Upload
others
View
3
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Coques ELS -1-
JUSTIFICATION D’ELEMENTS
DE COQUES EN BETON ARME :
CALCUL DES CONTRAINTES A L’ELS
ENPC - Module BAEP3
M. Bué - Le 28/05/20
Coques ELS -2-
1. DONNEES
(i) Géométrie
- Plaque d’épaisseur « h »
- On se place au voisinage d’un nœud (élément infiniment petit))
- Aciers passifs : 4 nappes, supposées // aux axes locaux de la dalle.
A A cx inf
cx sup
X
Z Y
Ax sup
Ax inf
Ay inf Ay sup
X
h
Ax inf
Ax sup
Ay inf
Ay sup cy sup
cy inf
COUPE A-A
Coques ELS -3-
(ii) Efforts appliqués
Le nœud est soumis aux 6 efforts suivants :
- Fxx, Fyy et Fxy en kN/ml
Efforts de membrane
Convention de signes :
- Fxx et Fyy >0 en en traction
- Fxy >0 si tourné de +90° par rapport Fxx
- Mxx, Myy et Mxy en kN.m/ml
Moments de flexion et de torsion
Convention de signes :
- Mxx > 0 s’il tend la fibre sup (z > 0)
- Myy >0 s’il tend la fibre sup
- Mxy > 0 s’il crée un cisaillement xy > 0 en fibre
sup
z
y
x
Fxy
Mxy
Fxx Fxy
Fxy
Fxy
Fxx
Fyy
Fyy
Mxx Mxy
Mxx
Myy
Mxy
Myy
Mxy
Coques ELS -4-
2. HYPOTHESES DE CALCUL ELS
(i) Béton en compression
Comportement supposé élastique linéaire, caractérisé par
- Eb = Module d’Young
- = Coefficient de Poisson
Remarquer que l’hypothèse de linéarité n’est pas trop fausse tant que les
sollicitations dans le béton restent modérées (ce qui est généralement le cas
à l’ELS, puisqu’on limite les contraintes…).
(ii) Béton en traction – Remarque sur les 3 états possibles du béton
Le béton tendu est supposé fissuré => négligé dans la direction où il est
tendu.
En fait il existe 3 états possibles pour le béton :
Coques ELS -5-
[1] Totalement comprimé
(2 contraintes principales négatives)
= « état 0 fissures »
=> lois de l’élasticité, en contraintes planes.
Remarque – Théorie du cercle de Mohr :
- Centre du cercle
- Rayon du cercle
- Contraintes principales
Y
X
yy
xy
xx
t
n
xy
Compressions Tractions
n
2n
y yxx
2
xy
2
y yxx
2R
Rn2
Rn1
Coques ELS -6-
[2] Partiellement comprimé et tendu
(contraintes principales de signe contraire)
= « état 1 direction de fissure »
=> il subsiste des bielles de béton comprimé,
dont on peut calculer l’angle par rapport à la
direction X
Y
X
yy
xy
xx
t
xy
Compr. Tractions
n
BIELLE DE BETON
FISSURE
TRACTION COMPRESSION
x
y
X
F
yyxx
xy
yyxx
xy 2 arctg
2
1
2/2tg
Propriété du cercle de Mohr :
lorsque la facette réelle
tourne d’un angle , le point
représentatif de cette facette
sur le cercle de Mohr tourne
d’un angle -2
[3] Totalement tendu
(2 contraintes principales > 0)
= « état 2 directions de fissures »
=> béton négligé
(iii) Aciers passifs
Hypothèse de comportement élastique
linéaire :
avec a = b
et Ea = n . Eb où « n » est le coefficient
d’équivalence acier / béton.
Ea = 200 000 MPa
Eb = formule réglementaire
Coques ELS -7-
t Tractions
n
Y
X
yy
xy
xx
xy
aaa E
Coques ELS -8-
3. CHAMP DE DEFORMATION - PRINCIPE DU CALCUL
On fait l’hypothèse que le champ de déformation est linéaire en z :
(Le module d’Young Eb est introduit pour donner aux constantes une unité de
contraintes, et simplifier ultérieurement les équations ; même chose pour le facteur 2).
Noter que ceci est la généralisation du principe adopté pour les poutres,
consistant à dire que les sections planes restent planes => est linéaire en z.
