Calcolo Elettromagnetico Intensivo per la soluzione di problemi basati su formulazione integrale

FEM 2010, Roma 13 dicembre 2010

S. Ventre et all, Calcolo Elettromagnetico Intensivo per la soluzione di problemi basati su formulazione integrale

Calcolo Elettromagnetico Intensivo per la soluzione di problemi basati

su formulazione integraleAntonello Tamburrino, Salvatore Ventre

Ass. EURATOM/ENEA/CREATE, DAEIMI, Università di Cassino, Italy

Flavio Calvano, Guglielmo RubinacciAss. EURATOM/ENEA/CREATE, DIEL, Università di Napoli

Federico II, Italy



Sommario

• Introduzione • Il problema di riferimento• Velocizzazione del calcolo• Risultati• Conclusioni e prospettive



Introduzione



Il Problema di riferimento

Calcolo degli sforzi elettrodinamici in un turbo generatore

Fig. 5.1: spaccato parte terminale lato camera ad anelli (l'avvolgimento rotorico di eccitazione e la

gabbia smorzatrice non sono rappresentati) fornita da Ansaldo Energia.

Ferro (laminato) statorico

Ferro (massiccio)

rotorico

Carcassa in ferro

massiccio

Avvolgimento statorico

in rame

R. Albanese, F. Calvano, G. Dal Mut, F. Ferraioli, A. Formisano, F. Marignetti, R. Martone, G. Rubinacci, A. Tamburrino, S. Ventre, “Electromechanical Analysis of End Windings in Turbo Generators”, presented at the 14th IGTE Symposium, Graz (Austria), 2010.



33

03

00 Rin ,'

'''ˆ'

4'

''''

4

ff VV

S dSdVrrrrrnrM

rrrrrMrMrBrB

Formulazione Integrale del problema magnetostatico

BS è l’induzione magnetica prodotta correnti (imposte) sul rotore e sullo statore Vf è la regione dello spazio occupata dal materiale magnetico (di statore e rotore)Vf rappresenta la frontiera di Vf

fVin rBrM G

Equazione costitutiva non lineare (senza memoria)

(1)

(2)

Sostituendo la (2) nella (1)

fVin MM GT (3)

M magnetizzazione incognita



Modello numerico

GT è una contrazione

kk MM GT1

La soluzione della (3) come convergenza a punto fisso

fj

jj VM in rPrMIncognita M jP Shape function

Galerking

i

dV

dV

dV

dV

f

f

f

f

Vii

V

ki

Vii

V

k-i

,

11

PP

MP

PP

MP TG

Il termine dVfV

ki MP T diventa WMED 1 k



Definizione delle matrici

dVW

dVD

dSdSDE

f

f

i j

VSii

Vjiij

V V

jiijij

BP

PP

rrrPrnrPrn

''

''ˆˆ4

00

Matrici Numeriche

;

1. k=0, 2. calcola usando 3. applica la relazione caratteristica per il calcolo di4. Se la differenza tra e è piccola ci si ferma, altrimenti

si ritorna al punto 1.

0M0 kB

1kM

1kMkM

WMED 1 k

Ciclo Matrice Piena



Problematiche numeriche nello schema di calcolo

1.Calcolo dell’induzione prodotta dalle sorgenti imposte 2.assemblaggio della matrice piena3.calcolo del prodotto matrice piena per vettore

EkME

W

Il passo 3. va ripetuto per ogni passo del ciclo

Per il punto 2. due la memoria e il calcolo cresce come O(n2) dove n è il numero di incognite pari a 3 volte il numero di elementi Il tempo di calcolo del passo 3. cresce come O(n2)



Velocizzazione del calcolo

Miglioramenti proposti1. La matrice W calcolata suddividendo in maniera

equilibrata il carico sui processori2. La matrice E trattata efficacemente

a) Assemblaggio equilibratob) Compressionec) Distribuzione equilibrata della memoriad) Calcolo E*M equilibrato

Parallelizzazione del codice•Le macchine multicore sono poco costose•Sono presenti strumenti e librerie parallele collaudate•Utilizzo di architetture parallele (ad esempio Grid computing )



