Calculo Integral y Aplicaciones - Granero

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CALCULO INTEGRAL Y APLICACIONES

francisco Granero

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Clculo Integral y Aplicaciones

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Clculo Integral y Aplicaciones

Francisco GraneroDoctor Ingeniero Industrial Profesor Titular de Matemtica Aplicada E.T.S . Ingenieros Industriales y de Telecomunicaciones de Bilbao Universidad del Pas Vasco - Euskal Herriko Unibertsitatea

Madrid. Mx ico. Santaf de Bogot . Buenos Aires. Caracas. Lima . Montevideo San Juan. San Jos . Santiago. Sao Paulo White Plains

-----Hall

Prentice


/

datos de cata logacin bibliogrfica

GRANERO, F.

CLCULO INTEGRAL Y APLICACIONESPEARSON EDUCACI N, S. A., Madrid, 2001 ISBN: 84-205-3223-1 Materia: Clculo integral: F o rmalo 195X

517 Pginas: 312

250

Todos los derechos reservados No est permitida la reproduccin total o parcial de esta obra ni su tratamiento o transmisin por cualquier medio o mtodo, si n autorizacin escrita de la Editorial. DERECHOS RESERVADOS 200 1 PEARSON EDUCACIN, S. A. Nez de Balboa, 120 28006 MADRID FRANCISCO GRANERO CLCULO INTEGRAL Y APLICACIONES

ISBN: 84-205-3223-1 Depsito legal: TO. 1112- 2001PRENTICE HALL es un sello editorial autorizado de PEARSON EDUCACIN, S. A. Equipo editorial: Editora: Isabel Capella Asistente editorial: Sonia Ayerra Equipo de produccin: Director: Jos Antonio CIares Tcnico: Jos Antonio Hernn Diseo de cubierta: Mario Guindel, Yann Boix y La Senz Composicin: COPIBOOK Impreso por: GRAFILLES IMPRESO EN ESPAA - PRINTED IN SPAIN

Este li bro ha sido impreso con papel y tintas ecolgicos


A Alicia, Patxi, Joseba y muy especialmente a Arantza



eontenido

PRLOGO 1. INTEGRALES DEFINIDAS SIMPLES ......... . ..... ..... . .. ... ......... ... . . 1.1. La integral de Riemann . . . . . ........................................ . .... Algunas condiciones suficientes de integrabilidad .. ... .... .......... ....... Propiedades de la integral de Riemann ... . ......................... . . .. . ... Teoremas fundamentales del Clculo integral . . ..... .. .. ... ................ Aplicaciones al clculo de reas planas ............... . . . .......... .. ...... Generalizacin de la regla de Barrow .. ..... .. .... .. ..... .. . . .... .. . ... .... Integrales impropias . . .. . . .. ... ... ..... . . . .... . ...... .. .. . ........ . . .. . .. Carcter de una integral impropia ..... .......... ..... .. .... ..... . ... ... .... Caso en el que el intervalo de integracin es infinito ..... . ...... . . . . . .... .. Caso en el que la funcin subintegral f(x) no es acotada ..... .. .... ... ... . . Integrales eulerianas ............... .. . ...... . .. . . . . .. .. ............ . ..... . Convergencia y clculo de la funcin rep) .............. . . ... .. . .. . ... . .... Prolongacin de la funcin Gamma .... ......... . ... .. . .... . . .. ...... . .. ... La funcin euleriana B(p, q) .. .... ... .. . .. ... .. ..... .. ...... .. . ...... . .. .. . Integrales paramtricas .. . ...... .... . . .. .. . ... . . . ...... ... . . ....... . .. . .. Propiedades de las integrales paramtricas . .. . ................. .... . .. . .... Aplicaciones de la derivacin paramtrica .. .. . . . .. . ...... . .. .. .. . ... ...... . Aplicaciones de la integral definida simple .......... . ..... . ...... . . .. ....reas planas en coordenadas paramtricas y polares ..... ... .... . . .... .. . .. . Longitud de un arco de curva .. .... .... ............... . .. . .. . .. . . . .........

XI

1 4 5 8 9 11

1.2.

12 13 14 16 17 17 20 21 25 26 29 29 30 33

1.3.

1.4.

1.5.


VIII

Contenido

Volumen de un slido de secciones conocidas . .... . .. . . .. .. ... . .... . . .. . .. Volumen de un slido de revolucin .... . .......... . . . .. . . . .... . ... .. . . .. . . rea lateral de un slido de revolucin ..... .. ...... . .... . .. ....... . ..... . . Centros de gravedad o centroides . .. .......... . . . ... . .......... . .... .... . . . Momentos de inercia . . .............. . . . ..... .. .. .. . . .............. . ... ... .

38 40 41 44 50 58 83 99

Ejercicios resueltos ....... . . . .. . . ... . . . .. .... . . .... .. ...... . . ...... . . . .. . ... .... Ejercicios propuestos ... . . .. . .. . . . ............ . .... . .. . .. .. . . ... . .. . ............ 2. INTEGRALES CURVILNEAS....................... . . . . . ... . .. .. . ... . . .. . ... 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. Introduccin... .. .. . . . .. . .. . ... . ... . ..... .. . . ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Integrales curvilneas en R 2 . . . . . . . . . . . . . . . . .... . . . . . . . . . .. . .. . . Propiedades ................ . .. . .. . . . .. . . .. .... . ........ ....... ... .. . . .. .... Resolucin de una integral curvilnea en R2 .. .. . . . . . . . .. . ... ... . . . ... .. .. . . . Integrales curvilneas en R 3 . . .. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . ... . . . . Integral curvilnea de una funcin vectorial en R 2 .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . Propiedades y clculo .............. . ... .. .......... . .... ... .... ...... .. . .. Independencia del camino. Funcin potencial ..... . .. . .. . ...... . .. . .. . .. . . . Independencia del camino con puntos singulares . . ... . ... . .. . .. . .. ..... . ... Integral curvilnea de una funcin vectorial en R 3 .. . . .. .... . . .. ..

2.5.

99 99 100 101 105 109 109 111 115 117 119125 125 125 127 131 135 139 140 143 146 149 155 162 165 165 168 170 175 176 177 184 189 193 199

Ejercicios propuestos .. ............ . ..... . ..... . ... .. . .. .... . . . .... . .... .. . ..... 3. INTEGRALES DOBLES.. ... ............. ... .. . . .. . . . . .... . .. . ...... . . . ... .... 3.1. La integral doble . .. .. . .. . . .. ..... . ... . .. .. . .. . . ... .. . .. . .. . . ... . .. .. . . . . . Clculo de reas planas ... . .. . . ................. . . .. . ... . . . ...... .. . . ...... Clculo de volmenes . . .. . . ......................... . ..... . ... . ... . .... . .. Cambio de variables en una integral doble ..... . . . ...... . .............. .. . . Teorema de Green .. . . . . .. . .... . ... . .................. . ... . . . ........ . .... . Simplificaciones en el Clculo de una integral doble . .. . .. . ..... . .. . . . . .. .. Clculo de reas de superficies .............. . ................ .. ........... Integral de superficie de una funcin escalar .... ... . .. .. ... . . .. ... . .. .. ... . Integral de superficie de una funcin vectorial . .. . .. ... . . . ... . ... .. ... . . . . . Teorema de Stokes ............. . .. . ...... . . . ...... . ...... .. . . . ....... . ... .

Ejercicios resueltos .... . .. . .. . ......... . ..... .. . . ......... . . .... .. . . . .. .. .. ... .. Ejercicios propuestos ...... . ........ . ... . ......... . ...... ... ........ . ..... . .. . . . 4. INTEGRALES TRIPLES .. ....... . .. . .. . ...... .. . ... . .... . .. . ........ . .. . ..... 4.1. La integral triple . .... . .. . . .. .. . .. . . . ...... . ...................... . ... .. . . Cambio de variables en una integral triple . .. . .... . .............. .. . ...... . Lmites de integracin en cilndricas y esfricas .... ... . .. . . . . .. .. .. .. .... . . Simplificaciones en el clculo de una integral triple .. . . ... .. . . . .......... . . Teorema de Gauss-Ostrogradski . ... . ........ . .. . .. . .. . ............ .. .. . . . . Interpretacin vectorial de los teoremas de Gauss y Stokes . . . .. .. .......... Otras aplicaciones de las integrales mltiples . .. .. .. .. .. . . ... . . . .... . ..... . Integrales doble y triple de Dirichlet . .. . .... .. . ... . . ... .... .. ...... . . ... . . .

Ejercicios resueltos ... . ... . . . .. . ......... . ... . ..... . ......... . .. . ... . ...... ... .. Ejercicios propuestos . . . .. . . . ... . .. . .. . . .. .. .. .. . .... .. ....... ... .. . ... .. .... . ..

http://carlos2524.jimdo.com/Contenido

IX

TEMAS DE REPASO TI. MTODOS DE INTEGRACIN ..... .. ...... . ......... . . .. . . ........ .. .. . . .. T1.1. TI.2. T1.3. La integral indefinida ... . .. ............. .. . ... . .. .. . . . .... . .. . . .. .. .. Integrales inmediatas ........ .. ... .. ...... . . ... ..... . ... .. . . ...... . ... Mtodos usuales de integracin .. ..... ............ .... . . ......... . . . . Integracin inmediata por simple observacin . . .... ... .. . .. ... . .. ...... Integracin por descomposicin o transformacin de la funcin f(x) . . .. Integracin por partes ............ . ................ . . .. ... . ............ Integracin mediante cambios de variable ....... ... ..... ... . .... . ...... Integracin por recurrencia ....... . .... . ..... . . .. ......... . ........ .... Integrales de funciones racionales ...... ... .... ................ . . .. ... Resolucin de integrales racionales por el mtodo de Hermite ..... . .. .. Transformacin de diversos tipos de integrales en integrales racionales . ..... ......... . ... . ...... . ..................... . ......... . ....... Integracin de las funciones R (sen x, cos x) .. ...... .... .... . ... .. . .. . .. 207 207 209 211 211 212 213 215 217 219 223 225 225 232 234 235 237 237 237 238 240 244 249 255 255 259 262 264 267 270 272 273 276 276 279 284 291 293

TI.4. T1.5.

(x, J ax + 2bx + e) .................. . . Integracin de las funciones R [x, (ax + b)PI", (ax + b)/"IS, ... ] .... ... . ex + d ex + d Integracin de las funciones del tipo xlll(a + bx")'J . ... ... .. .... ... .. . . . .Integracin de las funciones R2

Integracin de las funcio nes del tipo R(c{"') .. . .... . . . ............ . ......

T1.6.

Integracin aproximada .. .... .. ........... . .. ......... .. ... .... ...... Introduccin .. . ..... . ..................... .. .. . ...... ... . . . . . .. . ....... Aproximacin mediante desarrollo en serie ..... . ... .. ......... . ........ Aproximacin mediante el mtodo de Simpson .. . ....... . ... . .. . .. . . . ..

Ejercicios resueltos .. ... . . . .. .. ..... . .. . .. . .. . .......... . .... ... .. ... ........... Ejercicios propuestos .. .... .. . ...... . . .. .. . .. . ... . .. .. .... . . . ......... ........ .. T2. CURV AS y SUPERFICIES ... .... .. . ..... ... . .. . . . ....... ... .... . . .. . .. .. ... T2.1. T2.2. T2.3. T2.4. T2.5. T2.6. T2.7. T2.8. T2.9. Introduccin......... . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Secciones cnicas .. . .... ....... . .. ... .......... . . . .. . . . . .... . . . .. . .. . . Curvas en R 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Recta tangente a una curva alabeada en un punto de la misma ..... Superficies en general .. .... ............. ... ....... .... . . . ...... . ..... Curvas sobre una superficie ..... . . ..... ....................... . ... . .. Plano tangente y recta normal a una superficie en un punto de la misma ... .... .. . . .. . ......... .. ............. ... ............ .. . .. . .. .. . Superficies de revolucin ............. . .. .. .. . .. . .. . ............ ... . .. Superficies regladas .. ...... . ........ . ........ ... ... ............ . .. .. . Superficies cnicas o conos ... . ........ . ...... ... . .. ... . ... .... . .... .. Superficies cilndricas o cilindros .. . .. . .. .. .... . .. . . . .... . ........ .. ... Superficies cuadrticas o cudricas .... . ... .... . .. ........ ......... . ...

REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS NDICE .... .. .. . ...... .. . .. ... . . ..... . . . .......... .. . . .. . .. .. . . .... ...... ...... . ....



Es al mismo Arqumedes a quien hace 2.200 aos se debe el primer enfoque de la verdadera integracin: obtuvo que el rea de un segmento parablico es los cuatro tercios de la del tringulo con iguales base y vrtice, o lo que es lo mismo (cuadratura de la parbola), los dos tercios del paralelogramo circunscrito.

Dos son los motivos por los que este libro, Clculo Integral y Aplicaciones, ha sido publicado. El primero resulta evidente, ya que durante un segundo cuatrimestre deber explicarse su contenido, exceptuando algunas aplicaciones de la integral, a nuestros alumn os de primer curso de Ingeniera. stos, conjuntamente con los estudiantes de Ciencias de cualquier Facultad o Escuela Superior, constituyen, pues, sus primeros y ms directos destinatarios. Sin embargo, no ha sido escrito pensando nicamente en ellos. Hay un segundo motivo debido a la existencia de otros destinatarios, a los que me referir despus de comentar la estructura de este libro, en la cual han tenido tanta influencia como los anteriores. Se ha dudado, y mucho, del lugar que debiera ocupar el tema Mtodos de Integracin que, .aunque finalmente ha sido relegado a tema de repaso, lo consideramos el ms necesario de todos y es en el que, conj untamente con el primer tema Integrales definidas simples, ms nos hemos esmerado. Estos dos temas, por el modo en que han sido estructurados, constituyen la herramienta fundamental que permitir manejar con eficacia los restantes conceptos del texto, o dicho de otra forma, aquellos estudiosos que se enfrenten a ambos temas y salgan con pie firme, poco ha de suponerles vrselas con las integrales curvilneas, dobl es, de superficie, triples, campos vectoriales y todas las aplicaciones. De ninguna de las integrales mltiples hemos necesitado sus definiciones, dado que han sido obtenidas a partir exclusivamente de la integral simple de Riemann, definida y desarrollada de un modo exhaustivo en nuestro primer tema. Por lo que respecta al clculo de las integrales mltiples, recuerdo que en mi poca de estudiante nunca llegu a manejarlas con soltura; ello se debi a los numerosos cambios en el orden de integracin que entonces con tanta frecuencia se nos exiga. Esta experiencia y, claro est, la docente, nos ha guiado en muchos ejemplos del libro; en ellos se presentan y discuten las pautas y caminos a segu ir para llevar a buen trmino el clculo


XII

Prlogo

de las integrales dobles y triples. Asimismo, se aconseja (en funcin de las superficies que intervienen) el tipo de coordenadas a utilizar y los rdenes ms convenientes de integracin. Las aplicaciones de la integral , los centros de gravedad, momentos de inercia, clculos aproximados, etc. , se definen y resuelven utilizando, cuando es posible, las tres integrales: simples, dobles y triples, indicando en cada caso la conveniencia del empleo de una u otra de ellas. En la Teora de Campos (Captulo 4), desde un punto de vista vectorial se definen y demuestran varios notables teoremas, algunos de los cuales tuvieron su origen en la Fsica: El teorema de Green (descubierto en 1828) apareci en relacin con la teora de los potenciales elctrico y gravitatorio. El teorema de Gauss (1845) -tambin debe sealarse como autor el matemtico ruso Ostrogradski- surgi con relacin a la electrosttica. El teorema de Stokes fue sugerido por primera vez al mismo en una carta que le enviara, en 1850, el fsico Lord Kelvin; Stokes 10 utiliz para la concesin de un cierto premio en 1854. Ha llegado el momento de referirnos a los otros destinatarios de este libro. Ellos son antiguos ingenieros que por determinadas circunstancias desean recordar algunas materias o aprender otras. Considero que una buena forma de hacerlo es trayendo aqu varias respuestas de un gran tcnico sobre cuestiones relacionadas con la integral. Las respuestas de Pedro G. S., coincidentes con las de muchos amigos ingenieros, son las siguientes:En mi trabajo nunca he utilizado integrales. En cierta ocasin las necesit para calcular la superficie exacta de una estructura y me lo resolvi otro profesor. Fuera del trabajo las he necesitado en ocasiones y siempre por el mismo motivo. ltimamente con relativa frecuencia, mi hijo y un compaero suelen exigirme que les resuelva algunas integrales, lo cual consigo a veces.

Hace unos meses, al entregarle varias integrales resueltas exigidas por algn familiar, le adjunt mis apuntes sobre Mtodos de integracin (prcticamente iguales que los de este libro) e intent convencerlo para que los leyera como una novela, aunque con un bolgrafo en la mano. El resultado fue el siguiente: no recordando inicialmente gran parte de las derivadas, logr resolver en una semana (veinte hora,s) todas las integrales que en el tema mencionado aqu se presentan. Actualmente, < 0)

T2

=

fb--a

(X - a)1II

dx

T '2

=fb--a

(b - X)III

dx

representantes de las tres singularidades a las que ha quedado reducido el estudio de dichas integrales impropias, reciben el nombre de integrales tipo (TI de primera especie, T 2 y T~ de segunda) y se suelen utilizar para determinar el carcter de otras integrales por comparacin con ellas. Probar que: convergeTI { diverge

si m > 1 si m ";; 1

T, { . - dlverge

converge

si m < 1 si m~

1

RESOLUCiN

TI =

fa

oo -;;; 1 e/X =X

limH ~ oo

fHa

L1x1 JH,X- III dx =

si

m==1=

1

limH~ oo

j00

a

x-III+

I JH

- m+ 1 .'

si m

1

con lo que si m = 1, evidentemente TI ' = si m 1:TI

(divergente).)

=1=

= -Il - m

( lim H IH ~oo

-

III

-

al-III

si 1 - m < O = {finito,00 ,

si 1 - m > O

Consecuentemente converge si m > 1 Y diverge en los dems casos.

m

=

Probemos ahora que con T 2 (y T ~ del mismo modo) sucede al revs (hagmoslo con m 1 claramente tambin es divergente):T =2

=1=

1, pues para

b fa

1 (X - a)11I[

dx = lime-O

fba +t:

(x-a)_III+IJ (x - a)-lIIdx = lim - -- - l:-+ Q

ba +e

- In

+1

= -11In

(b - a)I-1II - lim(;)I - 1II O = {finito (convergente),00

(divergente),

si 1 -

In

1 : /1 converge

x

Si Vx

E

[a , (0), kf(x)

> XIII - con m

1

~

1:

/1

es divergente

Criterio integral Sea y = f(x) , como se ha dicho, una funcin acotada y no negativa en el intervalo [a E R, (0 ): Si f(x) es decreciente en [b ~ O, (0 ), entonces, la serie f(n) y la integral/ 1 tienen el mismo carcter (6).Ejemplos1.

Probar que si lim f(x)x-+ eo

=1=

O, entonces, la integral impropia de primera especie 11 es divergente .

Ntese que este enunciado resulta equivalente al siguiente: Es condicin necesaria para la convergencia de 11 que lim f(x) (caso de que este lmite exista)x00

=

O

RESOLUC iN

Por la hiptesis, si lim f(x)x- 00

=

k(k

E

R + al ser f no negativa)

=1=

O, entonces podr determinarse un X o tal

que Vx > X o se verifique f(x) > K. Consecuentemente: 11

f eo = aeo f(x)dx = f~ a f(x)dx + Xo f(x)dx >

f

Al (finito)

+ f eoXo

Kdx

= ro

con lo que 11 sera divergente.

(6) Ntese, con relacin a la convergencia, que si a < b, el intervalo la, b] no influye por corresponderle (funcin acotada en intervalo finito) un rea finita.


16

C lcul o integra l y ap li cac ion es

2 . Utilizando los tres criterios estudiados , determnese el carcter de la integral impropia (de primera especie): 1=

f2

ro2

X2

- 2

(2x

+ 3)

2

dx (una nica singularidad)

RESOLUC iN (s iempre debe comprobarse previamente la condicin necesaria de convergencia)

al

]m - x ~ ro Ixl1!

.

f(x).=

x ~ ro

11m

X2

1: XIII

xm + 2x ~ ro

4x

4

+ 12x + 91= -

lim

4x

4

+ 12x 2 + 9

XIII

+2

XIII

1= -

=

x ~ ro

Iim

-4 -

4x

4

x~ ro X

Iim 2"

4

(finito) con m

=

2> 1

=

1 converge.

bl V X

E [- 2 00 ) f(x)

"

1)

=

1 converge.

el Puesto que sera muy engorroso precisar todas las exigencias del criterio integral (f decrece a partirde x = ~ ), con las integrales que generalmente se estudian es suficiente un razonamiento anlogo al siguiente (~ == tiene igual carcter que): f(x) es acotada y no negativa en [ - 2, 00 ), y necesariamente decrecer en [b ~ O, w ) puesto que lim f(x) = O. En consecuencia:x -tCX)

Caso en el que la funcin subintegral ((x) no es acotadaConsideremos la integral 12 =

f:

f(x) dx, siendo f(x) no acotada (supongamos en su extremo

inferior x = a) y no negativa por lo repetidamente mencionado. Sin ms consideraciones, nicamente apoyndonos en los resultados hasta aqu obtenidos y trasladndolos al criterio del lmite, por ejemplo, el carcter de la integral 12 podr extraerse del siguiente cuadro: f(x) = fin ito, siendo In < 1 : 2 es convergente Si lim x --+a + 1 k =1= O (puede ser (0 ), con In ~ 1 : 12 diverge

{k

1

-

- --

(x - a)'"

En el caso de que la singularidad tuviera lugar en el extremo superior b, el primer trmino de la anterior igualdad sera: lim [f(X) :x--+ b -

(b - x)'"

1

J.

Si la funcin f(x) integrable en [a, b] no est definida en el punto C E [a, b] pero la discontinuidad en C es evitable, entonces (regla de Barrow generalizada) la correspondiente integral, denominada por tal motivo seudoimpropia, es convergente con relacin a dicho punto c.

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17

1.3.

INTEGRALES EULERIANASEstas integrales, llamadas tambin funciones eulerianas Gamma y Beta, aparecen muy frecuentemente en todo tipo de clculos, y su concurso da lugar a la resolucin de numerossimas integrales definidas.B(p, q) =

J:

XP- l

(1 -

X)q- l

dx

con p, q

E

R+

con pE R+ Con frecuencia, se las denomina asimismo, integrales eulerianas de primera y segunda especie respectivamente.

Convergencia y clculo de la funcin euleriana r(p)Veamos en primer lugar, que esta integral converge Vp > O y diverge en los dems casos. Para ello, descomponemos rep) en dos integrales con una nica singularidad (cuando p < 1, en x = O obviamente existe singularidad):

No es difcil observar que la ltima integral (impropia por tener infinito su intervalo de integracin) siempre converge (cualquiera que sea p). Comprobmoslo mediante el criterio del lmite:1X",+p -l

limx--+ w

(XP-l

e-X) : -

x11l

= limx--+oo

eX

.

