Calcul et sens des opérations au cycle 2

Calcul et sens des opérations au cycle 2

Circonscriptions de Saint-Martin-de-Crau et Saint-Rémy

mercredi 10 février 2021

Cécile [email protected]

1

« Des résolu*ons de problèmes contextualisés : dénombrer des collec-ons, mesurer des grandeurs, repérerun rang dans une liste, prévoir des résultats d’ac-ons portant sur des collec-ons ou des grandeurs (les comparer, les réunir, les augmenter, les diminuer, les partager en parts égales ou inégales, chercher combien de fois l’une est comprise dans l’autre, etc.). Ces ac-ons portent sur des objets tout d’abord matériels puis évoqués à l’oral ou àl’écrit ; le travail de recherche et de modélisa-on sur ces problèmes permet d’introduire progressivement les quatre opéra-ons (addi-on, soustrac-on, mul-plica-on, division). »

BO du 30/07/20

2

TITRE DE LA PRÉSENTATION> TITRE DE LA PARTIE

1. Les opérations du champ additif

3


a. L’addition

4

L’addition traduit un ajout, une augmentation, un gain.

L’addition : principal sens

5

Ecrire un problème dont la solution serait :

54 + 18 = 72

L’addition

6

- La réunion de n collections d’éléments

- Le résultat d’une transformation positive, le résultat d’un ajout

- L’état initial d’une transformation négative, la quantité de départ avant un retrait

- …

L’addition sert à trouver :

7


b. La soustraction

8

- La recherche d’un reste

- La recherche d’un complément

- La recherche d’une différence, d’un écart (cas des comparaisons)

La soustraction : sens principaux

9


34 - 15 = 19

La soustraction

10

- Une partie d’une collection

- Le résultat d’une transformation négative(sens du retrait)

- L’état initial d’une transformation positive

- L’écart entre 2 nombres, entre 2 moments, la valeur d’une comparaison

- …

La soustraction sert à trouver :

11


Un petit détour….

De la manipulation à l’abstraction

Manipuler en mathématiques

• Manipulation de matériel indispensable pour passerà l’abstraction

• Rester au niveau de la manipulation, = pas de mathématiques car les mathématiques sont abstraites

=> Poser des contraintes, empêcher la manipulationpour accéder aux mathématiques

Manipuler en mathématiques, accéder aux concepts

• Manipuler pour se représenter le problème, comprendre la situation

• Bloquer l’accès au matériel pour passer à la représentation et travailler avec les objets mathématiques, modéliser

• Retour à la manipulation pour valider

14

Objectif de l’enseignant

• Favoriser le passage d’une activité avec des objets,du matériel à une activité intellectuelle.

• Rendre les élèves actifs intellectuellement

15

En résuméConfronter progressivement les élèves au problème

• Bien distinguer la phase d'appropriation de la situation contextualisée et la phase de confrontationau problème.

• Présentation de la situation telle que chaque élève peut explorer la situation et en comprendre les caractéristiques sans rencontrer d'obstacles

• Ensuite, modifier certaines variables, créer l'énigme pour placer l'enfant devant l'inadéquation de sa réponse précédente

L'élève est alors en situation d'apprentissage parrésolution de problème

Les registres sémiotiques pour passer de la manipulation à l’abstraction

• Les langages : oral, représentations analogiques des quantités (doigts, constellations du dé), dessin, schéma. => utiliser des représentations et verbaliser.

• Evocation de la situation en l’absence des objets

• Pour résoudre des problèmes en maths, on peut essayer, bricoler… et que le professeur n’attend pas seulement la procédure experte (l’opération)

Quelques découvertes et principes (1)

• Donner confiance pour aborder des situations nouvelles

• Faire prendre conscience de la capacité à raisonner en l’absence d’objets


• Prendre le temps des situations deréférence et accompagner langagièrement

• Progressivement, décontextualiser etrecontextualiser


• L’enjeu de la lecture de l’énoncé duproblème est la construction d’unereprésentation mentale de la situation

• Progression basée sur les différentescatégories de problèmes

Progressivité dans la construction du sens des opérations

Etaler dans le temps :

1. des situations résolue à l’aide deprocédures mettant en jeu du matériel,

2. des représentations de ce matériel,

3. des nombres,

4. des opérations de plus en plus expertes …

« L’étude des quatre opérations (addition,soustraction, multiplication, division)commence dès le début du cycle à partir deproblèmes qui contribuent à leur donner dusens, en particulier des problèmes portant surdes grandeurs ou sur leurs mesures. »

BOEN du 30/07/20

22

Un problème est généralement défini comme unesitua?on ini?ale, avec un but à aCeindre,demandant au sujet d'élaborer une suited'ac?ons ou d'opéra?ons pour aCeindre ce but.

