rectángulo

, cuya altura es y que tiene ancho de unidades, es igual al área de la región .

El valor de no es necesariamente único.

Aunque el teorema no establece un método para determinar , sí garantiza que existe un valor de , lo cual se utiliza para demostrar otros teoremas.

Ejemplo:

Determinar, en cada caso, el valor de tal que:

i.

ii.

iii.     Ejercicio para el estudiante.

 

Solución:

i.

Calculemos primero

Como entonces

Luego de donde:

(en este caso )

y por último

Gráficamente se tiene:

ii.

Calculemos

Como entonces:

Luego:

de donde , como entonces:

y los valores de que satisfacen la ecuación son

; este último valor se descarta pues no pertenece al

intervalo

Luego el valor de que satisface el teorema del valor medio para integrales es

Gráficamente se tiene:

 

es una función integrable en los intervalos cerrados

entonces:

Asumimos esta propiedad sin demostración.

 

Ejemplos

Sea

Ahora:

Luego:

Geométricamente podemos interpretar esta propiedad como sigue:

Si para entonces la propiedad anterior establece que, el área de la región

limitada por la curva con ecuación , el eje y las rectas con ecuaciones y las rectas

con ecuación , es igual a la suma de las áreas de las regiones desde "a" hasta y desde hasta .

 

El resultado anterior es válido para cualquier orden de , como se establece a continuación.

 

una función integrable en un intervalo cerrado que contiene los tres

.

sin importar cuál es el orden

. Al final del capítulo.

Para la prueba de esta propiedad se necesitan las siguientes definiciones:

a.

Ejemplo:

Luego:

b.

en este caso note que la longitud del trapecio curvilíneo es cero por lo que se área también es igual a cero.

Las propiedades 6 y 7 anteriores serán de gran utilidad al calcular el área de diversas regiones, como estudiaremos en el apartado de aplicaciones de la integral definida.

 

 

Definiciones

La integral definida es una herramienta útil en las ciencias físicas y sociales, ya que muchas cantidades de interés en dichas ciencias pueden definirse mediante el tipo de suma que se presenta en la integral definida.

Antes de estudiar casos específicos en que se utiliza la integral definida, daremos las siguientes definiciones:

 

  Definición

 

Recibe el nombre de partición de un intervalo cerrado un conjunto de intervalos cerrados:

con  las propiedades:

1.

2. con

3. a menos que o .

 

 

Cada intervalo en una partición de se llama subintervalo . Una partición está determinada por los números que son puntos externos de los subintervalos de la partición. Así, una partición que contenga subintervalos queda determinada por un conjunto de

números.

 

donde , , para .

Denotaremos con la partición determinada por este conjunto de números, así:

es una partición de un intervalo , la

.

La norma de una partición es la longitud del más grande de los subintervalos en la

gráfica de que se muestra a continuación:

 

 

es una partición en un intervalo , un

tales que

.

Gráficamente:

 

 

 

Cálculo de áreas

 

Sea una función cuyo dominio está en el intervalo cerrado , tal que para

.

Sea la región plana limitada por las gráficas de las ecuaciones: , (eje ), , .

 

Sea una partición de en subintervalos determinados por el conjunto

, con , .

Sea un aumento de .

Construimos rectángulos cuyas bases sean los intervalos de la partición cuyas alturas sean

El área del -ésimo rectángulo está dada por ; y la suma

de las áreas de los rectángulos será una aproximación al área de .

Si aumentamos el número de subintervalos, entonces decrece la longitud de cada

subintervalo de la partición , obteniéndose una nueva suma que dará una mayor aproximación al área de .

Demos ahora la siguiente definición:

 

, y si existe un número

, y todo aumento de es el área de la región limitada por las gráficas de la ecuación

.

Note que de esta definición se tiene que:

y si existe, entonces:

Ejemplos

 

Ejemplo 

Calculemos el área de la región limitada por las gráficas de

  , , , .

Solución

La representación gráfica es la siguiente:

 

 

 

El área del i-ésimo rectángulo es:    

 

La suma de aproximación para el área de es:

(En la gráfica anterior se muestra el ésimo rectángulo de la aproximación).