= O (siempre) finito, con m = 2 > 1

por lo que concierne a la singularidad debida a x = O, escribiremos: lim (x p x-+O 1

e - X) :

1

(X

-

O) '"

{e -X

--t

l ' = lim fx-+O X

x'"

1- p

-

y como la convergencia se da cuando m < 1 y este lmite finito (m ello que:l-p ~ m O) :

+

1) e integrando por partes (recur-

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Clculo integral y aplicaciones

['(p

+

1) =

f oo xpe - Xdx{x~ = uo

e

x

dx = dv

........ du = PXP~ldX} = - xpe-xJo oo v= - e x

+

Aplicando esta ley de reculTencia (para valores donde la funcin Gamma es convergente) e inicindola con ['(p) = (p - 1)[,(p - 1), escribiremos:['(p) = (p - 1)r(p - 1) ['(p - 3)=

,

['(p - 1) = (p - 2)r(p - 2)

(p - 3)[,(p - 3), ...

que da lugar a la forma ms conveniente:['(p) = (p - 1)r(p - 1) ['(p) = (p - 1)(P - 2)[,(p - 2) ['(p)=

(p - 1)(P - 2)(P - 3)[,(p - 3)

(4)

de donde resulta finalmente la relacin:['(p) = (p - 1) (p - 2) (p - 3) ... r1(r)

,

r(a eleccin) > O

(5)

Cuando p

E

N, Y puesto que ['(1)

=

Loo e - xdx =

1, se tiene:

['(p) = (p - 1)(P - 2)(P - 3) .. . 321 ['(1) = (p - 1)1

lo cual justifica, an cuando p no sea natural, que se escriba frecuentemente:

y que sirve para generalizar el concepto factorial de un nmero. Ntese asimismo que ['(1) = 1 = (l - 1) 1 ~ 01 = 1. Cuando p if: N, el clculo de ['(p) suele llevarse a cabo mediante unas tablas (Figura 1.11), con las que, como se ver, pueden obtenerse muy aproximados todos los valores de ['(p) con p E R +. Obsrvese que los valores de estas tablas son las ordenadas ['(P), p E [1 , 2), de una pequea porcin de la curva representada en la Figura 1.12.


Integrales definidas simples

VALORES DE r(p), 1 :S P < 2 ~~-0----------2-----3------4-----5-----6-----7------8-----9~ 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 1 0,9514 0,9182 0,8975 0,8873 0,8862 0,8935 0,9086 0,9314 0,9618 0,9943 0,9474 0,9156 0,8960 0,8868 0,8866 0,8947 0,9106 0,9341 0,9652 0,9888 0,9436 0,9131 0,8946 0,8864 0,8870 0,8959 0,9126 0,9368 0,9688 0,9835 0,9399 0,9108 0,8934 0,8860 0,8876 0,8972 0,9147 0,9397 0,9724 0,9784 0,9364 0,9085 0,8922 0,8858 0,8882 0,8986 0,9168 0,9426 0,9761 0,9735 0,9330 0,9064 0,8912 0,8857 0,8889 0,9001 0,9191 0,9456 0,9799 0,9687 0,9298 0,9044 0,8902 0,8856 0,8896 0,9017 0,9214 0,9487 0,9837 0,9642 0,9267 0,9025 0,8893 0,8856 0,8905 0,9033 0,9238 0,9518 0,9877 0,9597 0,9237 0,9007 0,8885 0,8857 0,8914 0,9050 0,9262 0,9551 0,9917 0,9555 0,9209 0,9990 0,8879 0,8859 0,8924 0,9068 0,9288 0,9584 0,958

I

Figura 1.11

Consecuentemente, para calcular el valor r(p), se har: Cuandor(p)p E N ->

ro = (p ->

1)! 1) (en tablas) = pr(p)E

{

si p pt/=

E

(O, 1)->

r(p

+

N {Si P > 1

se aplica (5) con r

O, 2) Y tablas

Complementando lo expuesto con la siguiente frmula, que aqu no demostraremos (mtodo de integracin de los residuos):ti

r(p) .ro

- p)

= --

senpn

, O O, para todo nE

~

da lugar a

[r(~)

J

= n,

y

puesto que r(p) es siem-

't:j x),

resulta el valor

r(~) =

Jn, con el que se obtienen los r(~)

N.

Ejemplo9

Calcular el valor r(p) cuando a) p = 11, b) p = 0,32, e) p = 4,36, d) p = - . 2

RESOLUCiN

(vanse previamente valores aprox imados en la Figura 1.12)

al

Para un valor de p relativamente grande, e l clculo de r(p) ser difcil. Si no se requiere exactitud, puede utili za rse la frmula aproximada (Stirling) p! ~ j2;;;c .pI'. e - P En este caso se tendr:

r(l l) = lO! = 3.628.800 (exactamente)

,

r(ll)

~

3.598.696 (Stirling)

bl

r(0,32 < 1) : r(l ,32) = 0,32r(0,32)

=>

0,8946 r(0,32) = - = 2,7956. 0,32

eldI

r(4,36) = 3,362,36 1,36 r(l,36) = 10,78420,8902 = 9,600l. 9) {tablas} = 2'2'2 7 5 3 r (3) 105 0 ,8862 = 11 ,631375. r (2 2 = 8. 9) {aplicando r(J /2) = r (2 7 5 . -. 3 1 r (1) 105 Jn = 6,5625 1,7724 = Jn} = -. - =2 2 2 2 2 16

II ,631375

Prolongacin de la funcin GammaEn el caso de que p

~ O,

la integral r(p) =

LX)

XP-l e - Xdx es, como se ha visto, divergente.

No obstante, si r(p) se define exclusivamente a partir de la relacin:'t:j P E

R : r(p

+ 1) =

pr(p)

=*"

r(p)

= -- -

r(p

+

1)

p

(7)

habremos realizado una extrapolacin de la funcin Gamma, dado que si p > O su valor coincide con el de la integral, y si p < O resulta un valor finito. Vemoslo calculando, por ejemplo r( - 5/2).


21

Mediante la frmula (7) se tiene:1

p=

--

2-

r(-~) r(-~)

=

2

r(l/2)-1/2

=

-2Jn3

p=

-

3

2S

=2

r(l/2)- 3/2- 5/2

=~

Jn15

p=

--

2

r(-~)2

= n-3/2)

= - ~

Jn

resultado al que se puede llegar mucho ms rpidamente, escribiendo:

r(-~)= - ~2

15

Jn

Este mtodo de obtener el valor de np) para p < 0, recibe el nombre de prolongacin analtica de la funcin Gamma. La correspondiente prolongacin grfica puede observarse en la Figura l.12.

La funcin euleriana B(p, q)Empezaremos, como anteriormente, probando que la integral euleriana de primera especie:

converge cuando p y q son mayores que cero, y diverge en los dems casos (ntese que existe singularidad en ambos extremos de integracin: en x = cuando p - 1 < 0, y en x = 1 cuando q - 1 < O) . Nos limitaremos a efectuar dicha demostracin, estudiando nicamente la singularidad en x = 1 utilizando el criterio del lmite, puesto que el proceso correspondiente al extremo inferior x = es totalmente anlogo:

.

xP-l(l

x=l

: 11mx--+l-

1

X)q-l

x->l-

11m

.

(l - x)" (l-X)1 -q

(l - x)"

y como la convergencia se da cuando ello, que: l-q~m vergencia en los dems casos.

en el extremo inferior, y asimismo la di-


22


Clculo de B(p, q)

El valor de B(p, q), suele obtenerse, utilizando su relacin con la funcin r(p) que en estos momentos tan bien conocemos. Dicha relacin, que se demuestra con rigor (p, q E R +) en el Ejercicio resuelto 5 del Tema 3 (Integrales dobles) y que aqu probaremos parcialmente (en la tercera de las propiedades que siguen) viene definida por:r(p) r(q) r(p + q)

B(p, q) =

(8)

EjemploConsideremos la integral impropia convergente:!=

f

2

1.j(2 - x)(2

-2

+ X)2

dx

Efectuando el cambio de variable x na B(p, q). Hllese su valor.RESO LUCiN

=

4t - 2 (vase propiedad 4) se transforma en una integral euleria-

Haciendo

x= 4t - 2 {x = 2, t = l} el intervalo [ - 2, 2] se transforma en el [O, 1] Y consecuentemente x -2, t O= =

podra resultar una integral B(p, q). Vemoslo: Como (2 - x)(2

+ X)2{X =

4t - 2} = (4 - 4t)(4t)2 = 4 3 . tl(l - t), tendremos:

con lo que al ser dx

=

4 dt, resulta:

1 !=t- 2j3 .(I-t)-1/3 4dt= 4 o=

JI

JI t - l /3(l _ t)-1 /3dt {P-1o

=

-2/3} =-

q - 1=

1/ 3

B(~ ~) = r(lj3)r(2/3) = r(~)r(~) {(6)} = _n_ = 2J3n 3' 3 reI) 3 3 n 3 sen 3

= B(q, p)

Propiedades de la funcin B(p, q)

1.

Existe la simetra B(p, q) = B(q, p), puesto que:B(p, q)

=

JI

x P - l (1 - X)q-ldX{X = 1 = dx = -dt

t}

IlO (1

- t)p-ltq -l dt


23

2.

Clculo de todas las integrales

f

1< / 2

o

sen'" x cos" X dx (m

~

O, n

~

O):

B(p, q)

l = o xp- l(l - X)q-l dx{x = sen 2 t} = f~ o sen 2l'-=-2 t cos 2 (J - 2 tL2 senLCstdt) =

f

2P -l=m con lo que al ser { , resulta: 2q-l=n

f3.

1

l-+ in:;.

"-o

fb f(x,a

A) dx

=

fb f(x,a

Ao) dx

con lo que aplicando (continuidad) lim f(x, A) = f(x, AO) finito , resulta: ), -+;'0 lim

A -+ .lo

fb f(x , A) dx = fba

a A -+ ;'0

lim f(x, A) dx

(11)

(el lmite de la integral es igual a la integral del lmite) . Cuando los extremos de integracin dependan del parmetro J" y sean estas funciones a( A) y b(A) continuas 't/ A E [e, d] , de igual forma se probaran la continuidad de la funcin leA) y la anterior igualdad entre el lmite de la integral y la integral del lmite.

2.

Derivacin bajo el signo integralf~(x,

al Comencemos, como anteriormente, suponiendo queSi las funciones f(x, A) y A E [e, d] podr escribirse:b

a y b no dependen del parmetro A. A) son continuas en el mencionado dominio D, para todo

dI U,)-- =

dA

. I( A + L1J,) - le A) hm L H -+ O L1A

=

. hm6 .

l

:

Y Y

= =

2

+ J4

e2

:

2 -

J-4 X2 X2

y operando por la simetra con la regin sombreada, escribiremos:

=

16n

2 fo J4 -

x 2 dx{x = 2sent} = 16n4

f"/2 coso

2

tdt = 64n - = 16n 2 4

n

En polares: del tringulo rectngulo OPQ se tiene de inmediato que p = 4 sen 8 es la ecuacin de e (comprubese sustituyendo x = p cos 8, y = p sen 8 en su ecuacin cartesiana). n Como para que r barra la zona sombreada, 8 debe variar entre O y - , aplicando la frmula (23), se 2 tendr:

2n V=23

f"/2(4sen8) 3 sen 8d8= -256n f"/2sen o

4

3

o

8de

{2P = __ = 2q ]- 0

1 4}

= 256n.~ B(~ ~) = 12Sn 1(52)r(l 2) = 64n (~ ~ n) = 16n 2 3 2 2' 2 3 1(3) 3 2 2b)

Razonando como anteriormente se tiene que el : 5 + J 4 - x 2 , e2 : 5 - J 4 - X2 ; con lo cual, aplicando la frmula (25) resulta (dibjese e y analcese el porqu del signo + que aparece en la relacin que sigue):

A = 2 2n

f

2

o

[5

+J 4-

-

X2

+ (5

- J4 -

-

X2) ]

J

2dx4 = SOnX2

f2.

o

J

dx4 X2

= 40n 2


Integra les defini das simp les

43

2. La curva de la Figura 1.24, es parte del grafo de una funcin y ecuacin x(4 - X)2 - y2 = O.y

=

f(x) definida implcitamente por la

4

x

Figura 1.24

Hallar el volumen engendrado por la regin sombreada al girar alrededor del eje y:a)

A partir de la frmula (22) dV = rrx 2 dy. Mediante la relacin (24) dV = 2rrxf(x) dx.

b)

RESOLUCiN

a) De la ecuacin x 3 - 8X2 - y2 + 16x = O dada, difcilmente podra despejarse x = g(y) para con ello aplicar la frmula (22). Sin embargo, como se nos exige aplicar dicha frmul a, consideramos que una so-' lucin es escribir lo siguiente:

dV = rrx 2 dy {y = f(x) } = rrx 2 . f'(x) dxy en consecuencia:

V{simetra, y Obtengamos f'(x)dy= -:

~ O} =

2 rr

f:

2 x f'(x) dx

dx

Al ser (y ~ O) Y = J X(4 - x), con lo que:

-

dy 1 4 - 3x - = - - - (4 - x) - J x = - -dx 2Jx 2J x

I X2 f'(x) dx = - (4X 3 / 2 - 3X 5 / 2) dx

.