Le principe du calcul est alors le suivant :
- le champ [] est défini par 6 constantes « ai » et « bi » à déterminer
- il existe des relations entre [] et [] (élasticité)
- il existe des relations entre [] et [F] (équations d’équilibre, intégration)
- Or le chargement [F] est défini par 6 efforts Fxx, Fxy, Fyy, Mxx, Mxy, Myy
(données du problème).
On dispose donc de 6 équations pour déterminer les 6 constantes inconnues
=> OK
zbaE
zbaE 2
zbaE
33yyb
22xyb
11xxb
Coques ELS -9-
4. MISE EN EQUATION
(i) Nécessité de discrétiser la coque en couches dans le sens de l’épaisseur
On ne connaît pas au départ ni la hauteur de béton fissuré, ni l’orientation des
fissures (angle + p/2). Or les déformations et les contraintes sont linéaires
en z => dépend de z…
Par ailleurs la fissuration est un phénomène non linéaire (relation <-> )
Pour résoudre le problème, on discrétise la coque en couches minces
successives ; chaque couche sera supposée être dans un état bien défini (soit
non fissuré, soit 1 direction de fissure d’angle donné, soit totalement fissuré)
Le nombre de couches peut être pris par exemple égal à 20.
x
zj
z
ej
y
x
4.1 Cas d’une couche de béton comprimé
Coques ELS -10-
(ii) Principe général
Il y a lieu de calculer successivement les grandeurs suivantes en fonction
des 6 inconnues ai et bi, i=1 à 3 : [] [] [F]
(iii) Calcul de []
- Hypothèse de contraintes planes : z =0
- Ecrivons les lois de l’élasticité :
Sous forme
matricielle :
et
ij
b
ij
b
ij trEE
1
xy
b
xy
xxy y
b
y y
y yxx
b
xx
E
1
E
1
E
1
yy
xx
2
b
yy
xx
yy
xx
byy
xx
1
1
1
E
1
1
E
1
Cas d’une couche de béton comprimé
xyb
xy1
E
sinon 0 ,ji si 1 ij
yyxx)tr(
Coques ELS -11-
Ceci est de la forme :
avec
Remplaçons les déformations par leur valeur :
d’où
Cas d’une couche de béton comprimé
xybxy
y yxxby y
y yxxbxx
T2E
PQE
QPE
12
1T et P
1Q
1
1P
22
zbaE
zbaE 2
zbaE
33yyb
22xyb
11xxb
zbPbQaPaQ
zbT aT
zbQbPaQaP
3131y y
22xy
3131xx
Coques ELS -12-
(iv) Calcul de [F] pour la couche de béton non fissuré
On doit maintenant calculer les efforts Fxx, Fxy, Fyy, Mxx, Mxy, Myy
s’exerçant dans la couche de béton considérée.
Par définition, on a :
Appelons zka et zkb les limites inf et sup de la couche k considérée.
Cas d’une couche de béton comprimé
dSF
dSF
dSF
xyxy
y yy y
xxxx
dSzM
dSzM
dSzM
xyxy
y yy y
xxxx
2
zzbQbPzzaQaP
dzzbQbPaQaPdzF
2
ka
2
kb31kakb31
zkb
zka
3131
zkb
zka
xxxx
2
zzbTzzaTdzF
2
ka
2
kb2kakb2
zkb
zka
xyxy
2
zzbPbQzzaPaQdzF
2
ka
2
kb31kakb31
zkb
zka
y yy y
Coques ELS -13-
De même :
On peut
remarquer que :
Cas d’une couche de béton comprimé
3
zzbQbP
2
zzaQaP
dzzbQbPzaQaPdzzM
3
ka
3
kb31
2
ka
2
kb31
zkb
zka
2
3131
zkb
zka
xxxx
3
zzbT
2
zzaTdzzM
3
ka
3
kb2
2
ka
2
kb2
zkb
zka
xyxy
3
zzbPbQ
2
zzaPaQdzzM
3
ka
3
kb31
2
ka
2
kb31
zkb
zka
y yy y
couche la de Inertie I3
zz
couche la de statique Moment M2
zz
couche la de Section Szz
k
3ka
3kb
k
2ka
2kb
kkakb
Coques ELS -14-
Cas d’une couche de béton comprimé
Alors on peut écrire de façon plus simple :
ce qui peut s’écrire sous forme matricielle :
k31k31yy
k2k2xy
k31k31xx
MbPbQSaPaQF
M bTS aTF
MbQbPSaQaPF
k31k31yy
k2k2xy
k31k31xx
IbPbQMaPaQM
I bTM aTM
IbQbPMaQaPM
3
2
1
3
2
1
kkkk
kk
kkkk
kkkk
kk
kkkk
ky y
xy
xx
y y
xy
xx
b
b
b
a
a
a
IP0IQMP0MQ
0IT00MT0
IQ0IPMQ0MP
MP0MQSP0SQ
0MT00ST0
MQ0MPSQ0SP
M
M
M
F
F
F
Coques ELS -15-
Cas d’une couche de béton comprimé
(v) Interprétation - Matrice de rigidité
On constate que cette matrice est symétrique. ll s’agit d’une matrice de
rigidité élémentaire [R]k, permettant de calculer les efforts s’exerçant dans
une couche [F]k en fonction de nos 6 inconnues [D] caractérisant la
déformation :
[F]k = [R]k . [D]
En sommant sur toutes les composants du système (= couches de béton +
aciers), on pourra écrire que la somme des efforts équilibrés par ces
composants est égale aux efforts extérieurs appliqués à la coque :
=>
avec
La matrice de rigidité globale de la coque s’obtient par sommation (on dit
aussi « assemblage ») des matrices de rigidité élémentaires.
