Calcolo agli Stati Limite Aspetti Generali - ing.unitn.it · Calcolo agli Stati Limite - Aspetti Generali Comportamento al taglio delle travi in C.A. “stato II” fessurato La tensione

1

Corso di Aggiornamento per Geometri su Problematiche Strutturali

Calcolo agli Stati LimiteAspetti Generali

18 novembre 2005

Dr. Daniele ZontaDipartimento di Ingegneria Meccanica e Strutturale

Università di Trento0461-882537 [email protected]

http://www.ing.unitn.it/~dzonta

Calcolo agli Stati Limite - Aspetti Generali

Riferimenti Iconografici

[1] Massonet Ch., Save M., "Calcolo Plastico a rottura delle costruzioni", Clup, 1980.

[2] Ballio G., Mazzolani M., "Strutture in acciaio", HOEPLI, 1987.[3] Toniolo G. "Cemento armato. Calcolo agli stati limite (2/1)", 2a Ed.,

Zanichelli, 1995.[4] Leonhardt F., Mönnig E., "C.a. & c.a.p.", Vol. I: "Le basi del

dimensionamento nelle costruzioni in cemento armato", Ed. di Scienza e Tecnica, Milano, 1989.

[5] Leonhardt F., Mönnig E., "C.a. & c.a.p.", Vol. III: "L’armatura nelle costruzioni in cemento armato; statica, tecnologia, tipologia", Ed. di Scienza e Tecnica, Milano, 1989.

[6] Eurocodice 2 - Progettazione delle strutture di calcestruzzo, Parte 1-1: Regole generali e regole per gli edifici, ENV 1992-1-1

2


Sommario

• Il metodo delle tensioni ammissibili• Limiti del metodo alle tensioni ammissibili• Il metodo semiprobabilistico agli SL nella normativa

italiana• La combinazione delle azioni• La resistenza dei materiali• SL per sforzo assiale nel cemento armato

Sommario


Verifica di una struttura

Verificare una struttura o un elemento strutturalesignifica valutare se, per effetto di eventi (azioni) che possono influire sul suo stato (di tensione, di deformazione, di conservazione...), si possaraggiungere una situazione:

• inacettabile per la sicurezza (=pericolosa)• inacettabile per l'utilizzo (=non funzionale)

Questo stato di inacettabilità è detto Stato Limite

Verifica di una struttura

3


• Nel metodo delle Tensioni Ammissibili questa verifica è fattain termini di tensione

• Si ritiene critico (=inacettabile) il raggiungimento dellatensione di snervamento della struttura fy (=si fa riferimentoad uno stato limite elastico)

• Si inserisce un coefficiente di sicurezza sulla resistenza del materiale

• I carichi sono considerati agenti con il loro valore nominalenella combinazione più sfavorevole

• La tensione è calcolata utilizzando un modello elastico

Il metodo delle Tensioni Ammissibili


Il metodo delle Tensioni Ammissibili

∑=

+=n

ikikk QGF

1 γσ ykf=

( ) σσ ≤kF

RS ≤

σ

ykf

4


Esempio 1:Limiti del metodo delle Tensioni Ammissibili

1. Non tutte le condizioni critiche dipendono dalla resistenza del materiale:1. Deformazione2. Equilibrio3. Durabilità...

2. Anche quando la condizione critica dipende dalla resistenza del materiale, non sempre dipende dalla tensione (dipende dal meccanismo di rottura).

3. Le combinazioni di carico previste dal metodo delle TA non garantiscono un uguale livello di sicurezza per tutte le condizioni critiche.


