CÁLCULO I 2ºSEM 2011/2012 - docentes.fe.unl.ptdocentes.fe.unl.pt/~mhalmeida/cap1.pdf · Exame Final(55%): Nota mínima –8 valores 1ª ou 2ª época ... 8 Capítulo 4: Complementos

NOVASchool of Business & Economics

CÁLCULO I

2ºSEM 2011/2012

Equipa Docente

� Responsável: � Maria Helena Almeida ……………..….. ([email protected])

� Assistentes:

2

� Assistentes:� Cláudia Alves …………………….………... ([email protected])

� Cláudia Andrade ……………….….......... ([email protected])

� Ernesto Freitas …………………….……... ([email protected])

� Guilherme Pereira ……………..……..… ([email protected])

Material de Apoio

� Livros de Texto:

� R. Adams e C. Essex, Calculus: A Complete Course,

3

R. Adams e C. Essex, Calculus: A Complete Course, Pearson Canadá, Toronto 2010

� J. Campos Ferreira, Introdução à Análise Matemática, 9ª edição, Fundação Calouste Gulbenkian, 1998

�Material Online:

�Cadernos de exercícios (aulas práticas)

Slides (aulas teóricas)

Material de Apoio4

�Slides (aulas teóricas)

�Exames passados (com resoluções)

Site da cadeira: docentes.fe.unl.pt/~mhalmeida

Avaliação

�Mini-testes (20%):

�Realizados nas aulas teóricas

�Média dos 2 melhores (em 3)

5

� Teste Intermédio (25%):

�Data a anunciar

�Sairá toda a matéria dada até à data

Avaliação6

� Exame Final (55%):

�Nota mínima – 8 valores

� 1ª ou 2ª época� 1ª ou 2ª época

Melhorias de nota: regime obrigatório de avaliação contínua

Programa

� Capítulo -1:

� Revisões de matemática elementar

� Capítulo 0:

�Noções de Lógica e Teoria dos

Aulas práticas

7

�Noções de Lógica e Teoria dos Conjuntos

� Capítulo 1:

� Estudo de funções reais de variável real e variável vectorial; limites e continuidade; derivadas

Aulas teóricas

� Capítulo 2:

� Primitivação, integração, cálculo de áreas

� Capítulo 3:

� Sucessões e Séries Geométricas

Programa8

� Sucessões e Séries Geométricas

� Capítulo 4:

� Complementos sobre funções: topologia, limites por vizinhanças, função composta e inversa, fórmula de Taylor e McLaurin, regra de Cauchy, teoremas clássicos sobre funções diferenciáveis

9

� SUMÁRIO

� Funções reais de variável real� Funções reais de variável vectorial� Domínio e contradomínio

Capítulo 1 - Funções

� Domínio e contradomínio� Curvas de nível� Pontos de intersecção com os eixos� Monotonia � Gráficos de famílias de funções� Limites� Continuidade� Definição e regras de derivação


� FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL

( )21)( −= xxf

4

2)(

−

+=

t

ttg ( )ssh 5ln)( =

10

� Estas funções são reais porque todos os valores que assumem são números reais. Dito de outro modo, o conjunto das imagens está contido em R, .

� São funções de variável real pois o seu domínio é um subconjunto de números reais, ou seja, . RD ⊆

RCD ⊆

11

� FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL

( )21)( −= xxf

4

2)(

−

+=

t

ttg ( )ssh 5ln)( =


� É usual escrever-se:

RRDf →⊆:

4−t

( ) 31)(2

+−−== xxfy

Representações gráficas de funções reais de variável real

12


( ) 31)( +−−== xxfy

4

22)(

−+==

xxfy

13



� FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL VECTORIAL

zxzxf += 2),(

14

+=

1log),(

x

yyxg

1),,( −+= abccbah

Capítulo 1 - Funções15


� Estas funções são reais porque todos os valores que Estas funções são reais porque todos os valores que assumem são números reais, o conjunto das imagens está contido em R.

� São funções de variável vectorial pois o seu domínio é um subconjunto de números reais no espaço n-dimensional, com n>1.



� É usual escrever-se: RRDf n →⊆:� É usual escrever-se:

� Estas funções serão alvo de uma abordagem mais profunda na cadeira de Cálculo 2.

RRDf →⊆:

22),( yxyxf +=

Representações gráficas de funções reais de variável vectorial

17


),( yxyxf +=

RRDf →⊆ 2:

2),( yyxg =

18


RRDg →⊆ 2:

19

Exemplos práticos de funções reais de variável vectorial

),( farinhaáguafpão =

),,( aexperiêncisexomédiafsalário =


Invente outras!

),,( aexperiêncisexomédiafsalário =

açúcar)limões,f(água,limonada =

res)trabalhado,f(máquinasprodução =


� Numa FUNÇÃO há uma correspondência unívoca entre os elementos de dois conjuntos:

� Conjunto dos argumentos (ou objectos) designado por

� Conjunto das imagens designado por fD

fCD

Correspondência unívoca implica que a cada argumento corresponde uma e uma só imagem


4

7ln9

10-3

Trata-se de uma função, neste caso real de variável

real!

1 0


1 0

34

8

Não se trata de uma função!

Há argumentos com mais do que

uma imagem!

(1; 4) 5


(1; 4) 5

(0; 3) 9

-1(2; 7)Trata-se de uma

função, neste caso real de variável

vectorial!


)(xfy =

Funções reais de variável real

)(xfy =

argumentoimagem

)(sft =

argumentoimagem


),( yxfz =

Funções reais de variável vectorial

argumentosimagem

),,( 321 xxxfy =

argumentosimagem


• DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO REAL DE VARIÁVEL REAL:

Conjunto de valores de onde a expressão algébrica tem

sentido.

