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Calculo
Septiembre 2010
Funciones reales de variable realConjuntos de numerosNumeros complejosFunciones reales de variable realValor absolutoFunciones polinomicas y racionalesFuncion exponencial y logarıtmicaFunciones trigonometricasFunciones trigonometricas inversasLımitesContinuidad
c© Dpto. de Matematicas – UDC
Conjuntos de numeros
IN ⊂ Z⊂Q⊂ IR⊂ C
Densidad de Q en IR: dados a,b ∈ IR, a < b, existe q ∈Q t.q. a < q < b
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Numeros complejosDefinicionEl conjunto de los numeros complejos es
C = {a+bi / a,b ∈ IR},
donde i =√−1 es la unidad imaginaria.
En C operaremos de la siguiente manera:I (a+bi)+(c+di) = (a+ c)+(b+d)iI (a+bi) · (c+di) = (ac−bd)+(ad +bc)i
Distintas representaciones de un numero complejo z:
a+ ib≡ (a,b)≡ |z|θ
|z|=√
a2 +b2 es el modulo, o distancia al origenθ ∈ [0,2π) se denomina argumento
Propiedades:I Sea a ∈ IR; entonces a = a+0i ∈ C. Podemos considerar IR⊂ CI Todo polinomio p(x) = anxn +an−1xn−1 + ...+a1x+a0 (ai ∈ C) tiene
n raıces en C. (Teorema fundamental del Algebra)c© Dpto. de Matematicas – UDC
Funcion real de variable real
Sea A⊂ IR
DefinicionLa correspondencia f : A−→ IR es una funcion si a cada x ∈ A le asignauna unica imagen f (x) ∈ IR
Llamamos:I dominio: D(f ) = {x/ existe f (x)}= {x/f (x) ∈ IR}I imagen: Im (f ) = {y ∈ IR/y = f (x) para algun x ∈ IR}
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Funcion real de variable real
DefinicionSea f : A−→ IR una funcion real de variable real. Sea B⊂ A.
I f es creciente en B six1 < x2 ⇒ f (x1)≤ f (x2) , ∀x1,x2 ∈ B,
I f es estrictamente creciente en B six1 < x2 ⇒ f (x1) < f (x2) , ∀x1,x2 ∈ B,
I f es decreciente en B six1 < x2 ⇒ f (x1)≥ f (x2) , ∀x1,x2 ∈ B,
I f es estrictamente decreciente en B six1 < x2 ⇒ f (x1) > f (x2) , ∀x1,x2 ∈ B.
DefinicionDecimos que f es inyectiva si:
x1 6= x2 =⇒ f (x1) 6= f (x2)
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Funcion real de variable real. SimetrıasDefinicionDecimos que una funcion f es par si f (x) = f (−x), y decimos que es imparsi f (x) =−f (−x)
Funcion par Funcion impar
NotaEl nombre proviene de los monomios fundamentales. Los monomios conexponente par (x2, x4, x6,...) tienen simetrıa par y los monomios conexponente impar (x, x3, x5,...) tienen simetrıa impar.
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Funcion real de variable real. Periodicidad
DefinicionSea f : R→ R. Diremos que f es periodica, con perıodo T si
f (x) = f (x+T), ∀x ∈ R.
El ejemplo mas clasico de funciones periodicas son las funcionestrigonometricas.Si sabemos que una funcion tiene un perıodo T , sera suficiente conrepresentarla en [0,T]. Despues se repetira.
T
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Composicion de funciones
DefinicionSean f : A⊂ R→ R, g : B⊂ R→ R, con f (A)⊂ B. Definimos la funcioncompuesta g◦ f (se lee “f compuesta con g”) a la funcion
g◦ f : A⊂ R → Rx ∈ A → (g◦ f )(x) := g(f (x)) .
x ∈ Af−→ f (x)
g−→ g(f (x)) .