Jean Brun dans Math-école n° 141

Les 4 grands types de problèmes du champ additif étudiés au cycle 2

• transformation de collection (état initial, final, transformation)- j’ai 8 billes, j ’en perds 2, combien en ai-je à la fin?- j’avais 7 billes, j’en ai maintenant 10, combien m’en a-t-on donné? …

• transformation de position (idem)- je suis sur la case 8, je recule de 2, sur quelle case suis-je à

l’arrivée? …

• réunion/séparation de collections (partie ou tout avec 2 ou 3)

- j’ai 2 billes dans une main et 6 dans l ’autre, combien en ai-je en tout?

• comparaison d ’états (état ou comparaison)- tu as 8 billes, j’ai 2 billes de moins que toi, combien ai-je de billes? …

Une situation de référence : le jeu de la boîte

À l'intérieur d'une boîteopaque, l'enseignant metn billes :

ñ 1 à 5 en GSñ 1 à 10 en CPñ 1 à 20 en début CE1

Il annonce ce nombre.

Il ajoute (ou enlève) des billes de :

ñ 1 à 3 en GSñ 1 à 5 en CPñ 1 à 10 en CE1

En disant ce qu'il fait.

Une situa5on de référence : le jeu de la boîte

La boîte est fermée.

Les élèves doivent écrire lenombre de billes qu'il y adans la boîte.


An#cipa#on

Après ouverture de laboîte, un enfant vérifieen comptant les billes


n, p et q sont choisis tels que la vérification soit possible sans être fastidieuse.


Deux ajouts successifsou

Deux retraits successifsou

Ajout puis retraitou

Retrait puis ajout

Dans la boîte, l'enseignant met nbilles et annonce ce nombre.Puis il ajoute ou enlève des billessans dire combien (quelquesunités).Il annonce alors qu' il y a p billesdans la boîte.


Les élèves doivent écrirecombien de billes ont étéajoutées ou enlevées.

Un enfant vérifie enajoutant ou enlevant desbilles jusqu'à ce qu'il y enait n dans la boîte.


Jeu de la boîteNumération

• On reprend les jeux précédents avec :

ñ Des jetons unitésñ Des barres « dizaines »ñ Éventuellement des plaques « centaines »

à la place des billes.

Jeu de l'autobus

• Variante du jeu de la boîte sans le matériel pour mimer lasitua?on et pour vérifier.

• L'enseignant annonce le nombre de passagers dansl'autobus.

• À chaque arrêt, des passagers montent ; d'autresdescendent.

• Les élèves doivent écrire le nombre de passagers lorsquel'autobus repart.

Jeu de l'autobus

• Les élèves sont sollicités de manière très rapide etdoivent rester très concentrés.

• On travaille avec de « pe?ts » nombres (au moins audébut).

• Il est important de ritualiser la situa?on pour ne pasrenouveler sans cesse le travail de représenta?onmentale de celle-ci en changeant sans cesse d'habillage.

Une situa5on de référence : la piste

Je suis sur la case « x ».Je tire « y » avec un dé et« reculer » (« avancer ») avecl’autre.Sur quelle case vais-je devoirplacer mon pion ?

Une situation de référence : la boîte (2)

Il y a 19 jetons rouges et 15 jetons bleus dans la boîte.Combien y a-t-il de jetons en tout dans la boîte ?

http://operation.maths.free.fr/videos/MP4CP/E%20122%20addition.mp4

http://operation.maths.free.fr/videos/MP4CP/E%20122%20addition.mp4

Une situa5on de référence : les enveloppes

Dans l’enveloppe A, il y a 25 jetons.Dans l’enveloppe B, il y en a 34.Combien y a-t-il de jetons en plus dans l’enveloppe B ?