1

R

4

1)(

−=

xxf

{ } { } { }4\4:04: RxRxxRxD f =≠∈=≠−∈=


29)( xxg −=

{ } [ ]3;309: 2 −=≥−∈= xRxDg

xxh

−=

5

2)(

{ } { }25\050: 0

+=≠−∧≥∈= RxxRxDh


( )xxm

lnln

1)( =

{ }

{ } ] [ { }eexxxRx

xxxRxDm

\;110:

0)ln(ln0ln0:

∞+=≠∧>∧>∈=

=≠∧>∧>∈=


• Mais domínios…

=

xxk

1ln)(

x

{ } +=>∧≠∈=

=

>∧≠∈=

RxxRx

xxRxDk

00:

01

0:


1

216)( −+

−= x

x

xxj

{ } ] [ { }0\4;40016: 2 −=≠∧>−∈= xxRxD j


( )100 2 1

ln)(

+

−=

x

xxp

{ } −=>−∈= RxRxDp 0:

1+x


)(log)( 5 xxxr −−=

{ } { }=>∧≥−∈= 00: xxRxDr

• ATENÇÃO:

Serão as seguintes funções iguais?

xxxf lnln)( 2 −=


xxxf lnln)( −=

xxg ln)( =

Cautela! É preciso ver caso a caso. Duas funções só são iguais se as

expressões forem equivalentes e os domínios forem iguais…

( )

+−=1

ln4ln)( 2xxm



( )

−+−=

2

1ln4ln)( 2

xxxm

( )2ln)( += xxn

xxs

3)(

−=



x

xxs

3)(

−=

x

xxt

3)(

−=


y3

• DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO REAL DE VARIÁVEL VECTORIAL:

Conjunto de elementos de onde a expressão algébrica tem sentido.nR

x

yyxf

3

),( =

{ } { });0(\0:),( 22 yRxRyxD f =≠∈=


22),( yxyxg +=

37

{ } 2222 0:),( RyxRyxDg =≥+∈=


[ ] 1)1)(1(),(

−+−= yxyxh

38

( ){ }

{ })1;(),;1(\

0101:,

2

2

−=

=≠+∧≠−∈=

xyR

yxRyxDh


)ln(),( yxyxm +=

39

{ }

{ }xyRyx

yxRyxDm

−>∈=

=>+∈=

:),(

0:),(

2

2


Vamos explorar um pouco mais os domínios de funções reais de variável vectorial…

• EXEMPLO 1:• EXEMPLO 1:

yxyxf

+=

1),(


Calculemos analiticamente o seu domínio…

yxyxf

+=

1),(

Graficamente confirma-se que há pontos no plano que não irão pertencer ao domínio da função, não irão ter imagem segundo . São os pares que pertencem à bissectriz dos quadrantes pares.

f0=z

),( yx

{ }

{ }xyRyx

yxRyxD f

−≠∈=

=≠+∈=

:),(

0:),(

2

2


Como representar graficamente o domínio da função?

yxyxf

+=

1),(

42

{ }xyRyxD f −≠∈= :),( 2

Domínio de representado no espaço

(3 dimensões)…

f


Domínio de representado no plano XOY (2 dimensões)…

f

43


•EXEMPLO 2: 22),( yxyxg +=

44

45


22),( yxyxg +=


Graficamente confirma-se este resultado uma vez que não existe qualquer par do plano XOY que não tenha associada uma imagem segundo .

{ } 2222 0:),( RyxRyxDg =≥+∈=

),( yxg


Domínio representado no espaço

Domínio representado no plano XOY


•EXEMPLO 3: 3 4),( −= yyxh



3 4),( −= yyxh


Graficamente confirma-se este resultado uma vez que não existe qualquer par do plano XOY que não tenha associada uma imagem segundo .

2RDh =

h

Domínio representado no espaço


Domínio representado no plano XOY



O que são Curvas de Nível? Qual a sua utilidade?

- Por vezes não é simples representar graficamente uma função de variável vectorial.

- Existem métodos geométricos que ajudam a obter uma melhor informação sobre a função.

- Um dos métodos consiste na projecção no plano XOY das intersecções da função com planos da forma z=k.


{ }kyxfDyxN fk =∈= ),(:),(

- Tratam-se dos pontos do domínio para os quais a função toma um valor constante k.

Confuso? Vamos a dois ou três exemplos…


22),( yxyxg +=22222),( kyxkyxkyxg =+⇒=+⇔=

Função: Curvas de nível:

Trata-se de uma família de circunferências de centro (0,0) e raio k.

2RDg =


22222),( kyxkyxkyxg =+⇒=+⇔=Curvas de nível:

3=k4=k

3=k4=k

5=k

2=k


3 4),( kykyxh ⇔=−⇔=

Função:

Curvas de nível:

3 4),( −= yyxh

33

3

44

4),(

kyky

kykyxh

+=⇔=−⇔

⇔=−⇔=

Trata-se de uma família de rectas horizontais.

2RDh =


33 44),( kykykyxh +=⇔=−⇔=

5,0=k

Curvas de nível:

5,0=k

0=k5,0=k

0=k

5.0−=k

1−=k

0=k5.0−=k

1−=k


22

2),(

2

2

−±=⇔−=⇔

⇔=+⇔=

kxkx

kxkyxw

Função: Curvas de nível:2),( 2 += xyxw

222 −±=⇔−=⇔ kxkx

Trata-se de uma família de rectas verticais, aos pares.

2RDh =


22),( 2 −±=⇔=+⇔= kxkxkyxwCurvas de nível:

18=k

11=k

4=k

4=k11=k18=k 18=k11=k4=k


• CONTRADOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO REAL :

Conjunto de valores de onde a expressão algébrica tem sentido, ou seja, que são imagem de algum argumento.