2

En consecuencia:

1 [8 V = 2rr ' (4X 3 / 2 - 3X 5 / 2) dx = rr - X5 / 2 2 o 5V{(24)} =22rr

f4

-

-

6 72 2.048 X / = - - rr (valor absoluto) 7 o 35

J4

b)

f4 4 fo xf(x)dx = 4rr o x. J x(4 -

x)dx=4rr

f4 (4xo

3 2 /

2.048 _x 5 / 2 )dx=-- rr.

35


44


Teoremas de Pappus

En el segundo grfico de la Figura 1.22, se muestra un elemento diferencial de rea dA = f(x) dx, que por giro alrededor del eje y engendra otro elemento diferencial de volumen dV = 2nxf(x) dx. Si lo anterior se expresa, escribiendo:dV

= 2nx dA

poda este resultado, enunciarse en los siguientes trminos: el volumen engendrado por la regin sombreada (de rea dA) al dar una vuelta alrededor del eje y, es igual al producto de dA por la distancia recorrida por dicha regin. Lo anterior justifica los dos siguientes teoremas debidos a Pappus (300 a.e.) y que podrn probarse con rigor al estudiar centros de gravedad en la siguiente Seccin. Consideremos una regin A del plano situada a un solo lado de una recta (r ) de este plano: El volumen del cuerpo engendrado por A al dar una vuelta completa alrededor de r, es igual al producto del rea de la regin A por la distancia que ha reconido su centro de gravedad. El rea de un slido de revolucin, es igual al producto de la longitud del arco que lo genera por la distancia recorrida al dar una vuelta completa el centro de gravedad de dicho arco.Ejemplo

al Aplquense estos teoremas para comprobar los resultados del primer ejemplo anterior (vase la Figura 1.23).

bl Obtnganse las frmulas generales del vol umen y rea del toro engendrado por una circunferencia de centro (0, a) y radio r (1' < a) que gira alrededor del eje x .RESOLUCiN

al La circunferencia de centro

C(O, 2) y de radio r = 2, encielTa un rea de 4n 2 (u == unidades). Al dar una vuelta alrededor del eje x, su centro de gravedad C reCOITe una distancia de 4n u. En consecuencia:

V(pedido) = 4n . 4n = 16n 2 En el segundo apartado nos piden un rea: cuando la circunferencia de longitud 2nr = 4n, gira alrededor del eje x, su centro de gravedad C(O, 5) recorre 2n' 5 = IOn. Por tanto: A(pedida)=

4n IOn = 40n 2

bl Teniendo en cuenta los siguientes datos del toro: rea del Crculocia=

2nr, distanci a recorrida por su centro de gravedad C(O, a) = V(toro) = nr 2 2na = 2a(nr)2

nr 2 , longitud de su circunferen2na, resulta:=

A (toro)

=

2nr 2na = 4a(n 2r)

Centros de gravedad o centroidesSean dos masas In 1 Y 1n 2 sobre las que acta el campo gravitacional terrestre (para centrar ideas trataremos con fuerzas gravitatorias). Consideremos asimismo (Figura 1.25) una referencia, en



45

m) m (C) 9x) I IIX I I I I I I I I I X

dmm

9 C(x,y,Z)X I 1IX X

O m)g

OI I I I I I

tmg Figura 1.25

mg

t

la que hemos representado el origen O (punto arbitrario) y nicamente uno de sus ejes (aunque se ha tomado este eje x normal a las fuerzas mig, el resultado que buscamos no depende de la direccin de dicho eje). . Recordando de mecnica elemental que la fuerza resultante mg, para producir el mismo efecto que las m1g Y m2g, adems de verificar mg = m1g + m2g (m = m1 + m2) deber tener el mismo momento esttico M (respecto de cualquier punto, por ejemplo O) que ellas, tendremos (vase el primer grfico de la Figura 1.25):=>

x=

m1x1 m

+

m2x2

= m1 + m2

siendo en R3 inmediatas las siguientes relaciones (m = L m):_ _ _ C(x, y, Z) : x

= --

LmXi m

i z=-m

LmiZ

Supongamos ahora (segundo grfico de la Figura 1.25) un cuerpo de masa m. Razonando con elementos diferenciales, operando de igual forma que anteriormente, y prescindiendo de los lmites de integracin, escribiremos:d(M)

= tdm- g)x ~ M (momento respecto de O) = g f x dmmg

y puesto que el momento de la fuerzaM

es M = mg X, resulta:

= g f x dm = mg

x

=>

f x dm

= m .x

En consecuencia:

_ C(x,

fXdm m

fYdm

fZdm

y,

z) :

x=---

y=--

m

z=-m

(26)


46


I Este punto C (donde puede considerarse concentrada toda la masa del cuerpo) se denomina cefitroide o centro de gravedad del sistema de partculas o del cuerpo por ellas formado. Si el cuerpo es de densidad constante (p), al ser m = p' V(dm = p' dV) las relaciones (26) darn lugar a las:_ _ _ fXdV C(x, y, Z) : x = -VfYdV Y=-V_ fZdVV

z=--

'(27)

De igual modo, cuando el cuerpo en cuestin fuese una superficie plana (en este caso p sera la masa por unidad de superficie) o una lnea plana o alabeada (p sera la masa por unidad de longitud), se tendran respectivamente para el centroide C las siguientes relaciones:

_ _

_

fXdA

IYdA

C(x, y) : x

= -A

ji

= - - (A

A

es el rea de la placa)

(28)

_ _ _ fXdS C(x, y, Z) : x = - s

fYdS

y

=;= - -

s

z= -

fZdSs-

(s == longitud)

(29)

Ejemplos1. Calcular el centroide C(x, ji) de una placa plana homognea (densidad superficial constante) en forma de tringulo rectngulo, siendo a y b la dimensin de sus catetos.RESOLUCiN

Para hallar la coordenada=

x operaremos con el

primer tringulo de la Figura 1.26, en donde dA

=

Y dx =

f(x)dx, A = - ab:

1

2

X= A

1

f

xdA = x[f(x)dx] = X dx = abo aboa 3y

2

fa

2

fa

bx

2a

ybx y= b y -------- ---- -----

a

b - -- - --- --- --- -- ---- -- ---- --- -- --- -

y

---- -- --- --- ---~======1

x

a

x

oFigura 1.26

x

a

x

http://carlos2524.jimdo.com/'Integra les definid as simples

47

asimismo, observando el segundo tringu lo [dA

=

(a - x) dy], escribiremos:

1 Y dA { dA = ( a - b ay)} 2 ji = A dy = ab

fb a) b o (ay - b yZ dy = "3

Obtengamos nuevamente el resultado ji = b/ 3 integrando en la variable x (q ue en alguna ocasi n pudiera facilitar los clculos): ji = -1 A

f {

bx , dA = (a - x) dy = (a - x) b dx } = -2 y dA y = a a ab

fa -bx (a oa

b dx = b x) a 3

Veamos otra forma de hallar el centroide C(x, ji) de placas planas que suele resultar ms si mple que con las frm ulas (28): Consideremos la Figura l.13, y supongamos que la superficie (A) es la limitada por la curva y = f(x), el eje x, y las rectas x = X l ' X = x z . Habida cuenta de que (x, y/2) es el centroide del elemento diferencial (de rea dA) sombreado, se tiene: Los momentos de A respecto de los ejes x e y, son:

Los momentos de dA

=

f(x) dx respecto de dichos ejes, son:

2 y f(x) 1 _ d(M) = (dA)- =f(x)d.x- --+ M _= fZ(x)dx = Ay x 2 2" 2 x,

I

X

d(M) = (dA) . x = xf(x) d.x

--+

My =

f,2

xf(x) d.x = A .

x

en consecuencia:

C(x, ji) : x =

-1

A

Ix,X

2

xf(x) dx

, )1

= -1

2A=

Ix,X

2

fZ(x) dx

(30)

aApliquemos (30) para obtener de nuevo la ordenada ji _ 1 y- 2A

b/ 3 (Figura 1.26):3

Z fa(bX) Z _ 1 b fa Z _ b a b dx - - ' x dx--'- -_O

a

ab a

Z

o

a

3

3

3

+ y2 + zZ~ R Z).

2.a) b)

Consideremos un cuadrante del crculo defi nido por la ecuacin

XZ

+ yZ

~ R2.

Hallar su centroide aplicando las frm ulas (28), (30) Y el Teorema de Pappus.

Este cuadrante al girar alrededor de uno de sus ejes, engendra una semiesfera (x 2 Obtngase su centro de gravedad.


48


RESOLUCiN

a)

(28). Puesto que

C(x, ji = x),

calculemos

x (primer grfico de la Figura

1.27):

x = - - = - -

_

1 R3 3

4

R3

A

nR 2

3

= -

4R=>

3n

C(4R, 4R) 3n 3nz

yR

/

/ / / / / / /

yxR

o

x

xFigura 1.27

(30). Calculemos ji que parece ms sencillo:

ji

= -

1 2A

fb f2(X)dxa

= -

2 nR 2

iR (R 2 O

x2)dx

= -. -

2 2R nR 2 3

3

=-

4R 3n

~

(Pappus). El cuadrante sombreado al girar alrededor del eje y, genera una semiesfera de volumen 2 nR 3 , el cual deber ser igual al rea de cuadrante (n: ) por el camino recorrido por su centroide

C(2nx). En consecuencia:-

=>

x=-

4R 3n

b)

Puesto que C(O, O, Z), escribiremos (segundo grfico de la Figura 1.27): Al ser dV{ cilindro} = na 2 . dz = n(R 2 - Z2) dz, aplicando (27), se tiene:

3. Consideremos una regin (R) limitada por la curva y = f(x) = 2x - x 2, y el eje x. Dicha regin gira alrededor del eje y.


49

al Prubese aplicando Pappuses V = Sn/3.

y la frmula (24), que el volumen del cuerpo de revolucin engendrado

bl Hllese nuevamente V utilizando la frmula usual dV = nx z dy. Ntese ahora que en y = f(x) debernconsiderarse dos ramas, la x = l - ~ a izquierda de x = 1, Y la x = 1 + ~ a derecha. Con ello, resultar:V= n

I Jo

(l

+ ~)Zdy

- n

JIo

(1 - ~fdy = 4n

JIo

Sn (l - y)l /zdy = 3

el Comprubese que los centroides de(O,

y, O), siendo:

R y del cuerpo tienen por coordenadas respectivas (1 , 2/5) Y

y = -1 V

f-+

ydV= -3 Sn

JIo

3 B ( 2,3) = 2 (tambin) y 4n(l-y)l /zdy = 2 2 5

4.

Reptase el anterior ejemplo con y = f(x) = senx (entre O y n/2), comprobando que:dV = nx z dy

V= n

I J

o (n)Z "2 dy - n

J I

3

o (arc seny)z dy = n

"4 -

Z n (n "4 - 2 ) = 2n

Intntese asimismo obtener V (entre O y n) = 2n z, utilizando nicamente la relacin dV = nx z dy .

