CALCOLO COMBINATORIO: DISPOSIZIONI

n = numero dei distinti oggetti considerati (n 1); k = numero degli oggetti scelti dagli n; Scegliere k oggetti significa costituire un gruppo di k oggetti scelti e il gruppo di

(n-k) oggetti complementari D(n,k) = numero delle possibili disposizioni (semplici); Dr(n,k) = numero delle possibili disposizioni con ripetizioni; P(n) = numero delle possibili permutazioni di n oggetti; C(n,k) = numero delle possibili combinazioni; Cr(n,k) = numero delle possibili combinazioni con ripetizioni.

Disposizioni Criterio di distinzione tra due scelte (o gruppi) di k oggetti: Un gruppo (scelta) di k oggetti si distingue da un altro sempre di k oggetti se è

diverso o per almeno un oggetto, oppure per l’ordine nel quale gli oggetti sono riportati.

Si hanno: Dr(n,k) = nk, (k 1); D(n,k) = n(n-1)(n-2)···(n-k+1), (1 k n).

PERMUTAZIONI

n = numero dei distinti oggetti considerati (n 1);

P(n) = numero delle scelte possibili permutazioni.

Criterio di distinzione tra due scelte (o gruppi) costituite dai medesimi n oggetti: Un gruppo (scelta) si distingue da un altro sempre costituito dai medesimi n se è

diverso l’ordine nel quale gli oggetti sono riportati. Si ha: P(n) = n(n-1)(n-2)···3·2·1 (n 1). Scriveremo: n! := n(n-1)(n-2)···3·2·1 (n 1). Si ha: P(n) = D(n,n).

PERMUTAZIONI Anagrammare R O M A

Permutazioni di n oggetti di cui k uguali tra loro e i rimanenti (n-k) differenti dai primi ma anch’essi uguali tra loro (1 k n).

Se si indica con P(n: k, (n-k)) il numero delle permutazioni ricercato, realizzando per ciascuna delle permutazioni suddette le permutazioni dei primi k oggetti in ipotesi che sia possibile distinguerli e successivamente realizzando per ciascuna delle permutazioni così ottenute le permutazioni dei secondi k oggetti in ipotesi che sia possibile distinguerli, si otterranno le permutazioni di n oggetti tutti tra loro distinguibili.

Si ha dunque: P(n: k, (n-k))•P(k)•P(n-k) = P(n); segue quindi: P(n: k, (n-k)) = P(n)/[P(k)•P(n-k)] = n! / [k!(n-k)!]. Si conviene: 0! = 1.

COMBINAZIONI n = numero dei distinti oggetti considerati (n 1); k = numero degli oggetti scelti dagli n; Scegliere k oggetti significa costituire un gruppo di k oggetti scelti e il gruppo di

(n-k) oggetti complementari

C(n,k) = numero delle scelte possibili combinazioni.

Criterio di distinzione tra due scelte (o gruppi) costituite da k oggetti: Un gruppo (scelta) di k oggetti si distingue da un altro sempre costituito da k

oggetti se è diverso per almeno un oggetto. L’ordine nel quale gli oggetti sono riportati è irrilevante.

Dalla relazione: C(n,k)·P(k) = D(n,k) Segue: C(n,k) = D(n,k)/P(k) = n(n-1)(n-2)···(n-k+1)/k! (1 k n). Scriveremo: := n(n-1)(n-2)···(n-k+1)/k! (1 k n). Segue: = n!/[k!(n-k)!]

k

n

k

n

COMBINAZIONI

Contare i modi con cui si possono scegliere x=3 caselle da n=9.

Contare i modi con cui si possono ottenere x teste in n lanci di una monete. Contare i modi con cui si possono ottenere x “sei” in n lanci di un dado da gioco. Contare i modi con cui si possono scegliere x numeri da novanta (dal numero 1

al numero 90). Dati gli oggetti {1,2,3,4} costruire le 12 disposizioni in classe 2. Dati gli oggetti {1,2,3,4} costruire le 6 combinazioni in classe 2.

1

34

2

78

56

9

COMBINAZIONI: PROPRIETÀ Valgono le seguenti proprietà:

= ;

(a+b)n =

k

n

kn

n

;0

inin

i

bai

n

.20

nn

i i

n

COMBINAZIONI CON RIPETIZIONI

n = numero dei distinti oggetti considerati (n 1); k = numero degli oggetti scelti dagli n; Scegliere k oggetti significa costituire un gruppo di k oggetti scelti e il gruppo di

(n-k) oggetti complementari

Cr(n,k) = numero delle scelte possibili combinazioni con ripetizioni.

Criterio di distinzione tra due scelte (o gruppi) costituite da k oggetti: Un gruppo (scelta) di k oggetti si distingue da un altro sempre costituito da k

oggetti se è diverso per almeno un oggetto, potendo un oggetto essere presente più volte (massimo k volte). L’ordine nel quale gli oggetti sono riportati è irrilevante.

Risulta: Cr(n,k) =

k

kn 1

COMBINAZIONI CON RIPETIZIONI

Risulta: Cr(n,k) =

Non dipendendo il numero delle combinazioni dalla natura specifica degli oggetti si assuma che gli n oggetti a disposizione siano costituiti dai primi n numeri interi naturali: S = {1, 2, …, n}.

Una k-upla di numeri scelti da S viene indicata con (x1,x2,…,xk). Non essendo rilevante l’ordine per le combinazioni possiamo pensare i k numeri

scelti ordinati in modo non decrescente: x1 x2 … xk

Come si vede si può realizzare anche l’uguaglianza tra i numeri avendo stabilito che sono possibili le ripetizioni.

Consideriamo ora la k-upla di numeri (y1,y2,…,yk) definiti come segue:

(1) y1 = x1 + 0; y2 = x2 + 1; y3 = x3 + 2; …; yk = xk + k - 1. Tali nuovi numeri saranno tutti distinti: y1 y2 … yk;

inoltre si avrà: yi : 1 yi n+k-1, i=1,2 …,k. Mediante la (1) a una k-combinazione con ripetizione estratta da S corrisponde

biunivocamente una k-combinazione semplice estratta dall’insieme: A= {1, 2, …, n+k-1} Segue quindi: Cr(n,k) = C (n+k-1,k) =

k

kn 1

k

kn 1