Luego de la definición 5 se tiene que:

Ejemplo 2:

Calculemos el área de la región limitada por las gráficas de .

Solución

Gráficamente se tiene:

 

Como , entonces la curva interseca al eje en el punto . El área de la región está dada por:

 

  

Se utilizó por el método de integración "por partes''.

Área de una región comprendida entre dos curvas

 

Sean y dos funciones con dominio en el intervalo , tales que para

.

Vamos a determinar cuál es el área de la región limitada por las gráficas de

que se muestra a continuación:

 

 

Construimos un conjunto de rectángulos tales que la suma de sus áreas sea una aproximación al área de .

 

Sea una partición de en subintervalos determinados por el conjunto

 

donde , .

Sea un aumento de . Construimos rectángulos cuyos

anchos sean los subintervalos de la partición , y cuyas alturas sean:

El área del ésimo rectángulo es: , y la suma de aproximación para el área de está dada por:

Si aumentamos el número de subintervalos, entonces decrece la longitud de cada

subintervalo de la partición , obteniéndose una nueva suma que dará una mayor aproximación al área de .

Se tiene entonces la siguiente definición:

 

Definición

Si para , y si existe un número , tal que dada una

exista una para lo cual

para toda partición de y todo aumento de con , entonces dicho número es el área de la región limitada por las gráficas de las

ecuaciones y .

 

De esta definición se tiene que:

Si es la función definida por para , y si existe, entonces:

 

 

Ejemplos

 

Ejemplo 1:

Hallar el área de la región limitada por las gráficas de las ecuaciones:

Solución

Gráficamente se tiene:

 

 

Note que las gráficas de se intersecan en el punto .

En este caso, el área del ésimo rectángulo es:

 

 

y la suma de aproximación está dada por:

 

 

Según la definición 6 se tiene que:

 

 

Ejemplo 2:

Hallar el área de la región limitada por las gráficas de las ecuaciones

.

Solución

Gráficamente se tiene:

 

 

La recta con ecuación interseca al eje en el punto .

Note que la región está formada por dos partes, las regiones y , por lo que el área de

= área de + área de .

La región está limitada superiormente por la gráfica de , inferiormente por la

de , lateralmente por la de y .

Luego:

 

 

La región está limitada superiormente por la gráfica de , inferiormente por la de

, lateralmente por la de y .

Luego:

 

 

Por tanto, el área de es igual a: .

 

Ejemplo 3:

Hallar el área de la región señalada en la figura adjunta, que está limitada por las gráficas

de las ecuaciones: .

 

 

Solución

puede dividirse en dos regiones y .

Las rectas con ecuaciones se intersecan en el punto (¡compruébelo!).

La recta con ecuación y la parábola se intersecan en el punto .

La recta con ecuación y la parábola se intersecan en el punto .

Luego: área de = área de + área de

 

 

 

Entonces: área de .

 

Ejemplo 4:

Hallar el área de la región limitada por las gráficas de las ecuaciones .

Solución

La representación gráfica es la siguiente:

 

Las gráficas se intersecan en los puntos y (Verifíquelo algebraicamente).

En esta caso podemos tomar `` '' como variable independiente y como la variable

dependiente, es decir, . Así el área de la región está dada por:

 

 

Otra forma de obtener el área de la región es la siguiente:

 

 

Dividimos la región en dos regiones y .

La región está limitada superiormente por la gráfica de , inferiormente por la de

, lateralmente por la de y .

Así:

 

La región está limitada superiormente por la gráfica de , inferiormente por la

de , lateralmente por la de . Luego:

Por tanto:

 

 

Volumen de sólidos de revolución

una función definida en el intervalo

sólido de revolución, el sólido generado al girar

, la región limitada por la gráfica de . El eje es un eje de simetría de dicho sólido y una

sección recta perpendicular al eje es un círculo.

 

 

Para determinar el volumen de este tipo de sólidos, seguiremos un procedimiento similar al utilizado para el área de una región, aproximando el ``volumen'' de un sólido de revolución por medio de una suma de volúmenes de sólidos más elementales, en los que el volumen ya ha sido definido.

