CALCUL DIFFRENTIEL

Table des matires

1 Drives selon un vecteur, drives partielles,

direntielle 1

2 Opration sur les applications direntiables 3

3 Cas de fonctions numriques sur un espace eu-

clidien 5

4 Vecteurs tangents une partie d'un espace

norm de dimension nie 6

5 Applications de classe C 1 76 Drives partielles d'ordre suprieur 9

11 Drives selon un vecteur, drives partielles,diffrentielle

E ,F deux espaces vectoriels de dimensions respectivesp ,n ,U un ouvertde E

Dfinition 1.1Drive suivant un vecteur :f :U F une application, a U , h E . la drive de f en a suivant hsi elle existe est le vecteur Dh f (a ) =lim

t0f (a+t h ) f (a )

t

Exemple 1

Soit f :

R2 Rx

y 2

x si x 6= 00 sinon

Soient a = (0, 0) et h = (h1,h2).

f (a + t h ) f (a )t

=

h22h1

si h1 6= 00 si h1 = 0

Donc Dh ( f )(a ) existe gale

h22h1

si h1 6= 00 si h1 = 0

.

Exemple 2

x x2

Remarque 1

Dh f (a ) existe si et seulement si la fonction : t f (a + t h ) dfinieau voisiange de 0 est drivable en 0. Au quel cas on Dh ( f )(a ) =(0).

Dfinition 1.2 = (e1, ..,ep ) une base de E .

f : U F : x = pj=1

x j e j f (x ) pour tout j |[1,p ]|, De j f (a ) si elleexiste sappelle la j-ime drive partielle de f en a et se note

f

x j(a )

f

x j(a ) =De j ( f )(a )

Remarque 2

si f :U Rn F donne par f : x = (x1, ..., xn ) f (x1, ..., xn ), alorssous reserve dexistence et suivant la base canonoique e = (e1, ...,en ), f

x j(x ) sobtient en drivant lexpression f (x1, ..., xn ) par rapport

x j en considrant les autres variables comme constantes.

Exemple 3

f :

R2 R

(x , y )

sin(x 3)sin(y 3)x 2+y 2 si(x , y ) 6= (0, 0)

0 si (x , y ) = (0, 0)

Exemple 4

Dterminer les drives partielles de z 1z et kles drives suivantnimporte quel vecteur h .

Thorme dfinition 1.1f :U F une application, a U , sil existe une application linairea de E vers F telle que :

f (a +h ) = f (a ) +a (H ) +o (h)alors elle est unique , dans ce cas f est dite diffrentiable en a , a estappele la diffrentielle de f en a , et note d f (a )

Preuve

Supposons que L1 et L2 conviennent. Par diffrence on obtient :

L1(h ) L2(h ) = o (h)On a donc, pour tout x E \{0} :

limt0+

L1(t x ) L2(t x )t x = 0

Mais pour t > 0, on a : L1(t x )L2(t x )t x =L1(x )L2(x )x ; ceci montre que L1(x ) = L2(x ) et

donc L1 = L2.

Exemple 5

f :

R2 R

(x , y ) x yf est diffrentiable en tout point a = (x0, y0), pour tout h = (h1,h2) :

d f (a ).h = h2x0 +h1y0

Ceci, parce que, en utilisant la dfinition on a :

f (a +h ) = f (a ) +h2x0 +h1y0 +h1h2

En utilisant la norme infinie, on a :

|h1h2| h2 = o(h)Puis h h2x0 +h1y0 est linaire, donc f est diffrentiable en a etsa diffrentielle est lapplication

d f (a ) :

R2 Rh h2x0 +h1y0

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Remarque 3

Avec les hypothses du thorme nous avons :

f (a +h ) = f (a ) +d f (a ).h +o (h)Cest la formule de Taylor Young lordre 1.

Exemple 6

tudier la diffrentiabilit et calculer la diffrentielle de :

X 12

t X AX t BX (A symtrique relle ,B Mn1(R)

Proposition 1.1Si = ("1, ...,"n ) est une base de F , et f :U F qui se dcomposedans f =

ni=1

fi "i , alors :

f est diffrentiable en a si et seulement si i |[1,n ]|, fi :U R estdiffrentiable en a

Dans ce cas nous avons : d f (a ) =ni=1

d fi (a )"i

Proposition 1.2Si E =R, la diffrentiabilit coincide avec la drivabilit, et dans ce casla diffrentielle est dfinie par :

h R : d f (a ).h = h f (a )

Preuve

Supposons que f est diffrentiable en a , alors

f (a +h ) = f (a ) +d f (a ).h +o(h) = f(a+h) = f(a) +hdf(a).1+o(h)Donc

f (a +h ) f (a )h

d f (a ).1, h 0Do la drivabilit de f en a et on a

f (a ) = d f (a ).1

Inversement supposons que f est drivable en a , donc f admet un dveleoppe-ment limit en a de la forme

f (a +h ) = f (a ) +h f (a ) +o(h)

lapplication : h h f (a ) est linaire, donc f est diffrentiable en a et on a :d f (a ) : h h f (a )

Proposition 1.3Si f est linaire alors f est diffrentiable et a U : d f (a ) = f .