ext
k k
kk F DR F
ext
k
k FDR
exttotal FDR k
ktotal RR
Coques ELS -16-
(i) Principe général
On pose
La nappe d’acier est supposée se trouver à la cote za
On fait l’hypothèse que l’acier n’exerce un effort que parallèlement à lui-même
Il y a lieu de calculer successivement les grandeurs suivantes en fonction des
6 inconnues ai et bi, i=1 à 3 :
[]x,y []acier []acier []x,y [F]
4.2 Cas d’un acier de direction « i »
i
n i
i
sin
cos n
i
i
sinS
cosC
Coques ELS -17-
(ii) Calcul de []acier
On désigne sous ce terme le tenseur des déformations, exprimé dans le
repère de l’acier = repère tourné d’un angle « i » par rapport au repère
général (O, x, y).
où [P] est la matrice de passage :
de la forme
Cas d’un acier de direction i
PPta
CS
SC
cos sin
sin- cosP
CS
SC
CS
SC
y yxy
xyxx
a
xx
xa
CSSC
CSSC
CS
SC
y yxyy yxy
xyxxxyxx
a
yy
2
xyxx
2
a SCS2C
Coques ELS -18-
(iii) Calcul de []acier
On considère que l’acier exerce un unique effort axial : a = Ea . a = n . Eb . a
=>
On remplace xx, xy et yy par leur valeur, d’où :
Sous forme matricielle, on a :
(iii) Calcul de []x,y
On revient maintenant dans le repère général (0, x, y), ce qui revient à effectuer
une rotation d’angle « -i » :
Cas d’un acier de direction i
yyxyxxba SCSCEn 22 2
aa zbSbCSbCaSaCSaCn 3
2
21
2
3
2
21
2
00
0a
a
CS
SC
cos sin-
sin cosPavec PPt
ii
ii
a)y,x(
Coques ELS -19-
On en déduit :
ce qui est la matrice cherchée, de la forme :
Remplaçons a par sa valeur ; on obtient :
Remarque – cas particulier d’aciers parallèles aux axes
Pour un acier de direction x, on a C = cos i = 1 et S = sin i = 0 ; donc :
ce qui correspond bien à ce qu’on doit trouver
Cas d’un acier de direction i
²SCS
CS²C
CS-
SC
0S
0C
CS-
SC
00
0
CS
S-C
aa
aa
a
a
a
yyxy
xyxx
z
z
z
3
4
2
3
1
22
3
4
2
3
1
22
3
3
2
22
1
3
3
3
2
22
1
3
3
22
2
3
1
4
3
22
2
3
1
4
bSbCSbSCaSaCSaSCn
bCSbSCbSCaCSaSCaSCn
bSCbSCbCaSCaSCaCn
ayy
axy
axx
0
0
zban
y y
xy
11axx
Coques ELS -20-
(iv) Calcul de [F]
L’effort dans l’acier vaut :
Pour obtenir les forces Fxx, Fxy et Fyy, il suffit donc de multiplier les
contraintes correspondantes par Ai.
Pour obtenir les moments Mxx, Mxy et Myy, il suffit de multiplier les
expressions de Fxx, Fxy et Fyy par zi où zi est la position de l’acier par rapport
à la mi-épaisseur de dalle.
On obtient les expressions suivantes :
On remarque que cette matrice est symétrique : c’est la « matrice de rigidité
élémentaire » correspondant à un acier.
