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8/7/2019 Calculo - 2008 - Cert 2
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Universidad de Concepci onFacultad de Ciencias Fsicas y MatematicasDepartamento de Matematica
Pauta Evaluaci on No
2Calculo I y II (520141)
1. Sea (a n )n 1 la sucesion denida por a n = ( 1)n3n + 12n 1
. Usando teoremas sobrelmites, encontrar lm
n |a n | y lmn a n , si existen. Explicar los procedimientos.Solucion:
lmn |a n | = lmn
3n + 52n 1
= lmn
3 +5n
2 1n
=32
. (6 puntos)
Al considerar las subsucesiones a2n =6n + 54n 1
y a2n +1 = 6n + 84n + 1
, se tiene que
lmn
a2n =32
= lmn
a 2n +1 = 32
, luego lm n a n no existe. (6 puntos)
2. Calcular lmx 1
2x2 + 1 3x2 + x 2
.
Solucion: Si x = 1, se tiene que
2x2 + 1 3x2 + x 2
= 2x2 + 1 3x2 + x 2
2x2 + 1 + 32x2 + 1 + 3=
2(x2 1)(x + 2)( x 1)(2x2 + 1 + 3)
=2(x + 1)
(x + 2)( 2x 2 + 1 + 3) .
Por lo tanto, lmx 1
2x2 + 1 3x2 + x
2
= lmx 1
2(x + 1)(x + 2)( 2x2 + 1 + 3) =
233.
(12 puntos)
1
8/7/2019 Calculo - 2008 - Cert 2
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3. Sea f (x) =4x
2x 1denida para x =
12
.
a ) Escribir la denici on del concepto lmx 1
4x2x 1
= 4.
b) Para =
110 obtener el n umero real de la denicion de la parte a).
Solucion:
a ) Por denici on lmx 1
4x2x 1
= 4 equivale a:
> 0, > 0 tal que xD f : 0 < |x 1| <
4x2x 1
4 < .
(4 puntos)
b ) Sea > 0. Se debe encontrar > 0 tal que
x
D f se verique que
0 < |x 1| < 4x
2x 1 4 < .
Basta elegir = mn14
,8
, pues xD f , se tiene que
0 < |x 1| < 4x
2x 1 4 =
4|x 1||2x 1|
(1)
8|x 1|(2)