Centroides de slidos de revolucin

Consideremos nuevamente la Figura 1.13 y supongamos que el rea (A) encenada por la curva y = f(x) , y el eje x entre Xl y xz' gira alrededor de dicho eje. En las condiciones dadas, resulta evidente que C(i, O, O) ser el centroide del cuerpo de revolucin engendrado. Como adems dV (generado por la regin sombreada) = nyz dx, sustituyendo esta relacin en (27), se tendr: 1 C(i,O,O):i=V

f

xdV = -1 V

f

n x nyZdx=xf2(x)dx V x,

IXl

(31)

Ejemplo

al Suponiendo que un cuadrante de crculo (primer grfico de la Figura 1.27) gira alrededor del eje x, comprubese mediante (31) que el centroide de la semiesfera engendrada es C(i, O, O)/i = 3R z/ S. bl Aplicando las frmulas (27) y (31) transformada, obtngase el centroide C(O, O, Z) de un cono de revolucin (cuyo eje es el z) de altura h y radio de la base r.RESOLUCiN

al C(x, O,

_

_

n - nR 3 3

O) : x = -2-

http://carlos2524.jimdo.com/ 50Clculo integral y aplicaciones

b)

Habiendo situado el cono en la posicin de la Figura 1.28, y puesto que:

dV

=

na 2 dz hz

{r a} z= -

=

n 11

(rz)2 dzhy- rz = O

r

-1oxFigura 1.28

1

y

siendo V =

- nr 2

1

3

.

11, se tiene:

Adecuacin de (31): la curvaXf2(X) dx, ser obviamente:

hy - rz

=

O (del plano

yz)

gira alrededor del eje

z.

El equivalente de

Consecuentemente (31):

que coincide con la expresin integral anteriormente obtenida.

Momentos de inerciaConsideremos una masa puntual m distante r de un punto o un eje (E) a.lrededor del cual gira con velocidad angular w (Figura 1.29). Su energa cintica (W) vendr expresada, como sabemos, por:


Int egrales definidas simp les

z

xIn r-----~ , -- y --------~

, , ,:

r

d (y) z---'j--- -___

V ----------------------/ / / /E

/

y

x

Figura 1.29

Si el cuerpo (de masa m) no es puntual, la igualdad anterior resulta vlida para cada una de sus partculas de masa mi (m = L m) puesto que w es la misma para todas. Con ello, podremos escribir: 1 1 1 W = - (m r 2 )w 2 + - (m r 2 )w 2 + .. . = - (L m.r 2 )w 2 2 11 2 22 2" Por definicin, los factores mr 2 , L mir~ se denominan momentos de inercia (de la masa puntual o del cuerpo en cuestin) respecto del elemento (E) alrededor del que giran. Los momentos de inercia suelen representarse por la letra mayscula I. El momento de inercia respecto de un plano se define del mismo modo: producto de m (si es puntual) por el cuadrado de su distancia a dicho plano. Por otra parte, como el cuerpo, en general, estar formado por infinitas partculas, el clculo de su momento de inercia deber llevarse a cabo mediante integracin. Razonando con elementos diferenciales, es decir: momento de inercia diferencial correspondiente a una masa dm que dista r del punto, eje o plano, escribiremos:

(32)

Ntese que para aplicar correctamente (32), la distancia entre cualquier punto de dm (dm puede ser un anillo delgado, una placa delgada circular, ...) y el punto, eje o plano considerado, debe ser constante e igual a r .EjemploHallar en funcin de su masa CM) los momentos de inercia de los siguientes cuerpos:

al Un cilindro de masa M

y radio R respecto de su eje CE).


52

Clcu lo integral y aplicaciones

b)

Una varilla muy delgada de masa M y longitud L respecto de un punto (o eje E) que pase por uno de sus extremos.

RESOLUCi N

a)

Supongamos que la altura del cilindro es h , y p su densidad (V = nR 2 h , M = pV):di = r 2 dm {dm = pdV, dV = 2nrdr h} = 2nhp r 3 dr :

I = 2nhp

i

R

1r 3 dr = - nhp R 4

o

2

Como se pide I en funcin de M , multiplicando y dividiendo por M = pV = p ' nR 2 h, resulta:1 M I = - nhp . R 4 . - - 2 p nR 2 h=>

I (cilindro) = - MR 2 2

1

Si el cilindro fuese hueco de radio r (interior) y R (exterior), del mismo modo se probara que: I(cilindro de radios r y R) y en el caso de ser hueco con pared muy delgada (R~

1= -

2

M(R 2

+ r2 )

r) , se tendra:-->

I (cilindro hueco de pared delgadab)

tubo o anillo)

=

MR 2

Aunque se simplificar de igual forma que la h anterior, supongamos que la seccin transversal de la varilla (Figura 1.30) es A (V = A . L , M = p V):di = r 2 dm {dm = p dV = peA dr)} = pA . r 2 dr :

I =

f

r 2 dm = pA

f

r 2 dr = - pAL 3 = - pAL 3 . - - = - ML 2 o 3 3 pAL 3

L

1

1

M

1

dm E .~=========::::I:::::I==:=J 1_ _ I~dr L

- - r - -__\

Figura 1.30


Integrales defin idas simpl es

53

Relaciones entre momentos de inercia

A continuacin, se presentan ciertas relaciones entre los momentos de inercia de un cuerpo, que facilitarn en gran medida el clculo de stos. Para fijar ideas, las deduciremos utilizando la masa puntual m (vase Figura 1.29), pues en el caso de un cuerpo, dichas relaciones, que tambin son vlidas, se obtienen de forma totalmente anloga (operando con dm). Denotemos por lo, Ix, Ixy, ... los momentos de inercia de m (o del cuerpo en cuestin) respecto del origen, del eje x, del plano xy . ... Observando la Figura 1.29, las distancias expresadas en ella, y aplicando las definiciones dadas, escribiremos:

de donde son inmediatas, entre otras, las siguientes relaciones:

(33)

EjemploConsideremos una esfera maciza de radio R y masa M. Calclese:a) b)

El momento de inercia respecto de un eje que pase por su centro. El momento de inercia respecto de su centro, aplicando (32).

RESOLUCiN

a) Tratar de obtener este momento de inercia aplicando la frmula (32) y operando en cartesianas, presenta gran dificultad. Mucho ms sencillo resulta hallar el momento de inercia (l x) respecto de un plano que pasa por el centro de la esfera, y aplicar las relaciones (33). Basndonos en el segundo grfico de la Figura l.27 (esfera completa), y t01~ando como dm el cilindro diferencial sombreado (todos los puntos de dm distan un constante r = z del plano horizontal), escribiremos:

multiplicando y dividiendo por M

=

PV =

p."3 nR 3 , se tiene:M

4


54


Y al ser IXY = I xz = IyZ =

"5

1

MR 2, aplicando (33) resulta:

=>

b)

Utilizando (33) es inmediato que:? 3 1o = 31xy = 5 MR-

Comprobemos este resultado mediante integraci n (32): para que la distancia entre cada punto de dm y el centro O (O, O, O) de la esfera sea constante e igual a r, el elemento dm deber ser la masa de un globo esfrico delgado (radio interior r, y exterior r + dr). Obtengamos pues la masa dm = p dV de dicho globo:dV = - n(r

444 3 3

+ dr) 3 -

- nr = - n(3r 2

3

3

+ 3r dr + dr 2 )dr ~ =

4 3

n(3r 2 ) dr

=

=

4nr 2 dr (difernciese el volumen de la esfera V

~ nr

3

)

Con ello se tiene (O

~

r

~

R):

Vase tambin el Ejemplo resuelto 6 en donde de nuevo se obtiene el momento Ix de esta esfera de dos formas relativamente simples mediante dos artificios : uno, general para todo tipo de cuerpos, y el otro, particular para cuerpos de revolucin.

Teorema de Steiner. Radio de Giro

Si se conoce el momento de inercia de un cuerpo respecto de un eje, este teorema permite calcular el momento de inercia respecto de cualquier otro eje paralelo al anterior. La frmula de Steiner viene expresada por la siguiente relacin : (34) siendole :

1:Myd:

Momento de inercia respecto de un eje (e) que pasa por el centroide (e). Momento de inercia (que se busca) respecto de un eje Ce) paralelo al e. Masa del cuerpo y distancia entre dichos ejes.

Probemos esta relacin (34) que se obtuvo por primera vez en 1783: Apoyndonos en que los tres puntos: P (punto cualquiera del cuerpo) e (centro de gravedad) y el punto donde est situada la masa puntual dm, definirn un plano, hemos dibujado plana la Figura 1.31. Se ha elegido una referencia cartesiana cuyo origen coincide con e, por lo cual, como se ha plasmado en dicha Figura,

f

x dm = O.



55

y

Al ser Ce\' = O, y = O):> \' = - - = O =>X

J dmx

a

~:

r

J dll1X

=

O

a

c (O, O)

x

x

Figura 1.31

Sin ms consideraciones, y teniendo en cuenta que 1 =

f

r 2 dm, l e =

f

a 2 dm, escribiremos:

1=

f

r 2 dm {teorema del coseno} =

f

(a 2

+ d2

-

2adcosrx)dm {ccosrx = x } =

Radio de giro: cualquiera que sea la forma de un cuerpo, siempre ser posible encontrar un punto Q situado a una distancia (k) de un eje (e) dado (puede tratarse tambin de un punto o plano) en el que cabe imaginar concentrada toda la masa (M) del cuerpo, sin modificar el correspondiente momento de inercia l e. Dicha distancia k, recibe el nombre de radio de giro del cuerpo respecto del eje e. En consecuencia, le = Me. . As por ejemplo, en una esfera maciza, el radio de giro respecto de su eje de revolucin vendr determinado por: 1=

~

2 MR 2 = Mk?S

Ejemplos1. El momento de inercia de un cuerpo de masa M = 4 kg respecto de un eje (e) situado a 2 m de su centroide (C) es l e = 20 kg m 2 . Probar que el momento de inercia respecto de otro eje paralelo que dista 3 m de C, es 1 = 40 kgm 2 . 2. Consideremos un cuerpo de masa M cuyos momentos de inercia respecto de su centroide (C) y de un plano (n) que pasa por C, se conocen. Probar mediante las relaciones (33) que sus momentos de inercia con relacin a otro punto C' u otro plano n' (paralelo al n) verifican tambin la frmula de Steiner (se prueba de inmediato supon iendo C' situado en la posicin m de la Figura 1.29).


56

C lculo integra l y aplicaciones

X2

y2

Z2

3.

Sea el elipsoide 2:a

del plano

z = e/S,

1, de masa M. Comprubese que sus momentos de inercia respecto b e y respecto de su centroide, son respectivamente:1= -Me 2

+ 2: + 2: =

6

25

Momentos de inercia de superficies planas

En resistencia de materiales, cuando se estudia la flexin, aparece frecuentemente un concepto denominado momento de inercia de una seccin transversal (momento, que resulta ser inversamente proporcional a la flexin transversal de una viga cargada). Los correspondientes momentos de inercia de dichas secciones vienen definidos (Figura 1.32) por:(35)

y ypy = -x

h

h

a

y

o

x

x

a

b

x

Figura 1.32

. EjemploLos anteriores momento de inercia lo , Ix, Iy se denominan respectivamente momento de inercia polar (lo) y momentos de inercia axiales. Determnense estos momentos cuando la superficie en cuestin es la del tringulo escaleno de la Figura 1.32.R ESOLUCiN

Dividiremos este tringulo en dos tringulos rectngulos y obtendremos, en principio el Ix del tringulo sombreado (todos los puntos del elemento dA, distan, como siempre, una constante r = y del eje x respecto del cual queremos hallar el momento de inercia):

1 Ix (tringulo sombreado) = h

JI! (ahyo

2 -

1 1 1 ay3)dy = - ah 3 - - ah 3 = - ah 3 3 4 12



Expresemos este resultado en funcin del rea Al 1

1=-

2

ah del citado tringulo: 1

I,

-

12

ah3

Al-

-

1

2 Resulta inmediato que en el segundo tringulo, L,

ah1

6

Al h2

= - A2 h2.