Preuve

Si f est linaire, alors f (a + h ) = f (a ) + f (h ) = f (a ) + f (h ) + o (h), donc f estdiffrentiable en a et d f (a ).h = f (h ).

Proposition 1.4Soit E, F et G trois espaces vectoriels de dimensions finis , B : E F Gune application bilinaire. Alors B est diffrentiable en tout point (a ,b )de E F et

dB (a ,b ).(h ,k ) = B (a ,k ) +B (h ,b )

Preuve

B ((a ,b ) + (h ,k )) = B (a +h ,b +k )= B (a ,b ) + (B (a ,k ) +B (h ,b )) +B (h ,k )

Mais comme B est bilinaire en dimension finie , donc continue, il existe uneconstante c telle que B (h ,k ) c hk c (h ,k )2. On a donc

B ((a ,b ) + (h ,k )) = B (a ,b ) + (B (a ,k ) +B (h ,b ))+o((h, k))Comme (h ,k ) B (a ,k ) +B (h ,b ) est linaire, cest la diffrentielle de B au point(a ,b ).

Exemple 7

E un espace euclidien, lapplication produit scalaire

B : (x , y )x , y est diffrentiable et

dB(x, y).(h, k) = h, y+ x, k

Exemple 8

Ce rsultat se gnralise au cas de fonctions multilinaires, dans lecas par exemple du dterminant.

detC :

E n R(v1, ...,vn ) detC (v1, ...,vn )

est diffrentiable et

d (detC )(v1, ...,vn )(h1, ...,hn ) =ni=1

detC (v1, ..,vi1,hi ,vi+1, ...,vn )

Proprit 1.1Si f est diffrentiable alors f est continue

Preuve

f (a +h ) f (a ) = d f (a ).h +o (h) 0 (h 0) par continuit de d f (a ) en dimen-sion finie.

Proposition 1.5Si f est diffntiable en a , alors h E , Dh ( f )(a ) existe et on a :

Dh ( f )(a ) = d f (a ).h

Preuve

f est diffrentiable, donc

f (a + t h ) = f (a ) +d f (a ).t h +o (t ) = f (a ) + t d f (a ).h +o (t )

Par consquent :

limt0

f (a + t h ) f (a )t

= d f (a ).h

Remarque 4

La rciproque de la proposition prcdente est fausse, il se peut quef admette des drives partielles suivant nimporte quelle directionsans quelle soit diffrentiable.Comme le montre lexemple1 :

Proposition 1.6Si f est diffrentiable a alors on a lexistence des drives partielles ena et h E

d f (a ).h =pj=1

h j f

x j(a )

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Preuve

f diffrentiable, f

x j(a ) =De j ( f )(a ) existe.

d f (a ).h = d f (a ).(pj=1

h j e j ) =pj=1

h jd f (a ).e j =pj=1

h j f

x j(a ).

Remarque 5

Etude de la diffentiabilit laide des drivs partielles.Pour voir la diffrentiabilit en un point a , on commence par calculerles derives partielles, et puis pour que f soit diffrentiable il faut

que ses drives existent et que limh0

f (a+h ) f (a ) pj=1

h j f

x j(a )

h existe etsoit nulle.

Exemple dapplication 1

Etudier la diffrentiabilit de :f : R2R, (x , y ) sin x 3sin y 3x 2+y 2 si (x , y ) 6= (0, 0), f (0, 0) = 0.

Solution

f (x , 0) f (0, 0)x

=sin3(x )x 3

0, quand x tend vers 0

Donc f

x(0, 0) = 0.

f (0, y ) f (0, 0)x

=sin3(y )y 3

0, quand y tend vers 0

Donc f

y(0, 0) = 0.

a = (0, 0), H = (h ,k ), en optant pour la norme deux.

(H ) =f (a +h ) f (a )h f

x(a )k f

y(a )

h=

sinh3 sink 3(h2 +k 2)

32

Suivant le chemin k =h(H ) =

2 sinh3

232 |h3|

expression qui ne tend pas vers 0 quand h tend vers 0.Donc f nest pas diffrentiable en (0, 0)

Dfinition 1.3f :U E F , une application diffrentiable, et deux bases respec-tives de E et F , la matrice jacobienne de f de a relativement et est la matrice de d ( f )(a ) relativement ces bases. et si dimE = dimF ,le Jacobien est le dterminant de la matrice jacobienne.