Limiti di deformabilità

CNR 10011/85le frecce degli elementi delle strutture edilizie devono essere contenute quanto è necessario perchè non ne derivino danni alle opere complementari in genere ed in particolare alle murature ditamponamento e ai relativi intonaci.Indicativamente:

• travi di solai: la freccia dovuta al solo sovraccarico fq<L/400• travi caricate direttamente o indirettamente da muri o da pilastri:

la freccia totale f<L/500• sbalzi: si assume una luce pari a due volte la lunghezza dello

sbalzo• arcarecci e elementi inflessi dell'orditura minuta delle coperture:

freccia totale f<L/200

5


Esempio 1:Esempio:Stato Limite di deformazione

σσ ≤==WLQ

WM

4 400481 3 LEJQLf ≤=

hLJ

LW

Qσσ

σ

84lim, ==

43016 FeperLh

≈

LhE

QQ f

σσ 2003

lim,

lim, =

Q

L

30046 RckperLh

≈

22lim, 12.040048

LEJ

LEJQ f ==


Esempio 1:Esempio:Stato Limite di ribaltamento

h G

Q

Ob/2

2bGQh ≤

5.12 ≥==Qh

bG

MM

Q

Gγ

6


Instabilità dell'equilibrio

N

L

N

23.12 cmA =

cmi 56.1=

mL 10.3=

880×L198==

iLλ

admAN σωσ ≤=

ωσ AN adm

adm =

360Fe 49.5=ω NNadm 3585049.51230160

=×

=

430Fe 32.6=ω NNadm 3697032.61230190

=×

=

2

2

λπ EANcr =


Legge costitutiva degli acciai da carpenteria

[3]

Fe360

Fe430

Fe510

7


Prova di Trazione

[2] [1]

[2]


Legge costitutiva degli acciai da carpenteria

[3]

Fe360

Fe430

Fe510

8


Esempio 1:Comportamento plastico di una struttura isostatica

FyLε

x

F

x

L

tLε

yAf


Esempio 1:Comportamento plastico di una struttura iperstatica

F

yL ε2

x

F

x

L yAf23

L/2

yLε tL ε2

yAf2

321

11

Fkk

kFF =+

=

Fkk

kFF32

21

22 =

+=

LEAk 2

2 =LEAk =1

9


Esempio 1:Coefficienti di sicurezza

Fx

L

2314201 mmA == φ MPaf y 235= MPaadm 160=σ360Fe

kNAF admadm 24.50== σ

kNAfF yR 79.73==

47.1===adm

y

adm

R fFF

σγ

Fx

LL/2

kNAF admadm 36.7523

== σ

kNAfF yR 58.1472 ==

95.134

===adm

y

adm

R fFF

σγ


Esempio 1:Comportamento plastico di una strutturaa livello di sezione

[1]yeye fWfbhM ==

6

2

ypye fWfbhM ==4

2

10


Esempio 1:Legge Momento-Curvatura per diverse sezioni

[1]

6

2bhWe =

4

2bhWp =


Esempio 1:Legge Momento Curvaturaper un profilo HE

[1]

11


Esempio 1:Riserva plastica di un profilo HE

[1]

BHE240

64.1

12.1

105452722

9383

3

===

==

=×==

=

xeadm

xpy

adm

R

xe

xp

xxp

xe

WWf

MM

WW

cmSW

cmW

σγ

α

20.2

50.1

4894

2

327

32

3

===

==

=×=

=

yeadm

ypy

adm

R

ye

yp

yp

ye

WWf

MM

WW

cmbeW

cmW

σγ

α


Esempio 1:Concetto di cerniera plastica

[1]

12


Esempio 1:Concetto di cerniera plastica

[1]


Esempio 1:Effetto della plasticità sullivello di sicurezza

[2]

13


Esempio 1:Riserva plastica di una struttura iperstatica

[1]

18.21216

1216

====xeadm

xpy

adm

R

adm

l

WWf

MM

PP

σγ

93.21216

1216

====yeadm

ypy

adm

R

adm

l

WWf

MM

PP

σγ


Esempio 1:Meccanismo plastico di rottura

[1]

14


Esempio 1:Meccanismi plastici di rottura

[2]


Esempio 1:Interazione taglio-momento

[2]

15


Esempio 1:Interazione taglio-momento

[2]


Esempio 1:Pressoflessione plastica

[2]