6

En consecuencia:

Del mismo modo se obtendra que: 1y

=-

I bhta? 12

+ b2 + ab)

=-

1 A(a2 6

+ b2 + ab)

Este resultado puede lograrse muy rpidamente aplicando, adems del resultado anterior, que el Iy de 1 1 un rectngulo (tal como el de vrtices O, a, P, h) viene dado por Iy = - a3h = - Aa2

3

3

Consecuentemente: 1o= 1x

+1

1= 6

y

A(h2

+ a2 + b2 + ab)


58


La integral de Riemann

1. albl

Calcular en el intervalo [ - 1, 1] el rea CA) limitada por el eje de abscisas y la curva y Determinar el valor de la integral 1 =

=

fCx)

=

xix!.

J ~

1

f(x) dx.=

el

Hllese en dicho intervalo, grfica y analticamente, el valor medio integral J1 punto intermedio e.RESOLUCiN;2

f(e) , e igualmente el

al

se tiene la curva representada en el primer grfico de la si x < O Figura 1.33; Y habida cuenta de la simetra existente, escribiremos:

Al ser y = f(x) =

xlxl = { - , 2- x

si x? O

,

A = rea sombreada = 2

Jo

I

X2

2 dx = - x 3 3 o

JI

23yI y=g(x)

IIx

x

Figura 1.33

bl

1=

JI- 1

xlxl dx =

JO -1

X2

dx

+

JI o

X2

dx = O (concepto)

elJ1

Por la simetra resulta evidente que el valor medio integral (valor medio de todas las ordenadas) es

= f( e) = O, Y asimismo que e = O. Comprobmoslo mediante la frmu la correspondiente:{l

= fCe) = - 1 -

b - a {/

fb f(x)dx = -1 JI2- 1

xlxldx = O

=

e=O


Integra les definidas simpl es

59

2.

Hallar el rea de la regin limitada por las curvas:

y = f(x) = - X2RESOLUCi N

+ 3x -

1

,

Y = g(x) = X3

-

2x 2

+X-

1

Despus de haber dibujado la frontera de dicha regin y obtenido los resultados plasmados en el segundo grfico de la Figura 1.33, se tiene: A(rea pedida)

=

fO-1

[g(x) - f(x)] dx

+

f2 [f(x) - g(x)] dx

=

=

f

o

(x 3

-

X2 - 2x) dx

+

f2

-1

(-

x3

+ X2 + 2x) dx = - + - = 12 3

5

8

37

12

3.

Efectuando en las integrales (m, n

E

N):

[(m) =

f:

'2 sen"'xdxJ(m, n) =

f:l)!!

'2 sen"'xcos"xdx

a) una nica integraci n por partes (hgase en ambas sen l1l - 1 x = u), se consigue obtener una senci lla ley de recurre ncia. Hallar con ella, el valor de [(5), [(6) y J(4, 5) que justificar n la siguiente f rmula:(m - 1)!! (n 1t

fb)

(m

"O/ 2

+ n)!! + n)!!

2

' m y n pares

sen"'x cos"x dx =(m - l )!!(n - I)!! -'------'--'-------, en los dems casos (m

e igualmente la relacin:(m - 1)!!1t

f:RESOLUC iN

'2 sen"'x dx =

f:

'2 cos"'x dx=

m!!

2

' m par

(m - 1)!! - - - - , m impar m!!

(vase el Ejemplo 4 que sigue).

[ (m)

sen"' - Ix = u . { sen x dx = dv

->

du = (m - I)Senl" - 2x.cOSXdx}

=

-

v = - cos x

.

sen,,, - Ix cosx

J "/2

+

+ (m

- 1)

f

"/2

sen"'-2x ' cos 2x dx {cos 2x = I - sen 2x} = O + (m - 1)[/(m - 2) - [(m)')


60

Clculo integral y apl icaciones

de dondel(m)[1

+ (m

- 1)] = (m - 1)/(m - 2)

==

I(m)

=

- -

m - 1 m

/(m - 2)

Haciendo igualmente en J(m , n) el cambio sem'" - 1x m - 1 1 - sen 2x, resulta J(m, n) = - - J(m - 2, n). m+n Consecuentemente:

u, y sustituyendo del mjsmo modo cos 2x por

al I(S) =

4 4 2 4 .2 - /(3) = --/(1) = S S 3 S3

f"/2sen x dx = -4 . 2 1o

S3

S S 3 S 3 1 S 3 1 1(6) = - /(4) = --/(2) = - - - 1(0) = -. - .6 64 642 642con lo cual:

f"/2dx0

l(S)

=

f

" /2

o

sen 5 xdx

= -.:..:.S!!

411

, 1(6)=

f

"/2

o

S!! n sen 6 xdx = - 6!! 2

bl

J(4 S)= ,

"/2 4 4 - 1 3 2- 1 3 . 1 f"/2 5 J(2 S)=- - - J(O S)= cos 5xdx= f o sen xcos xdx=-4+S ' 92+S' 97 o31421 97 S 3 (4 - 1)!!(S - I)!! (4

=-.- - =

+ S)!!cos 2 x dx =

Ntese que

f:'2

sen 2 x dx =

f:'2

,

resultado que es conveniente recordar pues estas dos

integrales aparecen muy frecuentemente.

4. al

Efectuando los cambios de variable x

n= - -

2

t, x

n= -

2

+ t,

respectivamente, demostrar las siguientes

igualdades:

1 f " f(senx)dx "/2 f "/2 f o f(senx)dx = o f(cosx)dx = 2 o

bl

Aplicando lo anterior calcular el valor del rea del recinto limitado por los ejes coordenados y la curva y = L (sen x) en el intervalo [O, n/2]. Hgase para lograrlo el cambio x = 2t en la tercera integral (9).

(9 ) Aunque el estudio en el caso de que la funci n subintegral f(x) no est acotada en algn punto de [a, b1 (L sen x no lo est en x = O) ya ha sido realizado en la Seccin 1.2, raznese para resolver este ejemplo sin tener en cuenta dicha singu laridad.


61

RESOLUC iN

al

n Puesto que el cambio x = - - t, transforma el intervalo de integracin [O, n/2] en el [n/2 , O] , escri2 biremos:

foblH =

" /2

f(se n x)dx =

[ (n)J r "/2 tr o/2 f sen "2 - t (- dt) = Jo f(cost)dt

De igual forma se probara la segunda relacin. Como Vx E [O, n/ 2] f(x) = Lsenx ~ O (mismo signo) , para hallar el rea pedida deber resolverse una integral (H) cuyo valor absoluto ser dicha rea (A) . En consecuencia:

"/2 i"Lsenxdx {xdx, -_2t2dt} i"/2 L sen(2t)dt = 2 o o io Lsenxdx {indicacin } =I= =

=

f:/2

L(2 sen tcos t) dt2

=

f:/2

(L2

+ L sen t + Lcost t) dt

=

=

L2

f:'

dt

+H+H =

n H = - L2 2

+ 2H

=

H = - - L2

n2

=

n A = - L2 2

Integrales impropias

1.

oo

Consideremos la integral impropia 1 =

albl

f

I2

3

X

-

4x

+3

dx .

Calcu lar su valor. obteniendo para ello una funcin primitiva. Comprubese el resultado mediante estudio de la convergencia.

RESOLUCiN

alPuesto que 1 ti [3 , co ), dos son las singularidades de la integral 1: intervalo infinito y no estar acotada en x = 3. Para calcular esta integral a partir de su primitiva, podemos escribir:1=

lim(H"j-( oo . O)

f

dx I = -. 3+, x -4x+3 2H

2

lim(I1. ,j-( oo ,Oj

[ L --

IX - 3IJx - I

H

3+,

=-

2

1[ lim L (H 3) -H - IH -oo

,-o

lim L - E

(2 + [;=

)J = -12~

[O - ( -00 )] = co

Consecuentemente / diverge (el rea relativa a x

3 es infinita) .

bl-

Estudiaremos las dos singu laridades . Intervalo infinito (criteri o integral): 1 ~ I:I?

/1- -

4/1

+3

I: 2' (converge) . n

I


62


-

f(3)

= 00

(criterio del lmite):

(x - l )(x - 3)x~3 +

lim

= - lim2

1

(x - 3)/11X -

x~3 +

3

= - i= O, con2

1

m = 1

=

1 diverge.

(x - 3)/11

2.

Consideremos la integral impropia:

al Determinense cuantas singularidades presenta. bl Estudiar su carcter utili zando siempre el criterio del lmite.

RESOLUCiN

al La primera singularidad es evidente: intervalo infinito.Veamos tambin en qu puntos f(x) no est acotada (supuestamente sern aquellos donde su denominador se an ule): x + 2x = O { x+5= 03

={

X =

O-

x

=

5 f/; [O,

00)

veamos si feO) = 00, pues pudiera existir en x = O discontinuidad evitable, con lo que la integral (por este moti vo) sera seudoimpropia y consecuentemente (1.2) convergente: (arct X)3 /2x~o +

lim f(x) = lim

x~o + (x

6

+ 4x + 4x

4

b

2

)(x

+ 5)

= lim

X 3/ 2-?-

x~3 + 4r 5

= -

1 1 lim = 20 x~o +

Jx

00

Dos son, por tanto, las singularidades . Las di scutiremos haciendo 1 = ten integrales con una si ngularidad (10)

f~ + f X> (e > O) para que resulx"'x x6

bl Intervalo infinito: lim - - = limx~ oo

f(x) 1

x"'(arct X)3 /2(x6

x~ oo

+ 4x + 4x

4

b

2

)(x

+ 5)

=

(n)3 /2 .

2

x ~ oo

lim

n) 3/ 2 ="2 (finito), si In = 7 > (

1 (convergencia).

(10) Podemos ahorrarnos este tipo de formalidades, pues el estudio de las singularidades de /, descompo ngamos o no esta integral, va a ser idntico.


63

f( O+) =

00 :

lim.\" - 0 +

f(x)=x~O +

X'" ' X

312

lim

4x 5

2

-

J

20

x~o + X 112

lim -

x"'

(x - O)'"

I= -

20

(fi nito), s i

1In = -

2

< I (co nverge ncia) .

Po r co ns ig ui e nte, al existir converge nc ia respecto de todas las s ing ul arid ades, la in teg ra l 1 es co n vergente( I I) .

3.

Considere m os la f un c i n y = f(x) , y la integral 1, definid as por: c uando x ::( I

f(x) = ( '" 1

vfx=l

,

si I < x ::( 2 si 2

f =

r oo

f(x)dx

4 - x,

< x ::( 4

Pro bar qu e 1 es con ve rgente y ca lc ul a r su valor.

RESOLUCiN

U na vez ex presada la fun c i n y = f(x) grfica me nte (Fig ura 1.34) es o bvio que aparecen dos s ing ul a rid ades. Compro be mos qu e e n a mbas ex iste co nverge ncia:

In tervalo in f inito:

. hmx - - ce

f(x) --

1

= 11. m x" e" = O (par a todol '

111

)

x - -::r..

XIII

A l ser e l lm ite 1 siempre nulo V 111, tomando, por ejem plo

111 =

2, podr escri birse:

1 = O (fini to), co nf( 1+)= 00 :

111 =

2 >

(co nvergencia)

limxl +

f(x)=x~ l +

(x -

1)'"J

Iim

(x - 1) 11-

(fini to), s i m =

2 I (convergencia).


65

Al ser (en J) el intervalo de integracin [3, 5] , la singularidad se presentar si acontece que x - p = O en dicho intervalo! (para aclarar ideas raznese suponiendo que p sea 3, 4 o 5). Con ello, resultar claro que cuando 3 ~ p ~ 5, la integral J es impropia (y p es la singularidad). Estudiemos, pues, estas singularidades mediante el criterio del lmite: limx-p

f(x)

= limx~p

(x - p)/11 (x 2

-

9)

- -(x -

x - p

{si p

=1=

3} = (p2 - 9) lim -----'--x~p x-p

(x - p)/11

PY'

= p2 - 9 =1= O, si m = 1 (divergencia).X2 -

Si p = 3, J es seudoimpropia (converge) pues f(3) = lim Con todo, J diverge si pE

9 3

x~3 X -

-

= 6.

