Upload
hadan
View
215
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
2
�SUMÁRIO
� Estrutura e cardinalidade em R� Topologia� Limites e continuidade de funções num ponto pela
Capítulo 4 - Funções
� Limites e continuidade de funções num ponto pela definição (vizinhanças)
� Teorema de Bolzano e Teorema de Weierstrass� Teorema de Rolle e de Lagrange� Fórmula de Taylor e fórmula de Mac-Laurin� Derivada da função composta e inversa.� Regra de L´Hospital e regra de Cauchy.
4
Capítulo 4 - Funções
Números Naturais
São designados por .
1, 2, 3, 4, … , n, …
N
1, 2, 3, 4, … , n, …
Os números naturais são em número infinito, mas é um infinito contável, chamado de infinito numerável.
Chamamos cardinal ao número de elementos de um conjunto. Qual é o cardinal do conjunto dos números naturais?
5
Capítulo 4 - Funções
O cardinal do conjunto dos números naturais é Alef Zero. É o cardinal dos conjuntos com um número infinito mas numerável de elementos.
{ }...,...,3,2,1 n Todos estes conjuntos { }...,...,3,2,1 n
{ },...5,...15,10,5 n
{ },...1,...2,1,0 +−−− n
Todos estes conjuntos têm o mesmo cardinal, dado por Alef Zero.
0ℵ
6
Capítulo 4 - Funções
Números Inteiros
São designados por .
..., -n, ...-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,..., n...
Z
..., -n, ...-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,..., n...
Os números inteiros também são em número infinito, e esse infinito é ainda um infinito numerável.
Logo, o cardinal do conjunto dos números inteiros é ainda dado por Alef Zero.
7
Capítulo 4 - Funções
Números Racionais
São designados por .
Podem ser escritos como a divisão de dois números inteiros.
Q
Podem ser escritos como a divisão de dois números inteiros.
Q∈8
0Q∈−
7
4Q∈
2
6
Os números racionais também são em número infinito, e esse infinito é ainda um infinito numerável. O cardinal do conjunto dos números racionais é Alef Zero.
Q∈3
1
8
Capítulo 4 - Funções
É possível fazer uma listagem dos números racionais, daí ser considerado um infinito contável, numerável.
....11111
....
....5
2
4
2
3
2
2
2
1
2
....5
1
4
1
3
1
2
1
1
1
9
Capítulo 4 - Funções
Diferenças entre o conjunto dos números racionais e o conjunto dos números naturais ou inteiros:
- O conjunto dos números racionais é denso (entre quaisquer dois números racionais há sempre outro). N e Zquaisquer dois números racionais há sempre outro). N e Znão são densos!
- Qualquer que seja o intervalo entre dois inteiros, o número de racionais nesse intervalo é igual ao número de todos os números racionais, de todos os números inteiros e de todos os números naturais (Alef Zero).
10
Capítulo 4 - Funções
....5
2
4
2
3
2
2
2....
5
1
4
1
3
1
2
1
1
1
- O número de racionais no intervalo [0,1] é Alef Zero.- Existem espaços vazios entre os infinitos racionais de 0 a 1. Esses espaços são preenchidos pelos números irracionais.
11
Capítulo 4 - Funções
4714,03
2≈
Estes números estão também
Os números irracionais são todos os números que não se podem exprimir como uma razão de dois inteiros.
4714,03
≈
7854,04
≈π
Estes números estão também compreendidos no intervalo [0,1]
Os números irracionais vão ocupar todos os espaços deixados em branco pelos números racionais no intervalo [0,1].
12
Capítulo 4 - Funções
À união entre o conjunto dos números racionais e o conjunto dos números irracionais designamos de conjunto dos números reais e representamos por R.
Números Reais
dos números reais e representamos por R.
No intervalo [0,1], se representarmos todos os números racionais e irracionais (ou seja todos os números reais deste intervalo) iremos preencher todo o espaço.
Nada ficará por preencher entre 0 e 1. Trata-se de um infinito não contável, não numerável.
Ao cardinal do contínuo chamamos Alef Um
13
Capítulo 4 - Funções
1ℵ1ℵ
RESUMO SOBRE CARDINALIDADE EM R
NÚMEROS NATURAIS:
14
Capítulo 4 - Funções
0ℵℵNÚMEROS INTEIROS:
NÚMEROS RACIONAIS:
NÚMEROS REAIS: (cardinal do contínuo)
0
0ℵ
0ℵ
1ℵ
TOPOLOGIA
Seja S um subconjunto de R, ou seja, .
