CALCOLO A ROTTURA (S.L.U.) DI TRAVI IN C.A. E C.A.P. DIAGRAMMI MOMENTO CURVATURA

CALCOLO A ROTTURA (S.L.U.)DI TRAVI IN C.A. E C.A.P.

DIAGRAMMI MOMENTO CURVATURA

MODALITA’ DI ROTTURA C.A.-campi di rottura ed armature limite-

sa b c a b c/ / / /.08 sa b c a b c/ / / /.088.0

dx

s

Equazione di equilibrio alla traslazione della sezione quando =cu:

10 fcxbβC sds fAT d8.0

ωbf8.0fA

bfβfA

x s

1c

sds

1c0

sds

1c

sdss bdf

fAω

MODALITA’ DI ROTTURA C.A.P.-campi di rottura ed armature limite-

62

241275

66

160

105

240

95

249

1/2

3/4

15/16 17/18

7/8

5/6

9/1013/14

21/2219/2017/18

27/2829/30 31/32 33/34 35/36

23/24

19/20

25/26

37

16

1/8 3/4 2/7

5/12 69/11

10/13

14/151/27/8

3/46 5/14

9/1011/12

13/1815/16

19/20

21/22

17

10/11 4/7 2/5 13/14 1/6 3/8

9/1216/17 19/22 20/21 15/18

23/24

62

241275

66

160

105

240

95

249

1/2

3/4

15/16 17/18

7/8

5/6

9/1013/14

21/2219/2017/18

27/2829/30 31/32 33/34 35/36

23/24

19/20

25/26

37

16

1/8 3/4 2/7

5/12 69/11

10/13

14/151/27/8

3/46 5/14

9/1011/12

13/1815/16

19/20

21/22

17

10/11 4/7 2/5 13/14 1/6 3/8

9/1216/17 19/22 20/21 15/18

23/24


83 1960

2500

840 1000

18083

1Ø221Ø16

Ø 7/15

Ø 7/1560

601428

5.5 31 15.5 15.5 15.5 31 5.5

48

n°2 strands x Ap=0.21 mm²n°6 strands x Ap=0.93 mm²


Rotturalato calcestruzzo…

…rotturalato acciaio

APPROSSIMARE IL DIAGRAMMA MOMENTO CURVATURA: CASO CON ARMATURA MEDIA

)MM(MM y

yu

'y

'u'

y

i'EIM

Ramo 1: sezione interamente reagente (sezione in stadio 1)

iEIM

Ramo 3: sezione parzializzata e acciaio snervato (sezione in stadio 3)

Ramo 2: sezione parzializzata (sezione in stadio 2)

GCj

np

1jpjjpsupjjpjGCi

ns

1isisupiisiGCsup

h

0csup

np

1jpjjpsupjjpj

ns

1isisupiisisup

h

0csup

yyAεθ,ε,yεσyyAθ,ε,yεσdyyyyb)θ,ε,y(εσθ,εM

Aεθ,ε,yεσAθ,ε,yεσdyyb)θ,ε,y(εσθ,εN

Equilibrio

Congruenza: ipotesi di sezione piana

(y,sup,)=sup+y

x(sup,)=sup/

COME RICAVARE IL DIAGRAMMA MOMENTO CURVATURA

COME RICAVARE IL DIAGRAMMA MOMENTO CURVATURA

0 1 2 3 4‰ ]

0

30

60

90

120

[MPa]

0 1 2 3 4‰ ]

0

30

60

90

120

[MPa]

( )

N _sup 1

imax

i

c yi

_sup b yi y

1

np

j

p dpj

_sup pj Apj

1

ns

j

s dsj

_sup Asj

M _sup 1

imax

i

c yi

_sup b yi y y

iyG

1

np

j

p dpj

_sup pj Apj

dpj

yG

1

ns

j

s dsj

_sup Asj

dsj

yG

INFLUENZA DI…

SUL LEGAME MOMENTO CURVATURA

…GEOMETRIA

…MATERIALI

…LEGAMI COSTITUTIVI

Calcestruzzo Rck= 55MPa Rck=110MPa

Acciaio fsk= 430MPa fptk=1885MPa

…e fibrorinforzato

0 1 2 3 4‰ ]

0

30

60

90

120

[MPa]

0 1 2 3 4‰ ]

0

30

60

90

120

[MPa]

…MRd?

•Ac costante (2400 cm2)

•d costante

•As costante

(55 cm, eccetto che per sezione circolare)

(826, pari a 42.48 cm2)

M A f d kNmRd s sd 09 786.

(7 ½” , pari a 9.73 cm2)

A f A fs sd p ptd •Ap costante

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

0

200

400

600

800

1000

M[kNm ]

[1/m ]

MOMENTO-CURVATURA…alcune approssimazioni

0 0.0004 0.0008 0.0012 0.0016 0.002

0

100

200

300

M[kNm ]

[1/m ]

EJ’ EJ”

Mcr

EJ’ EJ”

max

( . ).

