BLOQUE II

CALCULO DE LIMITES EN

FUNCIONES ALGEBRAICAS Y

TRASCENDENTES

CALCULO DE LIMITES DE FUNCIONES ALGEBRAICAS Y TRASCENDENTES

QU ES UNA FUNCION?

*La definicin moderna de funcin deriva de Augustin Louis Cauchy es la siguiente: se dice que y en funcin de

x cuando a cada valor de la variable x corresponde uno o varios valores determinados de la variable y.

La notacin para expresar que y es funcin de x es y=f(x)

El lmite de una funcin en un punto si existe, es nico. Para que exista el lmite de una funcin en un punto,

tienen que existir los lmites laterales en ese punto y coincidir. En matemticas, se dice que una magnitud o cantidad es funcin de otra si el valor de la primera depende

exclusivamente del valor de la segunda.

TIPOS DE FUNCIONES

FUNCIONES ALGEBRAICAS

Expresin algebraica es un conjunto de cantidades numricas y literales relacionadas entre s por los signos de

las operaciones aritmeticas (suma, resta, multiplicacion, divicion, raiz).

Ejemplo:

= + +

Se dividen en:

-FUNCIONES POLINOMIALES. Las funciones polinomiales estn entre las expresiones ms

sencillas del lgebra. Es fcil evaluarlas, solo requieren sumas y multiplicaciones repetidas.

Debido a esto, con frecuencia se usan para aproximar otras funciones ms complicadas. Una

funcin polinomial es una funcin cuya regla est dada por un polinomio en una variable. El grado de una

funcin polinomial es el grado del polinomio en una variable, es decir, la potencia ms alta que aparece de x.

-FUNCIONES RADICALES. Tambin conocidas como funciones irracionales; que como su nombre indica son

aquella funciones en las que su definicin aparece un radical, o lo que es lo mismo una raz.

forma donde g (x) y h (x) -FUNCIONES RACIONALES. Una funcin racional tiene la son funciones polinmicas.

El dominio de f es el conjunto de todos los nmeros reales excepto los valores de x que hacen que el

denominador h (x) a cero.

FUNCIONES TRASCENDENTES.

Se llama funcin trascendente, aquella cuya variable y contiene expresiones trigonomtricas, exponenciales o

logartmicas. Las cuales se clasifican en: las trigonomtricas y sus inversas, relacionadas con el tringulo

rectngulo; y las logartmicas y exponenciales, ms asociadas a una variacin en progresin geomtrica.

Ejemplo:

= () + +

FUNCIN TRIGONOMTRICA. En matemticas, las funciones trigonomtricas son las funciones establecidas con

el fin de extender la definicin de las razones trigonomtricas a todos los nmeros reales y complejos.

El fin de extender la definicin de las razones trigonomtricas a todos los nmeros reales y complejos. Las

funciones trigonomtricas son de gran importancia en fsica, astronoma, cartografa, nutica,

telecomunicaciones, la representacin de fenmenos peridicos, y otras muchas aplicaciones.

-FUNCIONES LOGARTMICAS. Las inversas de las funciones exponenciales se llaman funciones logartmicas.

Como la notacin f1 se utiliza para denotar una funcin inversa, entonces se utiliza otra notacin para este tipo

de inversas. Si f(x) = bx, en lugar de usar la notacin f-1(x), se escribe logb (x) para la inversa de la funcin con

base b. Leemos la notacin logb(x) como el logaritmo de x con base b, y llamamos a la expresin logb(x) un

logaritmo.

-FUNCIONES EXPONENCIALES. Se llama funcin exponencial de base a aquella cuya forma genrica es f (x) = ,

siendo a un nmero positivo distinto de 1. Por su propia definicin, toda funcin exponencial tiene por dominio

de definicin el conjunto de los nmeros reales R. La funcin exponencial puede considerarse como la inversa de

la funcin logartmica.

QU ES UN LIMITE?