Cas d’un acier de direction i
aiiai AF
3
2
1
3
2
1
2
i
42
i
32
i
22
i
4
i
3
i
22
2
i
32
i
222
i
3
i
3
i
22
i
3
2
i
222
i
32
i
4
i
22
i
3
i
4
i
4
i
3
i
224322
i
3
i
22
i
33223
i
22
i
3
i
42234
ia
Aiy y
xy
xx
y y
xy
xx
b
b
b
a
a
a
zSzCSzSCzSzCSzSC
zCSzSCSzCzCSzSCSzC
zSCSzCzCzSCSzCzC
zSzCSzSCSCSSC
zCSzSCSzCCSSCSC
zSCSzCzCSCSCC
An
M
M
M
F
F
F
Coques ELS -21-
On fait l’hypothèse qu’une telle couche ne reprend que des efforts de
compression parallèles aux bielles de béton.
Le comportement de cette couche peut donc être assimilé à celui d’un acier
fictif :
- de même section équivalente => (na . Ai) remplacé par ej dans les
équations ci-avant
- de direction parallèle à celle des fissures :
où est l’angle de la normale à la facette sur laquelle s’exerce la
contrainte principale de traction (2)
- de position zj = position du centre de la couche
4.3 Cas d’une couche de béton fissuré
x
zj
z
ej
y
x
2bielle
p
Coques ELS -22-
5. RESOLUTION - CALCUL ITERATIF
Le calcul s’effectue de la façon suivante :
- Assemblage (= addition) des matrices de rigidité élémentaires des
différentes couches de béton et des acier pour former la matrice de rigidité
globale du système [R] telle que
- Inversion du système pour calculer
où [D] correspond aux constantes a1, a2, a3, b1, b2, b3.
Le calcul est itératif :
- Lors du 1er calcul, on suppose que toutes les couches de béton sont non
fissurées ; après avoir calculé les 6 constantes, on peut calculer les
contraintes béton dans chaque couche, donc vérifier leur état
- au 2ème calcul, on construit une nouvelle matrice de rigidité en tenant
compte de la fissuration des couches de l’état précédent ; nouveau calcul
=> nouvelles contraintes => nouvelle fissuration
- etc., jusqu’à converger vers un état stable (= aucune modification de l’état
des couches ni de la direction des fissures entre 2 calculs successifs)
DRF
FRD1
Coques ELS -23-
6. STABILISATION DE L’ALGORITHME :
INTRODUCTION DE CISAILLEMENT DANS LES
BIELLES DE BETON
(i) Constat d’instabilité
Il se trouve qu’avec la matrice précédemment construite, l’algorithme est peu
stable : le terme b2 (partie linéaire en z de xy) devient important, et parfois
ne converge pas ; ceci correspond à une distorsion des bielles de béton…
Il ne s’agit pas d’un simple problème numérique, mais bel et bien d’une
conséquence du fait que le béton fissuré a été modélisé au moyen de bielles
comprimées, par nature instables dès que les efforts exercés ne sont plus
strictement parallèles aux bielles de béton (or c’est un peu ce qui se produit
lors des itérations successives…)
EFFORTS
APPLIQUES
BIELLE DE BETON
-> INSTABLE
Coques ELS -24-
(ii) Idée de cisaillement stabilisateur
Un cisaillement ’xy (dans le repère de la bielle) permettrait de stabiliser les
bielles de béton. On fait donc l’hypothèse qu’il se développe un cisaillement
de la forme :
où k est un coefficient à choisir. Ce cisaillement peut également s’interpréter
comme un cisaillement entre bielles de béton.
xybxy 'Ek'
Raideur additionnelle en
cisaillement
RAIDEUR EN COMPRESSION
BIELLE DE BETON
Noter que lorsqu’on aura convergé
vers la solution, les bielles seront
parallèles au repère principal (car à
chaque itération l’angle des bielles est
celui de la direction principale). Donc
’xy=0 => ’xy=0.
Le cisaillement stabilisateur va
disparaître de lui-même, et donc on
peut choisir k=1.