. [ / ]

10 35 10

05500245 1

3

m

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012

0

200

400

600

800

M[kNm]

[1/m]

MRk= 769kNm

MRd= 563kNm

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

0

200

400

600

800

1000

M[kNm]

[1/m]

MRk= 946kNm

MRd= 808kNm

MOMENTO-CURVATURAInfluenza dei coefficienti di sicurezza

c=1.5

s=1.15

c= s=1

MRk/MRd=1.17 MRk/MRd=1.37

c=1.5

s=1.15

c= s=1

CONFRONTO TRA SEZIONI DIFFERENTI-acciaio tradizionale-

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

0

200

400

600

800

T diritta

rettangolo

Trovescia

Cerchio

M[kNm]

[1/m]

.. . ???M A f d kNmRd s sd 09 786

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

0

200

400

600

800

M[kNm]

[1/m]

Rck= 55MPafsk =430MPa

Rck=110MPafsk =430MPa

CALCESTRUZZO:COMPORTAMENTO IN COMPRESSIONE

[Coppola, 1997] Sargin modificato[boll. CEB 228 -HPC, 1995]

0 1 2 3 4‰ ]

0

30

60

90

120

[MPa]

Rck=110MPa

Rck= 55MPa

HSC: NORMATIVE INTERNAZIONALI[Coppola, 1997]

0 1 2 3 4‰ ]

0

30

60

90

120

[MPa]

Finlandia

Norvegia

Olanda

CEB (di progetto)CEB (Sargin)

Italia??

0 1 2 3 4‰ ]

0

30

60

90

120

[MPa]

CALCESTRUZZO: LEGAMI UTILIZZATI

0 1 2 3 4‰ ]

0

30

60

90

120

[MPa]

0 1 2 3 4‰ ]

0

30

60

90

120

[MPa]

Parabola rettangolo Sargin

c

1c1c

2

1c1c1c f

2EE

1

EE

c

1c1c

2

1c1c1c f

2EE

1

EE

1cc

1cc1c

2

1c

perf

perf2

1cc

1cc1c

2

1c

perf

perf2

EFFETTI DEL LEGAME COSTITUTIVOdi progetto vs. “esatto”

0 0.004 0.008 0.012 0.016 0.02

0

200

400

600

800

Parabola rettangoloSargin

M[kNm]

[1/m]

0 0.01 0.02 0.03

0

200

400

600

800


M[kNm]

[1/m]

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01

0

200

400

600


M[kNm]

[1/m]

Rck

55MPa

Rck

110MPa

0 0.004 0.008 0.012 0.016 0.02

0

200

400

600

800


M[kNm]

[1/m]

0 0.01 0.02 0.03 0.04

0

200

400

600

800


M[kNm]

[1/m]

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

0

200

400

600

800


M[kNm]

[1/m]

EFFETTI DELLA DEFORMAZIONE ULTIMARottura “lato acciaio”

0 2 4 6 8 10 12s ‰ ]

0

200

400

600

800

1000

Parabola re ttangolo

Sarg in

M[kNm ]

M R d=808.1 kN m

s =10‰

M R d=808.3 kN m

s = 10.73‰

Rck=55MPa

EFFETTI DELLA DEFORMAZIONE ULTIMARottura “lato calcestruzzo”

Rck=55MPa

0 -0.5 -1 -1.5 -2 -2.5 -3 -3.5

c‰]

0

200

400

600


M[kNm]

MRd=608 kNm

c =- 3.50‰

MRd=562 kNm

c =- 2.98‰

0 -0.5 -1 -1.5 -2 -2.5 -3 -3.5

c‰]

0

200

400

600


M[kNm]

MRd=507 kNm

c =- 3.50‰

MRd=466 kNm

c =- 2.82‰

N A fSd c cd 02.NSd 0

‰

‰

EFFETTI DELLA SOLLECITAZIONE ASSIALE

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01

0

100

200

300

400

500

600

SarginParabola rettangolo

kN ]

[1/ ]

=0.0

=0.2

=0.4

=0.6

M[ m

m

Rck=55MPa

NA f

Sd

c cd

NA f

Sd

c cd

0 -0.5 -1 -1.5 -2 -2.5 -3 -3.5

0

100

200

300

400

500

600

M[kNm ]

c‰ ]

=0.0

=0.2

=0.4

=0.6

EFFETTI DELLA SOLLECITAZIONE ASSIALE

0 -0.5 -1 -1.5 -2 -2.5 -3 -3.5

0

200

400

600

800

1000

M[kNm ]

c‰ ]

=0.0

=0.2

=0.4

=0.6

0 0.003 0.006 0.009 0.012 0.015

0

200

400

600

800

1000

SarginParabola rettangolo

M[kNm]

=0.0

=0.2

=0.4

=0.6

[1/m]

NA f

Sd

c cd

NA f

Sd

c cd

Rck=110MPa

DIAGRAMMA MOMENTO-AZIONE ASSIALE

COME RENDERE DUTTILE LA SEZIONE?Armature in zona compressa

0 0.004 0.008 0.012 0.016 0.02

0

200

400

600

800

As' = 50%AsAs'= 25%AsAs'=0

M[kNm]

[1/m]

0 -0.5 -1 -1.5 -2 -2.5 -3 -3.5

0

200

400

600

800

As' = 50%AsAs'= 25%AsAs'=0

M[kNm]

c[‰]

Rck=55MPa

EFFETTI DELLA PRECOMPRESSIONE-acciaio ad alta resistenza-



0 0.005 0.01 0.015 0.02

0

200

400

600

800

PrecompressoLento

0 0.005 0.01 0.015 0.02

0

200

400

600

800

M[kNm]

[1/m]

M[kNm]

[1/m]

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