Expression :

J , f (a ) =

fi x j

(a )

i , j

Mnp (R)

En effet cette expression dcoule du fait que :

d f (a ).e j =ni=1

(d fi (a ).e j )"i =ni=1

( fi x j

(a ))"i

Notation : Si E = Rn = F

f :

Rn Rn

x = (x1, ..., xn ) f (x ) = ( f1(x ), ..., fn (x ))diffrentiable en a , alors le Jacobien relativement aux bases canoniquesest not :

D ( f1, ..., fn )D (x1, ..., xn )

(a )

Exemple 9: Coordonnes polaires

f :

R2 R2

(r, ) (x = r cos( ), y = r sin( ))Relativement aux bases canoniques la matrice Jacobienne est :

cos( ) r sin( )sin( ) r cos( )

Par consquent :

D (x , y )D (r, )

((r, )) = r

22 Opration sur les applications diffrentiables

Proposition 2.1Une combinaison linaire de deux fonctions diffrentiables estdiffrentiable et on a d ( f +g ) =d f +d (g ).

Thorme 2.1Si f :U V F est diffrentiable en a et g :V F G en f (a ), alorsg f est diffrentiable en a et on a :

d (g f )(a ) = dg ( f (a )) d f (a )

Preuve

On a, en posant b = f (a ), f (a +h ) = f (a ) +d f (a ).h + h"1(h ) avec limh0 "1(h ) = 0

et g (b +k ) = g (b ) +dg (b ).k + k"2(k ) avec limk0 "2(k ) = 0. Prenons en particulier

k =(h ) = f (a +h ) f (a ) = d f (a ).h + h"1(h )On a b +k = f (a +h ), et donc

g ( f (a +h )) = g ( f (a ))+dg (b ).(h ) + (h )"2((h ))Mais on a

dg (b ).(h ) = dg (b ).(d f (a ).h + h"1(h ))dg (b ) d f (a ).h+ hdg (b )."1(h )dg (b ) d f (a ).h +o (h)

puisque limh0 dg (b )."1(h ) = dg (b ).0 = 0. Dautre part,

(h ) d f (a ).h + h"1(h )d f (a )h+ "1(h )h= O(h)donc (h )"2((h )) = o(h) puisque lim

h0(h ) = 0 (continuit de f au point a )et donc lim

h0 "2((h )) = 0. On a donc en dfinitive,

g ( f (a +h )) = g ( f (a ))+dg (b ) d f (a ).h +o (h)ce qui termine la dmonstration.

Remarque 6

Matriciellement la formule de composition de diffrentiabilit scrit :

J , (g f )(a ) = J , (g )( f (a ))J , ( f )(a )

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, des bases respectivement de E ,F,G .

Corollaire 2.1 - Cas particuliers

1. Si : I U est drivable et f :U F est diffrentiable, alorsf est drivable et t I :

( f )(t ) = d f ((t )).(t )2. Si E = Rp et 1, ..p des fonctions drivables de I dans R, telles

que t I , (1(t ), ...,p (t )) U et f :U F est diffrentiable,alors f (1, ...,p ) est de diffrentiable et on a

( f (1, ..,p ))(t ) =

ni=1

f

xi(1(t ), ...,p (t ))

i (t )

3. Si f :U I R est diffrentiable et : I F est drivable, alors f est diffrentiable, et

d ( f )(a ).h = d f (a ).h ( f (a ))

Preuve

1. drivable, donc diffrentiable, f sera donc diffrentiable, de la va-riable relle relle, elle est donc drivable et

( f )(t ) = d ( f )(t ).1 = d f ((t )).d(t ).1 = d f ((t )).(t )2. Se dduit du rsultat prcdent de la proposition 1.6 en introduisant la

fonction = (1, ...,p ).

3. Comme dans 1), f sera diffrentiable etd ( f )(a ).h = d( f (a )).d f (a ).h

d f (a ).h est un scalaire, donc

d ( f )(a ).h = d f (a ).h ( f (a ))Remarque 7

On retrouve le fait que si f est diffrentiable en a , alors lapplication

: t f (a + t h )est drivable en 0 et on a

(0) = d f (a ).h

Corollaire 2.2Si :

Rp Rnu = (u1, ..,up )(u ) = (1(u ), ...,n (u )) , et

f :

Rn Gx = (x1, .., xn ) f (x ) sont diffrentiables, alors on a :

f u j

(u ) =ni=1

i u j

(u ) f

xi((u ))

Et en notant x = (x1, ..., xn ) = (1(u ), ...,n (u )), on obtient la formuleconnue sous le nom de formule de la chaine :

f (x1, ..., xn ) u j

(u ) =ni=1

xi u j

(u ) f

xi(x )

Preuve

f sera donc diffrentiable, f u j

(u ) nest autre que que la drive de la i-me

fonction partielle t ( f )(u1, ..,u j1, t ,u j+1, ...,up ) = f ((t ), ...,p (t )) en u j ,aveci (t ) =i (u1, ...,u j1, t ,u j+1, ..,up ).Daprs le corollaire prcdent :

f u j

(u ) = ( f (1, ...,p ))(u j ) =

ni=1

i (u j ) f

xi(1(u j ), ...,p (u j ))

=ni=1

i u j

(u ) f

xi(x )

Exemples 1

1. f :