Cisaillement dans les bielles de béton
Coques ELS -25-
(iii) Mise en équation
On doit établir la relation entre les efforts équilibrés par ce cisaillement
additionnel (Fxx, Fxy, Fyy + moments) et la déformation [] :
[] ’ xy ’ xy [] [F et M]dans le repère dans le repère dans le repère
(x,y) de la bielle (x,y)
> Calcul de ’xy
On applique les formules de changement de base correspondant à une
rotation , où est l’angle de la bielle :
Cisaillement dans les bielles de béton
yyxy
xyxx
sinS
cosC et
CS
SCPavec PPt'
Coques ELS -26-
Le terme ’xy (hors diagonale) vaut :
> Calcul de ’xy
Sous forme matricielle, ce cisaillement additionnel peut s’écrire :
Cisaillement dans les bielles de béton
CSSC
CSSC
CS
SC
CS
SC
CS
SC'
y yxyy yxy
xyxxxyxx
y yxy
xyxx
22
xyxxyyxy SCCS'
yyxyxxbxybxy CSSCCSEE 22''
0'
'0'
xy
xy
Coques ELS -27-
> Calcul de []x,y
On effectue cette fois une rotation « - » pour revenir dans le repère (x,y)
En remplaçant ’xy par sa valeur, on obtient :
Cisaillement dans les bielles de béton
CS
SCPavec P'Pt
y yxy
xyxx
22
22
xy
xy
xy
xy
forme la de CS2SC
SCCS2'
SC
CS-
CS
SC'
CS
SC
0'
'0
CS
SC
xxy y
33
y y
222
xy
33
xxbxy
22
y y
33
xy
22
xxbxx
CSSCSCCSSCE
SCCSSCSCE2
Coques ELS -28-
> Calcul de [F]
Les forces correspondent à l’intégrale des contraintes, supposées ici
constantes sur l’épaisseur de la couche (épaisseur ei, position zi) donc :
Il ne reste plus qu’à remplacer les déformations par leur valeur :
Cisaillement dans les bielles de béton
y yiiy y
xyiixy
xxiixx
y yiy y
xyixy
xxixx
zeM
zeM
zeM
eF
eF
eF
i33yyb
i22xyb
i11xxb
zbaE
zbaE 2
zbaE
Coques ELS -29-
Pour simplifier l’écriture, on adopte les notations suivantes :
Alors on a :
où [Rt] est la matrice de rigidité correspondant à l’effet du cisaillement
stabilisateur.
Il y a lieu d’ajouter cette matrice de rigidité élémentaire pour chaque couche
de béton en état « 1 fissure », lors de l’assemblage de la matrice de rigidité
globale du système.
Cisaillement dans les bielles de béton
5) à 1(k
zfh
5) à 1(k
zfg
Sef
CSef
SCef
SCef
Cef
i2
kkikk
4
i5
3
i4
22
i3
3
i2
4
i1
t
34233423
42531424253142
34233423
34233423
42531424253142
34233423
h2hh2g2gg2
h2/hh2/hg2/gg2/g
h2hhh2g2ggg2
g2gg2f2fff2
g2/gg2/gff2/ff2/fff
g2ggg2f2fff2
R
hg
hhhggg
g
ggg
Coques ELS -30-
7. EXEMPLES DE CALCUL
> Feuille excel
On considère une coque de 0.80m d’épaisseur, ferraillée avec des armatures
HA 20 e=20cm sur les 2 faces et dans les 2 sens.
Elle est soumise à un effort de cisaillement : Fxy=1 MN/ml
Nous obtenons les résultats suivants.