16


Esempio 1:Esempio


Esempio 1:Stato Limite Elastico

L

L/2

Q

My

My

My

eyy WfM = 8LQ

M yy =

LWf

Q eyy

8= =19.16 kN

17


Esempio 1:Formazione della cerniera plastica

30

15xG

G

σp

σp τp

24244.0

22 φAWp =


Esempio 1:Formazione del meccanismo plastico

L

L/2

Q

Mp

Mp

Mp

Tp

Tp

8LQ

M pp =

2p

p

QT =

p

p

p

pp W

LQWM

8==σ

AQ

AT pp

p 2==τ

222 3 ppyf τσ +=

+

=

22

22

213

8 AWLQfp

py

22

213

8

+

=

AWL

fQ

p

yp =32.01kN

18


Esempio 1:Meccanismo post critico

a

L/2+δ/2

Qu

Nu

Nu

L(1+εu)

Nu

( ) ( )2

2222

2

22222

2221

2

−++

=

−−

+=

δδεεδε LLLLa

ε22La =

AfN tt =

( )t

u

uu N

La

Qε+

=1

2

2 =254.16 kN


Esempio 1:Tensioni ammissibili nel cls

26.4 24.8 23.2 21.6 20.1 18.4 16.9 15.4 τc1 (taglio + torsione)

24 22.5 21.1 19.7 18.2 16.8 15.4 14.0 τc1 (solo taglio)

8.7 8.0 7.3 6.7 6.0 5.3 4.7 4.0 τco

56.7 51.9 47.1 42.3 37.5 32.7 27.9 23.1 Compress. media pilastri s=10 cm



103.2 94.5 85.7 77.0 68.2 59.5 50.7 42.0 Fless. o pressofl. solette s<5 cm Compress. media pilastri s>=25 cm

132.7 121.5 110.2 99.0 87.7 76.5 65.2 54.0 Flessione o pressoflessioneTravi con soletta s>=5 cm

147.5 135.0 122.5 110.0 97.5 85.0 72.5 60.0 Flessione o pressoflessioneTravi - solette - pilastri

500 450 400 350 300 250 200 150 Rck (kg/cm2)

19


Comportamento al taglio delle travi in C.A.

IbVS

=τFormula di Jourawski

“stato I” non fessurato

zbV

bISV

i

i ==τ

i

i

SIz = braccio della coppia interna

Il massimo valore si raggiunge di norma sulla corda baricentrica.

con

Sezione omogeneizzata

m=Es/Ec

Ii , Si caratteristiche “ideali”[3]


La fessurazione della trave

[3][3]

20



“stato II” fessurato

La tensione tangenziale rimane costante su tutta la zona fessurata del calcestruzzo. zb

V=τ

[3]



[4]

[4]

[4]

21


Esempio 1:Effetto della combinazione dei carichi

[2]



h G

Q

Ob/2

2bGQh ≤

tWQh

AG σ≤+

Q

G

tAσ

hW tσ

22



[2]

( )( )( )

kNNkNN

kNwNkNsNkNgN

c

t

50450

120200100

==

===

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) 50100120*25.125.15.1/5020100120

5.1/450300200100

=−=−≤=−=−≤=+=+

gNwNgNwNsNgN


Esempio 1:Definizione di Stato Limite

• Si definisce Stato Limite uno stato raggiunto il quale, la struttura o uno dei suoi elementi costitutivi, non può più assolvere la sua funzione o non soddisfa più le condizioni per cui è stata concepita.

• Gli stati limite si suddividono in due categorie:a) Stati Limite Ultimi, corrispondenti al valore estremo

della capacità portante o comunque al raggiungimento di condizioni estreme;

b) Stati Limite di Esercizio, legati alle esigenze di impiego normale e di durata.

23


Esempio 1:Esempi di Stato Limite Ultimo

- perdita di equilibrio di una parte o dell'insieme della struttura, considerata come corpo rigido;

- rottura localizzata della struttura, per azioni statiche;- collasso per trasformazione della struttura o di una sua

parte in meccanismo;- instabilità per deformazione;- rottura localizzata della struttura per fatica;- deformazione plastica o di fluage, o fessurazione o

scorrimento di giunti che conducano ad una modifica della geometria, tale da rendere necessaria la sostituzione della struttura o di sue parti fondamentali;

- degrado o corrosione che rendano necessaria la sostituzione della struttura o di sue parti fondamentali.