(3, 5] y converge cuando p

E

R - (3, 5].

5.

Determinar, cuando x

--> 00,

el verdadero valor (V) de la funcin:f(x) = arc sen ( ~

2x

+

5)2 IX .I

L(3t

+ e') dt

RESOLUC iN

Fcilmente se observa (cuando x --> 00 la integral diverge por no verificar la condicin necesaria de convergencia) que existe una indeterminacin de la forma (O (0 ). Por ello y aplicando la equivalencia entre infinitsimos: arc sen resulta:

(lA 5y ~x:

exx:

5y ~ :2+ e')dt{L' Hopital} =xX2

V=

:~~

4X2 .

I

x

L(3!

+ e') dt = 4

':~r:2x

rI

L(3t

= 4 lim

L(3x

+ eX)

x~ oo

2x

= 4 lim - - = 4 lim - = 2X-' OO

L(e X)

x~ oo

2x

Integrales Eulerianas

1.

Mediante su conversin en funciones r(p) determnese el valor de las siguientes integrales convergentes:

al

J=

t oo

e - xl

dx (integral de Gauss),

bl

J =

I

(Lx)"dx


66

C lculo int egral y ap li caciones

R ESOLUCiN

al 1

t (igual interva lO)} =fooo e - -,dx {x =fooo e _ 2 dt = 2x dx. dt jt2

=

x

t .--

=

=~f" '" t - I/Z. e - tdt{p 2 obl Jfl=

=- ~}=~r(~)= Jn . 2 2 2 2-->

= o (Lx)lI dX{Lx =--t~ = . e - t)} {[O, 1] dx e 'dtLX, ( -

(00 , O])

=f O( - t)"(-e - ' dt) =:Le

I.t)lI. e - 'dt=( - l)II . [ ' t"e - 'dt {p - I =n } =( - l)" r(n+ 1).

2.

Mediante su transformacin en integra les eulerianas de primera especie B(p , q) , calc lese el valor de las integrales:

al

1

=fo

U)

x3

JI +

dx

X2

'

bl

J

=

f52

(x. - 2) 3

~

dx

,

el

H

=

f X,3

x -3-~ 3-x--3

dx

RESO LUC iN

al 1:

Hac iendo [vase ( 10)]

+ X2l /2 (

=

~ (2xdx = t-

-

~), [O, 00) t3/2

-->

[1, O]

ypuesto que xse tiene :

~ 3 ,,.f 1 X2

1

+

dx

=t

-3

-

X

2xt-

dI) =--tdt =,

t

l /2

2x-+

2(1 - t)l

dt

'

1=

- ~ fo tI /2( 1 - t) - 2 dt =~fl21

2

o

tI /Z( I - t) - 2dt{P - I = 1 /2}=~i~ , - 1) q - 1 = -2 2 \2

Al ser q = - 1 < O, la integral 1 di verge. Es aco nsejable (s iempre se debera hace r) comprobar previamente el carcter de la correspondiente integral improp ia propuesta.

bl J{ X=3 1+ 2} =f ldx=3dl

3

l

o [3(1 - I)JI / 2

27t

(3dt) = 27 J3 f

t 3 (J o

_ t) - 1/ 2

dt {P - I = 3 q - I = - 1/2

}=

= 27

J3. r(4)r( 1/ 2) = 27r(9/2)

http://carlos2524.jimdo.com/67

Integrales definidas si,mples

el H: x = ~ (dX = t

3 ~) {x = 00 , t = O (x _ 3 = 3 1 2t

x = 3, t = I

t

t)

en consecuencia:l

H = -

3(:;

9~3

f Ot4/3(11

- t) - 1/3 dt {cambiando signo y extremos} =

= --

f 913!

J

t4 / 3 (1 -

t) - 1/3 dt

o

p - I= 3

! p-!=- 3

4 ) 913 l (7 2)= -- B - 2' 3

B(2)) = rG)r(D = ~.~[rG)rG)] = ~ [r(~)r(~)] = ~._n = ~ 33 r(3) 9 3 3 9 n/3 9 j32 sen Con todo lo cual resulta: 4n 4n

9j3

243

i3

3.

Mediante su transformacin en integrales eulerianas de primera especie, determnese el valor de las siguientes integrales convergentes:

al

1=

f

o

"/2

~dx , bl

J -

f oo4

dx

Jx (X 3

,

4)

el

H

=

f oo .:y(x x1

1)4

5

dx

RESOLUCiN

al 1= f "/2 (senx)I /2dX = f "/2 senl /2x . cos - I/2x dX{2P - 1o

cosx

o

2q - 1 =

=1 /2 }= - 1/2

=~2

B(~, ~) = ~. r(3/4)[( 1 /4) = ~,_ n _ = J24 4 2r(l)

n.

2 sen n/4

2

bl J: Haciendo x = _4_ [dX =I - t

( 1 - t)

4

2

dt]

,

x-

4 = 4 _t_ l - t

http://carlos2524.jimdo.com/68Clculo integral y aplicaciones

y sustituyendo en la funcin subintegral, se tiene:dx(l - t)3/2 (1 - t)I /243 / 2

(4t) 1 / 2

4 I ----:- dt = - t- 1 / 2 dt (l - t)2 4

Con lo cual, resulta:

J

= -I

4 o

JI

1 t- 1 / 2 dt = -

4

[t l/2Jl = -I (comprubese este resultado haciendo el cambio1/2 o 2x = 4/ t tambin aconsejado en (10)) .---7

el

H: x = -t I (dX = -

ci!) {x = ro t = O} (x t 2 x= l---7t=1

I =

~), cont

lo cual:

4.

Mediante transformacin de la integral en una funcin Beta, determinar, cuando n tiende a infinito, el verdadero valor de:

Comprubese que:

rn+-

( 3)2

=

(2n + 1)" 2" + 1

r -

(1)

2 '

(2n

+

I)!!

=

(2n + 1), -2'' '- n-'-

RESOLUCiN

1=

J1

(1 - x 2)" dx

l2 2 {X = t(x = t / )}l dx=-t - I/2dt 2

=

2:

l

o

J1

t-

1

/

2( 1 - t)" dt (el intervalo

o

p - l = - 1/2} no vara) { q - 1= n


Integral es definidas simples

69

Probemos la relacin dada:

=(2n+ 1)!! 2"+ 1M ulti plicando y di vidi endo (2n

r;."'JL

+

I)!! por (2/1) !! = 2n(2n - 2) 4 2 = 2" . /1!, se tiene que:

(2n

+

(2/1 + 1)! 1) 1! = - - 2"n!

=>

f' /1+2

( 3)

=

(2n + I)! , 2- 1I + 1 '/1!

Jn n

por consiguiente:

2211 +I n ! l 2 211 (11!)2 2 211 (n!)2 I =-(n!) .- = = - - -- 2 (2n + I )! (2n + 1)! (2n + 1) (2n) !

Jn

Jn

Habida cuenta de que el verdadero valor de E es:

2 211 (/1!)2 lim ~ .l = lim ~ . -----1I ~ 00 11 .... 00 (2n + 1) (2/1)!y aplicando la equivalencia de Stirling, escribiremos:

con lo cual:

211 2 n lim E= lim ~'---'-2-=J2n li m - - 11 .... 00 II ~ OO 2/1 + I 2 11 II ~X 2/1 + lde do nde res ulta:

Fn

Verdadero va lor

= lim E = ;:,/1 00

n

y2

5.

Consideremos la curva ecuacin:

e

(cerrada

y

simtrica respecto de los dos ejes coordenados) definida por la

con a > O ,

11 E

N


70


Calclese el rea encerrada por

e y supngase (en

la expresin final de este clculo) que:

RESOLUCiN

Habida cuenta de la simetra existente (la circunferencia es un caso particular de integrar en el cuadrante positivo, donde consecuentemente se verificar (y ?! O):

e para n =

1), podremos

y = f(x) =con todo lo cual, se tiene:A

::ja 211 -

X211 , que corta al eje x(y

=

O) en x

=a

=

4

fo ::ja 211 a

X211 dx

{x _al} . = 4a fl (a 211 =

a 211 . t211) 1/ 2 11 . dt

=

dx-adt

o

como

r-+l - - r 2n 2ny sustituyendo la relacin dada, resulta:

(1 ) 1 (1)2n 2a 2 n

A

~ [r (~)T- r n

1 (1)n

n

n

Integrales paramtricas

1.

Obtener el valor de la integral convergente:

sabiendo que el proceso ms sencillo para su clcu lo, consiste en efectuar dos derivaciones en la integral para mtrica:



71

I( A)

=

f

OO l cos lx o -x 2-::-e-X- dx .

le 1) = I Ntese que { 1(0) = O

d 21 Y reso lver, integrando por partes, la integral -;-;- resultante.

dA-

RESOLUCiN

Aunque solemos proponer los ejemplos y ejercicios e n el orden de menor a mayo r grado de dificultad, e n esta ocasin comenzaremos con ste (relativame nte dificultoso) debido a los conceptos que aporta.

--=

dI (A) dA

f oo sen (Je.\:) . x dx = f oo sen)"", - dxo

x 2 exd 12

o

xe

X

dI CA) ntese que -J = O [ (o. J. = O

-

=

fC r.. cos(ho

)x

([}e2

xe X

e/x =

f oo e o

x

cos )"", elx

Resolvamos pues esta ltima integral:2

cl 10 ,) d }e2

{COS h = u

e - Xdx = du

~

_, du = -ASen dx } -- e - x cos }""' o - A o e - x sen }"", dx v = -e X

Joo

f ""

=>

( 1)

J (}.)

=

f

,," {sen },x = u du = AcOSXrdx} e-Xsen }..xclx ...... = - e -X sen },x o o e - Xdx = du u = -e - X

J"" +

=>

de donde:

Calcu le mos esta constante

e

1

teniendo en cuenta que

dl(}.

= O) =

di,

O:

Para } , = O,

---;- = O = arctg (l. = O) + el=> el

dI (}.)

=O


72


por tanto, escribiremos:

dl( A) = arctg } , d}, -> I(A) =

f

arctg Ad},

arctg },{

=u->

du

=-

1+A

- 2} dA

=

dv = dv1

v=A

= Aarctg A con lo que al ser:1(0)

f

--2

A 1+ A

d} , = }, arctg }, - - L(l 2

+ A2) + C 2

= O = [ }, arctg A -

~ L(l + A2) + C 2 ]2l=O

=O

resulta que C 2

=

O, Y por consiguiente:1=

lCA =

1) = arctg (1) - - L(l 2

1

+ 12) = - - 4

n

1

2

L(2)

2.

Calcular el valor de las integrales impropias convergentes:

RESOLUCiN

al

dl (A) = dA

f

(x;'Lx) (LX)5 dx

->

La integral resultante es an ms complicada (cada derivacin aumen-

o

ta el exponente de Lx en una unidad), ello nos marca la pauta a seguir: Partir de la integral inmediata J (J,)=

f:

Xl

dx y derivar cinco veces. Consecuentemente:

de donde se desprende que:5!



73

b)

dlz(},) = dA

f oo x"( o

xe - Ax)dx = -

oo fo x" +1e - ;,xdx.

Se da en esta integral la misma complicacin que en el caso anterior. Por ello, razonando de igual modo, escribiremos:

=

fn!

OO

o xe -

J.x

1 dx = A2

de donde resulta evidente que:1 (}c)2

=

f

OO

o

x"e -J.x dx

= --

}," + 1

Se propone comprobar ambos resultados transformando / 1 e 12 en funciones r(p).