7.1 Premier exemple : cisaillement simple
Fxy=1 MN/ml
1 MN/ml
Coques ELS -31-
Exemple de calcul : cisaillement simple
VERIFICATION ELS D'UNE PLAQUE EN BETON ARME
Titre : ENPC
Cisaillement simple
DONNEES RESULTATSModification d'état = 0
Béton Epaisseur = 0.80 m (0 => Ok; 1 => itération nécessaire)
fck = 30.0 MPa Variation maxi d'angle de fissure = 0.00 degrés
Ecm = 32 837 MPa
= 0.00 N° z moyen Etat 1 2 Angle fiss
(m) ou 1 (degrés)
Aciers passifs introduits sous la forme : n barres phi …/m Face sup 0.400 1 2.50 -
n° Section position Couche 1 0.380 1 2.50 - 135.0
nombre/ml phi (mm) cm2/ml % face ext % axe 2 0.340 1 2.50 - 135.0
1 = Ax sup 5 20 15.7 0.052 0.348 3 0.300 1 2.50 - 135.0
2 = Ay sup 5 20 15.7 0.077 0.323 4 0.260 1 2.50 - 135.0
3 = Ax inf 5 20 15.7 0.052 -0.348 5 0.220 1 2.50 - 135.0
4 = Ay inf 5 20 15.7 0.077 -0.323 6 0.180 1 2.50 - 135.0
7 0.140 1 2.50 - 135.0
Ea = 200 000 MPa 8 0.100 1 2.50 - 135.0
na = 6.09 9 0.060 1 2.50 - 135.0
10 0.020 1 2.50 - 135.0
Efforts appliqués (>0 en traction) 11 -0.020 1 2.50 - 135.0
Fxx = 0.0 kN/ml 12 -0.060 1 2.50 - 135.0
Fyy = 0.0 kN/ml 13 -0.100 1 2.50 - 135.0
Fxy = 1000.0 kN/ml 14 -0.140 1 2.50 - 135.0
Mxx = 0.0 kN.m/ml 15 -0.180 1 2.50 - 135.0
Myy = 0.0 kN.m/ml 16 -0.220 1 2.50 - 135.0
Mxy = 0.0 kN.m/ml 17 -0.260 1 2.50 - 135.0
18 -0.300 1 2.50 - 135.0
Convention de signes pour l'affichage des contraintes 19 -0.340 1 2.50 - 135.0
- béton : > 0 en compression 1 = compression maxi 20 -0.380 1 2.50 - 135.0
2 = compression mini Face inf -0.400 1 2.50 -
- acier : > 0 en traction 1 = X sup 0.348 1 318.31 - 0.0
2 = Y sup 0.323 1 318.31 - 90.0
3 = X inf -0.348 1 318.31 - 0.0
4 = Y inf -0.323 1 318.31 - 90.0
SETEC TPI Cl-Plaq.xls 05/04/13 PLAQ-ELS v.3
Coques ELS -32-
> Interprétation
- Vérifions la contrainte dans les aciers (318 MPa) :
- Efforts dans les directions à 45° : F()=C².Fxx+S².Fyy+2CS.Fxy
Doncsur la facette +45° : F = 1 MN/ml (traction)
sur la facette -45° : F = -1 MN/ml (compression)
- Effort dans les armatures : A() = C².Ax + S².Ay
Par symétrie Ax = Ay => A() = Ax = Ay
- Ax = HA 20 e=20 sur chaque face soit 2 x 3.14 / 0.20 = 31.4 cm²/ml
- a = 1 MN / 31.4 cm² = 318 MPa OK
Exemple de calcul : cisaillement simple
Fxy=1 MN/ml
T=1 MN/ml
C=1 MN/ml
Coques ELS -33-
- Vérifions la contrainte dans le béton (2.5 MPa) :
Le béton subit :
* l’effet de la traction T = 1 MN/ml qui engendre la traction des aciers, mais
celles-ci viennent à leur tour comprimer le béton => compression 1 MN/ml
* ainsi que l’effet de la compression C = 1 MN/ml
- Au total : Nb = 2 MN/ml pour une épaisseur de 0.80m
=> b = 2 / 0.8 = 2.5 MPa OK
Exemple de calcul : cisaillement simple
Coques ELS -34-
> Feuille excel
On applique cette fois un moment Mxy = 250 kN.m/ml
7.2 Deuxième exemple : torsion simple
Mxy=0.25 MN/ml
0.25 MN/ml
Coques ELS -35-
Exemple de calcul : torsion simple
VERIFICATION ELS D'UNE PLAQUE EN BETON ARME
Titre : ENPC
Torsion simple
DONNEES RESULTATSModification d'état = 0
Béton Epaisseur = 0.80 m (0 => Ok; 1 => itération nécessaire)
fck = 30.0 MPa Variation maxi d'angle de fissure = 0.00 degrés
Ecm = 32 837 MPa
= 0.00 N° z moyen Etat 1 2 Angle fiss
(m) ou 1 (degrés)
Aciers passifs introduits sous la forme : n barres phi …/m Face sup 0.400 1 13.11 -
n° Section position Couche 1 0.380 1 10.65 - 135.0