El lmite de una funcin es la aproximacin a una cantidad determinada pero sin llegar a ella.

lim f (x) = f (a)

xa

LIMITES LATERALES

Para que exista el lmite de una funcin, deben existir los lmites laterales y coincidir.

El significado de los signos en la notacin para lmites laterales se interpreta de la siguiente manera

significa que tiende a tomando valores menores que , es decir valores que se encuentran a su izquierda (por Tanto se le llama limite por la izquierda)

+ significa que tiende a tomando valores mayores que , es decir valores que se encuentran a su derecha. (por Tanto se le llama limite por la izquierda)

LIMITE DE FUNCIONES POLINOMIALES

Propiedad: lim f (x) = f (a) lim (3 32 + 5)

xa x2

*Para resolver un ejercicio del lmite de una funcin de un polinomio se deben seguir los siguientes

pasos:

a) Primero tenemos que sustituir x por el valor que se tiene en este caso, tomaremos el lmite cuando

x tiende a 2:

lim (3 32 + 5) = (2)3 -3( 2)2 +5

b) luego, multiplicaremos por los valores elevados que tenemos, en este caso es al cubo y al cuadrado:

(2)3 -3( 2)2 +5

c) despus de acuerdo al signo que tenemos, se le suma o se le resta:

(2)3 -3( 2)2 +5

d) al ltimo, de acuerdo a lo que hicimos en el inciso c) obtenemos el resultado final en este caso es:

= 8-12+5=1

e) a continuacin se muestran los pasos:

lim (3 32 + 5) = (2)3 -3( 2)2 +5

x2

= 8-12+5=1

Nos damos cuenta de que en la grfica que nos

result de haber tabulado, cuando X tiende a 2

queda exactamente un punto en el nmero 1

en el eje Y, el cual es el lmite.

x y

-3 -49

-2 -15

-1 1

0 5

1 3

2 1

3 5

LIMITE DE UNA FUNCIN RADICAL

Tenemos este ejemplo:

lim3

(+12

3)

Pas 1: Primero debemos saber si nuestra funcin es definida o indefinida para esto primero debemos sustituir

de forma directa

lim3

(+1 2

3) =lim

3(

3+1 2

33) =

se realizan la operaciones correspondientes, como en este caso se suma.

lim3

(4 2

3 3)

Despus se saca la raz

lim3

(2 2

3 3)

Y por ltimo se resta y nos queda de esta manera:

(0

0)

Si queda de esta manera significa que tu funcin es indeterminada y solo se dice que es determinada cuando te

arroja un nmero real.

Pas 2: ya que hemos hecho la operacin para saber si es determinada o indeterminada se debe racionalizar y

cuando se habla de una racionalizacin es multiplicar por el conjugado del numerador que es mismo trmino

pero con signos distintos

lim3

(+12

3) .

+1 +2

+1 +2

Efectuamos la multiplicacin y nos podemos dar cuenta de que nos queda una diferencia de cuadrados asi

que se elimina races con cuadrados y queda de la siguiente manera

= limx3

(x + 1 4

(x 3)(x + 1 + 2))

Se hacen las operaciones correspondientes, en este caso se resta y se elimina como pueden ver ambos

trminos son iguales

limx3

(x 3

(x 3)( + 1 + 2))

=1

+ 1 + 2=

1

3 + 1 + 2=

1

4 + 2=

1

2 + 2=

1

4

LIMITE EN UNA FUNCION RACIONAL

lim3

(29)

223

lim3

(329)

322(3)3

99

963 =

0

0

(+3)(3)

(3)(+1)

(+3)(3)

(3)(+1)

(+3)

(+1)

(3 + 3)

(3 + 1)

lim3

(3 + 3

3 + 1) =

6

4

*Primero debemos resolverla, empezamos sustituyendo los

valores de la variable por las de lim3

*Al resolvernos nos damos cuenta que el resultado es 0,

es decir, indeterminado. Pero nosotros necesitamos un

nmero real.