R2 F

(x , y ) f (x , y ) une fonction diffrentiable. Soitla fonction g dfinie par g (x , y ) = f (y , x ).Par composition g est diffrentiable et on a

g

x(x , y ) =

y

x

f

x(y , x ) +

x

x

f

y(y , x )

g

y(x , y ) =

y

y

f

x(y , x ) +

x

y

f

y(y , x )

Cest dire :

g

x(x , y ) =

f

y(y , x ),

g

y(x , y ) =

f

x(y , x )

2. f :

R2 F

(x , y ) f (x , y ) une fonction diffrentiable danslaquel on veut fait le changement de variable

x = r cos( ), y = r sin( )

f (x , y ) = f (r cos( ), r sin( )). On obtient une nouvelle fonc-tion g des variables r, lie f par la relation :

g (r, ) = f (x , y ), x = r cos( ), y = r sin( )

Les drives partielles de g en fontion de celles de f sontobtenues de la manire suivante :

g

r(r, ) =

x

r

f

x(x , y ) +

y

r

f

y(x , y )

g

(r, ) =

x

f

x(x , y ) +

y

f

y(x , y )

Soit g

r(r, ) = cos( )

f

x(x , y ) + sin( )

f

y(x , y )

g

(r, ) =r sin( ) f

x(x , y ) + r cos( )

f

y(x , y )

En dehors de lorigine on obtient les formules inverses eninversant le systme linaire, on obtient :

f

x(x , y ) = cos( )

g

r(r, ) sin( )r g (r, )

f

y(x , y ) = sin( )

g

r(r, ) + cos( )r

g

(r, )

Proposition 2.2Si B : F F G est une forme bilinaire, et

f :U Eg :U E sont diff-

rentiables, alors B ( f ,g ) est diffrentiable et

dB ( f ,g ) = B (d f ,g ) +B ( f ,dg )

a U , h U : dB ( f ,g )(a ).h = B (d f (a ).h ,g (a ))+B ( f (a ),dg (a ).h )

Preuve

Soit :

U E 2x ( f (x ),g (x )) , on a daprs la proposition 1.1 est diffren-

tiable en a et on ad(a ) = (d f (a ),dg (a ))

Donc B est diffrentiable et en suite B ( f ,g ) lest aussi et on a :dB ( f ,g )(a ).h = dB (a ).h

= dB ((a ))(d f (a ).h ,dg (a ).h )= dB (( f (a ),g (a )))(d f (a ).h ,dg (a ).h )

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Et daprs la proposition 1.4 ; on obtient finalement :

dB ( f ,g )(a ).h = B (d f (a ).h ,g (a )) +B ( f (a ),dg (a ).h )

Corollaire 2.3Si f ,g :U K sont diffrentiables en a , alors f g est diffrentiable ena et on a :

d ( f g )(a ) = f (a )dg (a ) + g (a )d f (a )

et si g ne sannule pas au voisinage a , alors fg est diffrentiable en a eton a :

d

f

g

(a ) =

g (a )d f (a ) f (a )dg (a )(g (a ))2

Exemple dapplication 2

E un espace euclidien.

1. on considre lapplications g1 :

E Rx x2 Montrer

que g1 est diffrentiable et que

dg1(x ) : h 2x ,h2. En dduire la diffrentiabilit et calculer la diffrentielle de

lapplication :

g2 :

E \{0} Rx x

Est-elle diffrentiable sur E .

3. Montrer aussi la diffrentiablit de x xx2 et x xx surE \{0}.Reconnaitre gomtriquement leurs diffrentielles.

4. u un endomorphisme de E . montrer la diffrentiabilit et

calculer la diffrentielle de lapplication x u (x )2x2 .

Solution

1.x +h2 = x2 +2x ,h+ h2

x 2x ,h linaire, h2 = o(h). Do la diffrentiabilit de de g1,et dg1(x).h = 2x, h

2. g2 = g1, :

R+ Rt pt , est drivable, g1 diffrentiable,

donc g2 est diffrentiable et on a

dg2(x ).h = d ( g1)(x ).h= d(g1(x )).dg1(x ).h

= dg1(x ).h (g1(x ))=

2x ,h2pg1(x )

=x ,hx

3. a) Posons f1 : x x , f : x xx2 , on a f = f1g1 est donc diffren-tiable, et on a

d f (x ).h =g1(x )d f1(x ).h f1(x )dg1(x ).h

g 21 (x )

=x2h 2x ,hx

x4=

1

x2

h 2x2 x ,hx

d f (x ) est donc la compose de lhomothtie de rapport 1x2avec la rflexion dhyperplan orthogonal xx . Cest une simili-tude.

b) Posons g : x xx , on a f = f1g2 est donc diffrentiable, et on a

dg (x ).h =g2(x )d f1(x ).h f1(x )dg2(x ).h

g 22 (x )

=xh x ,hx x

x2=

1

x

h 1x2 x ,hx

d f (x ) est donc la compose de lhomothtie de rapport 1x avecla projection orthogonale sur lhyperplan orthogonal xx .