R

4

1

4)(

+=

xxf

{ }0\RCD f =

f


5)( 2 += xxg

g

[ [∞+= ;5gCDg


13)( 2 +−= xxh

] ]1;∞−=hCDh


2)( ++−= πxxj

] ]2;∞−=jCD

j


• Mais alguns exemplos importantes…

)(24)( xsenxm += [ ]6;2=mCD

exp x +−= 3)(

)2cos()( xxv −= [ ]1;1−=vCD

] [eCDp ;∞−=


• Mais alguns…

)63ln()( += xxk RCDk =

8)( −= xxb+= 0RCDb

3 22)( += xxd RCDd =


)(

1)(

xtgxr = { }0/RCDr =

• E finalmente…

dbaxsencxs ++= )(.)( [ ]dcdcCDs ++−= ;

0,)( >+= − acaxt bx ] [∞+= ;cCDt

( )0>c


Exercício:

Encontre o valor das constantes de modo a garantirque o contradomínio da função seja ointervalo .[ ]1,5;6,2

cbxaxf += )cos(.)(cba ,,

intervalo .

• Também é possível calcular o contradomínio de umafunção através do cálculo do domínio da funçãoinversa, mas é preciso que esta exista, o que nem sempreacontece. A função pode não ser injectiva!

[ ]1,5;6,2


• PONTOS DE INTERSECÇÃO COM OS EIXOS

(funções reais de variável real)

Eixo XX - para descobrir os objectos cujas imagens são zero basta igualar a função a zero. Teremos assim pontos do tipo .

Eixo YY - estaremos à procura do único ponto do tipo . Para o encontrar, bastará calcular:

)0,(x0)( =xf

)0(fy =),0( y


• PONTOS DE INTERSECÇÃO COM OS EIXOS

(funções reais de variável vectorial)

A intersecção com qualquer um dos eixos obriga a anular as A intersecção com qualquer um dos eixos obriga a anular as restantes duas coordenadas. Vamos ver um exemplo!

Intersecção com o eixo dos YY:

3 4),( −= yyxh

00 =∧= zx

40440 3 =⇔=−⇔−= yyy )0,4,0(


3 4),( −= yyxh

)0,4,0( )0,4,0(

Calcule ainda a intersecção da função h com os eixos ZZ e XX e comprove graficamente os resultados.


Eixo XX

3

33

2ln3

2ln

2ln32020)(

=⇔=⇔

⇔=⇔=⇔=−⇔=

xx

xeexf xx

( )

Vamos praticar!

Quais as intersecções com

os eixos?

2)( 3 −= xexf

Intersecção com o eixo XX:

Eixo YY

Intersecção com o eixo YY:

( )0;2ln 3

12)0( 03 −=−= ×ef

( )1;0 −

os eixos?

Vamos praticar!


os eixos?

72

Eixo XX

+∈=∨=⇔=∨=⇔

⇔=⇔=

Zkkxxxsenx

xsenxxf

,10)(0)log(

0)(.)log(0)(

π

( )0;1 ( )0;πk


os eixos?

)(.)log()( xsenxxg =

Pontos de intersecção com o eixo XX: e

Eixo YY

A função não está definida no ponto zero, logo não existe intersecção com o eixo dos YY.

( )0;1

??)0(.)0log()0( == senf

( )0;πk

)log(xy =

73

Eixo XX

Ponto de intersecção com o eixo XX:( )0;0;1−

104040)0,( −=⇔=++⇔= xxxh

Capítulo 1 - FunçõesVamos

praticar!


os eixos?

44),( ++= yxyxh

Eixo YY

Ponto de intersecção com o eixo YY:

Eixo ZZ

Ponto de intersecção com o eixo ZZ:

404040),0( −=⇔=++×⇔= yyyh

( )0;4;0 −

44004)0,0( =++×=h

( )4;0;0

os eixos?

44),( ++= yxyxh

Vamos comprovar os resultados obtidos observando o gráfico da função!

74

Intersecções com

os eixos:


( )0;0;1−

( )0;4;0 −

( )4;0;0

os eixos:

No fundo temos a equação cartesianade um plano:

04444 =+−+⇔++= zyxyxz

� Função crescente

75


Definição: Uma função real de variável real é crescenteem se e só se quaisquer que sejam os pontostttttttttttttttse tiver sempre que .)()( 21 xfxf ≤

f

21 xx <[ ]baxx ;, 21 ∈

[ ]ba;

Diz-se genericamente que é crescente se for crescente emtodo o seu domínio.

Atenção! Uma função constante (ou constante em apenasalguns subconjuntos do seu domínio) pode ser consideradacrescente!

f

f

76


( )11, yx

( )22 , yx

Função crescente em [ [∞+;0

f

77


y

( ), yx ( ), yx

Função crescente em R

x

( )11, yx ( )22, yx

� Função estritamente crescente

78


Definição: Uma função real de variável real é estritamentecrescente em se e só se quaisquer que sejam os pontos

f

[ ]ba;crescente em se e só se quaisquer que sejam os pontostttttttttttttttse tiver sempre que .

Diz-se genericamente que é estritamente crescente se forestritamente crescente em todo o seu domínio.

)()( 21 xfxf < 21 xx <[ ]baxx ;, 21 ∈

[ ]ba;

f

f

y

( )22, yx

79


Função estritamente crescente em R

x

( )11, yx

� Função decrescente

80


Definição: Uma função real de variável real é decrescenteem se e só se quaisquer que sejam os pontos ttttttse tiver sempre que .)()( 21 xfxf ≥

f

21 xx <

[ ]baxx ;, 21 ∈[ ]ba;

Diz-se genericamente que é decrescente se for decrescenteem todo o seu domínio.

Atenção! Uma função constante (ou constante em apenasalguns subconjuntos do seu domínio) pode ser consideradadecrescente!

f

81


y

( ), yx

f

Função decrescente em R

x

( )11, yx( )22, yx

� Função estritamente decrescente

82


Definição: Uma função real de variável real é estritamentedecrescente em se e só se quaisquer que sejam os

f

[ ]ba;decrescente em se e só se quaisquer que sejam ospontos tttse tiver sempre que .

Diz-se genericamente que é estritamente decrescente sefor estritamente decrescente em todo o seu domínio.