*Esto lo podemos lograr factorizando los trminos

polinomiales del numerador y el denominador

*Ahora podremos cancelar los trminos iguales que se

encuentran en la funcin, en este caso seria 3

*Y se obtendra la siguiente expresin:

*Y ahora se sustituira el valor de 3 en todas las variables de la

funcin que factorizamos

*Y as al resolverla nos arrojara un valor real

Y si lo expresamos en decimales el resultado seria 1.5

* Entonces en nuestra funcin los valores quedaran de esta

manera

Esta es nuestra grfica, utilizamos valores del -4 al 4 evitando el valor 1 en porque nos arrojara 0 y eso afecta

la forma de nuestra grfica, entonces podemos observar que cuando lim 3 en nuestra funcin29

223

se encontrara en 1.5 el cual se denomina como lmite.

FUNCIONES TRASCENDENTES

FUNCION TRIGONOMETRICA

Cuando a parecer un lmite cuando x tiende a cero, la respuesta d cero no es la correcta para el limite

PASO 1

0 2+3

=

0+0

0= 0

Se factoriza X - la divisin de cero no se hace

2 + 3

Para fortalecer se multiplica y se sube la x

PASO 2

0

(x)+3)

0=

x(x)+3

=

sen kx

= 1 Una propiedad

x y

-4 0.33333

-3 0

-2 -1

-1.5 -3

-0.5 5

0 3

1 4

2 1.6666

3 1.5

4 1.4

Ahora, al tenerla funcin haca, se tiene que expresar, para poder eliminar a el lmite de equis cuando

tiende a cero

PASO 3

0=

x.(x+3)

= (lim

0) . (

+3

0)

(

0). (

lim

0 )

La respuesta seria esta, pero no se queda as

PASO 4 lim +3

0

lim

0

Los limites se pueden apropiar, como lo observamos, en la propiedad que pusimos al principio, cuando

sen kx/kx =1

PASO 5 x+3

1=

3

1= 3

Nos damos cuenta en la grfica, de que cuando X tiende a 0, el resultado de la trayectoria en la cual se

unirn los puntos ser en el nmero 3.

X Y

-3 2

-2 2.5

-1 2.8

0 3

1 4

FUNCION EXPONENCIAL

Funcin del lmite

lim3

3

Para poder resolver este lmite

Lo que realizaremos es sustituir en valor de X , que es el exponente, cuando tiende a 3.

Por lo que nuestra funcin nos quedara as:

lim3

33

Y por ltimo realizaremos la operacin que nos pide, que en este caso es 33, el cual nos dar un resultado

de 27.

As que el resultado de nuestro lmite quedara como:

lim3

27

Y posterior a haber realizado el procedimiento para hallar el lmite de la funcin, graficamos.

Lo primero k haremos es tabular, por lo que le daremos valores a X de -4 a 3 y realizaremos las

operaciones correspondientes, sustituyendo los valores que le dimos a X en la funcin original:

X Y

-4 0.012

-3 0.037

-2 0.111

-1 0.333

0 1

1 3

2 9

3 27

Nos damos cuenta de que en la grfica

que nos result de haber tabulado,

cuando X tiende a 3 queda

exactamente un punto en el nmero 27

en el eje Y, el cual es el lmite.

LIMITES EN FUNCIONES LOGARTMICAS

EJERCICIO:

Funcin del lmite:

lim5

5

Para poder resolver este limite

Lo que realizaremos es sustituir el valor de x para poder sacar los valores del lmite, es decir multiplicar a 5(5)

que da como resultado:

Log 25

Ya multiplicado esto obtuvimos el log de 25 esto dio como resultado que el log de 25 es 3.2 as que este es

nuestro lmite.

Log 5(5)=log25=3.2

En esta grafica se muestra que el valor del lmite es 3.2 cuando x tiende a 5 de la funcin log 5x ya que la

grfica va mostrando su trayectoria de la funcin esto indica que van llegando al punto 3.2 de tal manera que se

unen en el punto 3.2 cuando llegan al punto cuando x tiende a 5 de la grfica.

x y

1 1.6

2 2.3

3 2.7

4 2.9

5 3.2