[1]


Esempio 1:Esempi di Stato Limite Ultimo

[2]

24


Esempio 1:Esempi di Stati Limite di Esercizio

- deformazioni eccessive;- fessurazioni premature o eccessive;- degrado o corrosione;- spostamenti eccessivi (senza perdita

dell'equilibrio);- vibrazioni eccessive.


Affidabilità strutturale

Z=R-S=0

s

R

Z>0

Lo stato di sicurezza di una struttura può essere definito in relazione ad una capacità R e una domanda S. La struttura è affidabile quando

Z=R-S<0

R e S sono variabili aleatorie.

Z è detta funzione stato limite.

Il problema di base dell'affidabilità strutturale è calcolare la probabilità di collasso cioè la probabilità per cui Z<0.

Z<0

25


Esempio 1:Basi probabilistiche della verifica di resistenza

[1]


Probabilità di collasso PF

Se la resistenza R è deterministica:

Se R e S sono entrambi aleatori:

∫∫ ∫∞∞

=

=

00 0

)( )( )()( dssfsFdsdrrfsfP SR

s

RSF

oppure:

[ ]∫∫ ∫∞∞ ∞

=

⋅=

00

)(-1 )( )()( dsrFrfdrdssfrfP SRr

SRF

( ) )(-1 )( RFdssfSRPP SR

SF ==<= ∫∞

Se la sollecitazione S è deterministica:

( ) )( )( SFdrrfSRPP R

S

RF ==<= ∫∞−

26


Indice di affidabilità β

Se le variabili aleatorie R e S hanno distribuzioni normali, la variabile aleatoria Z = R-S avrà anch’essa una distribuzione normale con:

22z ; SRmmm SRZ σσσ +=−=

Viene definito indice di affidabilità il coefficiente di variazione della funzione stato limite Z:

)(1)( F ββ Φ−=−Φ=P

22RR

mm

z

m SRZ

σσσβ

+

−==

Si dimostra che β è direttamente legato alla probabilità di collasso attraverso:


Quadro normativo

DM 16 gennaio 1996 Norme tecniche relative ai criteri generali per la verifica di

sicurezza delle costruzioni e dei carichi e sovraccarichi

Legge 1086/71 Norme per la disciplina delle opere di conglomerato

cementizio armato, normale e precompresso ed a struttura metallica

DM 16 gennaio 1996 Norme tecniche per il calcolo, l’esecuzione ed il collaudo

delle strutture in cemento armato, normale e precompressoe per le strutture metalliche

Parte I: Cemento ArmatoParte II: Acciaio

CA

e A

CC

IAIO

MU

RAT

UR

AA

ZIO

NI

DM 20 novembre 1987Norme tecniche per la progettazione, esecuzione e collaudo

degli edifici in muratura e per il loro consolidamento

Cir. 4 luglio 1996, n. 156 Istruzioni per l'applicazione delle "Norme Tecniche..."OPCM 20 marzo 2003, n. 3274

Primi elementi in materia di criteri generali per la classificazione sismica del territorio nazionale e di normative

tecniche per le costruzioni in zona sismica

EC0 : Basis of Structural Design

EC1 : Actions on structures

EC2 : Design of concrete structures

EC3 : Design of steel structures

EC4 : Design of composite structures

EC5 : Design of timber structures

EC6 : Design of masonry structures

EC7 : Geotechnical design

EC8 : Design of structures for earthquake resistance

EC9 : Design of alluminium structures

CNR 10011/85Costruzioni in Acciaio: Instruzioni per il calcolo,

l'esecuzione, il collaudo e la manutenzione

27


Implementazione dei concetti probabilistici

C.2.1. APPLICAZIONE DEI CONCETTI PROBABILISTICIIl raggiungimento di uno stato limite può essere provocato dall'intervento

concomitante di vari fattori di carattere aleatorio derivanti dalle incertezze relative:

- alle resistenze dei materiali impiegati rispetto ai valori assunti dal progettista, e ciò anche in relazione alle effettive condizioni realizzate in sito ed ai parametri che influiscono sullo stato limite considerato (carichi di lunga durata, fatica, fragilità, etc.);

- all'intensità delle azioni dirette, indirette e di natura chimico-fisica ed alla probabilità della loro coesistenza;

- alla geometria della costruzione;- alla divergenza tra gli effetti realmente indotti dai carichi e quelli calcolati.