15
Capítulo 4 - Funções
RS ⊂
∈∀Diz-se que b émajorante de S se e só se se tem x ≤ b.
Diz-se que b é minorante de S se e só se se tem x ≥ b.
Diz-se que S é um conjunto limitado se e só for majorado eminorado.
Sx ∈∀
Sx∈∀
- Um majorante de um conjunto é um número pelo menos tão grande como qualquer elemento desse conjunto.
- Se existe um majorante, existe uma infinidade de majorantes.
16
Capítulo 4 - Funções
- Um majorante pode ou não ser um elemento do conjunto.
- Chama-se supremo ao menor dos majorantes e ínfimo ao maior dos minorantes.
- Chama-se máximo de S ao supremo se este pertencer a S e chama-se mínimo de S ao ínfimo se este pertencer a S.
- O supremo de um conjunto S pode existir ou não.
- O supremo de um conjunto S se existir é único.
- Um conjunto S pode não ter máximo:
17
Capítulo 4 - Funções
- Um conjunto S pode não ter máximo:
i) Se o conjunto S nem sequer é majorado OUii) Se o supremo de S, menor dos majorantes, não
pertencer a S
- Todo o subconjunto S de R, majorado e não vazio, tem supremo. Todo o subconjunto S de R , minorado e não vazio, tem ínfimo.
18
Capítulo 4 - Funções
[ ] [ [20,106,1 ∪=A
Exemplo 1
Majorantes: Minorantes:
Supremo: Ínfimo:
Máximo: não existe Mínimo:
[ [∞+,20 ] ]1,∞−
20 1
1
19
Capítulo 4 - Funções
Exemplo 2
∈−== Nnn
xxB ,1
5:
Majorantes: Minorantes:
Supremo: Ínfimo:
Máximo: não existe Mínimo:
[ [∞+,5 ] ]4,∞−
5 4
4
20
Capítulo 4 - Funções
Exemplo 3
[ ] QC ∩= 9,3
Majorantes: Minorantes:
Supremo: Ínfimo:
Máximo: Mínimo:
??
??
??
??
??
??
21
Capítulo 4 - Funções
Distância em R:
A distância entre dois pontos x e y em R é uma funçãoque satisfaz as seguintes propriedades:RRyxd →2:),( RRyxd →:),(
0),( ≥yxd
),(),( xydyxd =
),(),(),( yzdzxdyxd +≤
yxyxd −=),(
22
Capítulo 4 - Funções
Vizinhança:
Uma vizinhança de um ponto em R (com ) é: ε a 0>ε
{ }
{ } ] [εεε
εε
+−=<−∈=
=<∈=
aaaxRx
axdRxaV
,:
),(:)(
23
Capítulo 4 - Funções
Ponto Interior:
Seja um subconjunto de R. Seja um ponto de R. O ponto a é interior a A se existe uma vizinhança de
RA ⊂ Ra ∈
a contida em A.
O conjunto dos pontos interiores de A é o interior de A.
[ ]8,0=A ?int =A
[ [6,2−=B ?int =B
24
Capítulo 4 - Funções
[ ] QRD \25,1 ∩=
?int =C
?int =D
∈== Nnn
xxC ,2
:
[ ] QRD \25,1 ∩=
[ ] { }1710,2 ∪=E
?int =D
?int =E
{ } { }108,6,3 ∪=F ?int =F
25
Capítulo 4 - Funções
Ponto Exterior:
Seja um subconjunto de R. Seja um ponto de R. O ponto a é exterior a A se existe uma vizinhança de
RA ⊂ Ra ∈
a que não intercepta A.
O conjunto dos pontos exteriores de A é o exterior de A.