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Funcion inversaDefinicionSea f : A⊂ R→ R una funcion inyectiva. Existe una unica funcionh : Im f → R tal que h(f (x)) = x, ∀x ∈ A.Esta funcion se denomina inversa de f y suele denotarse como f−1.
Es decir, f−1 ◦ f = Id. Ademas, en este caso se verifica que la composicion esconmutativa, es decir, que f ◦ f−1 = Id (siendo Id la funcion identidad, esdecir, Id(x) = x, ∀x ∈ R).
x
y = f−1(x)
¡No se debe pensar que f−1 = 1f !
La forma practica de calcular una funcion inversa es despejar la x en funcionde la y (es decir, de f (x)) e intercambiar sus papeles.
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Valor absolutoDefinicionSea x ∈ IR, llamamos valor absoluto de x a la cantidad:
|x|={−x, si x < 0,x, si x≥ 0.
DefinicionDado x ∈ R, su distancia al origen es d(x,0) := |x|. En general, para x,y ∈ R, definimos la distancia entre estos dos puntos como
d(x,y) := |x− y|.c© Dpto. de Matematicas – UDC
Valor absoluto
PropiedadSean x,y ∈ IR
I |x| ≥ 0I |x|= 0 ⇐⇒ x = 0I |x+ y| ≤ |x|+ |y| (desigualdad triangular)
I |xy|= |x| |y|,∣∣∣∣xy∣∣∣∣= |x||y| , si y 6= 0.
I Si C > 0, |x| ≤ C ⇐⇒ −C ≤−|x| ≤ x≤ |x| ≤ Cc© Dpto. de Matematicas – UDC
Funciones polinomicas
Las funciones polinomicas son funciones del tipo
p(x) = anxn +an−1xn−1 + ...+a1x+a0,
con a0, a1, ..., an ∈ R, y an 6= 0.
Diremos queI grado del polinomio es n,I coeficiente principal es an.
Ejemplos de polinomios son1. p1(x) = 5x3−4x+2,
2. p2(x) = 8x3−√
2,3. p3(x) = πx4 +2x3−3x.
El dominio de una funcion polinomica es siempre R, mientras que suimagen varıa en cada caso.
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Funciones racionales
Las funciones racionales son cocientes de funciones polinomicas, es decir,
f (x) =p(x)q(x)
.
Ejemplos de funciones racionales son
1. f1(x) =5x3−4x+2
8x3−√
2,
2. f2(x) =1
x3 +2.
El dominio de estas funciones son todos los reales, excepto aquellos queanulen el denominador,
Dom f = R−{x ∈ R : q(x) = 0} ,
mientras que su imagen varıa en cada caso.
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Funcion exponencialSea a > 0. Definimos la funcion exponencial de base a como
f (x) = ax.Siempre que a 6= 1,
I Dom f = R,I Im f = (0,+∞),I f (0) = a0 = 1.
1. a < 1. En este caso,I f (x) = ax es una funcion estrictamente decreciente,
x < y⇒ ax > ay,
I lımx→−∞ ax = +∞,I lımx→+∞ ax = 0.
2. a > 1. En este caso,I f (x) = ax es una funcion estrictamente creciente,
x < y⇒ ax < ay,
I lımx→−∞ ax = 0,I lımx→+∞ ay = +∞.
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Funcion exponencial
−4 −2 0 2 40
2
4
6
8
10
12
14
16
2x
0.5x
El caso mas importante es la funcion f (x) = ex (recordemos quee = 2,7182818...). A esta funcion es a la que se suele conocer, por defecto,como funcion exponencial.
Propiedadi) ax+y = axay, ∀x,y ∈ R,
ii) (ax)y = axy, ∀x,y ∈ R,
iii) a−x =1ax ∀x ∈ R (consecuencia de la anterior propiedad).
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Funcion logarıtmicaEs la inversa de la funcion exponencial.
DefinicionDado a > 0, a 6= 1, decimos que y es el logaritmo en base a de x si ay = x,
y = loga(x) :⇐⇒ ay = x.
