Calcul Stochastique Finance 07 L3

Absence d’arbitrage et propriétés des optionsEvaluation et couverture des options dans un marché financier continu complet

CALCUL STOCHASTIQUE ET FINANCEIMFSE, Département de Mathématiques Appliquées

Nizar TOUZI

SEANCE 3: Gestion dynamique des risques financiersLe modèle de Black et Scholes

9 octobre 2007

Nizar TOUZI Calcul stochastique & finance


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1 Absence d’arbitrage et propriétés des options

2 Evaluation et couverture des options dans un marché financiercontinu complet



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Les options

• Le but de cette partie est de présenter les propriétés que doiventsatisfaire les prix des options indépendemment du modèled’évolution des actifs financiers.• Une option d’achat (call) donne à son détenteur le droit d’acheterun certain actif à un prix d’exercice (strike) K > 0 fixé à lasignature du contrat• Une option de vente (put) donne à son détenteur le droit devendre un certain actif à un prix d’exercice (strike) K > 0 fixé à lasignature du contrat• Ces options sont dites “européennes” si le droit d’achat ou devente ne peut être exercé qu’à une maturité donnée• Les options “américaines” peuvent être exercées à tout momentavant la maturité.



Notations

• Le paiement terminal d’un call européen est (ST − K )+

• La valeur intrinsèque d’un call européen est (St − K )+, son prix àla date t ≤ T sera noté

c(t, T , St , K ) , en particulier c(T , T , ST , K ) = (ST − K )+

• Le paiement terminal d’un put européen est (K − ST )+

• La valeur intrinsèque d’un put européen est (K − St)+, son prix à

la date t ≤ T sera noté

p(t, T , St , K ) , en particulier p(T , T , ST , K ) = (K − ST )+

• Une option (call ou put) est dite dans la monnaie si sa valeurintrinsèque est positive, en dehors de la monnaie si sa valeurintrinsèque est négative, à la monnaie si sa valeur intrinsèque estnulle.=⇒ Un call est dans la monnaie si St > K=⇒ Un put est dans la monnaie si St < K



Principe d’absence d’arbitrage

• Considérons deux produits dérivés (actifs contingents) définis parles paiements A et B à une même maturité, et de prix a et b. Si A≥ B dans tous les états du monde, alors a ≥ b.

• Sinon : acheter le produit dérivé qui délivre le paiement A, etvendre celui qui délivre le paiement B=⇒ on encaisserait immédiatement la somme b − a > 0, et onobtiendrait le paiement positif A− B à la maturité !

NA Soit X le gain généré par un portefeuille de coût initial nul. SiX ≥ 0 dans tous les états du monde, alors X ≡ 0.

Exemple Le modèle binomial est sans arbitrage ssi d < R0 < u



Premières relations

• On notera les prix du call et du put américain par

C (t, T , St , K ) et P(t, T , St , K )

• Une option américaine vaut toujours plus que l’option européennecorrespondante, et plus que sa valeur intrinsèque

C (t, T , .) ≥ max{c(t, T , .), c(t, t, .)}

P(t, T , .) ≥ max{p(t, T , .), p(t, t, .)}



Parité call-put, effet de la maturité

• Si l’actif sous-jacent ne verse pas de dividendes, on a

p (t, T , St , K ) = c (t, T , St , K )− St + KBt(T )

où Bt(T ) est le prix à la date t de l’obligation zéro-coupon (ZC)de maturité T , i.e. actif contingent de paiement 1 en T

Il suffit de remarquer que : (K − ST )+ = (ST − K )+ − ST + K

• T1 ≥ T2 =⇒

C (t, T1, .) ≥ C (t, T2, .) et P(t, T1, .) ≥ P(t, T2, .)