)()( 21 xfxf > 21 xx <[ ]baxx ;, 21 ∈[ ]ba;

f

y

( )11, yx

83


f

Função estritamente decrescente em R

x

( )22 , yx

84


Questões…

f

1- Será uma função crescente?

2- Será uma função decrescente

no intervalo ?[ ]4;1

f

f

f3- Será uma função estritamente

crescente?

4- Será uma função estritamente

decrescente em ?−R

f

f

85


Questões…

g


decrescente?

2- Será uma função decrescente?

g

gg

2- Será uma função decrescente?


decrescente em ?[ ]1;2 −−

g

g

86


• Como provar pela definição a monotonia deuma função?

1)( 3 −= xxf(A) Seja a função . Como provar que é estritamentecrescente em ?Rcrescente em ?

Sejam tais que .

R

113

2

3

1

3

2

3

1

22211211121

−<−⇔<⇔

⇔<<⇔<

xxxx

xxxxxxxxxxx

21 , xx 21 xx <

87


(B)Seja a função . Como provar que é estritamente

decrescente em ?

2)( xxf =

−R

Sejam tais que .

Nota: quanto mais negativo é um número, mais positivo é

o seu quadrado!

−∈ Rxx 21 , 21 xx <

2

2

2

122121121 xxxxxxxxxx >⇔>>⇔<

88


QUIZZ…

VERDADEIRO OU FALSO?

1- Uma função pode ter dois pontos de intersecção com o1- Uma função pode ter dois pontos de intersecção com oeixo dos YY, sendo o exemplo perfeito uma circunferênciade raio 2 e centro na origem.

2- Uma função estritamente crescente é também crescente.

3- Uma função pode ser simultaneamente crescente edecrescente em todo o seu domínio.

89


QUIZZ…

VERDADEIRO OU FALSO?

4- Dada a função , o domínio e oRkktf ∈+= ,1

)(4- Dada a função , o domínio e ocontradomínio são iguais.

5- As funções e são iguais.

6- Uma função constante é crescente e decrescente.

Rkkkt

tf ∈+−

= ,1

)(

2

4

1

1)(

x

xxm

+

−= 1)( 2 −= xxn

90


• GRÁFICOS DE FAMÍLIAS DE FUNÇÕES

- Função Linear- Função Exponencial- Função Logarítmica- Função Quadrática- Função Módulo- Funções Irracionais- Funções Racionais (hipérboles)- Funções Trigonométricas

O gráfico de uma função linear corresponde a uma recta não vertical de equação:

bmxy +=

- Função Linear

91


bmxy +=

Declive Ordenada na Origem

y

1

12 += xyy

2

92


x

m=2: se x aumenta 1 unidade, y aumenta 2 unidades

x

2

24 +−= xy

m=-4: se x aumenta 1 unidade, y diminui 4 unidades

1−= mxy y

13 −= xy

12 −= xy

1

93


x-1

12

1−= xy

12 −−= xy

y

94


bxy +−= 3

x

13 +−= xy

xy 3−=

13 −−= xy

95


Dados dois pontos da recta e , como encontrar o declive?

bmxy +=

);( 00 yx );( 11 yx

)()()()( xfxfxfxf −−

y

1+= mxy

10

10

01

01 )()()()(

xx

xfxf

xx

xfxfm

−

−=

−

−=

x

1

2

1

110

21

01

12=

−

−=

−

−=m

)1;0(

)2;1(

Por exemplo, tendo os pontos e :

O declive também pode ser visto como a tangente da inclinação da recta!

96


y y

150º

xx45º

1)º45()( === tgtgm α

150º

3

3)º30()º150( −=−== tgtgm

97


• Equação reduzida de uma recta: bmxy +=

• Equação geral de uma recta (única forma em que qualquer recta pode ser definida, incluindo as verticais):

Exemplos:

A equação geral define uma recta que passa nos pontos e .

zByAx =+

42 =+ yx)2;0( )1;2(

98


A equação geral define uma recta vertical. Claro que não se trata de uma função! Cuidado! O objecto 3 teria infinitas imagens! Nem todas as rectas são funções…

3=x

A equação geral define uma recta horizontal. Esta recta já era definida pela equação reduzida. Neste caso estamos perante uma função constante (que por sinal é crescente e decrescente).

4=y

99


• Equação axial de uma recta: (é sempre possível traduziruma recta na forma axial, excepto no caso das rectashorizontais e verticais):

1=+b

y

a

x

Intersecção com o eixo XX:

Intersecção com o eixo YY:

Assim, as constantes a e b representam o zero da recta e aordenada na origem!

ba

);0( b

)0;(a

y xey = y xey =xey −=

- Função Exponencial

100


0,)( >= aaxf x

...71828,2,)( == eexf x

A função exponencial de base é a mais conhecida:

e

y

x

y

1

xey =

xey −=

x

y

1

xey =xey −=

-1 x

1

xey =

-1

xey −−=

y


y

xey =

key x +=

1+= xey

1−= xey

y y

101

x

1

x

2

x

1−= ey

xey =Se k>0 a função desloca-se k unidades para cima e se k<0 a função desloca-se k unidades para baixo.

-1

1

kxey +=y

xey =

1−= xey

1+= xey

y y

2


xey =xey =

102

x

1

x

1

x1

2

Se k>0 a função desloca-se k unidades para a esquerda e se k<0 a função desloca-se k unidades para a direita.

xey =

ey =

xeky =y

xey =

xey 2=y


xey =

103

x

1

ey =

x

2

1

xeky =

xey2

1=

y

x


xey =

-1

104

y

x

2

0.5-3

xey 3−=

k>0: Se a função for multiplicada por k, existe uma expansão

vertical do gráfico se k>1 e uma contracção vertical se k<1.

k<0: Se a função for multiplicada por k, existe uma

expansão vertical do gráfico se k<1 e uma contracção vertical se k>1.