PropiedadPara cualquier valor de a,
I el dominio de la funcion logaritmo lo forman los numeros positivos:Dom log = (0,+∞),
I la imagen es R,I loga(1) = 0.
Propiedad
i) loga (xy) = loga (x)+ loga (y) , ∀x,y ∈ R,
ii) loga (xy) = y loga (x) , ∀x,y ∈ R,
iii) loga
(xy
)= loga (x)− loga (y) ∀x,y ∈ R, y 6= 0.
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Funcion logarıtmica1. a > 1. En este caso,
I f (x) = loga(x) es una funcion estrictamente creciente,
x < y⇒ loga(x) < loga(y),
I lımx→0+ loga(x) =−∞,I lımx→+∞ loga(y) = +∞.
2. a < 1. En este caso la situacion se invierte, como se muestra en lagrafica.
0 1 2 3 4−6
−4
−2
0
2
4
6log
2(x)
log0.5
(x)
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Funcion logarıtmica
0 1 2 3 4−6
−4
−2
0
2
4
6log
2(x)
log0.5
(x)
El logaritmo mas utilizado es el que tiene como base el numero e,f (x) = loge(x). Se denomina logaritmo neperiano, y suele denotarse porln(x) o, simplemente, log(x). Cualquier otro logaritmo se puede expresar enfuncion del ln mediante la formula
loga (x) =ln(x)ln(a)
.
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Funciones trigonometricas
Funcion senoLa funcion f (x) = sin(x), verifica
I su dominio es todo R,I su imagen es [−1,1],I es una funcion impar,I es una funcion periodica con perıodo 2π .
−10 −5 0 5 10
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
sen(x)
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Funciones trigonometricas
Funcion cosenoLa funcion f (x) = cos(x), verifica
I su dominio es todo R,I su imagen es [−1,1],I es una funcion par,I es una funcion periodica con perıodo 2π .
−10 −5 0 5 10
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
cos(x)
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Funciones trigonometricas
El seno y el coseno pueden entenderse como las longitudes de lasproyecciones sobre los ejes del angulo, en radianes, dibujado sobre lacircunferencia de radio unidad.
sin(x)
cos(x)
x
1
Propiedad
I sin2(x)+ cos2(x) = 1 ∀x,I sin(x+ y) = sin(x)cos(y)+ cos(x)sin(y),I cos(x+ y) = cos(x)cos(y)− sin(x)sin(y).
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Funciones trigonometricasDefinimos la funcion tangente como
tan(x) :=sin(x)cos(x)
.
El dominio de esta funcion lo forman todos los puntos de R en los que elcoseno no se anule, es decir,
Dom tan = R−{
π
2+ kπ : k ∈ Z
},
mientras que su imagen es todo R. Ademas, es una funcion impar yperiodica, con perıodo π .
−6 −4 −2 0 2 4 6
−6
−4
−2
0
2
4
6
tan(x)
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Funciones trigonometricas
Otras funciones trigonometricas
I Cosecante, cosec(x) :=1
sin(x),
I Secante, sec(x) :=1
cos(x),
I Cotangente, cotan(x) :=1
tan(x).
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Funciones trigonometricas inversas
Funcion arco-senoEs la inversa de la funcion seno. Como esta no es una funcion inyectiva,restringimos su dominio, quedandonos con el seno definido solo en elintervalo [−π
2 , π
2 ].
Definimos entonces la funcion arco-seno, arcsin(x), como la funcion que,dado un x ∈ [−1,1], le asocia el unico y en [−π
2 , π
2 ].
x
y = asin(x)
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Funciones trigonometricas inversas
Funcion arco-seno
Por tanto la funcion arcsin(x) tiene como dominio el intervalo [−1,1] ycomo imagen el [−π
2 , π
2 ]. Es una funcion impar.
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
asin(x)
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Funciones trigonometricas inversas
Funcion arco-cosenoEs la inversa de la funcion coseno. En este caso, restringimos el dominiopara quedarnos con el coseno definido en el intervalo [0,π].