Vamos a considerar discos o cilindros circulares como los sólidos elementales, suponiendo que el volumen de un disco circular es, por definición, el producto del área de la base por el espesor (o altura).

 

Consideremos una partición del intervalo determinada por el conjunto de números

donde , con .

Sea un aumento de .

Consideremos ahora los discos circulares, cuyos sensores son , y

cuyas bases tienen radios .

 

El volumen del ésimo disco es:

La suma

de los volúmenes de los discos nos da una aproximación al volumen del sólido de revolución.

Podemos suponer que mientras más delgados sean los discos, mayor será la aproximación de la suma anterior al volumen del sólido. Se tiene entonces la siguiente definición: 

Si existe un número tal que dada exista para la cual

para toda partición de y todo aumento de , y con , este número es el volumen del sólido obtenido por revolución del área limitada por las gráficas de

alrededor del eje .

Si es la función dada por para , entonces la suma de aproximación:

utilizada en la definición del volumen del sólido de revolución, puede escribirse como:

donde .

Luego, de la definición de integral y de la definición de dada, se tiene que

Consideremos ahora dos funciones y continuas en el intervalo cerrado , tales que

para . Sea la región del plano limitada por las curvas con ecuaciones

y las rectas con ecuaciones .

 

Deseamos determinar el volumen del sólido de revolución generado al girar la región alrededor del eje (note que en este caso no giramos la región alrededor de una de sus fronteras).

El sólido generado se muestra en la siguiente figura:

 

 

Sea una partición del intervalo determinada por el conjunto de números

con para , y sea

un aumento de .

En este caso, los sólidos elementales usados para obtener una suma de aproximación del volumen del sólido de revolución, serán anillos circulares.

Se muestra a continuación el ésimo rectángulo y el ésimo anillo circular generado al rotar aquel alrededor del eje .

 

Luego, el área del anillo circular es:

por lo que el volumen del ésimo elemento sólido será:

Entonces, la suma de aproximación para el volumen del sólido de revolución es:

Puede suponerse que mientras más delgados sean los anillos circulares, mayor será la aproximación de la suma anterior al volumen del sólido.

 

tal que dada exista

y todo aumento es el volumen del sólido obtenido por revolución del área

, ,

Si es la función dada por para , entonces la suma de aproximación

utilizada en la definición 8, puede escribirse como:

donde , .

Luego se tiene que:

 

 

Ejemplos

Ejemplo 1:

Hallar el volumen del sólido de revolución generado al girar alrededor del eje , la región

limitada por la gráfica de .

 Solución

 

 

ésimo rectángulo que al rotar alrededor del eje genera un disco circular en forma de cilindro circular recto.

El volumen del ésimo disco circular es:

La suma de aproximación del volumen:

El volumen del sólido está dado por:

Ejemplo 2:

Hallar el volumen del sólido generado cuando la región limitada por las gráficas de

gira alrededor del eje .

Solución:

La representación gráfica del sólido de revolución es la siguiente:

 

 

 

El volumen del ésimo disco circular es:

La suma de aproximación del volumen es:

Luego, si , entonces el volumen del sólido está dado por:

Ejemplo 3:

Hallar el volumen engendrado cuando la superficie limitada por la curva , y las

rectas con ecuaciones , gira en torno al eje .

Solución:

La representación gráfica es la siguiente:

        

Si entonces:

1. El volumen del ésimo rectángulo es:

2. La suma de aproximación del volumen es:

3. El volumen del sólido está dado por:

 

Ejemplo 4:

Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar alrededor del eje , la superficie

comprendida entre las parábolas con ecuaciones , .

Solución

La representación gráfica de la región y del ésimo rectángulo es la siguiente:

 

El volumen del ésimo anillo circular es:

La suma de aproximación del volumen es:

Luego, el volumen del sólido de revolución está dado por:

Ejemplo 5:

Determinar el volumen del sólido obtenido al girar la región del ejemplo anterior, alrededor

del eje .

Solución

El anillo circular tiene como radio máximo , y como radio mínimo .

