Calcul numérique et puissances
Objectifs:
-Effectuer des calculs sur les nombres.
-Résoudre des problèmes simples.
Introduction sur les nombres
entiers 0 1
105 53
9
62
entiers relatifs -4 -1
- 9
27
-1,34 décimaux 0,017
210
rationnels
73
1913
13
irrationnels
2
3
5
-Tout nombre rationnel peut s’écrire sous la forme d’une fraction de deux
entiers,
(en particulier, les décimaux qui peuvent s’écrire sous la forme d’une fraction décimale).
- Un nombre irrationnel ne peut pas s’écrire sous la forme d’une fraction de
deux
entiers.
- Les rationnels et les irrationnels réunis forment l’ensemble des nombres
réels.
I. Puissance d’un nombre relatif
1) Définition
Soit a un nombre relatif, n un nombre entier positif différent de zéro:
Exemples :
nnn
1a a a a ... a et a
a
Remarque : Par convention a0 = 1 et a1 = a
43 3 3 3 3 81
22
1 15 0,04
255
n facteurs a
2) Règles de calcul
Exemples :
Soient a et b des relatifs, n et m des entiers non nuls:
n m n ma a a n
n mm
aa
a
n n na b a b
mn n ma a
Exprimer les calculs suivants sous la forme d’une seule puissance
5 74 4 n m n ma a a 5 7 124 4 4
6
5
5
nn m
m
aa
a4 6 25 5
612 29 7
mn n ma a
12 129 7 nn na b a b 1263
Voir les démonstrations de ces règles dans le cahier d’exercices.
3) Les puissances de 10
Soit n un nombre entier positif différent de zéro :
Exemples :
n nn
110 10 10 ... 10 et 0,00...01 10
10
Remarque : Par convention 100 = 1 et 101 = 10
410 10 10 10 10 10 000
33
1 110 0,001
100010
On retrouve les mêmes règles que dans I. 2)
n facteurs 10 n chiffres après la virgule
4) Notation scientifique
Ecrire un nombre sous forme scientifique, c’est l’écrire sous la forme:
nombre décimal compris entre 1 et 10
une puissance de 10X
Exemples : 3 576,4 3,5764 1000 33,5764 10
0,00074 7,4 0,0001 47,4 10
Calculatrice en mode scientifique :
-Lorsque la calculatrice affiche : 8,25 03 cela signifie 8,25 103 soit 8250 … et non pas 8,25 au cube (qui vaut environ 562).
-Pour entrer le nombre 3,654 104 dans la calculatrice, il suffit de taper : 3,654 x 10x 4
II. Exemples de calcul numériqueEffectuer les calculs suivants en détaillant les étapes :
83
5425
72
A
83
840
425
4212
A
837
427
A
876377
A
4837
A
Le dénominateur commun de 7 et 42 est 42
Le dénominateur commun de 1 et 8 est 8
On simplifie par 7
Les calculs au numérateur
et au dénominateur sont prioritaires
Le dénominateur commun de 5 et 4 est 20
Le dénominateur commun de 1 et 2 est 2
Diviser par 11/2 revient à multiplier par son inverse c’est-à-dire 2/11
On simplifie par 2
Calculer et donner le résultat en notation scientifique:
23 5C 7,5 10 8,2 10 On regroupe les décimaux ensemble…
et les puissances de 10
ensemble 23 5C 7,5 8,2 10 10
On calcule 3 10C 61,5 10 10 m n mn10 10
7C 61,5 10 n mn m10 10 10
6C 6,15 10 On donne le résultat
en notation scientifique
5 3
4
3 10 7 10D
50 10
On regroupe les décimaux ensemble…
et les puissances de 10
ensemble
On calcule
n mn m10 10 10
nn m
m
1010
10
On donne le résultat en notation scientifique
5 3
4
3 7 10 10D
50 10
8
4
10D 0,42
10
12D 0,42 10
11D 4,2 10