1 TRAZADO DE GRAFICAS Y ASINTOTAS DE FUNCIONES RACIONALES

Alberto Rodríguez Ponse | Calculo Diferencial ICl

1. La grafica de f si, 𝒇(𝒙) =𝒙−𝟏

𝒙𝟐−𝒙−𝟔

PASOS CORRESPONDIENTES:

1. Para hallar los puntos de intersección con el eje x, se buscan los ceros del

numerador

𝑥 − 1 = 0

𝒙 = 𝟏

0 =𝑥 − 1

𝑥2 − 𝑥 − 6

0 = 𝑥 − 1

𝒙 = 𝟏

2. Hallar los ceros del denominador. Es una asíntota vertical (se factoriza)

𝑓(𝑥) =𝑥 − 1

𝑥2 − 𝑥 − 6 → (𝑥 − 3)(𝑥 + 2) = 0 → 𝒙 = 𝟑 ; 𝒙 = −𝟐

Indica el sentido y las asíntotas en -2 y 3 por la izquierda y por la derecha.

3. Encontrar el punto de intersección con el eje “y” cuando f(0).

𝑓(0) =(0) − 1

(0)2 − (0) − 6 → 𝒇(𝟎) =

𝟏

𝟔

Por lo tanto se localiza el punto (𝟎,𝟏

𝟔 )

Tabulación de la función 𝒇(𝒙) =𝒙−𝟏

𝒙𝟐−𝒙−𝟔

x y

-4 -0.357143

-3 -0.666667

-2 ∞

-1 0.5

0 0.1666667

1 0

2 -0.25

3 ∞

4 0.5

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ALBERTO RODRÍGUEZ PONSE | Calculo Diferencial ICl

4. El grado del polinomio del denominador es mayor que el grado de polinomio del

numerador. En este caso la asíntota es la recta y=0

5. Las coordenadas x de los puntos donde la gráfica cruza a la asíntota horizontal

y=0, son soluciones de la ecuación f(x)=0. Se procede a resolver la ecuación: 𝑥 − 1

𝑥2 − 𝑥 − 6 = 0 𝑥 − 1 = 0 𝒙 = 𝟏

Este resultado indica que la gráfica de f se cruzara con la asíntota horizontal, en el

punto tal que x=1.

6. Las asíntotas verticales de la función divide al plano x, y en 3 regiones:

R1→Region a la izquierda de x=-2. Para R1 la gráfica debe aproximarse a

las 2 asíntotas , x=2 y y=0

R2→Region comprendida entre -2˂x˂3. (Para R2 tenemos los dos puntos

(0,𝟏

𝟔 ) y (1,0 ) por los que la gráfica f debe aproximarse).

R3→Region comprendida a la derecha de x=3

Grafica de 𝒇(𝒙) =𝒙−𝟏

𝒙𝟐−𝒙−𝟔

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ALBERTO RODRÍGUEZ PONSE | Calculo Diferencial ICl

2. La grafica de f si, 𝒇(𝒙) =𝒙𝟐

𝒙𝟐−𝒙−𝟐

PASOS CORRESPONDIENTES:

1. Para hallar los puntos de intersección con el eje x, se buscan los ceros del

numerador

√𝑥2

= √0

𝒙 = 𝟎

0 =𝑥2

𝑥2 − 𝑥 − 2

0 = 𝑥2

𝒙 = 𝟎

2. Hallar los ceros del denominador. Es una asíntota vertical (se factoriza)

𝑓(𝑥) =𝑥2

𝑥2 − 𝑥 − 2 → (𝑥 − 2)(𝑥 + 1) = 0 → 𝒙 = 𝟐 ; 𝒙 = −𝟏

Indica el sentido y las asíntotas en -1 y 2 por la izquierda y por la derecha.

3. Encontrar el punto de intersección con el eje “y” cuando f(0).

𝑓(0) = (0)2

(0)2 − (0) − 2 → 𝒇(𝟎) = 𝟎

Por lo tanto se localiza el punto (𝟎, 𝟎)

Tabulación de la función 𝒇(𝒙) =𝒙𝟐

𝒙𝟐−𝒙−𝟐

x y

-4 0.88888889

-3 0.9

-2 1

-1 ∞

0 0

1 -0.5

2 ∞

3 2.25

4 1.6

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ALBERTO RODRÍGUEZ PONSE | Calculo Diferencial ICl

4. El grado del polinomio del denominador y numerador son iguales. En este caso

la asíntota horizontal es:

𝑓(𝑥) =𝑥2

𝑥2−𝑥−2=

1

1 = 𝟏 f(x)=1, se traza.