Monotonie, sensibilité et convexité par rapport au strike

• Le prix d’un call européen ou américain est décroissant en K• Le prix d’un put européen ou américain est croissant en K• Sensibilité au strike :

−Bt(T )(∗)≤ c (t, T , St , K2)− c (t, T , St , K1)

K2 − K1≤ 0

(∗) vendre un call européen de strike K1, acheter un call européende strike K2 ainsi qu’une quantité K2 − K1 d’obligations ZC =⇒paiement en T : −(ST −K1)

+ + (ST −K2)+ + (K2 −K1) ≥ 0. NA

implique que le coût initial de cette stratégie est ≤ 0• Les prix d’un call ou d’un put européen ou américain est convexeen K : (cas du call US) acheter un λ ∈ [0, 1] call de strike K1 et(1− λ) put de strike K2, et vendre un call de strikeλK1 + (1− λ)K2. Si toutes les options sont exercées à une dateu ∈ [t, T ], on obtient un paiement ≥ 0. NA implique que le coûtinitial de cette stratégie est ≤ 0



Bornes sur les prix des options d’achat

• Borne supérieure

c(., St , .) ≤ C (., St , .) ≤ St

En effet : C (t, T , St , K ) ≤ C (t, T , St , 0) ≤ St (égalité en absencede dividendes)

• borne inférieure : si l’actif sous-jacent ne verse pas de dividendes,

C (t, T , St , K ) ≥ c(t, T , St , K ) ≥ (St − KBt(T ))+

En effet : acheter un call Euro et K obligations ZC, vendre uneunité de l’actif sous-jacent =⇒ paiement terminal ≥ 0. NA...



Exercice immédiat des call américain

Proposition Suposons que Bt(T ) < 1. En l’absence dedividendes, il n’est jamais optimal d’exercer l’option américaineavant la maturité T

En effet : C (t, T , St , K ) ≥ c(t, T , St , K ) ≥ St − KBt(T ) > St − K

• Ce résultat n’est plus vrai en présence de dividendes• Même en absence de dividendes, ce résultat n’est pas vrai pourles options de ventes : supposons que Su < K − KBu(T − u) àune date u ∈ [t, T ]. Alors,

P(u, T , Su, K ) ≥ K − Su > KBu(T )(∗)≥ p(u, T , Su, K )

(∗) ⇐= K ≥ paiement terminal du put



Autres exemples d’actifs contingents : contratforward

• Contrat T−forward : c’est un accord pour payer un prix K à unematurité T pour un actif donné. Le prix d’un contrat T−forward àla date t est la valeur de K qui implique une valeur du contartforward nulle à la date t, i.e.

0 = prix en t du payoff ST − K = St − KBt(T )

On en déduit que le prix du contrat T−forward estSt

Bt(T ).



Autres exemples d’actifs contingents : options exotiques

• Option barrière : le paiement terminal est celui d’une optionclassique (call ou put) conditionnellement au passage au dessus ouen dessous d’une bariière B. Le paiement d’un call à barière est

up-and-out call : (ST − K )+1I{

maxu≤T

Su ≤ B}

down-and-out call : (ST − K )+1I{

minu≤T

Su ≥ B}

up-and-in call : (ST − K )+1I{

maxu≤T

Su ≥ B}

down-and-in call : (ST − K )+1I{

minu≤T

Su ≤ B}

• Option Lookback : paiement terminal f (ST , maxu≤T Su)

• Option asiatique : paiement terminal(

1T

∫ T

0Sudu − K

)+

.



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Evaluation par absence d’arbitrage

• En économie, les prix résultent d’un modèle d’équilibre. L’absenced’arbitrage est une condition nécessaire pour l’existence d’unéquilibre• Black et Scholes ont introduit l’idée selon laquelle le principed’absence d’arbitrage permet d’isoler le prix du marché des actifscontingents... dans les marchés où tous les risques peuvent êtrecouverts, i.e. marchés complets• Le prix d’un actif contingent est une valorisation des flux futurs• En utilisant des stratégies de portefeuille dynamiques, il estpossible de contrôler le risque encouru par l’actif contingent• Back et Scholes ont introduit l’idée que prix et couverture derisque sont indissociables : s’il est possible d’éliminer le risque parun portefeuille qui réplique, alors sa valeur à toute date est égale auprix de l’actif contingent (par NA)



Le modèle de Black-Scholes : dynamique des prix

• Samuelson a suggéré en 1960 de modéliser les prix des actionspar un mouvement brownien géométrique