A B

De la manipulation vers l’abstraction en passant par des langages : utiliser des représentations et verbaliser

• « Ces jetons, c’est comme ceux, c’est à la place de ceuxqui sont dans la boîte », « Les doigts de cette main, c’estcomme les voitures qui étaient dans la boîte au début, ilsreprésentent les voitures qui étaient dans la boîte audébut » …

• Représentations « papier » très ressemblantes, dans unpremier temps, aux objets avec lesquels a été effectuée lamanipulation et nouvel accompagnement langagier (« cetrait, c’est comme… », « ce rond, c’est à la place de… »,« ce petit carré, il représente une voiture… » )


Champ additif et calcul mental

o Lier calcul et raisonnement en mettant en jeu les propriétés des nombres et des opérations

o Susciter la réflexion sur le calcul

o Mettre en évidence la diversité des façons possibles d’aborder un calcul

o Susciter des formulations, des généralisations, des preuves

Les objectifs du calcul mental

Automatisation

des procédures

« No-on » de nombre :- Habileté dans la décomposi-on - Es-ma-on

Mémorisa)on des faits

numériques

12 = 10 + 212 = 2 x 6 12 = 2 x 2 x 39 = 10 – 1 …

…

Passage à la dizaine supérieureDistributivité…

DoublesCompléments à 10Tables add. et mult.

C’est à l’école qu’ils s’apprennent (et se révisent à la maison).

• Tables d’addition (de 0 à 10)

• Compléments à 10

• Doubles et moitiés

Mémoriser des faits numériques

Objectif : à connaître du tac au tac=> connaître « par cœur » (mémorisation)

Construction du répertoire et trace écrite dans cahier, affichage… dès le CP, à poursuivre au CE1 et à renforcer au CE2 avec travail sur les compléments à la dizaine…

Interrogation fréquente, jeux…

« Les compléments à 10, ça s’enseigne ! »

1/9

Organisation fonctionnelle de l’ÉSPÉ

Version Avril 2014 pour mise en œuvre rentrée 2014

1 Préambule

Le présent document a pour objectif de définir l’organisation fonctionnelle de l’ÉSPÉ en précisant les différents niveaux de coordination, ce qui est attendu de chaque responsable ainsi que les chaines de prise de décisions. Il définit également les articulations entre les organisations pédagogiques et de recherche et les organisations administratives et techniques de l’ÉSPÉ.

En ce qui concerne les services administratifs et techniques, il ne définit pas les organisations hiérarchiques des différents services, ni les relations fonctionnelles avec les services centraux de l’université.

2 La direction

2.1 Bureau de la direction

Le bureau de la direction est chargé de la mise en œuvre de l’ensemble de la politique de l’ÉSPÉ. Il travaille en concertation avec la gouvernance de l’université et assure la représentation de l’ÉSPÉ dans les instances centrales de l’université (CA, CS et CFVU, notamment).

Jacques GinestiéDirecteur

Pascale Brandt-Pomares

Directrice adjointePolitique générale

Frédéric Saujat

Directeur adjoint Recherche innovation

Vincent Valéry

Directeur adjointOpérationnalisation offre de formation & communication

Jean-François Paba

Directeur adjointOrganisation de l’offre de

formation

Marie-France Salogne

Responsable des services administratifs

Laurence Espinassy

Responsable Collège ALLSH

Marjolaine Chatoney

Responsable Collège Sciences

Organigramme fonctionnel 1 : bureau de la direction

2.2 Le pôle administratif de direction

Le pôle administratif de direction est chargé du soutien aux fonctions de direction en matière de secrétariat de direction, de communication, de coordination de la politique patrimoniale et logistique et de la vie institutionnelle de l’ÉSPÉ. Il assure les relations avec les directions générales de l’université.