[ ]8,0=A ?)( =Aext
[ [6,2−=B ?)( =Bext
26
Capítulo 4 - Funções
[ ] QRD \25,1 ∩=
?)( =Cext
∈== Nnn
xxC ,2
:
?)( =Dext[ ] QRD \25,1 ∩=
[ ] { }1710,2 ∪=E
{ } { }108,6,3 ∪=F
?)( =Dext
?)( =Eext
?)( =Fext
27
Capítulo 4 - Funções
Ponto Fronteiro:
Seja um subconjunto de R. Seja um ponto de R. O ponto a é fronteiro a A se: , e
RA ⊂ Ra ∈
)(aVε∀ φε ≠∩ AaV )(
φε ≠∩ AaV )(
Qualquer vizinhança está em A e no seu complementar. O conjunto dos pontos fronteiros de A é a fronteira de A.
[ ]8,0=A ?)( =Afront
[ [6,2−=B
φε ≠∩ AaV )(
?)( =Bfront
28
Capítulo 4 - Funções
[ ] QRD \25,1 ∩=
?)( =Cfront
∈== Nnn
xxC ,2
:
?)( =Dfront[ ] QRD \25,1 ∩=
[ ] { }1710,2 ∪=E
{ } { }108,6,3 ∪=F
?)( =Dfront
?)( =Efront
?)( =Ffront
29
Capítulo 4 - Funções
Ponto Aderente:
É um ponto que está no interior de A ou na fronteira de A. Em linguagem de conjuntos, a é aderente a A se ,)(aVε∀
φ≠∩ AaV )(
A aderência de A é formada pela união do interior de A com a fronteira de A, ou seja:
φε
≠∩ AaV )(
)()(intAder(A) AfrontA ∪=
30
Capítulo 4 - Funções
Conjunto Aberto:
Um conjunto A é aberto se coincidir com o seu interior.
)(intA A=
Um conjunto A é fechado se coincidir com a sua aderência.
Conjunto Fechado:
)()(int)(A AfrontAAader ∪==
31
Capítulo 4 - Funções
Exemplos:
[ ] { }75,1 ∪=A O conjunto A é fechado pois coincide com a sua
] [5,1)int( =A
ARAext \)( =
{ }7,5,1)( =Afront
] [ { } AAader =∪= 7,5,15,1)(
pois coincide com a sua aderência. Não é aberto pois não coincide com o seu interior.
32
Capítulo 4 - Funções
Exemplos:
∈+−== Nnn
exxBn ,
1)1(:
φ=)int(A
{ }( )eeBRAext ,\)( −∪=
{ }eeBAfront ,)( −∪=
{ }eeBAader ,)( −∪=
O conjunto A não é aberto nem fechado.
33
Capítulo 4 - Funções
Há conjuntos simultaneamente abertos e fechados. É o caso do conjunto vazio e de R. São chamados “clopen sets”.
RC = φ=D
RC =)int(
φ=)(Cext
φ=)(Cfront
RCader =)(
φ=)int(D
RDext =)(
φ=)(Dfront
φ=)(Dader
34
Capítulo 4 - Funções
Ponto de Acumulação:
O ponto a é ponto de acumulação do conjunto A se à sua volta se juntarem infinitos pontos de A. Um ponto de acumulação de A pode não pertencer a A.A pode não pertencer a A.
Ao conjunto dos pontos de acumulação do conjunto A chama-se derivado de A, designado por .
{ }[ ] φε
≠∩ aAaV \)(,0>∀ε
A′
35
Capítulo 4 - Funções
Ponto Isolado:
O ponto a do conjunto A é ponto isolado se não for ponto de acumulação de A, ou seja, se:acumulação de A, ou seja, se:
,0>∃ε { }aAaV =∩)(ε
36
Capítulo 4 - Funções
[ ] QB ∩= 7,1
{ }8)( =Aderiv
∈+== Nnn
xxA ,1
8:
[ ]7,1)( =Bderiv[ ] QB ∩= 7,1
[ ] { }19,4 ∪=C
[ [ ZD ∩= 7,3
[ ]7,1)( =Bderiv
[ ]9,4)( =Cderiv
φ=)(Dderiv
37
Capítulo 4 - Funções
{ }6,6)( −=Ederiv
] [ { }19,2 ∪=F
∈+−== +Nn
nxxE
n ,2
)1(6: 1
[ ]9,2)( =Fderiv] [ { }19,2 ∪=F [ ]9,2)( =Fderiv
Teorema de Bolzano Weirstrass:
Todo o subconjunto limitado de R, de cardinal infinito, admite pelo menos um ponto de acumulação.