St = S0 exp((

µ− 12σ2

)t + σWt

), µ ∈ R, σ > 0

• W étant un mouvement brownien. Par une application directe dela formule d’Itô (pour le mouvement Brownien), on voit que

dSt

St= µdt + σdWt

i.e. le rendement infinitésimal se décompose en une tendancelinéaire et une fluctuation brownienne• µ est le rendement instantané moyen (tendance, drift)• σ est la volatilité



Le modèle de Black-Scholes : prime de risque

• Le marché financier contient en plus un actif sans risque derendement

dS0t

S0t

= rdt i.e. S0t = S0

0 ert

• La prime de risque est définie par

λ =µ− r

σ

• Le ratio de Sharpe est défini par

ρ =µ− rσ2

• Ces deux paramètres reflètent le rapport rendement risque del’action par rapport à l’actif sans risque.



stratégie d’investissement et valeur du portefeuille

• Une stratégie d’investissement est un processus

θt = θ(t, St) t ≥ 0

θt ≥ 0 : position acheteuse (long position)θt ≤ 0 : position vendeuse (short position)• La condition d’autofinancement permet de déterminer ladynamique de la valeur du portefeuille

dXt = θtdSt + (Xt − θtSt)rdt = rXtdt + θt (dSt − rdt)

ou, en termes de valeurs actualisée Xt = Xte−rt et St = Ste−rt :

dXt = θtdSt + (Xt − θt St)0dt = θt dSt

(on pourra considérer une classe plus générale de stratégiesd’investissement dès qu’on aura mieux défini l’intégralestochastique)



Formulation du problème de réplication

• Une stratégie d’investissement {θt , t ∈ [0, T ]} est admissible si :?

∫ T0 θtdSt est bien définie

? et ∃ C > 0 :∫ t0 θudSu ≥ −C (1 + St) pour tout t ≤ T .

• L’actif contingent G est dit réplicable s’il existe un capital initialX0 et une stratégie d’investissement admissible tels que

XT := G où XT := X0 +

∫ T

0θtdSt

• Nous allons résoudre ce problème de réplication par le biais del’EDP de la chaleur. Pour celà, nous restreignons (pour l’instant)l’analyse au cas d’une option vanille :

G = g(ST ) où g : R+ −→ R à croissance au plus linéaire



Approche EDP pour le problème de réplication

On note Q := [0, T [×]0,∞[.Théorème Soit v de classe C 1,2(Q) à croissance linéaire vérifiant

∂v∂t

+ rs∂v∂s

+12σ2s2 ∂2v

∂s2 − rv = 0 , v(T , ·) = g

et limQ3(t′,s′)→(T ,s) v(t, s ′) = v(T , s). Alors, l’actif contingentg(ST ) est réplicable à partir du capital initial v(0, S0) et la

stratégie de couverture est définie par δ(t, s) =∂v∂s

(t, s).

De plus, sous NA, v(0, S0) est le prix de g(ST ) à la date 0.

Preuve Formule d’Itô pour e−rtv(

t, S0e“(r−σ2

2 )t+σWt

”), puis

utiliser l’EDP ainsi que la condition au bord afin d’obtenire−rTg(ST ) = XT ... (

∫ T0 δtdSt := limε↘0

∫ T−ε0 δtdSt)



Remarques sur l’EDP d’évaluation

• L’évaluation et la couverture ne dépendent pas du paramètre µ !• Le changement de variable

u(t, x) = e−rtv (t, s(t, x)) avec s(t, x) = eσx+(r−σ22 )t

réduit l’EDP d’évaluation à l’équation de la chaleur :

∂u∂t

+12

∂2u∂x2 = 0 et u(T , x) = f (x) := g (s(T , x))

• En utilisant la relation entre EDP de la chaleur et espéranceconditionnelle, nous allons pouvoir trouver une solution de l’EDP(en fait la solution) avec la régularité requise• Sur la condition de croissance linéaire sur g