4. Posons f2 : x u (x )2, : x u (x )2x2 .On a f2 = g1 u . Donc f2 est diffrentiable et

d f2(x ) = dg1(u (x )) du (x ) = dg1(u (x )) ud f2(x ).h = dg1(u (x )).u (h ) = 2u (x ),u (h )

= f2g1 , donc est diffrentiable et

d(x ).h =g1(x )d f2(x ).h f2(x )dg1(x ).h

g 21 (x )

=2x2u (x ),u (h )u (x )22x ,h

x4

33 Cas de fonctions numriques sur un espace eu-clidien

On admet le rsultat suivant :Si est une forme linaire sur un espace eucldien, alors il existe ununique vecteur a E tel que

= a , .

Dfinition 3.1E tant un espace euclidien, f : U R une fonction diffrentiable,lunique vecteur not f (a ) (ou g rad f (a )) tel queh E : d f (a ).h = f (a ),h sappelle gradient de f en a .

Exemples 2

Si on reprend les fonctions de lexemple dapplication 2.E un espace euclidien.

1. g1 :

E Rx x2 g1 est diffrentiable et

dg1(x ) : h 2x ,hDonc

g1(x ) = 2x2.

g2 :

E \{0} Rx x

g2 est diffrentiable et on a

dg2(x ).h =x ,hx

Doncg2(x ) = xx

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CALCUL DIFFRENTIEL

Expression dans une BON :Si (e1, ...,ep ) est une BON de E , alors le grandient sexprime :

f (a ) =pj=1

f

x j(a )e j

Ceci grce au fait que

f (a ) =pj=1

e j , f (a )e j =pj=1

(d f (a ).e j )e j =pj=1

f

x j(a )e j

Remarque 8

f :U E R diffrentiable en a , Dh f (a ) caractrise la pente de lacourbe t f (a + t h ) en 0 (ou au point f (a )) cest dire la tangente la courbe obtenue en faisant la restriction de f au morceau de droite{a + t h , t V (0)} .On suppose que f (a ) 6= 0.Considrons lapplication :

S (0, 1) Rh Dh ( f )(a ) = f (a ),h

Nous avons daprs lingalit de Cauchy-Schwartz :

f (a ),h f (a )avec galit si et seulement si h = f (a ) f (a ) . f (a ) est colinaire et de mme sens que le vecteur unitaire selonlequel la drive de f en a est maximale, (il pointe la direction selonlaquelle la variation de f est maximale, dite direction de la plus grandepente de f )

Dfinition 3.2a U est un point critique pour une fonctionU R diffrentiable sid f (a ) = 0.

Proposition 3.1U un ouvert, si f admet un extremum local en a , alors a est un pointcritique de f .

Preuve

On suppose que f admet par exemple un maximum relatif en a .Il existe r > 0, B (a , r )U et x B (a , r ), f (x ) f (a ).soit

:

(I =

r|h ,

r

h

R

t f (a + t h ) est drivable, admettant un maximum en 0, I est un ouvert, donc (0) = 0.Mais (0) = d f (a ).h , donc d f (a ) = 0.

Exemple dapplication 3

Trouvons les extrema sur R2 de

f (x , y ) = x 4 + y 44x yEn rsolvant le sytme

f

x(a ) = 0

f

y(a ) = 0

on aboutit aux points critique suivants : (0, 0), (1, 1) et (1,1) 2 f

x 2(x , y ) = 12x 2,

2 f

x y(x , y ) =4, 2 f

y 2= 12y 2

1. En (0, 0) : Aucun prsentit sur le signe de (x , y ) f (0, 0). On semet au voisinage de (0,0) et on prend des directions particu-lires.Suivant le chemin y = x f (x , x ) = 2x 2(x 2 2), pour x assezpetit (|x |

CALCUL DIFFRENTIEL

Proposition 4.2Si f :U R2R est diffrentiable en (x0, y0) et a = (x0, y0,z0) un pointdeS f , alors a +Ta (Sa ) est le plan dquation

z z0 = (x x0) f x (x0, y0) + (y y0) f

y(x0, y0)

appel plan tangent S f en a .

Preuve

Commenons tout dabord par dterminer Ta (Sa ).Soit v = (x , y ,z ) Ta (Sa ), il existe (an ) une suite de rels positifs, et une suite (Xn )dlments deS f \{a } telles que

limn+ Xn = a et limn+n (Xn a ) = v .Posons Xn = (an ,bn , cn ), on aura donc

x = limn+n (an x0), y = limn+n (bn y0), z = limn+n ( f (an ,bn ) f (x0, y0))

Par la formule de Taylor nous avons quand n+ :

f (an ,bn ) f (x0, y0) = (anx0) f x (x0, y0)+(bny0) f

y(x0, y0)+o (|anx0|+|bny 0|)

En multipliant par n et en faisant tendre n vers + on obtient :

z = x f

x(x0, y0) + y

f

x(x0, y0)