38
Capítulo 4 - Funções
Limites de funções num ponto: definição por vizinhanças
Seja uma função real de variável real f, definida numa vizinhança do ponto , , mas não necessariamente x )(xVvizinhança do ponto , , mas não necessariamente em .Diz-se que é o limite de f(x) quando x tende para se:
0x )(
0xV
0x
εδεδε <−⇒<−∃>∀ bxfxx )(:)(,0 0
b 0x
40
Capítulo 4 - Funções
Exemplo 1:
Provemos pela definição que o limite no ponto 1 é 4.
εδεδε <−⇒<−∃>∀ 4)(1:)(,0 xfx
22)( += xxf
εδεδε <−⇒<−∃>∀ 4)(1:)(,0 xfx
2112)1(2
224224)(
εεε
εεε
<−⇔<−⇔<−⇔
⇔<−⇔<−+⇔<−
xxx
xxxf
43
Capítulo 4 - Funções
4
yf
ε 0,2 0,1
ε )(εδ
1 x
δ
2)(
εεδ =
0,002 0,001
As imagens dos xx que estejam dentro de uma vizinhança 0,1 de , estarão dentro de uma vizinhança de 0,2 de y=4.
1=x
44
Capítulo 4 - Funções
Exemplo 2:
Provemos pela definição que o limite no ponto 3 é 5.
εδεδε <−⇒<−∃>∀ 5)(3:)(,0 xfx
4)( 2 −= xxf
εδεδε <−⇒<−∃>∀ 5)(3:)(,0 xfx
7333)3)(3(
9545)( 22
εεε
εεε
<−⇒<+−⇔<+−⇔
⇔<−⇔<−−⇔<−
xxxxx
xxxf
Vamos majorar por 7
45
Capítulo 4 - Funções
Exemplo 3:
Provemos pela definição que o limite no ponto 2 é 1/2.
εδεδε <−⇒<−∃>∀1
)(2:)(,0 xfx
xxf
1)( =
εδεδε <−⇒<−∃>∀2
1)(2:)(,0 xfx
εε
εεεε
222
2
2
2
2
2
2
11
2
1)(
<−⇒<−
⇔
⇔<−
⇔<−
⇔<−⇔<−
xx
x
x
x
x
x
xxf
Vamos minorar por 1x
46
Capítulo 4 - Funções
Para provar pela definição que uma função é contínua num dado ponto, basta calcular a imagem b desse ponto e provar pela definição que o limite da função nesse ponto é igual a b.igual a b.
Exemplo: prove pela definição que é contínua em x=1. Como , basta provar que:
xxf −= 5)(
4)1( =f
εδεδε <−⇒<−∃>∀ 4)(1:)(,0 xfx
47
Capítulo 4 - Funções
Teorema de Bolzano ou do Valor Intermédio:
Seja uma função contínua num intervalo fechado com . Seja k um valor arbitrário entre f(a) e f(b) (ou entre f(b) e f(a)). Então existe c, tal que f(c)=k.
[ ]ba;
)()( bfaf ≠
f(b) (ou entre f(b) e f(a)). Então existe c, tal que f(c)=k.
Corolário do Teorema de Bolzano
Se f(a).f(b)<0, então f tem pelo menos um zero em .[ ]ba;
48
Capítulo 4 - Funções
Teorema de Weierstrass ou do Valor Extremo:
Toda a função contínua num conjunto limitado e fechado de R tem máximo e mínimo.
x
y
f
a b
max
min
49
Capítulo 4 - Funções
y
f
xa b
Não há máximo nem mínimo em [a,b] . O intervalo não é fechado logo as condições de aplicação do teorema de Weierstrass não estão cumpridas. Não se garante a existência de extremos em [a,b].
50
Capítulo 4 - Funções
Teorema de Rolle:
Seja uma função contínua em e diferenciável em . Seja . Então tal que .
f [ ]ba, ] [ba,
kbfaf == )()( ] [bac ,∈∃ 0)(' =cf
x
y
f
a b
k
51
Capítulo 4 - Funções
Não basta que a função seja contínua, tem de ser diferenciávelem . Se apenas for contínua não garantimos que exista pelo menos um ponto onde a derivada se anula. Ver exemplo seguinte: y
] [ba,
x
y
f
a b
k
52
Capítulo 4 - Funções
Corolário 1 do Teorema de Rolle:
Entre dois zeros de uma função diferenciável há pelo menos um zero da derivada.