5. Las coordenadas x de los puntos donde la gráfica cruza a la asíntota horizontal

y=1, son soluciones de la ecuación f(x)=1. Se procede a resolver la ecuación:

𝑥2

𝑥2 − 𝑥 − 2=

1

1 → 𝑥2 = 𝑥2 − 𝑥 − 2 → 0 = −𝑥 − 2 → 𝒙 = −𝟐

Este resultado indica que la gráfica de f se cruzara con la asíntota horizontal, en el

punto tal que x=-2.

6. Las asíntotas verticales de la función divide al plano x, y en 3 regiones:

R1→Region a la izquierda de x=-1. Para R1 la gráfica debe aproximarse a

la asíntotas, x=-1, ya que si logra tocar la asíntota horizontal y=1, en la

coordenada (-2,1).

R2→Region comprendida entre -1˂x˂2. (Para R2 tenemos el punto (0,0 )

por el que la gráfica f debe aproximarse).

R3→Region comprendida a la derecha de x=2

Grafica de 𝒇(𝒙) =𝑥2

𝑥2−𝑥−2

5 TRAZADO DE GRAFICAS Y ASINTOTAS DE FUNCIONES RACIONALES

ALBERTO RODRÍGUEZ PONSE | Calculo Diferencial ICl

3. La grafica de f si, 𝒇(𝒙) =𝟒𝒙−𝟏

𝟐𝒙+𝟑

PASOS CORRESPONDIENTES:

1. Para hallar los puntos de intersección con el eje x, se buscan los ceros del

numerador

4𝑥 − 1 = 0

𝒙 = 𝟏𝟒⁄

0 =

0 =4𝑥 − 1

2𝑥 + 3

𝒙 = 𝟏𝟒⁄

2. Hallar los ceros del denominador. Es una asíntota vertical (se factoriza)

𝑓(𝑥) =4𝑥−1

2𝑥+3 → 2𝑥 + 3 = 0 → 𝒙 = −𝟑

𝟐⁄

Indica el sentido y la asíntota en 𝒙 = −𝟑𝟐⁄ por la izquierda y por la derecha.

3. Encontrar el punto de intersección con el eje “y” cuando 𝑓(𝑥) = 0

𝑓(0) =4(0) − 1

2(0) + 3 → 𝒇(𝟎) = −

𝟏

𝟑

Por lo tanto se localiza el punto (0, −𝟏

𝟑 )

Tabulación de la función 𝒇(𝒙) =𝟒𝒙−𝟏

𝟐𝒙+𝟑

x y

-2 -7

-1 -5

-1.5 ∞

0 -

0.33333333

1 3.8

2 7.85714286

3 11.8888889

6 TRAZADO DE GRAFICAS Y ASINTOTAS DE FUNCIONES RACIONALES

ALBERTO RODRÍGUEZ PONSE | Calculo Diferencial ICl

4. El grado del polinomio del denominador y numerador son iguales. En este caso

la asíntota horizontal es:

𝑓(𝑥) =𝟒𝒙−𝟏

𝟐𝒙+𝟑=

4

2 = 𝟐 f(x)=2, se traza

5. Las coordenadas x de los puntos donde la gráfica cruza a la asíntota horizontal

y=2, son soluciones de la ecuación f(x)=2. Se procede a resolver la ecuación: 4𝑥 − 1

2𝑥 + 3= 2 4𝑥 − 1 = 4𝑥 + 6 − 𝟏 = 𝟔

Como -1 es diferente de 6 para cualquier valor de x, este resultado indica que la

gráfica de f no se cruzara con la asíntota horizontal, o sea son diferentes.

6. Las asíntotas verticales de la función divide al plano x, y en 2 regiones:

R1→Region a la izquierda de x=-1.5. Para R1 la gráfica debe aproximarse a

las 2 asíntotas. Como la gráfica no puede cruzar el eje x, debe estar arriba

de la asíntota horizontal.

R2→Region a la derecha de x=-1.5 Para R2 tenemos los dos puntos

(0, −𝟏

𝟑 ) y (

1

4, 0 ) por los que la gráfica f debe aproximarse.

Gráfica de 𝒇(𝒙) =4𝑥−1

2𝑥+3