 

En este caso tomamos como la variable dependiente, y se tiene que el volumen del sólido está dado por:

Ejemplo 6:

Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar, alrededor del eje , la parte de la

parábola , , que intercepta la recta

Solución:

La representación gráfica de la región y del ésimo rectángulo es la siguiente:

 

El anillo circular tiene como radio máximo , y como radio interior .

Tomamos como la variable dependiente.

 

El volumen del sólido está dado por:

Ejemplo 6:

Determinar el volumen del sólido de revolución generado cuando la región limitada por las

gráficas de las ecuaciones , , gira alrededor de:

1. el eje

2. la recta con ecuación 3. el eje

4. la recta con ecuación 5. la recta con ecuación

Solución

1. La región en el plano que gira alrededor del eje es la siguiente:

 

 

Se tiene que el radio del sólido generado es:

 

El volumen del ésimo elemento sólido es:

 

El volumen del sólido está dado por:

 

 

La región gira alrededor de la recta con ecuación

 

El radio del ésimo disco circular es:

El volumen del ésimo elemento sólido es:

En general, el radio del sólido generado es:

Luego, el volumen del sólido está dado por:

 

 

Note que al girar la región alrededor del eje , el ésimo elemento sólido tiene como base un anillo circular.

El volumen del ésimo elemento sólido es:

Luego, el volumen del sólido generado está dado por la siguiente integral:

La región gira alrededor de la recta con ecuación

El radio máximo del anillo circular es

El radio interior del anillo es

 

El volumen del ésimo elemento sólido es:

El volumen del sólido generado está dado por la siguiente integral:

  

La región gira alrededor de la recta con ecuación

De nuevo, el ésimo elemento sólido tiene como base un anillo circular, cuyo radio

máximo es , y cuyo radio interior es .

 

 

El volumen del ésimo elemento sólido es:

Luego, el volumen del sólido está dado por la siguiente integral:

 

 

Longitud de una curva plana

 

Vamos a determinar la longitud del arco de una curva con ecuación , comprendida

entre los puntos , .

 

 

Como se muestra en la figura anterior, dividimos el arco en partes, uniendo luego los sucesivos puntos de división por segmentos rectilíneos.

Por ejemplo, el segmento tendrá como longitud

Luego, tendremos una aproximación de la longitud de la curva , mediante la suma:

Si aumentamos indefinidamente el número de puntos de división, entonces las longitudes de los segmentos tienden a cero, por lo que:

nos da el arco , siempre que el límite exista.

Para expresar el límite como una integral tenemos lo siguiente: supongamos que la función

con ecuación es continua y posee derivada continua en cada punto de la curva,

donde hasta . Luego, por el teorema del valor medio para derivadas,

existe un punto entre los puntos y de la curva, donde la tangente es paralela a la cuerda , esto es:

Luego

que por definición corresponde a la integral:

(hemos expresado como ).

Como la longitud de una curva no depende de la elección de los ejes coordenados, si

puede expresarse como función de , entonces la longitud del arco está dada por

 

 

Ejemplos

En cada caso calcular la longitud del arco de curva que se indica.

Ejemplo 1: , desde hasta .

Solución:

Designemos con la longitud del arco.

Como , entonces

Luego:

Ejemplo 2:  , desde hasta

Solución:

En este caso, tomemos como variable dependiente y obtengamos por medio de

derivación implícita: de donde

Luego, la longitud del arco está dada por:

Ejemplo 3: , desde hasta

Solución

Obtenemos de nuevo , pues

 

Ejemplo 4: , desde hasta

Solución

Obtengamos por medio de derivación implícita:

Luego:

Cálculo de trabajo con ayuda de la integral definida Vamos a estudiar la aplicación de la integral definida al concepto de ``trabajo''.

Si una fuerza constante actúa sobre un objeto desplazándolo una distancia , a lo largo de una línea recta, y la dirección de la fuerza coincide con la del movimiento, entonces el trabajo realizado se expresa como el producto de la fuerza por el camino recorrido.

Es decir: .

Cuando la fuerza no es constante, por ejemplo, cuando se contrae o estira un resorte, el trabajo no se puede expresar en forma tan simple.