Corolário 2 do Teorema de Rolle:
Entre dois zeros consecutivos da derivada de uma função diferenciável há, no máximo, um zero da função.
53
Capítulo 4 - Funções
Teorema de Lagrange (ou dos acréscimos finitos):
Seja uma função contínua em e diferenciável em . Então existe tal que:
)(xf [ ]ba, ] [ba,
] [bac ,∈ ] [
)(')()(
cfab
afbf=
−
−
x
y
a bc
O declive da recta secante ao gráfico que passa em ae b é igual à derivada no ponto c.
f
54
Capítulo 4 - Funções
Corolário 1 do Teorema de Lagrange:
Seja uma função nas condições do teorema de Lagrange. Se , , é constante em .
0)(' =xf
] [bax ,∈∀ )(xf [ ]ba,
Corolário 2 do Teorema de Lagrange:Corolário 2 do Teorema de Lagrange:
Seja uma função nas condições do teorema de Lagrange. Se , , é estritamente crescente em
0)(' >xf
] [bax ,∈∀ )(xf [ ]ba,
Corolário 3 do Teorema de Lagrange:
Seja uma função nas condições do teorema de Lagrange. Se , , é crescente em
0)(' ≥xf
] [bax ,∈∀ )(xf [ ]ba,
55
Capítulo 4 - Funções
Diferencial de uma função num ponto
Permite fazer aproximações ao valor (desconhecido) de uma função num ponto desde que num ponto vizinho conheçamos o valor da função e da sua derivada.o valor da função e da sua derivada.
Exemplos:
- A partir de sen(45º) podemos prever o valor de sen(46º).- A partir de podemos prever o valor de ou de . 9 8 10
56
Capítulo 4 - Funções
- Ou seja, sabendo o valor que uma variável toma hoje e sabendo o seu ritmo de crescimento, posso prever o seu comportamento no futuro.
- Ponto conhecido
- dx corresponde à variação na variável x
- Consideremos o novo valor de x dado por
- Pretende-se estimar
( )( )00 , xfx
)( 0 dxxf +
dxx +0
57
Capítulo 4 - Funções
y
f)( dxxf + A yfxfdxxfCA ∆=∆=−+=− )()(
x0x dxx +0
)( 0xf
)( 0 dxxf + A
B
C
yfxfdxxfCA ∆=∆=−+=− )()( 00
A-C é o acréscimo da função devido a dx
58
Capítulo 4 - Funções
y
f)( dxxf + A
dydfCB ==−
B-C é o diferencial da função
x0x dxx +0
)( 0xf
)( 0 dxxf + A
B
C
dxxfdy )('0
=
)('0
xfdx
dy=
59
Capítulo 4 - Funções
y
f)( dxxf + A
dyy ≈∆
x0x dxx +0
)( 0xf
)( 0 dxxf + A
B
CDiferencialAcréscimo
60
Capítulo 4 - Funções
dxxfxfdyxfdxxf ).(')()()( +=+≈+
dyy ≈∆
dxxfxfdyxfdxxf ).(')()()( 0000 +=+≈+
Imagem do ponto conhecido
DiferencialImagem do ponto desconhecido
Aproximação de primeira ordem
61
Capítulo 4 - Funções
Exemplo:
A partir do valor de estime o valor de . A ideia geral é que será mais um “bocadinho”. Esse “bocadinho” é o diferencial em 4 para dx=1 .
4 5
5 4
diferencial em 4 para dx=1 .
4
951
4
125)4('4545 ≈⇔×+≈⇔+≈⇔+≈ dxfdy
4
1)4('e
2
1)('logo)( === f
xxfxxf
62
Capítulo 4 - Funções
25,24
95 =≈
Usando uma máquina calculadora obtém-se o valor “exacto”:
O erro na aproximação corresponde a:
...236068,25 =
013932,0236068,225,2 =−
63
Capítulo 4 - Funções
Aproximação de 1ª ordem da função em torno de x=4.
4
1)4('logo
2
1)('logo)( === f
xxfxxf
xxf =)(
14
)4.(4
14.
4
14 +≈⇔−+≈⇔+≈
xxxxdxx
4)4('logo
2)('logo)( === f
xxfxxf
Polinómio de grau 1
64
Capítulo 4 - Funções
Aproximação de 1ª ordem da função em torno de x=9.