L'obiettivo delle verifiche di sicurezza è di mantenere la probabilità di raggiungimento dello stato limite considerato entro il valore prestabilito in relazione al tipo di costruzione preso in esame, alla sua influenza sulla incolumità delle persone ed alla sua prevista durata di esercizio.


Implementazione dei concetti probabilistici

Il metodo qui adottato, prevede:a) l'introduzione dei "valori caratteristici" per tutte le grandezze delle quali si vuole

mettere in conto il carattere aleatorio, e in ogni caso per:- le resistenze che definiscono le proprietà meccaniche dei materiali;- l'intensità delle azioni;b) la trasformazione di tali valori caratteristici in "valori di calcolo" adeguati allo

stato limite considerato, mediante l'applicazione di coefficienti parziali.c) Le dimensioni geometriche di norma sono assunte deterministiche.

Le resistenze caratteristiche dei materiali sono, per definizione, i frattili di ordine 0,05 delle rispettive distribuzioni statistiche.

Il valore caratteristico delle azioni permanenti è il frattile di ordine 0,95 ovvero quello di ordine 0,05 delle relative distribuzioni statistiche, a seconda che i valori rilevanti ai fini della sicurezza siano quelli più elevati ovvero quelli più bassi.

28


Esempio 1:Valore caratteristico di resistenza

[1]


Il metodo agli Stati Limite

dd RS ≤

R

kkSRSγ

γ ≤

( )

≤

m

kd

fRFSγ

29


Esempio 1:Caratteristiche meccaniche


Esempio 1:Resistenza di calcolo

30


Esempio 1:SLU: stato limite elastico


Esempio 1:SLU: stato limite plastico

31


Esempio 1:Combinazioni allo SLU


Esempio 1:Combinazioni allo SLU

32


Esempio 1:Combinazioni agli SLE


Esempio 1:Coefficienti di Combinazione

33


SL di fessurazione

4.3.1.6. Scelta degli stati limite di fessurazione. Nel prospetto 7-I sono indicati i criteri di scelta dello stato limite con riferimento alle esigenze sopra

riportate.

PROSPETTO 7-I Armatura

Sensibile Poco sensibile Gruppi di esigenze

Condizioni ambiente

Combinazionedi azioni Stato limite wk Stato limite wk frequente ap. fessure ≤ w2 ap. fessure ≤ w3

a Poco aggressivo quasi

permanente decomp. o ap. fessure

≤ w1 ap. fessure ≤ w2

frequente ap. fessure ≤ w1 ap. fessure ≤ w2 b Moderatamente

aggressivo quasi permanente decompress. — ap. fessure ≤ w1

rara ap. fessure e formaz. fessure

≤ w1 ap. fessure ≤ w2 c Molto aggressivo

frequente decompress. — ap. fessure ≤ w1


Calcestruzzo:Resistenza cubica Rc e cilindrica fc

[4]

34


Calcestruzzo:Resistenza cubica e cilindrica

[4]


Calcestruzzo:Legge costitutiva

[3]

35


Calcestruzzo:Dipendenza dalla velocità di carico

[3]


Calcestruzzo:Dipendenza dal grado di maturazione

[3]

36


Calcestruzzo:Legge costitutiva

[3]


Calcestruzzo:Resistenza a trazione fct

[4]

37


Calcestruzzo:Prova a trazione brasiliana f'ct

[4]


Calcestruzzo:Resistenza per flessione fctf

[4]

38


Calcestruzzo:Resistenza biassiale

[4]


Resistenze di calcolo

39


Modelli σ−ε semplificati per il calcestruzzo

Fondamenti di Elementi Strutturali 2 - Muratura

-ε%

a) modello “parabola-rettangolo”.

b) modello “triangolo-rettangolo”.