Responsable des services administratifs et

techniques

Patricia Scopetta

Responsable secrétariat de direction

Heidi Osterweilder

Attachée de communication

Boumédienne Feghoul

Coordonnateur patrimoine

Ulrick Marsan

Responsable vie institutionnelle

Directeurs-adjoints

Organigramme fonctionnel 2 : Pôle administratif direction

49

Les cases voisines

523

53

3

5

36

54

6

55

12

61

54

5

3

27

46

6

4

4

423

16

5

31

44

44

42

44

44

3

5

33

3 57

23

09

1

3

137 6

12

346 4

2

3 33

3

42

3

30 4 3

84 1

4

44

1 4 2 45

Colorier de la même couleur 3 cases voisines dont la somme est 10

50

Labynombre

ObjecSf : à connaître du tac au tac=> connaître « par cœur » (mémorisaSon)=> retrouver très très très vite : pour cela entraîner

Appui sur les doubles6 + 7 = 6 + 6 + 1

Appui sur les compléments à 104 + 9 = 3 + 1 + 9

Propriété de la commutaSvité de l’addiSon 7 + 6 = 6 + 7

« Les tables d’addiCon, ça s’enseigne ! »

1/9

Organisation fonctionnelle de l’ÉSPÉ

Version Avril 2014 pour mise en œuvre rentrée 2014

1 Préambule

Le présent document a pour objectif de définir l’organisation fonctionnelle de l’ÉSPÉ en précisant les différents niveaux de coordination, ce qui est attendu de chaque responsable ainsi que les chaines de prise de décisions. Il définit également les articulations entre les organisations pédagogiques et de recherche et les organisations administratives et techniques de l’ÉSPÉ.

En ce qui concerne les services administratifs et techniques, il ne définit pas les organisations hiérarchiques des différents services, ni les relations fonctionnelles avec les services centraux de l’université.

2 La direction

2.1 Bureau de la direction

Le bureau de la direction est chargé de la mise en œuvre de l’ensemble de la politique de l’ÉSPÉ. Il travaille en concertation avec la gouvernance de l’université et assure la représentation de l’ÉSPÉ dans les instances centrales de l’université (CA, CS et CFVU, notamment).

Jacques GinestiéDirecteur

Pascale Brandt-Pomares

Directrice adjointePolitique générale

Frédéric Saujat

Directeur adjoint Recherche innovation

Vincent Valéry

Directeur adjointOpérationnalisation offre de formation & communication

Jean-François Paba

Directeur adjointOrganisation de l’offre de

formation


Responsable des services administratifs

Laurence Espinassy

Responsable Collège ALLSH

Marjolaine Chatoney

Responsable Collège Sciences

Organigramme fonctionnel 1 : bureau de la direction

2.2 Le pôle administratif de direction

Le pôle administratif de direction est chargé du soutien aux fonctions de direction en matière de secrétariat de direction, de communication, de coordination de la politique patrimoniale et logistique et de la vie institutionnelle de l’ÉSPÉ. Il assure les relations avec les directions générales de l’université.


Responsable des services administratifs et

techniques

Patricia Scopetta

Responsable secrétariat de direction

Heidi Osterweilder

Attachée de communication

Boumédienne Feghoul

Coordonnateur patrimoine

Ulrick Marsan

Responsable vie institutionnelle

Directeurs-adjoints

Organigramme fonctionnel 2 : Pôle administratif direction

52

Les dominos

11 + 2 8 + 7 11 + 4 9 + 8 15 + 2 16 + 4

8 + 7 9 + 2 6 + 5 5 + 7 6 + 6 4 + 8

10 + 10 12 + 3

6 + 6 12 + 3

6 3 + 4 5 + 2 6 + 8 7 + 7 5 + 3

9 + 2 7 + 9 6 + 8 7 + 6 10 + 3 9 + 7

7 + 1 6 + 5

8 + 8 9 + 4

53

Les quadriminos

9 + 4

5 + 6 8 + 7

4 + 6

6 + 3

5 + 3 7 + 3

4 + 7

6 + 4

5 + 5 8 + 9

5 + 8

6 + 4

10 + 7 8+ 4

6 + 9

6 + 4

6+ 6 8 + 7

4 + 3

6 + 5

5 + 2 7 + 4

4 + 8

11 + 4

10 + 5 8+ 4

9 + 5

5 + 2

6+ 6 4 + 7

4 + 6

5 + 7

6 + 3 7 + 8

7 + 6

9 + 1

5 + 10 8 + 8

8 + 6

7 + 7

10 + 6 8+ 3

6 + 4

7 + 3

6+ 5 7 + 5

4 + 6

Les quadriminos séparés sont donnés.