6
1)9('logo
2
1)('logo)( === f
xxfxxf
xxf =)(
2
3
6)9.(
6
13.
6
19 +≈⇔−+≈⇔+≈
xxxxdxx
6)9('logo
2)('logo)( === f
xxfxxf
Polinómio de grau 1
65
Capítulo 4 - Funções
Considerações importantes:
- O diferencial de uma função num ponto depende do valor da derivada nesse ponto e do acréscimo dx.da derivada nesse ponto e do acréscimo dx.
- O valor de dx nada tem que ver com a função específica que estamos a aproximar.
dxxfdy ).(' 0=
66
Capítulo 4 - Funções
-A diferença entre o diferencial e o acréscimo depende do valor de dx e da forma específica da função; se esta for uma recta ....; se for convexa….; se for côncava....
- Só se pode falar de diferencial num ponto que pertença ao domínio de f.
- Só se pode falar em diferencial num ponto se a função for diferenciável nesse ponto.
67
Capítulo 4 - Funções
y
f
Aproximações por polinómios de ordem superior
O diferencial deu origem à aproximação de primeira ordem e este foi um primeiro passo para
x0x
f
dxx +0
)( 0xf
)( 0 dxxf + A
B
C
este foi um primeiro passo para aprendermos a calcular valores de certas funções.
Mas porque não aproximar uma curva à função e não uma recta, de modo a melhorar a aproximação?
68
Capítulo 4 - Funções
Aproximação de 1ª ordem
))((')()( axafafxf −+≈
Aproximação de 2ª ordemAproximação de 2ª ordem
!2
))((''))((')()(
2axaf
axafafxf−
+−+≈
Aproximação de ordem n
( )
!
))((...
!2
))((''))((')()(
2
n
axafaxafaxafafxf
nn −++
−+−+≈
69
Capítulo 4 - Funções
xexf =)(Exemplo: Consideremos 0=a
Aproximação de 1ª ordem
)0)(0(')0()( −+≈= xffexfx
yf xy +=1
2)0)(0(''2
1)0)(0(')0()( −+−+≈= xfxffexf
x
2
2
11)( xxexf
x ++≈=
)0)(0(')0()( −+≈= xffexf
xexfx +≈= 1)(
Aproximação de 2ª ordemx
1
70
Capítulo 4 - Funções
Aproximação de ordem n
nnxxfxfxffexf )0)(0(
1...)0)(0(''
1)0)(0(')0()( 2 −++−+−+≈= nnx
xfn
xfxffexf )0)(0(!
1...)0)(0(''
2
1)0)(0(')0()( 2 −++−+−+≈=
...!
1...
!4
1
!3
1
2
11)( 432 +++++++≈= nx
xn
xxxxexf
71
Capítulo 4 - Funções
xexf =)(Exemplo: Consideremos 1=a
Aproximação de 1ª ordem
)1)(1(')1()( −+≈= xffexfx
yf exy =
)1)(1(')1()( −+≈= xffexf
Aproximação de 2ª ordem
exxeeexfx =−+≈= )1()(
2)1(2
1)1()( −+−+≈= xexeeexf
x
2)1)(1(''2
1)1)(1(')1()( −+−+≈= xfxffexf
x
x
e
1
72
Capítulo 4 - Funções
Aproximação de ordem n
nnxxfxfxffexf )1)(1(
1...)1)(1(''
1)1)(1(')0()( 2 −++−+−+≈= nnx
xfn
xfxffexf )1)(1(!
1...)1)(1(''
2
1)1)(1(')0()( 2 −++−+−+≈=
nxxe
nxexeeexf )1(
!
1...)1(
2
1)1()( 2 −++−+−+≈=
Estas aproximações foram descobertas por Brook Taylor.
73
Capítulo 4 - Funções
Polinómio de Taylor:
axafaxafaxafafxf ))(('''!3
1))((''
!2
1))((')()( 32 +−+−+−+≈
nnaxaf
naxaf ))((
!
1...))((''''
!4
1
!3!2
)(4 −++−+
74
Capítulo 4 - Funções
Fórmula de Taylor:
))(('''!3
1))((''
!2
1))((')()( 32
axafaxafaxafafxf +−+−+−+=
)())((!