1

xey =

xey =xey =

xkey =

yxey =

xey 4=y


xey =

105

x

1

x

1

ey =

xkey =

xey 5.0=

yxey 2−=y


xey = xey −=

106

x

ey =

1

x

1

k>0: Se x for multiplicado por k, existe uma contracção horizontal do gráfico se k>1 e uma expansão

horizontal se 0<k<1.

k<0: Se x for multiplicado por k, existe uma contracção horizontal

do gráfico se k<-1 e uma expansão horizontal se -1<k<0.


0,)( >= aaxf x

1,)( >= aaxf x 10,)( <<= aaxf x

107

x

y

1

xey =

xy 2=

xy 3=

x

y

1

xey =

x

xy

== −

2

12

x

xy

== −

3

13

y xey =

- Função Logarítmica


0,log)( >= axxf axxxf e lnlog)( ==

Logaritmo Neperiano (base ):e

Logaritmo Decimal (base 10):

xxxf loglog)( ==ea =

108

x1

xy ln=1

ey =

xy =

xxxf loglog)( 10 ==ea =

y

xy log=

y


0,log)( >= axxf a

x1

xy 2log=

1

xy 4log=xy ln=xy ln=

2=a 4=a

x

10,log)( <<= axxf a

xy 2log=


xy2

1log= xy5

1log=

Serão as funções

e simétricas em

relação ao eixo XX?

xy 2log=

xy2

1log=

Para meditar…

Serão iguais as seguintes funções logarítmicas?


xy ln−=

=

xy

1ln xy

e

1log=

Se sim, comprove! Se não, diga porquê.

e

xy

log

log−=

y

xy ln=

y

xy ln=( )xy −= ln


x1

xy ln−=

x1

Simetria em relação ao eixo XX Simetria em relação ao eixo YY )(xf− )( xf −

y

xy ln=

xy ln1+=

y

xy ln=

( )1ln += xy


x1 x1

xy ln=

Deslocamento vertical de 1 unidade para cima

Deslocamento horizontal de 1 unidade para a esquerda

y

xy ln=xy ln=

y

xy ln=

xy 2ln=


x1 x1

xy ln=

- Função Quadrática


O gráfico de uma função quadrática corresponde a uma parábola de expressão geral:

115

Rcbeacbxaxxf ∈≠++= ,0,)( 2

Esta não é a única forma de escrever a expressão geral de uma função quadrática.


( )xaca

b

a

bxacbxax ++=+−

+=++

42

222

2 δβ

Pode igualmente ser escrita na forma:

116

ca

be

a

bcom

aa

+−==

42

42

2

δβ

Esta última forma permite obter uma boa ideia do gráfico da função.

);( δβ− Vértice da parábola β−=x Eixo de simetria

yy2xy =


x

x

2xy −=

y( )2

xy −=

y

12 += xy


x x

1

Por curiosidade… serão os gráficos das funções e iguais?3xy −= ( )3

xy −=

y 2xy =

2

y

28.0 xy =


x

( ) 212

+−−= xy

x

2

1

y

xy =

x

y

- Função Módulo


x

x

21 +−= xy

1

2

y

x

xy −=

xy =

xxy 22 ==

x

y y


x

x

xy −=

xxy2

1

2

1−=−=

y

xy =

y

3 xy =y

- Funções Irracionais


x

xy =

x

xy =

x

xy −=

2+= xy

yy

−=

y

1+= xy


x

2

x

xy −=

x

1+= xy

1


Algumas funções irracionais um pouco mais complexas…

124

12 −= xy21 xy −=


Atenção! Uma circunferência não é uma função irracional. Nem sequer é uma função real de variável real pois é possível encontrar objectos com mais do que uma imagem.

125

2

2222

4

44

xy

xyyx

−±=⇔

⇔−=⇔=+

Quando se trabalha com circunferências deve-se ter cuidado com a linguagem usada:

=+


Está correcto dizer que a expressão traduz uma circunferência de centro (0,0) e raio 2.

Está incorrecto dizer que a função traduz uma circunferência de centro (0,0) e raio 2.

422 =+ yx

422 =+ yx

Na verdade a expressão contém duas funções (duas semi-circunferências):

422 =+ yx


24 xy −−=

22222 444 xyxyyx −±=⇔−=⇔=+

24 xy −=

Recapitulando…

A expressão não é uma função,embora traduza uma circunferência de centro (1; -2) e

( ) ( ) 252122

=++− yx


embora traduza uma circunferência de centro (1; -2) eraio 5. Na verdade, incorpora as seguintes duas funções:

Semi-circunferência

Semi-circunferência

2)1(25 2

1 −−−= xy

2)1(25 2

2 −−−−= xy

y

xy

1=

y

xy

1−=

- Funções Racionais (hipérboles)


x

x

x

x

21

+=x

y 1

1

+=

xy

yy


x

2

x

-1

y

xy

2=

2

1

xy =

y


x

xy

1=

x

x

xy

1=

Qual a diferença entre as funções e ?x

y1

=x

y1

=


xy =

xy

1=

Atenção! As duas funções estão sobrepostas para

x>0.

Qual a diferença entre as funções e ?2

1

xy =

xy

1=


xy

1=

2

1

xy =

- Funções Trigonométricas


1)(2 += xseny

134

)(1 xseny =


+=

42

πxseny

)(1 xseny =


)(1 xseny =

)(22 xseny =


)(5,02 xseny =

)(1 xseny =


)(1 xseny =

)2(2 xseny =


)5,0(2 xseny =

139

)(1 xseny =


)(xseny = π2=Período

140

Como calcular o período destas funções seno?

)(xseny =

)2( xseny = π=Período

)5,0( xseny = π4=Período

)(Cxseny =C

Períodoπ2

=


)cos(1 xy =

)cos(xy −=

141

)cos(2 xy −=

)cos(13 xy +−=


)cos(32 xy =

)3cos(3 xy =

142

)cos(1 xy =


)tan(1 xy =

143

)tan()tan(2 xxy −=−=


)tan(1 xy =

144

)5,0(tan2 xy =


)cos(xy = π2=Período

145

Como calcular o período destas funções coseno e tangente?