nombre/ml phi (mm) cm2/ml % face ext % axe 2 0.340 1 5.74 - 135.0
1 = Ax sup 5 20 15.7 0.052 0.348 3 0.300 1 0.83 - 135.0
2 = Ay sup 5 20 15.7 0.077 0.323 4 0.260 2 - - -
3 = Ax inf 5 20 15.7 0.052 -0.348 5 0.220 2 - - -
4 = Ay inf 5 20 15.7 0.077 -0.323 6 0.180 2 - - -
7 0.140 2 - - -
Ea = 200 000 MPa 8 0.100 2 - - -
na = 6.09 9 0.060 2 - - -
10 0.020 2 - - -
Efforts appliqués (>0 en traction) 11 -0.020 2 - - -
Fxx = 0.0 kN/ml 12 -0.060 2 - - -
Fyy = 0.0 kN/ml 13 -0.100 2 - - -
Fxy = 0.0 kN/ml 14 -0.140 2 - - -
Mxx = 0.0 kN.m/ml 15 -0.180 2 - - -
Myy = 0.0 kN.m/ml 16 -0.220 2 - - -
Mxy = 250.0 kN.m/ml 17 -0.260 2 - - -
18 -0.300 1 0.83 - 45.0
Convention de signes pour l'affichage des contraintes 19 -0.340 1 5.74 - 45.0
- béton : > 0 en compression 1 = compression maxi 20 -0.380 1 10.65 - 45.0
2 = compression mini Face inf -0.400 1 13.11 -
- acier : > 0 en traction 1 = X sup 0.348 1 219.34 - 0.0
2 = Y sup 0.323 1 219.34 - 90.0
3 = X inf -0.348 1 219.34 - 0.0
4 = Y inf -0.323 1 219.34 - 90.0
SETEC TPI Cl-Plaq.xls 05/04/13 PLAQ-ELS v.3
Coques ELS -36-
> Interprétation
Le moment de torsion génère :
- un cisaillement positif en face sup (analogue au Fxy de l’exemple
précédent)
- un cisaillement négatif en face inf
Il est donc logique de retrouver un angle de fissure de 135° en face sup, et
de 45° en face inf.
Exemple de calcul : torsion simple
Fxy
T
C
Coques ELS -37-
> Etat « 2 directions de fissures » en partie centrale
- Les 4 nappes d’armatures subissent la même traction (219 MPa), ce qui
correspond à une extension globale.
- Mais en partie centrale, il n’y a plus suffisamment de cisaillement pour
recomprimer des bielles de béton => couches totalement tendues
C’est ce type de phénomène qui explique que lorsqu’on vérifie une section
quelconque à la torsion, il y a lieu de considérer une section creuse fictive :
en effet le centre de la section est soumis à une traction => il est fissuré, et
ne participe pas à la reprise de la torsion.
Extrait du § 6.3.2 de l’EC2 :
Exemple de calcul : torsion simple
Coques ELS -38-
> Feuille excel
On considère le cas suivant :
- compression de 800 kN/ml et flexion 400 kN.m/ml dans la direction X
- traction 200 kN/ml et flexion 200 kN.m/ml dans la direction Y
- un cisaillement et un moment de torsion sont également appliqués
7.3 Troisième exemple : cas quelconque
VERIFICATION ELS D'UNE PLAQUE EN BETON ARME
Titre : ENPC
Cas quelconque : compression + forte flexion en X ; traction + faible flexion en Y
DONNEES RESULTATSModification d'état = 0
Béton Epaisseur = 0.80 m (0 => Ok; 1 => itération nécessaire)
fck = 30.0 MPa Variation maxi d'angle de fissure = 0.02 degrés
Ecm = 32 837 MPa
= 0.00 N° z moyen Etat 1 2 Angle fiss
(m) ou 1 (degrés)
Aciers passifs introduits sous la forme : n barres phi …/m Face sup 0.400 0 8.60 4.77
n° Section position Couche 1 0.380 0 7.84 3.44 166.8
nombre/ml phi (mm) cm2/ml % face ext % axe 2 0.340 0 6.32 0.79 165.8
1 = Ax sup 5 20 15.7 0.052 0.348 3 0.300 1 4.81 - 165.1
2 = Ay sup 5 20 15.7 0.077 0.323 4 0.260 1 3.29 - 164.6
3 = Ax inf 5 20 15.7 0.052 -0.348 5 0.220 1 1.78 - 164.2
4 = Ay inf 5 20 15.7 0.077 -0.323 6 0.180 1 0.27 - 163.9
7 0.140 2 - - -
Ea = 200 000 MPa 8 0.100 2 - - -
na = 6.09 9 0.060 2 - - -
10 0.020 2 - - -