La formule de Black et Scholes 1973

• Dans la deuxième séance, nous avons vu que

u(t, x) = E [f (x + WT−t)]

est une fonction régulière vérifiant l’EDP de la chaleur et lacondition au bord u(T , ·) = f . On déduit alors

v(0, S0) = e−rT E[g

(S0e(r−σ2

2 )T+σWT

)]︸︷︷︸

=E[g(e(r−µ)TST )]

• On calcule également le delta (couverture optimale) :

δ(0, S0)!= e−rT E

[g

(S0e(r−σ2

2 )t+σWT

)WT

S0σ√

T

]

= E[e−

σ22 t+σWT g ′

(S0e(r−σ2

2 )t+σWT

)](si g dérivable)



Interprétation de la formule de Black et Scholes

• Si µ = r , alors S0 = e−rT E [ST ] et v(0, S0) = e−rT E [g (ST )] :l’évaluation se fait par le critère de la moyenne du paiement futur, ils’agit d’un critère qui ne prend pas en compte le risque

• Toujours si µ = r , alors dSt = StσdWt , et la valeur actualisée duportefeuille s’écrit

Xt = X0 +

∫ t

0δt StσdWt

Le problème de réplication XT = G est alors réduit au problèmede représentation de la variable aléatoire G sous forme d’une intégralestochastique (un premier résultat a été obtenu en séance 2)

• Dans le cas général µ 6= r , la formule de Black et Scholes est uncritère qui prend en compte le risque en remplaçant la tendance µpar le taux d’intérêt sans risque r



Introduction au changement de probabilité

• Revenons au delta de couverture dans le cas où g est dérivable

δ0 = E[LTg ′

(S0e(r−σ2

2 )T+σWT

)]où LT = e−

σ22 T+σWT

en particulier LT > 0 et E[LT ] = 1, donc on peut définir unemesure de probabilité équivalente à la mesure initiale P parP := LT · P sur FT , i.e. P[A] = E [LT1IA] pour tout A ∈ FT• La transformée de Laplace de WT sous P est

EP[e−λWT

]= e−

σ22 T E

[e(σ−λ)WT

]= e−λσT+ 1

2λ2T

i.e. la loi de WT := WT − σT sous P est N(0, T ), et par suite

δ0 = EP[g ′

(S0e(r−σ2

2 )T+σWT

)]δ0 = EP

[g ′

(S0e(r−σ2

2 )T+σ(WT+σT )

)]= E

[g ′

(S0e(r+σ2

2 )T+σWT

)]Nizar TOUZI Calcul stochastique & finance


Formule de Black-Scholes et changement de probabilité

• Pour tout β ∈ R, la variable aléatoire LβT := e−

β22 T+βWT , étant

positive et d’espérance 1, peut définir une probabilité équivalente

Pβ[A] = E[Lβ

T1IA]

pour A ∈ FT

• La transformée de Laplace EPβ[e−λWT

]= e−λβ+ 1

2λ2T montre

que la loi de W βT := WT − βT sous Pβ est N(0, T )

• On ré-écrit la formule de Black et Scholes sous la forme

v(0, S0) = e−rT E[g

(S0e(µ−σ2

2 )T+σ(WT−λT )

)],

(λ =

µ− rσ

)= e−rT EQ

[g

(S0e(µ−σ2

2 )T+σWT

)]avec Q = P−λ

Finalement v(0, S0) = e−rT EQ [g (ST )]



Formule de Black et Scholes pour le call européen

• Pour le call européen g(s) = (s − K )+, on obtient la formule deBlack et Scholes

v(0, S0) = S0N(d1)− Ke−rTN(d2)

où

d1 =1

σ√

T

(ln

(S0

Ke−rT

)+

σ2T2

), d2 = d1 − σ

√T

et N(x) :=∫ x−∞(2π)−1/2e−x2/2dx

• Le delta de couverture est donné par

δ(0, S0) = N(d1)



Les Grèques

Sensibilités de la formule de Black-Scholes par rapport auxparamètres du modèle

∆∂v∂s

= N(d1)

Γ∂2v∂s2 =

1sσ√

TN′(d1) > 0

Θ∂v∂t

= − sσ2√

TN′(d2)− Ke−rTN(d2)