Maintenant w = (x , y ,z ) a +Ta (S f ) si est seulement w a Ta (S f ) et donc

z z0 = (x x0) f x (x0, y0) + (y y0) f

y(x0, y0)

Inversement supposons que w vrifie

z z0 = (x x0) f x (x0, y0) + (y y0) f

y(x0, y0)

et montrons que v =w a Ta (S f ).Il existe " > 0 tel quet ]","[, (x0+t (xx0), y0+t (yy0)) U soit larc paramtr

:

] ","[ R3t (x0 + t (x x0), y0 + t (y y0), f (x0 + t (x x0), y0 + t (y y0))

est valeurs dansS f , drivable par diffrentiabilit de f et on a : (0) = a et

(0) = (x x0, y y0, (x x0) f x (x0, y0) + (y y0) f

y(x0, y0)) = v

Daprs la proposition 4.1 v Ta (S f )

Exemple 10

Considrons la surface

z = x 2 + y 24x y 1Une quation du plan tangent en (0, y0,z0) est

z z0 = (x x0)(2x0 +4y0) + (y y0)(2y0 +4x0Regardons ce qui se passe au point critique de f qui correspond (x0, y0) = (0,0). Pour cela dteminons en ce point lintersection duplan tangent avec la surface.En ce point le plan tangentP est dquation :

z = z0 =1

(x , y ,z ) P S z =1 = x 2 + y 2 +4x y 1

(x +2y )23y 2 = 0z =1

x + (2p3)y = 0,z =1x + (2+

p3)y = 0,z =1

Cette intersection est donc la runion de deux droites alors quegnralement, en des points ordinaires, elle est rduite au pointdappui du plan tangent.

Dfinition 4.3Soit c R et f :U E R. LensembleSc form des x U vrifiant

f (x ) = c

est appel ligne de niveau c R de f .En dimension 3, on parle de surface de niveau c .En dimension 2, on parle de ligne (courbe) de niveau c .

Proposition 4.3Si E est euclidien et f :U E R est une fonction diffrentiable etA une ligne de niveau de f , alors les vecteurs tangents A en unpoint a sont orthogonaux au gradient de f en a .

Preuve

v vecteur tangent A en a , (xn )n une suite dlments deA\{a } (n ) une suitede rels positifs telles que.

limn+ xn = a et limn+n (xn a ) = v .f (xn ) = f (a ) + f (a ), xn a +o (xn a ) et donc

f (a ), xn a +o (xn a )On multiplie par n

f (a ),n (xn a )+o (n (xn a ))En faisant tendre n vers +, on obtient

f (a ),v = 0

Exemple 11

Considrons f :

(R3 R

(x , y ,z ) x 2a 2

+y 2

b 2+z 2

c 2etS la ligne de niveau dquation f (x , y ,z ) = 1 qui reprsente unellipsoide. M0 = (x0, y0,z0) S de gradient non nul.Les vecteurs tangents S en M0 sont contenus dans le plan dqua-tion :

x f

x(x0, y0,z0) + y

f

y(x0, y0,z0) + z

f

z(x0, y0,z0) = 0

cest dire le planx x0a 2

+y y0b 2

+z z0c 2

= 0

55 Applications de classe C 1

Dfinition 5.1Une fonction f :U F est dite de classe C 1 si elle est diffrentiable etlapplication

f :

U L (E ,F )x d f (x )

est continue.

Lemme 5.1 - admis

Si f admet suivant une base des drives partielles continues alors fest diffrentiable.

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CALCUL DIFFRENTIEL

Proposition 5.1f est de classe C 1 si et seulement si les drives partielles dans unebase existent et sont continues.

Preuve

Supposons que f est de classeC 1, f est en particulier diffrentiable, on aura lexis-tence des drives partielles et pour tout j

f

x j:

U Fx d f (x ).e j

Lapplication

B :n L (E ,F )E F

(g ,v ) g .vest bilinaire en dimension finie, donc continue,

f

x jnest autre que la compose

de B et x (d f (x ),e j ). Do la continuit de f x j .Inversement si les drives partielles existent et sont continues, alors daprs lelemme f est diffrentiable.f diffrentiable, on sait que d f et les drives partielles sont lies par la relation :

d f =pj=1

f

x jd x j

o d x j est la fonction j-ime coordonne dans la base .Pour tout j lapplication constante x d x j est continue, et la continuit des d-rives partielles entraineront la continuit de d f .f est donc de classe C 1.

Corollaire 5.1Une fonction f : U F est de classe C 1 si h E , Dh ( f ) existe etcontinue.

Proposition 5.2 Une combinaison linaire de deux fonctions de classeC 1 est une

fonction de classe C 1. F = K, si f ,g :U K sont de classe C 1, alors g f est de classe

C 1 et si g ne sannulle pas alors fg est aussi de classe C1

Corollaire 5.2Toute fonction f :U Rp R polynmiale est de classe C 1.