Definimos entonces la funcion arco-coseno, arccos(x), como la funcion que,dado un x ∈ [−1,1], le asocia el unico y en [0,π] tal que x = cos(y).
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
acos(x)
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Funciones trigonometricas inversas
Funcion arco-tangenteEs la inversa de la funcion tangente. Restringimos su dominio al intervalo(−π
2 , π
2
).
Definimos entonces la funcion arco-tangente, arctan(x), como la funcionque, dado un x ∈ R, le asocia el unico y en
(−π
2 , π
2
)tal que x = tan(y).
y = arctan(x)
x
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Funciones trigonometricas inversasFuncion arco-tangente
Por tanto la funcion arctan(x) tiene como dominio todo R y como imagen elintervalo
(−π
2 , π
2
). Es una funcion impar.
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4
−1
0
1
atan(x)
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Definicion de lımite. Introduccion
ε
δ
Figura: Eligiendo x en el intervalo azul, f (x) estara en el verde
Figura: Si x esta en el intervalo azul, (x, f (x)) esta dentro del rectangulo verdec© Dpto. de Matematicas – UDC
Lımite de una funcion en un punto
Sea f : (a,b)−→ IR
DefinicionDecimos que ` ∈ IR es lımite de f en x0 ∈ (a,b) si:
∀ε > 0, ∃δ > 0 tal que 0 < |x− x0|< δ =⇒ |f (x)− `|< ε
Se representa por lımx→x0
f (x) = `
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PropiedadEl lımite de una aplicacion en un punto, si existe, es unico.
PropiedadSupongamos que lım
x→x0f (x) = `1 y lım
x→x0g(x) = `2. Entonces,
I lımx→x0
(f (x)+g(x)) = `1 + `2
I lımx→x0
(f (x)g(x)) = `1 `2
I lımx→x0
(f (x)g(x)
)=
`1
`2si `2 6= 0
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Lımites laterales
DefinicionI Diremos que el lımite de f , cuando x se acerca a x0 por la derecha, es l
si
lımx→x+0
f (x)= l :⇐⇒[∀ε > 0,∃δ > 0
/0 < x− x0 < δ =⇒ |f (x)− l|< ε
].
I Diremos que el lımite de f , cuando x se acerca a x0 por la izquierda, esl si
lımx→x−0f (x)= l :⇐⇒
[∀ε > 0,∃δ > 0
/0 < x0− x < δ =⇒ |f (x)− l|< ε
].
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Lımites laterales
x0 x0
Lımite por la derecha Lımite por la izquierda
PropiedadExiste lımx→x0 f (x) si y solo si existen lımx→x+
0f (x) y lımx→x−0
f (x) y soniguales.
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Lımites infinitos
DefinicionI lımx→x0 f (x) = +∞ :⇐⇒[∀M > 0,∃δ > 0
/0 < |x− x0|< δ ⇒ f (x) > M
],
I lımx→x0 f (x) =−∞ :⇐⇒[∀M > 0,∃δ > 0
/0 < |x− x0|< δ ⇒ f (x) <−M
].
M
−M
lımx→x0 f (x) = +∞ lımx→x0 f (x) =−∞
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Lımites en el infinito
DefinicionI lımx→+∞ f (x) = l :⇐⇒
[∀ε > 0,∃M > 0
/x > M⇒ |f (x)− l|< ε
],
I lımx→−∞ f (x) = l :⇐⇒[∀ε > 0,∃M > 0
/x <−M⇒ |f (x)− l|< ε
].
lımx→+∞ f (x) = l
M
l
lımx→−∞ f (x) = l
l
−M
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Decimos que la funcion f tiene:I una asıntota horizontal en y = l si: lım
x→±∞f (x) = l
I una asıntota vertical en x = x0 si: lımx→x0
f (x) =±∞
I una asıntota oblicua si lımx→±∞
(f (x)− (mx+n)) = 0.