1...))((''''
!4
1
!3!2
)(4axRaxaf
naxaf n
nn −+−++−+
O resto de ordem n é o que “sobra” após uma aproximação de ordem n.
75
Capítulo 4 - Funções
Fórmula de Mac-Laurin:
( ) ( ) ))(0('''!3
1)0(''
!2
1)0(')0()( 32
xfxfxffxf ++++=
amente)obrigatori(0=a
)())(0(!
1...))(0(''''
!4
1
!3!2
)(4xRxf
nxf n
nn ++++
Quando a fórmula de Taylor é desenvolvida em torno de a=0 denomina-se de fórmula de Mac-Laurin.
76
Capítulo 4 - Funções
O Resto de Lagrange:
( )( )
)(!1
)( )1(
1
cfn
axaxR
n
n
n
+
+
+
−=− ] [xac ,∈
( )!1nn
+] [xac ,∈
- É o termo de ordem n+1 na fórmula de Taylor com a derivada calculada num ponto desconhecido c, entre x e a.
- O resto é desconhecido, por isso vamos querer majorá-lo.
77
Capítulo 4 - Funções
Exemplo:
-Escreva a fórmula de Taylor com resto de Lagrange onde aparece a derivada de terceira ordem em torno de (ou seja, a fórmula de MacLaurin) da função .
0=xx
exf =)(seja, a fórmula de MacLaurin) da função . Calcule ainda um majorante para o erro ao calcular .
exf =)(
32 )0)(('''!3
1)0)(0(''
!2
1)0)(0(')0()( −+−+−+== xcfxfxffexf
x
xccfxxxexfx <<+++== 0)('''
!3
1
!2
11)( 32
1,0e
78
Capítulo 4 - Funções
xcexxxexfcx <<+++== 0
!3
1
!2
11)( 32
Esta fórmula é exacta. Só é possível majorar o resto no caso concreto.concreto.
Caso concreto:
O que dizer sobre o resto?
( ) ( ) ( ) cceeef
3321,0 1,0!3
1105,11,0
!3
11,0
!2
11,01)1,0( +=+++==
1,00 << c
79
Capítulo 4 - Funções
( ) 1,001,0!3
1)1,0(
3
2 <<= ceRc
Um majorante do resto será obtido quando c=0,1.
( ) ...0003684,01,0!3
1 1,03=e
Com uma aproximação de 2ª ordem, o erro (em módulo) ao afirmarmos que é inferior a . Com uma máquina de calcular obtemos .
105,11,0 =e 0003684,0
105170918,1
80
Capítulo 4 - Funções
Derivada da função composta e inversa
Derivada da função composta
[ ] [ ] )(')).((''))((')( xgxgfxgfxfog ==
[ ] )(')).(('))).((('')))((( xhxhgxhgfxhgf =
81
Capítulo 4 - Funções
Derivada da função inversa
Seja uma função estritamente monótona (logo, injectiva) e contínua. Seja a sua função inversa .
RRDf →⊂:g RDfg →)(:
Se é diferenciável em e então:
é diferenciável em .
))(('
1
)('
1)('
00
0ygfxf
yg ==
f Dx ∈00)(' 0 ≠xf
g00 )( yxf =
82
Capítulo 4 - Funções
64)( += xxf
4
664
−=⇔+=
yxxy
Exemplo 1 :
Como a função inversa de f é:
6−x
Como calcular ? É fácil perceber que . Mas como encontrar este valor sem encontrar explicitamente a função inversa de f ? Aplicando a fórmula da derivada da função inversa.
4
6)()(1 −
==− xxgxf
)1('g4
1)1(' =g
83
Capítulo 4 - Funções
64)( += xxf
Pretende-se calcular . Sabendo que os objectos da função inversa são as imagens da função inicial, podemos encontrar a coordenada em falta do ponto em estudo.
)1('g
coordenada em falta do ponto em estudo.
Ponto de f:
Ponto de g:
4
1
4
5'
1)1(' =
−
=
f
g
4
5641 −=⇔+= xx
− 1;
4
5
−
4
5;1
84
Capítulo 4 - Funções
7)( 2 −= xxfExemplo 2 :
Fazendo uma restrição ao domínio de f e sendo g a função inversa de f, encontre . )2('ginversa de f, encontre .