)cos(xy =

)(cos Cxy =C

Períodoπ2

=

)(xtgy = π=Período

)(Cxtgy =C

Períodoπ

=

)4cos(2 π−= xy ??? === PeríodoCDD


Vamos praticar…

146

7)2(tan +−= xy

2)(4 −= xseny π

??? === PeríodoCDD

??? === PeríodoCDD

ex

y +

−=

35,0tan

π??? === PeríodoCDD

)(xseny =

)cos(xy =


Estas funções trigonométricas não são injectivas, logo não admitem inversa.

147

)tan(xy =

No entanto, se restringirmos o domínio das funções a um intervalo em que sejam injectivas, então será possível considerar a existência de função inversa nessa partição do domínio.

)(xseny =

)cos(xy =


Exemplo 1:

No intervalo a função inversa do seno existe:

)(xseny =

−

2,

2

ππ

148

)tan(xy =

seno existe:

)()( yarcsenxxseny =⇔=

)(xarcseny =

)(xseny =

)(xarcseny =


Dizer que o seno de 90º é 1 equivale a dizer que o arco cujo seno é 1 é 90º.

−

2,

2

ππ

149

)(xseny =

2)1(1

2

ππ=⇔=

arcsensen

cujo seno é 1 é 90º.

)(xseny =

)(xarcseny =


Dizer que o seno de -60º é equivale a dizer que o arco cujo seno é é

-60º.

23

23

−

2,

2

ππ

150

)(xseny =

32

3

2

3

3

π

π

−=

⇔

⇔=

−

arcsen

sen

-60º.

É neste contexto que é definida a função arco cujo seno é como a função inversa do seno. )(xarcseny =

Notar que estamos a definir a função seno apenas no intervalo . Caso contrário vamos incorrer num erro grave:

−

2,

2

ππ


Se então ou2

2

4=

πsen

42

2 π=

arcsen

4

3

2

2 π=

arcsen

Temos que garantir a famosa relação unívoca necessária na definição de função e para tal temos forçosamente que trabalhar em intervalos onde a função seno seja injectiva. Só assim existirá uma e uma só imagem para cada objecto


Só assim existirá uma e uma só imagem para cada objecto na função arco seno.

Para cada intervalo definido, teremos a capacidade de encontrar a respectiva função inversa.


Exemplo 2:

)cos(xy = [ ]π,0)arccos(xy =

153

Consideremos agora a função

no intervalo .

Como a função é injectiva neste

intervalo poderemos definir a

)cos(xy =

)arccos()cos( yxxy =⇔=

)arccos(xy =[ ]π,0

intervalo poderemos definir a

função inversa do coseno como o

arco cujo coseno é.


)arccos(xy =

Dizer que o coseno de 60º é 1 /2 equivale a dizer que o arco cujo coseno é

154

)cos(xy =

32

1arccos

2

1

3cos

ππ=

⇔=

1/2 é 60º.

[ ]π,0

Exemplo 3:


)tan(xy =

−

2,

2

ππ

)tan(xy =

)arctan(xy =

155

Consideremos a função

no intervalo . Como a

função é injectiva neste intervalo

poderemos definir a função

)arctan()tan( yxxy =⇔=

)arctan(xy =

)arctan(xy =

−

2,

2

ππ

poderemos definir a função

inversa da tangente como o arco

cuja tangente é.

Dizer que a tangente de 45º é 1 equivale a dizer que o arco cuja tangente

é 1 é 45º.


)tan(xy =

)arctan(xy =

156

( )4

1arccos14

tanππ

=⇔=

é 1 é 45º.

−

2,

2

ππ


Vamos praticar:

Inverta as seguintes funções indicando um intervalo onde a operação seja possível.

π

157

a)

b)

c)

−+=

2cos31

πxy

43

2tan +

−=

πxy

( )ππ += xseny 5


• LIMITE DE UMA FUNÇÃO NUM PONTO

158

Seja uma função real de variável real f definida numa vizinhança de um ponto mas não obrigatoriamente em . 0x

0xSeja a um número real. Diz-se que

se f(x) tende para a (no eixo dos YY) quando x tende para (no eixo dos XX).

0 0x

axfxx

=→

)(lim0

0x


Observações:

- Se ambos os limites laterais existirem terão de ser iguais, ou seja: axf

xx=

+→)(limaxf

xx=

−→)(lim

- O limite, se existir, é um número finito, ou seja, não é correcto dizer que o limite num ponto é infinito. Neste caso dizemos que não existe limite, embora seja correcto escrever :

oxx +→oxx −→

0x

+∞=→

)(lim xfoxx


- O estudo do limite de uma função num ponto é independente da imagem da função nesse ponto.

160

- Se f(x) não se aproximar de nenhum número real a quando xtende para , devemos concluir que o limite não existe. 0x


Propriedades dos limites

- Se e então:

161

axfoxx

=→

)(lim bxgoxx

=→

)(lim

[ ] baxgxfoxx

+=+→

)()(lim [ ] baxgxfoxx

−=−→

)()(lim

[ ] baxgxfoxx

.)(.)(lim =→

[ ] 0,/)(/)(lim ≠=→

bbaxgxfoxx

[ ] qpqp

xxaxf

o

//)(lim =

→

(desde que a expressão faça sentido)


?)(lim0

=→

xfxx

?)(lim =xf ?)(lim1

=→

xfxx

?)(lim2

=→

xfxx

f ?)(lim0

=→

xfx


4

1)(

+=

xxf

Analiticamente, trabalhando com o infinitésimo

?)(lim1

=→

xfx

ε

0>ε

5

1

41

1lim

4

1lim

01=

+−=

+ →→ − εεxx

5

1

41

1lim

4

1lim

01=

++=

+ →→ + εεxx

5

1)(lim

1=

→xf

x


4

1)(

+=

xxf


?)(lim4

=−→

xfx

ε

0>ε

−∞=

−=

+−−=

+ →→−→ − εε εε

1lim

44

1lim

4

1lim

004 xx

+∞=

=

++−=

+ →→−→ + εε εε

1lim

44

1lim

4

1lim

004 xx

Não existe limite! Os

limites laterais nem são finitos

nem iguais!