Il faut reformer le carré en posant côte à côte les sommes qui ont le même résultat

Vous disposez chacun d’un carton avec un nombre écrit en

rouge d’un côté et un nombre écrit en bleu de l’autre.

L’enseignant appelle le double de ...

Si ce double est mon nombre rouge, je me lève et je dis:

« j’appelle le nombre double de ... » en lisant mon nombre

bleu et on continue ...

Consigne : le double de…

54

Automatiser des procédures

• Complément à la dizaine, à la centaine supérieure

• Décompositions additives de 10 et 100

• Propriété de commutativité de l’addition

9 + 2 = 2 + 9

• Propriété d’associativité de l’addition

9 + 2 = 9 + 1 + 1

• Additions, soustractions

Objectifs : compter ou décompter de n en n

Modalités : à l’écrit ou à l’oralquels avantages, quels inconvénients ?

Mise en commun : explicitation des procédures avec comparaison de l’efficacité et économie

Les jeux de furet

56

57

Le calcul mental entre sens et technique, D. Butlen. PUF-C

Situa-ons inspirées d’Ermel CP, CE1, CE2 et Grand N°55

• ExpérimentaCon de la suite numérique :

Affichage sur l’écran de la suite des nombres :- en comptant ou en décomptant- à parSr d’un nombre donné A

InterdicSon de la touche «qui efface»=> réaliser le changement d’affichage en faisant des opéraSons

La suite numérique de n en n

Furet et calculatrice

58

50 + 80

Additionner un nombre entier de dizaines

Appui sur les propriétés de la numéra1on

50 + 80 c’est 5 dizaines + 8 dizainesC’est 13 dizaines, c’est 130

Décomposi1on d’un nombre et appui sur les compléments à 10

50 + 80 = 50 + 50 + 30 = 100 + 30 = 13050 + 80 = 30 + 20 + 80 = 30 + 100 = 130

50 + 80

Une semaine sur la procédure 2Une semaine sur la procédure 1

ADAPTATION

Une semaine où l’élève a le choix de l’uSlisaSon …

Décomposi)on et appui sur les compléments à 10

Appui sur les propriétés de la numération

25 + 17

Additionner deux nombres entiers

25 + 17 = 25 + 10 + 7 = 35 + 7 = 42

25 + 17

25 + 17 = 20 + 5 + 10 + 7 = 30 + 12 = 42

25 +17 = 25 + 20 – 3 = 45 – 3 = 42

Décomposition du 2nd nombre

Décomposi1on des 2 nombres

Ajout de dizaine et soustraction

Passage à la dizaine supérieure

25 + 17 = 25 + 5 + 12 = 30 + 12 = 4225 + 17 = 25 + 15 + 2 = 40 + 2 = 4225 + 17 = 2 + 23 + 17 = 2 + 40 = 42

64Titre

Le calcul mental entre sens et technique, D. Butlen. PUF-C

Jeu d’ajout ou retrait d’unités à un nombre donné. Cela permet de lier le travail sur la numéraSon à des techniques de calcul mental.But : ajouter ou soustraire un nombre de milliers, de centaines…avancer/reculer dans la suite écriteDéroulement : Quelques cas sans conversion sont traités au début(par exemple 1246 + 3 centaines) puis les cas avec conversions (par exemple 4925 + 2 centaines). Dans ce dernier cas on pourra uSliser les décomposiSons- en centaines/unités. Exemple : 4925 + 2C. On sait que 4925 c’est

49C + 25U, donc si on ajoute 2C on obSent 51C + 25U soit 5125, - en dizaines/unités. Exemple : 3681 + 6D. On sait que: par exemple

3681 c’est 368D + 1U, donc si on ajoute 6D on obSent 374D + 1U soit 3741.

Variante : on donne le nombre avant et après et on cherche la transformaSon.