Sabemos que f não é uma função injectiva no seu domínio logo consideremos ou . Vamos considerar a segunda restrição.
)2('g
0>x 0<x
772 +−=⇔−= yxxy 7)()(1 +−==−xxgxf
85
Capítulo 4 - Funções
72
1)('
+
−=
xxg
6
1)2(' −=g
Usando o teorema da derivada da função inversa, temos:
( ) ( ) 6
1
32
1
3'
1)2(' −=
−×=
−=
fg
Usando o teorema da derivada da função inversa, temos:
Dada a restrição x<0, . Ponto de f:
Ponto de g:
33972 2 =∨−=⇔=⇔−= xxxx
( )2;3−
( )3;2 −
3−=x
86
Capítulo 4 - Funções
Regras de L´Hospital e de Cauchy
Sejam duas funções e diferenciáveis num )(xg
Regra de L´Hospital
Sejam duas funções e diferenciáveis num ponto onde mas . Seja ainda
numa vizinhança de . Então:
)(xf )(xg
ax = 0)()( == agaf 0)(' ≠ag
0)( ≠xg ax =
)('
)('
)(
)(lim
ag
af
xg
xfax
=→
87
Capítulo 4 - Funções
101
2
5
25lim
5
0
0
2
5=
=
−
−
=
→x
RL
x
x
x
x
2210
2
−−
RL
xx
Confirmar que as condições de aplicação
3
2
2
6
2
66
1lim
1
02
1−=
−=
−
−
=
→
x
RL
x
x
x
x
x
( ) ( )1
9
9cos9
9
9lim
0
0
0
0=
=
=
→x
RL
x
x
x
xsen
condições de aplicação da regra de L´Hospitalestão verificadas em todos estes exemplos!
88
Capítulo 4 - Funções
Notas:
- Esta regra só é válida para o caso .0
0
)(116
32
3
43lim
1
2
2
1FALSO
x
x
xx
xx
xx
=
−
+=
−
−+
=→
89
Capítulo 4 - Funções
- A regra pode ser usada para levantar indeterminações quando x tende para infinito. Basta redefinir a variável.
( ) ( )1
cossinlim
6sin
lim0
0
=
==
RL
zzx 6=
( ) ( )1
1
cossinlim
6lim
0
0
0=
==
=
→+∞→x
zx
z
z
z
x
xx
z6
=
11
1lim
1
1lim
0
0
0
0
2
12
=
=
−=
−
=
→+∞→x
zRL
z
z
x
x
e
z
e
x
e2
1
xz =
90
Capítulo 4 - Funções
Sejam duas funções e definidas num ponto de um intervalo (mas eventualmente não diferenciáveis em ) e tais que quando
)(xf )(xg ax =
Regra de Cauchy
] [βα ,
ax = ax →diferenciáveis em ) e tais que quando (com ) , e ou e .
Então:
(desde que o segundo limite exista)
ax = ax →ax ≠ 0)( →xf 0)( →xg ∞→)(xf ∞→)(xg
)('
)('lim
)(
)(lim
xg
xf
xg
xfaxax →→
=
91
Capítulo 4 - Funções
Notas:
- O ponto a pode ser um dos extremos de .] [βα ,
0 ∞- A indeterminação pode ser da forma ou .
- O limite pode ser tomado em ou .
0
0
∞
∞
∞+ ∞−
92
Capítulo 4 - Funções
05
1lim
5
1
limln
lim545
===+∞→+∞→
∞
∞
+∞→ xx
x
x
x
xx
RC
x
12
)1(
1
2
1
1
lim1)1ln(
lim
0
20
0
0
0
0
20=
++
=+−
=−+−
=
→
→
x
xRLx
x
RCx
x
xe
x
xe
x
xe
93
Capítulo 4 - Funções
Outros tipos de indeterminação:
( ) 0lim1
1
lim1
lnlimln.lim
000
0
0=−=
−
==++++ →→
∞
∞
→
∞×
→xxx
xxxx
RC
xx 11 0
2
000−
++++ →→→→
xx
xxxx
0sincos2
sinlim
cossin
1coslim
sin.
sinlim
sin
11lim
0
0
0
0
0
0
00
=
−
−=
=
+
−=
−=
−
→
→
→
∞−∞
→
xxx
x
xxx
x
xx
xx
xx
x
RC
x
RC
xx