x

xxxf

+=)(


?)(lim0

=→

xfx

ε

0>εx

00

limlim0

00limlim

0000=

−=

−

+−=

−

−+−=

+

→→→→ − εε

εε

ε

εε

εεεx

xx

x

22

limlim0

00limlim

0000=

=

++=

+

+++=

+

→→→→ + ε

ε

ε

εε

ε

εε

εεεx

xx

x


x

xxf

)sin()( =


?)(lim0

=→

xfx

ε

0>ε

1)sin(

lim)sin(

lim0

)0sin(lim

)sin(lim

0000−=

−

−−=

−=

−

−=

→→→→ − ε

ε

ε

ε

ε

εεεεx

x

x

1)sin(

lim0

)0sin(lim

)sin(lim

000=

=

+

+=

→→→ + ε

ε

ε

εεεx

x

x


• CONTINUIDADE

Diz-se que uma função real de variável real é contínua em se:

)()(lim 0xfxf =

0x

Os limites laterais têm de existir (ser finitos), ser iguais entre si e ser iguais à imagem do ponto.

Diz-se genericamente que uma função é contínua se for contínua em todos os pontos do seu domínio.

)()(lim 00

xfxfxx

=→


1- Em que ponto(s) há limitemas a função não é contínua?

f

2- Prolongue por continuidadea função ao ponto .

3- É possível afirmar que afunção é contínua?

1x


Verdadeiro ou Falso?

- Uma função ser contínua num ponto é condição suficiente para que esse ponto pertença ao domínio da função.

- A não existência de limite num ponto é condição suficiente para que uma função não seja contínua nesse ponto.

- A existência de limite num ponto é condição necessária para que a função possa ser contínua nesse ponto.


Propriedades

- Se e então as funções

170

)()(lim 0xfxfoxx

=→

)()(lim 0xgxgoxx

=→

)()( xgxf + )()( xgxf − )().( xgxf

também são contínuas em .

)()( xgxf + )()( xgxf − )().( xgxf

)(/)( xgxf (se )0)( 0 ≠xg

(desde que a expressão faça sentido)[ ] qpxf

/)(

0x


• CÁLCULO DIFERENCIAL

Definição de Taxa Média de Variação de uma função em [ ]10; xx

[ ]01

01;

)()(10 xx

xfxfTMV xx

−

−=

A Tmv traduz o declive da recta secante ao gráfico!


Vamos ver o que acontece quando aproximamos de . 0x1x

Estas rectas ainda são secantes ao gráfico da função!


No limite vamos obter uma recta tangente ao gráfico em . Ao declive dessa recta chamamos de derivada em .0x

0x


Definição de Derivada

h

xfhxfxf

h

)()(lim)(' 0.0

00

−+=

→0

00

)()(lim)('

0 xx

xfxfxf

xx −

−=

→OU


Exemplo 1

24)( xxf =

xxf 8)(' =Pelas regras de derivação sabemos que: xxf 8)(' =Pelas regras de derivação sabemos que:

Pela definição:

( ) 000

2

0

0

2

0

2

0

0

00

00

88lim8

lim

4)(4lim

)()(lim)('

xhxh

hhx

h

xhx

h

xfhxfxf

hh

hh

=+=+

=

=−+

=−+

=

→→

→→


Exemplo 2

xxg ln)( =

xg1

)(' =Pelas regras de derivação sabemos que: x

xg )(' =Pelas regras de derivação sabemos que:

Pela definição:

( )( ) ( ) ( )00

0

00

0

0

00

0

00

0

00

00

1

/

1/lnlim

11/lnlim

/lnlim

ln)ln(lim

)()(lim)('

xxh

xh

xh

xh

h

xhx

h

xhx

h

xfhxfxg

hhh

hh

=+

=+

=+

=

=−+

=−+

=

→→→

→→


Exemplo 3

xxw =)(

xw1

)(' =Pelas regras de derivação sabemos que: x

xw2

)(' =Pelas regras de derivação sabemos que:

Pela definição:

( )( )( )

( ) ( ) 0000

00

00

0

00

0000

0

00

0

00

00

2

11limlim

limlim)()(

lim)('

xxhxxhxh

xhx

xhxh

xhxxhx

h

xhx

h

xwhxwxw

hh

hhh

=++

=++

−+=

=++

++−+=

−+=

−+=

→→

→→→


Exemplo 4

xxr sin)( =

Usando a definição de derivada calcule .)(' πrUsando a definição de derivada calcule .

1)sin(

lim)sin(

lim

)sin()sin(lim)('

00

0

−=−=+

=

=−+

=

→→

→

h

h

h

h

h

hr

hh

h

π

πππ

)(' πr


No exemplo 4 calculamos a derivada pela definição no ponto usando apenas um limite. Será sempre assim?

Não! Em pontos do domínio que sejam problemáticos

π

Não! Em pontos do domínio que sejam problemáticos (pontos angulosos, pontos de mudança de ramo, etc) temos que calcular as derivadas laterais esquerda e direita, separadamente, usando dois limites distintos. Neste caso, a função seno não era problemática!