Calcul mental : jeu de la boîte (CE2)65

66

67

Soustraire un nombre en5er

123 – 56

Soustraire un nombre en5er

123 – 56

Calculer en « reculant », retrait : 123 – 23 – 33 = 100 – 33 = 67

Calculer en « avançant », complément :56 + (4 + 60 + 3) = 123

Calculer en conservant l’écart :123 – 56 = (123 + 4) – (56 + 4) = 127 – 60 = 67


2. Les opérations du champ multiplicatif

70


a. La multiplication

71

La multiplication traduit une répétition, une itération à l’identique.

La multiplication : sens principal

72


12 x 5 = 60

La multiplication

73

- Les possibles, du nombre de combinaisons possibles

- Le nombre d’éléments d’une configuration rectangulaire

- Le résultat d’une comparaison multiplicative

- Le résultat d’une addition itérée

- ….

La multiplication sert à trouver :

74


b. La division

75

La division traduit un partage.

La division : sens principal

76

• à résoudre des problèmes dits de partition (partage) : ceux où l'on cherche la valeur d'une part ou, plus généralement, la « valeur à l'unité »

• à résoudre des problèmes de quotition (groupement) : ceux où il faut chercher : « En a combien de fois b ? »

Ce sont deux “gestes mentaux” différents.Avoir conceptualisé la division euclidienne c’est avoir construit la conviction de l’équivalence de ces deux gestes mentaux. (Brissiaud, J’apprends les maths, CM1)

La division peut servir à la fois

77

Les types de problèmes du champ multiplicatif étudiés au cycle 2

• Problèmes de proportionnalité simple avec l’unité :o Problèmes de multiplication : 1kg d’aubergines coûte 3€, combien

coûtent 5kg d’aubergines?o Problèmes de division partage : j’ai 21 jetons à partager

équitablement entre 3 enfants, combien chaque enfant aura-t-il de jetons?

o Problèmes de division groupement : j’ai 72 perles pour fabriquer des colliers de 12 perles; combien de colliers puis-je fabriquer?

• Problèmes de combinaisons et produit de mesures :o Problèmes de combinaisons : un clown a 3 pantalons, 2 chemises

et 3 chapeaux, combien de tenues différentes peut-il utiliser?o Problèmes de produit de mesures : une plaque de chocolat est

composée de 3 rangées de 6 carreaux chacune; combien de carreaux la plaque de chocolat contient-elle en tout?

Les types de problèmes du champ mul7plica7f étudiés au cycle 2

• Problèmes de comparaison multiplicative : - tu as 5 billes, j’en ai 3 fois plus que toi; combien ai-je de billes?- le grand-père de Léa a 60 ans, Léa est 5 fois plus jeune (ou moins âgée) que son grand-père. Quel est l’âge de Léa?- Enzo a 5 crayons de couleur, Fatoumata a 15 crayons de couleur. Combien de fois plus de crayons a Fatoumata?

• Problèmes de proportionnalité simple sans l’unité : au cycle 3

Une situa5on de référence : les rectangles

Combien y a-t-il de cases dansce quadrillage ?

Une situa5on de référence : les enveloppes

Au jeu des enveloppes, Léo ?re 4 enveloppes de 5 jetonschacune. Combien a-t-il gagné de jetons ?

Schémas :

Calcul : 5 + 5 + 5 + 5 = 20

Opéra?on aCendue (« 4 fois 5 ») : 5 x 4 = 20

5

5

5

5 ?

Une situa5on de référence : les boîtes de couleurs

Dans une boîte jaune, il y a 7 jetons ; il y a 3 foisplus de jetons que dans la boîte verte. Combieny a-t-il de jetons dans la boîte verte ?

Une situa5on de référence : recherches des couples

Nino a cinq sortes d’enveloppes : des oranges, desjaunes, des vertes, des rouges et des bleues. Il aquatre sortes de timbres : des verts, des violets, desmarrons et des rouges.Combien peut-il former d’enveloppes timbréesdifférentes ?

Schéma : tableau = rectangle


Champ multiplicatif et calcul mental

C’est à l’école qu’ils s’apprennent (et se révisent à la maison).