3.

Obtener, por derivacin paramtrica, el valor de las integrales convergentes:

b)

12 (a) =

f

1

o cos 2 CI.x

-

X

-

dx

{a # Oa # n/2

RESOLUCiN

a)

La

dificu~tad de esta primera integral , consiste en observar que la integral=

f

sen;' x . cos x dx es inme-

diata, y que dA (senA x)

senA x Lsenx.

Con ello, y sin ms consideraciones, escribiremos:


74

C lculo integra l y aplicaciones

consecuentemente:

de donde11 =

[d d}. lU')]44

31,=3

128

bl

, ldI 2 (CJ.) es aun , mas ' d'f' ' b uscarse, como en casos anten' ores , C omo 1a ll1tegra 1 lCU ltosa que 12 (CJ. ) , d e b era dCJ. una integral l (CJ.) que fac ilite esta resolucin, Es complicado darse cuenta de que -d (tg c o:) dCJ. Por consiguie nte, escribiremos:= - -x 2-'

cos CI.x

Y que la integral

f

tg CI.x dx es inmedi ata ?

l(CJ.) =

---;-- =4.

dl (CJ.)

I J JIo

tg(CI.x)dx =

JI

o cos CJ.X CJ.

- - dx = - - Lcos CJ.xCJ.

sen CJ.X

1

]

1o CJ. tg CJ.

LcosCJ. CJ.

x o cos 2 CI.x dx

cos CJ.=

( - sen CJ.) - Lcos CJ.

+ Lcos CJ.CJ.2

Considere mos las dos integrales paramtricas:

l ey) =

I se".Yeos \

X2

+ 2x + 2

dx

F(x , y)

=

fXY [ f V v' cotg u dU] dl'n/ 2 n/ 2

al bl

Obtener -

d/ (y) dy

- para y

n= - ,

2

Comprubese esta derivada reso lviendo l (y),

Hall ar en un punto genrico (x, y) la derivada segunda

P;" ,

RESOLUCiN

al

Como la funcin subintegral no depende del parmetro (que en este ejemplo ha sido denotado por y : lo nico no parmetro es la variable de integrac i n), escribiremos ( 14) :dl()')dy

- ' - = f(b

= sen y) -

db

dy "

da - fea = cosv) - =dy

l l , cos)' , (-seny) sen-y+2sen y+2 cos-y+2cosy+2

=

d/(v = n/ 2)dy 2



75

I(y)

=

f

~y2

1

cos)' X

+ 2x + 2

dx

=

f~ Ycos y

1(x

+

2

1)

+

1

dx

= arctg(x +

I

)Js en

y

cosy

= arctg(seny

+ 1) - arctg(cosy + 1)

Derivemos pues este resultado:dI (y) dyb)

cosy 1 + (sen y

( - seny)

dI (y = n/ 2)-->

12

+

1)2

I

+ (cosy + 1)2

dy

Despus de razonar unos momentos con F(x, y), debiera ocurrrsenos empezar resolviendo la integral encerrada entre corchetes:

u f U cos- du = v L sen u U = v ( L sen v - L sen - = vL sen v f ~/2 v . cotg u du = v ~/ 2 sen u 1[/ 2 2

u

[

J

n)

expresin que sustituida en F(x, y) da lugar a:

F(x, y)

=

f

XY

~

vL sen v dv

-->

F:< (x, y){(l4) } = f(h

= xy)

fu

ah

= xy L sen (xy) y =

5.

Mediante derivacin paramtrica resolver la integral convergente:

IV,) =

f

oo

arctg V-x:)2

o xCI + x )

dx

V, ~ O, 1, #- 1). Aplquese que J(O) = O.

RESOLUCiN

que es una integral racional relativamente sencill a (Apndice 1). En consecuencia:Mx

-

(1+x2)(l+ A X)

----2-2

==

+N2

I+x

+

Px

+Q2 2

I+ ),x

{identificando, se tiene}

I M=P=O N = - , I - ), 2

Q=


76


con ello:dl(A)

-----;- =

l 1- A2

f U)

dx-

A

2

o 1 +X2

1 - A2

f oo

o 1 + (h)2

dx

=1 -

1

[ JW },2 arctgx - Jcarctg(h) o re

=

=Por tanto:

dl( A) dA

=re

l eA)

re =-

2

f

dA re LO + -=-

1 +},

2

A)

+e

con lo que aplicando la relacin 1(0) = O, Y particularizando para }, = O el resultado anterior, se tiene:1(0)

= O=

"2 L(l + O) + e = e =

O

=

re IU,) = - L(I 2

+ A)

6.

Consideremos la integral impropia convergente (con dos parmetros):

I( A,a) =

Loo e- h

2

cos(ax)dx

(A>O)

a)b)

Obtener el valor de la integral le A, O) mediante su transformacin en una funcin Gamma. Aplicar el valor anterior al clculo (mediante deri vacin paramtrica) de la integral fU" a) dada.

RESOLUCiN

b)

- - - {ms aconsejable que derivar respecto de },}da

dlC}c, a)

=

f COo

e - Ax [ -xse n(ax)]dx

2

sen ax Haciendo { -xe -

= U.-->h2

du = acosaXdX}

lv= -e-.

1 a2 =>LI = - - 22 2

+e

=>

Por consiguiente, y puesto que para a = 0,

leA, O) =se tiene finalmente:

~ = k eO = ka22

leA,

a)

=

f oo e - ?xa

cos(ax)dx =

~ 4j

In e

4 },

Aplicaciones de la integral definida simple

1.

Determinar el rea encerrada por cada una de las curvas de la Figura 1.35 , definidas respectivamente por las ecuaciones:

al bl

x = 4cos 3 (astroide) y = 4sen tp = 4 cos 38 (rosa de tres ptalos)

3

t}

y y 4

4

x

x

Figura 1.35


78


RESOLUCiN

al Del primer grfico de la Figura 1.35, se tiene:A = 4

f 4ydx = 4fn'2

f'"

4sen 3 t( - 12cos 2 tsen tdt) = - 192

fO

sen4 tcos 2 tdt =

( 12)

= 192

sen 4 tcos 2 tdt

{2P- 1 4} = 192-B 1 (5- , -3)n/2 rG} r(D =96 - - - - =

2q - 1 = 2

2

2 2

r(4)

= 96 622

[~. ~ r(~) . ~ r(~)J = 22 2

16

~ n 8

=>

A = 6n

bl Apoyndonos en el segundo grfico dado, escribiremos:1 f n'6 A=6 p2(e) de2=

3

f n' 6

16cos2 (3e)de{3e=t} =16

f n' 2

cos 2tdt=4n

2.

Cons ideremos las curvas el y e 2 definidas en cartesianas por las ecuaciones:

al Mediante las frmulas de paso dadas en 1.5, obtngase en polares la ecuacin de el' e igualmente, elrea que encierra y su longitud.

bl Calcular la longitud de la porcin de curva la recta y = 5.RESOLUCiN

e 2 en el primer cuadrante, comprendida entre el origen y

al

(x 2 + y2)2 - 2xy = O

X {Y

= p cose} _ p4 - 2 p 2 cos e sen e = O = P sen e

=>

{p = o (polo O) p2 = sen 2e

y

y

x

oFigura 1.36

a

x

(12)

si x = 4 --> t = O Puesto que al ser x = 4 cos 3 t { . (como sabemos) SI x = O --> f = n/2



79

Despus de haber conseguido construir el grfico de e 1 a partir de su ecuacin p 2 = sen 2e, cuenta (comprubese) de que las rectas = o, = n/2 son tangentes a el en el polo, se tiene:

eo

e

y habida

1 A = 2 -

f"/2p2((j) de = f"/2sen (2e) de =o

1

2 Como en polares, ds =

J p2 + [p'(e)] 2 . dO, derivemos respecto de O la ecuacin p2 = sen 2e: dp (dP )2 [p'(e) ]- 4cos 20 cos 20 2p 2cos O....... 2 2

~

=

~

=

?

=

~-

?

sen2e

siendo:p2

+

[p '(0)] 2 = sen 2e

+- -

cos 2 2esen 2e

= -sen 20

1

y tomandoS =

la cuarta parte de esta curva

e 1 (lemniscata),- 1/2

escribiremos:

4

"/4 de {2e = fo V~ sen 2e

t}

=

2

f"/2seno

(t) dt

=

5,2438 (vase ejemplo correspondiente a la Figura 1.20).

bl Si se toma la relacin ds = J I + ()")2. dx, surge de inmediato una gran dificultad para resolver la integral correspondiente. Apliquemos, por tanto, la relacin ds = + (xY . dy:

JI

x

=

f(y)

>X ;-{ y~ O

O}

=

y3 /2

,

3 x'(y) = -2 y l /2 -> 1

+ (X')2

=

1+-

9y

9y

4

= --

+4

4

con todo lo cual resulta:

S =

5 fo J

I + (x')2 dy

= -

1 (9y 2 o

f5

+ 4)1 /2dy

= - .-

1 2 [ (9y 2 27

+ 4) 3/2

J5o

335 27

3.

al El cilindro X2 + y2bl

= 9 es cortado por el plano (n) que pasando por el eje x forma un ngulo IX con el plano horizontal. Hallar el volumen de la cua limitada por el plano n, el cilindro y el plano horizontal. =

Calcular el volumen engendrado al girar alrededor del eje y, la regin limitada por la curva y2 el eje x, y la recta x = 2.

x 3,

RESOLUCiN

al Los lados del tringulo sombreado (primer grfico de la Figura 1.37) tienen por dimensiones y (base),siendo la altura 11 = Y tg IX. Con lo que su rea ser A(x) (seccin normal al eje x) = - y . y tg 2 temente:1IX.

Consecuen-


80

Clculo integra l y aplicac iones

,

..... ------ - -- ------ ......

,,."'

-- - --- -- -- -

l, , , ,

y

---- --- ---

", ,

-3

x

x

x

Figura 1.37

V=

f

3 A(x)dx{simetra}=2 -1 tg a f 3y 2 dx{y2=9-x 2} =tg a f 3(9 2o3 2 X /

x 2) dx=18tg a

- 3

O

Siendo en la regin (y ~ O) Y = f(x) = ejemplo) la frmula (24), se tiene:b)

(segundo grfico de la Figura 1.37), y aplicando (por

V = 2n

f2 2 32 J2: 2 fo xf(x) dx = 2n o X 5/ 2 dx = 2n -7 [x 7/2] o = -7- n2

4.

a)

Dada la funcin y = f(x) = ;jx 2(x - 4). Calcular el volumen engendrado por la porcin de curva correspondiente al intervalo [O, 4] al girar alrededor del eje x.

b)

Teniendo presente que el elemento diferencial del rea de revolucin engendrado por ds (diferencial de arco) de la curva p = p(8), viene expresado por dA = 2np sen 8 ds, calcular el rea engendrada entre 8 = O Y 8 = n, por la curva:p = eO l 2 (espiral), al girar alrededor del eje pol ar

RESOLUCiN

a)

V=n

f4 { X- 4t } 4 fo F(x)dx=n o ;jx (x- 4?dx dx -=4dt =4

= 64n.

B(2 ~) = 64n . rG) rG) = 32n [~. ~ r(~) .~ r(~)J = 5' 3 1(4) 3 3 3 3 3 3n sen n/3=>

256n81

512 )3 2 V=-- - n 243


81

b)

Habida cuenta (20) de que ds

=

J p2 + (p')2 de, escribiremos (segundo grfico de la Figura 1.38):

=

} = Js- n(e" + 1) "eO/2 . eO/2 sen ede = Js n f" eOsen ede{eO Js n fo - u o sen ede = dv 2

yI

O__- - - - - - - - - -r--.... x4

I I I I

----------------- -- - - 1---~--

:oI

......

x (eje polar)

I I

Figura 1.38

5.

La Figura 1.24 representa la regin R encerrada por una por

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Calculo Integral y Aplicaciones - Granero