Efforts appliqués (>0 en traction) 11 -0.020 2 - - -
Fxx = -800.0 kN/ml 12 -0.060 2 - - -
Fyy = 200.0 kN/ml 13 -0.100 2 - - -
Fxy = 150.0 kN/ml 14 -0.140 2 - - -
Mxx = -400.0 kN.m/ml 15 -0.180 2 - - -
Myy = -200.0 kN.m/ml 16 -0.220 2 - - -
Mxy = 50.0 kN.m/ml 17 -0.260 2 - - -
18 -0.300 2 - - -
Convention de signes pour l'affichage des contraintes 19 -0.340 2 - - -
- béton : > 0 en compression 1 = compression maxi 20 -0.380 2 - - -
2 = compression mini Face inf -0.400 2 - -
- acier : > 0 en traction 1 = X sup 0.348 1 -38.45 - 0.0
2 = Y sup 0.323 1 -0.25 - 90.0
3 = X inf -0.348 1 133.62 - 0.0
4 = Y inf -0.323 1 250.12 - 90.0
SETEC TPI Cl-Plaq.xls 05/04/13 PLAQ-ELS v.3
Coques ELS -39-
Exemple de calcul : cas quelconque
VERIFICATION ELS D'UNE PLAQUE EN BETON ARME
Titre : ENPC
Cas quelconque : compression + forte flexion en X ; traction + faible flexion en Y
DONNEES RESULTATSModification d'état = 0
Béton Epaisseur = 0.80 m (0 => Ok; 1 => itération nécessaire)
fck = 30.0 MPa Variation maxi d'angle de fissure = 0.02 degrés
Ecm = 32 837 MPa
= 0.00 N° z moyen Etat 1 2 Angle fiss
(m) ou 1 (degrés)
Aciers passifs introduits sous la forme : n barres phi …/m Face sup 0.400 0 8.60 4.77
n° Section position Couche 1 0.380 0 7.84 3.44 166.8
nombre/ml phi (mm) cm2/ml % face ext % axe 2 0.340 0 6.32 0.79 165.8
1 = Ax sup 5 20 15.7 0.052 0.348 3 0.300 1 4.81 - 165.1
2 = Ay sup 5 20 15.7 0.077 0.323 4 0.260 1 3.29 - 164.6
3 = Ax inf 5 20 15.7 0.052 -0.348 5 0.220 1 1.78 - 164.2
4 = Ay inf 5 20 15.7 0.077 -0.323 6 0.180 1 0.27 - 163.9
7 0.140 2 - - -
Ea = 200 000 MPa 8 0.100 2 - - -
na = 6.09 9 0.060 2 - - -
10 0.020 2 - - -
Efforts appliqués (>0 en traction) 11 -0.020 2 - - -
Fxx = -800.0 kN/ml 12 -0.060 2 - - -
Fyy = 200.0 kN/ml 13 -0.100 2 - - -
Fxy = 150.0 kN/ml 14 -0.140 2 - - -
Mxx = -400.0 kN.m/ml 15 -0.180 2 - - -
Myy = -200.0 kN.m/ml 16 -0.220 2 - - -
Mxy = 50.0 kN.m/ml 17 -0.260 2 - - -
18 -0.300 2 - - -
Convention de signes pour l'affichage des contraintes 19 -0.340 2 - - -
- béton : > 0 en compression 1 = compression maxi 20 -0.380 2 - - -
2 = compression mini Face inf -0.400 2 - -
- acier : > 0 en traction 1 = X sup 0.348 1 -38.45 - 0.0
2 = Y sup 0.323 1 -0.25 - 90.0
3 = X inf -0.348 1 133.62 - 0.0
4 = Y inf -0.323 1 250.12 - 90.0
SETEC TPI Cl-Plaq.xls 05/04/13 PLAQ-ELS v.3
Coques ELS -40-
> Interprétation
On constate qu’il existe successivement des couches de béton :
- non fissuré en partie sup (« 0 fissures »)
- puis « 1 direction de fissure »
- puis « 2 directions de fissures »
En partie sup, on voit que les fissures ont un angle de l’ordre de 165° (proche
de 180°), correspondant par conséquent à l’effet des efforts selon Y.
Ceci s’explique de la façon suivante :
- dans le sens X, on applique une forte compression + flexion => l’axe
neutre est assez bas dans la section (hauteur fissurée assez faible)
- dans le sens Y, on applique en revanche une traction => l’axe neutre se
trouve plus haut, et c’est lui qu’on voit apparaître entre les couches 2 et
3 (transition entre « tout comprimé » et « une direction de fissure »)
Puis on rencontre l’axe neutre correspondant aux efforts appliqués selon X,
entre couches 6 et 7, correspondant à la transition entre « 1 direction de
fissure » et « tout fissuré ».
Exemple de calcul : cas quelconque