Trattamento della matrice E Una parallelizzazione semplice è inefficaceIl costo computazionale dipende quadraticamente dalle incognite

Usando p processori (ideale)

Tp(N)=O(N2/p)

T(Ns)= T(Np) pNN sp


E’ necessario Algoritmo lineare per avere uno speedup lineare

Sparsificazione della matrice E



Assembly balancing

Memory balancing

Computation balancing

Fattori determinanti le prestazioni


OBIETTIVO Integrare in maniera efficiente il metodo di compressione in una implementazione parallela



Metodo Veloce

Introduzione di una griglia multilivello che include tutta la mesh Decomposizione in parte vicina e lontana

Calcolo e compressione della parte lontana, ottenuta secondo una tolleranza assegnata (precisione)

Calcolo esatto della parte vicina

Sparsificazione di E (con complessità quasi lineare)



Introduzione Griglia Multilivello

Metodo Veloce



nearfar EEE Calcolata senza errori

Nfar

i

ibibfar

1

2,1EE

.

Matrice di interazione locale tra due box lontane ib1 e ib2

Basso rango

2,1E ibib

# totale di interazioni lontane

approssimata

Decomposizione in parte vicina e lontana

Metodo Veloce

Nfar



Siano me and m (ne and n) rispettivamente il numero degli elementi e delle incognite in ib1 (in ib2).

Compressione QR approssimata della matrice di interazione

2,1E ibib≈ Q R m×n

m×r

r×n

EFFICIENTE (m+n) × r << m×n.

Si osservi che Memory Required e ComputationTime sono uguali a (m+n) × r

r rango che dipende dalla errore richiesto (Modified Gram-Schmidt QR)

Metodo Veloce



Implementazione Parallela di EFAR

2,1E ibibee nm * Costo assemblaggio della matrice di interazione locale

Nfar

i

Nfar

iiitot CnmC

11

*Costo Totale assemblaggio

Assembly balancing Distribuire il carico di in maniera equilibrata su p processori

2,1E ibib

Metodo Veloce



Prestazioni dell’algoritmo sub-ottimo

Problema con complessità esponenziale risolto usando algoritmo sub-ottimo

endKi

CCC

CK

NfariforpkC

descendentCsortedC

Si

kk

k

k

k

isi

min

min

)(

min

,..,1,..,1,0

),(

Int2Proc

In uscita Int2proc(i) fornisce il processore a cui compete l’interazione i

Algoritmo di distribuzione dei carichi

kC Costo di assemblaggio del k-simo processore

Metodo Veloce

0 5 10 15 20 25 30 350

0.5

1

1.5

2

2.5x 10

6



Sono automaticamente verificati se la dimensione del problema è sufficientemente grande (problemi di interesse per il parallelo)

Memory /Computation balancing di Lfar

Memory/Computation balancing ottenuti automaticamente

Non c’è bisogno di ulteriori comunicazioni

Metodo Veloce

0 5 10 15 20 25 30 350

0.5

1

1.5

2

2.5x 10

6



Contract AenGe_CiFe10 CREATE-Ansaldo Energia 2009/10

Risultati



MMFs in phase

MMFs in quadrature

MMFs opposite No. of elements: 11038

No. of unknows: 33114No. of iterations: 500Iteration time: 0.39sPreproc. time: 2792sMachine: ALTIX 4700N proc.: 32CPU: Dual Core Montecito (IA-64) @1,6 GHz, 8MB L3 cache and 533 MHz Bus

Computational Cost



Risultati

Radial component of the magnetic induction Br (in Tesla) in function of the angular coordinate (in deg): comparison between the 3D integral formulation (--) and the 2D commercial code (continuous line) calculated at z=2.4.

Validazione del metodo con codice commerciale



• Utilizzando la sparsificazione SVD e la sua parallelizzazione è possibile studiare strutture la cui una complessità computazione non è altrimenti affrontabile dai codici attualmente disponibili:

dettagliata descrizione della geometria Validazione con codice commerciale

•Attività corrente: estensione del metodo (sparsificazione + parallelizzazione) al problema delle eddy-current

Conclusioni e prospettive



Grazie per l’attenzione ……

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