• Tables de multiplication

Mémoriser des faits numériques

2 x 3 = 63 x 3 = 9

4 x 3 = 125 x 3 = 156 x 3 = 187 x 3 = 218 x 3 = 249 x 3 = 27

2 x 3 = 63 x 3 = 94 x 3 = 125 x 3 = 156 x 3 = 187 x 3 = 218 x 3 = 249 x 3 = 27

Doubles :

2 x 3 = 64 x 3 = 128 x 3 = 24

2x30 = 604x30 = 120

Triples :

3 x 3 = 99 x 3 = 27

2 x 3 = 66 x 3 = 18

20x3= 60…

x 5 6 7 8

5

6

7

8

x

7 49

6 24

9 54

8 24

24 36 20 18

4 x 6 4 x 9

6 x 4

3 x 8

8 x 3

9 x 4

6 x 6

27/01/15

Et pourquoi pas des jeux pour s’entraîner ?

- furet des multiples - Cartes- Laçages- Labyrinthes- Logiciels…

à inventer avec les élèves et à construire par eux…

Interroger sur les tables :

Alterner : Oral (sans écrit) et Ecrit (sans oral)

• 2 x 7• ? x 7 = 14 et 2 x ? = 14

• 14 : 2 (dès le CE1) et 14 : 7

• En 14 combien de fois 2 (de fois 7)

• 20 x 7 2 x 70

• 140 : 2

• Suite des nombres de … en … (croissante, décroissante) : furet

• QCM 2 x 7 = 9 ? 14 ?6 x 8 = 42 ? 48 ? 54 ?

• Décompositions multiplicatives de 10 et 100• Propriété de commutativité de la multiplication

3 x 4 = 4 x 3• Propriété d’associativité de la multiplication

3 x 4 = 3 x 2 x 2• Distributivité de l’addition et la soustraction par rapport

à la multiplication5 x 12 = 5 x 10 + 5 x 25 x 18 = 5 x 20 – 5 x 2

• Multiplier par 10, 100• Multiplication, division (quotient, reste ; diviseur à 1

chiffre et du type 10, 25, 50, 100)

Automatiser des procédures

Multiplier par 10, c’est donner à chaque chiffre une valeur 10 fois plus grande,

le chiffre des unités devient donc le chiffre des dizaines, le chiffre des dizaines devient celui des centaines, etc.

12 c’est 1 dizaines et 2 unités12 × 10 c’est donc 1 centaine et 2 dizaines donc 120.

Multiplier par 10, 100, 1000

Un outil : le « glisse-nombre »(cf, document ressource C3 à adapter C2, existe sur internet)

MATHÉMATIQUESNOMBRES ET CALCULS

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Fractions et nombres décimaux au cycle 3Annexe 4 : Le glisse-nombre1

Le « glisse-nombre » est un outil permettant d’illustrer le fait que lorsque l’on multiplie ou divise un nombre par une puissance de 10 ce n’est pas la virgule qui se déplace mais les chiffres qui composent le nombre qui prennent une valeur 10 fois supérieure ou 10 fois inférieure.

L’outil présente l’avantage de donner à voir, physiquement, les chiffres se déplacer dans la colonne de gauche où leur valeur sera dix fois plus grande, ou dans la colonne de droite où leur valeur sera dix fois plus petite et permet ainsi d’éviter que les élèves construisent des procédures erronées conduisant à des erreurs régulièrement rencontrées comme 3,15 × 10 = 30,15 ou encore 3,15 × 10 = 3,150.

1. « Glisse-nombre » est une traduction littérale de l’expression « number slide » utilisée dans les pays anglo-saxons pour cet outil.

RAPPEL« Utiliser la même règle de multiplication par 10, 100, 1000 avec les entiers et avec les nombres décimaux : multiplier par 10, c’est donner à chaque chiffre une valeur 10 fois plus grande, le chiffre des unités devient donc le chiffre des dizaines, le chiffre des dixièmes devient celui des unités, etc. 12,37 c’est 12 unités, 3 dixièmes et 7 centièmes 12,37 × 10 c’est donc 12 dizaines, 3 unités et 7 dixièmes, donc 123,7. Il est important que les élèves ne construisent pas la représentation d’une virgule qui se déplace. En l’occurrence, ce sont les chiffres qui se « déplacent ». »

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« Fractions et décimaux au cycle 3 ».