Consideremos una partícula que se desplaza sobre el eje , desde el punto al punto

por medio de una fuerza .

Dividamos el segmento en partes arbitrarias de longitudes ,

y tomemos en cada subintervalo un punto arbitrario como se muestra a continuación.

 

 

Cuando la partícula se mueve de a , el trabajo realizado es aproximadamente igual al

producto .

Luego, la suma:

nos dará la expresión aproximada del trabajo de la fuerza en todo el segmento .

La suma

representa una suma integral, por lo que si

existe, entonces este expresa el trabajo realizado por la fuerza al mover una partícula de a , a lo largo del eje .

Se tiene entonces que

siendo la fuerza aplicada a la partícula cuando ésta se encuentra en el punto cuya coordenada es .

Si la unidad de fuerza es el kilogramo, y si la unidad de distancia es el metro, entonces la unidad de trabajo es el kilográmetro. También pueden utilizarse como unidades de trabajo la libra-pie y el gramo-centímetro.

El alargamiento o la compresión de un resorte helicoidal, nos proporciona un ejemplo del trabajo realizado por una fuerza variable. La ley de Hooke afirma que la fuerza necesaria para estirar un resorte helicoidal, es proporcional a la elongación del resorte. Así, la fuerza necesaria para producir una elongación de unidades, está dada por la expresión , donde es la constante de proporcionalidad, que depende del material, del grosor del alambre, de la temperatura, etc.

Ejemplos

Ejemplo1:

Un resorte tiene una longitud natural de 8 pulgadas. Si una fuerza de 20 libras estira el

resorte pulgada, determinar el trabajo realizado al estirar el resorte de 8 pulgadas a 11 pulgadas.

Solución

Consideremos el resorte ubicado a lo largo del eje , con su extremo fijo en el origen:

[Ver en ambiente 3D]

Por la ley de Hooke se sabe que .

Como pulgadas cuando libras, entonces de donde .

Luego, . Se desea calcular el trabajo realizado por esta fuerza si aumenta la extensión de 8 a 11 pulgadas. Luego:

Ejemplo 2

Un resorte tiene una longitud natural de 10 pulgadas, y una fuerza de 30 libras lo estira 11,5 pulgadas. Determinar el trabajo realizado al estirar el resorte de 10 pulgadas a 12 pulgadas. Luego encontrar el trabajo realizado al estirar el resorte de 12 pulgadas a 14 pulgadas.

Solución

[Ver en ambiente 3D]

Como , y pulgadas, cuando libras, entonces , por lo que

.

El trabajo realizado para estirar el resorte de 10 a 12 pulgadas está dado por:

El trabajo realizado para estirar el resorte de 12 a 14 pulgadas está dado por:

Ejemplo 3:

Una fuerza de 25 kg alarga un resorte 3 cm. Determine el trabajo requerido para alargar el resorte 2 cm más.

Solución

 

[Ver en ambiente 3D]

Como y m, cuando kg, entonces .

El trabajo requerido para alargar el resorte 2 cm más (es decir, hasta 5 cm), está dado por:

Ejemplo 4:

Determinar el trabajo efectuado al alargar un resorte 6 cm, sabiendo que se necesita una fuerza de 15 kg para alargarlo 1 cm.

Solucción

Según la ley de Hooke , por lo que , de donde .

Luego, y el trabajo efectuado para alargar el resorte 0,06 m está dado por:

Ejemplo 5:

Un resorte tiene una longitud natural de 6cm. Si 1200 dinas lo comprimen 0,5 cm, calcular el trabajo efectuado al comprimirlo desde 0,6 cm hasta 4,5 cm. ¿Qué trabajo se requiere para hacer que el resorte llegue a 9 cm, partiendo de su estado comprimido de 4,5 cm?

Solucción

1.

[Ver en ambiente 3D]

2. Como y cm cuando , entonces . Luego . El trabajo necesario para comprimir el resorte desde 6 hasta 4,5 cm está dado por:

3.4.

5.

[Ver en ambiente 3D]

6. El trabajo que se requiere para hacer que el resorte llegue a 9 cm, partiendo de su estado comprimido de 4,5 cm, está dado por:

7.