Vega∂v∂σ

= s√

TN′(d1)

ρ∂v∂r

= KTe−rTN(d2) > 0

L’EDP d’évaluation donne une relation entre les grèques :

Θ + rs∆ +12σ2s2Γ− rv = 0



L’EDP d’évaluation pour les options à barrière

Considérons l’exemple d’un up-and-out call défini par le payoff

G = (ST − K )+ 1I{maxu≤t Su<B} , K , B > 0

L’EDP d’évaluation dans ce cas est

∂v∂t

+ rs∂v∂s

+12σ2s2 ∂2v

∂s2 − rv = 0 , 0 < s < b

(EB) v(t, b) = 0 , t ≤ Tv(T , s) = (s − K )+ , 0 < s < b



Evaluation par EDP des options à barrière

On note Q := [0, T [×]0, b[ et ∂pQ := ({T} × [0, b[) ∪ ([0, T [×b).

Théorème Soit v de classe C 1,2(Q) à croissance linéaire unesolution de l’EDP d’évaluation (EB) telle que

limQ3(t′,s′)→(t,s)

v(t, s ′) = v(t, s) pour tout (t, s) ∈ ∂pQ

Alors, le call up-and-out est réplicable à partir du capital initial

v(0, S0) et la stratégie de couverture δ(t, s) =∂v∂s

(t, s).

Sous NA, v(0, S0) est le prix à la date 0 du call up-and-out.

• Dém : introduire θ := T ∧ inf {t > 0 : St ≥ B}, et écrire lelemme d’Itô à la fonction de Wt régulièree−rtv

(t, S0 exp

((µ− σ2

2 )t + σWt

)), puis utiliser l’EDP ainsi que

la condition au bord afin d’obtenir e−rT v(θ, Sθ) = Xθ...Nizar TOUZI Calcul stochastique & finance


Représentation probabiliste du prix des options à barrière

• On peut montrer que la fonction

v(t, s) := Et,s

[e−rT

(ST − K

)+1I{maxu≤T Su<B}

], 0 ≤ s ≤ B

où St = e“r−σ2

2

”t+σWt vérifie l’EDP d’évaluation (EB) ainsi que

la condition de continuité du théorème...• On vérifie que

{Wt := Wt + λt, 0 ≤ t ≤ T} est un MB sous Q := e−λ22 T−λWT · P

(Ce résultat sera généralisé et appelé théorème de Girsanov), alors

v(t, s) := EQt,s

[e−rT (ST − K )+ 1I{maxu≤T Su<B}

], 0 ≤ s ≤ B

est le prix à la date t du call up-and-outNizar TOUZI Calcul stochastique & finance


Probabilité neutre au risque et mesure martingaleéquivalente

• Rappelons que la prime de risque est λ = µ−rσ et

Q := e−λ22 T−λWT · P

• Le processus {Wt := Wt + λt, 0 ≤ t ≤ T} est un mouvementbrownien sous Q• Le processus

{St = Ste−rt , 0 ≤ t ≤ T

}est une Q−martingale

• Q est appelée probabilité neutre au risque ou mesure martingaleéquivalente• Dans le modèle de Black et Scholes, il y a une unique mesuremartingale équivalente• Comparaison avec le modèle binomial, avec le modèle trinomial...



Insuffisances du modèle de Black et Scholes

• L’analyse statistique des séries financières révèle uneincompatibilité avec le modèle de Black-Scholes• En particulier, les données réelles exhibent des queues dedistribution épaisses, i.e. la loi normale sous-évalue la probabilitéd’occurence des évènements extrèmes• Le smile : l’observation des prix des options sur les marchésliquides montre une dépendence de la volatilité implicite en fonctionde (K , T ) : surface de volatilité implicite. Ceci montre que lemodèle de Black-Scholes sous-évalue les évenements extrème...• Afin d’obtenir des modèles plus réalistes, on a recours à desmodèles conditionnellement gaussiens (modèles à volatilitéstochastique) ou à des modèles générés par des processus de Lévy



Smile...

Fig.: Sourire de biquette



Smile de volatilité

Fig.: Surface de volatilité implicite


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