La multiplication par 10, 100, 100094

Exemple : 12 × 100

Pourquoi 12 × 100 s’écrit-il 12 avec deux zéros derrière ?En fait 12 × 100 c’est 12 centaines. Mais alors pourquoi 12 centaines s’écrit-il 12 avec deux zéros derrière ?Il faut repasser par le fait que 12 centaines c’est 1 millier et 2 centaines (car 10 centaines = 1 millier, c’est l’aspect décimal), cela s’écrit donc 1200 (car 1 millier et 2 centaines c’est un 1 au rang des milliers et un 2 au rang des centaines, c’est l’aspect position).

Avec le matériel :

12 centaines de cubes c'est 1 millier de cubes et 2 centaines de cubes, soit 1200 cubes.

Cela intervient aussi dans la technique de la multiplication posée, mais cette fois dans le cas de la multiplication par un nombre à plusieurs chiffres.

6 x 20

Multiplier par un nombre à un chiffre

6 x 20

c’est 6 x 2 dizaines, c’est 12 dizaines, c’est 120


6 x 10 + 6 x 10 (décomposition 2ème nombre)

2 x 20 + 3 x 20 (décomposition 1er nombre+ associativité + règle des « zéros)

Appui sur la distributivité

6 x 2 x 10

Appui sur l’associativité

une semaine sur la procédure 1



Une semaine où l’élève a le choix de sa procédure

Travail sur la pertinence en fonction de la situation, sur le domaine de validité

des procédures


Distributivité

Associativité

Un problème pour fin CP ou pour 6° ?

Xavier range les 50 photos de ses dernières vacances dans un classeur.Chaque page con1ent 6 photos.a) Combien y aura-t-il de pages complètes?b) Combien y a-t-il de photos sur la page incomplète?

Il pourrait être proposé en fin de CP dans le cadre des programmes actuels!

Mais il n'est réussi que par un peu moins de deux élèves sur trois en sixième...

L'addition arithmétique n'est pas un simple ajout,la soustraction arithmétique n'est pas un simple retrait,la multiplication arithmétique n'est pas une simplerépétition à l'identiqueet la division n'est pas un simple partage.

L'élève qui penserait cela pour l'une ou l'autre de cesopérations disposerait seulement de ce que certainschercheurs appellent une « conception naïve » de cetteopération (Sander, 2008)

Conclusion partielle

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Les principaux sens d’une opération et les différentstypes de problèmes se résolvant par une mêmeopération sont deux notions différentes.

Le travail des techniques opératoires (calcul mental,calcul en ligne) permet de renforcer les connaissancessur les propriétés du nombre et des opérations.

Cela permet de libérer de la mémoire de travail pour larésolution de problèmes.


Pour aider les élèves à apprendre à résoudre desproblèmes :- Développer, expliciter l'exploraSon de l'énoncé écrit d'un

problème- Amener les élèves à construire et uSliser des répertoires

de situaSons, qui, à terme, donneront du sens auxopéraSons et rendront plus sûr le choix des procédures

Pour ancrer l'apprentissage, deux activités ritualiséesau quotidien :- le calcul mental- les petits problèmes oraux

En guise de conclusion…

Résoudre des problèmes variés permet de donner dusens aux opérations.

La manipulation puis les problèmes de référence et lesstructures additives (boîte, schéma-ligne…) etmultiplicative (rectangle) permettent d’établir un lienentre type de problème et écriture algébrique.


Tous les types de problèmes sont à aborder dès la GS,notamment les problèmes de partage.

Dans un premier temps avec les objets et lamanipulation.Puis en mettant des contraintes empêchant lamanipulation pour aller vers des représentations de plusen plus structurées afin de mettre en évidencel’opération attendue.


L’opération « canonique » est une visée à long termequ’un enfant ne peut atteindre que s’il a usé destratégies personnelles…

Demander trop tôt d’écrire une opération, un calculentraîne des réponses erronées liées au contratdidactique (addition, multiplication, soustraction,division)

Documents

Calcul et sens des opérations au cycle 2