Exemple 12

Soit

f :

R2 R

(x , y ) x y x

2y 2x 2+y 2 si (x , y ) 6= (0, 0)

0 sinon

f est de classe C 1.En effet : Il est clair que f est de classe C 1 sur R2\{(0, 0)}.Il est noter que la drive partielle en (0, 0) si elle existe est donne

par f

x(0, 0) =lim

x0f (x ,0) f (0,0)

x

f (x ,0) f (0,0)x = 0, donc

f

x(0, 0) = 0.

Ailleurs f

x(x , y ) = x

4 y+4x 2 y 3y 5(x 2+y 2)2 .

En utilisant les majorations suivantes :

x 4 (x 2 + y 2)2, x 2y 2 (x 2 + y 2)2, y 4 (x 2 + y 2)2On obtient

| f x

(x , y )| 4|y |

Il sensuite lim(x ,y )(0,0)

f

x(x , y ) = 0 =

f

x(0,0), et donc la continuit

de f

x.

De la mme faon on a aussi la continuit de f

y

Exemple 13

Montrons que det :

Mn (R) RM det(M ) est de classeC 1 et que

M MnR : d (det)(M ).H = com(M), H. H Mn(R)Lapplication dterminant est de classe C 1, parce quelle est poly-nmiale.Pour M = (xi j ), nous avons

det(M ) =ni=1

(1)i+ j xi ji j

Relativement la base canonique de Mn (R),

det

xi j(M ) = (1)i+ ji j

Do

d (det)(M ).H =i , j

hi j (1)i+ ji j = tr tCom(M)H= Com(M), Hdet(M ) =Com(M)

Proposition 5.3Une fonction f :U F est de classeC 1 si et seulement si ses fonctionscomposantes dans une base de F sont de classe C 1.

Proposition 5.4Si f est de classe C 1 de U dans F et une application de classe C 1

dun intervalle I de R valeur dans U , alors en posant a = () etb = ( ), avec (, ) I 2 , on obtient

f (b ) f (a ) =

d f ((t )).(t )

Remarque 9

E un espace euclidien. ~A :

U Ex ~A(x ) est un champs de vec-

teurs drivant dun potentiel de classe C 1, ie il existe f :U E declasse C 1 tel que x , ~A(x ) = f (x ). La circulation du champs ~A lelong de la courbe qui est par dfinition :

~V =

~V ((t )),(t )

devient daprs la proposition prcdente :

~V =

~V ((t )),(t )= f (b ) f (a )

Rsultat qui sinterprte par le fait que cette circulation ne dpendpas du chemin suivi, mais juste de la valeur finale et initiale, et dans

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CALCUL DIFFRENTIEL

le cas o la courbe est ferme on retrouve le fait que

~V = 0

Corollaire 5.3 - Ingalit des accroissement finis

U un ouvert convexe, E espace euclidien, si f :U E est de classeC 1, alors

a ,b U , f (b ) f (a ) b a supx[a ,b ]

f (x )

Preuve

le chemin [0, 1] E , t (1 t )a + t b est par convexit deU contenu dansU . Onapplique le rsultat prcdent :

f (b ) f (a ) = 1

0

d f ((t )).(t )d t = 1

0

d f ((t )).(ba ) = 1

0

f ((1t )a+t b ),ba

Par lingalit de Cauchy-Schwartz, on obtient lingalit des accroissemnts finis.

Thorme 5.1Si f :U F est de classe C 1, etU un ouvert connexe par arcs, alors fest constante si et seulement si d f = 0.

Preuve

Le sens direct est trivial.Pour le sens indirect et dans le cas particulier o U est convexe, alors le rsultatdcoule immdiatement de lingalit des accroissement finis.Supposons maintenant queU est connexe par arcs et que d f = 0.raisonnons par labsurde et supposons quil existe a ,b U tel que f (a ) 6= f (b ).soit : [0, 1]U continue telle que (0) = a , (1) = b . Posons

A = {t [0, 1], f ((t )) = f ((0)) = f (a )}A est une partie borne de R donc admet une borne suprieure, soit c = supA, lacaractrisation squentielle de la borne suprieure et la continuit de et f ferontque c A, et on c < 1,U est un ouvert, donc il existe r > 0 tel que B ((c ), r )U .B ((c ), r ) est un convexe, o d f = 0, donc f est constante sur B ((c ), r ), et parsuite nulle sur cette boule. continue en c < 1, donc pour t > c et t voisin de c , on a (t ) B ((c ), r ) ce quicontredira la maximalit de c .

66 Drives partielles dordre suprieur

f tant une fonction de classe C 1, = (e1, ...,ep ) tant une base de E ,

pour tout i , j |[1,p ], 2 f xi x j si elle existe est la ieme drive partielle de f

x jrelativement la base . et on dit que f est de classe C 2 si toutes

ces drives partielles dites dordre 2 existent et sont continues, et parrcurence on dfinit toutes les drives partielles dordre k > 2. De lamanire suivante.Pour tout k N pour tout i1, ..., ik (non forcments distincts de 1, ...,p ,sous rserve dxistence

k f

xi1 xi2 ... xik=

xi1

k1 f

xi2 ... xik

f est dite de classe C k si toutes les drives partielles dordre k existentet sont continues.