Para calcular m y n: m = lımx→±∞
f (x)x
. Si m 6= 0 y m 6= ∞, entonces
calculamos n = lımx→±∞
(f (x)−mx);
la ecuacion de la asıntota es: y = mx+n
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Continuidad
Sea f : (a,b)−→ IR, x0 ∈ (a,b)
DefinicionDecimos que la aplicacion f es continua en x0 si y solo si:
∀ε > 0, ∃δ > 0 tal que |x0− x|< δ =⇒ |f (x0)− f (x)|< ε
o bien, teniendo en cuenta la definicion de lımite, si lımx→x0
f (x) = f (x0)
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En caso de no cumplir la condicion anterior, decimos que f es discontinuaen x0. Las discontinuidades pueden ser de varios tipos:
I evitable: lımx→x0
f (x) 6= f (x0)
I esencial: no existe el lımite de f en x0, porque:I lım
x→x−0f (x) 6= lım
x→x+0
f (x)
I alguno de los lımites laterales (o ambos) no existe
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PropiedadSi f ,g : (a,b)−→ IR son funciones continuas en x0 ∈ (a,b),
I λ f es continua en x0, ∀λ ∈ R,I (f ±g) y (f ·g) son continuas en x0,
I si g(x0) 6= 0, entoncesfg
es continua en x0.
PropiedadLa composicion de funciones continuas es una funcion continua. Ademas, sif y g son funciones tales que lım
x→x0f (x) = ` y g es continua en `, entonces
lımx→x0
g(f (x)) = g(`)
PropiedadEl lımite conmuta con las funciones continuas. Es decir, sean f y g funcionestales que existe lımx→x0 f (x) = l ∈ R y g es una funcion continua en l.Entonces lımx→x0 g(f (x)) = g
(lımx→x0 f (x)
)= g(l).
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Continuidad en intervalos
DefinicionSea f : (a,b)⊂ R→ R. Diremos que f es continua en (a,b) si es continuaen todos los puntos de (a,b).
DefinicionSea f : [a,b]⊂ R→ R. Diremos que f es continua en [a,b] si
1. f es continua en (a,b),2. f es continua en a por la derecha,
3. f es continua en b por la izquierda.
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Teorema de Bolzano
Teorema (de Bolzano)Sea f : [a,b]−→ IR continua. Supongamos que f (a)f (b) < 0. Entonces∃x0 ∈ (a,b) tal que f (x0) = 0
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Teorema de Bolzano. Comentarios1. Pueden existir varias raıces,
ba
2. Si se suprime alguna de las hipotesis, el teorema no es aplicable,
f (a)f (b) > 0 f no continua en [a,b]
a b a b
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Teorema de Bolzano. Calculo de raıces
Metodo de biseccion o dicotomıa
Consideramos f : [a,b]→ R continua en [a,b] con f (a) f (b) < 0.
Para aproximar una raız de f , el metodo de biseccion:
I Divide el intervalo dado a la mitad.
I Toma el punto medio del intervalo como aproximacion de la raız.
I Repite el proceso con la mitad del intervalo en la que f presenta uncambio de signo.
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Teorema de Bolzano. Calculo de raıces
Metodo de biseccion o dicotomıa
I Inicializamos [a1,b1] = [a,b].
I Para k = 1,2, . . .
Calculamos xk =ak +bk
2.
Si f (ak) f (xk) < 0, actualizamos [ak+1,bk+1] = [ak,xk]
Si no, [ak+1,bk+1] = [xk,bk]
NotaEl proceso se repite hasta que xk aproxima satisfactoriamente una raız α .Notemos que
|xk−α| ≤ b−a2k
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Teorema de Weierstrass
Teorema (de Weierstrass)Si f : [a,b]−→ IR es continua, entonces f alcanza el maximo y el mınimo enel intervalo [a,b], es decir, existen x1,x2 ∈ [a,b] tales que:
f (x1)≤ f (x)≤ f (x2) , ∀x ∈ [a,b]
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