c) modello “stress block”.m

ckcd

Rfγ83.085.085.0 ⋅=

[3]


Acciai per CA

[3]

40


Acciaio in barre liscie

Tipo di acciaio Fe B 22 k Fe B 32 k Tensione caratteristica di snervamento fyk N/mm2 ≥ 215 ≥ 315 Tensione caratteristica di rottura ftk N/mm2 ≥ 335 ≥ 490 Allungamento As % ≥ 24 ≥ 23 Piegamento a 180° su mandrino avente diametro D 2 Ø 3 Ø

Si devono usare barre di diametro compreso tra 5 e 30 mm.


Acciaio in barre ad aderenza migliorata

Prospetto 2-I

12 Ø10 Øoltre 25 mmfino a 30 mm

10 Ø8 Øoltre 18 mmfino a 25 mm

8 Ø6 ØPiegamento eraddrizzamento sumandrino avente

diametro D

oltre 12 mmfino a 18 mm

4 Ø3 ØPiegamento a 180°su mandrino avente

diametro D

fino a 12 mmPer barread

aderenzamigliorata

aventi Ø (*):

≥ 12≥ 14Allungamento As %

≥ 540≥ 450Tensione caratteristica di rottura ftk N/mm2

≥ 430≥ 375Tensione caratteristica di snervamento fyk N/mm2

Fe B 44 kFe B 38 kTipo di acciaio

(*) Il diametro Ø è quello della barra tonda liscia equipesante

41


Modello σ−ε per l’acciaio

Fondamenti di Elementi Strutturali 2 - Muratura

Modello perfettamente elastico-plastico

s

yksd

ff

γ=

s

sdyd E

f=ε

= 0.01

01.0=sdε

[3]


Pilastri: meccanismi di collasso

[3]

[4]

[4]

pilastro tozzo

pilastro snello

42


Ipotesi di base per i calcoli di resistenza

1. Le sezioni traslano e ruotano rimanendo piane (Bernoulli): ε = ε0+θy.

2. Perfetta aderenza tra calcestruzzo e acciaio d’armatura: εs = εc.

3. Resistenza a trazione del calcestruzzo trascurabile: fct = 0 ; Ect ≡ 0.4. Legami costitutivi σ-ε del materiale:

- calcolo elastico → legge di Hooke: σc = Ec εc, σs = Esσs.- calcolo non lineare → diagrammi σ-ε semplificati.

[3]


Pilastri in cemento armato:deformazione elastica

[3]

[3]

sci nAAA +=

ic A

N=σ

c

s

EEn =

cs nσσ =

( )ρnAE cc +1

N

ε

1

43


Pilastri in cemento armatoSLU

[3]

[3]

( )sccdsydccdRd AfAfAfN ω+=+= 185.085.0

ccd

syds Af

Af85.0

=ω

ydε

N

%2.0

( )sccd Af ω+185.0

ε


Esempio

29003030 cmAc =×=2615144 mmAs == φ

MPanAAN

AN

admsci

c 825.67.0 =≤+

== σσ

299225mmnAAA sci =+=

kNAnA

AN

sadmcadm

iadmadm

677636147.07.0

7.0

=+==+=

==σσ

σ

MPaadm 75.9=σ

MPaRckfm

cd 56.156.1

3083.083.0=

×==

γMPaadms 260, =σ

kN

AfAfN sydccdRd

1182230952

85.025.11

=+=

=+=

MPaf

fm

ykyd 9.373

15.1430

===γ

300Rck kFeB44

MPaRckfck 9.243083.083.0 =×==

%6.0=ρ

74.1=γ

44


Staffatura dei pilastri

[5]


Pilastri: riprese e sovrapposizione

[5]

45


Pilastri cerchiati

[5]

hrccc cff σ+=

( ) ydshcnRd fAcfAN ++= σ

hw

w σρ

σ 2=

n

ww VV

=ρ

++= swcnRd

cfAN ωω2

1

ncd

syds Af

Af=ω

ncd

wydw Af

Af=ω


Conclusioni

Grazie per l'attenzione!

Domande?

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