Estes são os casos mais interessantes de estudar.


h

xfhxfxf

he

)()(lim)( 0.0

00

' −+=

<→

Derivada lateral esquerda:

hhh

00

<→

h

xfhxfxf

hh

d

)()(lim)( 0.0

00

0

' −+=

>→

Derivada lateral direita:


Exemplo

Haverá derivada em ?0=x


011

lim)0()0(

lim)0(

00

00

'=

−=

−+=

<→

<→ hh

fhff

hh

hh

e

Derivada lateral esquerda:

+∞=−

=−+

=>→

>→ hh

fhff

hh

hh

d

13lim

)0()0(lim)0(

00

00

'

Derivada lateral direita:

Não existe derivada em

0=x


Regras de Derivação

Finalmente as tão aguardadas regras de derivação que evitam o uso da definição de derivada com os indesejáveis limites!

Poderei usá-las sempre? Não, atenção! Não poderemos usar as regras se quisermos calcular, por exemplo, a derivada num ponto de mudança de ramo. É muito perigoso! Devemos usar a definição, calculando separadamente as derivadas laterais por dois limites distintos.


Regras

'')( 'gfgf +=+

'.'.).( ' gfgfgf +=

( ) 34 4' xx =

( )[ ] 223242.)2(3'2 xxx ==

'.'.).( ' gfgfgf +=

2

'

'.'.

g

gfgf

g

f −=

( ) '..' 1 uunu nn −=

( ) aaua uu ln.'.'=

( )[ ] 242.)2(3'2 xxx ==

( ) xx ee 22 2'=

( ) ( ) 4ln45'4 55 xx =


Regras ( )3ln

1

3ln5

5'5log3

xxx ==

( )au

uua

ln.

''log = ( )

xex

xx

2

ln

2'ln

2

2 ==

( ) ( )22 5cos10'5sin xxx =

( )( )x

x9cos

9'9tan

2=

xex ln

uuu cos')'(sin =

( ) uuu sin''cos −=

( )( ) ( )u

u

u

uu

22cos

'

cos

''tan ==


Derivada da função composta:

[ ] )(')).((''))(( xgxgfxgf =

Não é nada de novo! Retomemos um dos exemplos anteriores…

( )[ ] 223242.)2(3'2 xxx ==

Não é nada de novo! Retomemos um dos exemplos anteriores…

Seja e então: 3)( xxf = xxg 2)( =

( ) [ ] 22 242.)2(3)(')).((''))(()(' xxxgxgfxgfxfog ====


Atenção! E quando a base e expoente são ambos funções?

[ ] ffgffgf ggg ln''' 1 += −

( )[ ] ( ) )2ln()2.(12.2'21

xxxxx xxx+=

−

Primeiro derivamos como se fosse uma potência e depois como se fosse uma exponencial. No final somamos as expressões obtidas!

( )[ ] ( ) ( ) ))5ln(sin(5sin25).5cos(5sin'5sin222 12 xxxxxxx

xxx+=

−


Derivadas Parciais:

Voltemos às funções reais de variável vectorial

Se pretendermos avaliar a variação em z decorrente de uma

),( yxfz =

Se pretendermos avaliar a variação em z decorrente de uma variação unitária apenas em x, calculamos a derivada parcial em ordem a x, dada por:

Se pretendermos avaliar a variação em z decorrente de uma variação unitária apenas em x, calculamos:

x

f

∂

∂

y

f

∂

∂


f∂

852),( yxyxfz ==

8410 yxx

f=

∂

∂ Tratamos y como sendo constante!

7575 1682 yxyxy

f==

∂

∂Tratamos x como sendo constante!


y

xyxfz == ),(

yx

f 1=

∂

∂2

y

x

y

f−=

∂

∂


4),,( 2 +−== xyzzyxfw

2yzx

f−=

∂

∂ 2xzy

f−=

∂

∂xyz

z

f2−=

∂

∂


Derivada e diferenciabilidade:

- Só existe derivada em pontos que pertençam ao domínio da função.

- Se as derivadas laterais existirem, forem iguais e infinitas , - Se as derivadas laterais existirem, forem iguais e infinitas , podemos afirmar que existe derivada (infinita) nesse ponto do domínio da função.

- Se as derivadas laterais existirem, forem iguais e finitas, a função tem derivada finita, ou seja, é diferenciável nesse ponto do domínio.


−∞== )()( 0

'

0

'xfxf de

Existe derivada infinita em x=0. A função tem derivada neste ponto mas não é diferenciável neste ponto.


Resultados importantes

- Se uma função é diferenciável num ponto do domínio tem necessariamente derivada nesse ponto.

- Se uma função é diferenciável num ponto do domínio implica que seja contínua nesse ponto.

- Se uma função for contínua num ponto do domínio pode, ou não, ter derivada nesse ponto.

- Se uma função não tiver derivada num ponto do domínio é prematuro afirmar que a função é descontínua nesse ponto.


Primeira derivada

Permite estudar a monotonia (variação) e extremos de uma função.

- Se a primeira derivada é positiva a função é estrit. crescente.

- Se a primeira derivada é negativa a função é estrit. decrescente.

- Se a primeira derivada em certo ponto é nula e muda de sinal nesse ponto, há um extremo:

Mínimo se passa de negativa para positivaMáximo se passa de positiva para negativa


Segunda derivada

Permite estudar a concavidade e os pontos de inflexão de uma função.

- Se a segunda derivada é positiva a função é convexa.- Se a segunda derivada é positiva a função é convexa.

- Se a segunda derivada é negativa a função é côncava.

- Se a segunda derivada em certo ponto é nula e muda de sinal na vizinhança desse ponto, há um ponto de inflexão. Neste ponto a função passa de convexa a côncava ou de côncava a convexa!


Segunda derivada de funções de variável vectorial

422),( yxyxfz ==

4

2

2

4yx

f

x

z

x=

∂

∂=

∂

∂

∂

∂ 22

2

2

24 yxy

f

y

z

y=

∂

∂=

∂

∂

∂

∂

32

16xyyx

f

x

z

y=

∂∂

∂=

∂

∂

∂

∂ 32

16xyxy

f

y

z

x=

∂∂

∂=

∂

∂

∂

∂

Derivadas directas

Derivadas cruzadas

Primeiro em ordem a x. Primeiro em ordem a y.

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