Calcul numérique et puissances

Objectifs:

-Effectuer des calculs sur les nombres.

-Résoudre des problèmes simples.

Introduction sur les nombres

entiers 0 1

105 53

9

62

entiers relatifs -4 -1

- 9

27

-1,34 décimaux 0,017

210

rationnels

73

1913

13

irrationnels

2

3

5

-Tout nombre rationnel peut s’écrire sous la forme d’une fraction de deux

entiers,

(en particulier, les décimaux qui peuvent s’écrire sous la forme d’une fraction décimale).

- Un nombre irrationnel ne peut pas s’écrire sous la forme d’une fraction de

deux

entiers.

- Les rationnels et les irrationnels réunis forment l’ensemble des nombres

réels.

I. Puissance d’un nombre relatif

1) Définition

Soit a un nombre relatif, n un nombre entier positif différent de zéro:

Exemples :

nnn

1a a a a ... a et a

a

Remarque : Par convention  a0 = 1 et a1 = a

43 3 3 3 3 81

22

1 15 0,04

255

n facteurs a

2) Règles de calcul

Exemples :

Soient a et b des relatifs, n et m des entiers non nuls:

n m n ma a a n

n mm

aa

a

n n na b a b

mn n ma a

Exprimer les calculs suivants sous la forme d’une seule puissance 

5 74 4 n m n ma a a 5 7 124 4 4

6

5

5

nn m

m

aa

a4 6 25 5

612 29 7

mn n ma a

12 129 7 nn na b a b 1263

Voir les démonstrations de ces règles dans le cahier d’exercices.

3) Les puissances de 10

Soit n un nombre entier positif différent de zéro :

Exemples :

n nn

110 10 10 ... 10 et 0,00...01 10

10

Remarque : Par convention  100 = 1 et 101 = 10

410 10 10 10 10 10 000

33

1 110 0,001

100010

On retrouve les mêmes règles que dans I. 2)

n facteurs 10 n chiffres après la virgule

4) Notation scientifique

Ecrire un nombre sous forme scientifique, c’est l’écrire sous la forme:

nombre décimal compris entre 1 et 10

une puissance de 10X

Exemples : 3 576,4 3,5764 1000 33,5764 10

0,00074 7,4 0,0001 47,4 10

Calculatrice en mode scientifique :

-Lorsque la calculatrice affiche : 8,25 03 cela signifie 8,25 103 soit 8250 … et non pas 8,25 au cube (qui vaut environ 562).

-Pour entrer le nombre 3,654 104 dans la calculatrice, il suffit de taper : 3,654 x 10x 4

II. Exemples de calcul numériqueEffectuer les calculs suivants en détaillant les étapes :

83

5425

72

A

83

840

425

4212

A

837

427

A

876377

A

4837

A

Le dénominateur commun de 7 et 42 est 42

Le dénominateur commun de 1 et 8 est 8

On simplifie par 7

Les calculs au numérateur

et au dénominateur sont prioritaires

Le dénominateur commun de 5 et 4 est 20

Le dénominateur commun de 1 et 2 est 2

Diviser par 11/2 revient à multiplier par son inverse c’est-à-dire 2/11

On simplifie par 2

Calculer et donner le résultat en notation scientifique:

23 5C 7,5 10 8,2 10 On regroupe les décimaux ensemble…

et les puissances de 10

ensemble 23 5C 7,5 8,2 10 10

On calcule 3 10C 61,5 10 10 m n mn10 10

7C 61,5 10 n mn m10 10 10

6C 6,15 10 On donne le résultat

en notation scientifique

5 3

4

3 10 7 10D

50 10

On regroupe les décimaux ensemble…

et les puissances de 10

ensemble

On calcule

n mn m10 10 10

nn m

m

1010

10

On donne le résultat en notation scientifique

5 3

4

3 7 10 10D

50 10

8

4

10D 0,42

10

12D 0,42 10

11D 4,2 10