Thorme 6.1 - (de Schwartz)

Si f est de classe C 2, alors pour tout a U 2 f

xi x j(a ) =

2 f

x j xi(a ) i , j |[1,p ]|

Exemple 14: Changement de variable dans les drives dordresuperieur

U = R2\{(x , 0), x 0}.f :

U R

(x , y ) f (x , y ) une fonction de classe C 2 dans laquelle,on veut effectuer la changement en polaire :

x = r cos( )

y = r sin( )

On obtient une nouvelle fonction

g :

= R+]pi,pi[ R

(r, ) g (r, ) , lie f par la relation

f (x , y ) = f (r cos( ), r sin( )) = g (r, )

Calculons le laplacien de f en coordonnes polaires. Nous avonsdja obtenu dans lexemple dapplication ?? les formules liant lespremires drives partielles et qui sont

f

x(x , y ) = cos( )

g

r(r, ) sin( )r g (r, )

f

y(x , y ) = sin( )

g

r(r, ) + cos( )r

g

(r, )

On drive une deuxime fois, on obtient :

2 f

x 2(x , y ) = cos( )

r

cos( )

g

r(r, ) sin( )

r

g

(r, )

sin( )

r

cos( )

g

r(r, ) sin( )

r

g

(r, )

2 f

y 2(x , y ) = sin( )

r

sin( )

g

r(r, ) +

cos( )r

g

(r, )

+

cos( )r

sin( )

g

r(r, ) +

cos( )r

g

(r, )

Soit

2 f

x 2(x , y ) = cos2( )

2g

r 2(r, )2 cos( )sin( )

r

2g

r (r, ) +

sin2( )r 2

2g

2(r, )

+ 2cos( )sin( )

r 2 g

(r, ) +

sin2( )r

g

r(r, )

2 f

x 2(x , y ) = sin2( )

2g

r 2(r, ) +2

cos( )sin( )r

2g

r (r, ) +

cos2( )r 2

2g

2(r, )

2 cos( )sin( )r 2

g

(r, ) +

cos2( )r

g

r(r, )

Finalement le Laplacien en coordonnes polaires :

f (x , y ) = 2g r 2 (r, ) +

1r 2 2g 2 (r, ) +

1r

g

r(r, )

Exemple 15: de rsolution dquation aux drives partiellesdordre 2

On se propose de dterminer toutes les fonctions de R2 dans R. declasse C 2 vrifiant

2 f

x 23 2 f x y

+2 2 f

y 2= 0

On effectue pour cela le changement de variable linaire :x = au + bv

y = c u +d v, avecadb c = 0, on introduit la nouvelle fonction

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CALCUL DIFFRENTIEL

g lie f par f (x , y ) = g (u ,v ). g

u(u ,v ) =

x

u

f

x(x , y ) +

y

u

f

y(x , y ) = a

f

x(x , y ) + c

f

y(x , y )

g

v(u ,v ) =

x

v

f

x(x , y ) +

y

v

f

y(x , y ) = b

f

x(x , y ) +d

f

y(x , y )

2g

u2= a

x

a f

x+ c f

y

(x , y ) + c

y

a f

x+ c f

y

(x , y )

= a 2 2 f

x 2(x , y ) +2a c

2 f

x y+ c 2

2 f

y 2

ce stade, on ne poura pas trouver de constantes vrifiants

a 2 2 f x 2 (x , y ) + 2a c

2 f x y (x , y ) + c

2 2 f y 2 (x , y ) = 0. On croise alors les

drives partielles.

2g

u v=

u

g

v= a

x

b f

x+d

f

y

+ c

y

b f

x+d

f

y

= ab

2 f

x 2+ (ad + b c )

2 f

x y+ c d

2 f

y 2

Poura = b = 1, c =2, d =1, on obtient 2g u v = 0. Soit g v =2(v )et enfin g (u ,v ) =1(v ) +1(u ). Ce qui donne

f (x , y ) =(x + y ) +(x +2y )

Avec, deux fonction de classe C 2 sur R.

Thorme 6.2 - Formule de Taylor lordre 2

Si f :U Rp R de classe C 2,U un ouvert de E , alors :f (a +h ) = f (a ) +d f (a ).h +

1

2qa (h ) +o(h2)

Avec

qa (h ) =i , j

hih j 2 f

xi yj(a )

En particuler pour p = 2, on obtient :

f (a +h ) = f (a )+h1 f

x(a )+h2

f

y(a )+

1

2

h21 2 f

x 2(a ) +2h1h2

2 f

x y(a ) +h22

2 f

y 2(a )

+o(h2)

s.hajmi@gmail.com

Drives selon un vecteur, drives partielles, diffrentielleOpration sur les applications diffrentiablesCas de fonctions numriques sur un espace euclidienVecteurs tangents une partie d'un espace norm de dimension finieApplications de classe C1Drives partielles d'ordre suprieur